› dosyalar › files › 046010 › Statik Ders... STATİKBehcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ

Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ

Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN

www.makina.selcuk.edu.tr

STATİK

Behcet DAĞHAN

İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları

2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri

3. DENGE - Düzlemde Denge - Üç Boyutta Denge

4. YAPILAR - Düzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar

5. SÜRTÜNME

6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN


STATİK

STATİK

YAPILAR

Behcet DAĞHAN

4Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Düzlem Kafes Sistemler

4.1STATİK




Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Statik Yapılar 4.1. Düzlem Kafes Sistemler 1

Ağır yükleri taşımakta kullanılan yapılarınkendi ağırlıklarının mümkün olduğu kadar hafif olması istenir.

Bu amaçla krenler, köprüler, çatılar vb. yapılarkafes sistem tekniği ile tasarlanır.

Kafes sistemler, "yalnızca iki kuvvet taşıyan elemanlar"ın birbirine bağlanmasıile ortaya çıkan yapılardır. Bu elemanların, serbestçe dönen ve moment iletmediğifarzedilen pimlerle birbirine bağlandığı düşünülür.

Eğer elemanların tamamı aynı düzlemde yer alıyorsa o zamandüzlem kafes sistemlerden bahsedilir.

Elemanlar, elde edilen yapının rijit olabilmesi için,üçgenler oluşturacak şekilde birleştirilirler.

Rijit, çökmez.Yük taşıyabilir.

Rijit değil, çöker.Yük taşıyamaz.

İki üçgene bölünürse yük taşıyabilecek hale gelir.

Elemanların bağlantı noktalarından geçen doğru, taşıdığı kuvvetlerin ortak tesir çizgisidir ve bu kuvvetler çekme veya basma yönünde olabilirler.Bir eleman herhangi bir yerinden hayali olarak kesilirse o kesitte elemanın ucundaki kuvveti dengeleyecek şekilde bir kuvvet olduğu görülür.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN



Düğüm Yöntemi

Kafes sistemlerin taşıdığı yükler, eğer yayılı yük ise elemanları bağlayan pimlere uygulanan tekil yüklere indirgenirler.Tekil yükler elemanların uç noktalarının dışında arada bir yere uygulanmaz.Kafes sistemlerin kendi ağırlıkları taşıdıkları yüke nazaran, çoğunlukla, ihmal edilir.İhmal edilmediği zaman bir elemanın ağırlığı ikiye bölünerek uç noktalarındaki pimlere uygulanır.

Kafes sistemlerin tasarımı yapılırken elemanların taşıdığı kuvvetler bulunmalıdır. Bu kuvvetleri bulmak amacı ile takip edilen iki temel yaklaşım vardır:

- Düğüm yöntemi,- Kesim yöntemi.

Kafes sistemin parçalarının birbirine birleştirildiği yerlere düğüm denir. Bu düğümlerde elemanların birbirine bir pim vasıtası ile bağlandığı farzedilir.Düğüm yönteminde bu pimlerin dengesi incelenerek bilinmeyenler bulunur.

x

y

A

A

AB

AG

ΣFx = 0

ΣFy = 0

Denge kategorisi bir noktada kesişen kuvvetler kategorisi olduğundan Bir düğümün dengesinden en fazla 2 bilinmeyen bulunabilir.

AB

AB

A

AG AG

A

F

A D

B C

EG

A pimi



Behcet DAĞHAN



Özel düğümler

y

ΣFy = 0

ΣFx = 0

xF2F1

→ F3 = 0

→ F1 = F2

y

ΣFy = 0

ΣFx = 0

xF2F1

→ F3 = 0

→ F1 = F2

F3 = 0 F3 = 0y

ΣFy = 0

ΣFx = 0

xPF1

→ F2 = 0

→ F1 = P

F2 = 0

F

A D

B C

EG

F

A D

A D

Kafes sistemin tamamının dengesinden de ilave denklemler elde edilebilir.Mesnet tepkileri bulunabilir.

Bir üçgeni oluşturan çubuklardaki kuvvetlerinkendi aralarında dengede olduğu söylenemez.

CD

ED

CE = 0

!

