7 - Circuito II - Transf Laplace em Circuitos.pdf

TRANSFORMA DE LAPLACE

em Análise de Circuitos

INTRODUÇÃO

Sumário deste capitulo:

Componentes Básicos no Domínio da Frequência;

Análise de circuitos no domínio da Frequência

Função de Transferência

Função de Transferência em Expansões de Frações Parciais

Função de Transferência e a Integral da Convolução;

Função de Transferência e Resposta Estacionária;

A função Impulso em Análise de Circuitos

1- COMPONENTES BASICOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

1- COMPONENTES BASICOS NO D. F.

Conhecendo os modelos dos componentes Básicos (R, L e C)

no domínio da frequência é possível escrever as equações no

domínio da frequência, sem a necessidade das equações

diferenciais e integrais.

1.1 - RESISTOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

De acordo com a Lei de Ohm:

Como R é uma constante, então ao aplicar a transformadas de

Laplace:

Ou seja, e o resistor continua sendo apenas o resistor no domínio da

frequência, após efetuar a transformada de laplace.

)()( tRitv

)()( sRIsV


1.2 - INDUTOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

A equação no domínio do tempo o indutor possui a seguinte relação

entre tensão e corrente:

Como L é uma constante, então ao aplicar a transformadas de

Laplace, tem-se:

Após a transformada, o circuito pode ser redesenhado de duas

maneiras:

Considerando a análise por tensão V(s), então sL é uma impedância e LIo

é uma fonte de tensão volts-segundos;

oLIssLIissILsV )()0()()(

dt

tdiLtv

)()(


Considerando a análise por corrente I(s), então sL é uma impedância e

Io/s é uma fonte de corrente amperer-segundos;

Observe que em ambos os casos (análise por tensão ou corrente)

que a polaridade da fonte é determinada pelo sentido da

corrente inicial no domínio do tempo, podendo ser positiva ou

negativa.

Quando a corrente inicial é zero, o circuito se resume a:

s

I

sL

sVsILIssLIsV o

o )(

)()()(


dt

tdvCti

)()(

oCVssCVvssVCsI )()0()()(

1.3 – CAPACITOR NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

A equação no domínio do tempo que relaciona tensão e corrente no

capacitor é a seguinte:

Como C é uma constante, então ao aplicar a transformadas de

Laplace, tem-se:

Após a transformada, o circuito pode ser redesenhado também de

duas maneiras:

Considerando a análise por corrente I(s), então 1/sC é vista como uma

impedância e CVo é uma fonte de corrente amperes-segundos;


Considerando a análise por tensão V(s), então 1/sC é uma impedância e

Vo/s é uma fonte de tensão volts-segundos;

Para o circuito do capacitor no domínio da frequência, a polaridade

da fonte também é determinada pela tensão inicial no domínio do

tempo, podendo ser positiva ou negativa.

Quando o valor inicial é zero, o circuito se resume a:

s

V

sC

sIsVCVssCVsI o

o )(

)()()(

2- ANALISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA


Em primeiro lugar, se não houver energia armazenada no

circuito (Indutor e Capacitor) no instante inicial, a formula se

resume à:

Esta equação as vezes é conhecida como lei de Ohm no

domínio da frequência.

As regras para combinar impedância e admitância no

domínio da frequência são as mesmas utilizadas no domínio do

tempo (simplificações serie-paralelo e conversão –Y).

As leis de Kirchhorf também se aplicam às correntes e

tensões no domínio da frequência.

)(1

)( sIsC

sV

)()( ssLIsV

)()( sIZsV

)()( sRIsV


Como as leis de Kirchhorf podem ser utilizadas, todas as

técnicas de análise circuitos desenvolvidas para circuitos

resistivos podem também ser utilizadas em circuitos no

domínio da frequência, mesmo quando existe energia

armazenada inicialmente em capacitores e indutores.

3- EXEMPLOS DE ANALISE


3.1) Resposta Natural de Um Circuito RC

É a análise do descarregamento do capacitor sobre uma resistência.

Pretende-se encontrar a expressão da corrente i e da tensão v no

domínio do tempo, considerando que a tensão inicial do capacitor é

Vo.

Para determinar a equação da corrente i, é interessante substituir o

circuito anterior pelo circuito equivalente série abaixo.


