Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calculTema exemplului de calculEncipedia > Educational > Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calcul Publicat la 24.08.2012 Scris de Viorel Popa n aceast seciune se prezint principalele etape de calcul pentru dimensionarea unei structuri n cadre de beton armat. Dimensionarea este fcut n acord cu principiile i metodele prezentate n capitolele 2 i 3. Principalele documente normative avute n vedere sunt: Codul de proiectare seismic. Partea I prevederi de proiectare pentru cldiri, P100-1/2012 (editia revizuita a P100-1/2006, in curs de elaborare) i standardul romnesc echivalent SR EN 1998-1-1:2004.Structura are form rectangular n plan i este alctuit din cadre plane aezate n lungul celor dou direcii principale ortogonale. n direcie longitudinal (X) structura are patru deschideri de 5,00, 6,00, 6,00 i, respectiv, 5,00m. n direcie transversal (Y) structura are trei travei de 6,00, 5,00 i, respectiv, 6,00m.Regimul de nlime este S+P+8E, fiecare nivel avnd nlimea de 3,30m. nlimea total suprateran este de 29,70m. Aria construita este de 379m2 i aria desfurat este de 3790m2, incluzand si subsolul. Cldirea are destinaia de locuine i este amplasat n oraul Bucureti.n acest capitol se prezint succint urmtoarele etape de calcul pentru structur: predimensionarea elementelor structurale, evaluarea aciunilor, calculul structural, verificarea la deplasare lateral, dimensionarea armturilor longitudinale i transversale n grinzi i stlpi, verificarea nodurilor.Scopul capitolului este s prezinte o abordare inginereasc, simplificat, att n ceea ce privete procedeele de calcul adoptate ct i n ceea ce privete modul de prezentare a calculului.

Actiuni gravitationaleEncipedia > Educational > Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calcul Publicat la 24.08.2012 Scris de Viorel Popa 1. Combinaia aciunilor care nu cuprinde aciunea seismic2. Combinaia aciunilor care cuprinde aciunea seismicPrincipiile de combinare ale efectelor aciunilor asupra structurii sunt date n CR0/2012. n continuare se prezint succint, valorile estimate ale ncrcrilor n dou grupri:- o grupare care cuprinde numai aciuni gravitaionale cu valorile lor maxime probabile- o grupare care cuprinde aciunea seismic nsoit de aciunile gravitaionale cu valoarea de lung durat.S-au considerat urmtoarele ipoteze:- pe placa de nivel curent, de grosime 15cm, este aezat o ap de 3cm i o pardoseal de 50kg/m2. Pereii de compartimentare care pot fi dispui n orice mod pe plac s-au echivalat printr-o ncrcare uniform distribuit pe plac de 150kg/m2. La intradosul plcii s-a considerat o tencuial de 3cm grosime. ncrcarea util s-a luat, conform temei, de 200 kg/m2.- pe placa de la teras acioneaz greutatea betonului de pant, a ansamblului termo-hidroizolaie, a tencuielii de la intrados i, ca aciune variabil, greutatea zpezii.- pe grinzile perimetrale s-a considerat suplimentar greutatea proprie a parapetului si a aticului, la ultimul nivel.Combinaia aciunilor care nu cuprinde aciunea seismic

Combinaia aciunilor care cuprinde aciunea seismic

Predimensionarea elementelor structuraleEncipedia > Educational > Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calcul Publicat la 24.08.2012 Scris de Viorel Popa 1. Predimensionarea grinzilor2. Predimensionarea stlpilorPredimensionarea grinzilorn lipsa informaiilor privind starea de eforturi n grinzi, n aceast faz de proiectare, grinzile se predimensioneaz de regul pe baza unui criteriu care vizeaz asigurarea rigiditii la ncovoiere a grinzilor, rezistena i ductilitatea urmnd s fie asigurate prin dispunerea de armtur longitudinal i transversal.Criteriu de predimensionare cel mai utilizat este cel care leag nlimea seciunii transversale a grinzilor de lumina acestora:

Grinzile au, n direcie transversal i longitudinal, deschideri maxime de 6,00m. Lumina grinzilor este mai redus, funcie de dimensiunea seciunii transversale a stalpilor. Dac se consider c stlpii vor avea, cel mai probabil, seciuni n intervalul 70x70cm ... 90 x90cm, lumina grinzilor poate avea ntre 5,10 i 5,30.Rezult valori hw situate ntre 43cm i 66cm.ntruct cldirea are un regim mediu de nlime este amplasat ntr-o zon cu seismicitate pronunat, este probabil ca aciunea seismic s dimensioneze elementele structurale principale. Ca urmare, pentru asigurarea rigiditii structurale de ansamblu la aciuni orizontale, se aleg valori maxime ale nlimii transversale a grinzilor, asa cum rezulta din aplicarea relatiei de predimensionare. innd seama c din considerente practice hw se moduleaz la 5cm, se poate alege hw=65cm.Acelai raionament se poate face i pentru deschiderea de 5,00m rezultnd hw=55cm.La stabilirea nlimii grinzilor trebuie s se in seama i de constrngerile de ordin arhitectural care vizeaz n special nlimea liber, msurat sub grinzi, pentru realizarea golurilor pentru ui i ferestre sau pentru trecerea instalaiilor suspendate. Dac, de exemplu, prin tema de arhitectur se solicit o nlime liber de nivel de 2,65m atunci nlimea grinzilor trebuie limitat la 65cm. Aceast limitare trebuie luat n considerare sub rezerva c n cazul n care calculele ulterioare arat c structura nu poate nplini criteriile de verificare din cod privind, n special, rigiditatea i rezistena de ansamblu i mecanismul de plastificare, ea trebuie renegociat cu proiectantul de arhitectur.Limea inimii grinzilor se ia egala cu jumtate pn la o treime din nlimea seciunii tranversale, modulndu-se la 5cm. Grinzile trebuie s aib ns limea suficient care s permit aezarea armturilor longitudinale, preferabil, pe un singur rnd. O lime de 25cm nu permite practic aezarea dect a trei bare n zona curent i numai a dou bare n zonele de mbinare prin suprapunere. De aceea, pentru structura dat se pot alege grinzi cu laimea de 30cm.Considerentele practice de predimensionare au condus pentru toate grinzile la seciunea de 30cm lime i 65cm nlime. Aceast seciune poate fi majorat ulterior n special atunci cnd verificarea la deplasare lateral nu este ndeplinit fiind necesar creterea rigiditii structurii.Predimensionarea stlpilorn faza de predimensionare se urmrete limitarea efortului axial normalizat de compresiune n stlpi pentru asigurarea ductilitii acestora. Ductilitatea elementelor lungi de beton armat este strns legat de nivelul de solicitare axial.Pentru aplicarea criteriului de predimensionare care urmrete asigurarea ductilitii este necesar determinarea forei axiale n stlp din aciuni gravitaionale n combinaia de aciuni care cuprinde i aciunea seismic.Pentru predimensionare se aleg trei tipuri de stlpi: stlpul de col (intersecia axelor A i 1), stlpul marginal (intersectia axelor B i 1 sau A i 2) i stlpul central (intersecia axelor A i 2). n principiu, pentru fiecare tip de stlp trebuie ales acela care este susceptibil s aib for axial maxim cauzat, de regul, de aria aferent mai mare.In calculul forei axiale din fiecare stlp se consider rezultantele ncrcrilor distribuite pe placa, pe grinzile perimetrale, pe grinzile interioare i greutatea proprie a stlpilor. Aceste rezultante se cumuleaz pe nlime obinndu-se fora axial la parter. Condiia de limitare a forei axiale se pune n zona plastic a stlpului conform mecanismului de plastificare optim. n acest caz, articulaiile plastice trebuie s se formeze la baza stlpilor de la parter.Pentru stlpul marginal aria aferent de planeu, Aaf, este de 13,75m2, lungimea aferent de grinzi este de 8,8m i lungimea aferent de parapet este de 5,5m. Considernd, la nivel curent, ncrcarea distribuit pe plac este de 7,45kN/m2, greutatea parapetului de 4,10kN/m, greutatea grinzilor (fr plac) de 3,38kN/m i greutatea stlpilor de 12,2kN rezult o ncrcare colectat de stlp de 191kN (102kN din ncrcri pe plac i 89kN din restul). Prin acelai raionament se poate determina o ncrcare colectat la nivelul terasei de 99kN. Prin cumularea acestor valori pe nlime se construiete diagrama de for axial. n mod similar se determin forele axiale n stlpul de col i cel central. Valorile ncrcrilor i ale ariilor i lungimilor aferente fiecrui tip de ncrcare sunt date n tabelele urmtoare:

Diagramele de for axial sunt prezentate n figur:Seciunile stlpilor la parter se determin din condiia ca efortul axial mediu de compresiune, normalizat prin mprire la fcd, s fie mai mic dect 0,25, 0,30 i 0,35 pentru stlpul de col, cel marginal i, respectiv, cel central. Scopul este ca, la final, dup aplicarea i a ncrcrilor laterale efortul axial mediu normalizat s se situeze sub 0,40 n toi stlpii. n practic se poate merge i la valori mai mari, pn la 0,55, dac sporul de ductilitate obinut prin armarea transversal puternic n zona plastic este cuantificat prin calcul i se face verificarea explicit de ductilitate. Se subliniaz ns faptul c ductilitatea stlpilor structurilor n cadre depinde decisiv de nivelul de ncrcare axial, forele axiale mari putnd duce la ruperi fragile prin fisurare diagonal.Dac fora axial n stlpul marginal, la parter, este de 1095kN i valoarea de proiectare a rezistenei betonului la compresiune este de 16,67 rezult o arie necesar de stlp de 0,27m2. Pentru un stlp cu seciunea ptrat lungimea necesar a laturii seciunii transversale, modulat la 50mm, este de 500mm sau 550mm.

Aciunea seismic de proiectareEncipedia > Educational > Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calcul Publicat la 24.08.2012 Scris de Viorel Popa 1. Valoarea de proiectare a forei seismice2. Distribuia pe vertical a forei seismice3. Efectele torsiunii accidentalentruct structura analizat ndeplinete cerinele de regularitate specificate n P100-1/2012 (sectiunea 4.4.3), n calculul seismic se poate aplica metoda forelor laterale statice echivalente. n aceast metod aciunea seismic este reprezentat printr-un set de fore laterale a cror rezultant este valoarea de proiectare a forei seismice. Aceasta corespunde rspunsului structurii n modul fundamental.Valoarea de proiectare a forei seismiceRelaia de calcul a valorii de proiectare a forei seismice este dat n capitolul 4 al P100-1/2012, seciunea 4.5.Greutatea proprie a structurii se poate calcula, n mod aproximativ, ca suma forelor axiale din toi stlpii, la parter (vezi predimensionarea stalpilor).Pentru determinarea coeficientului seismic este necesar s se determine valorile factorilor care intr n relaia de calcul, conform prevederilor cap. 3, 4 i 5 din P100-1/2012. Amplasamentul este caracterizat de o valoare de referina a acceleraiei de proiectare de 0,30g i de o perioad de col a micrii seismice de 1,6s. Considernd c perioadele de vibraie ale structurii n modul fundamental pe fiecare dintre direciile principale ale structurii sunt mai mici dect 1,6s i mai mari dect 0,16s, se alege (T)=2,50 pentru ambele direcii.Cldirea aparine clasei III de importana-expunere, fcnd parte din categoria structurilor de importan obinuit, pentru care factorul I este egal cu 1,0 (Tabelul 4.3 din P100-1/2006).Factorul de corecie care ine seama de contribuia modului fundamental prin masa modal efectiv asociat acestuia se ia egal cu 0,85 conform 4.5.3.2.2 din P100-1/2006.Factorul de comportare q se alege egal cu 6,75 conform prevederilor de la 5.2.2.2 din P100-1/2006.Rezult astfel un coeficient seismic de 9,4%.Valoarea de proiectare a forei seismice este:

