72368187 Curs ID Actualizat Matematici Aplicate

1

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn

Departamentul de Învăţământ laDistanţă şi Formare Continuă

Facultatea de Ştiinte Economice

Coordonator de disciplină:Lect. univ. dr. Doina-Constanta Mihai

2

2008-2009

Suport de curs – învăţământ la distanţăManagement, Anul I, Semestrul I

Prezentul curs este protejat potrivit legii dreptului de autor și orice folosire altadecât în scopuri personale este interzisă de lege sub sancțiune penală

ISBN 973-98725-6-5

UVTMATEMATICI APLICATE IN

ECONOMIE I

3

SEMNIFICAŢIA PICTOGRAMELOR

F= INFORMAŢII DE REFERINŢĂ/CUVINTE CHEIE

= TEST DE AUTOEVALUARE

= BIBLIOGRAFIE

= TEMĂ DE REFLECŢIE

= TIMPUL NECESAR PENTRU STUDIUL UNUI CAPITOLSAU SECŢIUNE

= INFORMA II SUPLIMENTARE PUTE I GĂSI PE PAGINAWEB A U.V.T. LA ADRESA www.didfc.valahia.ro SAUwww.id.valahia.ro .

http://www.didfc.valahia.ro/

http://www.id.valahia.ro/

4

Tematica cursului

1. Capitolul I. Dobânda simplă.

2. Capitolul II. Dobânda compusă.

3. Capitolul III. Plăţi eşalonate (Rente).

4. Capitolul IV. Operaţiuni de scont.

5. Capitolul V. Rambursarea împrumuturilor.

5

CAPITOLUL IDOBÂNDA SIMPLĂ

1. Cuprins2. Obiectiv general3. Obiective operaţionale4. Timpul necesar studiului capitolului5. Dezvoltarea temei6. Bibliografie selectivă7. Temă de reflecţie8. Modele de teste9. Răspunsuri şi comentarii la teste

Cuprins

� Noţiunile de dobândă, dobândă simplă, operaţiuni financiareechivalente în regim de dobândă simplă.

� Tehnica rezolvări problemelor cu operaţiuni financiare înregim de dobândă simplă.

� Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privind conceptulde dobândă simplă, a operaţiunilor financiare echivalente în regim dedobândă simplă.

� Obiective operaţionale: Însuşirea tehnicii şi a etapelor derezolvare a diverselor probleme cu operaţiuni financiare în regim dedobândă simplă.

= 2 ore

6

CAPITOLUL IDOBÂNDA SIMPLĂ

1. Noţiunea de dobândă, definiţia dobânzii simple.

1.1. Definirea noţiunii de dobândă simplă. Noţiunea de bază cu care se

operează în calculele financiare este noţiunea de dobândă.

Definiţia 1: Dobânda simplă este dobânda calculată asupra aceleiaşi sume de

bani pe toata durata unui plasament.

Dobânda produsă pe un an de zile, de o unitate monetară se numeşte dobândă

unitară şi se notează cu „i”.

Dobânda produsă pe un an de zile de o sută de unităţi monetare se numeşte

procent anual şi se notează cu „p”. Evident:

ip ×=100

Daca notam: S0 , suma iniţială, suma depusă sau împrumutată, cu t , timpul

estimat în ani, D , dobânda simplă produsă de S0 pe perioada „t”, atunci dobânda

simpla este direct proporţionala cu: suma iniţiala S0 , procentul anual p si durata

plasamentului t.

Propoziţie: Dobânda simplă ce revine sumei S0 , pe perioada „t” cu procentul

anual „p” este egală cu:

D = S0 i t

D = S0100

p t

Observaţii: 1. Dobânda simplă este o funcţie de trei variabile: suma iniţială

„S0”, durata plasamentului „t” şi dobânda unitara „i”.

2. Durata plasamentului este estimată în ani.

1 an bancar = 360 zile ; 1 zi =360

1 ani; t = n zile = n360

1 ani;

t = n luni = n121 =

12n ani; t = 1 semestru =

21 ani; t = 1 trimestru =

41 ani.

1. 2. Valoarea actuală şi finală

Dacă S0 este suma depusă iniţială, dobânda, D = S0 i t, va fi dobânda adusă de

această sumă pe durata „t” cu dobânda unitară „i”.

FDefiniţia

dobânzii simple

FElementele

dobânziisimple

7

Definiţia 2. Suma S = S0 + D se numeşte suma finală sau valoarea finală, adică

suma disponibilă peste „t” ani.

Sf = S0 + S0 i t

Sf = S0 (t + i t).

Definiţia 3. Suma iniţială S0 se numeşte valoarea actuală.

S0 = it+1Sf .

1. 3. Operaţiuni financiare echivalente în regim de dobândă simplă

a. Scadenţa comunăObservaţie: Durata „t” a unui plasament se mai numeşte şi scadenţă.

Fie 1S , 2S , ….. nS mai multe sume iniţiale plasate pe duratele 1t , 2t , ….. nt ,

respectiv, cu dobânzile unitare respective 1i , 2i , ….. ni , putem descrie aceste

operaţiuni financiare prin matricea A.

A =÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

n

n

n

iiitttSSS

.....

..........

21

21

21

În practica bancară apare necesitatea înlocuirii acestor plasamente cu unul

singur în care se cunoaşte suma iniţiala plasată S şi dobânda unitară „i”, şi se doreşte

să se afle scadenţa plasamentului (durata plasamentului) astfel încât dobânda să fie

aceiaşi cu cea a plasamentelor descrise de matricea A.

B =÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

itS

Definiţia 4. Se numeşte scadenţa comună înlocuitoare, durata t a

plasamentului S din matricea B, care înlocuieşte plasamentele descrise de matricea A,

astfel încât dobânda totală lui A să fie egală cu dobânda produsă de B. În acest caz

operaţiunile descrise de A şi B se numesc operaţiuni echivalente în dobândă simplă.

A » B Û D (A) = D (B) (1)

nnn tiStiStiS +++ ....222111 = S i t (2)

Noţiunea de bază cu care se operează în calculele financiare este noţiunea dedobândă.

FOperaţiuni

echivalente înregim de

dobândă simplă

8

Noţiunea de bază cu care se operează în calculele financiare este noţiunea dedobândă.

Din relaţia (2) obţinem ca scadenţa comună înlocuitoare este egala cu:

iS

tiSt

n

kkkkå

== 1

b. Suma comuna înlocuitoare

Definiţia 5: Suma comună înlocuitoare se numeşte suma S a plasamentului B

descris mai sus care înlocuieşte plasamentele descrise de matricea A cu condiţia că

dobânda totala lui A este egală cu dobânda produsă de B .

Relaţia (1) şi (2) sunt adevărate dar necunoscută este S, suma plasamentului B,

iar i, t sunt cunoscute . Cunoaştem de asemenea plasamentele descrise de A. Din (2) ,

obţinem ca suma comuna înlocuitoare este egala cu:

it

tisS

n

kkkkå

== 1 .

c. Procent comun înlocuitor

Definiţia 6: Se numeşte procent comun înlocuitor, procentul „p” (p = 100 i) al

plasamentului B care înlocuieşte plasamentele din A cu condiţia (1), cele două

plasamente A si B sa fie echivalente in regim de dobânda simpla .

D (A) = D (B)

În acest caz suma S şi scadenţa t sunt cunoscute.

St

tiSi

n

ikkkkå

==

Exemplul:Un creditor studiază faptul că, la un moment dat, poate plasa la 3

posibili debitori, în regim de dobândă simplă, anumite sume după cum urmează:

- către primul suma de 1000 u.m. pentru 2 luni cu procentul de 5 %;

- către al doilea suma de 2000 u.m. pentru 100 zile cu procentul de 6 %;

- către al treilea suma de 5000 u.m. pentru 10 săptămâni cu procentul de 8

%. Apare între timp un alt posibil debitor, neavând alte obligaţii şi nefiind interesat

decât de dobânda obţinută vrea să ştie:

FAplicaţie

9

a) ce sumă ar trebui să-i plaseze pe termen de 3 luni cu procentul anual de 4

% pentru a avea aceeaşi dobândă.

b) cu ce procent ar trebui să-i plaseze suma de 5000 u.m. pe timp de un

trimestru pentru a avea aceiaşi dobândă.

c) pe ce durată ar trebui să-i plaseze suma de 4000 u.m. cu un procent de 10

% pentru a avea aceeaşi dobândă.

Rezolvare:

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

%8%6%5101002

500020001000saptamanizileluniA

)()(,%10

4500)

)()(,15000

)

)()(,%4

3)

BDADtBc

BDADp

trimestruBb

BDADluniS

Ba

=÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

=÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

=÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

a)umSS

S

527710077,52;1

1009

1006

250

1001

9100

6200

650

1004

123

1008

3607105000

1006

3601002000

1005

1221000

=×=×÷øö

çèæ +=

++=

××=×

++

b) i××=41500077,52 , 042,0

125077,52

==i , %2,4100 == ip

c) 77,52)( =AD ,100104500)( ××= tBD ,

zilezilet 4312,42360177.0450

77.52==×== .

În unele situaţii se doreşte înlocuirea plasamentelor A cu alte plasamente

descrise de matricea C unde C este :

10

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

n

n

iiitttSSS

C

21

21

d. Sumă medie înlocuitoare

Definiţia 7: Suma S din matricea de mai sus C care înlocuieşte plasamentele din

matricea A cu condiţia ca dobânda simplă a celor 2 operaţii financiare A şi C sa fie

aceeaşi, se numeşte sumă medie înlocuitoare.

D(A) = D(C)

å

å

=

==

+++=+++

n

kkk

n

kkkk

nnnnn

ti

tiSS

tititiStiStiStiS

1

1

2211222111 ).....(.....

e. Scadenţa medie înlocuitoare

Definiţie 8: Se defineşte analog ca mai sus, cele n plasamente din A vor fi

înlocuite prin „n” plasamente descrise de o matrice D de felul următor:

å

å

=

==

=÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

n

kkk

n

kkkk

n

n

iS

tiSt

DDADiiittt

SSSD

1

14

21

21

)()(,...............

Scadenta t, obţinuta astfel, se numeşte scadenta medie înlocuitoare.

f. Procent mediu înlocuitor

Definiţia 9: Plasamentele lui A vor fi înlocuite cu plasamentele lui E, unde E

va arăta ca mai jos:

FValori medii în

operaţiuniechivalente în

regim dedobândă simplă

11

å

å

=

==

=÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=

n

kkk

n

kkkk

n

n

tS

tiSi

EDADiiitttSSS

E

1

1

21

21

),()(,..........

Procentul p = 100i, unde i este dat mai sus, se numeşte procent mediu înlocuitor.

Observaţie: Din punct de vedere matematic, aşa cum spune şi numele, suma

medie înlocuitoare, scadenţa medie înlocuitoare şi procentul mediu înlocuitor sunt

nişte valori medii ponderate.

1. Care este dobânda simplă aferentă plasării unei sume de 10.000 u.m. pe o durata

de 72 zile cu un procent de 8%, dar dacă este de 10%.

Rezolvare: a) S0 = 10.000 u.m., t = 72 zile; p = 8%

D = S0 i t =36072

100800010 = 160 u.m.

b) Care este valoarea finala?

Sf = Si + D = 10.160 u.m.

2. Se constituie un depozit la bancă pe o durată de două luni cu un procent de 12% .

a) Care este dobânda simplă aferentă ?

b) Care este valoarea finală ?

Rezolvare: S0 = 2.000.000 u.m., t = două luni = 60 zile,

t = 60 / 360 = 1/6 ani =0,1666667 ani, p = 12% Þ i = 0,12.

a) D = S0 i t = 2.000.000 x 0,12 x 0,1666667 = 40.000 u.m.

b) Sf = S0 + D = 2.000.000 + 40.000 = 2.040.000 u.m.

3. Să se calculeze procentul mediu de depunere pentru, următoarele operaţiuni

financiare, echivalente in dobânda simpla:

5.000 u.m. cu 4% pe timp de 45 zile;

10.000 u.m. cu 5% pe timp de 60 zile;

50.000 u.m. cu 2% pet imp de 100 zile.

Rezolvare : Avem: p =å

å

=

=n

kkk

n

kkkk

tS

tpS

1

1

FAplicatii

12

=++++

=

=×+×+×

××+××+××=

5000000600000225000100000003000000900000

100500006010000455000100250000605100004545000

= %38,25825000

13900000= .

4. Se plasează la 26 aprilie 2004 până la sfârşitul lunii septembrie 2004 suma de

60000 u.m. , cu procentul anual de 6%. Care este valoarea finală a acestui plasament?

Rezolvare: S0 = 60000 u.m., p = 6%, St = ?

Durata plasamentului este : aprilie: 4 zile; mai: 31 zile; iunie: 30 zile; iulie: 31 zile;

august: 31 zile; septembrie: 30zile, t = 157 zile

Sf = S0 + D

D = S0 x t360 x p = 60000 x 157/360 x 6 /100= 1570 u.m.

Sf = 60000 + 1570 Sf = 61670 u.m.

5. Se plasează la 15 iunie 2004 pana la sfârşitul lunii noiembrie 2004, suma de 50.000

u.m., cu rata anuala de 7 %. Care este valoarea finala a acestui plasament?

Rezolvare:

Durata plasamentului este:

Iunie 30 – 15 = 15 zile

Iulie 31 zile

August 31 zile

Septembrie 30 zile

Octombrie 31 zile

Noiembrie 30 zile

168 zile

1663100

736016850000 =××=D um, 51633163350000 =+=fS um.

6. Să se determine scadenta unei sume de 15.000 u.m. care produce o dobândă egală

cu suma dobânzilor produse de:

32.000 u.m., pe timp de 142 zile;


68.000 u.m., pe timp de 165 zile.

Rezolvare:

13

T=144zile.

7.Sa se calculeze procentul mediu de plasament al sumelor:

17.000 u.m., pe timp de 95 zile, cu 3%;



14500 u.m., pe timp de 145 zile, cu 4,5%.

Rezolvare:

%.3,4145145001703000067110009517000

5,4145145005170300002671100039517000=

×+×+×+×××+××+××+××

=p

8. Se plasează la 20 mai 2003 pana la sfârşitul lunii septembrie suma de 60.000 u.m.,

cu rata anuala de 10 %. Care este valoarea finala a acestui plasament?

Rezolvare:

Durata plasamentului este:

Mai 31-20 = 11 zile

Iunie 30 zile

Iulie 31 zile

August 31 zile

Septembrie 30 zile

133 zile

221610010

36013360000 =××=D um, 62216221660000 =+=fS um.

9. Să se determine procentul mediu de plasament al sumelor:


35.000 u.m., pe timp de 110 zile, cu 4 %;

27.000 u.m., pe timp de 125 zile, cu 3 %.

Rezolvare: %8,3889700033885000

1252700011035000762200031252700041103500057622000

==×+×+×

××+××+××=p

144157000

22661000680005700032000

165680001215700014232000==

++×+×+×

=T

14

10. Să se determine suma care în 142 zile produce o dobândă egala cu suma

dobânzilor produse de:



10.000 u.m., pe timp de 124 zile.

Rezolvare:

11. Să se determine scadenţa sumei de 40.000 (u.m.) care produce o dobândă gală cu

suma dobânzilor produse de 5.200 u.m. pe timp de 61 zile, 1.000 pentru 63 zile, 4.700

u.m. pe timp de 91 zile.

Rezolvare:

Bt

A =÷÷ø

öççè

æ»÷÷

ø

öççè

æ=

40000916361

470010005200

DS(A)=DS(B),

40000914700631000615200 ×+×+×

=t

t = 20,1975 zile = 21 zile.

12. Să se calculeze procentul mediu de plasament al sumelor:

a) 17.000 u.m., pe timp de 95 zile, cu 3%;

b)11.000 u.m., pe timp de 67 zile, cu 2%;

c)30.000 u.m., pe timp de 170 zile, cu 5%;

d)14.500 u.m., pe timp de 145 zile, cu 4,5%;

.23,34623142

4916500142

12410000921200014717500 umS ==×+×+×

=

15

Rezolvare:

13. Un creditor studiază faptul ca, la un moment dat poate plasa la 3 posibili debitori

în regim de dobândă simplă anumite sume după cum urmează:

către primul suma de 1000 UM pentru 2 luni cu procentul de 5 %;

către al doilea suma de 2000 UM pentru 100 zile cu procentul de 6 %;

câtre al treilea suma de 5000 UM pentru 10 săptămâni cu procentul de 8 %.

Apare între timp un alt posibil debitor neavând alte obligaţii şi nefiind interesat decât

de dobânda obţinută vrea să ştie:

ce sumă ar trebui să-i plaseze pe termen de 3 luni cu procentul anual de 4 % pentru a

avea aceeaşi dobândă.

cu ce procent ar trebui să-i plaseze suma de 5000 UM pe timp de un trimestru pentru

a avea aceiaşi dobândă.

pe ce durată ar trebui să-i plaseze suma de 4000 UM cu un procent de 10 % pentru a

avea aceeaşi dobândă.

BsaptamanizileluniA »÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

%8%6%5101002

500020001000

)()(,%4

3) BDADluniS

Ba =÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

%0432,095545000041280250

100)210250051000007370001615000(94612502550000014740004845000

36014514500

36017030000

3606711000

3609517000

1005,4

36014514500

1005

36017030000

1002

3606711000

1003

3609517000

%5,4%5%2%31451706795

14500300001100017000

==+++

+++=

=+++

+××+××+××=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

i

zilezilezilezileA

16

,15000

)÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

ptrimestruBb

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

%10

4500) tBc .

a) D(A) = D(B):

UMS

S

S

527710077,52

1100

5100

6250

10010

9100

6200

650

1004

123

1008

3607105000

1006

3601002000

1005

1221000

=×=

×÷øö

çèæ +=

++=

××=×

++

b) i××=41500077,52 ,

042,01250

77,52==i , %2,4100 == ip

c)10010450077,52)( ×××= tAD ,

zilezilet 4312,42360177.0450

77.52==×==

14. Ce sumă trebuie să depunem azi, cu procentul de 5% pentru ca peste 30 de zile să

putem ridica 20.000 u.m ?

Rezolvare:

S0 = ? , p = 5%, t = 30 zile, Sf = 20.000 u.m, S0 = ?

itS

S f

+=

10

3603005,01

200000

×+=S

S0 = 19.991,6um

15. Un capital de 1000 000 u.m. este plasat intr-un cont cu rata anuală de 9%. Care va

fi capitalul disponibil peste 20 zile? Dar peste 3 luni? Dar peste un an?

Rezolvare:

Avem: S0 = 1000 000 u.m.

p = 9%

Daca durata plasamentului este t360 = 20 zile, avem:

50036000

209100000036000

0 =××

==ptS

D um

17

iar suma capitalizată după 20 zile va fi:

Sf = S0 + D = 100 500 um.

Daca durata plasamentului este t = 3 luni, avem:

225012000

3910000001200

0 =××

==ptS

D ,

iar valoarea finală:

Sf = 100 000 + 2 250 = 102 250 u.m.

Peste 1 an, dobânda obţinută va fi:

9000191000100

0 =××==ptS

D

iar suma finală:

Sf = 109 000 u.m.

16. Ce sumă trebuie să depunem azi cu procentul 3%. Pentru ca peste 300 zile să

putem ridica 10 000 u.m.?

Rezolvare: Avem: 10,9756025,1

10000

3600030031

10000

360001

0 ==´

+=

´+

= tpS

S f u.m.

17. Determinaţi valoarea totala a dobânzii si valoarea finala la sfârşitul unei perioade

de investiţii daca se investeşte 1000 u.m. cu procentul de 10% timp de 3 ani. Dar

timp de 9 luni?

Rezolvare

Va = 1000 u.m., i = 0,10, t = 3 ani, Vf = Va(1 + i · t), Vf = 1000(1+0,1 · 3)

Vf = 1000 · 1,3, Vf = 1300 u.m.

Va = 1000 u.m., i = 0,10, t =129 , Vf = Va(1 + i · t),

)1291,01(1000 ×+=fV

Vf = 1075 u.m.

18.O persoana depune la banca o suma de 150 000 000 lei ştiind ca procentul este de

20,70 % pe an. Ce suma i s-ar cuveni după o luna, după trei luni, dar după un an de la

depunere?

Rezolvare

18

D =Sopt, t1= 30 zile,

D1 = 150000000 (20,70/100) x (30/360) = 93150000 000 /36000 =2587 500 lei

t2 = 3/12 = 1/4

D2 = 150000000 x (20,70/100) x 1/4= 310500 000 /4 = 7762 500 lei

t3 = 12/12, D3 = 150000000 x (20,70/100) x 1= 31050 000 lei

Sf = So + D, S f1= So + D1, S f1 = 150 000 000 + 2587500 = 152 587 500 lei

S f2= So + D2, S f1 = 150 000 000 + 7762500 = 15762500 lei

S f3 = So + D3, S f3 = 150 000 000 +31050 000 = 181 050 000 lei

BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ

I. Tratate şi monografii.

1. PURCARU, I., Matematici financiare, Editura Economică, Bucuresti,

1992.

2. POPESCU O., BAZ D., BEGANU G., FILIP A., ş.a. Matematici

aplicate in economie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1999.

.

TEST DE AUTOEVALUARE

1. Care este dobânda simplă rezultată în urma plasării unei sume de 2400 um, pe timp

de 60 de zile cu procentul de 8% ? Ce sumă finală rezultă în urma acestui plasament?

19

TEMĂ DE REFLECŢIE

Ce valoare poate avea suma medie înlocuitoare în funcţie de valorile

sumelor plasate iniţial, în cadrul unei operaţiuni financiare echivalente în regim

de dobândă compusă? Dar procentul mediu înlocuitor, respectiv scadenţa

medie înlocuitoare？

MODELE DE ÎNTREBĂRI

Întrebările vor fi tip grilă, cu cel puţin un răspuns fiecare întrebare.

1. Suma pe care o va ridica o persoană care a depus 75 000EU pe timp de 150

zile cu procentul anual de 5% este:

a) 76 000EU, b) 78 561EU, c)75 156,25EU.

2) În câte zile suma de 5 000EU va deveni 5 200 EU cu procentul anual de 4%.

a) 320zile, b) 500zile, c) 360zile.

RĂSPUNSURI LA ÎNTREBĂRI

1. c.

2. c.

20

CAPITOLUL IIDOBÂNDA COMPUSĂ


Cuprins

� Conceptul de dobândă compusă, elementele dobânziicompuse, operaţiuni echivalente în regim de dobândă compusă

� Tehnica rezolvării problemelor în care apar operaţiuni înregim de dobândă compusă.

� Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privind conceptulde dobândă compusă, a operaţiunilor financiare echivalente în regim dedobândă compusă.

� Obiective operaţionale: Însuşirea tehnicii şi a etapelor derezolvare a problemelor în care apar operaţiuni echivalente în regim dedobândă compusă.

= 2 ore

21

CAPITOLUL II

DOBÂNDA COMPUSĂ

2. Definiţia noţiunii de dobândă compusă.

În operaţiunile financiare în regim de dobândă compusă se consideră o

anumită unitate de timp ca o unitate etalon, calculul dobânzii compuse se face ţinând

seama de unitatea de timp etalon.

În operaţiile pe termen lung unitatea de timp folosită este anul.

Definiţia 10: Vom spune că o sumă de bani este plasată cu dobânda compusă

când la sfârşitul primei perioade, (unitate etalon), dobânda simplă a acestei perioade

este adăugată la sumă pentru a produce la rândul ei dobândă în perioada următoare şi

aşa mai departe.

2.1. Formula de fructificare în regim de dobândă compusă.

a) Presupunem că timpul „t” este un număr întreg de perioade. Vom nota:

S0 , suma iniţiala depusa la începutul perioadei;

p = 100i, procentul anual de depunere,

t= n numărul de perioade (ani),de unităţi etalon de timp

Sf = suma finala rezultata in urma acestui plasament.

Nr.ani

Suma laînceputul

anului

Dobânda produsă întimpul anului Suma la sfârşitul anului

1 an 0S anSD 10 ×= )1(000 iSiSSS f +=+=

2 ani )1(0 iS + aniiSD 1)1(0 ×++=2

00

00

)1()1)(1(

)1()1(

iSiiS

iiSiSS f

+=++

=+++=

…..

n ani 10 )1( -+ niS niSD )1(0 +=

n

nnf

iS

iiSiSS

)1(

)1()1(

0

10

10

+=

=+++= --

Suma finală este:

,)1(0n

f iSS +=

FDefiniţiadobânziicompuse

FElementele

dobânziicompuse

22

sau mai general: ( ) tf

tf uSSiSS 00 ,1 =+= , unde ut, se numeşte factor de

fructificare, u = 1 + i, şi valorile sale sunt calculate pentru diferite procente si diferite

perioade de timp în tabele financiare.

Dobânda calculata in regim de dobânda compusa este data de diferenţa dintre suma

finala si suma iniţiala:

[ ]1)1()1(

0

00

0

-+=

-+=

-=

t

t

f

iSDSiSD

SSD

Suma iniţiala S0 , calculata in funcţie de suma finala Sf , scadenta t , si

procentul anul, p = 100 i , se numeşte valoare actuala a sumei Sf sau , nf

uS

S =0 ,

unde nn v

u=

1 se numeşte factor de actualizare , şi , la fel ca factorul de fructificare

un , este calculat în tabele financiare.

( )nf

i

SS

+=

10

Exemplu: Ce sumă ar trebui să depunem acum pentru a primi peste 5 ani ,

1000u.m., cu o rată a dobânzii de 6%?

Rezolvare: Datele problemei sunt 1000=fS um, 5=t ani, %6=p

( )nf

i

SS

+=

10 ,( )50 06,01

1000+

=S , 38,7470 =S um.

b) Formula de fructificare în regim de dobândă compusă când timpul nu este

un nr. întreg de perioadă. Dacă 10 <<+=hkunde

hknt

Atunci suma finală va fi:

1) Soluţia raţională:

)1()1(0 ihkiSS n

f ++=

2) Soluţia comercială:

thkn

f iSiSS )1()1( 00 +=+=+

FAplicaţie

FAplicaţie

23

După „n” perioade (ani) suma finala este nf iSS )1(0 += , în perioada (anul) 1+n ,

dobânda simpla revenita acestei sume estehkiiSD n ××+= )1(0 .

După timpul, hknt += suma finala va fi :

)1()1()1()1( 000 ihkiSihkiSiSS nnn

f ×++=+++= ,

astfel am obţinut soluţia raţionala pentru calculul dobânzii compuse când timpul nu

este un număr întreg de perioade.

Soluţia comerciala este aceea in care suma finala este calculata cu aceeaşi

formula folosita in cazul in care timpul t este exprimat printr-un număr întreg de ani.

Exemplu: Să se calculeze folosind dobânda compusă, valoarea finală a sumei

de 100.000 u.m plasată timp de 3 ani şi şase luni cu procentul anual de 6% .

Rezolvare: Datele problemei sunt:

S0 = 100.000 u.m., t =3 ani şi 6 luni, p = 6% , i = 6/100

a) Soluţia raţională

)1()1(0 ihkiSS nf ×++= = 100.000 (1+6/100)3(1+6/100 6/12)=120.801 um.

a) Soluţia comercială

fS = S0 (1+i) n+ k / p = 100.000 (1+6/100)3 + 6 / 12 = 122.600 um.

c) Sa presupunem acum ca suma iniţiala 0S este plasa timp de n ani cu

procentele anuale diferite, p1 =100 i1 in primul an , p2 = 100 i2 in anul al doilea,

s.a.m.d., nn ip ×=100 , in cel de-al n-lea an, atunci suma finala calculata va fi data de :

( )( ) ( )nf iiiSS +++= 1....11 210 .

Exemplu: Să se determine suma finală rezultată în urma plasării sumei de 500 um pe

timp de 3 ani cu procentele de 4%, 5% şi respectiv 7%？

Rezolvare: Datele problemei sunt:

5000 =S um, 3=t ani, %,41 =p %,52 =p %.73 =p

Se va aplica formula de calcul a sumei finale, in care avem procente diferite.

( )( )( ) ( )( )( ) 22,58407,0105,0104,01500111 3210 =+++×=+++= iiiSS f um.

FAplicaţie

FAplicaţie

24

2.1. Procente proporţionale procente echivalente.

Definiţia 11: Fie p1 , procentul anual, corespunzător perioadei de depunere t1 si

p2, procentul anual corespunzător perioadei de depunere t2, procentul p1 este

proporţional cu p2 dacă:

2

1

2

1

tt

pp

= .

Exemplu: fie 1p = 6 %, 1t = 1 an, atunci p2 = 6/12% este procentul

proporţional cu p1, corespunzător lui t2 = 1 luna.

Definiţia 12: Procentul ps = 100 i2 corespunzător unui semestru este

echivalent cu procentul anula pa = 100i dacă produc aceiaşi sumă finală in regim de

dobânda compusa, adică:

)1()1( 22 ii +=+

Dacă pk = 100 ki este procentul corespunzător unei fracţiuni „k” a

anului (adică 1 an = k fracţiuni) pk este echivalent cu procentul anual

p=100 i, dacă ( ) ii kk +=+ 11 ,

11,11 -+=+=+ nk

kk iiii .

2.1. Operaţiuni financiare echivalente în valoare actuală în regim de

dobândă compusă.

În concluzie elementele de bază în dobânda compusă sunt:t

f iSS )1(0 += , formulă de fructificare a sumei S0.

tf

iS

S)1(0 +

= , factorul vi=

+11 şi t

t vi

=+ )1(1 (factor de actualizare )

tf vSS ×=0 valoarea actuală a lui fS .

Fie plasamentele descrise de matricea A:

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

n

n

n

iiitttSSS

A...............

21

21

21

,

FElementele

dobânziicompuse

FProcenteledobânziicompuse

25

unde sumele iS sunt sumele finale ce rezultă în urma unor plasamente, cu scadentele

it , cu procentele anuale ii , i = 1,2,…,n şi matricea B formată de 1 sau mai multe

plasamente de felul celei din A.

Operaţiunile financiare A şi B se numesc echivalente în valoarea actuală in

regim de dobândă compusă dacă valoarea actuală a lui A este egala cu valoarea

actuală a lui B.

VA(A) = VA(B)

a. Suma comună înlocuitoare, este suma S finala ce rezulta în urma unui

plasament descris de matricea B,

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

itS

B

unde „t” şi „i”, si elementele lui A, sunt cunoscute, astfel încât VA(A) =VA(B).

Daca A este echivalentă cu B în valoare actuală în regim de dobândă compusă

atunci:

ttn

ntt i

Si

Si

Si

Sn )1()1(

.....)1()1( 21

2

2

1

1

+=

+++

++

+,

şi:

tn

kkt

k

k ii

SS )1()1(1

+úû

ùêë

é+

= å=

×

b. Scadenţa comună înlocuitoare este durata de plasare „t” din matricea B

(descrisă mai sus) astfel încât VA(A) = VA(B) , elementele S, i sunt cunoscute;

)()1(

)1(

1

AVAS

iS

Si n

kkt

k

k

t =

+

=+

å=

×

t lg(1+i) = lg S – lg (VA(A))

)1lg())(lg(lg

iAVASt

+-

=

c. Procent comun înlocuitor este procentul din matricea B (de mai sus) astfel

încât VA(A) = VA(B) ; din relaţiile de mai sus se obţine:

26

tAVASi )(lglg)1lg( -

=+

d. Suma medie înlocuitoare. În acest caz operaţiunile descrise de matricea A

sunt înlocuite de o matrice C în care avem aceeaşi sumă finală de plasare şi scadenţele

şi procentele anuale sunt aceleaşi din A.

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

n

n

iiitttSSS

C...............

21

21

Suma finală S din matricea C se numeşte sumă medie înlocuitoare a

plasamentelor din A echivalente cu C, in valoare actuala, in regim de dobânda

compusa, daca VA(A) = VA(C) :

úû

ùêë

é+

+++

++

=+

+++

++ nn t

nttt

n

ntt iii

Si

Si

Si

S)1(

1......)1(

1)1(

1)1(

......)1()1( 2121

212

2

1

1

å

å

=

=

+

+= n

kt

k

n

kt

k

k

k

k

i

iS

S

1

1

)1(1

)1(

e. Scadenta medie înlocuitoare este scadenta t din matricea D care va fi

echivalentă cu A în valoare actuala .

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ=

n

n

iiittt

SSSD

.................

21

21

,

„t” satisface ecuaţia

tn

ntt

n

ntt t

Si

Si

Si

Si

Sn )1(

......)1()1(

......)1()1( 1

1

2

2

1

121 +

+++

=+

+++

++

Þ

f. Procentul mediu înlocuitor este procentul din matricea E echivalentă cu A,

în regim de dobânda compusă , în valoare actuală.

FValori medii în

operaţiuniechivalente în

valoare actualain regim de

dobândăcompusă

27

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=iiitttSSS

E n

n

.....

..........

21

21

Procentul mediu înlocuitor satisface ecuaţia:

nn tn

tttn

ntt i

Si

Si

Si

Si

Si

S)1(

......)1()1()1(

......)1()1( 2121

21

2

2

1

1

+++

++

+=

+++

++

+

Observaţie: Dacă 0S este plasată în regim de dobândă compusă, „n” ani cu

procentele niii ,......,, 21 , atunci suma finală: )1)......(1)(1)(1( 3210 nf iiiiSS ++++= şi

valoarea actuală:)1)....(1)(1( 21

0n

f

iiiS

S+++

= .

Exemple rezolvate: 1. Ce devine suma de 10.000 u.m. plasata pe timp de 10

ani cu procentul anual de 3,5 % ?

Rezolvare:

S10 = 10.000 x 1,035 10 = 10.000 x 1,41059876

S10 = 14105,9876 u.m.

2. Să se determine ce suma trebuie depusa cu procentul anual de 5 % pentru a incasa

peste 4 ani suma de 600 000 u.m.

Rezolvare :

p = 5%, t = 4 ani, Sf = 600 000 u.m., S0 = ?, Sf = S0 (1 + i)t = S0 ut unde u =

1+i , deci

( )2,493621

05,10006000

1 40 ==+

= tf

i

SS u.m.

3. Să se calculeze folosind dobânda compusă, valoarea finală a sumei de 100.000

um plasată timp de 3 ani şi şase luni cu procentul anual de 6% .

Rezolvare:

S0 = 100.000 u.m., t =3 ani şi 6 luni, p = 6% , i = 6/100

a) Soluţia raţională

28

Sf = S0 (1+i) n (1+ik/h) = 100.000 (1+6/100)3 (1+6/100 6/12) = 120.801

u.m.

a) Soluţia comercială

Sf = S0 (1+i) n+k / p = 100.000 (1+6/100)3 +6 / 12 = 122.600 u.m.

4. Care este valoarea finala a sumei de 35 000 u.m. plasata cu dobânda compusa

timp de 5 ani si 3 luni, cu rata anuala de 7 %.

Rezolvare: S0 = 35 000 um,t = 5ani si 3 luni, t=5+0,25=5,25 ani,

p = 7%, i = 0,07,

a) Soluţia comerciala:

Sf = S0 (1+i) t = 25,507,135000 × = 49 926,70 u.m.

b) Soluţia raţionala:

( ) ( ) ( )05,007,0107,13500011 40 ×+×=÷

øö

çèæ ×++=

hkiiSS n

f =49 948,37 u.m.

5. Ce suma ridica o persoana peste 6 ani cu dobânda compusa daca depune

azi 110.000 u.m. cu procentul de 3% ? Care este dobânda obţinută?

Rezolvare:

t=6 ani, S0=110.000, p=3%, Sf=?, D=?, Sf=S0(1+i)t

Sf=110.000(1+0,03)6=131.345 u.m.

D=Sf - S0=21.345 u.m.

6. Câţi bani ar trebui să depunem acum pentru a primi peste 5 ani , 1000 u.m.,

cu o rată a dobânzii de 6%?

Rezolvare:

Sf = Sa(1+i)n, 1000 u.m. = Sa(1+i)5, 1000 u.m. = Sa(1+0,06)5,

1000 u.m. = Sa · 1,338

Sa =338,1

1000 u.m.

Sa = 747,38u.m.

29

7. Care este valoarea finala a unei investiţii de 15000 u.m. peste 4 ani, la o

rata a dobânzii compuse semestriale de 9,5%?

Rezolvare:

Sa = 15000 u.m.

i = 0475,02095,0

=

n = t · m → n = 8

Sf = Sa (1+i)n

Sf = 15000 (1 + 0,0475)8

Sf = 21741,915 u.m.

8. O suma de 200 000 u.m. plasata in regim de dobânda simpla cu un anumit

procent si un anumit t, a condus la o D = 54 000 u.m. Aceeaşi suma plasata in regim

de D compusa cu p = 4%, pe acelaşi număr de ani a condus la o D = 84 662.40 u.m.

Sa se determine durata de plasare a celor doua operaţiuni, precum si procentul

anual al primei operaţiuni.

Rezolvare:

DS : S0 =200 000 u.m. DC: S0 = 200 000 u.m.

D = 54 000 u.m. D = 84 662.40 u.m.

t1 = ?, p2 = 4%, p1 = ?

t1 = t2 = ?

]104,1[200000]1)1[(0 -=-+= ttiSDC

%31800054000,9

10020000054000,

9423312,1)04.1(

423312,1100000

2,142331200000

4,284662)04,1(,)04,1(2000004,284662

200000)04,1(2000004,84662],1)04,1[(20000040,84662

0 ====

=Û=

====

-=-=

ppitSD

t

s

t

tt

tt

30




1992.



.


1. Aflaţi valoarea finală a sumei de 1000um, plasată în regim de dobândă

compusă, pe timp de 4 ani cu procentele de 4%, 3%, 5% şi respectiv 2%?

În medie care este procentul de depunere?

TEMĂ DE REFLECŢIE

Care plasament este mai avantajos pentru perioade de timp mai mici de

un an, în regim de dobândă simplă sau compusă ?

Dar pentru perioade mai lungi de un an ?

31



1. ) Ce sumă de bani ar trebui să depunem acum pentru a primi peste 2 ani sumade 600 EU, cu procentul anual de 5%.

a) 544,21769 EU, b) 400EU, c) 500EU.

2) Care este valoarea finală a unei investiţii de 30 000EU peste 4 ani cu unprocent anual de 8,5%.

a ) 41 500EU, b) 41 575,761EU, c) 50 000EU.3) Să se calculeze valoarea finală a unei sume de 50 000u.m. peste 2 ani şi 4 luni

cu procentul de 6.

a) 70 000u.m.; 51 000(1,06) 27

, b) 78 090,20; 50 000(1,06) 37

c) 72 000; 73 000.


1 a.2 b.3 b.

32

CAPITOLUL IIIPLĂŢI EŞALONATE (RENTE)


Cuprins

� Notiunea plati esalonate, tipuri de plati, valoarea actuala sivaloarea finala.

� Tehnica rezolvarii problemelor cu plati esalonate.

� Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privindprincipalul aspect al folosirii noţiunilor de plati esalonate, de clasificare adiferitelor tipuri de plati.

� Obiective operaţionale: Însuşirea tehnicii şi a etapelor derezolvare a problemelor in care apar platile esalonate.

= 4 ore

33

CAPITOLUL IIIPLATI ESALONATE, RENTE

1. Noţiunea si clasificarea platilor esalonate.

3.1. Generalitati. Înţelegem prin plăţi eşalonate sume de bani plătite la

intervale (perioade) de timp egale.

Perioada poate fi anul, semestrul, trimestrul, luna si in acest caz plăţile se vor

numi anuităţi, semestrialităţi, trimestrialităţi, mensualităţi, respectiv.

Plăţile eşalonate pot fi făcute cu scopul :

- fie în vederea constituirii unor sume şi se numesc plăţi eşalonate de

plasament sau fructificarea;

- fie în vederea rambursării unei datorii, acestea sunt plăţi de amortizare sau

rambursare.

Plăţile eşalonate pot fi făcute:

- la începutul perioadei şi se numesc anticipate;

- la sfârşitul perioadei şi se numesc posticipate;

De asemenea plăţile eşalonate mai pot fi :

- limitate ( temporale), numărul de plăţi este finit, fixat prin contract.

- perpetue, numărul plăţilor este nelimitat;

- viagere - numărul plăţilor depinde de viaţa unei persoane.

Mai pot fi:

- imediate - când încep în perioada imediată semnării contractului;

- amânate - când au loc după un număr de ani de la semnarea contractului.

În fine, plăţile eşalonate pot fi constante sau variabile după cum sumele

depuse periodic sunt constante sau nu.

3. 2. Anuităţi sau plăţi eşalonate anuale

1. Anuităţi imediate limitate posticipate: durata contractului este de n ani (limitate), şi

plăţile au loc în perioada imediată semnării contractului la sfârşitul fiecărui an.

FClasificarea

platiloresalonate

FPlati anuale(anuitati)

FPlati esalonate

anticipate,posticipate

34

Considerând că operaţiunea este în regim de dobândă compusă, suma finală a

tuturor plăţilor, care este suma sumelor finale pentru fiecare plată, va fi:

]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

]( ) ( ) n

n

j

n

jkkj

Pn

nnnP

n

TiTS

TiiiTiiiTS

+úû

ùêë

é+=

+++××+×+++××+×+=

å Õ-

= +=

1

1 1

432321

1

...1...111...11

Dacă procentele sunt constante, adică i1 = i2 = … = in=i , avem:

]( ) ( ) ( )

]( ) ( )[ ] n

n

j

jnj

Pn

nnnP

n

TiTS

TiTiTS

++=

+++++=

å-

=

-

--

1

1

22

11

1

...11

Dacă atât anuităţile cât şi procentele sunt constante, adică T1 = T2 = …=Tn, şi

i1 = = i2 =… =in atunci vom obţine:

] iuTTTuTuTuTiTiTS

nnnnnP

n1..........)1()1( 2121)( -

=++++=+++++= ----

Am folosit suma unei progresii geometrice, cu primul termen b1 şi raţia q:

qqb

qqbqbqbqbb

nnn

--

=--

=++++ -

11

11..... 11

11

2111

Ca urmare valoarea finala a acestor anuităţi este:

] iuTS

nP

n1)( -

=

Analog vom calcula şi valoarea actuală a tuturor plăţilor, ca fiind suma

valorilor actuale pentru fiecare plată:

0 1 2 n-1 nValoarea actuală

])( p

nAValoarea finală

])(P

nS

T1 T2 Tn-1 Tn

1i 2i … in

35

]( )

( )( ) ( )( ) ( )

]( ) ,

11

1...111...

111

11

1 11 1

21212

11

å Õå Õ= == =

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é+

=

+××++++

+++

+=

n

j

n

kkj

n

j

j

k kj

Pn

nn

Pn

vTi

TA

iiiT

iiT

iTA

unde nki

vk

k ,1,1

1=

+= .

Dacă procentele sunt constante, adică i1 = i2 = … = in=i , avem:

]( )

( )( )åå

==

=úû

ùêë

é

+=

n

j

jj

n

jjj

Pn vT

iTA

11 11

unde v = 1/(1+i).


i1 = i2 =… =in atunci vom obţine:

] ( ) ( ) ( )

] ivTA

iii

ivvv

iunde

vvTvTvTvTv

iT

iT

iT

iTA

nP

n

nn

nP

n

-=

=+

×+

=-

×=+

--

=+++=+

+++

++

++

=

1

,111

11

1,1

11

1.....1

.....111

)(

232

)(

Observaţie: Pentru T = 1, din relaţiile de mai sus, obţinem suma finală,

respectiv valoarea actuală a unui şir de anuităţi posticipate de 1 u.m. (le vom nota cu

sn şi an):

iva

ius

n

n

n

n-

=-

=1,1

rezultă :

] nP

n sTS ×=)( , ] nP

n aTA ×=)( .

Aşadar sn şi an acţionează ca nişte factori de acumulare (fructificare) şi,

respectiv, de actualizare (există tabele cu aceste mărimi pentru procedurile manuale

de calcul).

36

2. Anuităţi imediate limitate anticipate: durata contractului este de n ani

(limitată), şi plăţile au loc în perioada imediată semnării contractului la începutul

fiecărui an. Avem următoarea schemă de plăţi:

Deoarece fiecare plată are loc, cu un an mai devreme (la începutul fiecărui an)

faţă de cazul în care plăţile sunt posticipate, suma finală şi valoare actuală a acestor

plăţi vor fi diferite doar printr-un factor u, faţa de cazul posticipat.

]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

]( ) ( )å Õ

= =úû

ùêë

é+=

++++××+×+++××+×+=

n

j

n

jkkj

An

nnnnA

n

iTS

iTiiiTiiiTS

1

322211

1

1...1...111...11

Pentru valoarea actuală avem suma:

] å Õ=

-

= +×+=

n

j

j

k kj

An i

TTA2

1

11

)(

11

Dacă procentele sunt constante, adică i1 = i2 = … = in=i , avem

]( ) ( ) ( ) ( )

]( ) ( )[ ]å

=

+-

-

+=

++++++=n

j

jnj

An

nnnA

n

iTS

iTiTiTS

1

1

121

1

1...11




]( )AnA

T2 T3 TnT1

1i 2i … in

Valoarea finală]

)(PnS

37

] ( )

iuuT

TuTuTuTuiTiTiTSn

nnnnAn

1

.....1.....)1()1( 211)(

-××=

=++++=++++++= --

Cu notaţiile de mai sus pentru factorii sn şi an obţinem formulele:

]( )

nA

n suTS ××=

]

]( )

nA

n

nn

nA

n

auTA

ivi

iviv

vTv

vTi

Ti

Ti

TTA

××=

=+

=--

=--

=+

+++

++

+= - 11,1

11

)1(......

)1(1 12)(

3. Anuităţi imediate nelimitate posticipate: durata contractului este nelimitată,

şi plăţile au loc în perioada imediată semnării contractului la sfârşitul fiecărui an.

Avem următoarea schemă de plăţi:

În cazul plăţilor nelimitate, valoarea finală nu poate fi evaluată, vom evalua

numai valoarea actuală care ar putea reprezenta plata unor pensii.

]( )

]( )

¥®¥®¥ ==n

Pnn

P AA limlim å Õ= =

úû

ùêë

é+

n

j

j

k kj i

T1 1 1

1

Seria este convergentă dacă, conform criteriului de convergenţă al raportului,

pentru serii cu termeni pozitivi, avem:

( ) 11

lim1

1 <+× +

+

¥®kk

k

k iTT


]( )PA¥

T1 T2 Tn-1 Tn

1i 2i … in …

38

Dacă anuităţile sunt egale, atunci condiţia de convergenţă este îndeplinită

indiferent dacă plăţile sunt efectuate cu procente anuale egale sau nu, deoarece

1/(1+ik+1)<1.



] å åå¥

=

¥

=

¥

=¥ ==

+=+

+++

++

+=

1 112

)(

)1(.......

)1(.....

)1(1 k k

k

k

kkn

P vTTvi

Ti

Ti

Ti

TA

0 < v =i+1

1 < 1, seria geometrică este convergentă şi suma ei este:

÷÷ø

öççè

æ-

==+

+=

-= åå

¥

=

¥

= qqq

iii

ivvv

n

n

k

k

1,11

11

1 11

] iTA p =¥

)( .

4. Anuităţi imediate nelimitate anticipate: durata contractului este nelimitată,

şi plăţile au loc în perioada imediată semnării contractului la începutul fiecărui an.

Avem următoarea schemă de plăţi:


]( )AA¥

T2 T3 Tn Tn+1

1i 2i … in …

T1

39

Deoarece ¥®n , ca şi în cazul posticipat, valoarea finală a plăţilor este

nemărginită, deci se pune problema calculării numai a valorii actuale a acestor plăţi.

]( )

]( ) ( )å Õ

=

-

=

-

¥®¥®¥ +×+==n

j

j

kkjn

Ann

A iTTAA2

1

1

11 1limlim

iar dacă anuităţile şi procentele sunt egale atunci avem:

] ivT

vTvT

iT

iT

iT

iTTA

k

k

kkn

A =-

==+

=++

+++

++

+= åå¥

=

¥

=¥ 1

1)1(

1......)1(

......)1(1 00

2)(

5. Anuităţi amânate limitate posticipate: durata contractului este de n ani

(limitate), şi plăţile au loc după un număr de r ani de la data semnării contractului

(amânate), la sfârşitul fiecărui an (posticipate).

Suma finală a acestor plăţi este:

]( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) nnn

nrrrnrrrPrn

TiTiiiTiiiTS

++++

++××++++××++=

-

++++++

1...

1...111...11

1

432321

]( ) ( ) n

n

rj

n

jkkj

Prn TiTS +ú

û

ùêë

é+= å Õ

-

+= +=

1

1 11



0 1 r n-1 n

]( )P

rnA

ir+1

Tr+1 Tn-1 Tn

1i … in…r+1

]( )P

rnS

] iuTA A 1)( ××=¥

40

]

] iuTTTuTuS

iuTS

rnrnrnP

rn

rnPrn

1......

1

21)(

)(

-×=+++=

-×=

-----

-

pentru valoarea actuală a acestor plăţi, însumăm:

]( )

]( ) å Õ

+= =

+++++

úû

ùêë

é×=

××××++×××××+××××=

n

rj

j

kkj

Prn

nnrrrrrPrn

vTA

vvvTvvvvTvvvTA

1 1

21212121211 .............



]

i

ii

Ti

Ti

TA

rn

rnirPrn

+-

÷øö

çèæ+

-

+=

+++

+=

-

++

111

111

)1()1(.....

)1( 1)( .

După efectuarea unor calcule elementare:

]

] rn

rnPrnf

rnr

rnrP

rn

sTi

uTS

avTivvTA

-

-

-

-

×=-

×=

××=-

××=

1

1

)(

)(

6. Anuităţi amânate limitate anticipate: durata contractului este de n ani

(limitate), şi plăţile au loc după un număr de r ani de la data semnării contractului

(amânate), la începutul fiecărui an (anticipate).

FValoareaactuala si

valoarea finalain cazul platilor

amanatelimitate

posticipate

41

Suma finală a plăţilor:

]( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )nn

nrrrnrrrArn

iTiiiTiiiTS

+++

++××++++××++= ++++++

1...1...111...11 322211

]( ) ( )å Õ

+= =úû

ùêë

é+=

n

rj

n

jkkj

Arn iTS

11

iar valoarea lor actuală:

]( )

]( ) å Õ

+=

-

=

-+++

úû

ùêë

é×=

××××++××××+××××=

n

rj

j

kkj

Arn

nnrrrrArn

vTA

vvvTvvvTvvvTA

1

1

1

1211212211 .............



0 1 r n-1 n

]( )A

rnA

ir+1

Tr+2 Tn

1i … in…r+1

]( )A

rnS

Tr+1

42

]

]

]

]

]( )

rnrA

rn

rn

rnArn

rnrnrnA

rn

rnrA

rn

rnr

rnr

rn

rnrrArn

avuTA

suTi

uuTS

iiiTiTiTiTS

ivTvA

ivTv

ivvTv

i

ii

Ti

Ti

Ti

TA

-

-

-

----

--

--

-

-

-+

×××=

××=-

××=

-+-+

+=+++-+-=

-=

-=

-=

=

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

+-

÷øö

çèæ+

-

+=

+++

++

+=

,1

111)1()1()1(......)1()1(

1,11

111

111

)1()1(.......

)1()1(

)(

1)(

1)(1

11)(

7. Anuităţi amânate nelimitate(perpetue) posticipate: plăţile se desfăşoară pe

o perioadă nelimitată ( ¥®n ), şi plăţile au loc după un număr de r ani de la data

semnării contractului (amânate), la sfârşitul fiecărui an (posticipate).

În cazul plăţilor nelimitate, valoarea finală nu poate fi evaluată, vom evalua

numai valoarea actuală care ar putea reprezenta plata unor pensii.

]( )

]( )

¥®¥®¥ ==n

Prnn

Pr AA limlim å Õ

+= =úû

ùêë

é×

n

rj

j

kkj vT

1 1

Seria este convergentă dacă, conform criteriului de convergenţă al raportului,

pentru serii cu termeni pozitivi, avem:

( ) 11

lim1

1 <+× +

+

¥®kk

k

k iTT

Dacă anuităţile sunt egale, atunci condiţia de convergenţă este îndeplinită

indiferent dacă plăţile sunt efectuate cu procente anuale egale sau nu, deoarece

1/(1+ik+1)<1.

FValoareaactuala si

valoarea finalain cazul platilor

amanatelimitate

anticipate

43



] ( ) iTvvTTv

iT

iT

iTA r

k k

rk

k

rkkrrr

P ×===+

=++

++

= å åå¥

=

¥

=

+¥

=

++++¥

1 1121

)(

)1(.....

)1(1

] iTvA rP

r ×=¥)( ,

8. Anuităţi amânate nelimitate(perpetue) anticipate: plăţile se desfăşoară pe o

perioadă nelimitată ( ¥®n ), şi primele plăţile încep după un număr de r ani de la

data semnării contractului (amânate), la începutul fiecărui an (anticipate).

Urmând un raţionament analog celui de mai sus vom obţine valoarea actuală

a acestor plăţi:

] iTuvA rA

r ××=¥)( .

1. Achitarea unei datorii a fost stabilită pentru o durată de 5 ani cu plată anuală

anticipată. Valoarea unei anuităţi este de 10.000 u.m şi procentul anual de 5%.

Care este valoarea acumulată la sfârşitul ultimului an de plată şi care este valoarea

acestei datorii?

Rezolvare:

Plăţi anticipate, imediate, limitate

T = 10.000 u.m, p = 5%, i = 0,05, u = 1,05, n = 5 ani

S )( An =

iuuT

n 1-×× = 58.002 u.m.

A )( An =

ivuT

n-××1 = 45.483 u.m.

FProblemerezolvate

44

2. La achiziţionarea unei case s-a plătiţi un avans de 200.000 u.m. si s-a

convenit ca apoi timp de 20 ani sa se achite la fiecare sfârşit de an cate o suma de

10.000 u.m. cu un procent anual de 5%. La ce preţ a fost negociata casa si care este

valoarea ei finala peste 20 de ani.

Rezolvare :

Plaţi eşalonate, posticipate, imediate, limitate

n = 20, T = 10.000, S0 = 200.000 u.m., p = 5% i = 0,05

Preţ = S0 + A )(Pn = S0 + T

iv n-1 = = 324.622,1044 u.m. valoarea actuala a

casei

S0 (1 + i)n + S )(Pn = S0(1 + i)n + T

iu n 1- = 200.000 x 1,0520 + 10.000

05,0105,1 20 - =

= 530659,502 + 330659,542 = 861319,084 u.m. valoarea casei după 20 ani

3. O banca acorda un credit de 100 milioane u.m. pe timp de 5 ani, cu

procentul de 10%, urmând ca exact la 5 ani sa se facă rambursarea după una din

variantele:

a) Integral, suma împrumutată plus, dobânzile aferente

b) prin 5 anuitatea constante si cu procent anual constant de 6%

Sa se determine suma rambursata la punctul a) si apoi ratele anuale de la b).

Rezolvare:

Plati esalonate, immediate, limitate, anticipate.

S0=100.000.000, n=5 ani, p=10% => i=0,1, Sf=S0(1+i)n

Sf=100.000.000 x (1,1)5=100.000.000 x 1,61051=161.051.000

45

St= An(A)=T

viv n

×-1 , T= n

f

v

vi S-

××

1=

7472,0106,1116105100006,0

-

××=36.160.862.

4. Să se calculeze valoarea actuală a unui şir de 10 unităţi a 20 000 u.m.

plasate posticipat cu 6%.

Rezolvare:

Plati esalonate posticipate, limitate, immediate.

Avem: T = 20 00, n = 10, i = 0,06

74,201,14706,006,11200001 12

1212 =-

=Þ-

×=-

AivTA

n

(u.m.)

6. Plasând 3 ani consecutiv la finele fiecărui an, sumele 2.000 u.m., 8.000

u.m. si 12.000 u.m., cu un procent anual unic p = 10%, care este valoarea finala si

valoarea actuala a plasamentelor?

Rezolvare: Plati esalonate immediate, limitate, posticipate.( ) 23220120001,180001,12000 23 =+×+×=PS um

32)(

3 1,112000

1,18000

1,12000

++=PA = 17.446um.

46



1. BURLACU V., CENUSA GH., Matematici financiare si actuariale, Ed. Teora,Bcuresti, 2000.2. CENUŞĂ GH., RAISCHI C., BAZ D., TOMA M, BURLACU V., SĂCUIUI., MIRCEA I., Matematici pentru economişti, Ed. Cison, Bucureşti, 2000.


1. Un cetatean participa anual, la sfarsitul fiecarui an, timp de 25 de ani cu suma de

1000um, la un fond de investitii privat in vederea acumularii unui fond privat de

pensie. Daca presupunem ca rata dobanzii este constanta si egala cu 3,5%, pe toata

durata plasamentului, care este valoarea fondului acumulat dupa 25 de ani si ce

pensie privata va putea primi tot restul vietii, cu procentul anual de 2,2%, la inceputul

fiecarui an de viata?

47

TEMĂ DE REFLECŢIE

Daca doua persoane investesc aceeasi suma de bani, cu acelasi procent anual,

pe o peorioada de 10 ani, una prin anuitati anticipate iar cea de-a doua prin anuitati

posticipate, care persoana va acumula o suma mai mare de bani, prima sau a doua?



1) Timp de 12 ani se plasează câte o sumă de 100 000u.m. cu procentul anual

5%. Care este valoare finală şi valoarea actuală a acestui plasament?

a)1 591 600u.m.; 886 326u.m., b)1 491 600u.m.; 900 320u.m.,

c)1 200 000u.m., 850 000u.m..

48

2) Dacă 3 ani la rând, la sfârşitul anului se plasează sumele: 2000 u.m., 3000u.m.,

5000u.m. cu procentele 5, 7, 10% care este valoarea fondului acumulat şi care

este valoarea actuală la începutul primului an de plată.

a) 10 654u.m., 9 508,45u.m., b) 11 000u.m., 9 600u.m.,

c)12 000u.m., 8 000u.m..

R: 1 a), 2 a),


1. a.

2. a.

49

CAPITOLUL IVOPERATINI DE SCONT


Cuprins

� Descrierea operatiunilor de scontar, definirea scontul simplusi scontului compus

� Tehnica de rezolvare aproblemelor de scont.

� Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privindoperatiunile de scontare, clasificare tipurilor de scont.

� Obiective operaţionale: Însuşirea tehnicii şi a etapelor derezolvare a problemelor de scont.

= 3 ore

CAPITOLUL IVOPERATIUNI DE SCONT

1. Noţiunea si tipurile de scont.

4.1. Definirea noţiunii de scont. Operaţiuni de scont – cumpărarea de către unele

bănci a unor poliţe (chitanţe, scrisori de schimb) înainte de scadenţa acestoraFOperatiunea de

scont

50

percepând o anumită taxă pentru astfel de servicii făcută deţinătorilor acestor

documente financiare.

0S suma plasată pe durata T cu procentul anual „p” devine „K”.

0S - valoare iniţială a operaţiuni sau preţ de cumpărare sau valoarea de

emisiune.

Procent anual – procent de emisiune al poliţiei Suma 1K se numeşte valoarea

finală la scontare sau curs al poliţei acesteia.

Suma K se numeşte valoarea finală a operaţiuni sau valoarea nominală a

scadenţei.

q – procent anual sau procent de scont al poliţei;aK - valoarea actuală a poliţei la momentul vânzării sau valoarea scontată

sau capital scontat.

Definiţie: Diferenţa dintre K (capital nominal) şi aK (capital scontat) se

numeşte taxă de scont sau scont.aKKS -= - taxă de scont

Scontul simplu. Dacă dobânda aferentă capitalului scontat aK pentru a obţine

capitalul nominal K este evaluată ca dobânda simplă, atunci spunem că avem o

operaţiune de scont simplu şi se va nota SS.

SS – scont simplu;

SS = K - aK , DS = itS0 , SS = jtK 0 , K = SSK a + , K = jtKK aa +

jtKKjtKK aa

+=Þ+=

1)1(

jtKK

jtKKKKjtKjt

KjtSSRKjtSSCjtjt

KjtSS

a

aa

-=

-==++

==»++

=

1

)1(,,1

,,11,1

FValoarea

actuala saucapital scontat

FTaxa de scont,

scontul

FCapital nominal

sau valoareafinala lascadenta

51

SSR SSC

)1(1

1

jtKKjt

KK

jtKSSRjt

KjtSSR

a

a

a

+=

+=

=

+=

jtKK

jtKKjtjtKSSC

KjtSSC

a

a

a

-=

-=

-=

=

1

)1(1

Exemplu: O poliţă cumpărată în urmă cu 5 luni cu un anumit preţ şi evaluată

azi cu procentul anual p=8% valorează 100000 UM, când posesorul doreşte să o

sconteze şi să o vândă.

Scadenţa ei este de 10 luni de la cumpărare. În aceste condiţii se cere scontul

simplu raţional şi scontul simplu comercial corespunzător cu procentul iniţial şi

procentul q = 10% precum şi valoarea scontată în fiecare caz.

Rezolvare:

=1T 5 luni; P = 8 %; 1000001 =K , T = 10 luni, SSR = ?, SSC = ?

1)q = P = 8 %; 2)q = 10 %

UMK

iTSK

iTKS

TiSitSSK

KK

a

a

79,103225151619,96774

1210

1008119,96774

)1(

19,9677431

30100000

300310

100000

1215

10081

1000001

)1(

0

1

10

10001

2

1

==÷øö

çèæ +=

+=

×==

+=

+=

++=+=

FScont simplu

rational si scontsimplu

comercial

52

85,344030179,103225

864,3329

3031

30179,103225

125

10081

125

100879,103225

1

===

==+

=

=+

=

KjtSSR

SSR

pqjt

KjtSSR

74,9978485,344079,103225

93,9989586,332979,103225

=-=-=

=-=-=

SSCKKSSRKK

a

a

.

Dacă dobânda aferentă capitalului actual scontat 0K pentru a obţine capitalul

scontat K este evaluat ca dobândă compusă spunem că avem o operaţiune de scont

compus al cărui rezultat se notează SC.

[ ]

1)1(

1)1(,)1(

,1

)1

11(,1)1(

)1(11,

)1(

,)1(

,)1(,)1(

1

0

-+=

-+=-+=

=+

=+

-=+»+

úû

ùêë

é+

-=+

-=

=-

=+=+=

-

ta

taaa

t

tt

tatat

f

jSCK

jKSCKjK

SCjt

Kjtjt

KSSCjtj

jKSC

jKK

SCj

KKjKKiSS

SCR SCC=SSR

[ ]

ta

ta

ta

t

jKKj

KK

jKSCR

jjKSCR

)1()1(

1)1(

)1(1

+=

+=

-+=

úû

ùêë

é+

-=

)1(1

1

jtKKjt

KK

jtKSCCjt

KjtSCC

a

a

a

+=

+=

=

+=F

Scont compusrational sis cont

compuscomercial

53

IV.2. Exemple rezolvate. 1. La data de 01.05.2001 a fost cumpărată sau

emisă o poliţă în valoare ( sau la preţul ) de S0 = 10000 u.m., scadentă 5 ani mai

târziu şi evaluată cu procentul anual de 8 % . Din motive diverse, posesorul poliţei se

prezintă la scontare cu 2 ani înainte de scadenţă. În aceste condiţii se cer:

a)valoarea nominală a poliţei K la scadenţă;

b)valoarea finală a poliţei la momentul scontării;

c)valoarea scontată a poliţei Ka aplicând pe rând ambele sconturi simple cu

fiecare din procentele anuale q1= 8% şi q2 = 10%.

Rezolvare:

S0 = 10000 u.m., T = 5 ani, p = 8 %, q = 8 %

a) Deoarece T = 5 ani , evaluată cu dobânda compusă, poliţa conduce la

un capital nominal ( ) ( )50 08,1100001 ×=+×= TiSK = 14693,28 u.m.

b) Pentru t = 2 ani şi q = 8 % capitalul scontat este :

K /(1+jt) =14693,28 /( 208,01 ×+ )= 12666,62 cu SSR sau SSC

Ka= K (1 – jt ) = 14693,28 ( 208,01 ×- ) = 12342,355 cu SSC

K ( 1 + j )-t = 14693,28 : 1,08-2 = 12597,118 cu SCR

3. O poliţă cumpărată în urmă cu 5 luni cu un anumit preţ şi evaluată azi cu

procentul anual p=8% valorează 100000 UM, când posesorul doreşte să o sconteze şi

să o vândă. Scadenţa ei este de 10 luni de la cumpărare.

În aceste condiţii se cere scontul simplu raţional şi scontul simplu comercial

corespunzător cu procentul iniţial şi procentul q = 10% precum şi valoarea scontată în

fiecare caz.

Rezolvare:

=1T 5 luni, p = 8 %, 1000001 =K , T= 10 luni, SSR = ?, SSC = ?

1) q = p = 8 %

2) q = 10 %,

Se cer ?,, 121 =KKK aa

)1( 10001 TiSitSSK ×+=+=

54

umKiTSK

umiT

KS

79,103225151619,96774

1210

1008119,96774),1(

19,9677431

30100000

300310

100000

1215

10081

1000001

0

1

10

==÷øö

çèæ +=+=

=×

==+

=+

=

85,344030179,103225

864,3329

3031

30179,103225

125

10081

125

100879,103225

,,1

===

==+

==+

=

KjtSSR

SSRpqjt

KjtSSR

74,9978485,344079,10322593,9989586,332979,103225

=-=-=

=-=-=

SSCKKSSRKK

a

a

.

4. Pe 01.03.2005 a fost cumpărată (emisa) o poliţă în valoare de S0=12.000

u.m. scadentă 10 luni mai târziu cu procentul de 10%. Din motive diverse posesorul

poliţei se prezintă la scontare cu 3 luni înainte de scadenţă.

În aceste condiţii se cere:

a) valoarea nominala a poliţei K la scadenţă

b) valoarea finala a poliţei la momentul scontării (cursul poliţei K1 )

c) valoarea scontata Ka, aplicând pe rând cele 3 tipuri de sconturi (q=8%)

Rezolvare:

S0=12.000, p=10%, T=10 luni, T1=7 luni, t=3 luni.

a) K=S0+S0iT=S0(1+iT)=12.000(1+0,1 1210 )=13.000

b) K1=S0(1+iT1)=12.000(1+0,1 127 )=12.796

c) Ka = K(1-jt)=1.300(1-0,08 123 )=12.740 SSC

jtK+1

=12303,01

300.1×+

=12.903.225 u.m. SSR

5. O bancă a emis obligaţiuni cu termen de 6 luni şi cu o dobânda de 21 %.

Daca se cumpăra obligaţiuni in valoare de 200 000 u.m., peste 6 luni ce valoare finală

vor avea ? Dacă vor fi vândute după 3 luni de la cumpărare, care este taxa de scont ,

55

şi care este suma pe care o va primi posesorul obligaţiunilor? Să se aplice pe rând

toate cele trei tipuri de scont, cu acelaşi procent de scont de 21 %.

Rezolvare:

S0 = 200 000 u.m., T = 6 luni =1/2 ani=0,5ani, p = 21%, i=0,21, t = 3 luni = 3/12 ani

t= 0,25 ani

( ) 5,021,020000010 ××=+= iTSK um=221000um

K = 221000 um

Taxa de scont: SSR = SCC = Kjt / (1+jt)

SSR ( ) 7,1102325.021,0125,021,0221000 =×+×××= um

Ka = K– SSR, Ka = 221 000 – 11 023,7 = 20 9976,3 um

SSC = Kjt, SSC = 5,1160225,021,0221000 =×× um

Ka = K – SSC, Ka = 221 000 – 11 602,5 = 209 397,5 um

SCR = K( 1- 1/ (1+j)t )

SCR = 221 000 (1-1/ (1+0,21)0.25 )= 10 284,76 u.m.

Ka = K – SCR, Ka = 221 000 – 10 284,76 = 210 715,24 u.m.



1. BURLACU V., CENUSA GH., Matematici financiare si actuariale, Ed. Teora,

Bcuresti, 2000.

2. CENUŞĂ GH., RAISCHI C., BAZ D., TOMA M, BURLACU V., SĂCUIU I.,

MIRCEA I., Matematici pentru economişti, Ed. Cison, Bucureşti, 2000.


56

1. O polita a fost emisa cu valoarea de 2000um si este scadenta 4 ani mai tarziu.

Procentul de emisiune al politei este de 8%. Care este capitalul nominal al politei sau

valoarea politei la scadenta ? Daca polita este scontata cu 2 ani mai devreme cu

procentul de scont de 9% cat va primi posesorul politei si ce taxa de scont va incasa

banca care face acest serviciu?

TEMĂ DE REFLECŢIE

Care dintre tipurile de scont este mai avantajos pentru client? Dar

pentru banca de scont?



1) Valoarea unei poliţe, la data cumpărării ei, este de 20000 =S u.m. şi scadenţa

peste 6 luni cu un procent anual de 10. Se cere suma pe care o primeşte

posesorul la scadenţă.

a) 100 000u.m., b) 210 000u.m., c) 105 000u.m..

2. Acum doi ani un cetatean a cumparat o polita cu pretul de 2560um, cu

procentul de emisiune de 7% si scadenta peste 4 ani de la data emiterii ei. Cat

primeste cetateanul daca o vinde unei banci ce ii va aplica un procent de 6% pe

perioada scontata si un scont simplu comercial?

a) 3300,08um, b) 2500,02um, c)2952,96um


1. c.

2. c.

57

CAPITOLUL VRAMBURSAREA IMPRUMUTURILOR


Cuprins

� Notiunea de rambursare a unui imprumut, tipuri derambursare.

� Intocmirea tabelului de rambursare.

� Obiectiv general: Dobândirea de cunoştinţe privindoperatiunea de rambursare a unui imprumut.

� Obiective operaţionale: Însuşirea tehnicii de intocmire a unuitabel de rambursare.

= 3 ore

58

CAPITOLUL VRAMBURSAREA IMPRUMUTURILOR

1. Noţiunea, tipurile de rambursare a imprumuturilor.

5.1. Definirea noţiunii rambursare. Prin operatiunea financiara de rambursare a

unui imprumut intelegem efectuarea unor plati esalonate pe o perioada limitata cu un

anume procent anual stabilite printr-un contract intre cei doi parteneri, la data

obtinerii imprumutului.

Notăm cu: V0 valoarea împrumutului (suma împrumutată), n numărul de ani în care

se rambursează împrumutul,

T1, T2, …Tn anuităţile succesive (ratele plătite) pentru rambursarea împrumutului,

Q1, Q2, …Qn amortismentele succesive (sunt părţi ale ratelor) si parti ale sumei

imprumutate 0V ,

p = 100i procentul anual aferent împrumutului şi Vj valoarea datoriei (suma rămasă

de rambursat) la finele anului j.

FElemntele unui

imprumt

59

Evident avem relaţiile:

V0 = Q1 + Q2 + …+ Qn , Vn-1 = Qn , Vn = 0

Pentru a pune în evidenţă elementele din rambursarea unui împrumut se

întocmeşte un tabel de tipul următor:

Nr.

peri-

oade

Datoria la

începutul

perioadei

Vj-1

Dobânda

aferentă

datoriei

dj

Amortis-

mentul

Qj

Anuitatea

Tj = Qj + dj

Datoria

rămasă

Vj=Vj-1-Qj

Datoria

achitată

Sj

1 V0 d1 = V0 i Q1 T1=Q1 + d1 V1 = V0-Q1 S1=Q1

2 V1 d2=V1i Q2 T2 = Q2 +d2 V2=V1-Q2 S2=S1+Q2

… … … … … … …

N Vn-1 dn=Vn-1i Qn Tn=Qn+dn Vn=Vn-1-Qn= 0 Sn=V0

Calculăm diferenţa dintre două anuităţi succesive şi obţinem:

( )( ) jjjjj

jjjjjJjjjj

QiQQiQQVViQQViQViQTT

×+-=×--=

=-×--=×--×+=-

++

-+-++

111

11111

Cazul I: Dacă anuităţile sunt constante (T1 = T2 = …Tn-1 = Tn) obţinem:

( ) jj QiQ ×+=+ 11 , nj ,1=

adică amortismentele sunt în progresie geometrică crescătoare cu raţia

u =1+ i.

( )

11

...1

,

0110

121

,10

11

-×=Û

-×=

++++==

×=

-

=

-

å

n

n

n

njj

jj

uiVQ

iuQV

uuuQQV

uQQ

FRambursarea

prinamortismente in

progresiegeometrica

60

Cazul II. Dacă amortismentele sunt egale Q1 = Q2 =…=Qn = V0/n, vom

obţine:

( ) 1,1,,/1 0101 -=-=-=-=+-=- ++ nj

nViTTniViQQiQTT jjjj

anuităţile (ratele) formează o progresie aritmetică descrescătoare de raţie

niV0- .

Evident, avem şi o relaţie între suma împrumutată şi anuităţi datorată faptului

că împrumutul reprezintă valoarea actuală a amortismentelor. Deci:

ivvTvTvTV n

n +=×++×+×=

11,...2

210

5.2. Exemple de operatiuni de rambursare a unui imprumut.

1. Să se întocmească tabelul de amortizare în cazul unui împrumut de 40.000um

cu o dobânda de 24 %, daca rambursarea se face în 4 ani prin amortismente egale.

Rezolvare:

Anii

Suma la

începutul

anului

Dobânda Amortisment Anuitatea

Suma

ramasa de

plata

1 40000 9600 10000 19600 30000

2 30000 7200 10000 17200 20000

3 20000 4800 10000 14800 10000

4 10000 2400 10000 12400 0

FRambursare

prinamortismente

egale

17200100007200,200001000030000720024,030000,300001000040000

,960024,040000,10000440000

222202

12101

111014321

=+=+==-=-==×===-=-=

+==×=======

QdTQVViVdQVV

dQTiVdQQQQ

61

2. Să se întocmească tabelul de amortizare în cazul unui împrumut de 50.000

u.m. cu 15 % dobânda, daca rambursarea se face in 5 ani cu amortismente egale.

Rezolvare :

,300001000040000

,16000100006000,60001001540000

400001000050000,17500100007500

75001001550000,10000

550000

212

2222

101111

154321

=-=-=

=+=+==×=

=-=-==+=+=

=×=======

QVV

QdTd

QVVQdT

dQQQQQ

Anii

Suma la

inceputul

anului

Dobanda Amortisment Anuitate

Suma

ramasa de

plata

1 50000 7500 10000 17500 40000

2 40000 6000 10000 16000 30000

3 30000 4500 10000 14500 20000

4 20000 3000 10000 13000 10000

5 10000 1500 10000 11500 0

62

3. Să se întocmească tabelul de amortizare a împrumutului de 100.000 u.m. cu

dobândă d 8%, pe timp de 4 ani.

Rezolvare: Avem plăţi constante şi utilizam urmatoarele formule:

V0 = Q1 · ( un – 1 ) / i, Q1 = V0 · i / ( un – 1 ) , u = 1 + i, i = p/100

d1 = V0·i => d1=100000·(8/100) =8000

Q1 = (V0 · i) / ( un - 1), u = 1+i, i = p/100 => u=1+8/100, u=1,08

Q1=8000 / ( 1,084 – 1), Q1= 22192,08

T1 = Q1 + d1 = 22192,08 + 8000 = 30192,08

V1=V0-Q1 = 100000-22192,08 =77807,92

d2=V1·i = 77807,92 · 0,08 = 6224,63

Q2=Q1 (1+ i) = 22192,08 · 1,08 = 23967,

T2=Q2 + d2 = 23967,45+6224,634 =

V2=V1-Q2 = 77807,92-23967,45 =53840,47

d3=V2 · i = 53840,47 · 0,08 = 4307,238

Q3=Q2 · (1+ i) = 23967,45 · 1,08 =25884,84

T3=Q3 + d3 = 25884,84 + 4307,238 =

V3=V2-Q3 = 53840,47-25884,84=27955,63

d4=V3 · i = 27955,63 · 0,08=2236,45

Q4=Q3 · (1+i) = 25884,84 · 1,08=27955,63

T4=Q4 + d4 = 27955,63 + 2236,45 =

V4=V3-Q4 = 27955,63-27955,63

V4=0

Nr.

Crt

Suma datorata

la inceputul

anului

Dobanda Amortisment Anuitatea

Suma la

sfarsitul

anului

1 V0 = 100.000 d1=8000 Q1=22192,08 T1=30192,08 V1=77807,92

2 V1=77807,92 d2=6224,634 Q2=23967,45 T2=17742,81 V2=53840,47

3 V2=53840,47 d3=4307,238 Q3=25884,84 T3=21577,06 V3=27955,63

4 V3=27955,63 d4=2236,45 Q4=27955,63 T4=25719,18 V4=0

63

4. Să se întocmească tabelul de amortizare a împrumutului de 100000 u.m. cu

dobânda de 3%, pe timp de 4 ani prin plăti constante.

Rezolvare:

Mo-

ment

Suma

datorata la

începutul

anului

Dobânda Amortisment Anuitate

Suma

datorata la

sfârşit an

1. V0=100000 d1=3000 Q1=23902,7 T1=26902,7 V1=76097,29

2. V1=76097,29 d2=2282,91 Q2=24619,78 T2=26902,7 V2=51477,51

3. V2=51477,51 d3=1544,33 Q3=25358,37 T3=26902,7 V3=26119,14

4. V3=26119,14 d4=783,57 Q4=26119,14 T4=26902,7 V4=0

64

5. Sa se întocmească tabelul de amortizare a împrumutului de 200.000 u.m. cu

dobânda de 4% pe timp de 5 ani prin amortismente egale.

Rezolvare:

6. O bancă de stat acordă unei societăţi comerciale un credit de 1 000 000 u.m.

care urmează a fi rambursat în 6 ani, cu procentul 6%, prin anuităţi constante. Care

sunt valorile primului şi ultimului amortisment? Dar al anuităţii?

Rezolvare:

Avem: V0 = 1 000 000 u.m;. n = 6 ani; i = 0,06

Din101 -

×= nuiVQ rezultă: 63,143362

106,106,00001000 61 =-

×=Q u.m.

Din 11

-×= pp uQQ rezultă: ( )56 1 iQQ += , adică

558,191851338226,16,14336206,16,143362 56 =×=×=Q u.m.

Pentru anuitate, folosind formula : nviVT-

×=10 , obţinem:

63,20336206,1106.01000000 6 =

-×=

-T u.m.

Nr.

ani

Suma

datorata la

începutul

anului

Dobânda Amortism. Anuitate

Suma

datorata la

sf. anului

1 V0 = 200.000 d1 = 8000 Q1 = 40.000 T1 = 48.000 V1 = 160.000

2 V1 = 160.000 d2 = 6400 Q2 = 40.000 T2 = 46.000 V2 = 120.000

3 V2 = 120.000 d3 = 4800 Q3 = 40.000 T3 = 44.800 V3 = 80.000

4 V3 = 80.000 d4 = 3200 Q4 = 40.000 T4 = 43.200 V4 = 40.000

5 V4 = 40.000 d5 = 1600 Q5 = 40.000 T5 = 41.500 V5 = 0

65

7.Sa se întocmească tabelul de amortizare în cazul unui împrumut de 36 000

u.m., cu dobânda de 10%, daca rambursarea se face în 6 ani cu amortismente egale.

Rezolvare:

Nr.ani

Datoria laînceputde an

Dobânda Amortizarea AnuitateaDatoria

lasfârşitulanului

1 36 000 3 600 6 000 9 600 30 000

2 30 000 3 000 6 000 9 000 24 000

3 24 000 2 400 6 000 8 400 18 000

4 18 000 1 800 6 000 7 800 12 000

5 12 000 1 200 6 000 7 200 6 000

6 6 000 600 6 000 6 600 0

66




1992.




Să se întocmească tabelul de amortizare a împrumutului de 200.000 u.m, cu

dobânda de 4% pe timp de 4 ani, prin plăţi constante si prin amortismente egale.

67

TEMĂ DE REFLECŢIE

Care din cele doua procedee de rambursare a unui imprumut este mai

avantajoasa penru client si care pentru banca ce a acordat creditul ?

In care situatie se plateste o dobanda totala mai mare ?



1. 2) Pentru rambursarea împrumutului de 200 000u.m. cu procentul de 4% pe

timp de 4 ani, prin plăţi constante, valoarea unei plăţi este de:

a) 52 114 u.m., b) 50 200 u.m., c) 55 114,26 u.m.

2. Care este dobanda totala achitata odata cu rambursarea unui imprumut

prin amortismente egale, de 2000um, pe timp de 5 ani cu procentul de 10%.

A) 650um, b) 600um, c)755,05um

68


1. c.

2. b.

Documents

72368187 Curs ID Actualizat Matematici Aplicate