cultatea

MINISTERUL EDUCAIEI, CERCETRII, TINERETULUI I SPORTULUI

UNIVERSITATEA HYPERION DIN BUCURETIFACULTATEA DE TIINE ECONOMICE

MATEMATIC APLICAT N ECONOMIESuport de curs n format ID -

Lect. Drd. ANDREEA MITROI Asist.Univ.Drd. TIBERIU DIACONESCU

Cuprinsul suportului de cursUnitatea de nvare nr. 1 ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR 1.1. Generaliti. Matricea asociat drumurilor unui graf 1.1.1. Generaliti 1.1.2. Matricea asociat drumurilor unui graf 1.2. Determinarea drumurilor hamiltoniene n grafuri fr circuite 1.3. Determinarea drumurilor hamiltoniene n grafuri cu circuite 1.4. Determinarea drumurilor optime ntr-un graf 1.5. Tema de control a unitii de nvare nr. 1 1.6. Testul de autoevaluare nr. 1 1.7. Bibliografia specific unitii de nvare nr. 1 Unitatea de nvare nr. 2 - ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITILOR 2.1. Cmpuri de evenimente i cmpuri de probabilitate 2.1.1. Cmpuri de evenimente 2.1.2. Cmpuri de probabilitate 2.2. Probabiliti condiionate. Evenimente independente 2.2.1. Probabiliti condiionate 2.2.2. Evenimente independente 2.3. Scheme probabilistice 2.4. Tema de control a unitii de nvare nr. 2 2.5. Testul de autoevaluare nr. 2 2.6. Bibliografia specific unitii de nvare nr. 2 Unitatea de nvare nr. 3 - VARIABILE ALEATOARE 3.1. Generaliti. Funcia de repartiie 3.1.1. Generaliti 3.1.2. Distribuia de probabilitate (repartiia) a unei variabile aleatoare simple 3.1.3. Funcia de repartiie i densitatea de repartiie a unei variabile aleatoare 3.2. Variabile aleatoare discrete 3.2.1. Operaii cu variabile aleatoare discrete 3.2.2. Operaii efectuate asupra unei variabile aleatoare X 3.2.3. Operaii care se pot efectua cu dou variabile aleatoare X i Y 3.3. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare. Coeficientul de corelaie 3.3.1. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare discrete 3.3.2. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare continue 3.4. Coeficientul de corelaie a dou variabile aleatoare 3.5. Tema de control a unitii de nvare nr. 3 3.6. Testul de autoevaluare nr. 3 3.7. Bibliografia specific unitii de nvare nr. 3 Unitatea de nvare nr. 4 - PROBLEME DE PROGRAMARE LINEAR 4.1. Formularea problemei de programare linear bidimensional 4.1.1. Probleme de programare linear cu 2 variabile (programare linear bidimensional) 4.1.2. Formularea unei probleme de programare linear (elementele unei 6 7 7 10 13 16 20 30 34 35 36 37 37 39 46 46 47 49 54 57 59 60 61 61 63 64 68 69 70 71 75 75 77 79 84 89 94 95 96 96 97 2

probleme de programare linear) 4.2. Metoda grafic de rezolvare a problemelor de programare linear bidimensional 4.3. Algoritmul simplex bidimensional 4.3.1. Maximizarea unei funcii obiectiv pentru care toate restriciile au semnul 4.3.2. Minimizarea unei funcii obiectiv pentru care toate restriciile au semnul (problema dual) 4.4. Rezolvarea problemelor de programare linear multidimensional 4.5. Tema de control a unitii de nvare nr. 4 4.6. Testul de autoevaluare nr. 4 4.7. Bibliografia specific unitii de nvare nr. 4 5. BIBLIOGRAFIA NTREGULUI SUPORT DE CURS 6. NOTIELE CURSANTULUI

102 105 106 111 122 132 143 146 147 148

3

IntroducereCursul se adreseaz studenilor Facultii de Stiine Economice. Conceperea cursului s-a fcut pornind de la obiectivele generale ale obiectului de studiu Matematic economic n contextul obiectivelor generale ale facultii de tiine economice i anume: 1. Obiective aferente dezvoltrii de competene de cunoatere Cunoaterea i nelegerea conceptelor i noiunilor specifice matematicii economice Cunoaterea principalelor metode i tehnici de modelare matematic i de rezolvare a problemelor specifice disiplinei matematic economic 2. Obiective aferente dezvoltrii de competene funcional acionale Dezvoltarea aptitudinilor de aplicare a metodelor de rezolvare a problemelor, specifice coninutului disciplinei matematic economic Dezvoltarea aptitudinilor de interpretare i de analiz critic a rezultatelor obinute prin rezolvarea problemelor Dezvoltarea spiritului inovator n domeniul economic prin aplicarea metodelor specifice disciplinei matematic economic 3. Obiective aferente dezvoltrii de competente de specialitate Definirea si descrierea principalelor noiuni specifice disciplinei matematic economic i a metodelor specifice acesteia Realizarea de analize ale fenomenelor economice din perspectiv matematic i interpretarea rezultatelor Intelegerea i aplicarea metodelor matematice n analiza fenomenelor economice Aplicarea conceptelor, teoriilor i metodelor specifice matematicii economice formularea de demersuri profesionale Dezvoltarea capacittii de sintetizare i interpretare a unui set de informaii, de rezolvare a unor probleme de baz i de evaluare a concluziilor posibile Formarea abilitilor de analiz independent a unor probleme i capacitatea de a comunica i a demonstra soluiile alese pentru

4

Disciplina matematica economic studiat n primul semestru are un numar de 6 credite, obinerea acestora fiind condiionat de promovarea examenului i predarea temelor de control la datele stabilite de calendarul disciplinei. Cursul este structurat pe uniti de nvare organizate n uniti de nvare, n conformitate cu calendarul disciplinei. Fiecare unitate de nvare conine timpul mediu necesar pentru studiu, obiectivele operaionale pe care studenii trebuie s le urmreasc de-a lungul studiului, precum i o schem de parcurgere a materialului n care trebuie bifate elementele parcurse pe masur ce aciunile sunt efectuate. De asemenea, n vederea pregtirii examenului, fiecare unitate se ncheie cu un test de autoevaluare a cunotinelor studiate n respectiva unitate.

5

UNITATEA NR. 1 ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR

Timp mediu necesar pentru studiu: 7 ore

Bifeaz sarcinile de lucru rezolvate, pe msura parcurgerii lor:

Parcurge obiectivele Citete coninutul leciei Parcurge problemele rezolvate Rezolv problemele propuse Recapituleaz cunotinele Pregte te Tema de control

Cuprinsul unitii de nvare: 1.1. Generaliti. Matricea asociat drumurilor unui graf 1.1.1. Generaliti 1.1.2. Matricea asociat drumurilor unui graf 1.2. Determinarea drumurilor hamiltoniene n grafuri fr circuite 1.3. Determinarea drumurilor hamiltoniene n grafuri cu circuite 1.4. Determinarea drumurilor optime ntr-un graf 6

1.5. Tema de control a unitii nr. 1 1.6. Testul de autoevaluare nr.1 1.7. Bibliografia specific unitii de nvare nr. 1

1.1. GENERALITI. MATRICEA ASOCIAT DRUMURILOR UNUI GRAF

Obiective operaionale: La sfaritul parcurgerii unitii de nvare, studenii trebuie: O1: s cunoasc definiiile aferente noiunilor legate de grafuri O2: s defineasc un graf n cel puin trei moduri echivalente O3: s exemplifice noiunile aferente grafurilor pentru un graf dat O4: s determine matricea asociat unui graf

1.1.1. GENERALITI Definiii Fie o mulime finit X = {x1, x2,..., xn} i o funcie F:X P(X) care asociaz fiecrui element xi X, i = 1, n , o submulime F(xi) P(X). Cuplul G

= (X,F) se numete graf. Elementele xi X se numesc vrfuri sau noduri ale grafului. O pereche de vrfuri (xi, xj), i,j =1, n , cu proprietatea c xj Submulimea A = { (xi, xj) Pentru arcul (xi, xj) F(xi) formeaz un arc al grafului.

X x X / xj F(xi) } reprezint mulimea arcelor grafului G = (X,F). F(xi) sau xi F(xj) .

A, xi este extremitatea iniial i xj extremitatea final.

Dou vrfuri xi i xj sunt adiacente dac xj Dac xi.

Dou arce sunt adiacente dac au o extremitate comun. F(xi) atunci (xi, xi) se numete bucl. Arcul cu extremitatea iniial xi se numete incident exterior lui xi. Mulimea arcelor incidente exerior lui xi se noteaz A+(xi). 7

Arcul cu extremitatea final xi se numete incident interior lui xi. Mulimea arcelor incidente interior lui xi se noteaz A (xi). Fie Y X o mulime de vrfuri. Atunci A / xi Y, xj Y } se numete mulimea arcelor incidente interior mulimii Y Y} se numete mulimea arcelor incidente exterior mulimii Y. X pentru care

A (Y) = {(xi, xj) i A+ (Y) = {(xi, xj)

A / xi

Y, xj

Dac graful G = (X, F) are un vrf xi A (xi) = Dac A+(xi) =

, vrful xi se numete surs a grafului. atunci xi se numete destinaie a grafului.

Un drum este elementar dac trece prin fiecare nod o singur dat. Un drum este simplu dac nu conine de dou ori acelai arc. Puterea de atingere a unui vrf xi, notat p(xi), reprezint numrul de noduri la care se poate ajunge din xi ,,fie datorit existenei unui arc fie datorit existenei unui drum. Un circuit care trece prin toate nodurile grafului se numete circuit Hamiltonian. Matrice asociat unui graf Oricrui graf G = (X, A) i se poate asocia o matrice booleana___

MG = (mij) i, j unde: mij =1 0

1, n

, daca exista un arc cu extremitat ea initiala xi si cea finala xj daca varfurile xi si xj nu sunt adiacente ( nu exista arc intre ele)

Exemplul 1

Fie graful:

x1 x6 x5

x2 x3 x4

X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} este mulimea nodurilor sau vrfurilor grafului. F : X P(X), unde X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} este definit de:

F(x1) = {x1, x2, x4, x5}, F(x2) = {x3, x4, x6}, F(x3) ={x1, x2}, F(x4 ) ={x5}, F(x5) = {x2}, F(x6) = {x4} A = {(x1, x1), (x1, x2), (x1,x4), (x1, x5), (x2, x3), (x2, x4), (x2, x6), (x3, x1), (x3, x2), (x4, x5), (x5, x2), (x6, x4)} este mulimea arcelor grafului

8

Arcele (x1, x2), (x1, x5) sunt arce adiacente avnd comun extremitatea iniial. Arcele (x1, x2) i (x3, x2) sunt adiacente avnd comun extremitatea final (x1, x1) este o bucl. Mulimea arcelor incidente exerior lui x1 este A+(x1)= {(x1, x1), (x1, x2), (x1, x5)}. Mulimea arcelor incidente interior lui x4 este A (x4) = {(x1,x4), (x2, x4), (x6, x4)} Graful G nu este complet deoarece exist un cuplu de vrfuri, respectiv (x3, x4) care nu este legat prntr-un arc. Arcele (x1,x4), (x4,x5), (x5,x2) formeaz un drum n graful G, care se poate nota i d = (x1, x4, x5, x2) Lungimea drumului d = (x1, x4, x5, x2) este 3 (deoarece drumul este compus din 3 arce). d = (x1, x5, x2, x3, x1) este un circuit (extremitatea iniial coincide cu cea final), de lungime 4. Drumul d = (x6, x4, x5, x2, x3, x1) este hamiltonian deoarece este drum elementar i trece prin toate vrfurile grafului. matricea asociat este

1 0 1 MG = 0 0 0

1 0 1 0 1 0

0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

Exemplul 2 (Moduri echivalente de definire a grafurilor) Un graf se poate defini ntr-una din urmtoarele formele echivalente : Preciznd mulimea vrfurilor X i mulimea arcelor A;

1.

G = (X,A), unde X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} i A = {(x1, x1), (x1, x2), (x1,x4), (x1, x5), (x2, x3), (x2, x4), (x2, x6), (x3, x1), (x3, x2), (x4, x5), (x5, x2), (x6, x4)} 2. Preciznd mulimea vrfurilor X i mulimea valorilor funciei F: X P(X).

