(732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)

8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)

1/20

I. TRANSFORMARI ELEMENTARE

B

n a) A = b) A c) A

1) Care din urmatoarele operatii efectuate asupra uneimatrice este transformare elementara:

a) adunarea unei linii la o coloana;

b) inmultirea unei linii cu scalarul α = 0

c ) schimbarea a doua linii intre ele;

d ) adunarea unei linii la o alta linie.

2) Numim matrice elementara o matrice:

a) cu rangul egal cu 1;

b) care se obtine din matricea unitate prin transformari

elementare;c) cu determinantul nenul;

d

) obtinuta din matricea unitate printro singura

transformare elementara.

!) " matrice elementara este obligatoriu:

a) patratica;

b) dreptunghiulara;

c

) in#ersabila;

d

) nesingulara.

$) %ransformarile elementare se pot aplica:

a) numai matricelor patratice;

b ) oricarei matrice;

c) numai matricelor in#ersabile;d) numai matricelor cu rang nenul.

&) 'ie B o matrice obtinuta prin transformari elementare

din matricea A. (tunci:a) rang A = rang B;

b) rang A rang B;

c) rang A * rang B;

d) rang A + rang B.

,) -atricele A si B se numesc echi#alente daca:

a) au acelasi rang;

b

) B se obtine din A prin transformari elementare;

c) sunt ambele patratice si de acelasi ordin;d) au determinanti nenuli.

) /aca A,B sunt matrice echi#alente A B) atunci:

a) A,B sunt matrice patratice;

b ) rang A = rang B;

c

) daca determinantul lui A = 0 reulta si det B = 0;d) daca det A = 1 reulta ca si det B = 1.

3) 'ie A 4 M nR ). /aca rang A = r atunci printransformari elementare se obtine:

a) cel putin r coloane ale matricei unitate;

b) cel mult r coloane ale matricei unitate;

c ) e5act r coloane ale matricei unitate;d) toate coloanele matricei unitate.

6) 'ie A 4 M nR ) cu det A 0. (tunci:

a) rang A = n;b

) A este echi#alenta cu matricea unitate In A - In);

c) prin transf. elementare putem determina in#ersa A1.

d

) forma 7aus8ordan a matricei A este In.10) 9entru a afla in#ersa unei matrice A 4 M nR ) prin

transformari elementare acestea se aplica:a) numai liniilor;

b) numai coloanelor;

c) atat liniilor cat si coloanelor;d) intai liniilor apoi coloanelor.

11) /aca A 4 M nR ) cu det A = 1 atunci forma 7auss

8ordan asociata #a a#ea:a) o singura linie a matricei unitate In;b

) toate liniile si coloanele matricei unitate In;c) o singura coloana a matricei unitate In;d) numai o linie si o coloana a maricei unitate In.

12) -etoda de aflare a in#ersei unei matrice A cu

transformari elementare se poate aplica:a) oricarei matrice A 4 M nR ) ;

b

) numai matricelor patratice;

c) maricelor patratice cu det A 0;d) tuturor matricelor cu rang A 0.

1!) 9entru aflarea in#ersei unei matrice A 4 M nR ) printransformari elementare acestea se aplica:

a) direct asupra lui A;

b) asupra matricei transpuse A%;

c

) matricei atasate B (Mn< ;

d) matricei atasate B M(% < .

1$) 'ie A 4 M nR ) si B matricea atasata acesteia inmetoda aflarii in#ersei lui A prin transf elementare.(tunci:

a) B 4 M n R ); b

)

4 M n,2n R ); c) B

4 M 2n,n R ); d) B 4 M 2n,2n R );

1&) 'ie A 4 M nR ) si B matricea atasata lui A pentrudeterminarea lui A

1 prin transformari elementare. /aca

0 1 2 !

B1 0

M$

atunci:1

1 $ 2 ! ! 2

1 2 ! 1 = 1 $ 1 = $ 1

d) A1 nu e5ista.

1,) 'ie A 4 M nR ) si B matricea atasata lui A pentrudeterminarea lui A

1 prin transformari elementare. /aca

1 0 0 1 2 !

B 0 0 1 M! 2 1 atunci:0 1 0 2 1 !

1 2 ! 1 ! 2 1 2 !

a) A1

= ! 2 1 b)A1 = 2 2 1 c ) A1 = 2 1 !

2 1 ! ! 1 ! ! 2 1

d) A1 nu e5ista.

1) (ducand matricea A la forma 7auss8ordan obtinem:

a) A1;

b

) rang A;

c) det A;

d) A%.

13) /aca matricea A 4 M 2!R ) este echi#alenta cu

1 2 0matricea A = atunci:

0 1 1

a) rang A = 2;

b) rang A = 1;

c) rang A = !;d

) rang A = rang A`.


2/20

16) /aca matricea A 4 M !R ) este echi#alenta cu matricea

1 1 0

A` = 0 0 0 atunci rang A este:2 0 1

a) 2; b) !; c) 1; d) 0.

20)/aca A este echi#alenta cu matricea unitate I! A I!)atunci:

a) rang A = !;

b

) det A I!;

c) A = I!;

d) A1 = I!.

21) 9i#otul unei transformari elementare este intotdeauna:

a) nenul;

b) egal cu 0;

c) egal cu 1;

d) situat pe diagonala matricei.

1 0 0

22) /aca matricea A este echi#alenta cu A` = 0 1 0

0 0 1

atunci:

a) rang A = !;

b) rang A = 1;

c

) det A 0;

d ) Aeste in#ersabila.

2!) /aca matricea A este echi#alenta cu matricea A` =1 0 0

0 1 0 atunci:0 0

a) rang A = 0 *=+ α = 0

b) rang A = 1 *=+ α = 1

c

) rang A > 2 ) α 4 R ;

d

) rang A = ! *=+ α 0.

2$)/aca matricele A si A` sunt echi#alente AA`) atunci:

a) au acelasi rang;

b) sunt obligatoriu matrice in#ersabile;c) sunt obligatoriu matrice patratice;

d

) se obtin una din alta prin transformari elementare.

2&) 'ie A 4 M !R ) cu det A = α. (tunci forma 7auss8ordana lui A:

a) are acelasi rang cu matricea A ) α 4 R ;

b) are acelasi rang cu matricea A numai pt α = 0;

c

) coincide cu I! *=+ α 0;

d ) are cel mult doua coloane ale matricei unitate I! daca α = 0

2,) /oua sisteme liniare de ecuatii se numesc echi#alente

daca:

a) au acelasi numar de ecuatii;

b) au acelasi numar de necunoscute;

c) au aceleasi solutii;

d

) matricele lor e5tinse sunt echi#alente.

2) -atricea unui sistem liniar oarecare in forma e5plicita

are:

a) forma 7auss8ordan;

b

) coloanele #ariabilelor principale coloanele matricei

unitate;

c) toate elementele de pe liniile #ariabilelor secundare nule

d) elementele corespunatoare de pe coloanele #ariabilelor secundare negati#e.

23) -etoda 7auss8ordan de reol#are a sistemelor liniare

prin transformari elementare se aplica:

a) numai sistemelor patratice;

b ) oricarui sistem liniar;

c) numai daca rangul matricei sistemului este egal cu

numarul de ecuatii;d) doar sistemele compatibile nedeterminate.

26) 'ie A si ( matricea respecti# matricea largita a unui

sistem liniar. (plicand metoda 7auss8ordan de reol#arese aplica transformari elementare asupra:

a) liniilor lui A si coloanelor lui ( ;

b) liniilor si coloanelor lui ( ;

c

) liniilor lui ( ;

!0) 9entru a obtine matricea unui sistem liniar sub forma

e5plicita se aplica transformari elementare:

a) numai coloanelor corespunatoare #ariabilelor secundare;

b) numai coloanei termenilor liberi;

c) tuturor liniilor si coloanelor matricei e5tinse;

d

) pentru a face coloanele #ariabilelor principal alese

coloanele matricei unitate.

!1) (plicand metoda 7auss8ordan unui sistem liniar de

ecuatii matricea e5tinsa ( este echi#alenta cu matricea (2 1 1 0 !

= M . (tunci sistemul liniar:! 0 2 1 1

a) este incompatibil;

b) este compatibil nedeterminat;

c) are solutia de baa: 51=$ 52=2 5!=1 5$=0;

d) are o infinitate de solutii.

!2) -atricea e5tinsa corespunatoare unui sistem liniar in

1 2 0 1 $forma e5plicita este ( = 0 1 1 1 M2 . (tunci

0 0 0 0 1

sistemul liniar:

a) este incompatibil;

b) este compatibil determinat;

c) are solutia de baa 51=1 52=2 5!=1 5$=0;d) are o infinitate de solutii.

!!) -atricea e5tinsa corespunatoare unui sistem liniar in

1 0 1 0 1forma e5plicita este ( = 0 1 1 0 M2 . (tunci sistemul

0 0 2 1 !

liniar:

a) sistemul este compatibil nedeterminat;

b

) #ariabilele principale alese sunt 51 52 5$;

c) sistemul este incompatibil;d

)solutia de baa cores. este 51=1 52=2 5!=0 5$=!.!$) ?n sistem liniar de 2 ecuatii cu $ necunoscute cu rangulmatricei sistemului egal cu 2 are solutia de baa: X=2001)

%. (tunci este:

a) admisibila si nedegenerata; b) admisibila si degenerata;c

) neadmisibila si nedegenerata;

!&) un sistem liniar cu 2 ecuatii si ! necunoscute admitesolutia de baa X=010)

%. @tiind ca 52 5! sunt #ariabile

principale atunci solutia 5 este:

a) admisibila;b

) neadmisibila;c

) degenerata;

!,) @istemele liniare de ecuatii care admit solutii de baasunt numai cele:

a) compatibile nedeterminate;

b) compatibile determinate;c) incompatibile;d) patratice.


