UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS

FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL

DEPARTAMENTO DE CURSO BÁSICO

EL CÁLCULO SUPERIOR EN EL ENTORNO MATLAB

• APLICACIONES AL ALGEBRA LINEAL (CONTINUACION)

o ESPACIOS VECTORIALES o PRODUCTO INTERIOR o COMBINACION LINEAL o TRANSFORMACIONES LINEALES o AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta

PERIODO ACADEMICO 2011

TRANSFORMACIONES LINEALES Las transformaciones lineales son una clase especial de funciones entre espacios vectoriales, aquellas que preservan las operaciones del espacio vectorial. Serán útiles los siguientes comandos:

FUNCION SIGNIFICADO

Z=null(A,’r’) Devuelve una base estándar para el espacio nulo obtenida a partir de la reducción de filas A*Z es un estimado de la nulidad de A

Z=null(A) Da una Base ortonormal del núcleo de A (Z’Z=I). El número de columnas de Z es la nulidad de A

Q=orth(A) Da una base ortonormal para el rango de A (Q’Q=I). Las columnas de Q generan el mismo espacio que las columnas de A, y el número de columnas de Q es el rango de A

[E,base]=RREF(A) Devuelve la forma escalonada de A y una posible base del espacio de columnas de A

Sea tal que 4: IR IRT → 3 ( )4 1 2 3

, , , 2 1 1 46 0 9 9

xy

y z wzw

⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦

T x . Hallar una base para el núcleo de T y su

dimensión. Determinar la imagen del vector ( )1,2,4,3v = −r

. Hallar una base para la imagen de T y su dimensión. Definimos la matriz A

>> A=[4 1 -2 -3;2 1 1 -4;6 0 -9 9] A = 4 1 -2 -3 2 1 1 -4 6 0 -9 9

Hallamos la base del núcleo >> B=null(A,'r') B = 1.5000 -4.0000 1.0000 0

3 , 4,12

1

NB

Nulidad

⎧ ⎫⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭=

Definimos la transpuesta del vector de origen

>> v=[-1 2 4 3]' v = -1 2 4 3

Hallamos la imagen del vector ( )1, 2, 4,3v = −

3 4T = × 4⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]1 3 1⎡ ⎤× = ×⎣ ⎦

>> imagen=A*v imagen = -19 -8 -15

( )19, 8, 15imagenv = − − −

Para la base de la imagen. Escalonamos la transpuesta de la matriz A

>> rref(A') ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

( ) ( ) ( ){ }1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1

3IMGB

Rango

=

=

TRABAJO PRÁCTICO TRANSFORMACIONES LINEALES CON MATLAB

1. Dado una aplicación lineal tal que: 5: IR IRT → 6

( ) ( )( ) (( ) (( ) (( ) (

0, 2,1,0,5 1, 2,1,7,1, 1

1, 2,0,1,1 3,5,1, 4, 2,0

0,0,1, 2, 2 3,3,1,1, 2, 2

1, 2,1, 2,0 4,1,8,1,5, 2

1,1,1,1,1 1,3,5, 2, 4,1

T

T

T

T

T

)))

)

= −

=

− =

− =

= −

.

a) Hallar la imagen de los vectores: ( ) ( )1 22,2,3,5,4 4,2,3,5,3v v= ∧ =r r

tal que

. ( ) (, ,T x y x y x y= + − )

4

b) Hallar una base para el núcleo y una base para la imagen de la transformación 2.n Dada la transformación lineal definida por 5: IR IRT → ( ) ( ), , , , , , ,T x y z w u x y y z z w w u= − − − − determinar la matriz asociada a T respecto de las bases.

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1, 2,3, 4,5 , 0,1, 2,3, 4 , 0,0,1, 2,3 , 0,0,0,1, 2 , 0,0,0,0,1B =

• ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 1,1,1,1 , 1, 2,1, 2 , 0,0,0,1 , 1,3, 1,3B = − .

