Ă - Exemple de calcul - MDRAPmdrap.ro/userfiles/constructii_ancheta_publica_exemple_BIR_final_012012.pdf · ANEX Ă - Exemple de calcul Nota: Pentru exemplele de calcul 1...4s-au

ANEXĂ - Exemple de calcul

Nota:Pentru exemplele de calcul 1...4s-au utilizat eforturile secţionale şi secţiunile rezultate din analiza structurală şi dimensionarea structurii din BIR a unei clădiri cu regim de înălţime P+20, amplasată într-o zonă seismcă cu ag = 0,24g şi Tc = 1,6 s, la care a fost folosit sistemul structural „tub in tub” şi la care s-a considerat un factor de comportare de bazăq0 = 5. Perioada proprie fundamentală de vibraţie a structurii esteT1=2,3 s. În exemplele 1…4 este tratat calculul elementelor cadrelor interioare.

Pentru exemplele de calcul 5 şi 6 s-au utilizat eforturile secţionale şi secţiunile rezultate din analiza structurală şi dimensionarea structurii în cadre din BIR a unei clădiri cu regim de înălţime P+14, amplasată într-o zonă seismică cu ag = 0,12g şi Tc = 0,7 s.

Exemplul 1: Calculul unei grinzi de cadru în clasa de ductilitate înaltă

1.1 Date de intrare

• Date geometrice şi încărcări

h = 800mm - înălţimea secţiunii transversale a grinzii. b = 400mm - lăţimea inimii grinzii.

g=34,6KN/m - încărcarea permanentă uniform distribuită pe grindă

q=10,09KN/m - încărcarea variabilă uniform distribuită pe grindă

Fig. 1.1 Schematizare grindă cu reprezentarea zonelor critice

• Caracteristicile materialelor

Armatura longitudinală - Otel BST 500S, clasa C: fyk = 500N/mm

f=fyk

γs

=500N/mm2

1,15=434N/mm2

Armatura transversală - Oţel BST 500S ,clasa C

Beton clasa C60/75: ck=60 N/mm2; fctm=4,4 N/mm2; fctk=3,1 N/mm2

A - 2

fcd=fck

γs

=60N/mm2

1,5=40 N/mm2 ;fcd=

fctk

γs

=3,1N/mm2

1,5=2,07N/mm2

• Eforturi de proiectare

În figura de mai jos este prezentată diagrama de momente încovoietoare,asociată unui sens de acţiune a forţelor seismice, pentru un ochi de cadrusituat la etajul la care momentele în grinzisunt maxime. Diagrama de momente încovoietoare asociată sensului opus de acţiune a forţelor seismice este antisimetrică.

NEdi,inf=NEdk,sup=10207KN;

NEdi,sup=9564KN; NEdk,inf=10860KN

MEdb+=270KNm - momentul maxim pozitiv din grinda dintre nodurile i si j.

MEdb-=642KNm- momentul maxim negativ din grinda dintre nodurile i si j.

V=74KN - forţa tăietoare la limita dintre zona critică şi zona de câmp.

Fig.1.2 Diagrama de momente încovoietoare pentru un ochi de cadru

A - 3

1.2 Acoperirea cu beton a armaturilor

• Acoperirea cu beton a barelor longitudinale

Acoperirea cu beton a barelor de armătură se determină conform SR EN 1992-1-1.Pentru clasa de rezistenţă a betonului C 60/75 > C30/37 şi clasa de expunere XC1 se poate reduce clasa structurală cu o unitate (SR EN 1992-1-1, tabel 4.3N), deci clasa structurală este 3.

Pentru clasa structurală 3 şi clasa de expunere XC1 (SR EN 1992-1-1, tabel 4.4N):

cmin dur=10mm

cmin dur γ = cmin dur st = cmin dur add = 0 cmin b = φ = 28 mm

cmin= maxcmin b;cmin dur+cmin dur γ+cmin dur st+cmin dur add;10mm = max!28mm;15mm;10mm" =28mm

∆ctol=10mm pentru grinzi şi stâlpi cnom=cmin+∆ctol=38mm - valoarea nominală a grosimii stratului de acoperire.

d1=d2=cnom+φsl/2=52mm≅ 55mm - distanţa de la axul barei longitudinale până la partea superioară, respectiv inferioară a secţiunii.

d=h-d1=800mm-55mm=745mm - înălţimea utilă a secţiunii grinzii.

• Acoperirea cu beton a armăturii transversale

cef etr=cnom bl -φetr=38mm-8mm=30mm

cmin etr= maxcmin b;cmin dur+cmin dur γ+cmin dur st+cmin dur add;10mm = max!8mm;10mm;10mm" =10mm

cnom etr=cmin etr+∆ctol=10mm+10mm=20mm<cef etr = 30mm, deci acoperirea etrierilor este su/icientă.

1.3 Dimensionarea armăturii longitudinale

• Dimensionarea armăturii la moment pozitiv

Se consideră sectiunea T dublu armată beff=bw+4·hf+4·hf=2000mm, conform P100-1, paragraful 5.3.4.1.1. (2), pentru grinzi care reazemă pe stâlpi interiori.

λ=0,8-fck-50

400=0,8-

60-50

400=0,775

η=1-fck-50

200=1-

60-50

200=0,95

A - 4

Fig. 1.3. Secţiune T dublu armată solicitată la moment pozitiv

M234 = 270KNm 7 Momentul de proiectare egal cu momentul rezulat din calculul static.

Beton clasa C60/75→εcu2=2,9·10-3

Oţel S500→εsy1=2,175·10-3 deformaţia specifică la curgere a armăturii comprimate

Se presupune că λx<3·d1→As2nec=MEdb+

(h-d1-d2)·fyd=

270·106KNm

690mm·434N/mm2=901mm2→ se aleg 2φφφφ20+2φφφφ22As2=1388mm2

• Dimensionarea armăturii la moment negativ

Se consideră secţiunea dreptunghiulară dublu armată

ε89

ε:;

x

=9

εsy1εcu2

= x-d1x

> εcu2 · x-εsy1 · x=d1 · εcu2

x=d1·εcu2εcu2-εsy1

→λx=λ·d1·εcu2εcu2-εsy1

=0,775·d1·2,9

2,9-2,175 * 3d1

A - 5

Fig. 1.4. Secţiune dreptunghiulară dublu armată solicitată la moment negativ

MEdb-=642KNm-Momentul de proiectare egal cu momentul rezultat din calculul structural

Se presupune că λx<3·d2>As1nec=MEdb-

(h-d1-d2)·fyd=

642·106KNm

690mm·434N/mm2 =2143mm2→se aleg 2φφφφ28+2φφφφ25As1=2210mm2 bw·λ·x·η·fcd+AS2·fyd-AS1·fyd→λ·x=

(AS2-AS1)·fyd

bw·η·fcd=

@2210mm2-1388mm2A·434N/mm2

400mm·0,95·40N/mm2 =23mm<3*55→λx<3·d1

deci relaţile de calcul considerate la începutul calculului au fost corecte.

ρ=As2

d·bw∙100=

1388mm2

745mm·400mm∙100=0,47% - procent de armare la partea inferioară a grinzii.

ρ'=As1

d·bw=

2210mm2

745mm·400mm=0,74% - procent de armare la partea superioară a grinzii.

Procentul minim de armare este ρEFG =0,5·fctm

fyk·=0,5·

4,4434 = 0,44 % mai mic decât procentele efective. 1.4 Dimensionarea armăturii transversale

• Determinarea forţei tăietoare de proiectare

MRb+ = As2 ∙ (h-d1-d2)·fyd=1388mm2 ∙ 690mm·434N/mm2 = 416KNm

MRb- = As1 ∙ (h-d1-d2)·fyd=2210mm2 ∙ 690mm·434N/mm2 = 662KNm

VEd=Mid+Mjd

l0+

(g+ψ0·q)∙l02

ψ0=0,4 ;l0=8,1m Mid=MRbi·γRd·min(1,

∑ MRci∑ MRbi)=416KNm·1,2·1=499KNm

A - 6

Mjd=MRbj·γRd·min(1,∑ MRcj∑ MRbj

)=662KNm·1,2·1=795KNm VEdmax=

Mid+Mjd

l0+

(g+ψ0·q)∙l02

=499KNm+795KNm

8,1m+

(34,6KN/m+0,4·10,09KN/m)8,1·m

2=318KN

VEdmin=-Mjd+Mjd

l0+

(g+ψ0·q)∙l02

=-499KNm+795KNm

8,1m+

(34,6KN/m+0,4·10,09KN/m)8,1·m

2=-3KN

ξ=VEdmin

VEdmax=

-3KN

318KN=-0,094

VEdmax = 318 kN < (2+ζ)bwdfctd = (2-0,094)⋅400⋅745⋅2,07 = 1175 kN ξ=-0,094>-0,5şi VEdmax<(2+ζ)bwdfctd→calculul la forţa taietoare se face conform SR EN:1992-1-1

• Dimensionarea armăturii transversale în zonele critice

Pentru elementele cu armături transversale de forţă tăietoare, rezistenţa la forţă tăietoare VRd este cea mai mică dintre valorile de mai jos:

VRd,s=Asw

s·z·fywd·cotθ

VRd,max=αcw·bw·z·ν1·fcd

cotθ+tgθ

Pentru zonele critice de la capetele grinzilor( lcr=1,5·h ) se consideră înclinarea fisurilor faţă de orizontală θ=45° iar braţul de pârghie al forţelor interne z=0,9d.

