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    9. Turbulenz in Flüssigkeiten Experimentelle Beobachtungen bei strömungen in Rohren (Osborne, Reynolds 1883) Laminare Strömung

    • laminare Strömung bei geringer Strömungsgeschwindigkeit • Durchfluss j ist proportional zur Druckdifferenz ∆p Hagen-Poisseuille-Gesetz:

    j = π r 4 ∆ p 8η l

    η: Viskosität, l: Rohrlänge, r: Rohrradius

    • turbulente Strömung bei hoher Strömungsgeschwindigkeit • Durchfluss j nicht proportional zur Druckdifferenz

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    Beispiele turbulenter Strömung In der Natur vorkommende turbulente Strömungen: • Wasserströmungen in Flüssen • Wasserfall • Atmospärische Luftströmungen • Ozeanische Wasserströmungen • Blutströmungen im Herzen

    In der Technik auftretende turbulente Strömungen: • Strömung von Flüssigkeiten und Gasen in Rohrleitungen • Luft-/Wasserströmung um Kraftfahrzeuge/Flugzeuge/Schiffe.... • Austritt von Flüssigkeiten und Gasen aus Düsen/Rohrenden (Schornsteine, Düsentriebwerke, Raketentriebwerke...) • Umrühren von Flüssigkeiten (z. B. Kaffee) • Brennkammern • Maschinen (z.B. Pumpen, Turbinen, Verbrennungsmotoren)

    Test eines Feststoffraketen- Motors der Titan IV Rakete

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    Das Geschwindigkeitsfeld turbulenter Strömungen

    Axiale Komponente ul einer turbulenten Strömung auf der Mittelachse als Funktion der Zeit t

    • Ausgeprägte, nicht periodische Fluktuationen der Strömungsgeschwindig- keitskomponente ul(t) um den Mittelwert ul • Mittelwerte der Geschwindigkeiten ändern sich kontinuierlich als Funktion des Orts

    Normierter Mittelwert der axialen Geschwindigkeit ul einer turbulenten Strömung als Funktion des Normierten radialen Abstands x2

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    Eigenschaften turbulenter Strömung: • Der Hauptbewegung sind Querbewegungen überlagert • Turbulenz führt zur Durchmischung • Wirbelbildung • Geschwindigkeitsfeld variiert nicht periodisch in Ort und Zeit • selbstähnlich • deterministisch chaotisch!

    Turbulente Strömung eines Wasserstrahls, der in ruhendes Wasser strömt.

    Turbulente Flüssigkeitsströmung durch ein Rohr.

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    Mathematische Beschreibung der Strömung in Fluiden Eulersche Bewegungsgleichung:

    ρ du dt

    = ρ ∂u ∂t

    +∇ u2

    2 − u × rot(u)⎡

    ⎣ ⎢

    ⎦ ⎥ = ρK − ∇p

    u(x,t): Strömungsgeschwindigkeit am Ort x zur Zeit t K = dF/dm F: äußere Kraft (z. B. Rührkraft, Schwerkraft, Druckdifferenz) P: isotroper Druck

    Kontinuitätsgleichung:

    ∂ρ ∂t

    + div ρ ⋅u(x,t)( ) = 0

    Berücksichtigung von Reibung:

    Navier-Stokes Gleichung:

    ∂u ∂t

    +∇ u2

    2 − u × rot(u) = K − 1

    ρ ∇p + 4η

    3ρ ∇div(u) − η

    ρ rot(rot(u))

    Navier-Stokes Gleichung besitzt nichtlineare Glieder ==> Instabilität

    η: Viskosität ρ: Dichte

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    Annahme: Inkompressible Fluide

    Inkompressibilität ==> Dichte: ρ = ρo = const. Kontinuitätsgleichung: div(u(x,t)) = 0

    Navier-Stokes Gleichung:

    ∂u ∂t

    = −∇ u2

    2 + u × rot(u) + K − 1

    ρo ∇p − η

    ρo rot rot(u)( )

    = −(u ⋅∇)u − u × rot(u) + K − 1 ρo

    ∇ div(u) − ∆u[ ]

    = −(u ⋅∇)u + K − 1 ρo

    ∇p + η ρo

    Δu

    Randbedingungen bei Strömung durch ein Rohr: • Fluid haftet an den Rändern, Rand (V) des Strömungsvolumens: u x ∈Rand(V ),t( ) = uL (x ∈Rand(V ),t) u: konstante Geschwindigkeit am Rand L: typische geometrische Länge des Strömungsvolumens

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    Die Reynoldszahl • Navier-Stokes Gleichung und Kontinuitätsgleichung beinhalten keine explizite Längen- und Zeitskala (nur Ableitungen der Felder) sowie keine Geschwindig- keitsskala (Galileiinvarianz) • Erst die Randbedingungen definieren eine Längen (L) bzw. Geschwindigkeitsskala (uL)! • Weitere Skala gegeben durch die Materialeigenschaften des Fluids: η/ρ (Einheit: m2/s)

    Reynoldszahl:

    • kleine Reynoldszahlen: lineare (dämpfende) Terme in Navier-Stokes Gleichung dominieren ==> laminare Strömung

    Re = LuLρ η

    Typische Reynoldszahlen: Schmieren von Honig auf Brot Re ≈ 10-4 Umrühren von Kaffee Re ≈ 104 Luftströmung um ein Auto bei u = 50 km/h Re ≈ 3·106 Wasserströmung eines Flusses: Re ≈ 107 Luftströmung um ein Verkehrsflugzeug: Re ≈ 107 -108 Gasaustritt aus Feststoffraketenmotor (Titan IV) Re ≈ 2·108 Atmosphärische Strömungen /Zyklon/Antizyklon) Re ≈ 108 - 1012

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    Windkanäle • Unverzichtbares Mittel zum experimentellen Studium und zur Optimierung der aerodynamischen Eigenschaften von Objekten (z. B. Fahrzeugen) • Aerodynamische Eigenschaften lassen sich vor dem Bau eines Prototypen an einfachen (preisgünstigen) Modellen testen.

