8. GREDA OPTEREĆENA PODUŽNIM SILAMA · .4 ČISTO PRAVO SAVIJANJE GREDE lika 8. 8 S 12 (ose y i z - glavne centralne ose popre č ... OM1 V8 V9 V10 Ime i prezime: Index br: 4 25.11.2015

OM1 V8 V9 V10 Ime i prezime: Index br: 1 25.11.2015.

8. GREDA OPTEREĆENA PODUŽNIM SILAMA

Slika 8.2

zI

My

IM

AN

y

y

z

zx +−=σ (8.15)

8.3 AKSIJALNO NAPREZANJE GREDE

AN

x =σ (8.16)

0===

−=−====

zxyzxy

xzy

xx EA

NE

,EAN

E

γγγ

νσ σ

νεεε

(8.18)

EANll =Δ (za N = const i A = const) (8.21)

)x(A)x(N)x(x =σ (8.22)

iferencijalna jednačina štapa pri aksijalnom naprezanju :

d

)x(EA)x(Nu =′ (8.24)

ili (8.26)

ticaj temperature

)x(quEA x−=′′

u

t)x(EA)x(Nt

Edxdu x

x ΔαΔασ

ε +=+== (8.30)

imenzionisanje d

dx σσ ≤ (8.33)


.4 ČISTO PRAVO SAVIJANJE GREDE

lika 8.

8

S 12

(ose y i z - glavne centralne ose poprečnog preseka)

zI

M

y

yx =σ (8.42)

222

111

,y

y

y

y,x

,y

y

y

y,x

WM

zI

MWM

zI

M

−=−=

==

σ

σ

(8.52)

),i(zI

Wi

yi,y 21== (8.53)

rivina (Bernoulli-Euler-ov zakon) k

constEIM

wy

y =−=′′==ρ

κ 1 (8.49)

imenzionisanje d

dmaxy

ymax,x z

IM

σσ ≤= (8.55)

tepen iskorišćenja preseka s

1<=y

y

WW

η (8.60)


.5 ČISTO KOSO SAVIJANJE GREDE 8

yI

MM zy zI zy

x −=σ (8.62)

neutralna osa:

0=−= yI

MM y zI z

z

yxσ

dimenzionisanje

dmax,x σσ ≤ (8.76)

8.6 EKSCENTRI

ČNO NAPREZANJE GREDE

Slika 8.18

zy

IM

yI

MAN

yz

zx +−=σ (8.78)

)zie

yi

e(

AP

y

z

z

yx 221 ++=σ (8.79)

AI

iAI

i zz

yy == 22 (8.80)

jednačina neutralne ose

1=+zy

zy pp (8.84)

jezgro preseka 8.6.2

dimenzionisanje dmax,x σσ ≤ ( dp

)(max,xdz

)(max,x , σσσσ ≤≤ −+ )(8.90), (8.91)


PREZANJE GREDE

A

PRIMER 1. Štap konstantnog poprečnog preseka sa uklještenim

je opterećen jednako-raspodeljenim

.

8.3. AKSIJALNO NA

KSIJALNO NAPREZANJE GREDE – PRIMERI

jednim krajemopterećenjem qx(x) = const. Odrediti funkcije N(x), σ(x), ε(x) i u(x) i nacrtati njihove dijagrame.

1

Odredjivanje funkcije ( )xN korišćenjem diferencijalne veze između normalne sile i podužnog opterećenja :

) ( ) ( )xq

dxxdN

−=a x

x

Konstanta se određuje iz graničnog uslova za normalnu silu, za presek u kome je poznata

rednost presečne sile (razmatranjem samo postavke zadatka), a to je presek na donjem kraju štapa:

( ) ( )∫ =+⋅−= 1CdxxqxN

1Cv ( ) 0=lN ⇒ ____________________ lqC x ⋅−=1


qxN =

Ovaj izraz se može i direktno odrediti iz definicije presečnih sila. Normalna sila u preseku x je dnaka normalnoj komponenti redukcione rezultante opterećenja sa dela ispod preseka na

( ) ( )xlx −⋅

jerastojanju x (dužine xl − ) . b) Funkcija ( )xxσ se određuje iz izraza za normalni napon kada u preseku postoji normalna sila:

