A class of mixed finite element methods based on the ... A class of mixed nite element methods based

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Text of A class of mixed finite element methods based on the ... A class of mixed nite element methods based

  • A class of mixed nite element methods

    based on the Helmholtz decomposition

    in computational mechanics

    D i s s e rtat i o n

    zur Erlangung des akademischen Gradesdoctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)

    im Fach Mathematik

    eingereicht an der

    Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakulttder Humboldt-Universitt zu Berlin

    vonDipl.-Math. Mira Schedensack

    Prsident der Humboldt-Universitt zu BerlinProf. Dr. Jan-Hendrik Olbertz

    Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen FakulttProf. Dr. Elmar Kulke

    Gutachter:1. Prof. Dr. Carsten Carstensen, Humboldt-Universitt zu Berlin2. Prof. Dr. Daniele Bo, Universit degli Studi di Pavia3. Prof. Dr. Daya Reddy, University of Cape Town

    Tag der Verteidigung: 25. Juni 2015

  • Zusammenfassung

    Die Konstruktion nichtkonformer Finite-Elemente-Methoden (FEMn) fr die nu-merische Behandlung partieller Dierentialgleichungen aus der Mechanik geht bisin die 1960er Jahre zurck und ist motiviert durch robuste Diskretisierungen frfast-inkompressible Materialien in der Festkrpermechanik, durch punktweise di-vergenzfreie Ansatzfunktionen in der Strmungslehre und durch einfachere Ansatz-rume fr Probleme hherer Ordnungen wie das biharmonische Problem fr dieKirchho-Platte in der Strukturmechanik. Eine natrliche Verallgemeinerung aufhhere Polynomgrade, die die wesentlichen Eigenschaften der Diskretisierungen er-hlt, ist bisher nicht gelungen.Diese Dissertation verallgemeinert die nichtkonformen FEMn nach Morley und

    Crouzeix und Raviart durch neue gemischte Formulierungen fr das Poisson-Pro-blem, die Stokes-Gleichungen, die Navier-Lam-Gleichungen der linearen Elastizittund m-Laplace-Gleichungen der Form (1)mmu = f fr beliebiges m = 1, 2, 3, . . .Diese Formulierungen beruhen auf Helmholtz-Zerlegungen, die ein unstrukturiertesVektorfeld zerlegen in ein Gradienten- und ein Rotationsfeld. Die neuen Formu-lierungen gestatten die Verwendung von Ansatzrumen beliebigen Polynomgradesund ihre Diskretisierungen stimmen fr den niedrigsten Polynomgrad mit den ge-nannten nicht-konformen FEMn berein. Auch fr hhere Polynomgrade ergebensich robuste Diskretisierungen fr fast-inkompressible Materialien und Approxima-tionen fr die Lsungen der Stokes-Gleichungen, die punktweise die Masse erhalten.Dieser Ansatz erlaubt auerdem eine Verallgemeinerung der nichtkonformen FEMnvon der Poisson- und der biharmonischen Gleichung auf m-Laplace-Gleichungen frbeliebiges m 3. Ermglicht wird dies durch eine neue Helmholtz-Zerlegung frtensorwertige Funktionen. Die in dieser Dissertation vorgestellten neuen Diskreti-sierungen lassen sich nicht nur fr beliebiges m einheitlich implementieren, sondernsie erlauben auch Ansatzrume niedrigster Ordnung, beispielsweise stckweise anePolynome fr beliebiges m.Hat eine Lsung der betrachteten Probleme Singularitten, so beeintrchtigt dies

    in der Regel die Konvergenz so stark, dass hhere Polynomgrade in den Ansatzru-men auf uniformen Gittern dieselbe Konvergenzrate zeigen wie niedrigere Polynom-grade. Deshalb sind gerade fr hhere Polynomgrade in den Ansatzrumen adaptivgenerierte Gitter unabdingbar. Neben der A-priori- und der A-posteriori-Analysiswerden in dieser Dissertation optimale Konvergenzraten fr adaptive Algorithmenfr die neuen Diskretisierungen des Poisson-Problems, der Stokes-Gleichungen undder m-Laplace-Gleichung bewiesen. Diese werden auch in den numerischen Beispie-len dieser Dissertation empirisch nachgewiesen.

