SESTA OLAVA

VISEDIMENZIONALNI VEKTORI

]00. - CETVOROVEKTORI

Dosadsr.o posmatrali vektore iskljucivo kao trdimzil. [j. u r! prostoru. Istaknuto je da su oni uglavnom nezavisni od koor-dinatnill sistm, te S8 fizicke strane slikovitije prikazuju jv koje se \'ju, g kada se prikazuju pomocu kml1t, odnosno koordinata.

Teorija relativnosti uvela je zju novosl u tretiranje fizickih poiava. daje samo vezu mrdu prostorom i vremenom, nego i njihovu kvantitalivnu mdusl)u zavisnost. Oluda se u relativistiCkoj fizici pojave proucavaju polazecj od realnog prostornovremenskog konlinuuma.

j kontinuum im ce!iri dimenzije: tri prostorne i jednu vremensku. Jasno je da se tu radi celvrtoj prostornoj dimel1ziji, nego vre-mel1skoj. koja je svojoj fizickoj prirodi razlicita od prostomih. No, pritom je glavno da se faj ce!\'orodimenzionalni prostorl1ovremenski kon-tinuum ruv kao cjelil1a i se naziva cetvorodimenzionalni svijet. Analogno tretiranju u m reaInom prostoru taj "vijet se u matematici ceslo zamjenjuje izrazom .prostor". je llg1avnom usvojila i fizika. Dakle, prostorno-vremellski kOrJtinuum se naziva i cetvorodimenzionalni prostor, ik 10 nije )vi prostor, nego svijet - prostor sa cetvrtom (vremellskom) dimzij. Tllj naziv "prostor", ukoIiko se uplict=; pojam prostora, svakako tstvlj apstrakciju, le je to konfiguracioni matema ticki prostor. Naime, to moze biti ulst prostora i jos kih velicina, i1i. pak, da se radi uopste drugim velicinama, koje nisu srd povezane sa prostornim kompOI.'nrama.

U takvom 4-dizilllm svijetu mogu se defillisati i 4-dimen zionalni vektori, koji se nazivaju i ce/vorovektori i1i 4-veklori. prvi od takvih vektora moie da se uz 4'-dimel1ziol1a!ni vektor poJozaja, odnosno cetvorovek / p%iaja ili cetvororadiius~'ek/or.

Zl1l je da u takvom kontil1uutnu postoji tzv. il1terva! medu dva dogadaja, tj. "raslojanje" izmedu dvije nsvjetsl\e" tacke, koje se, naravno, geometriski ne mogu prikazati zbog cetvrte vremenske dimerJzije. Taj interval je dat nesimetricnom relcciJpm. Kvadral diferel1cijala takvog "rastojanja" (intervala) je dat kao razlika kvadrata proizvoda brzine svjetlosti i vremena i kvadrata prostornog djferencijala rastojanja. Matema-ticki se za 18) izraz postigla potpuna simetrija kada se kao cetvrta dimen zija uzela imaginarna velicina

ic/. 000,')

301

Tako 4-~'ektor polozaja imao koo:dinate , , Z, icl. Zll Ii se redom indeksima 1, 2, 3, 4, d se moze uzeti opsti izraz za sve ct'tiri, recimo u obliku ", gdje je v= 1,2,3,4, tj. 1 =, :! , =Z, x .. =icl.

treba paziti prirodu cetvrte dimel1zije i prilikom izracunavanja uvrstavati dg\!jui izraz za X~ t. cetvrta dimenzija moze se uzeti i cl bez imgil1 jedinice. Je sa tom jedinicom stuk cajeniji: m!ltemaiicki izraz simetricniji. Glavno je da dimenzija ima pri-rodu duzine kao koordil1ate.

Z8 inercijallle sist (tj. gdje vaii zakon inercije) vaze poznate Lorentz-ove transformacije za koje [Ilterval ostaje ijj pri pre-18zu 58 jednog drugi il1ercijaJni sistem. Itvl je invarijantna velicina u odnosu Lorefltz-ove transformacije.

Ako se S8 , , Z, t oZn8ce prostorne koordillate i vrijeme u jednom inercijall10m sistemu, sa ', ', z', t' odgovarajuce veliCine u drugom koordinatnom inercijalnom sistemu koji se odnosu prvi krece rela-tivnombrzinom v tako da tm ose i ', Z i z' ostaju stall10 meausobno p8ralelne, te se kretanje vrsi duz xose, Lorentz-ove transformacije imaju sljedeCi obIik:

', z= z',

t'+ ~ ' 2

(100,2)

gdje je'C brzin8 pren05enja uzajamnog djstv, odnosno brzina svjetlosti u vakuumu (najveca brzina u prirodi = 3 108 ~ prema teoriji rela-

sec tivnosti).

transformacije vafe i obrnuto u obIiku: - vt ' = V -- tf1. ! 1--2

' = , z'=Z,

t - ~x 2 t' = _ _ '.

Yl-~

(100,2')

relacije se mogu lako izvesti prema osnovnim stavvim spe-cijalne teorije relativnosti, u 5to se ovdje upu5tati.

32'

Ozna~e Ii se sve koordinate redom indeksima od 1 do 4 i uzimajuci . = ict, X~ = ;(':1', doblte s'e opiti obIik Lorentzove transformacije fevo-rodimenzionalnog vektora polofaja:

iIi

, = .

,

=

" x,,-I-x1 , " = ,J

1_,,2 . , '

(100.~

~tvrdimzili vektori moraju oZDafavati masnim slo-vima iIi slovima sa strjeJicama. Obitno se uzimaju s]ova sa idksm.

Tako se moze govoriti i opitem obIiku fetvorovektora (4-vektora)- tetvorodimenzionalnog vektora ".

Pod celvorodimenziolla/nim veklorom ~etvorovektorom se prema {m moze podrazumijevati ukupnost od ; "/1l 1 2 koje se trans/ormiraju m Lorentzovoj trans/ormaciji cetvoro~imellziona/

n koordinatnog sislema. ObIik tih transformacija je, dakle,

(100,4)

303

(IOO,4}

, Az -= ; = (100,4')1

. + i .!.-, , .. =: Vl-~

Odgovarajute koordinate 4-vektora transformiraju se kao koordinate 4-vektora polotaja ".

Zblr proizvoda kta dvaju fetvorovektora pretstavlja skalar. i ovakav oblik:

je ska18rni proizvod 4-vektora i 4-vektora . Mote ozna-fiti i S8 " ".

Kvadrat' .8psoJutne vrijednolti fetvorovekfDra .. blte ! ! +, A.+A.Aa+AfA.=Af+A:+A:+A~. (100,5) Ozna~ava se

(100.5')

Iz relacije se vidi da se vri sumiranje od 1 dQ 4 kada se u nekom izrazu indeks v dvaput pojlvJjuje. odnosno kada se jedan indeks u istom ~Ianu (izrazu) ponavlja.

Kako je ~etvrta komponenta (koordinata) fetvorovektora imgr, jasno je da kvadrat "8psolutne vrijednosti- 4-vektora mofe blti s pozitivan, nego i negativan i jednak li.

tetvorod'menZlonalni .vektor brzine 4-vektor brzine defil1ise se kao koli~nik diferencijala koordjnate i intervala (luka) u 4-dimenzional-

svijetu: dX II ,,= --,

(100,6).

304

Interval je dat izratom ds2 = 2 dt2 - dx2 dv2 - dz2

Odav.de je ds = dt '11 - v2

(k'\':)

(10,7')

gdje je sa v oznacena relativna brzina dvaju jijlih sistema. brzina v je tdizil brzina. 0118 mo:le i brzin& neke cestice koja se posmatra.

m definiciji 4-brzine 1 se dx.

- "~~~-~. dt V 1-- ~2 (100,8) gdje je uzeto

v ~= -.

Qdavde je

(100,9) i?,z - -==== a- VI -fJ1!'

icdt , = .----:==_

dtVl-fJ9

. m definiciji (100,6) i relaciji (100,9) vidi se da 4-brzina nije brzina u fizi~kom smislu, jer je to ve1ifina bez dimenzija (neimenovan . 1j. koli~nik homogenih v~Jitina (iste dimenzije). No, to nita smeta da se ta velifina korisno primjenjuje u fizici pod tim nazivom. Kvadriranjem relacija (100,9) i sabiranjem dobiva se

relaClja mo:le doblti i iz izraza dx~ =dx2 +dy2+dz2-c2dt8 = -ds dijljj velitinom ds2.

(100,10)

~etvorod'menzlonalnl vektor ubrzanja 4-vektor ubzanja defi-nie se kao koli~nik diferencijala 4-brzine i intervala (l) u 4-dimenzi-~nalnom svijetu (kao izvod 4-brzine ):

du" ,,""-. ds

(100,11)

Uzimanjem pojedinih kompoflenata ima se

02 = = --;;2-i~--~2 d~' (-~~-, (52)' =l = ! V:--f12 ; ("f~~~~)'

305

(100,12)

Lako se moie doblti jo~ jedlJa zgodna veza medu 11, i Gv , Naime, k se diferencira, (100,10) s, dobice se

Qdnosno idelltitet Uv~~~ = ,

ds

O~ = , koji je koriJ;tan za rz izrtuvj.

(100,13)

Cetvorovektor koll~fne kretanJa (impulsa) ~etvorovektor impulsa-energije slobodl1e cestice definise se relacijom

p~ = mcuv (100,1~)

Opstija definicija imp-tttsa- daje se kao izvod dejstva koordinati 4-vektora po1ozaja, odnosno

S = ,

(100,15)

gdje je S dejstvo (! kolicine krtj). Dejstvo je dimzi:i jednako proizvodu kolitine kretanja (impulsa) i rastojanja (duzine). Ovdje je interesantno navesti i pojedine komponen1e 4-imuJs. Uzecemo opstiji oblik (100,15). Onda je

S -,

S '2 ' = (100,16)

S =. z , ~etvrta komponenta ima oblik

S ; S ,.. = (ict) = - -; t (100,17)

, . Ival1ovl~: Vektonk8 8.allz. 20

30

I l' h 'k . t d' S .. . t t z genera Isane Je z je - - rgl], Je vr t komponenta 4-vktr impulsa

i 4= -.

(100,18)

(' je .. vremenska" komponenta 4-impulsa. Odmab se vidi d je zgodan postupak rt sa matematicke strane. Istina, dimenzionalno je dobar i s fizicke strane. Odatle se ! odmah dobiti i poznata Ein-stein-ova relacija ekvivalentnosti mase i energije. No, implicitno uzimati energiju kao cetvrtu, vremensku komponentu sa faktorom i, S druge strane komplikuje fizicku sliku u nekim problemima i obj8~nj8vanjima.

; 4-vektor impulsa (koHcine kretanja) mogao se nazvati i 4-vektor impulsa-energije i1i 4-vektor energije-impulsa.