( ) ( )==

xNxσAx

) Funkcija ( )xxεc se odredjuje iz Hook-ovog zakona za jednoaksijalno stanje napona:

( ) ( )==

Exx x

xσε

d) Pomeranje edjuje integracijom: u se odr

( ) ( ) ( ) 22 Cdxxlq

Cdxxxu xx +−⋅=+= ∫∫ε

EA

( )EAqxu x=

Konstanta se odredjuje iz uslova po pomeranju __________________ za presek u kome je

omeranje poznato na isnovu postavke zadatka, a to je presek na ______________________: C2

p ( ) 00 =u ⇒ __________________ odnosno 02 =C

( )i konačno ⎟⎟⎞

⎜⎛

−⋅⋅=2xxlqxu x ⎠

⎜⎝ 2EA

eranja dobija se u preseku u kome je prvi izvod pomeranja jednak nuli, a dnosno gde je

Maksimalna vrednost pom

( ) 0=xxεo - na donjem kraju štapa.

EAlqx

2

21 ⋅⋅=( ) ⋅==

EAqluu x

max


PRIMER 2. Štap oblika konusa uklješten je jednim krajem i opterećen sopstvenom težinom. Odrediti N(x) i u(x) i nacrtati dijagrame. Dato je D0, L i γ (zapreminska težina) 2.

U ovom zadatku moguće je direktno odrediti normalnu silu u nekom preseku, polazeći od pravila da se presečne sile dobijaju redukovanjem svih spoljašnjih sila sa jednog od delova nosača na koje ga uočeni presek deli. Prema tome, ako posmatramo proizvoljni presek na rastojanju x i deo ispod tog preseka (koji je konus visine ) , težina tog dela predstavlja ukupnu spoljašnju silu koja deluje na taj deo i to duž ose x .

xL −

Težina konusa je γγγ ⋅⋅⋅=⋅⋅

=⋅= HAHAVG31

3

Za deo ispod preseka na rastojanju x : ___________=H

Prečnik preseka na rastojanju x se može izraziti iz proporcije (sličnosti trouglova) L

xLDD −⋅= 0

Površina posmatranog preseka je :

( )2

0

220

2

02

444⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=

⋅=

LxLA

LxLDL

xLDDxA

ππ

π gde je ( )4

020

0π⋅

==D

AA


( ) ( ) ( ) ( )2

3

0

2

0 331______________________

LxLAxL

LxLAxLGxN −

⋅⋅=⋅−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅==−=

γγ

(kubna funkcija po x) Tražena funkcija za u(x) određuje se slično kao u prethodnom zadatku, integracijom. ( ) ( ) 1Cdxxxu x += ∫ε

Potrebno je zbog toga izraziti dilataciju ( )xxε :

( ) ( ) ( )( ) ( )xL

EExAxN

Exx x

x −⋅⋅

==⋅

==3

_____________________ γσε

( ) ( ) 11 ____________________3

CCdxxLE

xu +=+−⋅⋅

= ∫γ

Konstanta se odredjuje iz uslova po pomeranju u pravcu ose štapa na __________ kraju štapa: 1C ( ) 00 =u ⇒ ___________________ odnosno 01 =C

i konačno funkcija u(x)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅

⋅=

23

2xxLE

xu γ .

Za maksimalnu vrednost zaključuje se, sličnim razmatranjem kao u prethodnom zadatku, da se dobija u krajnjem donjem preseku (vrh konusa) za Lx =

( ) ____________max == Luu


PRIMER 3. Železničke šine dužine L=10m postavljaju se na temperaturi t1=20°C sa zazorom δ=3mm.

a) Naći temperaturu t2 na kojoj će nestati zazora. b) Ukoliko je površina šine A, kakva i kolika sila bi trebalo da deluje na šinu da ukupna promena dužine usled dejstva temperature i te sile bude jednaka nuli.

