74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB

8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB

1/345

UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCURESTI"

DEPARTAMENTUL DE FIZICA

CARMEN LILIANA

SCHIOPU

( MECANICA NEWTONIANA OSCILATII MECANICE

UNDE MECANICE MECANICA ANALITICA

TEORIA RELATIVITATII RESTRANSE )

BUCURESTI / 2003


2/345

Cuvnt introductiv

A rsrit soarele. Incepe o nou diminea. (Ce nseamn "soare", ce

nseamn"diminea" ?)

Ne-am sculat devreme.

Am plecat la coal, la facultate, la serviciu, am lucrat - gndind sau

proiectnd sisteme complicate, audiind expuneri savante, manevrnd aparate demsur sau calculatoate, visnd la minunile zilei de mine (ce e aparatul de

msur, ce e calculatorul ?)

Ne-am ntors acas, am dat drumul la televizor, am vzut un film (ce e

un televizor, din ce e fcut, cum funcioneaz?)

In lumea asta minunat, n care am nvat strim firesc, fiecare obiect

este produsul minii iscoditoare a altor oameni ; fiecare obiect - de la cel mai

simplu pnla cel mai complicat - rspunde unei ntrebri i genereazaltele.

Sunt multe, foarte multe realizri, dar mai avem de rspuns la un

numr infinit de ntrebri.

Dacam imagina cunoaterea ca pe o scar, atunci fiecare treaptpe care

am reui so urcm ne schimbperspectiva. Orizontul devine mai vast iar cile

eseniale de legtur ntre diversele "zone" apar mai clare. Stim, vedem,

nelegem tot ce e mai jos de noi. Totodattim, vedem o poriune oarecare din

treptele pe care urmeazsurcm n continuare.

Nu tim care este captul scrii. Poate - acolo sus - ne ateaptun nou

Babilon. Dar - oricum - efortul meritfcut, pentru csuntem OAMENI i cea

mai miraculoas calitate a minii umane a fost i este capacitatea de a

cunoate, capacitatea de a pune ntrebri i de a ncerca srspundla ele.

Aut oar ea


3/345

FIZICGENERALI i

CURS DE FIZICA GENERALA Vol. I

1. INTRODUCERE

1.1. Cteva date importante din istoria fizicii 1

1.2. Obiectul i metodele fizicii 61.3. Mrimi fizice i clasificarea lor 71.4. Tipuri de relaii ntre mrimi 101.5. Mrimi i uniti fundamentale n istemul nternaional.

Elemente de analizdimensional 111.6. Probleme rezolvate 12

1.7. Matematica i fizica 161.7.1. Sisteme de coordonate ortogonale (elemente de

geometrie analitic) 161.7.2. Elemente de calcul vectorial 21

1.8. Probleme date ca tem 36

2. NOTIUNI DE MECANICA CLASICA NERELATIVISTA

(NEWTONIANA)

2.1. Scurt istoric al mecanicii vectoriale 39

2.2. Generaliti 422.3. Noiuni fundamentale ale mecanicii clasice newtoniene 42

2.4. Cinematica punctului material 442.5. Dinamica punctului material. Principiile dinamicii 522.6. Aplicaii ale principiilor dinamicii 61

2.6.1. Utilizarea ecuaiei fundamentale pentru studiul dinamiciipunctului material liber 61

2.6.2. Oscilatorul armonic liniar 64

2.6.3. Probleme rezolvate 65

2.7. Teoreme de conservare n mecanica vectorial 852.7.1. Teorema de conservare a impulsului (mecanic total) 88

2.7.2. Teorema de conservare a momentului cinetic (total) 892.7.3. Teorema conservrii energiei mecanice (totale) 902.7.4. Probleme rezolvate 97

3. OSCILATII

3.1. Oscilaii neamortizate (nedisipative sau conservative) 1113.1.1. Micarea oscilatorie armonic 1113.1.2. Compunerea a douoscilaii armonice paralele, avnd

aceeai frecven 1163.1.3. Compunerea oscilaiilor armonice paralele cu frecvene

puin diferite 117


4/345


5/345

FIZICGENERALI iii

5. NOTIUNI DE MECANICA ANALITICA

5.1. Limitele mecanicii vectoriale 209

5.2. Mecanica analitic: noiuni elementare 2125.2.1. Probleme rezolvate 215

5.3. Principiile mecanicii analitice. Principiul lui Hamilton 2175.3.1. Formalismul Lagrange 220

5.3.1.1. Proprietile funciei Lagrange 2215.3.1.2. Alte definiii importante 2225.3.1.3. Forma explicita functiei Lagrange 2235.3.1.4. Algoritm de rezolvare a problemelor 225

5.3.1.5. Probleme rezolvate 226

5.3.1.6. Aplicaie interesant: oscilaia moleculeibiatomice 245

5.3.2. Formalismul Hamilton 247

5.3.2.1. Forma explicita funciei lui Hamilton 2505.3.2.2. Probleme rezolvate 251

5.3.2.3. Parantezele Poisson 260

5.4. Legi de conservare 2635.4.1. Legea conservrii energiei mecanice totale 2635.4.2. Legea conservrii impulsului total 2645.4.3. Legea conservrii momentului cinetic total 265

6. ELEMENTE DE TEORIA RELATIVITATII

RESTRANSE 2716.1. Bazele experimentale ale teoriei relativitii restrnse 272

6.1.1. Experiena Michelson - Morley 2736.1.2. Experiena lui Bertozzi 276

6.2. Postulatele teoriei relativitii restrnse 2786.2.1. Observaie legatde principiul invarianei vitezei maxime

de interaciune 2786.2.2. Simultaneitatea relativist 280

6.3. Transformrile Lorentz 280

6.3.1. Demonstraii echivalente pentru deducerea relaiilorde transformare Lorentz (paragraf facultativ) 282

6.4. Consecine cinematice ale transformrilor Lorentz (partea I) 2856.4.1. Probleme rezolvate de cinematicrelativist 292

6.5. Date suplimentare referitoare la cinematica relativist 2986.5.1. Spaiul Minkowski 2986.5.2. Relaiile de transformare specialLorentz n spaiul

Minkowski 302

6.5.3. Alte consecine cinematice importante (partea a II-a) 305

6.5.4. Cuadrivectori. Exprimarea mrimilor fizice cinematiceprin intermediul acestora 310


6/345

CUPRINSiv

6.6. Elemente de dinamicrelativist 3146.6.1. Variaia masei cu viteza 3146.6.2. Expresii ale energiei relativiste 318

6.6.3. Forma relativista funciei Lagrange i Hamilton pentru

un punct material 3206.6.4. Probleme rezolvate 324

ANEXA. Albert Einstein - Cteva date biografice 335


7/345

INTRODUCERE 1

1. INTRODUCERE

1.1. Cteva date importante din istoria fiziciiDup marea majoritate a autorilor tiina, ca imagine organizat a

universului", s-a dezvoltat odatcu naterea civilizaiei i culturii greceti (anii

600 .e.n.). Totui, chiar i pnatunci, istoria (i devenirea uman) a consemnatdescoperiri remarcabile, legate indisolubil de necesitile imediate. Din acestmotiv primele nregistrri ale unor descoperiri cu coninut tiinific au vizattehnologia, tiinele naturale, matematica i astronomia.

Dac evenimentele tiinifice ale ultimelor dou milenii sunt frecventevocate, totui nu ne putem permite s ignorm momentele de nceput alecunoaterii umane, aa aproximativ, orientativ, cum au ajuns pn la noi (multedintre ele fiind transmise pe cale oral sub forma unor legende sau fcndobiectul unor descoperiri arheologice).

"Aventura" cunoaterii ncepe cu 2.400.000 .e.n. i continui astzi.Datele prezentate n continuare, organizate pe domeniile enumerate mai

sus, se opresc n anul 599 .e.n., moment n care se considerc se poate vorbideja despre gndire tiinific abstract, organizat, despre primii oameni detiin, despre coala i civilizaia greceasc.

A. DESCOPERIRI / EVENIMENTE semnificative legate de DEZVOLTAREA

TEHNOLOGICA

- primele unelte din piatr(Africa, 2.400.000 .e.n.) ;

- dovezi despre folosirea focului (Africa de Sud, 1.000.000 .e.n.) ;- inventarea arcului i a sgeii (8.000 .e.n.) ;- utilizarea unor materiale de construcii : crmizi uscate i mortar

(Israel, 7.000 .e.n. ) ;- construcia primelor vase cu pnze (Mesopotamia, 5.000 .e.n.) ;- extragerea i topirea minereului de cupru (Egipt, 5.000 .e.n.) ;- inventarea plugului tras de vite (Mesopotamia, 4.000 .e.n.) ;- egiptenii i sumerienii topesc aur i argint (4.000 .e.n.) ;- sumerienii dezvoltscrierea cuneiform(3.000 .e.n.) ;- Marea Piramida lui Keops este construitntre anii 2.900 .e.n. 2.800

.e.n. ;- n Mesopotamia se legifereaz primele uniti de msur pentru

lungime, greutate i capacitate (ntre anii 2.500 .e.n. i 2.400 .e.n.) ; cel maivechi etalon de greutate are 477 grame i a fost datat 2.400 .e.n. ;

- n Egipt apar ceasuri cu ap i clepsidre, precum i balana cu acindicator (1.450 .e.n.).

B. STIINTE NATURALE

- domesticirea animalelor : cine (Mesopotamia, 10.000 .e.n.), capr i

oaie (Iran i Israel, 9.000 .e.n.), porc i gini (Asia i China, 7.000 .e.n.),cultivarea viermilor de mtase (China, 2.700 .e.n.), etc. ;


8/345

DATE IMPORTANTE. OBIECTUL I METODELE FIZICII. MRIMI FIZICE(CLASIFICARE, TIPURI DE RELAII ). ELEMENTE DE ANALIZDIMENSIONAL.

2

- cultivarea diverselor plante i legume : orz i gru (Iran i Israel, 9.000.e.n.), cartof (Peru), dovleac (America Central), fasole (Peru), orez (Indochina),folosirea irigaiilor (n Valea Nilului) toate n perioada 8.000 .e.n. 7.000.e.n. , porumb, dovleac, fasole i piper (Mexic, 7.000 .e.n.) ;

- apariia primelor informaii legate de vindecarea diverselor boli : primultratat tiinific de chirurgie dateaz din anii 2.500 .e.n. i a fost redactat pepapirus, n Egipt. Papirusul Chirurgical Edwin Smith arat cum se sudeazoasele fracturate, descrie funcia de pompare a inimii i aratcpulsul poate fifolosit pentru a diagnostica funcionarea cordului. Un alt document, PapirusulEbers, se ocup de prescrierea medicamentelor i a dietelor (peste 700 detratamente, incluznd posturi, masaje, hipnoz).

