7.Asm Dualidad

8/16/2019 7.Asm Dualidad

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UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y METALURGIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS

ANALISIS DE SISTEMAS MINEROS

DUALIDAD

ING° ARNALDO RUIZ CASTRO

ABRIL 2014


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*on$ersión de un Problema Primal a Dual

Un problema dual se "ormula de un problema primal de la siguiente"orma'

+.,i el primal es un problema de ma!imi-ación su dual será un problema de minimi-ación y $ice$ersa.

.Los coe"icientes de la "unción ob%eti$o del problema primal secon$ierten en los coe"icientes del $ector de la disponibilidad en el

problema dual.

/.Los coe"icientes del $ector de disponibilidad del problemaoriginal se con$ierten en los coe"icientes de la "unción ob%eti$o($ector de costo o precio) en el problema dual.

0.Los coe"icientes de las restricciones en el problema primal serála matri- de los coe"icientes tecnológicos en el dual.

1.Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a losdel primal.

2.*ada restricción en un problema corresponde a una $ariable en elotro problema. ,i el primal tiene m restricciones y n $ariables eldual tendrá n restricciones y m $ariables. As las $ariables 3 n del

primal se con$ierte en nue$as $ariables 4m en el dual.


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FORMA CANONICADEL PRIMAL

FORMA CANONICADEL DUAL

MAX Z= CX

Sujeto a:AX ≤ bX ≥0

MIN Z= !

Sujeto a:A! ≥C ! ≥0


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,i el problema primal es'

5A3 67 013+ 8 +93. 8 113/

,u%eto a'

3+ 8 3. 8 3/ : ;;

;

El problema dual será'

5I? 67 ;;4+ 8 1;;;4. 8 0;;;4/

,u%eto a'

4+ 8 01 4+ 8 =4. 8 94/ > +9

4+ 8 +;4. 8 +4/ > 11

4 % > ;


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APLICACIONES DE LA DUALIDAD

a) Permite resol$er problemas lineales donde el nmerode restricciones es mayor que el numero de $ariables.

b) La dualidad permite reali-ar importantesinterpretaciones económicas de los problemas de

programación lineal.

c) La dualidad permite generar m#todos como el métododual del simplex de gran importancia en el análisis de post optimi-ación y en la programación lineal param#trica.

d) Permite resol$er grá"icamente algunos problemas.*onsideremos el siguiente problema lineal matemati-ado


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@unción b%eti$o'

5in 6(!) 7 !+ 8 / !. 8 1 !/ 8 !0 8 / !1

,u%eto a'!+8 !. 8 !/ 8 !0 8 / !1 > 0

!+ B !. 8 / !/ 8 !0 8 !1 > /

!+ > ;

!. > ;

!/ > ;

!0 > ;

!1 > ;


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Dado que se trata de un programa lineal en "orma canónicaello nos proporciona un du! en "orma sim#trica como elsiguiente'

@unción b%eti$o'5a! C(y) 7 0 y+ 8 /y.

,u%eto a'

y+ 8 y. : y+ B y. : /

y+ 8 / y. : 1

y+ 8 y. :

/ y+ 8 y. : /

y+ > ;

y. > ;


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y2

y1-1

-1

0

2

1

3

4

5

0 1 2 3 4 5

R 1

R

2

R 3 R 4

R 5

F U N C I O N O B J E T I V

O


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El $#rtice solución es el punto (01/1) con un

$alor de la "unción ob%eti$o de 1.

x1 + 3x5 = 4

2 x1 + x5 = 3

La solución de este sistema es : x1 = 1

y x5 = 1, lo cual nos proporciona un

valor de la función obetivo de !"x# =5, id$ntico a la solución del dual%


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TEOREMAS DE DUALIDAD

*onsideremos el siguiente par primalBdual'

(P) mn - 7 c F ! (D) ma! G 7 y F b s.a. A F ! > b s.a. At F y : c

!i > ; yi > ;

1. T&'#&% D()$! d& Du!$dd

,i !; e y; son "actibles para (P) y (D) respecti$amente entonces

-(!;) > G(y;).

. T&'#&% Fu*d%&*+! d& Du!$dd ' T&'#&% Fu+& d&

du!$ddDados un par de problemas primalBdual si uno de ellos admite

solución óptima entonces el otro tambi#n la admite y los

respecti$os $alores óptimos son iguales.


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- T&'#&% d& .'!/u# C'%"!&%&*+#$

Uno de los teoremas principales en la teoria de

dualidad en programación lineal es el +&'#&%

d& '!/u# '%"!&%&*+#$. Dic&o teorema

nos permite encontrar la solución óptima del

problema dual cuando conocemos la soluciónóptima del problema primal (y $ice$ersa) a

tra$#s de la resolución de un sistema de

ecuaciones con"ormado por las $ariables dedecisión (primales y duales) y las restricciones

(del modelo primal y dual).