3/20

a) X= 1 1 1 0) ;

d) neadbisibila si degenerata. d) nedegenerata.

!) 'ormei e5plicite a unui sistem liniar ii corespunde

1 0 1 1 2Mmatricea ( =

0 1 1 1 2. (tunci solutia

corespunatoare este:

a) 51= 2Aα 52=2Aα 5!=α 5$= ;

b) 51=2αA 52=2αA 5!=α 5$=

; c ) 51=2Aα 52=2αA 5!=α 5$=

!3) -atricea e5tinsa corespunatoare formei e5plicite a

1 1 1 0 1unui sistem liniar este ( =

1 0 2 1M . (tunci1

solutia de baa corespunatoare este:

%

b) X= 1 0 2 1)%;

c) X= 1 1 0 0)%;

d

) X= 0 1 0 1)%

.

!6) 9entru a se obtine solutia de baa din forma e5plicita aunui sistem liniar de ecuatii:

a) #ariabilele principale se egaleaa cu 0;

b

) #ariabilele secundare se egaleaa cu 0;

c) toate #ariabilele se egaleaa cu 0;

d) se atribuie #ariabilelor secundare #alori nenule distincte.

$0) @olutia de baa X=α0 0)% a unui sistem liniar dedoua ecuatii este neadmisibila daca:

a) α + 0 si +0;

b ) α *0 si *0;

c

) α +0 si *0;

d ) α *0 si +0.

$1) @olutia de baa X=00 α )% corespunatoare unuisistem liniar cu 2 ecuatii principale si $ necunoscute estedegenerata daca:

a) α=0 0;

b

) α0 =0;

c

) α=0 =0;

d) α0 0.

$2) 'ie nB si n numarul solutiilor de baa distincterespecti# al formelor e5plicite corespunatoare unui sistem

liniar compatibil nedeterminat. (tunci:

a) nB D n ;

b) nB > n ;

c

) intotdeauna nB = n ;

d) obligatoriu nB + n .

$!) 'ie solutia de baa X=1α 0 )% corespunatoare

#ariabilelor principale 51 si 5$. (tunci 5 este admisibiladegenerata daca:

a) α +0 =0;

b ) α=0 =0;

c) α=0 +0;

d) α+0 +0.

$$) 'orma e5plicita a unui sistem liniar are matricea de

1 0 0 2 1

forma ( = 0 0 1 !M2 . (tunci solutia de baa0 1 0 1 1

corespunatoare X este:

a) X=1 2 1 0)%

;

b

) X=1 1 2 0)%

;

c) X=1 2 0 1)%

;

d) X=1 2 1 0)%

$&) 'orma e5plicita a unui sistem liniar are matricea de

2 0 1 1 1

forma ( = 1 1 1 0 M . (tunci solutia de baa0

corespunatoare X este:

a) admisibila;

b

) degenerata;

c

) neadmisibila;

d) nedegenerata.

1 0 0 2 2

$,) 'ie ( = 0 1 0 1M 2 maricea

corespunatoare

0 0 0 0

formei e5plicite a unui sistem liniar. (tunci sistemul este

incompatibil daca:

a) α=0;

b ) α=1;

c

) α=1;

1 0 2 2

$) 'ie ( = 0 1 1M 1 matricea corespunatoare0 0 0

formei e5plicite a unui sistem liniar. (tunci sistemul este:

a) compatibil nedeterminat daca α = 0;

b

) compatibil determinat daca α=1;

c) incompatibil daca α 0;

d) incompatibil daca α = 0.

1 0 2 2

$3) 'ie ( = 0 1 1M 1 matricea corespunatoare

formei

0 0

e5plicite a unui sistem liniar. (tunci sistemul este

compatibil nedeterminat daca:

a) α = 0 0;

b) α 0 =0;

c

) α =o =0;

$6) 'ie X=11α00)%

solutia de baa a unui sistem liniar de

ecuatii corespunatoare #ariabilelor principale 51 52 5!.

(tunci:

a) X este admisibila daca α+0;

b ) X este degenerata daca α=0;

c

) X este neadmisibila daca α= 1;d ) X este nedegenerata daca α = 1.

&0) ?n sistem liniar de 2 ecuatii si $ necunosute are

matricea corespunatoare unei forme e5plicite de forma:

( = . (tunci solutia de baa corespunatoare X este:

a) admisibila daca α=1 =0;

b

) degenerata daca α *0 =0;

c) neadmisibila daca α + 0 si >0;

&1) ?n sistem de m ecuatii liniate cu n necunoscute m*n

are intodeauna:

a) mi mult de Cm

forme e5plicite;n

b

) cel mult Cm

forme e5plicite;n

c) e5act Cm

forme e5plicite;n

d) mAn forme e5plicite.


4/20

n

n d ) nm componente nenule.

II.ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA

a) )αi= 0 i= ; a) αi = 0 ) i= ;

d) nedegenerata daca α*0 si D0.

&2) ?n sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute m*n

are intotdeauna:

a) e5act Cm

solutii de baa;

b ) cel mult Cm

solutii de baa;n

c) cel putin Cm

solutii de baa;

d) mAn solutii de baa.

&!) " solutie de baa pentru un sistem cu m ecuatii liniare

cu n encunoscute m*n este degenerata daca are:

a) e5act m componente nenule;

b) mai mult de m componente nenule; c

)

mai putin de m componente nenule; d

)

mai mult de nm componente nenule.

&$) " solutie de baa pentru un sistem cu m ecuatii liniare

cu n encunoscute m*n este nedegenerata daca are:

a) e5act m componente nenule;

b) mai mult de m componente nenule;

c) mai putin de m componente nenule;

&&) 9entru a transforma un sistem liniar de ecuatii intrunulechi#alent se folosesc transformari elementare asupra:a) liniilor matricei sistemului;

b) coloanelor matricei sistemului;

c) liniilor si coloanelor matricei sistemului;d) termenilor liberi ai sistemului.

&,) -etoda grafica se foloseste in reol#area sistemelor deinecuatii liniare cu:a) doua necunoscute;

b) mai mult de ! necunoscute;

c) oricate necunoscute;d) e5act ! necunoscute.

&) " solutie de baa pentru un sistem cu m ecuatii liniarecu n encunoscute m*n este admisibila daca are:a) maEoritatea componentelor poiti#e;

b) mai mult de m componente poiti#e:

c) mai putin de m componente negati#e;

d

) toate componentele negati#e.

&3) 'ie A o matrice nenula de tipul m,n). (tunci matricea A

admite in#ersa daca:

a) det A 0;

b ) m=n si det A 0;

c) det A=0 si m=n;

d ) det A = 1 si m=n.

&6) 9entru a transforma un sistem liniar de ecuatii in unulechi#alent se folosesc:a) transf. elem. aplicate liniilor matricei atasate sistemului;

b) trans elem aplicate liniilor si coloanelor matr. atasate

sistc) operatii de adunare a coloanelor matricei atasate sist;d) toate operatiile care se pot efectua asupra unei matrice.

,0) " solutie de baa a unui sistem liniar se obtine:

a) dand #ariabilelor principale #aloarea 0;

b

) dand #ariabilelor secundare #aloarea 0;

c) dand #ariabilelor principale #alori nenule;

d) dand #ariabilelor secundare #alori strict poiti#e.

1) ?n spatiu liniar X se numeste spatiu liniar real daca:

a) elementele sale sunt numere reale;

b) corpul peste care este definit coincide cu multimea

numerelor naturale;c) multimea X este ne#ida;d ) operatiile definite pe X sunt operatii cu numere reale.

2) 'ie 9nX)AF) spatiul liniar al polinoamelor de grad celmult n. (tunci operatiile GAH si GFH repreinta:

a) adunarea si inmultirea polinoamelor;

b

) adunarea polinoamelor si inmultirea polinoamelor cu

scalari reali;c) adunarea numerelor reale si inmultirea polinoamelor;d) adunarea polinoamelor si inmultirea nr reale.

!) 'ie 9nX)AF) spatiul liniar al polinoamelor de grad celmult n. (tunci dimensiunea sa este:

a) n;

b ) n=1;

c) n2;

d) 2n.

$) -ultimea solutiilor unui sistem liniar formeaa un spatiu

liniar daca sistemul este:

a) incomparabil;

b ) omogen;c) compatibil determinat;

d) patratic cu rangul matricei egal cu nr. Necunoscutelor.

&) 'ie #ectorii 51 52 ... 5I 4 R na.i. α151Aα252A...AαI5I

=0n .(tunci 5152...5I sunt liniar independenti numai daca:

1 k

b) )αi= 0;

c) αi 0 )i=1 k

;

+

,) 'ie #ectorii 51 52 ... 5I 4 R na.i. α151Aα252A...AαI5I

=0n .(tunci 5152...5I sunt liniar dependenti daca:

1 k

b

) ) αi 0;

c

) I+n;

d α 0 i=1 k

.

) 'ie X un spatiu liniar si #ectorii 51525! 4 X a.i.51A52Aα5!=05. (tunci #ectorii sunt:a) liniar dependenti daca α=0;

b) liniar independenti daca α0;

c

) liniar dependenti daca α0;d) liniar independenti daca α=0.

3) Jectorii 51 52 ... 5I 4 R nsunt liniar independenti.

(tunci:a) 5152...5I1 sunt liniar independenti;

b

) 5i0n )i=1 n ;

c

) I D n;d) 51A52A...A5I=0n

6) 'ie 51 5252 4 R !#ectori oarecare a.i. 5!=51252.

(tunci:a) coordonatele lui 5! sunt 1 si 2;

b ) 51525! nu formeaa o baa in R !

c

) 51525! sunt liniar dependenti;

d) deoarece 512525!=0 =+ 51525! sunt liniar indep.

