GRAEVINSKI FAKULTETSVEUILITA U MOSTARUPredmet: MEHANIKA 2Vjebe
br. 10Profesor: doc dr sc Mladen Koul Profesor: doc. dr. sc. Mladen
KoulAsistent: Ante Dolan, mag. ing. gra.1Mostar, 20. prosinca
2013.Lagrange ove jednadbe II. vrsteZADATAK 1.Teret teine P,
pomounerastegljivogueta prebaenogprekohomogenogdiska Ateine izaziva
gibanje kalema Bteine i2PG= Q 2P = diska A, teine , izaziva gibanje
kalema B, teine ipolumjera inercije mase . Odrediti ubrzanje tereta
B.2PG3= Q 2P = 05i r3= R 3r. = 2Rjeenje:Lagrange ove jednadbe II.
vrste:d E E| |0 0K Kqd E EQdt qq| |0 0 = |00\ .PqEQq0= 03K K Pd E E
E0dt q qq| |0 0 0 + = |0 00\ .2K ,B B 21E I ( )2= 2( )2 2 2 2 2B 0Q
Q 5 32QI i R r r rg g 3 3g| |= + = + = |\ .g g 3 3g\ .( )22z zz R
rR 4= + = = ( )2R r 4r + 2 2 2 2KB1 32Q z Q 2PE r ( ) (z) (z)2 3 4
3 3 = = = 4K ,B( ) ( ) ( )2 3g 4r 3g 3g 2K ,A A 11E I ( )2= 22 2 2A
A1 1 G PI m r r r2 2 g 3g= = = g 3g11zz r = = 1r 2 2 2KA1 P z PE r
( ) (z)2 3 6= = 5K ,A( ) ( )2 3g r 6g 2 2K ,P P1 PE m (z) (z)2 2g=
= 2 2gP ,P PPE m gh g( z) Pzg= = = gK ,ukupna K ,A K,B K ,PE E E E
= + +Pa je ukupna kinetika energija sustava:2 2 2K ,ukupnaP 2P PE
(z) (z) (z)6g 3g 2g= + + 62 2 2K ,ukupna4P P 3P 8P 4PE (z) (z)
(z)6g 6g 3g + + = = = K K Pd E E E0dt z zz0 0 0 | | + = |0 0\ .
02KE 4P 8P(z) z3g 3g0 0 | |= = | 0 0 \ . 3g 3gz z 0 0 \ .Kd E d 8P
8Pz z0 | | | | = = || z zdt dt 3g 3gz || \ . 0 \ .E 4P 0 0 | |2KE
4P(z) 0z z 3g0 0 | |= = |0 0 \ .( )PEPz Pz z0 0= = 0 0 8P 8z P 0 z
13g 3g = = 7 3z g8= ZADATAK 2.Valjak Akotrljajui se bez klizanja
niz kosu ravninu podie, pomou j j j j p , pnerastezljivog ueta,
teret C. Ue je prebaeno preko kotura B. Valjak A i koturB su
homogeni kruni diskovi jednake teine Q i jednakog polumjera r, a P
jet i t t COd diti b j ljk A teina tereta C. Odrediti ubrzanje
valjka A.8Rjeenje:2 21 1E m (x) I ( ) = + K ,A A CM AE m (x) I ( )2
2= + 2 2A A1 1 QI m r r = = A A2 2 g22AA(x)(x) r = = 2 2 2K ,A1 Q 1
1 Q xE (x) r ( )2 g 2 2 g r= + Ar2 g 2 2 g r23QE (x)= 9K ,AE (x)4g=
QE m gh g( x) sin Qxsin = = o = oP ,A AE m gh g( x) sin Qxsing= = o
= o12K ,B B B1E I ( )2= 1 1 Q2 2B B1 1 QI m r r2 2 g= = 2(
)22BB(x)(x) rr= = 1 1 Q Q102 2 2K ,A1 1 Q x QE r ( ) (x)2 2 g r 4g=
= 1 P 2 2K ,C C1 PE m (x) (x)2 2g= = PE h ( ) PP ,C CE m gh g(x)
Pxg= = = K ,ukupna K,A K ,B K ,CE E E E = + +2 2 2K ,ukupna3Q Q PE
(x) (x) (x)4g 4g 2g= + + 2K ,ukupnaQ PE (x)g 2g| |= + |\ .P ,ukupno
P ,A P ,B P ,CE E E E = + +g g\ .11P ,ukupnaE (P Qsin ) x = o K K
Pd E E E0dt x xx0 0 0 | | + = |0 0\ . 02KE Q P 2Q P(x) xg 2g g g| |
0 0 | | | |= + = + |||0 0 \ . \ . \ . g 2g g gx x0 0 \ . \ . \ . Kd
E d 2Q P 2Q Px x ( 0 | | | | | | = + = + |(|| x xdt dt g g g gx+ +
|(||\ . 0 \ . \ . E Q P( 0 0| |2KE Q P(x) 0x x g 2g ( 0 0| |= + =
(|0 0 \ . PE(P Qsin ) x P Qsinx x0 0= o = o0 0| | | | 2Q P 2Q Px P
Qsin 0 x Qsin Pg g g g | | | |+ + o = + = o ||\ . \ . 12 g(Qsin
P)x2Q P o = + ZADATAK 3.Homogeni kruni cilindarpolumjeraRlei
naglatkoj kosoj ravnini, kojajenagnuta pod kutom u odnosu na
vodoravni poloaj. U toki B je vezanaopruga krutosti c,iji je drugi
kraj vezan za nepominu toku K. Podpretpostavkom da je opruga
paralelna s kosom ravninom odrediti diferencijalnuopretpostavkom da
je opruga paralelna s kosom ravninom odrediti
diferencijalnujednadbu kretanja valjka.13Rjeenje:2K P1E I2= 22P CMI
I md = + 2 2 2P1 3I mR mR mR2 2= + = 2| |2 2 21 1E mx I = + 22K1 3
xE mR2 2 R| |= |\ .k CME mx I2 2= + 21I mR = 2xx R = = CMI mR2= x
RR= =22 2 21 1 1 x 3E mx mR mx| |= + = | 14kE mx mR mx2 2 2 R 4= +
= |\ .E E EP P ,m P ,op .E E E = +PmE mgh mgxsin = = oPmE mgh = P
,mg g2P ,op.1E c2= oP ,mg152( )22P ,op. st . st .1 1E c x f cf2 2=
+ 2 2 21 1 1E f f f + +2 2 2P ,op. st st . st .E cx cxf cf cf2 2 2=
+ + 21E cx cxf = + P ,op. stE cx cxf2= + 21E i f162P stE mgxsin cx
cxf2= o + + 21E mgxsin cx cxf = o + + P stg2opX 0 mgsin F 0 = o =st
.mgsin cf o = 21E mgxsin cx mgxsin = o + + o17PE mgxsin cx mgxsin2o
+ + o2P1E cx2= K K Pd E E E0dt x xx0 0 0 | | + = |0 0\ . 02KE 3 3mx
mx4 2x x0 0 | |= = |\ .0 0 4 2x x\ .0 0Kd E d 3 3mx mx0 | || |= = |
|\ . mx mxdt dt 2 2x | |\ .\ . 0E 3 0 0 | | 2KE 3mx 0x x 40 0 | |=
= |0 0 \ .2PE 1( cx ) cxx x 20 0= = 0 0 3 2cmx cx 0 x 02 3m + = + =
1819