G = (X,F) unde X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} i F(x1) = {x1, x2, x4, x5}, F(x2) = {x3, x4, x6}, F(x3) ={x1, x2} F(x4 ) ={x5}, F(x5) = {x2}, F(x6) = {x4} , 3. 4. Cu ajutorul reprezentrii grafice (vezi exemplul anterior) Prin coresponden, marcnd grafic nodurile de dou ori, n dou iruri paralele, i preciznd

nodurile cu care acestea formeaz arce x1 x2 x3 x4 x5 x6

9

x1 5.

x2

x3

x4

x5

x6

Cu ajutorul matricei booleene a grafului, MG (vezi exemplul anterior) Folosind matricea latin, n care pe o poziie aij va fi xixj dac exist arcul (xi,xj) i 0 n caz contrar.

6.

x1 x1 0 x3 x1 ML = 0 0 0

x1 x 2 0 x3 x 2 0 x5 x 2 0

0 x 2 x3 0 0 0 0

x1 x 4 x2 x4 0 0 0 x6 x 4

x1 x5 0 0 x 4 x5 0 0

0 x 2 x5 0 0 0 0

1.1.2. MATRICEA ASOCIAT DRUMURILOR UNUI GRAFCalcularea matricei asociat drumurilor unui graf este important n vederea determinrii existenei drumurilor hamiltoniene ntr-un graf (drumuri hamiltoniene care modeleaz o varietate de probleme economice legate de organizarea produciei, logistic, organizarea sistemelor informaionale). Procedeele de determinare a drumurilor hamiltoniene sunt difereniate n funcie de tipul grafului - cu circuite sau fr circuite, iar informaiile despre tipul de graf sunt date de matricea D a drumurilor. Informaiile pe care le ofer aceast matrice sunt legate att de existena sau inexistenta circuitelor ct i de numrul de circuite si drumuri existente.

Definiie

Se numete matricea drumurilor grafului G sau a conexiunilor totale matricea booleana D = (dij)i,j=1,n, unde

dij=

1, daca in G ( X , F ) exista cel putin un drum de la xi la x j , xi , x j 0,

X , i, j 1, n

in caz contrar

10

Algoritm de determinare a matricei drumurilor Matricea D a drumurilor grafului G se obine din matricea booleana (a arcelor) MG = (mij). Pasul 1 Se scrie matricea Latin a arcelor pentru graful dat. Fie linia i, i = 1, n , din matricea arcelor MG. Dac m i = 1, m i = 1,, m i = 1 atunci i n D avem d i = 1, d i = 1,, d i = 1. Pasul 2 Folosind adunarea booleana se adun liniile, ,..., din matricea MG la linia i ( tot

din MG). Reamintim regulile adunrii booleene : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1. Noile valori 1 obinute se trec pe linia i a matricei D. Fe h, l,...,s poziiile ocupate de aceste noi valori pe linia i. Pasul 3 Se adun boolean liniile h, l, ..., s din MG la linia i a matricei MG i noile valori 1 obinute se trec pe linia i a matricei D. Pasul 4 Algoritmul continu pn cnd se ajunge la una din situatiile:

a) toate elementele dij, j = 1, n sunt egale cu 1 b) nu se mai poate obine nici un element egal cu 1. n aceast situaie poziiile rmase libere se completeaz cu 0. n acest moment, linia i este complet determinat. Algoritmul se continu pentru fiecare linie.

Interpretare rezultate Dupa aflarea matricei drumurilor D stabilim dac graful are sau - dac elementele dii = 0 ( elementele aflate pe diagonala matricei),

nu circuite astfel: i = 1, n , graful nu are circuite;

- dac exist un indice i pentru care dii = 1 atunci exist n G un circuit care are c vrf iniial i final pe xi. Observaie Matricea drumurilor D ne ofer informaii i despre numrul de vrfuri la care putem ajunge pornind dintr-un punct (vrf) xi.

11

Definiie

Fie graful G = (X,A) i xi

X. Numrul de vrfuri la care se poate ajunge din xi se

numete putere de atingere a vrfului xi i se noteaz cu p(xi). Puterea de atingere a lui xi este dat de numrul de elemente egale cu 1 aflate pe linia i n matricea drumurilor D.

PROBLEME REZOLVATE 1. S se determine matricea drumurilor asociat grafului definit de

0 1 MG = 0 0Pasul 1

0 0 1 0

1 0 0 0

1 0 . 0 0

Dac n matricea arcelor exist elemente egale cu 1 atunci i n matricea drumurilor,

elementele aflate pe aceleai poziii vor avea valoarea 1. Pentru celelalte elmente din matricea arcelor ( egale cu 0 ) lsm spaii libere urmnd a fi completate ulterior n baz algoritmului. Deoarece m13 = 1, m14 = 1, m21 = 1, m31 = 1, m32 = 1, i m41 = 1 vom avea d13 = 1, d14 = 1, d21 = 1, d31 = 1, d32 = 1, i d41 = 1

_ 1 Obinem D = _ _Pasul 2

_ _ 1 _

1 _ _ _

1 _ _ _

ncepem cu linia 1. Pentru fiecare element d1 = 1, se adun folosind adunarea (tot a matricei MG) i se completeaz spaiile libere

booleana, linia 1 din matricea MG la linia

din matricea D numai dac rezultatul este 1. Reamintim regulile adunrii booleene : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1. Deoarece d13 = 1 vom aduna n matricea MG linia 1 cu linia 3 i vom obine dou elemente egale cu unu i anume d11 i d12, pe care le trecem n matricea D. n acest moment linia 1 este complet determinat.

1 1 D= _ _

1 _ 1 _

1 _ _ _

1 _ _ _

12

Continum cu linia 2. Deoarece d21 = 1 vom aduna n MG linia 2 cu linia 1 obtinand d23 = 1 i d24 = 1.

1 1 D= _ _Pasul 3 1

1 _ 1 _

1 1 _ _

1 1 _ _

Pentru noile elemente egale cu 1 obinute la pasul anterior, respectiv d23 = 1 i d24 =

se reface adunarea booleana a liniei 2 cu linia corespunzatoare indicelui de pozitie al

elementului, respectiv cu linia 3 i cu linia 4 din matricea MG, i vom obine i d22 = 1.

1 1 D= 1 _

1 1 1 _

1 1 _ _

1 1 _ _

Linia 2 este i ea complet determinat Repetam algoritmul incepand cu Pasul 2 pentru linia 3. Pentru elementele egale cu 1 respectiv d32 adunam linia 3 cu linia 2 n matricea MG i obinem d31 = 1. Continum cu Pasul 3 i pentru noul element d31 = 1 adunam n MG linia 3 cu linia 1 i obinem d33 = 1 i d34 = 1.

1 1 Vom avea D = 1 _

1 1 1 _

1 1 1 _

1 1 i linia 3 este i ea complet determinat. 1 _

Deoarece pe linia 4 nu exist elemente egale cu 1 toate valorile elementelor n matricea D vor fi egale cu 0.

1 1 Forma final a matricei D este D = 1 0Concluzii:

1 1 1 0

1 1 1 0

1 1 1 0

Deoarece exist pe diagonala elemente egale cu 1 i anume d11 = d22 = d33 = 1 rezult c graful are 3 circuite.

Graful are 12 drumuri din care 3 sunt circuite pornind din toate varfurile mai puin x4. Putem calcula puterea de atingere a fiecrui vrf i anume p(x1) = 4, p(x2) = 4, p(x3) = 4 i p(x4) = 0.

13

1.2. DETERMINAREA DRUMURILOR HAMILTONIENE N GRAFURI FR CIRCUITE

Obiective operaionale: La sfaritul parcurgerii unitii de nvare, studenii trebuie: O1: s cunoasc noiunea de drum hamiltonian O2: s aplice algoritmii necesari pentru stabilirea tipului de graf cu circuite sau fr circuite O3: s determine drumul hamiltonian in grafuri fr circuit

Teorem

Teorema lui Chen Un graf fr circuite care are n vrfuri xi, i = 1, n , conine un drum hamiltonian dac

i numai dac:n

p ( xi )i 1

n(n 1) 2

Observaie:

ntr-un graf fr circuite exist cel mult un drum hamiltonian.

Algoritm de determinarea a drumurilor hamiltoniene n grafuri fr circuite

Pasul 1

Se calculeaz matricea drumurilor D, i se verifica dac graful nu are circuite ( nici un element de pe diagonala acestei matrice nu este egal cu 1) Se calculeaz numrul de elemente egale cu 1 n matricea D i se compara cu valoarea

Pasul 2

n(n 1) . 2 n(n 1) STOP. 2

Dac numrul de elemente egale cu 1 este mai mic dect valoarea

14

Graful nu are drum hamiltonian. Dac numrul de elemente egale cu 1 este egal cu trecem la pasul 3. Se calculeaz puterea de atingere a fiecrui vrf xi i se ordoneaz descresctor. Succesiunea vrfurilor care formeaz drumul hamiltonian va fi dat de ordinea descrescatoare a puterilor de atingere a vrfurilor grafului.

n(n 1) rezult c graful are drum hamiltonian i 2

Pasul 3

PROBLEM REZOLVAT Sa se determine drumul hamiltonian (dac exist) n graful a crui matrice este:

MG =

0 1 1 1 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 1 1 0 0

1 1 0 1 0

Pasul 1

Calculm matrieca drumurilor D

0 1 D= 1 1 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 1 1 0 0

1 1 1 1 0

Deoarece pe diagonal nu avem elemente egale cu 1 rezult c graful nu are circuite, deci se aplica teorema lui Chen.

Pasul 2

Matricea drumurilor are 10 elemente egale cu 1. In cazul dat, n = 5 i

n(n 1) 5(5 1) = 2 2

10 . Rezult c n graf exist drum

hamiltonian.

Pasul 3

p(x1) = 1, p(x2) = 3, p(x3) = 4, p(x4) = 2, p(x5) = 0.

15

Ordonm descresctor valorile puterilor de atingere: p(x3) > p(x2)> p(x4)> p(x1)> p(x5) i va rezulta c drumul hamiltonian este dH = (x3, x2, x4, x1, x5).

REZUMAT Determinarea drumurilor hamiltoniene in grafurile fr circuite se face cu ajutorul Teoremei lui Chen. Pentru a putea aplica aceast teorem, trebuie ns s ne asigurm cu ajutorul matricei drumurilor c graful nu are circuite. Intr-un graf fr circuite, dac exist, drumul Hamiltonian este unic. Teorema lui Chen ne ofer informaii despre existena sau inexistena drumurilor hamiltoniene n grafurile fr circuite, permind i determinarea acestora.

1.3. DETERMINAREA DRUMURILOR HAMILTONIENE N GRAFURI CU CIRCUITE

Obiective operaionale: La sfaritul parcurgerii unitii de nvare, studenii trebuie: O1: s cunoasc algoritmul nmulirii latine pentru determinarea drumurilor hamiltoniene n grafuri cu circuite O2: s determine drumurile hamiltoniene aplicnd algoritmul nmulirii latine O3: s determine drumurile si circuitele de o anumit lungime folosind algoritmul nmulirii latine

Algoritmul inmulirii latine serve te n principal pentru determinarea drumurilor de o anumit lungime.

Definiie

Un circuit CH = (xi1, xi2, ..., xin, xi1) se numete hamiltonian dac trece o dat i numai o dat prin fiecare vrf al grafului cu excepia vrfului xi1.

16

Observaii

O condiie necesar pentru existena unui drum hamiltonian este ca graful s fie complet ( orice cuplu de vrfuri este legat cu cel puin un arc). O condiie necesar pentru existena cel puin a unui circuit hamiltonian este ca graful G = (X,F) s fie tare conex (sa existe cel puin un drum ntre oricare dou vrfuri). Pentru determinarea drumurilor si/sau circuitelor hamiltoniene ntr-un graf cu n vrfuri se calculeaz prin algoritmul inmulirii latine matricea T(n), cu precizarea c n(r 0 (r matricele T(r), r 1 , se considera t ij ) 0 dac secventa indicilor vrfurilor t ik ) i t (kj )

conine doi indici identici pentru orice k dou vrfuri).