E=210GPa αt=1,25∙10-5 1/ °C A=20 cm2

a) Promena dužine šine usled zagrevanja dobija se kao ( ) LttLl tx

t ⋅−⋅==⋅=Δ 12_________ αε

Uslov zadatka je δ=Δl

( ) Ltt ⋅−⋅= 12αδ ( ) C 24________________12 °==

⋅=−

Ltt

αδ

C 44202424 12 °=+=+= tt

b) Na šinu treba da deluje podužna sila pritiska P, koja daje normalnu silu N u šini i koja bi dovela do skraćenja šine jednakom izduženju usled temperature

Promena dužine usled sile je LLl Nx

N ⋅=⋅=Δ _______ε

tN ll Δ=Δ ⇒ ( ) LtLE

Nx ⋅Δ⋅=⋅ α

σ ⇒

( ) Pa1063__________________ 6⋅==⋅Δ⋅= EtNx ασ

kN 126N 10126__________________ 3 =⋅==⋅== ANP Nxσ


8.4. ČISTO PRAVO SAVIJANJE GREDE

ČISTO PRAVO SAVIJANJE GREDE – PRIMERI

PRIMER 1. Konzolni štap trougaonog poprečnog preseka opterećen je na kraju spregom čiji momenat je My=6kNm. Odrediti σmax i τmax u štapu.

1. Za zadato opterećenje treba prvo nacrtati dijagrame presečnih sila. My Analizom preseka uočava se da je y osa jedna od glavnih osa preseka, pa dobijeni momenti deluju oko glavne ose i svi preseci su izloženi čistom pravom savijanju. U slučaju štapa konstantnog preseka dovoljno je posmatrati jedan, ma koji presek. Od komponentalnih napona može postojati samo normalni napon xσ , što odgovara linearnom stanju napona. Najveći normalni napon u nekoj tački pri linearnom naponskom stanju je jednak komponentalnom normalnom naponu u toj tački. Najveći normalni komponentalni naponi u preseku se javljaju u najudaljenijim tačkama od neutralne ose. Najveći smičući napon kod linearnog naponskog stanja se javlja u ravnima pod 45°u odnosu na glavnu osu i

jednak je 2

xσ.

Za određivanje komponentalnog normalnog napona primeniće se formule

gy

y

y

ygxx

dy

y

y

ydxx

WM

IM

WM

IM

,,2,

,,1,

___

___

−=−==

===

σσ

σσ

Potrebno je odrediti geometrijske karakteristike:


4cm 25.1406_____________ ==yI

3, cm 281.2525.1406

==dyW 3, cm 562.40125.1406

==gyW

U izraz za određivanje napona unose se sve veličine u osnovnim jedinicama (m, m2, m3, m4, N, Nm), tako da se napon takođe dobija prvo u osnovnim jedinicama ( Pa), a zatim se pretvara u pogodnije jedinice (kPa, MPa) . U okviru Otpornosti materijala ne treba koristiti druge jedinice za napon, kao što su kN/cm2 , koje se još koriste u nekim drugim oblastima.

MPa33.21 Pa1033.21_______________ 6

,, =⋅=== −

dy

ydx W

Mσ

MPa67.42 Pa_____67.42_____625.140

106 3

,, =⋅=

⋅⋅

==gy

ygx W

Mσ

Najveći normalni napon je jednak največem komponentalnom normalnom naponu i javlja se u tački A

MPa6742.g,xmax,xmax −=== σσσ U okviru Otpornosti materijala ako drugačije ne bude naznačeno pod maksimalnim normalnim naponom podrazumevaćemo apsolutno najveći normalni napon po brojnoj vrednost - bez znaka (ne po algebarskoj vrednosti koja uključuje i znak i gde je +2 > -5 ), odnosno

maxmax σσ = pa se u ovom zadatku dobija

MPa42.67 MPa6742 =−=== .g,xmaxxmax σσσ

MPa33212

.maxmax ==

στ


PRIMER 2. Prosta greda AB opterećena je prema skici. a) Proveriti stanje napona u preseku 1-1 (između koncentrisanih sila) b) Ojačati presek 1-1, ukoliko je σx,max > σdoz, simetrično lamelama debljine d=2cm, tako da

σx,max ≤ σdoz=13Mpa.

