INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA

PARAÍBA – CAMPUS JOÃO PESSOA

IURI SANTOS DE ARAÚJO

DEDUÇÃO DAS EQUAÇÔES DE FILTROS PASSIVOS

DISCIPLINA: CIRCUITOS ELÉTRICOS

PROFESSORA: SILVANA

João Pessoa/PB

22 de Junho de 2010

Sumário

1. Filtro Passa Baixas ............................................................................................................. 3

1.1 RC .............................................................................................................................. 3

1.2 RL .............................................................................................................................. 4

2. Filtro Passa Altas ............................................................................................................... 5

2.1 RC .............................................................................................................................. 5

2.2 RL .............................................................................................................................. 6

3. Filtro Passa Faixa ............................................................................................................... 8

3.1 RLC em série .............................................................................................................. 8

3.2 RLC em paralelo ....................................................................................................... 10

4. Filtro Rejeita Faixa ........................................................................................................... 12

4.1 RLC em serie ............................................................................................................ 12

4.2 RLC em paralelo ....................................................................................................... 13

3

1. Filtro Passa Baixas

1.1 RC

Figura 1 - Circuito de um filtro passivo passa-baixas RC

Ve t = VR t + VS(t)

Ve t = RiC t + VS(t)

iC t = 𝐶𝑑VC t

𝑑𝑡

Ve t = R𝐶𝑑VC t

𝑑𝑡+ VS(t)

Ve ω = jωR𝐶. VS t + VS(ω)

Ve ω = (jωR𝐶 + 1)VS(ω)

jωR𝐶 + 1 VS t = Ve ω

VS ω

Ve ω =

1

jωR𝐶 + 1

H ω =1

1 + jωR𝐶

H ω =1

1 + ωR𝐶 2

Para ω igual a 0, o módulo de H 𝜔 tende a 1. Para ω com valores elevados, o módulo

de H 𝜔 tende a 0. Para o módulo de H 𝜔 igual a 1/ 2,

1

2

2

=1

ωR𝐶 2 + 1

1

2=

1

ωR𝐶 2 + 1

ωR𝐶 2 + 1 = 2

ωR𝐶 2 = 1

𝜔𝑐R𝐶 = 1

𝜔𝑐 =1

R𝐶

4

𝑓𝑐 =1

2πR𝐶

1.2 RL

Figura 2 - Circuito de um filtro passivo passa-baixas RL.

Ve t = V𝐿 t + Vs(t)

V𝐿 t = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

Ve t = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

+ Vs(t)

Ve t =𝐿

𝑅

𝑑𝑉𝑠(𝑡)

𝑑𝑡+ Vs (t)

Ve 𝜔 =𝐿

𝑅𝑉𝑠(𝜔)j𝜔 + Vs(𝜔)

Ve 𝜔 = 𝑉𝑠(𝜔) 𝐿

𝑅j𝜔 + 1

𝑉𝑠 𝜔

Ve 𝜔 =

1

𝐿𝑅 j𝜔 + 1

𝐻 𝜔 =1

1 + j𝜔𝐿𝑅

𝐻 𝜔 =1

1+ 𝜔𝐿𝑅

2

Para ω igual a 0, o módulo de H 𝜔 tende a 1. Para ω com valores elevados, o módulo

de H 𝜔 tende a 0. Para o módulo de H 𝜔 igual a 1/ 2,

1

2=

1

1+ 𝐿𝑅𝜔

2

1+ 𝐿

𝑅𝜔

2

= 2

𝐿

𝑅𝜔 = 1

5

𝜔𝑐 =𝑅

𝐿

2𝜋𝑓 =𝑅

𝐿

𝑓𝑐 =𝑅

2𝜋𝐿

Figura 3 – Resposta de um filtro passa-baixas

2. Filtro Passa Altas

2.1 RC

Figura 4 - Circuito de um filtro passivo passa-altas RC.

Ve t = Vc t + Vs(t)

Vc t =1

𝐶 𝑖𝑐 𝑑𝑡

Ve t =1

𝐶 𝑖𝑐 𝑑𝑡 + Vs(t)

Ve t =1

C

Vs(t)

Rdt + Vs(t)

Ve t =1

RC Vs(t)dt + Vs(t)

Ve 𝜔 =1

RC.