I za ovaj 4-vektor vaze Lorentz-ove transformacije (lOO,4), kojima se takode odmah moze dobiti poznata relativisticka jednacina koja prikazuje vezu medu energijom i impulsom u obIiku:

$:

2 2 (2+m2 2). (100,19)

Cetvorovektor fl definise se kao izvod impulsa (kolicine kretanja) dpv ds

du" -. ds

(100;20)

Sada ~emo pokazati oblik pojedinih komponenata 4-vektora sile. dPl dU1 1 =-=-. ds ds (100,12)

1 1 = ----:-===_ 2 V Onda je

(100,21)

"V rmsk kmt izsi

d ( 1) i dt V 1 - ~2 :: V 1 _ ~2 F . v. (100,22)

Poml1ozimo relacijLt (100,20) 4brzinom uv , dobiti duy >. " = --'-- ds

307

(100,13) ovaj izraz je jednak l~1i, se z 4-vel

308

Ako je broj komponenata 2 3, onda se rad,i obl~nim vektorima, koji tretiraju u vektorskoj analizi. Za Il > 3 geometriske pretstave,

je korisno primijeniti uoptene izraze i te ukupnosti. je. dakle, pomenuta primjena geometriskog jezika algebarske rezultate.

U mnogim oblastima i problemima- mtmtik nisu uvijek ~ niti duiina iti ijtij vektora, iako su vrlo ~ u obl~noi vektorskoj lizi. Zato se Z8 geneialisane n-vektore uzimaju kao ~ izvjesna pravila vektorima, prvenstveno sablranje veklora i mnoienje vektora ska/arima. U nekim problemima .~ je du!ioa i orijentacij8 vektora, se u dobrom dijelu izlaganja ! proci i bez njih.

U takvim generalizacijama korisno je istacu ulogu po/ja u matematici. Usvojeno je da se polje qefinise u matematici kao skup brojeva odgova-rajt1ce prirode uz navedena pravila sablranja i mno!enja skalarima. primjer polja mote posluiiti ukupf10st svih realoih svih kompleksnib brojeva. P

309

Mogufno je i oduzimanje. Za svaka dv vektora U V u V postoji neki vektor koji zadovoljava jednacinu

U + = . (1 1,4) Za svaki vektor u u rstl V i skalar u polju postoji u isto.m

vektorskom prostoru V vektor ",

koji se naziva proizvod vektora u i ska.1ara . Proizvod vektora i skl je asocijativan:

(}l LI) = (1. .) ".

(101,5)

(101,6) Proizvod je distributivon u odnosu srj u prostoru V:

A(U;V)=),u-r/v. (101,7) Proizvod je distributivan u odnosu sabiranje brojeva:

()'+}l) U=AU+}lll. (101.8) Vektor pomnozen jedinicnim elementom I I = = 1 mijj se:

" = 1 u == ". (101,9) Sada kzti da ulogu ovakvih vektora" mogu imati i rje

senja sist Jinearnih jednacina. Posmatrajmo sistem bomogenih linearnih jdCi, tj. lirih

jednacina kod kojih je sld clan jdk nuli: 1 +012 2 + ... +ln n=

a~l 1 + 022 2 + ... + 01n N = (101,10)

.

Ovaj sistem ima jedno tzv. ..11" ,rjsj , = 2 '"' = " == . l 1 I . d Neka je tome \. !" , 1I Je ,

11 If JI XI, 2, , ,

dH1g0 rjsj taga sistema. Lako dokazati da je rjesenje (korijen) toga sistema zbir ovih

rjesenja. OznaCimo I N. + := n ' (101,11)

Zamijenimo izrz. u k-tu jdiu, dobiti

310

Uporede-nje sa (101,10) odmah potvrduje da su iuazi u zagradama jdl1ki .l1, je dokazano da zbir rjesenja (korel1ovi) jednaCine zado-voljava dat sistem.

Proizvod rjesenja X J , :,: .... , n i broja 1. (skalara) takode zadovo-Ijava dati sistem linearnih homogenih jdi. Broj n je proizvoljan.

ime je dl'-Z!1Q da generaJisane ,. vektore" mogu pret5tavljati i rje-senja ovakvi\1 jdlli, 5to je daleko od neposredne veze 5 oblcnim

vktri. No, s druge strane. jednacine pretstavljaju realne proce5e i cesto se nji!J ijlljuju, je i otuda zji zjdik efika5nost ovako gener.iJ i"anill veHtil1a.

Nap0minie-mo (J gljsi vektori mogu, uopste uzevsi, blti i fukcije. Zato ksij vidjeti kd se govori "dUfii" vektora, da je bolje uzeti drugi izraz, jer je nezgodno govoriti duzin~ funkcije, kada se njoj radi. takode ilustruje siroku generalizaciju pojma vektora.

Nu vektor Uzmimo svecijalan slucaj relacije (!1,4)( = u):

u+x=u.

vektora u i lz se u vektorskom prostoru . (101,13)

2 se dokazati da u V postoji jd jedini vektor koji zadoyo-Ijava relacij\.l (101,13). Taj se vektor .ziv nulti vektor. t se z sa .

Nu1ti vektor i nulti skalar (obitna ul) povezani su relacijom Ou=O. (101,14) relacija va!i za sve vektore. Nju je lako dokazati sljedeci

natin: ), u + u = (1. + ) u = u = u + ,

jer se u lijevoj I desnoj sti mdus potiru. Dalje je

'1. u+ = (u+ ) == 1. u=1. u+O,

1. 0= , (101,15) tj. proizvod skalara (broja) l1ulteg vektora jdk je ultm vektoru.

Negativni vektor Jednacina

u+x=O, (101,16) gdje je u koji vektor u , ima svega jedno fJesel1je.

1 zaista,ako se pretpostavi k drugo rjesenje, recimo %, u+%=O.

Dodajmo lijevoj doblti

dest10j strani jednaCine vektor , -+- U Z == ..;.. .

s obzirom (iOl,16), odmal1 izlazi da je z , 5to potvrduje da postoji svega jedan vektor koji zdvlj\'8 jednacinu (101,16).

Vektor ==--, (101,17)

koji zadovoljava jednacillu (101,16), naziva se negativni vcktor suprotan vektoru .

{ je --={-1),

--u-1u=(I)u-:--(lu)=( 1~I)LI==O. Lako je dokazati da va!e relacije

( + ) (~) ~ ( -- ), ( - ) + v + ( -- w) - U..L V - w.

5to se u principu slate sa ji postupkom iz algebre algebre.

Isto tako se iz jednaCine u =,

dobiva x=v u

kao jedino rje5enje.

iz)azi

NiSta mijenja ako se izmtjene oznake, takode iz a'-=

= .

102. - L1NEARNA ZAVISNOST VEKTORA

(101,18) (101,19)

vektorske

(101,20)

(1 1,21)

Ako SU "1> "2 "'" vektori vektorskog prostora , 2 "'" realni brojevi (skalari) iz polja , onda se vektor

(102,l )

naziva linearna kombinacija vektora. 1.1). ~ l' , " brojevi )' 2 , , koe{icijenti te li komblnacije. Jasl10 je da o\'dje igraju ulogu oznakc, se mjesto " moze uzeti, recimo, iIi koja zk, odl1o-sno ujst Ck, recimo, 'Ak, Gk itd. komblnacija mozc biti jednaka prije svt'g! u slucaju kada je ) = C~ = .. = = . bi trivijalan slucaj. Medutim, lirn kombinacija vektora moze biti jednaka

li (nultom vektoru) i onda kada nisu svi koeficijenti jednaki li. U takvim

312

slucajevima vektori se nazivaju lineamo zav/s/II. Prema tome, vektori u:!" .. , tln naziva, u se li zl'j.~l/i kada zadovoljavaju relaciju

] ttj+c~u:!+ ... +C/lUII=O, (102,2) uz uslo~' da nislI s1'i kfiij/i l' 2" , jedllDki .

U sijlm slucaju kada postoji jednaCina (102,2) uz us)ov 1 = ('2 = Cr, =' , vektori 1 , 2 . , UJj nl!zivaju lin zvisi.

Ako vektori izraze pomocu svOjill komponenata, onda se zaviSt1ost vkt . prikazana formu)om (102,2). moze svesti odgbvarajuce sist homogenih j~dnacina sa koeficijel1tima koji u jednaki koordinatama till vek!ora.

. U vktskl prostoru V Jinearna zavisnQst dvaju vektora pokazuje da lI i para!t'lni jednoj pravoj, rn zavisnost triju vektora da paralelni jd!j ravni. je u vektorskoj algebri pokazano u 9.

m navedenim relacijama mote pokazati da Sc koji od rn zavisnih vektora mo~e pretstaviti kao Iinearna kombinacija osta-lih vel(tora iz te kom binacije.

Ukupnost svih lim sastavljenih od nekog skalara, recimo :1-u obIiku

1, , :, .. " n u vektorskom prostoru satinjava 1inearno nezavisan sistem, jer iz relacije

1 ).kt +c2 J...k.+ +n n =0. gdje je 0:::;;:k t

313

Na slican naNn vaii i za ma koji vektor u: (103,1')

gdje skalari 2 , u polju nad kojim je vektor"ski prostor V. Uz ovako uzet sistemvektora (k = 1, 2' ... ' n) kfirtti

odredeni jednoznacno. Pretpostavimo da je pored (103,1) dat vektor u obliku

. =l 1 +~:.! :! + ... +,! n Oduzimanjem doblje

O=(Xl-~1)el+(~2--~:e:!+ ... +( ~), Zbog lillearne nezavisnosti ovih vel

314

Sablranje d'l3jtl \'ektora If vektorskom prostoru V vrsi taj l1acin 5to se rsktiv saberu njihove koordinate u odnosu proizvoljnu bazu.

Neka je (103,5)

l1d je ocigledno (103,6)

Isto tk mno~enje vektora brojem (skalarom) obavlja tako 8to se sve njegove koordioate pomnoze skalarom ili

(103,7)

Ako vektorski prostor V ima konacnu dimenziju , ol1da koji linearno nezavisni sistem od n vektora pretstavJja bazu za. V i svaka baza za , ima n vektora.

104. - IZOMORFNl VEKTORSl PROSTORl

Vektorski prostor je dfiisrij svega k; ukupnost nekih obje-kata, koji nazvani vektorima. Osim toga za taj vektorski prostor ya~e operacije sabiranja vektora i mnozenja vektora brojem. Vecinom uzima u obzir druga krktristik.

tud zakljucuje d dva vektorska prostora koji su kstituisi jednako odnosu operacije sabiranja i mnozenja brojem imaju jednaka svojstva, Za takva dvavektorska prostora kaze da su izomarfni. Prema tome izomorfnost dva vektorska prostora o~e formulisati sljedeCi nacin:

dva vektorska prostora nad Istim poljem nazivaju se izomorfni onda kada medu njima postoji takva saglasnost da zblru vektora jednog prostora odgovara zbir respektivnih vektora drugog prostora, proizvodu koieg broja i vektora jednog prostora odgovara proizvod istog ' broja i respek-tivnog vektora drugog prostol

Prema tome kada su dva vektorska prostora izomorfni, onda I1lti vektor jednog prostora prelazi vektQr drugog prostora. Linearno nezavisni vektori iz jednog prostora prelaze' pri izomorfnosti. u linearno nezavisne vektore drugog prostora.

