692 bai hinh ltdh 17 quang trung

________________________________________________________________________ TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: 07103.751.929 Trang - 1 -

TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

17 QUANG TRUNG

Cần Thơ 2013

Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929

200 BAØI TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG 200 TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN 200 BAØI HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN


I. Ñöôøng thaúng II. Ñöôøng troøn III. Caùc ñöôøng coânic IV. Tam giaùc V. Töù giaùc


I. ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng 1d : x 7y 17 0 ,

2d : x y 5 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với 1 2d ,d một tam giác cân tại giao điểm của 1 2d ,d .

Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:

1

2 2 2 22

x 3y 13 0 ( )x 7y 17 x y 53x y 4 0 ( )1 ( 7) 1 1

Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1 hoặc 2 . KL: x 3y 3 0 và 3x y 1 0 Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng 1d : 2x y 5 0 .

2d :3x 6y – 7 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.

d1 VTCP 1a (2; 1) ; d2 VTCP 2a (3;6)

Ta có: 1 2a .a 2.3 1.6 0

nên 1 2d d và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d : A(x 2) B(y 1) 0 Ax By 2A B 0

d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450

0 2 2

2 2 2 2

A 3B2A Bcos 45 3A 8AB 3B 0

B 3AA B 2 ( 1)

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d :3x y 5 0 * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x 3y 5 0 Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d :3x y 5 0 ; d : x 3y 5 0 . Câu hỏi tương tự: a) 1d : x 7y 17 0 , 2d : x y 5 0 , P(0;1) . ĐS: x 3y 3 0 ; 3x y 1 0 . Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1d :3x y 5 0 , 2d :3x y 1 0 và

điểm I(1; 2) . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt 1 2d ,d lần lượt tại A và B

sao cho AB 2 2 . Giả sử 1 2A(a; 3a 5) d ; B(b; 3b 1) d ; IA (a 1; 3a 3); IB (b 1; 3b 1)

I, A, B thẳng hàng b 1 k(a 1)

IB kIA3b 1 k( 3a 3)

Nếu a 1 thì b 1 AB = 4 (không thoả).

Nếu a 1 thì b 13b 1 ( 3a 3) a 3b 2a 1

22 2 2AB (b a) 3(a b) 4 2 2 t (3t 4) 8 (với t a b ).

2 25t 12t 4 0 t 2; t5

+ Với t 2 a b 2 b 0,a 2 : x y 1 0

+ Với 2 2 4 2t a b b ,a5 5 5 5

: 7x y 9 0


Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng 1d : x y 1 0 ,

2d : 2x – y –1 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2)

tương ứng tại A và B sao cho 2MA MB 0

. Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1). Từ điều kiện 2MA MB 0

tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0

Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường

thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng 1 2d : x y 1 0, d : x – 2y 2 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA.

Ta có 1

2

A (d ) A(a; 1 a) MA (a 1; 1 a)B (d ) B(2b 2;b) MB (2b 3;b)

.

Từ A, B, M thẳng hàng và MB 3MA MB 3MA

(1) hoặc MB 3MA

(2)

(1) 2 1A ;

(d) : x 5y 1 03 3B( 4; 1)

hoặc (2) A 0; 1

(d) : x y 1 0B(4;3)

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường

thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng 1 2d :3x y 5 0, d : x y 4 0 lần lượt tại A, B sao cho 2MA – 3MB 0 .

Giả sử 1A(a;3a 5) d , 2B(b;4 b) d .

Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA 3MB nên 2MA 3MB (1)

2MA 3MB (2)

+ 52(a 1) 3(b 1) a 5 5(1) A ; ,B(2; 2)2

2(3a 6) 3(3 b) 2 2b 2

. Suy ra d : x y 0 .

+ 2(a 1) 3(b 1) a 1

(2) A(1; 2),B(1;3)2(3a 6) 3(3 b) b 1

. Suy ra d : x 1 0 .

Vậy có d : x y 0 hoặc d : x 1 0 . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường

thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA 3OB) nhỏ nhất.

PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x y 1a b (a,b>0)

M(3; 1) d Cô si3 1 3 11 2 . ab 12

a b a b

.

Mà OA 3OB a 3b 2 3ab 12 min

a 3b a 6(OA 3OB) 12 3 1 1 b 2

a b 2

Phương trình đường thẳng d là: x y 1 x 3y 6 06 2


Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB nhỏ nhất. ĐS: x 2y 6 0

Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

M(1; 2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho 2 2

9 4OA OB

nhỏ nhất.

Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên

A(a;0);B(0;b) với a.b 0 Phương trình của (d) có dạng x y 1a b .

Vì (d) qua M nên 1 2 1a b . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có :

2 2

2 2

1 2 1 3 2 1 9 41 . 1. 1a b 3 a b 9 a b

2 2

9 4 9a b 10

2 2

9 4 9OA OB 10

.

Dấu bằng xảy ra khi 1 3 2: 1:3 a b

và 1 2 1a b 20a 10, b

9

d : 2x 9y 20 0 . Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2). ĐS: x 3y 6 0;x y 2 0

Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1)

và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4 .

Gọi A(a;0), B(0;b) (a, b 0) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: x yd : 1a b .

Theo giả thiết, ta có: 2 1 1a bab 8

2b a abab 8

.

Khi ab 8 thì 2b a 8 . Nên: 1b 2;a 4 d : x 2y 4 0 .

Khi ab 8 thì 2b a 8 . Ta có: 2b 4b 4 0 b 2 2 2 . + Với b 2 2 2 d : 1 2 x 2 1 2 y 4 0

+ Với b 2 2 2 d : 1 2 x 2 1 2 y 4 0 . Câu hỏi tương tự: a) M(8;6),S 12 . ĐS: d :3x 2y 12 0 ; d :3x 8y 24 0 Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương

trình 2x – y 3 0 . Lập phương trình đường thẳng () qua A và tạo với d một góc α có

cosα 110

.

Ptđt () có dạng: a(x – 2) b(y 1) 0 ax by – 2a b 0 2 2(a b 0)


Ta có: 2 2

2a b 1cos105(a b )

7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 b = 1; b = 7.

(1): x + y – 1 = 0 và (2): x + 7y + 5 = 0 Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng

d : 2x 3y 4 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 045 .

Ptđt () có dạng: a(x – 2) b(y 1) 0 ax by – (2a b) 0 2 2(a b 0) .

Ta có: 0

2 2

2a 3bcos 4513. a b

2 25a 24ab 5b 0

a 5b5a b

+ Với a 5b . Chọn a 5,b 1 Phương trình : 5x y 11 0 . + Với 5a b . Chọn a 1,b 5 Phương trình : x 5y 3 0 . Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x y 2 0 và điểm

I(1;1) . Lập phương trình đường thẳng cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 045 .

Giả sử phương trình đường thẳng có dạng: ax by c 0 2 2(a b 0) .

Vì 0(d, ) 45 nên 2 2

2a b 12a b . 5

a 3bb 3a

Với a 3b : 3x y c 0 . Mặt khác d(I; ) 10 4 c

1010

c 6c 14

Với b 3a : x 3y c 0 . Mặt khác d(I; ) 10 2 c

1010

c 8c 12

Vậy các đường thẳng cần tìm: 3x y 6 0; 3x y 14 0 ; x 3y 8 0; x 3y 12 0 .

Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng 1d ,

2d có phương trình lần lượt là 3x y 2 0 và x 3y 4 0 . Gọi A là giao điểm của

1d và 2d . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng 1d và 2d lần lượt

tại B , C ( B và C khác A ) sao cho 2 2

1 1AB AC

đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có 1 2A d d A( 1;1) . Ta có 1 2d d . Gọi là đường thẳng cần tìm. H là hình

chiếu vuông góc của A trên . ta có: 2 2 2 2

1 1 1 1AB AC AH AM

(không đổi)

2 2

1 1AB AC

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2

1AM

khi H M, hay là đường thẳng đi qua

M và vuông góc với AM. Phương trình : x y 2 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với M(1; 2) , 1d : 3x y 5 0 , 2d : x 3y 5 0 . ĐS: : x y 1 0 . Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : x – 3y – 4 0 và

đường tròn 2 2(C) : x y – 4y 0 . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1).


Vì M (d) M(3b+4; b) N(2 – 3b; 2 – b)

N (C) (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 6b 0; b5

Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc 38 6 8 4M ; , N ;5 5 5 5

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng : 2x 3y 4 0 .

Tìm điểm B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và hợp với nhau góc 045 .

có PTTS: x 1 3ty 2 2t

và VTCP u ( 3;2)

. Giả sử B(1 3t; 2 2t) .

0(AB, ) 45 1cos(AB;u)2

AB.u 1

AB. u 2

2

15t13169t 156t 45 0

3t13

Vậy các điểm cần tìm là: 1 232 4 22 32B ; , B ;13 13 13 13

.

Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x 3y 6 0 và điểm

N(3;4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa

độ) có diện tích bằng 152

.

Ta có ON (3;4)

, ON = 5, PT đường thẳng ON: 4x 3y 0 . Giả sử M(3m 6;m) d .

Khi đó ta có ONMONM

2S1S d(M,ON).ON d(M,ON) 32 ON

4.(3m 6) 3m 133 9m 24 15 m 1; m

5 3

+ Với m 1 M(3; 1)

+ Với 13 13m M 7;3 3

Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x 2y 2 0 .

Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC .

Giả sử B(2b 2;b),C(2c 2;c) d .

Vì ABC vuông ở B nên AB d dAB.u 0 2 6B ;

5 5

2 5AB5

5BC5

21BC 125c 300c 1805

= 55

c 1 C(0;1)

7 4 7c C ;5 5 5


Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng 1d : x y 3 0 , 2d : x y 9 0 và điểm A(1;4) . Tìm điểm 1 2B d ,C d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Gọi 1 2B(b;3 b) d , C(c;9 c) d AB (b 1; 1 b)

, AC (c 1;5 c)

.

ABC vuông cân tại A AB.AC 0AB AC

2 2 2 2

(b 1)(c 1) (b 1)(5 c) 0(b 1) (b 1) (c 1) (5 c)

(*)

Vì c 1 không là nghiệm của (*) nên

(*) 22 2 2 2

2

(b 1)(5 c)b 1 (1)c 1

(5 c)(b 1) (b 1) (c 1) (5 c) (2)(c 1)

Từ (2) 2 2(b 1) (c 1) b c 2b c

.

+ Với b c 2 , thay vào (1) ta được c 4, b 2 B(2;1), C(4;5) . + Với b c , thay vào (1) ta được c 2, b 2 B( 2;5), C(2;7) . Vậy: B(2;1), C(4;5) hoặc B( 2;5), C(2;7) . Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có

phương trình: 1d : (m –1)x (m – 2)y 2 – m 0 ; 2d : (2 – m)x (m –1)y 3m – 5 0 . Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 d2. Tìm m sao cho PA PB lớn nhất.

Xét Hệ PT: (m 1)x (m 2)y m 2(2 m)x (m 1)y 3m 5

.

Ta có 2m 1 m 2 3 1D 2 m 0, m

2 m m 1 2 2

1 2d ,d luôn cắt nhau. Ta có: 1 2 1 2A(0;1) d , B(2; 1) d , d d APB vuông tại P P nằm trên đường tròn đường kính AB. Ta có: 2 2 2 2(PA PB) 2(PA PB ) 2AB 16

PA PB 4 . Dấu "=" xảy ra PA = PB P là trung điểm của cung AB P(2; 1) hoặc P(0; –1) m 1 hoặc m 2 .

Vậy PA PB lớn nhất m 1 hoặc m 2 . Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (): x – 2y – 2 0 và hai điểm

A( 1;2) , B(3;4) . Tìm điểm M() sao cho 2 22MA MB có giá trị nhỏ nhất.

Giả sử M M(2t 2; t) AM (2t 3; t 2), BM (2t 1; t 4)

Ta có: 2 2 22AM BM 15t 4t 43 f (t) 2min f (t) f15

26 2M ;15 15

Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x y 3 0 và 2 điểm A(1;0), B(2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA MB nhỏ nhất.

Ta có: A A B B(2x y 3).(2x y 3) 30 0 A, B nằm cùng phía đối với d. Gọi A là điểm đối xứng của A qua d A ( 3;2) Phương trình A B : x 5y 7 0 . Với mọi điểm M d, ta có: MA MB MA MB A B . Mà MA MB nhỏ nhất A, M, B thẳng hàng M là giao điểm của AB với d.

Khi đó: 8 17M ;11 11

.


II. ĐƯỜNG TRÒN Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d):

2x – y – 5 0 và đường tròn (C’): 2 2x y 20x 50 0 . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1). ĐS: A(3; 1), B(5; 5) (C): 2 2x y 4x 8y 10 0

Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 32

, A(2; –

3), B(3; –2), trọng tâm của ABC nằm trên đường thẳng d :3x – y – 8 0 . Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.

Tìm được C (1; 1)1 , 2C ( 2; 10) .

+ Với 1C (1; 1) (C): 2 2 11 11 16x y x y 0 3 3 3

+ Với 2C ( 2; 10) (C): 2 2 91 91 416x y x y 0 3 3 3

Câu 26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: 1d : 2x y 3 0 ,

2d : 3x 4y 5 0 , 3d : 4x 3y 2 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3.

Gọi tâm đường tròn là I(t;3 2t) d1.

Khi đó: 2 3) d(I,d )d(I,d 3t 4(3 2t) 5

54t 3(3 2t) 2

5

t 2t 4

Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: 2 2 4925

(x 2) (y 1) và 2 2 9(x 4) (y 5)25

.

Câu hỏi tương tự a) Với 1d : x – 6y –10 0 , 2d : 3x 4y 5 0 , 3d : 4x 3y 5 0 .

ĐS: 2 2(x 10) y 49 hoặc 2 2 210 70 7x y

43 43 43

.

Câu 27. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng : x 3y 8 0 ,

' :3x 4y 10 0 và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng .

Giả sử tâm I( 3t 8; t) .. Ta có: d(I, ) IA

2 2

2 2

3( 3t 8) 4t 10( 3t 8 2) (t 1)

3 4

t 3 I(1; 3), R 5

PT đường tròn cần tìm: 2 2(x 1) (y 3) 25 . Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng : 4x 3y 3 0 và

' : 3x 4y 31 0 . Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '. Tìm tọa độ tiếp điểm của (C) và ' .

Gọi I(a;b) là tâm của đường tròn (C). (C) tiếp xúc với tại điểm M(6;9) và (C) tiếp xúc với nên


54 3a4a 3b 3 3a 4b 31d(I, ) d(I, ') 4a 3 3 6a 85

45 5IM u (3; 4) 3(a 6) 4(b 9) 0 3a 4b 54

25a 150 4 6a 85 a 10; b 6

54 3a a 190; b 156b4

Vậy: 2 2(C) : (x 10) (y 6) 25 tiếp xúc với ' tại N(13;2) hoặc 2 2(C) : (x 190) (y 156) 60025 tiếp xúc với ' tại N( 43; 40) Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; 1) và

tiếp xúc với các trục toạ độ.

Phương trình đường tròn có dạng: 2 2 2

2 2 2

(x a) (y a) a (a)(x a) (y a) a (b)

a) a 1; a 5 b) vô nghiệm. Kết luận: 2 2(x 1) (y 1) 1 và 2 2(x 5) (y 5) 25 . Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : 2x y 4 0 . Lập

phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).

Gọi I(m;2m 4) (d) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có: 4m 2m 4 m 4, m3

.

4m3

thì phương trình đường tròn là: 2 24 4 16x y

3 3 9

.

m 4 thì phương trình đường tròn là: 2 2(x 4) (y 4) 16 . Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng ():

3x – 4y 8 0 . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (). Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB d qua M(1; 2) có VTPT là AB (4;2)

d: 2x + y – 4 = 0 Tâm I(a;4 – 2a)

Ta có IA = d(I,D) 211a 8 5 5a 10a 10 2a2 – 37a + 93 = 0 a 3

31a2

Với a = 3 I(3;–2), R = 5 (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25

Với a = 312

31I ; 272

, R = 652

(C): 2

231 4225x (y 27)2 4

Câu 32. Trong hệ toạ độ Oxycho hai đường thẳng d : x 2y 3 0 và : x 3y 5 0 . Lập

phương trình đường tròn có bán kính bằng 2 105

, có tâm thuộc d và tiếp xúc với .

Tâm I d I( 2a 3;a) . (C) tiếp xúc với nên:

d(I, ) R a 2 2 10

510

a 6a 2


(C): 2 2 8(x 9) (y 6)5

hoặc (C): 2 2 8(x 7) (y 2)5

.

Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 4 3x 4 0 . Tia

Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C), bán kính R = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.

(C) có tâm I( 2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I là tâm của (C).

PT đường thẳng IA : x 2 3ty 2t 2

, I ' IA I (2 3t;2t 2) .

1AI 2I A t I '( 3;3)2

(C): 2 2(x 3) (y 3) 4

Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y – 4y – 5 0 . Hãy

viết phương trình đường tròn (C) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M 4 2;5 5

(C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M

I 8 6;5 5

(C): 2 28 6x y 9

5 5

Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 2x 4y 2 0 .

Viết phương trình đường tròn (C) tâm M(5; 1) biết (C) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 3 .

(C) có tâm I(1; –2), bán kính R 3 . PT đường thẳng IM: 3x 4y 11 0 . AB 3 . Gọi H(x; y) là trung điểm của AB. Ta có:

2 2

H IM3IH R AH2

2 2

3x 4y 11 09(x 1) (y 2)4

1 29x ; y5 10

11 11x ; y5 10

1 29H ;5 10

hoặc 11 11H ;5 10

.

Với 1 29H ;5 10

. Ta có 2 2 2R MH AH 43 PT (C): 2 2(x 5) (y 1) 43 .

Với 11 11H ;5 10

. Ta có 2 2 2R MH AH 13 PT (C): 2 2(x 5) (y 1) 13 .

Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x 1) (y 2) 4 và

điểm K(3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).

(C) có tâm I(1;2) , bán kính R 2 . IABS lớn nhất IAB vuông tại I AB 2 2 .

Mà IK 2 2 nên có hai đường tròn thoả YCBT. + 1(T ) có bán kính 1R R 2 2 2

1(T ) : (x 3) (y 4) 4


+ 2(T ) có bán kính 2 22R (3 2) ( 2) 2 5 2 2

1(T ) : (x 3) (y 4) 20 . Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

ABC với các đỉnh: A(–2;3), 1B ;0 , C(2;0)4

.

Điểm D(d;0) 1 d 24

thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A

khi và chỉ khi

22

22

91 3d 4DB AB 4 4d 1 6 3d d 1.DC AC 2 d 4 3

Phương trình AD: x 2 y 3 x y 1 03 3

; AC: x 2 y 3 3x 4y 6 04 3

Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là 1 b và bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có:

2 2

3 1 b 4b 6b b 3 5b

3 4

4b 3 5b b31b 3 5b b2

Rõ ràng chỉ có giá trị 1b2

là hợp lý.

Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp ABC là: 2 21 1 1x y

2 2 4

Câu 38. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): 4x 3y 12 0 và (d2):

4x 3y 12 0 . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2) và trục Oy.

Gọi 1 2 1 2A d d , B d Oy,C d Oy A(3;0), B(0; 4),C(0;4) ABC cân đỉnh A và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội

tiếp ABC 4 4I ;0 , R3 3

.

Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0 và hai đường

tròn có phương trình: (C1): 2 2(x 3) (y 4) 8 , (C2): 2 2(x 5) (y 4) 32 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2).

Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I(a;a –1) d .

(C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên 1 1 2 2 1 1 2 2II R R , II R R II – R II – R

2 2 2 2(a 3) (a 3) 2 2 (a 5) (a 5) 4 2 a = 0 I(0; –1), R = 2 Phương trình (C): 2 2x (y 1) 2 . Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5;

9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ABC.


ĐS: y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0. Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2C : x y 2x 0 . Viết phương

trình tiếp tuyến của C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30 . 2 2(C) : (x 1) y 1 I( 1;0);R 1 . Hệ số góc của tiếp tuyến () cần tìm là 3 . PT () có dạng 1 : 3x y b 0 hoặc 2 : 3x y b 0

+ 1 : 3x y b 0 tiếp xúc (C) 1d(I, ) R b 3 1 b 2 32

.

Kết luận: 1( ) : 3x y 2 3 0

+ 2( ) : 3x y b 0 tiếp xúc (C) 2d(I, ) R b 3 1 b 2 3

2

.

Kết luận: 2( ) : 3x y 2 3 0 . Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 6x 2y 5 0 và

đường thẳng (d): 3x y 3 0 . Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 045 .

(C) có tâm I(3; 1), bán kính R = 5 . Giả sử (): ax by c 0 (c 0) .

Từ: d(I, ) 5

2cos(d, )2

a 2,b 1,c 10a 1, b 2,c 10

: 2x y 10 0: x 2y 10 0

.

Câu 43. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn 2 2(C) : (x 1) (y 1) 10 và đường thẳng

d : 2x y 2 0 . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 045 .

(C) có tâm I(1;1) bán kính R 10 . Gọi n (a;b) là VTPT của tiếp tuyến

2 2(a b 0) ,

Vì 0( ,d) 45 nên 2 2

2a b 12a b . 5

a 3bb 3a

Với a 3b : 3x y c 0 . Mặt khác d(I; ) R 4 c

1010

c 6c 14

Với b 3a : x 3y c 0 . Mặt khác d(I; ) R 2 c

1010

c 8c 12

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3x y 6 0; 3x y 14 0 ; x 3y 8 0; x 3y 12 0 .

Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai

đường tròn (C1): 2 2x y – 2x – 2y – 2 0 , (C2): 2 2x y – 8x – 2y 16 0 . (C1) có tâm 1I (1; 1) , bán kính R1 = 2; (C2) có tâm 2I (4; 1) , bán kính R2 = 1. Ta có: 1 2 1 2I I 3 R R (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1) (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy. * Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : y ax b ( ) :ax y b 0 ta có:


2 2

1 1

2 2

2 2

a b 1 2 22 a ad(I ; ) R a b 4 4hayd(I ; ) R 4a b 1 4 7 2 4 7 21 b b

4 4a b

Vậy, có 3 tiếp tuyến chung:

1 2 32 4 7 2 2 4 7 2( ) : x 3, ( ) : y x , ( ) y x

4 4 4 4

Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): 2 2(x 2) (y 3) 2

và (C’): 2 2(x 1) (y 2) 8 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’).

(C) có tâm I(2; 3) và bán kính R 2 ; (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R ' 2 2 . Ta có: II ' 2 R R (C) và (C) tiếp xúc trong Tọa độ tiếp điểm M(3; 4). Vì (C) và (C) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường

thẳng qua điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II ( 1; 1)

PTTT: x y 7 0 Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn 2 2

1(C ) : x y 2y 3 0 và 2 2

2(C ) : x y 8x 8y 28 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của 1(C ) và 2(C ) . 1(C ) có tâm 1I (0;1) , bán kính 1R 2 ; 2(C ) có tâm 2I (4;4) , bán kính 2R 2 . Ta có: 1 2 1 2I I 5 4 R R 1 2(C ),(C ) ngoài nhau. Xét hai trường hợp: + Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x c 0 . Khi đó: 1 2d(I , d) d(I , d) c 4 c c 2 d : x 2 0 . + Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d : y ax b .

Khi đó: 1

1 2

d(I ,d) 2d(I ,d) d(I ,d)

2

2 2

1 b 2a 11 b 4a 4 ba 1 a 1

3 7a ; b4 23 3a ; b4 2

7 37a ;b24 12

d :3x 4y 14 0 hoặc d :3x 4y 6 0 hoặc d : 7x 24y 74 0 . Vậy: d : x 2 0 ; d :3x 4y 14 0 ; d :3x 4y 6 0 ; d : 7x 24y 74 0 . Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn 2 2

1(C ) : x y 4y 5 0 và 2 2

2(C ) : x y 6x 8y 16 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của 1(C ) và 2(C ) . 1(C ) có tâm 1I (0;1) , bán kính 1R 3 ; 2(C ) có tâm 2I (3; 4) , bán kính 2R 3 . Giả sử tiếp tuyến chung của 1 2(C ), (C ) có phương trình: 2 2ax by c 0 (a b 0) .

là tiếp tuyến chung của 1 2(C ), (C ) 1 1

2 2

d(I , ) Rd(I , ) R

2 2

2 2

2b c 3 a b (1)

3a 4b c 3 a b (2)

Từ (1) và (2) suy ra a 2b hoặc 3a 2bc2

.


+ TH1: Với a 2b . Chọn b 1 a 2,c 2 3 5 : 2x y 2 3 5 0

+ TH2: Với 3a 2bc2

. Thay vào (1) ta được: 2 2

a 0a 2b 2 a b 4a b

3

.

: y 2 0 hoặc : 4x 3y 9 0 . Câu 48. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 4 3x 4 0 . Tia Oy cắt (C) tại

điểm A. Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A.

(C) có tâm I( 2 3;0) , bán kính R 4 . Tia Oy cắt (C) tại A(0;2) . Gọi J là tâm của (T).

Phương trình IA: x 2 3ty 2t 2

. Giả sử J(2 3t;2t 2) (IA) .

(T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A nên 1AI 2JA t J( 3;3)2

.

Vậy: 2 2(T) : (x 3) (y 3) 4 . Câu 49. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 1 và phương trình:

2 2x y – 2(m 1)x 4my – 5 0 (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C).

(Cm) có tâm I(m 1; 2m) , bán kính 2 2R ' (m 1) 4m 5 ,

(C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1, OI 2 2(m 1) 4m , ta có OI < R

Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xúc trong. R – R = OI ( vì R’ > R) 3m 1; m5

.

Câu 50. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình 2 21

1(C ) : (x 1) y2

và

2 22(C ) : (x 2) (y 2) 4 . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với 1(C ) và cắt

2(C ) tại hai điểm M, N sao cho MN 2 2 .

1(C ) có tâm 1I (1;0) , bán kính 11R2

; 2(C ) có tâm 1I (2;2) , bán kính 2R 2 . Gọi H

là trung điểm của MN 2

22 2 2

MNd(I ,d) I H R 22

Phương trình đường thẳng d có dạng: 2 2ax by c 0 (a b 0) .

Ta có: 1

2

1d(I ,d)2

d(I ,d) 2

2 2

2 2

2 a c a b

2a 2b c 2 a b

. Giải hệ tìm được a, b, c.

Vậy: d : x y 2 0; d : x 7y 6 0 ; d : x y 2 0 ; d : 7x y 2 0


Câu 51. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y – 6x 5 0 . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 060 .

(C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Oy

Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB

0

0

AMB 60 (1)

AMB 120 (2)

Vì MI là phân giác của AMB nên:

(1) AMI = 300 0

IAMIsin 30

MI = 2R 2m 9 4 m 7

(2) AMI = 600 0

IAMIsin 60

MI = 2 33

R 2 4 3m 93

vô nghiệm

Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0; 7 ) Câu 52. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng định bởi:

2 2(C) : x y 4x 2y 0; : x 2y 12 0 . Tìm điểm M trên sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600.

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R 5 . Gọi A, B là hai tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là

nửa tam giác đều suy ra IM 2R=2 5 . Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: 2 2(x 2) (y 1) 20 . Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng , nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương

trình: 2 2(x 2) (y 1) 20 (1)

x 2y 12 0 (2)

Khử x giữa (1) và (2) ta được:

2 2 2y 3

2y 10 y 1 20 5y 42y 81 0 27y5

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M 6;3 hoặc 6 27M ;5 5


đường thẳng d : x y m 0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.

(C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 IA 3 2

m 5m 1

3 2 m 1 6m 72


đường thẳng d :3x 4y m 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B là hai tiếp điểm) sao cho PAB là tam giác đều.

(C) có tâm I(1; 2) , bán kính R 3 . PAB đều PI 2AI 2R 6 P nằm trên


đường tròn (T) có tâm I, bán kính r 6 . Do trên d có duy nhất một điểm P thoả YCBT

nên d là tiếp tuyến của (T) m 1911 md(I,d) 6 6m 415

.

Câu 55. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn

2 2(C) : x y 18x 6y 65 0 và 2 2(C ) : x y 9 . Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8 . (C’) có tâm O 0;0 , bán kính R OA 3 . Gọi H AB OM H là trung điểm của

AB 12AH5

. Suy ra: 2 2 9OH OA AH5

và 2OAOM 5

OH .

Giả sử M(x;y) . Ta có: 2 2

2 2

M (C) x y 18x 6y 65 0OM 5 x y 25

x 4 x 5y 3 y 0

Vậy M(4;3) hoặc M(5;0) . Câu 56. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x 1) (y 2) 4 . M là

điểm di động trên đường thẳng d : y x 1 . Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến 1MT , 2MT tới (C) (T1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng

1 2T T đi qua điểm A(1; 1) . (C) có tâm I(1; 2) , bán kính R 2 . Giả sử 0 0M(x ; x 1) d .

2 2 20 0 0IM (x 1) (x 3) 2(x 1) 8 2 R M nằm ngoài (C) qua M kẻ

được 2 tiếp tuyến tới (C).

Gọi J là trung điểm IM 0 0x 1 x 1J ;2 2

. Đường tròn (T) đường kính IM có tâm J

bán kính 1IMR2

có phương trình

2 2 2 20 0 0 0x 1 x 1 (x 1) (x 3)(T) : x y2 2 4

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1, MT2 đến (C) 01 2 1 2IT M IT M 90 T ,T (T)

1 2{T ,T } (C) (T) toạ độ 1 2T , T thoả mãn hệ:

2 22 20 0 0 0

0 0 02 2

x 1 x 1 (x 1) (x 3)(x ) (y )(1 x )x (3 x )y x 3 0 (1)2 2 4

(x 1) (y 2) 4

Toạ độ các điểm 1 2T , T thoả mãn (1), mà qua 2 điểm phân biệt xác định duy nhất 1 đường thẳng nên phương trình 1 2T T là 0 0 0x(1 x ) y(3 x ) x 3 0 .

A(1; 1) nằm trên 1 2T T nên 0 0 01 x (3 x ) x 3 0 0x 1 M(1;2) . Câu 57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x –1) (y 1) 25 và

điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB.


M/(C)P 27 0 M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5. Mặt khác: 2

M/(C)P MA.MB 3MB MB 3 BH 3

2 2IH R BH 4 d[M,(d)] Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).

2 2

a 06a 4bd[M,(d)] 4 4 12a ba b 5

.

Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0. Câu 58. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm

A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình 2 2(x 2) (y 1) 25 theo một dây cung có độ dài bằng l 8 .

d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0) Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến

d bằng 3.

2 2

2 2

2a b a 2bd I,d 3 a 3b 3 a ba b

2

a 08a 6ab 0 3a b

4

a = 0: chọn b = 1 d: y – 2 = 0

a = 3 b4

: chọn a = 3, b = – 4 d: 3x – 4 y + 5 = 0.

Câu 59. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2x y 2x 8y 8 0 .

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : 3x y 2 0 và cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài l 6 .

(C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng có dạng: 3x y c 0, c 2 . Vì cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:

2

c 4 10 13 4 cd I, 4

3 1 c 4 10 1

.

Vậy phương trình cần tìm là: 3x y 4 10 1 0 hoặc 3x y 4 10 1 0 . Câu hỏi tương tự: a) 2 2(C) : (x 3) (y 1) 3 , d :3x 4y 2012 0 , l 2 5 . ĐS: : 3x 4y 5 0 ; : 3x 4y 15 0 . Câu 60. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2(C) :(x 4) (y 3) 25

và đường thẳng : 3x 4y 10 0 . Lập phương trình đường thẳng d biết d ( ) và d cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6.

(C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d nên PT của d có dạng: 4x 3y m 0 .

Ta có: 1d(I, ( )) = IH = 2 2 2 2AI AH 5 3 4 2 2

m 2716 9 m 4m 134 3

Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: 4x 3y 27 0 và 4x 3y 13 0 .


Câu 61. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 2x 2y 3 0 và điểm M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất.

(C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 2 5 M nằm trong đường tròn (C). Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d. Ta có: AB = 2AH = 2 2 2 22 IA IH 2 5 IH 2 5 IM 2 3 . Dấu "=" xảy ra H M hay d IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT

MI (1; 1)

Phương trình d: x y 2 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với (C): 2 2x y 8x 4y 16 0 , M(–1; 0). ĐS:

d :5x 2y 5 0 Câu 62. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và

điểm M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho OAB có diện tích lớn nhất.

Tam giác OAB có diện tích lớn nhất OAB vuông cân tại O. Khi đó 5 2d(O,d)2

.

Giả sử phương trình đường thẳng d: 2 2A(x 2) B(y 6) 0 (A B 0)

5 2d(O,d)2

2 2

2A 6B 5 22A B

2 247B 48AB 17A 0

24 5 55B A47

24 5 55B A47

+ Với 24 5 55B A47

: chọn A = 47 B = 24 5 55

d: 47(x 2) 24 5 55 (y 6) 0

+ Với 24 5 55B A47

: chọn A = 47 B = 24 5 55

d: 47(x 2) 24 5 55 (y 6) 0 Câu hỏi tương tự: a) 2 2(C) : x y 4x 6y 9 0 , M(1; 8) . ĐS: 7x y 1 0; 17x 7y 39 0 . Câu 63. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 6x 2y 6 0 và

điểm A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).

(C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3) (C). PT đường thẳng d có dạng: 2 2a(x 3) b(y 3) 0, a b 0 ax by 3a 3b 0 . Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B AB = 4 2 . Gọi I là tâm hình vuông.

Ta có: 1 1d(I,d) 2 2 ( AD AB)2 2

2 2

3a b 3a 3b2 2

a b


2 2 2 24b 2 2 a b a b a b . Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1. Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x y 6 0 hoặc x y 0 . Câu 64. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): 2 2x y 13 và (C2):

2 2(x 6) y 25 . Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

(C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 = 13 . (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao điểm A(2; 3). Giả sử d: 2 2a(x 2) b(y 3) 0 (a b 0) . Gọi 1 2 2d d(O,d), d d(I ,d) .

Từ giả thiết 2 2 2 21 1 2 2R d R d 2 2

2 1d d 12 2 2

2 2 2 2

(6a 2a 3b) ( 2a 3b) 12a b a b

2b 3ab 0 b 0b 3a

.

Với b = 0: Chọn a = 1 Phương trình d: x 2 0 . Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Phương trình d: x 3y 7 0 . Câu 65. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : mx 4y 0 , đường tròn

(C): 2 2 2x y 2x 2my m 24 0 có tâm I. Tìm m để đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.

(C) có tâm I(1;m) , bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB.

2 2

m 4m 5mIH d(I, )m 16 m 16

; 2

2 22 2

(5m) 20AH IA IH 25m 16 m 16

IABS 12 2m 3

d(I, ).AH 12 3m 25 m 48 0 16m3

Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2(C) : x y 1 , đường thẳng

(d) : x y m 0 . Tìm m để (C) cắt (d) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.

(C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B d(O;d) 1

Khi đó: OAB

1 1 1S OA.OB.sin AOB .sin AOB2 2 2

. Dấu "=" xảy ra 0AOB 90 .

Vậy AOBS lón nhất 0AOB 90 . Khi đó 1d(I;d)2

m 1 .

Câu 67. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) : 2x my 1 2 0 và

đường tròn có phương trình 2 2(C) : x y 2x 4y 4 0 . Gọi I là tâm đường tròn (C) . Tìm m sao cho (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.

(C) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.

(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B d(I,d) R 22 2m 1 2 3 2 m


2 2 21 4m 4m 18 9m 5m 4m 17 0 m R

Ta có: 1 1 9S IA.IBsin AIB IA.IBIAB 2 2 2

Vậy: SIAB lớn nhất là 92

khi 0AIB 90 AB = R 2 3 2 3 2d(I,d)2

3 2 21 2m 2 m

2 22m 16m 32 0 m 4

Câu hỏi tương tự: a) Với d : x my – 2m 3 0 , 2 2(C) : x y 4x 4y 6 0 .

ĐS: 8m 0 m15

Câu 68. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn 2 2(C) : x y 4x 6y 9 0 và

điểm M(1; 8) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).

(C) có tâm I( 2;3) , bán kính R 2 . PT đường thẳng d qua M(1; 8) có dạng: d : ax by a 8b 0 ( 2 2a b 0 ).

IAB

1S IA.IB.sin AIB 2sin AIB2 .

Do đó: IABS lớn nhất 0AIB 90 2d(I,d) IA 22

2 2

11b 3a 2a b

2 27a 66ab 118b 0 a 7b7a 17b

.

+ Với b 1 a 7 d : 7x y 1 0 + Với b 7 a 17 d :17x 7y 39 0

Câu 69. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 4x 4y 6 0 và

đường thẳng : x my – 2m 3 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích IAB lớn nhất.

(C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 . Giả sử cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.

Kẻ đường cao IH của IAB, ta có: SABC = IAB

1S IA.IB.sin AIB2

= sin AIB

Do đó IABS lớn nhất sinAIB = 1 AIB vuông tại I IH = IA 12 (thỏa IH < R)

2

1 4m1

m 1

15m2 – 8m = 0 m = 0 hay m = 8

15

Câu hỏi tương tự: a) Với 2 2(C) : x y 2x 4y 4 0 , : 2x my 1 2 0 . ĐS: m 4 . b) Với 2 2(C) : x y 2x 4y 5 0 , : x my 2 0 . ĐS: m 2 Câu 70. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 0 và đường

tròn (C): 2 2x y 2x 4y 8 0 . Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông ở B.


Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình

2 2 y 0; x 2x y 2x 4y 8 0

y 1; x 3x 5y 2 0

. Vì Ax 0 nên ta được A(2;0), B(–3;–1).

Vì 0ABC 90 nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tròn. Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4).

Câu 71. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ): 2 2x y 2x 4y 8 0

và đường thẳng ( ): 2x 3y 1 0 . Chứng minh rằng ( ) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn (C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất.

(C) có tâm I(–1; 2), bán kính R = 13 . 9d(I, ) R13

đường thẳng ( ) cắt (C)

tại hai điểm A, B phân biệt. Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có ABM1S AB.d(M, )2 .

Trong đó AB không đổi nên ABMS lớn nhất d(M, ) lớn nhất. Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với ( ). PT đường thẳng d là

3x 2y 1 0 . Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của

hệ phương trình: 2 2x y 2x 4y 8 0

3x 2y 1 0

x 1, y 1x 3, y 5

P(1; –1); Q(–3; 5)

Ta có 4d(P, )13

; 22d(Q, )13

. Như vậy d(M, ) lớn nhất M trùng với Q.

Vậy tọa độ điểm M(–3; 5). Câu 72. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 2x 4y 5 0 và

A(0; –1) (C). Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho ABC đều.

(C) có tâm I(1;2) và R= 10 . Gọi H là trung điểm BC. Suy ra AI 2.IH

3 7H ;2 2

ABC đều I là trọng tâm. Phương trình (BC): x 3y 12 0 Vì B, C (C) nên tọa độ của B, C là các nghiệm của hệ phương trình:

2 2 2 2x y 2x 4y 5 0 x y 2x 4y 5 0

x 3y 12 0 x 12 3y

Giải hệ PT trên ta được: 7 3 3 3 3 7 3 3 3 3B ; ;C ;2 2 2 2

hoặc ngược lại.

Câu 73. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x 3) (y 4) 35 và

điểm A(5; 5). Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

(C) có tâm I(3; 4). Ta có: AB ACIB IC

AI là đường trung trực của BC. ABC vuông

cân tại A nên AI cũng là phân giác của BAC . Do đó AB và AC hợp với AI một góc 045 .

Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc 045 . Khi đó B, C là giao điểm của d với (C) và AB = AC. Vì IA (2;1)

(1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các


trục toạ độ VTCP của d có hai thành phần đều khác 0. Gọi u (1;a) là VTCP của d.

Ta có:

2 2 2

2 a 2 a 2cos IA,u21 a 2 1 5 1 a

22 2 a 5 1 a a 3

1a3

+ Với a = 3, thì u (1;3) Phương trình đường thẳng d:

x 5 ty 5 3t

.

Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: 9 13 7 3 13 9 13 7 3 13; , ;

2 2 2 2

+ Với a = 13

, thì 1u 1;3

Phương trình đường thẳng d: x 5 t

1y 5 t3

.

Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là: 7 3 13 11 13 7 3 13 11 13; , ;

2 2 2 2

+Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là: 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13; , ;

2 2 2 2

và 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13; , ;2 2 2 2

Câu 74. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 4 và các điểm 8A 1;3

, B(3;0) . Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB có diện tích

bằng 203

.

64 10AB 4 ; AB : 4x 3y 12 09 3

. Gọi M(x;y) và h d(M, AB) .