C. MATEMATICA

- primele plcue de lut pe care se gsesc semne fcute pentru a ineevidena animalelor i a cantitilor de cereale (ceea ce a condus la apariiaprimului sistem de numeraie) dateaz din anii 8.000 .e.n. i aparinmesopotamienilor ;

- egiptenii dezvoltun sistem de numeraie (anii 3.500 .e.n.) ;- mesopotamienii nva s rezolve ecuaiile cuadrice (n care

necunoscutele sunt ridicate cel mult la puterea doi) n anii 2.000 .e.n. ;- tot n Mesopotamia se descoperceea ce acum se numete teorema lui

Pitagora (1.900 .e.n.) precum i tablele nmulirii (1.800 .e.n.) ;- din Egipt provin doudocumente celebre : papirusul Moscova care

conine cunotinte destul de avansate de geometrie, cum ar fi metoda de calcul avolumului unui trunchi de piramid, i papirusul Rhind , care se ocup desoluionarea ecuaiilor algebrice simple ; ambele manuscrise sunt datate 1.650.e.n. ;

- n China se utilizeazsistemul numeric zecimal (1.350 .e.n.).

D. ASTRONOMIA

- primul calendar cu 365 zile (12 luni a cte 30 zile + 5 zile de srbtoare)dateazdin anul 4.241 .e.n. i a fost fcut de egipteni ;

- babilonienii prezic eclipsele (3.000 .e.n.) ;- chinezii introduc o metodde observare a cerului, bazatpe raportarea

la ecuator i la polii magnetici ai Pmntului, care reprezinti acum o metodstandard de nregistrare a observaiilor astronomice (2.400 .e.n.) ;

- chinezii nregistreazo comet(2.296 .e.n.) ;- n Babilon sunt ntocmite cataloage i hri ale stelelor (1.800 .e.n.) ;- astrologii caldeeni (Mesopotamia) identific semnele zodiacale (1.600

.e.n.) ;- n 763 .e.n. babilonienii nregistreaz o eclips solar, cea mai veche

eclipscunoscut._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


9/345

INTRODUCERE 3

Stiina greac introduce (n secolul VI .e.n.), suplimentar fa dedomeniile enumerate mai sus, studiul abstract dar i experimental asupra naturiisubstanelor care stau la baza materiei.

Filozofii1 greci sunt creatorii primelor modele atomice i totodat,

implicit, creatorii tiinelor fizico - chimice. De exemplu ntre anii 500 - 400.e.n. filozofii greci Leucip i apoi Democrit (care a fost unul dintre elevii luiLeucip) au formulat aa - numita "concepie atomist", conform creia materiaputea fi divizatpnla nivelul unor uniti fundamentale, numite atomos(ceeace n limba greac nseamn "indivizibil") ; pentru Democrit ntreaga materieconsta ntr-un ansamblu de atomi separai spaial de ctre (ceea ce denumimastzi) vid. Ulterior Platon i Aristotel (anii 400 - 300 .e.n.) au considerat caceastpresupunere este absurd.

Una dintre lucrrile filozofului grec Epicur(341 - 270 .e.n.), anume "DeRerum Natura" (Despre natura lucrurilor), a avut norocul de "a supravieui"bigotismului Evului mediu (fiind redescoperit n 1417 e.n.) i s-a constituit nprincipala sursde informaie referitoare la vechile teorii atomiste.

In anul 330 .e.n. Aristotel(384 - 322 .e.n.) a scris celebra carte "Fizica",care a avut o importan deosebit pentru acele vremuri. Cu toate c n ea segseau principii formulate corect, existau i multe afirmaii care - -ulterior - s-audovedit eronate. Cea mai cunoscut dintre ele este ideea c un corp greu cadentr-un timp mai scurt dect un corp mai uor (care parcurge aceeai distan) ;abia dup aproximativ 2000 de ani Galilei a demonstrat experimental c acestprincipiu a fost greit.

Arhimede a fost alt om de tiin care a trit nainte de Hristos. Unadintre cele mai cunoscute afirmaii ale acestuia (260 - 241 .e.n.) este principiulplutirii corpurilor la suprafaa unui lichid. El a contribuit i la cunoatereaprincipiilor de funcionare pentru prghii i scripei, istoria fizicii consemnndreplica :"Dai-mi un punct de sprijin i voi putea mica Pmntul".

Dupo ndelungatperioadde mizerie i obscurantism (corespunztoareevului mediu), secolul al XVII - lea a adus o revoluie n domeniul fizicii.Oamenii de tiinau nceput spun la ndoial ideile grecilor i ncurajai derealizrile lui Galileo Galilei i Isaac Newton au nceput s experimenteze,ajungnd la concluzia cmulte dintre ideile preluate de la greci erau greite.

Galileo a avut prima mare contribuie, descoperind legile naturale careguverneaz cderea corpurilor i oscilaia pendulului. El a studiat micareacorpurilor n cdere i (n contradicie cu Aristotel) a descoperit ctoate corpurilecad cu aceeai vitez indiferent de greutatea lor, dac se neglijeaz frecarea cuaerul. De asemenea el a studiat micarea accelerat, observnd alunecarea unorbile pe un plan nclinat.

1

In limba greactermenul de "filozof" desemna o persoannvat, un gnditor, unnelept , un om preocupat de descifrarea lucrurilor necunoscute.


10/345


4

Tot Galilei a fost cel care a furnizat astronomiei primul instrumentperformant de observaie : luneta (1610). Mai trziu (1619) Keplera stabilit celetrei legi referitoare la micarea planetelor ; Newton a verificat aceste rezultatestabilind legile gravitaiei.

Pe lngfaptul ca descoperit legile fundamentale ale mecanicii, Newtona reuit sdezvolte un aparat matematic specific (n paralel cu Leibniz, 1666).In timpul secolului XIX mecanica a devenit o tiin bine nchegat,

graie unor oameni de tiin precum Leonhard Euler, Jean le Rondd'Alembertsau Joseph Louis Lagrange.

Mai trziu, n secolul al XIX- lea, Michelson i Morley au fcutexperimente optice care au contrazis teoriile mecanice existente. Albert Einsteina fost cel care a reuit s rezolve aceast problem formulnd (n 1905) teoriarelativitii restrnse.

Anticii erau familiarizai cu unele fenomene optice - ei tiau sfoloseascreflexia i refracia, confecionau i utilizau lentile.

In 1609 Hans Lippersheya construit primul telescop. La scurt timp dupaceea Galileo a fcut un telescop cu care a observat sateliii lui Jupiter, planetaVenus, petele solare i rotaia soarelui.

Pe la mijlocul secolului al XVII- lea doi mari fizicieni realizauexperimente cu lumin, ei ajungnd la concluzii diferite privind natura acesteia.Unul dintre ei era Newton - el reuise s separe lumina alb n culorile salecomponente i era adeptul teoriei c lumina este format din particule mici.Cellalt era Christian Huygens, care a dezvoltat teoria ondulatorie a luminii

(ceea ce i-a permis s explice multe fenomene). Ulterior muli ali fizicieni aufcut nenumrate experimente, ncercnd s aduc argumente n favoarea uneiteorii sau alteia.

In jurul anului 1800 Thomas Young, cruia i s-a alturat mai trziu(1817) Augustin - Jean Fresnel, au realizat experimente care studiauinterferena luminii. Rezultatele lor erau n favoarea teoriei ondulatorii. Inperioada 1820 - 1850 Dominique - Franois Arago, Lon Foulcault iArmand - Hippolyte Fizeau au demonstrat c viteza luminii este mai mare naer dect n ap. Acest lucru a reprezentat o reconfirmare a teoriei ondulatorii i a

convins o mare parte dintre fizicieni caceastteorie este cea adevrat. Totui,dup aproximativ 100 de ani, teoria corpuscular a luminii a nceput s fie dinnou acceptat.

Chiar nainte ca proprietile luminii sfie cunoscute, fizicienii au artatclumina este rezultatul activitii electrice n atom (cunoaterea electricitii eranecesar pentru a nelege comportamentul i proprietile luminii). In 1800Alessandro Voltaanuna realizarea unei baterii electrice care putea produce uncurent continuu. Oamenii de tiin(precum Michael Faraday) au folosit aceastsurspentru descoperirea de noi fenomene (cum ar fi electroliza sau capacitatea

cmpurilor electrice i magnetice de a se genera reciproc).In 1873 James Clerk Maxwell i-a publicat lucrarea n care formula


11/345


12/345


6

funcie de und ; aceast teorie a reprezentat una dintre pietrele de temelie alefizicii moderne. Fiecare zi care trece adaugacestui edificiu noi experimente, noiformulri, rezultate spectaculoase i decepii.

Existmulte ntrebri la care fizica nu a rspuns nc; indiscutabil - ns-

nivelul de cunoatere i de civilizaie este un rezultat direct al eforturilor tuturoracestor mari fizicieni (i ai multor altora, nenominalizai).

Srind peste particulariti, influene i alte contribuii semnificative fra mai insista (deoarece vom prezenta reperele importante n fiecare capitolabordat n continuare), putem sistematiza noiunile care, la ora actual, seconstituie n adevruri tiinifice fundamentale.

1.2. Obiectul i metodele fizicii

Fizica este tiina care studiaz formele de existen ale materiei,micrile acestora precum i transformrile lor reciproce (pentru caresubstanele nu-i schimbcompoziia chimic).3

In fizic cunoaterea se ntemeiaz pe acceptarea urmtoarelor ideifundamentale (principii) :

1.Recunoaterea obiectivitii lumii materiale i a legilor ei, coroboratcu posibilitatea practic nelimitata cunoaterii.

2. Acceptarea principiului cauzalitii (fiecare stare din lumea obiectiveste efectul unei cauze, reprezentat de un complex de stri anterioare dintr-o

anumitclas).Necesitatea determinaiei cauzale implicnoiunea de reproductibilitate ;

cu alte cuvinte daccelelalte condiii rmn neschimbate, aceleai cauze producoricnd i oriunde aceleai efecte .

3. Verificarea practic / experimental a ideilor teoretice (criteriuladevrului).

In acest context,materia este considerata drept un factor primordial allumii, avnd o realitate obiectiv, independentde voina i contiina uman.

Formele recunoscute (la aceasta dat) de prezentare a materiei sunt :- substana(formde existena materiei nzestratcu masde repaus) ;

lumii i, poate nc i mai important, o modificare a legii cauzalitii. Cei doi piloni care

marcheaz intrarea n noul teritoriu al tiinei sunt complementaritatea lui Bohr i

incertitudinea lui Heisenberg." Martori i participani au fost : N. Bohr, W. Heisenberg,

P.A.M. Dirac, J.R. Oppenheimer, J.A. Wheeler, W. Pauli. (dup : Andrei Dorobanu,

"Fondatorii", revista Stiini tehnic, noiembrie 2001)3 Vezi bibliografia de la sfrit de capitol.


13/345


14/345


8

Prin mrime fizic se nelege o proprietate fizic susceptibil de a fimsurat.

Pentru ca o proprietate fizic s fie mrime fizic, ea trebuie sndeplineasc:

A) Condiii intrinseci de existen, care reflect capacitatea de a grupaobiectele realitii n clase de echivalenpentru care se pot punen eviden:- relaii de echivalen: reflexive, simetrice i tranzitive 4- relaii de ordonare : reflexive , antisimetrice i tranzitive 5- o corespondenbiunivocntre mulimea acestor clase (ordonate deja !)

i o band continu din mulimea numerelor reale, astfel nct s se pstrezeasemnarea ntre ordinea claselor de echivaleni ordinea naturala numerelorreale.

B) Condiia de existen a unor convenii n legtur cu procedeul demsurare.