1

j𝜔Vs(𝜔) + Vs (𝜔)

Ve 𝜔 = Vs(𝜔) 1

j𝜔RC+ 1

Vs 𝜔

Ve 𝜔 =

1

1

j𝜔RC + 1

6

H(𝜔) =1

1 − j1𝜔RC

H 𝜔 =1

1 + 1𝜔RC

2

Para ω igual a 0, o módulo de H 𝜔 tende a zero. Para ω com valores elevados, o

módulo de H 𝜔 tende a 1. Para o módulo de H 𝜔 igual a 1/ 2,

1

2=

1

1 + 1𝜔RC

2

1 + 1

𝜔RC

2

= 2

1 + 1

𝜔RC

2

= 2

1

𝜔RC

2

= 1

1 =1

𝜔RC

𝜔𝑐 =1

RC

2𝜋𝑓 =1

RC

𝑓 =1

2𝜋RC

2.2 RL

Figura 5 - Circuito de um filtro passivo passa-altas RL.

Ve t = V𝑅 t + Vs(t)

Ve t = R𝑖𝐿 t + Vs(t)

7

V𝐿 t = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

→ 𝑖𝐿 =1

𝐿 V𝐿 t 𝑑𝑡

Ve t = R1

𝐿 V𝐿 t 𝑑𝑡 + Vs(t)

Ve t = R1

𝐿 V𝑆 t 𝑑𝑡 + Vs (t)

Ve t =R

𝐿 V𝑆 t 𝑑𝑡 + Vs (t)

Ve ω =R

𝑗𝜔𝐿V𝑆 ω + Vs(ω)

Ve ω = V𝑆 ω −𝑗R

𝜔𝐿+ 1

V𝑆 ω

Ve ω = H(ω) =

1

1 − 𝑗R𝜔𝐿

H ω =1

1+ R𝜔𝐿

2

Para ω igual a 0, o módulo de H 𝜔 tende a 0. Para ω com valores elevados, o módulo

de H 𝜔 tende a 1. Para o módulo de H 𝜔 igual a 1/ 2,

1

2=

1

R𝜔𝐿

2

+ 1

R

𝜔𝐿

2

+ 1 = 2

R

𝜔𝐿

2

= 1

𝜔𝑐 =R

𝐿

𝑓𝑐 =R

2𝜋𝐿

Figura 6 – Resposta de um filtro passa-altas.

8

3. Filtro Passa Faixa

3.1 RLC em série

Figura 7 – Circuito de um filtro passivo passa-faixa em série RLC.