Ta có: 4x 3y 8 04x 3y 121 20h.AB h 4 44x 3y 32 02 3 5

+ 2 2

4x 3y 8 0 14 48M( 2;0); M ;25 75x y 4

+ 2 2

4x 3y 32 0x y 4

(vô nghiệm)

Câu 75. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn 2 2(C) : x y 2x 6y 9 0 và đường thẳng d :3x 4y 5 0 . Tìm những điểm M (C) và N d sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.

(C) có tâm I( 1;3) , bán kính R 1 d(I,d) 2 R d (C) . Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với d ( ) : 4x 3y 5 0 .

Gọi 0 01 7N d N ;5 5

.

Gọi 1 2M , M là các giao điểm của và (C) 1 22 11 8 19M ; , M ;5 5 5 5

MN ngắn nhất khi 1 0M M , N N .

Vậy các điểm cần tìm: 2 11M ; (C)5 5

, 1 7N ; d5 5

.


III. CÁC ĐƯỜNG CÔNIC

Câu 76. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 2x y 1

25 16 . A, B là các điểm trên

(E) sao cho: 1 2AF BF 8 , với 1 2F,F là các tiêu điểm. Tính 2 1AF BF . 1 2AF AF 2a và 1 2BF BF 2a 1 2 1 2AF AF BF BF 4a 20 Mà 1 2AF BF 8 2 1AF BF 12 Câu 77. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với các tiêu điểm

1 2F ( 1;1),F (5;1) và tâm sai e 0,6 .

Giả sử M(x;y) là điểm thuộc elip. Vì nửa trục lớn của elip là c 3a 5e 0,6

nên ta có:

2 2 2 21 2MF MF 10 (x 1) (y 1) (x 5) (y 1) 10

2 2(x 2) (y 1) 1

25 16

Câu 78. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E): 2 2x y 1

4 1 . Tìm

toạ độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

ĐS: 2 4 3 2 4 3A ; , B ;7 7 7 7


100 25 . Tìm các điểm M

(E) sao cho 01 2FMF 120 (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)).

Ta có: a 10, b 5 c 5 3 . Gọi M(x; y) (E)

1 23 3MF 10 x, MF 10 x

2 2 .

2 2 21 2 1 2 1 2 1 2FF MF MF 2MF.MF .cos FMF

2 2

2 3 3 3 3 110 3 10 x 10 x 2 10 x 10 x2 2 2 2 2

x = 0 (y= 5). Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5). Câu 80. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm 1 2F ( 3;0); F ( 3;0) và đi qua

điểm 1A 3;2

. Lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy

tính biểu thức: 2 2 21 2 1 2P FM F M – 3OM – FM.F M .

(E): 2 2

2 2 2 2

x y 3 11 1a b a 4b

, 2 2a b 3 2 2x y 1

4 1

2 2 2 2 2 2 2M M M M MP (a ex ) (a – ex ) – 2(x y ) – (a e x ) 1


Câu 81. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 24x 16y 64 . Gọi F2 là tiêu điểm bên

phải của (E). M là điểm bất kì trên (E). Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu

điểm F2 và tới đường thẳng 8: x3

có giá trị không đổi.

Ta có: 2F ( 12;0) . Gọi 0 0M(x ;y ) (E) 02 0

8 3xMF a ex2

,

00

8 3x8d(M, ) x3 3

(vì 04 x 4 ) 2MF 3

d(M, ) 2

(không đổi).

Câu 82. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 25x 16y 80 và hai điểm A(–5;

–1), B(–1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích MAB. Phương trình đường thẳng (AB): x 2y 3 0 và AB 2 5 Gọi 2 2

0 0 0 0M(x ; y ) (E) 5x 16y 80. Ta có:

0 0 0 0x 2y 3 x 2y 3d(M; AB)

1 4 5

Diện tích MAB: 0 01S .AB.d(M; AB) x 2y 32

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 2 cặp số 0 01 1; , ( 5x ; 4y )

25

có:

2

2 20 0 0 0

1 1 1 1 9. 5x .4y 5x 16y .80 362 5 4 205

0 0 0 0 0 0 0 0x 2y 6 6 x 2y 6 3 x 2y 3 9 x 2y 3 9

0 00 0

0 0

0 0

5x 4y5x 8y1 1

max x 2y 3 92 x 2y 65

x 2y 3 9

0

0

8x3

5y3

Vậy, MAB8 5maxS 9 khi M ;3 3

.

Câu 83. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp 2 2x y(E) : 1

9 4 và hai điểm A(3;–2),

B(–3; 2) . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

PT đường thẳng AB: 2x 3y 0 . Gọi C(x; y) (E), với x 0, y 0 2 2x y 1

9 4 .

ABC1 85 85 x yS AB.d(C, AB) 2x 3y 3.2 13 3 22 13

2 285 x y 1703 2 3

13 9 4 13

Dấu "=" xảy ra

2 2x y 21 x 39 4 2x y

y 23 2

. Vậy 3 2C ; 22

.


Câu 84. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip 2 2x y(E) : 1

25 9 và điểm M(1;1) . Viết

phương trình đường thẳng đi qua M và cắt elip tại hai điểm A,B sao cho M là trung điểm của AB .

Nhận xét rằng M Ox nên đường thẳng x 1 không cắt elip tại hai điểm thỏa YCBT. Xét đường thẳng qua M(1; 1) có PT: y k(x 1) 1 . Toạ độ các giao điểm A,B của

và (E) là nghiệm của hệ:

2 2x y 1 (1)25 9y k(x 1) 1 (2)

2 2 2(25k 9)x 50k(k 1)x 25(k 2k 9) 0 (3)

PT (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2x , x với mọi k . Theo Viet: 1 2 2

50k(k 1)x x25k 9

.

Do đó M là trung điểm của AB 1 2 M 2

50k(k 1) 9x x 2x 2 k25k 9 25

.

Vậy PT đường thẳng : 9x 25y 34 0 . Câu hỏi tương tự:

a) Với 2 2x y(E) : 1

9 4 , M(1;1) ĐS: : 4x 9y 13 0


8 2 . Tìm điểm M (E)

sao cho M có toạ độ nguyên. Trước hết ta có nhận xét: Nếu điểm (x; y) (E) thì các điểm ( x;y), (x; y), ( x; y)

cũng thuộc (E). Do đó ta chỉ cần xét điểm 0 0M(x ; y ) (E) với 0 0 0 0x , y 0; x , y Z .

Ta có: 2 20 0x y 1

8 2 2

0y 2 00 y 2 0 0

0 0

y 0 x 2 2 (loaïi)y 1 x 2

M(2;1) . Vậy các điểm thoả YCBT là: (2;1), ( 2;1), (2; 1), ( 2; 1) .


8 2 . Tìm điểm M (E)

sao cho tổng hai toạ độ của M có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Giả sử M(x; y) (E) 2 2x y 1

8 2 . Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có:

2 2

2 x y(x y) (8 2) 108 2

10 x y 10 .

+ x y 10 . Dấu "=" xảy ra x y8 2x y 10

4 10 10M ;5 5

.

+ x y 10 . Dấu "=" xảy ra x y8 2x y 10

4 10 10M ;5 5



9 3 và điểm A(3;0) . Tìm

trên (E) các điểm B, C sao cho B, C đối xứng qua trục Ox và ABC là tam giác đều. Không mất tính tổng quát, giả sử 0 0 0 0B(x ; y ),C(x ; y ) với 0y 0 .

Ta có: 2 2

2 20 00 0

x y 1 x 3y 99 3 . 0BC 2y và 0(BC) : x x 0d(A, (BC)) 3 x

Do A Ox , B và C đối xứng qua Ox nên ABC cân tâị A

Suy ra: ABC đều 3d(A,(BC)) BC2

0 03 x 3y 2 20 03y (x 3)

02 20 0

0

x 0x (x 3) 9

x 3

.

+ Với 0x 0 0y 3 B(0; 3), C(0; 3) . + Với 0x 3 0y 0 (loại).

Vậy: B(0; 3), C(0; 3) .


9 4 và các đường thẳng

1d : mx ny 0 , 2d : nx+my 0 , với 2 2m n 0 . Gọi M, N là các giao điểm của 1d với (E), P, Q là các giao điểm của 2d với (E). Tìm điều kiện đối với m, n để diện tích tứ giác MPNQ đạt giá trị nhỏ nhất.

PTTS của 1 2d ,d là: 11

1

x ntd :

y mt

, 2

22

x mtd :

y nt

.

+ M, N là các giao điểm của 1d và (E)

2 2 2 2 2 2 2 2

6n 6m 6n 6mM ; , N ;9m 4n 9m 4n 9m 4n 9m 4n

+ P, Q là các giao điểm của 2d và (E)

2 2 2 2 2 2 2 2

6m 6n 6m 6nP ; , Q ;4m 9n 4m 9n 4m 9n 4m 9n

+ Ta có: MN PQ tại trung điểm O của mỗi đường nên MPNQ là hình thoi.

MPNQ1S S MN.PQ 2OM.OP2

= 2 2

2 2 2 2M M P P 2 2 2 2

72(m n )2 x y . x y(9m 4n )(4m 9n )

Áp dụng BĐT Cô-si: 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2(9m 4n ) (4m 9n ) 13(9m 4n )(4m 9n ) (m n )2 2

2 2

2 2

72(m n ) 144S 13 13(m n )2

. Dấu "=" xảy ra 2 2 2 29m 4n 4m 9n m n

Vậy: 144minS13

khi m n .


Câu 89. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình: 2 2x y 1

16 9 . Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm

của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). (H) có các tiêu điểm 1 2F ( 5;0);F (5;0) . HCN cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3),

Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: 2 2

2 2

x y 1a b

( với a > b)

(E) cũng có hai tiêu điểm 2 2 21 2F ( 5;0); F (5;0) a b 5 (1)

2 2 2 2M(4;3) (E) 9a 16b a b (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:2 2 2 2

2 2 2 2 2

a 5 b a 409a 16b a b b 15

. Vậy (E): 2 2x y 1

40 15

Câu 90. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình

2 2x y 19 4 . Giả sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của

(H), kẻ FM (d). Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó

(H) có một tiêu điểm F ( 13;0) .Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0.Khi đó:9a2 – 4b2 = c2 (*) Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b( x 13) – a y = 0

Toạ độ của M là nghiệm của hệ: ax by c

bx ay 13b

Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*), ta được x2 + y2 = 9

Câu 91. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): 2y x và điểm I(0; 2). Tìm toạ

độ hai điểm M, N (P) sao cho IM 4IN

. Gọi 0 0 1 1M(x ; y ), N(x ; y ) là hai điểm thuộc (P), khi đó ta có: 2 2

0 0 1 1x y ; x y

20 0 0 0IM (x ; y 2) (y ; y 2)

; 2 2

1 1 1 1 1 1IN (y ; y 2) (y ; y 2); 4IN (4y ; 4y 8)

Theo giả thiết: IM 4IN

, suy ra: 2 20 1

0 1

y 4yy 2 4y 8

1 1 0 0

1 1 0 0

y 1 x 1; y 2; x 4y 3 x 9; y 6; x 36

Vậy, có 2 cặp điểm cần tìm: M(4; –2), N(1;1) hay M(36;6), N(9;3) . Câu 92. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): 2y 8x . Giả sử đường thẳng d

đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là 1 2x , x . Chứng minh: AB = 1 2x x 4 .

Theo công thức tính bk qua tiêu: 1FA x 2 , 2FB x 2

1 2AB FA FB x x 4 .


Câu 93. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): 2 2x 5y 5 , Parabol 2(P) : x 10y . Hãy viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng

( ) : x 3y 6 0 , đồng thời tiếp xúc với trục hoành Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P).

Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2

Tâm I nên: I(6 3b;b) . Ta có: 4 3b b b 1

6 3b 2 b4 3b b b 2

(C): 2 2(x 3) (y 1) 1 hoặc (C): 2 2x (y 2) 4

IV. TAM GIÁC

Câu 94. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d1: 3x – 4y 27 0 , phân giác trong góc C có phương trình d2: x 2y – 5 0 . Tìm toạ độ điểm A.

Phương trình BC: x 2 y 13 4

Toạ độ điểm C( 1;3)

+ Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2.

phương trình BB’: x 2 y 11 2

2x y 5 0

+ Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: 2x y 5 0 x 3

I(3;1)x 2y 5 0 y 1

+ Vì I là trung điểm BB’ nên: B' I B

B' I B

x 2x x 4B (4;3)

y 2y y 3

+ Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0.

+ Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: y 3 0 x 5

A( 5;3)3x 4y 27 0 y 3

Câu 95. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung

tuyến CM và phân giác trong BD. Biết 17H( 4;1), M ;125

và BD có phương trình

x y 5 0 . Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC. Đường thẳng qua H và vuông góc với BD có PT: x y 5 0 . BD I I(0;5) Giả sử AB H ' . BHH ' cân tại B I là trung điểm của HH ' H '(4;9) .

Phương trình AB: 5x y 29 0 . B = AB BD B(6; 1) 4A ;255

Câu 96. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương

trình đường phân giác trong (AD): x 2y 5 0 , đường trung tuyến (AM): 4x 13y 10 0 . Tìm toạ độ đỉnh B.

Ta có A = AD AM A(9; –2). Gọi C là điểm đối xứng của C qua AD C AB.

Ta tìm được: C(2; –1). Suy ra phương trình (AB): x 9 y 22 9 1 2

x 7y 5 0 .

Viết phương trình đường thẳng Cx // AB (Cx): x 7y 25 0


Câu 97. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 32

,

A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 4 0 .

PTTS của d: x ty 4 3t

. Giả sử C(t; –4 + 3t) d.

22 21 1S AB.AC.sin A AB .AC AB.AC2 2

= 32

24t 4t 1 3 t 2t 1

C(–2; –10) hoặc C(1;–1). Câu 98. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(2; –3), B(3; –2), có diện tích bằng

32

và trọng tâm G thuộc đường thẳng : 3x – y – 8 0 . Tìm tọa độ đỉnh C.

Ta có: AB = 2 , trung điểm 5 5M ;2 2

. Phương trình AB: x y 5 0 .

ABC1 3 3S AB.d(C, AB) d(C, AB)2 2 2

.

Gọi G(t;3t 8) 1d(G, AB)2

t (3t 8) 5 1

2 2

t 1t 2

Với t 1 G(1; –5) C(–2; –10) Với t 2 G(2; –2) C(1; –1) Câu hỏi tương tự:

a) Với A(2; 1) , B(1; 2) , ABC27S2

, G : x y 2 0 .

ĐS: C(18; 12) hoặc C( 9;15) Câu 99. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 3 0 và hai điểm

A( 1;2) , B(2;1) . Tìm toạ độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2.

AB 10 , C( 2a 3;a) d. Phương trình đường thẳng AB: x 3y 5 0 .

ABCS 2 1 AB.d(C, AB) 22

a 21 10. 2

2 10

a 6a 2

Với a 6 ta có C( 9;6) Với a 2 ta có C(7; 2) . Câu hỏi tương tự: a) Với d : x 2y 1 0 , A(1; 0), B(3; 1) , ABCS 6 . ĐS: C(7;3) hoặc C( 5; 3) . Câu 100. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –3), B(3; –2), diện

tích tam giác bằng 1,5 và trọng tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x y 8 0 . Tìm toạ độ điểm C.

Vẽ CH AB, IK AB. AB = 2 CH = ABC2S 3AB 2 IK = 1 1CH

3 2 .

Giả sử I(a; 3a – 8) d. Phương trình AB: x y 5 0 .


d(I,AB) IK 3 2a 1 a 2a 1

I(2; –2) hoặc I(1; –5).

+ Với I(2; –2) C(1; –1) + Với I(1; –5) C(–2; –10). Câu 101. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;0), B(0;2) , diện tích

tam giác bằng 2 và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng d: y x . Tìm toạ độ điểm C.

Phương trình AB : 2x y 2 0 . Giả sử I(t; t) d C(2t 1;2t) .

Theo giả thiết: ABC1S AB.d(C,AB) 22 6t 4 4 4t 0; t

3 .

+ Với t 0 C( 1;0)

+ Với 4t3

5 8C ;3 3

.

Câu 102. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 5); B(4; –3), đường

phân giác trong vẽ từ C là d : x 2y 8 0 . Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi E là điểm đối xứng của A qua d E BC. Tìm được E(1;1) PT đường thẳng BC: 4x 3y 1 0 . C d BC C( 2;5) . Phương trình đường tròn (ABC) có dạng: 2 2 2 2x y 2ax 2by c 0; a b c 0

Ta có A, B, C (ABC) 4a 10b c 29

1 5 996a 10b c 34 a ; b ; c2 8 4

8a 6b c 25

Vậy phương trình đường tròn là: 2 2 5 99x y x y 04 4

.

Câu 103. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là

M( 1;2) , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2; 1) . Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình 2x y 1 0 . Tìm toạ độ đỉnh C.

PT đường thẳng AB qua M và nhận MI (3; 3)

làm VTPT: (AB) : x y 3 0 .

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y 3 02x y 1 0

4 5A ;

3 3

.

M( 1;2) là trung điểm của AB nên 2 7B ;3 3

.

Đường thẳng BC qua B và nhận n (2;1) làm VTCP nên có PT:

2x 2t3

7y t3

Giả sử 2 7C 2t; t (BC)3 3

.


Ta có: 2 2 2 28 10 8 10IB IC 2t t

3 3 3 3

t 0 (loaïi vì C B)

4t5

Vậy: 14 47C ;15 15

.

Câu 104. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB 5 , đỉnh

C( 1; 1) , đường thẳng AB có phương trình x 2y 3 0 , trọng tâm của ABC thuộc đường thẳng d : x y 2 0 . Xác định toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC.

Gọi I(a;b) là trung điểm của AB, G là trọng tâm ABC 2CG CI3

G

G

2a 1x3

2b 1y3

Do G d nên 2a 1 2b 1 2 03 3

Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:

a 2b 3 02a 1 2b 1 2 0

3 3

a 5b 1

I(5; 1) . Ta có

A, B (AB)

5IA IB2

Toạ độ các điểm A, B là các nghiệm của hệ: 2 2

x 2y 3 05(x 5) (y 1)4

1x 4; y23x 6; y2

1 3A 4; , B 6;2 2

hoặc 3 1A 6; , B 4;2 2

.

Câu 105. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm G(2;1) và hai đường thẳng

1d : x 2y 7 0 , 2d : 5x y 8 0 . Tìm toạ độ điểm 1 2B d ,C d sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm, biết A là giao điểm của 1 2d , d .

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x 2y 7 05x y 8 0

x 1y 3

A(1;3) .

Giả sử 1 2B(7 2b;b) d ; C(c;8 5c) d .

Vì G là trọng tâm của ABC nên:

A B CG

A B CG

x x xx3

y y yy3

2b c 2b 5c 8

b 2c 2

.

Vậy: B(3;2), C(2; 2) .

Câu 106. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;1) . Đường cao BH có phương trình x 3y 7 0 . Đường trung tuyến CM có phương trình x y 1 0 . Xác định toạ độ các đỉnh B, C. Tính diện tích tam giác ABC.

AC qua A và vuông góc với đường cao BH (AC) : x 3y 7 0 .


Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: x 3y 7 0x y 1 0

C(4; 5) .

Trung điểm M của AB có: B BM M

2 x 1 yx ; y2 2

. M (CM)

B B2 x 1 y 1 02 2

.

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: B B

x 3y 7 02 x 1 y 1 0

2 2

B( 2; 3) .

Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: x 3y 7 03x y 7 0

14 7H ;

5 5

.

8 10BH ; AC 2 105

ABC1 1 8 10S AC.BH .2 10. 162 2 5 (đvdt).

Câu 107. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 2) , phương trình

đường cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là: x y 2 0 , 3x 4y 2 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B và C.

Đường thẳng AB qua A và vuông góc với đường cao CH (AB) : x y 2 0 . Gọi B(b;2 b) (AB) , C(c;c 2) (CH) Trung điểm M của BC:

b c 4 b cM ;2 2

.

Vì M thuộc trung trực của BC nên: 3(b c) 4(4 b c) 4 0 b 7c 12 0 (1)

BC (c b;c b)

là 1 VTPT của trung trực BC nên 4(c b) 3(c b) c 7b (2)

Từ (1) và (2) 7 1c , b4 4

. Vậy 1 9 7 1B ; , C ;4 4 4 4

.

Câu 108. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A( 1;4) và các đỉnh B, C thuộc

đường thẳng : x y 4 0 . Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.

Gọi H là trung điểm của BC H là hình chiếu của A trên 7 1H ;2 2

9AH2

Theo giả thiết: ABC1S 18 BC.AH 18 BC 4 22 HB HC 2 2 .

Toạ độ các điểm B, C là các nghiệm của hệ:

2 2

x y 4 0

7 1x y 82 2

11 3x ; y2 23 5x ; y2 2

Vậy 11 3 3 5B ; ,C ;2 2 2 2

hoặc 3 5 11 3B ; , C ;2 2 2 2

.


Câu 109. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x y 5 0 , d2: x 2y – 7 0 và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1

và điểm C thuộc d2 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do B d1 nên B(m; – m – 5), C d2 nên C(7 – 2n; n)

Do G là trọng tâm ABC nên 2 m 7 2n 3.23 m 5 n 3.0

m 1n 1

B(–1; –4), C(5; 1)

PT đường tròn ngoại tiếp ABC: 2 2 83 17 338x y x y 027 9 27

Câu 110. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;6) , phương trình

các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là 1d : 2x y 13 0 và 2d : 6x 13y 29 0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC . Đường cao CH : 2x y 13 0 , trung tuyến CM : 6x 13y 29 0 C( 7; 1) PT đường thẳng AB: x 2y 16 0 . M CM AB M(6;5) B(8;4) . Giả sử phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp 2 2ABC : x y mx ny p 0.

Vì A, B, C (C) nên 52 4m 6n p 080 8m 4n p 050 7m n p 0

m 4n 6p 72

.

Suy ra PT đường tròn: 2 2x y 4x 6y 72 0 . Câu 111. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0).

Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng 1d : x y 5 0 và

2d : x 2y – 7 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG.

Giả sử 1 2B( 5 b;b) d ; C(7 2c;c) d .

Vì G là trọng tâm ABC nên ta có hệ: B C

B C

x x 2 6y y 3 0

B(–1;–4) , C(5; 1).

Phương trình BG: 4x – 3y – 8 0 . Bán kính 9R d(C, BG)5

Phương trình đường tròn: 2 2 81(x – 5) (y –1)25

Câu 112. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 3;6) , trực tâm

H(2;1) , trọng tâm 4 7G ;3 3

. Xác định toạ độ các đỉnh B và C.

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có 2 7 1AG AI I ;3 2 2

Đường thẳng BC qua I vuông góc với AH có phương trình: x y 3 0 Vì I là trung điểm của BC nên giả sử B BB(x ;y ) thì B BC(7 x ;1 y ) và

B Bx y 3 0 . H là trực tâm của tam giác ABC nên CH AB ; B B B BCH ( 5 x ; y ),AB (x 3; y 6)


B B B B

B B B B B

x y 3 x 1 x 6CH.AB 0

(x 5)(x 3) (y 6) 0 y 2 y 3

Vậy B 1; 2 ,C 6;3 hoặc B 6;3 ,C 1; 2 Câu 113. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao

CH : x y 1 0 , phân giác trong BN : 2x y 5 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC.

Do AB CH nên phương trình AB: x y 1 0 . + B = AB BN Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:

2x y 5 0x y 1 0

x 4y 3

B( 4;3) .

+ Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A ' BC . Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x 2y 5 0 .

Gọi I (d) BN . Giải hệ: 2x y 5 0x 2y 5 0

. Suy ra: I(–1; 3) A '( 3; 4)

+ Phương trình BC: 7x y 25 0 . Giải hệ: BC : 7x y 25 0CH : x y 1 0

13 9C ;4 4

.

+ 2 213 9 450BC 4 3

4 4 4

, 2 2

7.1 1( 2) 25d(A;BC) 3 2

7 1

.

Suy ra: ABC1 1 450 45S d(A;BC).BC .3 2. .2 2 4 4

Câu 114. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC , với đỉnh A(1; –3) phương trình đường

phân giác trong BD: x y 2 0 và phương trình đường trung tuyến CE: x 8y 7 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C.

Gọi E là trung điểm của AB. Giả sử B(b;2 b) BD b 1 1 bE ; CE

2 2

b 3

B( 3;5) . Gọi A là điểm đối xứng của A qua BD A BC. Tìm được A(5; 1)

Phương trình BC: x 2y 7 0 ; x 8y 7 0

C CE BC : C(7;0)x 2y 7 0

.

Câu 115. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –4). Phương

trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là 1d : x y 1 0 và 2d :3x y 9 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.

Gọi 2C(c;3c 9) d và M là trung điểm của BC 1M(m;1 m) d . B(2m c;11 2m 3c) . Gọi I là trung điểm của AB, ta có

2m c 3 7 2m 3cI ;2 2

.

Vì I 2(d ) nên 2m c 3 7 2m 3c3. 9 02 2

m 2 M(2; 1)

Phương trình BC: x y 3 0 . 2C BC d C(3;0) B(1; 2) .


Câu 116. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng d đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

Gọi H là chân đường cao xuất phát từ A H đối xứng với A qua d H( 2; 2) PT đường thẳng BC: x y 4 0 . Giả sử B(m; 4 m) BC C( 4 m;m) CE (5 m; 3 m), AB (m 6; 10 m)

.

Vì CE AB nên AB.CE 0 (m 6)(m 5) (m 3)(m 10) 0

m 0; m 6 . Vậy: B(0; 4), C( 4;0) hoặc B( 6;2), C(2; 6) . Câu 117. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;4) . Đường

thẳng qua trung điểm của cạnh AB và AC có phương trình 4x 6y 9 0 ; trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d có phương trình: 2x 2y 1 0 . Tìm tọa

độ các đỉnh B và C, biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng 72

và đỉnh C có hoành độ

lớn hơn 1.

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua , ta tính được 40 31A ' ;13 13

BC : 2x 3y 1 0

Ta gọi M là trung điểm của BC, thì M là giao của đường thẳng d và BC nên 5M ;22

.

Giả sử 3t 1C ; t (BC)2

. Ta có

ABC1 7 1 7S d(A;BC).BC .BC BC 132 2 2 13

13CM2

2

2 t 3 C(4;3)3t 6 13(t 2)t 1 C(1;1) (loaïi)2 2

B(1;1) .

Vậy: B(1;1) , C(4;3) . Câu 118. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC có tọa độ đỉnh B(3; 5) , phương trình

đường cao hạ từ đỉnh A và đường trung tuyến hạ từ đỉnh C lần lượt là 1d : 2x – 5y + 3 = 0 và 2d : x + y – 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C của tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm AB thì M 2d nên M(a;5 a) . Đỉnh A 1d nên 5b 3A ;b2

.

M là trung điểm AB: A B M

A B M

x x 2xy y 2y

4a 5b 3 a 22a b 5 b 1

A(1; 1).

Phương trình BC: 5x 2y 25 0 ; 2C d BC C(5; 0). Câu 119. Trong mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Oxy, cho ABC với AB 5, đỉnh

C( 1; 1) , phương trình cạnh AB : x 2y 3 0 và trọng tâm G của ABC thuộc đường thẳng d : x y 2 0 . Xác định tọa độ các đỉnh A,B của tam giác.

Gọi I(x; y) là trung điểm AB , G GG(x ; y ) là trọng tâm của ABC


G

G

2x 1x2 3CG CI

2y 13 y3

G d : x y 2 0 nên có: G Gx y 2 0 2x 1 2y 1 2 03 3

Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ: x 2y 3 0

I(5; 1)2x 1 2y 1 2 03 3

Gọi 2

2 2 2A A A A

AB 5A(x ; y ) IA (x 5) (y 1)2 4

.

Hơn nữa A AB : x 2y 3 0 suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

A A A A

2 2A A A A

x 2y 3 0 x 4 x 65 1 3x 5 y 1 y y4 2 2

Vậy: 1 3A 4, , B 6;2 2

hoặc 1 3B 4, , A 6;2 2

.

Câu 120. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông

cân, biết đỉnh C(3; 1) và phương trình của cạnh huyền là d :3x y 2 0 . Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình cạnh huyền nên ABC vuông cân tại C.

Gọi I là trung điểm của AB . Phương trình đường thẳng CI: x 3y 0 .

I CI AB 3 1I ;5 5

72AI BI CI5

Ta có: A, B d

72AI BI5

2 2

3x y 2 0

3 1 72x y5 5 5

3 19x ; y5 5

9 17x ; y5 5

Vậy toạ độ 2 đỉnh cần tìm là: 3 19 9 17; , ;5 5 5 5

.

Câu 121. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; –5) và đường thẳng có phương

trình: 3x 4y 4 0 . Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua 5I 2;2

sao cho

diện tích tam giác ABC bằng 15.

Gọi 3a 4 16 3aA a; B 4 a;4 4

ABC

1S AB.d(C, ) 3AB2

AB = 5.

2

2 a 46 3aAB 5 (4 2a) 25a 02

. Vậy hai điểm cần tìm là A(0; 1) và

B(4; 4).


Câu 122. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với B(1; 2) đường cao AH :x y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, C của tam giác ABC biết C thuộc đường thẳng d :2x y 1 0 và diện tích tam giác ABC bằng 1.

Phương trình BC : x y 1 0 . C = BC d C(2; 3) .

Gọi 0 0 0 0A(x ; y ) AH x y 3 0 (1); 0 0x y 1BC 2, AH d(A,BC)

2

0 00 0ABC

0 0

x y 1 2 (2)x y 11 1S AH.BC 1 . . 2 1x y 1 2 (3)2 2 2

Từ (1) và (2) 0

0

x 1A( 1;2)

y 2

. Từ (1) và (3) 0

0

x 3A( 3;0)

y 0

Câu 123. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A(2;1) , điểm

B nằm trên trục hoành, điểm C nằm trên trục tung sao cho các điểm B, C có toạ độ không âm. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Giả sử B(b;0), C(0;c), (b,c 0) .

ABC vuông tại A AB.AC 0

c 2b 5 0 50 b2

.

ABC1S AB.AC2 = 2 2 2 2 21 (b 2) 1. 2 (c 1) (b 2) 1 b 4b 5

2

Do 50 b2

nên ABCS đạt GTLN b 0 B(0;0),C(0;5) .

Câu 124. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A( 1; 3) , trọng tâm

G(4; 2) , trung trực của AB là d :3x 2y 4 0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm của BC 3AM AG2

13 3M ;2 2

.

AB d AB nhận du (2; 3) làm VTPT Phương trình AB : 2x 3y 7 0 .

Gọi N là trung điểm của AB N = AB d N(2; 1) B(5;1) C(8; 4) . PT đường tròn (C) ngoại tiếp ABC có dạng: 2 2x y 2ax 2by c 0

( 2 2a b c 0 ).

Khi đó ta có hệ: 2a 6b c 1010a 2b c 2616a 8b c 80

74a21

23b7

8c3

.

Vậy: 2 2 148 46 8(C) : x y x y 021 7 3

Câu 125. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(2, 0) và

phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x y 14 0 ; 2x 5y 2 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)


Câu 126. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H( 1;6) , các

điểm M(2;2) N(1;1) lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

Đường thẳng CH qua H và vuông góc với MN CH : x y 5 0 . Giả sử C(a;5 a) CH CN (1 a;a 4)

Vì M là trung điểm của AC nên A(4 a;a 1) AH (a 5;7 a)

Vì N là trung điểm của BC nên B(2 a;a 3) Vì H là trực tâm ABC nên: AH.CN 0

(a 5)(1 a) (7 a)(a 4) 0 a 3

11a2

.

+ Với a 3 C(3;2), A(1;2),B( 1;0)

+ Với 11a2

11 1 3 9 7 5C ; , A ; , B ;2 2 2 2 2 2

Câu 127. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong AD và

đường cao CH lần lượt có phương trình x y 2 0 , x 2y 5 0 . Điểm M(3;0) thuộc đoạn AC thoả mãn AB 2AM . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Gọi E là điểm đối xứng của M qua AD E(2; 1) . Đường thẳng AB qua E và vuông góc với CH (AB) : 2x y 3 0 .

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 2x y 3 0x y 2 0

A(1;1) PT (AM) : x 2y 3 0

Do AB 2AM nên E là trung điểm của AB B(3; 3) .

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: x 2y 3 0x 2y 5 0

C( 1;2)

Vậy: A(1;1) , B(3; 3) , C( 1;2) . Câu hỏi tương tự: a) (AD) : x y 0 , (CH) : 2x y 3 0 , M(0; 1) .

ĐS: A(1;1) ; B( 3; 1) ; 1C ; 22

Câu 128. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC

có phương trình x 2y 2 0 . Đường cao kẻ từ B có phương trình x y 4 0 , điểm M( 1;0) thuộc đường cao kẻ từ C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.

Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ: x 2y 2 0x y 4 0

B( 2;2) .

Gọi d là đường thẳng qua M và song song với BC d : x 2y 1 0 . Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B Toạ độ của N là nghiệm của hệ:

x y 4 0x 2y 1 0

N( 3;1) .


Gọi I là trung điểm của MN 1I 2;2

. Gọi E là trung điểm của BC IE là đường

trung trực của BC IE : 4x 2y 9 0 .

Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ: x 2y 2 04x 2y 9 0

7 17E ;

5 10

4 7C ;5 5

.

Đường thẳng CA qua C và vuông góc với BN 3CA : x y 05

.

Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ: 4x 2y 9 0

3x y 05

13 19A ;10 10

.

Vậy: 13 19A ;10 10

, B( 2;2) , 4 7C ;5 5

.

Câu 129. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng

d: x – 4y – 2 0 , cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x y 3 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có phương trình: y x .

Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ :

2xx 4y 2 0 2 23 A ;y x 2 3 3y

3

Vì M là trung điểm của AC nên 8 8C ;3 3

Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình: xy 24

x y 3 0 x 4

BH BC B: B( 4;1)x y 1y 24

Câu 130. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao BH :3x 4y 10 0 , đường phân giác trong góc A là AD có phương trình là x y 1 0 , điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng

2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Gọi N đối xứng với M qua AD . Ta có N AC và N (1;1) PT cạnh

AC : 4x 3y 1 0 A AC AD A(4;5) . AB đi qua M, A

PT cạnh AB :3x 4y 8 0 1B 3;4

Gọi C(a;b) AC 4a 3b 1 0 , ta có MC 2 C(1;1) hoặc 31 33C ;25 25

.

Kiểm tra điều kiện B, C khác phía với AD, ta có cả hai điểm trên đều thỏa mãn. Câu 131. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung

điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x y 2 0 và d2: 2x 6y 3 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.


Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y 2 02x 6y 3 0

15 7A ;

4 4

.

Giả sử: B(b;2 b) d1, 3 2cC c;

6

d2. M(–1; 1) là trung điểm của BC

b c 12

3 2c2 b6 1

2

1b4

9c4

1 7B ;4 4

, 9 1C ;4 4

.

Câu 132. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ

là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB : y 3 7(x 1) . Biết chu vi của ABC bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

B AB Ox B(1;0) , A AB A a;3 7(a 1) a 1 (do A Ax 0, y 0 ). Gọi AH là đường cao

ABC H(a;0) C(2a 1;0) BC 2(a 1),AB AC 8(a 1) .

Chu vi ABC 18 a 2 C(3;0), A 2;3 7 . Câu 133. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường

thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x 3y – 4 0 ; x – y –1 0 . Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng x 2y – 6 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình: 4x 3y 4 0 x 2

A( 2;4)x 2y 6 0 y 4

Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình 4x 3y 4 0 x 1

B 1;0x y 1 0 y 0

Phương trình AC qua điểm A(–2;4) có dạng: a(x 2) b(y 4) 0 ax by 2a 4b 0

Gọi 1 2 3: 4x 3y 4 0; : x 2y 6 0; : ax by 2a 4b 0

Từ giả thiết suy ra 2 3 1 2; ; .

Do đó 2 3 1 2 2 2

1.a 2.b 4.1 2.3cos ( ; ) cos ( ; )25. 55. a b

2 2 a 0a 2b 2 a b a(3a 4b) 0

3a 4b 0

a = 0 b 0 . Do đó 3 : y 4 0 3a – 4b = 0: Chọn a = 4 thì b = 3. Suy ra 3 : 4x 3y 4 0 (trùng với 1 ). Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y – 4 = 0.

Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình:y 4 0 x 5

C(5;4)x y 1 0 y 4

Câu 134. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình

đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Gọi C(c; 2c 3) và I(m;6 m) là trung điểm của BC. Suy ra: B(2m c; 9 2m 2c) .


Vì C’ là trung điểm của AB nên: 2m c 5 11 2m 2cC ' ; CC'2 2

nên 2m c 5 11 2m 2c 52 3 0 m2 2 6

5 41I ;6 6

.

Phương trình BC: 3x 3y 23 0 14 37C ;3 3

19 4B ;3 3

.

Câu 135. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC lần lượt là H(2;2), I(1;2) và trung điểm 5 5M ;2 2

của cạnh BC. Hãy tìm

toạ độ các đỉnh A, B, C biết B Cx x ( Bx , Cx lần lượt hoành độ điểm B và C).

Gọi G là trọng tâm ABC ta có : GH 2GI

4G ; 23

Mặt khác vì GA 2GM

nên A( 1;1) . Phương trình BC: 3x y 10 0 . Đường tròn (C) ngoại tiếp có tâm I(1; 2) và bán kính R 4 1 5 . Do đó (C) :

2 2(x 1) (y 2) 5 .

Khi đó toạ độ B ;C là nghiệm hệ : 2 2 x 2 x 3(x 1) (y 2) 5

y 4 y 13x y 10 0

Vì B Cx x nên B(3;1) ; C(2;4). Vậy : A(–1; 1); B(3; 1) ; C(2; 4). Câu 136. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại C có diện tích bằng

10, phương trình cạnh AB là x 2y 0 , điểm I(4; 2) là trung điểm của AB, điểm 9M 4;2

thuộc cạnh BC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết tung độ điểm B lớn hơn

hoặc bằng 3. Giả sử B BB(2y ;y ) AB B BA(8 2y ;4 y ) . Phương trình CI: 2x y 10 0 .

Gọi C CC(x ;10 2x ) CCI 5 4 x

; BAB 20 y 2

.

ABC B C C B1S CI.AB 10 4y 2x x y 8 22

C B B C

C B B C

x y 4y 2x 6 (1)x y 4y 2x 10 (2)

Vì C B

C B

4 x k 2y 4M BC CM kMB 11 92x k y

2 2

C B B C2x y 6y 5x 16 0

(3)

Từ (1) và (3): C B B C B

C B B C B

x y 4y 2x 6 y 1 22x y 6y 5x 16 0 y 1 2

(loại, vì By 3 )

Từ (2) và (3): C B B C B

CC B B C

x y 4y 2x 10 y 3x 22x y 6y 5x 16 0

(thỏa)

Vậy A(2; 1), B(6; 3), C(2; 6).


Câu 137. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, các đỉnh A, B thuộc đường thẳng d: y = 2, phương trình cạnh BC: 3x y 2 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3 .

B d BC B(0; 2). Giả sử A(a;2) d, (a 2) , C(c;2 c 3) BC, (c 0) . AB ( a;0), AC (c a;c 3), BC (c;c 3)

2 2AB a ,AC (c a) 3c ,BC 2 c

ABC vuông ở A và r 3 AB.AC 0S pr

AB.AC 01 AB BC ACAB.AC . 32 2

2 2 2 2

a(c a) 0

a (c a) 3c a 2 c (c a) 3c 3

c a 0

a 3 3

c a 3 3 A(3 3;2),C(3 3;5 3 3)

c a 3 3 A( 3 3;2),C( 3 3; 1 3 3)

Câu 138. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm toạ độ các đỉnh của tam giác vuông cân ABC,

có phương trình hai cạnh AB : x 2y 1 0 , AC : 2x y 3 0 và cạnh BC chứa điểm 8I ;13

.

Ta có: AB AC ABC vuông cân tại A A(1;1) .

Gọi M(x ; y) thuộc tia phân giác At của góc BAC . Khi đó M cách đều hai đường thẳng AB, AC. Hơn nữa M và I cùng phía đối với đường thẳng AB và cùng phía đối với

đường thẳng AC, tức là:

x 2y 1 2x y 35 5

8(x 2y 1) 2 1 0 x 3y 4 0316(2x y 3) 1 3 03

BCAt BC n (3; 1) BC :3x y 7 0 ;

x 2y 1 0B AB BC : B(3;2)

3x y 7 0

;

2x y 3 0

C AC BC : C(2; 1)3x y 7 0

.