Distribuia pe vertical a forei seismiceFora astfel calculat reprezint valoarea de proiectare a forei tietoare la baza structurii din aciunea seismic de proiectare. Pentru efectuarea calculului structural este necesar s se distribuie aceast for pe nlimea structurii.Primul pas, l constituie determinarea distribuiei maselor pe nlime. Aceast poate fi stabilit pe baza forelor care ncarc stlpii prin multiplicare cu numrul de stlpi asemenea i nsumare, separat, la fiecare nivel. n mod convenabil se admite c masele structurii sunt concentrate la nivelul fiecrui planeu.Distribuia forelor seismice pe nlime se poate face utiliznd relaiile (4.5) sau (4.6) din P100-1/2012. Dac masele structurii la fiecare nivel sunt apropiate ca valoare atunci relaia (4.6) poate deveni:unde zi reprezint distana de la nivelul teoretic de ncastrare a structurii la masa cu numarul i.Prin aplicarea acestei relaii se pot determina forele seismice de la fiecare nivel.

Prin cumularea acestor fore pe nlime, pornind de la ultimul nivel n jos, se obine diagrama forelor tietoare de nivel.Efectele torsiunii accidentaleTorsiunea de ansamblu din cauze accidentale se cuantific prin intermediul momentului de torsiune accidental, calculat la fiecare nivel ca produsul dintre fora seismic de nivel i excentricitatea accidental.Excentricitatea accidental se ia egal cu 5% din lungimea laturii pe care fora seismic este perpendicular i se raporteaz la poziia calculat a centrului maselor de la fiecare nivel.Pentru ultimul nivel (9) momentul de torsiune accidental, corespunztor situaiei n care fora seismic acioneaz n direcie tranversal (Y), este:

n mod similar se determin momentele Mti pentru fiecare nivel i fiecare direcie de aciune a forei seismice:

Combinarea efectelor aciunilor gravitaionale cu cele ale aciunilor seismice orizontaleEncipedia > Educational > Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calcul Publicat la 24.08.2012 Scris de Viorel Popa ntrucat structura ndeplinete criteriile de regularitate date n P100-1/2006, seciunea 4.4.3, se admite ca aciunea seismic s fie considerat ca acionnd separat pe cele dou direcii orizontale principale. Dac o structur nu ndeplinete criteriile de regularitate atunci este necesar s se aplice procedeele de combinare ale efectelor aciunii seismice date la 4.5.3.6.1 n P100-1/2012.Pentru a se tine seama de sensul reversibil al forei seismice (+ sau -) pentru fiecare direcie de ncrcare (X sau Y) precum i de orientarea excentricitii accidentale la stnga sau la dreapta forei seismice este necesar s se defineasc 8 combinaii de ncrcare seismic. Cele 8 combinaii sunt prezentate schematic n figur:

Nu ntotdeauna este necesar s se calculeze structura pentru toate cele 8 combinaii. De exemplu, dac structura este simetric fa de axa X, atunci combinaia 1 produce n cadrul din axul 1 efecte similare cu combinaia 2 n cadrul din axul 4. Astfel, structura pote fi calculat numai pentru una din cele dou combinaii. n mod similar se observ c dac structura este simetric i faa de axa X i faa de axa Y, din cele 8 combinaii reprezentate sunt suficiente numai dou pentru a determina efectele cele mai defavorabile ale aciunii seismice n structur.Cele 8 combinaii seismice trebuie combinate la rndul lor cu combinaia care cuprinde aciunile gravitaionale cu valoarea de lung durat. Rezult astfel 8 combinaii care cuprind aciunea seismic i cea gravitaional. Aceste combinaii poart denumirea de combinaii seismice de proiectare. n plus, structura mai trebuie calculat i pentru o combinaie care cuprinde numai aciuni gravitaionale cu valorile maxime probabile (factorizate supraunitar). Schema general a combinaiilor de aciuni pentru calculul structural este dat n figur:

Verificarea deplasrilor lateraleEncipedia > Educational > Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calcul Publicat la 24.08.2012 Scris de Viorel Popa 1. Verificarea deplasrilor la Starea Limit de Serviciu2. Verificarea deplasrilor laterale la Starea Limit UltimDup efectuarea calculul structural este necesar verificarea deplasrilor laterale ale structurii. n mod particular, n cazul structurilor n cadre de beton armat, aceast verificare dicteaz, de regul, dimensiunile elementelor structurale principale, parte a structurii de rezisten la aciuni seismice. Este recomandabil ca n cazul structurilor n cadre aceast verificare s se fac imediat dup efectuarea calculului static. n acest fel se definitiveaz dimensiunile elementelor structurale i se poate apoi continua cu dimensionarea armturilor fr s fie necesar reluarea calculului static. La structuri static nedeterminate distribuia eforturilor depinde de rigiditatea elementelor structurale astfel c dac rigiditatea se schimb semnificativ este necesar reluarea calculului static.Verificarea deplasrilor laterale se face pentru ambele direcii principale ale structurii. Primul pas l constituie identificarea pentru fiecare combinaie seismic de proiectare a cadrului cel mai deformat, unde se manifest cele mai mari deplasri de nivel. De exemplu n cazul 1 de ncrcare, SXPMP, cel mai deformat este cadrul din axa 1. Pentru acest cadru se extrag valorile deplasrilor absolute la fiecare nivel (deplasrile punctelor fa de poziia nedeformat) i se determin, prin diferene, deplasrile relative de nivel (drift-urile). Prin mprirea deplasrii relative de nivel la nlimea etajului se obine drift-ul unghiular care reprezint o msur a distorsiunii stlpilor la nivelul respectiv.