Dijagrami

4______ cm 933123624121

=⋅⋅=yI

max

yy z

IW = 3cm 1845933125

==yW

dozy

yx W

Mσσ >±=⋅±=

⋅⋅

±== 361.17 Pa10361.17____5184

____90 6max,

Pošto je dozmax,x σσ > potrebno je ojačati presek na traženi način.


bbI y ⋅+=+= 33.144593312_____________12

93312'

bI

W yy ⋅+== 27.726.4665

''

Postavlja se uslov

dozmax,x σσ < MPa13=dozσ

( ) ____131027.726.4665

____90____max, ⋅<

⋅⋅+⋅

=bxσ

6

9

10131090277264665⋅⋅

≥⋅+ b..

cm 2373164665131090

27721 3

...

b =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅≥ ⇒ usvaja se cm _____=b

(izbor vrednosti b se vrši zaokruživanjem na veću vrednost, jer u suprotnom bi se dobio otporni moment W ______od zahtevanog, a napon _____ od dozvoljenog. Zaokruživanje se vrši u zavisnosti od materijala, naprimer za čelik obično na ______ , za beton obično na ______ ) U okviru Otpornosti materijala pri zaokruživanju važno je da se vidi glavno pravilo. Provera napona: stvarna vrednost otpornog momenta : 3cm 697832277264665277264665 =⋅+=⋅+= ..b..W '

y

MPa89812 Pa1089812106978

1090 66

3

..stvmax,x =⋅=

⋅⋅

= −σ

Dobijena stvarna vrednost normalnog napona je manja od dozvoljene i dovoljno bliska njoj, što je i cilj pri dimenzionisanju .


PRIMER 3. Nosač ABC leži u ravni xAy i opterećen je u preseku C spregom Mξ=60kNm prema skici. Dimenzionisati nosač tako da τmax u nosaču za presek 1-1 ne pređe dozvoljenu vrednost τd=80MPa.

Dijagrami presečnih sila Na delu 1-1 postoji samo . Pošto je osa ηM η jedna od glavnih osa svi preseci na ovom delu su izloženi čistom pravom savijanju oko te ose.

[ ] ( ) 4334

65210612812

___________________________121 ttI ⋅=⋅−⋅==η

34

67.108652 ttW ⋅=⋅

=η

ymax, W

Mηξσ =


za linearno stanje napona ________21

21

21

max,maxmax === ξσστ

Uslov zadatka je dozττ ≤max pa treba da bude

21

max dozWM

ττη

η ≤= ⇒ 4, 1075.3

_________2_________

2−⋅=

⋅=

⋅=

dozpot

MW

τη

η

( )410753 −⋅=> .WW pot,ηη

43 1075.3___________ −⋅≥⋅ t

cm 511.1_____ 10511.11511.0101

101067.10875.3 23

3 =⋅=⋅=⋅⋅

≥ −t

usvaja se cm 551.t = Provera napona : Stvarna vrednost otpornog momenta : 33 cm 67404 55167108 ...W stv, =⋅=η

i stvarna vrednost smičućeg napona:

MPa80 MPa_________ Pa1074.13 Pa_____07413.01067.4042

1060 66

3

<=⋅=⋅=⋅⋅

⋅= −stvτ


8.5. ČISTO KOSO SAVIJANJE GREDE

ČISTO KOSO SAVIJANJE GREDE – PRIMERI

PRIMER 1. Nosač AB je izložen savijanju spregovima My , prema skici. Odrediti σmax i τmax u nosaču, ako je poprečni presek oblika 1-1.

Usled zadatog opterećenja treba prvo treba nacrtati dijagrame presečnih sila. Pri crtanju momenta savijanja dijagrami se mogu nacrtati u odnosu na zadate ose. Prema tome za dati slučaj moguće je nacrtati dijagram savijanja u odnosu na osu y . Dobija se konstantan moment savijanja duž nosača :