3.y Sea la matriz y las bases de y las bases

1 0 0 22 0 3 55 2 1 1

A⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎥⎥

43IR IR∧

• ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1,1,1,1 , 1,1,1,0 , 1,1,0,0 , 1,0,0,0B =

• ( ) ( ) ( ){ }2 1, 2, 4 , 0, 2,1 , 3, 2,3B = .

a) Determinar la transformación lineal 4 3: IR IRT →b) Determinar la transformación line IR 4IR consid ra 1 , 3IR considera la base al : IRT → , e

anónica.

.nDada la T 5 definida por

4 3 Bc

L 5: IR IRT → ( ) ( ), , , , 2 ,3 4 , , , 2T x y z w u x y y w z y u x u u= − + − + + 4

d) Determinar la transformación lineal G que tiene como matriz asociada c) Hallar una base para el núcleo y una base para la imagen

1A− respecto de las bases. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1,1,1,1,1 , 1,1,1,1,0 , 1,1,1,0,0 , 1,1,0,0,0 , 1,0,0,0,0B = •

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 2,1,0,1,0 , 1, 2,0,3,0 , 0,1,3,1,0 , 1,1,1,0,0 , 0,0,0,0,1B =• .

.n Dada la transformación lineal definida por la multiplicación de la matriz

a) Determinar cual de los siguientes vectores están en el núcleo de

v v A

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

4 3: IR IRT → A 2

T

1 2

3 04 1 2 3

8 12 1 1 4

2 06 0 9 9

0 8

− −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ∨ = ∧ = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦

) Encontrar además una base para el núcleo y la imagen e indicar sus dimensiones. −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b

MODIFICACION DE FIGURAS Y CUE

RPOS POR MEDIO DE TRANSFORMACIONES LINEALES

s se cación m l. Si

Modificación de figuras en el plano

Los vectores y matrice relacionan a través de la multipli atricia A es una matriz fija de m n × , a

cualquier vector de 1n× le podemos asociar un vector Ay x=ur r

de 1m× . Y esta corresponden el

iencia e ingeniería

upongamos que un dibujante emplea computadoras y álgebra lineal para transformar los dibujos.

cia esprincipal ejemplo de una transformación lineal.

Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en muchas áreas de la cy de la vida diaria, por ejemplo en el procesamiento de imágenes y gráficos en computadora.

S

Supongamos que trata de dar la sensación de movimientos a la primera imag n estirándola horizontalmente para llegar a la segunda imagen. Si el estiramiento necesario a lo largo del eje

ex ’s es del 100%. ¿cómo puede

modelarlo matemáticamente y hacer que la computadora trace la imagen deseada?. El método debería ser

a transformación lineal sobre los vectores de

ere pas Poderelación efiniendo una función de en que “transforma” el vector

independiente de la imagen ¿verdad?….

¿Se le ocurre como resolver el problema?…..

Un hecho importante de las transformaciones lineales es que ellas están completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de una base. Si se conoce el efecto de unla base, entonces se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.

Sigamos con nuestra bicicleta. Supongamos que qu mos ar de la figura 1 a la figura 3. mos ver esta de otra forma, d 2IR 2IR ( ),x y en el vector

( )12 ,x y , es decir:

Sea una transformación lineal y supongamos que: 2 2T:IR IR→( ) ( ) ( ) ( )1

21,0 0,1 ,1T T= = 1,0 ∧ (1)

Queremos hallar para cualquier (x,y)∈ℜ( ),T x y 2 ( ) 2, IRx y ∈ . Como es lineal tenemos T

( ) ( ) ( ), 1,0 0x y x y= + ,1Tomando transformaciones

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),T x 1,0 0,1 1,0 0,1y T x y xT yT= + = +⎡ ⎤⎣ ⎦ Por las condiciones dadas en (1)

( ) ( ), 1,0T x y x T=( ) ( )1,0

0,1y T+ ( ) ( )1,1

1221,0 ,1x y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = +

De donde se tiene:

( )1 12 211, ,

0 12xx y

T x y x y yyy

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Es una transformación lineal que satisface (1). Esta transformación se llama deslizamiento a lo largo el ed je x ’s cada punto se mueve a lo largo de la dirección x ’s una cantidad proporcional a la distancia del eje x( ’s)

Esta función preserva las operaciones del espacio vectorial

( )2IR , ,+ ⋅ en el sentido de que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A AT u v u v u v T u T v+ = + = + = + y r r r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( )k u A k u k A u k T u⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅T

r r r r. Estas dos

ropiedades caracterizarán a las transformaciones lineales. p

La es asoci macio

TRANSFORMACION MATRIZ ESTANDAR EFECTOS SOBRE EL CUADRADO UNITARIO

s siguientes son matric adas a algunas transfor nes respecto de la base canónica de 2IR

Sea la transformación lineal el cual representa un cuadrado unit rio:

a ( )

1 0,

0 1x

T x yy

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Reflexión sobre el eje x. ( )1 0

,0 -1

xT x y

y⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Reflexión sobre el eje y. ( )

1 0,

0 1x

T x yy

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

1

1

-1 x

y

x

y

Reflexión respecto al rigen.

o ( )

1 0,

0 1x

T x yy

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ch

ontracción o compresión orizontal.

( )0

,0 1

0 1

K xT x y

yk

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

< <

Expansión horizontal.

( )0

,0 1

1

K xT x y

yk

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦>

1

1

1

k x

y

x

y

Contracción o compresión ertical.

v

( )1 0

,0

0 1

xT x y

k yk

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

< <

Expansiónvertical.

( )1 0

,0

1

xT x y

k yk

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦>

Trasquilado horizontal o deslizamiento a lo largo del eje x.

( )1

,0 1

0

k xT x y

yk

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦<

1

1 k 1 x

y

x

y

Trasquilado horizontal o deslizamiento a lo largo del eje x.

( )1

,0 1

0

k xT x y

yk

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦>

Trasquilado vertical o deslizamiento a lo largo del eje y.

( )1 0

,1

0

xT x y

k yk

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦<

1

1

1

1x

y

x

y

k

Trasquilado vertical o deslizamiento a lo largo del eje y.

( )1 0

,1

0

xT x y

k yk

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦>

Proyección sobre el eje x. ( )

1 0,

0 0x

T x yy

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

1

1

1 x

y

x

y

Proyección sobre el eje y. ( )

0 0,

0 1x

T x yy

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

1

1

1 x

y

x

y

Rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj por un ángulo .

( ),

coscosx y

sen xT

sen yθ θθ θ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Modificación de figuras y cuerpos en el espacio

Al igual que en el plano, se puede ver en el espacio tridimensional, los efectos que produce una determinada transformación lineal sobre una figura o un cuerpo. Para realizar la grafica d figuras o cuerpos se puede usar el comando plot3 COMANDO ACLARACIÓN

>> plot3(X,Y,Z)

Dados los vectores [ ]1 2 3 nX x x x x= L , [ ]1 2 3 nY y y y y= L

y [ ]1 2 3 nZ z z z z= L dibuja los puntos ( )1 1 1, ,x y z , ( )2 2 2, ,x y z ,

( )3 3 3, ,x y z ,…, ( ), ,n n nx y z y los une con un segmento de recta. De esto se deduce

que el vector X esta formado por las primeras componentes de tales puntos y el vector por las segundas componentes y el vector Y Z por las terceras componentes.

Las siguientes son matrices asociadas de algunas transformaciones lineales en el espacio respecto de la base canónica de 3IR

Rotación alrededor del eje x un ángulo θ ( )1 0 0

, , 0 cos0 cos

xT x y z sen y

sen zθ θθ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Rotación alrededor del eje un ánguloy θ ( )cos 0

, , 0 1 00 cos

sen xT x y z y

sen z

θ θ

θ θ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Rotación alrededor del eje z un ángulo θ ( )cos 0

, , cos 00 0 1

sen xT x y z sen y

z

θ θθ θ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Expansión para un factor 1k >Contracción para un factor 0 1 k< < ( )

0 0, , 0 0

0 0

k xT x y z k y

k z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Proyección sobre el plano :IP XY ( )1 0 0

, , 0 1 00 0 0

xT x y z y

z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Proyección sobre el plano :IP YZ ( )0 0 0

, , 0 1 00 0 1

xT x y z y

z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Reflexión respecto del eje x ( )1 0 0

, , 0 1 00 0 1

xT x y z y

z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Reflexión respecto del plano :IP XZ ( )1 0 0

, , 0 1 00 0 1

xT x y z y

z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ejemplos (transformación lineal en el plano y en el espacio):

Para el triangulo de vértices P(0,0) Q(2,5) R(6,3) realizar una expansión a lo largo del eje x con un factor de escala . 3k =Solución. Sea la transformación lineal tal que 2: IR IRT → 2 ( ) ( ), 3 ,T x y x y= . La matriz asociada a esta

transformación respecto de la base canónica de es: 2IR ( )3 0

,0 1

xT x y

y⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Se introducen los vectores P, Q, R expresados como vectores columna

>> P=[0 0]'; >> Q=[2 5]'; >> R=[6 3]';

Se construye la matriz T cuyas columnas son los vectores P, Q, R Esta matriz tiene como primera fila a las absisas de los vértices y como segunda fila a las ordenadas

>> T=[P Q R P] T =

0 2 6 0 0 5 3 0

Se forman los vectores x y de las abscisas y ordenadas de los vértices y se realiza la grafica del triangulo

y >> x=T(1,:); >> y=T(2,:); >> plot(x,y)

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Se realiza el producto A por T para obtener las imágenes

>> A=[3 0;0 1] A = 3 0 0 1 >> Im=A*T;

Se construyen los vectores 1x y de las

abscisas y las ordenadas de las imágenes y se realiza la grafica en una misma figura

1y>> hold on >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> plot(x1,y1,'g') 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Para el mismo triangulo realizar una expansión a lo largo del eje con un factor de escala y 2k = . Solución. La matriz asociada a la transformación es:

( )1 0

,0 2

xT x y

y⎡ ⎤ ⎡

= ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎦

>> P=[0 0]'; >> Q=[2 5]'; >> R=[6 3]'; >> T=[P Q R P]; >> x=T(1,:); >> y=T(2,:); >> plot(x,y) ; >> A=[1 0;0 2]; >> Im=A*T; >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> plot(x1,y1,'r') >> grid

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Realizar el trasquilado horizontal o deslizamiento a lo largo del eje x con un factor de escala 5k = − Solución. La matriz asociada a la transformación es:

( )1 5

,0 1

0 5

xT x y

yk

k

−⎡ ⎤ ⎡= ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣<= −

⎤⎥⎦

>> P=[0 0]'; >> Q=[2 5]'; >> R=[6 3]'; >> T=[P Q R P]; >> x=T(1,:); >> y=T(2,:); >> plot(x,y) ; >> A=[1 -5;0 1]; >> Im=A*T; >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> plot(x1,y1,'r') >> grid

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Realizar una rotación de 45ª a la porción de la parábola 2 2y x= + en el intervalo [ ]2, 2− .

Solución. La matriz asociada a la TL es: ( ) ( ) 4 4

4 4

coscos, ,

cos cos

sensen x xT x y T x y

sen y ysen

π π

π π

θ θθ θ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦

Dibujamos la parábola original >> x=-2:.1:2; >> y=4*x.^2+2; >> plot(x,y);

La matriz asociada >> A=[cos(pi/4) sin(pi/4) ;-sin(pi/4) cos(pi/4)]; Forma la matriz cuya primera fila esta compuesta por las abscisas y la segunda fila por las ordenadas de los puntos de la parábola

>> puntos=[x;y];

Calcula la imagen de los puntos >> puntosIm=A*puntos; >> hold on;

Forma el vector de abscisas y coordenadas de los puntos de la imagen

>> x1=puntosIm(1,:); >> y1=puntosIm(2,:);

Grafica la parábola rotada >> plot(x1,y1,'r') >> grid -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Dado el tetraedro de vértices P=(-1,6,0), Q=(0,2,0),R =(2,4,0), y S=(0,4,5). Aplicar la TL tal que (La transformación T produce una expansión a lo largo del eje )

3 3: IR IRT →( , , ) (5 ,5 ,5 )T x y z x y z= y

>> T=[-1 0 2 -1 0 2 0 0 -1 ;6 2 4 6 4 4 2 4 6 ;0 0 0 0 5 0 0 5 0]; >> x=T(1,:);y=T(2,:);z=T(3,:); >> plot3(x,y,z,'b') >> title('EXPANSION POR UN FACTOR'); >> A=[2 0 0;0 2 0;0 0 2]; >> pt=A*T; >> hold on >> xt=pt(1,:);yt=pt(2,:);zt=pt(3,:); >> plot3(xt,yt,zt) >> grid

-2

0

2

4

0

5

10

150

2

4

6

8

10

EXPANSION POR UN FACTOR

Dado el triangulo de vértices P(2,3,-1) Q(5,0,-2) R(4,-2,0) aplique las siguientes transformaciones: Simetría respecto del plano XY definida por tal que 3: IR IRT → 3 ( ) ( ), , , ,T x y z x y z= − . Solución. La matriz asociada a la transformación es:

( )1 0 0

, , 0 1 00 0 1

xT x y z y

z

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

>> P=[2 3 -1]'; >> Q=[5 0 -2]'; >> R=[4 -2 0]'; >> T=[P Q R P]; >> x=T(1,:); >> y=T(2,:); >> z=T(3,:); >> plot3(x,y,z); >> A=[1 0 0;0 1 0;0 0 -1]; >> Im=A*T; >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> z1=Im(3,:); >> plot3(x1,y1,z1,'r') >> xlabel('eje x '); >> ylabel('eje y '); >> zlabel('eje z '); >> grid

2

3

4

5

-2

0

2

4-2

-1

0

1

2

eje x eje y

eje

z

Simetría respecto del origen definida por tal que 3: IR IRT → 3 ( ) ( ), , , ,T x y z x y z= − − − . Solución. La matriz asociada a la transformación es:

( )1 0 0

, , 0 1 00 0 1

xT x y z y

z

−⎡⎢= −⎢⎢ −⎣

⎤ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦

>> P=[2 3 -1]'; >> Q=[5 0 -2]'; >> R=[4 -2 0]'; >> T=[P Q R P]; >> x=T(1,:); >> y=T(2,:); >> z=T(3,:); >> plot3(x,y,z); >> A=[-1 0 0;0 -1 0;0 0 -1]; >> Im=A*T; >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> z1=Im(3,:); >> plot3(x1,y1,z1,'r') >> xlabel('eje x '); >> ylabel('eje y '); >> zlabel('eje z '); >> grid

-5

0

5

-4-2

02

4-2

-1

0

1

2

eje x eje y

eje

z

Simetría respecto del eje Z definida por tal que 3: IR IRT → 3 ( ) ( ), , , ,T x y z x y z= − − .

Solución. La matriz asociada a la transformación es:

( )1 0 0

, , 0 1 00 0 1

xT x y z y

z

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

>> P=[2 3 -1]'; >> Q=[5 0 -2]'; >> R=[4 -2 0]'; >> T=[P Q R P]; >> x=T(1,:); >> y=T(2,:); >> z=T(3,:); >> plot3(x,y,z); >> A=[-1 0 0;0 -1 0;0 0 1]; >> Im=A*T; >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> z1=Im(3,:); >> plot3(x1,y1,z1,'r') >> xlabel('eje x '); >> ylabel('eje y '); >> zlabel('eje z '); >> grid

-5

0

5

-4

-2

0

2

4-2

-1.5

-1

-0.5

0

eje x eje y

eje

z

10. Para la figura mostrada en el plano (para esto considere usted las dimensiones mas adecuadas). Realizar un programa en Matlab el cual permita aplicarle cualquier transformación lineal ingresando desde el teclado la matriz asociada.