1, n . (dac n rezultatul inmulirii se repeta

Existena unui element diferit de 0 pe diagonala uneia dintre matricele T(r) care intervin n algoritm indica atat existena unui circuit hamiltonian cat i ordinea vrfurilor.

Fie graful G= (X,F) = (X,A) . Asociem grafului o matrice a arcelor (conexiunilor directe) care n locul cifrelor 1 din MG conine arcele corespunztoare, reprezentate prin vrfurile care le compun. Notm aceast matrice (numit matrice latin) cu T(1) = (tij)i,j = 1,n, unde

Pasul 1

( xi , x j )tij =

daca x j

F ( xi ) F ( xi )

0, daca x j

Pasul 2

( Formm matricea T(0) = (t ij0 ) ) i,j

= 1,n,

numit matricea destinatiilor posibile, care se

obine prin suprimarea extremitii iniiale a fiecrui arc din matricea T(1).

x j,t(0) ij

daca x j

F ( xi ) F ( xi ) , i, j 1, n

0, daca x j

Pasul 3

Cu matricele T(1) i T(0) , n aceasta ordine, se efectueaz operaia de inmulire latin (notat cu L) sau concaternare astfel : 17

1. 2.

Se respect formal regula de inmulire a matricelor Se fac urmtoarele convenii: c1) dac unul din elementele participante la calcul este 0 rezultatul va fi 0. c2) atunci cnd se inmulete un arc din matricea T(1) cu un vrf din matricea T(0),

rezultatul operaiei se consemneaz scriind consecutiv vrfurile care intervin n calcul (obligatoriu cu mentinerea ordinei n care apar vrfurile). Pasul 4 Fie T(2) = T(1) L T(0) Introducem relaia de recurena T(r + 1) = T(r) L T(0), r N*. Matricea T(m), cu m N* va conine lista tuturor drumurilor de lungime m (adic formate din m arce) n graful dat

PROBLEM REZOLVAT

S se determine drumurile de lungime 2 i 3 n graful a crui matrice este MG

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

1 0 0 0

Pasul 1

Scriem matricea T(1)

0 x 2 x1 0 0

0 0 x3 x 2 0

x1 x3 0 0 0

x1 x 4 0 0 0

Pasul 2

Scriem matricea destinatiilor posibile

T(0)

0 x1 0 0

0 0 x2 0

x3 0 0 0

x4 0 0 0

Pasul 3

Calculam T(2) = T(1) L T(0) care ne va arat drumurile de lungime 2. T(2) = T(1) L T(0)

18

0 x x T(2)= 2 1 0 0

0 0 x3 x 2 0

x1 x3 0 0 0

x1 x 4 0 0 x L 1 0 0 0 0

0 0 x2 0

x3 0 0 0

x4 0 0 0

0 0 x3 x 2 x1 0

x1 x3 x 2 0 0 0

0 x 2 x1 x3 0 0

0 x 2 x1 x 4 0 0

Pasul 4

Calculm T(3) = T(2) L T(0) care va evidenia drumurile de lungime 3.

T(3) = T(2) L T(0)0 0 x3 x 2 x1 0 x1 x3 x 2 0 0 0 0 x 2 x1 x3 0 0 0 0 x 2 x1 x 4 L x1 0 0 0 00 0 x2 0 x3 0 0 0 x4 0 0 0

x1 x3 x 2 x1 0 0 0

0 x 2 x1 x3 x 2 0 0

0 0 x3 x 2 x1 x3 0

0 0 x3 x 2 x1 x 4 0

Concluzie :

Graful conine 4 drumuri de lungime 2, evidentiate n matricea T(2), i anume: d1 = (x1, x3, x2), d2 = (x2, x1, x3), d3 = (x2, x1, x4), d4 = (x3, x2, x1) i nu exist circuite de lungime 2. Graful conine 4 drumuri de lungime 3(evideniate n matricea T(3)) din care 3

circuite i un drum hamiltonian, i anume : d5 = (x1, x3, x2, x1), d6 = (x2, x1, x3, x2), d7 = (x3, x2, x1, x3) si d8 = (x3, x2, x1, x4),

REZUMAT Determinarea drumurilor si circuitelor hamiltoniene in grafurile cu circuite se face folosind algoritmul nmulirii latine sau algoritmul lui Kaufmann. Pentru determinarea drumurilor si circuitelor hamiltoniene este necesar determinarea anterioar a tipului de graf cu circuite sau fr circuite, cu ajutorul matricei drumurilor.

19

Algoritmul nmulirii latine permite de asemenea si determinarea drumurilor de o lungime dat.

1.4. DETERMINAREA DRUMURILOR OPTIME NTR-UN GRAF

Obiective operaionale: La sfaritul parcurgerii unitii de nvare, studenii trebuie: O1: s neleag importana determinrii drumurilor optime n aplicaiile economice O2: s-i nsueasc algoritmii de determinare a drumurilor optime ale unui graf O3: s aplice algoritmii potrivii pentru determinarea drumurilor maxime i minime ntr-un graf

n economie, problemele legate de gsirea drumului de valoare optim se pot referi la gsirea lungimii drumului minim sau maxim dintre dou localiti; la determinarea costului minim pentru parcurgerea anumitor faze de producie, sau a duratei minime de parcurgere a unor etape etc. Exist cinci categorii de algoritmi folosii n determinarea drumurilor optime ntr-un graf, i anume: Algoritmi bazai pe calcul matricial (Bellman-Kalaba, I. Tomescu, Bellman-Schimbell); Algoritmi bazai pe ajustri succesive (iteratii): (Ford); Algoritmi bazai pe inducie matematic (Dantzig); Algoritmi bazai pe ordonarea prealabil a vrfurilor grafului; Algoritmi bazai pe extindere selectiv (Dijkstra). Ne vom rezuma la prezentarea algoritmului Bellman-Kalaba i Ford att pentru determinarea drumurilor de valoare maxim cat i minim. Fie graful G = (X,F) =(X,A). Pentru determinarea drumului de valoare optim (minim sau maxim) dintre dou vrfuri xi i xj ale grafului G, asociem fiecrui arc un numr real pozitiv notat v (xi, xj) numit valoarea arcului. In funcie de problema economic transpus n termenii teoriei grafurilor, valoarea arcului poate reprezenta: costul de fabricaie al unui produs ntr-un anumit loc de munca asociat cu arcul (xi, xj);

20

productivitatea muncii ntr-un loc de munca, costul sau durata transportului pe ruta (xi, xj), lungimea drumului fizic intre dou puncte etc. Fie drumul d = (a1, a2, , ap), unde ak reprezint un arc component al drumului.

p

Definiie

Mrimea v(d) definit prin egalitatea v(d) =k 1

v(a k ) se numete valoarea drumului

d. (Valoarea drumului este egala cu suma valorilor arcelor care-l compun.).

Algoritmul BellmanKalaba de determinare a drumului optim ntr-un graf fr circuite Algoritmul Bellman-Kalaba se aplic n grafuri finite care nu au circuite de valoare negativ (pentru o problem de minim) sau care nu au circuite de valoare pozitiv (ntr-o problem de maxim) i gsete drumurile de valoare optim de la toate nodurile grafului la un nod oarecare, fixat. Dac se doreste listarea drumurilor de valoare optim intre oricare dou noduri se aplica algoritmul pe rand, pentru fiecare nod al grafului. Fie G = {x1, x2, ... ,xn} un graf orientat finit. Presupunem c am numerotat nodurile astfel nct nodul spre care cutm drumurile de valoare optim de la celelalte noduri s fie xn.

Ipotez:

Drumul optim este format din arce ai final xn.

A care leaga nodul iniial x1 cu nodul

Algoritmul de determinare a drumului optim difer n funcie de tipul problemei: aflarea drumului de valoare minim sau aflarea drumului de valoare maxim.

21

Algoritm de determinare a drumului de valoare minim

Fie graful G = (X,F) =(X,A). Asociem grafului G matricea C = (cij), i,j = 1, n unde:

v( xi , x j ), daca ( xi , x j )Cij =

A, i A, i j

j

, 0.

daca ( xi , x j ) daca i j

Fiecrui vrf xi i se asociaz o variabila vi care reprezint valoarea drumului care unete vrful xi cu xn. Elementele matricei C se trec ntr-un tabel care conine pentru inceput xn linii i xn coloane. ( tabelul se va completa ulterior cu alte linii pe masura parcurgerii algoritmului. Valoarea minim a drumului care unete pe x1 cu xn se obine rezolvand sistemul de ecuatii:

vi vn

min (v jj i

cij ),

i 1, n 1,

j 1, n

0

Dac vi , cu i = 1, n este solutie a sistemului de mai sus, atunci v1 reprezint valoarea minim a drumului care unete pe x1 cu xn. Pentru rezolvarea sistemului, se procedeaz iterativ. Pasul care initiaz procesul iterativ este definit de: v i(0) cin , i = 1, n 1 si v (n0) 0 La iteraia (pasul) k , kN * vom rezolva sistemul:

vi( k )

min (v (jkj i ( vnk )

1)

cij ),

i 1, n 1, k

j 1, n N*1)

0,

Procesul se ncheie cnd se obine v i( k drumului care unete x1 cu xn este v1 minim:( Fie x j1 vrful pentru care : v 1k ) min (v (jk j 1 1)

vi( k ) , i= 1, n . n acest caz, valoarea minim a

v1( k ) .

Important este i determinarea arcelor (sau vrfurilor) care compun drumul de valoare

c1 j )

v (j1k

1)

c1 j1 .

22

Drumul de lungime minim trece prin x j1 si v (jk 1 unete x j1 cu xn. Mai departe, fie: v (jk 11)

1)

reprezint valoarea minim a drumului care

min (v (jkj j1

2)

c j1 j )

k v (j2

2)

c j1 j2 Rezult c drumul minim trece prin x j2 .

Repetam procedeul pornind de la v (jk 2

2)

pn ajungem la o valoare v (j0) c jk n . k

Drumul de valoare minim este d = (x 1 , x j1 , x j2 , ..., x jk , x n )

Algoritm de determinare a drumului de valoare maxim Pentru determinarea drumului de valoare maxim intre vrfurile x1 i xn ale grafului G folosind algoritmul Bellman Kalaba se respect acelai algoritm, dar se fac dou modificari: 1) in matricea C, consideram cij = - , dac (xi, xj)A , pentru i

j;

2) in toate sistemele de ecuatii, operatorul de minim se inlocuieste cu cel de maxim. Sa se determine drumul de valoare maxim al grafului:x2 5 2 3 x1 5 1 7 x3 2

Exemplu

x7

4

x4

3 x6

2

2 x5

1

Pasul 1

Se alcatuiete un tabel care conine pe prima linie i pe prima coloana nodurile (vrfurile) grafului i n interior arcele care se formeaz la intersectia elementelor de pe linia 1 cu cele de pe coloana 1.

Tabelul se completeaz dupa urmtoarele reguli : i. Dac exist arc (xi, xj) se trece valoarea arcului (lungimea)

23

ii. Dac nu exist arc (xi, xj) se completeaz cu maxim)iii.

( numai la problemele de

Pentru i = j adica arce de forma (xi, xi) se completeaz cu 0.

Vom obine: x1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Pasul 2 0 x2 2 0 x3 3 2 0 x4 7 1 0 1 2 x5 5 0 x6 5 0 x7 4 2 3 0

Fiecrui vrf xi i se asociaz o variabila vi care reprezint valoarea drumului care unete xi cu xn. Variabilele vi se calculeaz n mai multi pasi, numrul pasului trecandu-se n partea

dreapta sus, n paranteza, i pentru fiecare v i(k ) se completeaz o linie n completarea tabelului iniial. Prima variabila este v i( 0 ) i se obine din transpunerea ultimei coloane

corespunzatoare ultimului vrf. n cazul nostru, vom transpune (adica scrie c linie, coloana lui x7) x1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 V i( 0 ) Pasul 3 0 X2 2 0 x3 3 2 0 x4 7 1 0 1 2 4 x5 5 0 2 x6 5 0 3 x7 4 2 3 0 0

( ( ( ( ( ( ( Se calculeaz valorile v i(1) respectiv v 11) , v21) , v31) , v41) , v51) , v61) , v71) care se trec pe

urmatoarea linie a tabelului. Formula de calcul a valorilor v(1) i

este

vi(1)( v71)

max(v (j0) cij ), i 1,6,j i

j 1,7

0

24

( Calcularea lui v 11) : se adun linia v i( 0 ) cu linia corespunzatoare lui x1 (prima linie), ( element cu element, mai puin v 10 ) cu c11, i se alege valoarea maxim dintre sumele rezultate.