kNm.4=yM Kada se nakon određivanja dijagrama presečnih sila prelazi na analizu napona u slučaju kada postoji moment savijanja, kao u ovom zadatku, prvo što treba konstatovati je da li je to slučaj pravog ili kosog savijanja (bez obzira da li je to slučaj čistog ili savijanja silama). Za to je potrebno odrediti gde se nalaze glavne centralne ose inercije preseka, ili bar uočiti da li su zadate ose inercije glavne ose. U datom slučaju dovoljno je uočiti da date ose nisu glavne ose inercije (bilo na osnovu iskustva iz prethodno urađenih zadataka ili iz poznate činjenice da za ovako postavljene ose pravouglog trougla postoji centrifugalni moment inercije što znači da date ose nisu glavne ose). To znači da se radi o kosom savijanju i da sledeće treba odrediti vrednosti glavnih momenata inercije i položaj glavnih centralnih osa inercije, odnosno odrediti potrebne geometrijske karakteristike za analizu kosog savijanja i nastaviti rešavanje prema zahtevima zadatka u sistemu glavnih osa inercije. Pošto se traže vrednosti σmax i τmax , a i u slučaju kosog savijanja jedini komponentalni napon je xσ , pa što se tiče daljeg rešavanja zadatka sledi slično razmatranje kao u primeru 1 poglavlja o čistom pravom savijanju. Geometrijske karakteristike:

4________ cm 46082412361

=⋅⋅=yI 4_________ cm 11522412361

=⋅⋅=zI

4_________ cm 11522412721

=⋅⋅+=zI


( u slučaju trougaonog preseka uvek posebnu pažnju treba voditi o znaku centrifugalnog momenta inercija prema pravilu datom u poglavlju o momentima inercije - u ovom slučaju znak je + )

8.20762880________2

________________2

______________ 22

,2,1 ±=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±== ζηII

4

1 cm 84956.II == η 42 cm 2803.II == ζ

_________2

2 1ηζα

Itg −=

> ili <

6667.0___________

_______22 1 −=⋅

−=αtg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

><

0 0

cossin kvadrantuIV2 1 ∈⇒ α

( ) ( ) °=−== 15.163______________21________________

21

1 arctgα

Kada je određen položaj glavnih centralnih osa inercije treba odrediti projekcije vektora momenta

na te ose. Ovde se uočava ugao yM

°=−=−= 851615163180180 1 ..αθ u daljoj izradi zadatka biće potrebne vrednost sinusa i kosinusa uglova θ i ϕ

289780 289780957080 957080

.sin.sin.cos.cos

==−==

θθϕθ

Pomoću ugla θ se određuju brojne vrednosti (apsolutne vrednosti) projekcija momenta na glavne ose inercije:

yM


θη ______⋅= yMM θζ ______⋅= yMM Odavde je moguće nastaviti ili a) unošenjem ovih izraza u poznati izraz za normalni napon u slučaju kosog savijanja (gde će dalje ostati da figuriše ili yMb) daljim sračunavanjem konačnih vrednosti i i njihovim unošenjem poznati izraz za normalni napon u slučaju kosog savijanja.

ηM ζM

_________________=xσ (a) U ovom zadatku biće primenjen prvi način. ( Podužnu osu moguće je ostaviti označenu kao x ili upotrebiti oznaku ξ ) U ovoj formuli sem postojećih znakova u formuli znak imaju momenti i koordinate. U prvom koraku unosimo samo momente. Konvencija o znaku momenata koja se upotreblljava sa ovom formulom je da ako su vektori momenta usmereni u pozitivnim smerovima koordinatnih osa onda je njihov znak +. Uvođenjem znaka je θη cos_____ ⋅= yMM θζ sin_____ ⋅= yMM Unošenjem ovih izraza u (a) dobija se

ηθ

ζθ

σζη IsinM

IcosM yy

x

⋅−−

⋅−= ili ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⋅= ηθζθσ

ζη Isin

IcosM yx (b)

Sledeće treba odrediti položaj neutralne ose iz uslova 0=xσ odnosno

0=+− ηθζθ

ζη Isin

Icos

odakle je ηζ __________=

unošenjem prethodno sračunatih vrednosti dobija se

ηηζ ⋅=⋅= 868.128978.02.803

_______

Ovo je jednačina prave linije koja __________________________________. Jedna tačka na toj liniji je prema tome _________, a druga se odredjuje zadavanjem pogodne vrednost za η i sračunavanjem odgovarajuće vrednosti ζ iz dobijene jednačine. (Druga mogućnost je da se uzme

u obzir da je to oblik jednačine prave ηαζ ⋅= tg , gde je α ugao nagiba prave prema prvoj od osa - (η )i da se iz αtg odredi α i nacrta prava pomoću tog ugla) Sledi crtanje neutralne ose.


