18
Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną ... /18 2008 K.M.Gawrylczyk 1 RÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE Pod względem matematycznym szukana odpowiedź ukladu liniowego o znanych stalych parametrach R k , L k , C k w k - tej galęzi przy danych wymuszeniach, oznaczona przez x, badana w stanie nieustalonym, spelnia równanie róŜniczkowe liniowe, zwyczajne, niejednorodne, o wspólczynnikach stalych, mające postać: n n-1 n-2 n-1 n-2 1 0 n n n-1 n-2 d d d d ( ), 1 d d d d x x x x +a + a + ...+ a + a x = f t a t t t t = (1) Wyraz wolny f(t) jest związany z wymuszeniami , którymi są np. napięcia źródlowe lub prądy źródlowe. ZaleŜnie od tego, czy wolny wyraz występuje, czy teŜ nie, rozróŜniamy dwa przypadki: " przypadek ogólny, w którym wyraz wolny znajduje się pod dzialaniem wymuszenia zewnętrznego, nie będącego toŜsamościowo równym zeru i ukladowi temu jest przyporządkowane pelne równanie. " przypadek szczególowy, w którym uklad jest w stanie swobodnym (nie dziala na niego wymuszenie zewnętrzne ), prawa strona równania jest wówczas równa zeru i mamy równanie róŜniczkowe zwyczajne. W kaŜdym z tych przypadków przy rozwiązywaniu równania rzędu n występuje w rozwiązaniu n stalych calkowania, które wyznaczamy z n danych warunków początkowych lub warunków brzegowych. Rozwiązanie równania róŜniczkowego, które stanowi odpowiedź X ukladu w stanie nieustalonym, sklada się z dwóch czlonów (zwanych skladowymi) : X w - skladowej wymuszonej, która stanowi calkę szczególną równania Ŝniczkowego niejednorodnego; X s - skladowej swobodnej, która stanowi calkę ogólną równania róŜniczkowego jednorodnego. Odpowiedź X ukladu w stanie nieustalonym jest sumą algebraiczną obu wyŜej wymienionych skladowych: X = X w + X s

ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

1

ROacuteWNANIE ROacuteśNICZKOWE LINIOWE Pod względem matematycznym szukana odpowiedź układu liniowego o znanych stałych parametrach Rk Lk Ck w k - tej gałęzi przy danych wymuszeniach oznaczona przez x badana w stanie nieustalonym spełnia roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe zwyczajne niejednorodne o wspoacutełczynnikach stałych mające postać

n n-1 n-2

n-1 n-2 1 0 nn n-1 n-2

d d d d( ) 1

d d d d

x x x x +a + a ++a + a x = f t a

t t t t= (1)

Wyraz wolny f(t) jest związany z wymuszeniami ktoacuterymi są np napięcia źroacutedłowe lub prądy źroacutedłowe ZaleŜnie od tego czy wolny wyraz występuje czy teŜ nie rozroacuteŜniamy dwa przypadki przypadek ogoacutelny w ktoacuterym wyraz wolny znajduje się pod działaniem

wymuszenia zewnętrznego nie będącego toŜsamościowo roacutewnym zeru i układowi temu jest przyporządkowane pełne roacutewnanie

przypadek szczegoacutełowy w ktoacuterym układ jest w stanie swobodnym (nie działa na niego wymuszenie zewnętrzne ) prawa strona roacutewnania jest woacutewczas roacutewna zeru i mamy roacutewnanie roacuteŜniczkowe zwyczajne

W kaŜdym z tych przypadkoacutew przy rozwiązywaniu roacutewnania rzędu n występuje w rozwiązaniu n stałych całkowania ktoacutere wyznaczamy z n danych warunkoacutew początkowych lub warunkoacutew brzegowych Rozwiązanie roacutewnania roacuteŜniczkowego ktoacutere stanowi odpowiedź X układu w stanie nieustalonym składa się z dwoacutech członoacutew (zwanych składowymi) Xw - składowej wymuszonej ktoacutera stanowi całkę szczegoacutelną roacutewnania

roacuteŜniczkowego niejednorodnego Xs - składowej swobodnej ktoacutera stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

jednorodnego Odpowiedź X układu w stanie nieustalonym jest sumą algebraiczną obu wyŜej wymienionych składowych

X = Xw + Xs

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

2

Układ n roacutewnafrac12frac12frac12frac12 roacuteŜniczkowych liniowych

Roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe rzędu n jest roacutewnowaŜne układowi n roacutewnafrac12 roacuteŜniczkowych liniowych pierwszego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych zawierających n zmiennych xk przy k = 1 2 n Układ ten napiszemy w postaci macierzowej

11 12 13 1 11 1

21 22 23 2 21 1

31 32 33 3 31 1

1 2 31 1

( )

( )d

( )d

( )

n

n

n

n n n nn n

a a a a f tx x

a a a a f tx x

= a a a a + f tx xt

a a a a f tx x

(2)

czyli kroacutetko d = + ( )d

tt

XA X F

Wektor X nazywamy wektorem stanu Dyskretyzacja czasu

11 1

d gdzie ( ) ( )

dk k k

k k k k k kt tt t

minusminus minus

minus= = + = =∆

X X XA X F X X F F (3)

Rozwiązanie iteracyjne

( )

( )

1 0 0 0

1 1 1k k k k

t

tminus minus minus

= + ∆ +sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot

= + ∆ +

X X A X F

X X A X F

(4)

X0 ndash wektor warunkoacutew początkowych

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

3

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RL Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RL przy warunku początkowym zerowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili t = 0