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  • Abstract

    The construction of non-conforming nite element methods (FEMs) for the numeri-cal treatment of partial dierential equations arising in mechanics dates back to the1960s and is motivated by robust discretizations for almost incompressible materialsin solid mechanics, by pointwise divergence-free ansatz functions in uid mechanics,and by low-order ansatz spaces for higher-order problems as the biharmonic problemfor the Kirchho plate in structural mechanics. A natural generalization to higherpolynomial degrees which preserves the inherent properties of the discretizations isnot known so far.This thesis generalizes the non-conforming FEMs of Morley and Crouzeix and

    Raviart by novel mixed formulations for the Poisson problem, the Stokes equations,the Navier-Lam equations of linear elasticity, and mth-Laplace equations of theform (1)mmu = f for arbitrary m = 1, 2, 3, . . . These formulations are basedon Helmholtz decompositions which decompose an unstructured vector eld into agradient and a curl. The new formulations allow for ansatz spaces of arbitrary poly-nomial degree and its discretizations coincide with the mentioned non-conformingFEMs for the lowest polynomial degree. Also for higher polynomial degrees, thisresults in robust discretizations for almost incompressible materials and approxima-tions of the solution of the Stokes equations with pointwise mass conservation. Fur-thermore this approach also allows for a generalization of the non-conforming FEMsfor the Poisson problem and the biharmonic equation to mth-Laplace equations forarbitrary m 3. A new Helmholtz decomposition for tensor-valued functions en-ables this. The discretizations presented in this thesis allow not only for a uniformimplementation for arbitrary m, but they also allow for lowest-order ansatz spaces,e.g., piecewise ane polynomials for arbitrary m.The presence of singularities usually aects the convergence such that higher

    polynomial degrees in the ansatz spaces show the same convergence rate on uni-form meshes as lower polynomial degrees. Therefore adaptive mesh-generation isindispensable especially for ansatz spaces of higher polynomial degree. Besides thea priori and a posteriori analysis, this thesis proves optimal convergence rates foradaptive algorithms for the new discretizations of the Poisson problem, the Stokesequations, and mth-Laplace equations. This is also demonstrated in the numericalexperiments of this thesis.

    iii

  • Contents

    Contents v

    1. Introduction 1

    2. Preliminaries 9

    2.1. Function spaces and operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Triangulations and renements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Frequently used results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    3. Poisson problem 17

    3.1. Problem formulation and discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3. Medius analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4. A posteriori error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5. Adaptive algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6. Extension to 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7. Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4. Stokes equations 67

    4.1. Weak formulation and discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2. A posteriori error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3. Adaptive algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4. Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    5. Linear elasticity and Stokes equations with symmetric gradient 87

    5.1. Preliminary remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2. Weak formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3. Discretizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.4. A posteriori error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.5. Stokes equations with symmetric gradient . . . . . . . . . . . . . . . 985.6. Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    6. Higher-order problems 117

    6.1. Notation for higher-order tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2. Results for tensor-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.3. Helmholtz decomposition for higher orders . . . . . . . . . . . . . . . 1236.4. Weak formulation and discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    v

  • CONTENTS

    6.5. A posteriori error analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.6. Adaptive algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.7. Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    Bibliography 151

    A. Table of notation 159

    B. Implementation 163

    B.1. Structure of the implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163B.2. Reproduction of the numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . 165B.3. Content of the software archive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    C. Data medium containing the software 167

    List of gures 169

    vi

  • 1. Introduction

    Non-conforming nite element methods (FEMs) play an important role in compu-tational mechanics. They allow the discretization of partial dierential equations(PDEs) for incompressible uid ows modelled in the Stokes equations, for almostincompressible materials in linear elasticity, and for low polynomial degrees in theansatz spaces for the Kirchho plate problem. A generalization to higher polyno-mial degrees which also transfers the desirable properties of the scheme, however,has been an open question. This thesis introduces novel formulations based onHelmholtz-type decompositions along with their discretizations of arbitrary (glob-ally xed) polynomial degree for the Poisson equation, for higher-order equations ofthe form (1)mmu = f , for the Stokes equations, and for the Navier-Lam equa-tions of linear elasticity. For the lowest-order polynomial degree, discrete Helmholtzdecompositions of Arnold and Falk [1989] and Carstensen et al. [2013c, 2014b] proveequivalence of the novel discretizations to t

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