/zomorfni vektorski prostori imaju istu dimenziju, jer baza jednog pre-lazi u bazu drugog.

Otuda su dva vektorska polja nad istim poljem koeficijenata onda izomorfna kada imaju istu dimenziju.

315

105. - SKALARNI (UNUTRA~NJI) PROIZVOD DVAJU VEKTORA

Skalarni proizvod. dvaju vektora u i v koordinatama 1 :! ... , lI i 111' V2'" ., IIn naziva izraz

(105,1) odnosn.o skalarni iIi unutrasnji proizvod dvaju vektora jednak je zbiru proizvoda odgovarajutih koordinata iIi

(105,1')

Ovaj proizvod treba raz1ikovati od proizvoda vektora i skalara. Zato ga neki nazivaju iskljucivo unutrasnjim proizvodom, naziv skalarni daju onom drugom. Inace, do zamjene izraza ! doci ,ako izvod vektora i skalara naziva skalarni praizvod, jer to u stvarnosti i nije.

Odmah izlaze 1 relacije u'v=v u,

( u) . v = (u ) = u . ( ), (u+:v). w=u w+v .W, u . u > , ako je u ;t: , u .

(105,2) (105,3) (105,4) (105,5) (105,6)

Sve relacije razumljive definiciji vektora i skalarnog proizvoda. Zbog i1ustracije dokazacemo posleanju relaciju (105,6).

Kako se vektor mijenja ako mu doda u vektor, u v = u ( + ) = u v + u . .

Odavde odmah izlazi navedena relacija. Ako je skalarni proizvod jednak nuH onda za ta dva vektora kaie

da su medusobno nQrmaln/ ili Qrtogonalni. Za n;: 2 i n;: 3 to moie i neposredno geometriski ilustrovati.

Medusobno normalni vektori, koji nisu nulti, takode su medu50bno rn nezavisni.

106. - DutINA VEKTORA

Skalarni proizvod vektora istim takvim vektorom (samim .") u u =u2

naziva nm vektora. Odavde je duiina vektora

lu I = + Vu u (106, pozitivni kvadratni korijen iz norme. Naziva i apsolutna vrijednost vekto:a.

316

S obzirom cinjenicu da vektor moze pretstavljati i neku itekako slozenu Junkciju, cesto se izbjegava naziv "duzina", jer to nije stvarna duzina. Cak se i "duZina". odnos!1o apso!utna vrijednost vektora ponekad naziva funkcije '[ = (t) je neka funkcija], tj. isti naziv koji se uobicajenije daje skaJarnom proizvodu vektora samim sobom.

Vektor kojega je apsolutna vrijednost (duzina) jednaka jedinici ~ ziva se jedinicni normirani vektor.

U prostoru V duzina vektora u = ( 11~, , ) iznosi

Svaki v.ektor koji nije nulti vektor Inoze se normirati. Normiranje jednog vektora sastoji se u mnozenju slut vrijedl10sti nekim brojem tako da njihov proizvod bude jednak jedil1ici:

11, u 1=1, gdje .je

1 =--. I u I

107. UOAO > VEKTORIMA

Ug- izmedu dva vektora u i v naziva s ugao kojega je kosinus jednak kolicniku uz u v i I u I I v \, odnosno

uv cos (u, v) = ----.

lullvl (107,1)

Za V je jasno da se radi uglu i kosinusu, kao i skalarnom proizvodu.

Medutim i u opstem slucaju ovaj izraz moze veci od jedinice. je dokazano pored osta!ih i sljedeci nacin.

Uzmimo vektor ). u v.

gdje je ). reaJan broj. je novi vektor u istom vktskm polju. (105,5) ima se

Odavde je (). u-v) (1, u--v) .

).2 I u 12 - 21 u . v + 1 v 12 > . (107,2) (107,3)

Ovaj trinom treba da zadrzi navedeni znak za sve vrijednosti ).. Koeficijenti uz 1 su konstantni. Prema svemu tome trinom In9ze

imatt razlicite realne korijene. znaci da njegova diskriminanta moze biti pozitivna.

317

Dakle, mora biti ispunjen uslov (. )2 (u . u) (. ). (107,4)

Odavde se korenovanjem dobije nejednacina 1 u 1 1 u 1 1 1 (107,5)

Ova relacija je poznata pod nazivom Cauchy-eva, Schwarz-ova j Bunjakovskog pojedinacno, dvojice ili svih trojice, jer su je izveli samo-stalno tretirajucj probIeme vise algebre.

Ovaj ugao je izmedu 1 i 1(. Relacija (107,5) moze se izvesti i ovakQ. Uzme norma vektora

U+ u obIiku

Odavde je ( u + ) . ( U + ) > .

1 u 12 + 2 u . + I ~ > , sto se ! napis~ti i Qvako

odnosno

(U '" I u 12 + 2 1 u 1. u . + -~. /-lul lu 12

Ovaj izraz je. zv il.i jednak za sve vrijednosti samo ako je dobivena razlika pozitivna ili jednaka , to znaci

luI2 I Y i2 -(u.j2>0. Ojavde se odmab dobiva trazena relacija. Ova cuvena nejednacina za skalarni (unutrasnji) prolzvod dvaju vek-

tora u = (1 t 2 " _ ., n) i := (V1t V 2 , _, V n) mofe se prikazati i ! koris-cenja vektorskih oznaka, odnosno:

f (; V,)2 ~ (f ~) (ft1). 1=1 1-=1 1=1

(107,6)

D.osadasnje izlaganje pored ostalog pokazuje da je za racunanje vekt6ra u najopstijem obIiku ipak potrel9no i korisno znati njihov,e komponente, odnosno koordinate kao velicine kompoQ.enata odgovara-ju(:im .osama" koordinatnib sistema. Zbog toga je }irl0 l pitanj.e oblika i ponasanja vektora u razn1m ko'ordinatnim_sistemima (raznilO bazama). Linearne transformacije vektora rtstavljju ! problem u ovoj gene-raHsanoj teoriji. onda dQvodi i do j05 slofenijih velicina, do t~nzora i matrica, 5to ovdje prouCavati.

SEDMA GLAVA

NEKIM OPERA TORIMA

IIJ8. LINEARN! OPERATORI

Pod o::>eratorom se podrazumijeva izraz i1i oZl1a k odredene opera cije koju treba izvrii nad fU[Jkcijom ili velicinom koju dejstvuje. primjer operatora mogu pos]uziti sve osnovne "radnje" iz elementarnc matematike, odnosl1o jihvi zl1aci. .

funkcije koje operatori dejstvLlju mogu biti raznih argumenata, 8 i vektorskih. rgul1t z biti cak i vektor proizvoljnog vektorskog prostora. Onda o~e biti sklr i v.ektorska funkcija vektorskog argumenta.

Ako je f () neka skalarna (numericka) funkcija vektorskog argu-lJ! , koja je definisana u vektorskom prostoru V, onda se naziva

lineara {m ako ispunjava sljedece oslove: f ( + ) = f () + f ()

za koje , V; f . ) = " f ()

za koje ~1 i za rl broj .

Otuda zjdiki uslov za liru formu: f (1 ! +..l:: 2 + .. + N n) 1 f (Xt ) + 2 f (x~) + .. \. -t N f (II),

(108,1)

(108,2)

(108,3) koji vazi za koje vektore X t , X~, . , n V i koje realne brojeve ),,, )..:? , , )..n'

Neka su l' ~2"'" sn koordinate vektora . Onda je n

:= l , + ~2 e~ + ... + t,,: " == ~ ~ ... ek' k=l Prema tome je 'Iinearna forma

f(X)=f(~kek)= ~kf(ek)= Ckek' =1 k=1 k=1

gdje su koeficijenti ; utvrdeni.

(108,4)

319

Ako vektor. odnosno funkciju dejstvuje neki operator . onda te se kao rezultat doblti neki drl1gi vektor. odnosno funkcija = '.

Operatore temo oznafavati akcentom iznad odgovarajuceg slova. Pod linearnim operatorom podrazumijev8 se takav operator koji

isponjava sJjedece oslove: (+ ) = "+, .. )= koje , V i koji broj .

(108,5) (108,6)

Ovi uslovi pokazuju da odr~ava linearnost izraza, odakle i dolazi takav naziv.

Onda je jasan i zajednifki uslov: (1 X t +2 2 + .. +n ,,) =1 1 +2 .. 2 + ... +" " (108,7)

za koje 1I :! ... ", , V i koje realne b'rojev~ 1 , 2 .... , n primjer nelinearnog operatora mote poslutiti operator koreno-

.. . --vanja. Neka je 04-+ V

OcigledI1o je (8.8)

Ovakvi operatori 5U slozeniji od linearnih, ih treba dobro razli-kovati.

Operatori , , ~ gld 5 linearni, jer zadovoljavaju OZ

uslove (108,5) i (108,6). Prema tome i operator V je Hnearan.

.. Ako dejstvom operatora funkciju ka~ rezultat doblje ista funk-cija, onda se operator naziva jedinitni'iIi identit:ni operotor.

Linearni operator se mofe prikazati u opstern obIiku n-dimenzio-l prostoro. Neka je 1inearni operator . Pomotu njega se svaki jedinifni vektor baze prevodio neki drugi vektor u istom prostoru, tj. dejstvom operatora doblva se

{108.9)

Doblveni vektori se tak011e rnogu rastaviti komponente prav-cima vektora baze. je

_ (1) (1) (1) 1 =41 1 +2 2 + ... +" n

- (2) (2) (J) . =01 1 + 2 + ... + ,. ll 41: " " ..

(l08,IQ) _ (n) (lJt (n) ,. = 1 1 +011 ll + ... +nn.

320

Ovdje su a~) koeficijenti, se poslednji izraz moze napisati i u obIiku (108,1 t)

Lako je dokazati i provjeriti sljedece formule za lirn operatore:

... ... ... ...

+=+, ( +8)+ + (8+ ),

..1+6=, + (-) =6,

gdje su i 8 proizvoljni operatori, 6 operator. Isto tako je

gdje su 1 J 12 brojevi .

(108,12) (108,13) (108,14) (108,15) (108,16)

(108,17)

.. Proizvod" operatora sastoji se u sukcesivllom dejstvu ratora fl1bkciju koja se nalazi iza njih.

Otuda vaze zakoni: }.. () (1 ) ;

,

(8) () , ( +8) = ..1+,

(+ ) =8+.

" = +n (i obrnuto). Jz svega ovoga iz]azi da je vazanredoslijed operatora.