Rys 1 Gałąź szeregowa RL pobudzana napięciem stałym U

Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U (czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie i w sposoacuteb bezłukowy) Bilans napięć w oczku elementarnym daje roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe niejednorodne o wspoacutełczynnikach stałych

d ( )( ) ( ) ( )

dL

i tR i t + u t = R i t + L =U

tsdot sdot (5)

Składowa wymuszona prądu iw wynosi iw=U R Składowa swobodna jest rozwiązaniem roacutewnania uproszczonego

ss

d ( )( ) 0

d

i tR i t + L =

tsdot (6)

czyli

-s

s

d ( )d ln( ) ln(A) ( ) A e

( )

Rt

Ls s

i t R R = t i t i t

i t L Lminus = minus + = (7)

Stała A zostanie wyznaczona na podstawie warunku początkowego i(0) = 0

-

0

(0) (0) 0 A e AR

tL

s w

t

U Ui i i

R R=

= + = = + = minus (8)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

4

Wprowadzamy wielkość fizyczną zwaną stałą czasu określoną wzorem τ = L R zaleŜną tylko od parametroacutew badanej gałęzi indukcyjności L oraz rezystancji R

--( ) ( ) e 1 e

tRt

Lw s

U U Ui t i i t

R R Rτ

= + = minus = minus

(9)

Napięcie na cewce jest pochodną prądu pomnoŜoną przez L

- -d ( ) d( ) 1 e e

d d

R Rt t

L LL

i t Uu t L L U

t R t

= = minus =

(10)

Rys 2 Przebiegi napięć i prądoacutew w obwodzie szeregowym RL przy pobudzeniu stałym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

5

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RC Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RC przy niezerowym warunku początkowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili początkowej t = 0

Rys 3 Gałąź szeregowa RC pobudzana napięciem stałym U

W chwili początkowej t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U Odpowiedzią układu jest napięcie na kondensatorze uC będące funkcją czasu prąd ładowania kondensatora oznaczamy przez i bez wskaźnika Wielkości te są ze sobą związane zaleŜnością

d

dCu

i = Ct

(11)

Bilans napięć w oczku elementarnym wyraŜamy roacutewnaniem

d( )

dC

C C

uR i t u U RC u U

tsdot + = + = (12)

Napięcie wymuszone uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania niejednorodnego ma taki kształt jak wymuszenie i wynosi

= Cwu U (13) Napięcie swobodne uCs na kondensatorze stanowiące całkę ogoacutelną roacutewnania jednorodnego

d0

dCs

Cs

uRC u

t+ = (14)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

6

Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1

dCs

Cs

ut

u RC= minus (15)

a po scałkowaniu otrzymujemy 1

-1ln ln A lub Ae

tRC

Cs Csu t uRC

= minus + = (16)

Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego

( )1

-

0 00 0

0

Ae At

RCC Cw Cs C Ct t

t

u u u U U U U= =

=

= + = + = = minus

(17)

Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi

1 1- -

00( ) ( )e 1 1 e

t tCRC RC

C Cw Cs C

Uu t u u U U U U

U

= + = + minus = minus minus

(18)

a prąd ładowania kondensatora

1-

0d1 e

d

tC C RC

u UUi = C

t R U = minus

(19)

Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC

Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

7

Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu

w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

8

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie

Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U

Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie

( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności

2

2

d dd

d d dC C

L L

u uiu L i = C u LC

t t t= = (21)

i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych

2

2

d d 1 1

d dC C

C

u uR + + u = U

t L t LC LC (22)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

9

Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi

Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu

2

2

d d 10

d dCs Cs

Cs

u uR + + u =

t L t LC (24)

Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne

2 10

R + s + = s

L LC (25)

Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą

2

12

1

2 2

R Rs = - =

L L LCα β plusmn minus minus plusmn

(26)

przy czym

21

2 2

R R = =

L L LCα β minus

(27)

Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego

1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)

Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0

1 20

(0) (0) (0) 0 A B 0

d(0) (0) (0) A B 0

d

Cw Cs C

Cw s

t=

u + u = u = U + + =

ui + i = i = C s + s =

t

rArr

rArr (29)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

10

PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1

1 1 1

1 2

A B

A B 0

s s = s U

s + s =

minus minus (30)

stąd

1 2

2 1 2 1

B As s

= U = U s s s s

minusminus minus

(31)

PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi

1 22 1

2 1

( ) e [( ) e ( ) e ]e e2

e e e ee e ( ch sh )

2 2

- t - t ts t s tC

t - t t - t- t - t

U Uu = U s s U + + +

s - s

+= U U + U U t + t

α β β

β β β βα α

α β α ββ

α αβ ββ β

minus minus = minus minus =

minusminus = minus

(32)

Prąd płynący w obwodzie wynosi

2 2

d ( )( )

d

e (ch sh ) e ( sh ch )

e ( ch ch sh )

1e sh e sh

C

- t - t

- t

- t - t

u ti t = C =

t

= UC t + t U C t + t =

-= UC t - t + t =

U= UC t = t

LC L

α α

α

α α

αα β β β β α ββ

α βα β α β ββ

β ββ β

minus

minus (33)

bowiem 2 2 1 =

LCα βminus Napięcie na cewce wynosi

d

e (ch sh )d

tL

iu = L = U t t

tα αβ β

βminus minus (34)

natomiast napięcie na oporniku 2

shtRu = Ue tα α β

βminus (35)

ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

11

PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI

Przy 2L

R gt C

wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej

ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu

Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 2: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

2

Układ n roacutewnafrac12frac12frac12frac12 roacuteŜniczkowych liniowych

Roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe rzędu n jest roacutewnowaŜne układowi n roacutewnafrac12 roacuteŜniczkowych liniowych pierwszego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych zawierających n zmiennych xk przy k = 1 2 n Układ ten napiszemy w postaci macierzowej