Câu 139. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết các

đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng d: x y 5 0 , d1: x 1 0 , d2: y 2 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, biết BC = 5 2 .

Chú ý: d1 d2 và ABC vuông cân tại A nên A cách đều d1, d2 A là giao điểm của d và đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 A(3; 2).

Giả sử B(–1; b) d1, C(c; –2) d2. AB ( 4;b 2), AC (c 3; 4)

.


Ta có: 2

AB.AC 0BC 50

b 5, c 0b 1, c 6

A(3;2), B( 1;5), C(0; 2)A(3;2), B( 1; 1), C(6; 2)

.

Câu 140. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại đỉnh C biết phương

trình đường thẳng AB là: x y – 2 0 , trọng tâm của tam giác ABC là 14 5G ;3 3

và

diện tích của tam giác ABC bằng 652

. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC.

Gọi H là trung điểm của AB CH AB CH: x y 3 0 5 1H ;2 2

C(9;6) .

Gọi A(a;2 a) AB B(5 a;a 3) 13 13AB (5 2a;2a 5); CH ;2 2

2ABC

a 065 1 65S AB.CH 8a 40a 0a 52 2 2

Với a 0 A(0;2);B(5; 3) Với a 5 A(5; 3), B(0;2)

PT đường tròn (C) ngoại tiếp ABC có dạng: 2 2 2 2x y 2ax 2by c 0 (a b c 0)

(C) qua A, B, C nên

137a264b c 45910a 6b c 34 b

2618a 12b c 117 66c

13

2 2 137 59 66(C) : x y x y 013 13 13

Câu 141. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC có phương trình cạnh AB: x y – 3 0 ,

phương trình cạnh AC: 3x y – 7 0 và trọng tâm 1G 2;3

. Viết phương trình đường

tròn đi qua trực tâm H và hai đỉnh B, C của tam giác ABC. A AB AC A(2;1) . Giả sử B(m;3 – m), C(n;7 – 3n) .

1G 2;3

là trọng tâm ABC nên: 2 m n 6 m 11 3 m 7 3n 1 n 3

B(1; 2), C(3; –2)

H là trực tâm ABC AH BC

BH AC

H(10;5) .

PT đường tròn (S) qua B, C, H có dạng: 2 2 2 2x y 2ax 2by c 0 (a b c 0)

Do B, C, H (S) 2a 4b c 5 a 66a 4b c 13 b 220a 10b c 125 c 15

.

Vậy (S): 2 2x y –12x – 4y 15 0 .


Câu 142. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d: x – 2y 2 0 . Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC.

ĐS: 2 6B ;5 5

; 1 24 7C (0;1); C ;5 5

Câu 143. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân ngoại tiếp đường

tròn 2 2(C) : x y 2 . Tìm toạ độ 3 đỉnh của tam giác, biết điểm A thuộc tia Ox. A là giao của tia Ox với (C) A(2;0) . Hai tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) là: x y 2 0 và x y 2 0 . Vì ABC vuông cân nên cạnh BC tiếp xúc với (C) tại trung điểm M của BC M là giao của tia đối tia Ox với (C) M 2;0 . Phương trình cạnh BC: x 2 . B và C là các giao điểm của BC với 2 tiếp tuyến trên Toạ độ 2 điểm B, C là: 2;2 2 , 2; 2 2 . Câu 144. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm của cạnh BC

là điểm M(3; 1) , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua điểm E( 1; 3) và đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm F(1;3) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm D(4; 2) .

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta chứng minh được BDCH là hình bình hành nên M là trung điểm của HD suy ra H(2;0) . Đường thẳng BH có VTCP là EH (3;3)

VTPT là BHn (1; 1) BH : x y 2 0

+ AC vuông góc với BH nên AC BHn u (1;1) AC : x y 4 0

+ AC vuông góc với CD nên DC ACn u (1; 1) DC : x y 6 0 .

+ C là giao của AC và DC nên tọa độ C là nghiệm của hệ: x y 4 0

C(5; 1)x y 6 0

+ M là trung điểm của BC nên B(1; 1) . AH vuông góc với BC AH : x 2 0 + A là giao điểm của HA và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ

x 2 0A(2; 2)

x y 4 0

.

Vậy: A(2;2) , B(1; 1) , C(5; 1) . Câu 145. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, biết B và C đối

xứng nhau qua gốc tọa độ. Đường phân giác trong của góc ABC là d : x 2y 5 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua điểm K(6;2)

Giả sử B(5 2b;b),C(2b 5; b) d , O(0;0) BC

Gọi I đối xứng với O qua phân giác trong gócABC nên I(2;4) và I AB Tam giác ABC vuông tại A nên BI (2b 3;4 b)

vuông góc với CK (11 2b;2 b)

2 b 1(2b 3)(11 2b) (4 b)(2 b) 0 5b 30b 25 0

b 5

+ Với b 1 B(3;1),C( 3; 1) A(3;1) B (loại)


+ Với b 5 B( 5;5),C(5; 5) 31 17A ;5 5

Vậy 31 17A ; ; B( 5;5);C(5; 5)5 5

Câu 146. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 4 7A ;5 5

và phương

trình hai đường phân giác trong BB: x 2y 1 0 và CC: x 3y 1 0 . Chứng minh tam giác ABC vuông.

Gọi A1, A2 lần lượt là điểm đối xứng của A qua BB, CC A1, A2 BC. Tìm được: A1(0; –1), A2(2; –1) Phương trình BC: y 1 B(–1; –1), C(4; –1)

AB AC

A vuông. Câu 147. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho phương trình hai cạnh của một tam giác là

5x 2y 6 0 và 4x 7y 21 0 . Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc toạ độ.

Giả sử: (AB) :5x 2y 6 0 , (AC) : 4x 7y 21 0 A(0;3) . Đường cao BO đi qua B và vuông góc với AC (BO) : 7x 4y 0 B( 4; 7) . Cạnh BC đi qua B và vuông góc với OA (BC) : y 7 0 .

Câu 148. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 3) và hai đường

trung tuyến của nó có phương trình là: x – 2y 1 0 và y –1 0 . Hãy viết phương trình các cạnh của ABC. ĐS: (AC): x + 2y – 7 = 0; (AB): x – y + 2 = 0; (BC): x – 4y – 1 = 0.

Câu 149. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B( 12;1) , đường

phân giác trong góc A có phương trình d : x 2y 5 0 . 1 2G ;3 3

là trọng tâm tam

giác ABC. Viết phương trình đường thẳng BC. Gọi M là điểm đối xứng của B qua d M( 6;13) (AC) . Giả sử A(5 2a;a) d C(8 2a;1 a) . Do MA, MC

cùng phương

a 2 C(4;3) Vậy: (BC) : x 8y 20 0 . Câu 150. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(2; 1) , đường cao

xuất phát từ A và đường phân giác trong góc C lần lượt là 1d : 3x 4y 27 0 ,

2d : x 2y 5 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Đường thẳng BC qua B và vuông góc với 1d (BC) : 4x 3y 5 0 .

Toạ độ đỉnh C là nghiệm của hệ: 4x 3y 5 0x 2y 5 0

C( 1;3) .

Gọi B là điểm đối xứng của B qua 2d B (4;3) và B (AC) . Đường thẳng AC đi qua C và B (AC) : y 3 0 .


Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ: y 3 03x 4y 27 0

A( 5;3) .

Đường thẳng AB qua A và B (AB) : 4x 7y 1 0 . Vậy: (AB) : 4x 7y 1 0 , (BC) : 4x 3y 5 0 , (AC) : y 3 0 . Câu 151. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương

trình d1: x y 1 0 . Phương trình đường cao vẽ từ B là d2: x 2y 2 0 . Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

B(0; –1). BM (2; 2)

MB BC. Kẻ MN // BC cắt d2 tại N thì BCNM là hình chữ nhật.

PT đường thẳng MN: x y 3 0 . N = MN d2 8 1N ;3 3

.

NC BC PT đường thẳng NC: 7x y 03

. C = NC d1 2 5C ;3 3

.

AB CM PT đường thẳng AB: x 2y 2 0 . AC BN PT đường thẳng AC: 6x 3y 1 0 Câu 152. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là

AB :5x – 2y 6 0 và AC : 4x 7y – 21 0 . Viết phương trình cạnh BC, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.

AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 A(0;3) Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0 B(–4; –7) A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy BC: y + 7 = 0. Câu 153. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB:

x y 2 0 , phương trình cạnh AC: x 2y 5 0 . Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC.

A AB AC A(3; 1). Gọi B(b;b 2) AB,C(5 2c;c) AC .

Do G là trọng tâm của ABC nên 3 b 5 2c 91 b 2 c 6

b 5c 2

B(5; 3), C(1; 2)

Phương trình cạnh BC: x 4y 7 0 . Câu 154. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng

AB cắt trục Oy tại E sao cho AE 2EB

. Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng

tâm là 13G 2;3

. Viết phương trình cạnh BC.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có 2AG AM3

M(2; 3). Đường thẳng EC qua M

và có VTPT 8AG 0;3

nên có PT: y 3 E(0; 3) C(4; 3). Mà AE 2EB

nên

B(–1; 1). Phương trình BC: 2x 5y 7 0 .


Câu 155. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM: 2x y 1 0 và phân giác trong CD: x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng BC.

Điểm C CD: x y 1 0 C(t;1 t) . Suy ra trung điểm M của AC là t 1 3 tM ;2 2

.

Từ A(1;2), kẻ AK CD : x y 1 0 tại I (điểm K BC ). Suy ra AK : (x 1) (y 2) 0 x y 1 0 .

Tọa độ điểm I thỏa hệ: x y 1 0

I 0;1x y 1 0

Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của K( 1;0) .

Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: x 1 y 4x 3y 4 07 1 8

Câu 156. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân

giác trong góc A là (d1): x y 2 0 , phương trình đường cao vẽ từ B là (d2): 2x – y 1 0 , cạnh AB đi qua M(1; –1). Tìm phương trình cạnh AC.

Gọi N là điểm đối xứng của M qua (d1) N AC . N NMN (x 1, y 1)

Ta có: 1dMN / /n (1; 1)

N N N N1(x 1) 1(y 1) 0 x y 2 (1)

Tọa độ trung điểm I của MN: I N I N1 1x (1 x ), y ( 1 y )2 2

1 N N1 1I (d ) (1 x ) ( 1 y ) 2 02 2

N Nx y 4 0 (2)

Giải hệ (1) và (2) ta được N(–1; –3) Phương trình cạnh AC vuông góc với (d2) có dạng: x + 2y + C = 0. N (AC) 1 2.( 3) C 0 C 7. Vậy, phương trình cạnh AC: x + 2y + 7 = 0. Câu 157. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình

các cạnh AB, BC lần lượt là x 2y 1 0 và 3x y 5 0 . Viết phương trình cạnh AC biết AC đi qua điểm M(1;–3).

Đường thẳng AC có VTPT: 1n (1; 2) . Đường thẳng BC có VTPT 2n (3; 1)

. Đường thẳng AC qua M(1; –3) nên PT có dạng: 2 2a(x 1) b(y 3) 0 (a b 0) ABC cân tại đỉnh A nên ta có: cos(AB, BC) cos(AC, BC)

2 2 2 2 2 2 2 2

3 2 3a b1 2 3 1 a b 3 1

2 2 1 222a 15ab 2b 0 a b a b2 11

Với 1a b2

, chọn a = 1, b = 2 ta được AC: x 2y 5 0 (loại vì khi đó AC//AB)

Với 2a b11

, chọn a = 2, b = 11 ta được AC: 2x 11y 31 0 .

Câu hỏi tương tự: a) AB :12x y 23 0 , BC : 2x 5y 1 0 , M(3;1) ĐS: AC :8x 9y 33 0 . b) AB : 2x y 6 0 , BC : x 3y 2 0 , M(3;2) . ĐS: AC : x 2y 7 0 .


Câu 158. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(2; 3), đường phân giác trong góc A có phương trình x y 1 0 , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(6; 6) và diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác IBC. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (C) có tâm I(6;6) và bán kính R IA 5

(C): 2 2(x 6) (y 6) 25 Gọi D là giao điểm của (C) với đường thẳng x y 1 0 D(9;10) Ta có: ID BC ID (3;4)

là VTPT của BC Phương trình BC có dạng :

3x 4y m 0 Theo đề bài ta có ABC IBCS 3S d(A,BC) 3d(I,BC) 18 m 3 42 m

m 54m 36

Vậy có hai đường thẳng thỏa YCBT : 3x 4y 54 0 và 3x 4y 36 0 Câu 159. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H( 1;4) , tâm

đường tròn ngoại tiếp I( 3;0) và trung điểm của cạnh BC là M(0; 3) . Viết phương trình đường thẳng AB, biết điểm B có hoành độ dương.

Giả sử N là trung điểm của AC. Vì ABH ~ MNI và HA // MI nên HA 2MI

A( 7;10)

Ta có: IA IB, IM MB Toạ độ điểm B thoả hệ: 2 2(x 3) y 116

3x 3(y 3) 0

B(7;4) .

Vậy: Phương trình AB :3x 7y 49 0 . Câu 160. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11;

2). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và chia ABC thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 2. ĐS: 3x 2y –15 0; 2x 5y –12 0 .

Câu 161. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng 1d :2x 5y 3 0 ;

2d :5x 2y 7 0 cắt nhau tại A và điểm P( 7;8) . Viết phương trình đường thẳng 3d

đi qua P tạo với 1d , 2d thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng 292

.

Ta có A(1; 1) và 1 2d d . PT các đường phân giác của các góc tạo bởi 1d , 2d là: 1: 7x 3y 4 0 và 2: 3x 7y 10 0 3d tạo với 1d , 2d một tam giác vuông cân 3d vuông góc với 1 hoặc 2..

Phương trình của 3d có dạng: 7x 3y C 0 hay 3x 7y C 0 Mặt khác, 3d qua P( 7;8) nên C = 25 ; C = 77. Suy ra : 3d : 7x 3y 25 0 hay 3d :3x 7y 77 0

Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích bằng 292

cạnh huyền bằng 58

Suy ra độ dài đường cao A H = 582

= 3d(A,d )


Với 3d : 7x 3y 25 0 thì 358d(A;d )2

( thích hợp)

Với 3d :3x 7y 77 0 thì 387d(A;d )58

( loại )

Câu 162. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5).

Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) : 3x y 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.

Phương trình tham số của : x ty 3t 5

. M M(t; 3t – 5)

MAB MCDS S d(M,AB).AB d(M,CD).CD 7t 9 t3

7M( 9; 32), M ;23

Câu 163. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình 2 cạnh

AB, AC lần lượt là x 2y 2 0 và 2x y 1 0 , điểm M(1;2) thuộc đoạn BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho DB.DC

có giá trị nhỏ nhất.

Phương trình BC có dạng: 2 2a(x 1) b(y 2) 0,a b 0 .

ABC cân tại A nên 2 2 2 2

a ba 2b 2a bcos B cosC

a ba b . 5 a b . 5

Với a b : chọn b 1,a 1 BC: x y 1 0 2 1B(0;1), C ;3 3

M không thuộc đoạn BC. Với a b : chọn a b 1 BC : x y 3 0 B(4; 1), C( 4;7)

M thuộc đoạn BC. Gọi trung điểm của BC là I(0;3) .

Ta có:2 2

2 BC BCDB.DC (DI IB).(DI IC) DI4 4

Dấu "=" xảy ra D I . Vậy DB.DC

nhỏ nhất khi D(0; 3). Câu 164. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC có

diện tích bằng 32

; trọng tâm G của ABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 8 0 .

Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ABC.

Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 d(C; AB) = ABCa b 5 2SAB2

a b 8 (1)

a b 5 3a b 2 (2)

;

Trọng tâm G a 5 b 5;3 3

(d) 3a –b =4 (3)

(1), (3) C(–2; 10) r = S 3p 2 65 89

(2), (3) C(1; –1) S 3rp 2 2 5


Câu 165. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 96 . Gọi M(2;0) là trung điểm của AB, phân giác trong của góc A có phương trình: d : x y 10 0 .

Đường thẳng AB tạo với d một góc thỏa mãn 3cos5

. Xác định các đỉnh của tam

giác ABC . Gọi M ' đối xứng với M(2;0) qua d : x y 10 0 M '(10; 8) . PT đường thẳng AB qua M(2;0) có dạng: a(x 2) by 0 .

AB tạo với d : x y 10 0 một góc 2 2

a 7ba b 3cosb 7a5a b 2

Với a 7b AB: 7x y 14 0 . AB cắt d tại A A(3; 7) B(1;7) AB 10 2

AM 'B ABC1 1S AB.d(M ',AB) 48 S AC 2AM ' C(17; 9)2 2

Với b 7a AB: x 7y 2 0 . AB cắt d tại A A(9; 1) B( 5;1) AB 10 2

AM 'B ABC1 1S AB.d(M ',AB) 48 S AC 2AM ' C(11; 15)2 2

Vậy, A(3; 7), B(1;7), C(17; 9) hoặc A(9; 1), B( 5;1),C(11; 15) . Câu 166. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Đỉnh B(1; 1). Đường

thẳng AC có phương trình: 4x 3y 32 0 . Trên tia BC lấy điểm M sao cho BC.BM 75 . Tìm đỉnh C biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC bằng 5 5

2.

Đường thẳng (AB) qua B và vuông góc với (AC) (AB) :3x 4y 1 0 A(5;4) . Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác AMC với BA thì ta có: BA.BE BM.BC 75

( vì M nằm trên tia BC ) tìm được E(13;10) .

Vì AEC vuông tại A nên CE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp AMC EC 5 5 . Do đó C là giao của đường tròn tâm E bán kính r = 5 5 với đường thẳng AC.

Toạ độ của C là nghiệm của hệ 2 2

4x 3y 32 0(x 13) (y 10) 125

x 2; y 8x 8; y 0

.

Vậy: C(2;8) hoặc C(8;0) . Câu 167. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường

thẳng BC: 3x y 3 0 , các đỉnh A và B nằm trên trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: 3x y 3 0y 0

B(1;0) .

Đường thẳng BC có hệ số góc k 3 nên 0ABC 60 đường phân giác trong BE

của tam giác ABC có hệ số góc 3k3

nên có phương trình: 3 3y x3 3

.

Tâm I(a;b) của đường tròn nội tiếp ABC thuộc BE và d(I,Ox) 2 nên: b 2 .


+ Với b 2 a 1 2 3 I(1 2 3;2) . + Với b 2 a 1 2 3 I(1 2 3; 2) . Đường phân giác trong AF có dạng: y x m . Vì AF đi qua I nên: + Nếu I(1 2 3;2) thì m 3 2 3 (AF) : y x 3 2 3 A(3 2 3;0) . Do AC Ox nên AC có phương trình: x 3 2 3 . Từ đó suy ra C(3 2 3;6 2 3) .

Suy ra toạ độ trọng tâm 4 4 3 6 2 3G ;3 3

.

+ Nếu I(1 2 3; 2) thì m 1 2 3 (AF) : y x 1 2 3 A( 1 2 3;0) . Do AC Ox nên AC có phương trình: x 1 2 3 . Từ đó suy ra

C 1 2 3; 6 2 3 .

Suy ra toạ độ trọng tâm 1 4 3 6 2 3G ;3 3

.

Vậy có hai điểm thoả YCBT: 4 4 3 6 2 3G ;3 3

hoặc 1 4 3 6 2 3G ;3 3

.

Câu 168. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A. Đỉnh A có toạ độ là các

số dương, hai điểm B, C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB : y 3 7(x 1) . Biết chu vi của ABC bằng 18, tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

Ta có: B (AB) Ox B(1;0) . Giả sử A a;3 7(a 1) (a 1 vì A Ax 0, y 0 ). Gọi AH là đường cao của ABC H(a;0) C(2a 1;0) .

BC 2(a 1), AB AC 8(a 1) . ABCP 18 a 2 C(3;0),A 2;3 7 .

Vậy: A 2;3 7 , B(1;0) , C(3;0) .

V. TỨ GIÁC Câu 169. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy

lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình 1d : 3x y 0 , đường thẳng BD có phương trình 2d : x 2y 0 , góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 450. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.

1 2D d d D(0;0) O . VTPT của đường thẳng AD và BD lần lượt là 1n (3; 1) ,

2n (1; 2) . Ta có: 01cos ADB ADB 45

2 AD = AB.

Vì 0(BC, AB) 45 nên 0BCD 45 BCD vuông cân tại B DC = 2AB.

2

ABCD1 3.ABS 24 (AB CD)AD 242 2

AB = 4 BD 4 2 .

Gọi BB 2 B

xB x ; d , x 02

. 2

2 BB B

x 8 10BD x 4 2 x2 5

8 10 4 10B ;5 5


Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với 2d Phương trình BC là:

2x y 4 10 0 . Câu 170. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB// CD, AB <

CD). Biết A(0; 2), D(–2; –2) và giao điểm I của AC và BD nằm trên đường thẳng có phương trình d : x y 4 0 . Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại của hình thang khi góc 0AOD 45 .

I d I(x;4 x) . 2AD 2 5; IA 2x 4x 4 ; 2ID 2x 8x 40

Trong AID có: 2 2 2IA ID AD cos AID

2IA.ID

x 2x 4

+ Với x 2 IA = 2, ID = 4 2 IDID .IBIB

B 2 2; 2 2 , C 2 4 2;2 4 2

+ Với x 4 B 4 3 2; 2 2 , C 4 4 2; 2 2 . Câu 171. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x 1) (y 1) 2 và 2

điểm A(0; –4), B(4; 0). Tìm tọa độ 2 điểm C và D sao cho đường tròn (C) nội tiếp trong hình thang ABCD có đáy là AB và CD.

2 2(C) : (x 1) (y 1) 2 có tâm I(1; 1) và R 2 . PT cạnh AB: x y 4 0 . PT cạnh CD có dạng: x y c 0; c 4

CD tiếp xúc với (C) 1 1 cd(I,CD) R 2 c 02

PT cạnh CD:

x y 0 Nhận thấy các đường thẳng x 0, x 4 không phải là tiếp tuyến của (C). Giả sử phương trình cạnh AD có dạng: kx y 4 0 (k 1) .

Ta có: 2 2d(I,AD) R k 3 2(k 1) k 6k 7 0 k 7

PT cạnh AD: 7x y 4 0 1 1D ;2 2

.

PT cạnh BC: x 7y 4 0 1 1C ;2 2

.

Câu 172. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4.

Biết A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y x . Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

Ta có: AB ( 1;2) AB 5

. Phương trình AB: 2x y 2 0 . I (d) : y x I(t; t) . I là trung điểm của AC và BD nên: C(2t 1;2t), D(2t; 2t 2)

Mặt khác: ABCDS AB.CH 4 (CH: chiều cao) 4CH5

.

Ngoài ra: 4 5 8 8 2t C ; ,D ;6t 4 4d(C;AB) CH 3 3 3 3 3

5 5 t 0 C( 1;0), D(0; 2)


Vậy 5 8 8 2C ; ,D ;3 3 3 3

hoặc C( 1;0),D(0; 2) .

Câu hỏi tương tự: a) Với ABCDS 4 , A(2; 0), B(3; 0), I AC BD , I d : y x .

ĐS: C(3;4);D(2;4) hoặc C( 5; 4);D( 6; 4) . b) Với ABCDS 4 , A(0; 0), B(–1; 2), I AC BD , I d : y x 1 .

ĐS: C(2; 0), D(3; –2) hoặc 2 8C ;3 3

, D 1 14;3 3

Câu 173. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A(0; 1), B(3; 4)

nằm trên parabol (P): 2y x 2x 1 , tâm I nằm trên cung AB của (P). Tìm tọa độ hai đỉnh C, D sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

I nằm trên cung AB của ( P) nên 2I(a;a 2a 1) với 0 < a <3. Do AB không đổi nên diện tích IAB lớn nhất khi d(I,AB) lớn nhất Phương trình AB: x y 1 0 .

d(I,AB) = 2a a 2a 1 1

2 =

2a 3a2

= 2a 3a

2 (do a (0;3))

d ( I, AB) đạt GTLN 2f (a) a 3a đạt GTLN 3a2

3 1I ;2 4

Do I là trung điểm của AC và BD nên ta có 1 7C 3; ; D 0;2 2

.

Câu 174. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1I ;02

.

Đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình x – 2y 2 0 , AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết đỉnh A có hoành độ âm. ĐS: A(–2;0), B(2;2), C(3;0), D(–1; –2) .

Câu 175. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB 2BC ,

đường thẳng AB đi qua điểm 4M ;13

, đường thẳng BC đi qua điểm N(0;3) , đường

thẳng AD đi qua điểm 1P 4;3

, đường thẳng CD đi qua điểm Q(6;2) . Viết phương

trình các cạnh của hình vuông ABCD. Dễ thấy đường thẳng AB không song song với trục Oy PT AB có dạng:

4y k x 13

.

Phương trình DC: y k(x 6) 2 , BC: x ky 3k 0 , AD: kx ky 4 03

.

Vì AB 2BC nên d(P,BC) 2d(M, DC) 2 2

k 44 3k k 1 6k 23 3

1 k 1 k


10k 12 6 44k10k 12 44k 6

1k3

3k17

.

+ Với 1k3

thì

1 13AB : y x3 9

, 1DC : y x3

, 1BC : x y 1 03

, 1 35AD : x y 03 9

.

+ Với 3k17

thì

3 13AB : y x17 17

, 3 52DC : y x17 17

,

3 9BC : x y 017 17

, 3 71AD : x y 017 17

.

Câu 176. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB, BC,

CD, DA lần lượt đi qua các điểm M(4;5), N(6;5), P(5;2),Q(2;1) và diện tích bằng 16. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

PT cạnh AB có dạng: 2 2a(x 4) b(y 5) 0 (a b 0) . PT cạnh BC: b(x 6) a(y 5) 0 .

Diện tích hình chữ nhật: 2 2 2 2

a 3b 4b 4aS d(P, AB).d(Q,BC) . 16a b a b

2 2(a 3b)(a b) 4(a b ) a 1, b 1

1a , b 13

.

Vậy: AB: x y 1 0 hoặc AB : x 3y 11 0 . Từ đó suy ra PT các cạnh còn lại. Câu 177. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh

AB: x 2y 1 0 , đường chéo BD: x 7y 14 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.

B BD AB B(7;3) . PT đường thẳng BC: 2x y –17 0 . A AB A(2a 1;a),C BC C(c;17 2c),a 3,c 7 .

2a c 1 a 2c 17I ;2 2

là trung điểm của AC, BD.

I BD 3c a 18 0 a 3c 18 A(6c 35;3c 18)

M, A, C thẳng hàng MA, MC

cùng phương 2c –13c 42 0 c 7 (loaïi)c 6

Với c = 6 A(1; 0), C(6; 5) , D(0; 2), B(7; 3). Câu hỏi tương tự: a) (AB) : x y 1 0 , (BD) : 2x y 1 0 , M( 1;1) .

ĐS: 1 2 2 1A ; ,B(0;1),C(1;0), D ;3 3 3 3


Câu 178. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12,

tâm I thuộc đường thẳng (d) : x y 3 0 và có hoành độ I9x2

, trung điểm của một

cạnh là giao điểm của (d) và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết Ay 0 .

Ta có 9 3I ;2 2

. Gọi M = d Ox là trung điểm của cạnh AD, suy ra M(3;0).

AB 2IM 3 2 .

ABCDABCD

S 12S AB.AD = 12 AD = 2 2.AB 3 2

AD (d)M AD

, suy ra phương trình AD: x y 3 0 .

Lại có MA = MD = 2 . Vậy tọa độ A, D là nghiệm của hệ phương trình:

2 22 2

x y 3 0 y x 3(x 3) y 2(x 3) y 2

x 2y 1

hoặc

x 4y 1

.

Vậy A(2;1), D(4;–1),

9 3I ;2 2

là trung điểm của AC, suy ra:

A CI

C I A

A C C I AI

x xx x 2x x 9 2 72y y y 2y y 3 1 2

y2

Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4). Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A(2;1),B(5;4),C(7;2),D(4; –1) . Câu hỏi tương tự: a) Giả thiết như trên với tâm 1 2I d d , 1d : x y 3 0 và 2d : x y 6 0 ,

1M d Ox ĐS: . A(2;1),B(5;4),C(7;2),D(4; –1) . Câu 179. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao

điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x y – 5 0 . Viết phương trình đường thẳng AB.

I (6; 2); M (1; 5). : x + y – 5 = 0, E E(m; 5 – m); Gọi N là trung điểm của AB.

I trung điểm NE N I E

N I E

x 2x x 12 m

y 2y y 4 5 m m 1

N (12 – m; m – 1)

MN (11– m; m – 6)

; IE (m – 6;3 – m)

MN.IE 0

(11– m)(m – 6) (m – 6)(3 – m) 0 m 6; m 7

+ m 6 MN (5;0)

(AB) : y 5 + m 7 MN (4;1)

(AB) : x – 4y 19 0 .

Câu hỏi tương tự: a) Với I(2;2) , M(–3;1) , E : x 2y 4 0 . ĐS: x y 4 0 hoặc 4x 7y 19 0


Câu 180. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các đường thẳng AB, AD lần lượt đi qua các điểm M(2;3), N( 1;2) . Hãy lập phương trình các đường

thẳng BC và CD, biết rằng hình chữ nhật ABCD có tâm là 5 3I ;2 2

và độ dài đường

chéo AC bằng 26 . Giả sử đường thẳng AB có VTPT là 2 2

ABn (a;b) (a b 0) , do AD vuông góc với

AB nên đường thẳng AD có vtpt là ADn (b; a) . Do đó phương trình AB, AD lần lượt

là: AB :a(x 2) b(y 3) 0; AD : b(x 1) a(y 2) 0 .

Ta có 2 2 2 2

a 3b 7b aAD 2d(I;AB) ; AB 2d(I;AD)a b a b

Do đó: 2 2

2 2 22 2

(a 3b) (7b a)AC AB AD 26a b

2 2

a b3a ab 4b 0 4ba

3

Gọi M', N' lần lượt là điểm đối xứng của M, N qua I suy ra M (3;0) (CD), N (6;1) (BC)

+ Nếu a b , chọn a 1, b 1 suy ra AB ADn (1; 1), n (1;1)

PT đường thẳng CD có VTPT là ABn (1; 1) và đi qua điểm M (3;0) :

(CD) : x y 3 0 PT đường thẳng BC có VTPT là ADn (1;1)

và đi qua điểm N (6;1) : (BC) : x y 7 0

+ Nếu 4ba3

, chọn a 4, b 3 suy ra AB ADn (4;3), n (3; 4)

PT đường thẳng CD có VTPT là ABn (4;3) và đi qua điểm

M (3;0) : (CD) : 4x 3y 12 0 PT đường thẳng BC có VTPT là ADn (3; 4)

và đi qua điểm N (6;1) : (BC) :3x 4y 14 0

Vậy: (BC) : x y 7 0 , (CD) : x y 3 0 hoặc (BC) :3x 4y 14 0 , (CD) : 4x 3y 12 0 . Câu 181. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 đơn vị, biết

toạ độ đỉnh A(1; 5), hai đỉnh B, D nằm trên đường thẳng (d): x 2y 4 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D.

C đối xứng với A qua đường thẳng d C(3; 1). B,D dAB AD 5

B(–2; 1), D(6; 5).

Câu 182. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x y –1 0 , các điểm A( 0;–1),

B(2; 1). Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên đường thẳng . Tìm tọa độ các điểm C, D.

Gọi I(a; b) là tâm của hình thoi. Vì I nên a + b – 1 = 0 hay b = 1 – a (1). Ta có: AI (a;b 1)

và BI (a – 2;b –1)

. Do AI BI a(a 2) (b 1)(b 1) 0 (2) Từ (1) và (2) 2a 2a 0 a 0 a 2 .


Với a = 0 thì I(0; 1) C(0;3) và D(–2;1). Với a = 2 thì I(2; –1) C(4; –1) và D(2; –3).

Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) và D(–2;1) hoặc C(4;–1) và D(2;–3). Câu 183. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A(1;0), đường

chéo BD có phương trình d : x – y 1 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D , biết BD 4 2 .

AC BD Phương trình AC: x y 1 0 . Gọi I AC BD I(0;1) C 1; 2

BD 4 2 IB 2 2 . PT đường tròn tâm I bán kính IB 2 2 : 22x y 1 8

Toạ độ B, D là nghiệm của hệ : 2 22 B(2;3),D( 2; 1)x 4x y 1 8B( 2; 1), D(2;3)y x 1x y 1 0

Câu 184. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường

chéo là d :3x y 7 0 , điểm B(0;–3). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi biết diện tích hình thoi bằng 20.

Ta có B(0; 3) d A, C d. Ph.trình BD: x 3y 9 0 . Gọi I AC BD I(3; 2)

D(6; 1) . BD 2 10 . Gọi A(a;7 3a) d .

ABCD 2 2

a 3(7 3a) 9S d(A, BD).BD .2 10 20

1 3

a 2a 4

1 1

2 2

A (2;1);C (4; 5)A (4; 5);C (2;1)

Câu 185. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) và

AC 2BD . Điểm 4M 2;3

thuộc đường thẳng AB , điểm 13N 3;3

thuộc đường

thẳng CD . Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.

Tọa độ điểm N đối xứng với điểm N qua I là 5N 3;3

N nằm trên đường thẳng

AB. Đường thẳng AB đi qua M, N có

PT: x 3y 2 0 3 9 2 4IH d(I,AB)10 10

Do AC 2BD nên IA 2IB .

Đặt IB a 0 . 2 2 2

1 1 1IA IB IH

2 2

1 1 5 a 2a 4a 8

Đặt B(x; y) . Do IB 2 và B AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ:

2 2 214x x 4 35y 18y 16 0x 3 y 3 2 58 y 2x 3y 2x 3y 2 0 y5

Do Bx 3 nên ta chọn 14 8B ;5 5

.

Vậy, phương trình đường chéo BD là: 7x y 18 0 .


Câu 186. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo BD nằm trên đường thẳng : x y 2 0 . Điểm M(4; 4) nằm trên đường thẳng chứa cạnh BC, điểm N( 5;1) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB. Biết BD 8 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết điểm D có hoành độ âm.

Lấy M là điểm đối xứng với M qua BD M ( 2;2) . Đường thẳng AB qua N( 5;1) và M ( 2;2) Phương trình AB: x 3y 8 0 .

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: x y 2 0x 3y 8 0

B(7;5) .

Giả sử D(d;d 2) , do 2 2BD 8 2 (d 7) (d 7) 128 d 1 D( 1; 3) .

Gọi I là tâm của hình thoi I(3;1) , khi đó đường thẳng AC qua I và vuông góc với BD Phương trình AC : x y 4 0 .

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: x y 4 0

A(1;3)x 3y 8 0

C(5; 1) .

Câu 187. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh

AB và AD lần lượt là x 2y 2 0 và 2x y 1 0 . Điểm M(1;2) thuộc đường thẳng BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi.

Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ: x 2y 2 0 4 5A ;2x y 1 0 3 3

PT các đường phân giác góc A là: x 2y 2 2x y 15 5

1

2

(d ) : x y 3 0(d ) : 3x 3y 1 0

.

• Trường hợp 1(d ) : x y 3 0 . Đường thẳng (BD) đi qua M và vuông góc với 1(d ) nên (BD) : x y 3 0 . Suy ra B AB BD B(4; 1) , D AD BD D( 4;7) .

Gọi 1I BD (d ) I(0;3) . Vì C đối xứng với A qua I nên 4 13C ;3 3

.

• Trường hợp 2(d ) : 3x 3y 1 0 . Đường thẳng (BD) đi qua M và vuông góc với 2(d ) nên (BD) : x y 1 0 .

Suy ra B AB BD B(0;1) , 2 1D AD BD D ;3 3

.

Gọi 21 2I BD (d ) I ;3 3

. Vì C đối xứng với A qua I nên 2 1C ;3 3

.

Vậy: 4 5A ;3 3

, B(4; 1) , 4 13C ;3 3

, D( 4;7)

hoặc 4 5A ;3 3

, B(0;1) , 2 1C ;3 3

, 2 1D ;3 3

Câu 188. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C)

có phương trình 2 2(x 2) (y 1) 8 và điểm A thuộc đường thẳng (d): x 2y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D, biết rằng BD 2AC và hoành độ của điểm A không nhỏ hơn 2.


(C) có tâm I(2; 1) , bán kính R 2 2 , IB 2IA . Trong tam giác vuông IAB ta có:

2 2 2 2

1 1 1 5 1 IA 10IA IB IH 4IA 8

IB 2 10 .

Giả sử A(2t 3; t) d và Ax 2 .

Ta có IA 10 2 2(2t 5) (t 1) 10 t 2 Suy ra A(1;2) , do I là trung điểm AC nên C(3; 4) . Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với AC : x 3y 5 0 . Ta có B, D và IB ID 2 10 Toạ độ của B, D là các nghiệm của hệ:

2 2

x 3y 5 0(x 2) (y 1) 40

x 8; y 1x 4; y 3

B(8;1), D( 4; 3) hoặc

B( 4; 3), D(8;1) . Vậy: A(1;2) , B(8;1),C(3; 4),D( 4; 3) hoặc A(1;2) , B( 4; 3), C(3; 4), D(8;1) .

Câu 189. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm 5 5I ;2 2

, hai

điểm A, B lần lượt nằm trên các đường thẳng 1d : x y 3 0 và đường thẳng

2d : x y 4 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.

Giả sử 1 2A(a;3 a) d ;B(b;4 b) d 5 1 5 3IA a ; a ; IB b ; b2 2 2 2

ABCD vuông tâm I nên IA IB

IA.IB 0

a 2 a 1b 1 b 3

Với a = 2; b = 1 A(2; 1); B(1; 3), C(3; 4); D(4; 2). Với a = 1; b = 3 A(1; 2); B(3; 1), C(4; 3); D(2; 4). Câu 190. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C):

2 2(x 2) (y 3) 10 . Xác định toạ độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB đi qua điểm M(–3; –2) và điểm A có hoành độ xA > 0.

(C) có tâm I(2; 3) và bán kính R 10 . PT AB đi qua M(–3; –2) có dạng ax by 3a 2b 0 2 2(a b 0) .

Ta có d(I,AB) R 2 2 2

2 2

2a 3b 3a 2b10 10(a b ) 25(a b)a b

a 3bb 3a

.

Với a 3b AB: 3x y 7 0 . Gọi A(t;3t 7), (t 0) . Ta có IA R 2 t 0; t 2 (không thoả mãn). Với b 3a AB: x 3y 3 0 . Gọi A(3t 3; t), (t 1) .

Ta có IA R 2 t 1t 1 (loaïi)

A(6; 1) C(–2; 5).


Câu 191. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm 3 1I ;2 2

. Các đường thẳng

AB, CD lần lượt đi qua các điểm M( 4; 1) , N( 2; 4) . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông đó biết B có hoành độ âm.

Gọi M, N là các điểm đối xứng với M, N qua I M (7;2) , N (5;5) . Ta có: N AB.

Phương trình AB: 2x 3y 5 0 . Gọi H là hình chiếu của I lên AB 1H ;22

Gọi B(a;b),a 0 . Ta có 22

2a 3b 5B AB a 1

1 13HA HI b 1a (b 2)2 4

B( 1;1) .

Khi đó A(2;3),C(1; 2), D(4;0) . Câu 192. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD trong đó A thuộc đường

thẳng 1d : x y 1 0 và C, D nằm trên đường thẳng 2d : 2x y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết hình vuông có diện tích bằng 5.

Giả sử 1A(a;1 a) d . Ta có ABCD 2S 5 d(A,d ) 5 a 1 hoặc 7a3

.

+ Với a 1 A(1;0) Phương trình cạnh AD : x 2y 1 0 D( 1;1) .

Giả sử C(x; y) . Ta có: 2C d

DC 5

C(0;3) hoặc C( 2; 1)

– Với C(0;3) Trung điểm I của AC là 1 3I ;2 2

B 2; 2

– Với C( 2; 1) Trung điểm I của AC là 1 1I ;2 2

B 0; 2

+ Với 7a3

7 10A ;

3 3

. Tương tự như trên ta tìm được:

1 7D ;3 3

, 4 1C ;3 3

, 10 4B ;3 3

hoặc 1 7D ;3 3

, 2 13C ;3 3

, 4 16B ;3 3

.

Vậy có 4 hình vuông ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán: A(1;00, B(2;2),C(0;3),D( 1;1)

hoặc A(1;0),B(0; 2),C( 2; 1), D( 1;1)

hoặc 7 10 10 4 4 1 1 7A ; , B ; ,C ; , D ;3 3 3 3 3 3 3 3

hoặc 7 10 4 16 2 13 1 7A ; , B ; ,C ; , D ;3 3 3 3 3 3 3 3

Câu 193. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm E(1; 1) là tâm của một hình vuông,

một trong các cạnh của nó có phương trình d : x 2y 12 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông.