Ve t = V𝐿 t + VC t + VS t

V𝐿 t = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

𝑒 Vc t =1

𝐶 𝑖𝑐 𝑑𝑡

Ve t = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡

+1

𝐶 𝑖𝑐 𝑑𝑡 + VS t

Ve t = 𝐿𝑑𝑖𝑅𝑑𝑡

+1

𝐶 𝑖𝑅 𝑑𝑡 + VS t

Ve t = 𝐿𝑑𝑉𝑅𝑅𝑑𝑡

+1

𝐶 𝑉𝑅

𝑅𝑑𝑡 + VS t

Ve t =𝐿

𝑅

𝑑𝑉𝑆𝑑𝑡

+1

𝑅𝐶 𝑉𝑆 𝑑𝑡 + VS t

Ve ω =𝐿

𝑅jω𝑉𝑆 ω +

1

𝑗ω𝑅𝐶𝑉𝑆 ω + VS ω

Ve ω =𝑗ω𝐿

𝑅𝑉𝑆 ω +

1

𝑅𝐶𝑗ω𝑉𝑆 ω + VS ω

Ve ω = 𝑗ω𝐿

𝑅+

1

𝑗ω𝑅𝐶+ 1 VS ω

VS ω

Ve ω =

1

𝑗ω𝐿𝑅 +

1𝑗ω𝑅𝐶 + 1

𝑍 = 𝑅 + 𝑗ω𝐿 +1

𝑗ω𝐶

𝑍 = 𝑅 + 𝑗ω𝐿 −𝑗

ω𝐶

𝑍 = 𝑅 + 𝑗ω𝐿 −𝑗

ω𝐶

VS ω

Ve ω =

1

1 +𝑗ω𝐿𝑅 −

𝑗ω𝑅𝐶

9

H ω =1

1 − 𝑗 1− ω2𝐿𝐶ω𝑅𝐶

H ω =1

1 + 1− ω2𝐿𝐶ω𝑅𝐶

2

Para a frequência de ressonância,

1 =1

1 + 1 −ω2𝐿𝐶ω𝑅𝐶

2

1 − ω2𝐿𝐶

ω𝑅𝐶= 0

1 − ω2𝐿𝐶 = 0

−ω2𝐿𝐶 = −1

ω0 =1

𝐿𝐶

𝑓0 =1

2𝜋 𝐿𝐶

Para a frequência de corte

1

2=

1

1 + 1 −ω2𝐿𝐶ω𝑅𝐶

2

1 −ω2𝐿𝐶

ω𝑅𝐶= ±1

1 −ω2𝐿𝐶 = ±ω𝑅𝐶

0 = ω2𝐿𝐶 ±ω𝑅𝐶 − 1

ω2𝐿𝐶 + ω𝑅𝐶 − 1 = 0 𝑒 ω2𝐿𝐶 − ω𝑅 − 1 = 0

ω𝑐𝐼𝑁𝐹 = −𝑅𝐶 ± 𝑅𝐶 2 − 4𝐿𝐶 −1

2𝐿𝐶 𝑒 ω𝑐𝑆𝑈𝑃 = 𝑅𝐶 ±

𝑅𝐶 2 − 4𝐿𝐶 −1

2𝐿𝐶

ω𝑐𝑆𝑈𝑃 = +𝑅𝐶 ± 𝑅𝐶 2 + 4𝐿𝐶

2𝐿𝐶𝑜𝑢 ω𝑐𝐼𝑁𝐹 = −𝑅𝐶 ±

𝑅𝐶 2 + 4𝐿𝐶

2𝐿𝐶

10

3.2 RLC em paralelo

Figura 8 – Circuito de um filtro passivo passa-faixa em paralelo RLC.

Ve t = V𝑅 t + VS t

Ve t = R. (𝑖𝐿 t + 𝑖𝐶 t ) + VS t

𝑖𝐿 =1

𝐿 V𝐿 t 𝑑𝑡 𝑒 iC t = 𝐶

𝑑VC t

𝑑𝑡

Ve t = R. (1

𝐿 V𝑆 t 𝑑𝑡 + 𝐶

𝑑VS t

𝑑𝑡) + VS t

Ve ω = R. (1

𝑗𝜔𝐿V𝑆 ω + 𝑗𝜔𝐶VS ω ) + VS ω

Ve ω = (1 +R

𝐿

1

𝑗𝜔+ 𝑗𝜔𝑅𝐶)VS ω

VS ω

Ve ω =

1

1 +R𝐿

1𝑗𝜔 + 𝑗𝜔𝑅𝐶

VS ω

Ve ω =

1

1 +R𝐿

1𝑗𝜔 + 𝑗𝜔𝑅𝐶

VS ω

Ve ω =

1

1 −𝑗R𝜔𝐿 + 𝑗𝜔𝑅𝐶

VS ω

Ve ω =

1

1 −𝑗R𝜔𝐿 + 𝑗𝜔𝑅𝐶

VS ω

Ve ω =

1

1 − 𝑗 R𝜔𝐿 − 𝜔𝑅𝐶

H(ω) =1

1 − 𝑗 R− 𝜔2𝑅𝐿𝐶

𝜔𝐿

H ω =1

1 + R−𝜔2𝑅𝐿𝐶

𝜔𝐿 2

Para a frequência de ressonância,

11

1 =1

1 + R−𝜔2𝑅𝐿𝐶

𝜔𝐿 2

R− 𝜔2𝑅𝐿𝐶

𝜔𝐿= 0

R− 𝜔2𝑅𝐿𝐶 = 0

−𝜔2𝑅𝐿𝐶 = −R

𝜔2 =R

𝑅𝐿𝐶

𝜔0 =1

𝐿𝐶

Para a frequência de corte,

R− 𝜔2𝑅𝐿𝐶

𝜔𝐿= ±1

R− 𝜔2𝑅𝐿𝐶 = ±𝜔𝐿

R(1− 𝜔2𝐿𝐶) = ±𝜔𝐿

1− 𝜔2𝐿𝐶 = ±𝜔𝐿

𝑅

= 𝜔2𝐿𝐶 ±𝜔𝐿

𝑅− 1

ωcINF =

−LR ±

LR

2

+ 4LC

2LC 𝑜𝑢 ωcSUP =

+LR ±

LR

2

+ 4LC

2LC

Figura 9 – Resposta de um filtro passa-faixa.