Utilizando a lei das malhas de Kirchhoff obtém a seguinte equação:

Assim:

Aplicando a transformada inversa (frações parciais), obtém-se:

Para determinar a equação da tensão v, basta agora aplicar lei de

ohm:

Se optar por calcular o valor da tensão v antes da corrente i, é

melhor utilizar o circuito equivalente paralelo, assim:

RIIsCs

Vo 1

RCs

RV

RCs

CVI oo

11

)()( )( tueR

Vti RCto

RCsRVI o

1

)()( tRitv )()( )( tueVtv RCt

o


Utilizando a lei das corrente de Kirchhoff obtém a seguinte equação:

Assim:

Aplicando a transformada inversa (frações parciais), obtém-se:

Para determinar a equação da corrente, basta agora aplicar lei de

ohm:

Assim chega-se a mesma Resposta Natural RC:

oCVsCVR

V

RCs

VV o

1

)()( )( tueVtv RCt

o

RCsVI o

1

R

tvti

)()( )()( )( tue

R

Vti RCto

)()( )( tueVtv RCt

o

)()( )( tueR

Vti RCto


3.2) Resposta a Um Degrau em Circuito RLC Paralelo

Assim como no exemplo anterior pretende-se encontrar a

expressão da corrente iL no domínio do tempo, considerando que

não existe energia armazenada no circuito (indutor e capacito)

Ao substituir o circuito no domínio do tempo pelo circuito

equivalente no domínio da frequência, obtém-se o circuito abaixo.

Observe que a fonte de corrente contínua junto com a chave

(Icc.u(t)) também é transformada para o domínio da frequência.


Para determinar IL, utiliza-se lei de Ohm para domínio da frequência:

Fazendo a análise por tensão de nó, pode-se determinar a tensão V,

que é a mesma para todos os componentes, então:

Assim a tensão no domínio da frequência será:

Assim, com os valores dos componentes (R=625, 25nF, 25mH e

Icc=24mA) e o valor de V, a corrente no indutor no domínio da

frequência pode será:

s

I

sL

V

R

VCsV CC

LCRCss

CIsV CC

1)(

2

sLVIL

LCRCsss

LCIsI CC

L1

)(2

82

5

101664000

10384)(

ssssIL


Antes de aplicar a transformada inversa por frações parciais, pode-se

determinar o valor de corrente para um tempo t tendendo a infinito,

utilizando o teorema do valor final, ou seja:

Ainda antes de achar as frações parciais, é necessário encontrar as

raízes do denominador e para isso pode-se fatorá-lo, então:

Então acha-se três raízes (s1=0; s2=-32000+j24000; s3=-32000-

j24000) e as frações parciais serão:

24000320002400032000

10384)(

5

jsjsssIL

mA

sss

sssIL

S24

1016

10384

101664000

10384)(lim

8

5

82

5

0

24000320002400032000)(

*

221

js

K

js

K

s

KsIL


K1 e K2 terão valores:

Lembrando que:

Assim a resposta no domínio do tempo será dada por:

mAtuteti t

L )()87,12624000cos(20224)( 32000

33*

2

33

2

3

1

10161287,1261020

10161287,1261020

1024

jK

jK

K

)cos(2)()(

*1

teKjs

K

js

KL t


3.3) Resposta a Transiente em Circuito RLC Paralelo

Utilizando o circuito anterior, mas substituindo a fonte contínua por

uma fonte de corrente senoidal Ig, com valor:

Assim, ao fazer a transformada de Laplace da fonte de corrente

alternada obtém-se:

Para analisar esse circuito, utiliza-se também o método das tensão

do nó e chega-se ao seguinte resultado:

mAttig )40000cos(24)(

22

3

22 40000

1024)(

s

s

s

IsIti m

gg

LCRCss

sCIsV

g

1)(

2

LCRCsss

sCIsV m

1)(

222

2

mAtIti mg )cos()(


Já se sabe que IL é obtida por:

Então:

Substituindo os valores (R=625, 25nF, 25mH, Im=24mA e

=40000rad/s):

Fatorando o denominador e reescrevendo IL, tem-se:

São quatro raízes complexas, então as frações parciais serão:

LCRCsss

sLCIsI m

L1

)(222

sLVIL

8282

5

1016640001016

10384)(

sss

ssIL

240003200024000320004000040000

10384)(

5

jsjsjsjssIL

240003200024000320004000040000)(

*

22

*

11

js

K

js

K

js

K

js

KsIL


Os valor de K1 e K2 encontradas foram:

Lembrando que:

Assim a resposta no domínio do tempo será dada por:

mAtuteteti tt

L )()9024000cos(5,122)9040000cos(5,72)( 320000

90105,1290105,12

90105,790105,7

3*

2

3

2

3*

1

3

1

KK

KK

)cos(2)()(

*1

teKjs

K

js

KL t

2400032000

90105,12

2400032000

90105,12

40000

90105,7

40000

90105,7)(

3333

jsjsjsjssIL

mAtutetsenti t

L )()24000cos(25)40000(15)( 32000

3- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

3- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA (FT)

A Função Transferência (FT) de um circuito é dada pela razão

entre a transformada da saída (resposta Y(s)) e a transformada

da entrada (fonte X(s)):

A função de transferência é encontrada para condições

iniciais igual a zero.