10) 'ie B si B` doua bae din spatiul liniar R !

si S matricea

schimbarii de baa. (tunci S este:a) patratica;b ) in#ersabila;

11) 'ie #ectorii 51 52 ... 5I 4 R n

.(t. ei form o baa daca:

a) sunt liniar independenti si In; b) 5i0n si I=n;c

) sunt liniar independenti si I=n;

12) 'ie B = K51 52...5IL o baa in spatiul liniar X. (tunci:

a) dim X = I; b) dim X + I;

c) dim X * I;


5/20

d) I=n si αi0 )i= d ) 5i 05 ) i= .

1 2 !

1 2 1 2

1 2 1 2 n

d

) daca 1 0 2 0 ! 0 M este negati# definita.

c) dreptunghiulara;d ) nesingulara det S0).

1 k 1 k

1!) 'ie S matricea de trecere de la o baa B la baa B` si uBrespectib uB coordonatele #ectorului u in cele doua bae.

(tunci au loc relatiile:a) uB = S uB si uB =S

1 uB b) uB = S

% uB si uB =S1 uB

c

) uB = S%

uB si uB = S%)

1uB

d) uB =S1 uB si uB = S

% uB

1$) 'ie B = K5152...5IL o baa in R n

.(tunci:

a) 5152...5I sunt liniar independenti;

b) I*n;

c

) I = n;

d) I+n.

1&) n spatiul liniar R n

e5ista:

a) cel mult n bae;

b) e5act n bae;

c) o singura baa;

d ) o infinitate de bae.

1,) 'ie operatorul liniar : R 2

R !

si 020! #ectorii nuli ai

celor 2 spatii. (tunci:a) 02) = 02;

b) 0!) = 0!;

c

) 02) = 0!;

d) 0!) = 0!.

1) /aca : R m

R n

este un operator liniar atunci:

a) obligatoriu m+n;

b) obligatoriu m*n;

c

) m si n unt numere naturale oarecare nenule;

d) obligatoriu m=n.

13) 'ie : R m

R n

un operator liniar si ker nucleul sau.

/aca 5152 4 Ier atunci:a) 51A52 4 Ier ;

b ) α51 4 Ier ) α 4 B;

c

) α51A 52 4 Ier ) α 4 R ;d) 51) = 52.

16) 'ie : R n

R m

un operator liniar si Ier nucleul sau.

/aca 5 4 Ier atunci:

a) 5) = 0m;

b

) α5) = 0m ) α 4 B;

c) α5) = 0m doar pt α = 0;

d) 5) = 0n.

20) /aca : R m

R n

este un operator liniar si A matricea

sa fata de o pereche de bae B,B` atunci:

a) A 4 M mnR );

b) A 4 M nmR );

c) B,B sunt bae in R m

;

d

) B este baa in R m

si B` este baa in R n

21) 'ie : R n

R n

un operator liniar si 5 un #ector propriu

pt. . (tunci:

a) O) 4 R a.i. 5)= 5;

b) 5)=5 ) 4 R ;

c

) 5 0 ;

d ) 5) = 5 ) 4 R .

22) 'ie : R n R n un operator liniar si 5 un #ector propriu

corespunator #alorii proprii . (tunci:

a) 5) = 5;

b) daca 5) = 0n atunci 5=0n;

c

) 5)= 25;

d ) daca 5) = 0n atunci = 0.

2!) -atricea atasata unei forme liniare f : R n R este o

matrice:

a) patratica:

b) coloana;

c

) linie;d) in#ersabila.

2$) /aca f : R n R este o forma liniara atunci:

a) f51A52) = 51 A 52; ) 5152 4 R n

b ) f51A52) = f51) A f52); 5152 4 R n;

c) fα5) = α5 ) α 4 R si ) 5 4 R n;

d ) fα5) = αf5) ) α 4 R si ) 5 4 R n.

2&) 'ie : R n

R m

un operator liniar. (tunci de#ine

forma liniara daca:a) n = 1;

b ) m = 1;

c) n = 1 si m = 1;

d) n=m.

2,) 'ie M: R n

R o forma patratice si A matricea asociata

acesteia. (tunci:a) A = A

%

b) A 4 M n1R );

c

) A 4 M nR );

d) A este in#ersabila.

Q : R!

R2) 'ie forma patratica

Q x) x2

2 x2

x!

2 x x1 2 ! 1 2

)5=51525!)% 4 R

!.(tunci matricea asociata lui M este:

1 1 0

c

) A = 1 2 00 0 1

23) 'orma patratica M: R 2

R are matricea asociata A=2 1

1 1. (tunci M are e5presia:

c

) M5) = 2 x2

x2

2 x x

26) 'orma patratica M: R !

R are forma canonica asociata

MP)= 2 y 2

y2

y!

. (tunci:

a) M este poiti# definita daca α +0;

c

) M este semipoiti# definita daca α = 0;

d

) M nu pastreaa semn constant daca α * 0 .

!0) 'orma patratica M: R 2

R are matricea asociata A=1 2

2 !. (tunci forma canonica asociata este:

Nici una: MP)= y 2

y 2

sau y2

! y2

sau 2 y 2

y 2

1 2 1 2 1 2

sau ! y2

y2

1 2

!1) 'orma patratica M: R 2

R are forma canonica asociata

MP) = ay2

by2

. (tunci M este negati# definita daca:

c

) a*0 b*0

1 2 ! 1 2 !

2 2!2) 'ie MP)= y1 y2 y! forma canonica1 2 !

asociata formei patratice M: R !

R .(tunci:

a) daca 1 0 2 0 ! 0 M este poiti# definita;

!!) 'ie A matricea asociata formei patratice M: R n

R si

... minorii principali ai lui A. 9entru a aplica

metoda lui 8acobi de aducere la forma canonica trebuieobligatoriu ca:

Nici una.


6/20

1 2 !asociata formei patratice M: R R .(tunci M nu pastreaa

1 1 2 2 n n d ) α1+0 α2*0 α!4 R .

1 2

&0) 'ie operatorul L : ¡

2

¡2

T.(tunci : d

) e5ista grupuri abeliene care nu sunt spatii liniare.

a) Ier=K00)%L

L x)

x1

x2 x

1)

!$) 'ormei patratice oarecare M: R n

R i se poate asocia:

b ) msi multe forme canonice dar cu acelasi nr de

coeficienti poiti#i repecti# negati#i.c

) o matrice patratica si simetrica.

Q : ¡n

¡

!&) 'orma patratica n n spunem caQ x) a

ij x

i x

j

i 1 j 1

este poiti# definita daca:

Q : ¡n

¡

!,) 'orma patratica n n spunem caQ x) a

ij x

i x

j

i 1 j 1

este seminegati# definita daca:b ) M5)D0 ) 5 4 R

n, x ≠ 0.

!) 'orma patratica M: R !

R are forma canonica asociata:

MP)= y2

y2

y2

. (tunci:

c

) )5152 4 R !

a.i. M51)*0 si M52)+0

Q : ¡n

¡

!3) 'orma patratica n n are formaQ x) aij xi x

ji 1 j 1

canonica asociata MP)= y2

y2

... y2

.

(tunci

!6) 'ie MP)= y2

y2

y2

forma canonica1 1 2 2 ! !!

semn constant daca:

a) α1+0 α2*0 α!+0;

$2) -atricea operatorului : R 2

R 2

fata de baa canonica

1 1din R 2 are e5presia A= . (tunci operatorul are

2 0e5presia:

T b

) 5)= x1

2 x2

x1

.

$0) -etoda lui 8acobi de a obtine forma canonica se poate

aplica in caul formelor patratica:

a) poiti# definite;

c

) negati# definite.

L : ¡!

¡2

$1) 'ie operatorul liniar L x) x x 2 x x

)T

1 ! 1 2

)5=51525!)% 4 R

!.(tunci matricea operatorului in

baele canonice ale celor doua spatii are forma:

1 2

b

) A= 0 1 .

1 0

1 0$&) 'ie operatorul liniar : R

2R

2cu matricea A=

1 1

(tunci ecuatia caracteristica corecpunatoare:

c

)2

2 1 0

$!) 9entru a se determina #alorile proprii ale operatorului

: R n

R n

cu matricea corespunatoare A se reol#a

ecuatia:

T c

) det ( I n

0 $$) "peratorul liniar : R 2 R 2 are matricea A=1 2

! 1

(tunci ecuatia caracteristica pt obtinerea #alorilor propriiare forma:

1 !c) 0

2 1

$,) 'ie operatorul liniar : R 2 R 2 .(tunci:

c

) operatorului nu i se poate atasa ecuatia caracteristica.

1 1$3) 'ie A= matricea atasata operatorului : R 2 R 2

1 1

(tunci:

b

) #alorile proprii ale lui sunt 0 2 ;

1 ) x1

x2

0d

) sistemul caracteristic atasat este x

11 ) x

20

$6)"perat. : R 2 R 2 are #alorile proprii 1 1 2 2 .

(tunci:

c

) daca 5152 sunt #ectori proprii pentru 1 respecti# 2

=+ 5152 sunt liniar independenti.

d ) e5ista o baa fata de care matricea operatoului are forma

1 0A=

0 2

2 0$) "peratorul liniar : R

2R

2are matricea A=

1 2

(tunci #alorile proprii ale lui sunt:

c

) 1 2 2 2&1) Care din urmatoarele afirmatii sunt ade#arateQ

a) orice spatiu liniar este grup abelian;

b) orice grup abelian este spatiu liniar;

c) e5ista spatii liniare care nu sunt grupuri abeliene;


7/20

1) 'ie operatorul liniar : R R liniar oarecare. (tunci: 2) ?nui operator liniar : R R i se poate asocia:

&2) 'ie #ectorii 5152...5m 4 R m

si A matricea

componentelor acestora. (tunci:

a) #ectorii sunt liniar independenti daca rang A = m;b ) #ectorii sunt liniar dependenti daca rang A * m.