Procedeul de msurare este o operaiune experimental prin care seasociazmrimii fizice o valoare matematic(un numr) n raport cu o mrime

fizicde referin, numitunitate de msur.Alegerea unitii de msureste o alegere convenional: ea se referla

stabilirea unei clase de echivalen n raport cu mrimea fizic studiat, creia ise atribuie valoarea numeric1 ; toate obiectele fizice oarecare ce aparin acesteiclase de echivalen devin uniti de msur pentru mrimea respectiv (deexemplu : toate barele lungi de 1 m). Datorit necesitii de a avea aceleai

rezultate, att la Polul Nord ct i la Ecuator, a fost neaprat necesar ca unitateade msurspoatfi realizatreal, cu maxim de precizie, sub formde etalon.

Rezultatul comparrii dintre o clas de echivalen oarecare i unitateade msur aleas convenional este (indiferent de maniera concret la care serecurge, n funcie de mrimea fizicimplicat) un numr.

Prin msurare :- observaia devine o determinare cantitativ;

4

Fie o mulime F avnd elementele x, y, z....care pot fi corpuri, fenomene, procese,etc. Dacdousau mai multe elemente posedo proprietate comun(de exemplu: cinci bare

identice), astfel nct ntre ele nu se poate face o distincie pe baza unui experiment fizic,

respectivele elemente sunt echivalenten raport cu respectiva proprietate (lungime). Relaia de

echivaleneste reflexiv (x echivalent cu x : notatie x E x), simetric (x E y y E x) itranzitiv(x E y si y E z x E z).

5De exemplu : toate cele cinci bare care constituie mulimea F pot fi mai scurte dect

alte patru bare care constituie mulimea G, la rndul lor acestea fiind mai scurte dect alte aptebare care constituie mulimea H, etc. Mulimile de bare pot fi ordonate duplungime.


15/345

INTRODUCERE 9

- modelului i se asociazmrimi msurabile ;- observaiile teoretice mbracforma unor relaii cantitative ;- modelul iniial poate fi perfecionat (feed-back),

mbuntirea acestuia fiind guvernat de principiul de coresponden (relaiile

matematice obinute n urma utilizrii unui model mai evoluat trebuie sconin,drept caz particular, relaiile matematice deduse prin studiul unui model mairudimentar, aflat ntr-o gammai restrnsde condiii ).

In procedura de clasificare a mrimilor fizice, pot fi remarcateurmtoarele criterii :

1.Dupmodul n care se introduc n fizic : mrimi primitive (introdusedirect ca o consecina unor experimente reale sau idealizate ; ca exemple pot fimasa, timpul, lungimea ) i mrimi derivate (definite cu ajutorul altora, fra se

mai cerceta valabilitatea relaiilor de echivaleni ordonare ).2.Duputilitate : mrimi fundamentale (care sunt mrimi ale cror uniti

de msurse aleg independent ; ca exemplu se pot vedea mrimile fundamentalen S.I.) i mrimi secundare (pentru care unitile de msur rezult din celefundamentale).

3. Dup principiul cauzalitii : mrimi de stare , mrimi accesorii imrimi de interacie (de proces) .

Pentru a ntelege exact care este punctul de vedere care stla baza acesteiclasificri , surmrim schema de mai jos (figura 1.2).

(Proces fizic, caracterizat de mrimi de proces (lucrul mecanic, cldura))

Mrimi de stare = mrimi care depind de valorile pe care le iauparametrii unui sistem ntr-o stare dat.

Mrimile de stare se mai numesc i funcii de stare. Exemplu : energia,entropia.

Mrimi de proces = mrimi care reflect variaia parametrilor de stare(de exemplu: lucrul mecanic).

In general mrimile de proces depind de drumul urmat (valoarea acestoraeste diferitpe diferite traiectorii ; din punct de vedere matematic, asta nseamncmrimile de proces nu sunt integrale totale exacte. )

Mrimi accesorii = alte mrimi fizice, nesemnificative pentru stareaulterioar.

Grupul complet al parametrilor de stare determinstarea sistemului laacel moment.

Sistem ntr-o starefizicA

Sistem ntr-o altstare B

Variaia parametrilor de stare

Figura 1.2


16/345


10

Observaie : numrul gradelor de libertate ale sistemului este dat denumrul mrimilor de stare independente.

4.Dup caliti matematice : mrimi scalare, mrimi vectoriale, mrimi

tensoriale.5.Dupscara la care sunt raportate fenomenele : mrimi macroscopice i

mrimi microscopice.

Exist, pe lng clasificrile trecute n revist pn acum i multe alteforme de clasificare, funcie de multe alte posibile criterii.

1.4. Tipuri de relaii ntre mrimi

In cadrul unui experiment se poate observa c modificarea cantitativ a

unei mrimi fizice conduce la variaii ale valorilor altor mrimi fizice implicaten respectivul proces. Aceste dependene dintre mrimi sunt, n urma modelarii,prezentate sub forma unor relaii matematice.

Aceste relatii matematice pot fi :

a) Relaii de definiie.Ele permit introducerea unei mrimi noi n fizicprin intermediul unor alte dou(sau mai multe) mrimi, cunoscute deja.

Exemple :

=

d m

d V

(densitatea se introduce prin intermediul masei si al volumului)

v =d sd t

(viteza este definita pornind de la marimile primitive spatiu si timp)

b) Legi. Acestea sunt relaii eseniale, necesare i reproductibile ntremrimi fizice , avnd un caracter obiectiv(rezultnd direct din experiment) .

Putem clasifica - ntr-o primetap- legile fizicii n :- legi de stare (relaii simultane ntre mrimile de stare) ;- legi de desfurare (de proces) ; ele sunt relaii ntre mrimi

aparinnd unor evenimente nesimultane, afectate de principiul cauzalitii.

Legile fizicii avnd un caracter obiectiv, forma lor matematictrebuie srmn invariant la transformri (modificarea sistemului de uniti folosit ,trecerea de la un sistem de referinla altul, translaiile, rotaiile, etc. nu trebuies conduc la modificarea formei relaiilor de legtur ntre mrimile fizicedefinitorii).

Anumite mrimi fizice manifestproprieti de :

- aditivitate

- conservativitate (sunt constante n cursul anumitor procese)


17/345

INTRODUCERE 11

Legile care exprim caracterul aditiv - conservativ al acestor mrimi senumesc legi de conservare (legea conservrii energiei totale, legea conservriisarcinii electrice, a spinului microparticulelor, etc.). Ele au un rol foarteimportant n fizic.

Legile satisfac principiul de coresponden.

c) Teoreme. Teoremele sunt relaii ntre mrimi, deduse pe calematematicdin legi i relaii de definiie.

d) Postulate.Acestea sunt afirmaii sau relaii ntre mrimi care nu pot fiverificate direct, prin experien, ci sunt deduse pe baza consecinelor lor.

Observaie important : Invariana legilor fizicii se asigur prin

omogenitatea relaiilor care exprim legile fizicii, adic prin aceea c ambiimembri ai acestor relaii au aceleai dimensiuni.

1.5. Mrimi i uniti fundamentale n Sistemul International.Elemente de analizdimensional.

Reamintim cunitatea de msurreprezintelementul etalon pentru omrime fizicdat.

Unitatea de msur a oricrei mrimi fizice ar putea fi aleas arbitrardacntre mrimea respectivi alte mrimi specifice domeniului de studiu nu ar

exista relaii de dependen.Tinnd cont de aceastobservaie, s-a dovedit utilalegerea unor unitide msur fundamentale numai pentru cteva mrimi diferite i absolutindependente ntre ele. Pentru celelalte mrimi fizice unitile de msurrezultdin relaiile de legturdintre mrimea respectivi mrimile fundamentale.

Prin urmare unitile de msurpot fi fundamentale i derivate.

Funcie de natura i mrimea unitilor fundamentale au fost alctuite, de-a lungul timpului, diferite sisteme de uniti, recunoscute pe o arie de rspndiremai restrnssau - dimpotriv- mai larg(la noi n ar, spre exemplu , uniti

particulare au fost : cotul, ocaua, bania, etc.).In anul 1960 s-a definit pe plan mondial Sistemul Internaional de Uniti

(S.I.) (vezi Tabelul 1).

Dac A este mrimea fizic, atunci cu notaia [A] este indicatdimensiunea mrimii fizice A iar cu notaia se specific unitatea demsurcorespunzatoare.

Observaie.In timp ce unitatea de msurreflectaspecte cantitative n

ceea ce privete rezultatul msurrii unei mrimi fizice date, aspectul calitativ alrespectivei mrimi este reflectat de dimensiunea acesteia.


18/345


12

Tabelul 1.1

Mrime fizicfundamental

Dimensiune a mrimii fizice Unitate de msuramrimii fizice n S.I.

Lungime [Lungime] = L S.I.= m (metru)

Timp [Timp] = T S.I.= s (secunda)Masa [Masa] = M S.I.= Kg (kilogram)Temperatura [Temperatura] = S.I.= K (Kelvin)Intensitate curentelectric

[Intensitate curent electric]= I

S.I.= A (amper)

Intensitateluminoas

[Intensitate luminoas] =I S.I.= cd (candela)

Se mai folosesc i urmtoarele uniti suplimentare, impuse - mai mult -

de ctre matematic: radianul (rad) ca unitate de unghi plan i steradianul (sr) caunitate de unghi solid.6

Condiia de omogenitate permite precizarea dependenei ntre diferitemrimi fizice. Acest tip de abordare (de deducere) a unor relaii poartnumele deanalizdimensional.

Exemplu de analiz dimensional : Se tie (se afirm) c o oarecaremrime fizicA depinde (n urma unor constatri experimentale) de alte mrimifizice, de exemplu de mas, lungime i de timp. Acest lucru nseamnc:

A = f (mas, lungime, timp) [A] = f (M , L, T) = MLT

unde coeficienii , , reprezintgrade de omogenitate ale mrimii derivate A.

ATENTIE : A nu se face confuzie ntre dimensiuni i uniti de msur!

Deci :F = ma [F] = MLT-2(dimensiunea forei)

n timp ce :S.I.= kgms

-2= N (unitatea de msur)

1.6. Probleme rezolvate

1. S se determine formulele dimensionale i unitile de msur nSistemul Internaional (S.I.) pentru : vitez liniar, acceleraie liniar, impuls,lucru mecanic i putere.

6Deoarece unitile n S.I. nu corespund ntotdeauna ca ordin de mrime cu valorile

specifice domeniului de studiu, se pot folosi multipli i submultipli ai acestor uniti sau /uneori uniti specifice (1 = 10-10m, 1 eV = 1,6210-19J ).


19/345

INTRODUCERE 13

Rezolvare

a) [ ] 1S.I.1 smviarLTv

dt

dsv =>> Z2 se observcArAi ; dacZ1 Z2 (mediul reflectant este mai puin dens dect mediul

iniial), atunci sgnAr = sgnAi (unde "sgn" desemneaz semnul - pozitiv sau

negativ - al unei mrimi) ; egalitatea de semne spune creflexia se face n acest

caz frschimbare de semn, deci frpierdere de faz;

c)dacZ1< Z2(mediul reflectant e mai dens dect mediul iniial), atunci

sgnAr= -sgnAi, deci are loc o reflexie cu schimbare de semn, deci cu pierdere

de faz.