11 12 13 1 11 1

21 22 23 2 21 1

31 32 33 3 31 1

1 2 31 1

( )

( )d

( )d

( )

n

n

n

n n n nn n

a a a a f tx x

a a a a f tx x

= a a a a + f tx xt

a a a a f tx x

(2)

czyli kroacutetko d = + ( )d

tt

XA X F

Wektor X nazywamy wektorem stanu Dyskretyzacja czasu

11 1

d gdzie ( ) ( )

dk k k

k k k k k kt tt t

minusminus minus

minus= = + = =∆

X X XA X F X X F F (3)

Rozwiązanie iteracyjne

( )

( )

1 0 0 0

1 1 1k k k k

t

tminus minus minus

= + ∆ +sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot

= + ∆ +

X X A X F

X X A X F

(4)

X0 ndash wektor warunkoacutew początkowych

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

3

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RL Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RL przy warunku początkowym zerowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili t = 0

Rys 1 Gałąź szeregowa RL pobudzana napięciem stałym U

Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U (czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie i w sposoacuteb bezłukowy) Bilans napięć w oczku elementarnym daje roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe niejednorodne o wspoacutełczynnikach stałych

d ( )( ) ( ) ( )

dL

i tR i t + u t = R i t + L =U

tsdot sdot (5)

Składowa wymuszona prądu iw wynosi iw=U R Składowa swobodna jest rozwiązaniem roacutewnania uproszczonego

ss

d ( )( ) 0

d

i tR i t + L =

tsdot (6)

czyli

-s

s

d ( )d ln( ) ln(A) ( ) A e

( )

Rt

Ls s

i t R R = t i t i t

i t L Lminus = minus + = (7)

Stała A zostanie wyznaczona na podstawie warunku początkowego i(0) = 0

-

0

(0) (0) 0 A e AR

tL

s w

t

U Ui i i

R R=

= + = = + = minus (8)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

4

Wprowadzamy wielkość fizyczną zwaną stałą czasu określoną wzorem τ = L R zaleŜną tylko od parametroacutew badanej gałęzi indukcyjności L oraz rezystancji R

--( ) ( ) e 1 e

tRt

Lw s

U U Ui t i i t

R R Rτ

= + = minus = minus

(9)

Napięcie na cewce jest pochodną prądu pomnoŜoną przez L

- -d ( ) d( ) 1 e e

d d

R Rt t

L LL

i t Uu t L L U

t R t

= = minus =

(10)

Rys 2 Przebiegi napięć i prądoacutew w obwodzie szeregowym RL przy pobudzeniu stałym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

5

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RC Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RC przy niezerowym warunku początkowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili początkowej t = 0

Rys 3 Gałąź szeregowa RC pobudzana napięciem stałym U

W chwili początkowej t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U Odpowiedzią układu jest napięcie na kondensatorze uC będące funkcją czasu prąd ładowania kondensatora oznaczamy przez i bez wskaźnika Wielkości te są ze sobą związane zaleŜnością

d

dCu

i = Ct

(11)

Bilans napięć w oczku elementarnym wyraŜamy roacutewnaniem

d( )

dC

C C

uR i t u U RC u U

tsdot + = + = (12)

Napięcie wymuszone uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania niejednorodnego ma taki kształt jak wymuszenie i wynosi

= Cwu U (13) Napięcie swobodne uCs na kondensatorze stanowiące całkę ogoacutelną roacutewnania jednorodnego

d0

dCs

Cs

uRC u

t+ = (14)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

6

Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1

dCs

Cs

ut

u RC= minus (15)

a po scałkowaniu otrzymujemy 1

-1ln ln A lub Ae

tRC

Cs Csu t uRC

= minus + = (16)

Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego

( )1

-

0 00 0

0

Ae At

RCC Cw Cs C Ct t

t

u u u U U U U= =

=

= + = + = = minus

(17)

Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi

1 1- -

00( ) ( )e 1 1 e

t tCRC RC

C Cw Cs C

Uu t u u U U U U

U

= + = + minus = minus minus

(18)

a prąd ładowania kondensatora

1-

0d1 e

d

tC C RC

u UUi = C

t R U = minus

(19)

Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC

Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

7

Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu

w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

8

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie

Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U

Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie

( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności

2

2

d dd

d d dC C

L L

u uiu L i = C u LC

t t t= = (21)

i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych

2

2

d d 1 1

d dC C

C

u uR + + u = U

t L t LC LC (22)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

9

Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi

Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu

2

2

d d 10

d dCs Cs

Cs

u uR + + u =

t L t LC (24)

Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne

2 10

R + s + = s

L LC (25)

Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą

2

12

1

2 2

R Rs = - =

L L LCα β plusmn minus minus plusmn

(26)

przy czym

21

2 2

R R = =

L L LCα β minus

(27)

Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego

1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)

Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0

1 20

(0) (0) (0) 0 A B 0

d(0) (0) (0) A B 0

d

Cw Cs C

Cw s

t=

u + u = u = U + + =

ui + i = i = C s + s =

t

rArr

rArr (29)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

10

PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1

1 1 1

1 2

A B

A B 0

s s = s U

s + s =

minus minus (30)

stąd

1 2

2 1 2 1

B As s

= U = U s s s s

minusminus minus

(31)

PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi

1 22 1

2 1

( ) e [( ) e ( ) e ]e e2

e e e ee e ( ch sh )

2 2

- t - t ts t s tC

t - t t - t- t - t

U Uu = U s s U + + +

s - s

+= U U + U U t + t

α β β

β β β βα α

α β α ββ

α αβ ββ β

minus minus = minus minus =

minusminus = minus

(32)

Prąd płynący w obwodzie wynosi

2 2

d ( )( )

d

e (ch sh ) e ( sh ch )

e ( ch ch sh )

1e sh e sh

C

- t - t

- t

- t - t

u ti t = C =

t

= UC t + t U C t + t =

-= UC t - t + t =

U= UC t = t

LC L

α α

α

α α

αα β β β β α ββ

α βα β α β ββ

β ββ β

minus

minus (33)

bowiem 2 2 1 =

LCα βminus Napięcie na cewce wynosi

d

e (ch sh )d

tL

iu = L = U t t

tα αβ β

βminus minus (34)

natomiast napięcie na oporniku 2

shtRu = Ue tα α β

βminus (35)

ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

11

PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI

Przy 2L

R gt C

wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej

ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu

Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 3: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

3

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RL Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RL przy warunku początkowym zerowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili t = 0

Rys 1 Gałąź szeregowa RL pobudzana napięciem stałym U

Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U (czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie i w sposoacuteb bezłukowy) Bilans napięć w oczku elementarnym daje roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe niejednorodne o wspoacutełczynnikach stałych

d ( )( ) ( ) ( )

dL

i tR i t + u t = R i t + L =U

tsdot sdot (5)

Składowa wymuszona prądu iw wynosi iw=U R Składowa swobodna jest rozwiązaniem roacutewnania uproszczonego

ss

d ( )( ) 0

d

i tR i t + L =

tsdot (6)

czyli

-s

s

d ( )d ln( ) ln(A) ( ) A e

( )

Rt

Ls s

i t R R = t i t i t

i t L Lminus = minus + = (7)

Stała A zostanie wyznaczona na podstawie warunku początkowego i(0) = 0

-

0

(0) (0) 0 A e AR

tL

s w

t

U Ui i i

R R=

= + = = + = minus (8)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

4

Wprowadzamy wielkość fizyczną zwaną stałą czasu określoną wzorem τ = L R zaleŜną tylko od parametroacutew badanej gałęzi indukcyjności L oraz rezystancji R

--( ) ( ) e 1 e

tRt

Lw s

U U Ui t i i t

R R Rτ

= + = minus = minus

(9)

Napięcie na cewce jest pochodną prądu pomnoŜoną przez L

- -d ( ) d( ) 1 e e

d d

R Rt t

L LL

i t Uu t L L U

t R t

= = minus =

(10)

Rys 2 Przebiegi napięć i prądoacutew w obwodzie szeregowym RL przy pobudzeniu stałym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

5

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RC Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RC przy niezerowym warunku początkowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili początkowej t = 0

Rys 3 Gałąź szeregowa RC pobudzana napięciem stałym U

W chwili początkowej t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U Odpowiedzią układu jest napięcie na kondensatorze uC będące funkcją czasu prąd ładowania kondensatora oznaczamy przez i bez wskaźnika Wielkości te są ze sobą związane zaleŜnością

d

dCu

i = Ct

(11)

Bilans napięć w oczku elementarnym wyraŜamy roacutewnaniem

d( )

dC

C C

uR i t u U RC u U

tsdot + = + = (12)

Napięcie wymuszone uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania niejednorodnego ma taki kształt jak wymuszenie i wynosi

= Cwu U (13) Napięcie swobodne uCs na kondensatorze stanowiące całkę ogoacutelną roacutewnania jednorodnego

d0

dCs

Cs

uRC u

t+ = (14)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

6

Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1

dCs

Cs

ut

u RC= minus (15)

a po scałkowaniu otrzymujemy 1

-1ln ln A lub Ae

tRC

Cs Csu t uRC

= minus + = (16)

Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego

( )1

-

0 00 0

0

Ae At

RCC Cw Cs C Ct t

t

u u u U U U U= =

=

= + = + = = minus

(17)

Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi

1 1- -

00( ) ( )e 1 1 e

t tCRC RC

C Cw Cs C

Uu t u u U U U U

U

= + = + minus = minus minus

(18)

a prąd ładowania kondensatora

1-

0d1 e

d

tC C RC

u UUi = C

t R U = minus

(19)

Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC

Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

7

Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu

w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

8

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie

Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U

Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie

( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności

2

2

d dd

d d dC C

L L

u uiu L i = C u LC

t t t= = (21)

i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych

2

2

d d 1 1

d dC C

C

u uR + + u = U

t L t LC LC (22)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

9

Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi

Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu

2

2

d d 10

d dCs Cs

Cs

u uR + + u =

t L t LC (24)

Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne

2 10

R + s + = s

L LC (25)

Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą

2

12

1

2 2

R Rs = - =

L L LCα β plusmn minus minus plusmn

(26)

przy czym

21

2 2

R R = =

L L LCα β minus

(27)

Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego

1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)

Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0

1 20

(0) (0) (0) 0 A B 0

d(0) (0) (0) A B 0

d

Cw Cs C

Cw s

t=

u + u = u = U + + =

ui + i = i = C s + s =

t

rArr

rArr (29)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

10

PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1

1 1 1

1 2

A B

A B 0

s s = s U

s + s =

minus minus (30)

stąd

1 2

2 1 2 1

B As s

= U = U s s s s

minusminus minus

(31)

PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi

1 22 1

2 1

( ) e [( ) e ( ) e ]e e2

e e e ee e ( ch sh )

2 2

- t - t ts t s tC

t - t t - t- t - t

U Uu = U s s U + + +

s - s

+= U U + U U t + t

α β β

β β β βα α

α β α ββ

α αβ ββ β

minus minus = minus minus =

minusminus = minus

(32)

Prąd płynący w obwodzie wynosi

2 2

d ( )( )

d

e (ch sh ) e ( sh ch )

e ( ch ch sh )

1e sh e sh

C

- t - t

- t

- t - t

u ti t = C =

t

= UC t + t U C t + t =

-= UC t - t + t =

U= UC t = t

LC L

α α

α

α α

αα β β β β α ββ

α βα β α β ββ

β ββ β

minus

minus (33)

bowiem 2 2 1 =

LCα βminus Napięcie na cewce wynosi

d

e (ch sh )d

tL

iu = L = U t t

tα αβ β

βminus minus (34)

natomiast napięcie na oporniku 2

shtRu = Ue tα α β

βminus (35)

ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

11

PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI

Przy 2L

R gt C

wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej

ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu

Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 4: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

4

Wprowadzamy wielkość fizyczną zwaną stałą czasu określoną wzorem τ = L R zaleŜną tylko od parametroacutew badanej gałęzi indukcyjności L oraz rezystancji R

--( ) ( ) e 1 e

tRt

Lw s

U U Ui t i i t

R R Rτ

= + = minus = minus

(9)

Napięcie na cewce jest pochodną prądu pomnoŜoną przez L

- -d ( ) d( ) 1 e e

d d

R Rt t

L LL

i t Uu t L L U

t R t

= = minus =

(10)

Rys 2 Przebiegi napięć i prądoacutew w obwodzie szeregowym RL przy pobudzeniu stałym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

5

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RC Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RC przy niezerowym warunku początkowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili początkowej t = 0

Rys 3 Gałąź szeregowa RC pobudzana napięciem stałym U

W chwili początkowej t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U Odpowiedzią układu jest napięcie na kondensatorze uC będące funkcją czasu prąd ładowania kondensatora oznaczamy przez i bez wskaźnika Wielkości te są ze sobą związane zaleŜnością

d

dCu

i = Ct

(11)

Bilans napięć w oczku elementarnym wyraŜamy roacutewnaniem

d( )

dC

C C

uR i t u U RC u U

tsdot + = + = (12)

Napięcie wymuszone uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania niejednorodnego ma taki kształt jak wymuszenie i wynosi

= Cwu U (13) Napięcie swobodne uCs na kondensatorze stanowiące całkę ogoacutelną roacutewnania jednorodnego

d0

dCs

Cs

uRC u

t+ = (14)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

6

Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1

dCs

Cs

ut

u RC= minus (15)

a po scałkowaniu otrzymujemy 1

-1ln ln A lub Ae

tRC

Cs Csu t uRC

= minus + = (16)

Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego

( )1

-

0 00 0

0

Ae At

RCC Cw Cs C Ct t

t

u u u U U U U= =

=

= + = + = = minus

(17)

Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi

1 1- -

00( ) ( )e 1 1 e

t tCRC RC

C Cw Cs C

Uu t u u U U U U

U

= + = + minus = minus minus

(18)

a prąd ładowania kondensatora

1-

0d1 e

d

tC C RC

u UUi = C

t R U = minus

(19)

Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC

Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

7

Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu

w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

8

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie

Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U

Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie

( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności

2

2

d dd

d d dC C

L L

u uiu L i = C u LC

t t t= = (21)

i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych

2

2

d d 1 1

d dC C

C

u uR + + u = U

t L t LC LC (22)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

9

Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi

Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu

2

2

d d 10

d dCs Cs

Cs

u uR + + u =

t L t LC (24)

Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne

2 10

R + s + = s

L LC (25)

Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą

2

12

1

2 2

R Rs = - =

L L LCα β plusmn minus minus plusmn

(26)

przy czym

21

2 2

R R = =

L L LCα β minus

(27)

Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego

1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)

Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0

1 20

(0) (0) (0) 0 A B 0

d(0) (0) (0) A B 0

d

Cw Cs C

Cw s

t=

u + u = u = U + + =

ui + i = i = C s + s =

t

rArr

rArr (29)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

10

PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1

1 1 1

1 2

A B

A B 0

s s = s U

s + s =

minus minus (30)

stąd

1 2

2 1 2 1

B As s

= U = U s s s s

minusminus minus

(31)

PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi

1 22 1

2 1

( ) e [( ) e ( ) e ]e e2

e e e ee e ( ch sh )

2 2

- t - t ts t s tC

t - t t - t- t - t

U Uu = U s s U + + +

s - s

+= U U + U U t + t

α β β

β β β βα α

α β α ββ

α αβ ββ β

minus minus = minus minus =

minusminus = minus

(32)

Prąd płynący w obwodzie wynosi

2 2

d ( )( )

d

e (ch sh ) e ( sh ch )

e ( ch ch sh )

1e sh e sh

C

- t - t

- t

- t - t

u ti t = C =

t

= UC t + t U C t + t =

-= UC t - t + t =

U= UC t = t

LC L

α α

α

α α

αα β β β β α ββ

α βα β α β ββ

β ββ β

minus

minus (33)

bowiem 2 2 1 =

LCα βminus Napięcie na cewce wynosi

d

e (ch sh )d

tL

iu = L = U t t

tα αβ β

βminus minus (34)

natomiast napięcie na oporniku 2

shtRu = Ue tα α β

βminus (35)

ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

11

PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI

Przy 2L

R gt C

wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej

ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu

Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 5: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

5

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RC Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RC przy niezerowym warunku początkowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili początkowej t = 0

Rys 3 Gałąź szeregowa RC pobudzana napięciem stałym U

W chwili początkowej t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U Odpowiedzią układu jest napięcie na kondensatorze uC będące funkcją czasu prąd ładowania kondensatora oznaczamy przez i bez wskaźnika Wielkości te są ze sobą związane zaleŜnością

d

dCu

i = Ct

(11)

Bilans napięć w oczku elementarnym wyraŜamy roacutewnaniem

d( )

dC

C C

uR i t u U RC u U

tsdot + = + = (12)