(108,18) (108,19) (108,20) (108,21) (108,22) (108,23)

Kada operator 8 dejstvuje funkciju, doblje se jedan oblik, taj novi izraz 'dejstvuje operator . Ako, obrnuto, jrij dejstvuje rator onda se doblje neki drugi izraz, koji je uop~te razli~it od izraza dejstva operatora . Naravno, kada dejstvuje postije se uop~te dobiti isti izraz kao dejstvom . poslije 8.

Prema tome, uop~te uzev~i, proizvod linearnih operatora nije komu-tativan:

A8:f.8..1. primjer dva nekomutativna operatOl'8 IIzmimo

d --, -. dx

(108,24)

Znak - upotrebIjavamo ovdje za oznaku tora, jer znak = manje odgovllra.

konkretnog obIika opera

Neka ti operatori dejstvuju funkciju 0/. Onda. je

zatim

Odavde je

ili

, / = (x~) =+--~,

.. / 8 0/= __ '*' ,: _.-.

8r 8 'f~'lt, -;:: 1,

"#8". Nista st ako pojedini operator sadrii i neku konstantll. Uzim,

naime, opet operatore -- ih -~-'

gd je je fi konstanta, i = {=-i: Ollda je

je i1i

AB'l' --ih (x'l')= .

[1.4 t = ( - ih ~ ~) . 'it ih ~',

.4 =:: ,.

opstem praviiu I1 s.meta izuzetak jedinicllog operatora i -1, jer je

f\ 1= /. Jasno je da je uopste

( + 8)2 ( + ) ( -t- ) Ovaj rezultat ostaje bas u m obliku, jer je

( +8)2 = 2+2 +82

(108,2&)

samo u SlUC8jU komutativnosti operatora i 8, tj. kada je = 8, to izuzti sltIcajev i.

Primjena linearnih operatora je mnogostruka, .3 naroCito u teoriskoj fizici.

D. . lvanovic: Vektorska anal!zA 21

322

Uzecemo dv primjera liih operatora, koji se cesto koriste u fizici.

Operator energije, koji se oznacava sa : /I-~> F., (108,26)

gdje je F. energija, Poznato je da je ellergija neke cestice mase f1I u polju 53 PQten-ijl energijom L' data u obJiku

= +(), 2

gdje je klii kretanja ce5tice (impuls). Ako se 5 i oznace opcratori impul5a i potencijalne ellergije,

2 = --~- + U (). '1. (108,27)

Operator pretstavlja odgovarajuci oblik potencijalne tnergije u zavisno5ti od lzj, operator zavisi od rtstvljj k je u kvantnoj teoriji

'/1 '1. 'L -- - I ' - /n : -"".- / -; , gdje je h = 1,054 10-17 erg sec Planckova konstanta dejstv8, je vektorski operator impulsa

- ih v. Onda je operator energije

. 2 = - 2 + U ().

2 . (108,28)

OV&j tr energije ziv se hij.

ili

Drugi operator, koji ovdje zelimo navesti, naci u tlsj jdii. Iz fizike .! matematike je poznato da je op~H obIik talasne jd6

02 tp 02 tp 02

se uvodi takozvani ' lembert-ov operator :

gdje je V2 Laplace-ov operator.

1 2 . (2 t;'

323

(108.31)

Koristecj ovaj operator, talasna jednacina se moze pisati uopste: F , (108,32)

gdje f pretstaylja odgovaraju~i vektor ( skalar), koji moie prikazivati r velitine. recimo komponeote lk1rll1gtskg polja, vektorski

sk;:j!arni poteI1c'jal. lI 5tO vidi, i Hamilton-ov operator (hamiltonijan) i D'Alembert- operator (dlmij) rlOg uproscavaju operacije u toku izvodenja i ruj, jer se izbjegi1\'aju glomazlle jednacine 5 mnogu clanova.

{ liri operatori imaju vrlo siroku i vaznu primjenu u raznim stim fizike i tehnike. U toku izlaganja raznih postupaka izneseno je i primijenjeno vise sltlcajeva Iil1earnih rtr, $to ovdje

1!vljti ianalizirati, jer su im zajednicka svojstva linearnosti relativno jednostavna. .

OSMA GLAVA

SJSTEMI JEDINICA

Opisivanje i prikazivanje . koje fizlcke pojave uglavnom dovodi' kvalitetnih saznanja. Za kvantitativl10 odredivanje kojil1 Eizickih vl u nekom procesu iJi pojavi l1eophodno je potrebno mjeriti racunati. i toga potrebno je i objasnjavati, shvatiti pojavu. Inace se mo~e reci da se bez tih elemenata i aspekata pojava dobro poznaje.

Za kvantitativno sZl11j pojave potrebno je fizicke li prikazi. vati osnovnih velicina i odgovarajucih ill jedinica.

Postoji vise sistema jedinica. Mi se osvrnuti samo tri ist, koji lIajvise upotrebljavaju:

prakfiCni sisfem MKSC, elekfroslatiki sislem CGSstat , elekfromagnefski (apsolufni) sistem CGS da .

Osim toga u nekim oblastima tehnike jos je u upotlebl i zastareli sistem MKS, gdje kao osnovna jedinica uzima masa, nego siJa, praktican je samo za neke hl!iCk velicille. Inace se moze smatrati kao izvedeni pomot!1i sistem 112 svri prakticni sistem.

lJopste se necemo.upustati lli u kakvu zajednicku teoriju tih sistema, nego iznijeti karakteristike ovih gl:lvnH\ sistema koji danas rJ8j\'ise upotrebIjavaju u fizici i tehllici i to s u prakticne svrlle.

Sama priroda fizickih pojava pokazuje nisu dovoljl1e tri osnovlle velicine sistema, jer su to samo mhik. Nhd je potrebna i cet vrta, elektricna 'osnovna velicina. Otuda je tu naziv S i CGS bez cetvrte jedinice opisivanja koje pokazuje koja je "'eHeina ili jedi-i osnovna Z8 elektricne i magnetske velicine i pojave.

cetv rta osnovna velicina IJ) se uzima kolilina elektrici/eta. Kako je koliCina elektriciteta ro svojoj prirodi jednaka proizvodu struje i Vlemel1a, to se kao cetvrta osnovna vliCi.u sistemu uzi8 i slruja. tJ principu je { isto, jer je medusobni faktor vrijeme, koje je vec u2eto kao osnovna veiiCina sistema.

U CGS sistema ta cetvrta velieina se nekako sadrzi vise implicitno, 8 je tgi i zanemaruju u sistemu kao osnovnu. Stovise, to zanemari "8tJJe ide tako daleko da se cesto lktri i magnetske velicine izraza-

325

vaju mIJ triju mehaniCkih. U svakom slucaju prHom treba imati t! vidu da to nije prirodna veza, nego uglavnom konvencija, koja u l1ekim !. stima olaksava izruvj j uproscuje matematicke relacije za fizicke ve!icine, dok ih komplikuje u drugi !m.

U tri sistema postoje k fizicke velicine cetiri: duiina, masa, vrijeme, kliCiQ elektriciteta ( .struja).

Dakle Qsnovne veliCine su: 1, , t, q (iIi 1). m ovih velicina rikzuju sve ostale fiz-icke veliCine.

109. PRAKTICNI SISl'EM MKS lLl MKSC

Osnovne jedinice za ~ velicine u m sistemu : 1

metar (m)

ki/ogram

(kg) sekund

(s iIi sec)

q kulon

(109,1)

Otuda mu prema pocetnim slovima ovih jedinica i naziv MKS sist. Na pominjemo da je nedovoljan naziv S sistem, je potPUIl naziv

MKSC MKSA sistem, (109,2) gdje je sa oznacen amper kao prakticna jedinica za struju.

Sada pokazati jedinice za razne fizicke veliCine u m sistemu. Brzina. Dimenziona jednacina za brzinu glasi

'( )~. t

Kod dimenzionih jednacina stavljatemo znak jednakosti u zagrade. jer radi prikaj}ivanju fizicke prirode veliCina koje tretiraju,

uvijek pravoj kvantitativnoj vezi. PrHom izbjegavaju numericki koeficijenti u relacijama.

Onda je jedinica za brzi;1u: m

sec (109,3)

jedinica skraten.i naziv. Lako je pokazati vezu medu ovom jedi~ . . km lm I

h U pomorstvu kao jedinica za brzinu broda postoji i tzv. tvor:

1 }( 1 mi "vor = -. h

(109,3')

326

Ovdje se ratuna morska milja, koja iznosi duzinu jednog minuta Zemljinog meridijana, tj. oko 1853 metra. (Suvozemna.milja je manja i iznosi oko 1609).

Ubrzanje. Dimenziona jedna~ifia za ubrzanje glasi: J {=)-. 12 tome jedinica za ubrzanje je

m

sec2

Ni jedinica neki specijalni naziv

(109,4)

KoH~'na kretanja. ('1). l brzine, je odgovarajuca jedinica

krtaj je proizvod mase

mkg

(109,5)

lsta ta jdii sluzi i za impuls, jer je kolH~ina kretanj8 iste dimenzije kao i impuls (proizvod il i vremena).

51.. DiQ1enziona jedna6na za silu je (=)m I

t' Prema tome jedinica 'za su u prakticnom sistemu j~.

m .l(g-~ ' jediniea se naziva njuln, '8 oznatava se sa N iJi Nt.

Dakle, 1 N=.kg-. '

(109,6) I

Poznato Je da je ki1ogrlm-sjla aiJa iojl tijeJo mase od 1 kg ubrzava ka Zemljina teza. Si1a od jednog kilograma oznacavl se 1 kO, je

1 = 1 kg . 9,8l.~. (10~,7) sec'

Onda je 1 kO=9,81 N. (109,8)

Si1a 0

327

osnovnu jedinicu, jer je jedinic! kilogram mase. Kasnije se vidjeti pr!kticnost toga izbora.

Rad i energija. Dimenzija rada ista je kao i energije, to je piO' izvod sile i duzine .

Dakle, ( ) ( ,,-:;) F 1.

Odgovarajuca jedinica ~a rad i energiju iznosi Nm=J.

(109,9)

(109.10) Dakle, prakticna jedinica t! rad i en~tgiju je din/ (J) iIi njlltn-metar.

Lako je naci medu dzulom i kilogram-metrom, odnosno 1 kGm 9,81 Nm 9,81J. (109,11)

5naga. Prema definiciji je ( ) . (109,12)

t

Odgovarajuca jedinica snagu je vat: ~-- W. (109,13) sec

Vat kao kolicnik dzula i sekunda pokazuje da je ] sistem zaista prak. tican, naroCito u savremenoj tehnici i fizici.