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,i consideramos'

H+

H.

J+ J. J/ K.. Jn 7 H/ una matri- de m "ilas y n

. columnas .

Hm


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,ea el par primalBdual siguiente'

(P) mn - 7 c F ! (D) má! G 7 y F b

s.a i F ! > bi s.a % F y : c%

!i > ; yi > ;

,ean !; e y; soluciones "actibles para los problema (P) y

(D) respecti$amente. !; e y; son óptimos si y solo si'I) (Hi F !; M bi) F y;i 7 ; i7+...m.

II) (c % M y; F J %) F !; % 7 ; %7+...n.

,e establece que (Hi F !; M bi) y (c % M y; F J %) son las$ariable de &olgura de los problemas (P) y (D)

respecti$amente.


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La importancia de este teorema radica en que "acilita

la resolución de los modelos de optimi-ación lineal

permitiendo a qui#n los resuel$e buscar el modelomás sencillo para abordar (desde el punto de $ista

algortmico) dado que de cualquier "orma podrá

obtener los resultados del modelo equi$alente

asociado (sea #ste el modelo primal o dual).

*onsideremos el siguiente modelo de programación

lineal (en adelante primal) con $ariables cuya

solución óptima es 31456 e Y756 con $aloróptimo V8P920,7.


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5a! 0! 8 2 y

s.a. ! 8 0 y : +

0! 8 /y : +2

! > ;

y > ;

El modelo dual asociado al modelo primal es'

5in +A 8 +2N

s.a. A 8 0N > 0

0A 8 /N > 2

A > ;

N > ;


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Luego el teorema de &olguras complementarias plantea

las siguientes relaciones'

(3 8 04 O +)A 7 ;(03 8 /4 O +2)N 7 ;

(A 8 0N O 0)3 7 ;

(0A 8 /N O 2)4 7 ;*omo sabemos 37+01 e 47=1 (solución óptima del

modelo primal). ,i reempla-amos estos $alores de 3 e 4

en la tercera y cuarta ecuación generamos un sistema de

ecuaciones de en t#rminos de A y N cuya solucióncorresponde a A:56 y B256 (solución óptima del

modelo dual).


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,i posteriormente e$aluamos en la "unción ob%eti$o del

problema dual dic&a solución obtenemos'

Q(D)7+(21)8+2(1)7;.= que es similar al $aloróptimo del problema primal (teorema de dualidad

"uerte). ,iendo A:56 y B256 una solución "actible

para el problema dual lo cual es la solución optima de

dic&o problema.- A*;!$$ d& S&*$)$!$dd-

Es necesario $er como a"ectada la solución de un

problema de optimi-ación si cambia alguno de los parámetros del problema. En este ámbito podemos

distinguir tipos de análisis'


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Análisis de sensibilidad' *onsiste en determinar cual es

el rango de $ariación de los parámetros del problema de

modo que la base óptima encontrada siga siendo óptima.

Análisis post optimal' *onsiste en determinar como $ara

la base óptima si cambian alguno de los parámetros del

problema.

*onsiderando la siguiente matemati-ación de un problemade asignaciones se tiene'

má! - 7 !+ 8 /!.

s.a !+ 8 0!. : +;;

!+ 8 !. : 2;

!+ 8 !. : 1;

!+ !. > ;


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,e considera la posibilidad de introducir una $ariable nue$a

de decisión a las restricciones del proceso tendremos la

siguiente matemati-ación de la PL.

má! - 7 !+ 8 /!. 8 !nue$o

s.a !+ 8 0!. 8 1!nue$o : +;;

!+ 8 !. 8 /!nue$o : 2;

!+ 8 !. 8 !nue$o : 1;

!+ !. !nue$o > ;

,i solucionamos ambos problemas tendremos los siguientes

resultados'En el problema ?R + la "unción ob%eti$o y las $ariables de

decisión consignan los siguientes $alores' 6 7 =;.;;

!+ 7 ; !. 7 ;.


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En el problema ?R la "unción ob%eti$o y las $ariables de

decisión consignan los siguientes $alores' 6 7 =;.;;

!+ 7 ; !. 7 ; y !nue$o 7 ;.

*omo se puede apreciar de los resultados si bien es cierto

que se predispone una nue$a asignación al proceso esto no

propicia una $ariación de la "unción ob%eti$o ni de las dos

primeras $ariables de decisión pero complementa que se puede me%orar las condiciones de operati$idad con las

nue$as asignaciones aun cuando no estaran participando

acti$amente en el proceso.

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