Aceste valori reprezint deplasrile structurii sub aciunea forei seismice de proiectare considernd un rspuns elastic al structurii. Deplasrile structurii sub cutremurul de proiectare (starea limit ultim) i deplasrile sub cutremurul de serviciu (starea limit de serviciu) se determin prin amplificarea acestor valori.Verificarea deplasrilor la Starea Limit de ServiciuVerificarea deplasrilor laterale la SLS se face conform prevederilor Anexei E din P100-1/2012. Deplasarea relativ de nivel la Starea Limit de Serviciu se determin prin amplificarea deplasrilor relative de nivel rezultate din calculul structural sub aciunea seismic de proiectare cu factorul de comportare, q, i cu factorul de reducere =0,5.ntruct pereii nestructurali sunt din zidrie i sunt nchii n ochiurile cadrelor se consider c componentele nestructurale contribuie la rigiditatea de ansamblu a structurii astfel c n calculul deformaiilor trebuie s se lucreze cu valorile ntregi ale modulelor de rigiditatea la ncovoire ale seciunilor elementelor structurale.Cu alte cuvinte, n calculul structural trebuie s se lucreze cu valorile ntregi ale modulelor de rigiditate la ncovoiere ale stlpilor i grinzilor, fr aplicarea unor factori de reducere.De exemplu, deplasarea relativ la nivelul 9 corespunztoare SLS este:

Valoarea admisibil a deplasrii relative de nivel n situaia n care exist materiale fragile ataate structurii este de 0,5% din nlimea de nivel:

Cele dou valori se compar direct i se observ c structura ndeplinete condiia de verificare a deplasrilor laterale la Starea Limit de Serviciu la nivelul 9. n mod similar, aceast condiie trebuie verificat pe toat nlimea structurii (vezi tabelul). Se observ c distorsiunea ce mai puternic se nregistreaz la nivelul 3 condiia de verificare fiind i aici ndeplinit.

Dac structura are componente nestructurale care nu interacioneaz cu structura atunci n calculul deplasrilor la SLS trebuie s se considere jumtate din rigiditatea la ncovoiere a seciunii brute de beton. n acest sens, n calculul structural rigiditile stlpilor i grinzilor la ncovoiere trebuie afectate cu 0,5. Alternativ, se poate alege ca deplasrile determinate prin calculul structural considernd rigiditile ntregi ale barelor la ncovoiere s fie amplificate cu 2,0.Verificarea deplasrilor laterale la Starea Limit UltimCalculul deplasrilor la starea limit ultim se face prin amplificarea deplasrilor structurii sub fora seismic de proiectare cu factorul de comportare, q, i cu factorul de amplificare a deplasrilor, c (vezi Anexa E, P100-1/2012).Deplasrile structurii sub fora seismic de proiectare se calculeaz considernd jumtate din rigiditatea la ncovoiere a seciunilor de beton ale elementelor structurale. Alternativ, valorile deplasrilor rezultate din calculul structural sub fora seismic de proiectare considernd rigiditile ntregi la ncovoiere pot fi multiplicate cu 2,0 pentru a ine seama de reducerea de rigiditate.

Factorul de amplificare a deplasrilor depinde de perioada de vibraie a structurii n modul fundamental i, implicit, de rigiditatea structurii. Perioada de vibraie trebuie determinat considernd rigiditile reduse la jumtate ale elementelor structurale. Dac n calculul modal s-au utilizat rigiditile ntregi ale elementelor structurale atunci perioada de vibraie calculat se poate determina prin multiplicare cu radical din raportul rigiditilor:

Valoarea admis a deplasrii relative de nivel sub aciunea cutremurului de proiectare (la starea limit ultim) este de 2,5% din nlimea de nivel.n cazul structurii analizate, calculul structural s-a efectuat considernd rigiditile nereduse ale elementelor structurale. Ca urmare perioada de vibraie a structurii n modul fundamental n direcia X, T1=0,835s, trebuie amplificat cu 1,41:

Rezult un factor de amplificare, c:

n continuare, n calcul se reine factorul c=1,30.Deplasarea relativ la nivelul 9 la Starea Limit Ultim se calculeaza ca:

Valoarea admisibil a deplasrii relative de nivel este de 2,5%h:

Cele dou valori se compar direct i se observ c structura ndeplinete condiia de verificare a deplasrilor laterale la Starea Limit Ultim la nivelul 9. n mod similar, aceast condiie trebuie verificat pe toat nlimea structurii, aa cum se arat n tabel:

Armarea longitudinal a grinzilorEncipedia > Educational > Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calcul Publicat la 24.08.2012 Scris de Viorel Popa Primul pas n calculul armturilor longitudinale din grinzile structurilor n cadre de beton armat l constituie identificarea valorilor maxime ale momentelor ncovoietoare. Acest lucru se poate face utiliznd diagrama nfurtoare de momente care rezult din suprapunerea valorilor rezultate n cele 10 combinaii de ncrcri, aa cum sunt definite n schema general a combinaiilor. n continuare se exemplific modul de dimensionare a armturilor longitudinale din grinzile cadrului longitudinal marginal (cadrul din axul 1).Primul pas n calculul armturilor longitudinale din grinzile structurilor n cadre de beton armat l constituie identificarea valorilor maxime ale momentelor ncovoietoare. Acest lucru se poate face utiliznd diagrama nfurtoare de momente care rezult din suprapunerea valorilor rezultate n cele 10 combinaii de ncrcri (vezi figura).

Diagrama nfurtoare de momente ncovoietoare arat c momentele maxime pozitive i negative se dezvolt, de regul, la capetele grinzilor. Poziionarea momentelor maxime pozitive la capetele grinzilor, cu excepia ultimelor dou niveluri, arat c aciunea seismic orizontal este aciunea predominant. Momentele din aciuni gravitaionale au valori reduse i nu altereaz semnificativ distribuia rezultat din calcul seismic. Ca urmare, pentru structura considerat mecanismul optim poate fi dirijat pentru formarea articulaiilor plastice la capetele grinzilor i la baza stlpilor de la parter. Excepie pot face numai stlpii de la ultimul nivel unde este posibil dezvoltarea articulaiilor plastice la partea superioar a acestora.Paii care trebuie urmai pentru dimensionarea armturii longitudinale a grinzilor i verificarea acestora la ncovoiere sunt exemplificai schematic n figur pentru grinda de la nivelul 3, cadru ax 1:

(a) Se identific valorile de proiectare ale momentelor ncovoietoare. ntruct articulaiile plastice se dezvolt la capetele grinzilor valorile de proiectare ale momentelor se consider egale cu momentele rezultate din calculul static. La partea de jos a grinzilor se alege s se fac o armare constant pe fiecare deschidere, fr ntreruperea barelor pe deschidere sau ridicarea lor la partea de sus. n acest scop, momentul de proiectare la partea de jos se ia egal cu valoarea maxim din diagrama nfurtoare de momente.(b) Se determin cantitatea necesar de armtur longitudinal pentru preluarea momentelor de proiectare n articulaiile plastice. Seciunile se consider dublu armate, dreptunghiulare sau T, funcie de poziia zonei comprimate pe seciune. De exemplu, n reazemul marginal pentru momente negative:

(c) Se dispune armtura longitudinal efectiv, As,eff, innd seama i de prevederile constructive din documentele normative i de regulile de bun practic. Aceste prevederi se refer n special la procentele minime i maxime de armare, distanele minime i maxime ntre bare, sortimentul de bare utilizat, diametrele minime i maxime.Coeficientul minim de armare conform P100-1/2012 este:

La partea de sus a grinzilor s-a considerat un procent minim de armare de 0,45%.Pentru grinzile cadrului transversal s-a ales armarea cu bare de 12mm, 16mm, 20mm i 25mm. Soluia de armare de la partea de sus trebuie s permit ca dou dintre barele de diametrul mai mare s fie duse continuu pe toat deschiderea, la colurile de la partea superioar a seciunii. La partea de jos, toate barele se duc constant pe deschidere iar dou dintre barele de diametru mai mare se poziioneaz la colurile seciunii. Codul P100-1/2012 prevede ca cel puin dou bare de diametru 14mm s fie duse constant pe toat deschiderea la partea de sus a grinzii. De asemenea, minim jumtate din aria de armtur de la partea de sus trebuie dispus la partea de jos.(d) Se calculeaz ariile efective de armare i se determin supraarmarea rezultat. De regul, cantitatea de armtur efectiv ar trebui s fie cu cel mult 10%-15% mai mare dect armtura necesar. Se admit i supra-armri mai mari dac acestea sunt locale i nu infleneaz semnificativ rspunsul de ansamblu. Trebuie avut n vedere c supra-armarea longitudinal a grinzilor conduce la consumuri mai ridicate nu numai locale, n grinzi, ci n toat structura. n acord cu metoda proiectrii capacitii de rezisten calculul structurii se face la eforturile asociate mobilizrii mecanismului de plastificare. Pentru a ajunge la soluii eficiente de armare este permis i sub-armarea grinzilor cu pn la 3% din armtura rezultat din calcul.(e) Se calculeaz momentele capabile ale grinzilor pe baza ariilor efective de armare i se compar cu momentele de proiectare pentru verificare. De exemplu, n reazemul marginal pentru momente negative:

In figurile urmatoare se prezint schematic rezultatele calculului de dimensionare a armturii longitudinale pentru cadrul transversal marginal din axul 1.Arii necesare de armtur, As,nec(mm2)Armarea propus

Arii efective As,eff(mm2) i procente de supraarmare n fiecare seciune

Momente capabile, MRdb (kNm)

Valori de proiectare ale momentelor ncovoietoare din stlpiEncipedia > Educational > Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calcul Publicat la 27.08.2012 Scris de Viorel Popa Conform codului P100-1/2012, la fiecare nod al structurii n cadre, n cele dou planuri principale de ncovoiere, suma momentelor capabile ale stlpilor care intr n nod trebuie s fie mai mare dect suma momentelor capabile ale grinzilor care intr n nod nmulit cu un factor supraunitar Rd. Aceast condiie se pune pentru a se garanta formarea articulaiilor plastice la capetele grinzilor i rspunsul elastic al stlpilor pe nlime.Alternativ, aceast condiie poate fi pus i pentru o grind n ansamblu, la fiecare nivel. Astfel, suma momentelor capabile ale stlpilor care intersecteaz grinda considerat, n seciunile din vecintatea nodurilor trebuie s fie mai mare dect suma momentelor capabile ale grinzii n seciunile situate de o parte i de alta a nodurilor, pe toate deschiderile, multiplicat cu factorul supraunitar 1,25Rd. Aceste dou condiii alternative iau n calcul capacitatea de rezisten a stlpilor i grinzilor, fiind condiii de verificare. Pentru ndeplinirea acestor condiii n urma procesului de dimensionare este necesar ca la armarea stlpilor s se considere valori modificate ale eforturilor, fa de cele rezultate din calculul static, care s in cont de suprarezistena grinzilor.Suprarezistena grinzilor la ncovoiere se poate cuantifica prin intermediul factorului de suprarezisten care reprezint raportul dintre momentele capabile ale grinzilor i momentele rezultate din calcul static n combinaia seismic de proiectare. Factorul de suprarezisten poate fi calculat fie pe fiecare nod n parte, fie pe grind n ansamblu.De exemplu, pentru grinda de la nivelul 3, n nodul din axul B, pentru cele dou sensuri de ncrcare seismic, factorul de suprarezisten se calculeaz astfel:

n sume, toate momente se iau cu semn pozitiv dac rotesc nodul n sensul corespunztor formrii mecanismului de plastificare (vezi . n caz contrar, se iau cu semn negativ. Momentele capabile se aleg intotdeauna astfel nct s roteasc nodul n sensul corespunztor plastificarii structurii.Factorul de suprarezinten la ncovoiere se calculeaz pentru ansamblul grinzii pe baza valorilor eforturilor prezentate n figura urmtoare, astfel:

Cei doi factori, calculai pentru cele dou sensuri opuse de aciunea seismic, sunt egali deoarece structura este simetric. n figura urmtoare sunt dai factorii de suprarezisten a grinzilor calculai pentru grinda de la nivelul 3, cadrul marginal din axul 1. S-au calculat pentru comparaie, pentru fiecare sens de aciune seismic, factorii pe fiecare nod n parte i pentru grind n ansamblu.

n acest mod se pot calcula factorii de suprarezisten pentru ntreaga structur. n continuare, pentru determinarea momentelor de proiectare n stlpi se vor utiliza factorii de suprarezisten calculai pentru fiecare grind n ansamblu (prezentai n figur n coloana marginal din partea dreapt).