(Pasul 3)

( v 11)

max(v (j0 )j 1

c1 j ), cu

j

1,7

v 1(1) max(v2(0) c12 , v3(0) c13 , v4(0) c14 , v5(0) c15 , v6(0) c16 , v7(0) c17 )j 1( v 11) max( j 1 ( v 11) max( j 1

2, , , ,

3, 4 , ,

, 2 )

, 3

, 0

)

( v 11)

i aceasta valoare se trece n tabel .

( Calcularea lui v 12 ) : se adun linia v i( 0 ) cu linia corespunzatoare lui x2 (a dou linie),

element cu element, mai puin v (20 ) cu c22, i se alege valoarea maxim dintre sumele rezultate v (21) max(v (j0)j 2

c 2 j ), cu

j

1,7

v (21) max(v1(0) c21, v3(0) c23 , v4(0) c24 , v5(0) c25 , v6(0) c26 , v7(0) c27 )j 2

v (21) max(j 1

, ,

2, 4 7, 2 5, 3 , 11, 7, , )

, 0

)

v (21) max(j 1

v (21) 11 i se trece rezultatul n tabel. Analog se calculeaz i celelalte valori ale lui v i(1) i se obine:( v 31)

5, v (41)

( 4, v 51)

5, v (1) 6

6 iar v (71) 0 prin conventie.

Deoarece v i( 0) vi(1) vom continua algoritmul prin calcularea lui v i( 2) . Pasul 4 Se calculeaz v i( 2) respectivi 1,6 si

valorilej 1,7

v1(2) , v2(2) , v3(2) , v4(2) , v5(2) , v6(2) , v7(2) )

dupa

formula:

v i( 2) max(v (j1) cij ),j i

( Vom obine v 12 )

13, v (22 )

( 11, v 32)

11, v (42 )

( 4, v 52)

5, v ( 2) 6

6, v ( 2) 7

0 prin

conventie. Cu aceste valori obinute se completeaz tabelul cu inca o linie, respectiv linia lui v i( 2 ) . Deoarece v i( 2) vi(1) algoritmul se continu prin calcularea valorilor lui v i(3) . Pasul 5 Se calculeaz v i(3) max(vi( 2)j i

cij ),

i 1,6,

j

1,7

25

( Si se obine: v 13)

14, v (23)

( 13, v 33)

11, v (43)

( 4, v 53)

5, v (63)

6, v (73)

0.

Deoarece v i(3) vi( 2) algoritmul se continu prin calcularea lui v i( 4) . Pasul 6 Calculam v i( 4) max(vi(3)j i

cij ),

i 1,6,

j

1,7

( ( ( Obinem: v 14 ) 15, v (24 ) 13, v 34) 11, v (44 ) 4, v 54) 5, v ( 4) 6, v ( 4) 0 . Deoarece 6 7

v i( 4) vi(3) algoritmul se continu prin calcularea lui v i(5) . Pasul 7 Calculam v i(5) max(vi( 4)j i

cij ),( 4, v 55)

i 1,6,

j

1,7

( ( v 15 ) 15, v (25 ) =13, v 35)

11, v (45 )

5, v (65)

6, v (75)

0

Algoritmul se ncheie deoarece v i(5) vi( 4) . Forma final a tabelului este: X1 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 V i( 0 ) V i(1) Vi Vi( 2)

X2 2 0 11 11 13 13 13

x3 3 2 0 5 11 11 11 11

x4 7 1 0 1 2 4 4 4 4 4 4

x5 5 0 2 5 5 5 5 5

x6 5 0 3 6 6 6 6 6

x7 4 2 3 0 0 0 0 0 0 0

0 13 14 15 15

( 3)

Vi Vi

( 4)

( 5)

Interpretarea rezultatelor:

Din tabelul intocmit obinem 2 informaii:

1. Care este valoarea drumului maxim de la x1 la x7 2. Care sunt vrfurile care compun drumul maxim.( 1. Valoarea drumului maxim este 15 ( valoarea lui v 15 ) de la ultimul pas)

2. Drumul de valoare maxim este:dmax = (x1, x2, x3, x6, x4, x7)

26

PROBLEME REZOLVATE 1. Sa se determine drumul de valoare minim de la xl la x5 al grafului: G = (X,A), X = {xi, i= 1,5 } A = { (x1, x2), (x1, x3), (x1, x5), (x2, x4), (x2, x5), (x3, x2),(x3, x4), (x3, x5),(x4, x5)} avnd urmtoarele lungimi de arce v(x1, x2) = 3, v(x1, x3) = 1, v(x1, x5) = 9, v(x2, x4) = 1, v(x2, x5) = 4, v(x3, x2) = 2, v(x3, x4) = 4, v(x3, x5) = 6, v(x4, x5) = 2. Pasul 1 Se intocmete un tabel care conine pe prima linie i pe prima coloana nodurile (vrfurile) grafului i n interior arcele care se formeaz la intersecia elementelor de pe linia 1 cu cele de pe coloana 1. Tabelul se completeaz dupa urmtoarele reguli : Dac exist arc (xi, xj) se trece valoarea arcului (lungimea) Dac nu exist arc (xi, xj) se completeaz cu Pentru i = j adica arce de forma (xi, xi) se completeaz cu 0. Vom obine: x1 x1 x2 x3 x4 x5 Pasul 2 unete xi cu xn. Variabilele vi se calculeaz n mai muli pasi, numrul pasului trecndu-se n partea dreapta sus, n paranteza, i pentru fiecare v i(k ) se ma trece o linie n completarea tabelului iniial. Prima variabil este v i( 0 ) i se obine din transpunerea ultimei coloane corespunztoare ultimului vrf. n cazul nostru, vom transpune (adica scrie ca linie, coloana lui x5) x1 x1 0 x2 3 x3 1 x4 x5 9 0 x2 3 0 2 0 x3 1 1 4 0 x4 x5 9 4 6 2 0

Fiecrui vrf xi i se asociaz o variabil vi care reprezint valoarea drumului care

27

x2 x3 x4 x5Vi(0)

0 2 0

1 4 0

4 6 2 0

9

4

6

2

0

Pasul 3

( ( ( ( ( Se calculeaz valorile v i(1) respectiv v 11) , v21) , v31) , v41) , v51) care se trec pe urmatoarea

linie a tabelului. Formula de calcul a valorilor v(1) i

este

vi(1)

min (v (j0) cij ),j i

i 1,4,

j 1,5

v5(1) 0

( Calcularea lui v 11) : se adun linia v i( 0 ) cu linia corespunztoare lui x1 (prima linie), element cu ( element, mai puin v 10 ) cu c11, i se alege valoarea minim dintre sumele rezultate.( v 11) min (v (j0) j 1( ( v 11) min (v 20) j 1

c1 j ), cu( c12 , v30)

j

1,4( c14 , v50)

( c13 , v 40)

c15 )

( v 11) min (4 3, 6 1, 2 j 1 ( v 11) min (7,7, ,9) j 1

, 0 9)

( v 11) 7 i aceasta valoare se trece n tabel .

( Calcularea lui v 12 ) : se adun linia v i( 0 ) cu linia corespunztoare lui x2 (a dou linie), element cu

element, mai puin v (20 ) cu c22, i se alege valoarea minim dintre sumele rezultate v (21) min (v (j0)j 2j 2

c 2 j ), cu

j

1,4

( ( ( v (21) min (v1( 0) c 21 , v 30) c 23 , v 40) c 24 , v50) c 25 )

v (21) min (9j 1

, 6

, 2 1, 0 4)

v (21) 3 i se trece rezultatul n tabel. Analog se calculeaz i celelalte valori ale lui v i(1) i se obine:( v 31)

6, v (41)

( 2 i v 51) 0 prin convenie.

OBS:

Algoritmul se ncheie dac se obtin dou linii corespunzatoare valorilor lui vi egale ( la 2 pasi consecutivi) Deoarece v i( 0) vi(1) vom continu algoritmul prin calcularea lui v i( 2) . 28

Pasul 4

Se calculeaz v i( 2) respectiv valorile v1( 2) , dupa formula: v i( 2) min (v (j1)j i

( v22 ) ,

( v32) ,

( v42) ,

( v52) ,

( v62 ) ,

( v72) )

cij ),

i 1,4

si

j

1,5

Vom obine:( v 12 )

6, v (22 )

( 3, v 32)

5, v (42 )

( 2 i v 52)

0 prin conventie.

Cu aceste valori obinute se completeaz tabelul cu inca o linie, respectiv linia lui v i( 2 ) . Deoarece v i( 2) vi(1) algoritmul se continu prin calcularea valorilor lui v i(3) .

Pasul 5

Se calculeaz v i(3) min (vi( 2)j i

cij ),

i 1,4,( 2, v 53)

j

1,5

( Si se obine: v 13)

6, v (23)

( 3, v 33)

5, v (43)

0.

Deoarece v i(3) vi( 2) algoritmul se ncheie. Forma final a tabelului este: x1 X1 X2 X3 X4 X5 V i( 0 ) V i(1) Vi Vi Interpretarea rezultatelor: Din tabelul intocmit obinem 2 informaii: 1. Care este valoarea drumului minim de la x1 la x5 2. Care sunt vrfurile care compun drumul minim.( 2. Valoarea drumului minim este 6 ( valoarea lui v 13 ) de la ultimul pas)

x2 3 0 2

x3 1

x4 1

x5 9 4 6 2 0 0 0 0 0

0

0

4 0

9 7 6 6

4 3 3 3

6 6 5 5

2 2 2 2

( 2) ( 3)

3. Exist dou drumuri minime: d1min = (x1, x2, x4, x5) d2min = (x1, x3, x2, x4, x5)

29

REZUMAT Algoritmul Bellman-Kalaba se aplica n grafuri finite care nu au circuite de valoare negativ (pentru o problem de minim) sau care nu au circuite de valoare pozitiv (ntr-o problem de maxim) i gsete drumurile de valoare optim de la toate nodurile grafului la un nod oarecare, fixat. Dac se doreste listarea drumurilor de valoare optim intre oricare dou noduri se aplica algoritmul pe rand, pentru fiecare nod al grafului.

1.5. TEMA DE CONTROL A UNITII DE NVARE NR. 1

PROBLEME PROPUSE1. Pentru fiecare din grafurile de mai jos s se stabileasc folosind matricea drumurilor dac au sau nu circuite (precizand in situatia in care exista circuite si numarul lor) i s se calculeze puterea de atingere a fiecrui vrf: a) G = (X,F) , X = {xi, i = 1,6 } i F : X P(X) definit prin F(x1) = { x2, x3, x4,x5}, F(x2) = { x5,

x6}, F(x3) = { x4, x6}, F(x4) = { x2, x5, x6}, F(x5) = { x6}, F(x6) = b) Fie G = (X,F) unde X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} i F : X P(X) definit prin :

F(x1) = { x2, x3, x4}, F(x2) = { x1, x2, x4}, F(x3) = { x2, x3, x5, x6}, F(x4) = { x2, x3, x6}, F(x5) = { x3}, F(x6) = c) G = (X,A), X = X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} i

0 0 1 M= 1 0 1

1 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0

30

d) G = (X,A), X = X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} i

0 0 M= 1 0 1 0

1 0 1 1 0 1

0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1

0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 1 0

RSPUNSURI: 1. a) Graful nu are circuite si p(x1)=5, p(x2)=2, p(x3)=4, p(x4)=3, p(x5)=1, p(x6)=0 b) Graful are 5 circuite si p(x1)=6, p(x2)=6, p(x3)=6, p(x4)=6, p(x5)=6, p(x6)=0 c) Graful nu are circuite si p(x1)=2, p(x2)=1, p(x3)=4, p(x4)=5, p(x5)=0, p(x6)=3 d) Graful nu are circuite si p(x1)=3, p(x2)=0, p(x3)=5, p(x4)=1, p(x5)=5, p(x6)=2

2.S se afle drumul de valoare maxim de la x1 la x5 n graful G = (X,A), X = {xi, i= 1,5 }, A = {(x1, x2), (x1, x3) , (x1, x4), (x2, x5), (x3, x2), (x4, x2),(x4, x3),(x4, x5)} dac v(x1, x2) = 5, v(x1, x3) = 2, v(x1, x4) = 2, v(x2, x5) = 1, v(x3, x2) = 4, v(x4, x2) = 3, v(x4, x3) = 3, v(x4, x5) = 2.

3. S se afle drumul de valoare minim al grafului G = (X,A) , X = {xi, i= 1,6 }, A = {(x1, x2), (x1, x3), (x1, x4), (x1, x5), (x2, x5), (x2, x6),(x3, x4),(x3, x6) ,(x4, x2) ,(x4, x5) ,(x4, x6) ,(x5, x6)} dac valorile arcelor sunt respectiv 8; 4; 6; 9; 1; 6; 1; 8; 2; 5; 7; 3.

31

LUCRARE DE VERIFICARE

1. Fie G = (X,A) unde X = {x1, x2, x3, x4, x5} i A = { (x1, x4), (x2, x1), (x2, x5), (x3, x1), (x3, x2), (x3, x4), (x3, x5), (x5, x1), (x5, x4)} a) s se defineasc G n alte forme echivalente cu cea din enun. b)s se exemplifice noiunile de : vrfuri adiacente, arce adiacente, drum, drum de lungime 2, circuit. c) s se precizeze mulimile : A+(x2), A- (x2)

2. Se d graful a crui matrice este: MG =

0 1 1 1 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 1 1 0 0

1 1 0 1 0

a) S se arate ca graful nu are circuite b) S se determine drumul hamiltonian al grafului

3. Fie graful G a crui matrice este:

0 0 MG = 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0

a) s se determine tipul de graf b) sa se determine dH dac exist c) sa se listeze drumurile de lungime 3 din G

32

4. Fie graful G= (X,A), X = {xi, i= 1,5 }, F(x1) = {x3, x4}, F(x2) = {x4}, F(x3) = {x2, x4, x5}, F(x4) = {x5}, F(x5) = .

a) folosind matricea drumurilor s se arate c G nu are circuite i are drum hamiltonian b) tiind c v(x1, x3) = 3, v(x1, x4) = 2, v(x2, x4) = 3, v(x3, x2) = 4, v(x3, x4) = 1, v(x3, x5) = 4, v(x4, x5) = 2 s se arate c dH este drumul de valoare maxim de la x1 la x5.

NTREBRI DE CONTROL1. Care este metoda de determinare a tipului de graf cu circuite sau fr circuite? 2. Ce semnific existena unui element egal cu 1 pe diagonala matricei drumurilor? 3. Care este numrul maxim de drumuri hamiltoniene pe care le poate avea un graf cu 5 noduri? 4. Care este procedeul de determinare a tipului de graf? 5. Ce informaii se pot obine n urma aplicrii algoritmului nmulirii latine? 6. De ce nu se poate aplica teorema lui Chen pentru determinarea drumurilor hamiltoniene n grafurile cu circuite?

33

1.6. TESTUL DE AUTOEVALUARE NR. 11. S se determine drumurile hamiltoniene pentru graful definit de: 2.0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0

MG =

2. Se considera graful G a crui matrice este :

0 0 MG = 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0

1 1 1 1 0 0

Sa se determine matricea drumurilor i apoi, folosind inmulirea latin, s se identifice n G circuitele de lungime 3.

3. Fie graful G = (X,A), X = {xi, i= 1,5 }, F(x1) = {x2}, F(x2) = {x1, x4}, F(x3) = {x1, x2, x5}, F(x4) = {x1}, F(x5) = {x4} a) S se determine matricea drumurilor n G b) S se listeze drumurile de lungime 4 i s se identifice, dac exist, dH.

34

1.7. BILIOGRAFIA SPECIFIC UNITII DE NVARE NR. 11. Mitroi Andreea , Matematic economic I, Ed. Cison, Bucureti, 2010 2. Cenu Gheorghe (coord), Matematici pentru economiti, Editura Cison, 2000 3. Cenu Gheorghe (coord), Matematici pentru economiti - culegere de probleme, Ed. Cison, 2000

35

UNITATEA NR. 2 ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITILOR

Timp mediu necesar pentru studiu: 7 ore.

Bifeaz sarcinile de lucru rezolvate, pe msura parcurgerii lor:

Parcurge obiectivele Citete coninutul leciei Raspunde la ntrebrile de control Parcurge problemele rezolvate Rezolva problemele propuse Recapituleaz cunotinele Pregteste Tema de control

Cuprinsul unitii de nvare: 2.1.Cmpuri de evenimente i cmpuri de probabilitate 2.1.1. Cmpuri de evenimente 2.1.2. Cmpuri de probabilitate 2.2.Probabiliti condiionate. Evenimente independente 2.2.1. Probabiliti condiionate 2.2.2. Evenimente independente 2.3.Scheme probabilistice 2.4. Tema de control a unitii de nvare nr. 2 2.5.Test de autoevaluare 2.6. Bibliografia specific unitii de nvare nr. 2

36

2.1. CMPURI DE EVENIMENTE I CMPURI DE PROBABILITATE

Obiective operaionale: La sfaritul parcurgerii unitii de nvare, studenii trebuie: O1: s defineasc i s exemplifice noiunile aferente cmpurilor de probabilitate i cmpurilor de evenimente O2: s cunoasc definiia probabilitii O3: s rezove probleme cu ajutorul definiiei clasice a probabilitii

2.1.1. CMPURI DE EVENIMENTE

Definiii

Experiena = alegerea, printr-un procedeu susceptibil de a fi repetat, a unui element dintr-o mulime dat; realizarea unui complex de condiii;

Exemple

- aruncarea unui zar, sau a unei modede - extragerea unei bile dintr-o urn - prezentarea la examen a unor studeni - jucarea unei partide de sah

Definiii

Proba = orice rezultat al unei experiene Eveniment aleator = oricare din rezulttele poteniale ale unei experiene, a crui realizare poate fi confirmat de o singura proba. Dac = mulimea tuturor rezulttelor posibile ale unei experiene i P( , orice element al mulimii P( ) = mulimea tuturor prilor lui aleator sau un eveniment - apariia feei 2 la aruncarea unui zar - extragerea unei bile albe dintr-o urn cu bile albe i negre - apariia feei Cap la aruncarea unei monezi

) este un eveniment

Exemplu

37

Definiii

Eveniment sigur (notat

) = evenimentul care se realizeaz n orice proba

Exemplu

Considernd experiena aruncrii unui zar, un eveniment sigur este:

A = evenimentul ca la aruncarea zarului s apar faa 1 sau 2 sau 3 sau 4 sau 5 sau 6 Definiii Fie A P( ) un eveniment oarecare. Se numete eveniment opus lui A (sau contrar) un eveniment care se realizeaz dac i numai dac nu se realizeaz A. Notaie: A Se consider experiena extragerii unui bile dintr-o urn cu bile roii i albe. Dac A = evenimentul extragerea unei bile albeA = evenimentul extragerea unei bile roii

Exemplu

Definiii

Eveniment imposibil = evenimentul care nu se realizeaz n nici o prob. Se consider experiena extragerii unei bile dintr-o urn cu bile negre i albe. Un eveniment imposibil este: A = extragerea unei bile roii.

Exempu

Definiii

Reuniunea a dou evenimente A i B este evenimentul care se realizeaz dac i numai dac se realizeaz cel puin unul din evenimente Notaie : A B ( A sau B)

Intersecia a dou evenimente A i B este evenimentul care se realizeaz dac i numai dac ambele evenimente se realizeaz. Notaie : A B ( A i B)

Diferena a dou evenimente A i B este evenimentul care se realizeaz dac i numai dac se realizeaz A i nu se realizeaz B. Notaie : A B = A \ B

38

Exemplu

Se consider experiena aruncrii unui zar i evenimentele:. A = obinerea unei fee pare Si B = obinerea unei fee divizivile cu 4. Atunci, A A B = obinerea unei fee pare sau divizibile cu 4 B = obinerea unei fee pare i divizibile cu 4

A B = obinerea unei fee pare i care nu este divizibil cu 4. Definiii Evenimentul A implic evenimentul B dac realizarea evenimentului A atrage n mod necesar realizarea evenimentului B. Notaie: A B

Dou evenimente A i B sunt echivalente (egale) dac A implic B i B implic A sau A B i B A => A = B.

Dou evenimente A i B sunt incompatibile dac nu se pot realiza simultan ( A B= ) )cu proprietile:

Fie K o subfamilie din P( a. Dac A

K atunci i A

K

b. Dac A1, A2,..., An,...este un ir arbitrar de evenimente din K atunci i Perechea ( Dac i K = P( Observaie: , K) se numete cmp de evenimente. este o mulime finit atunci ( )

An 1

n

K

,K) se numete cmp finit de evenimente

Numrul tuturor evenimentelor cmpului este 2n, unde n = numrul de evenimente aleatoare.

2.1.2. CMPURI DE PROBABILITATE Fie cmpul de evenimente ( Definiii:

, K)

O functie P : K R care satisface condiiile:

39

P1) 0

P( A) 1,

A

K

P2) P( ) = 1 P3) Orice ir de evenimente A1, A2,..., An,... dou cate dou incompatibile ( Ai = , pentru i j) are loc egalitateaP( An )n 1

Aj

P ( An ) =n 1

se numete probabilitate pe ( probabilitate. Dac (

,K) iar tripletul (

, K, P ) se numete cmp de

, K) este un cmp finit de evenimente compus din evenimentele elmentare =

A1, A2,..., An adic P(Ak)

Ak 1 n k 1

n

k

atunci

0,

k

1, n i

P( Ak )

P( ) 1 .

Dac P(A1) = P(A2) = ... = P(An) evenimentele elementare Ak se numesc echiprobabile sau egal probabile i P(Ak) =

1 n

P(A) = numarul de evenimente elementare favorabile lui Anumarul total de evenimente elementare ale campului

(Definiia clasic a probabilitii) Dintr-o grupa de 25 de studeni, 15 studeni s-au pregtit pentu examenul de matematica Care este probabilitatea ca un student s promoveze examenul? Dar s nu il promoveze? Fie A = evenimentul ca un student ales la ntmplare s promoveze examenul

Exemplu

Nr. de evenimente elementare favorabile producerii evenimentului A = 15 Nr. total de evenimente elementare ale cmpului = 25 P(A) =

15 25

0,6 sau 60%

Fie B = evenimentul ca un student ales la ntmplare s nu prompveze examenul 40

P(B) =

10 25

0,4 sau 40%

Proprieti

1. P(B-A) = P(B) P(A B = (B A) adic (B A)

B)

Oricare dou evenimente A i B au loc egalitatile: (A (A B) i evenimentele (B A) i (A B) = . B) sunt incompatibile ,

Aplicand definiia probabilitii avem: P(B) = P(B - A)+P(A 2. Dac A Dac A P(B) - P(A 3. Dac A B) adic P(B - A) = P(B) - P(A B).

B atunci P(B-A) = P(B) P(A) B rezult ca A B = A. Aplicand proprietatea 1) vom avea: P(B - A) = B) = P(B) P(A)

B atunci P(A)

P(B)

Din proprietatea 2) avem relatia P(B-A) = P(B) P(A), si conform Definiiei probabilitii, P(B-A) Rezult ca P(B) P(A) 0, deci P(B) 0

P(A).

4. P( A ) = 1 P(A) AA=

i

A

A=

Din definiia probabilitii avem: P(A i P(AA ) = P(

) adic P(A

A ) = 1.

A ) = P(A) + P( A ) . Rezult ca P(A) + P( A ) = 1 , adic P(A) = 1 P( A )

Exemplu

Dac probabilitatea ca ziua de mine s fie insorit este de 0.3 atunci probabilitatea ca ziua de mine s fie noroasa este de 1-0.3 = 0.7

Proprieti

5. P(

)=0 i implicit A = . Rezult ca: P( )=1

Folosim proprietatea 4) considernd A = P( Dar P( 6. P(A )

) = 1 din definiia probabilitii, deci P( B) = P(A) + P(B) P(A B)

) = 0.

41

Putem scrie : A

B=A

(B (A

B))

Aplicand definiia probabilitii i proprietatea 1) avem: P (A B) = P(A) + P(B (A B)) = P(A) + P(B) P(A B)

Exemplu

Care este probabilitatea ca la aruncarea a 2 zaruri suma feelor s fie 7 sau 11? Rezulttele experienei aruncrii a dou zaruri sunt prezentate n tabelul urmator: 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 2-5 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66

Fie A = evenimentul ca la aruncarea zarurilor suma feelor s fie 7 B = evenimentul ca la aruncarea zarurilor suma feelor s fie 11 C = evenimentul ca la aruncarea zarurilor suma feelor s fie 7 sau 11 A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} B = {(5,6), (6,5)} i C = A B Numrul total de evenimente ale cmpului = 36 Evenimentele A i B sunt independente, deci A Si P(A P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A B) B=

6 36

2 0 36 2 9

B) =

PROBLEME REZOLVATE

42

Problema 1

Se consider experiena aruncrii unui zar.

a) Care este probabilitea ca la aruncarea unui zar, faa obinut s fie par i divizibil cu 2? Evenimentul sigur, sau spaiul de selectie este = {1,2,3,4,5,6} Fie A: evenimentul ca la aruncarea zarului s obinem o faa par Si B : evenimentul ca la aruncarea zarului s obinem un numr divizibil cu 3. A = {2,4,6} B = {3,6} i A B = {3} Folosind definiia clasic a probabilitii, P(A b) cu 4? Fie A: evenimentul ca la aruncarea zarului s obinem o fa par Si B : evenimentul ca la aruncarea zarului s obinem un numr divizibil cu 4. A = {2,4,6} B = {4} i A B = {2,4,6} i A B = {4} B) =

n( A B ) n( )

1 6

Care este probabilitea ca la aruncarea unui zar, faa obinut s fie par sau divizibil

Metoda 1 Folosind definiia clasic a probabilitii, P(A B) =

n( A B ) n( )

3 6

1 2

Metoda 2 Folosind proprietatea P(A P(A c) prim? Fie A: evenimentul ca la aruncarea zarului s obinem o fa impar Si B : evenimentul ca la aruncarea zarului s obinem un numr prim A = {1,3,5} B = {1,2,3,5} i A B = {1,3,5} Folosind definiia clasic a probabilitii, P(A B) = B) = B) = P(A) + P(B) P(A B)

3 6

1 6

1 6

1 sau 0.5 sau 50% 2

Care este probabilitea ca la aruncarea unui zar, faa obinut s fie impar i numr

n( A B ) n( )

3 6

1 243

d) prim?

Care este probabilitea ca la aruncarea unui zar, faa obinut s fie impar sau numr Fie A: evenimentul ca la aruncarea zarului s obinem o faa impar Si B : evenimentul ca la aruncarea zarului s obinem un numr prim A = {1,3,5} B = {1,2,3,5} i A B = {1,2,3,5}

Metoda 1 Folosind definiia clasic a probabilitii, P(A B) =

n( A B ) n( )

4 6

2 3

Metoda 2 Folosind proprietatea P(A P(A B) = B) = P(A) + P(B) P(A B)

3 6

4 6

3 6

4 6

2 3

Problema 2

Se consider experiena aruncrii a 2 zaruri.

a) Care este pobabilitatea ca la aruncarea zarurilor suma feelor s fie 6 sau 10? n( ) = 36 A = evenimentul ca la aruncarea celor 2 zaruri, suma feelor aparute s fie 6 B = evenimentul ca la aruncarea celor 2 zaruri, suma feelor aparute s fie 10 C = evenimentul ca la aruncarea celor 2 zaruri, suma feelor aparute s fie 6 sau 10. A = {(1,5), (2,4).(3,3),(4,2),(5,1)} B= {(4,6), (5,5),(6,4)} C=A B B= deci P(A B) = 0 B) B) = P(A) + P(B) P(A

Se observa ca A Atunci: P(A P(A P(A B) = B) =

5 36 2 9

3 0 36

b) Care este probabilitatea ca la aruncarea zarurilor s obinem fee identice sau suma feelor s fie mai mica decat 5? 44

A = evenimentul ca la aruncarea celor 2 zaruri s apar fee identice B = evenimentul ca la aruncarea celor 2 zaruri, suma feelor aparute s fie mai mica decat 5 C = evenimentul ca la aruncarea celor 2 zaruri s apar fee identice sau suma feelor aparute s fie mai mica decat 5. A = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} B= {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1), (2,2),(3,1)} C=A A P(A P(A P(A Problema 3 B B) = P(A) + P(B) P(A B) = B) =

B = {(1,1),(2,2)} B)

6 36

6 36

2 36

5 18

Intr-un dulap sunt 6 perechi de pantofi. Dac se extrag la ntmplare 2 pantofi, care este probabilitatea ca pantofii extrasi s formeze o pereche?

Numrul total de cazuri posibile este C 62 =15, iar numrul de cazuri favorabile este dat de numrul perechilor de pantofi, adic 3. Notand cu A evenimentul ca cei 2 pantofi extrasi s formeze o pereche, P(A)=

3 15

0.2

REZUMATO functie P : K R care satisface condiiile: P1) 0 P2) P(

P( A) 1,)=1

A

K

P3) Orice ir de evenimente A1, A2,..., An,... dou cate dou incompatibile ( Ai loc egalitatea P (

Aj =

, pentru i

j) are

An 1

n

)=n 1

P( An ) se numete probabilitate pe ( ,K) iar tripletul (

, K, P ) se numete

cmp de probabilitate.

45

P(A) = numarul de evenimente elementare favorabile lui Anumarul total de evenimente elementare ale campului

Proprieti

1. P(B-A) = P(B) P(A 2. Dac A 3. Dac A

B)

B atunci P(B-A) = P(B) P(A) B atunci P(A) P(B)

4. P( A ) = 1 P(A)

2.2. PROBABILITI CONDIIONATE. EVENIMENTE INDEPENDENTE

Obiective operaionale: La sfaritul parcurgerii unitii de nvare, studenii trebuie: O1: s cunoasc i s aplice formula probabilitii totale si formula lui Bayes O2: s defineasc evenimentele independente O3: s rezolve probleme cu evenimente independente i probabiliti condiionate

2.2.1. PROBABILITI CONDIIONATE

Definiii

Fie (

, K, P) un cmp de probabilitate i B K cu P(B)>0. Pentru orice

A K definim probabilitatea realizrii evenimentului A conditionata de B ca fiind: PB(A) = P(A/B)

P( A B) P( B)

Consecin

Regula produsului Dac A i B sunt evenimente cu probabiliti diferite de zero din K, atunci:P( A B) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)

46

Teorema

Formula probabilitii totale Dac Ai, i= 1, n este o partitie a evenimentului sigur, atuncin

B

K are loc egalitatea:

P( B)i 1

P( Ai ) P( B / Ai )

Teorem

Teorema lui Bayes Dac Ai, i= 1, n este o partiie a evenimentului sigur, atunci egalitatea:

B

K i k fixat are loc

P( Ak / B)

P( Ak ) P( B / Ak )n

P( Ai ) P( B / Ai )i 1

2.2.2. EVENIMENTE INDEPENDENTE

Definiii

Fie (

, K, P) un cmp de probabilitate . Dou evenimente A,B K sunt

independente dac :P( A B) P( A) P( B)

Evenimentele Ai K sunt independente dac pentru orice submulime finit de evenimente {E1, E2,,Ek} a lui A avem : P( E1E2 ... Ek ) P( E1 ) P( E 2 ) ... P( E k )

Teorema

Dac A i B sunt dou evenimente independente din spaiul K, cu probabiliti diferite de zero, atunci : P(A/B) = P(A) i P(B/A) = P(B)

47

PROBLEME REZOLVATE

1. Dac 60% din angajaii unei companii sunt femei, i 75% dintre femei au 1 copil, s se calculeze probabilitatea ca un angajat ales la ntmplare s fie femeie i s aiba un copil. Definim mulimile: A: evenimentul ca un angajat ales la ntmplare s fie femeie i P(A) = 60% B: evenimentul ca un angajat femeie s aiba un copil C: evenimentul ca un angajat s aiba un copil D: evenimentul ca un angajat ales la ntmplare s fie femeie i s aiba un copil Evenimentul D se poate scrie ca fiind D = A C. Atunci evenimentul B= C/A i P(B) = P(C/A) = 75% P(D) = P(A C) = P(A).P(C/A) = 0.75 x 0.60 = 0.45 sau 45% 2. Urna nr. 1 contine 3 bile albe i 4 bile negre. Urn nr. 2 contine 3 bile albe i 5 bile negre. S se calculeze probabilitatea ca o bila aleasa la ntmplare dintr-una din cele 2 urne s fie alba. Fie evenimentele: A = se extrage o bila din urn nr.1 B = se extrage o bila din urn nr.2 C = se extrage o bila alba P(A) = P(B) =

1 3 . Probabilitatea ca o bila extrasa din urn nr.1 s fie alba este P(C/A) = . 2 7 3 8

Probabilitatea ca o bila extrasa din urn nr.2 s fie alba este P(C/B) = Aplincnd formula probabilitii totale vom avea:

P(C) = P(A)P(CA) +P(B)P(CB) = (1/2) x (3/7) + (1/2) x (3/8) = 45/112 = 0.40178.

48

REZUMAT PB(A) = P(A/B)P( A B)n i 1

P( A B) P( B) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)

P( B)

P( Ai ) P( B / Ai )

P( Ak / B)

P( Ak ) P( B / Ak )n

P( Ai ) P( B / Ai )i 1

Dou evenimente A,B K sunt independente dac : P( A

B)

P( A) P( B)

Dac A i B sunt dou evenimente independente din spaiul K, cu probabiliti diferite de zero, atunci : P(A/B) = P(A) i P(B/A) = P(B)

2.3. SCHEME PROBABILISTICE

Obiective operaionale: La sfaritul parcurgerii unitii de nvare, studenii trebuie: O1: s cunoasc schemele probabilistice clasice O2: s aplice schemele probabilistice clasice n rezolvarea problemelor

Schema Poisson

Se consider un sistem de experiene independente Ei cu i = 1, n i un sistem de evenimente asociat experienelor Ei, notat Ai. Probabilitatea realizrii unui numr de k evenimente atunci cnd se efectueaza toate experienele Ai este coeficientl lui xk din polinomul Q(x) = (p1x+q1) (p2x+q2) (pnx+qn) unde pi = P(Ai) i qi = P( Ai ), cu i = 1, n

49

Schema Bernoulli Probabilitatea realizrii unui eveniment A de k ori atunci cnd se efectueaz o experiena de n ori, i atunci cnd cunoatem probabilitatea realizrii evenimentului A(P(A) = p) estek Cn p k q n k

P(C) =

i

q = 1 - p. Schema Bernoulli se mai numete i schema urnei cu bil revenit. Probabilitatea ca o companie sa nregistreze profit ntr-o lun este de 0,6. Care este probabilitatea ca n 6 luni din cele 12 ale anului compania s inregistreze profit ? A= evenimentul compania nregistreaza profit ntr-o lun i P(A) = 0,6 B = evenimentul compania nu inregistreaza profit ntr-o lun i P(B) = P( A ) = 0,4 C = evenimentul compania inregistreaza profit in 6 din cele 12 luni ale anului 6 P(C) = C12 (0,6) 6 (0,4) 6

Exemplu

Schema Bernoulli cu mai multe stri Fie o experien care poate avea probabilitile de realizare pi = P(Ai), i=1,n. Ai formeaz un sistem complet de evenimente decin

ca rezultat doar unul din evenimentele Ai care au

pii 1

1 . Dac se repet de k ori

experiena n aceleai condiii, probabilitatea realizrii evenimentului A care const n realizarean

evenimentelor Ai de mi ori (i 1

mi

k ) este P(A) =

k! m m p1m1 p 2 2 ... p n n m1!m2 !...mn !