Caz particular. Reflexia total.Relaia :

= sinv

vsin 2

1

v

(1)

(2)

(3)

(3')(1')

L

conduce la concluzia c, atunci cnd

:12 v>

> > sinsin (4.38)

Inegalitatea (4.38) conduce la

concluzia cexistun unghi de inciden

Lpentru care 1sindeci,

2

=

= .

Pentru 1sinv

v

1

2 >

Figura 4.9

unghiul ia valori imaginare. Fenomenul poart

numele de reflexie totali are drept consecine urmtoarele afirmaii :1. Unda transmis intr n cel de-al doilea mediu numai pe o distan

foarte mic, de ordinul lungimii de und, amortizndu-se rapid.

2. Intensitatea undei reflectate este egalcu intensitatea undei incidente.

Demonstraie la afirmaia 1.

r1

v

j

tjtt

t2eeA

rr

=Unda transmisare expresia :


193/345

UNDE ELASTICE 187

x

y

cosx

siny

rr

t1rFigura 4.10

Ne ocupm n detaliu de produsul

scalar :

+= sinycosxr1trr

(proiecia lui rr

pe direcia , vezi figura

4.10).t1

r

Dar :

1sinv

jsinv

1sin1cos

2

2

2

22

=

==vv 11

222

2

kv

==

r

de unde se observc:

+

= sinv

y1sinv

jxr1v 112

t

2

v22

2rr

Notm :

)y(2

xjPr1

v

P1sinv

v

4

2

t

2

2

1

2

+

=

=

rr

sinyv1

=

De aici rezult:

( )

= tj2x

P

tt eeA2

=I

Se observ c semnul "+" din relaia de mai sus nu este justificat din

punct de vedere fizic (dacx atunci t). Prin urmare, dacse are nvedere numai semnul "-" i se calculeaz intensitatea undei transmise (cu

formula ), rezultc: *

2

xP

2tt

*t eA

=tI =

Dac2

x

crete, atunci intensitatea undei transmise scade exponenial,

tinznd rapid ctre zero.


194/345

NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE188

Demonstraia celei de-a doua afirmaii

Raportul :

i2ir

*rr

j2i

*r

j2ir

j2

j22

j22

2

1

221

2

1

221

i

r

IAAAIeAA,eAA

eeQM

eQMjQMjQM

1sinv

vjZcosZ

1sin

v

vjZcosZ

AA

=====

=++=

+=

+

=

deci intensitatea undei reflectate este egalcu intensitatea undei incidente.

Suplimentar fade toate noiunile i mrimile introduse i utilizate pnacum, n studiul fenomenelor de reflexie - refracie se utilizeazfrecvent i alte

mrimi importante, cum ar fi :

- factorul de reflexie (reflectana) :2ii AI

2rr AIR ==

- factorul de transmisie (transmitana) :2

2tt

A

A

I

I

ii

==T

Se observc: R+T = 1.

4.6.2. Interferena undelor scalare (elastice)

Prin interferense nelege fenomenul de suprapunere a unor unde (carendeplinesc anumite condiii) n acelai punct. Discutm cazul interferenei unor

unde scalare, care se propagntr-un mediu ideal.

Fiecare dintre cele dou sau mai multe unde scalare sunt soluii ale

ecuaiei generale de propagare a undelor (relaia 4.10), respectiv :

0tv

1

zyx 2

2

22

2

2

2

2

2

=

+

+

Dat fiind faptul cun mediu ideal este - totodat- un mediu liniar, dac

ecuaia (4.10) are soluiile 1 , 2 , 3 ....n , atunci i funcia de und avndexpresia :

=

=n

1ii (4.39)

este la rndul ei o soluie a ecuaiei de propagare.

In aceste condiii, fie situaia exemplificat n

figura 4.11, unde se pune problema ce se petrece n

punctul M.

M

1

2

S1

S2

l

Figura 4.11

Pentru a desfura un calcul adecvat n condiii

minime de stress matematic, vom recurge la cteva ipoteze

simplificatoare :


195/345

UNDE ELASTICE 189

cele douunde care dau un fenomen de interferen n punctul M auaceeai frecven;

distanele 1i 2sunt considerate a fi foarte mari, mult mai mari dectdistana dintre cele dousurse (adicl l>> 21, ), astfel nct pe un domeniu

restrns cele douunde pot fi considerate unde armonice plane.Prin urmare, fie expresiile corespunztoare :

( )

( )( )tktj22

ktj11

2

1

eA

eA

+

=

=

unde mrimea (t) reprezintdiferena ntre fazele iniiale ale celor douunde(presupusa fi dependentde timp).

Conform proprietii de liniaritate a mediului, unda rezultant are

expresia :

( ) ( ) ( )( ) ( )( )tkjjktjtktjktj 2121 eAeAeeAeAt,M + +=+= 2121

Amplitudinea ei poate fi stabilit- aa cum am vzut n cazul compunerii

oscilaiilor - folosind calculul n complex simplificat :

( )( ) ( )( )

( )[ ]tkcosAA2AA 2122

21 ++=

eAeAeeAeAe*Atkj

2jk

1tjtkj

2jk

1tj2 2121 =++== +++

(4.40)

unde

desemneaz

diferen

a de drum. Prin urmare :

( )A 21 A,A,A =

Se observexistena urmtoarelor situaii particulare :

( )

2

t-k cos2AAAAA 21 ===

21max AAAA)N(mm2tk +

( ) ===

( ) ( ) 21min AAAA)N(m1m2tk =

= + =

( ) .constt =

4.6.2.1. Interferena staionarAtunci cnd diferena dintre fazele iniiale ale celor dou unde este

constant:

= se spune ccele dousurse sunt coerente.

Prin unde coerente se neleg dou(sau mai multe) unde care au aceeai

frecveniar diferena dintre fazele lor este invariabil(constant) n timp.

In cazul (mai simplu) n care :

A1= A2= A2

kcosA4A 222 = (4.42)


196/345


se pot ntlni (pentru anumite situaii speciale, corespunztoare unor puncte

particulare din spaiu) egalitile:

( ) 0AINmcu2

1m22

k

A4AINmcu2

m22

k

2minmin

22MM

==+=

==

=

Atunci cnd diferena de fazeste nul(= 0) cele doucazuri / condiiide mai sus captforma simplificat:

( ) ( ) )I(pentru12m1m22

)I(pentru2

2mm2

m22

2M

+=

+=

222

min

==

=

Se observdin relaiile de mai sus cecuaiile corespunztoare punctelor

de maxim pot fi scrise explicit :

2

0

12

12

12

=

=

=

S1

S2Planul ()

Franje de interferenta

Figura 4.12

...................

reprezentnd, din punct de vedere matematic, o

familie de hiperboloizi cu dou pnze, avnd

focarele n cele dou surse S1 i S2 . Imaginea

franjelor de interferen corespunztoare este

indicatn figura 4.12.

Observaie. Atunci cnd =

2 locul maximelor i al minimelor se

inverseaz.

4.6.2.2. Unde staionare pe o singurdirecieAcest caz particular de unde staionare se obine ca rezultat al

interferenei a dou unde plane de amplitudini i frecvene egale, care se

propag n sensuri contrare pe

aceeai dreapt suport

(direcie).

N M

lxx1

Unda directa (unda incidenta)

Unda

reflectata

Rezolvarea general a

unei asemenea probleme

pornete de la observaia c

avem de a face cu ointerferen staionar pentru

Figura 4.13


197/345

UNDE ELASTICE 191

care una dintre unde (cea reflectat) preia proprieti puse n evidenla studiul

reflexiei.

Astfel, n timp ce expresia undei incidente este :

( ) ( )1kx-tj1i eAt,x =

pentru unda reflectattrebuie folositrelaia :

( ) ( )[ ]++= xk-tj1r eAt,x l

unde :

1x2x =+ ll iar faza "" introdus suplimentar ine cont de faptul c - n funcie de relaiadintre impedanele de mediu Z1 i Z2 - reflexia se poate produce cu / fr

schimbare de semn.

Impedana Z1 caracterizeaz mediul n care are loc interferena celor

dou unde n timp ce impedana Z2 caracterizeaz mediul ce produce reflexia(respectiv caracteristica de material a punctului M, vezi figura 4.18).

Reamintim cla reflexie s-a artat cputem avea dousituaii diferite :

a) Z1 > Z2 (primul mediu este mai dens dect cel de-al doilea), caz n

care reflexia are loc fr schimbare de semn, deci fr apariia unei faze

suplimentare n expresia undei reflectate ;

b)Z1< Z2(cel de-al doilea mediu, cruia i aparine punctul M este mai

dens dect mediul n care studiem interferena celor dou unde), caz n care

apare o modificare a fazei undei reflectate cu .In aceste condiii rezultatul interferenei celor dou unde are expresia

general:

( ) ( ) ( ) ( ) tj11

1r1i1rez exx2k

cosA2t,xt,xt,x

2

=+=

l

Ne vom concentra atenia asupra amplitudinii, ntruct dependenaarmonicde timp nu aduce nimic nou.

Se observc:

( )

=

=

2

x2

cos

2

kxcos

2

x2kcos 1

l

i prin urmare amplitudinea unde rezultante depinde de distana dintre punctul

M i punctul curent n care se face evaluarea elongaiei rezultante duprelaia :

=2

kxcosA2A rez

Dac:

a)Z1> Z2= 0 , deci kxcosA2A rez = Atunci cnd x = 0 (n punctul M) se observc: Arez= 2A = amplitudine

maxim.

Punctele n care amplitudinea este maxim se numesc ventre icorespund condiiei :


198/345


1x2

coskxcos MM =

=

ceea ce implic:

==

ncu

2nxnx

2 (n)

M

)n(

M

Distana dintre douventre succesive este :

( ) ( ) ( )222

n1nxx nM1n

M

=

+=+

Punctele n care amplitudinea este minimcorespund condiiei :

( )0A0kxcos rezmin ==

i - din punct de vedere trigonometric - nseamn:

( ) ( ) ( ) ( )4

1n2 x2

1n2x2 n

minn

min

+=+=

( ) ( ) ( )

Punctele corespunztoare se numesc noduri.

Se observc:

( )24

1n24

12n2xx nmin1n

min

++=+

( ) ( )

+ =

deci ntotdeauna - ntre dou noduri succesive - distana este de jumtate de

lungime de und(numitsemiund).Distana dintre un nod i cel mai apropiat ventru este :

42n

41n2xx nM

)n(min

+= =

deci - practic - succesiunea nodurilor i a ventrelor este cea indicat n figura

4.14.

Figura 4.14Nod Ventru Nod Ventru Nod

4/ 4/ 4/ 4/

2/

2/

Observaie final.Datoritcondiiei iniiale (Z1> Z2 ) se observc n

punctul M (la x = 0), indiferent de plasarea spaiala sursei, apare un ventru.

b)DacZ1< Z2atunci = , deci :

= 2kxcosA2A rez


199/345

UNDE ELASTICE 193

La x = 0 , Arez= 0 , deci obligatoriu punctul M este un nod.

