7M Geometria de Masas

UNIVERSIDAD TECNOLOGIA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL MENDOZA

MECANICA Y MECANISMOS AÑO 2012

Chung Roger, Legajo 3441, TP N°7 -Momentos de inercia Página 176

TPN°7 Momentos de inercia

Ejercicio 7.1.54

Aplicando el teorema de Guldin, determinar el peso de una polea para poleas en V de sección 4d

diámetro=650mm.espesor

Mediante la fórmula de Guldin

Espesor

Calculamos las áreas de todos los elementos:





Calculamos la coordenada ∑

Calculamos el volumen





Ejercicio 7.2.55

Dado un cubo de 10Ncm de arista, con hueco esférico en su interior, cuyo radio es de 5Ncm, hecho de

material homogéneo

determinado

1. Ecuación del elipsoide central de inercia

2. Ejes principales de inercia correspondientes a un vértice

3. Ecuación del elipsoide de inercia correspondiente al mismo punto.

4. ecuación del mismo elipsoide pero referido a los ejes que coincidan con las aristas del cubo

5. representar las intersecciones del elipsoide con los planos coordenados del segundo punto.

N: número de letras de nombre

A: número de letras de apellido

E: número de la edad

Datos:





Resolución

1. Ecuación del elipsoide central de inercia

La ecuación para determinar el elipsoide central de inercia

Que sería el elipsoide de inercia referido a los ejes Baricéntricos

Los momentos de inercia del cubo

volumen del cubo

Los momentos de inercia una esfera

volumen de la esfera

como se trata de una superficie hueca restamos los momentos de inercia de la esfera al cubo

ahora obtenemos una relacion entre las masas si suponemos que estan echos del mismo material

luego sus densidades especificas seran iguales

( )

Calculamos la masa del cubo.

Remplazamos en la ecuacion

(

)

=

(

)(

)

como en la ecuacion del elipsoide central de inercia

[ ]

la ecuacion nos representara una esfera con radio

√





2. Ejes principales de inercia correspondientes a un vértice

Construimos un plano de simetría ABCD, que pasa por el centro Baricéntrico,

según las propiedades de simetría, si trazamos un eje que sea perpendicular a

un plano de simetría obtengo un eje principal de inercia sobre ese punto.

Entonces si trazamos un eje que sea perpendicular al plano ABCD y que pase por el

vértice A, ese eje sería un eje principal de inercia correspondiente al vértice A.

De la misma manera trazamos un eje que sea perpendicular al plano AECF y que

pase por el vértice A, ese eje sería un eje principal de inercia correspondiente al

vértice A.

La intersección de los planos simétricos ABCD y AECF, nos da un

eje AC que es un eje principal de inercia correspondiente al

vértice A.





3. Ecuación del elipsoide de inercia correspondiente al mismo punto.

Vamos a determinar la ecuación del elipsoide de inercia respecto al punto A.

Sabemos que la elipsoide central de inercia nos da una esfera, esto nos dice

que cualquier eje que pase por el baricentro G. Su momento de inercia será

igual a , como el eje principal AC pasa por G, su momento

de inercia será igual

Para hallar el momento de inercia en el eje principal w, trazamos una paralela

que contenga al Punto G Baricéntrico. Para poder determinarlo por el

teorema de los ejes paralelos

Calculo de la masa total:

(

)

(

)

Calculo de la distancia (mitad de la diagonal) :

√

√





Para hallar el momento de inercia en el eje principal u, trazamos una paralela que

contenga al Punto G Baricéntrico. Para poder determinarlo por el teorema de los

ejes paralelos

Este término es igual a por simetría.

La ecuación del elipsoide de inercia correspondiente

4. ecuación del mismo elipsoide pero referido a los ejes que coincidan con las aristas del cubo

La ecuación del elipsoide para estos ejes que no son

principales de inercia nos van a dar de la forma





Calculo de momentos de inercia

Para hallar el momento de inercia respecto al eje YA trazamos una recta paralela que pase por el baricentro G.

para poder utilizar Steiner

La distancia va será la mitad del cuadrado √

Si trazamos rectas paralelas que pasen por G a los ejes , tendrán los

mismos valores que .

Calculo de los productos de inercia y

Ahora para hallar el producto de inercia este tendrá los mismos valores que

y

Aplicamos Steiner para producto inercia, donde ( por simetría)

La ecuación nos queda.





5. representar las intersecciones del elipsoide con los planos coordenados del segundo punto.

Para el plano u y w tenemos

√

Para el plano u y v tenemos

Para el plano v y w





Ejercicio 7.3.56

Determinar el centro de gravedad del siguiente solido de acero, ejes principales y elipsoide de inercia.

(Cilindro con una superficie hueca en forma semiesférica en la parte inferior y en la parte superior tiene

montado otra semiesfera)

Resolución: Determinamos el centro de gravedad del cuerpo, como tenemos dos planos de simetría que su

intersección está en el eje Y, deducimos que en ese eje se encuentra el centro de gravedad por lo tanto en los

ejes X y Z las coordenadas del punto G valdrán 0.

∑

∑

∑

Tendremos que hallar las masas m1 m2 m3, para eso hay que determinar el volumen.

∑

(

) (

) (

)





Determinamos los ejes principales.

