A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről – szaktanároknak Középiskolai tanulmányaink fontos része volt az elemi síkgeometriai tananyag. Ennek egyik nevezetes tétele így szól – [ 1 ] – : Az ugyanazon köríven nyugvó kerületi szög fele a megfelelő középponti szögnek. Ennek közismert igazolása megtalálható pl. [ 1 ] - ben is. Ez nem igazán nehéz, bárki megértheti és sikerrel alkalmazhatja napi munkájában. Annak apropóját, hogy ezt most elővettük, az adja, hogy egy szakmai feladatban ennek alkalmazásával egysze -rűbb, elegánsabb eredményhez juthatunk. Erről majd később. Most először a tételről és annak igazolásáról beszélgessünk inkább! Szóval, emlékszem, amikor a szakközépiskolában ezt tanultuk, megtörtént, ami már sokszor azelőtt is: lemaradtam, így aztán már nem is értettem a magyarázatot, hogy az erre épülő látókörív - szerkesztésről már ne is beszéljünk. Nem hagyható figyelmen kívül, hogy ez ma is megtörténhet, csak fordított szereposztásban… Az ellenszer: az öntevékeny, szorgalmas újratanulás. Ennek azonban nem kell feltét -lenül követnie a régi mintát. Mi lenne, ha kitalálnánk valami mást? Most ezt kíséreljük meg. Minthogy nem vagyunk matematikusok – csak tanárok – , nem árt, ha először körülnézünk, hogy eredményünket nem láttuk - e már valamely ismert szakirodalmi munkában. Nos, úgy tűnik, a „nagyok” ezt másképp’ csinálják. Ettől persze a saját megoldás még jó lehet. A szakirodalom szerint – [ 1 ] – négy esetet kell vizsgálnunk – 1. ábra.

1. ábra

1. eset: A kör középpontja a kerületi szög szárai között fekszik. 2. eset: A kör középpontja a kerületi szög egyik szárán fekszik. 3. eset: A kör középpontja a kerületi szög szárain kívül fekszik. 4. eset: A kerületi szög egyik szára érintő.

Mielőtt nekifognánk, lássunk be egy segédtételt, csak úgy gyalog! Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!

2

2. ábra Segédtétel: A valamely befogójára – mint t tengelyre – tükrözött derékszögű háromszög: egyenlő szárú háromszög, melyre – az előállításból fakadóan – igazak az alábbi tulajdonságok: ~ az mc = a1 = a2 magasság felezi a c alapot; ~ az mc magasság merőleges a c alapra; ~ az mc magasság felezi a c - vel szemközti γ szöget. Most már nekiláthatunk a címbeli tétel saját, házi használatra szánt igazolásának.

1. eset: ehhez tekintsük a 3. ábrát! Az AB) ívhez tartozó λ kerületi és γ középponti szögek összefüggését vizsgáljuk. A teljes körre:

360 ,α + β + γ = ο

innen:

180 ,2 2 2

α β γ+ + = ο

ebből:

3

180 .2 2 2

γ α β= − −ο

( 1 )

3. ábra Most a 3. ábra szerint:

90 90 180 ;2 2 2 2

α β α β λ = − + − = − −

ο ο ο

( 2 )

majd ( 1 ) és ( 2 ) - vel:

.2

γλ = ( 3 )

A ( 3 ) képlet a tétel állítását adja az 1. esetre. Természetesen hasonló eredményre jutunk a BC), ill. a CA) ívek használatával is, a megfelelő szögekkel.

4

2. eset: ehhez tekintsük a 4. ábrát!

4. ábra

A B pontnál lévő ~ λ1 szög egyenlő λ - val, mert az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlőek – v.ö.: 2. ábra; ~ λ2 szög egyenlő λ - val, mert váltószögek; ezzel ismét a 4. ábra szerint:

1 2 2 ,γ = λ + λ = λ + λ = ⋅λ innen:

.2

γλ = ( 4 )

A ( 4 ) képlet a tétel állítását adja a 2. esetre. Megjegyezzük, hogy a 2. eset igazolása nem tér el jelentősen az [ 1 ] - belitől.

5

3. eset: ehhez tekintsük az 5. ábrát!

5. ábra Eszerint:

90 90 ,2 2 2 2

α β β α λ = − − − = −

ο ο

tehát:

.2 2

β αλ = − ( 5 )

Most ismét az 5. ábráról:

,β = α + γ innen:

6

,γ = β − α ebből pedig:

; 2 2 2

γ β α= − ( 6 )

majd ( 5 ) és ( 6 ) összehasonlításából:

.2

γλ = ( 7 )

A ( 7 ) képlet a tétel állítását adja a 3. esetre.

4. eset: ehhez tekintsük a 6. ábrát!

6. ábra Eszerint, merőleges szárú szögek miatt:

.2

γλ = ( 8 )

7

A ( 8) képlet a tétel állítását adja a 4. esetre. Megjegyezzük, hogy a 4. eset igazolása nem tér el az [ 1 ] - belitől. Ezzel a tételt bebizonyítottuk, kicsit másként. Nyilván adja magát a kérdés, hogy miért térjünk el a pl. [ 1 ] - ben is megtalálható igazolástól. Erre több válasz is adható: ~ mert részben más, mint a szokásos; ~ mert a levezetés viszonylag egyszerű: alig kíván többet, mint ami az órán közvet -lenül elmagyarázható, és hiányos előismeretekkel is követhető; ~ mert egyszerűen példázza, hogy egy ilyen levezetés – egy idő után – szinte bárki számára megvalósítható, stb. Most nézzük, hogy mi vezetett a fenti tételen való elmélkedéshez! A kiváltó szakmai feladat: boltöv számítása – [ 2 ]. Mint már említettük, szerettünk volna egy egyszerű és elegáns megoldást mutatni az alábbi feladatra.

Feladat: Adott az alábbi ábra szerinti szegmens - ív, a jellemző adataival. Jelölések: ~ d: húrhossz / falköz; ~ h: ívmagasság; ~ r: ívsugár; ~ α: középponti szög.

Határozza meg a jellemző adatok közti összefüggéseket, képlet formájában! Részletezve: ~ fejezze ki r - et d és h függvényében; ~ fejezze ki α - t d és h függvényében! Útmutatás: alkalmazza a Pitagorász - tételt és valamely szögfüggvényt!

8

Megoldás: A sugár képlete

Pitagorász tételével:

( )2

22 dr r h ;

2 = + −

folytatva:

22 2 2

22

dr r 2 r h h ,

2

d2 r h h ,

2

= + − ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ = +

innen:

2d hr .

8 h 2= +

⋅ ( a )

A középponti szög képlete

Ehhez tekintsük az alábbi ábrát is!

9

Leolvasható róla, hogy az AC) íven nyugvó középponti szög: α / 2, a megfelelő kerületi szög pedig β . A fenti tétel szerint:

1 .

2 2 4

α αβ = ⋅ = ( b )

Most az utóbbi ábra alapján:

h 2 htg .

d / 2 d

⋅β = = ( c )

Majd ( b ) és ( c ) szerint:

2 htg ,

4 d

α ⋅=

innen:

2 harctg ,

4 d

α ⋅ =

ebből pedig:

2 h4 arctg .

d

⋅ α = ⋅ ( d )

Az ( a ) és ( d ) képletek a kitűzött feladat egy szép megoldását adják. Irodalom: [ 1 ] – Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 1998. [ 2 ] – Szerényi István ~ Gazsó Anikó: Építőipari szakmai számítások Szerényi és Gazsó Bt., Pécs, 2000. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. május 5.