F

A D

B C

EG



Behcet DAĞHAN



y

ΣFy = 0

ΣFx' = 0

F4

F2F1

→ F3 = F4

→ F1 = F2

F3

∟

∟

x' y

ΣFy = 0

ΣFy' = 0

F2 = 0

F1 = 0

→ F1 = 0

→ F2 = 0

y'

∟

∟

L

İki sabit mesnet arasındaki çubuk kuvvet taşımaz.

EF

= 0

ΣFy = 0 → F1 = F2

F2F1

F1 = F2 = F3

F3

60o

60o

F2 F1

F3

60o 60o

60o

P

F1

F1 = F2 = P

60o

60o

F2 F1

60o 60o

60o

P

F2

F2

F3

F1

y

∟

EF = 0



Behcet DAĞHAN



Kafes sistemler tasarlanırken bazen yukarıdaki gibi iki tane kablo çapraz olarak takılabilir.

Bu durumda kablolardan sadece birisi yük taşır.

Eğer hangisinin yük taşıdığı kestirilemiyorsa o zaman herhangi birisi yük taşıyan eleman olarak alınır. Diğerinin yük taşımadığı kabul edilir.

Yapılan hesaplamanın sonucunda yük taşıdığı düşünülen kabloda çekme kuvveti bulunursa demekki yapılan kabul doğrudur.

Basma kuvveti bulunursa, bir kablo basma kuvveti taşıyamayacağı için yapılan kabulün tersi doğrudur.

A A B BAB AB AB AB Bir düğümde çekme olan çubuk kuvveti diğer düğümde de çekmedir.AB kuvveti A düğümünde çekme ise B düğümünde de çekmedir.

Bir düğümde basma olan çubuk kuvveti diğer düğümde de basmadır.AB kuvveti A düğümünde basma ise B düğümünde de basmadır.

A A B BAB AB AB AB

∟

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 4/1

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun taşıdığı kuvvetibulunuz. Bütün üçgenler eşkenardır.

L1 = 4 kN

AB = ?

AE = ?

CD = ?

DE = ?

y

Ay

∟

C

Ax

x

Tekerlekli mesnette ortayaçıkan tepki kuvveti daima dayanma yüzeyine diktir.

2

2

Çubukların boyunu 2 birim alalım.

2

2 2

22

30o

ΣFy' = 0

ΣFy = 0

ΣMA = 0

− 4 (1) − 8 (2) − 2 (3) + C sin30o (4) = 0

C = 13 kN

y

∟

C = 13 kN

x30o

C düğümü:

CBC

CD

60o

y'

30o

→

→

C sin30o − CD sin60o = 0

C − BC cos30o = 0

→

→

CD = 7.51 kN

BC = 15.01 kN

CCD

BC

30o60o

→

CD = BC cos60o

C = BC cos30o

L2 = 8 kN

L3 = 2 kN

BE = ?

BC = ?

BD = ?

Çözüm

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 4/1

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun taşıdığı kuvvetibulunuz. Bütün üçgenler eşkenardır.

L1 = 4 kN

AB = ?

AE = ?

BE = ?

BC = ?

BD = ?

CD = ?

DE = ?

ΣFx = 0

ΣFy = 0

y

x

D düğümü:

DDE

CD = 7.51 kN

60o

CD sin60o − BD sin60o − 2 = 0

BD = 5.2 kN

L2 = 8 kN

L3 = 2 kN60o

BD

2 kN

CD cos60o + BD cos60o − DE = 0

DE = 6.35 kNΣFy = 0

ΣFx = 0

y

x

E düğümü:

E

BE

ED + BE cos60o − AE cos60o = 0

AE = 8.66 kN

60o

AE

4 kN

BE sin60o + AE sin60o − 4 = 0

BE = − 4.04 kN

DE = 6.35 kN60o

Bir çubuğun bir düğümünde çekme olan çubuk kuvveti,diğer düğümünde de çekmedir. CD kuvveti C düğümünde

çekme olarak bulunduğu içinD düğümünde de çekmedir.

Yön belirtir.Seçilen yönde değil, ters yöndedir.

ΣFx = 0

y

x

B düğümü:

B

BE = 4.04 kN

AB + BE cos60o − BD cos60o − BC = 0

60o

BD = 5.2 kN

8 kN

BC = 15.01 kN

60o

AB

AB = 15.59 kN

Çözüm (devamı)

↑

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 4/2

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin BD ve BE çubuklarının taşıdığı kuvvetleri bulunuz.Bütün iç açılar ya 60o veya 120o dir.