In ceea ce privete condiiile pentru identificarea poziiei ventrelor i a

nodurilor, calculele se repetasemntor :

ventre : =

=

n

2

x2

1

2

x2

cos MM (cu n N)

de unde :

( ) ( )4

1n2x nM

+=

noduri : ( )2

n x02

x2

cos nminmin

==

Se observ c - fa de cazul precedent - poziia maximelor i a

minimelor se inverseaz (comut). Ceea ce rmne ns n continuare constant

este faptul c distana dintre maxime succesive ca i distana dintre minime

succesive este egal cu o semiund, n timp ce ntre un maxim i minimul cel

mai apropiat distana rmne egalcu /4.

Observaii.1. Fie condiia pentru douventre succesive :

( ) A2A12

22cos

22x rez

2M +==

=

( )

A2A13cos2

32

cos23x rez3

M ===

=

Prin urmare, dei nu am discutat pnacum acest aspect, se observc

dou ventre succesive - dei au amplitudine rezultant maxim - oscileaz n

antifaz (reamintim c ) : atunci cnd ntr-un ventru avem un maxim

pozitiv, n urmtorul ventru avem elongaie maximdar n sens contrar.

= je1

2.In cel de-al doilea caz (Z1< Z2) dacimpunem condiia ca n punctul

iniial N (vezi figura 4.18) savem un nod, adic:

- la x = l = , Arez= 0 , se obine :( )nx min

2n

=l (cu nN)

cu alte cuvinte lungimea totala drumului parcurs de cele douunde trebuie s

fie un numr ntreg de semiunde.

3.Discuia purtatpnacum poate fi pusi dintr-un punct de vedere

radical diferit : fie o coardelastic(o strunde vioar) fixatla capete, deci

de lungime impus" l " i evolund obligatoriu ntre punctele N (nod) i M(nod). In ce condiii apar undele staionare ?


200/345


l

Nod NodN M

Figura 4.15

Vom alege, pentru rezolvarea acestei situaii particulare, o alt metod

(pentru a vedea i altmanier- mai simpl- de a utiliza ecuaia undelor).

Deoarece se presupune c pe coarda elastic se propag o und plan,

putem folosi direct ecuaia atemporal a undelor (ecuaia Helmholtz (4.20)) a

crei formparticular(corespunztoare propagrii pe o singurdirecie) este :

( )( ) ( )xkx

vdx

xd 22

2

2

2

=

=

(4.43)

Ecuaia :

( )( ) 0xk

dx

xd 22

2

=+

(4.44)

are o form asemntoare ecuaiilor pe care le-am ntlnit n capitolul de

oscilaii ; prin urmare, fr demonstraii suplimentare, reamintim c soluia

generaleste de forma :

( ) kxcosbkxsinax += Se pun condiiile la limit:

x = 0 (0) = 0 b = 0

x = (l ) = 0l 0sinka = l

adic:

=

=

== ,...

2k,knkundedenk 21nl

lll

Setul complet al valorilor vectorului de und formeaz spectrul

valorilor proprii ale ecuaiei (4.44) / care este o ecuaie cu valori proprii a

operatorului2d2dx

( )

. Prin urmare soluiile ecuaiei (4.44) au forma :

== xnsina)xksin(ax nnnn l

i poartnumele de funcii proprii ale ecuaiei mai sus menionate.Relaia (4.43) permite stabilirea setului de valori pentru frecvene, cu alte

cuvinte irul frecvenelor proprii:

lnn

==n

vkv

unde "v" este viteza de faz.

Frecvena 1 poart numele de frecven fundamental, n timp cefrecvenele 2, 3, ...nse numesc armonicede ordinul II, III, ...n.


201/345

UNDE ELASTICE 195

Deoarece frecvenele iau numai anumite valori, spectrul de frecvene

este discret.

Cumulnd observaiile referitoate la dependena spaiali la dependena

temporala funciei de und, rezultforma generala soluiilor ecuaiei undelor

pentru coarda elastic:( )

=

n

tjn

nexn

sinat,xl

unde s-a folosit proprietatea de liniaritate a mediului (soluia generalse obineca suma soluiilor particulare / relaia (4.39)).

Observaii

Fiecare soluie particular: ( ) tjnn nexn

sinat,x

=

l

nn

reprezint

o undstaionar.Toate punctele corzii oscileazcu aceeai faz t= . Amplitudinea

undei este numai funcie de x, depinznd periodic de aceastvariabil:

( )

( )nl

2Nmcum2

nm

mn

xn

sinmxn

sinxn

sin

nn

nn

l

llll

==

+

=

+

=

Mrimea nreprezintlungimea de unda undei staionare.

Amplitudinea este nuln punctele de abscisxmin:( ) ( )Nscusxn

0xn

sina sminminn =

=

l l

( )

2s

2

1

n

2sx nsmin

==

l (4.45)

Amplitudinea este maximatunci cnd :

( ) ( ) ( )4

1s2x2

1s2x1xsin MMM +=nn ns +==ll

In figura 4.16 sunt indicate cteva exemple concrete.

(4.46)

Condiiile pentru ventre i pentru noduri coincid cu cele obinute nanaliza fcutpuin mai nainte - pentru cazul n care Z2> Z1.

N V N V N(n = 2,

2

)N V N

(n = 1, 1)

N V N V N V N

(n = 3, 3)Figura 4.16


202/345


Se constatcpentru n = 1 lungimea coardei este egalcu o semiund;

pentru n = 2 lungimea , etc.

Ca o ultimobservaie, trebuie fcutdiferena calitativdintre o undstaionari o undprogresiv. Ea poate fi urmritn figura 4.17.

or variazde

distri

mo

importa

( )( )+= 1nkxtjn eAunda re

=l

Pentru unda staionarse observcamplitudinea oscilaiil

la punct la punct ; oscilaiile au loc n faz sau n antifaz iar energia se

buie neuniform (este maximn ventre i minimn noduri), indiferent de

mentul de timp n care se face observaia.

In cazul undei progresive, aceasta se deplaseazspaial cu viteza de faz

"v" ; fazele oscilaiilor se schimbde la punct la punct, n timp ce amplitudinea

acestora se menine constant (aceeai) - reprezentnd (n acelai timp) un

transport uniform

Discu d acestui paragraf are extrem de mult

de energie.

ia desfurat n ca rul

n, pentru cea este direct implicat n emisia i proprietile undelor

sonore.

4.6.2.3. Interferena multiplIn cazul n care ntr-un punct din spaiu se ntlnesc "n" unde coerente,

avnd expresiile :( )

( +

=

=

kxtj2

kxtj1

eA

eA

)

( )+= 2kxtj3........................

eA

zultantare expresia :

( ) ( )

( ) ++++= 1nj2j e...ee1S

Factorul notat cu "S" se prezintdrept suma unei progresii geometrice :

++++=++++=j

1nj2jjkxtjn321 e...ee1eA...

x

l

t0 0

Unda stationara(x , t)

1 tt

x

t0

01 tt Figura 4.

(x , t) Unda progresiva

17


203/345

UNDE ELASTICE 197

( )

1q

1qaqa...qaqaaS

n

11n

12

111

=++++=

i prin urmare :

( ) ( ) ( )

( )

+

=

=

==

21-nkx-tj

21nj

kxtj

j

jnkxtj

e

2sin

2nsin

A

2sin

2nsineeA1e

1eeA

Se observcamplitudinea undei rezultante are forma :

( )( )2/sin

2/nsinAA

=

deci este dependentde defazaj. Pentru unele valori particulare ale acestuia :

( ) 0A2m

deci,Nmm2n ==

=

n22

min

ObservaNpcu

ia de mai sus este valabilcu excepia cazurilor :npm,2nm,nm,0m ====

pentru care :

n22lim2lim =

2cos

2

1

ncosn1

2sin

nsin

p2p2

plitudinii rezultante maxime este :

(

=

In acest caz valoarea am

nAA =

i are aceeai valoare !) iar imaginea corespunztoare este indicatn fig. 4.18.

Figura 4.18


204/345


205/345

UNDE ELASTICE 199

Cutm/ propunem o soluie armonicde forma :tje)r( =

r

care - nlocuit n ecuaia de mai sus (4.47) - conduce la o nou ecuaie(atemporal) :

( ) ( ) 0)r(j)r(+)r( = 2 rr r (4.48)adic:

( ) ( ) 0)r(]j[+)r( 2 = rr

(4.49)

Se noteaz:

( ) ( )= jk~ 22 (4.50)

unde2

j-k=k~ e observceste o mrime complex.

s

Dacse considerc ropagarea are loc numai pe axa Ox , atunci :p

x 2

Select

=+

+== 0)x(k~)x(

ecuatieiasolutieBeAe)x()r( 22

xk~jxk

~jr

m unda progresiv:

( )xk~-tjxk~j- Ae=t)(x,Ae=(x)

Se observc:

( )

( )

x0

x2*

*

kxtjx

2-

eIeA=I

eeA=t)(x,

eAe=t)(x,

==

(4.51)

Relaia (4.51) este legea absorbiei undelor, pus n evidenexperimental ori de cte ori o undse propagntr-un mediu disipativ.

Expresia (4.51) a fost gsit pentru prima oar (pe cale experim ta ,

fiind studiate fenomene de propagare a undelor electromagnetice) de ctre Beer

i (inde alabilnumai dacvectorul de undcomplex

notat

kxtjx

2-

*

en l

pendent) Bouguer. Ea este v~ nu depinde de intensitatea undei.

Mrimea (partea imaginar a vectorului de und compexk

~k) se

numet absorbie i este asociat - firesc - cu fenomenul deabsorbie care are loc ntr-un mediu disipativ (semnul "-" arat faptul c

ial pe msur ce unda "intr" mai mult n

mediul disipativ).Se mai poate defini i mrimea :

e coeficient de

intensitatea undei scade exponen

=

numit i adncime de ptrundere (sau penetraie), cu ajutorul cre

2

ia relaia(4.51) captforma echivalent:


206/345


=x

2

0 eII (4.52)

Adncimea de ptrundere reprezintdistana pe care amplitudinea undei

se reduce cu 1/e din valoarea sa iniial(la x = 0) :A I=

====

==

e

A

e

IeII=Ax

IA0x

0020

00

Adncimea de ptrundere are dimensiunea unei lungimi.

Reinem relaia

=2

. Cutm expresia i valoarea lui :

( ) ( )

( )

( ) ( )

=

4

k 22

=

=

=

=kk

2

jk24

k2

jk 2

de unde rezult

= jk~ 2

2

22

2

:

( ) ( )

( )

2

+

+

= k2

22

22 (4.53)

( ) ( )

( )

+

=

2

2

22

22

(4.55)

Adncimea de ptrundere este dependentde frecven. Cu ct frecvena

este mai mare, cu att unda ptrunde mai puin n mediu. Totodatea depinde de

natura mediului absorbant, ca i de natura undei propriu - zise.

Fenomenul de absorbie apare i n cazul altor tipuri de unde (cum ar fi

undele electromagnetice), unde forma legii absorbiei se pstreazdar - evident -

valoarea numerica coeficienilor implicai este diferit.O observaie distincttrebuie fcutn legturcu viteza de faz. Astfel,

(4.53) indic o dependen a vectorului de und de tipul

k = k(

2

deoarece relaia

), rezultpentru viteza de fazo dependende tipul :

( ) ( )

( )( ) ( )

( )v

=

+

+=

kdeoarece

2

1

v

12

22

2

deci, aa cum se constat, ea depinde de frecven.

persia undelor.

