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Guía del docente

Eladio Jorge Oliveros Saúco

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Índice & presentación de la guía

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Carta a los maestros 3

Componentes Curriculares

Enfoque pedagógico del Documento de Actualización y Fortalecimiento

Curricular de la Educación Básica 4

Los componentes curriculares: ejes, bloques, destrezas, criterios de desempeño, conocimientos asociados 5

Componentes Metodológicos

Fundamentos, contenidos y orientaciones para el área de Matemática según

el Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 6

Lineamientos metodológicos 9

Atención a la diversidad 10

El uso de situaciones de la vida real como fuente de conocimiento. 12

El ciclo del aprendizaje en el aula 13

Planificación de una clase modelo 14

Descripción de los textos

Conoce tu libro 16

Planificadores de los bloques curriculares 18

La evaluación en nuestros textos 30

Prueba de diagnóstico 31

Pruebas de módulo 32

Exámenes trimestrales 38

Componentes Didácticos

Actividades adicionales 44

Metodología para el tratamiento de conceptos y teoremas 56

Metodología para desarrollar destrezas 58

Metodología para la resolución de problemas 60

Desarrollo de un proyecto de aula 63

Solucionario 64

Bibliografía 72

A los maestros

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Estimados docentes:

Grupo Editorial Norma, en su afán de apoyar los cambios en la educación del país, presenta su nueva serie de textos denominada

, dirigida a los estudiantes de Educación Básica, en cuatroáreas de estudio: Entorno Natural y Social, Matemática, Lengua y Literatura y Ciencias Naturales.

Los textos de la serie están concebidos y elaborados de acuerdo con las demandas curriculares y didácticas propuestas en el Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular vigen-te desde el 2010.

Plantean el desarrollo de las destrezas con criterio de desempeño, contenidos asociados y ejes transversales, y responden a la lógica de organización propuesta en el documento, por medio de ejes de aprendizaje y bloques curriculares.

Los docentes podrán encontrar, no solo una relación directa entre los requerimientos del Ministerio de Educación, sino una interpretación enriquecedora que extiende y amplia la propuesta oficial.

Las guías del docente de la serie constituyen una herra-mienta de auto-capacitación y asistencia efectiva para los maestros. Explican cómo están elaborados los textos, su aplicación y funciona-miento; ofrecen instrumentos que facilitan la comprensión del diseño curricular del Ministerio de Educación; proveen modelos de diseño micro-curricular, solucionarios y herramientas para la evaluación y proponen sugerencias metodológicas que ayudan a enriquecer las didácticas.

Esperamos que los textos y las guías del maestro de la serie sean un apoyo efectivo en la labor del docente y en el proceso de aprendizaje del estudiante.

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Bases Pedagógicas del Documento de Actualizacióny Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica

¿En qué consiste el enfoque pedagógico del

Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica?

• Desarrollo de la condición humana y la com-

prensión entre todos y la naturaleza. Subraya

la importancia de formar seres humanos con

valores, capaces de interactuar con la sociedad

de manera solidaria, honesta y comprometida.

• Formación de personas con capacidad de resolver

problemas y proponer soluciones; pero, sobre

todo, utilizar el conocimiento para dar nuevas

soluciones a los viejos problemas. Propicia el de-

sarrollo de personas propositivas y capaces de

transformar la sociedad.

• Estimula la apropiación de valores como la solida-

ridad, honestidad, sentido de inclusión y respeto

por las diferencias. Insiste en la necesidad de

formar personas que puedan interactuar en un

mundo donde la diferencia cultural es sinónimo

de riqueza.

• Propone una educación orientada a la solución

de los problemas reales de la vida, la formación

de personas dispuestas a actuar y a participar

en la construcción de una sociedad más justa

y equitativa.

• Enfatiza el uso del pensamiento de manera críti-

ca, lógica y creativa; lo que implica el manejo de

operaciones intelectuales y auto reflexivas.

• Subraya la importancia del saber hacer; el fin

no radica en el conocer, sino en el usar el cono-

cimiento como medio de realización individual

y colectiva.

• Los conocimientos conceptuales y teóricos se in-

tegran al dominio de la acción, o sea al desarrollo

de las destrezas.

• Sugiere el uso de las TIC como instrumentos

de búsqueda y organización de la información.

• Prioriza la lectura como el medio de comprensión

y la herramienta de adquisición de la cultura.

• Propone una evaluación sistemática, criterial e in-

tegradora que tome en consideración, tanto la

formación cognitiva del estudiante: destrezas

y conocimientos asociados, como la formación

de valores humanos.

El Ministerio de Educación tiene como objetivo central y progresivo el mejoramiento de la educación del país, para

ello emprende varias acciones estratégicas.

En este contexto, presenta el Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica, con el

objetivo de ampliar y profundizar el sistema de destrezas y conocimientos que se desarrollan en el aula y de forta-

lecer la formación ciudadana en el ámbito de una sociedad intercultural y plurinacional.

El Documento, además de un sistema de destrezas y conocimientos, presenta orientaciones metodológicas e indi-

cadores de evaluación que permiten delimitar el nivel de calidad del aprendizaje.

El Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular ofrece a los docentes orientaciones concretas sobre

las destrezas y conocimientos a desarrollar y propicia actitudes favorables al Buen Vivir, lo que redundará en el

mejoramiento de los estándares de calidad de los aprendizajes.

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Descripción de los componentes curriculares del

Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica

El referente curricular de la Educación Básica se ha estruc-

turado sobre la base del siguiente sistema conceptual:

¿Qué es el perfil de salida?

Es la expresión de desempeño que debe demostrar un

estudiante al finalizar un ciclo de estudio; desempeño

caracterizado no solo por un alto nivel de generaliza-

ción en el uso de las destrezas y conocimientos, sino

por la permanencia de lo aprendido.

¿Qué son los objetivos de área?

Orientan el desempeño integral que debe alcanzar el

estudiante en un área de estudio: el saber hacer, los co-

nocimientos asociados con este “saber hacer”, pero, so-

bre todo, la conciencia de la utilización de lo aprendido

en relación con la vida social y personal.

¿Qué son los objetivos del año?

Expresan las máximas aspiraciones a lograr en el proce-

so educativo dentro de cada área de estudio.

¿A qué se llama mapa de conocimientos?

Es la distribución de las destrezas y conocimientos nu-

cleares que un alumno debe saber en cada año de estudio.

¿Qué son los ejes de aprendizaje del área?

Corresponden a las macro-destrezas que se desarrollan

en el área: escuchar, hablar, leer y escribir.

¿Qué es el trabajo con las tipologías textuales?

El medio que se utiliza para desarrollar las macro-destre-

zas es el trabajo con las tipologías textuales. Por ejemplo:

“Las recetas” es el tipo de texto que se utiliza como eje

vertebrador para lograr la competencia comunicativa

en uno de los bloques de quinto año.

¿Qué son los bloques curriculares?

Componentes de proyección curricular que articula e

integra el conjunto de destrezas y conocimientos alre-

dedor de un tema central de la ciencia o disciplina que

se desarrolla.

¿Qué son las destrezas con criterios de desempeño?

Son criterios que norman qué debe saber hacer el estu-

diante con el conocimiento teórico y en qué grado de

profundidad.

¿Cómo se presentan los contenidos?

Integrados al “saber hacer”, pues interesa el conoci-

miento en la medida en que pueda ser utilizado.

¿Qué son los indicadores esenciales de evaluación?

Se articulan a partir de los objetivos del año; son evi-

dencias concretas de los resultados del aprendizaje

que precisan el desempeño esencial que debe demos-

trar el estudiante.

¿Cómo funciona la evaluación con criterios de

desempeño?

Hace que se vea a la evaluación como un proceso continuo

inherente a la tarea educativa, que permite al maestro

darse cuenta de los logros y los errores en el proceso

de aprendizaje, tanto del maestro como del alumno, y

tomar los correctivos a tiempo.

¿Qué son los ejes transversales?

Son grandes temas integradores que deben ser desarrolla-

dos a través de todas las asignaturas; permiten el análisis

de las actitudes, la práctica de valores y en general, dan

a la educación un carácter formativo e integrador.

Promueven el concepto del Buen Vivir como el esfuer-

zo personal y comunitario que busca una convivencia

armónica con la naturaleza y con los semejantes:

• La formación ciudadana y para la democracia.

• La protección del medioambiente.

• El correcto desarrollo de la salud y la recreación.

• La educación sexual en la niñez y en la adolescencia.

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La propuesta del Ministerio de Educación

plantea que tanto el aprendizaje como la

enseñanza de la matemática deben estar

enfocada en el desarrollo de las destrezas

necesarias para que los estudiantes sean ca-

paces de resolver problemas cotidianos a la

vez que fortalecen su pensamiento lógico

y creativo.

En un mundo “matematizado” la mayoría de

las actividades cotidianas requieren decisio-

nes basadas en la matemática; esta situación

hace que nos interese esta disciplina más que

como fin como instrumento para formar pen-

sadores lógicos, críticos, capaces de resolver

problemas.

La mayoría de las acciones que desarrolla el

trabajador y profesional modernos exigen la

utilización de operaciones mentales y de la

aplicación de los conocimientos matemáticos.

(Ilustración de un ingeniero o un físico en un

laboratorio)

Desde esta perspectiva interesa proveer a

los estudiantes de conceptos matemáticos

significativos, bien aprendidos y con la pro-

fundidad necesaria, pero como instrumentos

operativos para el análisis y solución de pro-

blemas de la cotidianidad.

Estuvimos acostumbrados a un aprendizaje

de la matemática fragmentado en sistemas,

que no hacía relación entre los conceptos y

destrezas de un sistema y otro; desenfocado

de la realidad, como si la solución de los pro-

blemas no requiriera no solo del concurso de

todo el pensamiento matemático además del

de las otras disciplinas.

La Reforma plantea dinamizar el pensamiento

matemático más que desde la lógica de la dis-

ciplina desde puesta en práctica; recordando

que en el plano de lo concreto la organización

de lo abstracto no funciona de la misma ma-

nera y que los compartimentos de las ciencias

desaparecen ante la dinámica de las situacio-

nes de la vida.

Este planteamiento estimula al maestro a re-

acomodar su visión y metodología de ense-

ñanza a partir de una nueva lógica de aprendi-

zaje que va desde la acción, con la priorización

de las destrezas; situación puede constituirse,

al comienzo, en un elemento desestabilizador

para el maestro, quien ha estado acostumbra-

do a ver la enseñanza-aprendizaje de la mate-

mática desde los contenidos disciplinares y no

desde lo que debe hacer con ellos.

Por esta razón las destrezas y los contenidos

han sido seleccionados no solo en función de

los esquemas y estructuras de razonamiento

de los estudiantes de acuerdo con su edad, el

entorno que les rodea, de sus intereses y sus

necesidades, sino desde qué puede hacer con

ellos en la práctica.

Este enfoque estimula en el alumno la capaci-

dad de aprender, interpretar y aplicar la mate-

mática a partir de situaciones problemáticas

de la vida diaria.

Los fundamentos, contenidos y orientaciones del Área de Matemática

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Los textos para Matemática secundaria expresan con fidelidad y cuidado el modelo pedagógico

propuesto, enriquecido con el producto de la experiencia acumulada por autores, editores de

textos y capacitadores tanto a nivel de la educación particular como pública, especialmente esta

última.

Se ha organizado los textos para la enseñanza de la Matemática a través de la estructuración de

seis módulos.

Cada uno de los seis módulos desarrolla los conceptos, teoremas y las destrezas de varios blo-

ques curriculares, integrándolos de manera lógica, práctica y creativa. Este tipo de planificación

modular permite un manejo más globalizador de las destrezas y las capacidades para resolver

problemas intra y extramatemáticos.

Las páginas de entrada de los módulos contienen lecturas e imágenes que, además de expresar

la realidad de nuestro o región, se conectan con los contenidos que serán objetos de aprendiza-

je. Aquí aparecen las destrezas y contenidos que se van a desarrollar en el módulo, se sugieren

actividades para reflexionar y se proponen ejercicios que activan conocimientos y matematizan

el tema de la Lectura. Se señalan y describen, además, los ejes transversales de aprendizaje que

contextualizarán los temas.

En el inicio de cada lección, los profesores encontrarán tres elementos básicos:

¿Qué sé? Activa los conocimientos previos de los alumnos sobre el tema y los motiva hacia el

aprendizaje.

Para la vida. Contesta a los estudiantes, a través de alguna aplicación práctica, cómo y para

qué usará el contenido de la lección en la formación de su razonamiento y en la vida práctica.

Para Comenzar. Breve introducción del tema de la lección que muestra la importancia del

mismo y motiva la necesidad de un nuevo aprendizaje.

Mediante el uso del pensamiento crítico y el razonamiento, el proceso de aprendi-

zaje se desarrolla en momentos ordenados y bien definidos mediante los cuales se

propicia la construcción de los conceptos, el tratamiento de los teoremas, el desa-

rrollo de las destrezas y la creatividad en la resolución de problemas.

Propuesta de los textos para el Área de Matemática en Secundaria

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Zona de Aplicación. Permite al estudiante la aplicación inmediata del conocimiento al tiem-

po que propicia la fijación y sistematización de las destrezas matemáticas adquiridas en la lección.

Adicionalmente, nuestros textos, abren ventanas de extensión del conocimiento por medio de

recursos adicionales que permiten:

Conexiones con la vida. Establece relación con los ejes transversales del conocimiento.

Sí Se Puede. Desarrollo del pensamiento lógico y lateral, además de potenciar las destrezas

del trabajo racional unidas a la creatividad.

TIC. Uso de todo tipo de recursos tecnológicos; búsqueda y extensión del conocimiento.

Vocabulario. Refuerzo de los términos de la matemática.

Compruebo lo que sé. Actividades de autoevaluación para que el estudiante tome con-

ciencia de su aprendizaje en cada uno de los módulos y evalúe sus procesos, determine sus

fortalezas y debilidades.

El Proyecto de Integración. Explicita la relación e integración entre los diferentes elemen-

tos matemáticos entre si, ofreciendo la oportunidad de aplicar holísticamente las destrezas y

capacidades en la solución de un problema real.

Con mis palabras. Espacio que tiene el estudiante para verbalizar y socializar el aprendizaje

logrado en el módulo.

Ruta Saber. Comienza con una pequeña lectura relacionada con interesantes temas de la

matemática que ayudan al estudiante a comprender la importancia que tiene esta asignatura en

la transformación de la realidad objetiva. A continuación se propone una prueba estandarizada,

que se aplica cada dos módulos, que ayuda al estudiante al desarrollo de su razonamiento y lo

entrena para las pruebas de medición del aprendizaje que aplica el estado ecuatoriano.

El Sumak Kawsay o teoría del Buen Vivir es un concepto clave que rechaza la idea del hom-

bre como dueño y señor de la naturaleza y mas bien lo ve como parte de ella.

Significa alejarse del consumismo, individualismo y la búsqueda frenética del lucro por encima

de la preservación de la naturaleza. Promueve la relación armónica entre los seres.

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El siguiente mapa resume los componentes metodológicos fundamentales en el proceso de

aprendizaje.

Lineamientos metodológicos generales

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TIC

bibliográficos

textos

videos

la realidad

Los recursos

3Tipo de

evaluación

Técnicas de

Observación

Herramientas

5Clima

emocional

Ambiente que el profesor

imprime en clase

6Confianza

Académica

Aprendizajes significativos, útiles

para la vida

1Selección de

conocimientos

Destrezas

activan procesos

Contenidos

significativos

importantes

cultura universal

actualizados

Valores

ejes transversales

2

Individual

atención a las

diferencias

Grupal

cooperativo

Enfoque

al aprendiz

es la

inventiva, estrategia, técnica

que se utiliza conscientemente

en el proceso de aprendizaje

repercute en

La metodología

7

Indagación. Estudio de casos,

proyectos, investigaciones,

cuestionamiento experimental.

Observación. Deducción, induc-

ción, comparación, clasificación,

análisis de perspectivas.

Reflexión. Resolución de proble-

mas, crítica, invención, soluciones.

Conceptualización. Construcción

de conceptos.

Estrategias

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La diversidad se presenta en todos los órdenes

de la vida: en el tipo de familia al que pertene-

cemos (familias disfuncionales, sobreprotec-

toras, poco afectivas); en las peculiaridades

psicológicas (timidez, hiperactividad, compul-

siones, apatías, deficiencias); peculiaridades

físicas (aptitudes) y en otros sentidos: intereses,

gustos, preferencias, ritmos y estilo; singulari-

dades que marcan lo que somos como indivi-

duos y como grupos.

Nadie mejor que el docente para observar,

registrar y evaluar las diferencias en sus alumnos,

con miras a dar una atención diferenciada.

El currículo está pensado para servir a la

mayoría, a un alumno prototipo; amerita

entonces que los profesores decidan cómo

y de qué manera adaptar ese currículo a las

particularidades que presentan los alumnos

en sus aulas, y recordar que no todos los seres

humanos aprendemos igual, lo mismo, a la

misma velocidad y de la misma manera.

El fenómeno del aprendizaje está directamente

vinculado a nuestra personalidad, pues las

personas tenemos rasgos cognitivos, afectivos

y fisiológicos que afectan el aprendizaje.

• Preferencias ambientales: luz, sonido, temperatura, distribución de los pupitres en la clase.

• Preferencias emocionales: motivación, simpatía, voluntad y responsabilidad.

• Preferencias de tipo social que se refieren a estudiar en grupo, en pares, con adultos, solos

o en equipo.

• Preferencias fisiológicas: tiempo y movilidad.

• Preferencias sicológicas relacionadas con los hemisferios: global, analítico.

• Se refieren a la interacción de los alumnos en clase.

• Independiente o dependiente del campo.

• Colaborativo o competitivo.

• Participativo o no participativo.

Atención a la diversidad

Preferencias relativas al modo de instrucción y factores ambientales

Preferencias de Interacción Social

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• Factores implicados en la forma en que el alumno asimila la información.

• Hemisferio derecho/izquierdo.

• Cortical/límbico.

• Concreto/abstracto.

• Activo/pensativo.

• Visual/verbal.

• Inductivo/deductivo.

• Extrovertidos/introvertidos.

• Sensoriales/intuitivos.

• Racionales/ Emotivos.

El concepto de necesidades especiales abarca situaciones personales muy diversas tanto de

carácter permanente como transitorio. Una vez identificadas, los docentes deberán elaborar

propuestas curriculares ajustadas a las características y posibilidades de los estudiantes. Estas

adaptaciones afectan al conocimiento, a los medios de acceso al currículo, al tiempo, así como

a la metodología y a los recursos.

Preferencia en el procesamiento de la información

Dimensiones de la personalidad

Estudiantes con necesidades especiales

El buen vivir es aceptarnos con

nuestras fortalezas y debilidades

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En la actualidad el concepto de aula se ha abierto a

todo el entorno, como un espacio de ilimitada riqueza,

a partir del cual los estudiantes pueden construir el co-

nocimiento individual o grupalmente, con la ayuda del

maestro mediador.