12

4. Filtro Rejeita Faixa

4.1 RLC em série

Figura 10 – Circuito de um filtro passivo rejeita-faixa em série RLC.

Ve t = V𝑅 t + VS t

Ve t = R𝑖 t + VS t

Ve t = R V𝐿 t + V𝐶 t

𝑅 + VS t

Ve ω = 𝑅 V𝑆 ω

XL + XC + VS ω

Ve ω = 𝑅V𝑆 ω

𝑗ωL +1𝑗𝜔𝐶

+ VS ω

Ve ω = 𝑅V𝑆 ω

𝑗ωL−𝑗𝜔𝐶

+ VS ω

Ve ω = 1 −𝑗𝜔𝑅𝐶

ω2L𝐶 − 1 VS ω

VS ω

Ve ω =

1

1−𝑗𝜔𝑅𝐶

ω2L𝐶 − 1

VS ω

Ve ω =

1

1 + 𝑗 𝜔𝑅𝐶

1− ω2L𝐶

𝐻(ω) =1

1 + 𝑗 𝜔𝑅𝐶

1− ω2L𝐶

𝐻(ω) =1

1 + 𝜔𝑅𝐶

1−ω2L𝐶

2

13

Para a frequência de corte,

1

1 + 𝜔𝑅𝐶

1− ω2L𝐶

2=

1

2

1 + 𝜔𝑅𝐶

1− ω2L𝐶

2

= 2

𝜔𝑅𝐶

1− ω2L𝐶= ±1

𝜔𝑅𝐶

±1= 1 − ω2L𝐶

ω2L𝐶 ±𝜔𝑅𝐶 − 1 = 0

ω =−𝑅𝐶 ± 𝑅𝐶2 − 4L𝐶(−1)

2𝐿𝐶

ω𝑐𝐼𝑁𝐹 =−𝑅𝐶 ± 𝑅𝐶2 + 4L𝐶

2𝐿𝐶 𝑒 ω𝑐𝑆𝑈𝑃 =

−𝑅𝐶 ± 𝑅𝐶2 + 4L𝐶

2𝐿𝐶

4.2 RLC em paralelo

Figura 11 – Circuito de um filtro passivo rejeita-faixa em paralelo RLC.

Ve t = V𝐶𝐿 t + VR t

Ve t = R𝑖 t + VS t

R=XL//XC e i(t)=VS/R

Ve t =𝑋𝐿.𝑋𝐶

𝑋𝐿 + 𝑋𝐶 𝑉𝑆𝑅 + VS t

14

Ve ω =𝑗ωL.

1𝑗ωC

𝑗ωL +1𝑗ωC

𝑉𝑆(ω)

𝑅 + VS ω

Ve ω =

LC

𝑗ω2LC + 1 𝑉𝑆(ω)

𝑅 + VS ω

Ve ω = 1 +

LC

−ω2𝑅LC + 𝑅𝑗ωC

VS ω

Ve ω = 1 +

LC 𝑗ωC

𝑅 − ω2𝑅LC VS ω

Ve ω = 1 + 𝑗 ωL

𝑅 −ω2𝑅LC VS ω

VS ω

Ve ω = 𝐻(ω) =

1

1 + 𝑗 ωL

𝑅 −ω2𝑅LC

𝐻(ω) =1

1 + ωL

𝑅 − ω2𝑅LC

2

Para a frequência de corte,

1

1 + ωL

𝑅 −ω2𝑅LC

2=

1

2

1 + ωL

𝑅 − ω2𝑅LC

2

= 2

ωL

𝑅 − ω2𝑅LC= ±1

±ωL = 𝑅 −ω2𝑅LC

±ωL

𝑅= 1 − ω2LC

ω2LC ±ωL

R− 1 = 0

15

ω =−𝐿𝑅 ±

L𝑅

2

− 4LC(−1)

2LC

ω𝑐𝐼𝑁𝐹 =−𝐿𝑅 ±

L𝑅

2

+ 4LC

2LC 𝑒 ω𝑐𝑆𝑈𝑃 =

+𝐿𝑅 ±

L𝑅

2

+ 4LC

2LC

Figura 12 – Resposta de um filtro rejeita-faixa.