Prin urmare undele avnd diferite frecvene se propagcu viteze de faz

diferite, ceea ce conduce la un fenomen de dispersie a acestora.Putem trage concluzia cn medii disipative apare i dis


207/345

UNDE ELASTICE 201

4.6.4. Efectul Doppler (nerelativist)In paragrafele precedente s-a artat cviteza undelor elastice depinde de

mediu i (datorit faptului c densitatea acestuia variaz cu temperatura) de

temperatur. Vom da cteva exemple :

Tabelul 4.1Mediu Temperatur Vitez(m / s)

00C 332Aer

200C 340

CO2 00C 358

He 0 C0

971

H2 0 C 12610

Ap 200C 1485

Fier 18 C 51000

Toate vitezele menionate mai sus sunt mult mai mici dect viteza

luminii, deci discuia are loc ntr-un context "clasic".

In anul 1842 fizicianul austriac Christian Johann Doppler (1803 1853)a obser na undelor emise de o sursvat cfrecve

a

aflatn micare se modificn

raport cu frecven acel ate n rt cu observatorul.Aceast constatare este u n zile nci cnd urmrim

aterizarea pectiv deco nui avion : su are nsoete micarile

corespunz e aude diferit (dei frecvena osc i mecanice a motorului

este aceeaExperimentele fcute au pus n evidenexi a dousituaii diferite :

I. A i cnd ntre i observator d se menine constant,frecvena sesizat de observator (prin intermediul unui receptor

4) coincide

eiai surse afl

or de fcut

repaus n rapo

le atunoastre,n ci res larea u etul

ilaietoare s

i !).stena

tunc surs istana cu

frecvena undei emise de ct .

I.Atunci cnd distana dintre sursi receptor se modificn timp (fie

crece

en poartnumele de efect

Dopple

re sursI

ptorul se micrelativ la surs, fie csursa se micfade receptor) se

constatexperimental c . Acest fenomreceptor sursr.

Pentru a lmuri ce se ntmpl n fapt, cu alte cuvinte care este relaiadintre frecvena perceputde observator (receptor) i frecvena proprie a sursei

n funcie de viteza (ca mrime i sens) relativdintre ele, vom studia separat

cele dousituaii posibile.

a)Sursa S se miccu viteza ur

relativ la cei doi receptori R1i R2(care

i pstreazpoziia iniial(vezi figura 4.19).

= frecvena sursei ;Vom folosi notaiile :

4

Receptorul este un instrument care detecteaz (de o manier specific tipului deund) prezena i caracteristicile acesteia (dintre care, n cazul nostru, frecvena undei).


208/345


1R

= frecvena msuratde ctre receptorul R1;

2R

= frecvena sesizatde ctre receptorul R2.

Din punctul iniial S

(unde este plasat sursa la

momentul t0 ) este emis un

semnal (sursa ncepe s

oscileze). Timpul necesar ca

acest semnal s ajung la

receptul R2este :

v01

dtt +=

unde 12 SRSRd == iar "v" este

viteza de propagare a undei.scurgerea unei perioade T sursa ncepe o

nouoscila

Sursa oscileazperiodic. Dup

i Inte. re timp - ns- ea s-a deplasat cu viteza ur

n punctul notat pe

figura 19 orul R2 dup un4. cu Aceast a doua oscilaie ajunge n receptS'.

interval de timp egal cu :

v

uTd Tt

v

'SSSRt 0

22 ++=

+=

deoarece distana

Tt 0+

'SS a fost parcursde sursn timp de o perioadT cu viteza u

( )Tu'SS =Diferen

intervalul de timp echivalent cu o perioad (el percepe o oscilaie identic cu

prima dup p), deci :

.

a 12 tt reprezint - din punctul de vedere al receptorului R2 -

scurgerea acestui interval de tim

v

uvT

dt

v

uT

v

dTtT 012 v

0tt 2R

=++=

Deoar

(4.56.a)=

ece :

v

uv

vT

2R

=

= (4.56.b)

i

uv

v

2RT

1

== (4.56.c)

cSe observ >2R

. Atunci cnd u = 0, =2R

, deci principiul de

corespondeneste rificat.

d

ve

Fa e receptorul R1analiza aratc:

v

dtt 01 +=

dar - dup scurgerea unui interval de timp egal cu o perioad (a oscilaiei nsurs) i dupdeplasarea acesteia, distana 1R'S crete ; prin urmare :

S1 R2R

d d

Situatia la momentul initial t0

S'ur

d + uT d - uT

Situatia dupa o perioada T (a sursei)

Figura 4.19


209/345

UNDE ELASTICE 203

v

uvTT

v

uTdTtt

1R02

+=

+++= (4.57.a)

uv

v;

uv

v 11RR +

(4.57.b)

n acest caz

=+

=

Se constatc 0 la aproprierea S - R2 i u < 0 la

nd

b)Co ea caz situaia n care sursa este fix iar

cei doi receptori (vezi figura 4. rteazde ea cu aceeair

.

mentul iniial t0ajunge la receptorulmentul :

v

dtt 01 +=

Ce-a de-a doua oscilaie, care pleac din surs dup trecerea unei

perioade T, ajunge la receptorul ajuns n poziia '2R , deci :

v

TudTt

v

RRSRTtt 2

R

0

'222

02

++=

++=

Diferena de timp t2 - t1 reprezint maniera n care observatorul a

perceput trecerea unei perioade (din punctul lui de vedere) :

uvv 22R12R

vTT

uTTttT 2

R

+=== (4.58.a)

>+

=+

=222 RRR

v

;uv

(4.58.b)

Pentru receptorul R1, n urma unui raionament asemn or, pentru care(ns) :

uvv

t

R S R2

la momentul initial t0d d

Situatia

1

ur

ur'

1R'2R

d + uT ' d - uT '

Situatia dupa o perioada T (a sursei)


210/345


v

uTdt

1R

2

+= Tt 0 ++

se obine :


211/345

UNDE ELASTICE 205

4.7. Probleme rezolvate1. S se obin, prin analiz dimensional, expresia vitezei v de

propagare a unei unde longitudinale, n funcie de modulul de elasticitate Ei de

densitatea a mediului de propagare, tiind cviteza depinde numai de acestedou mrimi.

Rezolvare

Relaia cutatare - conform textului

Pe de alt parte, pentru stab

poate folosi legea lui Hooke, adic:

problemei - forma necunoscut:

ilirea dimensiunii modulului lui Young, se

= E.constv

0

ES

F

l

l=

ceea ce implic:

[ ][ ][ ]

21

2TML

LSE ===

Densitatea are dimensiunea :

[ ] 3ML= prin urm

2MLTF

are ecuaia dimensionalare forma :

( ) ( ) + = 233211 MLTMLLT = TLMde unde - prin identificare - rezult:

==

=

=

E.constEconst. vdeci

1213-- 22

= 2-12-

==+

10 11

at ntr-un mediu elastic emite unde plane de

forma :

2.O surs de oscilaii afl

(mm)tsin25,0y = . Lungimea de unda undelor longitudinale carese propagn acest mediu este = 15 m.

a) Dupct timp va ncepe soscileze un punct situat la distana x1= 10

mfade surs?zaj exist ntre oscilaia punctului aflat la distana x i

oscilai

c) La ce distanse afl puncte ale cror oscilaii sunt defazate cu

b) Ce defa 1a sursei ?

dou

6rad ?

d) Evaluai defazajul dintre doupuncte situate la distana2

d = .

a)Elongaia oscilaiei din surs(pentru x = 0) este de forma :

Rezolvare

( )0tsinA)t,0(y +=


212/345


Prin identificare se obine :

rad0

m

rad

m25,0A

0 =

=

=

Punctul situat la distana x1 va ncepe s oscileze dup un interval de

timp t1, duplegea :

]v

xt 11= ( ) ([ 11 ttsinAxy ) 0+= unde

Viteza de propagare v poate fi calculatdin expresia lungimii de und:

s

m5,7

2

15

2 v

v2vTv =

=

=

=

==

Deci :

s310x

3,15,7v

t 11 ===

b) Defazajul dintre cele douoscilaii este :

( )[ ] [ ] rad4

tttt 100112 ==++== 3

Ecuaiile de oscilaie ale celor doupuncte x2i x3= x2+ x (vezifigura 4.22) sunt :

c)

( )

2x +

= 02 2tsinAt,xy

i respe

ctiv :

( )

=3 tsinAt,xy +

03x2

Defazajul dintre cele douoscilaii este :

=

+

+

=

x2

x2t

x2t 0

20

323

deci :

m25,14

==5

12

15

12262x =

=

=

=

a

doupu

d) Conform rezultatelor de la punctul c) defazajul dintre elongaiile

ncte situate la distana d este :

rad

2

2d2

=

=

=

adicpunctele oscileazn antifaz.

x1 x2O xxx 23 +=

x

Figura 4.22


213/345

UNDE ELASTICE 207

3.Dousurse sincrone S1i S2aflate la distana d = 3 cmuna de cealalt

produc oscilaii de frecven = 100 Hzi amplitudini A1= 5 mmi A2= 10

mm. Sse calculeze amplitudinea oscilaiei unui punct situat la distana x2= 5cm de sursa S2 pe perpendiculara dus din S2 pe dreapta care trece prin cele

dousun care se afl sursele este

v = 20 m/s.

Rezolvare

lasarea n spaiu a celor dou surse i

respectinii rezultante urma

compunerii celor dou unde coerente este

indicatn figura 4.23.Ecua

( ) ( )t2sinAt,0y +=

rse.Viteza de propagare a undelor prin mediul

P

iv poziia punctului n care se cere

calculul amplitud n

iile de oscila

ie ale surselor sincrone sunt :

( ) ( )011 t2sinAt,0y

022

+=

Ele produc n punctul D oscilaiile rezultate prin propagare :

( )

( )

+=

02

22

0

x2t2sinAt,Dy

unde x3

+= 311x

2t2sinAt,Dy

este distana dintre sursa S1i punctul D :cm6925dxx =+=+=

c sunt unde transversale cu oscilaia pe

aceeai direcie - i anume perpendicular pe planul BCD.

In urma interferenei punctul D oscileaz de maniera exprimat prin

2223

Aceste dou unde interfer n punctul D dac se produc pe aceeai

direcie, ceea ce este posibil numai da

ecuaia :

( ) ( )+= tsinAt,Dy unde amplitudinea este :

++= cosAA2AAA 2122

21

iar este defazajul celor douoscilaii n D :

== 1020

1002

Deci cele dou oscilaii sunt n faz, ampl

fiind :AAA 1+=

=

+

+=xxxx 2323

22t22t2 00

mm152 =

S1

S2D

x2

x3

Figura 4.23

d

itudinea oscilaiei rezultante

v


214/345


[1]

85[2] T. Creu, "Fizicgeneral", vol I, Editura Tehnic, Bucureti, 1984

. Zemansky, H.D. Young, "Fizica", Editura didactici

reti, 1983[4] R.V. Deutsch, "Fizic", Editura didacti i pedagogic, Bucureti, 1970

ditura didactic i pedagogic,

[6] M. Al. Oncescu, "Fizica" , vol. I, Editura didactic i pedagogic,Bucureti, 1973

[7] Al. Hellemans, B. Bunch, "Istoria descoperirilor tiinifice", Editura

Orizonturi, Bucureti, 1996 / reeditat2002

Bibliografie capitolul IV

P. Sterian, M. Stan, "Fizica", Editura didactici pedagogic, Bucureti,

19

[3] F.W. Sears, M.W

pedagogic, Bucuc

[5] R. Brenneke, G. Schuster, "Fizic", E

Bucureti, 1973


215/345

MECANICANALITIC 209

5. NOTIUNI DE MECANICA ANALITICA

5.1. Limitele mecanicii vectorialeMecanica vectorial s-a dezvoltat pe baza principiilor stabilite de

Newton.