Un estudiante puede adquirir el conocimiento por

observación directa e indirecta de la realidad, lo que

significa que lo mismo se puede aprender dentro de un

aula que fuera de ella.

Este concepto de extensión del espacio físico del aula

ha hecho que la metodología de aprendizaje consi-

dere a la realidad y a la vida cotidiana como fuente de

conocimientos; situación que ha tenido un impacto con-

siderable en la metodología del maestro y en su forma

de mediar el aprendizaje.

Todas las metodologías que llevan al estudiante a in-

dagar la realidad no solo que son herramientas útiles

sino que tienen un especial atractivo para ellos; pues

las personas encuentran interesante encontrar el cono-

cimiento por sí mismas.

El estudio de casos, los talleres, la observación directa

de la realidad, el método de encuesta, la entrevista,

la recopilación de datos, el proyecto, el ensayo, la con-

versación informal y formal con expertos, la documen-

tación son estrategias que tienen la virtud de acercar

al alumno a la fuente de conocimiento. Por ser viven-

ciales desarrollan en el estudiante destrezas de comu-

nicación, le ofrecen seguridad y le ayudan a activar

su pensamiento crítico.

Por otra parte, el conocimiento fuera del aula, no se

encuentra en compartimentos estanco como suele

suceder cuando está organizado en la escuela. La inter-

disciplinaridad es una característica de la vida; por lo

tanto, el estudiante encontrará al conocimiento conec-

tado con diversas áreas del saber.

El método de proyecto refuerza destrezas de trabajo

individual y grupal; enseña responsabilidad, tolerancia,

respeto a las ideas ajenas, valoración de los cono-

cimientos y destrezas de los otros, pero sobre todo

a comprender que en la actualidad nadie es dueño del

conocimiento. A continuación ponemos un ejemplo

de Proyecto.

El uso de situaciones de la vida real como fuente de conocimiento

Investigo, reflexiono y discuto con mis

compañeros sobre qué creo que suce-

de con las tierras y las familias que son

abandonadas por los campesinos.

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3

¿Qué efecto social

se produce con

la migración del

campo a la ciudad?

Investigo, reflexiono y discuto con

mis compañeros que debería hacer

el gobierno para que los campesinos

no tengan que dejar el campo.

Reflexiono y saco conclusiones persona-

les y propongo alternativas de trabajo

para que los campesinos tengan trabajo

en el campo.

Investigo en dónde se alojan las personas

que dejan sus casas en el campo y vienen

a la ciudad.

Investigo cuáles son las razones por

las cuales los campesinos dejan sus

tierras y vienen a la ciudad.

Investigo aqué trabajos realizan

las personas que vienen del campo,

a la ciudad.

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El aprendizaje es un proceso que implica el desarrollo de cuatro pasos didácticos; en cada uno de ellos los maestros

pueden desarrollar varios tipos de actividades. Está representado por un círculo que indica que el proceso se inicia

y se cierra. El maestro puede comenzar en cualquier fase del ciclo, aunque lo ideal es partir de la experiencia y cerrar

con la conceptualización.

El ciclo del aprendizaje en el aula

Conceptualización

• Activar los conocimientos previos de los alumnos.

• Compartir anécdotas y experiencias vividas.

• Realizar observaciones, visitas, entrevistas, encuestas, simulacros.

• Presentar fotos, videos, testimonios.

• Observar gráficos, estadísticas, demostraciones.

• Presentar ejemplos reales, noticias, reportajes.

• Utilizar preguntas como: quién,

dónde, cuándo.

• Utilizar el conocimiento en una

nueva situación.

• Resolver problemas utilizando nuevos

conocimientos.

• Utilizar expresiones como: explique, identifi-

que, seleccione, ilustre, dramatice, etc.

• Revisar la información

y utilizarla para seleccio-

nar los atributos

de un concepto.

• Negociar ideas, discutir sobre lo que es

y no es un concepto; argumentación de ideas.

• Obtener ideas de lecturas, ensayos,

conferencias, películas, etc.

• Utilizar mapas conceptuales y otros organizadores.

• Utilizar preguntas como: qué significa,

qué parte no calza, que excepciones encuentra,

que parece igual y qué parece distinto.

• Relacionar lo que los alumnos

saben con el nuevo conocimiento.

• Presentar un mapa conceptual de partida.

• Generar la elaboración de hipótesis,

es decir, de provocar desequilibrio

cognitivo a través de cuestionamientos.

• Escribir y concluir sobre indagaciones e inves-

tigaciones realizadas.

• Utilizar preguntas como: qué,

porqué, qué significa.

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Experiencia

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Clase modelo 10º año de educación básica

Paso 1

• Introducir el tema mediante un breve comentario histórico sobre los inicios del estudio de la probabilidad, a mediados del siglo XVII, y su importancia desde tiempos remotos para los seres humanos.

• Formar grupos de trabajo para que los alumnos realicen juegos de experimentación y anoten en sus cuadernos los resultados de los mismos.

• Grupo 1: Lanzará monedas al aire y registrará el resultado —sello o cara— para cada lanza-miento. Anoten los resultados que se obtienen para 10, 20, 50, y 100 lanzamientos.

• Grupo 2: Lanzará dados, anotará en tablas o gráficos los resultados que se obtienen al lanzar 50, 100 o más veces un dado.

• Grupo 3: Trabajará con la caja de canicas de diferentes colores, anotando los resultados de sacar una canica sin mirar, después de revolverlas, 5, 10, 20 y 30 veces.

• Grupo 4: Realizará una lista de juegos de salón u otros, considerando un análisis del factor azar y la de habilidades y estrategias, tanto de la memoria, técnicas de conteo, etc.

Paso 2

Terminado el trabajo de los grupos, pedir a los alumnos sus opiniones acerca del ejercicio, preguntar cómo se sintieron y qué pudieron observar. Abrir un debate sobre la posibilidad de cargar los dados, marcar de alguna forma las canicas, etc. El foco de esta parte de la clase debe estar en desarrollar la noción de probabilidad a través de actividades motivadoras e in-teresantes. Aunque el espacio muestral está presente, todavía no se lo menciona. Incentivar el debate entre los grupos que hicieron la experiencia manipulando y aquellos que sometieron a análisis crítico los juegos.

Nombre de la lección: Probabilidades simples

Objetivo: Calcular probabilidades simples aplicando el concepto.

Tiempo: 90’

Recursos: Monedas, dados, dominó, parchís, naipes, damas, 40 canicas de4 colores diferentes, 10 de cada color, caja o recipiente reciclado, adaptado para poner adentro las canicas y sacarlas a ciegas, ho-jas para reciclaje, libro de texto y cuaderno.

Eje transversal: Interculturalidad y formación ciudadana.

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Paso 3

Cuando el docente considere que los alumnos se han aproximado bastante a los concep-tos que quiere trabajar, invitar con preguntas concretas a los alumnos a definir con sus palabras lo que es la probabilidad clásica, en qué consiste un espacio muestral y qué es un evento.

Paso 4

Refuerzo: Dos o tres ejercicios sencillos elaborados por los propios alumnos a partir de la fórmula que dedujeron y sus experiencias en la clase. Esta parte de la actividad debe dar paso a preguntas importantes sobre el cálculo de probabilidades simples. Como los alumnos ya tienen el concepto, ahora pueden discriminar situaciones y comprender pro-piedades de las probabilidades. Realizar las siguientes preguntas.

• ¿Consideras que todo evento es probable? Pon un ejemplo en el que la probabilidad sea 0, es decir, que el evento no ocurrirá.

• ¿Qué significa que la probabilidad de un suceso sea igual a 1? ¿Se pueden citar ejem-plos?, ¿cuáles?

• Interpreta la siguiente frase: “La probabilidad de que ocurra una erupción volcánica en el Cotopaxi en los próximos 10 años es del 10 %” . También la frase “La posibilidad de que el

próximo carro que pase sea rojo es 1__5

”.

Paso 5

Evaluación

Técnica

La observación

Instrumento

Registro anecdótico, lista de cotejo.

Tarea

Los alumnos de cada grupo de trabajo traerán una memoria en limpio de su trabajo, observaciones y conclusiones de acuerdo al grupo de trabajo y la intercambiarán con los otros grupos de trabajo.

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Bloques, destrezas, contenidos que se aprenderán en el mó-

dulo de acuerdo a los bloques propuestos por el ME.

La lectura plantea una

situación problema,

valiéndose de datos

y acontecimientos

interesantes.

Entrada al tema general

del Módulo

Preguntas y actividades

relacionadas con la lectura.

Activan los conocimientos

previos.

Un cuestionamiento

relacionado con la lectura

que activa el pensamiento

crítico de el o la estudiante.

Sumak Kawsay. El Buen Vivir

Un concepto kechwa que

rechaza la idea del ser hu-

mano como dueño y señor

de la naturaleza y mas bien

lo ve como parte de ella.

Preguntas que activan los

conocimientos previos del

tema.

Contesta a los estudiantes,

a través de alguna aplica-

ción práctica, cómo y para

qué usará el contenido de

la lección en la formación

de su razonamiento y en

la vida práctica.

Vocabulario recoge el

significado de las palabras

y algunas definiciones y

conceptos que consoli-

dan el aprendizaje.

Concepto o teorema

define en pocas pala-

bras un tema general.

Recuerda consolida el conocimiento conceptual

y procedimental aprendido.

Destrezas con criterio de desempeño a tratarse en

cada tema. Conocimiento que se espera que alcance

el estudiante al final de cada lección.

Inicio de Módulo

Contenidos

Sumak Kawsay. El buen

vivir, Establece relación

con los ejes transversa-

les del conocimiento

Sí se puede sirve para

el desarrollo del pensa-

miento lógico y lateral,

además de potenciar

las destrezas del traba-

jo racional unidas a la

creatividad.

Tic trata sobre el

uso de todo tipo de

recursos tecnológicos;

búsqueda y extensión

del conocimiento.

Conoce tu libro

Descripción de los textos

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Conoce tu libro

Contiene un sistema

de ejercicios y proble-

mas que facilitan el

desarrollo de las des-

trezas y capacidades

generales de trabajo

matemático.

Actividades de

autoevaluación para

que el estudiante

tome conciencia de su

aprendizaje en cada

uno de los módulos

y evalúe sus procesos,

determine sus fortale-

zas y debilidades.

Ejercita el pensamien-

to lógico y crítico del

estudiante.

Prueba estandarizada,

que se aplica cada dos

módulos, que ayuda al

estudiante al desarrollo

de su razonamiento y

lo entrena para

las pruebas de medi-

ción del aprendizaje

que aplica el estado

ecuatoriano.

Actividad práctica para

ser desarrollada en el

salón de clase o fuera

de él y que permite la

integración y aplica-

ción de los contenidos

aprendidos.

Con mis palabras es un

espacio que tiene el

estudiante para verbalizar

y socializar el aprendizaje

logrado en el módulo.

Lectura relacionada con

interesantes temas de la

matemática que ayudan al

estudiante a comprender la

importancia que tiene esta

asignatura en la transforma-

ción de la realidad objetiva.

Zona de aplicación

Compruebo lo que sé

Taller de integración

Ruta saber

Actividades previas al trabajo del módulo

18

TemaDestrezas con criterio

de desempeñoRecomendaciones metodológicas

Tema 1

Producto cartesiano

• Representación del

producto cartesiano

• Diagrama de árbol

• Determinar el producto

cartesiano de 2 conjuntos.

• Representar gráficamente el

producto cartesiano en forma

tabular y por diagramas de

árbol.

Actividades de inicio

Si tengo 3 pantalones distintos y 4 camisas distintas también, ¿de cuántas maneras

diferentes me puedo vestir? Establecer un diálogo en torno a esta situación.

Culminar escribiendo los pares ordenados que se forman, por ejemplo: (pantalón

azul, camisa negra) y así hasta completar los 12 pares. Motivar el tema con este

ejemplo, pues hemos realizado un producto cartesiano.

Actividades de desarrollo

Seguir el orden del texto.

Tema 2

Relaciones

• Dominio y recorrido

de una relación

• Determinar analítica

y gráficamente los pares

ordenados de una relación.

• Establecer el dominio y

recorrido de una relación.

• Plantear relaciones de la vida

cotidiana.


Establecer 2 conjuntos en el aula de clases: mujeres y varones. Establecre una

relación de forma tal que cada mujer se asocia con los varones cuyo nombre tenga

la misma letra inicial que su nombre. De esta forma, habrá mujeres que no tienen

asociados (imágenes), otras que tienen uno y otras que tienen varios.

Tema 3

Concepto de función

• Valor numérico de una

función o valor funcional

• Reconocer si una relación

dada es función o no.

• Reconocer funciones en

diferentes representaciones.


Recordar el concepto de relación.


Éste es el concepto más importante de toda la enseñanza de la Matemática y,

posiblemente, de toda la ciencia. El alumno debe tener una representación mental

clara del concepto, por lo que se debe dedicar todo el tiempo que sea necesario.

Tema 4

Patrones crecientes

y decrecientes

• Proporcionalidad y función

• Constante de

proporcionalidad

• Construir patrones de

crecimiento lineal con

su ecuación generadora.

• Determinar el

comportamiento gráfico

de un patrón de crecimiento

lineal. • Calcular la constante

de proporcionalidad.


Recordar cómo se determina el valor numérico de expresiones algebraicas

sencillas.

Actividades de desarrollo.

Seguir el orden del texto y desarrollar en una conversación de clases el ejemplo de

la página 20 . Lo esencial es reconocer que un patrón de crecimiento lineal genera

una función.

Tema 5

Función lineal

• Gráfica y ecuación de la

función lineal

• Cero de una función lineal

• Determinar la ecuación de una

función lineal dado su gráfico.

• Representar gráficamente una

función lineal dada

su ecuación.


Recordar los patrones de crecimiento lineal y su ecuación generadora.


Dejar muy claro el concepto de función lineal. A partir de aquí, aclarar que existe una estrecha relación entre ecuación y gráfico, es decir, al hablar de función mentalmente divisamos: ecuación-gráfico. Hacer hincapié en las siguientes equivalencias: El par (a; b) � f si y solo si:

1. f (a) = b 2. El par ordenado (a; b) pertenece al gráfico de la función.

Es importante el concepto de cero de una función, en este caso lineal, que interpreten geométricamente que el cero es la intersección del gráfico de la función con el eje de las x.

Tema 6

Pendiente de una recta

• Función creciente

y decreciente

• Calcular la pendiente de una

recta.

• Evaluar si una función lineal es

creciente o decreciente según

su tabla de valores, gráfico

o ecuación.


Preguntar, ¿cuál de las 2 funciones crece más rápido: y = 5x o y = 2x? Explicar que

este crecimiento, como ya conocen de clases anteriores, lo vemos en los valores de

las imágenes Por eso, la primera función crece más rápido que la segunda

FUNCIÓN LINEAL

Prueba diagnóstica para verificar las destrezas adquiridas en los niveles precedentes. Evaluar las destrezas que tienen

los alumnos en cálculo numérico, valor numérico de expresiones algebraicas y plano cartesiano.

MÓDULO

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Bloques curriculares

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Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones

de evaluación

Hacer algún producto cartesiano con material concreto para después llegar

al concepto y representación gráfica.

El alumno no debe aprender fórmulas, sino comprenderlas. De forma natural, hacer

comprender que, si el conjunto A tiene 7 elementos y el conjunto B tiene 4, entonces

el producto cartesiano tendrá 7 • 4 = 28 elementos.

Actividades de aplicación

Seleccionar ejercicios propuestos en la Zona de Aplicación de la página 11 del texto

• Regla graduada

• Texto

• Objetos que puedan

ser clasificados en 2

conjuntos diferentes

para determinar el

producto cartesiano

• Seleccionar ejercicios de la Guía

del docente y de la Zona de

Aplicación para proponer tarea

docente.


Destacar que la relación es siempre un subconjunto del producto cartesiano y afianzar

los conceptos de dominio y recorrido de una relación. Ofrecer la mayor cantidad

y variedad de ejemplos posibles.


Ejercicios de la página 14 del texto

• Texto

• Regla graduada

• Pregunta escrita sobre producto

cartesiano y relaciones.

• Proponer como tarea de

investigación la siguiente

pregunta: “Si A tiene 3

elementos y B tiene 4

elementos, ¿cuántas relaciones

diferentes pueden establecerse

en A • B?

Explicar que no toda relación es una función. Lograr que interioricen la condición de

función: “A cada elemento del conjunto de partida le corresponde exactamente un

elemento en el conjunto de llegada” .


Zona de Aplicación de la página 19 del texto

• Regla graduada

• Texto

• Tres colores para

resaltar las gráficas

• Pregunta escrita donde se

evalúe el concepto de función.

Explicar que este crecimiento o decrecimiento es constante y que por eso podemos

determinar una constante de proporcionalidad.

Es importante comprender que la ecuación y = k • x genera un patrón de crecimiento

lineal y que cuando k es negativo este patrón es decreciente. Esta ecuación puede

generalizarse, pero no es el objetivo fundamental en este momento.


Todos los ejercicios de la página 24 del texto

• Regla graduada

• Texto

• Tarea con ejercicios

seleccionados de la Zona de

Aplicación y de la Guía del

docente.

Finalmente, desarrollar la destreza de representar gráficamente una función lineal,

de ecuación y = m x + b, que reconozcan que se trata de una recta, por lo que basta

buscar solo 2 puntos que pertenezcan a la misma. Incluso, reconocer que b representa

la intersección de la recta con el eje de las y y por tanto solo necesitamos un punto.

De esta forma se logra rapidez en la representación de las rectas cuando conocemos

las ecuaciones respectivas. Debe plantearse una ecuación como por ejemplo,

3x – y = 5, para que tengan que despejar y para obtener la representación normal,

y = 3x – 5 .


Zona de Aplicación de la página 30

• Regla graduada

• Texto

• Pregunta escrita donde se

evalúen las destrezas adquiridas

en las 2 direcciones. Por un

lado, representar la recta

dada su ecuación y, por otro,

encontrar la ecuación dado el

gráfico y algunos elementos.


Explicar el concepto práctico de pendiente, como el nivel o grado de inclinación de la

recta y pedir que asocien este nuevo concepto con el crecimiento y decrecimiento de

la función.


Ejercicios y actividades de la página 36 del texto

• Regla graduada

• Graduador

• Texto

• Prueba del módulo que

aparece en la Guía del docente

Relaciones y Funciones Numérico Geométrico

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A través de actividades simples, recordar cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado con una variable. Propo-

ner ejercicios que se resuelvan por reflexiones lógicas y otros donde sea necesario usar las reglas de transformación.

SISTEMAS DE ECUACIONESMÓDULO

2



Tema 1

Operaciones combinadas

con números reales

• Suma, resta,

multiplicación, división,

potenciación y radicación

• Resolver operaciones

combinadas de adición,

sustracción, multiplicación,

división, potenciación y

radicación con números reales.