αcw=1 pentru structuri fără precomprimare Din condiţii de ductilitate locală →s= min Mhw

4;150mm;6dblN =min168;150mm;120mm=120mm

Asw=VRd,s·s

z·fywd·cotθ=

318*103N·120mm

0,9·745mm*434N/mm2 =131mm2 n=4→Aφw=

131mm2

4=32,8mm2 > OPQR φφφφS/TUVWW XY Z [OWY[\

ν1=0,6(1-fck

250)=0,6(1-

60

250)=0,456

VRd,max=1·400mm·0,9·745mm·0,456·40N/mm2

2=2446KN

ρw,min=0,08·_fck

fyk∙100=0,08·

√60

500∙100=0,124%

A - 7

ρw,ef=n·Aφw

s·bw∙100=

4·50,3mm2

120mm·400mm∙100=0,42%

• Dimensionarea armăturii transversale în zona de câmp

Vbc=74KN - forţa tăietoare din încărcări gravitaţionale la limita dintre zona critică şi zona de câmp

VEdmax=Mid+Mjd

l0+efg=

499KNm+795KNm

8,1m+74KN=233KN

Se verifică forţa tăietoarea capabilă a grinzii fără armatură transversală:

VRd,c=[CRd,c·k·@100·ρl·fckA13+k1·σcp]·bw·d cu o valoare minimă VRd,c=(νmin+k1·σcp)·bw·d

CRd,c=0,18

γc

=0,181,5 =0,12

k=1+h200

d=1+h200

750=1,52<2

ρl=Asl

bw·d=

1388mm2

400mm·745mm=0,0047<0,02

NEd=0 pentru grinzi →σcp=0

VRd,c=[0,12·1,52*(100*0,0047*60MPa)1/3]·400mm*745mm=163KN

νmin=0,035·k3/2·fck1/2=0,513

VRd,c≥νmin·bw·d = 0,513·400mm·750mm=154KN < 233ij

Deci forţa tăietoare nu poate fi preluată de secţiunea de beton fără armătură


cotθ+tgθ> θ=0,5∙arcsin( 2VRd

α ∙ b ∙ 0,9 ∙ d ∙ ν1 ∙ f:) θ = 0,5 ∙ arcsin l 2∙233∙10mN

1 ∙ 400mm ∙ 0,9 ∙ 745mm ∙ 0,51 ∙ 13N/mm2n = 7,06° → cotθ = 2.5

ρw,min=0,124% Aφw

s=

bw·ρw,min

n=

400mm·0,00124∙1002

=0,248→50,3mm2

200mm

Asw=VRd,s·s

z·fywd·cotθ=

233*103N·200mm

0,9·745mm*434N/mm2 ∙ 2.5=64mm2 n=2→Aφw=

64mm2

2=32mm2 > se aleg φφφφS/UVVWW XY U [OWY[\

A - 8

1.5 Verificarea cerinţelor de ductilitate locală

Pentru a satisface condiţia de ductilitate în regiunile critice ale grinzilor de cadru trebuie ca:

µφ≥2·q0-1=2·5-1=9 pentru clădiri cu T1 ≥ 0,7TC

q0-valoarea de bază a factorului de comportare.

Verificarea poate fi considerată îndeplinită dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii (paragraful 11.2.1(2) din ghid):

→As2≥As1

2→1388mm2> 2210/2 = 1105mm2

→ρmin=0,5·fctm

fyk=0,5·

4,4N/mm2

500N/mm2 =0.0044<ρ'=0,0046şi ρ=0,0074

→dw=8mm>6mm

→s=120mm = min Mhw

4;24dbw;175mm;6dblN = min!200;192;175;120"

→distanţa de la faţa reazemului pîna la primul etrier<50mm →minim 2 bare 2φ14 continue pe toată lungimea grinzii la partea superioară

Fig. 1.5. Armarea grinzii(secţiune transversală lângă reazem)

A - 9

Exemplul 2: Calcul stâlp de cadru în clasa de ductilitate înaltă

2.1 Date de intrare

b: = 1000mm - lăţimea secţiunii transversale a stâlpului. h: = 1000mm - înălţimea secţiunii transversale a stâlpului. Otel BST 500S Beton clasa C60/75

• Eforturi rezultate din analiza structurală (vezi fig. 1.2)

NEdi,inf=NEdk,sup=10207KN;

NEdk,inf=10860KN

NEdi,sup==9564KN

MEdk,inf=272KNm

MEdk,sup=436KNm

MEdi,inf=247KNm

MEdi,sup=425KNm


Armatură longitudinală - Oţel BST 500S: fyk = 500 N/mm2

fyd=fyk

γs

=500N/mm2

1,15=434N/mm2

Armatură transversală - Otel BST 500S, clasa C

Beton clasa C60/75: fck=60 N/mm2; fctm=4,4 N/mm2; fctk=3,1 N/mm2

fcd=fck

γs

=60N/mm2

1,5=40 N/mm2; fctd=

fctk

γs

=3,1N/mm2

1,5=2,07 N/mm2

2.2 Acoperirea cu beton a armăturii


Pentru clasa de rezistenţă a betonului C 60/75 > C30/37 şi clasa de expunere XC1 se poate reduce clasa structurală cu o unitate (SR EN 1992-1-1:2004, tabel 4.3N), deci clasa structrală este 3.


cmin dur=10mm


A - 10



d1=d2=cnom+φsl/2=48mm≅ 50 mm - distanţa de la axul barei longitudinale până la partea superioara, respectiv inferioară a secţiunii.

• Acoperirea cu beton a armaturii transversale


cmin etr= maxcmin b;cmin dur+cmin dur γ+cmin dur st+cmin dur add;10mm = max!12mm;10mm;10mm" =12 mm

cnom etr=cmin etr+∆ctol=12mm+10mm=22 mm<cef etr =23mm→aleg d1=d2=50 mm

d=h-d1=1000mm-50mm=950 mm - înălţimea utilă a secţiunii.


εyd=fyd

ES=

434 N/mm2

2·105N/mm2 =2,175·10-3 − deformaţia armăturii la curgere.

Înălţimea relativă a zonei comprimate la balans este: ξb=εcu2

εcu2+εyd=

0,0029

0,0029+2,175∙10-3=0,57

Din condiţii de ductilitate locală rezultă un coefcient minim de armare ρ = 0,01 ρmin=

As

bc·d=0,01→As min=0,01·bc·d=0,01·1000mm·950mm=9500mm2→ se aleg 24φφφφ25 Aef = 11760mm2

Nota:Pentru a exemplifica metoda simplificată de calcul, nu se vaţine cont în calculul iniţial de armaturile intermediare şi se va utiliza blocul rectangular de compresiuni. Datorită numărului mare de armături intermediare, în calculele ulterioare se vor utiliza momentele capabile obţinute cu un program de calcul care tine cont de aportul armăturilor intermediare şi de confinarea betonului.

Pentru betonul de clasă C60/75 (fck>50MPa) parametrii blocului rectangular sunt λ=0,775 şi η=0,95. Forţa axială normalizată este :

νd=NEd

Ac⋅ηfcd =10860 kN

1m⋅0.95 m·0.95⋅40 N/mm2 =0,30 < 0,4

De asemenea, λx = νd = 0,3 <λxb = 0,775⋅0,57 = 0,44

A - 11

Fig. 2.1 Secţiunea stâlpului solicitată la moment încovoietor şi forţă axială

• Metoda simplificată

NEdi,inf=NEdk,sup =10207KN

Presupunem λx>3d1→ λx=N

bc·η·fcd=

10207·103N

1000mm·0,95·40N/mm2 =269mm>3·55mm=165mm

MRdi,inf=As2·fyd·(h-d1-d2)-N·(h-d1-d2)

2+bc·λ·x·η·fcd·(d-0,5·x)=

= 3430·434·900 -10207·103·900

2+1000·269·0,95·40(950 -

269

2) = 5088KNm

NEdi,sup==9564KN


bc·η·fcd=

9564·103N

1000mm·0,95·40N/mm2 =251mm>3·50mm=150mm

MRdi,sup=As2·fyd·(h-d1-d2)-N·(h-d1-d2)