Succesul teoriilor lui Newton, confirmat prin explicarea unui numrmare de fenomene (cderea corpurilor, orbitele planetelor, micarea punctuluimaterial, a sistemelor de puncte materiale, a solidului rigid precum i asistemelor rigide) a avut att consecine tiintifice ct i urmri n plan filozofic.Astfel, s-a nscut o filozofie mecanic, bazat pe convingerea c un numrmare de fenomene din multe alte domenii (chimie, biologie) pot fi modelate de

legi mecanice simple.Filozofii materialiti francezi (Denis Diderot, baronul dHolbach) au

extrapolat ecuaiile Newton, ajungnd safirme cntreaga naturse comportca un sistem pur mecanic. Umanitatea, att din punct de vedere fizic ct i din

punct de vedere spiritual, era n aceastviziune sub incidena unor legi alenaturii, considerate a fi nite legi raionale.

In secolul XVII existau dou moduri diferite de abordare a filozofiei :empirimul (la cunoatere se poate ajunge numai pe cale experimental) iraionalismul (judecata stla baza cunoaterii).

Immanuel Kant (filozof al secolului XVIII) a fost cel care a impustermenul de iluminism, prin care se reconcilia empirismul cu raionalismul,afirmndu-se c se pot dobndi cunotine nu numai prin experiene ci i

folosind capacitatea de a raiona, ambele mergnd mn n mn. Kant aimpus drept principiu general conceptul de cauzalitate, conform cruia fiecareeveniment l determinpe altul. De asemenea, dupKant, spaiul i timpul sunttot concepte a priori(de acceptat pe calea raiunii dar de nedemonstrat !), carecondiioneazfelul de a percepe lumea fizic. De aceea (a argumentat el) fizicanu este o tiin care se bazeaz numai pe perceperea experimental ci i peconcepte a priori care fac posibilacumularea de cunotine prin utilizarea unuisistem raional, cum ar fi matematica.

Materialismul radical al gnditorilor iluminiti a nscut drept reacie

la sfritul secolului XVIII, curentul filozofic numit romantism, n cadrulcruia reprezentanii de marc (Johann Wolfgang von Goethe, FriedrichWilhelm von Schelling) au pus accent pe sentimente, n dauna raiunii. Naturaera considerat un organism unitar, dotat i guvernat de spirit, percepiesubiectivi emoii.

Intre anii 1740 i 1800 cunotinele din domeniul mecanicii s-auamplificat n paralel cu dezvoltarea matematicii.

S-a observat c fizica newtonianputea trata numai problemele n caretoat masa unui corp era considerat ca fiind concentrat ntr-un singur punct(centrul de mas).

Pe de altparte, metodele de calcul ale mecanicii newtoniene nu fceau


216/345

MECANICANALITIC: NOIUNI ELEMENTARE210

distincie i nu eliminau automat forele de legturi1i reaciunile care apreaun ecuaiile de micare (de exemplu : problema punctului material supus lalegturi se rezolva prin eliberarea punctului i nlocuirea legturilor sale cu ofornumitforde legtursau reaciune). Lucrurile erau i mai complicate n

cazul sistemelor de puncte materiale, unde intervin i forele interioare ;eliminarea acestora, prin aplicarea teoremelor generale ale dinamicii (impulsul,momentul cinetic) era destul de dificil. De asemenea, aplicarea acestor teoremegenerale n studiul micrii sistemelor de N puncte materiale impunea scriereaunor sisteme de ecuaii difereniale foarte diferite de la o problem la alta,caracterul de generalitate fiind restrns.

Bazele mecanicii analitice au fost puse de ctre Leonhard Euler(1736).Studiind micarea punctului material i a rigidului, a definit centrul de greutate,independent de forele care se exercitasupra corpului i a studiat momentele deinerie. El a fost primul care a introdus noiunea de coordonate ale unui corp, unsistem matematic care permite analiza oricrei micari, orict de complexe.

Joseph Louis Lagrange a mbuntit sistemul de coordonate al luiEuler, fcndu-l s poat fi aplicat unor grupuri de mai multe corpuri aflatesimultan n micare. De asemenea, el a demonstrat cprincipiul celei mai miciaciuni (de exemplu faptul c energia cinetic atinge o valoare minim atuncicnd corpurile sunt lsate sse mite liber) putea fi derivat din legile de micarenewtoniene.

Cronologic, istoria fizicii a reinut urmtoarele evenimente :1743 Jean le Rond dAlembert publicTrait de dynamique n care

dezvolt legile newtoniene de micare, prezinto metod generalde studiu amicrii sistemelor de corpuri i formuleaz principiul care i poart numele :Intr-un sistem nchis format din corpuri n micare, forele de aciune ireaciune sunt n echilibru.

1744 Pierre de Maupertuis este iniiatorul principiului minimei aciuni(aciunea = fora x distana x timpul) : Fenomenele au loc astfel nctaciunea sfie minim, principiu valabil i astzi. (In 1750 Maupertuis afirmcprincipiul celei mai mici aciuni demonstreazexistena lui Dumnezeu.)

1747 DAlembert publiclucrarea Reflecii asupra cauzei generale a

vnturilor n care indic prima metod generalizat de utilizare a ecuaiilordifereniale pariale n fizica matematic. In acelai an tot dAlembert publicteoria coardelor vibratoare, dnd o soluie general a ecuaiei difereniale

pariale care descrie micarea undelor n plan.1755 Euler public un manual de calcul diferenial. Matematicianul

francez Jean Louis Lagrange i scrie lui Euler despre noile sale contribuii lacalculul variaional i despre ecuaiile difereniale ale suprafeelor minimale.

1

Forele care constrng corpul sse mite pe o anumit traiectorie se numesc forede constrngere sau legturi.


217/345

MECANICANALITIC 211

1765 Leonhard Euler studiaz, n Teoria micrii corpurilor solide irigide, toate cazurile posibile de micare a corpurilor solide, inclusiv cea aPmntului.

1766 1786 Lagrange este chemat de Frederic cel Mare la Berlin,

unde va tri 20 de ani i va scrie cele mai bune lucrri.1788 Lagrange public (la Paris) tratatul Mcanique analytique ncare studiaz mecanica la cel mai nalt grad de generalitate, utiliznd numaimetode algebrice i analitice; cartea nu conine nici un desen dar conine iversiunea Lagrange a principiului minimei aciuni.

Secolul XIX2 a adus, odat cu formularea i utilizarea unor problemespeciale de analiz matematic (calculul variaional, teoria invarianilorintegrali, teoria ecuaiilor difereniale cu derivate pariale, etc) contribuia unorali matematicieni- fizicieni de prestigiu, printre care Sir William RowanHamilton (care n 1834 a transformat formulele lui Lagrange n ecuaiicanonice / hamiltoniene), Karl Gustav Jacobi (1842), Mihail VasilieviciOstrogradski, Simon Denis Poisson (n 1833 a publicatprimul manual de

baz n studiul problemelor de mecanic Tratat de mecanic). Astfel s-aelaborat mecanica analitic(n forma prezentatn acest capitol), care se ocupacu studiul micrii unui sistem de puncte materiale, supus la aciunea unor foredate i a unor fore de legtur (fr frecare), cunoscndu-se valorile - lamomentul iniial - ale vectorilor de poziie i ale vectorilor vitez ai punctelormateriale (altfel spus, starea mecanic iniial a sistemului, conform definitieicunoscute deja). Utiliznd metode generale, analitice i eliminnd forele delegtur, se poate obine un sistem de ecuaii difereniale, cu ajutorul cruia se

poate determina micarea ntregului sistem de puncte materiale.Mecanica analitic este - aa cum rezult i din denumirea ei - o

mecanic de calcul, ale crei metode s-au perfecionat n paralel cu evoluiaanalizei matematice.

Mecanica analitic, bazat tot pe principiile mecanicii newtoniene, i-apropus :

2

In secolul al XIX-lea majoritatea problemelor de mecanicau fost impuse de nevoitehnice, motiv pentru care s-au dezvoltat foarte mult ramurile mecanicii aplicate : mecanica

fluidelor, teoria elasticitii, rezistena materialelor, etc.

Secolul XX a adus - odatcu afirmaiile lui Max Planck (1858 - 1947), Werner Karl

Heisenberg (1901 - 1976), Erwin Schrdinger (1887 - 1961), .a. - punerea bazelor mecanicii

cuantice(1925 - 1926).

Tot n aceeai perioadAlbert Einstein (1879 - 1955), n articolul su celebru "Cu

privire la electrodinamica corpurilor mobile" (1905) a pus bazele teoriei relativitii, unadintre teoriile fundamentale ale fizicii moderne.


218/345


- sgseascmetode directe de determinare a ecuaiilor de micare, n care snumai aparforele de legtur;

- s permit scrierea unui sistem de ecuaii difereniale sub o form general,aceeai indiferent de problema dat (echivalentul aplicrii unui

algoritm) ;- spermit formularea unor noi principii, cu un grad de aplicabilitate ct mailarg (o caracteristicimportanta mecanicii analitice constn faptul cea permite formulri cu caracter de maximgeneralitate , aplicabile unordomenii fizice diferite cum ar fi : teoria relativitii, mecanica mediilorcontinue sau electromagnetismul).

Prin urmare, mecanica analitic a pus la punct metode de rezolvare aproblemelor de echilibru i de micare mecanic a tuturor categoriilor decorpuri, indiferent de tipul legturilor acestora. Reamintim faptul c rezolvareaeste limitatla categoria legaturilor ideale(frfrecare), ceea ce nu nseamn-ns- cnu pot fi tratate (printr-o metodunitar) probleme complicate, att caaspect teoretic ct i ca aplicaie tehnicimediat.

5.2. Mecanica analitic: noiuni elementare

Formularea generala problemei pe care trebuie so rezolve mecanicaanaliticeste urmtoarea :

Fiind dat un sistem de N puncte materiale Ak (k N= 1, ), avnd maselemk , vectorii de poziie rrk, fiind supus aciunii unor fore rFk (rFk acioneaz

asupra lui Ak) i unor legturi L0( l,10= ) i cunoscndrr tk0 0( ) i

rv tk0 0( ) ale

punctelor Ak la acelai moment iniial t0 , se cere s se determine micareasistemului n intervalul de timp (t0, t), n care forele

rFki legturile L0sunt date

ca funcii de coordonatele punctelor Ak, de vitezele lor i de timp.