Recordar las operaciones y sus propiedades. Recordar también la jerarquía de las

operaciones con ejercicios simples como 3 + 4 • 5 .


Interpretar correctamente las propiedades que cumplen las operaciones conocidas

por los estudiantes.

Tema 2

Sistemas de ecuaciones

lineales

• Método de sustitución

• Método de suma y resta

• Resolver un sistema de 2

ecuaciones lineales con 2

incógnitas por cualquiera de

los métodos estudiados.


Sea la ecuación: 2 x – y = 5, ¿cuántas variables tiene esta ecuación? ¿cuántas

soluciones tiene? Tiene 2 variables o incógnitas. Analizar que tiene infinitas

soluciones y que éstas tienen que ser pares ordenados pues tienen 2 variables. Por

ejemplo: (3; 1) y (10; 15) son 2 de las infinitas soluciones que tiene esta ecuación.


Aprovechar el ejemplo anterior o el que se ilustra en el texto para que los alumnos

comprendan qué es un sistema de ecuaciones.

Tema 3

Resolución de problemas

• Interpretación geométrica

• Resolver problemas que

implican la resolución de

sistemas de 2 ecuaciones

lineales con 2 incógnitas,

aplicando los métodos

estudiados.


Recordar que la representación gráfica de una ecuación de la forma a x + b y + c = 0

es una recta. Preguntar entonces, ¿cuál será la representación gráfica de un sistema

de 2 ecuaciones como las anteriores?


Seguir el orden y los ejemplos del texto.

Tema 4

Factorización

de polinomios

• Esquema general

de la factorización

• Descomponer en factores

diferentes tipos de polinomios.


Recordar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición

y mostrar que esta propiedad permite extraer factor común en expresiones

algebraicas. Diagnosticar las destrezas que poseen los alumnos en este tema.


Éste es un tema muy delicado porque en este texto se sobreentiende que los

alumnos ya saben factorizar binomios y trinomios desde noveno de básica. Sin

embargo, en la práctica esto no ocurre siempre, por lo que el docente actuará

en correspondencia al conocimiento precedente de sus alumnos.

Tema 5

Simplificación de

expresiones algebraicas

• Concepto de fracción

algebraica

• Simplificación y

ampliación de fracciones

algebraicas

• Simplificar expresiones

algebraicas.


Recordar el concepto de fracción y los diferentes tipos de descomposición factorial

del tema anterior.


El concepto de fracción algebraica debe desprenderse de forma natural del

concepto de fracción que conocen los estudiantes. De esta forma, las propiedades

que usamos para simplificar fracciones comunes pueden ser empleadas para

simplificar o ampliar fracciones algebraicas.

Tema 6

Medida de los ángulos

• Parejas especiales

de ángulos

• Ángulos entre paralelas

cortadas por una secante

• Determinar amplitudes

de ángulos en grados

sexagesimales en diferentes

situaciones.


Recordar el concepto de ángulo, sus elementos y su medida en grados

sexagesimales.


Si queremos desarrollar destrezas en el cálculo de ángulos, los alumnos deben

tener una representación clara de los conceptos fundamentales. Se llaman parejas

especiales de ángulos los que son opuestos por el vértice (siempre son iguales), los

ángulos consecutivos (también en parejas).

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Numérico Relaciones y funciones Geométrico


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Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones de

evaluación

Recordar que en la aplicación de la propiedad conmutativa intervienen solo 2

elementos, mientras que en la asociativa intervienen, como mínimo 3 elementos. Los

alumnos deben dominar las propiedades básicas de las potencias y las raíces; esto se

logra realizando muchos y variados ejercicios en clases.



• Texto • Pregunta escrita donde

aparezcan combinadas todas

las operaciones.

Si a la ecuación anterior se le añade otra, ésta también tendrá infinitas soluciones, se

las dispone en sistema para averiguar si existe intersección entre ambos conjuntos

de soluciones. Desarrollar destrezas en ambos métodos, pero en ningún momento

encasillar el trabajo del alumno, para cada caso, el estudiante estará en libertad de

escoger el método que le resulte más sencillo.



• Texto • Pregunta escrita para

comprobar destrezas adquiridas.

Ubicar algún literal donde

se evalúe si adquirieron el

concepto de solución de un

sistema. Para ello se le puede dar

el sistema y preguntarle si un par

determinado es la solución.

Los estudiantes siempre presentan dificultades en el planteo de las ecuaciones

(modelar del problema). Esto no se resuelve en una clase, presentar una amplia

variedad de problemas para desarrollar la destreza. Explicar la estrecha relación el

sistema y su gráfica.



• Regla graduada

• Texto

• Seleccionar ejercicios de la

Zona de Aplicación y la Guía

del docente para proponer la

tarea.

Es por eso que en el texto se comienza con el esquema general de la página 57, el cual

es muy útil en uno u otro caso, pues no solo organiza el trabajo del estudiante sino que le

muestra sintéticamente todo lo que debe saber de la factorización. El tiempo dedicado a

este tema depende del nivel de destrezas que adquieran los alumnos.

Recordar la aplicación de la factorización al cálculo; que esas variables con las cuales

trabajamos representan números. Por ejemplo, pedirles que calculen 78 • 82 operación

que pueden realizar mentalmente si aplican lo conocido sobre diferencias de

cuadrados: (80 – 2) (80 + 2) = 6 400 – 4 = 6 396 .



• Texto

• Regla graduada

• Pregunta escrita con ejercicios

seleccionados de la Zona de

Aplicación

y de la Guía del docente.

Es necesario trabajar la ampliación puesto que la necesitarán para, posteriormente,

comparar y sumar fracciones algebraicas. Aprovechar este tema para corregir las

dificultades que aún presenten los estudiantes en la factorización de polinomios.




se evalúen las destrezas

adquiridas.

• Proponer como tarea la

realización de un resumen

la factorización de polinomios.

Éstos son especiales por su posición, mientras que las parejas de ángulos

complementarios y suplementarios lo son por su medida. Aprovechar la oportunidad

para definir una pareja muy especial: los adyacentes, porque cumplen una condición

de posición (consecutivos) y una condición de medida (suplementarios).



• Regla graduada

• Escuadras

• Texto

• Graduador

• Examen trimestral que

aparece en la Guía del

docente.

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MÓDULO

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Tema 1

Ampliación de los

conjuntos numéricos

• Reconocer la relación entre

los diferentes conjuntos

numéricos estudiados.


Determina todos los pares de números naturales x y y tales que: x2 – y2 = 5 .

Después de un breve análisis, expresar la ecuación como (x + y) (x – y) = 5. Como x

y y deben ser naturales, tanto (x + y) como (x – y) lo son también, luego solo queda

la posibilidad: x + y = 5 ; x – y = 1. Resolviendo este sistema tenemos: x = 3 ; y = 2 .

Hacer notar que, si las variables fuesen enteras, entonces habría más soluciones.


En este tema se hará una necesaria sistematización de los conjuntos numéricos �,

�, � y �, donde lo esencial es reconocer que � � � � � � �.

Tema 2

El exponente racional

• Propiedades de los

radicales

• Evaluar y simplificar potencias

de números enteros con

exponentes racionales.


Ya sabemos calcular potencias con exponente entero, pues sabemos trabajar con

exponente negativo. Por ejemplo: 3 – 2 = 1__32 =

1__9

¿qué sucederá cuando

el exponente sea una fracción?


La situación anterior motiva un nuevo concepto: necesitamos saber cómo

se efectúa una potencia cuando el exponente es fraccionario.

Tema 3

Racionalización de

denominadores

• Racionalizar expresiones

algebraicas y numéricas.


¿Por cuál número debe multiplicarse 23

para que desaparezca la raíz? Los alumnos

llegarán a la conclusión que uno de ellos es 43

, pero existen infinitos más.


Solo se tratarán 2 casos de racionalización.

Tema 4

Simplificación de

expresiones con raíces

• Multiplicación y división

de raíces

• Simplificar expresiones que

contienen radicales.


Recordar que las raíces de índice par de números negativos no existen en �. De

igual manera aclarar que las raíces de índice par de números positivos siempre son

positivas.



Tema 5

Operaciones combinadas

con números reales

• Resolver operaciones

combinadas de adición,

sustracción, multiplicación,

potenciación y radicación con

números reales.


Recordar las propiedades de las potencias y las raíces.


A las operaciones combinadas que ya conoce el estudiante agregar aquí la

dificultad del exponente racional y con ello realizar una sistematización

de todas las operaciones.

Tema 6

Medición de ángulos

• El sistema sexagesimal

• Sistema circular

• Relación entre grado

sexagesimal y radián

• Realizar conversión de ángulos

en grados a radianes

y viceversa.


Recordar la medida de ángulos en grados sexagesimales. ¿Será ésta la única forma

de medir los ángulos? Recordar cómo se determina la longitud de un arco

de la circunferencia.


Insistir en el concepto de la medida en radianes de un ángulo.

A través de preguntas orales recordar el concepto de potencia y de raíz de un número real. Proponer ejercicios senci-

llos en los que apliquen el concepto de potencia y de raíz.

RADICALES

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de evaluación

Sin embargo, otras características de estos conjuntos o dominios numéricos deben ser

resaltados: � y � son conjuntos discretos, mientras que � y � son densos. Hacer notar

que �, a pesar de ser denso, no llena la recta numérica, que gracias al conjunto � o �’

de los irracionales se completa la recta numérica con los reales puesto que

� = � � �’ .

Actividades de aplicación. Todos los ejercicios de la página 79 del texto.

• Texto

• Regla graduada

• Seleccionar ejercicios de

la Zona de Aplicación y de

la Guía del docente para

proponer tarea docente.

• Adicionalmente enviar un

trabajo de investigación

sobre los números

irracionales.

Plantear la siguiente secuencia: a1_n = b ⇔ a

1_n

n

⇔ bn ⇔ a = bn

; luego b es la raíz

n-ésima de a, por lo que podemos escribir que: a1_n = a

n

. Luego ampliar: am_n = amn

.Es muy importante que el estudiante domine esta definición, de esta forma ya está

en condiciones de realizar, independientemente, una ejercitación graduada. Realizar

todos los ejemplos que aparecen en el texto.


Ejercicios de la página 84 del texto.

• Texto • Pregunta escrita para

comprobar destrezas

adquiridas. Ubicar algún

literal donde se evalúe si

adquirieron el concepto

de exponente fraccionario.

Monomio y binomio. Ambos en casos simples, desarrollar destrezas en esta

importante operación, pues será de gran aplicación en el futuro.


Zona de Aplicación de la página 88 del texto.

• Regla graduada

• Texto

• Pregunta escrita

evaluando los 2 casos

estudiados en clases.

Trabajar todos los ejemplos planteados, pues tienen diferentes dificultades. El

estudiante debe desarrollar destreza en reconocer raíces semejantes, son las únicas

que podemos sumar y esto nos permite reducir expresiones que ya han sido

simplificadas individualmente.


Todos los ejercicios de la página 92 del texto.

• Texto

• Regla graduada

• Pregunta escrita con

ejercicios seleccionados

de la Zona de Aplicación

y de la Guía del docente.

Seguir los ejemplos planteados en el texto. Detenerse en el análisis de la siguiente

dificultad.

–64– 1_

3 = 1_____

–641_3

= 1_____

–643 =

1__–4

= –1__4

Hacer notar la diferencia operacional entre los 2 signos menos existentes.


Zona de Aplicación en la página 99.



adquiridas.

• Proponer tarea

seleccionando 2 ó 3

ejercicios de la Guía del

docente.

Aclarar el concepto de radián antes de pasar a las conversiones, de forma tal que

el estudiante esté consciente de lo que realiza posteriormente. Incluso, una vez

comprendido el concepto y que aprecien la amplitud en el plano del ángulo de 1

radián, pedir que estimen ¿cuántos radianes medirá un ángulo de 180º?


Ejercicios y actividades de la página 104 del texto.

• Regla graduada

• Escuadras

• Texto

• Graduador



Docente.


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Tema 1

Área lateral y volumen

de una pirámide

• Poliedros

• Área total

• Calcular áreas laterales de

pirámides en la resolución

de problemas. Calcular

volúmenes de pirámides,

aplicando el teorema

de Pitágoras.


Preguntar: ¿qué relación existe entre el volumen de una pirámide y el volumen

de un prisma de igual base y altura que la pirámide? Hacer el experimento con

arena, para lo cual deben llevarse una pirámide y un prisma de igual base y altura.

Comprobar que el volumen del prisma es 3 veces el volumen de la pirámide.



Tema 2

Área lateral y volumen

de un cono

• Cuerpos redondos

• Área total del cono

• Aplicar el teorema de Pitágoras

en el cálculo de áreas totales

y volúmenes de conos.


Mostrar la diferencia entre poliedros y cuerpos redondos. Presentar proyección con

el mayor número de ejemplos posibles.


Seguir el orden del texto y proceder de manera similar al tratamiento del cálculo en

las pirámides. Explicar qué se entiende por un cuerpo de revolución (se obtiene por

la rotación de una figura).

Tema 3

Unidades de longitud

y área

• Reconocer las unidades del SI

y realizar conversiones a otros

sistemas dentro del contexto

de la resolución de problemas.


Realizar un análisis en clases sobre las siguientes expresiones.

- Mi casa tiene 147 metros cuadrados de construcción.

- Un barco camaronero pequeño tiene 18 metros de eslora.

Aprovechar la ocasión para establecer la diferencia entreambos tipos de medidas.

Tema 4

Unidades de volumen

y capacidad

• Reconocer las unidades de

volumen y capacidad del SI

y realizar conversiones a otros

sistemas dentro del contexto

de la resolución de problemas.


Seguir el ejemplo introductorio de la página 125 del texto y aprovechar la ocasión

para hablar de la importancia de ahorrar el agua como fuente de vida y energía

de la humanidad.


Al igual que en el tema de las unidades de longitud y superficie, es necesario que

los estudiantes adquieran una representación mental clara de la magnitud de las

medidas.

Tema 5

Notación científica

• Transformar cantidades

expresadas en notación

decimal en notación científica

usando exponentes positivos

y negativos.


Recordar las propiedades de las potencias. De igual forma, recordar la

multiplicación de números por potencias de 10, tanto negativas como positivas.


Primero destacar que la notación, llamada científica, es un acuerdo o norma creado

por los matemáticos para estandarizar y racionalizar las diferentes medidas de

magnitudes. Por tanto, hay que respetar la norma definida en el texto.

Tema 6

Función exponencial

• Patrón generador

• Dominio, recorrido

y crecimiento

• Reconocer una función

exponencial a partir

de su tabla de valores.


Recordar el concepto de función y las funciones lineales estudiadas. Analizar que

estas funciones crecen o decrecen de forma constante y que por eso su gráfico

es siempre una recta.


Seguir el orden del texto para que los alumnos comprendan cuándo estamos

en presencia de un patrón de crecimiento exponencial.

Hacer un resumen de los cuerpos conocidos por los estudiantes: prismas (dentro de ellos, los ortoedros y especial-

mente el cubo), cilindros, pirámides, conos y esferas.

PIRÁMIDES Y CONOSMÓDULO

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de evaluación

Es importante desarrollar los cuerpos para que el alumno pueda verificar la aplicación

de las fórmulas. No obstante el experimento inicial, hacer la demostración que aparece

en el texto sobre el volumen de la pirámide, pues el experimento nos da una hipótesis

que debe ser comprobada matemáticamente.



• Texto

• Regla graduada

• Arena

• Pirámide desarrollada

en cartón

• Pirámide y prisma de

cartón que tengan igual

base y altura


la Zona de Aplicación y de


proponer tarea docente.

• Solicitar a los estudiantes

un resumen investigativo

sobre diferentes tipos

de pirámides.

Observar que el cono puede obtenerse por rotación de un triángulo rectángulo

alrededor de uno de sus catetos y, por eso, es un cuerpo de revolución. ¿Puedes

obtener un cilindro por revolución? Al final del tema resumir el cálculo de cuerpos.

Prismas → V = Ab • h Pirámides → V = 1/3 Ab • h

Cilindros → V = Ab • h = π r2 h Conos → V = 1/3 Ab • h = 1/3 π r2 h



• Texto

• Regla graduada

• Escuadras

• Proyector con imágenes

de poliedros y cuerpos

redondos

• Tres colores como mínimo

• Pregunta escrita para

comprobar destrezas

adquiridas en el cálculo

de volúmenes y áreas

laterales de pirámides

y conos.


Lo esencial aquí es que los estudiantes adquieran una representación mental clara

de las medidas, que imaginen 1 metro cuadrado, que distingan las medidas para

que cuando lean una información o resuelvan un problema tengan conciencia

de lo que hacen.



• Texto

• Cisternas o recipientes

en el exterior del aula

de clases para estimar

volúmenes y capacidades

• Artículos de la prensa que

refieran volúmenes

• Pregunta escrita.

• Enviar un trabajo de

investigación sobre

la superficie de las 24

provincias de Ecuador.

Por ejemplo, ¿qué significa 1 metro cúbico de agua?, ¿qué cantidad representa?

Observar alguna cisterna en el exterior del aula y pedir a los alumnos que estimen

cuál es su capacidad en metros cúbicos. De igual forma, por la condición de ser

exportadores de petróleo, explicar con exactitud la capacidad de un barril de crudo.



• Texto

• Tarea con ejercicios

seleccionados de la Zona

de Aplicación y de la Guía

del docente.

Resaltar de igual forma las ventajas que tiene este tipo de notación para expresar

cantidades muy grandes o muy pequeñas, lo cual sería demasiado tedioso sin el

empleo de este convenio. Por supuesto, la notación científica trae beneficios al cálculo,

trabajemos o no con calculadoras. Hacer la mayor variedad de ejercicios posibles.



• Texto

• Cisternas o recipientes

en el exterior del aula

de clases para estimar

volúmenes y capacidades


refieran volúmenes

• Proponer trabajo de

investigación sobre la

capacidad de los embalses

de agua en nuestro país

y las nuevas capacidades

que se crean

en la actualidad.

Valorarlo en la tabla y en la gráfica de esta función en el plano cartesiano. Establecer

la diferencia entre un patrón de crecimiento lineal y un patrón de crecimiento

exponencial. Por ejemplo, y = 2 x es lineal, mientras que y = 2x es exponencial. Ambos

crecen, pero la segunda lo hace mucho más rápido. Hacer comparaciones y hablar en

estos términos es muy beneficioso para la ulterior vida matemática del alumno.



• Regla graduada

• Texto

• Dos colores para

diferencias curvas

en el plano



docente.

Numérico Relaciones y funciones Geométrico Medida

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26

TRIGONOMETRÍA



Tema 1

Razones trigonométricas

• Seno, coseno y tangente

de un ángulo agudo

• Funciones recíprocas

• Cofunciones

• Definir y aplicar las razones

trigonométricas en el triángulo

rectángulo y aplicarlas al

cálculo y resolución de

triángulos rectángulos.