Giả sử cạnh AB nằm trên đường thẳng d : x 2y 12 0 . Gọi H là hình chiếu của E lên đường thẳng AB H( 2;5) AH BH EH 45 .


Ta có: A, B d

AH BH 45

2 2

x 2y 12 0(x 2) (y 5) 45

x 4; y 8x 8; y 2

A(4;8), B( 8;2) C( 2; 10) Phương trình các cạnh còn lại: AD : 2x y 16 0 ; BC : 2x y 14 0 ; CD : x 2y 18 0 . Câu 194. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2; 1);

N(4; –2); P(2; 0); Q(1; 2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông.

Giả sử đường thẳng AB qua M và có VTPT là n (a;b) (a2 + b2 0)

VTPT của BC là: 1n ( b;a) .

Phương trình AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0 ax + by –2a –b =0 BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0 – bx + ay +4b + 2a =0 Do ABCD là hình vuông nên

d(P; AB) = d(Q; BC) 2 2 2 2

b 2ab 3b 4ab aa b a b

b = –2a: AB: x – 2y = 0 ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y – 4 =0 b = –a: AB: –x + y+ 1 =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; CD: –x + y+ 2 =0 Câu 195. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y – 8x 6y 21 0

và đường thẳng d : x y 1 0 . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A d.

(C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2. Ta thấy I d . Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn. Ta có: x 2 và x 6 là 2 tiếp tuyến của (C) nên:

– Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x 2 A(2; –1) – Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x 6 A(6, –5) A(2, –1) B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1) A(6, –5) B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) Câu 196. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A( 2;6) , đỉnh B

thuộc đường thẳng d : x 2y 6 0 . Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên 2 cạnh BC, CD sao cho BM = CN. Xác định tọa độ đỉnh C, biết rằng AM cắt BN tại điểm

2 14I ;5 5

.

Giả sử B(2y 6;y) d . Ta thấy AMB = BNC AI BI IA.IB 0 y 4 B(2; 4)

Phương trình BC : 2x y 0 C(c;2c) , AB 2 5, 2 2BC (c 2) (2c 4) AB BC c 2 2 C(0;0); C(4;8) Vì I nằm trong hình vuông nên I,C cùng phía với đường thẳng AB C(0;0) . Câu 197. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD trên đoạn AC lấy điểm M sao

cho AC = 4AM và N là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân.

Goi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD . Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho


A(0;0), B(a;0) , C(a;a) và D(0;a) 1 1M a; a4 4

, 1N a;a2

1 3MN a; a4 4

,

3 1MB a; a4 4

Từ đó có MN.MB 0

và 5MN MB a8

BMN vuông cân tại M .

Câu 198. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh A( 4;5) và một đường chéo có phương trình : 7x y 8 0 . Viết phương trình các cạnh của hình vuông.

Vì A nên đường chéo BD nằm trên . PT đường thẳng d đi qua A có dạng: a(x 4) b(y 5) 0 ( 2 2a b 0 )

d hợp với BD một góc 045 2 2

7a b 2250 a b

a 3, b 4a 4, b 3

.

(AB) :3x 4y 31 0 , (AD) : 4x 3y 1 0 .

Gọi I là tâm hình vuông 1 9I ;2 2

C(3;4)

(BC) : 4x 3y 24 0 , (CD) :3x 4y 7 0 Câu 199. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(4;5) , đường chéo

BD có phương trình y 3 0 . Tìm toạ độ các dỉnh còn lại của hình vuông đó. Đường chéo AC vuông góc với BD nên PT có dạng: x c 0 . AC đi qua A nên c 4

(AC) : x 4 0 I(4;3) . Đường tròn (C) ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm I(4;3) , bán kính R AI 2 Phương trình (C): 2 2(x 4) (y 3) 4 .

Toạ độ các điểm B, D là các nghiệm của hệ: 2 2

y 3(x 4) (y 3) 4

x 6, y 3x 2, y 3

.

Vậy: B(6;3),C(4;1), D(2;3) hoặc B(2;3),C(4;1), D(6;3) Câu 200. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của BC,

phương trình đường thẳng DM : x y 2 0 , đỉnh C(3; 3) , đỉnh A nằm trên đường thẳng d :3x y 2 0 . Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình vuông đó.

Giả sử A(t;2 3t) d . Ta có: d(A,DM) 2d(C, DM) 4t 4 2.42 2

t 3t 1

.

A(3; 7) hoặc A( 1;5) . Mặt khác, A và C nằm về hai phía đối với DM nên chỉ có A( 1;5) thoả mãn.

Gọi D(m;m 2) DM AD (m 1;m 7)

, CD (m 3;m 1)

. ABCD là hình vuông nên

DA.DC 0DA DC

2 2 2 2

(m 1)(m 3) (m 7)(m 1) 0m 5

(m 1) (m 7) (m 3) (m 1)

D(5;3) ; AB DC B( 3; 1)

. Vậy: A( 1;5) , B( 3; 1) , D(5;3) .


I. Vieát phöông trình maët phaúng II. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng III. Vieát phöông trình maët caàu IV. Tìm ñieåm thoûa ñieàu kieän cho tröôùc


I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến Câu 201. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y 2z – 5 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) có VTPT Pn n ,AB (0; 8; 12) 0

(Q) : 2y 3z 11 0 .

Câu 202. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua

hai điểm A(2;1;3),B(1; 2;1) và song song với đường thẳng x 1 t

d : y 2tz 3 2t

.

Ta có BA (1;3;2)

, d có VTCP u (1;2; 2) .

Gọi n là VTPT của (P) n BAn u

chọn n BA,u ( 10;4; 1)

Phương trình của (P): 10x 4y z 19 0 .

Câu 203. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng 1(d ) và 2(d ) có

phương trình: 1x 1 y 1 z 2(d );

2 3 1

, 2x 4 y 1 z 3(d ) :

6 9 3

. Lập phương trình

mặt phẳng (P) chứa (d 1) và 2(d ) . Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0

Câu 204. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2x y z 2x 6y 4z 2 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá

của véc tơ v (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng( ) : x 4y z 11 0 và tiếp xúc

với (S). (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( ) là n (1;4;1)

. VTPT của (P) là: Pn n,v (2; 1;2)

PT của (P) có dạng: 2x y 2z m 0 .

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P)) 4m 21m 3

.

Vậy: (P): 2x y 2z 3 0 hoặc (P): 2x y 2z 21 0 . Câu 205. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường

thẳng 1x y 1 z(d ) :1 2 3

và 2

x y 1 z 4(d ) :1 2 5

. Chứng minh rằng điểm

1 2M, d , d cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.


Do 1d qua 1M (0; 1;0) và có 1u (1; 2; 3) , 2d qua 2M (0;1;4) và có 2u (1;2;5)

. 1 2u ;u ( 4; 8;4) 0

, 1 2M M (0;2;4)

1 2 1 2u ;u .M M 0

1 2d ,d đồng phẳng. Gọi (P) là mặt phẳng chứa 1 2d ,d (P) có VTPT n (1;2; 1)

và đi qua M1 nên có phương trình x 2y z 2 0 . Kiểm tra thấy điểm M(1;–1;1) (P) . Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Câu 206. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 3 y 3 z

2 2 1

và mặt cầu (S): 2 2 2x y z 2x 2y 4z 2 0 . Lập phương trình

mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). Ta có (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2 và đường thẳng d có VTCP u (2;2;1)

.

Vì (P) // d, Ox (P) có VTPT n u, i (0;1; 2)

PT của (P) có dạng: y 2z D 0 .

(P) tiếp xúc với (S) d(I, (P)) R 2 2

1 4 D 21 2

D 3 2 5

D 3 2 5

D 3 2 5

(P): y 2z 3 2 5 0 hoặc (P): y 2z 3 2 5 0 .

Câu 207. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

2 2 2x y z 2x 4y 4 0 và mặt phẳng (P): x z 3 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Ta có (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT Pn (1;0;1)

. PT (Q) đi qua M có dạng: 2 2 2A(x 3) B(y 1) C(z 1) 0, A B C 0

(Q) tiếp xúc với (S) 2 2 2d(I, (Q)) R 4A B C 3 A B C (*) Q P(Q) (P) n .n 0 A C 0 C A

(**)

Từ (*), (**) 2 2 2 2B 5A 3 2A B 8B 7A 10AB 0 A 2B 7A 4B Với A 2B . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 PT (Q): 2x y 2z 9 0 Với 7A 4B . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 PT (Q): 4x 7y 4z 9 0

Câu 208. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2x y z – 2x 4y 2z – 3 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt

mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r 3 . Ta có (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox (P): ay + bz = 0.

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a 0) (P): y – 2z = 0.


Câu 209. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): 2 2 2x y z 2x 2y 2z –1 0 và đường thẳng

x y 2 0d :

2x z 6 0

. Viết phương

trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r 1 . Ta có (S) có tâm I( 1;1; 1) , bán kính R = 2.

PT mặt phẳng (P) có dạng: 2 2 2ax by cz d 0 (a b c 0) . Chọn M(2;0; 2), N(3;1;0) d .

Ta có: 2 2

M (P)N (P)

d(I, (P)) R r

a b,2c (a b),d 3a b (1)17a 7b,2c (a b),d 3a b (2)

+ Với (1) (P): x y z 4 0 + Với (2) (P): 7x 17y 5z 4 0

Câu 210. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1x y 1 z:2 1 1

,

2x 1 y z:

1 1 1

và mặt cầu (S): 2 2 2x y z – 2x 2y 4z – 3 0 . Viết phương

trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng 1 và 1. ĐS: (P): y z 3 3 2 0 hoặc (P): y z 3 3 2 0 Câu 211. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

2 2 2x y z 2x 4y 6z 11 0 và mặt phẳng () có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p 6 .

Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D 17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới () là h = 2 2 2 2R r 5 3 4

Do đó 2 2 2

D 7(n)2.1 2( 2) 3 D4 5 D 12

D 17 (l)2 2 ( 1)

Vậy () có phương trình 2x 2y – z – 7 0 . Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 212. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x y z 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 .

PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz 0 (với 2 2 2A B C 0 ). Vì (P) (Q) nên: 1.A 1.B 1.C 0 C A B (1)


d(M,(P)) 2 2 2 2

A 2B C 2A B C

2 2 2 2(A 2B C) 2(A B C ) (2)

Từ (1) và (2) ta được: 28AB 5B 0 B 0 (3)8A 5B 0 (4)

+ Từ (3): B = 0 C = –A. Chọn A = 1, C = –1 (P): x z 0 + Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 C = 3 (P): 5x 8y 3z 0 .

Câu 213. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x 1 y 3 z

1 1 4

và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M, song song với đường thẳng , đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 4. Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng:

ax by cz 2b 0 ( 2 2 2a b c 0 ) đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u (1;1;4)

Ta có: 2 2 2

a b 4c 0(P)

a 5b 4d(A;(P)) da b c

a 4ca 2c

.

+ Với a 4c . Chọn a 4,c 1 b 8 Phương trình (P): 4x 8y z 16 0 . + Với a 2c . Chọn a 2,c 1 b 2 Phương trình (P): 2x 2y z 4 0 .

Câu 214. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x t

(d) : y 1 2tz 1

và

điểm A( 1;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.

(d) đi qua điểm M(0; 1;1) và có VTCT u (1;2;0) . Gọi n (a;b;c)

với 2 2 2a b c 0 là VTPT của (P) .

PT mặt phẳng (P): a(x 0) b(y 1) c(z 1) 0 ax by cz b c 0 (1). Do (P) chứa (d) nên: u.n 0 a 2b 0 a 2b

(2)

2 2

2 2 2 2 2

a 3b 2c 5b 2cd A,(P) 3 3 3 5b 2c 3 5b c

a b c 5b c

22 24b 4bc c 0 2b c 0 c 2b (3) Từ (2) và (3), chọn b 1 a 2,c 2 PT mặt phẳng (P): 2x y 2z 1 0 .

Câu 215. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M( 1;1;0), N(0;0; 2), I(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 .


PT mặt phẳng (P) có dạng: 2 2 2ax by cz d 0 (a b c 0) .

Ta có: M (P)N (P)

d(I,(P)) 3

a b,2c a b,d a b (1)5a 7b,2c a b,d a b (2)

.

+ Với (1) PT mặt phẳng (P): x y z 2 0 + Với (2) PT mặt phẳng (P): 7x 5y z 2 0 .

Câu 216. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2) , B(1;3;0) , C( 3;4;1) , D(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

PT mặt phẳng (P) có dạng: 2 2 2ax by cz d 0 (a b c 0) .

Ta có: A (P)B (P)d(C,(P)) d(D,(P))

2 2 2 2 2 2

a b 2c d 0a 3b d 0

3a 4b c d a 2b c da b c a b c

b 2a,c 4a,d 7ac 2a,b a,d 4a

+ Với b 2a,c 4a,d 7a (P): x 2y 4z 7 0 . + Với c 2a,b a,d 4a (P): x y 2z 4 0 .

Câu 217. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0; 1;2) , C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P) .

Vì O (P) nên (P) : ax by cz 0 , với 2 2 2a b c 0 . Do A (P) a 2b 3c 0 (1)

Và d(B,(P)) d(C,(P)) b 2c a b c (2) Từ (1) và (2) b 0 hoặc c 0 . + Với b 0 thì a 3c (P) : 3x z 0 + Với c 0 thì a 2b (P) : 2x y 0

Câu 218. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; 1) , B(1;1;2) , C( 1;2; 2) và mặt phẳng (P): x 2y 2z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi

qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB 2IC . PT ( ) có dạng: ax by cz d 0 , với 2 2 2a b c 0 Do ( )A(1;1; 1) nên: a b c d 0 (1); ( ) (P) nên a 2b 2c 0 (2)

IB 2IC ( )) 2 ( ))d(B, d(C; 2 2 2 2 2 2

a b 2c d a 2b 2c d2

a b c a b c

3a 3b 6c d 0

(3)a 5b 2c 3d 0


Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :

TH1 : a b c d 0

1 3a 2b 2c 0 b a; c a; d a2 2

3a 3b 6c d 0

.

Chọn a 2 b 1;c 2;d 3 ( ) : 2x y 2z 3 0

TH2 : a b c d 0

3 3a 2b 2c 0 b a;c a;d a2 2

a 5b 2c 3d 0

.

Chọn a 2 b 3;c 2;d 3 ( ) : 2x 3y 2z 3 0 Vậy: ( ) : 2x y 2z 3 0 hoặc ( ) : 2x 3y 2z 3 0

Câu 219. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2d ,d lần lượt có

phương trình 1x 2 y 2 z 3d :

2 1 3

, 2x 1 y 2 z 1d :

2 1 4

. Viết phương trình

mặt phẳng cách đều hai đường thẳng 1 2d ,d . Ta có 1d đi qua A(2;2;3) , có d1u (2;1;3)

, 2d đi qua B(1;2;1) và có d2u (2; 1;4) .

Do (P) cách đều 1 2d ,d nên (P) song song với 1 2d ,d P d1 d2n u ,u (7; 2; 4)

PT mặt phẳng (P) có dạng: 7x 2y 4z d 0 Do (P) cách đều 1 2d ,d suy ra d(A,(P)) d(B,(P))

7.2 2.2 4.3 d 7.1 2.2 4.1 d

69 69

3d 2 d 1 d2

Phương trình mặt phẳng (P): 14x 4y 8z 3 0

Câu 220. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2d ,d lần lượt có

phương trình 1

x 1 td : y 2 t

z 1

, 2x 2 y 1 z 1d :

1 2 2

. Viết phương trình mặt phẳng

(P) song song với 1d và 2d , sao cho khoảng cách từ 1d đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ 2d đến (P).

Ta có : 1d đi qua A(1;2;1) và có VTCP 1u (1; 1;0)

2d đi qua B(2;1; 1) và có VTCP là 2u (1; 2;2)

Gọi n là VTPT của (P), vì (P) song song với 1d và 2d nên 1 2n u ,u ( 2; 2; 1)

Phương trìnht (P): 2x 2y z m 0 .

17 md(d ,(P)) d(A;(P))

3

; 25 md(d ,(P)) d(B,(P))

3

1 2d(d ,(P)) 2d(d ,(P)) 7 m 2. 5 m 7 m 2(5 m)7 m 2(5 m)

17m 3; m3


+ Với m 3 (P) : 2x 2y z – 3 0

+ Với 17m3

17(P) : 2x 2y z 03

Câu 221. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0; 1;2) , B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu

(S): 2 2 2(x 1) (y 2) (z 1) 2 .

(S) có tâm I(1;2; 1) , bán kính R 2 . PT mặt phẳng (P) có dạng: 2 2 2ax by cz d 0 (a b c 0)

Ta có: A (P)B (P)d(I, (P)) R

a b,c a b,d 2a 3b (1)3a 8b,c a b,d 2a 3b (2)

+ Với (1) Phương trình của (P): x y 1 0 + Với (2) Phương trình của (P): 8x 3y 5z 7 0

Câu 222. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.

Ta có d(O,(P)) OA . Do đó maxd(O,(P)) OA xảy ra OA (P) nên mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA (2; 1;1)

Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x y z 6 0 .

Câu 223. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng

d có phương trình: x 1 y z 12 1 3

. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song

song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Gọi H là hình chiếu của A trên d d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu

của H lên (P), ta có AH HI HI lớn nhất khi A I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH

làm VTPT (P): 7x y 5z 77 0 .

Câu 224. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số x 2 t; y 2t; z 2 2t . Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa , thì (P) (d) hoặc (P) (d) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có IH IA và IH AH .

Mặt khác d(d,(P)) d(I,(P)) IHH (P)

Trong (P), IH IA ; do đó maxIH = IA H A . Lúc này (P) ở vị trí (P0) IA tại A. Vectơ pháp tuyến của (P0) là n IA 6;0; 3

, cùng phương với v 2;0; 1

.

Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2(x 4) 1.(z 1) 2x z 9 0 .


Câu 225. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z 2d :2 1 2

và điểm A(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.

PT mặt phẳng (P) có dạng: 2 2 2ax by cz d 0 (a b c 0) . (P) có VTPT n (a;b;c)

, d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u (2;1;2) .

Vì (P) d nên M (P)n.u 0

a 2c d 02a b 2c 0

2c (2a b)d a b

. Xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu b = 0 thì (P): x z 1 0 . Khi đó: d(A,(P)) 0 . TH2: Nếu b 0. Chọn b 1 ta được (P): 2ax 2y (2a 1)z 2a 2 0 .

Khi đó: 2 2

9 9d(A,(P)) 3 28a 4a 5 1 32 2a

2 2

Vậy max d(A,(P)) 3 2 1 12a 0 a2 4

. Khi đó: (P): x 4y z 3 0 .

Câu 226. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2) và N( 1;1;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.

PT (P) có dạng: Ax B(y 1) C(z 2) 0 Ax By Cz B 2C 0 , 2 2 2(A B C 0)

Vì N( 1;1;3) (P) A B 3C B 2C 0 A 2B C (P) : (2B C)x By Cz B 2C 0

d(K, (P))2 24B 2C 4BC

B

Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)

Nếu B 0 thì 2 2 2

B 1 1d(K,(P))24B 2C 4BC C2 1 2

B

Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x y – z 3 0 . Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

Câu 227. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng () chứa đường thẳng

(): x 1 y z1 1 2

và tạo với mặt phẳng (P) : 2x 2y z 1 0 một góc 600. Tìm

tọa độ giao điểm M của mặt phẳng () với trục Oz. Ta có () qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u (1; 1; 2)

. (P) có VTPT

n (2; 2; 1) .

Giao điểm M(0;0;m) cho AM ( 1;0;m)

. () có VTPT n AM,u (m;m 2;1)

() và (P): 2x 2y z 1 0 tạo thành góc 600 nên :


2

2

1 1 1cos n,n 2m 4m 1 02 22m 4m 5

m 2 2 hay m 2 2 .Kết luận : M(0;0;2 2) hay M(0;0;2 2)

Câu 228. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ) : 2x – y –1 0 , ( ) : 2x – z 0 và tạo với mặt

phẳng (Q) : x – 2y 2z –1 0 một góc mà 2 2cos9

Lấy A(0;1;0), B(1;3;2) d . (P) qua A PT (P) có dạng: Ax By Cz – B 0 . (P) qua B nên: A 3B 2C – B 0 A (2B 2C) (P) : (2B 2C)x By Cz – B 0

2 2 2

2B 2C 2B 2C 2 2cos93 (2B 2C) B C

2 213B 8BC – 5C 0 .

Chọn 5C 1 B 1; B13

.

+ Với B C 1 (P) : 4x y z –1 0

+ Với 5B , C 113

(P) : 23x 5y 13z – 5 0 .

Câu 229. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;2; 3),B(2; 1; 6) và mặt phẳng (P) : x 2y z 3 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo

với mặt phẳng (P) một góc thoả mãn 3cos6

.

PT mặt phẳng (Q) có dạng: 2 2 2ax by cz d 0 (a b c 0) .

Ta có: A (Q)B (Q)

3cos6

2 2 2

a 2b 3c d 02a b 6c d 0

a 2b c 36a b c 1 4 1

a 4b,c 3b,d 15ba b,c 0,d b

Phương trình mp(Q): 4x y 3z 15 0 hoặc (Q): x y 3 0 .

Câu 230. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y z 3 0

d :2x y z 4 0

.

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 060 .

ĐS: (P) : 2x y z 2 2 0 hoặc (P) : 2x y z 2 2 0

Câu 231. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 5x 2y 5z 1 0 và (Q) : x 4y 8z 12 0 . Lập phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc 045 .


Giả sử PT mặt phẳng (R): 2 2 2ax by cz d 0 (a b c 0) . Ta có: (R) (P) 5a 2b 5c 0 (1);

0

2 2 2

a 4b 8c 2cos((R),(Q)) cos4529 a b c

(2)

Từ (1) và (2) 2 2 a c7a 6ac c 0

c 7a

Với a c : chọn a 1,b 0,c 1 PT mặt phẳng (R) : x z 0 Với c 7a : chọn a 1,b 20,c 7 PT mặt phẳng (R) : x 20y 7z 0

Câu 232. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

1x 1 y 1 z 1:

1 1 3

và 2x y z:1 2 1

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

1 và tạo với 2 một góc 030 . Đáp số: (P):5x 11y 2z 4 0 hoặc (P): 2x y z 2 0 .

Câu 233. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 0 045 , 30 .

Gọi n (a;b;c) là VTPT của (P).

Các VTCP của trục Ox, Oy là i (1;0;0), j (0;1;0)

.

Ta có:

2sin(Ox,(P))2

1sin(Oy,(P))2

a 2 bc b

. PT mặt phẳng

(P): 2(x 1) (y 2) (z 3) 0 hoặc 2(x 1) (y 2) (z 3) 0

Câu 234. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x 2y z 5 0

và đường thẳng x 1 y 1 z 3d :2 1 1

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường

thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất. PT mặt phẳng (P) có dạng: 2 2 2ax by cz d 0 (a b c 0) . Gọi ((P),(Q)) .

Chọn hai điểm M( 1; 1;3), N(1;0;4) d . Ta có: M (P) c a bN (P) d 7a 4b

(P): ax by ( 2a b)z 7a 4b 0 2 2

3 a bcos .6 5a 4ab 2b

TH1: Nếu a = 0 thì 2

3 b 3cos .26 2b

030 .


TH2: Nếu a 0 thì 2

b13 acos .6 b b5 4 2

a a

. Đặt bxa

và 2f (x) cos

Xét hàm số 2

2

9 x 2x 1f (x) .6 5 4x 2x

.

Dựa vào BBT, ta thấy 0 0min f (x) 0 cos 0 90 30 Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b 1,c 1,d 4 . Vậy (P): y z 4 0 .

Câu 235. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M( 1; 1;3),N(1;0;4) và mặt phẳng (Q): x 2y z 5 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất. ĐS (P) : y z 4 0 .

Câu 236. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 t

d : y 2 tz 2t

. Viết

phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. PT mặt phẳng (P) có dạng: 2 2 2ax by cz d 0 (a b c 0) . Gọi ((P),Oy) .

Chọn hai điểm M(1; 2;0), N(0; 1;2) d . Ta có: M (P) 2c a bN (P) d a 2b

(P): a bax by z a 2b 02

2 2

2 bsin5a 5b 2ab

.

TH1: Nếu b = 0 thì 00 .

TH2: Nếu b 0 thì 2

2sina a5 5 2b b

. Đặt axb

và 2f (x) sin .

Xét hàm số 2

4f(x)5x 2x 5

. Dựa vào BBT, ta được 5 1max f (x) x6 5

00 .

Vậy lớn nhất khi a 1b 5 . Chọn a 1, b 5,c 2,d 9 (P): x 5y 2z 9 0 .

Câu 237. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1x 1 y 2 zd :

1 2 1

và 2x 2 y 1 zd :

2 1 2

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

1d sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng 2d là lớn nhất. 1d đi qua M(1; 2;0) và có VTCP u (1;2; 1)

.Vì 1d (P) nên M (P) . PT mặt phẳng (P) có dạng: A(x 1) B(y 2) Cz 0 2 2 2(A B C 0) Ta có: d (P) u.n 0 C A 2B

.


Gọi 2((P),d )

2

2 22 2

4A 3B 1 (4A 3B)sin .3 2A 4AB 5B3. 2A 4AB 5B

TH1: Với B = 0 thì 2 2sin3

TH2: Với B 0. Đặt AtB

, ta được: 2

2

1 (4t 3)sin .3 2t 4t 5

Xét hàm số 2

2

(4t 3)f (t)2t 4t 5

.Dựa vào BBT ta có 25maxf(t)

7 khi t 7 A 7

B

Khi đó 5 3sin f ( 7)9

.

So sánh TH1 và TH2 lớn nhất với 5 3sin9

khi A 7B .

Phương trình mặt phẳng (P) : 7x y 5z 9 0 .

Câu 238. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y 2 z 1d :

1 1 1

và điểm A(2; 1;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,

song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất. ĐS (P) : x y 2z 1 0 .

Câu 239. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x y z 2 0 và điểm A(1;1; 1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.

ĐS: (P) : y z 0 hoặc (P) : 2x 5y z 6 0 . Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác

Câu 240. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK.

Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) x y z(P) : 1a b c

IA (4 a;5;6), JA (4;5 b;6)

JK (0; b;c), IK ( a;0;c)

4 5 6 1a b c5b 6c 04a 6c 0

77 77 77a ; b ; c4 5 6

Vậy phương trình mặt phẳng (P): 4x 5y 6z 77 0 . Câu 241. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c >

0). Chứng minh rằng: bcb c2

. Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.


PT mp (P) có dạng: x y z 1.2 b c Vì M (P) nên 1 1 1 1

2 b c bcb c

2 .

Ta có AB( 2;b;0)

, AC( 2;0;c).

Khi đó 2 2 2S b c (b c) . Vì 2 2 2b c 2bc; (b c) 4bc nên S 6bc . Mà bc 2(b c) 4 bc bc 16 . Do đó S 96 . Dấu "=" xảy ra b c 4 . Vậy minS 96 khi b c 4 .

Câu 242. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng (P) : x y z 4 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6.

Vì (Q) // (P) nên (Q): x y z d 0 (d 4) . Giả sử B (Q) Ox, C (Q) Oy

B( d;0;0),C(0; d;0) (d 0) . ABC1S AB,AC 62

d 2

(Q) : x y z 2 0 .

Câu 243. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3;0;0),B(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích

bằng 92

.

ĐS: (P) : x 2y 2z 3 0 . Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng

Câu 244. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.

Giá sử A(a;0;0) Ox,B(0;b;0) Oy,C(0;0;c) Oz (a,b,c 0) .

Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: x y z 1a b c .

Ta có: M(9;1;1) (P) 9 1 1 1a b c (1); OABC

1V abc6

(2)

(1) abc 9bc ac ab ≥ 233 9(abc) 3 2(abc) 27.9(abc) abc 243

Dấu "=" xảy ra a 279bc ac abb 39 1 1 1c 3a b c

(P): x y z 127 3 3

.

Câu 245. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức

2 2 2

1 1 1OA OB OC

có giá trị nhỏ nhất.

ĐS (P) : x 2y 3z 14 0 .


Câu 246. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA OB OC có giá trị nhỏ nhất.

ĐS x y z(P) : 12 6 10 5 10 15 3 6 15

.

II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương Câu 247. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

x 1 y 1 z 2d :2 1 3

và mặt phẳng P : x y z 1 0 . Viết phương trình đường

thẳng đi qua A(1;1; 2) , song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d .

d Pu u ;n (2;5; 3) . nhận u làm VTCP x 1 y 1 z 2:

2 5 3

Câu 248. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { x t ; y 1 2t ; z 2 t ( t R ) và mặt phẳng (P): 2x y 2z 3 0 .Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d). Gọi A = d (P) A(1; 3;1) . Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: x 2y z 6 0 là giao tuyến của (P) và (Q) : x 1 t; y 3;z 1 t Câu 249. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng

: x 1 y 1 z2 1 1

. Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và

vuông góc với . u (2;1; 1) . Gọi H = d . Giả sử H(1 2t; 1 t; t) MH (2t 1; t 2; t)

.

MH u 2(2t 1) (t 2) ( t) 0 2t

3 du 3MH (1; 4; 2)

d: x 2 ty 1 4tz 2t

.

Câu 250. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P). Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0. (D) = (P) (Q) suy ra phương trình (D).


Câu 251. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc

của đường thẳng x 2z 0

d :3x 2y z 3 0

trên mặt phẳng P : x 2y z 5 0 .

PTTS của d:

x 4t3y 7t2

z 2t

. Mặt phẳng (P) có VTPT n (1; 2;1) .

Gọi A d (P) 11A 4; ;22

. Ta có 3 3B 0; ;0 d,B 0; ;0 (P)2 2

.

Gọi H(x; y;z) là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Ta tìm được 4 7 4H ; ;3 6 3

.

Gọi là hình chiếu vuông góc của d trên (P) đi qua A và H

có VTCP u 3HA (16;13;10) Phương trình của :

x 4 16t11y 13t2

z 2 10t

.

Câu 252. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng P : 6x 2y 3z 6 0 với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P). Ta có: (P) Ox A(1;0;0); (P) Oy B(0;3;0); (P) Oz C(0;0;2) Gọi là đường thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; () là mặt phẳng trung trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: I ( )

1 3I ; ;12 2

.

Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì IJ (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ .

Phương trình đường thẳng d:

1x 6t23y 2t2

z 1 3t

.

Câu 253. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm

A(1;2; 1),B(2;1;1);C(0;1;2) và đường thẳng x 1 y 1 z 2d :2 1 2

. Lập phương

trình đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d. Ta có AB (1; 1;2),AC ( 1; 1;3) AB,AC ( 1; 5; 2)

phương trình mặt phẳng (ABC): x 5y 2z 9 0 Gọi trực tâm của tam giác ABC là H(a;b;c) , khi đó ta có hệ:


BH.AC 0 a b 2c 3 a 2CH.AB 0 a b 3c 0 b 1 H(2;1;1)

a 5b 2c 9 c 1H ABC

Do đường thẳng nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên:

ABCABC d

d

u nu n ,u (12;2; 11)

u u

.

Vậy phương trình đường thẳng x 2 y 1 z 1:12 2 11

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác Câu 254. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d

có phương trình x 1 y 1 zd :2 1 1

. Viết phương trình của đường thẳng đi qua

điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua d.

PTTS của d: x 1 2ty 1 tz t

. d có VTCP u (2;1; 1) .

Gọi H là hình chiếu của M trên d H(1 2t; 1 t; t) MH (2t 1; 2 t; t)

Ta có MH d MH.u 0 2t

3 7 1 2H ; ;

3 3 3

, 1 4 2MH ; ;3 3 3

Phương trình đường thẳng : x 2 y 1 z1 4 2

.

Gọi M là điểm đối xứng của M qua d H là trung điểm của MM 8 5 4M ; ;3 3 3

.

Câu 255. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x y 1 z 1d :1 2 1

và hai điểm

A(1;1; 2) , B( 1;0;2) . Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới là nhỏ nhất. d có VTCP du (1;2; 1)

. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là hnh chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng đi qua A và H thỏa YCBT. Ta có: (P): x 2y z 5 0 . Giả sử H(x; y;z) .

Ta lại có 1 8 2H ; ;3 3 3

u 3AH ( 2;5;8) Phương trình : x 1 y 1 z 2

2 5 8

.


Câu 256. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z 1:2 3 1

và hai điểm A(1;2; 1), B(3; 1; 5) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. Giả sử d cắt tại M M( 1 2t;3t; 1 t) ,

AM ( 2 2t;3t 2; t),AB (2; 3; 4)

Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó d(B,d) BH BA . Vậy d(B,d) lớn nhất bằng BA H A AM AB AM.AB 0

2( 2 2t) 3(3t 2) 4t 0 t 2

M(3;6; 3) PT đường thẳng x 1 y 2 z 1d :1 2 1

.

Câu 257. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và

đường thẳng : x 1 y 1 z2 1 2

. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và

cắt đường thẳng tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.

Phương trình tham số của : x 1 2ty 1 tz 2t

. Điểm C nên C( 1 2t;1 t;2t) .

AC ( 2 2t; 4 t;2t);AB (2; 2;6)

; AC,AB ( 24 2t;12 8t;12 2t)

2AC,AB 2 18t 36t 216

1S AC,AB

2

= 218(t 1) 198 ≥ 198

Vậy Min S = 198 khi t 1 hay C(1; 0; 2)

Phương trình BC: x 3 y 3 z 62 3 4

.

Câu 258. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y 2 z 2d :

3 2 2

và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình

đường thẳng song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).

Đường thẳng (d) có PTTS: x 1 3ty 2 2tz 2 2t

. Mặt phẳng (P) có VTPT n (1; 3; 2)

Giả sử N(1 + 3t ; 2 2t ; 2 + 2t) d MN (3t 3; 2t;2t 2)

Để MN // (P) thì MN.n 0 t 7

N(20; 12; 16)

Phương trình đường thẳng : x 2 y 2 z 49 7 6


Câu 259. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3x 2y z 29 0 và hai điểm A(4;4;6) ,B(2;9;3) . Gọi E,F là hình chiếu của A và B trên ( ) . Tính độ dài đoạn EF . Tìm phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) đồng thời đi qua giao điểm của AB với ( ) và vuông góc với AB.

Ta có AB ( 2;5; 3), n (3; 2;1)

, 19sin(AB,( )) cos(AB,n )532

2 361 171EF AB.cos(AB,( )) AB 1 sin (AB,( )) 38 1532 14

AB cắt ( ) tại K(6; 1;9) ; u AB,n (1;7;11)

. Vậy

x 6 t: y 1 7t

z 9 11t

Câu 260. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình: (P) : x 2y z 0, (Q) : x 3y 3z 1 0,

x 1 y z 1(d) :2 1 1

. Lập phương trình đường thẳng nằm trong (P) song song với

mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d). (P), (Q) lần lượt có VTPT là P Q P Qn (1; 2;1), n (1; 3;3) n ,n ( 3; 2; 1)

PTTS của (d): x 1 2t, y t,z 1 t . Gọi A = (d) () A(1 2t; t;1 t) . Do A (P) nên: 1 2t 2t 1 t 0 t 2 A( 3; 2; 1)

Theo giả thiết ta có: PP Q

Q

u nu n ,n ( 3; 2; 1)

u n

Vậy phương trình đường thẳng x 3 y 2 z 1( ) :3 2 1

.

Câu 261. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm

A(1;2; 1), B(2;1;1),C(0;1;2) và đường thẳng x 1 y 1 z 2(d) :2 1 2

. Lập phương

trình đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d). Ta có AB (1; 1;2),AC ( 1; 1;3) AB,AC ( 1; 5; 2)

phương trình (ABC): x 5y 2z 9 0 Gọi trực tâm của ABC là

H(a;b;c)

BH.AC 0 a b 2c 3 a 2CH.AB 0 a b 3c 0 b 1 H(2;1;1)H (ABC) a 5b 2c 9 c 1

Do () (ABC) và vuông góc với (d) nên ABCABC d

d

u nu n ,n (12;2; 11)

u u


PT đường thẳng x 2 y 1 z 1:12 2 11

.

Câu 262. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 2y z 5 0 ,

đường thẳng x 3 y 1 z 3d :2 1 1

và điểm A( 2;3;4) . Viết phương trình đường

thẳng nằm trên (P), đi qua giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.

Gọi B = d (P) B( 1;0;4) . Vì (P)d

nên P

d

u nu u

.

Do đó ta có thể chọn P d1u n ,u (1; 1; 1)3 PT của :

x 1 ty tz 4 t

.

Giả sử M( 1 t; t;4 t) 2

2 4 14 14AM 3t 8t 10 3 t3 3 3

Dấu "=" xảy ra 4t3

7 4 16M ; ;3 3 3

.

Vậy AM đạt GTNN khi 7 4 16M ; ;3 3 3

.

Câu 263. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1;1) , đường thẳng

x y 2 z:1 2 2

, mặt phẳng (P) : x – y z 5 0 . Viết phương trình của đường thẳng d

đi qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng một góc 045 . Gọi du , u

lần lươt là các VTCP của d và ; Pn là VTPT của ( P). Đặt 2 2 2

du (a;b;c), (a b c 0) . Vì d nằm trong ( P) nên ta có : P dn u

a – b c 0 b a c ( 1 ).

Theo gt: 0(d, ) 45 2 2 2 2

2 2 2

a 2b 2c 2 2(a 2b c) 9(a b c )2a b c .3

(2)

Thay (1) vào ( 2) ta có : 2 15a14c 30ac 0 c 0; c7

+ Với c 0 : chọn a b 1 PTTS của d là : x 3 ty 1– tz 1

+ Với 15ac7

: chọn a 7, c 15, b 8 .PTTS của d là: x 3 7ty 1 – 8tz 1–15t

.


Câu 264. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 3 y 2 z 12 1 1

và

mặt phẳng (P): x y z 2 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới bằng 42 .

PTTS d: x 3 2ty 2 tz 1 t

M(1; 3;0) . (P) có VTPT Pn (1;1;1) , d có VTCP

du (2;1; 1)

Vì nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP d Pu u ,n (2; 3;1)

Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó MN (x 1;y 3;z)

.

Ta có MN uN (P)

MN 42

2 2 2

x y z 2 02x 3y z 11 0(x 1) (y 3) z 42

N(5; –2; –5) hoặc N(–3; – 4;

5)

Với N(5; –2; –5) Phương trình của x 5 y 2 z 5:2 3 1

Với N(–3; – 4; 5) Phương trình của x 3 y 4 z 5:2 3 1

.

Câu 265. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ): x y z 1 0 ,

hai đường thẳng (): x 1 y z1 1 1

, (): x y z 11 1 3

. Viết phương trình đường

thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ( ) và cắt (); (d) và () chéo nhau mà khoảng cách

giữa chúng bằng 62

.

Ta có () có VTPT n (1;1; 1) , () có VTCP u ( 1; 1;1)

() (). Gọi A ( ) ( ) A(0;0; 1) ; B ( ) ( ) B(1;0;0) AB (1;0;1)

Vì (d) () và (d) cắt () nên (d) đi qua A và () () nên mọi đường thẳng nằm trong () và không đi qua B đều chéo với (). Gọi du (a;b;c)

là VTCP của (d) du .n a b c 0 (1)

và du không cùng phương với AB

(2)

Ta có: d(d, ) d(B,d) d

d

AB,u 6u 2

2 2

2 2 2

2b (a c) 62a b c

(3)

Từ (1) và (3) ac 0 a 0c 0

.

Với a 0 . Chọn b c 1 du (0;1;1)

x 0d : y t

z 1 t


Với c 0 . Chọn a b 1 du (1; 1;0)

x td : y t

z 1

.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác Câu 266. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc

chung của hai đường thẳng: 1x 7 y 3 z 9:

1 2 1

và 2 :x 3 7ty 1 2tz 1 3t

.

Phương trình tham số của 1 :x 7 t 'y 3 2t 'z 9 t '

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với 1 và 2 M(7 + t;3 + 2t;9 – t) và N(3 –7t;1 + 2t;1 + 3t) VTCP lần lượt của 1 và 2 là a

= (1; 2; –1) và b

= (–7;2;3)

Ta có: MN a MN.a 0

MN b MN.b 0

. Từ đây tìm được t và t Toạ độ của M, N.