2+bc·λ·x·η·fcd·(d-0,5·x) =

=3430·434·900-9564·103·900

2+1000·251·0,95·40(950 -

251

2)=4906KNm

NEdk,inf=10860KN


bc·η·fcd=

10860·103N

1000mm·0,95·40N/mm2 =285mm>5·50mm=150mm

MRdk,inf=As2·fyd·(h-d1-d2)-N·(h-d1-d2)

2+bc·λ·x·η·fcd·(d-0,5·x) =

A - 12

=3430·434·904-10860·103·900

2+1000·285·0,95·40(950 -

285

2)=5203KNm

• Rezulatele obţinute cu un program de calcul secţional

Edi,inf=Edk,sup=10207K

Edi,sup=9564K

Mo

me

nt (k

Nm

)

(8.954 , 5568.175)

Curvature (rad/km)

Moment-Curvature

0.0

800.0

1600.0

2400.0

3200.0

4000.0

4800.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

Mo

men

t (k

Nm

)

(0.900 , 2366.488)Curvature (rad/km)

Moment-Curvature

0.0

800.0

1600.0

2400.0

3200.0

4000.0

4800.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

MRdi,inf = 5568KNm

µφ=φuφy

= 8.9540,900 9,95

A - 13

Edk,inf=10860K

Mo

me

nt (k

Nm

)

(9.850 , 5449.295)Curvature (rad/km)

Moment-Curvature

0.0

800.0

1600.0

2400.0

3200.0

4000.0

4800.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

Mo

me

nt (k

Nm

)

(0.900 , 2348.474)Curvature (rad/km)

Moment-Curvature

0.0

800.0

1600.0

2400.0

3200.0

4000.0

4800.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

Mo

men

t (k

Nm

)

(8.954 , 5699.623)

Curvature (rad/km)

Moment-Curvature

0.0

900.0

1800.0

2700.0

3600.0

4500.0

5400.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

MRdi,sup = 5449KNm

µφ=φuφy

= 9.8500,900 10,95

MRdk,inf 5670KNm

µφ=φuφy

8,9540,900 9,95

A - 14

• Verificarea la moment încovoietor pe nod

Pentru simplificarea calcului s-a considerat că grinzile din deschiderile adiacente grinzii calculate au aceeasi armare, şi prin urmare aceleaşi momente capabile.

r MRc≥1,3·r MRb

MRb+ 416KNm

MRb- 662KNm

∑ MRdci

∑ MRdbi

=5568KNm+5449KNm

416KNm+662KNm=

11017KNm

1078KNm=10,2>1,3

∑ MRdck

∑ MRdbk=

5568KNm+5670KNm

416KNm+662KNm=

11238KNm

1078KNm=10,42>1,3

2.3 Dimensionarea armăturii transversale


VEd=Mid+Mkd

lcl

Mid=MRci·γRd·min(1,∑ MRbi∑ MRci

)=5568KNm·1,2·1078KNmm

11017KNm=654KNm

Mkd=MRbk·γRd·min(1,∑ MRbk∑ MRck

)=5568KNm·1,2·1078KNm

11238KNm=641KNm

VEdmax=654KNm+641KNm

2,7m=480KN

Mo

me

nt (k

Nm

)

(0.900 , 2374.476)

Curvature (rad/km)

Moment-Curvature

0.0

900.0

1800.0

2700.0

3600.0

4500.0

5400.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

A - 15

• Dimensionarea armăturii transversale în zonă critică

lcl

h=

2,7m

1,0m=2,7<3→zona critică pe întreaga înalţime a stîlpului

Pentru elementele cu armături transversale de forţa tăietoare, rezistenţa la forţă tăietaore VRd este cea mai mică dintre valorile de mai jos:

VRd,s=Asw

s·z·fywd·cotθ


cot θ+tg θ

Asw=aria secţiunii armăturilor pentru forţă tăietoare z=braţul de pârgie al foţelor interioare (=0,9d) s=distanţa dintre etrieri

fywd=este rezistenţa de calcul a armăturilor pntru forţa tăietoare

ν1=coeficient de reducere a rezistenţei betonului fisurat la forţă tăietoare

αcw= coe/icient care ţine seama de starea de efort în /ibra comprimată αcw= 1 pentru structurile fără precomprimare

ν1=0,6(1-fck

250)=0,6(1-

60

250)=0,456

Pentru zonele critice se consideră înclinarea fisurilor faţă de orizontală θ=45° iar bratul de parghie al forţelor interioare z = 0,9d.


cot θ+tg θ= 1·1000·0,9⋅950·0.456·40

1+1= 15595 kN > VEd = 480 kN

Din condiţii de ductilitate locală →s= min Mb0

3;125mm;6dblN =min230;125mm;150mm=125mm

Asw=VRd,s·s

z·fywd·cotθ=

480*103N·125mm

0,9·950mm*434N/mm2 ∙ 1=162mm2

n=7,41→Aφw=162 mm2

7,41=21,9 mm2→aleg φ10/125mm

A - 16


Coeficientul de armare transversală în fiecare direcţie,ρh, în zonele critice,va fi cel puţin:

401

86.10

986.0

11

952

1000

434

4035.0

1135.0

22

2

0 ⋅

−=

−= d

ve

c

yd

cdh

kA

A

f

fνρ = 0.206%

în care

155.12

9015.015.0 0

⋅

⋅==

i

vesb

bk =0.986

Cu armarea de la punctul precedent:

1251000

5.7841.7

⋅

⋅=tρ =0.465% >ρh = 0.206% OK

40

434

1251000

5.7841.72

.

..2

⋅⋅

⋅⋅=⋅=

cd

wdwd

f

f

betonvol

etrvolω = 0.101

Coeficientul volumetric mecanic de armare transversală ωwdva fi cel puţin:

- 0,12 în zona critică a stâlpilor de la baza stâlpilor

- 0,08 în restul zonelor critice.

Armarea propusă este suficientă pentru zona critică de la baza stâlpului.

Fig. 2.2. Armarea stâlpului (secţiune transversală)

A - 17

Exemplul 3: Verificarea unui nod interior de cadru în clasa de ductilitate înaltă

În acest exemplu se va verifica nodul k reprezentat în figura 1.2. Dimensiunile in plan ale nodului sunt aceleaşi cu ale stâlpului din exemplul precedent (vezi fig. 2.2).

3.1. Determinarea forţei tăietoare orizontale care acţioneză în nod

Vjhd =γRd·(As1+As1)·fyd-VC

As1=aria armăturii de la marginea superioară a grinzii. As2=aria armăturii de la marginea inferioară a grinzii. VC=forţa tăietoare în stâlpul de deasupra nodului, rezultată din analiza situaţiei de proiectare seismice

γRd=factor care ţine seama de suprarezistenţa datorită rigidizării la deformaţii =1,2

Pentru determinarea forţei tăietoare din nod se va considera un singur sens de acţiune al forţei seismice deoarece armarea se va considera simetrică la stânga şi la dreapta nodului, forţa tăietoare din nod fiind egala în acest caz pentru ambele sensuri .

As1=2210mm2 (vezi exemplul 1)

As2=1388mm2 (vezi exemplul 1)

VC=480KN (vezi exemplul 2)

NEdk,sup=10207KN Vjhd =γRd·(As1+As1)·fyd-VC=1,2·@2210mm2+1388mm2A·434N/mm2-480KN=1394KN

3.2 Verificarea diagonalei comprimate

În diagonala comprimată indusă în nod prin mecanismul de diagonală comprimată trebuie să nu se depăşească rezistenţa la compresiune a betonului în prezenţa deformaţilor de întindere transversală. În lipsa unui model mai exact, se admite verificarea prin limitarea unui efort tangenţial mediu:

Vjhd ≤3,25·fctd·bj·hjc

η=0,6·(1-fck

250)=0,6· z1-

60

250 =0,456

hjc=890mm=distanţa dintre rândurile extreme ale armăturii stâlpului bj= min!bc;(bw+0,5·hc)" = min!1000mm;900mm" =900mm

Vjhd ≤3,25·fctd·bj·hjc >Vjhd ≤ 3,25∙2,07N/mm2∙900mm∙890mm >Vjhd = 1394 ≤ 5389 KN

A - 18

3.3 De terminarea armăturii orizontale în nod

νd=forţa axială normalizată în stâlpul de deasupra nodului νd=

NEdk,sup

bc·hc·fcd=

10207·103N

1000mm·1000mm·40N/mm2 = 0,255

Ash ·fydw≥0,8·(As1+As1)·fyd·(1-0,8·νd)→Ash ≥0,8·@2210mm2+1388mm2A·(1-0,8·0,255) = 2291mm2

Armarea transversală din zona critică a stâlpului este :

Ash = 7,41⋅78,5⋅800/125 = 3723 mm2> Ash, rqd = 2291 mm2

3.4 Determinarea armăturii verticale în nod

Asv,i ≥2

3·Ash ·

hjc

hjw

hjw=690mm=distanţa dintre rândurile de armătură extreme ale grinzii

Asv,i =aria totală a barelor intermediare plasate la faţa relevantă a stâlpului între barele de colţ ale acestuia (inclusiv barele care fac parte din armatura longitudinală a stâlpului)

Asv,i ,c = 6φ25 = 2940 mm = aria totală de armatură longitudinală din stâlp în nod.