Creamos el programa transformacion con extensión m. que permite aplicar diversas transformaciones ingresando la matriz asociada desde el teclado

function M=transformacion(A) % linea que define la funcion %________________________________________________________ % Archivo de funcion que permite aplicar diversas transformaciones % lineales a % una figura dada, ingresando la matriz asociada desde el teclado %________________________________________________________ disp(' ______________________________________________________') disp('| Archivo de funcion que permite aplicar diversas transformaciones |') disp('| lineales a una figura dada, ingresando la matriz asociada |') disp('| desde el teclado |') disp(' _____________________________________________________') A=input('Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL lineal de R2 en R2: ')

dibuja la cara t=-3:.01:3;x=cos(t)+1;y=sin(t)+1; plot(x,y,'r') grid axis equal hold on

dibuja el cuerpo x1=[4 1 0 1 1 1 -1 1 3 4];y1=[-2 0 -2 -3 0 -4 -8 -4 -5 -8]; plot(x1,y1,'r') % forma la matriz de puntos Pcara=[x;y];Pcuerpo=[x1;y1];

aplica una transformacion lineal de R2 en R2 cuya matriz asociada es la ingresada A

Imcara=A*Pcara; Imcuerpo=A*Pcuerpo; xim=Imcara(1,:);yim=Imcara(2,:);x1im=Imcuerpo(1,:);y1im=Imcuerpo(2,:); plot(xim,yim,x1im,y1im,'b') hold off

Llamamos al programa e introducimos la matriz de transformación y se de despliega la figura según su matriz asociada.

>> transformación Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2:

( )0.5 0

,0 0.5

xT x y

y⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2: [0.5 0;0 0.5]

( )1 0

,0 1

xT x y

y−⎡ ⎤ ⎡

= ⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎦

Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2: [-1 0;0 -1]

( )1 0

,5 1

xT x y

y⎡ ⎤ ⎡

= ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎦

Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2: [1 0;2 1]

Figura1

-4 -2 0 2 4 6-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Figura 2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Figura 3

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

Dada la helice ( ) ( ) ( )( ), cos ,f t sen t t t=

ur

) aplique la siguiente transformación dilatación

tal que .

3 3: IR IRT →

( ) (, , 2 , 2 , 2T x y z x y z=

Solución. La matriz asociada a la transformación es: ( )2 0 00 2 00 0 2

, ,xyz

T x y z⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Grafica la helice

>> t = 0:pi/50:10*pi; >> x=sin(t);y=cos(t);z=t; >> plot3(x,y,z,'m'); >> title('HELICE') >> grid >> hold on

Aplicamos la transformación que la expande un factor K=2 en todas las direcciones

>> puntos=[x;y;z]; >> M=[2 0 0;0 2 0;0 0 2]; >> Im=M*puntos; >> xim=Im(1,:);yim=Im(2,:);zim=Im(3,:); >> plot3(xim,yim,zim,'r') -2

-10

12

-2

-1

0

1

20

20

40

60

80

HELICE

TRABAJO PRÁCTICO MODIFICACION DE FIGURAS Y CUERPOS POR MEDIO DE TL CON MATLAB

1. Dibuje el cuadrilátero de vértices (0.1), (2,4) (4,4), (6,1) y luego aplique a este las siguientes transformaciones lineales.

a) Expansión a lo largo del eje Y con un factor 5k =

b) Contracción en ambas direcciones con un factor de 12

k =

c) Reflexión respecto al eje x 2. Dibuje la figura de vértices (2,-2), (2,7), (4,5), (2,3) y aplique a estas las siguientes transformaciones lineales

a) Expansión en ambas direcciones para un factor de 4k = b) Reflexión respecto al eje yc) Rotación en sentido positivo con centro en el origen y un ángulo de 60od) Reflexión respecto del origen y luego una expansión a lo largo del eje x con un factor 3k =

3. Dibuje la figura rellena de vértices (2,3), (3,1), (6,1), (7,3), (6,6), (4,3), (3,6) y aplique a esta las siguientes transformaciones lineales:

a) tal que 2:T IR IR→ 2 ( ) ( ), ,T x y x y x y= + − .