Factorii variaz ntre 1,01 i 1,13 pentru grinzile situate la niveluri inferioare i ajung la 1,65 i 3,08 pentru grinzile de la ultimele dou niveluri. n principiu, cnd momentele ncovoietoare din aciunea seismic sunt predominante n grinzi se pot gsi soluii de armare care s conduc la valori mici ale factorilor de suprarezisten. Aceasta nseamn c armtura dispus efectiv este apropiat de cea rezultat din calcul. Dac momentele din aciuni gravitaionale sunt predominante i momentele din aciunea seismic sunt reduse atunci, de regul, condiiile constructive dicteaz soluia de armare i factorii de suprarezisten sunt mari.Cu ajutorul factorilor se pot calcula valori de proiectare ale momentelor din grinzi care s permit, n final, ndeplinirea condiiei din P100-1/2012 (ec. 5.5), reluat aici pentru uurina parcurgerii textului:

n principiu, pentru fiecare combinaie seismic de proiectare pot fi calculai factori care s fie utilizai strict pentru modificarea momentelor ncovoietoare rezultate din calculul static n combinaia respectiv. Pentru cadrul longitudinal din axul 1 pot fi identificate dou combinaii de ncrcare seismic care conduc la distorsiunea lateral maxim i la eforturi maxime: XPMP i XNMN. n aceste combinaii, deformaiile de translaie ale cadrului din axul 1, cauzate de fora seismic de proiectare Fb, se adun cu deformaiile asociate torsiunii de ansamblu, cauzat de momentul de torsiune accidental.Diagrama nfurtoare de momente ncovoietoare arat n fapt eforturile rezultate din combinaiile GSXPMP i GXNMN, aa cum sunt definite n schema general a combinaiilor de aciuni.

Aceste valori ale momentelor ncovoietoare rezultate din calculul static trebuie multiplicate, pe rnd, cu factorii de suprarezisten la ncovoiere a grinzilor determinai considernd eforturile din grinzi rezultate din aceleai dou combinaii. n acest scop, eforturile rezultate din calculul static trebuie extrase din diagramele de eforturi determinate pentru fiecare caz in parte.Valorile momentelor ncovoietoare rezultate din calculul static sunt prezentate n figur. Este reprezentat diagrama nfurtoare i sunt scrise valorile momentelor maxime, de la capetele stlpilor, la fiecare nivel, rezultate din combinaiile seismice de proiectare GXPMP i GXNMN. n general, diagrama de momente schimb de semn pe nlimea fiecrui etaj. Excepie fac numai stlpii marginali la parter i la ultimul nivel.

Valorile de proiectare ale momentelor se determin prin nmulirea acestor valori cu produsul 1,25Rd=1,625. De exemplu, pentru stlpul marginal de la nivelul 3, valorile de proiectare ale momentelor pentru combinaia seismic de proiectare GXPMP rezult 209kNm, la captul superior, i 348kNm la captul inferior:

Valorile de proiectare ale momentelor ncovoietoare, MEdc(kNm), din stlpii cadrului marginal din axul 1, pentru cele dou sensuri opuse de rotire a nodurilor, sunt date n figura urmtoare. Se menine convenia de semne i notaii enunat anterior.

Armarea longitudinal a stlpilorEncipedia > Educational > Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calcul Publicat la 27.08.2012 Scris de Viorel Popa Pentru determinarea ariilor necesare de armtur longitudinal trebuie cunoscute valorile de proiectare ale momentelor i forelor axiale. Valorile de proiectare ale forelor axiale corespund situaiei n care mecanismul de plastificare s-a mobilizat n structur. Dac suprarezistena grinzilor este redus atunci forele axiale rezultate din calculul static sunt apropiate de forele corespunztoare plastificrii structurii. Se admite, n aceast situaie, ca la dimensionarea armturii longitudinale a stlpilor s se utilizeze forele axiale rezultate din calculul static n combinaia seismic de proiectare relevant. Aceste fore sunt date n figura urmtoare. Perechile de eforturi for axial moment ncovoietor pentru care se face calculul unei seciuni trebuie s corespund ntotdeauna aceleiai combinaii de aciuni.

Ariile necesare de armtur longitudinal n stlpi pot fi determinate prin metoda simplificat de calcul a seciunilor de beton armat. n aceast metod nu se ine seama de aportul armturilor intermediare i, ca urmare, necesarul de armtur longitudinal rezultat determinat prin calcul crete. De asemenea, utilizarea metodei simplificate la evaluarea momentelor capabile conduce la valori mici prin neglijarea armturilor intermediare. Din punct de vedere al capacitii de rezisten la ncovoiere rezultatele sunt acoperitoare chiar dac implic un consum mai mare de armtur. Din punct de vedere al controlului capacitii de rezisten pentru dirijarea mecanismului optim de plastificare i prevenirea ruperilor fragile, subestimarea momentelor capabile nu este permis. De aceea, se recomand ca dimensionarea i verificarea seciunilor stlpilor cu mai multe rnduri de armturi intermediare s se fac prin metoda exact de calcul a seciunilor de beton armat, cu ajutorul unor programe de calcul dedicate.Ariile necesare de armtur longitudinal rezultate prin aplicarea metodei simplificate de calcul, As,nec(mm2) sunt date n figur:

n acest caz, metoda simplificat a artat c ariile necesare de armtur longitudinal sunt relativ reduse i, ca urmare, este posibil ca armtura s rezulte din condiii constructive. Dac se consider procentul minim de armare de 1% dat n P100-1/2012 rezult o arie de armtur minim de 5250mm2. Se pot dispune 425+820+816, barele de 25mm la colturile etrierului perimetral i barele de 16 la mijlocul laturilor etrierului perimetral (vezi figura). Rezult astfel o arie de armtur pe latur de 1809mm2. Armtura longitudinal se dispune n acest caz constant pe toat nlimea stlpilor. Se poate varia cantitatea de armtur longitudinal n stlpi pe nlime dac nu se produc reduceri brute

Alternativ, soluia de armare putea fi, de exemplu, 425+1220 echivalent unui procent de armare de 1,07%.n figura urmatoare sunt date momentele capabile ale stlpilor calculate utiliznd metoda exact a seciunilor de beton armat pe baza soluiei de armare 425+820+816.Convenia de semne i notaii este aceeai cu cea pentru momente de proiectare. Momentele capabile sunt n toate seciunile mai mari dect momentele de proiectare i, ca urmare, soluia de armare longitudinal propus este suficient.