Para encontrar a FT, deve-se reconhecer a entrada e a saída.

Considerando que Vg é o sinal de entrada e a corrente I

é o sinal de saída:

)(

)()(

sX

sYsH

)(

)()(

sZ

sVsI

g

11

1

)(

1

)(

)()(

2

RCsLCs

sC

sCsLRsZsV

sIsH

g


Se agora for considerando que Vg é o sinal de entrada e a

tensão Vc é o sinal de saída:

Exemplo: encontre a função de transferência (FT) do circuito

sabendo que vg é a entrada de sinal e vo é a saída. Após

determinar a FT encontre os valores dos polos e zeros.

Primeiro passo: encontra o equivalente no domínio da frequência.

)()(

)()( sV

sZ

sZsV g

CC

1

1

1

1

)(

)(

)(

)()(

2

RCsLCssCsLR

sC

sZ

sZ

sV

sVsH C

g

C


Segundo passo: relacionar o valor de vo com vg. (método de

tensão de nós, ou divisor de tensão).

Reorganizando, obtém-se:

Terceiro passo: escrever a função de transferência.

Encontrar os polos e zeros basta achar s para que o denominador e

o numerador de H(s) seja, respectivamente igual a zero:

01005,02501000 6

sV

s

VVVOOgO

62 10256000

)5000(1000

ss

VsV

g

O

62 10256000

)5000(1000)(

ss

s

V

VsH

g

O

010256000 62 ss

40003000

40003000

jp

jp

0)5000(1000 s

5000s


Exercício 13.9: a) Encontrar a função de transferência (FT)

do circuito abaixo sabendo que ig é a entrada de sinal e vo

é a saída. b) Determinar valores dos polos e zeros da FT.

4- FT EM FRAÇÕES PARCIAIS


Quando obtém-se a Função de Transferência-FT (H(s)) e o

sinal de entrada (X(s)) pode-se encontra o sinal de saída

através da seguinte fórmula:

Se expandirmos em frações parciais H(s) e X(s), percebe-

se que:

Os termos gerados pelos seus polos de H(s) estão associados à

resposta transiente.

Os termos gerados pelos seus polos de X(s) serão associados à

resposta estacionária.

)(

)()(

sX

sYsH )()()( sXsHsY


Exemplo: Conhecendo a Função de Transferência H(s) e a

entrada vg(t)=50tu(t), pretende-se determinar vo(t),

identificando as componentes transiente e a estacionária da

resposta do circuito.

1º Passo: achar vg no domínio da frequência:

2ºPasso: montar a equação no domínio da frequência

62 10256000

)5000(1000)(

ss

s

V

VsH

g

O

2

50)()(50)(

ssVtuttv gg

262

50

10256000

)5000(1000)()()(

sss

ssVsHsV go


3º Passo: expandir Vo(s) em frações parciais:

4ºPasso: Aplicar Transformada Inversa e encontrar vo(t).

s

K

s

K

js

K

js

K

sss

ssVo

3

2

2

*

11

262 4000300040003000

50

10256000

)5000(1000)(

)(_

4

2

)(_

44 10410

40003000

70,791055

40003000

70,791055)(

sXpolossHpolos

ossjsjs

sV

)(10410)70,794000cos(10552)()(

4

)(

30004 tuttetvsXsH

t

o

)(10410)70,794000cos(10552)(_

4

_

30004 tuttetviaEstacionárComponenteTransienteComponente

t

o


Observação 1: Supondo que o sinal de entrada seja

retardado de a segundos, ou seja:

Assim, de acordo como que foi mostrado anteriormente, tem-

se:

Ou seja, um retardo de “a” segundos no sinal de entrada

resulta exclusivamente em um retardo de “a” segundos no

sinal de saída, por conta disto é dito que o circuito é

invariante no tempo.

)()()()()( atuatyesXsHsY as

)()()( sXeatuatx asLaplace


Observação 2: Supondo que o sinal de entrada seja uma

função impulso unitário, ou seja:

Assim, de acordo como que foi mostrado, tem-se:

Conclusão a resposta (y(t) ou Y(s)) de qualquer circuito à um

impulso unitário é igual a função de transferência (h(t) ou

H(s)).

)()()()()()( thtysHsXsHsY

1)()()( sXttxLaplace

5- FT E RESPOSTA ESTACIONÁRIA

)(__

_))()(cos()()(

_

11

22 sHdepolos

comtermos

js

K

js

K

s

sensAsHsY

geralsituação

)()()cos()cos()()cos()( sentAsentAtxtAtx

222222

))()(cos()()cos()(

s

sensA

s

Asen

s

sAsX

5- FT E RESPOSTA ESTACIONÁRIA (x(t)=Senoide)

Conhecendo função de transferência do circuito, não é

necessário utilizar a análise fatorial para determinar qual será a

resposta estacionária para uma entrada senoidal.