Recordar los elementos y propiedades elementales del triángulo rectángulo, haciendo

hincapié en la determinación del lado opuesto y adyacente a un ángulo agudo.


Seguir el orden del texto para definir las funciones trigonométricas. Es importante

que los estudiantes conozcan por qué, por ejemplo, se puede definir el seno de

un ángulo, es decir, por qué es único este valor independientemente del triángulo

donde se encuentre esta amplitud.

Tema 2

Ángulos especiales

• Complementarios

y suplementarios

• Ángulos coterminales

• Ángulos de referencia

• Reconocer parejas de

ángulos complementarios,

suplementarios y coterminales,

así como ángulos de referencia

en la resolución de problemas.


Representar en el plano el ángulo de 500º. Establecer un análisis de esta pregunta

y provocar que sean los propios estudiantes quienes ofrezcan la solución al

problema. En realidad, este ángulo ha dado una vuelta completa y, además, ha

recorrido 140º más, por tanto, 500º y 140º se comportan de la misma forma; se trata

de una pareja de ángulos coterminales, porque tienen el mismo lado terminal.

Tema 3

Ángulos en polígonos

regulares

• Elementos de un polígono

• Suma de los ángulos

interiores

• Ángulos exteriores

• Calcular medidas de ángulos

internos en polígonos

regulares y establecer

patrones.


Recordar los diferentes tipos de polígonos. Preguntar por el polígono del menor número

de lados (triángulo) y establecer las condiciones para que un polígono sea regular.


Explicar la fórmula para obtener la suma de los ángulos interiores de un polígono

cualquiera (regular o no) se puede obtener de diferentes formas.

Tema 4

Unidades de masa

• Masa y peso

• Realizar conversiones y

reducciones de unidades de

masa del SI y de otros sistemas,

aplicándolos a la resolución

de problemas.


Plantear la siguiente situación: Un estudiante de 10º de básica viaja en avión de

Guayaquil a Quito. Antes de salir se toma el peso en una balanza del aeropuerto

y registra 60 kg . Sin ingerir alimentos en el trayecto, ¿pesará lo mismo al llegar a

Quito? Establecer una conversación de clases y analizar la situación. Concluir que

masa y peso son 2 magnitudes diferentes, aunque están muy relacionadas.


Efectivamente, a diferencia de la masa, en el peso interviene la gravedad y es por eso

que, en condiciones normales, una persona pesa menos en Quito que en Guayaquil.

Tema 5

Unidades de tiempo

• Realizar reducciones y

conversiones de unidades

de tiempo del SI y de otros

sistemas y aplicarlos a la

resolución de problemas.


¿Por qué existen los años bisiestos? Explicar la causa de esta existencia, que el

año bisiesto trae 366 días y cómo los científicos acordaron resolver el problema.

Aprovechar para hablar de la importancia de usar correctamente el tiempo.


Las medidas de tiempo son cíclicas. Por ejemplo, la semana tiene 7 días. Esta

situación debe explotarse en el aula de clases para combinar estos contenidos

con el conteo y la aplicación de la división euclidiana.

Tema 6

Media aritmética

• Diagramas estadísticos

• Diagramas de tallo y hojas

• Medidas de tendencia

central: media, mediana,

moda y rango

• Calcular la media aritmética

de una serie de datos reales.


Realizar la actividad inicial que aparece en la página 172 del texto. Explicar la

importancia de la media aritmética en la planificación.

Actividades de desarrollo.

Aprovechar el concepto de media aritmética para desarrollar destrezas en el cálculo

de estimaciones. Habituarlos a realizar estimaciones antes de proceder al cálculo

matemático de la media aritmética.

Exponer ejemplos de lo que significa la palabra razón en nuestra ciencia matemática. Aclara que la razón siempre se

establece entre magnitudes del mismo tipo y que por eso siempre resulta un número. Este número, que es la razón,

representa la cantidad de veces que cabe una magnitud en la otra.

MÓDULO

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27


de evaluación

Usar el Teorema de Tales, mostrando que la razón entre el cateto opuesto y la

hipotenusa es la misma, independientemente de las longitudes de los lados del

triángulo, siempre que el ángulo sea el mismo claro está. Prestar especial atención

a las cofunciones, pues tiene una gran importancia en el cálculo. Mostrar que es

interesante que sen 80º = cos 10º .



• Regla graduada

• Texto


verificar si dominan los

conceptos, propiedades

y, en una segunda parte,

si ya tienen las destrezas

para aplicarlas.


Aclarar que los conceptos complementarios, suplementarios y coterminales son

binarios, es decir, se refieren a 2 ángulos. Es importante que los alumnos fijen las

fórmulas para determinar los ángulos de referencia en los 4 cuadrantes.



• Texto

• Regla graduada

• Escuadras

• Compás

• Dos colores como mínimo

para diferenciar ángulos


comprobar destrezas

adquiridas en el cálculo

de ángulos de referencia.

Seguir el orden del texto porque así el estudiante adquiere una estrategia para formar

patrones, lo cual podrá aplicar en muchas otras situaciones. La ventaja del polígono

regular es que todos sus ángulos internos son iguales, lo cual nos permite su cálculo.


Zona de Aplicación de la página 164 del texto.

• Regla graduada

• Texto

• Escuadras

• Compás


comprobar destrezas

en el cálculo de ángulos

en polígonos regulares.

La acción de la gravedad es menor en las ciudades de la sierra ya que están más

alejadas del centro de la tierra, . Es importante que los alumnos conozcan, además de

las medidas del Sistema Internacional, otras que son muy utilizadas en nuestro medio,

como la libra y el quintal. Hacer prácticas con una balanza para que los alumnos

adquieran la capacidad de estimar masas.


Todos los ejercicios de la página 168 del texto.

• Texto

• Balanza y masas de

distintos tipos


refieran medidas de peso

• Proponer trabajo de

investigación sobre la

cantidad de toneladas

métricas que se produce

anualmente en el país de

un producto seleccionado.

Por ejemplo, se puede plantear el siguiente problema: Dos compañeros de aula se

encuentran un día martes y deciden volverse a encontrar 2 010 días después en el

mismo lugar. ¿Qué día de la semana se encontrarán? ¿Cuántos años, meses, semanas

y días han transcurrido? Para la primera pregunta basta escribir: 2 010 = 287 • 7 + 1 .

Por tanto, han transcurrido 287 semanas completas y 1 día, por tanto, se verán un

miércoles.


Zona de Aplicación en la página 171.



adquiridas.

Entre otros muchos ejemplos podemos estimar y hallar medias aritméticas en

precipitaciones en una región determinada del Ecuador, producción de arroz por

hectárea de cultivo, producción de flores por hectárea, ingreso mensual de un grupo

de trabajadores, etc.


Ejercicios y actividades de la página 176 del texto.

• Regla graduada

• Texto

• Artículos de la prensa

escrita donde se

evidencien medias

aritméticas



Docente.

Relaciones y funciones Geométrico Medida Estadístico

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28



Tema 1

Resolución de triángulos

rectángulos

• Aplicar las razones

trigonométricas en el cálculo

de lados y ángulos de

triángulos rectángulos.


Proyectar 4 triángulos rectángulos con las siguientes situaciones.

1. Están dados un ángulo agudo y un lado.

2. Están dados los 2 ángulos agudos.

3. Están dados 2 lados.

4. Están dados el área y un cateto.

Preguntar en cuáles de esos casos podemos determinar con seguridad los

restantes elementos del triángulo. Establecer un diálogo y concluir que el único

caso imposible es el 2. debido a que podemos construir infinitos triángulos

semejantes.

Tema 2

Problemas de ángulos de

elevación y depresión

• Aplicar las razones

trigonométricas para calcular

ángulos de elevación

y depresión en la resolución

de problemas cotidianos.


Seleccionar un artículo de Internet o revista que narre el ángulo de elevación de

un avión determinado al despegar de la pista. Hacer la ilustración en la pizarra del

triángulo rectángulo que se forma hasta el punto en que toma la altura de vuelo

normal. Usar esta situación para motivar el tema.


Explicar claramente los conceptos de ángulos de elevación y depresión, de lo

contrario sería imposible resolver problemas afines al tema.

Tema 3

Aplicación de los ángulos

notables

• Signos de las funciones en

los cuatro cuadrantes

• Ángulos notables en los

cuatro cuadrantes

• Utilizar funciones de ángulos

notables en la resolución

de ejercicios y problemas.


Recordar que los llamados ángulos notables del primer cuadrante son: 30º, 45º

y 60º. Explicar por qué se consideran notables.


Debido a su importancia es conveniente deducir los valores de las funciones

trigonométricas para estos ángulos. Explicar al alumno que no tiene que

aprenderse de memoria estos valores, sin embargo, el conocerlos ahorra tiempo

en el cálculo.

Tema 4

Probabilidades simples

• Propiedades de las

probabilidades

• Calcular probabilidades

simples aplicando el concepto.


¿Qué posibilidad existe de que el próximo carro que divisemos en la calle sea de

color azul? Debatir esta pregunta y escuchar respuestas de los alumnos. Unos dirán

muchas, otros dirán pocas, otros ninguna. Explicar que en Matemática existe una

rama que se encarga de predecir este tipo de eventos: las probabilidades, las cuales

tenemos que ver (inicialmente) como la medida de que ocurra o no un suceso

determinado.


Proponer la idea de observar los colores de 50 carros y llevar la estadística.

Tema 5

Dependencia de eventos

• Eventos independientes

• Eventos dependientes

• Principios fundamentales

del conteo

• Calcular la probabilidad

de que ocurran eventos

independientes o

dependientes.

• Determinar cantidad de

posibilidades y maneras

diferentes de realizar una

actividad.


Recordar el concepto de probabilidad. A partir de aquí seguir el orden del texto

para motivar el tema.


Explicar si se tratan de eventos dependientes o independientes. Agotar todas las

posibilidades de ejemplos para que se desarrolle la destreza correspondiente.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Y PROBABILIDAD A través de ejemplos sencillos recordar las propiedades universales de los triángulos, en especial de los triángulos

rectángulos: los ángulos agudos son complementarios, la hipotenusa es el mayor de los lados, desigualdad triangular

y área del triángulo rectángulo, cuya fórmula se simplifica pues basta calcular el semiproducto de sus catetos.

MÓDULO

6

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29


de evaluación


El alumno debe comprender aquí un concepto nuevo: resolver un triángulo. Esto

es, calcular sus 6 elementos más el área, pero que para ello siempre necesitaremos 2

elementos dados: un ángulo agudo y un lado o 2 lados, nunca resolveríamos con 2

los ángulos agudos (incluso si conocemos un ángulo agudo ya conocemos el otro

porque son complementarios).



• Texto

• Regla graduada

• Graduador

• Compás

• Proyector o infocus


comprobar destrezas

desarrolladas en la

resolución de triángulos

rectángulos.

Queda absolutamente claro que, en general, no podemos hablar del desarrollo de

destrezas en procesos si no existe una sólida base conceptual, pues de lo contrario

los alumnos trabajarían memorizando procesos particulares, los cuales olvidarían

fácilmente. La finalidad aquí es que los alumnos resuelvan problemas. En este

contexto es conveniente que trabajen solos, sin figuras de análisis dadas por el

docente, pues deben ser capaces de construir las figuras de análisis y determinar

si se trata de un ángulo de elevación o de un ángulo de depresión.



• Texto

• Regla graduada

• Tres colores para realizar

los gráficos o esquemas

ilustrativos

• Artículo de Internet o

revista que revele el

ángulo de elevación

de un avión

• Pregunta escrita donde

se valore el nivel de

adquisición de las

destrezas en la resolución

de problemas afines

al tema.

Esto quiere decir, que no está mal que lo memoricen después que sean deducidos.

Mucha atención a la determinación de los ángulos de referencia y el signo de la

función en ese cuadrante. El estudiante debe desarrollar destrezas para calcular, por

ejemplo: cos 240º

Primeramente, determina que 240º está en el tercer cuadrante y su ángulo de

referencia es 240º - 180º = 60º, luego cos 240º = - cos 60º debido a que el coseno es

negativo en el tercer cuadrante y finalmente, cos 240º = - 1/2



• Texto

• Regla graduada

• Escuadras

• Compás


evaluar el nivel de

destrezas en el cálculo

de las funciones

trigonométricas de

ángulos notables en los 4

cuadrantes.

Los estudiantes toman notas y ellos asumen estrategias particulares para controlar

los datos. Supongamos que, de los 50 carros, 12 fueron azules. Entonces el docente

vuelve a preguntar, ¿cuál es la probabilidad de que el próximo carro sea azul? De una

conversación de clases debe surgir la idea de dividir 12 ÷ 50 = 0,24 . Luego pedimos

que expresen porcentualmente esa cantidad. El 24 %, luego se puede estimar que,

aproximadamente, de cada 4 carros que pasan por la calle uno es azul. El resto del

tema se ciñe al orden del texto.



• Texto

• Salida al exterior de la

sala de clases para realizar

experimentos aleatorios


la Zona de aplicación y de


proponer tarea.

• Pregunta escrita, con

cuaderno y libro abierto,

pues ésta debe ser

una línea de acción

permanente.

Por otro lado, deben reconocer que la fórmula P(E1, E2) = P(E1) • P(E2) se aplica en ambos

casos, solo que cuando los eventos son dependientes varía el espacio muestral.

Resolver la mayor cantidad y variedad de ejercicios posibles.



• Regla graduada

• Texto



docente.


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rial.

Sistema de evaluación

El sistema de evaluación en los textos

Enfatiza que los docentes deben evaluar en forma sistemática lo que el alumno es capaz de hacer al enfrentarse a

diversas situaciones y problemas.

Al seleccionar las técnicas de evaluación se deben preferir aquellas que ayuden al maestro a seguir

el proceso de aprendizaje de un estudiante.

Siguiendo los lineamientos del ME, hemos concebido

y organizado el proceso de evaluación de dos maneras:

Evaluación en el texto del estudiante:

Una evaluación endógena pensada para que sean

los propios alumnos los que realicen el seguimiento

y valoración de su proceso de aprendizaje. Mediante, lo

que aprendí.

En la Guía del Maestro:

Una evaluación exógena, que proviene del maestro,

y que sirve para conocer el grado de apropiación por

parte del alumno del conocimiento, y por otra, para

concretizar la observación del proceso en parámetros

traducibles a notas. Mediante:

Prueba de Diagnóstico, con el objetivo de que el pro-

fesor obtenga una idea general sobre los conocimien-

tos previos de los alumnos y si tienen o no los prerre-

quisitos que se necesitan para los nuevos aprendizajes.

Pruebas de Unidad, están pensadas para seguir un

tramo corto del proceso de aprendizaje que dan cuen-

ta sobre las debilidades y fortalezas de conocimiento

frente a temas concretos.

Pruebas Acumulativas Trimestrales para que el do-

cente pueda conocer qué ha aprendido el estudiante

en un período más largo y pueda tomar decisiones

cómo dar explicaciones adicionales, tutorías de alum-

nos aventajados, presentar el conocimiento por medio

de otros recursos, revisar los aspectos que generan tra-

bas en el conocimiento, entre otras técnicas.

Sugerencias para el manejo de las Pruebas de Mó-

dulo y Trimestrales.

La Guía del maestro presenta a los docentes modelos

de pruebas. Espera que las utilicen como ejemplos; los

docentes deberán diseñar las suyas de acuerdo con las

características, nivel y ritmo de los alumnos en su clase.

El ME sugiere aplicar las siguientes técnicas:

· Observación directa del desempeño de los

estudiantes.

· La valoración de la defensa de las ideas.

· La utilización de los diferentes puntos de vista.

· Argumentación sobre conceptos e ideas teóricas.

· Explicación de los procesos realizados.

· Solución de problemas.

· Producción escrita que refleje procesos reflexivos del

alumno.

· Realización de pruebas.

Instrumentos de evaluación

· Mapas mentales

· Método de caso

· Proyectos

· Diario

· Debate

· Técnica de la pregunta

· Portafolio

· Ensayo

· Lista de cotejo

· Rúbricas

· Rangos

Nombre:

Fecha: Año: Paralelo:

Prueba de diagnóstico

31

Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.

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al.

1 Al calcular la operación 1_2

+5_6

4 –10__3

obtenemos como resultado:

a) –1__

10

b) 1_4

c) –3_4

d) 1_6

a) 8__

13

b) 5_8

c) 9__

40

d) 3_5

a) 8 cm

b) 5,13 cm

c) 10 cm

d) 12 cm

a) 2 010

b) 2 013

c) 2 023

d) 13

a) 50 años

b) 45 años

c) 52 años

d) 53 años

a) 30 cm3

b) 15 cm3

c) 60 cm3

d) 10 cm3

a) 2x – 1

b) 3x – 2

c) 6x + 1

d) x – 2

2 El triángulo ABC de la figura es rectángulo

en B. Entonces la medida del segmento AB es

igual a:

3 El volumen de una pirámide regular cuya

base es un cuadrado de lado igual a 6 cm

y su altura es h = 5 cm, es igual a:

5 Ana, Bety y Cecilia se reparten una torta de

chocolate. Ana toma 3_8

de la torta, Bety se

come2_5

, mientras que a Cecilia

le corresponde el resto.

¿Qué parte le corresponde a Cecilia?

7 Hace 3 años, la edad de la hija era 2_5

de

la edad del padre y entre ambas edades

tenían la edad de la abuela, que era 70 años.

¿Cuántos años tiene actualmente el padre?

6 Si x + 7 + y = 20, entonces x + y + 2010

es igual a:

4 Uno de los factores del trinomio 6x2 + x – 2 es:

A B

C

5 cm 13 cm

� ��

��

��

Prueba de módulo 1

32

Nombre:



� ��

��P

roh

ibid

a la

rep

rod

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n to

tal o

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rcial p

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dio

sin p

erm

iso e

scrito d

e la

Ed

itoria

l.

1 Al lado de cada proposición escribe

V si la consideras verdadera

o F si la consideras falsa.

2,5 puntos

4 Una fábrica produce enlatados

durante una semana. El primer día su

producción es de 8 000 latas y a partir

del segundo día produce 2 000 latas

más que el día anterior.

5 puntos

5 Una recta r pasa por los puntos (2,0)

y (–2, –4). Determina la ecuación

de la recta r, determina su pendiente

y grafícala.

2,5 puntos

2 Dada la función lineal f definida por la

ecuación: f(x) = –2 x + 4, realiza lo siguiente.

7 puntos

3 La función f(x) = 3x + 2 representa una

fuerza variable.

3 puntos

Toda relación es función.

Toda función es relación.

No existe pendiente negativa.

La gráfica de la función lineal es una recta.