Momentele capabile se pot determina pentru fiecare seciune n parte innd seama de dimensiunile seciunii transversle, armarea longitudinal i fora axial. Dac dimensiunile i armarea sunt similare pentru un numr mare de seciuni este oportun determinarea momentelor capabile cu ajutorul curbei limit de interaciune la compresiune excentric. Aceasta se determin cu metoda exact de calcul i reprezint capacitatea de rezisten la ncovoiere cu for axial. Pentru o seciune dat se determin fora axial de proiectare i se extrage din curba limit de interaciune valoarea corespunztoare a momentului capabil.Curba limit de interaciune poate fi utilizat i pentru verificarea rapid a tuturor seciunilor avnd aceleai dimensiuni i aceeai armare. Se reprezint pe acelai grafic curba limit de interaciune i perechile de valori de proiectare ale momentelor i forelor axiale n seciunile care se verific (vezi figura urmtoare). Dac este necesar, se propune o nou soluie de armare astfel nct toate punctele de coordonate MEd, NEd s se afle n interiorul curbei de interaciune corepunzatoare.

Dup dimensionarea armturilor din stlpi este necesar verificarea ndeplinirii condiiei (5.5) din P100-1/2012 privind asigurarea unei capaciti de rezisten superioare stlpilor comparativ cu grinzile. n acest scop se poate calcula pentru fiecare nod raportul dintre suma momentelor capabile de la capetele stlpilor i suma momentelor capabile de la capetele grinzilor. Acest raport trebuie s fie mai mare dect Rd=1,3. Spre exemplificare se prezint calculul pentru nodul din axul B, nivelul 3, aparinnd cadrului longitudinal ax 1, pentru sensul de ncrcare seismic X pozitiv:

Dac, alternativ, se dorete verificarea condiiei (5.6) din P100-1/2012 atunci sumele se calculeaz pe o grind n ansamblu iar raportul trebuie s fie mai mare dect 1,25Rd=1,625.Spre exemplificare se prezint calculul pentru grinda de la nivelul 3, aparinnd cadrului longitudinal ax 1, pentru sensul de ncrcare seismic X pozitiv: Distribuia momentelor din rezultate din calculul static n combinaia seismic de proiectare, poziia i semnul articulaiilor plastice i momentele capabile ale grinzilor i stlpilor n seciunile din vecintatea nodurilor sunt prezentate n figura urmtoare. Valoarea raportului dintre momentele capabile ale stlpilor i cele ale grinzilor rezult egal cu 3,7 fiind superioar valorii minime de 1,625.

Dac ntr-o seciune momentul rezultat din calculul static este orientat n sens opus momentului corespunztor mobilizrii articulaiei plastice n seciunea respectiv atunci n suma de la numitor momentul respectiv se consider cu semnul -. Pentru cadrele solicitate predominant la aciuni seismice aceast situaie se ntlnete de regul la grinzile de la ultimul nivel unde momentul pozitiv cauzat de aciunea seismic este mai mic dect cel negativ din aciuni gravitaionale.n figura urmtoare se prezint valorile rapoartelor calculate pe fiecare nod n parte (reprezentate n dreptul nodului) i pe grind n ansamblu (reprezentate n coloana marginal din partea dreapta), pentru cele dou sensuri opuse de aciune seismic n direcia cadrului. Se observ c cele dou condiii de verificare din P100-1/2012 (5.5 i 5.6) sunt ndeplinite.

Calculul grinzilor la for tietoareEncipedia > Educational > Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calcul Publicat la 27.08.2012 Scris de Viorel Popa Grinzile i stlpii structurilor n cadre se calculeaz ntotdeauna la valorile de proiectare ale forelor tietoare care corespund mobilizrii mecanismului de plastificare. Mecanismul optim presupune formarea articulaiilor plastice la capetele grinzilor i la baza stlpilor de la parter. Forele tietoare de proiectare reprezint practic valorile maxime ale forelor tietoare care se pot mobiliza indiferent de intensitatea cutremurului, fiind limitate prin capacitatea de rezisten la ncovoiere a stlpilor i grinzilor.n cazul grinzilor, valoarea de proiectare a forei tietoare se determin ca suma dintre:- fora tietoare din aciuni gravitaionale, din gruparea de aciuni care cuprinde i aciunea seismic (combinaia de aciuni GS conform schemei combinaiilor de aciuni).- fora tietoare corespunztoare ncrcrii grinzii cu momentele asociate mobilizrii mecanismului de plastificare n structur, Mdb, calculat pentru fiecare capt de grind. Dac grinzile sunt proiectate s se plastifice la ambele capete atunci n calcul se consider momentele capabile.n figura urmatoare se exemplific modul de calcul al valorilor de proiectare ale forelor tietoare pentru grinda de la nivelul 3, cadrul longitudinal ax 1, pentru sensul de aciune seismic X pozitiv.