Asv,i = 2940 mm≥ 2

3·Ash ·

hjc

hjw→Asv,i ≥

2

3·2291mm2·

890mm

690mm=1970mm2

Deci armătura longitudinală din stâlp este suficientă.

3.5 Verificarea ancorării barelor longitudinale din grindă în nod

Pentru a limita lunecarea barelor longitudinaler ale grinzii care intră în nod, raportul între diametrul barei şi dimensiunea stâlpului paralelă cu bara trebuie să respecte relaţia:

kf

f

h

d d

ydRd

ctm

c

bL

5,01

8,015,7

+

+⋅≤

ν

γ< 1/20

În care: k = 0,75 şi γRd = 1,2

Rezultă:

75,05,01

255,08,01

4342,1

4,45,71000

5,01

8,015,7

⋅+

⋅+⋅

⋅

⋅=

+

+⋅≤

kf

fhd d

ydRd

ctm

cbL

ν

γ = 55,5 mm > dbL, max = 28 mm

De asemenea, 28/1000 = 1/35,7 < 1/20

Deci verificarea este satisfăcută.

A - 19

Exemplul 4: Verificarea unui nod exterior de cadru în clasa de ductilitate H

Stâlpul marginal are dimensiunile secţiunii de 600x600 mm şi este armat longitudinal cu 16Φ18 din BSt

500 (fig. 4.1). Transversal sunt dispuşi la 125 mm etrieri Φ10 din BSt 500, astfel: un etrier perimetral, un etrier rombic care prinde barele de la mijocul laturilor şi 2 etrieri care prind barele intermediare.

Grinzile care intră în nod au aceleaşi dimensiuni şi armare ca grinda din exemplul 1, adică 400x800 mm,

armate la partea de sus cu 2Φ28 şi 2Φ25, respectiv 2Φ22 şi 2Φ20 la partea inferioară.

Forţa axială de cacul în stâlp, pentru sensul de acţiune al forţelor seismice care dă momente negative în grindă, este NEd = 3825 kN, iar forţa tăietoare asociată cu formarea articulaţiei plastice în grindă VC = 240 kN.

4.1. Determinarea forţei tăietoare orizontale care acţioneză în nod

Vjhd =γRd·As1·fyd-VC

As1=aria armăturii de la marginea superioară a grinzii; As1=2210mm2 (vezi exemplul 1). VC=forţa tăietoare în stâlpul de deasupra nodului; VC=240KN γRd=factor care ţine seama de suprarezistenţa datorită rigidizării la deformaţii =1,2

Vjhd =γRd·As1·fyd-VC=1,2·2210mm2·434N/mm2-240KN=911 KN

4.2 Verificarea diagonalei comprimate

În diagonala comprimată indusă în nod prin mecanismul de diagonală comprimată trebuie să nu se depăşească rezistenţa la compresiune a betonului în prezenţa deformaţilor de întindere transversală. În lipsa unui model mai exact, se admite verificarea prin limitarea unui efort tangenţial mediu:

Vjhd ≤2,25·fctd·bj·hjc

η=0,6·(1-fck

250)=0,6· z1-

60

250 =0,456

hjc=500mm=distanţa dintre rândurile extreme ale armăturii stâlpului bj= min!bc;(bw+0,5·hc)" = min!600mm;400+0,5⋅600" =600mm

Vjhd ≤2,25·fctd·bj·hjc >Vjhd ≤ 2,25∙2,07N/mm2∙600mm∙5000mm >Vjhd = 911 ≤ 1347 KN

4.3Determinarea armăturii orizontale în nod

νd=forţa axială normalizată în stâlpul de deasupra nodului νd=

NEdk,sup

bc·hc·fcd=

3825·103N

600mm·600mm·40N/mm2 = 0,26

A - 20

Ash ·fydw≥0,8·(As1+As1)·fyd·(1-0,8·νd)→Ash ≥0,8·2210mm2·(1-0,8·0,26) = 1400mm2

Armarea transversală din zona critică a stâlpului este :

Ash = 5,41⋅78,5⋅800/125 = 2718 mm2> Ash, rqd = 1400 mm2

4.4 Determinarea armăturii verticale în nod

Asv,i ≥2

3·Ash ·

hjc

hjw

hjw=690mm=distanţa dintre rândurile de armătură extreme ale grinzii

Asv,i =aria totală a barelor intermediare plasate la faţa relevantă a stâlpului între barele de colţ ale acestuia (inclusiv barele care fac parte din armatura longitudinală a stâlpului)

Asv,i ,c = 3φ18 = 762 mm = aria totală de armatură longitudinală din stâlp în nod.

Asv,i = 762 mm≥ 2

3·Ash ·

hjc

hjw→Asv,i ≥

2

3·1400mm2·

500mm

690mm=676mm2

Deci armătura longitudinală din stâlp este suficientă.

4.5 Verificarea ancorării barelor longitudinale din grindă în nod

Pentru a limita lunecarea barelor longitudinaler ale grinzii care intră în nod, raportul între diametrul barei şi dimensiunea stâlpului paralelă cu bara trebuie să respecte relaţia:

( )d

ydRd

ctm

c

bL

f

f

h

dν

γ8,01

5,7+⋅≤ < 1/20

În care:

k = 0,75

γRd = 1,2

Rezultă:

( ) ( )26,08,014342,1

4,45,76008,01

5,7⋅+⋅

⋅

⋅=+⋅≤ d

ydRd

ctm

cbLf

fhd ν

γ = 46 mm > dbL, max = 28 mm

De asemenea, 28/600 = 1/21,4< 1/20

Deci verificarea este satisfăcută.

A - 21

Fig. 4.1. Armarea stâlpului marginal (secţiune transversală)

A - 22

Exemplul 5: Calculul unei grinzi de cadru în clasa de ductilitate medie

5.1 Date de intrare

• Date geometrice şi încărcări

h = 500mm - înălţimea secţiunii transversale a grinzii. b = 300mm - lăţimea inimii grinzii.

L = 6.00 m - deschiderea interax


Armatura longitudinală - Oţel BST 500S, clasa C: fyk = 500N/mm

f=fyk

γs

=500N/mm2

1,15=434N/mm2

Armatura transversală - Oţel BST 500S ,clasa C

Beton clasa C60/75: ck=60 N/mm2; fctm=4,4 N/mm2; fctk=3,1 N/mm2

fcd=fck

γs

=60N/mm2

1,5=40 N/mm2 ; fcd=

fctk

γs

=3,1N/mm2

1,5=2,07N/mm2

• Eforturi de proiectare

MEdb+=97 KNm - momentul maxim pozitiv din grinda în gruparea fundamentală, în secţiunea de la mijlocul grinzii. În gruparea seismică de încărcări, momentul maxim pozitiv este de 67 kNm, la 2.30 m de capătul grinzii.

MEdb-= -150 KNm- momentul maxim negativ pe reazem în gruparea seismică (momentul maxim algebric este -2 kNm).

V=81 KN - forţa tăietoare la faţa reazemului din încărcările gravitaţionale din gruparea seismică.

În secţiunea situată la 2.30 m de capăt, V = -33,6 kN. 5.2 Acoperirea cu beton a armaturilor




cmin dur=10mm


A - 23

cmin= maxcmin b;cmin dur+cmin dur γ+cmin dur st+cmin dur add;10mm = max!28mm;15mm;10mm" =25 mm


d1=d2=cnom+φsl/2=47,5 mm≅ 50 mm - distanţa de la axul barei longitudinale până la partea superioară, respectiv inferioară a secţiunii.

d=h-d1=500mm-50 mm=450 mm - înălţimea utilă a secţiunii grinzii.

• Acoperirea cu beton a armăturii transversale

cef etr=cnom bl -φetr=35mm-10mm=25 mm

cmin etr= maxcmin b;cmin dur+cmin dur γ+cmin dur st+cmin dur add;10mm = max!10 mm;10mm;10mm" =10mm

cnom etr=cmin etr+∆ctol=10mm+10mm=20mm<cef etr = 25 mm, deci acoperirea etrierilor este su/icientă. 5.3 Dimensionarea armăturii longitudinale

• Dimensionarea armăturii la moment pozitiv

Cantitatea minimă de armătură la partea inferioară este dată de:

ρmin=0,5·fctm

fyk=0,5·

4,4N/mm2

500N/mm2 =0.0044 adică As,min = ρ⋅b⋅d = 0,0044⋅300⋅450 = 594 mm2

Se aleg 3ΦΦΦΦ16 = 603 mm2

Se verifică că această armatură este suficientă pentru preluarea momentului de calcul M234 = 97 kNm.