b) tal que . 2:T IR IR→ 2 )

3

( ) (, 2 3 ,5T x y x y y= − 4. Al triangulo de vértices (2,3,-1), (5,0,-2), (4,-2,0) y aplique las siguientes transformaciones lineales:

a) Simetría respecto al plano definida por tal que :IP XY 3: IR IRT → ( ) ( ), , , ,T x y z x y z= − .

b) Simetría respecto del origen, definidas por tal que 3: IR IRT → 3 ( ) ( ), , 3 , 3 ,T x y z x y z= − − − .

c) Simetría respecto del eje Z definida por tal que 3: IR IRT → 3 ( ) 1, , , ,2

T x y z x y z⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

5. Dada la figura de vértices (2,0,0), (1,5,3), (0,-3,4), (-6,5,3) Hallar su imagen respecto de la transformación lineal tal que 3: IR IRT → 3 ( ) ( ), , 2 , 2 , 2T x y z x y z= y a la figura resultante aplicar la transformación lineal

tal que .. 3: IR IRT → 3 )( ) (, , , ,T x y z x y y x y z= + + + 6. Dibujar el tetraedro de vértices (2,4,0), (-1,6,0), (0,2,0), (0,4,5) y aplicar las siguientes transformaciones lineales:

a) Rotación alrededor del eje z con un ángulo de 60 o

b) Rotación alrededor del eje x un ángulo 30 o

c) Rotación alrededor del eje un ángulo de y 45o 7. Dibujar el triangulo de vértices (3,0,2), (1,-2,1), (0,1,3) y obtener su proyección

a) Sobre el plano XY b) Sobre el plano XZ c) Sobre el plano

Rellenar cada una de las figuras proyectadas con un distinto color como se muestra en la figura de ejemplo.

YZ

; 8. Dibujar la carita de la figura (para esto considere usted las dimensiones mas

decuadas). y a esta aplicarle las siguientes transformaciones lineales:

to al eje tó al eje

a

a) Simetría respec

y x b) Simetría respec

5k = c) Tra ado respecto al eje x para un factor squil

9. Dibujar la casita de la figura y a esta aplicarle las siguientes transformaciones eales: lin

a) Rotar la figura en sentido positivo un ángulo de 30o b) Rotar la figura en sentido negativo un ángulo de 90o c) Simetría respecto al eje x d) Simetría respecto al eje ye) Simetría respecto al orige n

10. con dere usted las dimensiones mas adecuadas). Realizar un programa en Matlab el cual permita aplicarle cualquier transformación lineal ingresando desde el teclado la

Para las figuras mostrada en el plano (para esto si

matriz asociada.

11. Para la curva en el espacio ( ) ( ) [ ]2cos , ,3 0,10tf t sent t t π= ∧ ∈ . Aplicar una transformación lineal que

le permita:

7k = a) Expandirse en todas las direcciones con un factor

13

k = b) Contracción en todas las direcciones con un factor

[ ] [ ]0,1 01D = ×12. Dibujar el cuadrado unitario definido por: y luego aplicarle la transformación lineal, explicando claramente el resultado obtenido:

→ tal que

a) T 2 2: IR IR ( ) ( ), 2 2 ,1T x y x y x y= + − + + . Y graficar.

b) 2 2: IR IRT → tal que ( ), ,2 2

x y x yT x y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ . Y graficar. − +

⎝ ⎠

13. Realizar una rotación de 90ª, una reflexión respecto del origen, un desplazamiento a lo largo del eje x con

a)

un factor de escala k=10 a las siguientes curvas

( )2 2 2 29x y x y= +

( )7 3 cosr t = +b)

( )( ) 2 cos ,5c) f t t nt= −

2

b)

se+

14. Realizar una rotación de 45ª, una expansión en todas sus direcciones con un factor de escala de k=7, una contracción en todas sus direcciones con un factor de escala k=-5 a las siguientes ecuaciones

2 2 28 15 5 10x y z+ + = a)

( )4 2 1, , 2f t t t t= − +