Stara, izvt'dena jdii snagu - konjska snaga - iznosi:

Nm 75 . 9,81 = 736 W. (109,14)

, sec

-Isto toliko iznosi i njernacka konjska snaga (PS == Pferstarke). Britanska konjska snaga HP i1i {- (horse power) i francuska CV (\ v!peur) nesto su

od nase konjske st1age zbog odg6varajucih mjera i definicija, koje su raz!icite od nasih, i dus su r!zIiCite. .

Odmahse vidi da je J \V sec. (109,15)

Kada je navedena jedinica snagu, napominjemo d, se rad i energija takode izrazavaju i s\jdl jedinicom

kilovat cas kWh:J (109,16) Ocigledno je

lkWh 10~W3600sec=3,6106Wsec=3,6 m dzu\a. (109,17)

328

Moment koH~fne kretanja (dejstvo) Dimenzionalno iznosi

/2 m",'/ (=) -:::Ef,

t gdje je gij.

Onda je odgovaajuca jedit1ica 2 kg = .1 sec. scc

(109,18)

(109,19)

Veza medu kalorijom'i dzulom. ksimtl je utvd da je 1 ) = 4,185 .1, (109,20)

iIi 1 .1 = 0,239 ), (109,21)

S druge strane j~ 1 kcal = 427 mkG, (109,22)

5to se lako moze dokazati m (109,20) i obrnuto. ) je da se zna jedan obIik odgovarajuceg kvivll m mehanic~om i t)tm jedi~

ic za energiju, odnosno . Tako kalorija bila jdii kolicine toplote, koja spada u neki ddi sistem, Sl.l veze dobro odredene eksperimenta)no.

Jedinica koli~ine elektric'teta u ktim sistemu je kulon. Oznatava se S8 ( Coulomb-u). je, kao 5to smo nave1i, v jedinica rktig sistema.

Struja. Kako je q J=-, t

to je za struju dobro poznata prakticna jdii -=, m.

Napon. Iz relacije za energiju =l1 se doblva

=..=~. It q d je prakticna jedlnica zit - vo/t:

J J --=-=V.

set Volt je kolicnik d!ula i kulona.

(109,23)

(109,24)

(109,25)

(109,26)

(109,27)

329

Ista jedinica vazi i Z8 potencijalnu razliku i elektromotornu si1u, jer su to veliCine iste dimenzije kao .

Relacija (109,27) za e~ergiju vrlo je vz i kris pri izruV8ju, uporedivanju i rikzivju jedinica i vlii u nauci elektricitetu.

D8kle: diul = volt kul = volt . skud

J V = sec.

Elektr.~na otpornost (otpor). ztj relaciji R=!:!

1 dova da je jdii za otpornost (Qtpor) - :

V () -, ( je jednak kliiku volta i ).

Dakle

Elektrf~no potje.

Odgovarajuca jdii je

=.

(=)-. 1

V - (vo\t metru).

(109,28)

(109,29)

(109,29')

(109,30)

(109,31)

( 109,32)

Skraceni naziv postoji. UpotrebIjava se i mjesovita jedinica V (vo1t titru). Ovo treba razlikovati od iste 1k (sklr) Z8 energiju.

Specififna otpomost. relaciji 1

R=p-S' (109,33)

gdje je R otpornost, I dutina, S presjek provodnika, specificna otpornost, dova se !

SR = [

(=). (109,34) Odgov8rajuca prakticna jedinica' je

Q m (om-metar).

330

U praksi se cesto upotreDtjava ltil mikroomcel1timetar (11 ) mikmt (11 Q ).

Elektrl~na provod ljj,vost. OznaCicemo je S8 , je ,

~. ( , I ::',) . R

(109,35)

PrJkticna jedinica za elektri61l1 provodljivost je ~ iIi simells (5). Neki Q lIl1mJIt izvrnuto Q i nazivajtl ga (obrnuto ).

Kapacitet. dfiici ji kapaciteta q =' (109,36)

gdje je q kolicina elekiriciteta, , dgju jedinica kulon ( 109,37)

(Razlikovati za jeditlicu klii e1ektriciteta od u (109,36) za velicinu -- ka pacitet).

jedinica se iziv farad i oznacava 5 5 f. f

" v

(109,38)

1 jedinice pokazuju koIiko je i za etektricitet ovaj si5tem pra-kti.

DJelektri~n8: konstanta (elektrl~na permitivnost - propustljl-vost). ' poznatom zakonu za elektrostaticku silu uzajamnog dejstva dviju kolicina elektricite1a 'ql i q2 m rastojanju r (Coulomb-ov zakon) ima se

F k QjQ==... 2

u racionalizovanom SC sistemu uzima

(109,39)

1 k::cc . (109,40) 41'tf'1) ,

gdje je " elekfricna propustljivost iIi d:ielektricna kstt. je 5joj prirodi slozena funkcija, narocito za neke sredine, u vecini slu cajeva uzima kao konstanta za pojedine sredil1e.

4ft je uzeto zbog prakticnijeg doblvanja mnogih jedinica za eJektri~ne i magnetske . Ina~e, taj faktor mora negdje figurirati zbog sferne simetrije u mnogim pojavama, zbog uzimanja odgovarajuCih prostornih uglov .' Ovdje upustati u dalja obrazloienja toga.

Tako je elektrostaticka sila

Odavde je

dimenzionalno

Odgovaraju~e jedinice su

= 1 qtq2 4 ItEo 2

q2 80 ( = ) --- -- .

/2

2 2 F Nm2 Jm Vm m

331

(109,41)

(109,43)

(109,42)

(109,44)

Dakle, velitina 80 mjeri, odnosno izrazava /arodom metra. veli-tina prikazuje elektritna svojstva vakuuma (fizitkog prostora).

Elektrffnf pomjeraj. definiciji z& vakuum D =, (109,45) gdj~ je elektritno polje, D elektritni (dielektritni) pomjeraj, dobiva jedinica za D u obliku

F V . FV ( 109.46) -.-= m m

Dakle, elektritni (dielektritni) pomjer&j izra!ava k,:>blnikom kul i metra kvadrat. Dimenzionalno izlazr da dielektritni pomjeraj pretstavlja

~olitnjk naelektriSanja i povr~ine (kvadr&ta duzine). Magnetska Indukci1a (,polje). Jedinicu za magnetsko

polje (il1dukciju ) mozemo dobili iz fundamentalne relacije u elektromag-netizmu:

( =) I/, (109,47) koja pretstavlja vezu medu silom F kojom polje indukcije dejstvuje strujni provodnik du!ine I i struje 1.

Odavde je dimenzionalno F (=) .

Jedinica za magnetsku indukciju (polje) je tome N m

(19,48]

(109,49)

jedinica naziva tesla prema Nikoli Tesli. Oznatava sa , usvojena je nedavno. Dakle!

N =- .

Tesla je jednak kolitniku njutna i proizyoda i m~tra.

(109,50)

332

Magnetskf fltlks. je dimenziono proizvod magnetske indukcije i povrsine, ili

(=) BS. (109,51) rkti jedinica za magnetski fluks naziva se veber. zv se S8 Wb Weber-u. Onda je dvd je

(109,52)

(109,53}

nedavnog usvajanja tesle kao jedinite za magnetsku indukciju upotrebIja- se kvadratnom metru, jer nije bllo naziva za tu prakticnu jedinicu. Pritom se polje cesto definisalo kao "gustina" fluksa, 5to nije pogresno, je sa fizicke strane vjerovatno opravdanije da se polazi od polja ka fluksu.

Induktivnost. Elektromotorna $il samoindukcije ima dimenziju L!... '

gdje je L koeficijent samoindukcije. Dakle

Odavde je U=L!....

t

L ( ) Ut (=) Rt. I

Odgovarajuca jedinica u prakti~nom sistemu je sec . jedinica se naziva henri, ozna~ava se sa ( Henry.u). Dakle

H:::::sec . Prema tome, henri je "sekom".

(109,54)

(109,55)

Ista se relacija dobiva i prema Faraday-evom zakonu elektromagnetske indukcije

= d dt

iIi U(=) =L/.

t t (109,56)

Magnetska permeabIlnost. NajlaMe je poCi od relacije za vrijednost magnetskog polja (indukcije) strujnog provodnika:

= ~~ 2/ (109,57) 47t '

gdje je / struja u provodniku, rastojanje ta~ke, u kojoj polje iznosi od provodnika, }10 magnetska permeabilnost vakuuma (, praktitno, vaiduha).

333

Ako je neka druga sredina. ondll se uzims odgovarajuce 1J., koje karakte-rise magnetska svojstva te sredJe, sa izuzetkom feromagnetika, kada postoje i deugi faktori.

Odavde je dimenzionalno l

t10 ( :.-= ) . Zamjenom iz (109,48) iilzi

F 1 lt Ut - ( = ) li . -,- := -l-j~- == -,[' (109,54)

(109,58)

(109,59)

Onda je jedna od jedinica za mr,tsku permeabilnost u rktit sistemu

henri (109,60) m metar

Dakle, permeabllnost St mofe prikazivati henriem metru.

Ja~jna gtskg l (magnetska "masa"). je svojoj prvobitlJoj ulozi fiktivna veliCina, koja je u magnetostatici uzeta kao licina analogna kli elektriciteta u elektl"ostatici. Oznacava sa /. Onda je vrijednost magnetostaticke sile, analogne elektrostatickoj (Coulomb

8 sila u magnetostatici) (109,61).

gdje f1l 1 i 2 agtsk " i1i jacine magnetskih polova, njihovo mdusI rstjj, k' kl1stt koja prikazuje magnetska svojstva sredine.

Dimenziol1alno se nlOze pokazati iz dfiicij magnetizacionog polja da fiktivna veliina ! ima dimenziju magnetskog fluksa. Naimp., pozlIato je da je sila

=m , (109,62) gdje je magnetizaciono (ili gtsk) polje. 000 je vezano 8 mag netskom induKcijom rlijG ili

iIi

=. ,

H=~. -

Onda se jd od mnogobrojnih natina dobiva: F Fp.o (=) = -8'

FtR llBtR (= )---- = .. _._. = /. I 1

(109,63)

(109,63')

(109,64)

(109,65)

334

tJakle. fiklivl1a magnetska "masa" ima svoju fizicku prirodu ekviva-ientnu magnetskom {iuksu.

Jedinica za jainu l11agl1etskog pola (za gl1tsku "su") je veber. Magnetski moment je r definiciji proizvod jatii1e glskg

pola i duzine: ml, (100,66) je dgvrju prakticna jedinica

Wb (veber-tr). (109,67) Magnetomotorna prikazuje struj, odnosno struj l10-i brojem nayojaka, je prakticna j~dil1ica za nju

amper -l1vjk i1i , (109,68) jer "navojak" ustvri pretstav1ja neimenovan broj.