Da bi odredili max,xσ treba uočiti najdalje tačke od neutralne ose. U ovom zadatku su to tačke A i B. Dalje treba sračunati koordinate ovih tačaka u sistemu ηζ iz poznatih vrednosti kooordinata tih tačaka u sistemu yz korišćenjem izraza za transformaciju koordinata pri rotaciji koordinatnog sistema za zadati ugao (u ovom zadatku za ugao ϕ )

ϕϕζϕϕη

coszsinysinzcosy⋅+⋅−=⋅+⋅=

y z ( )( )8 ; 4

16 ; 4−B

A

A: cm 472.16_______________________________________

cm 808.0________________________________________−==⋅+⋅−=

==⋅+⋅=

AAA

AAA

zyzy

ζη

B: ( ) ( )( ) ( ) ( ) cm 498695708082897804

cm 147628978089570804...coszsiny

...sinzcosyBBB

BBB

=−⋅−+⋅−=⋅+⋅−=−=⋅−+−⋅=⋅+⋅=

ϕϕζϕϕη

Sada su poznate sve vrednosti koje se pojavljuju u izrazu (b) za xσ i unošenjem tih vrednost u izraz (b) primenjen na tačke A i B dobijaju se normalni naponi u tim tačkama:

( )

MPa89.13

__________________10_______10________

__________104 ____8

3,

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅= −Axσ

( )

MPa8913

101476102803

2897801049861084956

957080104 28

28

3

.

..

...

.B,x

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅

⋅+⋅⋅

⋅−

⋅⋅= −−

−−σ

MPa8913.A,xmax,xmax === σσσ

MPa________21

21

max,max,max,max ==⋅=⋅= AA τσστ


PRIMER 2. Nosač poprečnog preseka prikazanog na skici opterećen je na koso savijanje. Ravan dejstva momenta sa osom y gradi ugao φ=45°, M=20kNm. Odrediti rastojanje 2a između [ profila tako da σx,max bude jednako dozvoljenom naponu σd=140MPa.

Prema postavci zadatka i obliku definisanog preseka zaključuje se da se radi o kosom savijanju. Potrebno je izraziti geometrijske karakteristike u funkciji poznatih i traženih dimenzija:

41 cm 1210____________2

1=== xy II

22

11 8.404.125_________________________22 aaFII yz +==⋅+= Pretpostavljamo mogući položaj neutralne ose i na osnovu njega zaključujemo o mogučim tačkama u kojima bi se mogao javiti maksimalni napon. Za pretpostavljeni položaj neutralne ose maksimalni normalni napon će se javiti u tački A ( ; ) 254.ayA += 7=Az Uslov zadatka je

)yI

coszI

sin(M Az

Ay

A,xϕ

+ϕ

⋅=σ dσ≤

odnosno

___)___________________________________________________(1020 3 ⋅+⋅⋅⋅ ____10140 ⋅≤


)a..

,a.

( 243

40802541254

1127

22101020

++

+⋅⋅⋅⋅ 81041 ⋅≤ .

240802541254411818140

a...a..

++

⋅+ 41.=

41144040802541254

2 .a..

.a=

++

0734063167860 2 =−− .aa. Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobija se

cm ________1 =a usvajamo cm _________2 =a cm 658.a = (druga vrednost nema

geometrijskog smisla u odnosu na formulaciju zadatka i definisano rastojanje a ) Određujemo stvarne vrednosti geometrijskih karakteristika

41 cm 121060522

1=⋅== xstv,y II

42211 cm 1631786584202762222 ....aFII ystv,z =⋅⋅+⋅=⋅+=

Nalazimo stvarni položaj neutralne ose

-0.38yy116.3178

1210_____________________z =⋅⋅−== ⇒

Crtamo neutralnu osu i uočavamo da je tačka A stvarno najudaljenija tačka od neutralne ose Određujemo koordinate tačke A : A (______ ;_______) i sračunavamo napon u toj tački

MPa 221391091210163178

22

107101210

22

1020 28

28

3 .)..

(stv,A,x =⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

⋅⋅=σ −−

−−

MPa 14022139 =σ≤=σ dstv,A,x .