&!) n spatiul R n

o multime de #ectori liniar independenti

poate a#ea:

a) cel mult n #ectori;c) e5act n #ectori.

&$) 'ie #ectorii 5152...5m 4 R m

si A matricea

componentelor acestora. (tunci sunt liniar dependenti daca:

c) rang A * m;d ) det A =0.

&&) 'ie #ectorii 5152...5m 4 R m

si A matriceacomponentelor acestora. (tunci sunt liniar independentidaca:

a) rang A = m;d ) det A 0.

&,) 'ie #ectorii 5152...5m 4 R n

liniar independenti.(tunci #ectorii :

c) formeaa o baa in R n

numai daca m=n;

d) nu contin #ector nul.

&) -ultimea 5152...5m este formata din #ectori liniar dependenti. (tunci:

b ) cel putin un #ector se poate e5prima ca o combinatie

liniara de ceilalti;d ) poate contine #ector nul.

&3) 'ie #ectorii 5152...5n 4 R n n+! liniar independenti.

(tunci:

a) #ectorii 5152...5n formeaa o baa in R n

;

b) #ectorii 5152...5I sunt liniar independenti )I=1 n .

&6) Care din urmatoarele afirmatii sunt ade#arate:

a) orice submultime a unei multimi de #ectori liniar

independenti este tot liniar independenta; b) o submultime a unei multimi de #ectori linair dependenti

este tot liniar dependenta;

c) coordonatele unui #ector in baa canonica din R n

coincid

cu componentele acestuia.d) daca o multime de #ectori nu contine #ectorul nul atuncieste liniar independenta.

,0) Coordonatele unui #ector din R n

:

a) sunt unice relati# la o baa fi5ata;

b ) se schimba la schimbarea baei;

c) sunt aceleasi in orice baa.

,1) ?n sistem de n #ectori din R n care contine #ectorul nul:

b ) este liniar dependent;c) nu formeaa o baa in R n .

,2) Coordonatele unui #ector in 2 bae care difera printrun

singur #ector sunt:

a) diferite.

,!) /imensiunea unui spatiu #ectorial este egala cu:

a) numarul #ectorilor dintro baa;b ) numarul ma5im de #ectori liniar independenti.

,$) -atricea schimbarii de baa este:

a) o matrice patratica;

b ) o matrice in#ersabila;

c) formata din coordonatele #ectorilor unei bae

descompusi in cealalta baa.

,&) 'ie aplicatia : R m

R n

.(tunci este un operator

liniar daca:

c) 51A52)=51)A52) si α5)=α5) )55152 4 R m

,,) (plicatia : R m

R n

este un operator liniar. Care din

afirmatiile de mai Eos sunt ade#arate:

a) 51A52)=51)A52) )5152 4 R m

;

b ) α5)=α5) ) 5 4 R m

) α 4 R ;

d ) α51A52)=α51)A52) )5152 4 R m si ) α 4 R ,) 'ie 51 si 52 #ectori proprii pt operatorul liniar : R

n

R n

corespunatori la 2 #alori proprii distincte. (tunci:

a) 51 si 52 sunt liniar independenti.

,3) 'ie : R m R n un operator liniar si A matricea sa.

(tunci:

a) A 4 M mnR )

,6) 'ie : R ! R 2 un operator liniar. (tunci:

c) nu se poate pune problema #alorilor proprii pentru ;

d ) matricea lui este dreptunghiulara.

0) "peratorul : R n R n are n #alori proprii distincte 1

2 ... n carora le corespund #ectorii proprii 5152...5n.

(tunci:a) 5152...5n formeaa o baa in R

n;

d ) 5152...5n sunt liniar independenti.

m n

a) Ier R m

;

d) Ier este subspatiu liniar.

m n

a) o matrice unica relati# la o pereche de bae fi5ate;

!) Nucleul unui operator liniar : R m R n este:

a) un subspatiu liniar;b ) o multime de #ectori din R m

$) ?n operator liniar : R n R n are:

a) cel mult n #alori proprii distincte;d) o infinitate de #ectori proprii pt fiecare #aloare proprie.

&) n spatiul R n o multime de #ectori liniar independenti poate fi formata din:

a) mai putin de n #ectori;


8/20

c ) e5cat n #ectori.

,) 'ie #ectorii 5152...5m 4R #ectorii liniar indep.(tunci

c) formeaa o baa in R n

daca m=n.

) Coordonatele unui #ector din R n

:

a) sunt unice relati# la o baa;b ) sunt in numar de n;

3) ?n sistem de m #ectori din R n

care contine #ectorul nul:

a) este intotdeauna liniar independent;d ) nu formeaa o baa in R n .

6) /imensiunea unui spatiu liniar este egala cu:

a) numarul #ectorilor dintro baa.

30) -atricea unei forme patratice oarecare este o matrice:

b) patratica;c) simetrica.

31) /aca a#em relatia 51=α52 atunci #ectorii:

c) 51 si 52 sunt liniar independenti ) α 4 R .

32) " forma patratica este poiti# definita daca forma

canonica atasata acesteia:

a) are coeficientii poiti#i;

3!) " solutie de baa a unui sistem se obtine:

b) dand #ariabilelor secundare #aloarea 0

3$) " forma liniara este poiti# definita daca:

d) poiti#a definire se refera numai la formele patratice.3&) /aca suma a n #ectori din R

neste egala cu #ectorul nul

atunci:b ) #ectorii sunt liniar independenti;

c) cel putin unul se srie ca o combinatie liniara de restul.d ) nu formeaa o baa in R n .

3,) /aca #ectorii 5152...5n formeaa o baa in spatiulliniar X atunci:b) 5152...5n sunt liniar independenti;

c) dim X = n;d) 5152...5n1 sunt liniar independenti.

3) -atricea asociata unui operator liniar oarecare : R m

R n

:

b) depinde de baele considerate in cele doua spatii;

33) Nucleul unui operator liniar : R m R n : b) contine totdeauna #ectorul nul al spatiului R m; c) este subspatiu liniar; d) nu contine #ectorul nul al spatiului R m .

III.ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIARA

1) " problema de programare liniara are intotdeauna:

a) functia obiecti# liniara;

c ) restrictiile liniare.

2) n forma #ectoriala o problema de programare liniaraare #ectorii 9192...9n definiti de:b) coloanele matricei A corespunatoare sistemului derestrictii.

!) n forma standard o problema de prgramare liniara areintotdeauna:c) restrictiile de tip ecuatie.

$) ntro problema de programare liniara conditiile denegati#itate cer ca:d ) necunoscutele problemei sa fie negati#e.

&) 9t a aplica algoritmul @imple5 de reol#are a unei probl.de programare liniara aceasta trebuie sa fie in forma:c) standard.

,) 9t a aduce o problema de programare liniara de ma5im launa de minim se foloseste realtia:c) ma5f) = minf)

) " multime - R n

se numeste con#e5a daca:

c) ) x1 x2 M si ) 01< a#em

x1

1 ) x2

M .

3) Combinatia liniara G 1 x1 2 x2 ! x! H este

con#e5a daca:

b)i

01


9/20

1,) 'ie urmatorul tabel simple5 al unei probleme de

programare liniara:

1 ! 2 0 0B CB 909 9 9 9 9

9! 2 1 0 2 1 1 1

91 1 1 1 1 0 2 1

E R c E 1 0 α 0 0 !

d ) α=3

1) " problema de programare liniara are urmetorul tabel

@imple5:

B C 92 1 ! 0

B 09 9 9 9

9! ! 2 0 1 1 1

91 2 1 1 1 0 !

E R c E f α 2 0 !

c ) f=3 α=1

13) " probl. /e programare liniara cu cerinte de minim are

urm.tabel @imple5:

B C 92 0 1 0

B 09 9 9 91 2 ! $

92 0 1 1 1 0 !

9! 1 ! 1 0 1 1

E R c E ! 1 0 0 1

(tunci solutia optima a problemei este: c) 50 =01!0)%


urm.tabel @imple5:

2 2 1 0B CB 909 9 9 9

92 2 2 0 1 2 1

91 2 1 1 0 1 2

E R c E f 0 0 1 ,

(tunci:c ) f=, si solutia optima este 50 =1200)

% ;d ) problema admite solutie optima unica.


urm.tabel @imple5:

1 2 1 0 0B CB 90

91 92 9! 9$ 9&92 2 ! 1 1 0 1 1

9! 1 1 $ 0 1 2 1

E R c E & 0 0 0 !

b) #ectorul 9! #a iesi din baa;d) problema are o infinitate de solutii optime.

21) Care din elementele urm.tabel @imple5 nu sunt corecteQ

B C 92 1 ! 0 0

B 09 9 9 9 91 2 ! $ &

9! ! 1 2 0 1 1 1

92 1 2 1 1 0 1 1

E R c E ! ! 0 0 $ 2

b) diferentele 1c1 si &c&;c ) #aloarea functiei obiecti#.

22) n urm.tabel @imple5 pt o problema de transport cu

cerinte de minim:

2 1 2 0 0B CB 909 9 9 9 9

91 2 ! 1 1 2 0 1

9$ 0 1 0 ! 1 1 !

E R c E , 0 1 2 0 2

b) intra in baa 9! sau 9& ;

c) iese din baa 9$ daca intra 9& ;

2!) n tab.@imple5 de mai Eos cu cerinte de minim pentru

functia obiecti#

2 2 ! 0

B CB 90 91 92 9! 9$9! 0 ! 1 0 1 1

91 2 1 2 1 2 0

E R c E 2 , 0 α 0

c) α=1 si problema admite optim infinit.