Intruct mecanica analitic este un edificiu teoretic construit pe bazatuturor noiunilor i informaiilor furnizate de mecanica newtonian, o mare

parte dintre concepte (inclusiv definiiile corespunztoare) sunt deja cunoscute.Le reamintim, schematic, pe cele pe care urmeazsle utilizm :- proces mecanic : micarea se conservsub formexclusiv mecanic, nu apar

fenomene disipative (termice, electromagnetice, etc.);

- referenial : ansamblu rigid de corpuri, solidar cu un ceas, n raport cu care sestudiazmicarea ;

- referenial inerial : referenial n raport cu care se vdesc proprietile deomogenitate i izotropie ale spaiului, precum i cea de uniformitate atimpului ;

- punct material : dimensiunile corpului se consider mult mai mici dectdistanele la alte obiecte ; pentru punctul material se definesc :


219/345

MECANICANALITIC 213

simultan.cunoscuti,vsir

parametriideadefinitcomplet

estematerialpunctuluiStarea

r=(t)v:materialpunctuluiviteza-

s(t):iatraiector-

(t)r:pozitiedevectorul-

rr

(

&rr

r

- sistem de N puncte materiale (obiecte clasice, pentru care reamintim condiiav


220/345


timpdeteindependensunt

matematiceexpresiile:scleronomelegaturi-

impulexplicit taparetoarecorespunza

analiticeexpresiilein:reonomelegaturi-

timpdedependenta

:criteriu;Boltzmann

Revenind la sistemul de N puncte materiale, putem avea urmtoareasituaie :

- sistemul pretinde cunoaterea a 3N coordonate scalare, dar- sistemul este supus unui numr de l legturi (ntre punctele materiale

ce compun sistemul existlrelaii de dependen).Prin urmare, ar fi suficient s cunoatem f = 3N-l coordonate, toate

celelalte (pn la 3N) putnd fi calculate pe seama relaiilor de dependendintre ele.

Mrimea f = 3N- reprezint numrul gradelor de libertate alesistemului dat.

Dacne propunem saflm ntregul ansamblu de coordonate al tuturorpunctelor materiale (N) ce compun sistemul, avem nevoie strict de cunoaterea anumai f mrimi independente, fie ele : q1 , q2 ,....qf , numite coordonategeneralizate (sau coordonatele lui Lagrange).

Notaia - diferitde cea cunoscutla mecanica vectorial- atrage ateniaasupra faptului c - n general - coordonatele generalizate nu coincid cu celeclasice. (Vom vedea, n urmtoarea problemrezolvat, cputem folosi drept

coordonatgeneralizatun unghi !)Cele f coordonate generalizate permit definirea unui spaiu cu f

dimensiuni, ale crui coordonate sunt chiar coordonatele generalizate.Acest spaiu se numete spaiu de configuraie (sau spaiu figurativ) .Configuraia sistemului la un moment dat (complet determinat de

ansamblul coordonatelor generalizate) se reprezint n spaiul de configuraieprintr-un punct reprezentativ.

La trecerea sistemului dintr-o stare 1ntr-o stare 2punctul figurativ vadescrie o traiectorie n

spaiul de configuraie.(Reprezentarea n spaiulde configuraie a micrii

punctului material este,

de fapt, o descrieregeometric a evoluiei ntimp a acestuia , vezi

figura 5.2.)

qf

q1

q2

Sistem aflat in starea mecanica

1(q1, q2, .qf)

Sistem aflat in starea mecanica

2

(q1

, q2

, .qf

)

Proces mecanic pentru care

=

=

=

)t(qq

...............

)t(qq

)t(qq

ff

22

11

Figura 5.2

Traiectoria

punctului reprezentativpoate s fie real (dac


221/345

MECANICANALITIC 215

procesul corespunzator are loc n conformitate cu legile mecanicii) sau virtual(atunci cnd corespunde unui proces fictiv).

Dac ntr-o problem se dau (se aleg) f coordonate generalizate q1 , q2

,...qf toate coordonatele scalare ale sistemului depind de aceste coordonategeneralizate prin relaii de forma:

N1,=iunde

)q,....q,q(zz

)q,....q,q(yy

)q,....q,q(xx

f21ii

f21ii

f21ii

=

=

=

Atunci cnd ne propunem s calculm i toate vitezele punctelor careconstituie sistemul, se constatc:

==

=

=

=

++

+

=

=

f

1jj

j

if

1j

j

j

i

f

f

i2

2

i1

1

if21ii

qq

x

dt

dq

q

x

dt

dq

q

x...

dt

dq

q

x

dt

dq

q

x

t

)q,..q,q(xx

&

&

Mrimile &qdq

dtjj

= poartnumele de viteze generalizate.

Din relaia de mai sus se observc & & ( , & )x x q qi i j j= cu j = 1,f .Similar se aratc:

f1,=jcu)q,q(zzqq

z

dt

dq

q

z

t

)q,..q,q(zz

f1,=jcu)q,q(yyqq

y

dt

dq

q

y

t

)q,..q,q(yy

jjii

f

1jj

j

if

1j

j

j

if21ii

jjii

f

1jj

j

if

1j

j

j

if21ii

&&&&&

&&&&&

=

=

=

=

==

=

=

==

==

Prin urmare, vitezele i coordonatele reale ale sistemului de N punctemateriale pot fi calculate (folosind relaiile de mai sus) atunci cnd se cunosccele 3f coordonate generalizate i cele 3f viteze generalizate.

Starea mecanica unui sistem fizic de N puncte materiale cu f grade delibertate este - cu aceste noi definiii i observaii - complet determinat de 2f

parametrii , i anume :- f coordonate generalizate ;

- f viteze generalizate.

5.2.1. Probleme rezolvate

1.Un punct material este obligat s se mite pe suprafaa unei sfere derazr0. Sse gseasccare sunt coordonatele lui generalizate.


222/345


223/345

MECANICANALITIC 217

12

0102

bqaq

b.constm

n

a.constqm

nqDar

+=

==

==

Dependena dintre q1 i q2 este o dependen liniar ; n consecintraiectoria punctului material n spaiul de configuraie este o dreapt.

5.3. Principiile mecanicii analitice. Principiul lui Hamilton.Evoluia (istoric) a mecanicii analitice a consemnat formularea a mai

multe principii. Dupmaniera lor de formulare3, ele pot fi clasificate n :- principii difereniale : principiul lui dAlembert, principiul deplasrilor

virtuale, principiul lucrului mecanic virtual al forelor de legtur, principiulgeneralizat al lui dAlembert, principiul celei mai mici constrngeri, etc.

- principii integrale : principiul lui Hamilton, principiul lui Maupertius -Lagrange.

Nu vom insista asupra principiilor difereniale, ntruct ele constituie - nsine - obiect de studiu al unui curs de specialitate.

In ceea ce privete principiile integrale, ele permit familiarizarea cunoiuni utile, aplicabile i n cazul unor alte capitole ale cursului de fizic,

precum i rezolvarea de o manierlejera unor probleme de dificultate medie.Prin urmare, vom prezenta n detaliu unul dintre cele mai utilizate / utilizabile

principii integrale, i anume principiul lui Hamilton.

Principiul lui Hamilton se aplicn cazul legturilor olonome(expresiimatematice integrabile), reonome (n expresiile analitice corespunztoaredependena de timp apare explicit) i n condiii conservative(fora derivdinenergia potenial).

Acest principiu introduce o funcie de stare (adic o funcie decoordonate generalizate, viteze generalizate i timp), numit funcia luiLagrange (lagrangeian), care descrie complet starea mecanica sistemului :

L q q q q q q tf f( , ,.. , & , & ,.. & , )1 2 1 2 (5.1)

In privina proprietilor acestei funcii nou introduse, precum i aobiectivelor mecanicii analitice, trebuiesc fcute urmtoarele observaii :

3Legile fizicii pot fi exprimate att sub formdiferenialct i sub formintegral.

Forma diferenial (local) descrie desfurarea unui fenomen (proces) n vecintatea unui

punct, n timp ce forma integral descrie evoluia procesului n ansamblu, ntr-un volum

macroscopic. De exemplu toate ecuaiile difereniale ale micrii descriu micarea unui sistem

n vecintatea unui punct de pe traiectoria sa (informaie local), n timp ce ecuaiile de

micare de tipul x = x(t), y = y(t), z = z(t) descriu micarea sistemului pe distane mari(informaie globalasupra micrii executate) (vezi bibl. L. Mller).


224/345

218 PRINCIPIILE MECANICII ANALITICE. FORMALISMUL LAGRANGE IAPLICAII

- Lagrangeiana unui sistem, determinatn raport cu un anumit sistem dereferin, difer - n general - de lagrangeiana aceluiai sistem, determinat nraport cu alt referenial, ntruct ele sunt funcii de coordonate generalizate i deviteze generalizate diferite.

- Pe de alt parte, ecuaiile de micare, reprezentnd legi obiective alenaturii, trebuie s-i pstreze aceeai form n orice referenial inerial ; prinurmare utilizarea funciei lui Lagrange n ecuaii de micare specifice unuianume formalism trebuie s asigure invariana acestor ecuaii n raport cutransformarea coordonatelor dintr-un referenial n coordonatele din altreferenial.

Tinnd cont de aceste douobservaii, principiul lui Hamilton recurge laconstrucia unei funcionale, n expresia creia intr funcia lui Lagrange de oasemenea maniernct condiia de invarianeste respectat.

Inainte de a enuna formularea clasic a principiului lui Hamilton, maitrebuiesc fcute nite precizri n privina noiunilor folosite.

Intr-un limbaj matematic simplificat, prin funcional se nelege oaplicaie (o operaie) care realizeazcorespondena dintre fiecare funcie dintr-oclas de funcii i un numr (un exemplu de funcional este lucrul mecanic

efectuat de o for neconservativ ntre dou puncte : L F dr ABA

B

= r r

; ne

reamintim c s-a afirmat c n acest caz lucrul mecanic - valoarea numeric

obinut n urma efecturii acestei integrale - depinde de drumul pe care sedeplaseazsistemul ntre cele doupuncte).O altnoiune la care face apel principiul lui Hamilton este noiunea de

traiectorie virtual, care a mai fost amintit puin mai devreme (cnd s-adiscutat despre traiectoria punctului reprezentativ n spaiul de configuraie).

De regul, sub aciunea forelor aplicate i a legturilor existente,punctele materiale ce compun un sistem vor suferi o deplasare real.Deplasrile reale sunt ntotdeauna compatibile cu legturile, pe toat duratamicrii sistemului. In paralel cu aceste deplasri reale, ne putem imagina o

infinitate de deplasri posibile, virtuale, compatibile cu legturile numai la unmoment dat.

Problema formulatde fizicieni este urmtoarea : cum putem alege, dininfinitatea de deplasri posibile, virtuale, exact deplasarea real? Ce criteriu

folosim pentru a o evidenia ?

Un rspuns posibil (n optic) a fost formulat de principiul lui Fermat(1662) : ntre doupuncte A i B lumina se propagpe acea traiectorie care

corespunde unui timp minim de propagare.

In mecanic, dup cum vom vedea, principiul lui Hamilton (principiulminimei aciuni) joacun rol echivalent.


225/345


226/345

220 PRINCIPIILE MECANICII ANALITICE. FORMALISMUL LAGRANGE IAPLICAII

cu alte cuvinte cele douoperaii (de derivare i de variaie a coordonatei) suntcomutative.

Din punct de vedere matematic, operatorul de variaie acioneazasemenea celui de derivare.

Principiul lui Hamilton postuleazexistena unei funcionale :

S L q q q q q q tf ft

t

= ( , ,... , & , &

Documents

74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB