7 Practica Matlab 2v[1]

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRS FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL DEPARTAMENTO DE CURSO BSICOEL CLCULO SUPERIOR EN EL ENTORNO MATLAB

APLICACIONES AL ALGEBRA LINEAL (CONTINUACION) o ESPACIOS VECTORIALES o PRODUCTO INTERIOR o COMBINACION LINEAL o TRANSFORMACIONES LINEALES o AUTOVALORES Y AUTOVECTORESMg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta

PERIODO ACADEMICO 2011

TRANSFORMACIONES LINEALES Las transformaciones lineales son una clase especial de funciones entre espacios vectoriales, aquellas que preservan las operaciones del espacio vectorial. Sern tiles los siguientes comandos: FUNCION Z=null(A,r) Z=null(A) Q=orth(A) [E,base]=RREF(A) SIGNIFICADO Devuelve una base estndar para el espacio nulo obtenida a partir de la reduccin de filas A*Z es un estimado de la nulidad de A Da una Base ortonormal del ncleo de A (ZZ=I). El nmero de columnas de Z es la nulidad de A Da una base ortonormal para el rango de A (QQ=I). Las columnas de Q generan el mismo espacio que las columnas de A, y el nmero de columnas de Q es el rango de A Devuelve la forma escalonada de A y una posible base del espacio de columnas de A

x 4 1 2 3 y 4 3 Sea T : IR IR tal que T ( x, y , z , w ) = 2 1 1 4 . Hallar una base para el ncleo de T y su z 6 0 9 9 w r dimensin. Determinar la imagen del vector v = ( 1, 2, 4,3) . Hallar una base para la imagen de T y sudimensin. Definimos la matriz A

Hallamos la base del ncleo

Definimos la transpuesta del vector de origen

Hallamos la imagen del vector

v = ( 1, 2, 4, 3)

T = 3 4 4 1 = [3 1]Para la base de la imagen. Escalonamos la transpuesta de la matriz A

>> A=[4 1 -2 -3;2 1 1 -4;6 0 -9 9] A= 4 1 -2 -3 2 1 1 -4 6 0 -9 9 >> B=null(A,'r') B= 1.5000 -4.0000 1.0000 0 >> v=[-1 2 4 3]' v= -1 2 4 3 >> imagen=A*v imagen = -19 -8 -15 >> rref(A') ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

3 BN = , 4,1 2 Nulidad = 1

vimagen = ( 19, 8, 15 )

BIMG = {(1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ) , ( 0, 0,1)} Rango = 3

TRABAJO PRCTICO TRANSFORMACIONES LINEALES CON MATLAB 1. Dado

T : IR 5 IR 6 una aplicacin lineal tal que: T ( 0, 2,1, 0,5 ) = (1, 2,1, 7,1, 1)T (1, 2, 0,1,1) = ( 3,5,1, 4, 2, 0 ) T ( 0, 0,1, 2, 2 ) = ( 3,3,1,1, 2, 2 ) . T (1, 2,1, 2, 0 ) = ( 4,1,8,1,5, 2 ) T (1,1,1,1,1) = (1,3,5, 2, 4,1) r r los vectores: v1 = ( 2, 2,3,5, 4 ) v 2 = ( 4, 2,3,5,3)

a) Hallar

la

imagen

de

tal

que

T ( x, y ) = ( x + y , x y ) .b) Hallar una base para el ncleo y una base para la imagen de la transformacin 2.n Dada la transformacin lineal

T : IR 5 IR 4 definida por T ( x, y , z , w, u ) = ( x y , y z , z w, w u )

determinar la matriz asociada a T respecto de las bases.

B1 = {(1, 2, 3, 4, 5 ) , ( 0,1, 2,3, 4 ) , ( 0, 0,1, 2, 3) , ( 0, 0, 0,1, 2 ) , ( 0, 0, 0, 0,1)} B2 = {(1,1,1,1) , (1, 2,1, 2 ) , ( 0, 0, 0,1) , (1, 3, 1, 3)} .

1 0 0 2 3 IR 4 y las bases 3.y Sea la matriz A = 2 0 3 5 y las bases de IR 5 2 1 1 B1 = {(1,1,1,1) , (1,1,1, 0 ) , (1,1, 0, 0 ) , (1, 0, 0, 0 )}

B2 = {(1, 2, 4 ) , ( 0, 2,1) , ( 3, 2, 3)} .

T : IR 4 IR 3 4 3 4 3 b) Determinar la transformacin lineal T : IR IR , IR considera B1 , IR considera la basea) Determinar la transformacin lineal cannica. 4.nDada la TL T

: IR 5 IR 5 definida por T ( x, y , z , w, u ) = ( 2 x y, 3 y + 4 w, z y + u , x + u , 2u )1

c) Hallar una base para el ncleo y una base para la imagen d) Determinar la transformacin lineal G que tiene como matriz asociada A respecto de las bases. B1 = (1,1,1,1,1) , (1,1,1,1, 0 ) , (1,1,1, 0, 0 ) , (1,1, 0, 0, 0 ) , (1, 0, 0, 0, 0 )

B2

{ } = {( 2,1, 0,1, 0 ) , (1, 2, 0, 3, 0 ) , ( 0,1, 3,1, 0 ) , (1,1,1, 0, 0 ) , ( 0, 0, 0, 0,1)} .

2.n Dada la transformacin lineal

T : IR 4 IR 3 definida por la multiplicacin de la matriz A

a) Determinar cual de los siguientes vectores estn en el ncleo de T

3 0 1 8 v1 = v2 = 2 0 0 8

4 1 2 3 A= 2 1 1 4 6 0 9 9

b) Encontrar adems una base para el ncleo y la imagen e indicar sus dimensiones.

MODIFICACION DE FIGURAS Y CUERPOS POR MEDIO DE TRANSFORMACIONES LINEALES Modificacin de figuras en el plano Los vectores y matrices se relacionan a travs de la multiplicacin matricial. Si A es una matriz fija de m n , a cualquier vector de n 1 le podemos asociar un vector y = A x principal ejemplo de una transformacin lineal.

u r

r

de

m 1 . Y esta correspondencia es el

Las transformaciones lineales desempean un papel muy importante en muchas reas de la ciencia e ingeniera y de la vida diaria, por ejemplo en el procesamiento de imgenes y grficos en computadora. Supongamos que un dibujante emplea computadoras y lgebra lineal para transformar los dibujos.

Supongamos que trata de dar la sensacin de movimientos a la primera imagen estirndola horizontalmente para llegar a la segunda imagen. Si el estiramiento necesario a lo largo del eje x s es del 100%. cmo puede modelarlo matemticamente y hacer que la computadora trace la imagen deseada?. El mtodo debera ser independiente de la imagen verdad?. Se le ocurre como resolver el problema?.. Un hecho importante de las transformaciones lineales es que ellas estn completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de una base. Si se conoce el efecto de una transformacin lineal sobre los vectores de la base, entonces se conoce el efecto sobre cualquier otro vector. Sigamos con nuestra bicicleta. Supongamos que queremos pasar de la figura 1 a la figura 3. Podemos ver esta relacin de otra forma, definiendo una funcin de IR , es decir: (1 2 x, y ) Sea2

en IR

2

que transforma el vector

( x, y )

en el vector

T:IR 2 IR 2 una transformacin lineal y supongamos que: T (1, 0 ) = (1, 0 ) T ( 0,1) = ( 1 2 ,1)

(1)

Queremos hallar T ( x, y ) para cualquier (x,y) Tomando transformaciones

( x, y ) IR . Como T ( x, y ) = x (1, 0 ) + y ( 0,1)2

2

es lineal tenemos

T ( x, y ) = T x (1, 0 ) + y ( 0,1) = xT (1, 0 ) + yT ( 0,1)(1,0 )

Por las condiciones dadas en (1)

T ( x, y ) = x T (1, 0 )De donde se tiene:

+ y T ( 0,1) 2

1 ,1

= x (1, 0 ) + y ( 1 2 ,1)

1 1 1 x + 2 y 1 2 x T ( x, y ) = x + y , y = = 2 y 0 1 y

Es una transformacin lineal que satisface (1). Esta transformacin se llama deslizamiento a lo largo del eje x s (cada punto se mueve a lo largo de la direccin x s una cantidad proporcional a la distancia del eje x s) Esta funcin preserva las operaciones del espacio vectorial

r r r r r r r r T u + v = A u + v = A u + A v = T u +T v

(

)

(

)

() () () ()

, +, ) en el sentido de que r r r r y T k u = A k u = k A u = k T u . Estas dos2

( ) ( ) (

( IR

)

()

propiedades caracterizarn a las transformaciones lineales.

Las siguientes son matrices asociadas a algunas transformaciones respecto de la base cannica de IR TRANSFORMACION Sea la transformacin lineal el cual representa un cuadrado unitario: MATRIZ ESTANDAR

2

EFECTOS SOBRE EL CUADRADO UNITARIO

1 0 x T ( x, y ) = 0 1 y

Reflexin sobre el eje x.

1 T ( x, y ) = 0

0 x -1 y

yReflexin sobre el eje y.

y 1

1 0 x T ( x, y ) = 0 1 y

1

1

x

-1

x

Reflexin origen.

respecto

al

1 0 x T ( x, y ) = 0 1 y

Contraccin o compresin horizontal.

K 0 x T ( x, y ) = 0 1 y 0 < k 1

1

1 x

k x

Contraccin o compresin vertical.

1 0 x T ( x, y ) = 0 k y 0 < k 1

yTrasquilado horizontal o deslizamiento a lo largo del eje x.

y

1 k x T ( x, y ) = 0 1 y k 0y y 1 x 1

Trasquilado vertical o deslizamiento a lo largo del eje y.

1 0 x T ( x, y ) = k 1 y k 0y y 1

Proyeccin sobre el eje x.

1 0 x T ( x, y ) = 0 0 y

1

1

x

1 x

yProyeccin sobre el eje y.

y 1

0 0 x T ( x, y ) = 0 1 y

1

1Rotacin en sentido contrario a las manecillas del reloj por un ngulo .

x

1

x

cos T( x , y ) = sen

sen x cos y

Modificacin de figuras y cuerpos en el espacio Al igual que en el plano, se puede ver en el espacio tridimensional, los efectos que produce una determinada transformacin lineal sobre una figura o un cuerpo. Para realizar la grafica d figuras o cuerpos se puede usar el comando plot3 COMANDO ACLARACIN Dados los vectores y Z = [ z1 >> plot3(X,Y,Z)

X = [ x1

x2dibuja

z2

( x3 , y3 , z3 ) ,, ( xn , yn , zn )

z3 L z n ]

x3 L xn ] , Y = [ y1los puntos

y2

( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) ,

y3 L yn ]

y los une con un segmento de recta. De esto se deduce

que el vector X esta formado por las primeras componentes de tales puntos y el vector Y por las segundas componentes y el vector Z por las terceras componentes. Las siguientes son matrices asociadas de algunas transformaciones lineales en el espacio respecto de la base cannica de IR3

Rotacin alrededor del eje x un ngulo

Rotacin alrededor del eje y un ngulo

Rotacin alrededor del eje

z un ngulo

0 0 x 1 T ( x, y, z ) = 0 cos sen y 0 sen cos z cos 0 sen x T ( x, y , z ) = 1 0 0 y sen 0 cos z cos sen 0 x T ( x, y , z ) = sen cos 0 y 0 1 0 z

Expansin para un factor k > 1 Contraccin para un factor 0 <