Schema hipergeometric (schema bilei nerevenite cu doua stari) Se consider o urn care conine N bile din care a -bile albe si b - bile negre. Se fac n extrageri succesive din urn, fra revenire. 50

Fie A = evenimentul ca din cele n bile extrase k s fie albe si n-k negre. Atunci P(A) =k C a C bn n CN k

Exemplu

S se calculeze probabilitatea ca la o extragere a jocului 6 din 49 s se obina numerele : 25,9,15,21,23,8.6 0 C 6 C 43 P(A) = 6 C 49

Schema hipergeometric generalizat (schema bilei nerevenite cu m stri) Se consider o urn care conine N bile din care a1 -bile de culoarea 1, a2 bile de culoarea 2,, am bile de culoarea m. Se fac n extrageri succesive din urn, fra revenire. Fie A = evenimentul ca din cele n bile extrase n1 s aibe culoarea 1, n2 s aib culoarea 2,, nm s aibe culoarea m este : Atunci P(A) =nm n n C a11 C a22 ...C am n CN

Schema geometric (Schema lui Pascal) Se consider o urn care conine bile albe si negre, pentru care se cunoate probabilitatea extragerii unei bile albe ca fiind p. Se fac n extrageri succesive din urn, cu revenire. Fie A = evenimentul ca prima bil alba s apar exact la extragerea k si primele k-1 bile extrase sa fie negre. P(A) = p.qk-1

PROBLEME REZOLVATE

Exemplu

Trei grupe de studeni contin 20%, 15% respectiv 10% baieti. Se alege la ntmplare cate un student din fiecare grupa. s se calculeze probabilitile evenimentelor :

51

a)

un singur student din cei 3 alesi s fie baiat

Ipoteza : Considerm sistemul format din 3 experiene Ei, i=1,3 i probabilitile asociate de extragere a unui baiat din fiecare grupa P(Ei) = pi, respectiv p1 = 0.2, p2 = 0.15 i p3 = 0.1. Atunci, probabilitile de a extrage o fat din fiecare grup vor fi q 1= 0.8, q2 = 0.85 respectiv q3 = 0.9. Probabilitatea realizrii evenimentului A : un singur student s fie biat (k=1) atunci cnd se efectueaz cele 3 experiene este coeficientul lui x din polinomul Q(x) = (p1x+q1)(p2x+q2)(p2x+q2) Q(x) = p1p2p3x3 + (p1p2q3 + p2p3q1 + p1p3q2)x2 + (p1q2q3 + p2q1q3 + p3q1q2)x + q1q2q3. P(A) = p1q2q3 + p2q1q3 + p3q1q2 un singur student din cei 3 alesi s fie fata

b)

In ipotezele enunate la pct.a) probabilitatea ca un singur student s fie fat este echivalent cu probabilitatea ca 2 studeni din cei alei s fie baiei, adic probabilitatea realizrii a 2 evenimente (k=2) la efectuarea celor 3 experiene. Conform Schemei Poisson, probabilitatea alegerii a 2 studeni este coeficientul lui x2 din polinomul Q(x) = (p1x+q1)(p2x+q2)(p2x+q2). P(B) = p1p2q3 + p2p3q1 + p1p3q2 probabilitatea ca toi cei 3 studeni alei s fie biei

c)

Probabilitatea ca 3 studeni din cei alei s fie bieti, este probabilitatea realizrii a 3 evenimente (k=3) la efectuarea celor 3 experiene i conform Schemei Poisson, va fi egala cu coeficientul lui x 3 din polinomul Q(x) = (p1x+q1)(p2x+q2)(p2x+q2) P(C) = p1p2p3 probabilitatea ca toi cei 3 studeni alei s fie fete

d)

Probabilitatea realizrii evenimentului D : toti studenii alei sunt fete este egal cu probabilitatea realizrii evenimentului nici un student nu este biat sau 0 studeni sunt biei (k=0) probabilitate care potrivit schemei Poisson este egal cu valoarea coeficientului x0 (termenul liber) din polinomul Q(x) = (p1x+q1)(p2x+q2)(p2x+q2) P(D) = q1q2q3 probabilitatea ca cel mult un student s fie biat

e)

Dac A = evenimentul ca un student din cei 3 alei este biat Si D = evenimentul ca toti studenii sunt fete

52

Notnd cu E = evenimentul ca cel mult un student din cei 3 alei s fie biat, avem E = A D cu A i B evenimente independente. P(E) = P(A D) = P(A) + P(B) probabilitatea ca cel puin 2 studeni s fie bieti.

f)

Am calculat anterior probabilitile realizrii evenimentelor : B = un student din cei 3 alesi este fat C = toti studenii alei sunt baiei Probabilitatea realizrii evenimentului F = B C este P(F) = P(B) + P(C) (B i C sunt evenimente independente).

REZUMAT

Schema Poisson Probabilitatea realizrii unui numr de k evenimente atunci cnd se efectueaza toate experienele A i este coeficientl lui xk din polinomul Q(x) = (p1x+q1) (p2x+q2) (pnx+qn) unde pi = P(Ai) i qi = P( Ai ), cu i = 1, n

Schema Bernoulli Probabilitatea realizrii unui eveniment A de k ori atunci cnd se efectueaz o experiena de n ori, ik atunci cnd cunoatem probabilitatea realizrii evenimentului A ( P(A) = p ) este P(C) = Cn p k q n k

i q = 1 - p.

Schema Bernoulli cu mai multe stri Fie o experien care poate avea ca rezultat doar unul din evenimentele Ai care au probabilitile de realizare pi = P(Ai), i=1,n. Dac se repet de k ori experiena n aceleai condiii,n

probabilitatea realizrii evenimentului A care const n realizarea evenimentelor Ai de mi ori (i 1

mi

k)

este P(A) =

k! m m p1m1 p 2 2 ... p n n m1!m2 !...mn !

53

Schema hipergeometric (schema bilei nerevenite cu doua stari) Se consider o urn care conine N bile din care a -bile albe si b - bile negre. Se fac n extrageri succesive din urn, fra revenire. Fie A = evenimentul ca din cele n bile extrase k s fie albe si n-k negre.k C a C bn Atunci P(A) = n CN k

2.4. TEMA DE CONTROL A UNITII DE NVARE NR. 2

PROBLEME PROPUSE1. Care este probabilitatea ca alegand un numr din primele 1000 de numere intregi i pozitive, acesta s fie divizibil cu 3 sau cu 4? 2. Se arunc dou zaruri, unul de culoare rosie i unul de culoare neagra. Care este probabilitatea ca la aruncarea celor dou zaruri, zarul rosu s aiba un numr mai mic decat 4 sau cel albastru un numr mai mare decat 4? 3. O urn contine 4 bile albe i 6 bile negre. Se consider experiena extragerii simultane a 2 bile. S se calculeze probabilitatea apariiei evenimentelor: a) b) c) ambele bile extrase sunt albe ambele bile extrase sunt negre bilele extrase au aceeai culoare

4. Se arunc un zar de 6 ori. Care este probabilitatea apariiei urmatoarelor fee n ordine : 1,2,3,4,5,6 5. O aeronava are 4 sisteme computerizate de control pentru cele 4 motoare. S se calculeze probabilitatea defectrii simultane a celor 4 siteme de control, dac probabilitatea defectrii fiecrui sistem este de 0.1%.

Rspunsuri:

54

1. Fie A = evenimentul ca numrul ales s se divida cu 3 i B = evenimentul ca numrul ales s se divida cu 4 A B deoarece multiplii lui 12 se divid i cu 3 i cu 4

n(A) = cel mai mare numr intreg n(B) = cel mai mare numr intreg n(A P(A P(A P(A

1000 3 1000 4

333 250 83

B) = cel mai mare numr intreg B) = P(A) + P(B) P(A B) = B) = B)

1000 12

333 1000 1 2

250 83 1000 1000

2. Fie A evenimentul ca la aruncarea zarului rosu s apar un nr. mai mic ca 4. Atunci P(A) =

3 (3 6

cazuri favorabile din 6). Analog, dac B este evenimentul ca la aruncarea zarului negru s apar un numr mai mare decat 4, P(B) =

2 6

Cazurile favorabile evenimentului A i B (A B) este mulimea perechilor ordonate {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6)} iar numrul total posibil de evenimente este 6x6 = 36.

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) =

3 2 30 6 + = 6 6 36 36

0.8333

3. a) ambele bile extrase sunt albe2 Numrul total de cazuri posibile pentru extragerea a 2 bile este C10 = 45.

Fie A evenimentul ambele bile extrase sunt albe2 Numrul de cazuri favorabile extragerii a 2 bile albe este C 4

6

Si P(A) = 6/45 = 0.133

b) ambele bile extrase sunt negre

55

Fie B evenimentul ambele bile extrase sunt negre2 Numrul de cazuri favorabile producerii evenimentului B este C6

15 si

P(B) = 15/45 = 0.333 c) bilele extrase au aceeai culoare Dac C = evenimentul ca ambele bile extrase s aiba aceeai culoare, atunci fie bilele extrase sunt negre fie bilele extrase sunt albe, deci C = A B cu A i B evenimente independente si P(C) = P(A B) = P(A) + P(B) = 0.133 + 0.333 = 0.466 4. (1/6)6 5. Fie Ai evenimentul motorul i se defecteaz , i=1,4 i A evenimentul toate cele 4 motoare se defecteaz A = A1 A2 A3 A4 si P(A) = P( A1 A2 A3 A4 ) = P(A1) P(A2) P(A3) P(A4) = (0.001)4

NTREBRI DE CONTROL 1. Care este diferena ntre un cmp de evenimente i un cmp de probabilitate? 2. Care este importana folosirii teoriei probabilitilor n contextul modelrii fenomenelor economice?

LUCRARE DE VERIFICARE1. O urn contine 5 bile albe i 6 bile negre. Se consider experiena extragerii simultane a 2 bile. S se calculeze probabilitatea apariiei evenimentelor: a) ambele bile extrase sunt albe b) ambele bile extrase sunt negre c) bilele extrase au aceeai culoare

56

2. Dintr-un pachet cu 52 carti de joc, se alege aleator o carte. Se consider evenimentele: A: cartea extrasa este de trefl B: Cartea extrasa are unul din numerele 2 pna la 10 S se calculeze: a) b) c) d) e) P(A) (1 punct) P(B) (1 punct) P(A B) (2 puncte)

P( A ) (2 puncte) P( B ) (2 puncte)

3. Fie

= { 1,2,3,4,5,6} spaiul de selectie asociat unei experiene. S se indice :

a) evenimentele elementare b) dou evenimente incompatibile c) dou evenimente opuse d) dou evenimente astfel ca unul il implic pe celalalt 4. Se arunc 2 zaruri de 100 de ori. n tabelul de mai jos se inregistreaz frecvena apariiei tuturor sumelor posibile pentru cele 2 fee aparute la o aruncare. Suma feelor

2

3

4 5 6

7

8

9 10

Frecventa apariiei 10 12 8 7 13 12 11 7 20 a) Care este probabilitatea ca suma feelor s fie mai mica decat 4 i mai mare decat 9? b) Care este probabilitatea ca suma feelor s fie un numr par sau divizibil cu 5?

2.5. TESTUL DE AUTOEVALUARE NR. 21. Se consider experiena aruncrii de dou ori a unei monezi ; s se arate ca evenimentele : A : apariia feei Cap la prima aruncare si B : apariia feei Cap la a dou aruncare sunt evenimente independente. 2. Experimentului aruncarii unei monede de 3 ori i se poate ataa varaibila aleatoare X = numrul de ori de care poate aparea pajura. Care sunt valorile pe care le poate lua X?