2$) n tabelul simple5 de mai Eos

2 2 1 1 0 0B CB 90

9 9 9 9 9 91 2 ! $ & ,

92 $ 1 0 0 1 0 1

!1 1 0 1 1 0 0 1910 ! 0 1 0 2 S 1

E R c E f 0 α 1 0 1

constantele f α S au urmatoarele #alori:

c) f= α=1 =0 S =1

2&) n faa a metodei celor 2 fae #aloarea optima a

functiei artificiale g5a)=1 . (tunci:

b ) problema initiala nu are solutie.

2,) 'unctia artificiala din metoda celor doua fae:

a) depinde doar de #ariabilele artificiale introduse;c) are coeficientii #ariabilelor artificiale egali cu 1.

2) 9robl artificiala se ataseaa unei probl de programare:

b) in forma standard;d) pentru determinarea unei solutii de baa admisibile a

problemei initiale.

1 2 ! $ &

1 2 ! $

1 2 ! $1 2 ! $ &


10/20

1 2 ! $ &

& 1& /2 1

23) /in tabelul @imple5 de mai Eos pt o problema de

programare liniara cu cerinte de minim:

1 2 ! 0 0B CB 909 9 9 9 9

9! ! , ! 0 1 1 2

91 2 $ $ 1 0 1 $

E R c E 2, 0 0 0 & 2

d ) 50 =0$,00)%

solutie optima dar nu este unica.

26) /in tabelul @imple5 de mai Eos pt o problema de


2 1 ! 0 0B CB 909 9 9 9 9

9!! $ 0 1 1 0 12 1 1 1 0 0 2

910 ! 0 2 0 1 1

E R c E 1$ 0 0 0 0 1

a) 50 =10$!0)%

este solutie optima.

c) problema are o infinitate de solutii optime.

!0) n tabelul @imple5 de mai Eos pt o problema de


B C 92 0 1 0 091 92 9! 9$ 9&

9! 1 ! 2 0 1 2 2

91 0 1 ! 1 0 1 !

E R c E ! $ 0 0 2 2

a) poate intra in baa 9$ sau 9& ;

b) #a iesi din baa numai 92 ;

d solutia de baa admisibila asita este 50 = 0 1 ! 0 0% .

!!) n reol#area unei probleme de transport metoda

costului minim se aplica pt determinarea:

c) unei solutii de baa admisibile initiale.

!$) Cantitatile Tij din criteriul de optim al problemelor de

transport se calculeaa pentru:

c) celulele nebaice.

!&) ntro problema de transport ciclul celulei care intra in

baa este:

a) 511 .

!,) @olutia unei probleme de transport este optima daca:

c) ) Tij D 0.

!6) " solutie de baa admisibila a unei probleme detransport este degenerata daca:

b) ) 5iE = 0 cu iE) celula baica.

$1) " solutie de baa admisibila a unei probleme detransport cu 2 depoite si & centre de desfacere estedegenerata daca are:

b) componente egale cu 0;

c ) cel mult & componente nenule.!1) 9roblema de transport de forma:

C1 C2 C!

1 ! 2 2/10

$ 2 1 2/20

1 2 2/! α

!0 20 1&

c) echilibrata daca α=2&.

!2) @olutia de baa admisibila a unei probleme de transport

este data de tabelul:

C1 C2 C! C$

/12 1 ! 2

!01& α

/21 $ 1 !

20

& 2 2 1/!

!0!0

1& 20 1& !0

(tunci: c ) α = 1& = 0.

!) " solutie de baa admisibila a unei probleme de

transport este data de tabelul.

C1 C2 C!

2 1 !/1

10 10

1 $2

2& &

! 2 &/!

1&

a) cantitatea totala

de marfa care trebuie transp este ,& u.m.

d) T1! =$.

1 2 ! $ &


11/20

!3) 'ie problema de transport data de urmatorul tabel:

C1 C2 C!

2 ! ! 2/1

0

$ ! 2 2/2

0

1 & 2 !/!

0

1& !& 20

(plicand metoda cosPului minim se determina mai intai

#aloarea lui : c ) x!1 .

$0) 'ie problema de transport:

C1 C2

/12 1 2

0

1 ! 2/20

10 10

(tunci problema:d ) este neechilibrata.

$2. @olutia optima a unei probleme de transp es te unica daca

cantitatile Tij corespunatoare acesteia sunt toate:

b) strict negati#e.

$!) @olutia unei probleme de transport este optima daca:

c ) ) Tij D 0.

$&) ntro problema de transport #a intra in baa #ariabila

xij corespunatoare cantitatii Tij data de relatia:

b) Tij ma5K kl 0L

$$) 'ie solutia de baa admisibila a unei probleme detransport data de tabelul:

C1 C2 C!

2 1 !/1

1& &

/21 $ 2

10 20

(tunci T21 se calculeaa dupa relatia:

c) T21 =1A2=1A$

$,) @olutia de baa initiala a unei probleme de transport este

data de tabelul:C1 C2

1 2/1

20

(tunci #aloarea/2

1 !

functiei obiecti# f 10 &corespunatoare 2 2acestei solutii este: /!b ) f=,&

$3) ntro problema de transport #ariabila 511 intra in baa

si are urmatorul ciclu:

(tunci: c) 10

d) 5 21 iese din baa.

$) ntro problema de transport cu m depoite si m centrede desfacere #ariabilele nebaice ale unei solutii de baaadmisibile sunt:

b ) toate egale cu 0;

d ) in numar de m2

2m 1 .

$6) ntro problema de transport notiunea de ciclu seataseaa:b ) celulelor nebaice.

&0) Coeficientii functiei obiecti# a unei probleme detransport oarecare sunt:c ) numere negati#e.

&1) 9t o prolema de programare liniara care din urmatoarele afirmatii sunt ade#arate:

a) o solutie de baa admisibila este punct e5trem al multimii solutiilor admisibile;

b ) un punct e5trem al multimii solutiilor admisibile este o solutie de baa admisibila.

&2) ntro problema de programare liniara se folosesc #ariabilele de compensare cand:

a) restrictiile sunt de forma HDH;

b ) restrictiile sunt de forma G>H.

&!) " solutie de baa admisibila are componente:

a) negati#e.&$) " problema de programare liniara cu cerinte de minim

are mai multe solutii optime daca:

a) z j c j 0 si e5ista #ectori P j care nu fac parte din

baa cu z j c j 0 care au si coordonatele strict

&&) " problema de programare liniara cu cerinta de minim

pentru functia obiecti# admite optim infinit daca:

a) e5ista #ectori P j cu toate coordonatele negati#e care nu

fac parte din baa si pentru care z j c j 0 .

&,)n forma standard o problema de programare liniara

are:a) numarul restrictiilor cel mult egal cu al necunoscutelor

&) /aca matricea unei probleme de programare liniara in

forma standard are rangul egal cu nr. restrictiilor atunci:b ) restrictiile sunt independente.

&3) 9entru a aduce o problema de programare liniara la

forma standard se folosesc #ariaile:b) de compensare.

&6) @olutiile admisibile ale unei probleme de programare ,0) @olutiile de baa admisibila ale unei probleme de ,1) " solutie de baa admisibila are numai componente:


12/20

liniara formeaa totdeauna o multime.c ) con#e5a.

programare liniara formeaa o multime:a) finita.

a) nenegati#e.

,2) 9entru aplicarea algoritmului @imple5 solutia de baa

initiala a unei probleme de programare liniara trebuie sa fie:

a) admisibila.

,!) " solutie de baa admisibila a unei probleme de

transport cu m depoite si n centre m*n) are:

a) cel mult mAn1 componente nenule.

,$) 9entru o problema de transport care din urmatoarele

afirmatii sunt ade#arateQ

a) admite totdeauna o solutie de baa admisibila;c) are totdeauna optim finit.

,&) ntro problema de transport metoda perturbarii se

aplica atunci cand:

a) solutia initiala este degenerata;b ) pe parcursul reol#arii se obtine o solutie degenerata.

,,) " problema de transport pt care e5ista ij 0 pt o

#ariabila nebaica a solutiei optime are:b ) mai multe solutii optime.

,) -etoda grafica de reol#are a problemelor de

programare liniara se aplica pt probleme:

c) cu doua necunoscute.

,3) 9entru o problema de programare liniara multimea @( asolutiilor admisibile si multimea @(B a solutiilor admisibile

de baa satisfac relatiile:

c) S A S AB

d ) S A S AB S A

,6) " problema de programare liniara poate a#ea:

a) optim finit sau nu) sau nici o solutie admisibila.

0) 9entru a aplica algoritmul de reol#are a unei problemede transport trebuie ca:

b) problema sa fie echilibrata si sa a#em o solutie de baa

initiala nedegenerata.

1) 9t a reol#a o problema de transport neechilibrata:

a) se introduce un nou depoit daca cererea este mai mare

decat oferta;b ) se introduce un nou centru daca cererea este mai micadecat oferta.

2) 9entru o problema de programare liniara care dinurmatoarele afirmatii sunt ade#arate:d ) multimea solutiilor admisibile este con#e5a.

!) ntro problema de programare liniara nu se folosesc#ariabile de compensare cand:c) restrictiile sunt de forma G=H

d) sistemul initial de restrictii este in forma standard.

$) " problema de programare liniara de minim are mai

multe sol. optime daca a#em satisfacut criteriul de optim si:b ) e5ista #ectori 9E care nu fac parte din baa cu

z j

c j

0 care au coordonate poiti#e.

&) " problema de programare liniara de minim admite

optim infinit daca:a) criteriul de optim nu este satisfacut si #ectorii din afara

baei au toate coordonatele negati#e.

,) " problema de programare liniara de minim admite

solutie optima unica daca:a) criteriul de optim este satisfacut si toti #ectorii din afara

baei au diferentele z j c j 0 ;

c) criteriul de optim este satisfacut si #ectorii din afara baei

cu diferentele z j c j 0 au coordonatele negati#e.