La ecuación y = 4 genera una función

lineal.

a) Halla f(–1).

b) ¿En qué punto intersecta el gráfico de f al

eje de las y?

c) Representa gráficamente la función dada.

d) Investiga si el punto P de coordenadas (3; -

2) pertenece al gráfico de la función.

e) ¿Para qué valor de x se obtiene f(x) = –18?

f ) ¿Para qué valores de x el gráfico de f pasa

por debajo del eje x?

g) ¿Es f creciente o decreciente? Justifica

tu respuesta.

a) Escribe la expresión funcional

de su producción.

b) Determina la producción del sexto día.

c) Elabora una tabla de pares ordenados.

d) Construye la gráfica correspondiente

a la tabla anterior.

e) Si continúa la misma tendencia productiva,

cuál será la producción después de 30, 60

y 90 días.

a) Construye una tabla de pares ordenados

de F.

b) Elabora su gráfica.

c) Calcula la pendiente.

d) Determina su intersecto con el eje de las x.

e) Calcula el valor inicial de f.

f ) Calcula el valor de F para x = 2,5 .

��

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� ��

��

��

Prueba de módulo 2

33

Nombre:



a) 3x – y = 4

–x + 2y = 8b)

5x = y – 15

7y = 6 + 2x

c) 2y – x = 9

4x– y = –1d)

2__3

x – 5__6

y = 3__2

–x__2

+ 3y__4

= –5__4




4 puntos

2 Resuelve cada uno de los siguientes

sistemas de ecuaciones por el método

que estimes pertinente.

4 puntos

3 Tatiana compró 4 fundas de galletas

y 5 de caramelos, pagando en total

� 9,30. Si cada funda de caramelos

cuesta las tres cuartas partes de una de

galletas, ¿cuánto costó cada funda?

4 puntos

4 Las ecuaciones de posición de 2

móviles son x = 3t – 2 ; x = –2t + 4, con

x en kilómetros y t en horas.

4 puntos

5 Se sabe que la suma de los ángulos

interiores de un triángulo es igual

a 180º. Si el primero es de 36º y el

segundo es la mitad del tercero, ¿cuáles

son las amplitudes de estos 2 últimos

ángulos?

4 puntos

Todos los sistemas de 2 ecuaciones

tienen solución.

Dos rectas siempre se cortan

en un punto.

Número negativo elevado a potencia par

es negativo.

La gráfica de la función de

proporcionalidad directa pasa por

el origen.

Si resuelvo un sistema por varios

métodos, el resultado es el mismo.

c) Resuelve el sistema.

d) Verifica los resultados

e) Realiza la interpretación geométrica.

a) Designa variables.

b) Construye las ecuaciones.

a) ¿En qué tiempo han recorrido la misma

distancia?

b) Verifica el resultado anterior.

c) Construye una gráfica e interpreta

geométricamente la situación planteada.

34

Nombre:



� ��

��P

roh

ibid

a la

rep

rod

ucció

n to

tal o

pa

rcial p

or cu

alq

uie

r me

dio

sin p

erm

iso e

scrito d

e la

Ed

itoria

l.

Prueba de módulo 3




4 puntos

4 Resuelve la siguiente operación

combinada de números reales.

4 puntos

5 En un triángulo, uno de sus ángulos

tiene una amplitud de 75 º 28 ‘

y el segundo ángulo mide 39 º 45’.

Calcula la amplitud del tercer ángulo

en radianes.

4 puntos

2 Considerando los conjuntos numéricos,

� de los naturales, � de los enteros,

� de los racionales y � de los reales,

señala el conjunto numérico más

restringido al cual pertenecen los

siguientes números.

4 puntos

3 Racionaliza las siguientes expresiones. 4 puntos

Un radián equivale a 180º.

Los conjuntos �, � y � son subconjuntos

de �.

Ángulos alternos internos entre paralelas

son iguales.

Dos ángulos opuestos por el vértice son

consecutivos.

El producto de 2 números irracionales es

siempre un irracional.

a) –6

b) π

c) 0

d) – 361

e) –2 009_____2 010

f ) 81___49

a)

b)

c)

d)

e)

f )

3 ___ √

__ 3

5 – 1 __ 2

6 ____ 4 √___

16

√

__ 2 _______

√__

3 – √__

2

1 ______ x – √

__ x

1 _______ √

__ x + √

__ y

2 __ 3

– 0,4 ________

√__

9 __ 4

+ 2,6 � ( – 1 __

2 )

–3

��

Pro

hib

ida

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rod

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rito

de

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dit

ori

al.

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��

��

35

Nombre:



Prueba de módulo 4




2,5 puntos

2 Considera un triángulo rectángulo

de catetos 3 y 4 cm respectivamente.

2 puntos

3 Halla el área lateral de un cono

sabiendo que la generatriz mide

27 cm y el radio de la base mide 15 cm .

2 puntos

4 El área total de un cono es 39 π cm2.

El radio de la base y la altura están en

relación 1:3, en ese orden. Halla el radio

y la altura del cono.

4 puntos

5 Se estima la producción petrolera

de los campos de Petroecuador y de

la empresa privada en 520 mil barriles

diarios. Determina este valor en litros

y en metros cúbicos.

3 puntos

6 ¿Qué datos necesitas para poder

calcular el volumen de un tetraedro

regular? ¿Es un tetraedro una

pirámide? Explica tus respuestas

elaborando gráficos.

3 puntos

7 La siguiente tabla corresponde a una

función exponencial.

2,5 puntos

Todo prisma tiene mayor capacidad que

cualquier pirámide.

La unidad de longitud del SI es el km.

La unidad de volumen del SI es el litro.

El número 41, 32 • 108 está expresado

en notación científica .

Todo polinomio se puede factorizar.

a) ¿Cuánto mide la hipotenusa de este

triángulo?

b) Se rota el triángulo dado alrededor del

cateto mayor y se obtiene un cono 1. Halla

el volumen de este cono.

c) Se rota el triángulo dado alrededor

del cateto menor y se obtiene otro cono,

al cual llamaremos 2 . Halla el volumen

del cono 2 .

d) Compara los volúmenes de los conos

1 y 2. ¿Puedes establecer alguna

conjetura?

a) Completa los casilleros vacíos.

b) Grafica la función.

c) Explica el comportamiento obtenido.

d) Escribe la ecuación de la función.

e) Identifica el dominio y el rango

de la función.

x 1 2 3 4 5

y 2/5 2/25

36

Nombre:



� ��

��P

roh

ibid

a la

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n to

tal o

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scrito d

e la

Ed

itoria

l.

Prueba de módulo 5




2,5 puntos 4 ¿Cuál es el ángulo de referencia en

el primer cuadrante del ángulo cuya

medida en radianes es 7π__4

?

3 puntos

5 Indica si es posible que los ángulos

interiores de un cuadrilátero sean 103º,

66º, 122º y 69 º. Explica tu respuesta.

2 puntos

6 Determina cuántos gramos hay en una

tonelada métrica. Expresa el resultado

en notación científica.

2 puntos

7 Determina cuántos segundos hay

en un lustro. Expresa el resultado

en notación científica.

2 puntos

8 Las notas de Matemática de un paralelo

de tu colegio son las siguientes.

3 puntos

Seno y secante son funciones recíprocas.

Coseno es la cofunción de la cotangente.

La unidad de masa del SI es el gramo.

La unidad de tiempo del SI es la hora.

La suma de los ángulos internos

de un polígono es igual a 180º.

a) Elabora la tabla de frecuencias.

b) Calcula la media aritmética de estas

calificaciones.

c) Interpreta el resultado obtenido.

2 En los círculos de la columna B escribe

el número de la columna A que

corresponda.

3 Calcula todas las funciones

trigonométricas del ángulo XOA, sabiendo

que A es el punto (–3, –7), O es el origen

de coordenadas y X es el punto

de coordenadas (1; 0).

3 puntos

Columna A

1 Coterminales

2 Cuadrantales

3 Suplementarios

4 De referencia

5 Complementarios

Columna B

27º y 63º

50º y 230º

90º y 270º

60º y – 300º

115º y 65º

12 14 12 19 20 16 18 15 19

19 17 16 18 20 15 16 20 18

12 20 19 19 12 11 14 16 16

14 13 20 16 14 20 20 19 18

16 14 18 10 20 14

2,5 puntos

��

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ori

al.

� ��

��

��

37

Nombre:



Prueba de módulo 6

1 Al lado de cada proposición escribe•



2,5 puntos

2 Realiza los cálculos indicados en cada

caso, aplicando los conocimientos

adquiridos de las funciones trigonométricas

de los ángulos notables, las cofunciones y los

ángulos de referencia. Racionaliza cuando sea

necesario.

3 puntos

3 Resuelve un triángulo rectángulo,

conociendo que un cateto mide 4,5 cm

y se opone al ángulo de amplitud igual

a 36º.

3 puntos

4 De un triángulo rectángulo se conoce

que su área es igual a 6 cm2 y que los

catetos se encuentran en la relación 1 ÷ 3.

3 puntos

5 En un colegio fiscal de Guayaquil,

sólo pueden ser candidatos al directorio del

curso quienes tienen más de 17 en disciplina.

El curso tiene 45 alumnos y15 cumplen

la condición exigida. El directorio tiene 4

miembros, ¿de cuántas maneras se podría

conformar?

3 puntos

6 Para un ángulo del primer cuadrante,

la cotangente del mismo es 0,2 . Calcula las

demás funciones trigonométricas de este

ángulo.

3 puntos

7 Efectúa la siguiente operación con

unidades de tiempo.

16h25 con 56 seg + 13h45 con 34 seg

– 8h56 con 45 seg

2,5 puntos

Ángulos de elevación y de depresión son

siempre agudos.

Las funciones de 45º y 225º tiene los

mismos valores.

La probabilidad de cualquier evento es

siempre 1 .

Hay eventos imposibles.

Todo evento depende de otro.

a) Halla la longitud de la hipotenusa

y de la altura relativa a la hipotenusa.

b) Determina las amplitudes de los ángulos

agudos de este triángulo.

a)

b)

c)

sen 31 5 0 + cos 33 0 0 _________________ tan4 5 0 • csc 21 0 0

ctg 22 5 0 – sen 15 0 0 • cos 18 0 0

_________________________ sec 13 5 0 � sen 9 0 0

ta n 2 21 0 0 + se n 2 33 0 0 + cos ______________________ tan4 5 0 • csc 21 0 0 – ctg 9 0 0

38

Examen trimestral 1Nombre:



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scrito d

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Ed

itoria

l.




2 puntos 3 En los círculos de la columna B escribe


corresponda.

2 puntos

2 Completa las siguientes proposiciones. 2 puntos

4 Una recta pasa por los puntos (–2,–5)

y (–3, 7). La pendiente de la recta es:

2 puntos

a) Un polinomio queda totalmente

descompuesto en factores cuando

b) Una relación es función cuando

c) La pendiente de una recta se define como

d) Un par ordenado es solución de un

sistema de ecuaciones cuando

e) Una fracción algebraica es irreducible

cuando

Columna A

1 A x B

2 y = 3x – 5

3 2x + y = 3

3x + 2y = 4

4 y = 6 – 5x

5 y = 12x

Columna B

Función decreciente

Función de proporcio-

nalidad directa

Producto cartesiano

Función creciente

Sistema de ecuaciones

En los siguientes problemas se debe seleccionar

la respuesta correcta y justificar la elección

a través de un desarrollo.

a) 5__

12

b) 2__5

c) 12__5

d) 5__2

a) 1__2

; 0

b) –1__2

; 0

c) 1__

12; 0

d) –1__

12; 0

a) una línea recta horizontal .

b) una recta inclinada descendiente.

c) una recta inclinada descendiente.

d) una recta vertical.

La gráfica de la funcione es:

El intercepto con el eje horizontal es:

Hay relaciones que no son funciones.

Toda relación entre 2 conjuntos está

contenida en el producto cartesiano

de esos conjuntos.

Una ecuación del tipo y = kx define una

función lineal.

Todo sistema de 2 ecuaciones lineales

tiene 2 soluciones.

La suma de 2 ángulos agudos

es un ángulo obtuso.

39

� ��

��

��

��

Pro

hib

ida

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al.

Examen trimestral 1

5 Una empresa distribuidora de

bolígrafos organiza una promoción

para vender estuches de 12 bolígrafos a

��1 cada uno. Se instalan en una institución

educativa que tiene 2 500 alumnos y la

promoción dura 10 días hábiles. El primer día

vende 150 estuches. A partir del segundo día

vende 50 estuches más que el día anterior,

manteniendo esta tendencia hasta el final

de la oferta.

2 puntos

6 Un cuerpo que asciende se rige por

la ecuación v = 20 – 9,8t y otro que

desciende tiene una ecuación

v = 40 + 9,8t. ¿En que instante la velocidad

del que cae es el triple de la velocidad del

cuerpo que sube? ¿Qué velocidad tiene cada

uno en ese instante?

2 puntos

7 Dos ángulos son complementarios

y la diferencia entre ellos es de 14º.

2 puntos

9 Dada la función f definida por la

ecuación f(x)= –3x + 5. Es cierto que:

3 puntos

8 ¿Cuál debe ser el valor de k en el

sistema 2x – y = –5

x + ky = 11 para que la

solución sea el par ordenado (–1; 3)?

3 puntos

a) 0; 0

b) 0; 1__5

c) 0; – 1__5

d) 0; –5

a) y = 150t + 50

b) y =150t – 50

c) y = 50t – 50

d) y =150 + 50

a) 5.52 seg

b) 5.25 seg

c) 255 seg

d) 1,28 seg

a) 52º

b) 38º

c) 19º

d) 43º

a) 250

b) 300

c) 350

d) 400

a) 15 seg

b) 30 seg

c) 40 seg

d) 45 seg

a) 38º

b) 52º

c) 71º

d) 47º

a) –1

b) 2

c) –3

d) 4

a) f(–1) = –8

b) f es creciente .

c) f(1,25) = 1,25

d) f(0) = 0

a) 5 seg

b) 10 seg

c) 133 seg

d) 13 seg

a) 5º

b) 6º

c) 7º

d) 8º

a) 4º

b) 6º

c) 6º

d) 7º

El intercepto con el eje horizontal es:

Plantea la ecuación desde el segundo día.

¿Cuál es el tiempo?

¿Cuál es el primer ángulo?

¿Cuántos estuches vendió el quinto día?

¿Cuál es la velocidad del que cae?

¿Cuál es el segundo ángulo?

¿Qué día vendió 450 estuches?

¿Cuál es la velocidad del que sube?

¿Qué día vendió estuches a 1 200 alumnos?

40

Nombre:



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scrito d

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Ed

itoria

l.

Examen trimestral 2






corresponda.

2 puntos


4 Se tiene una pirámide regular cuya

base es un hexágono de 15 cm de lado

y 8 cm de apotema, cuya altura es 17 cm .

2 puntos

a) Un metro cuadrado es

b) Un cono es

c) Un radián es

d) El conjunto de números reales es la unión

de los conjuntos

e) La generatriz de un cono es siempre

mayor que su altura porque

Columna A

1 Generatriz

2 π radianes

3 Enteros

4 Conjugada

5 Exponencial

Columna B

Crecimiento multiplicativo

Racionalización

Sistema circular

Cono

Naturales y sus opuestos




a) 90 cm2

b) 180 cm2

c) 360 cm2

d) 720 cm2

a) 18,79 cm

b) 17,98 cm

c) 15 cm

d) 9 cm

a) 300 cm2

b) 545,6 cm2

c) 675,6 cm2

d) 845,55 cm2

¿Cuál es la altura de la cara?

¿Cuál es el área de la base?

¿Cuál es el área lateral?

Para racionalizar denominadores se usan

sus conjugadas.

La suma de 2 números reales no siempre

es real.

La función exponencial crece en línea

recta.

El volumen de un prisma es siempre

el triple del volumen de cualquier

pirámide.

La unidad de capacidad del

SI es el litro.

41

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��

��

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Pro

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ida

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de

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dit

ori

al.

Examen trimestral 2

5 Resuelve la siguiente operación con

números reales.

2 puntos

6 En un triángulo, el primer ángulo

es el doble del segundo y el tercero es de

2 radianes. Halla el valor de los 2 ángulos

desconocidos en radianes.

2 puntos

10 Sea el trinomio 4a + 2a – 12 .

Si descomponemos en factores

el trinomio dado se obtienen dos factores

y uno de ellos es:

1 punto

11 ¿En qué cuadrante se encuentra

el ángulo α = 6 radianes?

1 punto

9 ¿Cuál es la mitad del número 22 010? 2 puntos

a)

b)

c)

d)

a) 1,52 rad

b) 1,14 rad

c) 0,76 rad

d) 0,38 rad

a) 1,52 rad

b) 1,14 rad

c) 0,76 rad

d) 0,38 rad

¿Cuál es el primer ángulo?

¿Cuál es el segundo ángulo?

a) 855,55 cm2

b) 1 205,55 cm2

c) 1 265,6 cm2

d) 1 665,55 cm2

a) 2 040 cm3

b) 1 632 cm3

c) 1 385 cm3

d) 1 104 cm3

a) 2–

1_4 • 3

–1_

10

b) 21_4 • 3

–1_

10

c) 21_4 • 3

1_10

d) 2–

1_4 • 3

1_10

a) 21 005

b) 1 005

c) 22 009

d) 12 010

a) 2a – 4

b) 2a – 3

c) 2a

d) 2

a) I cuadrante

b) II cuadrante

c) III cuadrante

d) IV cuadrante

a) 2 010,815 2 dm3

b) 0,201 081 52 • 104 dm3

c) 2,010 815 2 • 103 dm3

d) 201 081,52 dm3

a) 2 010,815 2 kl

b) 0,201 081 52 • 104 kl

c) 2,010 815 2 • 103 kl

d) 201.081 52 kl

¿Cuál es el área total?

¿Cuál es el volumen de la pirámide?

¿Qué se obtiene como resultado?

Expresa el resultado en decímetros cúbicos

y en notación científica.

Expresa el resultado en kilolitros

y en notación científica

7 Determina la suma de

814 cm3 + 1 200 mm3 + 10 dm3 + 2 m3.

2 puntos

8 Al resolver la operación 2 puntos

3 +2_5

+ 0,4 – 1,5

1,25 – 23_4

+ 162___2

315 + 2 835 2____________13 203

–35 + 315 2___________1 467

1 467___________–35 + 315 2

35 – 315 2___________1 467

23_4 • 3

2_5

______

41_2 • 9

1_4

42

Nombre:



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ibid

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rep

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sin p

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scrito d

e la

Ed

itoria

l.

Examen trimestral 3






corresponda.

1 puntos


4 El triángulo de la figura es rectángulo y

se conoce que α es un ángulo agudo,

la hipotenusa mide 4,1 y un cateto 2,4 .

5 puntos

a) La suma de ángulos interiores

de un polígono es

b) La probabilidad es igual a cero cuando

c) Dos ángulos son coterminales cuando

d) Un triángulo rectángulo está resuelto

cuando

Columna A

1 Ángulo notable

2 Funciones

complementarias

3 Funciones recíprocas

4 Ángulo llano

5 Ángulo recto

Columna B

180º

90º

Seno

y cosecante

Seno y coseno

45º




¿Cuál es el seno α?

¿Cuál es el coseno α?

La tangente es la inversa

de la cotangente.