Đường vuông góc chung chính là đường thẳng MN. Câu 267. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua

điểm M 4; 5;3 và cắt cả hai đường thẳng: 1

2x 3y 11 0d :

y 2z 7 0

và

2x 2 y 1 z 1d :

2 3 5

.

Viết lại phương trình các đường thẳng: 1

1 1

1

x 5 3td : y 7 2t

z t

, 2

2 2

2

x 2 2td : y 1 3t

z 1 5t

.

Gọi 1 2A d d ,B d d 1 1 1A(5 3t ; 7 2t ; t ) , 2 2 2B(2 2t ; 1 3t ;1 5t ) .

1 1 1MA ( 3t 9;2t 2; t 3)

, 2 2 2MB (2t 6;3t 4; 5t 2)

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2MA,MB ( 13t t 8t 13t 16; 13t t 39t ; 13t t 24t 31t 48)

M, A, B thẳng hàng MA,MB

cùng phương MA,MB 0

1

2

t 2t 0

A( 1; 3;2),B(2; 1;1) AB (3;2; 1)

. Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có

VTCP AB (3;2; 1)

x 4 3t

d : y 5 2tz 3 t


Câu 268. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2, và mặt phẳng ( ) có phương trình là

1 2

x 2 tx 1 y 1 z 2: y 5 3t , : ,

1 1 2z t

( ) : x y z 2 0 . Viết phương trình

đường thẳng d đi qua giao điểm của 1 với ( ) đồng thời cắt 2 và vuông góc với trục Oy.

Toạ độ giao điểm A của ( ) và 1 thoả mãn hệ

x 2 t t 1y 5 3t x 1

A(1;2; 1)z t y 2x y z 2 0 z 1

Trục Oy có VTCP là j (0;1;0)

. Gọi d là đường thẳng qua A cắt 2 tại B(1 t; 1 t; 2 2t) .

AB (t; t 3;2t 1);d Oy ABj 0 t 3 AB (3;0;5)

Đt d đi qua A nhận AB (3;0;5)

làm VTCP có phương trình là x 1 3uy 2z 1 5u

.

Câu 269. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1

x 1 td : y 1 2t

z 1 2t

, đường

thẳng 2d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –1 0 và (Q): 2x y 2z – 5 0 . Gọi I là giao điểm của 1 2d ,d . Viết phương trình đường thẳng 3d qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng 1 2d ,d lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I. PTTS của 2d : x t '; y 1 2t '; z 3 2t ' . 1 2I d d I(1;1;1) . Giả sử: 1 2B(1 t;1 2t;1 2t) d , C(t '; 1 2t ';3 2t ') d (t 0, t ' 1)

BIC cân đỉnh I IB IC

[AB ,AC ] 0

t 1t ' 2

Phương trình 3d : x 2; y 3;z 1 2t Câu 270. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y 11z 0

và hai đường thẳng d1: x1

= y 32 = z 1

3 , x 4

1 = y

1 = z 3

2 . Chứng minh rằng d1

và d2 chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng nằm trên (P), đồng thời cắt cả d1 và d2. Toạ độ giao điểm của d1 và (P): A(–2;7;5). Toạ độ giao điểm của d2 và (P): B(3;–1;1)

Phương trình đường thẳng : x 2 y 7 z 55 8 4

.


Câu 271. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P): 3x 12y 3z 5 0 và (Q): 3x 4y 9z 7 0 , (d1): x 5 y 3 z 1

2 4 3

, (d2): x 3 y 1 z 2

2 3 4

. Viết phương trình đường thẳng () song

song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d1), (d2). Ta có (P) có VTPT Pn (1; 4; 1)

, (Q) có pháp vectơ Qn (3; 4; 9)

(d1) có VTCP 1u (2; 4; 3) , (d2) có VTCP 2u ( 2; 3; 4)

Gọi:

1

1

1 1 1

1 2 1

( ) (P) (Q)(P ) (d ), (P ) (P)(Q ) (d ),(Q ) (Q)u u

() = (P1) (Q1) và () // (1)

() có vectơ chỉ phương P Q1u [n ; n ] (8; 3; 4)4

(P1) có cặp VTCP 1u và u nên có VTPT: P1 1n [u ; u] (25; 32; 26)

Phương trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 25x 32y 26z 55 0

(Q1) có cặp VTCP 2u và u nên có VTPT: Q1 2n [u ; u] (0; 24; 18)

Phương trình mp (Q1): 0(x 3) 24(y 1) 18(z 2) 0 4y 3x 10 0 Ta có: 1 1( ) (P ) (Q )

phương trình đường thẳng () : 25x 32y 26z 55 04y 3z 10 0

Câu 272. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y 2z – 3 0

và hai đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có phương trình x 4 y 1 z2 2 1

và

x 3 y 5 z 72 3 2

. Viết phương trình đường thẳng ( ) song song với mặt phẳng (P),

cắt 1(d ) và 2(d ) tại A và B sao cho AB = 3. Vì 1A (d ) A(4 2t;1 2t; t) ; 2B (d ) B( 3 2t ; 5 3t ;7 2t ) Suy ra AB ( 7 2t 2t; 6 3t 2t;7 2t t)

, Pn (2; 1;2) .

Từ giả thiết ta có: PAB.n 0AB 3

t 2t 1

A(2; 1;1),AB ( 1;2;2)

.

Phương trình đường thẳng (): x 2 y 1 z 11 2 2

.

Câu 273. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y z 1 0 và

hai đường thẳng 1x 1 y 2 z 3d :

2 1 3

, 2x 1 y 1 z 2d :

2 3 2


đường thẳng song song với (P), vuông góc với 1d và cắt 2d tại điểm E có hoành độ bằng 3.

1d có VTCP 1u (2;1;3) , 2d có VTCP 2u (2;3;2)

, (P) có VTPT n (2; 1;1) .


Giả sử có VTCP u (a;b;c) , 2E d có Ex 3 E(3; 1;6) .

Ta có: 11

(P) u.n 0u.u 0d

2a b c 02a b 3c 0

a cb c

Chọn u (1;1; 1)

PT đường thẳng : x 3 t; y 1 t; z 6 t . Câu 274. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1 2(d ), (d ) và mặt phẳng (P) có

phương trình: 1x 1 y 2 z(d ) :

1 2 1

, 2x 2 y 1 z 1(d ) :

2 1 1

;

(P) : x y 2z 5 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt 1 2(d ),(d ) lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Đặt A( 1 a; 2 2a;a), B(2 2b;1 b;1 b)

AB ( a 2b 3; 2a b 3; a b 1)

Do AB // (P) nên: PAB n (1;1; 2) b a 4

. Suy ra: AB (a 5; a 1; 3)

2 2 2 2 2AB (a 5) ( a 1) ( 3) 2a 8a 35 2(a 2) 27 3 3

Suy ra a 2

min AB 3 3b 2

, A(1;2;2) , AB ( 3; 3; 3)

.

Vậy x 1 y 2 z 2d :1 1 1

.

Câu 275. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1x 8 y 6 z 10(d ) :

2 1 1

và 2

x t(d ) : y 2 t

z 4 2t

. Viết phương trình đường thẳng (d)

song song với trục Ox và cắt (d1) tại A, cắt (d2) tại B. Tính AB. Giả sử: 1 1 1A( 8 2t ;6 t ;10 t ) d1, 2 2 2B(t ;2 t ; 4 2t ) d2. 2 1 2 1 2 1AB (t 2t 8; t t 4);2t t 14)

.

Ta có AB, i (1;0;0)

cùng phương 2 1

2 1

t t 4 02t t 14 0

1

2

t 22t 18

A( 52; 16;32), B(18; 16;32) . Phương trình đường thẳng d: x 52 t; y 16; z 32 . Câu 276. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1):

x 23 8ty 10 4tz t

và (d2): x 3 y 2 z

2 2 1

. Viết phương trình đường thẳng (d) song

song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (d1), (d2). Giả sử 1 1 1A( 23 8t ; 10 4t ; t ) d1, 2 2 2B(3 2t ; 2 2t ; t ) d2. 2 1 2 1 2 1AB (2t 8t 26; 2t 4t 8; t t )


AB // Oz AB,k cuøng phöông

2 1

2 1

2t 8t 26 02t 4t 8 0

1

2

17t6

5t3

1 4 17A ; ;3 3 6

Phương trình đường thẳng AB: 1 4 17x ; y ; z t3 3 6

Câu 277. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0);

C(2,4,6) và đường thẳng (d): 6x 3y 2z 06x 3y 2z 24 0

. Viết phương trình đường thẳng

// (d) và cắt các đường thẳng AB, OC. Phương trình mặt phẳng () chứa AB và song song d: (): 6x + 3y + 2z – 12 = 0 Phương trình mặt phẳng () chứa OC và song song d là (): 3x – 3y + z = 0

là giao tuyến của () và () : 6x 3y 2z 12 03x 3y z 0

Câu 278. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD. Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) (Oxy) (P): 5x – 4y = 0 (Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) (Oxy) (Q): 2x + 3y – 6 = 0 Ta có (D) = (P)(Q) Phương trình của (D) Câu 279. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

1

x 1 2td : y t

z 1 t

và 2x y zd : 1 1 2 . Xét vị trí tương đối của d1 và d2. Viết phương

trình đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d1 và vuông góc với d2. Đường thẳng cần tìm cắt d1 tại A(–1–2t; t; 1+t) OA

= (–1–2t; t; 1+t)

Do 2 2d d OA.u 0 t 1 A(1; 1;0) PTTS của d: x t; y t; z 0

Câu 280. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình:

(d1) : x ty 4 tz 6 2t

và (d2) : x t 'y 3t ' 6z t ' 1

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d2). Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1). Ta có (d1) có VTCP 1u (1; 1; 2)

; (d2) có VTCP 2u (1; 3; 1)

2K (d ) K(t ; 3t 6; t 1) IK (t 1; 3t 5; t 2)


218 18 12 7IK u t 1 9t 15 t 2 0 t K ; ;11 11 11 11

Giả sử (d ) cắt (d1) tại 1H(t; 4 t; 6 2t), (H (d )) . 18 56 59HK t; t; 2t11 11 11

118 56 118 26HK u t t 4t 0 t11 11 11 11

1HK (44; 30; 7).11

Vậy, PTTS của đường thẳng (d ): 18 12 7x 44 ; y 30 ; z 711 11 11

Câu 281. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng

(d1), (d2) với: (d1):x 1 y 2 z

3 2 1

; (d2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x 1 0

và (Q): x y z 2 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2). Phương trình mặt phẳng () đi qua M(0;1;1) vuông góc với (d1): 3x 2y z 3 0 .

A = (d2) () 3x 2y z 3 0

5 8x 1 0 A 1; ;3 3

x y z 2 0

Phương trình AM: x y 1 z 13 2 5

.

Câu 282. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x y 2z 0 và

2 đường thẳng x 1 y 1 z 1(d) :1 3 2

, x 1 y 2 zd ' :2 1 1


đường thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d').

Ta có P dn (2; 1;2), u (1;3;2) và PTTS của (d'):

x 1 2ty 2 tz t

Gọi A = (d') (P) A(1 2t;2 t; t) . Do A (P) nên: 2(1 2t) 2 t 2t 0 t 0 A(1;2;0) Mặt khác () nằm trong (P), vuông góc với (d) nên u

vuông góc với P dn , u ta có

thể chọn P du n ,u ( 8; 2;7) Phương trình x 1 y 2 z:

8 2 7

Câu 283. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y z 1 0 và

hai đường thẳng (d1): x 1 y 2 z 3

2 1 3

, (d2): x 1 y 1 z 2

2 3 2

. Viết phương

trình đường thẳng () song song với mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2) tại điểm E có hoành độ bằng 3.


E (d2) E(3; 7; 6). PP d1

d1

a na n ,a 4(1;1; 1)

a a

(): x 3 ty 7 tz 6 t

.

Câu 284. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x 8y 7z 1 0 . Viết phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P). Giao điểm của đường thẳng AB và (P) là: C(2;0;–1)

Đường thẳng d đi qua C và có VTCP là PAB,n d: x 2 y z 1

2 1 2

Câu 285. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng như sau

d1: x 1 y 1 z 1

2 1 1

; d2: x 1 y 2 z 1

1 1 2

và mặt phẳng (P): x y 2z 3 0 .

Viết phương trình đường thẳng nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 . Gọi A = d1 , B = d2 . Vì (P) nên A = d1 (P), B = d2 (P) A(1; 0; 2), B(2; 3; 1)

chính là đường thẳng AB Phương trình : x 1 y z 21 3 1

.

Câu 286. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): x y z 1 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng

1x 1 y 1 z(d ) :

2 1 1

và 2

x 1 t(d ) : y 1

z t

, với t R .

Lấy 1M d 1 1 1M 1 2t ; 1 t ; t ; 2N d N 1 t; 1; t

Suy ra 1 1 1MN t 2t 2; t ; t t

*1 1 1(d) (P) MN k.n;k R t 2t 2 t t t

1

4t52t

5

1 3 2M ; ;5 5 5

d: 1 3 2x y z5 5 5

Câu 287. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y z 1 0 , (Q): x – y 2z 3 0 , (R): x 2y – 3z 1 0 và đường thẳng 1 : x 2 y 1 z

2 1 3

. Gọi 2 là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng

(d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng 1 , 2 .


1 có PTTS: x 2 2t;y 1 t;z 3t ; 2 có PTTS: x 2 s; y 5 3s;z s .

Giả sử 1 2d A;d B A(2 2t; 1 t;3t), B(2 s;5 3s;s) AB (s 2t;3s t 6;s 3t)

, (R) có VTPT n (1;2; 3) .

d (R) AB, n cùng phương s 2t 3s t 6 s 3t

1 2 3

23t24

1 1 23A ; ;12 12 8

Vậy phương trình của d:

231 1 zx y812 12

1 2 3

.

Câu 288. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình

1

x td : y 4 t

z 1 2t

, 2x y 2 zd :1 3 3

, 3

x 1 y 1 z 1d :5 2 1


đường thẳng , biết cắt ba đường thẳng 1 2 3d , d , d lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB BC . Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng 1 2 3d , d , d . Giả sử A(t;4 – t; 1 2t), B(u;2 – 3u; 3u), C( 1 5v;1 2v; 1 v) . Ta có: A, B, C thẳng hàng và AB = BC B là trung điểm của AC

t ( 1 5v) 2u4 t (1 2v) 2.(2 3u)

1 2t ( 1 v) 2( 3u)

t 1u 0v 0

A(1;3;1), B(0;2;0), C( 1;1; 1) .

Đường thẳng đi qua A, B, C có phương trình: x y 2 z1 1 1

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 289. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): x 2 4ty 3 2tz 3 t

và

mặt phẳng (P): x y 2z 5 0 . Viết phương trình đường thẳng () nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14 . Chọn A(2;3; 3), B(6;5; 2)(d), mà A, B (P) nên (d) (P) .

Gọi u là VTCP của ( 1d ) (P), qua A và vuông góc với (d) thì d

P

u uu u

nên ta chọn

d Pu [u ,u ] (3; 9;6) .


Phương trình của đường thẳng ( 1d ) :x 2 3ty 3 9t (t R)z 3 6t

Lấy M(2+3t; 3 9t; 3+6t) ( 1d ) . () là đường thẳng qua M và song song với (d).

Theo đề : 2 2 2 2 1 1AM 14 9t 81t 36t 14 t t9 3

t = 13

M(1;6; 5) 1x 1 y 6 z 5( ) :

4 2 1

t = 13M(3;0;1) 2

x 3 y z 1( ) :4 2 1

Câu 290. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 1 0 và

đường thẳng: d: x 2 y 1 z 11 1 3

. Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương

trình của đường thẳng nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến bằng h 3 2 . (P) có VTPT Pn (1;1; 1)

và d có VTCP u (1; 1; 3) . I d (P) I(1;2;4)

Vì (P); d có véc tơ chỉ phương Pu n ,u ( 4;2; 2)

Gọi H là hình chiếu của I trên H mp(Q) qua I và vuông góc Phương trình (Q): 2(x 1) (y 2) (z 4) 0 2x y z 4 0 Gọi 1 1d (P) (Q) d có VTCP P Qn ;n (0;3;3) 3(0;1;1)

và 1d qua

1

x 1d : y 2 t

z 4 t

Giả sử 1H d H(1;2 t;4 t) IH (0; t; t)

. Ta có:

2 t 3IH 3 2 2t 3 2

t 3

Với t 3 H(1;5;7) Phương trình x 1 y 5 z 7:2 1 1

Với t 3 H(1; 1;1) Phương trình x 1 y 1 z 1:2 1 1

.

Câu 291. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y 2z 9 0


. Viết phương trình đường thẳng vuông góc

với (P) và cắt d tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2. Vì (P) nên nhận Pn (2;1; 2)

làm VTCP.

Giả sử M(t 1;7t 1;3 t) d . Ta có: d(M,(P)) 2 11t 2 6

8t11

4t11


+ Với 8t11

19 45 41M ; ;11 11 11

: 19 45 41x 2t; y t; z 2t11 11 11

+ Với 4t11

7 39 29M ; ;11 11 11

: 7 39 29x 2t; y t; z 2t11 11 11

Câu 292. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x 3y z 1 0 và các điểm A(1;0;0) ; B(0; 2;3) . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất). Ta có: A(1;0;0) (P) . Gọi VTCP của đường thẳng d là: 2 2 2u (a;b;c), a b c 0

Do Pd (P) u.n 0 c a 2b

AB ( 1;2; 3)

; du ,AB ( 2a 7b;2a 2b;2a b)

2 2

2 2

u,AB 12a 24ab 54bd(B,d)u 2a 4ab 5b

+ TH1: Nếu b = 0 thì d(B,d) 6

+ TH2: Nếu b 0 . Đặt atb

2

2

12t 24t 54d(B,d) f (t)2t 4t 5

Xét hàm số 2

2

12t 24t 54f (t)2t 4t 5

ta suy ra được 6 d(B,d) f (t) 14

So sánh TH1 và TH2 6 d(B,d) 14 Do đó: a) min(d(B,d)) 6 b 0 . Chọn a =1 c= 1

Phương trình đường thẳng d: x 1 ty 0z t

b) max(d(B,d)) 14 a b . Chọn b = –1 a =1 , c = –1

Phương trình đường thẳng d: x 1 ty tz t

Câu 293. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x 2y 2z 5 0 và các điểm A( 3;0;1) ; B(1; 1;3) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và cách B một khoảng nhỏ nhất.

ĐS: x 3 y z 1d :26 11 2

.

Câu 294. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z 2:2 1 1

,

hai điểm A(0; 1;2) , B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất (nhỏ nhất). Gọi M d . Giả sử M( 1 2t; t;2 t) . VTCP của d: du AM (2t 1; t 1; t)


AB(2;2; 1)

; dAB;u (1 t;1;4 2t)

2

d2

d

AB,u 12t 18t 18d(B,d) f (t)u 6t 2t 2

Xét hàm số 2

2

12t 24t 54f (t)2t 4t 5

. Ta có 1max f (t) f (0) 18; min f (t) f (2)

11

1 d(B,d) 1811

a) 1min(d(B,d)) t 211

Phương trình đường thẳng d: x 3ty 1 3tz 2 2t

b) max(d(B,d)) 18 t 0 Phương trình đường thẳng d: x ty 1 tz 2 t

Câu 295. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y 2 zd :2 1 1

,

hai điểm A(1;1;0),B(2;1;1) . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với d, sao cho khoảng cách từ B đến là lớn nhất. Ta có VTCP của d là: du (2;1;1)

và AB (1;0;1)

. Gọi H là hình chiếu của B lên ta có:d(B, ) BH AB . Do đó khoảng cách từ B đến lớn nhất khi H A . Khi đó là đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB.

Ta có dAB

Có thể chọn VTCP của là du u ,AB (1; 1; 1)

PT của là:x 1 ty 1 tz t

Câu 296. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi

qua A(0; 1;2) , cắt đường thẳng 1x 1 y z 2:

2 1 1

sao cho khoảng cách giữa d và

đường thẳng 2x 5 y z:

2 2 1

là lớn nhất.

Gọi 1M d . Giả sử M( 1 2t; t;2 t) .VTCP của d : du AM (2t 1; t 1; t)

2 đi qua N(5;0;0) và có VTCP v (2; 2;1) ; AN (5;1; 2)

;

dv ;u (t 1;4t 1;6t)

2d

2 2d

v ,u .AN (2 t)d( ,d) 3. 3. f (t)53t 10t 2v ,u

Xét hàm số 2

2

(2 t)f (t)53t 10t 2

. Ta suy ra được 4 26max f (t) f ( )

37 9


max(d( ,d)) 26 Phương trình đường thẳng d: x 29t; y 1 41t; z 2 4t

Câu 297. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 1;2) , song song với mặt phẳng (P) : x y z 1 0 sao cho khoảng cách

giữa d và đường thẳng x y z 3 0

:2x y z 2 0

là lớn nhất.

ĐS: x 1y 1 tz 2 t

.

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc Câu 298. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng : x y 2 z1 2 2

và mặt phẳng (P): x y z 5 0 . Viết phương trình tham số của

đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng một góc 045 . Gọi d Pu ,u ,n

lần lượt là các VTCP của d, và VTPT của (P). Giả sử 2 2 2

du (a;b;c) (a b c 0) .

+ Vì d (P) nên d Pu n a b c 0 b a c (1)

+ 0d, 45 2 2 2

a 2b 2c 223 a b c

2 2 2 22(a 2b c) 9(a b c ) (2)

Từ (1) và (2) ta được: 214c 30ac 0 c 015a 7c 0

+ Với c = 0: chọn a = b = 1 PTTS của d: x 3 t; y 1 t; z 1 + Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8 PTTS của d: x 3 7t; y 1 8t; z 1 15t . Câu 299. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) : x y – z 1 0 , cắt các đường thẳng

1 2

x 1 t x 3 td : y t ; d : y 1 t

z 2 2t z 1 2t

và tạo với 1d một góc 300.

Ta có 1d (P) . Gọi 2A d (P) A(5; 1;5) . 1d có VTCP 1u (1;1;2) .

Lấy 1B(1 t; t;2 2t) d AB (t 4; t 1;2t 3)

là VTCP của

Ta có 01cos( ,d ) cos30

2 2 2

6t 9 326 (t 4) (t 1) (2t 3)

t 1t 4


+ Với t 1 thì AB ( 5;0; 5)

d: x 5 ty 1z 5 t

+ Với t 4 thì AB (0;5;5)

d: x 5y 1 tz 5 t

Câu 300. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OBC), tan OBC 2 . Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. ĐS: Phương trình BC: x 2 t;y 2t;z 0 . Câu 301. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;1), B(0;1; 2) và

đường thẳng x y 3 z 1d :1 1 2

. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm

của đường thẳng d với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với

đường thẳng d một góc sao cho 5cos6

.

PT mặt phẳng (OAB): x 4y 2z 0 . Gọi M = d (OAB) M( 10;13; 21) . Giả sử có VTCP u (a;b;c)

+ Vì (OAB) nên a 4b 2c 0 (1)

+ 5cos6

2 2 2

a b 2c 566 a b c

(2)

Từ (1) và (2) 5 2b c,a c

11 11b c,a 6c

+ Với 5 2b c,a c11 11

u (2; 5; 11) PT của : x 10 y 13 z 21

2 5 11

+ Với b c,a 6c u (6; 1; 1) PT của : x 10 y 13 z 21

6 1 1

Câu 302. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua

điểm A(0;1; 2) , vuông góc với đường thẳng x 3 y 2 zd :1 1 1

và tạo với mặt

phẳng (P): 2x y z 5 0 một góc 030 . Giả sử có VTCP u (a;b;c)

.

Ta có: a d

3cos2

2 2 2

a b c 0

2a b c 326 a b c

c 0,a bc 2a,b a


+ Với c 0,a b u (1;1;0) : x t; y 1 t; z 2

+ Với c 2a, b a u (1; 1; 2) : x t; y 1 t; z 2 2t .

Câu 303. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 1;2) , song song với mặt phẳng (P) : 2x y z 3 0 , đồng thời tạo với đường

thẳng x 1 y 1 z:1 2 2

một góc lớn nhất (nhỏ nhất).

có VTCP u (1; 2;2) . Gọi VTCP của đường thẳng d là u (a;b;c)

.

Pd (P) u.n 0 c 2a b . Gọi góc giữa hai mặt phẳng là .

2

2 22 2

5a 4b 1 (5a 4b)cos .3 5a 4ab 2b3 5a 4ab 2b

+ TH1: Nếu b = 0 thì 1cos . 53

+ TH2: Nếu b 0 . Đặt atb

2

2

1 (5t 4) 1cos . . f (t)3 5t 4t 2 3

Xét hàm số 2

2

(5t 4)f (t)5t 4t 2

. Ta suy ra được: 5 30 cos f (t)

9

So sánh TH1 và TH2, ta suy ra: 5 30 cos9

Do đó:

a) min(cos ) 0 a 4b 5 Phương trình đường thẳng d : x 1 y 1 z 2

4 5 3

b) 5 3max(cos )9

a 1b 5

Phương trình đường thẳng d: x 1 y 1 z 21 5 7

Câu 304. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi

qua A( 1;0; 1) , cắt đường thẳng 1x 1 y 2 z 2:

2 1 1

sao cho góc giữa d và

đường thẳng 2x 3 y 2 z 3:

1 2 2

là lớn nhất (nhỏ nhất).

Gọi 1M d . Giả sử M(1 2t;2 t; 2 t) .

VTCP của d : du AM (2t 2; t 2; 1 t) . Gọi

2(d, ) .

2

2

2 t 2cos . . f (t)3 6t 14t 9 3

Xét hàm số 2

2

tf (t)6t 14t 9

. Ta được 9 9max f (t) f ( )7 5

; min f (t) f (0) 0

a) min(cos ) 0 t 0 Phương trình đường thẳng d : x 1 y z 12 2 1


b) 2 5max(cos )5

9t7

Phương trình đường thẳng d : x 1 y z 14 5 2

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác Câu 305. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương trình đường cao AH, phương trình đường phân giác trong BD lần lượt là:

1x 2 y 3 z 3d :

1 1 2

, 2x 1 y 4 z 3d :

1 2 1

. Lập phương trình đường thẳng

chứa cạnh BC của ABC và tính diện tích của ABC . Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH 1(P) d (P) : x y 2z 1 0

2B (P) d B(1;4;3) phương trình BC : x 1 2t; y 4 2t; z 3 Gọi mp(Q) qua C, vuông góc với d2, (Q) cắt d2 và AB tại K và M. Ta có: (Q) : x 2y z 2 0 K(2;2;4) M(1;2;5) (K là trung điểm của CM).

x 1AB : y 4 2t

z 3 2t

, do 1 ABC1A AB d A(1;2;5) S AB,AC 2 32

.

Câu 306. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ABC với A(1; 1;1) và hai

đường trung tuyến lần lượt có phương trình là 1x y 1 z 2d :2 3 2

, 2

x 1 td : y 0

z 1 t

.

Viết phương trình đường phân giác trong của góc A. Ta có 1 2A d ,A d . Gọi 1 2M d , N d lần lượt là trung điểm AC, AB.

N(1– t;0;1 t) B(1– 2t;1;1 2t) . 11B d t2

B(0;1;2)

M(2t;1 3t;2 2t) C(4t –1;3 – 6t;3 – 4t) . 21C d t C(1;0;1)2

Ta có: AB 6, AC 1 . Gọi AD là đường phân giác trong của góc A thì DB 6DC

6 1 2 6D ; ;1 6; 1 6 1 6

1 2 6 1AD ; ;1 6 1 6 1 6

Vậy phương trình đường thẳng AD là: x 1 y 1 z 11 12 6

.


VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính Câu 307. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2;3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy. Gọi M là hình chiếu của I(1; 2;3) lên Oy, ta có: M(0; 2;0) . IM ( 1;0; 3) R IM 10

là bán kính mặt cầu cần tìm. Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là 2 2 2(x 1) (y 2) (z 3) 10 . Câu 308. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1): x 2t; y t; z 4 và (d2) : x 3 t; y t; z 0 . Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2). Gọi MN là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) M(2; 1; 4); N(2; 1; 0) Phương trình mặt cầu (S): 2 2 2(x 2) (y 1) (z 2) 4. Câu 309. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

1x 4 y 1 z 5d :

3 1 2

và 2

x 2 td : y 3 3t

z t

. Viết phương trình mặt cầu có bán kính

nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng 1d và 2d . Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính. Câu 310. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 1( ) có phương trình x 2t; y t;z 4 ; 2( ) là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) : x y 3 0 và ( ) : 4x 4y 3z 12 0 . Chứng tỏ hai đường thẳng 1 2, chéo nhau và viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của 1 2, làm đường kính. Gọi AB là đường vuông góc chung của 1 , 2 : 1A(2t; t;4) , 2B(3 s; s;0) AB 1, AB 2 A(2;1;4), B(2;1;0) Phương trình mặt cầu là: 2 2 2(x 2) (y 1) (z 2) 4 Câu 311. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AO, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1). Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’. Kẻ CHAB’, CKDC’ CK (ADC’B’) nên CKH vuông tại K.

2 2 2 49CH CK HK10

. Vậy phương trình mặt cầu: 2 2 2 49(x 3) (y 2) z10

Câu 312. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x y z 2 0 . Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S).


Dễ thấy A( 1; –1; 0). Phương trình mặt cầu ( S): 01225222 zyxzyx

(S) có tâm 5I ;1;12

, bán kính 29R2

+ Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C) + PT đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P):

d:x 5 / 2 ty 1 tz 1 t

5 1 1H ; ;3 6 6

75 5 3IH36 6

, (C) có bán kính 2 2 29 75 31 186r R IH4 36 6 6

Câu 313. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d

có phương trình x 1 y 2 z 32 1 1

. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng

d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.

Ta có d(A, (d)) = BA,a 4 196 100 5 2a 4 1 1

PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 : 2 2 2(x –1) (y 2) (z – 3) 50

Câu 314. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 5 y 7 zd :2 2 1

và điểm M(4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB 6 . Viết phương trình của mặt cầu (S). Ta có d đi qua N( 5;7;0) và có VTCP u (2; 1;1)

; MN ( 9;6; 6)

. Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đên đường thẳng d MH = d(M,d) 3 .

Bán kính mặt cầu (S): 2

2 2 ABR MH 182

.

PT mặt cầu (S): 2 2 2(x 4) (y 1) (z 6) 18 . Câu 315. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2x y 2z 3 0 và mặt cầu 2 2 2S : x y z 2x 4y 8z 4 0 . Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng . Viết phương trình mặt cầu (S) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng .

Ta có 22 2(S) : x 1 y 2 z 4 25 có tâm I 1; 2;4 và R = 5. Khoảng cách từ I đến () là: d I, ( ) 3 R () và mặt cầu (S) cắt nhau.

Gọi J là điểm đối xứng của I qua (). Phương trình đường thẳng IJ : x 1 2ty 2 tz 4 2t


Toạ độ giao điểm H của IJ và () thoả

x 1 2t t 1y 2 t x 1

H 1; 1;2z 4 2t y 12x y 2z 3 0 z 2

Vì H là trung điểm của IJ nên J 3;0;0 . Mặt cầu (S) có tâm J bán kính R = R = 5

nên có phương trình: 2 2 2(S ) : x 3 y z 25 . Câu 316. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (P): z 2 lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8. Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thoả YCBT. Gọi (S0) là mặt cầu có tâm 0I (0;0;m) thuộc trục Oz. Khi đó mp(Oxy) và mp(P) cắt (S0) theo 2 đường tròn tâm

1O O(0;0;0) , bán kính 1R 2 và tâm 2O (0;0;2) , bán kính 2R 8 .

Gọi R là bán kính mặt cầu thì 22 2

2 222 2

R 2 m4 m 64 (m 2) m 16

R 8 m 2

R 2 65 và 0I (0;0;16) . Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(a;b;16) (a,bR), bk R 2 65 . Vậy phương trình mặt cầu (S): 2 2 2(x a) (y b) (z 16) 260 (a, b R). Câu 317. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y 2z 2 0

và đường thẳng d: x y 1 z 21 2 1

. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d,

I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3. Giả sử I( t;2t 1;t 2) d , R là bán kính của (S), r là bán kính của (C).

Ta có: d(I, (P)) 2 6t 5 6

1t6

11t6

. 22 2R d(I,(P) r 13

+ Với 1t6

1 2 13I ; ;6 3 6

(S): 2 2 21 2 13x y z 13

6 3 6

+ Với 11t6

11 14 1I ; ;6 3 6

(S): 2 2 211 14 1x y z 13

6 3 6

Câu 318. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): 2x y z 5 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có

khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng 56

.

Giả sử (S): 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz d 0 .


+ Từ O, A, B (S) suy ra: a 1c 2d 0

I(1;b;2) .

+ 5d(I,(P))6

b 5 56 6

b 0b 10

Vậy (S): 2 2 2x y z 2x 4z 0 hoặc (S): 2 2 2x y z 2x 20y 4z 0 Câu 319. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;3;4),B(1;2; 3),C(6; 1;1) và mặt phẳng ( ) : x 2y 2z 1 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng ( ) và đi qua ba điểm A,B,C . Tính diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng ( ) . Gọi I(a;b;c) là tâm mc ta có

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(1 a) (3 b) (4 c) (1 a) (2 b) ( 3 c)IA IBIA IC (1 a) (3 b) (4 c) (6 a) ( 1 b) (1 c)I ( a 2b 2c 1 0

b 7c 6 a 15a 4b 3c 6 b 1 I(1; 1;1)a 2b 2c 1 0 c 1

2 2R IA 25

Phương trình 2 2 2(S) : (x 1) (y 1) (z 1) 25

Tam giác ABC đều cạnh bằng 5 2 nên ABC25 3S

2

AB (0; 1; 7), AC (5; 4; 3) p AB,AC ( 25; 35;5)

17cos(( ),(ABC)) cos n ,p15 3

Gọi S' là diện tích hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng ( )

Ta có ABC50 3 17 85S' S .cos(( ), (ABC))

4 615 3 (đvdt)

Câu 320. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y 1 z3 1 1

và mặt phẳng (P): 2x y 2z 2 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1).

Gọi I là tâm của (S). I d I(1 3t; 1 t; t) . Bán kính R = IA = 211t 2t 1 .

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: 5t 3d(I, (P)) R3

237t 24t 0 t 0 R 1

24 77t R37 37

.

Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0).


Vậy phương trình mặt cầu (S): 2 2 2(x 1) (y 1) z 1 .

Câu 321. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y 2 z1 1 1

và mặt phẳng

(P): 2x y – 2z 2 0 . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2; –1; 0).

Gọi I là tâm của (S) I 1 t; t – 2; t . Ta có d(I, (P)) = AI 7t 1; t13

.

Vậy: 2 2 2(S) : (x – 2) (y 1) (z –1) 1

hoặc 2 2 220 19 7 121(S) : x – y z –

13 13 13 169

.

Câu 322. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;2; 2) , đường thẳng : 2x 2 y 3 z và mặt phẳng (P): 2x 2y z 5 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo thiết diện là hình tròn có chu vi bằng 8 . Từ đó lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa và tiếp xúc với (S). Ta có: d d(I, (P)) 3 . Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện. Ta có: 2 r 8 r 4 Suy ra bán kính mặt cầu: 2 2 2R r d 25 2 2 2(S) : (x 1) (y 2) (z 2) 25

Nhận thấy mặt cầu (S) tiếp xúc với ( ) tại điểm 5 5 4M ; ;3 3 3

.

Do đó: (Q) chứa ( ) và tiếp xúc với (S) đi qua 5 5 4M ; ;3 3 3

và có VTPT

2 11 10MI ; ;3 3 3

PT mặt phẳng (Q): 6x 33y 30z 105 0 .

Câu 323. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

d : x t; y 1; z t và 2 mặt phẳng (P): x 2y 2z 3 0 và (Q): x 2y 2z 7 0 . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q). Giả sử: I(t; 1; t) d . Vì (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên d(I,(P)) d(I, (Q)) R

1 t 5 t3 3

t 3 . Suy ra: 2R ,I(3; 1; 3)3

.

Vậy phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 4x 3 y 1 z 39

.

Câu 324. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):

x 2y 2z 10 0 , hai đường thẳng (1):x 2 y z 1

1 1 1

, (2): x 2 y z 3

1 1 4

.

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (1), tiếp xúc với (2) và mặt phẳng (P).


Ta có 1

x 2 t: y t

z 1 t

; 2 đi qua điểm A(2;0; 3) và có VTCP 2u (1;1;4) .

Giả sử 1I(2 t; t;1 t) là tâm và R là bán kính của mặt cẩu (S).

Ta có: AI (t; t;4 t)

2AI,u (5t 4;4 5t;0) 2

22

AI,u 5t 4d(I, )u 3

2 t 2t 2(1 t) 10 t 10d(I, (P))31 4 4

(S) tiếp xúc với 2 và (P) 2d(I, ) d(I, (P)) 5t 4 t 10 7t2

t 1

.

+ Với 7t2

11 7 5I ; ;2 2 2

, 9R2

PT mặt cầu (S): 2 2 211 7 5 81x y z

2 2 2 4

.

+ Với t 1 I(1; 1;2),R 3 PT mặt cầu (S): 2 2 2(x 1) (y 1) (z 2) 9 . Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình Câu 325. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1). Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0. PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 + (S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0 + (S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0 + (S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0 Tâm I (P): a + b – 2c + 4 = 0 Giải ra ta được: a =1, b = –1, c = 2, d = –3. Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0 Câu 326. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại A, đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) và tam giác ABC có diện tích bằng 5. Gọi M là trung điểm của CC’. Biết rằng điểm A(0; 0; 2) và điểm C có tung độ dương. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCM. Ta có: AB 5 và ABCS 5 nên AC 2 5 . Vì AA’ (ABC) và A, B (Oxy) nên C (Oxy). Gọi C(x; y;0) . AB (1;2;0),AC (x; y;0)

.

Ta có: 2 2

AB AC x 2y 0 x 4 x 4y 2 y 2x y 20AC 2 5

. Vì Cy 0 nên C(–4; 2; 0) .

Do CC' AA'

C(–4;2;2), BB' AA'

B(1;2;2) và M trung điểm CC nên M(–4; 2;1). PT mặt cầu (S) đi qua A, B’, C’ và M có dạng:

2 2 2(S) : x y z 2x 2by 2cz d 0


A(0;0;0) (S)B'(1;2;2) (S) 3 3 3a ;b ;c ;d 0C'( 4;2;2) (S) 2 2 2M( 4;2;1) (S)

(thoả 2 2 2a b c d 0 )

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: 2 2 2(S) : x y z 3x 3y 3z 0 . Câu 327. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3), D(1;–1; 0). Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Ta tính được AB CD 10, AC BD 13, AD BC 5 . Vậy tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau. Từ đó ABCD là một tứ diện gần đều. Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là trọng tâm G của tứ diện này.

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là 3 3G ;0;2 2

, bán kính là

14R GA2

.

Cách khác:Ta có thể xác định toạ độ tâm I của mặt cầu thoả điều kiện: IA =IB=IC=ID Câu 328. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 2y 2z 6 0 , gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của (P) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC, tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của (P) và (S). Ta có: A(6;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). PT mặt cầu (S) có dạng:

2 2 2x y z 2Ax 2By 2Cz D 0 2 2 2(A B C D 0) .

A, B, C, O (S)

D 036 12A 0 3 3A 3; B ; C ; D 09 6B 0 2 29 6C 0

.

Vậy (S): 2 2 2x y z 6x 3y 3z 0 có tâm 3 3I 3; ;2 2

, bán kính 3 6R2

.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P)

H là tâm của (C). Tìm được 8 5 5H ; ;3 6 6

.

Bán kính của (C): 2 2 27 5 2r R IH 12 2

.

Câu 329. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của đoạn AD, N là tâm hình vuông CC’D’D. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M, N. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: D O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), D(0; 2; 0), C(0; 0; 2). Suy ra: M(1; 0; 0), N(0; 1; 1), B(2; 0; 2), C(0; 2; 2).


PT mặt cầu (S) đi qua 4 điểm M, N, B, C có dạng: 2 2 2x y z 2Ax 2By 2Cz D 0 .

Do M, N, B, C (S)

1 2A D 02 2B 2C D 0 5 5 1A ;B ;C ;D 48 4A 4C D 0 2 2 28 4B 4C D 0

Vậy bán kính R = 2 2 2A B C D 15 . Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu Câu 330. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Ta có I (1; 2; 3); R = 1 4 9 11 5 ; d (I; (P)) = 2(1) 2(2) 3 4

34 4 1

< R = 5.

Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C)

Phương trình d qua I, vuông góc với (P) : x 1 2ty 2 2tz 3 t

Gọi J là tâm, r là bán kính đường tròn (C). J d J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t) J (P) 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0 t = 1 Vậy tâm đường tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = 2 2R IJ 4 Câu 331. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2). Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

Gọi I , r là tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

OABC IOAB IOBC OCA ABCV V +V +V +V = OAB OBC OCA ABC1 1 1 1.r.S .r.S .r.S .r.S3 3 3 3

= TP1.r.S3

Mặt khác:

OABC1 8 4V .OA.OB.OC6 6 3

(đvtt); OAB OBC OCA1S S S .OA.OB 22

2ABC

3 3S AB .8 2 34 4

(đvdt) TPS 6 2 3 (đvdt)

Do đó: OABC

TP

3V 4rS 6 2 3

(đv độ dài)


Câu 332. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho m n 1 và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định.

Ta có: SM (m;0; 1), SN (0;n; 1)

VTPT của (SMN) là n (n;m;mn)

Phương trình mặt phẳng (SMN): nx my mnz mn 0

Ta có: d(A,(SMN))n m mn

2 2 2 2n m m n

1 m.n 1 mn 11 mn2 21 2mn m n

Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định. Câu 333. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình

1

x td : y 0

z 2 t

, 2

x 0d : y t

z 2 t

. Viết phương trình mặt cầu (S) bán kính R 6 , có tâm

nằm trên đường phân giác của góc nhỏ tạo bởi 1 2d , d và tiếp xúc với 1 2d , d . Phương trình mp(P) chứa 1 2d , d là (P) : x y z 2 0 Phương trình mp(Q) chứa 1d và vuông góc với (P là (Q) : x 2y z 2 0 Phương trình mp(R) chứa d2 và vuông góc với (P) là (R) : 2x y z 2 0 Phương trình hai mặt phân giác của hai mặt (Q) và (R): 1 2PG : x y 0, PG : x y 2z 4 0

Phương trình hai đường phân giác của d1, d2: x t x t

a : y t b : y tz 2 2t z 2

Vì 1 1cos(a,d ) cos(b,d ) nên đường thẳng a là phân giác của d1, d2 thỏa mãn điều kiện. Do đó có hai tâm mặt cầu thỏa mãn 1 2I (2;2; 2), I ( 2; 2;6) Suy ra 2 2 2

1(S ) : (x 2) (y 2) (z 2) 6 hoặc 2 2 2

2(S ) : (x 2) (y 2) (z 6) 6

IV. TÌM ĐIỂM THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng Câu 334. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z 1 0 để MAB là tam giác đều. Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB (Q): x y z 3 0 d là giao tuyến của (P) và (Q) d: x 2;y t 1;z t

M d M(2; t 1;t) 2AM 2t 8t 11 . Vì AB = 12 nên MAB đều khi MA = MB = AB


2 4 182t 8t 1 0 t2

6 18 4 18M 2; ;

2 2

.

Câu 335. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) và B(2; 0;–1). Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): 3x y z 1 0 để MAB là tam giác đều. Giả sử M(x; y;z) (P) 3x y z 1 0 (1).

MAB đều

2 2

2 2

MA MBMA ABM (P)

4x 8z 46z 13x y z 1

2x310y31z6

2 10 1M ; ;3 3 6

Câu 336. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;5;4) , B(3;1;4) . Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) : x y z 1 0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17 . Giả sử: C(x;y;x y 1) (P) . AB 4 .

2 2 2 2 2 2AC BC (x 3) (y 5) (x y 5) (x 3) (y 1) (x y 5) y 3

Gọi I là trung điểm AB I(3;3;4) .

IABS 2 17 CI.AB 4 17 CI 17 2 2 x 4(3 x) (8 x) 17

x 7

+ Với x 4 C(4;3;0) + x 7 C(7;3;3) . Câu 337. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): 2x 2y z – 3 0 sao cho MA = MB = MC .

Ta có AB (2; 3; 1),AC ( 2; 1; 1) n AB,AC (2;4; 8) là VTPT của (ABC)

Suy ra phương trình (ABC): x 2y 4z 6 0 . Giả sử M(x; y; z).

Ta có: MA MB MCM (P)

x 2y 3z 7

M(2;3; 7)

Câu 338. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2;1), B(2;0;3) và mặt phẳng (P) : 2x y z 4 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA =MB và (ABM) (P) .

Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của AB Q1n AB (1;1;1)2

là một VTPT của

(Q). I(1; 1;2) là trung điểm của AB Phương trình (Q) : x y z 2 0


Gọi (R) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P). R P Qn n ;n (0;3; 3) là

VTPT của (R) Phương trình của (R) : y z 3 0

Toạ độ của M là nghịêm cuả hệ:2x y z 4 0

2 1 17x y z 2 0 M ; ;3 6 6

y z 3 0

Câu 339. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B trong mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S. Do OABC là hình chữ nhật B(2; 4; 0) Tọa độ trung điểm H của OB là

H(1; 2; 0), H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB. + Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) tại H cắt mặt phẳng trung trực của đoạn

OS (mp có phương trình z = 2 ) tại I I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S. + Tâm I(1; 2; 2) và R = OI = 2 21 2 2 3 (S): 2 2 2(x 1) (y 2) (z 2) 9 Câu 340. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(–1;3; –2), B(–3;7; –18) và mặt phẳng (P): 2x – y z 1 0 . Tìm tọa độ điểm M (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. A, B nằm cùng phía đối với (P). Gọi A là điểm đối xứng với A qua (P)

A '(3;1;0) Để M (P) có MA + MB nhỏ nhất thì M là giao điểm của (P) với AB

M(2;2; 3) . Câu 341. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng có phương trình tham số x 1 2t; y 1 t; z 2t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Điểm M nên M 1 2t;1 t;2t ,

2 2 2 2AM BM (3t) (2 5) (3t 6) (2 5)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u 3t;2 5

và v 3t 6;2 5

.

Ta có 2 2 2 2u (3t) (2 5) ; v (3t 6) (2 5)

AM BM | u | | v |

và u v (6;4 5) | u v | 2 29

Mặt khác, ta luôn có | u | | v | | u v |

Như vậy AM BM 2 29

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v

cùng hướng 3t 2 5 t 13t 6 2 5

M(1;0;2) và min(AM BM) 2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11 29)


Câu 342. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x 3y 3z 11 0 và hai điểm A(3; 4;5) , B(3;3; 3) . Tìm điểm M (P) sao cho MA MB lớn nhất. Xét tương tự như câu 6). + Nếu A, B ở cùng phía so với (P) thì MA MB AB + Nếu A, B ở khác phía so với (P), ta lấy điểm A đối xứng với A qua (P). Khi đó MA MA MA MB MA MB A B

ĐS: 31 5 31M ; ;7 7 7

.

Câu 343. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 2y 2z 8 0 và các điểm A(–1;2;3), B(3;0;–1) . Tìm điểm M (P) sao cho 2 2MA MB nhỏ nhất.

Gọi I là trung điểm của AB I(1; 1; 1) . Ta có: 2

2 2 2 ABMA MB 2MI2

.

Do đó: 2 2MA MB nhỏ nhất 2IM nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I trên (P)

PIM, n cung phuongM (P)

x 1 t t 1y 1 2t x 0z 1 2t y 3x 2y 2z 8 0 z 1

. Vậy M(0; 3; –1).

Câu 344. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x y z 4 0 và các điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) . Tìm điểm M (P) sao cho

2 2MA 2MB nhỏ nhất.

Giả sử I là điểm thoả mãn: IA 2IB 0 IA 2IB

1 4 5I ; ;3 3 3

Ta có: 2 2 2 2 2MA 2MB 3MI IA 2IB . Do I cố định nên 2 2IA ,IB không đổi. Vậy 2 2MA 2MB nhỏ nhất 2MI nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình

chiếu của I trên (P) 5 14 17M ; ;9 9 9

.

Câu 345. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 0 . Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2F MA MB MC . Khi đó tìm toạ độ của M. Gọi G là trọng tâm của ABC

G 7 8; ;33 3

; 2 2 2 56 32 104 64GA GB GC9 9 9 3

Ta có 2 2 22 2 2F MA MB MC MG GA MG GB MG GC


2 2 2 2

2 2 2 2

3MG GA GB GC 2MG(GA GB GC)3MG GA GB GC

F nhỏ nhất MG2 nhỏ nhất M là hình chiếu của G lên (P)

7 8 3 3193 3MG d(G,(P))

1 1 1 3 3

Vậy F nhỏ nhất bằng 219 64 5533.

3 93 3

khi M là hình chiếu của G lên (P).

Câu 346. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( 1;0;1) , B(2; 1;0) , C(2;4;2) và mặt phẳng (P): x y 2z 2 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức 2 2 2T MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Giả sử M(x; y;z) (P) x y 2z 2 0 (x 1) (y 1) 2(z 1) 6 0 (1) Ta có: 2 2 2 2 2 2T 3(x y z 2x 2y 2z) 31 3 (x 1) (y 1) (z 1) 22 (2) Từ (1), áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho các bộ số: (1;1;2) và (x 1;y 1;z 1) , ta

được: 22 2 2 2( 6) 1(x 1) 1(y 1) 2(z 1) (1 1 4) (x 1) (y 1) (z 1)

26T 3. 22 40

6 . Dấu "=" xảy ra

x 0x 1 y 1 z 1y 01 1 2

x y 2z 2 0 z 1

M(0;0; 1) . Câu 347. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x y z 4 0 và các điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C(0;0;3) . Tìm điểm M (P) sao cho 2 2 2MA 3MB 2MC nhỏ nhất. Tương tự Câu 348. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x y z 1 0 và các điểm A(1;2; 1) , B(1;0; 1) , C(2;1; 2) . Tìm điểm M (P) sao cho 2 2 2MA MB MC nhỏ nhất.

ĐS: 2 1 2M ; ;3 3 3

.

Câu 349. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x y 2z 0 và các điểm A(1;2; 1) , B(3;1; 2) , C(1; 2;1) . Tìm điểm M (P) sao cho 2 2 2MA MB MC nhỏ nhất. ĐS: M 2; 2; 2 .


Câu 350. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x y z 3 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA 2MB 3MC

nhỏ nhất.

Gọi I là điểm thoả: IA 2IB 3IC 0

23 13 25I ; ;6 6 6

Ta có: T = MA 2MB 3MC MI IA 2 MI IB 3 MI IC 6MI 6 MI

Do đó: T nhỏ nhất MI

nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên (P). Ta tìm

được: 13 2 16M ; ;9 9 9

. Khi đó 43 3min T3

.

Câu 351. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x y z 4 0 và các điểm A(1;2;1) , B(0;1;2) , C(0;0;3) . Tìm điểm M (P) sao cho MA 3MB 4MC

nhỏ nhất.

Giải tương tự Câu 352. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x y z 1 0 và ba điểm A(2;1;3),B(0; 6;2),C(1; 1;4) . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB MC

đạt giá trị bé nhất.

Dễ thấy A,B,C không thẳng hàng. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , thì G(1; 2;3) . Khi đó với mọi M (P) ta có MA MB MC 3MG

, do đó

MA MB MC

đạt giá trị bé nhất MG

đạt giá trị bé nhất M là hình chiếu vuông góc của G trên (P) .

(P) có VTPT n (1;1;1) . Giả sử 0 0 0 0 0 0M(x ; y ;z ) (P) x y z 1 0 (1).

M là hình chiếu của G trên (P) 0 0 0GM x 1;y 2;z 3

cùng phương với n

0 0 0 0 0 0x 1 y 2 z 3 (x 1) (y 2) (z 3)1 1 1 1 1 1

0 0 0(x y z 1) 1 13 3

0 0 0

2 7 8x , y ,z3 3 3

. Vậy 2 7 8M ; ;

3 3 3

.

Câu 353. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x 3y 2z 37 0 và các điểm A(4;1;5),B(3;0;1),C( 1;2;0) . Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S = MA.MB MB.MC MC.MA

Giả sử M(x; y;z) (P) 3x 3y 2z 37 0 (1) Khi đó 2 2 2S 3 (x 2) (y 1) (z 2) 5 . Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta được: 22 2 2 2( 44) 3(x 2) 3(y 1) 2(z 2) (9 9 4) (x 2) (y 1) (z 2)

2

2 2 2 44(x 2) (y 1) (z 2) 8822

.


Dấu "=" xảy ra x 2 y 1 z 23 3 2

x 4y 7z 2

M(4;7; 2) .

Vậy minS 3.88 5 259 khi M(4;7; 2) . Câu 354. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2),B( 1;1;0) và mặt phẳng (P): x y z 0 .Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MAB vuông cân tại B Giả sử M(x;y;z) (P) . BA (1;0;2),MB (x 1; y 1;z)

.

Ta có:

M (P)

BA.BM 0BA BM

2 2 2

x 1 2z 0x y z 0(x 1) (y 1) z 5

1 10 4 10x x3 3

4 10 2 10y y6 6

2 10 2 10z z6 6

Câu 355. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B( 1; 3; 0) , C(1; 3; 0) , M(0; 0; a) với a > 0. Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC). Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất

BCMN MOBC NOBC3 3V V V a

3 a

đạt nhỏ nhất 3aa

a 3 .

Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng

Câu 356. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 2t

d : y tz 1 2t

và

mặt phẳng (P): x y z 1 0 . Gọi d là hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). Tìm toạ độ điểm H thuộc d sao cho H cách điểm K(1;1;4) một khoảng bằng 5.

Gọi A = d (P) A(4; 2;3) . PT hình chiếu d của d trên (P): x 4 7ty 2 2tz 3 5t

.

Giả sử H(4 7t; 2 2t;3 5t) d . 2KH 25 11 238t39

H.

Câu 357. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) và


. Tìm toạ độ điểm M trên sao

cho: 2 2MA MB 28 .


PTTS của x 1 t

: y 2 tz 2t

. M M(1 t; 2 t;2t)

Ta có: 2 2 2MA MB 28 12t 48t 48 0 t 2 M( 1;0;4) Câu 358. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;0), B(2;2;2), C( 2;3;1)


. Tìm điểm M trên d để thể tích tứ diện

MABC bằng 3.

Ta có x 1 2t

d : y 2 tz 3 2t

.

Giả sử M(1 2t; 2 t; 3 2t) d . 1n AB; AC (1; 2; 2)3 ABC

9S2

.

PT mặt phẳng (ABC): x 2y 2z 2 0 . 4t 11h d(M,(ABC)3

MABC1 9 4t 11 5V . . 3 t3 2 3 4

hoặc 17t

4

3 3 1M ; ;2 4 2

hoặc 15 9 11M ; ;2 4 2

.

Câu 359. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d: x 1 y z 3

1 1 1

. Tìm trên d hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều.

Gọi H là hình chiếu của M trên d. Ta có: MH = d(M,d) 2 . Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên:

MA = MB = AB = 2MH 2 633

Do đó, toạ độ của A, B là nghiệm của hệ: 2 2 2

x 2 y z 31 1 1

8(x 2) (y 1) (z 2)3

.

Giải hệ này ta tìm được: 2 2 2 2 2 2A 2 ; ;3 , B 2 ; ;3

3 3 3 3 3 3

.

Câu 360. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng

d: x 1 ty 2 2tz 3

. Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều.


d có VTCP du ( 1;2;0)

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Giả sử 1 t; 2 2t;3H AH 1 t;1 2t;0

Mà AH d nên dAH u

1 t 1 2t1 2 0 1t5

6 8H ; ;35 5

AH = 3 55

. Mà ABC đều nên BC = 2AH 2 1553

hay BH = 155

.

Giả sử B(1 s;2 2s;3) thì 2 21 2 15s 2s

5 5 25

225s 10s 2 0 1 3s5

Vậy: 6 3 8 2 3B ; ;35 5

và 6 3 8 2 3C ; ;35 5

hoặc 6 3 8 2 3B ; ;35 5

và 6 3 8 2 3C ; ;35 5

Câu 361. Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng

(d) : x 1 y z 21 2 2

và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z 0 .

Gọi A(a; 0; 0) Ox 2 2 2

2a 2ad(A; (P))32 1 2

;

28a 24a 36d(A; d)3

d(A; (P)) = d(A; d) 2

22a 8a 24a 36 4a 24a 36 03 3

24(a 3) 0 a 3. Vậy có một điểm A(3; 0; 0). Câu 362. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y 2z –1 0

và hai đường thẳng 1 : x 1 y z 9

1 1 6

; 2 : x 1 y 3 z 1

2 1 2

. Xác định tọa độ

điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. M (–1 + t; t; –9 + 6t) 1;2 qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương a = (2; 1; –2) AM

= (t – 2; t – 3; 6t – 8) AM;a

= (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t)

Ta có : d (M, 2) = d (M, (P)) 2261t 792t 612 11t 20

35t2 – 88t + 53 = 0 t = 1 hay t = 5335

. Vậy M (0; 1; –3) hay M 18 53 3; ;35 35 35

.


Câu 363. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1x 1 y z 2:

2 1 1

và 2x 1 y 1 z 3:

1 7 1

. Đường vuông góc chung của 1 và

2 cắt 1 tại A, cắt 2 tại B. Tình diện tích OAB. 1 có VTCP 1u (2; 1;1)

, 2 có VTCP 2u (1;7; 1)

Giả sử 1 1 1 1A(1 2t ; t ; 2 t ) , 2 2 2 2B( 1 t ;1 7t ;3 t ) .

Ta có: 1 1

22

AB.u 0 t 0 A(1;0; 2)t 0 B( 1;1;3)AB.u 0

OAB

1S OA,OB2

= 62

.

Câu 364. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 2y 2z 1 0 và

các đường thẳng 1 2

x 1 y 3 z x 5 y z 5d : ; d :

2 3 2 6 4 5

. Tìm các điểm

1 2M d , N d sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.

PTTS của d1 là: x 1 2ty 3 3tz 2t

. M d1 nên tọa độ của M 1 2t;3 3t;2t .

Theo đề: 2 2 2

t 11 2t 2(3 3t) 4t 1 12t 6d(M;(P)) 2 2t 031 ( 2) 2

+ Với t = 1 ta được 1M 3;0;2 + Với t = 0 ta được 2M 1;3;0 a) Ứng với M1, điểm N1 2d cần tìm phải là giao của d2 với mp qua M1 và // (P),

gọi mp này là (Q1). PT (Q1) là: (x 3) 2y 2(z 2) 0 x 2y 2z 7 0 (1) .

PTTS của d2 là: x 5 6ty 4tz 5 5t

(2)

Thay (2) vào (1), ta được: t = –1. Điểm N1 cần tìm là N1(–1;–4;0). b) Ứng với M2, tương tự tìm được N2(5;0;–5).

Câu 365. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y 2z 1 0 và

các đường thẳng 1x 1 y 3 z

d :2 21

, 2x 5 y z 5

d :43 2

. Tìm các điểm 1 2A d , B d

sao cho AB // (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1. Giả sử: 1 1 1 1A(2t 1, t 3, 2t ) d , 2 2 2 2B(3t 5,4t ,2t 5) d 2 1 2 1 2 1AB (3t 2t 4,4t t 3,2t 2t 5)

P 2 1 2 1 2 1AB.n 0 2(3t 2t 4) 4t t 3 2(2t 2t 5) 0

2 16t t 1 0

1 1 1 14t 2 t 3 4t 1 t 2AB (P) d(AB,(P)) d(A,(P)) 1

3 3


1

1

t 5t 1

Với 1 22 8 11t 5 t A( 9; 2;10),B 7; ;3 3 3

Với 1 21 4 17t 1 t A(3;4; 2),B 4; ;

3 3 3

Câu 366. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất.

Ta có AB ( 1; 4; 3)

. Phương trình đường thẳng AB: x 1 ty 5 4tz 4 3t

.

Gọi D(1 a;5 4a;4 3a) AB DC (a;4a 3;3a 3)

. Độ dài đoạn CD ngắn nhất D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB

AB DC

a 16a 12 9a 9 0 21a26

. Vậy: 5 46 41D ; ;26 26 26

.


1x 1 y z 1d :

2 1 1

và 2x y zd :1 1 2 . Tìm các điểm M thuộc 1d , N thuộc 2d sao cho

đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P): x y z 2012 0 và độ dài đoạn MN bằng 2 . Lấy 1 2M d , N d . Ta có

PMN (P) MN.n 0MN 2 MN 2

3 2 5M(0;0;0), N ; ;

7 7 7

.

Câu 368. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x y 2 z 1d :1 1 1

và các điểm A(1;0;0),B(0;1;1),C(0;0;2) . Tìm điểm M thuộc d sao cho góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng 030 . ĐS: M(0; 2;1) . Câu 369. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

1

x 1 t( ) : y 1 t

z 2

và 2x 3 y 1 z( ) :

1 2 1

. Xác định điểm A trên 1 và điểm B trên

2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Giả sử A(t+1; –t –1; 2) 1, B( t'+3; 2t' +1; t') 2

AB ( t ' t 2;2t ' t 2; t ' 2)

Vì đoạn AB có độ dài nhỏ nhất AB là đoạn vuông góc chung của (1) và (2)


1 1

2 2

AB u AB.u 0 2t 3t ' 0t t ' 0

3t 6t ' 0AB u AB.u 0

A( 1; –1;2), B(3; 1; 0).

Câu 370. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2)

và đường thẳng x 2 4t

d : y 6tz 1 8t

. Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA + IB đạt

giá trị nhỏ nhất. AB (2; 3; 4)

AB // d. Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d .

Ta có: IA + IB = IA1 + IB A1B . Do đó IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B. Khi đó A1, I, B thẳng hàng I là giao điểm của A1B và d. Vì AB // d nên I là trung điểm của A1B.

Gọi H là hình chiếu của A lên d. Tìm được H 36 33 15; ;29 29 29

. A’ đối xứng với A

qua H nên A’ 43 95 28; ;29 29 29

. I là trung điểm của A’B suy ra I 65 21 43; ;29 58 29

.

Câu 371. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và


. Tìm toạ độ điểm M trên sao cho MAB có diện

tích nhỏ nhất.

PTTS của : x 1 2ty 1 tz 2t

. Gọi M( 1 2t;1 t;2t) .

Diện tích MAB là 21S AM,AB 18t 36t 216

2

= 218(t 1) 198 ≥ 198

Vậy Min S = 198 khi t 1 hay M(1; 0; 2). Câu 372. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5;8; 11) , B(3;5; 4) ,

C(2;1; 6) và đường thẳng x 1 y 2 z 1d :2 1 1

. Xác định toạ độ điểm M thuộc

đường thẳng d sao cho MA MB MC

đạt giá trị nhỏ nhất. Giả sử M(2t 1;2t 2; t 1) d MA MB MC ( 2t 1; 2t 4; t)

MA MB MC

= 2

2 2 2 10 53 53(2t 1) (2t 4) t 9 t9 9 3

Dấu "=" xảy ra 10t9

11 2 1M ; ;9 9 9


Câu 373. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho (P) : x 2y z 5 0 điểm

A( –2; 3; 4) và đường thẳng x 3(d) : y 1 z 32

. Gọi là đường thẳng nằm trên

(P) đi qua giao điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.

PTTS của d: x 2t 3y t 1z t 3

. Gọi I là giao điểm của (d) và (P) I( 1;0;4)

(d) có VTCP là a (2;1;1) , (P) có VTPT là n (1;2; 1)

a,n ( 3;3;3) .

Gọi u là vectơ chỉ phương của u ( 1;1;1)

x 1 u: y u

z 4 u

.

Vì M M( 1 u;u;4 u) , AM (1 u;u 3;u)

AM ngắn nhất AM AM.u 0 1(1 u) 1(u 3) 1.u 0 4u

3 .

Vậy 7 4 16M ; ;3 3 3

Câu 374. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình x 3y z 2 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Gọi là giao tuyến của (P) và (Q). Tìm điểm M thuộc sao cho độ dài đoạn thẳng OM là nhỏ nhất.

Gọi I là trung điểm của AB 3 3 3I ; ; ; AB ( 1; 1; 1)2 2 2

PT (Q): 3x y z 02

là giao tuyến của (P) và (Q) PTTS của : 7 1x 2t; y t; z t4 4

.

Giả sử 27 1 15 25M 2t; t; t ; OM 6t t4 4 2 8

.

OM nhỏ nhất khi 5 1 5 3t M ; ;8 2 8 8

.


(d1): x 3 y z 1

1 1 2

, (d2): x 2 y 2 z

1 2 1

. Một đường thẳng () đi qua điểm

A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d1) tại điểm B và cắt đường thẳng (d2) tại điểm C. Chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC.

Lấy B (d1), C (d2). Từ : AB kAC

1k2

B là trung điểm của đoạn thẳng

AC. Ta có thể tính được B(2; –1; 1), C(3; –4; –1).


Câu 376. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E(2;1;5), F(4;3;9) . Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x y z 1 0 và (Q) : x y 2z 7 0 . Tìm điểm I thuộc sao cho: IE IF lớn nhất .

PTTS của : x 1 ty 5tz 3 3t

. PTTS của EF: x 2 ty 1 tz 5 2t

.

Xét hệ: 1 t 2 t

t 05t 1 t

t 13 3t 5 2t

EF cắt tại A(1;0;3).

Trong mp( ,EF) mọi điểm I ta có IE IF EF (hiệu 2 cạnh trong 1 tam giác nhỏ hơn cạnh thứ 3). Dấu "=" xảy ra I, E, F thẳng hàng, từ đó suy ra I trùng A.

Vậy điểm I(1;0;3).

Câu 377. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y zd :1 1 1 và hai

điểm A(0;0;3) , B(0;3;3) . Tìm điểm M d sao cho: a) MA MB nhỏ nhất. b) 2 2MA 2MB nhỏ nhất. c) MA 3MB

nhỏ nhất.

a) PTTS của d: x ty tz t

.

Gọi M(t; t; t) d . Ta có: 2 2P 3 (t 1) 2 (t 2) 2 Xét hàm số

2 2f (t) (t 1) 2 (t 2) 2 2 2

t 1 t 2f (t)(t 1) 2 (t 2) 2

2 2

t 1 t 2f (t) 0(t 1) 2 (t 2) 2

2 2

t 1 (t 2)(t 1) 2 (t 2) 2

(*)

Xét hàm số 2

ug(u)u 2

.

Ta có 222 2 3

u 1 2g (u) u 2 u. . 0u 2u 2 (u 2)

nên hàm số g đồng

biến trên .

Do đó từ (*), ta có 3g(t 1) g (t 2) t 1 t 2 t2

Dựa vào BBT của hàm số f ta suy ra 3min f (t) f 32

.

Vậy min(MA MB) 3 3 đạt được tại 3t2

, tức là 3 3 3M ; ;2 2 2

.

b) Tương tự câu 1), ta tính được


2 2 2 2Q MA 2MB 9t 30t 45 (3t 5) 20 .

min Q 20 khi 5t3

, tức 5 5 5M ; ;2 2 2

.

c) Theo câu 1) , ta có MA ( t; t;3 t)

, MB ( t;3 t;3 t)

.

Suy ra MA 2MB (t;t 6;t 3)

2 2MA 2MB 3t 18t 45 3(t 3) 18 3 2

Vậy min MA 2MB 3 2

khi t 3 , tức M(3;3;3) . Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu Câu 378. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

2 2 2x y z 4x–6y m 0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2x – 2y – z 1 0 , (Q): x 2y – 2z – 4 0 và . Tìm m để (S) cắt (d) tại 2 điểm M, N sao cho độ dài MN = 8. Ta có (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13 m IM (m 13) . Gọi H là trung điểm

của MN MH= 4 IH = d(I; d) = m 3

(d) qua A(0;1;-1), VTCP u (2;1;2)

d(I; d) = u;AI

3u

.

Vậy m 3 =3 m = –12. Câu 379. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 3 0 và mặt cầu (S): 2 2 2x y z 6x 8y 2z 23 0 . Tìm trên (S) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó hãy viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4. Mặt cầu (S) có tâm I(3;4;1) , bán kính R = 3

Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc với (P) PTTS của d: x 3 ty 4 tz 1 t

Khi đó M là giao điểm của d với (S) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

2 2 2

x 3 t t 1 t 1y 4 t x 4 x 2z 1 t y 5 y 3

z 0 z 2x y z 6x 8y 2z 23 0

1 2M (4;5;0),M (2;3;2) Ta thấy 1d(M ,(P)) 4 3 > 2d(M ,(P)) 2 3 . Vậy M(4;5;0) là điểm cần tìm.

Mặt cầu (T) có 2 2 2 2R ' MH HE (4 3) 4 8 2 2 2(T) :(x 4) (y 5) z 64


Câu 380. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là 2 2 2(S) : x y z 4x 2y 6z 5 0, (P) : 2x 2y z 16 0 . Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN. Xác định vị trí của M, N tương ứng. Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) và có bán kính R = 3. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P):

2.2 2.( 1) 3 16d d I, P 5 d R

3

.

Do đó (P) và (S) không có điểm chung. Do vậy, min MN = d –R = 5 –3 = 2. Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0. Dễ thấy N0 là hình chiếu

vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S).

Gọi là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P), thì N0 là giao điểm của và (P).

Đường thẳng có VTCP là Pn 2;2; 1

và qua I nên có pt là x 2 2ty 1 2tz 3 t

.

Tọa độ của N0 ứng với t nghiệm đúng phương trình:

15 52(2 2t) 2( 1 2t) (3 t) 16 0 9t 15 0 t9 3

Suy ra 04 13 14N ; ;3 3 3

. Ta có 0 03IM IN .5

Suy ra M0(0;–3;4)

Câu 381. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(0;1;1) ,B(1;0; 3),C( 1; 2; 3) và mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2x y z 2x 2z 2 0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. (S) có tâm I(1; 0; –1), bán kính R 2 . PT mp(ABC): 2x 2y z 1 0

Ta có ABCD ABC1V d(D;(ABC)).S3

nên ABCDV lớn nhất d(D;(ABC)) lớn nhất .

Gọi 1 2D D là đường kính của (S) vuông góc với mp(ABC). Ta thấy với D là 1 điểm bất kỳ thuộc (S) thì 1 2d(D;(ABC)) max d(D ;(ABC)); d(D ;(ABC)) .

Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2..

1 2D D đi qua I(1;0;–1), và có VTCP là ABCn (2; 2;1)

1 2D D : x 1 2t; y 2t;z 1 t Tọa độ D1 và D2 thỏa:

2 2 2

x 1 2t 2ty 2t 3z 1 t 2t

3(x 1) y (z 1) 4

1 27 4 1 1 4 5D ; ; ;D ; ;3 3 3 3 3 3

Ta thấy: 1 2d(D ;(ABC)) d(D ;(ABC)) . Vậy điểm 7 4 1D ; ;3 3 3

là điểm cần tìm.


Dạng 4: Xác định điểm trong không gian Câu 382. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (): 3x 2y – z 4 0 và hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (), đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và ().

I(2;2;0). PT đường thẳng KI: x 2 y 2 z3 2 1

.

Gọi H là hình chiếu của I trên (): H(–1;0;1). Giả sử K(xo;yo;zo). Ta có:

KH = KO 0 0 0

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

x 2 y 2 z3 2 1

(x 1) y (z 1) x y z

1 1 3K ; ;4 2 4

.

Câu 383. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1). Tìm tọa độ điểm M để 2 2 2 2MA MB MC MD đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: 7 14G ; ;03 3

. Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2MA MB MC MD 4MG GA GB GC GD 2 2 2 2GA GB GC GD .

Dấu bằng xảy ra khi M 7 14G ; ;03 3

.

Câu 384. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 3 0 và điểm A(0; 1; 2). Tìm toạ độ điểm A đối xứng với A qua mặt phẳng (P). (P) có VTPT n (1;1;1)

. Giả sử A(x; y; z).

Gọi I là trung điểm của AA x y 1 z 2I ; ;2 2 2

.

A đối xứng với A qua (P) AA ,n cung phuongI (P)

x y 1 z 21 1 1x y 1 z 2 3 02 2 2

x 4y 3z 2

Vậy: A(–4; –3; –2). Câu 385. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và mặt phẳng ( ) : x 2y 2 0. Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ( ). Giả sử 0 0 0M(x ; y ;z ) .


Ta có: MA MBMB MCMA d(M,( ))

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0

22 2 2 0 0

0 0 0

(x 1) y z x (y 1) z (1)

x (y 1) z x (y 3) (z 2) (2)

(x 2y 2)(x 1) y z (3)5

0 0 0

0 0

x 1, y 1,z 223 23 14x , y ,z3 3 3

M(1; 1; 2) hoặc 23 23 14M ; ;3 3 3

.

Câu 386. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) . Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36. Phương trình (ABC) : x y z 3 0 .

ABC có trọng tâm G(1;1;1) và AB= BC= CA= 3 2 ABC9 3S

2 .

Do hình chóp S.ABC đều nên đường thẳng SG qua G và vuông góc với (ABC)

Phương trình x 1 t

SG : y 1 tz 1 t

. Giả sử S(1 t;1 t;1 t)

Ta có : VS.ABC=36= 1 SG.3

SABC t 8, t 8 .

Vậy: S(9;9;9) hoặc S( 7; 7; 7) . Dạng 5: Xác định điểm trong đa giác Câu 387. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A và (P) BC; (Q) qua B và (Q) AC

Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trên ta được trực tâm H 36 18 12; ;49 49 49

Câu 388. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A( 1;3;5) , B( 4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: AB BC CA 3 2 ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại

tiếp ABC cũng là trọng tâm của nó. Kết luận: 5 8 8I ; ;3 3 3

.

Câu 389. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3). Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: AB (2; 2; 2), AC (0; 2;2).

Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực

của AB, AC là: x y z 1 0, y z 3 0.


VTPT của mp(ABC) là n AB,AC (8; 4;4). Suy ra (ABC):

2x y z 1 0 .

Giải hệ: x y z 1 0 x 0

y z 3 0 y 22x y z 1 0 z 1

. Suy ra tâm đường tròn là I(0; 2;1).

Bán kính là 2 2 2R IA ( 1 0) (0 2) (1 1) 5. Câu 390. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1) , B( 1;2;0) , C(1;1; 2) . Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. H(x; y;z) là trực tâm của ABC BH AC,CH AB,H (ABC)

BH.AC 02 29 1CH.AB 0 x ; y ;z

15 15 3AB,AC .AH 0

2 29 1H ; ;

15 15 3

I(x; y;z) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC AI BI CI, I (ABC)

2 2

2 2

AI BICI BI

AB,AC AI 0

14 61 1 14 61 1x ; y ; z I ; ;15 30 3 15 30 3

Câu 391. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( 1;0;1),B(1;2; 1),C( 1;2;3) và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz). Phương trình (ABC) : 2x y z 1 0 . Gọi I(x; y;z) . IA IB IC x y z 1 0, y z 3 0 (1) ;

I (ABC) 2x y z 1 0 (2) Từ (1) (2) I(0; 2;1) . Bán kính mặt cầu là R d(I,(Oxz)) 2 (S): 2 2 2x (y 2) (z 1) 4 Câu 392. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt phẳng (Oxy) và C nằm trên trục Oz. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho điểm H(2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC. Giả sử B(x; y;0) (Oxy),C(0;0;z) Oz .

H là trực tâm của ABC

AH BC

CH AB

AB,AC,AH cung phuong

AH.BC 0

CH.AB 0

AB,AH .AC 0


x z 02x y 7 03x 3y yz z 0

3 177 17 177 3 177x ; y ;z4 2 4

3 177 17 177 3 177x ; y ;z4 2 4

3 177 17 177 3 177B ; ;0 ,C 0;0;4 2 4

hoặc 3 177 17 177 3 177B ; ;0 ,C 0;0;4 2 4

Câu 393. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) và hai đường thẳng có phương

trình 1x 2 y 3 z 3d :

1 1 2

và 2x 1 y 4 z 3d :

1 2 1

. Chứng minh đường thẳng

d1, d2 và điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH và d2 chứa đường trung tuyến CM của tam giác ABC. d1 qua M1(2; 3; 3), có VTCP a (1;1; 2)

; d2 qua M2(1; 4; 3) có VTCP b (1; 2;1)

Ta có 1 2a,b 0 , a,b .M M 0

1 2d ,d cắt nhau.

Phương trình mặt phẳng chứa 1 2d ,d : x y z – 8 0 1 2A mp(d ,d ) .

Giả sử 1B(2 t;3 t;3 2t) d trung điểm của AB là t 5 t 5M ; ;3 t2 2

2M d t 1 M(2;2;4) B(1;2;5) . Giả sử 2C(1 t;4 2t;3 t) d . AC a

t = 0 C(1;4;2)

Câu 394. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao CH, đường phân giác trong BM của góc B lần lượt có phương trình là

1x 2 y 3 z 3d :

1 1 2

, 2x 1 y 4 z 3d :

1 2 1

. Tính độ dài các cạnh của tam giác

của tam giác ABC. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với 1d (P): x y – 2z 1 0 . B là

giao điểm của 2d với (P) B(1;4;3) . Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với 2d (Q): x 2y z 2 0 .

Gọi K là giao điểm của 2d với (Q) K(2;2;4) . Gọi E là điểm đối xứng của A qua K E(1;2;5) .

Phương trình đt BE là x 1y 4 tz 3 t

. C là giao điểm của BE và CH C(1;2;5) .

Ta có AB = AC = BC = 2 2 Tam giác ABC đều.


Câu 395. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A 3; 1; 2 , B 1;5;1 , C 2;3;3 , trong đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm toạ

độ điểm D. Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3. Gọi là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính

R = 3. Điểm D cần tìm là giao điểm của và (S).

Đt có vectơ chỉ phương AB 2;6;3

nên có phương trình: x 2 2ty 3 6tz 3 3t

Phương trình mặt cầu 2 2 2(S) : (x 3) (y 1) (z 2) 9 Toạ độ điểm D thoả Hệ PT:

2

2 2 2

x 2 2tt 1y 3 6t

49t 82t 33 0 33z 3 3t t49

x 3 y 1 z 2 9

Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = 7

Với 33 164 51 48t D ; ;49 49 49 49

(nhận)

Câu 396. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với A( 1;2;1) , B(2;3;2) . Tìm tọa độ các đỉnh C, D và viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi đó

biết rằng tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng x 1 y z 2d :1 1 1

và điểm D có

hoành độ âm. Gọi I( 1 t; t;2 t) d . Ta có IA (t;2 t; 1 t), IB (3 t;3 t; t)

.

Do ABCD là hình thoi nên 2IA.IB 0 3t 9t 6 0 t 1, t 2

. Vì C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên: + Với t 1 I(0;1;1) C(1;0;1), D( 2; 1;0) . + Với t 2 I(1;2;0) C(3;2; 1), D(0;1; 2) Do D có hoành độ âm nên ta chọn được nghiệm C(1;0;1), D( 2; 1;0) + Gọi (P) là mặt phẳng chứa hình thoi ABCD, giả sử (P) có VTPT n

Ta có n IA ( 1;1;0)

n IB (2;2;1)

có thể chọn n IA,IB (1;1; 4)

Suy ra phương trình mặt phẳng (P) : x y – 4z 3 0 .. Câu 397. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, A(1;0;0) , C( 1;2;0) , D( 1;0;0) , S(0;0; 3) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn SB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AM và BN vuông góc với nhau và xác định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB.


AB DC

B(1; 2; 0). M là trung điểm SB, N là trung điểm CD

1 3M ;1;2 2

, N(–1; 1; 0) AM BN. Vì ONB nằm trong mp(Oxy) nên tâm

I của đường tròn ngoại tiếp ONB thuộc mp(Oxy).

Gọi I(x; y;0) . Ta có: IO INIO IB

1 7I ; ;06 6

.

Câu 398. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M(5;3; 1) , P(2;3; 4) . Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng (R) : x y z 6 0.

Gọi I là tâm hình vuông 7 5I ;3;2 2

. Gọi N(a;b;c) (R) . MP ( 3;0; 3)

.

7 5IN a ;b 3;c2 2

; MP 3 2 3 2IN

2 .

Ta có:

N (R)

IN MP

3 2IN2

2 22

a b c 6 07 53 a 3 c 02 2

7 5 9a (b 3) c2 2 2

a 2,b 3,c 1a 3,b 1,c 2

+ Nếu N(2;3 1) thì Q(5;3; 4). + Nếu N(3;1; 2) thì Q(4;5; 3).