    Problem bei großen Objekten: • Windkanäle, in die große Objekte (z.B. Verkehrsflugzeuge) in Originalgröße hinein- passen, können nicht mit vertretbarem Aufwand gebaut werden! • Die Reynoldszahl Re skaliert mit der Größe L des Objektes, während die Schall- geschwindigkeit (Machzahl = 1) größenunabhängig ist! ==> Die aerodynamischen Eigenschaften großer Objektekönnen in konventionellen Windkanälen nicht vollständig an verkleinerten Modellen studiert werden.

    Lösung: Kryogene Windkanäle • Mit fallender Temperatur sinken die Viskosität η und die Schallgeschwindigkeit von Luft, während die Dichte ρ ansteigt! ==> Bei niedrigen Temperaturen können in kryogenen Windkanälen an ca. 2m großen Modellen für Verkehrsflugzeuge typische Reynolds- und Machzahlen erreicht werden!

    Re = LuLρ η

  • 9

    Der ETW (European Transonic Windtunnel)

    Der ETW in Köln-Porz Modell eines Airbus A340 im ETW

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    Technische Daten des ETW:

    Machzahlen: 0.15 - 1,35

    Lufttemperaturen: 110 K - 313 K

    Druck: 1.25 bar - 4.5 bar

    Typische Modellspannweite: 1.6 m

    Max. Reynoldszahl: 8.5·107 (für Flugzeughälften)

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    Energiedissipation • Viskosität (Reibung) führt zu Energiedissipation ==> Turbulenz erfordert stete Energiezufuhr zu ihrer Aufrechterhaltung! • offenes System

    Lokal dissipierte Energie (pro Masse und Zeit):

    ε(x,t) = η ρ ⋅ ∂ui ∂x j

    ∂ui ∂x j ; i, j = 1,2,3 Einheit: [m2/s3]

    • Laminare Strömungen weisen kleineres ε als turbulente Strömungen auf!

    Typische Werte der Energiedissipationsrate:

    Atmosphärische Strömung: ε = 10-6 m2/s3 Strömung in Grenzschichten: ε = 10-1 m2/s3 Windkanal „Stachelschwein“ in Modane (F): ε = 1.75 m2/s3

  • 12

    Die Strukturfunktion

    Strukturfunktion: D(r) = • Beschreibung der Änderung der Geschwindigkeit zwischen zwei Punkten als Funktion des Abstands r

    Wellenzahlspektrum:

    Falls nur ε die Struktur der turbulenten Strömung beeinflusst:

    E(k)dk = u 2

    20

    D(r)  ε 2 /3r2 /3 E(k)  ε

    2 /3k−5 /3

    Andererseits: Für kleine r muss u(x+r) analytisch sein wegen glättender Wirkung der Viskosität ==> u(x+r) - u(x) ~ r ==> D(r) ~ r2

    Flüssigkeitsströmung durch ein Rohr

  • 13

    Skizze eines turbulenten Scherfeldes sowie zugehörige Strukturfunktion

    Zwei Bereiche: 1.) zähigkeitsbeherrschter Bereich (viscous subrange VSR)

    D(r) = ε ρ η r2 D hängt explizit von

    Materialeigenschaften (η/ρ) ab!

    D( r ) bestimmt durch parameterfreie Meanfeldtheorie

    2.) nichtlinearer, trägheitsbeherrschter Bereich (inertial subrange ISR) • D ≈ r2/3 • keine Abhängigkeit von Materialeigenschaften (η/ρ) • Wirbelfeld ist statistisch selbstähnlich (Skalierung der Längenskala um λ und Skalierung der Geschwindigkeitsdifferenzen um λ1/3)

  • 14

    Selbstähnlichkeit turbulenter Strömungen Strukturfunktion: D(r) = = Skalenverhalten der Strukturfunktion: D(λr) = λdfD(r)

    VSR-Bereich: v(r) ≈ r ==> df = 2 ISR-Bereich: v(r) ≈ r1/3 ==> df = 2/3

    Strömungsfelder sind fraktal! ISR Bereich ist begrenzt durch 2 Skalen:

    Äußere Skala: Abmessung L des Systems Innere Skala: Dämpfung durch Viskosität

    Dissipationslänge:

    Übergang von turbulenter (ISR-Bereich) zu laminarer Strömung (VSR-Bereich) bei r ≈ 9 rd

    L ≥ r ∈ ISR ≥ 9 rd ∈ VSR

    1 ≈ Re = rν(r)ρ

    η ; ν(r)  ε1/3r1/3

    rd := η3

    ρ3ε ⎛ ⎝⎜

    ⎞ ⎠⎟

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    Einfluss der Viskosität

    Strömung zweier Fluide unterschiedlicher Viskosität (daher unterschiedlicher Renoldszahlen) unter sonst gleichen Bedingungen in Draufsicht (links unds als Schattenwurf (rechts)

    • Die äußere Form des Strahls ist weitgehend unabhängig von der Viskosität • Die minimale Wirbelgröße ist bei dem Fluid mit niedriger Viskosität (große Reynoldszahl) deutlich kleiner als beim höherviskosen Fluid.