La unidad SI de masa es la libra.

La media aritmética es lo mismo que

el promedio.

El ángulo de referencia de 210º

es 60º

sen 40º = cos 50º

a) 22__

37

b) 885____9

c) 885____37

d) 885____885

a) 22__

37

b) 885____9

c) 885____37

d) 885____885

α

2,44,1

43

� ��

��

��

��

Pro

hib

ida

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ep

rod

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de

la E

dit

ori

al.

Examen trimestral 3

5 Resuelve la siguiente operación con

unidades de tiempo. 7h25 con 42 seg

+ 12h43 con 39 seg – 17h22 con 55 seg.

2 puntos

7 Se lanza un dado. ¿Cuál es la

probabilidad de obtener un número

mayor que 4?

6 puntos

6 Las siguientes son las calificaciones

trimestrales obtenidas en matemática

en un paralelo de décimo año

de un colegio fiscal de Guayaquil.

2 puntos

¿Cuál es la tangente α?

¿Cuál es el ángulo α?

¿Cuál es el otro ángulo agudo del triángulo?

El resultado es.

Transforma el resultado a segundos

y exprésalo en notación científica.

a) 22__

37

b) 885____9

c) 885____37

d) 885____885

a) 36,48º

b) 38,64º

c) 46,38º

d) 48,63º

a) 53,52º

b) 51,36º

c) 43,62º

d) 41,37º

a) 3 h 41 con 42 seg .

b) 3 h 11 con 12 seg .

c) 2h46 con 26 seg .

d) 2 h 16 .

a) 99,86 • 102 seg

b) 13,302 • 103 seg

c) 9,986 • 103 seg

d) 1,330 2 • 104 seg

16 12 15 20 17 13 12

20 19 14 10 12 12 15

18 20 14 18 14 16 17

12 14 12 14 18 16 16

11 10 14 12 20 14 14

a) 14 b) 14,86 c) 15 d) 15,4

a) 1__

6

b) 1__

3

c) 1__

2

d) 2__

3

a) 1__

6

b) 1__

3

c) 1__

2

d) 2__

3

a) 1__

6

b) 1__

3

c) 1__

2

d) 2__

3

a) 1__

6

b) 1__

3

c) 1__

2

d) 2__

3

a) 1__

6

b) 1__

3

c) 1__

2

d) 2__

3

a) 1__

6

b) 1__

3

c) 1__

2

d) 2__

3

¿Cuál es la media aritmética exacta?

¿Cuál es la probabilidad de obtener

un número primo mayor que 4?


un número menor que 4?


un número par menor que 4?


un número primo menor que 4?


un número primo impar menor que 4?

Actividades adicionales

Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.

44

Módulo 1

Pro

hib

ida

la re

pro

du

cción

tota

l o p

arcia

l po

r cua

lqu

ier m

ed

io sin

pe

rmiso

escrito

de

la E

dito

rial.

1 Se tiene la ecuación y + 2_3

x = 3_4

correspondiente a una recta. ¿Cuál es la pendiente?

2 La expresión y = (x + 1)2 representa:

¿Cuál es ell intercepto con el eje de las x?

3 La expresión y = (x + 1)1/2 representa:

4 ¿Cuál de los siguientes pares ordenados

corresponde a la función: f(x) = 0,8x + 4,2?

5 Considera la ecuación v = 20 – 10t. ¿Qué valor

toma v cuando t = 0?

6 Considera la ecuación v = 15 + 10t. ¿Cuál

es valor de t, para v = 40?

7 Una recta r pasa por los puntos 3_4

; 0 y 0; –2 ,

entonces ¿cuál es su pendiente?

a) 1_3

b) 2_3

c) 1

d) 2_3

a) (0; 0)

b) (–1; 5)

c) (1; 5)

d) (–2; 5,8)

a) 2

b) 5

c) 10

d) 20

a) 1,5

b) 2,5

c) 10

d) 25

a) 3_4

b) 2

c) 2,5

d) 5

a) 3_4

b) 8_9

c) 9_8

d) 4_3

a) una función lineal.

b) una función cuadrática.

c) una función cúbica.

d) una relación.

a) una función lineal.

b) una función cuadrática.

c) una función cúbica.

d) una relación.


Pro

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ida

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la E

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ori

al.

45

10 La siguiente tabla representa una función de

proporcionalidad directa.

8 Sea la relación dada por la regla

de correspondencia y = 5x +1, si el dominio

es el conjunto de números naturales menores

que 5, ¿cuál es el número de pares ordenados

que satisface la relación?

9 Una recta pasa por los puntos (2; –1,16)

y (–2; 3,2), entonces su intercepto con

el eje de las y es:

11 Un artesano de calzado elabora 10 pares

de zapatos el primer día de la semana,

aumentando su producción en 20%

diariamente, durante 10 días.

a) 4

b) 5

c) 20

d) infinito

a) 0,3

b) 0,6

c) 0,8

d) 1

a) 8

b) 9

c) 17

d) infinito

a) (5; 8)

b) (10; 4)

c) (10; 8)

d) (8; 10)a) –2

b) 0

c) 2

d) 4

a) –2

b) –4

c) –6

d) –8

a) 20

b) 15

c) 10

d) 5

a) –2

b) 0

c) 2

d) 4

a) 3

b) 5

c) 7

d) 9

a) 0,3

b) 0,6

c) 0,8

d) 1

¿Qué punto contiene esa recta r?

El valor de y para x = 0 es:


¿Después de cuántos días duplica

su producción?

La constante de proporcionalidad es:

¿Después de cuantos días elabora 48 pares?Su intercepto en el eje de las x es:

Si el dominio es el conjunto de números

enteros mayores que –5 y menores que 5, la

cantidad de pares ordenados que satisface la

relación es igual a:

x –2 0 2 4

y 4 –4



46

Pro

hib

ida

la re

pro

du

cción

tota

l o p

arcia

l po

r cua

lqu

ier m

ed

io sin

pe

rmiso

escrito

de

la E

dito

rial.

Módulo 2

1 La ecuación de la posición en el movimiento

uniforme es x = v t + xo . Un móvil viaja hasta

la posición 9 m en 5 segundos y alcanza

posición 14 m a los 10 segundos. Entonces,

la velocidad de este móvil es:

2 El peso de un cuerpo viene dado por la

ecuación W = 10 m, donde W está dado en

newtons y m en kilogramos. La fuerza, según

la ley de Newton es igual a: F = m a .

Si W = 50N y F = 80N, ¿cuál es el valor de a?

3 La ecuación de la velocidad en el movimiento

variado es v = vo + at. Para el tiempo 8 seg, la

velocidad v es 20 m/seg y para el tiempo t =

12 seg, la velocidad v es 25 m/seg. Entonces,

la aceleración es:

La posición inicial es:

La velocidad inicial es:

4 En un comisariato de calzado popular, las

ventas de zapatos de niñas crecen de acuerdo

a la ecuación x = 200t + 15. En cambio, las

ventas del calzado de los niños obedecen a la

ecuación x = 100t + 25. ¿Cuántos días deben

pasar para vender el mismo número de pares

a niñas y niños?

5 En las pruebas mensuales de Matemática el

rendimiento de Betsy sigue la ecuación

x = 20 – 7,5t, donde t está dado en meses.

Mientras Betsy desciende, Mariela aumenta

sus calificaciones de acuerdo a la ecuación

x = 60 + 5t, con t dado en meses también.

¿Después de cuántos meses el rendimiento

de Mariela duplica al de Betsy?

a) 1m/seg

b) 2m/seg

c) 3m/seg

d) 4m/seg

a) 2,5 m/seg

b) 5 m/seg

c) 7,5 m/seg

d) 10 m/seg

b) 2,5 m/seg2

c) 3,75 m/seg2

d) 5 m/seg2

a) 5

b) 10

c) 15

d) 25

a) 2,5

b) 5

c) 7,5

d) 10

a) 1 m

b) 2 m

c) 3 m

d) 4 m

a) 5

b) 8

c) 10

d) 16

a) 1,25 m/seg2


Pro

hib

ida

la r

ep

rod

ucc

ión

to

tal o

pa

rcia

l po

r cu

alq

uie

r m

ed

io s

in p

erm

iso

esc

rito

de

la E

dit

ori

al.

47

6 Al simplificar la expresión algebraica

¿qué obtenemos como resultado final? 10 En la figura, las 2 rectas verticales son

paralelas.

7 ¿Cuál es la simplificación de la expresión

algebraica ( x 2 – 8x + 15) ( x 2 + 11x + 24)

_______________________ ( x 2 – 9) ( x 2 – 4)

?

8 Dos ángulos suplementarios cumplen la

condición de que el segundo es menor que el

primero en 24º. Entonces, el primer ángulo es:

9 Dos ángulos son complementarios y el

segundo es mayor que el primero en 15º.

Entonces, el primer ángulo es:

a) x (x + 3)

b) x (x – 3)

c) x (x + 2)

d) x (x – 2)

a) x + 3

b) x – 5

c) x + 8

d) 1

a) 60º

b) 78º

c) 102º

d) 120º

a) 37,5º

b) 45º

c) 37,5º

d) 60º

a) 60º

b) 78º

c) 102º

d) 120º

El segundo ángulo es:

a) 27º

b) 63º

c) 107º

d) 153º

a) 27º

b) 63º

c) 107º

d) 153º

a) 27º

b) 63º

c) 107º

d) 153º

a) 27º

b) 63º

c) 107º

d) 153º

El valor de α es:

El valor de β es:

El valor de γ es:

El valor de θ es:

θ

63°

α γ

βφ

(x2 + 3x) (x + 2)2 (x2 – 5x + 6)_____________________(x2 – 9) (x2 – 4)



48

Pro

hib

ida

la re

pro

du

cción

tota

l o p

arcia

l po

r cua

lqu

ier m

ed

io sin

pe

rmiso

escrito

de

la E

dito

rial.

Módulo 3

3

2

4 ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación

con números reales?

5 Después de racionalizar la siguiente

expresión √

___ 50 – √

____ 125 __________

√__

5 – √___

98 ¿qué se obtiene?

La amplitud del � BOC es:

Calcula el área de trapecio de la figura.

Determina el valor de los ángulos de la figura.

La amplitud del � COA es:

a) 35º b) 75º c) 105º d) 145º

a) 35º

b) 75º

c) 105º

d) 145º

a) –5_9

b) 5_9

c) –5__

18

d) 18__5

a)

b)

c)

d)

1 Calcula el perímetro del rectángulo de la figura.

a) 46/3 m

b) 23/3 m

c) 18/6 m

d) 15/6 m

5 __ 3

m

2,16 m

A BO

C

2,3 x 1,6 x

5 __ 4

– 2,3 + 5 __ 3

–1 _______________

12 + 0,25 – 3 __ 4

– 10

60 √

__ 5 – 45 _________

93

60 √

__ 5 + 45 _________

93

– 60 √

__ 5 + 45 ___________

–93

– 60 √

__ 5 – 45 ___________

–93

a) 149/18 m

b) 10 m

c) 149/5 m

d) 149/15 m

6 __ 5

m

12,5 m

8,1 m


Pro

hib

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ucc

ión

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al.

49

a) 15 5 + 9 3

b) 15 5 – 9 3

c) 9 5 + 15 3

d) 15 3 + 9 5

b) 8,53/2

c) 2,53/2

d) 5 8

7 Reduce tanto como sea posible la siguiente

expresión – 125 + 80 + 300 + 75 .

6 El perímetro del siguiente rectángulo es:

10 Al efectuar las operaciones indicadas

2 __ 3

– 5 __ 4

+ 0,25 + 7 – 1,1 __________________

0,75 + 2 – 3,5 ¿qué queda?

11 Al simplificar la expresión

2 48 – 4 18 – 3 108 + 72_______________________8 – 4 2

y racionalizar

el resultado se obtiene.

12 En la figura, la suma de los dos ángulos

menores formados por las rectas r y s es igual

a 50º. Halla la amplitud del ángulo mayor

formado por estas rectas.

8 Simplifica la siguiente expresión

9 Simplifica la siguiente expresión

a) 25/6___3

b) 21/6___3

c) 25/6___

3

d) 21/6___

3

a) 8 5

(31/4) (24/3) (41/2)___________21/3 33/4

.

a) –29__4

b) –200___29

c) 29___

200

d) 4__

29

a) 5 6___2

+ 3

b) 5 3 + 3 2 __________

2

c) 5 2 + 6

d) 3

a) 145º

b) 150º

c) 155º

d) 130º

a)

b)

c)

d)

( √__

5 – 2 √__

7 )m

( √__

5 + √__

7 )m

– √___

7m

(–4 √___

10 + 2)m

(4 √__

5 – 2 √__

7 )m

(3 √__

5 – √__

7 )m

( √

__ 2 ) 3 ( √

___ 10 ) 3 ( √

__ 5 ) 3 ________________

( √__

5 ) 3 __ 2

( √__

5 ) 6 __ 3

.

s

r



50

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dito

rial.

Módulo 4

1 El área lateral de un cono es 226 cm2. Si su

generatriz es 50 % mayor que el radio de la

base, entonces ¿cuál es el radio de la base?

2 El área total de un cono es 400 cm2. Si la

generatriz equivale al 75 % del radio de las

base, determina los valores de ambos.

3 La siguiente tabla representa una función

exponencial.

4 La ecuación y = 2(3)x representa una función

exponencial. Si y toma el valor 54, entonces

x es igual a:

a) 3,39 cm

b) 6,93 cm

c) 9,36 cm

d) 10,4 cm

a) 3,58 cm2

b) 5,38 cm2

c) 8,53 cm2

d) 12 cm2

a) 2,59 cm

b) 4,04 cm

c) 6,4 cm

d) 9 cm

a) 3___

1 124

b) 3___

2 048

c) 3___

4 096

d) 9___

9 192

La generatriz es:


x 1 2 3

y 3/8 3/64 3/512

a) y = 3__

8

x

b) y = 3 1__

8

x

c) y = 3x 1__

8

x

d) y = 3x__

8

a) 1__

8

b) 3__

8

c) 1

d) 3

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

La función es:

La razón de crecimiento es:

a) 243

b) 486

c) 972

d) 1 844

Cuando x = 5, para y se obtiene el valor:


Pro

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al.

51

5 El volumen de una pirámide es 1 600 cm3.

Su base es un pentágono regular de 18 cm

de lado.

El área de la base es:

8 La cantidad 8m3, 25 litros más 200 cm3, expresada

en litros, es igual a:

9 Al efectuar la operación

(6,023 4 + 25,031 2 – 1,05)12,5 y expresar el

resultado en notación científica se obtiene.

10 La operación e3 + e2+ e, expresada en notación

científica, da como resultado.

11 Al sumar la cantidades 40 dam2 + 750 m2

+ 2,15 hm2 + 85 dm2 y expresar en notación

científica el resultado, obtenemos como

resultado.

12 El volumen del cono de la figura es igual

a 5 000 cm3. Entonces, el diámetro de la base es.

6 El área total de una pirámide es 1 000 cm2. Si la

base es un hexágono regular de 12 cm de lado,

¿cuál es la altura de la pirámide?

7 La suma 8 m2 + 125 cm2 + 14 dm2 + 40,5 mm2,

expresada en decímetros cuadrados

y en notación científica es igual a.

a) 8,0252 m3

b) 80,252 m3

c) 802,52 m3

d) 8025,2 m3

a) 337,56

b) 33,756 • 10

c) 3,3756 • 102

d) 0,337 56 • 103

a) 0,301 93 • 102

b) 3,019 3 • 10

c) 30,193

d) 301,93

a) 26 250,85

b) 262,508 5 • 102

c) 25,250 85 • 103

d) 2,625 085 • 104

a) 3,10 cm

b) 6,20 cm

c) 10,3 cm

d) 20,6 cm

a) 80 252

b) 80 252

c) 802,52

d) 8 025,2

a) 7,11 cm

b) 1,71 cm

c) 1,17 cm

d) 21,33 cm

a) 22,78cm

b) 27,28cm

c) 72,28cm

d) 78,27cm

a) 81 525,405 dm2

b) 8,152 540 5 • 104 dm2

c) 815,254 05 •102 dm2

d) 8 152,540 5 • 104 dm2

a) 1 350 cm2

b) 675 cm2

c) 338 cm2

d) 219 cm2

Expresada en metros cúbicos, es igual a.

La altura de la pirámide es:

45 cm



52

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rial.

Módulo 5

5 La tangente de un ángulo α equivale a:

6 Si α es un ángulo del primer cuadrante

y ctg α = 0,25, el seno α es:

7 ¿Cuántos lados debería tener un polígono

regular para que la suma de sus ángulos

interiores sea 1 080º?

1 Si csc α = 2,4, el valor de α es:

2 La suma del seno y el coseno de un ángulo

es 1,366 y la diferencia entre el coseno de este

ángulo y el seno del mismo es 0,366.

Halla el ángulo.

3 La suma de la tangente de un ángulo más el

seno del mismo es 1,707. Si la diferencia entre

ellos es 0,293, ¿cuál es este ángulo?

4 Si sumamos la función seno de un ángulo,

elevada al cuadrado, más la función coseno al

mismo ángulo, también elevada al cuadrado,

obtenemos como resultado:

a) 155,4º

b) 65,4º

c) 24,6º

d) 12,3º

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

a) 11,25º

b) 22,5º

c) 33,75º

d) 45º

a) 1

b) 75

c) 50

d) 0,25

a) cos α_____

sen α

b) sen α_____

cos α

c) 1_____

tg α

d) 1_____

sec α

a) 1

b) 0,97

c) 0,79

d) 0,25

a) 44

b) 50

c) 56

d) 62

a) 0,24

b) 0,25

c) 0,76

d) 1

El coseno α es:

8 ¿Cuánto mide un ángulo interior

de un dodecágono regular?

a) 50º

b) 100º

c) 150º

d) 200º


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53

9 ¿Cuánto debe medir el ángulo exterior

de un decágono regular?

El seno de α es:

El tangente de α es:

La media aritmética de estos salarios es:

10 Si sumamos 140 kg + 15 dag + 300 g

+ 5,82 g , ¿Cuál es el resultado que

obtenemos en notación científica?

11 El Barcelona Sporting Club fue fundado

el 1 de Mayo de 1925 . Al 1 de enero

de 2 010, ¿cuál es su edad exacta?