Secţiunea de calcul este o secţiune T; se apreciază braţul de pârghie al eforturilor interioare :

z ≅ 0,95d ≅ 425 mm.

MRd = As⋅fyd⋅z = 603⋅ 434⋅425 = 111 kNm > MEd = 97 kNm.

• Dimensionarea armăturii la moment negativ

Se consideră secţiunea dreptunghuiulară dublu armată, cu armătura comprimată de 3Φ16 rezultată la pasul precedent şi momentul de calcul: MEdb-=150 KNm

Se presupune ca λx<3·d2>As1nec=MEdb-

(h-d1-d2)·fyd=

150·106Nmm

400mm·434N/mm2 =864mm2→se aleg 3φφφφ20,As1= 942 mm2



MRb+ = As2 ∙ (h-d1-d2)·fyd=603 mm2 ∙ 400 mm·434N/mm2 = 105 KNm

A - 24

MRb- = As1 ∙ (h-d1-d2)·fyd=942mm2 ∙ 400mm·434N/mm2 = 163,5 KNm

Mid=MRbi·γRd·min(1,∑MRci

∑MRbi)=105 KNm·1,0·1=105 KNm

Mjd=MRbj·γRd·min(1,∑ MRcj∑ MRbj

)=163,5 KNm·1,0·1=163,5KNm

În secţiunea de abscisă x, forţa tăietoare de calcul este:

VEd=Mid+Mjd

l0+Vgs,x

în care Vgs,x este forţa tăietoare de calcul din încărcările gravitaţionale de calcul din gruparea seismică în secţiunea de abscisă x.

Pentru secţiunea de reazem:

VEd = (163,5 + 105)/(6-0,6 -2,30) + 81 = 65,5 + 81 = 146,5 kN Pentru secţiunea de moment maxim în camp:

VEd = (163,5 + 105)/(6-0,6-2,30) + 81 = 65,5 – 33,6 = 31,9 kN ξ=

VEdmin

VEdmax=

31,9 KN

146,5 KN=0,22

VEdmax = 146,5 kN < (2+ζ)⋅bw⋅d⋅fctd = (2 + 0,22)⋅300⋅450⋅2,07 = 620,4 kN ξ=0,22>-0,5şi VEdmax<(2+ζ)bwdfctd→calculul la forţa taietoare se face conform SR EN:1992-1-1

• Dimensionarea armăturii transversale în zonele critice

Pentru elementele cu armături transversale de forţă tăietoare, rezistenţa la forţă tăietoare VRd este cea mai mică dintre valorile de mai jos:


cotθ+tgθ

VRd,s=Asw

s·z·fywd·cotθ

Pentru zonele critice de la capetele grinzilor( lcr=1,5·h ) se consideră înclinarea fisurilor faţă de orizontală θ=45° iar braţul de pârghie al forţelor interne z=0,9d.

αcw=1 pentru structuri fără precomprimare

ν1=0,6(1-fck

250)=0,6(1-

60

250)=0,456

A - 25

VRd,max=1·300mm·0,9·450mm·0,456·40N/mm2

2=1108 kN>VEdmax = 146,5 kN

Din condiţii de ductilitate locală →s≤min Mhw

4;200mm;8dblN =min125;200mm;128 mm=125 mm

Aleg s = 120 mm.

La limită VRd,s = VEd, de unde: Asw=

VRd,s·s

z·fywd·cotθ=

146,5⋅103N·120mm

0,9·450mm⋅434N/mm2 =100 mm2 n=2→Aφw=

100 mm2

2=50 mm2→se aleg etrieri φφφφ8888////120 120 120 120 mm cu mm cu mm cu mm cu 2 2 2 2 ramuriramuriramuriramuri

ρw,min=0,08·_fck

fyk∙100=0,08·

√60

500∙100=0,124%

ρw,ef=n·Aφw

s·bw∙100=

2·50,3mm2

120mm·300mm∙100 =0,28% > ρw,min


Pentru a satisface condiţia de ductilitate în regiunile critice ale grinzilor principale trebuie ca:

µφ≥2·q0-1=2·3,5-1=6 pentru clădiri cu T1 ≥ 0,7TC

q0-valoarea de bază a factorului de comportare.

Verificarea poate fi considerată îndeplinită daca sunt îndeplinite următoarele condiţii (paragraful 11.2.2(2) din ghid):

→As2≥As1

2→603 mm2> 942/2 = 471mm2

→ρmin=0,5·fctm

fyk=0,5·

4,4N/mm2

500N/mm2 =0.0044<ρ'=0,0045şi ρ=0,0070

→dw=8mm>6mm

→s=120mm < min Mhw

4; 200 mm;8dblN = min!125; 200;144"

→distanţa de la faţa reazemului pîna la primul etrier<50mm

→minim 2 bare 2φ14 continue pe toată lungimea grinzii la partea superioară

A - 26

Fig. 5.5. Armarea grinzii (secţiune transversală lângă reazem)

A - 27

Exemplul 6: Calcul stâlp de cadru în clasa de ductilitate medie

6.1 Date de intrare

b: = 600mm - lăţimea secţiunii transversale a stâlpului. h: = 600mm - înălţimea secţiunii transversale a stâlpului. Otel BST 500S Beton clasa C60/75

• Eforturi rezultate din analiza structurală (situaţia de proiectare seismică)

NEdi,inf=NEdk,sup=4320 KN;

NEdk,inf=4670 KN

NEdi,sup=3976KN


Armatură longitudinală - Oţel BST 500S: fyk = 500N/mm

fyd=fyk

γs

=500N/mm2

1,15=434N/mm2

Armatură transversală - Oţel BST 500S, clasa C

Beton clasa C60/75: fck=60 N/mm2; fctm=4,4 N/mm2; fctk=3,1 N/mm2

fcd=fck

γs

=60N/mm2

1,5=40 N/mm2; fctd=

fctk

γs

=3,1N/mm2

1,5=2,07 N/mm2

6.2 Acoperirea cu beton a armăturii



Pentru clasa structurală 3 şi clasa de expunere XC1 (SR EN 1992-1-1:2004, tabel 4.4N):

cmin dur=10mm



∆ctol=10mm pentru grinzi şi stâlpi cnom=cmin+∆ctol=30 mm - valoarea nominală a grosimii stratului de acoperire.

d1=d2=cnom+φsl/2=40 mm - distanţa de la axul barei longitudinale până la partea superioară, respectiv inferioară a secţiunii.

A - 28

• Acoperirea cu beton a armaturii transversale


cmin etr= maxcmin b;cmin dur+cmin dur γ+cmin dur st+cmin dur add;10mm = max!10mm;10mm;10mm" =10 mm

cnom etr=cmin etr+∆ctol=10mm+10mm=20 mm=cef etr =20 mm

d=h-d1=600mm–40mm=560 mm - înălţimea utilă a secţiunii.


εyd=fyd

ES=

434 N/mm2

2·105N/mm2 =2,175·10-3 − deformaţia armăturii la curgere.

Înălţimea relativă a zonei comprimate la balans este: ξb=εcu2

εcu2+εyd=

0,0029

0,0029+2,175∙10-3 =0,57 Din condiţii de ductilitate locală rezultă un coe/icient minim de armare ρ = 0,008. Rezultă:

As min=0,008·bc·d=0,008·600mm·560mm=2688 mm2→ se aleg 12φφφφ18 Aef = 3048 mm2

Nota: Pentru a exemplifica metoda simplificată de calcul, nu se va ţine cont în calculul iniţial de armaturile intermediare şi se va utiliza blocul rectanghular de compresiuni.