MPa_________21

21

,max,max, === AxAA σστ


PRIMER 3. Greda pravougaonog poprečnog preseka odnosa stranica b/h=5/7 izložena je naprezanju na čisto koso savijanje momentom savijanja M=60kNm u ravni dejstva momenta koja sa osom y zaklapa ugao φ=30°. Dimenzionisati gredu tako da σmax bude jednako dozvoljenom naponu σd=12MPa.

Pošto je položaj vektora momenta prema koordinatnim osama isti kao u prethodnom zadatku može se iskoristiti izraz za neutralnu osu izveden u prethodnom zadatku Iako nisu poznate pojedinačne vrednosti b i h , pošto je zadat odnos b/h može se odrediti konačna jednačina neutralne ose.

_________________yctgz ⋅−=⋅⋅−= ϕz

y

II

y357y3z 22 ⋅⋅−=⋅⋅−= )()

hb(

-3.4y=z

Uočava se najdalja tačka i za nju postavlja uslov zadatka koristeći izraz za komponentalni normalni napon iz prethodnog zadatka

dAz

Ay

A,xmax,x )yI

coszI

sin(M σ≤+⋅=σ=σ3030

dM σ≤+⋅ ________)__________________(_________

d)hbbh

(M σ≤+⋅ 22

333 kada ubacimo odnos 75

=hb

d)hh

(M σ≤+⋅ 33 25349

573

rešava se po nepoznatoj dimenziji h

dd

M.)(Mhσ⋅=+⋅

σ≥ 384514

25349

5733


m 41580101210603845143

6

3

..h =⋅⋅

⋅≥

usvajamo cm 42=h ⇒ cm =b Provera napona:

MPa 12MPa 6391125

349573 33 =σ≤=+⋅=σ dstvmax, .)

hh(M

PRIMER 4. Konzolni štap čiji je poprečni presek do L/3 kvadrat stranice a=20cm, a na 2L/3 trougao stranice a=20cm, prema skici, opterećen je na kraju momentom savijanja My=10kNm. Odrediti maksimalne vrednosti napona σ i τ za oba poprečna preseka.

Crta se dijagram momenta savijanja usled zadatog opterećenja.

Uočava se da je na delu 1-1 y osa glavna osa i da je presek 1-1 izložen čistom pravom savijanju, a da na delu 2-2 osa y nije glavna osa i da je ovaj presek izložen čistom kosom savijanju.

Deo 1-1

3cm 1333_____==yW MPa57

1013331010

6

311 .

WM

y

ymax,x =

⋅⋅

== −−σ

MPa 616921

21 .A,xAmax,max,A =σ=σ=τ


Deo 2-2

Osa simetrije je jedna od glavnih centralnih osa inercije. Druga je upravna na nju i prolazi kroz težište preseka.

Za usvojene smerove glavnih osa i prema konvenciji o znaku momenata komponente momenta savijanja u odnosu na glavne ose su:

2yM

M =η 2yM

M −=ζ

Momenti inercije

4cm 6666____________________________ ==ηI

4cm 2222_____________________________ ==ηI

Unošenjem ovih vrednosti u izraz za normalni napon ηζσζ

ζ

η

η

IM

IM

x −=

dobija se ηζσζη I/M

I/M yy

x

22+= iz uslova 0=xσ

dobija se jednačina neutralne ose

ηηζζ

η ⋅−=⋅−= 3II

Najveći napon se dobija u tačkam A i B

MPa301021032

1022221

21010 2

8

3

=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

== −−AA,x I

Mζσ

η

η

MPa30

102222

1021031

10666610210

21010

8

2

8

23

−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅⋅−+

⋅⋅⋅

−⋅

=−= −

−

−

−

BBB,x IM

IM

ηζσζ

ζ

η

η

MPa3022 =−maxσ MPa15

21 2222 == −−

maxmax στ

Documents

8. GREDA OPTEREĆENA PODUŽNIM SILAMA · .4 ČISTO PRAVO SAVIJANJE GREDE lika 8. 8 S 12 (ose y i z - glavne centralne ose popre č ... OM1 V8 V9 V10 Ime i prezime: Index br: 4 25.11.2015