Supondo que a entrada senoidal seja:

A transformada de laplace de x(t) será:

Sabe-se que a resposta estacionário é dada pelos polos de

X(s):


Para encontrar K1, faz-se:

No caso geral, H(j) é um número complexo, então:

Assim:

2

))()(cos()(

))()(cos()(1

j

senjAjH

js

sensAsHK

js

2

))()(cos()(1

jsenAjHK jAejHK )(

2

11

)()()()( )( jHejHjH j

))((

1 )(2

1 jejHAK

)(__

_)(2

1)(

2

1

)(

))(())((

sHdepolos

comtermos

js

ejHA

js

ejHA

sY

jj


Transformada Inversa de Laplace apenas para os termos com

polos de X(s):

Exemplo: conhecendo a função de transferência H(s) e o

sinal de entrada x(t)=120cos(5000t+30°) determine y(t):

1º Passo: Achar H(j)=H(j5000)

)(__

_)(2

1)(

2

1

)(

))(())((

sHdepolos

comtermos

js

ejHA

js

ejHA

sY

jj

))(cos()()( tjHAty iaestacionár

62 10256000

)5000(1000)(

ss

s

V

VsH

g

O

6

1

6

1

102550006000)5000(

)50005000(1000)5000(

62

j

j

j

jj

jjH 45

6

2)5000( jH


2º Passo: Tendo x(t) e H(j) agora é aplicação da fórmula:

456

2)5000( jH

))(cos()()( tjHAty iaestacionár

Vttx )305000cos(120)(

)30455000cos(6

2120)( tty iaestacionár

)155000cos(220)( tty iaestacionár

5- FT E A IINTEGRAL DE CONVOLUÇÃO


A integral de convolução relaciona y(t) de um circuito

invariante no tempo com:

A sinal de entrada no tempo: x(t); e

A resposta à um impulso unitário: h(t)

A razão de utilizar a integral de convolução é:

Permite determinar y(t) trabalhando apenas no domínio do

tempo. Pode ser bastante útil quando x(t) e h(t) são determinados

de forma experimental.

)()()()()()()()()( thtxtxthdthxdtxhty


Oferece um método formal para determinar a transformada inversa

de um produto de transformadas de Laplace.

A interpretação da convolução é que:

O sinal de saída y(t) é constituído pela soma de uma séries de

respostas a impulsos com diferentes retardos. A intensidade de cada

resposta dependerá da intensidade do impulso da entrada

correspondente.

INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA:

Considere o sistema abaixo:

É conhecida a resposta ao impulso unitário (x(t)=(t)): y(t)=h(t)

Pretende-se encontra y(t) para uma entrada conhecida x(t):

)()()()()()( sXsHsYtxthty


Primeiramente, aproxima-se x(t) por uma soma de retângulos de

largura e altura x(), como mostra a figura abaixo:

O retângulo xi(t) possui altura x(i) e vai de i à i+1

Fazendo largura seja suficientemente pequena, a ponto do quadrado

xi seja representado pela função impulso de intensidade x(i).,

então x(t) pode ser representado agora

...)(...)()()( 10 txtxtxtx i

...)()(...)()()()()( 111000 iii txtxtxtx

)()()( iiii txtx


Supondo que a resposta ao impulso unitário do sistema, h(t), seja

exponencial decrescente mostrada abaixo, então a saída y(t) será

dada por:

Quando tende a zero, o somatório tende a para uma integral:

...)()(...)()()()()( 111000 iii thxthxthxty

)()()( iiii txtx

00

000 )()()()()()( dthxtythxtyi


INTERPRETAÇÃO GRÁFICA:

Considere o sistema abaixo:

A resposta ao impulso unitário h(t) é uma exponencial decrescente

Pretende-se encontra y(t) para uma entrada conhecida x(t) :

00

000 )()()()()()( dthxtythxtyi

?


Primeiramente substitui-se a t pela variável de integração

O efeito de substituição por - reflete a forma de onda no eixo

vertical:

O efeito de substituição - por (t - ) significa que ocorre um

deslocamento com valor t para a direita:

0

)()()( dthxty


Para finalizar, a resposta y(t) para x(t), será a área sob a função

produto h()x(t - ).

0

)()()( dthxty

TRANSFORMADA DE LAPLACE

EXERCÍCIOS (Capitulo 13):

Individual

Escolham 10 questões que envolvam as seções vista em sala de

aula.

Valor: 1,0 ponto extra apenas para quem necessitar

(recuperação ou reposição)

# A PONTUAÇÃO SÓ SERÁ VÁLIDA PARA QUEM FIZER A

PROVA

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