BE = ?

BD = ?

Çözüm

LG düğümü:

G

EG120o

FG

L

BE = L

120o

––––––– = –––––––sin120o sin120o

EG L

EG = L

E düğümü:

E

EG = L

60o

BE

BE = EG = L

DE

60o BE

60o

60o

60o

EG

DE

BD = L

B düğümü:

B

BD60o

BE = L BD = BE = L

AB

60o

BE

60o

60o

60o

BD

AB

L

60o

60o

60o

EG

FG

Bu kafes sistemin tamamı üçgenlerdenmeydana gelmemiştir.

Fakat rijit bir yapı ortaya çıkmıştır,yük taşıyabilmektedir.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 4/3

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki gibi mesnetlenmiş olan kafes sistemin her bir çubuğunun kütlesi 40 kg olduğuna göre her birçubuğa gelen ortalama kuvveti hesaplayınız.

Çözüm

m = 40 kg

L = 8 m

AB = ?

AE = ?

BE = ?

BC = ?

BD = ?

CD = ?

DE = ?

Kafes sistem yükleme açısından veaynı zamanda geometrik olarak simetrik olduğu için:

AE = CD AB = BC BE = BD

A C

A = C = WT / 2 = 1373 N

g = 9.81 m/s2

W = mg

WT

A düğümü:

A

AE

60o

A = 1373 N

AB

W

Çubukların ağırlıklarını, ihmal etmediğimiz zaman,uç noktalarındaki pimlere etki eden iki kuvvete böleriz.

Bir çubuğun ağırlığına W diyelim.

x

yAE ve AB çubuklarınınağırlıklarının yarısını

A düğümüne etkiettiririz.

W = 392 N

ΣFy = 0

ΣFx = 0

AB − AE cos60o = 0

AB = 566 N

A − W − AE sin60o = 0

AE = 1133 N

E düğümü:

E

AE = 1133 N30o

DE

1.5W

x

yΣFy = 0

ΣFx = 0 AE sin30o + BE sin30o − DE = 0

DE = 794 N

AE cos30o − 1.5 W − BE cos30o = 0

BE = 454 N

BE

→

30o

→

WT = 40 (7) (9.81) = 2747 N

→

Kafes sistemin tamamının ağırlığı

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 4/4

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistem, dış taraftaki çubuklardan ve içerideki iki çaprazkablodan oluşmuştur. AC ve BD kabloları basma taşıyamayan elemanlardır. L yükü (a) B düğümüne,(b) C düğümüne uygulandığı zaman elemanlarda ortaya çıkan kuvvetleri bulunuz.

Çözüm

AB = ?

AC = ?

BC = ?

BD = ?

CD = ?

AD = ?

Lİki tane kablo çapraz olarak takıldığı zaman kablolardan sadece birisi yük taşır. Eğerhangisinin yük taşıdığı kestirilemiyorsa o zaman herhangi birisi yük taşıyan elemanolarak alınır. Diğerinin yük taşımadığı kabul edilir. AC nin çekme taşıdığını veBD nin yük taşımadığını kabul edelim.

y

x

B düğümü:

BAB

BC

(a) L yükü B den uygulanıyor:

L

ΣFy = 0

ΣFx = 0 → AB = 0

→ BC = L

y

x

C düğümü:

CCD

BC = L

BD = 0

AC

CD

AC

CD = 4L / 3

AC = 5L / 3

BC = L

y

x

D düğümü:

D

D CD

ΣFy = 0 → AD = 0

AD

AC kuvveti pozitif çıktı.Demekki yapılan seçim doğrudur.AC kablosu yük taşır. BD kablosu taşımaz.

BD = 0

35

4

→

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 4/4

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistem, dış taraftaki çubuklardan ve içerideki iki çaprazkablodan oluşmuştur. AC ve BD kabloları basma taşıyamayan elemanlardır. L yükü (a) B düğümüne,(b) C düğümüne uygulandığı zaman elemanlarda ortaya çıkan kuvvetleri bulunuz.

Çözüm (devamı)

AB = ?

AC = ?

BC = ?

BD = ?

CD = ?

AD = ?