Magnetska reluktancija. Iz re1acije = mms

R

R= m",-~ ,

( 109,69)

(109.70)

gdje je magnetski I1uks, mms mgtmtf siJa, R magnetska reluk-tancija. Odatle je rkti jdic za magnetsku reluktanciju

-vjk d r ---- - , -

Wb veber (109,71)

Sistem MKSC pokazuje samo da su m jedinice prakticne za fazna iZraCL1\18Vanja i k\'titliv prikaziv811ja u thii i fizici, l1ego i prirodnost fizickih veliCina. Odgovarajuce r)ij zadrtavaju svoju fizi-(:l1osl. je i prema jlm lako prikazivati i izruvti jedne velicine i jedinice drugi koje su date.

U sistemu se za (apsolutnu) trturu uzima dobro poznata velicina llJK (keMn).

. - ELEKTROSTATI(I CGSstatC SISTEM

OSllovne veliCinc ovog sistema su: duzina, ml1sa. vrileme, n elektriciteta ( struia).

Dakle. iste kao i kod praktictlog sistema. Doduse, cetvrta, elektricna velicina data je implicitno, se cesto gO\'ori da lktri ve1i~ine i jdii

izazavaju pomocu hl1iki!1. Odgovarajuce jedinice su: centimefar, gram, sekund i statiCki kulon statkulon. zk su:

, g, , stat . (1101,)

335

Ovdje t!mjesto l1aziva "elektrostaticka jedinica neke li" usvojiti pridjev statiCki". odllOSno s/at ispred jedinice.

Elekt!ostaticki sistem jedinica CGSstat stj kada u izrazu za elektrosia ticku il:l

k 9l9.! '.!.

(110,2)

uzme za Vak1!Ut!1 proizvoljno da konstan1a k bude jednaka jedinici. O~im toga joj 5 oduzme. fizicka priroda i uzme 1

336

Rad i energlja. Jdi je erg: erg= D .

Otuda u vezi (103,10) J = (07 erg.

Snaga. Jedinica

narofitog naziva.

erg

~oen. k~i kretanja (dejstvo). Jedinica je erg .

(110,10)

(110,11)

(110,11)

(110,13) velicina se danasnjem shvatanju f!e moze dije1iti proizvoljno do beskonacnosti, nego postoji najmanji kvant dejstva:

h=6,62. 10-27 ergsec. (110,14) je univerzalna Planck-ova kstt dej5tva. Cesto 5 upotrebIjava

h == .!!... = 1,054]0-21 erg . 2

Etektrostatl~ka jedinica kotl~ine elektriciteta: 5tatkul(,>n (5tst ).

Nsjbolje je poCi od veze medu jedinicom za ' velicinu u elektro-ffi8gnetskom i u elektro5tatickom si5temu CGS.

U elektromagnet5kom 5istemu CGS jedinica za ko!iCillU elektriciteta je dekakufon (10 ), sto je lako pamtiti. S druge strane eksperimentaJno je utvrdeno da je ta jedinica 3 1010 puta od stablkog ku]ona, tj. od elektr05tatifke jedinice za kolicinu elektriciteta. Ovaj broj pret5tavJja brzinu svjetlosti odnosno ziu prenoscllja elektromagnetskih pojava u vakuLlmu.

Otuda je da 5tat = --~- = ~--. 3 . ) 1 3 . 109 (110,14)

Odavde je C=3109 statC. (110,15)

Dakle. kulon je tfi milijarde puta veCi od 5tatkulol1a. Mogl0 se poci i t,d jedil1ice elektromagnet5koj

(dekakulonu), li je ovako lakse. lz izJozenog se vidi da je prilicno nepodesno 5tst prikazivati kao

proizvod centimetfa i kvdtg kOfijena iz dina, jer ovdje radi jedi-nici za elektricnu velifinu. I, takvo prikazivanje izlazi iz (110,4).

Struja. (109,23) jedinica za 5truju u CGS statC sj5temu je 5tt ( 110,16)

5

331

{) jedinica se mogla nazvati i stat , to odgovara nrirodi same jedinice, jer se kod struje radi kretanju kolicine elektriciteta. znati da se za struju jedinica vrlo rijetko upotrebIjava.

Napon. 1-' (109,25) i (109,27) jedjoica za , koju temo u . sistemu oblljezavati 5 stat V, iznol)i

5tat V = erg_. (110,17) 5tatC

ili stat V 300V. (11"0,18)

,f ovu vezu je lako upamtiti. Statitki volt je tri5ta pufJ veti od volta. Otuda se mofe poti i od relacije kao glavne za izracunavanje veze medu 05talim jedinicama u raznim si5temima. Jedina nezgoda je u tome to nije uzet kao osnovna elektritna velitina niti njegova jedi-nica u 5i5temu kao cetvrta jedinica. znati da je izvedena li. odno5no jedinica.

Ovdje uzgred navodimo i jo jednu jedinicu za energiju, odno5no za rad. j~ e/ekiron-vo/t. Oznatava 5 jedno5tavno 5 V, gdje pret-stavlja kolitinu elektriciteta jednog elektrona, V volf. Sama OZl1aka poka-zuje da je elektron-volt onaj rad "( energija) elektrona koji je potreban za 8avladivanje potencijalne razlike od jednog . dmh 5 moie doblti veza medu tom jedinicomi jedinicom za rad, odnosno za energiju. Naime, kako je naelektrisanje elektrona

= 4,802. 10-10 5tat , blte

1 eV =4.80210-1 5tt statV = 1.601.erg.

. 300 . elektron-volti naziva megaelektron.vol~ kr8tko, kao sto se i ()znatava - MeV.

ili

OCigledno je 1 MeV = 1,60 I 10-8 erg.

Etektrl~na otpomo8t (otpor). (109,29) blte 8t8t = 8tatV = 300 V = 9.1011 .

Etektrl~no potje: 5tat --..1_

3 109

8t8t V 300V --=--.

Kapacftet. Prema (109,36) i (109,37) blte 8tat '= 8tat ,

8tatV

1 5tat = . 9 1011

D. . I"anoy!c. Vektorska anallza

(110,19).

(110,20)

(110,21)

(,22)

338

1. ne.zgodno svode.n\e. OV\b. i~d\nka .\., moie se pokaZI1\\ primjeru samog statfarada. Naime, vidi se da je to prirudi velicina koja izrazava koliCnikom dviju elektricnih velicina i moze se pretvoriti 11 farad uz odgovarajuci numericki koeficijent. Ali, prema definiciji odgo-varajuCill velicina u sistemu, uzimajuci u obzir njihove dimenzije,

( za kapacitet

C(=)!L(=)~" F'~. . U U

S druge strane se dobiva iz energije i koliCine elektriciteta prema relaciji

U=q-(=) ["{j.:- ={F.

Dakle, IzJazi kao da je jedn!k kvadratnom korijenu iz sile. Eto do cega dovodi dimenzionalna veza u sistemu. Onda je kapacitet

( = )1, ( 110,23) ili

st1t F = . (110,24) Otuda izlszi da se kapacitet mjeri centimetrima. Sama priroda te velicine pokazuje kako je taj sistem vjestacki stvoren, obzira njegovu efikasnost u elektrostatici. Zato se ~ praksi, n8rocito u novije vrijeme, izbjegava takvo mehanisticko svodenje elektricnih velicina mehanicke, ukoliko se ovdje uopste moze gv svodenju. Svakako je nezgodno i neopravdano govoriti da farad iznosi 9 1011 centimetara jer svojoj prirodi moze izrazavati kinematickom, odno~no geometriskom jedinicom.

Dlelektrifna konstanta. Kako je u sistemu k = J, (110,25) _ dielektriclla konstanta u vakuumu, uzimanjem u obzir r8cionalizaciju. ;zn05iti

1 1::0= -. 4,.

(110,2)

Elektrifni (dfelektrifni) pomjeraj. (109,46) njegova jedi-nica je

statC 2

(110,27}

Magnetska fndukcfja.1 8 i ostaJe magnetske velitine imaju prakti~ne jedinice u praktitnom slstemu i takude pogodne jedinice u elektromagnet-skom (apsolutnom) sistemu COS da . U elektrostatitkom COS stat sistemu

takode mogu izvsti jedinice i za magnet:>ke ve1itine bez obzira 5to se upoirebljavaju. Oznatitemo ih, kao i obitno, S8 prefiksom stat ispred odgovarajuce jedinice.

39

Onda je Z8 magnetsko polje m (109,48) 10 5N

stat = ---- = -_ ...... ---~;--. stt

(110,28)

pokazuje svu neprakticnost ovog sist za magnetske ve!icir1e, jer se, naprimjer, za magnetsko polje, dobiva ogromna jedinica.

Magnetski f1uks:

stat Wb stat . m2

stst Wb = 300 Wb.

(110,29)

(110,30) Ostale jedinice izvode se prema dgvrsjuti relacijama kao u 109 uz primjenu jedinica ovog sistema.

111. ELEKTROMAONETSI (APSOLUTNI) cas da SISTEM

Osnovne velitine su kao i kod prethodna dva, odnosno: duzina, masa, vrijeme, kQ!icina elektriciteta.

Osnovne jedinice: ceniimetar,gra, sekund, dekakulon. (111,1)

Mehanicke veJicine su iste kao i u elektrostatickom sistemu. Oznacimo prefiksom (apsolutni) jedinice u m sistemu.

KoH~ina elektricitetE.\. Jedinica.

Struja: Napon:

daC = 10 .

abA=daA= !.

erg abV= --

erg daC

Onda je u vezi sa prakticnim: abV = 10-~_~ = 10-BV.

10C

(111,2) (111,3)"

(111,4)

(111,5)

Dakle, jedinica za napon u elektromagnetskom CQSda sistemu iznosi sfomilioniti dio volta.

Kapacitet: abF= = 10 = 1011 .

abV _1_V 108

(111,6)

veza pokazuje koliko ovaj sistem I: l1epraktiCan zs elektrostaticke li6. zato je podesan za magnetske.

340

Magnetska' indukclja. Jedinica' je gaul.Ozna~ava ~ . Prema (109,48)

Oa=~_O_ 10- 2 10

= 10- . pokazuje da tesla ima deset hiljada gausa.

. (111 ,7).

Magnetskf flukl. Jedinica u .m sisteritu je maksvel. Ozna~ava se . Kako je ( = ) BS,

1 =2 Uporedenje sa prakti~nim daje

1 = 10---f. . 10-. 2,

1 = 10-8 Wb.

(111,8)

(111,8') Dakle, jedinica za magnetski fluks u elektromagnetskom COSdaC sistIJ (maksvel) sto miliuna puta je manja od jedinice u praktitnom sistemu (od vebera).

Magnetsk. perlDeabllnost~ Iz izraza za magnetsko polje, gdje je k' = \1-0 , za vakuum (k' == 1):

4ft 1-'0 = 41f. ,

341 .

112. - VP.LltINE 20 I }10

dvije veli~ine karakterisu elektri~nost i m8gneti~nost prostora (vakuuma).

relacijama za njih odmah doblje- shodno (109,43) i (109,57) dimenzija I1jihovog proizvoda:

. /2 1 v.o ( = ) J2 = {)2 ' (112,1)

5tO znaci da je to i vrijednost kvadrat:! brzine. Uskoro . m

pokazati da je to brzina = 3 1010 .