Pentru deschiderea dintre axele A i B, din calculul static se extrag valorile forelor tietoare din combinaia de aciuni GS (aciuni gravitaionale din combinaia seismic de proiectare):

Se extrag valorile momentelor capabile la capete corespunztoare semnului articulaiilor plastice pentru sensul de aciune seismic X pozitiv:

Se determin forele tietoare corespunztoare ncrcrii grinzii cu momentele capabile la capete:

Se determin valorile de proiectare ale forelor tietoare:

n mod similar se determin forele tietoare de proiectare i pentru sensul opus de aciune seismic.Convenia de reprezentare a forelor tietoare este prezentat n figur:

n figurile urmatoare se prezint pentru ntreg cadrul longitudinal din axul 1 urmtoarele valori:- forele tietoare rezultate din calculul static din aciuni gravitaionale corespunztoare combinaiei seismice de proiectare, V'Edgrav (kN)

- forele tietoare corespunztoare ncrcrii grinzilor la capete cu momentele capabile, VEdseism(kN)

- forele tietoare de proiectare, VEd (kN)

Analiza forelor tietoare care se mobilizeaz la capete grinzilor pentru cele dou sensuri opuse de aciune seismic n direcia cadrului arat n ce msur solicitarea de for tietoare favorizeaz degradarea de rezisten i rigiditate a elementului. n cazul de fa, aciunea seismic este preponderent i influeneaz decisiv semnul forei tietoare la capetele grinzilor pentru cele dou sensuri de aciune seismic. De exemplu, pentru grinda de la nivelul 3, deshiderea A-B, la captul din stnga s-a determinat valoarea de -153kN pentru sensul de ncrcare X pozitiv i 260kN pentru sensul de ncrcare X negativ. Solicitarea de for tietoare este agresiv ntruct de la un semiciclu de ncrcare la altul fora tietoare schimb de semn i amplitudinile n cele dou sensuri sunt apropiate. Se poate atepta o degradare puternic de rezisten i rigiditate n timpul cutremurului dac nivelul forei tietoare medii normalizate este ridicat.n codul P100-1/2006 pentru a analiza agresivitatea forei tietoare din acest punct de vedere se utilizeaz raportul . Acesta reprezint raportul dintre fora tietoare minim i fora tietoare maxim la captul unui element. Pentru poziia menionat n paragraful anterior:

Dac valorile i semnele VEd,min i VEd,max se aleg corect atunci raportul trebuie s se situeze ntre -1 i 1. =-1 reprezint situaia cea mai defavorabil de solicitare, =1 reprezint situaia n care cutremurul este nesemnificativ.n principiu, dat fiind ca semnul forelor tietoare este convenional, n calculul raportului semnul minus se atribuie minimului dintre cele dou valori n valoare absolut iar semnul plus se atribuie maximului.Pentru captul din dreapta al grinzii:

Conform codului P100-1/2012 dac >-0,5 starea de solicitare din punct de vedere al reversibilitii forei tietoare nu este deosebit de agresiv, calculul la for tietoare puntndu-se face conform prevederilor SR EN 1992-1:2004 considernd un unghi de nclinare al bielei comprimate de 45. Calculul lui pentru toate zonele critice ale grinzilor aparinnd cadrului transversal din axul 1 pune n eviden valori situate n jurul limitei de -0,5 (vezi figura urmtoare).

Dac Educational > Structuri n cadre de beton armat - exemplu de calcul Publicat la 27.08.2012 Scris de Viorel Popa Valorile de proiectare ale forelor tietoare se determin prin ncrcarea stlpilor la capete, la fiecare nivel, cu momentele asociate mobilizrii mecanismului de plastificare n suprastructur. n cazul de fa mecanismul de plastificare optim avut n vedere la proiectare se mobilizeaz prin formarea articulaiilor plastice la capetele grinzilor i la baza stlpilor de la parter: Momentele de la capetele stlpilor asociate mobilizrii mecanismului de plastificare sunt mai mici dect momentele capabile ale acestora, stlpii rspunznd n domeniul elastic. Excepie fac seciunile de la baza stlpilor unde se formeaz articulaii plastice.

Pentru cadrul longitudinal din axul 1, valorile MRb/MRc se determin ca inversul valorilor MRc/MRb calculate la verificarea armrii longitudinale a stlpilor, fiind n toate situaiile subunitare.Momentele Mdbse determin prin nmulirea valorilor momentelor ncovoietoare capabile ale grinzilor , cu valorileMRb/MRc i cu factorii Rd corespunztori (1,3 pentru parter i 1,2 n rest).De exemplu, pentru stlpul de la nivelul 3, axul A, cadrul longitudinal din axul 1, pentru sensul de ncrcare seismic X pozitiv:

Dac grinzile au suprarezistene sczute la ncovoiere valorile de proiectare ale momentelor din stlpi sunt apropiate de cele rezultate din calculul static. n unele situaii, aplicarea acestui procedeu de calcul poate s conduc la valori ale momentelor ncovoietoare corespunztoare mobilizrii mecanismului de plastificare inferioare momentelor rezultate din calculul static n combinaia seismic de proiectare.De aceea, n acest exemplu, asupra momentelor Mdb calculate se impune o limit minim:

Valorile momentelor Mdb (kNm) astfel calculate pentru tot cadrul longitudinal din axul 1 sunt prezentate n figura urmtoare:

Valorile de proiectare ale forelor tietoare se determin prin scrierea ecuaiei de echilibru al stlpului ncrcat la capete cu momentele Mdb i forele tietoare corespunztoare. De exemplu, pentru stlpul de la nivelul 3, axul A:

Valorile de proiectare ale forelor tietoare, VEd (kN) pentru stlpii cadrului longitudinal din axul 1sunt:

Armarea transversal trebuie s respecte regulile minime constructive din P100-1/2012.Pentru zona critic de la baza stlpilor:

Dac se consider dispunerea etrierilor n seciunea transversal conform reprezentrii din figur, rezult un numr echivalent de ramuri de etrier de 5,41. Prin urmare diametrul minim al etrierului este de 10mm.

Armarea propus ndeplinete condiia privind coeficientul mecanic de armare transversal minim:

Pentru restul zonelor critice:

Dac se consider dispunerea etrierilor n seciunea transversal conform reprezentrii din figur rezult un numr echivalent de ramuri de etrier de 5,41. Prin urmare diametrul minim al etrierului este de 8mm.

Fora tietoare maxim care poate fi transmis prin intermediul bielei comprimate de beton este:

n figura urmtoare se prezint soluiile de armare transversal cu etrieri alese pentru zonele critice ale stlpilor i forele tietoare capabile corespunztoare. Se observ c armarea propus pe baza condiiilor constructive minime este suficient pentru ndeplinirea verificrii de rezisten la for tietoare.