Câu 399. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3;0;8) , D( 5; 4;0) và đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm C. Ta có trung điểm BD là I(–1;–2;4),BD=12 và điểm A thuộc mp(Oxy) nên

A(a;b;0). ABCD là hình vuông

2 2

22

AB AD

1AI BD2

2 2 2 2 2

2 2 2

(a 3) b 8 (a 5) (b 4)(a 1) (b 2) 4 36

2 2

b 4 2a(a 1) (6 2a) 20

a 1b 2

hoặc

17a514b5

A(1; 2; 0)

hoặc 17 14A ; ;05 5

Với A(1; 2; 0) C(–3;–6; 8)

Với 17 14A ; ;05 5

27 6C ; ;85 5

.


Câu 400. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết A(1;2;0),C(2;3; 4) . và đỉnh B nằm trên mặt phẳng (Q): x 2y z 3 0 . Tìm toạ độ của đỉnh D, biết toạ độ của B là những số nguyên. Ta có AC 3 2 AB 3 . Gọi B(x; y;z) .

Ta có: B (Q)AB CBAB 3

2 2 2 2 2 2

2 2 2

x 2y z 3 (1)(x 1) (y 2) z (x 2) (y 3) (x 4) (2)(x 1) (y 2) z 9 (3)

x 1; y 1; z 2 B( 1;1;2) . Vậy D(4;4; 6) .



Bài 401: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC,BD lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho MN không song song BC, MP không song song AD. Tìm các giao tuyến sau:

a) (MNP) (ABC) b) (MNP) (ABD)

c) (MNP) (BCD) d) (MNP) (ACD)

Bài 402: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN không song song BC,trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau:

a) (MNI) (ABC) b) (MNI) (BCD)

c) (MNI) (ABD) d) (MNI) (ACD)

Bài 403: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến sau:

a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SAD) (SBC

Bài 404: Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N. Tìm các giao tuyến sau:

a) (BMN) (ACD) b) (CMN) (ABD) c) (DMN) (ABC)

Bài 405: Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm I ,trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm J,K.Tìm các giao tuyến sau:

a) (ABJ) (ACD) b) (IJK) (ACD)

c) (IJK) (ABD) d) (IJK) (ABC)

Bài 406: Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J là trung điểm của AD và BC

a) Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau

b) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (JAD)

c) Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC .Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (DMN)

Bài 407: Cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng và một điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC).Gọi A’,B’,C’ là các điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng OA,BO,OC. Giả sử A’B’ AB D, B’C’ BC E, C’A’ CA F. CMR 3 điểm D,E,F thẳng hàng

Bài 408:.Cho tứ diện ABCD. Gọi I là điểm nằm trên đường thẳng BD nhưng ngoài đoạn BD.Trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn AB và AD lần lượt tại K và L.Trong mặt phẳng (BCD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn CB và CD lần lượt tại M và N

a) Chứng minh rằng 4 điểm K,L,M,N cùng thuộc một mặt phẳng

b) Gọi O1= BNDM ; O2 = BLDK và J = LMKN. Chứng minh rằng ba điểm A,J,O1 thẳng hàng và ba điểm C,J,O2 cũng thẳng hàng


c) Giả sử hai đường thẳng KM và LN cắt nhau tại H,chứng minh rằng điểm H nằm trên đường thẳng AC

Bài 409: Cho 4 điểm A,B,C,D không cùng nằm trong một mặt phẳng

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD chéo nhau

b) Trên các đoạn AB và AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD tại I.Hãy xét xem điểm I thuộc những mặt phẳng nào? Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD)

Bài 410: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Gọi c là một đường thẳng cắt tại điểm I khác O

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (O,c) và

b) Gọi M là một điểm trên c khác I.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M,a) và (M,b). Chứng minh rằng giao tuyến này luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c

Bài 411: Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến d.Ta lấy hai điểmA ,B thuộc mặt phẳng nhưng không thuộc d và một điểm O nằm ngoài và

Các đường thẳng OA, OB lần lượt cắt tại A’ và B’.Giả sử đường thẳng AB cắt d tại C

a) Chứng minh rằng ba điểm O,A,B không thẳng hàng

b) Chứng minh rằng ba điểm A’,B’,C thẳng hàng và từ đó suy ra ba đường thẳng AB,A’B’ và d đồng qui

Bài 412:Cho tứ diện ABCD. Gọi A’,B’,C’,D’lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD,CDA,DAB và ABC

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BB’ cùng nằm trong một mặt phẳng

b) Gọi I là giao điểm của AA’ và BB’,chứng minh rằng : IA'IA =

IB'IB =

13

c) Chứng minh rằng các đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng qui

Bài 413: Cho tứ diện ABCD.Hai điểm M ,N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho AMAB

ANAC .Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn luôn đi qua MN,cắt CD và BD lần lượt tại E và F

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn luôn đi qua một điểm cố định

b) Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF

c) Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE


Bài 414: Cho tứ diện ABCD.Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.Các điểm M ,N ,P lần lượt

thuộc các đoạn thẳng AB,AC,AD sao cho MA NC PD 1= = =MB NA PA 2

.Gọi I MN BC và

J MP BD

a) Chứng minh rằng các đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng

b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CD và NI; H MG BE ; K GF mp BCD . Chứng minh rằng các điểm H ,K ,I ,J thẳng hàng

Bài 415: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC

a) Xác định I AN SBD và J MN SBD

b) Tính các tỉ số IA JM IB; và IN JN IJ

Bài 416: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB.Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC

a) Xác định giao tuyến SAD SBC

b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)

c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)

Bài 417: Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I,J.Tìm các giao điểm sau:

a) IJ SBC b) IJ SAC

Bài 418: Cho tứ diện ABCD,gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD.Tìm giao điểm của:

a) CD với mặt phẳng (MNP) b) AD với mặt phẳng (MNP)

Bài 419: Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB.Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS

a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)

b) Gọi M là trung điểm IH.Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC)

Bài 420: Cho hình chóp S.ABCD sao cho ABCD không phải là hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm M

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB)

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng AB,CD,MN đồng qui


Bài 421: Cho 2 hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong 1 mặt phẳng

a)Xác định các giao tuyến sau (AEC) (BFD) và (BCE) (AFD)

b) Lấy 1 điểm M trên đoạn DF. Tìm giao điểm AM BCE

Bài 422: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên cạnh BD,ta lấy điểm K sao cho BK = 2KD

a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK). CMR DE = DC

b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK). CMR FA = 2FD

c) Chứng minh rằng FK song song IJ

d) Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD.Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK)

Bài 423: Cho tứ diện SABC.Lấy các điểm A’,B’,C’lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC sao

cho 1 1 1SA = SA ;SB = SB ;SC = SC3 2 2

a) Tìm giao điểm E,F của các đường thẳng A’B’ và A’C’ lần lượt với mp (ABC)

b) Gọi I và J lần lượt là các điểm đối xứng của A’ qua B’ và C’. Chứng minh rằng IJ = BC và BI = CJ

c) Chứng minh rằng BC là đường trung bình của tam giác AEF

Bài 424: Trong mặt phẳng cho tam giác đều ABC. Gọi là mặt phẳng cắt theo giao tuyến BC.Trong mặt phẳng ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx và Cy song song với nhau và nằm cùng một phía với . Trên Bx và Cy ta lấy B’ và C’ sao cho BB’ = 2CC’

a) Tìm giao điểm D của đường thẳng BC với mặt phẳng (AB’C’) và tìm giao tuyến của mặt phẳng (AB’C’) với mặt phẳng

b) Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M sao cho AM = 23 AC’.Tìm giao điểm I của đường

thẳng B’M với mặt phẳng và chứng minh I là trung điểm của AD

c) Chứng minh rằng nếu B’ và C’ theo thứ tự chạy trên Bx và Cy sao cho BB’ = 2CC’ thì mặt phẳng (AB’C’) luôn luôn cắt theo một giao tuyến cố định

d) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC.Cạnh AC cắt DE tại G.

Hãy tính tỉ số AGAC và chứng minh rằng AD = 2AF

Bài 425 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O.Một mặt phẳng (P) lần lượt cắt các cạnh SA,SB,SC tại A’,B’,C’

a) Dựng giao điểm D’ của mặt phẳng (P) với cạnh SD


b) Gọi I là giao điểm của A’C’ với SO. Chứng minh rằng :

SASA' +

SCSC' = 2

SOSI

c) Chứng minh rằng: SASA' +

SCSC' =

SBSB' +

SDSD'

Bài 426: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AC,BC,BD lần lượt lấy các

điểm M,N,K. Tìm các giao điểm sau:

a) CD (MNK) b)AD (MNK)

Bài 427: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC,BC lần lượt lấy các điểm M,N,P.Tìm các giao điểm sau:

a) MN (ADP) b) BC (DMN)

Bài 428.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M, trong tam giác BCD lấy điểm N.Tìm các giao điểm sau:

a) BC (DMN) b) AC (DMN) c) MN (ACD)

Bài 429. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tứ giác ABCD lấy một điểm O,tìm giao điểm của AM với các mặt phẳng (SBC) ,(SCD)

Bài 430. Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB, AC lấy 2 điểm M, N trong tam giác BCD lấy điểm P.Tìm các giao điểm sau:

a) MP (ACD) b) AD (MNP) c) BD (MNP)

Bài 431. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC.Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B

a) Tìm các giao tuyến (P) # (SAB) và (P) # (SBC)

b) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P)

c) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mp(SDC)

d) Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P). Chứng minh rằng E ,B ,F thẳng hàng

Bài 432. Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh BC,CD,AD lấy các điểm M,N,P.Dựng thiết diện của ABCD với mặt phẳng(MNP)

Bài 433. Cho h×nh chãp S.ABCD Trªn c¹nh SD lÊy ®iÓm M.Dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (BCM)

Bài 434. Cho tø diÖn ABCD.Trªn c¸c c¹nh AB,AC lÊy 2 ®iÓm M,N;trong tam gi¸c BCD lÊy ®iÓm I.Dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (MNI)


Bài 435.Cho hình chóp S.ABCD trên các cạnh SA,AB,BC lấy các điểm M,N,P.Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)

Bài 436. Cho hình chóp S.ABCD trên các cạnh SA,SB,SC lấy các điểm M,N,P.

a)Tìm giao điểm MN (ABCD)

b)Tìm giao điểm NP (ABCD)

c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(MNP)

Bài 437. Cho tứ diện ABCD. Trong 3 tam giác ABC, ACD và BCD lần lượt lấy 3 điểm M, N, P.

a) Tìm giao điểm MN (BCD)

b) Dựng thiết diện của tứ diện với mặt phẳng(MNP)

Bài 438. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB.Gọi M,N là trung điểm của SB và SC.

a) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC)

b) Tìm giao điểm SD (AMN)

c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN)

Bài 439. Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SCD ta lấy điểm M

a) Tìm giao tuyến (SBM) (SAC)

b) Tìm giao điểm của BM (SAC)

c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(ABM)

Bài 440 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)

c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN)

Bài 441.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm các cạnh CB và CD, M là điểm bất kỳ trên cạnh SA. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MHK)

Bài 442 Cho hình chóp S.ABCD có đáy lớn AD = 2BC. Gọi N là trung điểm của SB,M nằm trên cạnh SA sao cho AM = 2MS. Gọi là mặt phẳng thay đổi qua MN cắt BC và AD tại P và Q

a) Chứng minh rằng 4 đường thẳng MN,AB,CD và PQ đồng qui tại một điểm I


b) Gọi J và K lần lượt là giao điểm của SC và SD với . Chứng minh rằng ba điểm I ,J ,K thẳng hàng

c) Tìm (SAC) và (SBD)

d) Gọi R = MQNP , Chứng minh rằng điểm R chạy trên một đường thẳng cố định khi thay đổi

Bài 443 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a.Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B

a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK)

b) Tính diện tích của thiết diện ấy

Bài 444 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng . Trên các đoạn AC và BF lần lượt lấy các điểm M ,N sao cho:

AM = kAC và BN = kBF (0 < k < 1)

a) Giả sử k = 1/3 ;chứng minh rằng MN // DE

b) Giả sử MN // DE hãy tính k

Bài 445 Cho tứ diện ABCD .Trên các cạnh AC, BC, AD lấy 3 điểm M,N,P.Dựng giao tuyến (MNP) (BCD) trong các trường hợp sau:

a) PM cắt CD b) PM //CD

Bài 446 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm của SA và SC

a) Dựng các giao tuyến (SAB) (SCD) , (DMN) (ABCD)

b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (DMN)

Bài 447 Cho tứ diện ABCD .Gọi I, J là trung điểm AB, AD .Điểm M thay đổi trên cạnh BC

a) Tìm giao điểm N của CD và (IJM)

b) Gọi H là giao điểm của IM và JN ;K là giao điểm của IN và JM. Tìm tập hợp các điểm H; K khi M thay đổi trên cạnh BC

Bài 448 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD . Điểm M thay đổi trên cạnh SA

a) Dựng giao điểm N của SD và mặt phẳng (BCM)

b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BCM)

c) Gọi I =BM CN.Tìm tâp hợp điểm I khi M chạy trên SA

Bài 449 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành.Gọi H,K là trung điểm SA,SB


a) Chứng minh rằng HK//CD

b) Trên cạnh SC lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chóp với mp(MKH)

Bài 450 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành và điểm M thay đổi trên cạnh SD

a) Dựng giao tuyến (SAD) (SBC)

b) Dựng giao điểm N của SC và mặt phẳng(ABM); ABMN là hình gì ? Có thể là hình bình hành không ?

c) Gọi I là giao điểm của AN và BM.Chứng minh rằng khi M chạy trên cạnh SD thì I chạy trên 1 đường thẳng cố định

Bài 451 Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J K lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABC. Dựng thiết diện của ABCD với mặt phẳng (IJK)

Bài 452 Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J,K,L lần lượt là trung điểm của AB,BC, CD, DA .Chứng minh rằng IJKL là hình bình hành

Bài 453 Cho tứ diện ABCD .Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD .Chứng minh rằng HK//AB

Bài 454 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi M, N, P, Q là các điểm trên các cạnh BC, SC, SD, DA sao cho MN//BS, NP//CD, MQ//CD. Chứng minh rằng PQ//SA

Bài 455 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA ,SB ,SC ,và SD

a) Chứng minh rằng ME//AC, NF//BD

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng ME ,NF và SO (O là giao điểm của AC và BD) đồng qui

c) Chứng minh rằng 4 điểm M,N,E,F đồng phẳng

Bài 456 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật .Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng

b) Tứ giác MNEF là hình thoi

c) Ba đường thẳng ME, NF và SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD)

Bài 457.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD).Chứng minh IA =2IM

b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM).Chứng minh rằng F là trung điểm của SD và ABMF là một hình thang

c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB.Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SBD)


Bài 458 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, M là trung điểm của SC và N là trung điểm của OB

a) Tìm giao điểm I của SD với mặt phẳng (AMN)

b) Tính tỉ số SIID

Bài 459.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD. E là trung điểm của BC

a) Chứng minh rằng MN // BD

b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)

c) Gọi H và K lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng (MNE) với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH // BD

Bài 460 Cho tứ diện ABCD .Gọi I, J là trung điểm của BC và CD

a) Chứng minh rằng BD//(AIJ)

b) Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD. Chứng minh rằng HK//(ABD)

Bài 461 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .G là trọng tâm của tam giác SAB và E là điểm trên cạnh AD sao cho DE = 2EA. Chứng minh rằng GE // (SCD)

Bài 462 Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng.

a) Gọi M , N là trung điểm của AD,BE.Chứng minh rằng MN//(CDE)

b) Trên các đoạn AC và BF lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AM = kAC ; BN = kBF (0 < k < 1). Chứng minh rằng MN // (CDEF)

Bài 463 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi M, N là trung điểm của AB và AD.Mặt phẳng chứa MN và //SA

a) Dựng giao điểm của SC và

b) Dựng thiết diện của hình chóp với

Bài 464 Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M.Gọi là mặt phẳng qua M và // 2 cạnh AC,BD.Dựng thiết diện của tứ diện với

Bài 465 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành ,M là 1 điểm thay đổi trên cạnh AB.Mặt phẳng qua M và //SA và AD

a) Dựng thiết diện của với hình chóp .Chứng minh thiết diện là hình thang

b) Chứng minh rằng đoạn giao tuyến của với(SCD) thì//SD

c) Tìm quĩ tích giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện khi M thay đổi trên cạnh SD


Bài 466Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Điểm M thay đổi trên cạnh BC,mặt phẳng qua M và //AB và SC

a) Dựng giao tuyến (SAD) (SBC)

b) Dựng thiết diện của hình chóp với

c) Chứng minh rằng đoạn giao tuyến của với (SAD) thì //SD

Bài 467 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Gọi M,N là trung điểm SA,SB.Điểm P thay đổi trên cạnh BC

a) Chứng minh rằng CD//(MNP)

b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). Chứng minh rằng thiết diện là 1 hình thang.

c) Gọi I là giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện ,tìm quĩ tích điểm I

Bài 468.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Điểm M thay đổi trên cạnh SA

a) Tìm các giao tuyến (SAD) (SBC) ; (SAB) (SCD)

b) Dựng giao điểm N = SB (CDM)

c) Gọi I = CM DN ; J = DM CN. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh SA thì I,J chạy trên 2 đường thẳng cố định

Bài 469 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = CD = a và AB vuông góc CD. Lấy 1 điểm M trên cạnh AC, đặt AM = x (0< x < a). Mặt phẳng đi qua M và song song với AB và CD cắt BC,BD,AD lần lượt tại N, P, Q.

a) Chứng minh rằng MNPQ là 1 hình chữ nhật

b) Tính diện tích MNPQ theo a và x

c) Xác định x để diện tích MNPQ là lớn nhất

Bài 470 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc CD,tam giác BCD vuông tại C và góc BDC = 300 ; M là 1 điểm thay đổi trên cạnh BD; AB = BD = a; đặt BM = x . Mặt phẳng qua M và song song với AB, CD

a) Dựng thiết diện của tứ diện với

b) Tính diện tích S của thiết diện

c) Xác định vị trí của M trên BD để S lớn nhất

Bài 471 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a ,SB = b và tam giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy một điểm M ,đặt AM = x (0 < x < a). Mặt phẳng qua M, song song AC và SB lần lượt cắt BC ,SC ,SA tại N,P,Q

a) MNPQ là hình gì ?


b) Tính diện tích MNPQ. Xác định x để diện tích ấy lớn nhất

Bài 472 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, SAB là tam giác vuông tại A với SA = a.Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh AD, đặt AM = x (0 < x < a ). Gọi là mặt phẳng qua M và song song CD và SA

a) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ,thiết diện là hình gì

b) Tính diện tích thiết diện theo a và x

Bài 473 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều ABCD đáy lớn AB = 2a,hai cạnh bên AD và BC cắt nhau tại I. Tam giác SAB cân tại S và SI = 2a. Trên đoạn AI ta lấy một điểm M, đặt AM = x (0< x < 2a ). Mặt phẳng qua M song song SI và AB lần lượt cắt BI ,SB ,SA tại N ,P ,Q

a) Tính góc giữa SI và AB

b) MNPQ là hình gì ?

c) Tính diện tích MNPQ theo a và x.Tìm x để diện tích ấy lớn nhất. Khi đó MNPQ là hình gì

d) Gọi K = MPNQ.Tìm quĩ tích điểm K khi M chạy trên đoạn AI

Bài 474 Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong 2 mặt phẳng khác nhau.

a) Chứng minh rằng (ADF)//(BCE)

b) Gọi I, J, K là trung điểm của các cạnh AB, CD, EF.

Chứng minh rằng (DIK)//(JBE)

Bài 475 Cho tứ diện ABCD.Gọi H,K,L là trọng tâm của các tamgiác ABC, ABD, ACD. Chứng minh rằng (HKL)//(BCD)

Bài 476Cho 2 tam giác ABC và DEF nằm trên 2 mặt phẳng , song song với nhau

a) Dựng các giao tuyến (AEF); (BCD)

b) Dựng giao tuyến (AEF) (BCD)

Bài 477 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD. M là 1 điểm nằm trên cạnh AB,mặt phẳng qua M và //(SBC). Dựng thiết diện của hình chóp với .Thiết diện là hình gì ?

Bài 478 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Điểm M thay đổi trên cạnh BC,mặt phẳng qua M và // mặt phẳng (SAB)

a) Dựng thiết diện của hình chóp với ,chứng minh thiết diện là hình thang

b) Chứng minh rằng CD //

c) Tìm quỹ tích giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện


Bài 479 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a,tam giác SAB vuông cân tạiA.Trên cạnh AD lấy điểm M.Đặt AM =x. Mặt phẳng qua M và //(SAB)

a) Dựng thiết diện của hình chóp với

b) Tính diện tích và chu vi thiết diện theo a và x

Bài 480 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Chứng minh rằng (BA’C’) // (ACD’)

b) Tìm các giao điểm I = B’D (BA’C’); J = B’D (ACD’). Chứng minh rằng 2 điểm I, J chia đoạn B’D thành 3 phần bằng nhau

c) GọiM, N là trung điểm của C’B’ và D’D. Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (BMN)

Bài 481 Trong mặt phẳng cho hình bình hành ABCD.Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về cùng 1 phía với . Một mặt phẳng cắt 4 nửa đường thẳng ấy lần lượt tại A’,B’,C’,D’

a) Chứng minh rằng mp(AA’,BB’) // mp(CC’,DD’)

b) Chứng minh rằng tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành

c) Chứng minh rằng AA’ + CC’ = BB’ + DD’

Bài 482 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.Gọi I và I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’

a) Chứng minh rằng AI // A’I’

b) Tìm giao điểm IA’ (AB’C’)

c) Tìm giao tuyến của (AB’C’) (BA’C’)

Bài 483 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I ,K ,G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’. Chứng minh rằng:

a) (IKG) // (BB’C’C) b) (A’KG) // (AIB’)

Bài 484 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.Gọi H là trung điểm A’B’

a) Chứng minh rằng CB’ // (AHC’)

b) Tìm giao tuyến d = (AB’C’) (A’BC). Chứng minh rằng d // (BB’C’C)

Bài 485 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M và N là trung điểm của AB và SC

a) Tìm các giao tuyến (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD)

b) Chứng minh rằng MN //(SAD)


c) Chứng minh rằng đường thẳng AN đi qua trọng tâm của tam giác SBD

d) Gọi P là trung điểm của SA.Dựng thiết diện của hình chóp với mp (MNP)

Bài 486 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M và N là trung điểm của SA và SC

a) Tìm các giao tuyến (SAC) và (SBD); (BMN) và (ABCD); (BMN) và (SBD)

b) Tìm giao điểm K của SD và (BMN). Chứng minh rằng SK = 13 SD

c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)

d) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MI //(SBC) và (IJN)//(SAD)

Bài 487 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và AC

a) Dựng thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (MNB’)

b) Gọi P là trung điểm B’C’. Dựng thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (MNP)

Bài 488 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’.Gọi M và N lần lượt là tâm của các mặt bên AA’C’C và BB’D’D. Chứng minh rằng MN//(ABCD)

Bài 489 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a .Mặt bên SAB là 1 tam giác vuông cân tạiA.Trên cạnh AD ta lấy 1 điểm M,đặt AM = x. Mặt phẳng qua M và //mặt phẳng (SAB) cắt BC,SC,SD lần lượt tại N,P,Q (0 < x < 2a)

a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông

b) Tính diện tích MNPQ theo a và x

c) Gọi I = MQ NP. Tìm tập hợp điểm I khi M chạy trên cạnh AD

Bài 490 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành Gọi I là trung điểm của SD

a) Xác định giao điểm K = BI (SAC)

b) Trên IC lấy điểm H sao cho HC=2HI. Chứng minh KH//(SAD)

c) Gọi N là điểm trên SI sao cho SN=2NI. Chứng minh (KHN)//(SBC)

d) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (KHN)

Bài 491 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SC, AB, AD

a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBC) và (SAD)

b) Tìm giao điểm I của AM (SBD)


c) Gọi J = BP AC .Chứng minh rằng IJ // (SAB)

d) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)

Bài 492 Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC),SA = a. Tam giác ABC vuông tại B, góc C = 60o ,BC = a.

a) Chứng minh rằng 4 mặt của hình chóp là tam giác vuông.Tính Stp

b) Tính thể tích VS.ABC

c) Từ A kẻ AH SB ,AK SC. Chứng minh rằng SC (AHK) và AHK vuông

d) Tính thể tích VS.AHK

Bài 493 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường cao SA = a, M là trung điểm của SB

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông.Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD

b) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ADM).Tính diện tích thiết diện

c) Thiết diện chia hình chóp làm hai hình đa diện,tính thể tích các khối đa diện ấy

Bài 494 Cho hình chóp S.ABC có đáy và mặt bên SAB là các tam giác đều cạnh a.Chân đường cao SH của hình chóp đối xứng với tâm O của đáy qua cạnh AB

a) Chứng minh rằng các mặt bên SAC và SBC là các tam giác vuông

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC

c) Tính góc giữa các mặt bên và đáy

d) Tính thể tích VS.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)

Bài 495 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật ,SA (ABCD), SC = a. Cạnh AC và SC lần lượt tạo với đáy các góc = 60o , = 45o

a) Xác định các góc ,

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp S.ABCD

Bài 496 Cho hình chóp S.ABC có (SAB)(ABC), tam giác SAB đều và tam giác ABC vuông tại C ,góc BAC = 30o

a) Tính chiều cao hình chóp

b) Tính thể tích hình chóp

Bài 497 Trên 3 nửa đường thẳng Ox,Oy,Oz vuông góc nhau từng đôi một ta lần lượt lấy 3 điểm A,B,C sao cho OA = OB = OC = a

a) Chứng minh rằng OABC là hình chóp đều


b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp OABC

Bài 498 Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2a, AB = BC = a; SA (ABCD) ; cạnh SC tạo với đáy (ABCD) một góc = 60o

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.Tính diện tích toàn phần

b) Tính thể tích S.ABCD

c) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB)

Bài 499 Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB = 2a, BC = a 3 , SA (ABC) ,SA = 2a. Gọi I là trung điểm AB

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SIC) và (ABC)

c) Gọi N là trung điểm AC ,tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SBC)

Bài 500 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a .SA = SB = SC = 2a 3

2

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

c) Tính diện tích tam giác SBC

Bài 501 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC=a,SA=SB=SC= a 3

2

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)

b) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) vuông góc nhau

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC)

d) Tính diện tích tam giác (SAC)

Bài 502.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60o , SA = SB = SD

= a 3

2

a) Tính hình chóp từ S đến mặt phẳng (ABCD)

b) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) vuông góc nhau

c) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) vuông góc nhau và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) diện tích SBD


Bài 503 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng cạnh bên và bằng a

Gọi I,J là trung điểm BC và BB’

a) Chứng minh rằng BC’ (AIJ)

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AIJ) và (ABC)

c) Tính diện tích tam giác AIJ

Bài 504 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc A = 60o, A’A

= A’B = A’D = a3

2 .

a) Tính chiều cao lăng trụ

b) Chứng minh rằng hai mặt chéo của lăng trụ vuông góc nhau

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD)

d) Tính diện tích tam giác A’BD cà diện tích toàn phần của lăng trụ

Bài 505 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

a) Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (D’AC) và (ABCD)

d) Tính diện tích tam giác D’AC

Bài 506 Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a , góc A = 60o .Gọi O và O’ là tâm của hai đáy, OO’ = 2a

a) Tính diện tích các mặt chéo của lăng trụ

b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ

Bài 507 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo B’D = 12. Cạnh đáy CD = 6 ; cạnh bên CC’ = 8

a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp

b) Tính góc giữa B’D và các mặt hình hộp

Bài 508 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,tâm O và góc A = 60o ; D’O vuông góc (ABCD); cạnh bên tạo với đáy một góc = 60o

a) Xác định góc và tính chiều cao , cạnh bên của hình hộp

b) Chứng minh rằng BD’ A’C’

c) Chứng minh rằng các mặt bên của hình hộp bằng nhau,suy ra Stp


d) Tính thể tích hình hộp và thể tích tứ diện ACDC’

Bài 509 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a,cạnh bên = a và hình chiếu của C’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của tam giác ABC

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy,chiều cao của lăng trụ

b) Chứng minh rằng các mặt bên AA’C’C và BB’C’C bằng nhau; mặt bên ABB’A’ là hình vuông.Từ đó tính diện tích toàn phần của lăng trụ

c) Tính thể tích tứ diện OBCB’

Bài 510 Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a .Đường chéo AB’ của mặt bên tạo với đáy một góc = 60o. Gọi I là trung điểm BC

a) Tính diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ

b) Xác định hình chiếu của A trên BB’C’C

c) Tính góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BB’C’C)

d) Tính thể tích tứ diện BAIC’

Bài 511 Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) , ABCD là hình chữ nhật và AB = a , SA = BC = 2a. Chứng minh rằng 5 điểm S,A,B,C,D cùng nằm trên 1 mặt cầu. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó

Bài 512 Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC). BE , BF là đường cao của tam giác ABC và SBC . Gọi H và H’ lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC

a) Chứng minh rằng SH’ , AH và BC đồng qui tại một điểm I

b) Chứng minh rằng 5 điểm E,F,I,S,B ở trên một mặt cầu

Bài 513 Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) và ABCD là hình vuông cạnh a.Dựng mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC, lần lượt cắt SB ,SC ,SD tại B’ ,C’ ,D’

a) CMR các điểm A, B, C, D, B’,C’, D’cùng nằm trên một mặt cầu cố định

b) Tính diện tích mặt cầu ấy

Bài 514 Trong mặt phẳng cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn đường kính AD.Trên đường thẳng vuông góc với tại A ta lấy điểm S. Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB và SC

a) Chứng minh rằng các tam giác AHD, AKD vuông

b) Chứng minh rằng 5 điểm A,B,C,H,K nằm trên 1 mặt cầu

Bài 515 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy = a, cạnh bên = 2a.Tìm tâm bán kính mặt cầu đi qua 4 điểm S, A, B, C

Bài 516 Trong mặt phẳng cho đường tròn đường kính AB = 2R .Trên đường tròn ta lấy 1 điểm C.Kẻ CH AB (HAB).Gọi I là trung điểm CH .Trên tia Ix ta lấy điểm S sao


cho oSHI 60 . Chứng minh rằng SAB = CAB.từ đó suy ra tâm ,bán kính của mặt cầu đi qua 4 đỉnh S,A,B,C

Bài 517 Cho tứ diện SABC có SA (ABC) ,và các cạnh SA = a AB = b, AC = c. Xác định tâm,bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh S,A,B,C trong các trường hợp sau:

a) o BAC 90

b) o BAC 60 và b c

c) oBAC 120 và b c

Bài 518 Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) và SA = a. ABCD là là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm cạnh AD. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE

Bài 519 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

a) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD)

b) Tính góc giữa cạnh bên và đáy

c) Tính góc giữa mặt bên và đáy

d) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài 520 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Cạnh bên hợp với đáy 1 góc = 60o

a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

b) Tính góc giữa mặt bên và đáy

Bài 521 Cho tứ diện SABC có SA (ABC) và đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SBC) hợp với đáy 1 góc = 30o

a) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC)

Bài 522 Cho mặt cầu tâm O đường kính AB = 2R. Điểm H thuộc đoạn AB sao cho AH =

34 R. Mặt phẳng AB tại H, cắt mặt cầu theo đường tròn (L). Tính diện tích (L)

Bài 523 Cho mặt cầu S(O,R) ; A là 1 điểm nằm trên mặt cầu. Mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và bằng 30o

a) Tính diện tích đường tròn thiết diện giữa và mặt cầu

b) Đường thẳng qua A và cắt (S) tại B.Tính độ dài AB

Bài 524 Cho mặt cầu S(O;R) tiếp xúc 3 cạnh tam giác ABC


a) Chứng minh rằng hình chiếu H của O trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn nội tiếp ABC

b) Biết độ dài 3 cạnh của ABC là 6,8,10 và R = 3. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)

Bài 525 Trong mặt phẳng cho đường tròn đường kính AB tâm O. Gọi M là điểm nằm trên đường tròn Trên đường thẳng tại A ta lấy điểm C.Gọi H là hình chiếu của A trên mặt cầu

a) Chứng minh rằng H nằm trên mặt cầu (O)

b) Tiếp tuyến với (O) tại A và M cắt nhau tại K. Chứng minh rằng KA = KM = KH.Từ đó suy ra KH là tiếp tuyến của mặt cầu (O)

Bài 526 Cho mặt cầu (O;R) và một điểm A biết OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến với mặt cầu tại B và một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D sao cho CD = R 3

a) Tính độ dài đoạn AB

b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD

Bài 527 Cho mặt cầu (O;R) tiếp xúc mặt phẳng (P) tại I.Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O.Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu vuông góc với nhau lần lượt cắt mặt phẳng (P) tại A và B. CMR AB2 = AI2 + IB2

Bài 528 Chứng minh rằng nếu một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một tứ diện thì tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau

Bài 529 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a; cạnh bên AA’ = a và hình chiếu của B’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm I của AC

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy

b) Tính thể tích lăng trụ

c) Tính thể tích tứ diện AIBC’

Bài 530 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi tâm O; cạnh a góc A = 60o ;B’O vuông góc (ABCD) ; cạnh bên bằng a

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy và thể tích của lăng trụ

b) Chứng minh rằng hai mặt chéo vuông góc nhau

c) Tính diện tích toàn phần lăng trụ

Bài 531.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A,AC = a và góc BCA = 60o . BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc = 45o

a) Xác định và tính chiều cao lăng trụ

b) Tính diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ


Bài 532 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy = a, đường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’B’B) một góc = 30o

a) Xác định và tính chiều cao lăng trụ

b) Tính diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ

Bài 533 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều ABC cạnh a,điểm A’ cách đều A, B, C và AA’ tạo với đáy một góc = 60o

a) Chứng minh rằng mặt bên BB’C’C là một hình chữ nhật

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích lăng trụ

c) Tính thể tích tứ diện ABB’

Bài 534 Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F.

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD).

b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC).

Bài 535 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).

Bài 536 Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mp(IJK) với (ACD) và (ABD).

Bài 537 Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.

a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD).

b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN).

Bài 538 Cho tứ diện (ABCD). M là một điểm bên trong ABD, N là một điểm bên trong ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN) và (ABC).

Bài 539 Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MN không song song vói CD. Gọi O là một điểm bên trong BCD.

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của BC và BD với mặt phẳng (OMN).

Bài 540 Cho hình chóp S.ABCD. M là một điểm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm của AM và (SBD).

b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).


Bài 541 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).

Bài 542 Cho tứ diện ABCD. M, N là hai điểm lần lượt trên AC và AD. O là một điểm bên trong BCD. Tìm giao điểm của:

a) MN và (ABO). b) AO và (BMN).).

Bài 543 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC.

a) Tìm giao điểm của IK với (SBD).

b) Tìm các giao điểm của mặt phẳng (IJK) với SD và SC.

Bài 544 Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N.

a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =ACBD). Suy ra cách dựng N khi biết M.

b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng.

c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi (P) di động.

Bài 545 Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng ở ngoài (P). Giả sử các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh D, E, F thẳng hàng.

Bài 546 Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui.

Bài 547 Cho hai điểm cố định A, B ở ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB không song song với (P). M là một điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (P) tại A, B. Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 548 Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng (P) cắt AB, SB tại B1, B. Qua B dựng mặt phẳng (Q) cắt AC, SC tại C1, C. BB, CC cắt nhau tại O; BB1, CC1 cắt nhau tại O1. Giả sử OO1 kéo dài cắt SA tại I.

a) Chứng minh: AO1, SO, BC đồng qui.

b) Chứng minh: I, B1, B và I, C1, C thẳng hàng.

Bài 549 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI).

Bài 550 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a. Kéo dài BD một đoạn DF = a. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF).

b) Tính diện tích của thiết diện.


Bài 551 Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).

Bài 552Cho hình chóp S.ABCD. Trong SBC, lấy một điểm M. Trong SCD, lấy một điểm N.

a) Tìm giao điểm của MN và (SAC).

b) Tìm giao điểm của SC với (AMN).

c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN).

Bài 553 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD và OC.

a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của (MNP) với SA.

b) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD.

Bài 554 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm SAD.

a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh (CGM) chứa CD.

b) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp với (CGM).

c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM).

Bài 555 Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.

a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).

b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.

c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).

Bài 556 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang ABCD với AB//CD và AB > CD. Gọi I là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N.

a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.

b) IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ luôn đi qua 1 điểm cố định.

c) Tìm tập hợp giao điểm của IM và AN. CMR: IJ//CD.

Bài 557 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.

a) Chứng minh: MN // CD.

b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì?


Bài 558 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Bài 559 Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần lượt trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM.

a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định I khi M, N di động.

b) E thuộc đoạn AM và EM = 13

EA. IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và

CF. CMR AQ song song với Bx, Cy và (QMN) chứa 1 đường thẳng cố định khi M, N di động.

Bài 560 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD.

a) Chứng minh: PQ // SA.

b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK // AD // BC.

c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB) và của Qy với (SCD).

Bài 561 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của SAB.

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.

Bài 562 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM).

Bài 563 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt làtrọng tâm các tam giác SAD, SBC.

a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt (SAD).

b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Bài 564 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.

a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.


b) Tính diện tích thiết diện đó.

Bài 565 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là tam giác đều. Ngoài ra SAD = 900. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC.

a) Tìm giao điểm I của Dx với mp(SAB). Chứng minh: AI // SB.

b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mp(AIC). Tính diện tích thiết diện.

Bài 566 Cho hai hình bình hành ABCD va ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Gọi O, O lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM = 13

AE, BN = 13

BD.

Chứng minh MN // (CDFE).

Bài 567 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.

a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD).

b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP).

c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. CM: G1G2 // (SBC).

Bài 568 Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).

Bài 569 Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng:

a) Điều kiện cần và đủ để OO // (BCD) là BC AB ACBD AB AD

b) Điều kiện cần và đủ để OO song song với 2 mặt phẳng (BCD), (ACD)

là BC = BD và AC = AD.

Bài 570 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.

a) Tìm giao điểm A của đường thẳng AG với mp(BCD).

b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA và Mx cắt (BCD) tại M. Chứng minh B, M, A thẳng hàng và BM = MA = AN.

c) Chứng minh GA = 3GA.

Bài 571 Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SA.


a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC).

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).

c) Tìm diều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

Bài 572 Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, B = 600, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a).

a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.

b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất.

Bài 573 Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC.

a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC).

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).

Bài 574 Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và CD.

a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD).

b) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD với (P).

Bài 575 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua CM và song song với BC.

a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định.

b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành.

c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA.

Bài 576 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.

a) Chứng minh (OMN) // (SBC).

b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC).

Bài 577 Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao

cho luôn có: IA JBID JC

.

a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định.

b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước.


Bài 578 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.

a) CMR (OMN) // (SBC).

b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song song (SAB).

c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD).

Bài 579 Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M, N.

a) Chứng minh: (CBE) // (ADF).

b) Chứng minh: (DEF) // (MNNM).

c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.

Bài 580 Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By. M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax, By sao cho AM = BN. Vẽ NP BA

.

a) Chứng minh MP có phương không đổi và MN luôn song song với 1 mặt phẳng cố định.

b) Gọi I là trung điểm của MN. CMR I nằm trên 1 đường thẳng cố định khi M, N di động.

Bài 581 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. CMR các đường phân giác ngoài của các góc , ,BAC CAD DAB đồng phẳng.

Bài 582 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC.

a) Xác định thiết diện của hình chóp với (P).

b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.

Bài 583 Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tam giác ABC nằm trong (P) và đoạn thẳng MN nằm trong (Q).

a) Tìm giao tuyến của (MAB) và (Q); của (NAC) và (Q).

b) Tìm giao tuyến của (MAB) và (NAC).

Bài 584. Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz, Dt không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn nửa đường thẳng tại A, B, C, D.

a) Chứng minh (Ax,By) // (Cz,Dt).


b) Chứng minh ABCD là hình bình hành.

c) Chứng minh: AA + CC = BB + DD.

Bài 585 Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh (G1G2G3) // (BCD).

b) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mp(G1G2G3). Tính diện tích thiết diện khi biết diện tích tam giác BCD là S.

c) M là điểm di động bên trong tứ diện sao cho G1M luôn song song với mp(ACD). Tìm tập hợp những điểm M.

Bài 586 Cho lăng trụ ABC.ABC. Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh CB // (AHC).

b) Tìm giao điểm của AC với (BCH).

c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC và song song với AH và CB. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng trụ.

Bài 587 Cho hình hộp ABCD.ABCD.

a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA) và (BDC) song song.

b) Chứng minh đường chéo AC đi qua các trọng tâm G1, G2 của 2 tam giác BDA, BDC. Chứng minh G1, G2 chia đoạn AC làm ba phần bằng nhau.

c) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(ABG2). Thiết diện là hình gì?

Bài 588 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Trên AB, CC, CD, AA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ = x (0 x a).