) n forma standard o probl. de programare liniara are:

a) numarul restrictiilor cel mult egal cu al necunoscutelor;b ) restrictiile de tip ecuatie.

3) /aca matricea unei problema de programare liniara in

forma standard are rangul egal cu nr. restrictiilor atunci:b ) restrictiile sunt idependente.

6) 9entru a aduce o problema de programare liniara la

forma standard se folosesc:b) #ariabile de compensare.

30) @olutiile optime ale unei probleme de programareliniara formeaa totdeauna o multime:

c) con#e5a.

31) " solutie de baa admisibila nedegenerata areintotdeauna componentele principale:

b ) stricti poiti#e.

32) " probl. /e transport cu ! centre si $ depoite aresolutia de baa initiala nedegenerata daca aceasta are:

b) , componente poiti#e.3!) " problema de programare liniara poate fi reol#ata cu

algoritmul @imple5 numai daca:

a) este in forma standard.

3$) 9entru a reol#a o problema de transport trebuie ca:

b ) problema sa fie echilibrata.

3&) -etoda celor 2 fae se aplica:

b) 9entru determinarea unei solutii de baa admisibile a

problemei initiale;d) cu o functie obiecti# diferita de functia initiala.

3,) " problema de transport: a) are intotdeauna solutie optima finita; c) poate a#ea mai multe solutii optime.

3) 9entru a determina solutia initiala a unei probleme de

transport:

a) se aplica metoda diagonalei;d ) problema trebuie sa fie echilibrata.

33) 9entru aplicarea algoritmului @imple5 este necesar ca:

b ) sistemul in forma standard sa aiba cel putin o solutie de

baa admisibila.

36) @olutia unei probleme de transport este optima daca:

b) toate cantitatile ij 0

60) Criteriul de optim al unei probleme de programare de

minim este satisfacut daca:

a) toate diferentele z j c j 0 ;

d ) toti #ectorii 9E din afara baei au diferentele z j c j 0 .

61) " problema de transport are optim infinit:

b ) niciodata.

62) " problema de transport are intotdeauna:

a) optim finit;b ) cel putin o solutie de baa admisibila.


13/20

6!) 'unctia obiecti# a problemei artificiale are:

a) totdeuna optim finit;d ) coeficienti negati#i.

6$) /aca functia artificiala are optim strict poiti# atunci;

a) problema initiala nu are solutii;b) in baa au ramas #ariabilele artificiale.

6&) ntro problema de transport coeficientii functiei

obiecti# repreinta:c ) cheltuieli de transport.

6,) ntro problema de transport #om a#ea costuri detransport egale cu 0 daca:b ) problema initiala este neechilibrata.

6) ntro problema de transport #a intra in baa #ariabilacorespunatoare lui:

a) ij 0 ma5im.

63) Ciclul unei celule nebaice este format:

a) din cel putin $ celule;

c ) dintrun numar par de celule.

66) 9roblemele de transport: a) sunt cauri particulare de probleme de programare liniara; c) au numai optim finit.

100) ntro problema de transport criteriul de iesire se aplica: b) celulelor cu numar par din ciclul celulei care intra in baa.I. SERII N!MERI"E. SERII DE P!ITERI

n n 1 n 1

1) 'ie seria an con#ergenta. (tunci asociind termeniin 1

in grupe finite:

b ) seria ramane con#ergenta;d ) suma seriei nu se modifica.

2) Care din urmatoarele operatii poate modifica natura uneiserii di#ergente:

a) asocierea termenilor seriei in grupe finite.

!) @uma unei serii con#ergente se modifica at. cand:

b) adaugam un nr.finit de termeni;

c) suprimam un nr. finit de termeni ai seriei;

d) inmultim termenii seriei cu un scalar ennul.

$) 'ie seria numerica an an ¡ .Care din afirmatiilen 1

de mai Eos sunt ade#arate:

a) daca an con#erge atuncilim an 0 ;n

n 1

d) daca lim an 0 atunci seria a di#erge.n n

n 1

&) 'ie S n )n ¥ sirul sumelor partiale atasat seriei ann 1

/aca lim S n 2 atunci:n

a) seria con#erge;d) seria are suma @=2

,) 'ie S n )n ¥ sirul sumelor pariale atasat seriei an sin 1

lim S n

S . (tunci seria:n

a) con#erge daca S ;

d) con#erge daca @=1.

) 'ie seria geometrica an

cu a0. (tunci seria:

n 0

a) con#erge pentru U 4 11);

3) @eria armonica generaliata1

este o serie:a

n 1 nb) di#ergenta daca α*0;c) con#ergenta daca α+1;

d) di#ergenta daca α=1.

6) 'ie S n )n ¥ sirul sumeolor partiale atasat unei serii de

termeni poiti#i an an 0 ). (tunci sirul S n )n ¥n 1

este intotdeauna: ) monoton crescator.

V10) 'ie seriile cu termeni poiti#i an si bn astfel incat an bn )n ¥

n 1 n 1

.(tunci:

a) an con#erge daca bn ; d ) bn di#erge daca an di#erge.n 1 n 1 n 1 n 1

111) 'ie seria cu termeni poiti#i an an 0 si seria armonica . (tunci:

n 1 n 1 n1

b) an di#erge daca an .n 1 n

12) 'ie seriile cu termeni poiti#i an si bn . /acan 1 n 1

lima

n 1 atunci:n b

a) daca an ! ) bn ! ) ;n 1 n 1

1!) Criteriile de comparatie se aplica seriilor:

b) cu termeni poiti#i. 1&) 'ie seria a a 0 . /aca lima

n 11

atunci:n n n a 2n 1 n

a) lim n a1

nn

2

b) an

con#erge.n 1

1$) 'ie seriile de termeni poiti#i an si bn care

an

satisfac relatia lim k .(tunci:n bn


14/20

n n n n n n

un

an

an

.

!1) @eria de puteri a xn

a ¡ are lim a n 1

1 .b ) daca an ") reulta an ") ; c) =0 reulta an di#erge;

(tunci:

b) lim nn

n nn

n 1 n

an 1; c) seria con#erge pentru 5 4 11)

n 1

c ) an =n 1

n 1

an .

n 1

n 1

d) =! reulta ann 1

con#erge.

!2) @eria de puteri a xn a ¡ are limita

!!) @eria de puteria x x )

n cu a ¡ are

!$) @eria de puteri an x1 are raa de con#ergenta

lim n an

n n

n 1

0 . (tunci:a

n 1

n 0 n

n 1

r=1. (tunci seria:n

b ) seria con#erge pentru ) x ¡ ;

limn a

n

. (tunci seria:

c ) con#erge pentru 5 20); d ) di#erge daca 5 ! )

b) daca bn ") an ") .n 1 n 1

a) daca I 4 01) seriile au aceeasi natura.

b) I=2 si an ! ) bn ! )

.n 1 n 1

c) I=1 si bn ") an ") .n 1 n 1

1) 9entru seria a a 0 a#em lima

n 1.n n n an 1 n

(tunci :

c) daca 2 an di#erge.n 1

1d) daca 0

2a

n con#erge.n 1

1,) 'ie seria cu termeni poiti#i an si notam cun 1

a

n 11

lim si 2 limn a

n . (tunci:n ann

c) 1 2 ; d) daca 2 2 1 2 .

13) 9entru seria cu termeni poiti#i an a#emn 1

lim n an

2 . (tunci:n

an 1

c) an

di#erge; d) lim 2n 1

n an

an16) 'ie an an 0 astfel incat lim 1 2 .

n 1 an 1n

(tunci :

a) an con#erge.n 1

an20) 'ie an an 0 astfel incat lim 1 .

n 1n an 1

(tunci:

d ) daca 1 2) an ! )n 1

21) @eria cu termeni poiti#i an are sirul sumelor n 1

partiale S n )n ¥ marginit. (tunci:

a) an con#erge;n 1

b ) sirul S n )n ¥ con#erge.

22) n aplicarea criteriului lui Waabe/uhamel seriei ann 1

an 0 se cere calculul limitei:

ac) lim

n 1 .n an 1

2!) 'ie seria alternata 1)na cu a 0 . Criteriul luin n

n 1

eibni afirma ca seria:

a) con#erge daca an + 0 monoton descrescator.

2$) 'ie seria 1)n 1

a a 0 astfel incat lim an =0.n 1

(tunci seria con#erge daca:

b ) an n ¥ este monoton descrescator.

2&) @eria u este o serie alternata daca :n 1

b) un gu 1 0 )n ¥ ;

d) 1)n 1

0

2,) 'ie seria de termeni oarecare a a ¡ . Care dinn 1

urmatoarele afirmatii sunt ade#arateQ

b) daca an ! ) an ! )

;n 1 n 1

c) daca an ") an ! ) .n 1 n 1

an 1 12) 'ie seria an an ¡ astfel incat lim

a 2. (tunci:

nn 1 n

1a) seria an con#erge; b) seria an con#erge; c) lim

n an

n 1 n 1n 2

23) " serie cu termeni oarecare an an ¡ sen 1

numeste semicon#ergenta daca:

b ) an ! ) si an ")

n 1 n 1

26) 'ie seria cu termeni poiti#i an an 0 . (tunci:n 1

a) daca an ! ) reulta an ! ) ;n 1 n 1

!0) @eria cu termeni poiti#i an are limitan 1

alim n n 1 . (tunci daca:n a

n 1

a

n


15/20

an 1

d ) lim 0 .c ) are raa de con#ergenta r=0;

d) con#erge numai inXpentru 5=50.n a

n

n n

an 1 1

!&) @eria de puteri an x x

0)

n 1

are lim n an 0n !,) @eria de puteria

n x x

0)

n 1

are raa de !) 'ie seria de puteri a xn

n 1

cu limn a

n

. (tunci2

(tunci seria:

d) con#erge ) 5 R .

n x

con#ergenta r +0. (tunci teorema lui (bel afirma ca seria

con#erge pe inter#alul:

b) 50r50Ar)

n

b) raa de con#ergenta este r=2;

d) seria di#erge )5 2) 2A )

n x!3) 'ie seria de puteri 1

n 1

. (tunci coeficientiin

!6) 'ie r raa de con#ergenta a seriei de puteri an x .n 1

$0) @eria de puteri 1n 1

are raa de con#ergentan

seriei sunt dati de relatia:

n 1(tunci seria:

a) con#erge ) 5 R daca r = A ;

r=1. (tunci domeniul ma5im de con#ergenta a seriei este:

b ) 5 11<c) a

n1

nc) con#erge intotdeauna in 5 = 0.