57

a) 1,2,3,4 b) 1,2,3 c) 0,1,2,3

d) CPP, PCP, PPC, CPC, PCC, CCC e) nedefinit f) 0.5, 1.5, 2.5, 3.5

3. Fie experimentul aruncarii a 2 zaruri i variabil aleatoare X = suma numerelor care apar pe feele zarurilor. Care sunt valorile pe care le poate lua X? a) 1,2,3,4,12 b) 2,4,6,8,10,12 c) 1,2,3,4 d) 0,1,2,12 e) nedefinit f) 2,3,4,12

4. Experiment: Se arunca un zar pana apare fata 6. Considerand variabil aleatoare X = numrul de aruncari, valorile pe care le poate lua X sunt: a) 1,2,3,4,12 b) 2,4,6,8,10,12 c) 1,2,3,4 d) 0,1,2, e) nedefinit f) A,B,C,D,

5. S se precizeze tipul urmatoarelor variabile aleatoare: a) se consider experiena aruncarii a 2 zaruri, i variabil aleatoare asociata numrului de aruncari necesare pentru obtinerea la ambele zaruri a fetelor 6. b) variabil aleatoare asociata numrului de intrebari la care un student a raspuns corect, daca studentul rezolva pentru un examen un test cu 50 de intrebari c) variabil aleatoare asociata valorii unei investitii de 10.000 eur dupa un an de la momentul investitiei d) variabil aleatoare asociata rezultatelor experientei de masurare a inaltimii unui grup de 50 de persoane.

Rezolvri : 1. Spaiul evenimentelor echiprobabile al experienei este K = {CC,CP,PC,PP}

Atunci A = {CC,CP} , B = {CC,PC} i A Verificnd definiia, P( A

B {CC} cu P(A) =

1 1 , P(B) = i P( A 2 2

B)

1 4

B)

1 4

1 1 2 2

P( A) P( B) adic A i B sunt independente

4. b, 5. a, 6. c

58

2.6. BILIOGRAFIA SPECIFIC UNITII DE NVARE NR. 21. Mitroi Andreea , Matematic economic I, Ed. Cison, Bucureti, 2010 2. Cenu Gheorghe (coord), Matematici pentru economiti, Editura Cison, 2000 3. Cenu Gheorghe (coord), Matematici pentru economiti - culegere de probleme, Ed. Cison, 2000

59

UNITATEA NR. 3 VARIABILE ALEATOARE

Timpul de studiu individual estimat: 7 h

Bifeaz sarcinile de lucru rezolvate, pe msura parcurgerii lor:

Parcurge obiectivele Citete coninutul leciei Raspunde la ntrebrile de control Parcurge problemele rezolvate Rezolva problemele propuse Recapituleaz cunotinele Pregteste Tema de control

Cuprinsul unitii de nvare: 3.1. Generaliti. Funcia de repartiie 3.1.1. Generaliti 3.1.2. Distribuia de probabilitate (repartiia) a unei variabile aleatoare simple 3.1.3. Funcia de repartiie i densitatea de repartiie a unei variabile aleatoare 3.2. Variabile aleatoare discrete 3.2.1. Operaii cu variabile aleatoare discrete 3.2.2. Operaii efectuate asupra unei variabile aleatoare X 3.2.3. Operaii care se pot efectua cu dou variabile aleatoare X i Y

60

3.3. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare. Coeficientul de corelaie 3.3.1. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare discrete 3.3.2. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare continue 3.4. Coeficientul de corelaie a dou variabile aleatoare 3.5. Tema de control a unitii de nvare nr. 3 3.6. Testul de autoevaluare nr. 3 3.7. Bibliografia specific unitii de nvare nr. 3

3.1. GENERALITI. FUNCIA DE REPARTIIE

Obiective operaionale: La sfaritul parcurgerii unitii de nvare, studenii trebuie: O1: s cunoasc definiia unei variabile aleatoare O2: s caracterizeze fenomene economice cu ajutorul variabilelor aleatoare O3: s calculeze funcia de repartiie a unei variabile aleatoare

3.1.1. GENERALITI Considernd un experiment, n cele mai multe dintre cazuri, fiecrui rezultat posibil al acestuia i putem asocia valori numerice.

Exemplu La aruncarea unui zar se obine una din feele zarului cu valori de la 1 la 6, i fiecrei din aceste experiene i putem ataa valorile numerice 1 pana la 6. Rezultatul experimentului sustinerea examenului la matematica efectuat de un student din anul I este un numr , de la 0 la 10.

Variabila aleatoare este deci o regul, care asociaz fiecrei realizri a unui experiment un numr , aceste numere numindu-se valorile variabilei aleatoare.

61

Definiii:

Se numete variabil aleatoare, o mrime care n urma unei experiene poate lua o valoare dintr-o mulime bine definit, numit mulimea valorilor posibile.

Observaii

Valorile pe care le poate lua o variabil aleatoare se cunosc numai dupa efectuarea experimentului. Variabilele aleatoare se noteaz cu litere mari de la sfritul alfabetului, X, Y, Z,etc, iar valorile pe care le pot lua variabilele aleatoare cu litere mici.

Exemple Experimentului Selectarea unei banci i se asociaz variabila aleatoare X = numrul clienilor bncii.r Valorile pe care le poate lua X sunt 2, 3, 4, ... Experimentului selectarea unui jucator de fotbal i se poate asocia variabila aleatoare Y = numrul golurilor inscrise n acest sezon. Valorile pe care le poate lua Y sunt 0, 1, 2, 3, ... Experimentului de selectare a unui grup de 10 jucatori de fotbal i se poate ataa variabila aleatoare Z = numrul mediu de goluri inscrise de jucatori n acest sezon. Valorile pe care Z le poate lua sunt 0; 0,1; 0,2; 0,3; ....; 1,0; 1,1, ...

Definiii

Daca mulimea valorilor posibile pe care le poate lua o variabil aleatoare este discret (valori numerice specifice sau izolate), variabila aleatoare se numete discret. Variabilele aleatoare discrete care pot lua un numr exact de valori finite se numesc variabile aleatoare finite sau simple. (de ex. Rezultatul aruncrii unui zar) Variabilele aleatoare discrete care pot lua un numr nelimitat de valori finite se numesc variabile aleatoare discrete infinite. ( de ex. numrul de stele estimate a exista n univers) Daca mulimea valorilor posibile este continu (un interval finit sau infinit din mulimea numerelor reale), variabila aleatoare se numete continu. (de ex. Inalimea unui atlet n cm)

62

Exemple Se consider experiena aruncarii unei monezi de trei ori. Considernd ca rezultat aparitia fetei Cap, mulimea valorilor pe care le poate lua acest rezultat este {0,1,2,3} i variabila aleatoare asociat este finit. Alegnd o banc din mulimea bncilor existente i considernd ca rezultat numrul de companii care au cont deschis la respectiva banc, variabila aleatoare ataat poate lua valorile {1,2,3,4,} i este o variabil aleatoare discret i infinit (nu exist o limit superioara pentru numrul de companii care pot avea cont deschis la respectiva banc) La experiena de msurare a lungimii unui obiect, variabila aleatoare asociat rezultatelor experienei poate lua orice valoare din mulimea numerelor pozitive, deci variabila aleatoare va fi continu.

3.1.2. DISTRIBUIA DE PROBABILITATE (REPARTIIA) A UNEI VARIABILE ALEATOARE SIMPLE Se consider experiena aruncrii a 2 zaruri, i variabil aleatoare X asociata rezultatului obtinut la insumarea valorii fetelor care apar la aruncarea zarurilor. Multimea valorilor variabilei aleatoare X este {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Dorim s obtinem informaii despre condiiile n care X ia diverse valori posibile. Evenimentul X = 2 este format din apariiile feelor {(1, 1)} Evenimentul X = 3 este format din apariiile feelor {(2, 1), (1, 2)} Evenimentul X = 4 este {(3, 1), (2, 2), (1, 3)} i asa mai departe. Numrul total de evenimente posibile egal probabile este 62 = 36 i fiecrui eveniment i se poate calcula probabilitatea de aparitie. De exemplu P( X = 4) =

3 36

1 12

Rezultatele calculului tuturor probabilitilor evenimentelor care pot aparea la aruncarea a 2 zaruri pentru variabil aleatoare X se pot scrie sub forma:2 1 36 3 2 36 4 3 36 5 4 36 6 5 36 7 6 36 8 5 36 9 4 36 10 3 36 11 2 36 12 1 36

63

Definiii Se numete repartiie a unei variabile aleatoare discrete enumerarea tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare precum i a probabilitilor corespunzatoare. Fie variabil aleatoare X i xi valorile posibile pe care aceasta le pote lua. i = 1,2,n Fie Ei evenimentul ca variabila aleatoare X s ia valoarea xi. (X = xi), i = 1,2,n i Vom nota cu P(Ei) = P(X=xi) = f(xi) = pi probabilitatea ca variabila aleatoare X s ia valoarea xi. (f(xi) este funcia de probabilitate). Mulimea perechilor ordonate ( xi, f(xi)) se numete repartiia variabilei aleatoare discrete X. Observaie n practic, o variabil aleatoare discret se prezint sub forma matriceala, Xx1 f ( x1 ) x2 ... f ( x 2 ) ... xn f ( xn )

sau X:x1 p1 x2 p2 ... x n ... p n

3.1.3. FUNCIA DE REPARTIIE I DENSITATEA DE REPARTIIE A UNEI VARIABILE ALEATOARE Fie cmpul de probabilitate ( Definiii definit prin: F(x) = P({ Observaie Definiii : X( ) < x}) = P(X < x), x R , K, P) i variabila aleatoare X : R R,

Se numete funcie de repartiie a variabilei aleatoare X o funcie F : R

Orice variabil aleatoare se poate defini cu ajutorul funiei sale de repartiie. Funcia de repartiie a unei variabile aleatoare simple X, sau mai general, discrete, cu repartiia (xi,f(xi)), i = 1, n , este dat de relaia F(x) =xi x

f ( xi ) .

64

Functia de repartiie F a unei variabile aleatoare discrete X se numete functie de repartiie de tip discret. Funcia de repartiie a unei variabile aleatoare continue X estex

F(x) =

f (u )du pentru orice x R

Proprieti

Dac F : R 1. 0 F(x)

R este funcia de repartiie a unei variabile aleatoare, atunci : 1, oricare x R F(b), oricare a,b R

2. F este nedescresctoare: daca a < b atunci F(a) 3. Daca a < b oricare a,b R au loc egalitatile: P( a X 0, pentru x [1,3]. De asemenea f(x) = 0 pentru x (,1) (3, ), i deci f(x)

0, orice x

R, prima conditie fiind verificata. Determinarea constantei k se face utilizand a doua conditie, i anume

f (u )du 1 .

66

Vom avea:1 3 3

f (u )du

0du1

k (2u 1)du3

0du1

k (2u 1)du

k (u 2

3 u ) 1 6k i deci 6k = 1

de unde rezul k =

1 6

i funcia densitate de repartiie este:

1 (2 x 1), 1 x 3 f(x) = 6 0 in restx

c) funcia de repartiie F(x) se determii din relatia F(x) =x

f (u )du .

- pentru x

(-

,1), F(x) =

0du 0.

- pentru x [1,3),1 x

F(x) =

f (u )du1

f (u )du1

1 (2u 1)du 613

x

1 2 (u 6x

x u) 1

1 2 (x 6

x)

-pentru x [3,

), F(x) =

0du

1 (2u 1)du 6 1

0du 1 si3

Functia de repartiie va fi :

0 , x 1 1 2 F(x) = ( x x) , 1 x 3 6 1 , x 3

Se poate verifica c F(x) = f(x) pentru orice x R..

REZUMAT Se numete variabil aleatoare, o mrime care n urma unei experiene poate lua o valoare dintr-o mulime bine definit, numit mulimea valorilor posibile. Se numete repartiie a unei variabile aleatoare discrete enumerarea tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare precum i a probabilitilor corespunzatoare.O variabil aleatoare discret se prezint sub forma matriceala, X :

x1 f ( x1 )

x2 ... f ( x 2 ) ...

xn sau f ( xn )

67

X:

x1 p1

x2 p2

... x n ... p nR, definit prin:

Se numete funcie de repartiie a variabilei aleatoare X o funcie F : R F(x) = P({ Dac F : R 1. 0 F(x) : X( ) < x}) = P(X < x), x R

R este funcia de repartiie a unei variabile aleatoare, atunci : 1, oricare x R F(b), oricare a,b R

2. F este nedescresctoare: daca a < b atunci F(a) 3. Daca a < b oricare a,b R au loc egalitatile: P( a X