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MP, NQ cắt nhau tại 1 điểm cố định.

b) Chứng minh mp(MNPQ) luôn chứa 1 đường thẳng cố định.

Tìm x để (MNPQ) // (ABC).

c) Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ). Thiết diện có đặc điểm gì? Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chu vi thiết diện.

Bài 589 Cho lăng trụ ABC.ABC.

a) Tìm giao tuyến của (ABC) và (BAC).

b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA và BC. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (AAN) và giao điểm của MN với mp(ABC).


Bài 590 Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, tam giác BCD vuông tại C có BD = 2a, BC = a. Gọi E là trung điểm của BD. Cho biết 0( , ) 60AB CE .

a) Tính 2AC2 – AD2 theo a.

b) (P) là 1 mặt phẳng song song với AB và CE, cắt các cạnh BC, BD, AE, AC theo thứ tự tại M, N, P, Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = BM (0 < x < a). Xác định x để diện tích ấy lớn nhất.

c) Tìm x để tổng bình phương các đường chéo của MNPQ là nhỏ nhất.

d) Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Tìm (P) để OA2 + OB2 + OC2 + OD2 nhỏ nhất.

Bài 591 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Mặt phẳng (P) qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB tại M, N, P, Q.

a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ thường là hình thang cân.

b) Đặt AM = x, AN = y. CMR: a(x + y) = 3xy. Suy ra: 4 33 2a ax y .

c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s = x + y.

Bài 592 Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F, AC và BD cắt nhau tại G. Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC lần lượt tại A, B, C.

a) Tìm giao điểm D của SD với (P).

b) Tìm điều kiện của (P) để AB // CD.

c) Với điều kiện nào của (P) thì ABCD là hình bình hành? CMR khi đó:

SA SC SB SDSA SC SB SD

d) Tính diện tích tứ giác ABCD.

Bài 593 Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 cắt (P) tại A và B. Đường thẳng () thay đổi luôn song song với (P), cắt d1 tại M, d2 tại N. Đường thẳng qua N và song song d1 cắt (P) tại N.

a) Tứ giác AMNN là hình gì? Tìm tập hợp điểm N.

b) Xác định vị trí của () để MN có độ dài nhỏ nhất.

c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN. Chứng minh OI là đường thẳng cố định khi M di động.

d) Tam giác BMN vuông cân đỉnh B và BM = a. Tính diện tích thiết diện của hình chóp B.AMNN với mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng (BMN).


Bài 594 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. M và P là hai điểm lần lượt di

động trên AD và SC sao cho: MA PS xMD PC

(x > 0).

a) CMR: MP luôn song song với một mặt phẳng cố định (P).

b) Tìm giao điểm I của (SBD) với MP.

c) Mặt phẳng qua M và song song với (P) cắt hình chóp SABCD theo một thiết diện và cắt BD tại J. Chứng minh IJ có phương không đổi. Tìm x để PJ song song với (SAD).

d) Tìm x để diện tích thiết diện bằng k lần diện tích SAB (k > 0 cho trước).

Bài 595 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. SA = SB = SC = SD = a. Gọi M là một điểm trên đoạn AO. (P) là mặt phẳng qua M và song song với AD và

SO. Đặt AM kAO

(0 < k < 1).

a) Chứng minh thiết diện của hình chóp với (P) là hình thang cân.

b) Tính các cạnh của thiết diện theo a và k.

c) Tìm k để thiết diện trên ngoại tiếp được 1 đường tròn. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện theo a.

Bài 596 Cho lăng trụ ABC.ABC. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 đoạn AB, AC,

BC sao cho AM C N CP xAB AC CB

.

a) Tìm x để (MNP) // (ABC). Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện cắt bởi mp(MNP), biết tam giác ABC là tam giác đều cạnh a.

b) Tìm tập hợp trung điểm của NP khi x thay đổi.

Bài 597 Cho lăng trụ ABCD.ABCD, có đáy là hình thang với AD = CD = BC = a, AB = 2a Mặt phẳng (P) qua A cắt các cạnh BB, CC, DD lần lượt tại M, N, P.

a) Tứ giác AMNP là hình gì? So sánh AM và NP.

b) Tìm tập hợp giao điểm của AN và MP khi (P) di động.

c) CMR BM + 2DP = 2CN.

Bài 598 Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm E

a) Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)

b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB ,CD và EF đồng qui 5.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M ,trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm N,K.Tìm các giao tuyến sau:

a) CD (ABK) b) MK (BCD)


c) CD (MNK) d) AD (MNK)

Bài 599: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh là a 3 . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 030 . Tính SA.

Bài 600: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A có AB a 3 , AC a .Mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc mặt phẳng (ABC). Tính d(S;(ABC)) .

Bài 601: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a , AC a 3 , mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

Bài 602: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 450. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD).

Bài 603: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Biết cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Gọi M là trung điểm của SA. Tính d(M;(ABC))

Bài 604: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính SA.

Bài 605: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết 0BAC 120 , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

Bài 606: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 3,AC 2a , góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) bằng 060 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính SA và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC).

Bài 607: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại A và AC = a, 0C 60 . Đường chéo BC' của mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc 030 . Tính theo a khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ.

Bài 608: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB a , AC 2a , cạnh bên SD hợp với mặt phẳng đáy một góc 300. Tính SA.

Bài 609: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B với AC = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB hợp với đáy một góc 060 . Tính SA.

Bài 610: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA SB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD).

Bài 611: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA a ; hình

chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, ACAH4

.

Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD).

Bài 612: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH (ABCD) và

SH a 3 . Tính SH và d(DM;SC) theo a.

Bài 213: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' , đặt AA ' a, AB b, AC c

. Gọi I là trung điểm của B’C’.


a) Phân tích véctơ AI

theo các vétơ a, b, c

.

b) Phân tích vétơ AO

theo các véctơ a, b, c

, với O là tâm của hình bình hành BB’C’C.

c) Phân tích vétơ AG

theo các véctơ a, b, c

, với G là trọng tâm của A 'B'C ' .

d) Chứng minh rằng: 1 1MN AC' A 'B' AB' A 'C'2 2

, với M, N lần lượt là

trung điểm của AA’, B’C’.

e) Chứng minh rằng: 1AO AB AB' AC' AC4

Bài 614: Cho hình chóp S.ABC có AB = a 2 , SA = SB = SC =a, SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của ABC .

a) Chứng minh rằng: SA BC, SB AC

b) Chứng minh rằng: SH ABC .

c) Tính góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).

Bài 615: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, SA ABCD ,

SA = a, BAD 120 .

a) Tính số đo góc của BD và SC.

b) Gọi H là trung điểm của SC. Chứng minh rằng: OH ABCD

c) Tính số đo của góc SB và CD.

Bài 616: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, BAC 30 , SA SB SC SD a .

a) Chứng minh rằng: SO ABCD .

b) Tính góc giữa SC và (ABCD).

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. CMR MN SBD .

d) Tính khoảng cách giữa SB và AC.

Bài 617: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC cân tại A, đường cao AH là đường cao của tam giác ABC và AH= a, góc BAC 120 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 3 . Goi K là hình chiếu vuông góc của A lên SH.


a) Chứng minh rằng: AK SBC .

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC).

c) Tính khoảng cách giữa SA và BC.

Bài 618:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD 60 , a 3SA

2 . Hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của ABD .

a) Chứng minh rằng: BD SAC . Tính SH, SC.

b) Gọi là góc của (SBD) và (ABCD). Tính tan

c) Tính khoảng cách giữa DC và SA.

Bài 619: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC đều cạnh 2a, SA ABC , SA = a. Gọi I là trung điểm của BC.

a. Chứng minh rằng: BC SAI

b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

Bài 620: Cho hình chóp S.ABC, SA ABC , ABC đều. Gọi I là hình chiếu của S lên

BC, H là hình chiếu của A lên SI và SA 2a 3, AB 2a .

a. Chứng minh rằng: AH SBC .

b. Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBC) và (ABC)

c. Tính khoảng cách giữa SA và BC.

Bài 621: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân với AB = BC = a, SA ABC , SA = a. Gọi I là trung điểm của AC.

a. Chứng minh rằng: BI SAC

b. Tính số đo của góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC).

c. Tính khoảng cách giữa SB và AC.

Bài 622: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) , góc giữa (SBC) và (ABCD) là 600.

a/Xác định góc 600. Chứng minh góc giữa (SCD) và (ABCD) cũng là 600.


b/Chứng minh (SCD) (SAD) . Tính góc giữa (SAB) và (SCD), giữa (SCB) và (SCD).

c/Tính khoảng cách từ A đến (SBC), giữa AB và SC.

d/Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và BD; SC và AD.

e/Dựng và tính diện tích thiết diện của hình chóp và mặt phẳng qua A, vuông góc với SC.

Bài 623: Hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a, nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. I là trung điểm của AB.

a/Chứng minh tam giác SAD vuông. Tính góc giữa (SAD) và (SCD).

b/Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC.

c/Gọi F là trung điểm AD. Chứng minh (SID) (SFC) . Tính khoảng cách từ I đến (SFC).

Bài 624:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các mặt bên là các tam giác đều.

a/ Xác định và tính góc giữa: - mặt bên và đáy - cạnh bên và đáy

- SC và (SBD) - (SAB) và (SCD).

b/ Tính khoảng cách giữa SO và CD; CS và DA.

c/ Gọi O’ là hình chiếu của O lên (SBC). Giả sử ABCD cố định, chứng minh khi S di động nhưng SO (ABCD) thì O’ luôn thuộc một đường tròn cố định.

Bài 625:Cho hình chóp S.ABC có (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C. AC = a; SA = x.

a/Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).

b/Chứng minh (SAC) (SBC) . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

c/Tính khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).

d/Xác định đường vuông góc chung của SB và AC.

Bài 626:Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’ và mặt phẳng (P) đi qua M, N, E.

Xác định và tính diện tích thiết diện của (P) và lăng trụ.

Bài 627:Cho hình chóp S.ABC; ABC có góc B = 1v; SA (ABC). Trong tam giác SAB kẻ đường cao AH SB. Trong tam giác SAC kẻ đường cao AK SC. Xác định góc giữa SC và (AHK).

Bài 628:Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; CD = 2a; AB = AD = a; SD (ABCD) và SB tạo với đáy (ABCD) góc .


a/Xác định góc .

b/Tính tang của góc giưa SA và đáy theo a và .

Bài 629:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.SA (ABCD); SA a 6 .Tính góc giữa SC và (ABCD).

Bài 630:Cho hình choùp S.ABCD. Ñaùy ABCD coù AB caét CD taïi E, AC caét BD taïi F.

a) Tìm giao tuyeán cuûa caùc caëp maët phaúng (SAB) vaø (SCD), (SAC) vaø (SBD).

b) Tìm giao tuyeán cuûa (SEF) vôùi caùc maët phaúng (SAD), (SBC).

Bài 631:Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh taâm O. M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC, CD, SO. Tìm giao tuyeán cuûa mp(MNP) vôùi caùc maët phaúng (SAB), (SAD), (SBC) vaø (SCD).

Bài 632: Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BC.

a) Tìm giao tuyeán cuûa 2 maët phaúng (IBC) vaø (JAD).

b) M laø moät ñieåm treân caïnh AB, N laø moät ñieåm treân caïnh AC. Tìm giao tuyeán cuûa 2 maët phaúng (IBC) vaø (DMN).

Bài 633:Cho töù dieän (ABCD). M laø moät ñieåm beân trong ABD, N laø moät ñieåm beân trong ACD. Tìm giao tuyeán cuûa caùc caëp maët phaúng (AMN) vaø (BCD), (DMN) vaø (ABC).

Bài 634: Cho töù dieän ABCD. Treân AC vaø AD laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N sao cho MN khoâng song song voùi CD. Goïi O laø moät ñieåm beân trong BCD.

a) Tìm giao tuyeán cuûa (OMN) vaø (BCD).

b) Tìm giao ñieåm cuûa BC vaø BD vôùi maët phaúng (OMN).

Bài 635: Cho hình choùp S.ABCD. M laø moät ñieåm treân caïnh SC.

a) Tìm giao ñieåm cuûa AM vaø (SBD).

b) Goïi N laø moät ñieåm treân caïnh BC. Tìm giao ñieåm cuûa SD vaø (AMN).

Bài 636: Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BC. K laø moät ñieåm treân caïnh BD vaø khoâng truøng vôùi trung ñieåm cuûa BD. Tìm giao ñieåm cuûa CD vaø AD vôùi maët phaúng (MNK).

Bài 637: Cho töù dieän ABCD. M, N laø hai ñieåm laàn löôït treân AC vaø AD. O laø moät ñieåm beân trong BCD. Tìm giao ñieåm cuûa:

a) MN vaø (ABO). b) AO vaø (BMN).


Bài 638:Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang, caïnh ñaùy lôùn AB. Goïi I, J, K laø ba ñieåm laàn löôït treân SA, AB, BC.

a) Tìm giao ñieåm cuûa IK vôùi (SBD).

b) Tìm caùc giao ñieåm cuûa maët phaúng (IJK) vôùi SD vaø SC.

Baøi 639: Cho hình choùp S.ABCD. Goïi I, J laø hai ñieåm coá ñònh treân SA vaø SC vôùi SI > IA vaø SJ < JC. Moät maët phaúng (P) quay quanh IJ caét SB taïi M, SD taïi N.

a) CMR: IJ, MN vaø SO ñoàng qui (O =ACBD). Suy ra caùch döïng ñieåm N khi bieát M.

b) AD caét BC taïi E, IN caét MJ taïi F. CMR: S, E, F thaúng haøng.

c) IN caét AD taïi P, MJ caét BC taïi Q. CMR PQ luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh khi (P) di ñoäng.

Baøi 640. Cho maët phaúng (P) vaø ba ñieåm A, B, C khoâng thaúng haøng ôû ngoaøi (P). Giaû söû caùc ñöôøng thaúng BC, CA, AB laàn löôït caét (P) taïi D, E, F. Chöùng minh D, E, F thaúng haøng.

Baøi 641: Cho töù dieän ABCD. Goïi E, F, G laàn löôït laø ba ñieåm treân ba caïnh AB, AC, BD sao cho EF caét BC taïi I, EG caét AD taïi H. Chöùng minh CD, IG, HF ñoàng qui.

Baøi 642: Cho hai ñieåm coá ñònh A, B ôû ngoaøi maët phaúng (P) sao cho AB khoâng song song vôùi (P). M laø moät ñieåm di ñoäng trong khoâng gian sao cho MA, MB caét (P) taïi A, B. Chöùng minh AB luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh.

Baøi 643: Cho töù dieän SABC. Qua C döïng maët phaúng (P) caét AB, SB taïi B1, B. Qua B döïng maët phaúng (Q) caét AC, SC taïi C1, C. BB, CC caét nhau taïi O; BB1, CC1 caét nhau taïi O1. Giaû söû OO1 keùo daøi caét SA taïi I.

a) Chöùng minh: AO1, SO, BC ñoàng qui.

b) Chöùng minh: I, B1, B vaø I, C1, C thaúng haøng.

Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N, I laø ba ñieåm treân AD, CD, SO. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (MNI).

Baøi 644: ho töù dieän ñeàu ABCD, caïnh baèng a. Keùo daøi BC moät ñoaïn CE=a. Keùo daøi BD moät ñoaïn DF=a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa AB.

a) Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi maët phaúng (MEF).

b) Tính dieän tích cuûa thieát dieän. HD: b) 2a

6

Baøi 645: Cho hình choùp S.ABC. M laø moät ñieåm treân caïnh SC, N vaø P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø AD. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (MNP).


HD: Thieát dieän laø 1 nguõ giaùc.

Baøi 646: Cho hình choùp S.ABCD. Trong SBC, laáy moät ñieåm M. Trong SCD, laáy moät ñieåm N.

a) Tìm giao ñieåm cuûa MN vaø (SAC).

b) Tìm giao ñieåm cuûa SC vôùi (AMN).

c) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp S.ABCD vôùi maët phaúng (AMN).

HD: a) Tìm (SMN)(SAC) b) Thieát dieän laø töù giaùc.

Baøi 647: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SB, SD vaø OC.

a) Tìm giao tuyeán cuûa (MNP) vôùi (SAC), vaø giao ñieåm cuûa (MNP) vôùi SA.

b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (MNP) vaø tính tæ soá maø (MNP) chia caùc caïnh SA, BC, CD.

HD: b) Thieát dieän laø nguõ giaùc. Caùc tæ soá laø: 1/3; 1; 1.

Baøi 648: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi M laø trung ñieåm cuûa SB, G laø troïng taâm SAD.

a) Tìm giao ñieåm I cuûa GM vôùi (ABCD). Chöùng minh (CGM) chöùa CD.

b) Chöùng minh (CGM) ñi qua trung ñieåm cuûa SA. Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (CGM).

c) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (AGM).

HD: b) Thieát dieän laø töù giaùc c) Tìm (AGM)(SAC). Thieát dieän laø töù giaùc.

Baøi 649: Cho hình choùp S.ABCD, M laø moät ñieåm treân caïnh BC, N laø moät ñieåm treân caïnh SD.

a) Tìm giao ñieåm I cuûa BN vaø (SAC) vaø giao ñieåm J cuûa MN vaø (SAC).

b) DM caét AC taïi K. Chöùng minh S, K, J thaúng haøng.

c) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp S.ABCD vôùi maët phaúng (BCN).

HD: a) Goïi O=ACBD thì I=SOBN, J=AIMN

b) J laø ñieåm chung cuûa (SAC) vaø (SDM)

c) Noái CI caét SA taïi P. Thieát dieän laø töù giaùc BCNP.


Baøi 650: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang ABCD vôùi AB//CD vaø AB > CD. Goïi I laø trung ñieåm cuûa SC. Maët phaúng (P) quay quanh AI caét caùc caïnh SB, SD laàn löôït taïi M, N.

a) Chöùng minh MN luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh.

b) IM keùo daøi caét BC taïi P, IN keùo daøi caét CD taïi Q. Chöùng minh PQ luoân ñi qua 1 ñieåm

coá ñònh.

c) Tìm taäp hôïp giao ñieåm cuûa IM vaø AN.

HD: a) Qua giao ñieåm cuûa AI vaø SO=(SAC)(SBD).

b) Ñieåm A.

c) Moät ñoaïn thaúng.

Baøi 651: Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc ABC, ABD. Chöùng minh IJ//CD.

Baøi 652: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi ñaùy lôùn AB. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA vaø SB.

a) Chöùng minh: MN // CD.

b) Tìm giao ñieåm P cuûa SC vôùi (AND). Keùo daøi AN vaø DP caét nhau taïi I. Chöùng minh SI // AB // CD. Töù giaùc SABI laø hình gì?

Baøi 653: Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N, P, Q, R, S laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD, BC, AD, AC, BD.

a) Chöùng minh MNPQ laø hình bình haønh.

b) Töø ñoù suy ra ba ñoaïn MN, PQ, RS caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn.

Baøi 654: Cho tam giaùc ABC naèm trong maët phaúng (P). Goïi Bx, Cy laø hai nöûa ñöôøng thaúng song song vaø naèm veà cuøng moät phía ñoái vôùi (P). M, N laø hai ñieåm di ñoäng laàn löôït treân Bx, Cy sao cho CN = 2BM.

a) Chöùng minh ñöôøng thaúng MN luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh I khi M, N di ñoäng.

b) E thuoäc ñoaïn AM vaø EM = 13

EA. IE caét AN taïi F. Goïi Q laø giao ñieåm cuûa BE vaø

CF. CMR AQ song song vôùi Bx, Cy vaø (QMN) chöùa 1 ñöôøng thaúng coá ñònh khi M, N di ñoäng.

Baøi 655: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi M, N, P, Q laø caùc ñieåm laàn löôït naèm treân BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD.


a) Chöùng minh: PQ // SA.

b) Goïi K laø giao ñieåm cuûa MN vaø PQ. Chöùng minh: SK // AD // BC.

c) Qua Q döïng caùc ñöôøng thaúng Qx // SC vaø Qy // SB. Tìm giao ñieåm cuûa Qx vôùi (SAB) vaø cuûa Qy vôùi (SCD).

Baøi 656: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi ñaùy lôùn AB. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD, BC vaø G laø troïng taâm cuûa SAB.

a) Tìm giao tuyeán cuûa (SAB) vaø (IJG).

b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (IJG). Thieát dieän laø hình gì? Tìm ñieàu kieän ñoái vôùi AB vaø CD ñeå thieát dieän laø hình bình haønh.

Baøi 657: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi I, J laàn löôït laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc SAB, SAD. M laø trung ñieåm cuûa CD. Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (IJM).

Baøi 658: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình thang vôùi caùc ñaùy AD = a, BC = b. Goïi I, J laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc SAD, SBC.

a) Tìm ñoaïn giao tuyeán cuûa (ADJ) vôùi maët (SBC) vaø ñoaïn giao tuyeán cuûa (BCI) vôùi maët (SAD).

b) Tìm ñoä daøi ñoaïn giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (ADJ) vaø (BCI) giôùi haïn bôûi hai maët phaúng (SAB) vaø (SCD).

HD: b) 25

(a+b).

Baøi 659: Cho töù dieän ñeàu ABCD, caïnh a. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC, BC. Goïi K laø moät ñieåm treân caïnh BD vôùi KB = 2KD.

a) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa töù dieän vôùi maët phaúng (IJK). Chöùng minh thieát dieän laø hình thang caân.

b) Tính dieän tích thieát dieän ñoù.

HD: b) 25a 51288

Baøi 260: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, taâm O. Maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu. Ngoaøi ra SAD = 900. Goïi Dx laø ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi SC.

a) Tìm giao ñieåm I cuûa Dx vôùi mp(SAB). Chöùng minh: AI // SB.

b) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp SABCD vôùi mp(AIC). Tính dieän tích thieát dieän.


HD: b) Tam giaùc AMC vôùi M laø trung ñieåm cuûa SD. Dieän tích 2a 14

8

Baøi 661: Cho hai hình bình haønh ABCD vaø ABEF khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng.

a) Goïi O, O laàn löôït laø taâm cuûa ABCD vaø ABEF. Chöùng minh OO song song vôùi caùc maët phaúng (ADF) vaø (BCE).

b) M, N laø 2 ñieåm laàn löôït treân hai caïnh AE, BD sao cho AM = 13

AE, BN = 13

BD.

Chöùng minh MN // (CDFE).

Baøi 662: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình bình haønh. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, CD.

a) Chöùng minh MN song song vôùi caùc maët phaúng (SBC), (SAD).

b) Goïi P laø trung ñieåm cuûa SA. Chöùng minh SB, SC ñeàu song song vôùi (MNP).

c) Goïi G1, G2 laø troïng taâm cuûa caùc tam giaùc ABC, SBC. Chöùng minh G1G2 // (SBC).

Baøi 663: Cho töù dieän ABCD. G laø troïng taâm cuûa ABD. M laø 1 ñieåm treân caïnh BC sao cho MB = 2MC. Chöùng minh MG // (ACD).

HD: Chöùng minh MG song song vôùi giao tuyeán cuûa (BMG) vaø (ACD).

Baøi 664: Cho töù dieän ABCD. Goïi O, O laàn löôït laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp caùc tam giaùc ABC, ABD. Chöùng minh raèng:

a) Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå OO // (BCD) laø BC AB ACBD AB AD

b) Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå OO song song vôùi 2 maët phaúng (BCD), (ACD)

laø BC = BD vaø AC = AD.

HD: Söû ñuïng tính chaát ñöôøng phaân giaùc trong tam giaùc.

Baøi 665: Cho töù dieän ABCD. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB, CD vaø G laø trung ñieåm cuûa ñoaïn MN.

a) Tìm giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng AG vôùi mp(BCD).

b) Qua M keû ñöôøng thaúng Mx song song vôùi AA vaø Mx caét (BCD) taïi M. Chöùng minh B, M, A thaúng haøng vaø BM = MA = AN.

c) Chöùng minh GA = 3GA.


Baøi 666: Cho hình choùp S.ABCD. M, N laø hai ñieåm treân AB, CD. Maët phaúng (P) qua MN vaø song song vôùi SA.

a) Tìm caùc giao tuyeán cuûa (P) vôùi (SAB) vaø (SAC).

b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (P).

c) Tìm ñieàu kieän cuûa MN ñeå thieát dieän laø hình thang.

HD: c) MN // BC

Baøi 667 : Trong maët phaúng (P), cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, B = 600, AB = a. Goïi O laø trung ñieåm cuûa BC. Laáy ñieåm S ôû ngoaøi (P) sao cho SB = a vaø SB OA. Goïi M laø 1 ñieåm treân caïnh AB. Maët phaúng (Q) qua M vaø song song vôùi SB vaø OA, caét BC, SC, SA laàn löôït taïi N, P, Q. Ñaët x = BM (0 < x < a).

a) Chöùng minh MNPQ laø hình thang vuoâng.

b) Tính dieän tích hình thang ñoù. Tìm x ñeå dieän tích lôùn nhaát.

HD: b) SMNPQ = x(4a 3x)

4

. SMNPQ ñaït lôùn nhaát khi x = 2a3

Baøi 668: Cho hình choùp S.ABCD. M, N laø hai ñieåm baát kì treân SB, CD. Maët phaúng (P) qua MN vaø song song vôùi SC.

a) Tìm caùc giao tuyeán cuûa (P) vôùi caùc maët phaúng (SBC), (SCD), (SAC).

b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi maët phaúng (P).

Baøi 669: Cho töù dieän ABCD coù AB = a, CD = b. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD. Maët phaúng (P) ñi qua moät ñieåm M treân ñoaïn IJ vaø song song vôùi AB vaø CD.

a) Tìm giao tuyeán cuûa (P) vôùi (ICD).

b) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa töù dieän ABCD vôùi (P).

Baøi 670: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi C laø trung ñieåm cuûa SC, M laø 1 ñieåm di ñoäng treân caïnh SA. Maët phaúng (P) di ñoäng luoân ñi qua CM vaø song song vôùi BC.

a) Chöùng minh (P) luoân chöùa moät ñöôøng thaúng coá ñònh.

b) Xaùc ñònh thieát dieän maø (P) caét hình choùp SABCD. Xaùc ñònh vò trí ñieåm M ñeå thieát dieän laø hình bình haønh.

c) Tìm taäp hôïp giao ñieåm cuûa 2 caïnh ñoái cuûa thieát dieän khi M di ñoäng treân caïnh SA.

HD: a) Ñöôøng thaúng qua C vaø song song vôùi BC.


b) Hình thang. Hình bình haønh khi M laø trung ñieåm cuûa SA.

c) Hai nöûa ñöôøng thaúng.

Baøi 671: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA, SD.

a) Chöùng minh (OMN) // (SBC).

b) Goïi P, Q laø trung ñieåm cuûa AB, ON. Chöùng minh PQ // (SBC).

Baøi 672: Cho töù dieän ABCD. Goïi I, J laø hai ñieåm di ñoäng laàn löôït treân caùc caïnh AD, BC

sao cho luoân coù: IA JBID JC

.

a) CMR: IJ luoân song song vôùi 1 maët phaúng coá ñònh.

b) Tìm taäp hôïp ñieåm M chia ñoaïn IJ theo tæ soá k cho tröôùc.

HD:a) IJ song song vôùi mp qua AB vaø song song CD.

b) Taäp hôïp ñieåm M laø ñoaïn EF vôùi E, F laø caùc ñieåm chia AB, CD theo tæ soá k.

Baøi 673: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA vaø CD.

a) CMR: (OMN) // (SBC).

b) Goïi I laø trung ñieåm cuûa SD, J laø moät ñieåm treân (ABCD) vaø caùch ñeàu AB, CD. Chöùng minh IJ song song (SAB).

c) Giaû söû hai tam giaùc SAD, ABC ñeàu caân taïi A. Goïi AE, AF laø caùc ñöôøng phaân giaùc trong cuûa caùc tam giaùc ACD vaø SAB. Chöùng minh EF // (SAD).

HD: c) Chuù yù: ED FSEC FB

Baøi 674: Cho hai hình vuoâng ABCD vaø ABEF ôû trong hai maët phaúng khaùc nhau. Treân caùc ñöôøng cheùo AC vaø BF laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N sao cho: AM = BN. Caùc ñöôøng thaúng song song vôùi AB veõ töø M, N laàn löôït caét AD, AF taïi M, N.

a) Chöùng minh: (CBE) // (ADF).

b) Chöùng minh: (DEF) // (MNNM).

c) Goïi I laø trung ñieåm cuûa MN, tìm taäp hôïp ñieåm I khi M, N di ñoäng.

HD: c) Trung tuyeán tam giaùc ODE veõ töø O.


Baøi 675: Cho hai nöûa ñöôøng thaúng cheùo nhau Ax, By. M vaø N laø hai ñieåm di ñoäng laàn löôït treân Ax, By sao cho AM = BN. Veõ NP BA

.

a) Chöùng minh MP coù phöông khoâng ñoåi vaø MN luoân song song vôùi 1 maët phaúng coá ñònh.

b) Goïi I laø trung ñieåm cuûa MN. CMR I naèm treân 1 ñöôøng thaúng coá ñònh khi M, N di ñoäng.

Baøi 676: Cho töù dieän ABCD coù AB = AC = AD. CMR caùc ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa caùc goùc BAC,CAD,DAB ñoàng phaúng.

HD: Cuøng naèm trong maët phaúng qua A vaø song song vôùi (BCD).

Baøi 677: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh taâm O vôùi AC = a, BD = b. Tam giaùc SBD ñeàu. Moät maët phaúng (P) di ñoäng luoân song song vôùi mp(SBD) vaø ñi qua ñieåm I treân ñoaïn AC.

a) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (P).

b) Tính dieän tích thieát dieän theo a, b vaø x = AI.

HD: a) Xeùt 2 tröôøng hôïp: I OA, I OC . Thieát dieän laø tam giaùc ñeàu.

b)

2 2

2

thieát dieän 2 2

2

b x 3 aneáu 0 xa 2S

b (a x) 3 aneáu x aa 2

Baøi 678: Cho hai maët phaúng song song (P) vaø (Q). Tam giaùc ABC naèm trong (P) vaø ñoaïn thaúng MN naèm trong (Q).

a) Tìm giao tuyeán cuûa (MAB) vaø (Q); cuûa (NAC) vaø (Q).

b) Tìm giao tuyeán cuûa (MAB) vaø (NAC).

Baøi 679: Töø boán ñænh cuûa hình bình haønh ABCD veõ boán nöûa ñöôøng thaúng song song cuøng chieàu Ax, By, Cz, Dt khoâng naèm trong (ABCD). Moät maët phaúng (P) caét boán nöûa ñöôøng thaúng taïi A, B, C, D.

a) Chöùng minh (Ax,By) // (Cz,Dt).

b) Chöùng minh ABCD laø hình bình haønh.

c) Chöùng minh: AA + CC = BB + DD.

Baøi 680: Cho töù dieän ABCD. Goïi G1, G2, G3 laàn löôït laø troïng taâm caùc tam giaùc ABC, ACD, ADB.


a) Chöùng minh (G1G2G3) // (BCD).

b) Tìm thieát dieän cuûa töù dieän ABCD vôùi mp(G1G2G3). Tính dieän tích thieát dieän khi bieát dieän tích tam giaùc BCD laø S.

c) M laø ñieåm di ñoäng beân trong töù dieän sao cho G1M luoân song song vôùi mp(ACD). Tìm taäp hôïp nhöõng ñieåm M.

HD: b) 4S9

Baøi 681: Cho laêng truï ABC.ABC. Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB.

a) Chöùng minh CB // (AHC).

b) Tìm giao ñieåm cuûa AC vôùi (BCH).

c) Maët phaúng (P) qua trung ñieåm cuûa CC vaø song song vôùi AH vaø CB. Xaùc ñònh thieát dieän vaø tæ soá maø caùc ñænh cuûa thieát dieän chia caïnh töông öùng cuûa laêng truï.

HD: c) M, N, P, Q, R theo thöù töï chia caùc ñoaïn CC, BC, AB, AB, AC theo caùc

tæ soá 1, 1, 3, 13

, 1.

Baøi 682: Cho hình hoäp ABCD.ABCD.

a) Chöùng minh hai maët phaúng (BDA) vaø (BDC) song song.

b) Chöùng minh ñöôøng cheùo AC ñi qua caùc troïng taâm G1, G2 cuûa 2 tam giaùc BDA, BDC. Chöùng minh G1, G2 chia ñoaïn AC laøm ba phaàn baèng nhau.

c) Xaùc ñònh thieát dieän cuûa hình hoäp caét bôûi mp(ABG2). Thieát dieän laø hình gì?

HD: c) Hình bình haønh.

Baøi 683: Cho hình laäp phöông ABCD.ABCD caïnh a. Treân AB, CC, CD, AA laàn löôït laáy caùc ñieåm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ = x (0 x a).

a) Chöùng minh boán ñieåm M, N, P, Q ñoàng phaúng vaø MP, NQ caét nhau taïi 1 ñieåm coá ñònh.

b) Chöùng minh mp(MNPQ) luoân chöùa 1 ñöôøng thaúng coá ñònh.

Tìm x ñeå (MNPQ) // (ABC).

c) Döïng thieát dieän cuûa hình laäp phöông caét bôûi (MNPQ). Thieát dieän coù ñaëc ñieåm gì? Tính giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa chu vi thieát dieän.

HD: a) MP vaø NQ caét nhau taïi taâm O cuûa hình laäp phöông.


b) (MNPQ) ñi qua trung ñieåm R, S cuûa BC vaø AD. x = a2

.

c) Thieát dieän laø luïc giaùc MRNPSQ coù taâm ñoái xöùng laø O.

Chu vi nhoû nhaát: 3a 2 ; chu vi lôùn nhaát: 2a( 2 + 1).

Baøi 684: Cho laêng truï ABC.ABC.

a) Tìm giao tuyeán cuûa (ABC) vaø (BAC).

b) Goïi M, N laàn löôït laø 2 ñieåm baát kì treân AA vaø BC. Tìm giao ñieåm cuûa BC vôùi maët phaúng (AAN) vaø giao ñieåm cuûa MN vôùi mp(ABC).

Baøi 685: Cho laêng truï ABC.ABC. Chöùng minh raèng caùc maët phaúng (ABC), (BCA) vaø (CAB) coù moät ñieåm chung O ôû treân ñoaïn GG noái troïng taâm ABC vaø troïng taâm ABC.

Tính OGOG

. HD: 12

Baøi 686: Cho töù dieän ABCD coù AB = 2a, tam giaùc BCD vuoâng taïi C coù BD = 2a, BC = a. Goïi E laø trung ñieåm cuûa BD. Cho bieát 0(AB,CE) 60 .

a) Tính 2AC2 – AD2 theo a.

b) (P) laø 1 maët phaúng song song vôùi AB vaø CE, caét caùc caïnh BC, BD, AE, AC theo thöù töï taïi M, N, P, Q. Tính dieän tích töù giaùc MNPQ theo a vaø x = BM (0 < x < a). Xaùc ñònh x ñeå dieän tích aáy lôùn nhaát.

c) Tìm x ñeå toång bình phöông caùc ñöôøng cheùo cuûa MNPQ laø nhoû nhaát.

d) Goïi O laø giao ñieåm cuûa MP vaø NQ. Tìm (P) ñeå OA2 + OB2 + OC2 + OD2 nhoû nhaát.

HD: a) Goïi F laø trung ñieåm cuûa AD.

Xeùt 0 0CEF 60 ,CEF 120 2AC2 – AD2 = 6a2 hoaëc –2a2.

b) S = x(a – x)3 a; x

2 2 c) x =

a2

d) OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 4OG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2.

O di ñoäng treân ñoaïn IJ noái trung ñieåm cuûa AB vaø CE. Toång nhoû nhaát khi O laø hình chieáu cuûa G leân IJ ( G laø troïng taâm töù dieän ABCD).

Baøi 687: Cho töù dieän ñeàu ABCD caïnh a. Goïi I, J laø troïng taâm caùc tam giaùc ABC vaø DBC. Maët phaúng (P) qua IJ caét caùc caïnh AB, AC, DC, DB taïi M, N, P, Q.


a) Chöùng minh MN, PQ, BC ñoàng qui hoaëc song song vaø MNPQ thöôøng laø hình thang caân.

b) Ñaët AM = x, AN = y. CMR: a(x + y) = 3xy. Suy ra: 4a 3ax y3 2 .

c) Tính dieän tích töù giaùc MNPQ theo a vaø s = x + y.

HD: b) SAMN = SAMI + SANI c) 22a s 8as. s4 3

.

Baøi 288: Cho hình choùp S.ABCD. Töù giaùc ñaùy coù AB vaø CD caét nhau taïi E, AD vaø BC caét nhau taïi F, AC vaø BD caét nhau taïi G. Maët phaúng (P) caét SA, SB, SC laàn löôït taïi A, B, C.

a) Tìm giao ñieåm D cuûa SD vôùi (P).

b) Tìm ñieàu kieän cuûa (P) ñeå AB // CD.

c) Vôùi ñieàu kieän naøo cuûa (P) thì ABCD laø hình bình haønh? CMR khi ñoù:

SA SC SB SDSA SC SB SD

d) Tính dieän tích töù giaùc ABCD.

HD: b) (P) // SE.

c) (P) // (SEF). Goïi G = ACBD. Chöùng minh: SA SC 2SGSA SC SG

d) SABCD = 2a 332

.

Baøi 689: Cho maët phaúng (P) vaø hai ñöôøng thaúng cheùo nhau d1, d2 caét (P) taïi A vaø B. Ñöôøng thaúng () thay ñoåi luoân song song vôùi (P), caét d1 taïi M, d2 taïi N. Ñöôøng thaúng qua N vaø song song d1 caét (P) taïi N.

a) Töù giaùc AMNN laø hình gì? Tìm taäp hôïp ñieåm N.

b) Xaùc ñònh vò trí cuûa () ñeå MN coù ñoä daøi nhoû nhaát.

c) Goïi O laø trung ñieåm cuûa AB, I laø trung ñieåm cuûa MN. Chöùng minh OI laø ñöôøng thaúng coá ñònh khi M di ñoäng.

d) Tam giaùc BMN vuoâng caân ñænh B vaø BM = a. Tính dieän tích thieát dieän cuûa hình choùp B.AMNN vôùi maët phaúng qua O vaø song song vôùi maët phaúng (BMN).

HD: a) Hình bình haønh. Taäp hôïp caùc ñieåm N laø d3, giao tuyeán cuûa (P) vôùi maët phaúng qua d2 vaø song song vôùi d1.


b) MN nhoû nhaát khi AN vuoâng goùc d3 taïi N.

d) 23a

8

Baøi 690: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh. M vaø P laø hai ñieåm laàn löôït di

ñoäng treân AD vaø SC sao cho: MA PS xMD PC

(x > 0).

a) CMR: MP luoân song song vôùi moät maët phaúng coá ñònh (P).

b) Tìm giao ñieåm I cuûa (SBD) vôùi MP.

c) Maët phaúng qua M vaø song song vôùi (P) caét hình choùp SABCD theo moät thieát dieän vaø caét BD taïi J. Chöùng minh IJ coù phöông khoâng ñoåi. Tìm x ñeå PJ song song vôùi (SAD).

d) Tìm x ñeå dieän tích thieát dieän baèng k laàn dieän tích SAB (k > 0 cho tröôùc).

HD: a) Maët phaúng (SAB). c) Phöông cuûa SB; x = 1.

d) x = 1 k 1 k

k

(0 < k < 1).

Baøi 691: Cho hình choùp S.ABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, taâm O. SA = SB = SC = SD = a. Goïi M laø moät ñieåm treân ñoaïn AO. (P) laø maët phaúng qua M vaø song song vôùi

AD vaø SO. Ñaët AM kAO

(0 < k < 1).

a) Chöùng minh thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (P) laø hình thang caân.

b) Tính caùc caïnh cuûa thieát dieän theo a vaø k.

c) Tìm k ñeå thieát dieän treân ngoaïi tieáp ñöôïc 1 ñöôøng troøn. Khi ñoù haõy tính dieän tích thieát dieän theo a.

HD: b) a; (1 – k)a; ka 3

2 c) k=

2a 63 1;9

Baøi 692: Cho laêng truï ABC.ABC. Goïi M, N, P laø 3 ñieåm laàn löôït naèm treân 3 ñoaïn AB,

AC, BC sao cho AM C N CP xAB AC CB

.

a) Tìm x ñeå (MNP) // (ABC). Khi ñoù haõy tính dieän tích cuûa thieát dieän caét bôûi mp(MNP), bieát tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a.

b) Tìm taäp hôïp trung ñieåm cuûa NP khi x thay ñoåi.

Documents

692 bai hinh ltdh 17 quang trung