Usvajanjem relacija koje definisu COS sistema mogu se d i kvantitativne, numericke vrijednosti ovill dviju ve1icina. Nv, u caSstat i cas da sistemu date su obje te numericke vrijdrsti, odnosno .

1 (stat )2 (112,2) "0= D~ 411:

:= 4 n m (l12,3) daA

U navedenim sistemima neimenovani brojevi, iako ima.ju svoju komplikovanu fi~i~ku prirodu. je usvojeno zbog lakseg Ul1j .. MedutiQ1 vrlo je -zgodno zadrtavati dgvju~ jedinice sistema. Pokazlcemo koHko je 8~ te jdii izaziti prema navedenim rela-cijama i vezama medu jedinicama pomocu jedinica prakticnog sistema. Onda ' doblti numericke vrijednosti tih veliCina u prakticnom sistemu. I zaista je prema (112,2)

1 2 1 O~ 110 = -. --.------------ = -- :=

'4n 9 1618 10-1> N 10-' m2 Jt 10. Nm2 1~ 2 '

= --10-1I--_8,8610~1I! -- (112,4) 36ft Nm2 Nm2

uzima kao usvoje113 i prema elektrostati~kom cas sistemu izra~unata vrijednost za U ktiim jedinicama.

15to fako. je 10-41 .1-2 1 }1o=41t------ =411:10-1-. (112,5)

10 Dakle, d smo nUJneri~ki1 vrijednost u praktirnom sistemu i za

magnetsku permeabllnost vakuuma. Proizvod ovih vl iznosi

1 2 m sec 80 }1= ---4",10-7-= ------36 10' Nml 9 1018 Nml!

342

Sada izracunati je jdk ovaj izraz sa jedinicama uz ovaj dobro poznati numericki koeficijet1t.

CTIJ1 sec2 2 2

Time je dokazana vrlo vazl1a relae ija da je 1

--------;:- =: - ,

2 (112,6)

reciprocna vrijednost kvadrata brzine prostira r1ja elektromagnet5kih tala5a u vakuumu.

istog se rezultata lako moie doci i mnotenjem (112,2) i (112,3), odnosno

. (5lat )2 m (da )2 oPo= ----- ~--- = ,----

D m2 da 9 1020 D em:JdaA Preostaje da uredimo izraz 5 jedinie&ma, koji odmah daje sec! , 5to

:! je trebalo dokazati.

izracunavanja i rezultati pokazuju da su numericke vrijednosti za o i f10 u praktiCnom sistemu uslovljene vrijednostima koje su usvojel1e u elektrostatickom i elektrom&gnetskom sistOO1U. su vrlo vazne karak~ teristike fizickog polja i nije slucajna veza njihovog proizvoda i kvadrata brzine prostira:nja elektromagnt'tskih talasa~

*

Osim navedenih sisiema jedinica mogu postojati.i mjesoviti sistemi. Postupti u tim mje50vitim sistemima zasnivaju se istim relaeijama koje smo kao glavne iznijeli prilikom tretiranj& ovih glavnih sistema, se u to ovdje m upu5tati.

Napominjemo samo da je u fizici u cestoj upo.trebi Gauss-ov sistem, koji je cas sistem 5& elektricnim jedinicama iz ~lektr05tatickog, magnet-skim jdiim iz elektromagnetskog CGS sistema.

3. - TABELARNI PRIKAZ JEDiNiCA Sada u tabIicama pokazati. vezu medu jedinicama u tri

sistema. Prethodno. napominjemo da uzimamo jediniee, i brojeve koji pokazuju koliko jedinica iznosi pojedina ve1icina: Lako je i tQ uzeti u obzir kad& se ima u vidu da se ti brojeyi odnose obrnuto proporeionalno odgovarajucim jedinieama. Uostalom, o'~e se i bez toga uporedenja odgo-varajucih iznosa, kada se tacno medusobno zamijene jediniee uz odgova-rajuce koeficijente. Osim tORa u svakom numerickom izracunavanju n&j-prakticnije je uvijek pisati sve jediniee u samom proeesu izracunavanja, samo jedinice krajnjeg 'rztt. Tako se izbjegavaju pogreske, koj~ naroCito kod neiskusnih u racul1anju moraju da se pojavljuju kada se.t1e uzimaju sve jedinice z& sva'u veliCinu uz odgovarajuci broj, koji pokazuje njenu vrijednost.

Naztv velifine

Duilna

VrlJeme --------

s ----_.~

Brzill3

UbrzanJe

1---

Kollfina kretanja

(Iulsl 1-

Sila

Uobifa-Jena dl-

menziona oznaka

I 1 !

t ~---

, v=-

t

1 ;=--

t2

----

Imv=m!.. I t

/ F=m-t:

u klifl MI

344

I i 1 Kolltina I I I elek!rlclteta f q . I ~t~t =-.-;9 d8C= 10 -----~\--_:-- ---------.--- ---------,----,-1 StruJa 1./ _ __

3 10' -.-----.~.----.-- i----i-~--I--------------

J s!al v=u V -----1--------'

Napon v

V lt V =300 V

abA::z::daA= 10

= 10- 8 V l_p_o_te_n_C_iJ_a_I _____ __ I_~J

-----------------~------J

Elektromolorna 1 v staIV=300'\i IbV=10-8 V. 1----------------:-- ', ____ .---.----------- ______________ 1

Otpornos! (otporl, [R. 1 1m pedallclja D stalO=9 1011 abO=10-

9 1- ---.--.. ------.--- ,.---.-.---- -~ .. ---------- --------------, i rn I ~lI=9 ltJIDm Speclfitnl o!por ._-

tlel-trlcna provodnosl (\OdljivoSI)

'--- .... _"

Kapaeil!:t

(J !

---

__ . __ .-. ___ ._

s s 51! S=----9. 1011

:= lU- 11

abS= l9 S

1-----" -------.----- ------... ----..

F , F &Iall' =-.------

9 IU1l 11)9 -'

I

i - .. -.,,--...... -- .... ---... ---,,-,--.-----.. --~---------------I-----------l

Elr k Ir ' pra-plI~tIJ!vo~ t (permiliv.1OS!) ( L!Jlkll8

kon~lanlal

Elektllcno poljc --- .. _" .. - _ ... __ .... -

Dieleklricni pomJe-r aj (Ruslina "Iek-Iricnog pomjeraja)

Polarizacija (djpolni m:t jedJnlce zapremlne)

Ko~fjcijel11 Indukcije

Magnetska Indukcija

f _.

m iIi

2 --'---N m~

! v ,.----i 1

D ------m2

: .

--- ~._--~

: ! ,. i 2

stat F I F l11 109 I

sl!!! V V ---=3 10

I m

stat '1 -----~- -~ ---

345

Magnetlzaclono N D 1 N D N = -- = 108 ---polje m Wb stat Wb , 3. 107 \ Wb Jsflna polja

--- --------

LITERATURA

1. . und Fl .: Theor!e der .Elektriziliit, Bd. 1. 1907. (Iakode t ruski prevud Becker.ovog prerllrt~nGg izdanj8: lI-:

, 1939). 2. Andellc .:

Teorlja vektora, 1959. 3. lli1 .:

8) Raclonalna mehanika 1(1950), 11 (1951)', (1954); ) mik tvrstog tela, 1955.

4. Brand L.: / Analysls, 1957.

5. Burall-Fortl Marcolongo.: Elemet1ts de l!11 vectoriel, 1910. Omograiie veltoriali, 1909.

6. ll . : ll!i , 1957.

7. u . : , 1, 1939.

8. Ein,teln .: lle ",ir ! Rllivit. 1953.

9. I( . .: ) Bel\TopllbIll , 1931.

) jllll , 1939. 10. l( . .:

11) i! lI, 1 (:. ) I>:18, 1, 1956.

11. 8 R.: ElniUhrun~ '" dle Vekloranalys!s mlt Anwendungen ! dle malhematJsche

sik, 1921. 12. , J W. - WI180n . .:

Veclor AnaJysis, 1913, 19-18. 13. Ooldsteln .:

C!a55ica! Mechanics, 1950.

14. ' .: ) Vektoranalysls, 1926. ) I!lnHihrung in dle theoret!sche Physlk, 1930.

347

15 .: Vector and Tensor AnaJysls. 1953.

16. Jgnatow8ky W.: lJle Vektoranalysis. Band J. ud 11., 1926.

17. j008 .: LE'hrbuch 18. juvet .: [.('~ {J'analyse vectorielle. I ! 11 partle, 1935.

19. . .: , 1938.

20. II -: , 1948.

21. . .: 1( n

. 1938. 22. LagalJy .:

Vorlesungen i1ber Vektor-Rechnung, 193-4. , . .:

) , , 1954; ) . 1958; ) J , (), 1952; d) , 1957.

24. .II( . .: . 1957.

25. ~ . .: ,1Ol .1 ,1Ii

tnpeao!!. ,1l(). 193t. 1956.

26. . .: . 1956.

27. MihnilovJc .: Elementi vektorske algebre I l~k geometrlje 11 prostorll, 1958.

28. Obradovlc N.: Osnovl me11al1ike !lutda, 1952.

29. Planck .: Eenfiihrubg in dle Iheoretische Physik. Band 11. 1931.

1 30. j. 8.:

Princlpes de calcul vectorlel ! tensorie!. 1923. \

31. I( . .: , 1956.

32. Raskovlc n.: Mehanika l (1949). 11 119~8J, 111 (19t8).

33. Runge .: Vektoranalysis. 1919.

34. Schaeffer .: Einfiihrung in dle theoretische Physik, 1929-1937.

348

35. Schouten J. .: Gld!gl1 dcr Vcktor und lsis, 1914.

36. . 11.: , I~ii .. , 1938,

37. Slli J.: 1.~tJ[bl:!j der Vktort1!lg, 1926. (TakoJe i ru

REGISTAR

jAflni prostor 308 aksijalni vektor 69 amper 28

analiti&i izraz divergencije 175 antikomutat'vnost vektorskog' proizvoda 59 apsolutna vrijednost vektora 6 asocijativnost zb1ra 19,308

Baza vektorskog prostora 312 rnOlU-ev jednatina 226-227 bezizvomo (solenoidno) potje 218 bezvrt1&no (potenCijalno) polje 217

orml 118 Biot-Savart...:av zakon 73 brojna vrijednost vektora 6,7 przina 125

generalisana 34, 35 jedinica za brzlnu 325. 35 tarovektori 300

~etvorevektor impulsa-energije (retvorovektor ko1i~!ne kretanja) 305

l'etvorovektor 306 ~iga 52 l-vor (jedinica brzine) 325 t'vorna (noda1na) lInija 53

D

Dalamberljan (D'lemt-v operator) 323 D'1t-v jednaclna 322 dejstvo 328, 336 detennlnanta vektorskog proizvoda 63 dielektricna konstanta 330

dielektri~ni koeficijent 16, 330 dielektrl~ni pom!eraj 331 diferencijalne operacije d.rugog reda 211 diferenciranje vektora koji zav!se od ska-

lamog argumenta-l08 dijeJjenje vektorom 87 dimenzija vektorsKog prostora 312 din - jedinica za 335 dipol (l) 250 dipolni moment 250 diskontinuitet polja 246 distributivnost skalamog proizvoda 42

zbira 19 d1vergencija 174

analiticki !: 175 pomotu mt-vg "-

to 176 u genel'aIlsanom (krivolini-skom) koordinatnom sistemu 265 u ci1indricnom koordinatnom sistemu 26'1 I\l sfemom koordlnatnom si-stemu 26'1

~dijenta 212 facine elektrost!ltil'ko~ polja prouirokovano'>' .tackastom ko-IIcinom etektriciteta 179 pro!zvodu ska1ara i vektora 178 prolzvoda v#>ktnr:oo ~ s10fene ska1ame funkelje 178 rotora 214 vektora. Dolofaja (radijus-

vektoa' 178 vektorsk()~ prolzvoda dvaJu v1(t 179, 204 zbfra 177 "'f!\ krivfna 121

350

Di

DzuJ (jed,nica "-lje (jacina) 15, 329 encrgija 327, 336 erg 336 Euler-ova jednacina za kretanje tst!