14 El siguiente cuadro ilustra los salarios

mensuales, en dólares, de 40 operarios

de una empresa.12 Si sumamos 2 horas más 47 minutos, más 6,5

segundos, el resultado que obtenemos,

en segundos, en notación científica es:

13 Halla las funciones seno, coseno y tangente

del ángulo α del triángulo rectángulo

de la figura.

a) 36º

b) 72º

c) 108º

d) 144ºa) 4 65____

65

b) 7 65____65

c) 4__7

d) 7__4

a) 4 68____65

b) 7 68____65

c) 4__7

d) 7__4

a) � 293

b) � 283

c) � 273

d) � 263

a) 140 455,82 g

b) 14,045 582 • 103 g

c) 1 404,558 2 • 102 g

d) 1,404 558 2 • 105 g

a) 85 años

b) 84 años, 12 meses

c) 84 años, 8 meses

d) 84 años, 6 meses

a) 10 026,5 seg

b) 100,265 • 102 seg

c) 1,002 65 • 104 seg

d) 0,010 026 5 • 106 seg

a) 4 65____65

b) 4 65____65

El seno de α es:

c) 4__7

d) 4__7

320 240 260 300 220 320 300

280 300 290 220 240 240 260

320 300 300 260 240 240 260

280 240 240 260 300 260 260

260 300 280 260 300 240 300

300 300 300 240 240 240 260

α1,3

2,3



54

��P

roh

ibid

a la

rep

rod

ucció

n to

tal o

pa

rcial p

or cu

alq

uie

r me

dio

sin p

erm

iso e

scrito d

e la

Ed

itoria

l.

Módulo 6

1 Resuelve el siguiente triángulo rectángulo.

4 Resuelve la siguiente operación con ángulos

notables, racionalizando denominadores.

2 Resuelve el siguiente triángulo rectángulo.

a) 4__

9

b) 14__

9

c) 2 407_____9

d) 58__

9

a) 146,72º

b) 56,72º

c) 32,28º

d) 16,14º

a) 6

b) 6___5

c) 6___6

d) 6___30

a) 4__

9

b) 14__

9

c) 2 407_____9

d) 58__

9

La medida de la hipotenusa es:

El ángulo α mide:

El lado adyacente al ángulo de 30º es:

a) 16__

9

b) 505_____9

c) 361___

85

d) 377___

81

La hipotenusa mide:

30°

3,1

α

1,3

2,1

3 Resuelve la siguiente operación con ángulos

notables.

a)

b)

c)

d)

El resultado es:

sec 600 + sec 300 _______________

sen2 300 + csc2 450

24 – 8 √

__ 3 ________

27

– 24 + 8 √

__ 3 __________

27

– 24 + 8 √

__ 3 __________

– 27

24 + 8 √

__ 3 ________

27

tg 300 + cos 450

_____________ tg 60 + sec 450


��

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rito

de

la E

dit

ori

al.

55

7 En una caja hay 8 tarjetas, de las cuales 3 son

de cortesía y el resto de oferta, con precio

menor. ¿Cuál es la probabilidad de que

saquemos una de oferta en primer lugar,

reponemos la tarjeta extraída, repetimos

la operación y la segunda vez saquemos

la de cortesía?

a) 116,78 m

b) 61,55 m

c) 55,23 m

d) 27,62 m

a) 3__

8

b) 5__

8

c) 5__

64

d) 15__

64

a) 6,66 m

b) 10,66 m

c) 12,57 m

d) 15,08 m

a) 16__

25

b) 32 %

c) 0,16

d) 8 %

a) 0,08 b) 4 % c) 0,4 d) 5 %

a) 1__

10b) 0,25 c) 20 % d) 0,4

a) 1__

5b)

1__

3c)

1__

55d)

1__

72

a) 1 % b) 0,01 c) 1 % d) 0

a) 40 % b) 0,04 c) 4__

5d) 0,75

a) 6,66 m

b) 10,66 m

c) 12,57 m

d) 15,08 m

a) 6,66 m

b) 10,66 m

c) 12,57 m

d) 15,08 m

5 Calcula la diferencia de altura entre los 2

edificios de la figura.

8 En una ciudadela hay 50 vehículos, de los

cuales se conoce que 16 son rojos. 10 son

blancos, 20 son azules y 4 son grises. Al salir,

de forma aleatoria, uno de estos automotores

por la puerta de la garita de la ciudadela:

9 Dentro de una urna tapada totalmente

sellada se introducen 5 canicas blancas, 4

verdes y 3 rojas. Sacamos de una sola vez, 3

canicas al azar, sin distinguir su color. ¿Cuál

es la probabilidad de que las tres canicas

extraídas de la urna sean verdes?

6 Halla las longitudes AB , AD y BE del esquema

representándolo en la figura.

La longitud de AB es:

¿Cuál es la probabilidad de que salga un carro

rojo?


gris?


azul?


verde?


blanco?La longitud de AD es:

La longitud de BE es:

° 4°

x

66 mm 22 mm

B

4m

CA

D

E

x °

30°

56

Ayudas Didácticas

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ed

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rmiso

escrito

de

la E

dito

rial.

En su trabajo diario, el maestro debe enfrentar las

llamadas situaciones típicas de la enseñanza de la

Matemática. Éstas vienen dadas por el propio ca-

rácter de la ciencia y pueden resumirse en:

• Formación de conceptos.

• Tratamiento de teoremas y sus demostraciones.

• Formación de destrezas y capacidades para de-

sarrollar diferentes procesos.

• Resolución de problemas.

En cada clase encontramos al menos una de estas

situaciones, pero desde el punto de vista metodo-

lógico se diferencian y de su adecuado tratamien-

to depende en gran medida el exitoso aprendizaje

que esperamos.

La formación de conceptos

en la enseñanza de la Matemática

Ésta es, sin dudas, la actividad que más dificulta-

des presenta. Los maestros prestan poca atención

a la formación de conceptos, pues en realidad no

los formamos, los decimos. Los conceptos no se

dicen, se forman y el docente debe procurar que,

finalmente, el estudiante enuncie la definición

correspondiente. Una representación clara del

concepto en la mente del alumno garantiza una

adecuada secuencia en el pensamiento y da so-

lidez a las destrezas que en torno a él se crean y

desarrollan. Cuando existen falencias en la esencia

del concepto es imposible comprender los teore-

mas y los procesos asociados al concepto y es por

eso, principalmente, que ante la imposibilidad de

entender, los alumnos recurren a la memoria y a la

repetición.

Es conveniente aclarar que existen diferencias

etimológicas entre concepto y definición. El con-

cepto es la representación mental que crea el in-

dividuo acerca de un objeto o fenómeno, lo cual

se realiza a través de la generalización de sus ca-

racterísticas comunes esenciales, mientras que la

definición es la expresión formal de este concepto.

Ambas cosas son importantes, pero no cabe duda

alguna de que en la enseñanza básica nos interesa

mucho más el concepto, es decir, que el alumno

adquiera una representación mental clara del ob-

jeto o fenómeno. Exigir lo contrario (definiciones

exactas) sería estimular la repetición sin sentido

de los entes matemáticos.

Para cada año de Educación Básica el docente de-

berá determinar los conceptos fundamentales y

estructurar un esquema que le permita establecer

las prioridades y las conexiones pertinentes entre

los contenidos. Se sugiere trabajar los conceptos

según los siguientes pasos.

Pasos metodológicos

para la formación de conceptos

• Aseguramiento del nivel de partida.

• Presentación de objetos pertenecientes

al concepto.

• Determinación de las características

comunes esenciales.

• Definición del concepto.

• Fijación del concepto.

• Análisis de casos especiales y extremos.

Asegurar el nivel de partida es indispensable. No es

posible formar un nuevo concepto si el estudiante

no domina los conocimientos previos necesarios.

Por ejemplo, si se quiere formar el concepto de

número primo, el estudiante debe conocer con

seguridad el concepto de divisor de un número.

Metodología para el tratamiento de conceptos y teoremas

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al.

Debe hacerse especial hincapié en la fijación

del nuevo concepto, lo cual se realiza mediante

diferentes actividades, entre las cuales podemos

citar las siguientes: clasificación, preguntas de

verdadero y falso, construcción e identificación del

concepto y el análisis de casos especiales y extre-

mos. De igual forma, el docente insistirá en la

semántica de cada concepto pues, al sistematizar

esta actividad, se desarrolla el pensamiento

matemático y se logra un aprendizaje significativo.

El tratamiento de teoremas

y sus demostraciones

Esta situación típica nos brinda una excelente

oportunidad para desarrollar el pensamiento lógi-

co, crítico y lateral de los estudiantes. Al igual que

con los conceptos, se ofrecen como sugerencias

algunos pasos metodológicos para tratar las re-

glas, propiedades o teoremas.

Pasos metodológicos

para el tratamiento de teoremas

• Necesidad de la proposición.

• Búsqueda de la suposición.

• Búsqueda de la idea de la demostración.

• Presentación de la demostración.

• Análisis retrospectivo.

• Fijación y aplicación del teorema.

Los estudiantes deben sentir la necesidad de una

nueva ley o propiedad que les permita resolver

determinados ejercicios y problemas. Para lograr

este objetivo, el docente puede partir de una acti-

vidad que los estudiantes no puedan realizar pues

necesitan “herramientas” matemáticas; aquí surge

la necesidad. Luego, a través de actividades bien

planificadas, los mismos estudiantes intentarán

encontrar una regularidad que concluye en una

suposición (el teorema).

Sin embargo, en ocasiones y por diversas razo-

nes, no podemos demostrar los teoremas que se

tratan. En esos casos, al menos debe mostrarse la

propiedad. Por ejemplo, en la escuela es necesario

que los niños y las niñas comprendan que la suma

de las amplitudes de los ángulos interiores de un

triángulo cualquiera es igual a 180º. Para ello, se

pueden hacer algunas actividades prácticas, con

material concreto, de modo que ellos comprue-

ben la regularidad y arriben a la citada conclusión,

aunque esta propiedad no puede demostrarse en

este nivel, debido a que los estudiantes no poseen

aquí los conocimientos esenciales para ello.

El análisis retrospectivo en el tratamiento de un

teorema es insustituible. Aquí, además de analizar

casos especiales y extremos, se analizarán las posi-

bles aplicaciones del teorema objeto de estudio. In-

cluso, cuando sea el caso, se harán las derivaciones

respectivas, enunciando propiedades que desde el

punto de vista lógico se desprenden de la principal

(lemas).

Con o sin demostración debe fijarse el teorema a

través de una ejercitación variada y holística. No se

trata de repetir situaciones en la aplicación de lo

estudiado, sino de establecer un orden creciente

de dificultades que despierte el interés en el estu-

diante por lo que hace y desarrolle valores como

la persistencia. En este último aspecto, la motiva-

ción, deberá ser un eje principal en todas las acti-

vidades de la enseñanza de la Matemática.

Sin embargo, para lograr la fijación y comprensión

efectiva de un teorema, no basta una excelente

ejercitación. Se necesita además una adecuada

sistematización de estos contenidos a lo largo de

todo el año lectivo y de los grados siguientes a

éste. Esto significa que debemos integrar los nue-

vos conocimientos con los que ya posee el estu-

diante y retomar, siempre que el tiempo y las con-

diciones lo permitan, las propiedades anteriores.

Este carácter secuencial en la enseñanza aporta

gran seguridad en el aprendizaje.

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rial.

Es evidente que todo el trabajo que se realiza con

los conceptos y los teoremas tiene la finalidad de

garantizar que los estudiantes desarrollen destre-

zas en la resolución de ejercicios diversos. Si no

existe una representación mental clara de los con-

tenidos mencionados, es imposible lograr destre-

zas para enfrentar con éxito las diferentes tareas y

actividades porque, a lo sumo, puede lograrse una

repetición estéril de algoritmos mecanizados que,

más temprano que tarde mostrarán su ineficacia.

El maestro debe conocer que en el aprendizaje de

la Matemática existen dos componentes esencia-

les que se complementan mutuamente: saber y

poder. Se entiende por saber el cúmulo de cono-

cimientos que posee el estudiante, mientras que

el poder representa la capacidad del alumno para

aplicar esos conocimientos en diferentes situacio-

nes teóricas y prácticas. Queda claro que sin saber

no existe el poder, pero ambas categorías deben

trabajarse proporcionalmente en el aula de clases,

puesto que sirve de poco o nada el conocimiento

que no se aplica en problemas prácticos o teóri-

cos. Es deber del maestro preparar a sus alumnos

para que, con un mínimo de conocimientos, desa-

rrolle una gran capacidad de razonamiento lógico

y lateral.

En Matemática, casi todas las actividades desem-

bocan en procesos que deben ser ejecutados de

manera solvente y organizada. Es por ello que el

maestro debe encaminar su actividad a desarrollar

en sus alumnos las destrezas generales y especí-

ficas que establece la Reforma del Ministerio de

Educación. Para lograr que los estudiantes desa-

rrollen la capacidad resolutoria esperada, se ofre-

cen las siguientes sugerencias.

• Cuando se imparta un contenido nuevo, de-

sarrollar uno o varios ejemplos, procurando la

participación activa de sus alumnos y exigien-

do en cada caso que éstos argumenten cada

uno de los pasos necesarios para calcular, re-

solver, demostrar, etc.

• Proponer un sistema de ejercicios en el que no

se repitan las mismas dificultades, pues de lo

contrario los estudiantes tienden a mecanizar

los algoritmos de solución. El sistema debe in-

cluir los diferentes tipos de ejercicios: fijación,

reproducción, aplicación y creación. Es impor-

tante la integración de conocimientos intra y

extramatemáticos.

• Usar la forma de taller para la resolución del

sistema de ejercicios planteados. Es menes-

ter que las actividades más complejas sean

analizadas detalladamente y que los alumnos

muestren sus fundamentaciones para justificar

las estrategias empleadas y los recursos uti-

lizados. Esto es esencial porque, en nuestros

tiempos, es mucho más importante pensar

que saber.

• Promulgar el trabajo en equipo pues realza la

autoestima, contribuye a la formación de la

personalidad y, aún más importante, prepara

al estudiante para su vida presente y futura. En

este sentido, para ser consecuente con los pro-

cedimientos empleados en clase, practicar en

los exámenes escritos la integración de la mo-

dalidad colectiva con la individual, otorgando

un valor proporcional a cada tipo de evalua-

ción. Los estudiantes deben comprender que

la evaluación de su aprendizaje es un proceso

continuo, que constituye una oportunidad más

Metodología para desarrollar destrezas y procesos

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para aprender y un momento muy importante

en su educación integral.

• Observar detenidamente el desempeño indivi-

dual de cada estudiante, pues cada uno de ellos

tiene características diferentes. Esto le permite

al docente conocer cuáles son las dificultades

y deficiencias específicas de cada alumno. Las

destrezas no se forman homogéneamente en

todos ellos y, por eso, las actividades que se

propongan deben abarcar una amplia gama

de situaciones.

• Los ejercicios propuestos deben contener la

mayor variedad posible de situaciones, lo cual

permitirá evaluar de diferentes formas el mis-

mo contenido de enseñanza. El texto propues-

to cumple estas exigencias.

• Procurar que las tareas docentes que se sitúen

como ejercicios para la casa (deberes) sean re-

sueltos de manera independiente por los estu-

diantes. Se aprende más y se desarrollan más

destrezas pensando un ejercicio o problema

que viendo cómo se resuelven varios. En este

sentido también es importante recordar que

es mucho más significativo para el aprendizaje

la variedad que la cantidad de ejercicios pro-

puestos.

• Tanto en la fundamentación de los procesos

como en el enunciado de proposiciones, pro-

curar el uso de gráficos y esquemas que am-

plíen la visión y comprensión de los alumnos.

Al respecto, siempre sería interesante que sean

los propios alumnos quienes propongan el

modelo gráfico correspondiente.

• Estimular al máximo los logros de los estudian-

tes. Esto eleva la autovaloración de cada uno

de ellos y los predispone para conseguir obje-

tivos más complejos. No se puede pretender

que todos alcancen un óptimo nivel de destre-

zas en un corto período de tiempo.

En la actualidad, es imposible enseñar todos los

conocimientos que la humanidad ha acumula-

do. Por eso, una destreza general esencial que

los docentes deben priorizar es la búsqueda de

información necesaria para resolver un problema

dado. Los estudiantes deben familiarizarse con los

medios modernos que se encuentran a su dispo-

sición; deben manejar con seguridad la calculado-

ra porque les ahorra tiempo y energías. De igual

modo, deben tener destrezas para encontrar fór-

mulas, datos y propiedades en libros, Internet, etc.

Las destrezas para desarrollar procesos aparece-

rán como lógica consecuencia de todas las activi-

dades que dirige el maestro en el aula de clases.

Hay dos aspectos importantes que no pueden

perderse de vista: los diferentes caminos para

conseguir un mismo objetivo y la racionalidad

para ejecutar los procesos. A continuación se ex-

ponen dos ejemplos que ponen de manifiesto

estos aspectos.

1. Calcular: 4 • 2 009 • 25 .

Aquí debe concluirse que, aunque existen varias

formas de realizar el cálculo pedido, la vía más

racional se logra aplicando las propiedades con-

mutativa y asociativa del producto y, así, multipli-

camos primero los números 4 y 25 pues da como

resultado 100, de manera que el resultado final

será 200 900 .

2. Calcula: 17 • 2 010 + 26 • 2 010 – 42 • 2 010 .

Es demasiado largo realizar todos los productos

indicados para luego sumar los resultados parcia-

les obtenidos. Es preferible aplicar la propiedad

distributiva de la multiplicación con respecto a la

suma y nos queda:

2 010 • (17 + 26 – 42) = 2001 • 1 = 2 010 , lo cual

se puede realizar mentalmente.

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Innumerables son los autores que refieren uno u

otro esquema para adiestrar a los estudiantes en

el campo de la resolución de problemas, pues éste

constituye uno de los objetivos más importantes

de la enseñanza de la Matemática. Cierto es que

resulta imprescindible en el mundo moderno de-

sarrollar destrezas para resolver problemas de la

vida práctica, sin embargo, debe quedar muy claro

que no existen recetas mágicas ni modelos para

resolver problemas matemáticos. En realidad, para

resolver problemas se requieren tres condiciones

básicas.

• Tener motivación para hacerlo y la voluntad

necesaria para enfrentar diversas dificultades

cognitivas.

• Poseer un mínimo de conocimientos básicos re-

lacionados con el problema en cuestión.

• Poseer estrategias adecuadas y resolver la ma-

yor cantidad de problemas posibles.

En general podemos establecer, sin que esto cons-

tituya un dogma, cuatro indicadores de trabajo

en la resolución de problemas.

• Comprensión del problema.

• Análisis del problema.

• Solución del problema.

• Consideraciones retrospectivas.

En la enseñanza básica, los tradicionales métodos

de enseñanza tan centrados en el maestro hacen

que el alumno constantemente recurra ante el do-

cente para cerciorarse si lo que hace es correcto

o no, generando de esta manera una enorme in-

seguridad y un bajo nivel de autoestima personal,

provocando un pobre desarrollo de las destrezas

necesarias para resolver problemas.

Es común escuchar a estudiantes su malestar por no

poder resolver determinados problemas en los exá-

menes, a pesar de conocer “todo el contenido”. Y es

que no podemos estudiar Matemática únicamen-

te leyendo conceptos, teoremas y repasando pro-

cedimientos trabajados en clases. Verdaderamente,

se aprende matemática resolviendo problemas.