$2) @eria %aPlor atasata unei functii f5) in punctul 50:$$) 'ie f : I ¡ ¡ o functie oarecare. Care din

$1) 'ie seria de puteri a xn

a carei raa den 1

b) este o serie de puteri; n )

conditiile de mai Eos sunt necesare pt ai atasa acesteia o

con#ergenta este r + 0 finita. (tunci:

a) seria con#erge ) 5 rr)1

d) are coeficientii de forma an

f x0)

.

nO

serie %aPlor in punctul 50:

a) obligatoriu 50 ;

b) f5) admite deri#ate de orice ordin in 50.

c) lim n an

;n r $!) @eria -acaurin atasata unei functii f5): $&) Coeficientii numerici ai unei serii -acaurin atasate

unei functii f5) au forma:

d) limn

an 1

an

lim n an .n

c ) este o serie de puteri centrata in 0;

d ) este un ca particular de serie %aPlor.b) a

n f n )

0)

n O

$,) @eria de puteri a xn

n 1

satisface proprietatea lim ann

1 . (tunci seria: c) con#erge ) 5 11)

$3) 9entru a studia con#ergenta unei serii alternate se

$) @eria de puterin 1

1 n xn : aplica:c) criteriul lui eibni.

$6) @eria de puteri a xn este con#ergenta pe R numain 1

c ) are raa de con#ergenta r =1;

d) con#erge ) 5 11)

daca:

b) raa de con#ergenta r = A ;

n

n n

n

n

n


16/20

n n nn 1 n

n n

nn

n n 1

n

n 1 n

a

c) lim n an 0.n

n&0) @eria de puteri an x x0 ) con#erge numai in 50

n 1

daca si numai daca:

a) raa de con#ergenta r=0;

c) lim n an A .n

&1) 'ie seria numerica an

pentru care lim an = 0.n

n 1

(tunci seria:

d) nu se poate precia natura seriei.

&2) /aca pentru sirul numerelor partiale lim S n 1 atuncin

seria an

:n 1

a) este con#ergenta si are suma @=1.

&!) /aca pentru seria an an 0 sirul sumelor partialen 1

este marginit atunci seria:

a) este con#ergenta.

an 1 a&&) 'ie seria a a 0 si lim n 1 1 .n a

(tunci seria:

a) este di#ergenta daca =0;

d) este con#ergenta daca = A .

&$) 'ie seria an an 0 si lim . (tunci serian 1 n

b) con#erge daca *1;

c) con#erge daca =0

n&,) 'ie seria 1 an an 0 si

lim an =0. (tunci

n 1

seria:

c) este con#ergenta daca an an 1 pentru price n ¥ V .

&) 'ie seria an

si lim an =1. (tunci seria:n 1

d) nu se poate precia natura seriei; se aplica criteriul lui

Waabe/uhamel.

&3) @eria an este di#ergenta daca:n 1

b) lim an =1n

c) lim an = A .n

&6) 'ie seria an

an

0 si lim a . (tunciseria:

n

nn 1

b ) este di#ergenta pentru +1.

1c) este con#ergenta pentru .

2d ) este di#ergenta daca = A .

a,0) 'ie seria a cu lim 1 =0. (tunci seria:

n 1n a

n 1

b) este di#ergenta pentru an 0 .

a,1) 'ie seria a x

nsi lim 0 . (tunci seria:

n an 1 na) este con#ergenta ) 5 R .

n n,2) 9entru seria an x a#em lim an = . (tunci

nn 1

raa de con#ergenta r este:

1a) r= ; c) r=0 daca = A ; d) r=1 daca =1.

n,!) @eria a

n x are raa de con#ergenta r=0. (tunci

n 1

seria:

a) este con#ergenta numai in 5=0.

,$) /aca seria a x x )n

are raa de con#ergenta r=on 0n 1

atunci seria:

b) este di#ergenta ) 5 R YK50L;

c) este con#ergenta numai in 5=50.

na

n 1,&) @eria an x x0 ) are lim 0 . (tunci seria:n a

a) este con#ergenta ) 5 R

,,) 'ie seria numerica an

. (tunci seria:n 1

c) di#erge daca lim an 0.n

,) " serie cu termeni poiti#i:

b) este di#ergenta daca termenul general nu tinde la 0;

c) are totdeauna sirul numerelor partiale crescator.


17/20

,3)'ie seria an

ann 1

0 si . (tunci serian

0) " serie cu termeni poiti#in

n :

n 1

&) @eria de puteri an x are lim an . (tunci

n

n n n

. F!N"TII REALE DE N ARIABILE

1 2 1 2 1 2

n n ¥ n n ¥ n n ¥

nn n

. (tunci1

d) di#erge numai daca toate sirurile de coordonte di#erg.

lima

n 1

n a

a) di#erge daca 2 ;

b) con#erge daca 1 .

an,6) 'ie seria a

n an 0 si lim 1 .n 1

an 1 n

(tunci seria este di#ergenta daca:

1b) ;

2d ) .

a a 0n 1

a) con#erge daca lima

n 1 0 ;n an

b) di#erge daca lim an =1;n

c) di#erge daca lim an = A .n1) @eria a

n an 0 este:

n 1

a) con#ergenta daca limn

a 0 ;n n

b) di#ergenta daca limn a 2;

nn

c) con#ergenta daca limn a 1.

nn

an2) 'ie seria an

cu lim n 1 0. (tunci serian 1

n a

b ) este di#ergenta daca an 0 .

!) " serie de puteri a xn

are raa de con#ergenta r=2.nn 1

(tunci seria:

a) con#erge pt 5 22)d) di#erge daca 5 +2.

$) " serie de termeni poiti#i an an 0 :n 1

an 1

b) di#erge daca lim 2 ;n a

d ) di#erge daca lim n a 2.n n

n n

nn 1

seria:

b) con#erge numai pentru 5=0;

d) di#erge pentru 5 0.

,) 'ie o seria oarecare cu termeni poiti#i an an 0n 1

si lima

n 1=1. (tunci:

n an

a) lim n a 1; c) Waabe/uhamel pt a det. natura seriein n

1) @eria armonica generaliata cu α R :

n 1 n

b ) di#erge daca α *1;

d ) con#erge daca α = 2.

n3) 'ie seria cu termeni alternanti 1) a

n a

n0 .

n 1

/aca lim an =1 atunci:nb) seria di#erge conform criteriului general de di#ergenta.

n6) @eria de puteri a

n x 1) are raa de con#ergenta

n 1

r=1. (tunci seria:

b) di#erge pentru x 2) 0 ) ;

d) con#erge pentru 5 20).

30) @eria de puteri a x 1)n

are raa de con#ergentan 1

r=1. (tunci seria:

b) di#erge pentru x 0) 2 ) ;

c) con#erge pentru 5 02).

31) @eria de puteri a x 1)n

are raa de con#ergentan 1

r= . (tunci seria:

c) con#erge pentru 5 R .

32) @eria de puteri a xn

are raa de con#ergenta r =0.n 1

(tunci seria:

b) con#erge numai pentru 5=0;d) di#erge ) 5 R.

1) 'ie punctele 9111) 9222) R 2. (tunci distanta dintre

ele este egala cu:

c) d9192) = 2 .

2) 'ie punctele 915152) si 92P1P2) R 2.(tunci distanta

b) d9192)= x x )2

y y )2

.

!) 'ie 95152) R 2; (tunci distanta de la "00) la 9 este:

b) d"9)= x2

x2 .

$) 'ie sirul x ) ¡2

cu termenul general de forma

x1

n

) limita sirului este 50=01)

&) 'ie sirul x ) ¡2

cu termenul general

n 1 n

xn

nn 1

.(t.: b)sirul di#ergeXlimita 50=0 )

,) 'ie sirul de puncte x ) ¡n

. (tunci sirul:

b ) con#erge daca toate sirurile coordonatelor con#erg;

) 'ie f5P) o functie de 2 #ariabile si notam cu lg limita globala respecti# l1l2 limitele partiale ale acesteia intrun puct 50P0). Care din urmatoarele afirmatii sunt ade#arate:

a) daca ) lg atunci ) l1l2 si l1=l2=lg; c) daca )l1l2 si l1l2 atunci nu e5ista lg.


18/20

b) 0 0 . x y x y d) .

2 2

2 y 2 x y y

2

3) 'ie f : " ¡2

¡ si 50P0) /. (tunci deri#ata partiala a lui f5P) in raport cu #ariabila 5 in punctul

50P0) se calculeaa cu relatia:

f x y ) lim

f x y0) f x

0 y

0)

x x x0 x x0

x2

6) 'ie functia f5P)= y

. (tunci:

f 2 x f x2

a) ; d)2

.

10) /eri#atele partiale ale functiei f5P)=ln5P) sunt:

f 1b) ;

x x

f 1

x y

11) 'ie functia f5P)=5P2 care din urmatoarele egalitatisunt corecteQ

2

b) f

y2

; d ) f

0 . x x2

12) /iferentiala de ordin a functiei f5P)=5P2 calculata in punctul 9012) are e5presia:

c) df90)=$d5A$dP

1!) /iferentiala de ordin a functiei f5P)=5P2A25!P in punctul 9011) are e5presia:

b) df90)= d5A$dP.