Napięcie wymuszone uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania niejednorodnego ma taki kształt jak wymuszenie i wynosi

= Cwu U (13) Napięcie swobodne uCs na kondensatorze stanowiące całkę ogoacutelną roacutewnania jednorodnego

d0

dCs

Cs

uRC u

t+ = (14)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

6

Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1

dCs

Cs

ut

u RC= minus (15)

a po scałkowaniu otrzymujemy 1

-1ln ln A lub Ae

tRC

Cs Csu t uRC

= minus + = (16)

Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego

( )1

-

0 00 0

0

Ae At

RCC Cw Cs C Ct t

t

u u u U U U U= =

=

= + = + = = minus

(17)

Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi

1 1- -

00( ) ( )e 1 1 e

t tCRC RC

C Cw Cs C

Uu t u u U U U U

U

= + = + minus = minus minus

(18)

a prąd ładowania kondensatora

1-

0d1 e

d

tC C RC

u UUi = C

t R U = minus

(19)

Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC

Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

7

Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu

w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

8

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie

Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U

Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie

( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności

2

2

d dd

d d dC C

L L

u uiu L i = C u LC

t t t= = (21)

i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych

2

2

d d 1 1

d dC C

C

u uR + + u = U

t L t LC LC (22)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

9

Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi

Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu

2

2

d d 10

d dCs Cs

Cs

u uR + + u =

t L t LC (24)

Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne

2 10

R + s + = s

L LC (25)

Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą

2

12

1

2 2

R Rs = - =

L L LCα β plusmn minus minus plusmn

(26)

przy czym

21

2 2

R R = =

L L LCα β minus

(27)

Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego

1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)

Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0

1 20

(0) (0) (0) 0 A B 0

d(0) (0) (0) A B 0

d

Cw Cs C

Cw s

t=

u + u = u = U + + =

ui + i = i = C s + s =

t

rArr

rArr (29)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

10

PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1

1 1 1

1 2

A B

A B 0

s s = s U

s + s =

minus minus (30)

stąd

1 2

2 1 2 1

B As s

= U = U s s s s

minusminus minus

(31)

PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi

1 22 1

2 1

( ) e [( ) e ( ) e ]e e2

e e e ee e ( ch sh )

2 2

- t - t ts t s tC

t - t t - t- t - t

U Uu = U s s U + + +

s - s

+= U U + U U t + t

α β β

β β β βα α

α β α ββ

α αβ ββ β

minus minus = minus minus =

minusminus = minus

(32)

Prąd płynący w obwodzie wynosi

2 2

d ( )( )

d

e (ch sh ) e ( sh ch )

e ( ch ch sh )

1e sh e sh

C

- t - t

- t

- t - t

u ti t = C =

t

= UC t + t U C t + t =

-= UC t - t + t =

U= UC t = t

LC L

α α

α

α α

αα β β β β α ββ

α βα β α β ββ

β ββ β

minus

minus (33)

bowiem 2 2 1 =

LCα βminus Napięcie na cewce wynosi

d

e (ch sh )d

tL

iu = L = U t t

tα αβ β

βminus minus (34)

natomiast napięcie na oporniku 2

shtRu = Ue tα α β

βminus (35)

ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

11

PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI

Przy 2L

R gt C

wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej

ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu

Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 6: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

6

Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1

dCs

Cs

ut

u RC= minus (15)

a po scałkowaniu otrzymujemy 1

-1ln ln A lub Ae

tRC

Cs Csu t uRC

= minus + = (16)

Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego

( )1

-

0 00 0

0

Ae At

RCC Cw Cs C Ct t

t

u u u U U U U= =

=

= + = + = = minus

(17)

Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi

1 1- -

00( ) ( )e 1 1 e

t tCRC RC

C Cw Cs C

Uu t u u U U U U

U

= + = + minus = minus minus

(18)

a prąd ładowania kondensatora

1-

0d1 e

d

tC C RC

u UUi = C

t R U = minus

(19)

Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC

Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

7

Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu

w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

8

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie

Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U

Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie

( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności

2

2

d dd

d d dC C

L L

u uiu L i = C u LC

t t t= = (21)

i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych

2

2

d d 1 1

d dC C

C

u uR + + u = U

t L t LC LC (22)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

9

Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi

Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu

2

2

d d 10

d dCs Cs

Cs

u uR + + u =

t L t LC (24)

Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne

2 10

R + s + = s

L LC (25)

Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą

2

12

1

2 2

R Rs = - =

L L LCα β plusmn minus minus plusmn

(26)

przy czym

21

2 2

R R = =

L L LCα β minus

(27)

Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego

1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)

Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0

1 20

(0) (0) (0) 0 A B 0

d(0) (0) (0) A B 0

d

Cw Cs C

Cw s

t=

u + u = u = U + + =

ui + i = i = C s + s =

t

rArr

rArr (29)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

10

PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1

1 1 1

1 2

A B

A B 0

s s = s U

s + s =

minus minus (30)

stąd

1 2

2 1 2 1

B As s

= U = U s s s s

minusminus minus

(31)

PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi

1 22 1

2 1

( ) e [( ) e ( ) e ]e e2

e e e ee e ( ch sh )

2 2

- t - t ts t s tC

t - t t - t- t - t

U Uu = U s s U + + +

s - s

+= U U + U U t + t

α β β

β β β βα α

α β α ββ

α αβ ββ β

minus minus = minus minus =

minusminus = minus

(32)

Prąd płynący w obwodzie wynosi

2 2

d ( )( )

d

e (ch sh ) e ( sh ch )

e ( ch ch sh )