L

y

x

B düğümü:

BAB

BC

(b) L yükü C den uygulanıyor:

ΣFy = 0

ΣFx = 0 → AB = 0

→ BC = 0

y

x

C düğümü:

CCD

L

BD = 0

AC

CD

ACL

y

x

D düğümü:

D

D CD

ΣFy = 0 → AD = 0

AD

AC kuvveti pozitif çıktı.Demekki yapılan seçim doğrudur.AC kablosu yük taşır. BD kablosu taşımaz.

İki tane kablo çapraz olarak takıldığı zaman kablolardan sadece birisi yük taşır. Eğerhangisinin yük taşıdığı kestirilemiyorsa o zaman herhangi birisi yük taşıyan elemanolarak alınır. Diğerinin yük taşımadığı kabul edilir. AC nin çekme taşıdığını veBD nin yük taşımadığını kabul edelim. BD = 0

→

35

4

CD = 4L / 3

AC = 5L / 3

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN



Kesim Yöntemi

F

A D

A D

Elemanların taşıdığı kuvvetleri bulmak amacı ile aşağıdaki gibi kesim yapılarak sadece kafes sistemin bir kısmının dengesi incelenebilir.

ΣFx = 0

ΣFy = 0

Mesnet tepkileri kafes sistemin tamamının dengesinden de bulunabilir.

F

AB C

D

EG

F

A

G GE

BE

BC

A

BΣMA = 0y

x

Dengesi incelenen kısmın denge kategorisi genel kategori ise üç tane bağımsız denklem vardır.

Dolayısı ile, mecbur kalmadıkça, bir kesimde 3 ten fazla eleman kesmemeye dikkat edilir.Eğer bilinmeyen sayısı 3 ten fazla ise birden fazla kesim yapılabilir.

Kafes sistemlerin çözümündesadece düğüm yöntemini veya sadece kesim yöntemini kullanmak yerine

iki yöntem birlikte de kullanılabilir.

Belirsiz durum ortaya çıkmaması için Kesim çizgisi düğümlerden geçmemelidir.

Yandaki denklemler yerine alternatifdenge denklemleri de kullanılabilir.Bilinmeyenlerden iki tanesinin tesirçizgisinin kesiştiği bir noktaya göremoment alınarak bir denklemden birbilinmeyen direk olarak bulunabilir.

!

Kesim yöntemi ile en fazla 3 bilinmeyen bulunabilir.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 4/5

Verilenler:

İstenenler:

Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin BC, BE ve BF elemanlarındakikuvvetleri bulunuz. Üçgenler eşkenardır.

Çözüm

BC = ?

BE = ?

BF = ?

L

BE

BC

EF

60o

ΣME = 0

1

1

sin60o

60o 60o

BC (sin60o) − L (1) = 0

BC = L /sin60o

ΣMD = 0

BC (sin60o) − BE sin60o (1) = 0

BC = BE = L /sin60o

BF

AB

y

x EF

60o

60o 60o

60o 60o

ΣFy = 0

BF sin60o − L = 0

BF = L /sin60o

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 4/6

Verilenler:

İstenenler:

Çözüm

GM = ?

L

GM

MN

GH

K = 4L

Kafes sistemintamamının dengesinden bulunur.

12 m

9 m

6 m

αΣMS = 0

GM sinα (12) + L (12) + L (9) + (L/2) (6) − K (6) = 0

GM = 0

S

13

3

5

Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin GM elemanındaki kuvveti bulunuz.

K

8 x 3 m

GM çubuğundaki kuvveti, düğüm yöntemi ile bulmamız istenseydi altı tane pimin dengesini incelememiz gerekecekti.Burada bir tek denge denklemi ile sonuca gidilmiştir.

↑

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN



Örnek Problem 4/7

Verilenler:

İstenenler:

Çözüm

IJ = ?

Şekildeki gibi mesnetlenmiş ve yüklenmiş olan kafes sistemin IJ elemanındaki kuvveti bulunuz.

Boyutlar metre cinsindendir.

A = 150 kN

Kafes sistemintamamının dengesinden bulunur.

7

ΣMD = 0

IJ (7) + 75 (10) + 25 (16) − A (20) = 0

IJ = 264.29 kN

IJ

IJ çubuğundaki kuvveti, düğüm yöntemi ile bulmamız istenseydi beş tane pimin dengesini incelememiz gerekecekti.Burada bir tek denge denklemi ile sonuca gidilmiştir.

↑

Documents

› dosyalar › files › 046010 › Statik Ders... STATİKBehcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