194-196 ul-vi uglovi 52-56

F

Fal'ad 330 Faraday-ev zakon elektromagnetske in-

dukcije 332 fazori 297, 299 fjzicl

J

JaCina elektrostatickog polja 15, 16, 164, 329

jaUl1a gr avitacionog polja 14 jacina magnetskog l 33 jaCina gtskg polja 31 jC!cina rnagnetskog polja strujnog provoC1-

il 73 jacjna (il1tcnzitet) \'e.ktora 6 jcdinicni op.;ratol' 319 jedinicni vektcr 11, 12, 316

kcordinatne 34 jcdinicc 324

tab]

352

nonnalna ravan 119 normaLnoot dvaj:u vekoora (uslov) 45 nonnirani v~ktor 316 nulti vektor 8, 310 nutaoija 52

Nj NjUt.l (jedinica za silu) 326 njutnijan 258

Obiljefa\ranje vektora 6. 7 odredivanje s}talanle fW1:kcije kada je -

znat njen gradijent 287 . odredivanje vekoora kada BU poz.nati nje-

gov rotor iI. divergencija 291 oduzimanje vekoo'ra 17-21 operator energije 322 operator (\7) 149 operaOOri 318 opsti 1:z za vektorski ~ro1zvod 34 orijentacija povr!iine 66 ort vektora 11, 12 oskulatorna ravan 119 osnovne f.ormule teorije diver~nclje 17'1

- - teorije gmdijenta 150 teorlje roOO'ra 201 sn jedinice sister:na 325 osnovne t~reme i fonnu1e diferencijalnog

ra~a kod vektora 115 osnovne veli6ine. sistema 325 otpornost (otpor). elektrii!na 329

Paralelnost dvaju vektora ~1oy) 81 ,parcijalni. dzvod vektorske tunkcije od vi-

promfenljtvih 112 mnlt, gntk 332, 3 pennitivnost (propustljivost), elektri&:la

330 , podiela du!l 26 podiela vektora 11 nOn'jela vektorsil:ih oolja 217 P.olsson-ova jednai!lna 219

l (mal!1l1ets'k.j) 33 ' polarizac;j'l 251 polarni vektor 69 polo!a1 te~\Ata troug1a 28 polupre6::lik krlvine 119 :

elek1:rostati~ko 15 ~avitRcionn 14.

ooJje OD!te" tu-.. (ql0!eno polje) 218, 295 potencijal 161. 2!\7

svojstva potencljala 256 dvostrukog sloja 259 gradijenta 258 prostog sloja 259

potencijalni vektor 161 potencijalno polje 161, 217. 292 povezano podrui!je 284--287 povE'zanost podrotja 284

povriiina paralelograma i vektorski' pro-1zvod 64

povrAiDIska -brzinac 129 povninska divergencija 247 povrsinska gustina 247 povrAinski gradijent 254 povrsin&ki rotor 254 povrSinski vektor 67

- zatvorene povrSine 68 prakbl&:li sistem MKSC 324, 325 pravac vektora 6 . ' pravila diferenciranja vektora kOjl zav1se

od skalarnog argumenta 108 precesija 52 pretstavljanje povrsine vektorom 66, 87 primjeri gradijenta 153 proizvod i!etlri vektora 84

skalaml proizvod vektorsklh pro-1zvoda 84, 85 vektorskl pro1zvod vektors.k1h proiiNoda 84, 85

pro1zvod dvaj'U vektora: skalarni ('lutrsji) 40-45 vektorskl (spoljaAnji) 58

proizvod triju vektora 78 proizvod vektora i skalara 9, 10 projekcija vektora 28, 29

081 29 pravoj 29

promjenljivi vektoi'i kao funkcije skalar-, argumenta 103

prostorno diferenciranje 283 provodnos~ elektnfna 330 provoc!enje toplote 153 Prvi Newton-ov zakon 131

Rad (jedinica ZI8 rad) 327, 336 rad kao skalarni proizvod 40-41 radijus-vektnr 12 radijl\JS krivine 119 razlaganje prvog f drugog 1zvoda vektora

komponente 113 razlaganje vektora komponente 21, 22

koordinatnim 34-38

raz1ika vektora 20 re'r8 18-21 rotacija koordfnatnog sistema 49 rotor' 198

ana1itii!k1 izraz 198 po~ milt-'g operato'r&

199 brzine i ugaona 199-200 gradijenta 213 proizV'Oda vektora i skalara 201 proizvoda' vektora i sl! skalarne funkclje 202 rotora 214 u i!oenerali~anom (krivoJiniskom) ko-ord;natnom s\st 268

u cilindrH!nom 269

u sfernom 269 .r.o . {JIJ .... ..e.aja (1'adj,jub-vk1JO.l)

~2 vektorskog proi1.voda dvaju vekto-1'a 203

1.l.>ira 201

s

Sabiranje vektora 17-21 sniukij' :i32 - 332

to; tpovrSinska) brzina 129 S.l1' k.1'tni sistem 262 tiua 326, 33:J simooli sistem.i. koorwnatl11 3~~ tikUli:1.1' 1) SKUlitLna veli6ina ti

:'I: .. ul!.aona 1J1'z,j.na 129 Sll.alaHIiI. piozvua QvaJU vekto1'a 40-4~,

315 liU!'maJnih 43 oznaka "1;.\ vektol'a samim so 4

skalarno mnou:;nje u anal1Ut:kom obliku 44--45 dva koo1'dinatna o1'ta 44 yekto1'a i jedini~og vekto1'a 44 vektorskih polinoma 4

skala1'no polje 140 slobodni vektor 9 sloZeno polje 218 smjer vektora 6 snaga 3:.:-1, 336 (jedinica za snaau 327) so1enoidno polje 176, 218, 293 sCtl oljpOrnost 329

52 ~PQIJa.snji i14 vektorski proizvod dvaju vck-

to1 58 Stokes-ova teor 206

an~ i1.vodenje 2~209 st.l'.2 328,. 336

SIS~pijln.f i1.vod .170 svojatva operatora nabla 215

potencijala . 256 solenaidnog vektora i polja 189

'rabelami p1'ika1. jedinica 342-341) tablice 1.a transfonnacione fonnule " 1"0-

taciji 50 1.a nonna1nost ortova 50

ta}asna jedna~ina 237 taogenta 118 raylor-ova fonnu1a 115 tt>orema Gss-strgradskog 182

primjena fizi10u kontinu-uma 191 ieo~a. jednozna~nosti 289

353

teo1'ija sk.l i vektora koji zavise od vektorskog argur:aenta 138

teorija vektora koji zav:ise od skalarnog argumenta 103

teorija vektora u genralisanim koordinat-:}i,ffi siste.im (krivoliniskim) 260

tesla (jedinica indukcije magnetskog polja) 331

te!iste trougla 26 torzija (druga krivina) 121 transfo1'macija integrala porno6u operato-

nabla 216 transformaeija vektorskdh koordinata (

jekcija) 47 transfonnacione formu1e l rotaciji vek-

tora 49. 50, 51 za koordinate (projckcije) 48 za radijus-vektor 51, 52

triedar: tangenta, gIavna nonnala, l 118

u

Ubrzanje 125 nonnalno 125, 126 tangencijalno 125,126 totalno 126 jedlnice ubrzanja 326,335

ul.rzanj/'! cYstice koja kreee kruznoj putanji 130

uga.o kontigencije 119 - nutacije 53 - precesije 53 - spina 53

ugao meCl!u vektorima 45, 316 uslov:

kolinearnosti vekto1'a 61 komplanarnosti triju vektora 80, 81 nonnalnosti dvaju vektora 45 paralelnosti dvaju vektora 61,64

Vat (jedinica) 327 veber (jedinica) 332 vektot 5

v

aksijalnl vektor 69 jedini~ni (ort) 11 karakteristike vektora 6 kliZuCi vektor (liniski) 9 nulti vektor 8 podjela vektora 9 polarni vektor 69 slobodn1 9 poloZaja 12 pomjeraja 40

vektori: u koo1'dinatnom elstemu 31, 34-38 kolinearnl 24 komplanarni 24

vektorska fuDkcija od skalarne promjen-1jlve 104 kao zbi1' potenCijalne i sole-noidne komponente 245

vektonka ugaona brzina 129 vektorska veli&a 6

354

vekto:rske ]ednacine 87 vektor~ke ljj 15t1 vektorski potencijal 293

gt.&g !) 228 vektorski ili spoljaSnji proi2:voo dvaju vek-

tora 58 : ana.litil:kom obliku 63 i izraz 64, 65

vektorski proizvod koordinatn!h ortova 62 vEcktors.ki ~prostor 307 v\?ktol'Sko polje 157 vektorsko pretstavljanje kompleksnfh -

1iCina i obrnuto 297 vektorsko-s.kaLarni proizvod (mieiClVlfti 81

jediniCnih vektora "- froordi-natndh ortova 82 vektorsko-vktosi proizvod (tri}u vekt'J-

) 82 ve1icina velttora 6 ve!i(:ine f:. i '" versor 299 veza edu:

komponentama potencijallWg vektora 165

linisk>im integJ:-lm skl:r. i povrsin-skim integraIom njegovog gradij'ent-:1 211

povrsinskirn integralom sk:alara i zapre-milllskim itg:Jl .i:>v()~ gradi-

jc>nta 210

povrsinskim integralom vektMlt 1 tapl'E!-mlnskim fntt>og'raJom njego