1e sh e sh

C

- t - t

- t

- t - t

u ti t = C =

t

= UC t + t U C t + t =

-= UC t - t + t =

U= UC t = t

LC L

α α

α

α α

αα β β β β α ββ

α βα β α β ββ

β ββ β

minus

minus (33)

bowiem 2 2 1 =

LCα βminus Napięcie na cewce wynosi

d

e (ch sh )d

tL

iu = L = U t t

tα αβ β

βminus minus (34)

natomiast napięcie na oporniku 2

shtRu = Ue tα α β

βminus (35)

ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

11

PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI

Przy 2L

R gt C

wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej

ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu

Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 7: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

7

Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu

w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

8

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie

Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U

Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie

( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności

2

2

d dd

d d dC C

L L

u uiu L i = C u LC

t t t= = (21)

i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych

2

2

d d 1 1

d dC C

C

u uR + + u = U

t L t LC LC (22)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

9

Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi

Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu

2

2

d d 10

d dCs Cs

Cs

u uR + + u =

t L t LC (24)

Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne

2 10

R + s + = s

L LC (25)

Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą

2

12

1

2 2

R Rs = - =

L L LCα β plusmn minus minus plusmn

(26)

przy czym

21

2 2

R R = =

L L LCα β minus

(27)

Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego

1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)

Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0

1 20

(0) (0) (0) 0 A B 0

d(0) (0) (0) A B 0

d

Cw Cs C

Cw s

t=

u + u = u = U + + =

ui + i = i = C s + s =

t

rArr

rArr (29)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

10

PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1

1 1 1

1 2

A B

A B 0

s s = s U

s + s =

minus minus (30)

stąd

1 2

2 1 2 1

B As s

= U = U s s s s

minusminus minus

(31)

PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi

1 22 1

2 1

( ) e [( ) e ( ) e ]e e2

e e e ee e ( ch sh )

2 2

- t - t ts t s tC

t - t t - t- t - t

U Uu = U s s U + + +

s - s

+= U U + U U t + t

α β β

β β β βα α

α β α ββ

α αβ ββ β

minus minus = minus minus =

minusminus = minus

(32)

Prąd płynący w obwodzie wynosi

2 2

d ( )( )

d

e (ch sh ) e ( sh ch )

e ( ch ch sh )

1e sh e sh

C

- t - t

- t

- t - t

u ti t = C =

t

= UC t + t U C t + t =

-= UC t - t + t =

U= UC t = t

LC L

α α

α

α α

αα β β β β α ββ

α βα β α β ββ

β ββ β

minus

minus (33)

bowiem 2 2 1 =

LCα βminus Napięcie na cewce wynosi

d

e (ch sh )d

tL

iu = L = U t t

tα αβ β

βminus minus (34)

natomiast napięcie na oporniku 2

shtRu = Ue tα α β

βminus (35)

ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

11

PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI

Przy 2L

R gt C

wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej

ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu

Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 8: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

8

BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie

Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U

Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie

( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności

2

2

d dd

d d dC C

L L

u uiu L i = C u LC

t t t= = (21)

i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych

2

2

d d 1 1

d dC C

C

u uR + + u = U

t L t LC LC (22)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

9

Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi

Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu

2

2

d d 10

d dCs Cs

Cs

u uR + + u =

t L t LC (24)

Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne

2 10

R + s + = s

L LC (25)

Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą

2

12

1

2 2

R Rs = - =

L L LCα β plusmn minus minus plusmn

(26)

przy czym

21

2 2

R R = =

L L LCα β minus

(27)

Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego

1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)

Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0

1 20

(0) (0) (0) 0 A B 0

d(0) (0) (0) A B 0

d

Cw Cs C

Cw s

t=

u + u = u = U + + =

ui + i = i = C s + s =

t

rArr

rArr (29)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

10

PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1

1 1 1

1 2

A B

A B 0

s s = s U

s + s =

minus minus (30)

stąd

1 2

2 1 2 1

B As s

= U = U s s s s

minusminus minus

(31)

PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi

1 22 1

2 1

( ) e [( ) e ( ) e ]e e2

e e e ee e ( ch sh )

2 2

- t - t ts t s tC

t - t t - t- t - t

U Uu = U s s U + + +

s - s

+= U U + U U t + t

α β β

β β β βα α

α β α ββ

α αβ ββ β

minus minus = minus minus =

minusminus = minus

(32)

Prąd płynący w obwodzie wynosi

2 2

d ( )( )

d

e (ch sh ) e ( sh ch )

e ( ch ch sh )

1e sh e sh

C

- t - t

- t

- t - t

u ti t = C =

t

= UC t + t U C t + t =

-= UC t - t + t =

U= UC t = t

LC L

α α

α

α α

αα β β β β α ββ

α βα β α β ββ

β ββ β

minus

minus (33)

bowiem 2 2 1 =

LCα βminus Napięcie na cewce wynosi

d

e (ch sh )d

tL

iu = L = U t t

tα αβ β

βminus minus (34)

natomiast napięcie na oporniku 2

shtRu = Ue tα α β

βminus (35)

ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

11

PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI

Przy 2L

R gt C

wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej

ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu

Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 9: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

9

Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi

Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu

2

2

d d 10

d dCs Cs

Cs

u uR + + u =

t L t LC (24)

Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne

2 10

R + s + = s

L LC (25)

Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą

2

12

1

2 2

R Rs = - =

L L LCα β plusmn minus minus plusmn

(26)

przy czym

21

2 2

R R = =

L L LCα β minus

(27)

Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego

1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)

Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0

1 20

(0) (0) (0) 0 A B 0

d(0) (0) (0) A B 0

d

Cw Cs C

Cw s

t=

u + u = u = U + + =

ui + i = i = C s + s =

t

rArr

rArr (29)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

10

PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1

1 1 1

1 2

A B

A B 0

s s = s U

s + s =

minus minus (30)

stąd

1 2

2 1 2 1

B As s

= U = U s s s s

minusminus minus

(31)

PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi

1 22 1

2 1

( ) e [( ) e ( ) e ]e e2

e e e ee e ( ch sh )

2 2

- t - t ts t s tC

t - t t - t- t - t

U Uu = U s s U + + +

s - s

+= U U + U U t + t

α β β

β β β βα α

α β α ββ

α αβ ββ β

minus minus = minus minus =

minusminus = minus

(32)

Prąd płynący w obwodzie wynosi

2 2

d ( )( )

d

e (ch sh ) e ( sh ch )

e ( ch ch sh )

1e sh e sh

C

- t - t

- t

- t - t

u ti t = C =

t

= UC t + t U C t + t =

-= UC t - t + t =

U= UC t = t

LC L

α α

α

α α

αα β β β β α ββ

α βα β α β ββ

β ββ β

minus

minus (33)

bowiem 2 2 1 =

LCα βminus Napięcie na cewce wynosi

d

e (ch sh )d

tL

iu = L = U t t

tα αβ β

βminus minus (34)

natomiast napięcie na oporniku 2

shtRu = Ue tα α β

βminus (35)

ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

11

PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI

Przy 2L

R gt C

wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej

ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu

Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 10: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

10

PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1

1 1 1

1 2

A B

A B 0

s s = s U

s + s =

minus minus (30)

stąd

1 2

2 1 2 1

B As s

= U = U s s s s

minusminus minus

(31)

PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi

1 22 1

2 1

( ) e [( ) e ( ) e ]e e2

e e e ee e ( ch sh )

2 2

- t - t ts t s tC

t - t t - t- t - t

U Uu = U s s U + + +

s - s

+= U U + U U t + t

α β β

β β β βα α

α β α ββ

α αβ ββ β

minus minus = minus minus =

minusminus = minus

(32)

Prąd płynący w obwodzie wynosi

2 2

d ( )( )

d

e (ch sh ) e ( sh ch )

e ( ch ch sh )

1e sh e sh

C

- t - t

- t

- t - t

u ti t = C =

t

= UC t + t U C t + t =

-= UC t - t + t =

U= UC t = t

LC L

α α

α

α α

αα β β β β α ββ

α βα β α β ββ

β ββ β

minus

minus (33)

bowiem 2 2 1 =

LCα βminus Napięcie na cewce wynosi

d

e (ch sh )d

tL

iu = L = U t t

tα αβ β

βminus minus (34)

natomiast napięcie na oporniku 2

shtRu = Ue tα α β

βminus (35)

ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

11

PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI

Przy 2L

R gt C

wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej

ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu

Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 11: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

11

PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI

Przy 2L

R gt C

wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są

rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej

ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu

Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 12: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

12

PRZYPADEK GRANICZNY

przy 2L

R C

= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania

charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)

0 0 0

sh ch( ) e sh e e elim lim lim

1- t - t - t - tU U t U t t U

i t = t t L L L L

α α α α

β β β

β βββ βrarr rarr rarr

sdot= = = (36)

d

e (1 )d

2 e

(1 ) e

tL

tR

tC R L

iu = L = U t

t

u = R i = U t

u = U u u = U U + t

α

α

α

α

α

α

minus

minus

minus

minus

minus minus minus

(37)

Przebiegi są podobne jak poprzednio

Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 13: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

13

ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE

Przy 2L

R lt C

wielkość β przedstawia liczbę urojoną

Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie

( ) e sh e j sin e sinj

- t t - tU U Ui t = t t t

L L Lα α αβ ω ω

β ω ωminus= sdot = (38)

Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach

d d(e sin ) e ( sin cos )

d d

sin cos tg

e ( cos sin sin cos ) e sin( )

- t - tL

- t - tL

i U Uu L t t t

t t

LC LC

U Uu t t t

LC LC

α α

α α

ω α ω ω ωω ω

ωϕ ω ϕ α ϕα

ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω

= = sdot = minus +

= = =

= minus + = minus minus

(39)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 14: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

14

Napięcie na rezystorze wynosi

e sin 2 sin gdzie2

- tR

U U Ru R t t

L Lα αω ω α

ω ω= = = (40)

a napięcie na kondensatorze

e sin( )tC R L

Uu U u u U t +

LCα ω ϕ

ωminus= minus minus = minus (41)

Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu

w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 15: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

15

WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI

SZEREGOWEJ R L

Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym

Bilans napięć w oczku

m

d ( )( ) sin( )

d

i tR i t + L = U t +

tω ψsdot (42)

Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną

i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego

mw sin( ) gdzie = arctg

22 2

|U | Li t +

R + R L

ωω ψ ϕ ϕω

= minus (43)

Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego

ss

d0

d

iRi + L

t= (44)

Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli

s A eR

- tLi = (45)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 16: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

16

Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem

mA sin( )22 2

|U |

+ R Lψ ϕ

ω= minus minus (46)

Całkowity prąd nieustalony wynosi

-m

22 2

| |( ) = sin( + ) sin( ) e

+

Rt

LU

i t tR L

ω ψ ϕ ψ ϕω

minus minus minus sdot

(47)

Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)

Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 17: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

17

ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC

Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia

fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)

Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω

Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz

Page 18: ą klasyczn ą /18 RÓWNANIE RÓ - kmg.zut.edu.plkmg.zut.edu.pl/ftp/Teoria_Obwodow/stany_nieustalone.pdf · Napi ęcie nieustalone na kondensatorze wynosi: 1 1 - - 0 ( ) ( )e 1 1

Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18

2008 KMGawrylczyk

18

Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=500Hz f0=1592Hz

Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia

fV1=4500Hz f0=1592Hz