1$)/iferentiala de ordin a functiei f5P) = 5eP

are e5presia

c) df5P) = ePd5 A 5e

PdP;

1&) 'ie 5P) oo functie care satisface criteriul lui @chZart2

si care are f

xy 2

. (tunci: x y

2

b ) f

xy 2

y x

, x 21,) 'ie [5P)= hessiana atasata functiei f5P).

2 , y

/aca 9121) si 9221) sunt puncte critice ale lui fatunci

c ) 91 nu este punct de e5trem iar 92 este punct de ma5im;

1) 9unctele critice ale functiei f5P) C2R 2) se obtin:

f0

xc) reol#and sistemul

f

.

0 y

13) 'unctia f5P) are deri#atele partiale ordinul de forma:

2 ln y 2 y2 x

f f yb )

x y y x; d) [5P)=

x x2

2 f x

2

c) 2 x y

2 y

2

f : ¡2

¡16) 'unctia are:

f x y) xy 1

c) un singur punct critic;

0 1d) hessiana de forma [5P)= .

1 0

f : ¡2

¡20) 'unctia are:

f x y) x y 1

b ) nici un punct critic.

221) 'ie [90)=

1hessiana atasata functiei f5P) in

punctul critic 90. (tunci 90:

a) este punct de minim local daca α= =1;

c) nu este punct de e5trem local daca α=1 si =2.

22) 'ie 90 un punct critic al functiei f5P) s i hessiana

! 2corespunatoare acestuia de forma: [90)=

2 1.

(tunci 90 #a fi punct de minim pt functia f daca:

! 1c) α= ; d) α= .

2 2

2!) [essiana functiei f5P) in punctul critic 90 este deforma [90)=

1. (tunci 90 este punct de ma5im

local pentru f daca:Ni c i # $ a

2$) [essiana functiei f5P) in punctul critic 90 are forma:2 2

[90)= . 90 de minim local pt f daca:2

2

b) α+2 si α!

+0;

2&) /aca functia f5P) are deri#atele partiale de ordin de f x x 2 y 1)

xforma

f atunci f are:

y2 x y 1) y

d ) patru puncte critice.

22,) 'ie [90)= hessiana functiei f5P) in

2 1

punctul critic 90. (tunci pentru :

b ) α=$ nu se poate precia natura lui 90;

1c) α= 90 nu este punct de e5trem local;

2d ) α=! 90 este puct de minim local.

2) [essiana atasata functiei f5P) are forma [5P)=! 22 y , xy

; (tunci diferentiala de ordin a funtiei, xy

2, x

2 y

2

are forma:

c) #2 f x y) 2 y

!#x

212 xy

2#x#y , x

2 y

2#y

2

23) /iferentiala de ordin a functiei f5P) are forma

df5P)=5AP)d5A5A2)dP. (tunci functia f5P);

c) are punctul critic unic 922)

26) 'ie [5P)=2 y 2 x

hessiana atasata functiei f5P).2 x 0

(tunci diferentiala de ordin a functiei f are forma:d) #

2 f x y) 2 y#x

2$ x#x#y


19/20

b ) df 5P)=Pd5A5A2P)dPAP22;

2 y 2 x!0) 'ie [5P)=

2 x 0hessiana atasata functiei f5P).

/aca 9111) 9211) sunt punctele critice ale lui f atunci

c ) 9192 nu sunt puncte de e5trem local.

1 0 0

!1) 'ie [90)= 0 0 hessiana corespunatoare0 0 1

functiei f5P) in punctul critic 90. (tunci:

a) 90 este punct de minim local daca α+1;

1c) 90 nu este punct de e5trem local daca α = ;

2d ) 90 este punct de minim local daca α=2.

!2) 'ie 90 punct critic al functiei f5P) si

#2 f P ) 2#x

2#y

2. (tunci:0

c) 90 nu este punct de e5trem local.

!$) ) 'ie 90 un punct critic al functiei f5P) si2 2 2 2# f P

0) #x $#y # z . (tunci:

a) 90 este punct de minim local.

!!) 'ie 90 un punct critic al functiei f5P) si

#2 f P ) $#x

2#x#y #y

2. (tunci:0

a) 90 este punct de minim local.

!&) 'unctia f5P) are deri#atele partiale de ordin de forma f

x2

! x 2 respecti# f

y 2

1 . (tunci numarul x y

punctelor critice ale lui f este: d ) $.

!,) /iferentiala de ordin a functiei f5P)=5PAP2 areforma:

!) /iferentiala de ordin a functiei f5P)=5P are forma:

c) df5P)=Pd5A5dPA5Pd;

!3) 'unctia oarecare f5P) satisface conditiile din criteriul

lui @chZar. (tunci au loc egalitatile: 2

f2 f

2 f

2 f

b) ; d) . x z z x y z z y

x2

y 2

x y!6) 'ie functia f5P)=

x ysi

l 1

lim lim f x y) l 2 lim lim f x y) limitele x 0 y 0 y 0 x 0

iterate ale functiei in "00). (tunci:d) l1=1 l2=1.

$0) 'ie functia f5P)=e5P

.(tunci:

f xyc) ye . x

2 0 1

$2) 'ie [90)= 0 1 1 hessiana atasata functiei

1 1 1

f5P) in punctul critic 90. (tunci:

c) 90 nu este punct de e5trem local.

$1) 'ie functia f5P)= e5AP

. (tunci:

d) f

e x y

. x

$!) 'ie functia f5P)=5APA. (tunci:b ) functia f nu are puncte critice;

c) functia f nu are puncte de e5trem local.

$$) /aca 9050P0) este punct critic pentru functia f5P)

atunci:

f f b)

x P

0) 0 si

y P

0) 0 ; c) df90)=0

$&) 'ie [90)= hessiana atasata functiei f5P) in0

punctul critic 90. (tunci daca: Nici #$a

$3) -etoda multiplicarilor lui agrange se foloseste la

determinarea punctelor de e5trem local in caul functiilor:

d) ale caror #ariabile sunt supuse la o serie de legaturi.

2 y!

, xy$,) 'ie [5P)=

xy2

, x2 y

matricea hessiana atasata

functiei f5P). (tunci daca functia f5P) satisface criteriul

lui @chZar a#em:a) α=! =,;

2 y 2 x

$) 'ie [5P)= x 0 ! z 2

hessiana atasata

0 z 2

, yz

2 !functiei f5P)= x y yz . /eoarece f satisface criteriul

lui @chZar a#em: c) α=0 =2 =!.

$6) 'ie functia f5P)=52AP2 cu #ariabilele satisfacand

legatura 5AP=1. (tunci functia lui agrange atasata are

e5presia:

c) 5P)=52AP2A 5AP1)

&0) Criteriul lui @chZar afirma ca functia f5P) are:

c) deri#atele partiale mi5te de ordinul 2 egale.

&1) Care din urmatoarele afirmatii sunt ade#arate:

b) orice punct de e5trem local este punct critic;

c) in un punct critic deri#atele partiale de ordinul sunt nuled) punctele de ectrem local se gasesc printre pct. critice.

&!) " functie f : ¡n

¡ are intotdeauna:

d) numarul punctelor critice si de e5trem nu depinde de n.

&2) " functie f : ¡n

¡ are intotdeauna:

a) n deri#ate partiale de ordinul ;

d ) n2 deri#ate partiale de ordinul .

&$) [essiana atasata functiei oarecare f : ¡n

¡ :

a) este o matrice patratica de ordinul n;

d) este formata cu deri#atele partiale de ordin ale functiei

&&) 9unctul 90 R n

este punct critic pentru functia

f : ¡n

¡ daca deri#atele partiale:c) de ordin se anuleaa in 90.

&,) 'ie f : ¡2

¡ . Criteriul lui @chZar afirma ca: &) Criteriul luii @chZar implica faptul ca functia

f : ¡ n ¡ are:a) matricea hessiana simetrica;

&3) " functie oarecare f : ¡n

¡ are:

d) numarul punctelor critice si de e5trem nu depinde de n.


20/20

2 f

2 f

a) ; d) deri#. part.de ordin continue x y y x

b) deri#atele partiale de ordinul mi5te egale.

&6) /aca punctul 90 este punct de ma5im pentru functia f

atunci:

b ) d2f90) este negati# definita

d ) 90 este punct critic pentru f.

,0) /aca punctul 90 este punct de minim pentru functia f

atunci:

a) d2f90) este poiti# definita;

d) 90 este punct critic pentru functia f.

,1) /aca 1 2 sunt minorii diagonali ai hessienei [90)

atunci punctul critic 9050P0) este punct de minim daca:

a) 1 0 2 0 .

,2) /aca 1 2 sunt minorii diagonali ai hessienei [90)

atunci punctul critic 9050P0) este punct de ma5im daca:

d) 1 0 2 0 ;

,!) /aca 1 2 ! sunt minorii diagonali ai hessienei

[90) atunci punctul critic 9050P00) este punct de

ma5im daca:b) 1 0 2 0 ! 0 .

,$)/aca 1 2 ! sunt minorii diagonali ai hessienei

[90) atunci punctul critic 9050P00) este punct de

minim daca:a) 1 0 2 0 ! 0

,&) " functie oarecare f5P) are:

b ) 2 deri#ate partiale de ordinul si $ deri#ate partiale de

ordinul ;d ) 2 deri#ate partiale de ordinul mi5te dreptunghiulare).

,,) " functie oarecare f5P) are:

c) ! deri#ate partiale de ordinul si 6 deri#ate partiale de

ordinul ;d) , deri#ate partiale de ordinul 2 mi5te dreptunghiulare).

,) 9unctele critice ale functiei f5P);

f 0

yb) sunt solutiile sistemului

f0

y

Documents

(732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)