Pentru betonul de clasă C60/75(fck>50MPa) parametrii blocului rectangular sunt λ=0,775 si η=0,95. Forţa axială normalizată maximă este :

νd=NEd

Ac⋅ηfcd =4670 kN

0,6m⋅0.56 m·0.95⋅40 N/mm2 =0,365 < 0,4

De asemenea, λx = νd = 0,365<λxb = 0,775⋅0,57 = 0,44

Fig. 5.1 Secţiunea stâlpului solicitată la moment încovoietor şi forţă axială

A - 29

• Metoda simplificată

NEdi,inf=NEdk,sup =4320 KN

Se presupune λx>3d1→ λξ=N

bc·η·fcd=

4320·103N

600mm·560 mm ⋅0,95·40N/mm2 = 0,338 ; λx = 0,338⋅560 mm= 189 mm >3·40 mm=120 mm


2+N·d(1-0,5·λξ)=

= 1016·0,434·0,52 -4320·0,52

2+4320·0,56⋅(1 -

0,338

2) = 1117 KNm

NEdi,sup=3976 KN


bc·η·fcd=

3976·103N



2+N·d(1-0,5·λξ)=

= 1016·0,434·0,52 -3976·0,52

2+3976·0,56⋅(1 -

0,311

2) = 1076 KNm

NEdk,inf= 4670KN


bc·η·fcd=

4670·103N



2+N·d(1-0,5·λξ)=

= 1016·0,434·0,52 -4670·0,52

2+4670·0,56⋅(1 -

0,365

2) = 1152 KNm

• Verificarea la moment încovoietor pe nod

Pentru simplificarea calcului s-a considerat că grinzile din deschiderile adiacente grinzii calculate au aceeaşi armare şi prin urmare aceleaşi momente capabile.

r MRc≥1,0·r MRb

MRb+ = 105 KNm

MRb- = 163,5 KNm

A - 30

∑ MRdci∑ MRdbi

=1076 KNm+1117 KNm

105KNm+163,5 KNm=

2193KNm

268,5 KNm=8,2>1,0

∑ MRdck∑ MRdbk

=1152 KNm+1117KNm

105KNm+163,5 KNm=

2269 KNm

268,5KNm=8,4>1,0



VEd=Mid+Mkd

lcl

Mid=MRci·γRd·min(1,∑ MRbi∑ MRci

)=1117 KNm·1,0·268,5 KNmm

2193 KNm=136,2KNm

Mkd=MRck·γRd·min(1,∑ MRbk∑ MRck

)=1117 KNm·1,0·268,5KNm

2269 KNm=139,5KNm

VEdmax=136,2 KNm+139,5KNm

2,5 m=110,3KN

• Dimensionarea armăturii transversale în zonă critică

lcl

h=

2,5m0,6 m =4,2>3→zona criticălcr≤ max hc; lcl /6; 450 mm =600 mm

Pentru elementele cu armături transversale de forţa tăietoare, rezistenţa la forţă tăietaore VRd este cea mai mica dintre valorile de mai jos:

VRd,s=Asw

s·z·fywd·cotθ


cot θ+tg θ

Asw= aria secţiunii armăturilor pentru forţă tăietoare z = braţul de pârgie al foţelor interioare (=0,9d)

s = distanţa dintre etrieri

fywd= este rezistenţa de calcul a armăturilor pntru forţa tăietoare

ν1= coeficient de reducere a rezistenţei betonului fisurat la forţă tăietoare

αcw= coe/icient care ţine seama de starea de efort în /ibra comprimată αcw= 1 pentru structurile fără precomprimare

A - 31

ν1=0,6(1-fck

250)=0,6(1-

60

250)=0,456

Pentru zonele critice se consideră înclinarea fisurilor faţă de orizontalăθ=45° iar bratulde pârghie al forţelor interioare z=0,9d.

VRd,max=αcw·bc·z·ν1·fcd

cot θ+tg θ= 1·600·0,9⋅560·0.456·40

1+1=2758 kN > VEd = 110 kN

Din condiţii de ductilitate locală →s ≤min Mb0

2;150mm;8dblN =min290;150mm;144 mm=144 mm

Aleg s = 125 mm.

Asw=VRd,s·s

z·fywd·cotθ=

110*103N·140 mm

0,9·560mm*434N/mm2 ∙ 1 =71mm2

n=4→Aφw=71 mm2

4=17,6 mm2→aleg φ6/140 mm


Coeficientul de armare transversală în fiecare direcţie,ρh, în zonele critice,va fi cel puţin:

365,01560

600

434

4020.0120.0

2

2

0

−=

−= d

c

yd

cdh

A

A

f

fνρ = 0.10 %

Cu armarea de la punctul precedent:

140600

6,284

⋅

⋅=tρ =0.136%>ρh = 0.10% OK

40

434

140600

6.2842

.

..⋅

⋅

⋅⋅=⋅=

cd

wdwd

f

f

betonvol

etrvolω = 0.03

Coeficientul volumetric mecanic de armare transversală ωwdva fi cel puţin:

- 0,08în zona critică a stâlpilor de la baza stâlpilor

- 0,06 în restul zonelor critice.

Se majorează armarea la ΦΦΦΦ10/120 mm.

61,040

434

120600

3,5042

.

..=⋅

⋅

⋅⋅=⋅=

cd

wdwd

f

f

betonvol

etrvolω

Deci armarea propusă este suficientă pentru zonele critice, exceptând cea de la baza stâlpului.

A - 32

Fig. 6.2. Armarea stâlpului (secţiune transversală)

A - 33

7. Calculul unei rigle de cuplare pentru clasa de ductilitate înaltă

7.1. Caracteristicile geometrice

Caracteristicile geometrice ale riglei de cuplare se pot vedea în fig. 7.1.

Materialele folosite:

Beton clasa C60/75: fck = 60 MPa

= = 9, = 40

= ,, = m,99, = 2,07 MPa Oţel BST500S, clasa C: fyk = 500 MPa

= = 9,9 = 434 MPa

Fig. 7.1 Caracteristic geometrice ale riglei de cuplare

Eforturile secţionale rezultate din analiza structurală în combinaţia seismică de încărcări au următoarele valori:

MEd’ = 2660 kNm;

VEd’ = 2660 kN.

7.2 Calculul armăturii de rezistenţă

Pentru armare cu bare ortogonale trebuie îndeplinită cel puţin una din condiţiile de mai jos:

VEd≤ fctd · bw · d şi/sau l / h ≥ 3

VEd = 2660 kN ≥ fctd · bw · d = 2,07·500·1350 = 1397 kN

3 ≥ l / h = 1,43

A - 34

unde,

VEd – forţa tăietoare de proiectare (iniţial se alege egală cu VEd’)

bw = 500 mm – lăţimea inimii riglei de cuplare

d =1350 mm – înălţimea utilă a riglei de cuplare

l = 2000 mm – lungimea riglei de cuplare

h = 1400 mm – înălţimea riglei de cuplare

Cum niciuna din inegalităţile de mai sus nu se verifică, rezistenţa la acţiuni seismice se asigură printr-o armătură dispusă dupa ambele diagonale ale grinzii (fig. 7.2), şi dimensionată în conformitate cu următoarea expresie:

VEd ≤ 2 ·Asi · fyd · sin α

în care,

Asi – aria totală a armăturilor pe fiecare direcţie diagonală

α – unghiul dintre barele diagonale şi axa grinzii

Fig. 7.2 Armare diagonal – reprezentare de principiu

Armarea diagonală se aşează în elemente de tip stâlp cu lungimea laturilor cel puţin egală cu 0,5bw. Respectând condiţia, se alege o latură de 300 mm. Unghiul α rezultat este de aproximativ 26,50.

Aria de armătură necesară intr-o diagonală este de:

F,G = e2 ∙ ∙ sin = 2660000 j2 ∙ 434 EE ∙ sin 26,5 = 6868

Se aleg 12 bare Ø28 cu o arie efectiva de 7385 mm2

7.3Condiţii constructive

A - 35

Pentru a preveni flambajul barelor din carcasa diagonală, în lungul acestora se prevăd etrieri care trebuie să respecte condiţiile:

= ≥ 0,4 ∙ =,E ∙ h = 0,4 ∙ 28 ∙ h435435 = 11,2

= ¡¢ M£3 ; 125; 6 ∙ =N = ¡¢ M3003 ; 125; 6 ∙ 28N = 100

unde,

dbw – diametrul etrierului

s – distanţa între etrieri

dbL – diametrul armăturilor din lungul diagonalei

b0 – dimensiunea minimă a nucleului de beton

Se aleg etrieri Ø12 la un pas de 100 mm.

Pe ambele feţe ale grinzii se prevede o armătură longitudinală şi transversală care să îndeplinească condiţiile din EN 1992-1-1:2004 pentru grinzi înalte:

-atât barele orizontale cât şi cele verticale sa nu fie la o distanţă mai mare de 300 mm una de cealaltă

-coeficientul minim de armare atât pentru barele orizontale cât şi pentru cele verticale este de 0,001, dar nu mai puţin de 150 mm2 / m.

¤,G = ¥¤,EFG ∙ £ ∙ ℎ = 0,001 ∙ 500 ∙ 1400 = 700

Se aleg 14 bare Ø8 dispuse ca în fig.7.3. Ash,eff = 704 mm2 (502mm2/m)

§,G = ¥§,EFG ∙ £ ∙ ¨ = 0,001 ∙ 500 ∙ 200 = 1000

Se aleg câte 2 bare Ø8 la un pas de 200 mm dispuse ca în fig.7.3. Asv,eff = 1108 mm2 (554mm2/m)

Fig. 7.3 Armarea ortogonală constructivă

A - 36

Armătura longitudinală se recomandă să nu fie ancorată în pereţii cuplaţi şi să intre în ei pe o lungime de 150mm.

Fig. 7.4 Armarea riglei de cuplare

A - 37

8. Calculul unui perete lamelar pentru clasa de ductilitate înaltă

Secţiunea peretelui are o formă dreptunghiulară lungă de 4 m şi lată de 0,35 m aşa cum se poate vedea în fig. 8.1.