Si trazamos un plano de simetría por el plano ZY, y tomamos un eje que sea perpendicular a dicho plano

y que pase por G, tendremos el eje principal XG

Si trazamos un plano de simetría por el plano XY, y tomamos un eje que sea perpendicular a dicho plano

y que pase por G, tendremos el eje principal ZG

La intersección de los dos planos de simetría nos da el eje principal de inercia YG.

Determinar el elipsoide central de inercia.

Determinamos donde sabemos

Aplicamos Steiner en los tres casos para hallar

( ( )

) (

) (

( ) )

(

(

)

)

[

]

(

( (

))

)


Como los momentos de inercia de las dos semiesferas se anulan con respecto al eje y solo nos queda


Y nos fijamos que este momento de inercia sería igual a

La ecuación nos quedaría





Ejercicio 7.4.57

Determinar el momento de inercia de un volante, conocidos siguientes pesos ,

se dan las dimensiones de la figura y considerar los brazos como varillas delgadas.

Vamos a sacar el momento de inercia respecto del eje X.

1 y 3 son cilindros huecos

(

)

[

]

(

)

[

]

Para el momento de inercia de las barras delgadas lo hacemos

por Steiner

(

)

(

)

(

)

Como tenemos 4 varillas delgadas el momento total respecto al eje x del volante seria.

( )





Ejercicio 7.5.58





Ejercicio 7.6.59









Ejercicio 7.7.60





Ejercicio 7.8.61 El esquema de la figura representa una transmisión mecánica correspondiente a un tambor arrolla cable accionado por un motor eléctrico. Determinar 1- descripción funcional 2- velocidad de giro de cada uno de los ejes 3- momento torsor y potencia en cada uno de los ejes. 4- momento de inercia sobre cada uno de los ejes y momento de inercia equivalente respecto al eje motor

Resolución 1- descripción funcional: Un motor eléctrico acciona una caja reductora a través de un acople que tiene por función corregir errores de desalinamiento y montaje. El reductor tiene por función trasmitir una potencia al tambor arrolla cable con un momento torsor elevado acosta de perder rpm. El tambor arrolla cable actúa como un malacate en la elevación de la carga. 2- velocidad de giro de cada uno de los ejes

Igualdad entre las fuerzas tangenciales

Igualdad entre las velocidades tangenciales





Relación del conductor (1) y el conducido (2)

Conducido respecto a


3- momento torsor y potencia en cada uno de los ejes.

[ ]

[

]



Afectando el rendimiento

Potencia





4- momento de inercia sobre cada uno de los ejes y momento de inercia equivalente respecto al eje motor Para calcular el GD2 de los elementos, se determina

donde para el caso de los engranajes k= 0.6 y para el caso de tambores k=0.7. Calculo de GD2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Despreciando los momentos de inercia de los ejes. Calculo de momento de inercia sobre cada uno de los ejes

Calculo del Momento de inercia total

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

Sabiendo

(

) (

) (

) (

) (

)





Ejercicio 7.9.62 Calcular el tiempo aproximado de arranque de un ventilador centrífugo acoplado directamente a un motor eléctrico trifásico jaula de ardilla, arranque directo. Potencia 20CV n=965rpm. El ventilador esta acoplado por

un acoplamiento semielastico modelo 14-1, el momento de inercia del ventilador es , para un motor marca Corradi MTA -180L/G El momento acelerador : es necesario para sacarlo de la posición de equilibrio y llevarlo al número de vueltas de régimen.

El momento acelerador solo existe cuando tenemos aceleración angular es decir cuando el motor entre en velocidad constante de régimen no va haber momento acelerador. Solo habrá momento de régimen constante.

∫ ∫

Este es el tiempo de arranque del motor, hay que tratar de que el tiempo sea mínimo.

Tenemos como dato

Tenemos como dato (tabla )





Para poder determinar la curva característica de un motor, el fabricante me lo da por catalogo Podemos hacer un calculado aproximado, para calcular el momento acelerador. La forma seria: calcular la curva y trabajando con los puntos característicos, uniendo los puntos de forma aproximada a la curva característica real. Para calcular los puntos característicos en el eje vertical Momento arranque 1.9 M régimen Momento fondo 1.6 M régimen Momento máximo 2.25 M régimen

Momento régimen =

*

+ [ ]

Para calcular los puntos característicos en el eje horizontal

Lo que se hace es tomar 1/3 de número de vueltas del régimen para el punto M fondo. Y tomar 2/3 de número de vueltas de régimen para el punto M máximo. Que para el caso de este motor el número de vueltas de régimen es 1000 rpm

La curva resistente es la del ventilador y es cuadrática respecto al número de rpm, es decir que la función que cumpliría el momento torsor del ventilador es Si yo conozco el punto donde ambas curvas se cruzan puedo calcular el k





Una vez que tengamos las curvas podría sacar la diferencia de las áreas entre las dos curvas, esa área cerrada encerrada seria el momento acelerador.

Para poder hacerlo practica es subdividiendo el área encerrada de la dos curvas, entre más pequeñas mejor. Si este caso tenemos 1000rpm y dividimos en 10 porciones. Supongamos que estas divisiones tienen el mismo ancho serian 100 rpm.

Matemáticamente seria

∑

∑

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