= = 9, = 40

= ,, = m,99, = 2,07 Oţel BST500S, clasa C: fyk = 500 MPa

= = 9,9 = 434

Fig. 8.1 Secţiunea transversală a peretelui

8.1 În zona critică

• Calculul armăturii longitudinale

Eforturile secţionale de proiectare au fost calculate în conformitate cu P100-1:2011, rezultând următoarele valori:

NEd = 3670 kN;

MEd = 11479 kNm.

Valoarea forţei axiale normalizate (νd) nu trebuie să depăşească 0,30, altminteri se prevăd bulbi.

© = jª ∙ = 3670000 j350 ∙ 4000 ∙ 40j/ = 0,066 ≤ 0,30

Pentru a fi satisfăcut nivelul minim de rezistenţă la starea limită ultimă, momentul încovoietor de proiectare în orice secţiune a peretelui trebuie sa fie cel mult egal cu momentul încovoietor capabil calculat în acea secţiune. Astfel, la baza zonei critice trebuie satisfăcută inegalitatea:

MEd,o ≤ MRd,o

în care:

MEd,o = momentul încovoietor de proiectare în secţiunea de la baza zonei critice;

MRd,o = momentul încovoietor capabil în secţiunea de la baza zonei critice.

A - 38

Deoarece nu se poate folosi metoda simplifacată la calculul unei secţiuni de perete solicitată la compresiune excentrică, pentru determinarea momentului încovoietor capabil s-a folosit un program de calcul secţional.

Fig. 8.2 Armarea verticală în zona critică

S-a plecat de la o armare constructivă minimă (ωv = 0,15 în zonele de capăt şi ρl = 0,002 în inima peretelui), dar momentul încovoietor capabil al secţiunii armate în acest mod a fost inferior celui de proiectare. Pentru a obţine un moment încovoietor capabil adecvat s-a mărit treptat cantitatea de armătură din bulb şi/sau inimă. La o armare în bulbi cu 10 bare Ø16 şi în inima cu 2 bare Ø12 la un pas de 200mm (fig. 8.2) s-a obţinut un moment încovoietor capabil de 12300 kNm.

MEd,o = 11479 kNm ≤ MRd,o = 12300 kNm

Coeficientul mecanic de armare pentru zonele de capăt este : 10⋅201/(350⋅400)⋅434/40 = 0,156 > 0,15

Coeficentul de armare pentru armătura verticală din câmp este 2⋅113/(350⋅200) =0,32% > 0,25%

Verificarea necesităţii bulbilor sau armăturii speciale de confinare

Din calcul : xu = 0,52 m sau ξu = 0,13 <ξmax = 0,1 (Ω + 0,2) = 0,1(12300/11479+0,2) = 0,31

Deci nu sunt necesari bulbi sau armătură specială de confinare.

• Calculul la forţă tăietoare

Forţa tăietoare de proiectare a fost calculată în conformitate cu P100-1:2011, rezultând următoarea valoare:

VEd = 2620 kN

Verificarea bielei comprimate:

Forţa tăietoare maximă ce poate fi preluată de element, înainte de zdrobirea bielelor comprimate este:

e«,E = 2,5 ∙ ∙ £¬ ∙ ¨ = 2,5 ∙ 2,07 ∙ 350 ∙ 4000 = 7245 j

VEd = 2620 kN ≤ VRd,max = 7245 kN OK

Verificarea armăturii transversale:

Barele orizontale de pe inimă trebuie să satisfacă următoarea expresie:

VEd ≤ ΣAsh·fyd,h

în care ΣAsh se treferă la toate barele interceptate de o fisură la 45°; în cazul de faţă pe o înălţime egală cu lw = 4,0 m.

A - 39

Rezultă:

ΣAsh/m = 2620/0,434/4 = 1509 mm2/m

Aleg 2Φ14/200 mm, adică : ΣAsh/m = 2⋅5⋅154 =1540 mm2

Coeficientul de armare este:

ρh = ΣAsh/bwo/1,0 m = 0,44% >ρh,min = 0,25%

Fig. 8.3 Armarea orizontală în zona critică

Verificarea rosturilor de turnare

În lungul planurilor potenţiale de lunecare constituite de rosturile de lucru din zona A a pereţilor, trebuie respectată relaţia:

VEd≤ VRd,s

în care:

VRd,s = µf (ΣAsv fyd,v + 0,7 NEd) + ΣAsi fyd,i (cosα + µf sinα)

S-a notat:

ΣAsv este suma secţiunilor armăturilor verticale active de conectare; ΣAsi este suma secţiunilor armaturilor înclinate sub unghiul α, faţă de planulpotenţial de forfecare,

solicitate la întindere de forţele laterale; fyd,v este valoarea de calcul a limitei de curgere a armăturii verticale; fyd,i este valoarea de calcul a limitei de curgere a armăturii înclinate; NEd este valoarea de calcul a forţei axiale în secţiunea orizontală considerată, în combinaţia seismica; µf este coeficientul de frecare beton pe beton sub acţiuni ciclice: µf = 0,6 (pentru clasa H)

VEd= 2620 kN ≤ µf (ΣAsv fyd,v + 0,7 NEd) + ΣAsi fyd,i (cosα + µf sinα) =

= 0,6⋅(((4000-2⋅400)/200⋅2⋅113) + 10⋅201)⋅0,434 + 0,7⋅3670) =5010 kN OK

Armarea transversală a zonelor de capăt

Armarea transversală a zonelor de capăt trebuie să fie:

- Cel puţin egală cu armarea orizontală de pe inimă: 2⋅154 mm2/200 mm = 1,54 mm2/mm; - Cu diametrul ≥ dbl/4 = 16/4 =4 mm, dar nu mai puţin de 6 mm, deci dbw ≥ 6 mm;

- Distanţa pe verticală: ≤ 8 dbL = 8⋅16 = 128 mm şi ≤ 125 mm, deci s ≤ 125 mm - Să existe un colţ de etrier sau agrafă la fiecare bară longitudinală;

Aleg Φ10/100, cu configuraţia din figura de mai jos:

A - 40

Fig. 8.4 Armarea zonelor de capăt în zona A

8.2 În afara zonei critice



NEd = 3250 kN;

MEd = 7885 kNm.

La pereţii principali, la seism, valoarea forţei axiale normalizate (νd) nu trebuie să depăşească 0,35.

© = jª ∙ = 3250000 j350 ∙ 4000 ∙ 40j/ = 0,058 ≤ 0,4

Pentru a fi satisfăcut nivelul minim de rezistenţă la starea limită ultimă, momentul încovoietor de proiectare în orice secţiune a peretelui trebuie sa fie cel mult egal cu momentul încovoietor capabil calculat în acea secţiune:

MEd ≤ MRd

în care:

MEd = momentul încovoietor de proiectare în secţiunea de calcul;

MRd = momentul încovoietor capabil în secţiunea de calcul.


Fig. 8.5 Armarea verticală a peretelui în zona B

S-a plecat de la o armare constructivă minimă (ωv = 0,12 în zonele de capăt şi ρl = 0,002 în inima peretelui), iar momentul încovoietor capabil al secţiunii armate în acest mod a fost superior celui de proiectare. S-a ales o armare în bulbi cu 10 bare Ø14 şi în inima cu 2 bare Ø10 la un pas de 200mm (fig. 8.5) şi s-a obţinut un moment încovoietor capabil de 10910 kNm.

A - 41

MEd,o = 10968 kNm ≤ MRd,o = 11630 kNm

Coeficientul mecanic de armare pentru zonele de capăt este : 10⋅201/(350⋅400)⋅434/40 = 0,15> 0,12

Coeficientul de armare pentru armătura verticală din câmp este 2⋅78,5/(350⋅200) =0,22% > 0,20%


Din calcul : xu = 0,49 m sau ξu = 0,122<ξmax = 0,1 (Ω + 0,2) = 0,1(1,07+0,2) = 0,31




VEd = 2174 kN

Determinarea armăturii transversale:


VEd ≤ VRd,c + ΣAsh·fyd,h

în care ΣAsh se treferă la toate barele interceptate de o fisură la 45°; în cazul de faţă pe o înălţime egală cu lw = 4,0 m, iar V este contribuţia betonului, egală cu:

VRd,c = 0,5 σcp bwo lw

în care σcp este efortul unitar mediu de compresiune în inima peretelui

Rezultă:

σcp = NEd/bwo lw = 3250/(0,35⋅4,0) = 2321 kPa

VRd,c = 0,5 σcp bwo lw= 0,5 ⋅2321⋅0,35⋅4,0 = 1625 kN

ΣAsh/m = (2174 – 1625)/0,434/4 = 317 mm2/m

Armarea minimă est ρ =0,2%; aleg 2Φ10/200 mm, adică : ΣAsh/m = 2⋅5⋅78,5 =785 mm2



Fig. 8.6 Armarea orizontală în zona B

A - 42


În zona B verificarea rosturilor de turnare nu este necesara.



- Cel puţin egală cu armarea orizontală de pe inimă: 2⋅78,5 mm2/200 mm = 0,785 mm2/mm; - Cu diametrul ≥ dbl/4 = 16/4 =4 mm, dar nu mai puţin de 6 mm, deci dbw ≥ 6 mm;


Aleg Φ8/100 = 1,0 mm2/mm, cu configuraţia din figura de mai jos:

Fig. 8.7 Armarea zonelor de capăt în zona B

A - 43

9. Calculul unui perete lamelar pentru clasa de ductilitate medie

Secţiunea peretelui are o formă dreptunghiulară cu lungimea de 6 m şi lăţimea de 0,30 m aşa cum se poate vedea în fig. 9.1.



= = 9, = 40

= ,, = m,99, = 2,07 Oţel BST500S, clasa C: fyk = 500 MPa

= = 9,9 = 434

Fig. 9.1 Secţiunea transversală a peretelui

9.1 În zona critică



NEd,0 = 11786 kN;

MEd,0 = 35589 kNm.

Valoarea forţei axiale normalizate (νd) nu trebuie să depăşească 0,40, altminteri se prevăd bulbi.

© = jª ∙ = 11786000 j350 ∙ 6000 ∙ 40j/ = 0,14 ≤ 0,40

Pentru a fi satisfăcut nivelul minim de rezistenţă la starea limită ultimă, momentul încovoietor de proiectare în orice secţiune a peretelui trebuie sa fie cel mult egal cu momentul încovoietor capabil calculat în acea secţiune. Astfel, la baza zonei critice trebuie satisfăcută inegalitatea:

MEd,o ≤ MRd,o

în care:

MEd,o = momentul încovoietor de proiectare în secţiunea de la baza zonei critice;

MRd,o = momentul încovoietor capabil în secţiunea de la baza zonei critice.

A - 44


Fig. 9.2 Armarea verticală în zona critică

S-a plecat de la o armare constructivă minimă (ωv = 0,15 în zonele de capăt şi ρl = 0,002 în inima peretelui), dar momentul încovoietor capabil al secţiunii armate în acest mod a fost inferior celui de proiectare. Pentru a obţine un moment încovoietor capabil adecvat s-a mărit treptat cantitatea de armătură din bulb şi/sau inimă. La o armare în bulbi cu 10 bare Ø20 şi în inima cu 2 bare Ø10 la un pas de 200mm (fig. 9.2) s-a obţinut un moment încovoietor capabil de 39110 kNm.

MEd,o = 35589 kNm ≤ MRd,o = 39110 kNm




Din calcul : xu = 1,48 m sau ξu = 0,247<ξmax = 0,135 (Ω + 0,2) = 0,1(1.1+0,2) = 0,418




VEd = 3070 kN

Verificarea bielei comprimate:

Forţa tăietoare maximă ce poate fi preluată de element, înainte de zdrobirea bielelor comprimate este:

e«,E = 3,5 ∙ ∙ £¬ ∙ ¨ = 3,5 ∙ 2,07 ∙ 300 ∙ 6000 = 13041 j

VEd = 3070 kN ≤ VRd,max = 13041 kN OK

Verificarea armăturii transversale:


VEd ≤ ΣAsh·fyd,h

în care ΣAsh se treferă la toate barele interceptate de o fisură la 45°; în cazul de faţă pe o înălţime egală cu lw = 6,0 m.

A - 45

Rezultă:

ΣAsh/m = 3070/0,434/6 = 1179 mm2/m

Aleg 2Φ14/200 mm, adică : ΣAsh/m = 2⋅5⋅154 =1540 mm2



Fig. 9.3 Armarea orizontală în zona critică


În lungul planurilor potenţiale de lunecare constituite de rosturile de lucru din zona A a pereţilor, trebuie respectată relaţia:

VEd≤ VRd,s

în care:

VRd,s = µf (ΣAsv fyd,v + 0,7 NEd) + ΣAsi fyd,i (cosα + µf sinα)

S-a notat:

ΣAsv este suma secţiunilor armăturilor verticale active de conectare; ΣAsi este suma secţiunilor armaturilor înclinate sub unghiul α, faţă de planulpotenţial de forfecare,

solicitate la întindere de forţele laterale; fyd,v este valoarea de calcul a limitei de curgere a armăturii verticale; fyd,i este valoarea de calcul a limitei de curgere a armăturii înclinate; NEd este valoarea de calcul a forţei axiale în secţiunea orizontală considerată, în combinaţia seismica; µf este coeficientul de frecare beton pe beton sub acţiuni ciclice: µf = 0,7 (pentru clasa M)

VEd= 3070 kN ≤ µf (ΣAsv fyd,v + 0,7 NEd) + ΣAsi fyd,i (cosα + µf sinα) =

= 0,6⋅(((6000-2⋅600)/200⋅2⋅78.5) + 10⋅314)⋅0,434 + 0,7⋅11786) =6749 kN OK



- Cel puţin egală cu armarea orizontală de pe inimă: 2⋅154 mm2/200 mm = 1,54 mm2/mm; - Cu diametrul ≥ dbl/4 = 20/4 =5 mm, dar nu mai puţin de 6 mm, deci dbw ≥ 6 mm;


Aleg Φ10/100, cu configuraţia din figura de mai jos:

A - 46

Fig. 9.4 Armarea zonelor de capăt în zona A

9.2În afara zonei critice



NEd = 10229 kN;

MEd = 25505⋅1,15⋅1,1 = 28469 kNm.

La pereţii principali, la seism, valoarea forţei axiale normalizate (νd) nu trebuie să depăşească 0,4.

© = jª ∙ = 10229000 j300 ∙ 6000 ∙ 40j/ = 0,14 ≤ 0,4

Pentru a fi satisfăcut nivelul minim de rezistenţă la starea limită ultimă, momentul încovoietor de proiectare în orice secţiune a peretelui trebuie sa fie cel mult egal cu momentul încovoietor capabil calculat în acea secţiune:

MEd ≤ MRd

în care:

MEd = momentul încovoietor de proiectare în secţiunea de calcul;

MRd = momentul încovoietor capabil în secţiunea de calcul.


Fig. 9.5 Armarea verticală a peretelui în zona B

S-a plecat de la o armare constructivă minimă (ωv = 0,12 în zonele de capăt şi ρl = 0,0025 în inima peretelui), iar momentul încovoietor capabil al secţiunii armate în acest mod a fost superior celui de

A - 47

proiectare. S-a ales o armare în bulbi cu 10 bare Ø16 şi în inima cu 2 bare Ø10 la un pas de 200mm (fig. 9.5) şi s-a obţinut un moment încovoietor capabil de 33630 kNm.

MEd = 28469 kNm ≤ MRd = 33630 kNm




Din calcul : xu = 1,33 m sau ξu = 0,222 <ξmax = 0,1 (Ω + 0,2) = 0,135(1,1+0,2) = 0,418




VEd = 2597 kN

Determinarea armăturii transversale:


VEd ≤ VRd,c + ΣAsh·fyd,h

în care ΣAsh se treferă la toate barele interceptate de o fisură la 45°; în cazul de faţă pe o înălţime egală cu lw = 4,0 m, iar V este contribuţia betonului, egală cu:

VRd,c = 0,5 σcp bwo lw

în care σcp este efortul unitar mediu de compresiune în inima peretelui

Rezultă:

σcp = NEd/bwo lw = 10229/(0,30⋅6,0) = 5683 kPa

VRd,c = 0,5 σcp bwo lw= 0,5 ⋅5683⋅0,35⋅6,0 = 5115 kN

ΣAsh/m = (2597 – 5115)/0,434/4 <0 deci armare constructivă

Armarea minimă est ρ =0,2%; aleg 2Φ10/250 mm. Coeficientul de armare este:

ρ = 2⋅78,5/(300⋅250) = 0,21% >ρh,min = 0,20%

Fig. 9.6 Armarea orizontală în zona B

A - 48


În zona B verificarea rosturilor de turnare nu este necesara.



- Cel puţin egală cu armarea orizontală de pe inimă: 2⋅78,5 mm2/250 mm = 0,628 mm2/mm; - Cu diametrul ≥ dbl/4 = 16/4 =4 mm, dar nu mai puţin de 6 mm, deci dbw ≥ 6 mm;


Aleg Φ8/125 = 0,805 mm2/mm, cu configuraţia din figura de mai jos:

Fig. 9.7 Armarea zonelor de capăt în zona B

Documents

Ă - Exemple de calcul - MDRAPmdrap.ro/userfiles/constructii_ancheta_publica_exemple_BIR_final_012012.pdf · ANEX Ă - Exemple de calcul Nota: Pentru exemplele de calcul 1...4s-au