En general, en Matemática existen dos tipos de

procedimientos: algorítmicos y heurísticos. Am-

bos se utilizan en la resolución de problemas. Es

claro que los procedimientos heurísticos son fun-

damentales a la hora de encontrar la vía de solu-

ción y, si no conseguimos encontrar esta idea, no

servirían para nada aplicar los procedimientos al-

gorítmicos. Por eso, el dominio de la heurística se

considera determinante.

La aplicación de las reglas y principios de la heurís-

tica ayudará mucho al docente y, en especial, a los

estudiantes, a desarrollar destrezas en la resolu-

ción de problemas y a la adquisición de estrate-

gias generadoras de métodos de solución para de-

terminados problemas intra y extramatemáticos.

Las reglas heurísticas son específicas para resolver

determinados tipos de situaciones matemáticas

problémicas, mientras que los principios son ge-

nerales y nos permiten encontrar las vías de solu-

ción. Entre las reglas y principios más importantes

podemos mencionar los siguientes.

• Dibuja una figura de análisis; realiza un bos-

quejo de la situación planteada. En esa figura,

pinta de un color los datos dados y de otro los

elementos buscados.

• ¿Recuerdas conceptos y teoremas relaciona-

dos con la situación planteada?

• En los problemas de Geometría realiza cons-

trucciones auxiliares.

Metodología para la resolución de problemas

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• Principio de analogía: ¿Te enfrentaste alguna

vez a un problema similar a éste?, ¿cómo lo

resolviste?, ¿qué estrategias usaste?, ¿pueden

servir en este caso?

• Principio de reducción: Reduce el problema

nuevo a uno ya conocido.

• Transforma la pregunta; tal vez encuentres al-

guna conexión de lo desconocido con los con-

tenidos que ya conoces.

• Intenta probar con casos particulares y utiliza

la inducción para encontrar regularidades.

• Trabaja hacia atrás: puedes partir de lo que de-

bes demostrar e intentar la búsqueda del ca-

mino que te lleve hacia los datos y las premisas

dadas.

Pueden plasmarse muchos ejemplos reveladores

de la aplicación de reglas y principios heurísti-

cos. El maestro debe saber que en la práctica, en

la solución de un problema específico, los princi-

pios no aparecen aislados aunque, por lo general,

predomina uno más que otro. Veamos el siguiente

ejemplo.

Supongamos que queremos determinar una fór-

mula para determinar la suma de los ángulos in-

teriores de un cuadrilátero cualquiera. El docente

puede establecer la siguiente guía de preguntas

para activar el pensamiento de sus alumnos.

1. Tenemos el cuadrilátero

convexo ABCD. ¿Podremos

determinar cuánto suman

sus ángulos interiores?

2. ¿Conoces algún teorema que relacione los án-

gulos interiores de alguna figura en particular?

La suma de las amplitudes de los ángulos inte-

riores de un triángulo es igual a 180º.

3. ¿Podemos reducir este problema al conocido?

¿Cómo podemos aplicar, en el caso del cuadri-

látero, lo que sabemos acerca de los triángu-

los? Tal vez, pero aquí no tenemos triángulos.

4. ¿Podemos obtener triángulos en esta figura?,

¿cómo? Quizás trazando una diagonal. Enton-

ces tracemos la diagonal.

5. Así, trazamos la diagonal BD y formamos el

triángulo ABD, con los ángulos señalados con

los números 1, 2 y 3, además del triángulo BCD

y sus ángulos 4, 5 y 6 .

6. ¿Qué relaciones puedes plantear con esos

ángulos?

7. Queda claro que la suma de los ángulos 1, 2 y

3 es igual a 180º. Por otro lado, la suma de los

ángulos 4, 5 y 6 también es igual a 180º.

8. ¿Puedes ya concluir cuánto suman los ángulos

interiores del cuadrilátero dado?

9. Finalmente tenemos que:

�1 + �2 + �3 + �4 + �5 + �6 = 360º .

Aquí culmina la resolución del problema plantea-

do. Sin embargo, para desarrollar el pensamiento

del estudiante deben darse otros impulsos como

los siguientes.

• ¿Existen otras vías para resolver el problema

anterior? Piensa un poco.

• ¿Se cumplirá esta propiedad en todos los cua-

driláteros convexos?, ¿en los cóncavos?

• ¿En qué situaciones matemáticas podemos

aplicar este resultado? ¿Podremos calcular la

suma de las amplitudes de los ángulos interio-

res de un pentágono?

Como se puede apreciar, en el ejemplo anterior,

combinamos un grupo numeroso de reglas y prin-

cipios heurísticos y la planificación del maestro es

fundamental para lograr este objetivo: enseñar

a pensar.

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Componentes Didácticos

• Observo a mi profesor cómo resuelve el problema.

• Escribo los pasos del proceso, comparo mis anotaciones con las de mis compañeras y compañeros.

• Me pregunto sobre las dificultades en el desarrollo de la actividad.

• Pongo en práctica mi nueva destreza para resolver problemas de la vida real.

• Ejecuto los pasos necesarios para resolver el problema.

• Digo en voz alta las acciones que realizo mientras resuelvo el problema.

• Ensayo la resolución del problema, utilizando diferentes variables.

• Se recoge, analiza, sistematiza y resume la información.

• Mediante un proceso de discución, se selecciona un problema que resulte significativo para todos y de interés

para el desarrollo de la investigación.

• Se reparte y organiza la información.

• En equipo, se plantean diversas estrategias de indagación de la realidad y de búsqueda y recolección de información.

• Se buscan métodos de expresión del conocimiento adquirido.

• Se buscan problemas presentes en la vida cotidiana y se ponen en práctica los conocimientos adquiridos.

Pasos para el desarrollo de destrezas

Pasos para la ejecución de proyectos de aula

Proyecto de aula

¿Que es un proyecto de aula?

• Proyecto es una investigación a profundidad de una situación problema real que debe ser resuelta en un tiempo

y espacio suficientes.

¿Como se plantea un proyecto de aula?

• Se propone a los estudiantes la búsqueda de situaciones problemas en la realidad.

• Se selecciona alguna que sea de interés general.

• En grupo, se plantean diversas estrategias para abordar el problema y se visualizan

las posibles soluciones.

• Se socializa, sistematiza y resume la información obtenida.

• Se plantean, con la participación del grupo, las formas de presentar los datos obtenidos.

• Se emiten conclusiones a las cuales se ha llegado con la ejecución del proyecto.

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Solucionario

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b) y = 500 x

c) Es una recta que pasa por el origen de coordenadas, muy

pegada al eje “y”

a)x = 7/3 b b) x=2.5 c) x=-4.5 d) x=0

Módulo 1Zona de aplicación. Pág. 11

Zona de aplicación. Pág. 14


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a) A x B = {(a; 3), (a; 4), (a; 5), (a; 6), (b; 3), (b; 4), (b; 5), (b; 6), (c; 3),

(c; 4), (c; 5), (c;6)}

c) A x B = {(1; 0), (1, 2), (2; 0), (2; 2), (3; 0), (3; 2), (4; 0), (4; 2)}

b) A • A = {(a; a), (a; c), (a; j), (c; a), (c; c), (c; f ), (f; a), (f; c), (f; f )}

a) 10 b) 35 c) 0

a) no se cumple b) no se cumple c) no se cumple

a) A = {0,1} ; B = {3, 4, 5} b) A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ; B = {1}

c) A = {a, b}; B = {2, 3, 4, 5} d) A = {t, a, r, p}; B = {4, 0}

a) R = {(–6; –3), (6; 9), (12; 15)}

b) R = {(Guaranda; Bolívar), (Puerto Baquerizo; Galápagos),

(Guayaquil; Guayas), (Quito; Pichincha)

a) D = {Barcelona, LDUQ, Nacional, Rocafuerte}

R = {Guayaquil, Quito}

b) D = {Petróleo, cacao, café, gas, minería, flores, banano, camarón}

R = {Hidrocarburos, agro exportación, no tradicional}

a) R = {(Samborondón; Guayas), (Machala, El Oro), (Ibarra,

Imbabura,), (El Triunfo, Guayas), (Pasaje, El Oro)}

a) R = {(81; 9), (81; –9), (49, 7); (25; 5)}

b) R = {(Arroz, Hidrato de carbono), (Leche, proteína), (Carne,

proteína), (pan, hidrato de carbono); (manteca, grasa), (jamón,

grasa), (leche, vitamina), (carne, vitamina), (pan, vitamina)}

c) R = {(locro, Sierra), (Guatita, costa), (Cebiche, costa), (papas

con maní, sierra), (Yaguar locro, Regio Amazónica), (Arroz con

menestra, Costa)}

a)

a) Si b) No c) Si d) Si

a) Si b) Si c) Si

a) No b) Si c) Si d) No

p = 4x ; D: IR > o ; R: IR > o

a) y =1,5 x b) y = � 60

a) y = 1,5 x b) k = 1,5

c) Es una recta que pasa por el origen de coordenadas y por (2; 3)

a)

b) y = 35 x c) k = 35

b) f(1) -3

f(–2) 9

f( 1 __ 2

) –1

f(– 3 __ 4

) 4

f(a) –4a+1

f(a + 1) –4a–3

f(0) –1

f(-1) 0

f(2) 15

f( 3 __ 4

) 35 ___ 16

(a + 1) 3a2 + 8a + 4

f(a – 1) 3a2 – 4a



Día 1 2 3 4 5 6 7

Precio 35 70 105 140 175 210 245

x 1 2 3 4 5 6 7

y 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500

m B

5 1 __ 4

– 2 __ 5

8

1 – 1 __ 7

4 __ 3

2 __ 5

a)

– 16

16

b)

c) d)

– 2 2 __ 3

– 3

1 __ 5

1

___

10

a) y = x___

300+ 1,5 b) D: IR > 0 R: IR > 0

c) d)��2.66 e) 30km

a) V0 = 60 km/h b) Si

c) a, V para diferentes valores de “t” interpolar y extrapolar

a) y= 50 x + 250 b)

a) y = 34 x + 156 b)

c) 292

250

y

x

y

x

150

Solucionario

65

Pro

hib

ida

la r

ep

rod

ucc

ión

to

tal o

pa

rcia

l po

r cu

alq

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r m

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io s

in p

erm

iso

esc

rito

de

la E

dit

ori

al.

��

a) Decreciente b) Creciente c) Decreciente

d) Creciente e) Decreciente

a) – 4/5 b) –16 c) 17/2 d) 1/5

a) Recta descendiente que pasa por el punto 7 del eje “y”

b) Paralela al eje “x” que pasa por el punto ½ del eje “y”

c) Recta ascendente que pasa por el punto 5 del eje “y”

d) Recta descendiente que pasa por el origen.

Los intersectos son: a) (– 4; 0) y (0; 8) b) (0; 38__3

) y (38__5

; 0)

c) (0; –21__5

) y (– 7; 0) d) (0; – 7) y (7__

12; 0)

a) y = –7__

11x +

16__11

b) y = x + 1__

13 c) y =

3__2

x + 11__4

d) y = 2 x – 75

a) D: N* b) � 300 c) 4 200 pares

a) y = 1 600x – 4 800 b) decreciente porque se deprecia.

a) 170 b) 20 c) creciente por va en aumento

a) 97,8 ºC

a) 5 5 b) 0,9 c) –1 d) –7 2

a) F b) F c) V d) V

a) 2 b) 13,86 c) 20 3 d) –38,41

a) 9a4

___ 8b6 b) 10a6c2

______ 5b4 c) 3a5

_____ 5b4c4 d) 4a5 c

3 __ 4

_____ 3 b

4 __ 3

a) 3y y 7z b) –5 y 9 c) +1 y –28 n d) 9 y 2b = 15

a) (–2, –5) b) (2, 0) c) (1, 3) d) (–3, –7)

e) (2, 2) f) (1, 2009)

a) x = 33/80, t = – 1/80 b) t = 4, v = –3

c) x = 4, y = 3 d) x = 4, y = –2 e) x = 3, y = –1,8

a) F b) V c) V d) V

3a + 2b = 0 y 5a – 2b = –13

a) F b) F c) V d) V e) F

a) 11 y 7 b) Medias � 0,5; Camisetas � 1,25

c) bolígrafo � 0,5; cuaderno � 2

d) 55 de � 5 y 38 de � 1

e) Andrea 45 años y Paty 30 años

f) Largo 30.6 cm y ancho 11. 6 cm

g) conocimiento 4 y procesos 6.

a) x = 20, y = 12 b) x = – 3, y = 2

c) x = 5, y = – 1 d) x = – 1/29, y = 101/58

a) 8 b) y = 3 x – b c) y = 3 x

a) Recta creciente que pasa por el – 5 del eje “y”

b) –7/4 c) 2(5) – 4(1) ≠ 5

d) Porque si las coordenadas son enteras, el valor de 2x – 4y es

siempre par, pero 5 es un número impar.

El problema tiene dos soluciones: y = 2x –4 ; y = –2x –4

a), b), c), d) Son rectas que pasan por el origen de coordenadas.

Decrece solo en el literal a).

a) x = 9 b) x = 35/3 c) x = 0.625 d) x = – 0.183

a) Recta creciente que pasa por el – 1 del eje “y”

b) Recta decreciente que pasa por el 7 del eje “y”

c) Recta creciente que pasa por el – 1, 25 del eje “y”

d) Recta creciente que pasa por el 0,55 del eje “y”

Las ecuaciones son, en orden decreciente, las siguientes: y = –3 x

+ 4 ; y = ½ x – 7 ; y= – 0,75 x + 0.4 ; y = 0,5 x + 1 ; y = – 1,8 x + 0,6

En cada literal se sitúan los puntos dados en el plano cartesiano y

luego se traza la recta que pasa por ellos.

De arriba hacia abajo tenemos: Crece, decrece, decrece, crece,

crece.

k = 5,25

Si, k = –7/2

a) Todos pasan por el origen.

b) En h(x) y p(x) la pendiente es negativa. c) y = k x

a) y = 4 x – 3 b) 4 c) 8 037

Compruebo lo que sé. Pág. 38 - 39






3

3

4

4

5

7

3

3

3

6

2

2

2

8

4

4

5

9

1

1

1

1

2

f(x) K

2x 2

–0,2x –0,2

0,67x 0,67

1,5x 1,5

–120x –120

f(-2) f(0) f(7) f(3x-1)

f(x)= -3x 6 0 – 21 – 9a + 3

f(x)= 0.3 – 2x 4,3 0,3 – 13,7 2,3 – 6

f(x)= 0.15x + 7 6,7 0 8,05 0,45a + 6,85

13

14

5

15

7

6

16

8

12

18

17

10

9

Módulo 2

a)

c)

g)

b) (5t2 + 2tu – 6u2)(5t2 – 2tu – 6u2)

d) (w + a – 7) (w – a – 7)

h)

(z + a – b) (z – a – b)

e)

i)

k)

f)

c (d2 – c) (d – 3 __ 2

c)

j) (8q4 – 7t2) + 36q4t2

(a4 + 2q2 + 3)(a4 – 2a2 + 3)

(z2n + 5zn – 10) (z2n – 5zn – 10)

(2a2 + 2b + 3d) (2a2 – 2b – 3d)

(a – b)(a + b)

(3s2 + 9st – 20t2) (3s2 + 9st + 20t2)

(3b2 – bc – 4c2) (3b2 + bc – 4c2)

Solucionario

66

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la re

pro

du

cción

tota

l o p

arcia

l po

r cua

lqu

ier m

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io sin

pe

rmiso

escrito

de

la E

dito

rial.

��

a) a1/2 b1/2 b) a1/3 – (2b)1/2 c) (a + b)1/2

d) a2 e) a2b f) a1/3b2/3

a) 5

√___

a3 b) 4 2

√___

a3 c) a113

d) 5

√____

343 x2 e) √_____

a5b5 f) 4 √__

a

a) a b) a8/3b2 c) (a + b)3

d) (b + 2)5 e) 2a3 f) (b+2)8

a) a1/4 b) a4/3 c) 2a5/3b4/5

d) a1/2b e) 22/7a8/3b2/3 f) 25/3a4/3b3

a) 10 6 b) 51__2

c) 20 d) 63π

c c d c c

c c d b a

c a c

a) 2 __ 5

(a – 1) (a + 1) (a2 + 1) (a4 + 1)

b) 0,25 (a3 – 2) (a3 + 2) (a6 + 4) (a12 + 16)

c) 3x(x + 9y) (x – 9y) ( x2 + 9y2)

d) (1 + x10)(1 – x5)(1 + x5)

a = 120º, b = 40º, c = 120º, d = 160º

a = 90º, b = 30º, c = 60º, d = 120º

a) 3 √__

2 – 53 √__

4 b) – 8 √__

5 c) 9 √__

2 d) – 36 3

√__

2

k = 2

2a – 3b = –13 y –4a + 5b = 25 ; – x + y = 6 con 2x – y = – 11

a) 4 _____ x + 7

b) x(x + 5)

_______ (x – 5)2 c)

(2x + 12) (2x – 1) ______________

0,5 (1 – 4x) d) a + x _____ x

m) (a3 – a + b) (a3 + a – b)

n)

o)

p)

(z3 – z + 1) (z3 + z – 1)

(ed – 11 – a2) (ed – 11 + a2)

1 __ 2

(1 + x4) (1 + x2) (1 + x) (1 – x)

ñ) 0,5(a2 + 16) (a + 4) (a – 4)

q)

b(b – 3) (b2 + 7)

3

3

4

4

7

6

6

5

8

2

2

1

(2 a2 + 3 a – 5)

–3a2 + 4a +4

2(a+1)(4b+1)

49

3

(r – 2) y (x + 3)

a) V b) V c) F d) V

a) 3aabbbbb _________ 2aaabb

b) 5pppprrsss

_________ 10prrrssss

c) 33ccddddeeeee _____________ 22cdddeee

d) 9xxyyyzz

________ 4xxyz

a) 3b2

___ 3a

b) p5

___ 2rs

c) 3de2

____ 2

d) 9y2z

____ 4

a) 1 b) (x – y)2

_________ x2 + xy +y2 c) m – 4 _______

(m – 3)2 d) 5d _________

16(1 – 3e)

a) 1 b) 1 c) a2 + a b + b2

d) Porque al dividir factores iguales da 1 y no 0

P(x) = x (2x + 3)

x = 70º

a = 65º, b = 60º, c = 120º

a = 55º, b = 125º, c = 125º, d = 55º, f = 125º, g = 125º, h = 55º

No

90º

45º

<1 = 44º; <2 = 136º; <3 = 44º; <4 = 44º; <5 = 136º; <6 = 44º; <7 =

136º

<MOK = 45º, <KON=135º 9. x = 40º ; y = 50º

a) 1 b) 54 c) 20 736 d) 9

a) a4

b) a4 c) x4

d) 384

x4y

a) W = – 20, y = –54 b) x = 1/a; y = 1/b c) p = 1, r = 0

d) x = 2/a ; y = 1/b

a = – 49, b = 57

a) largo41, 6 ancho 58,3 b) Largo: 56cm, ancho: 52 cm



3

3

4

4

5

5

7

6

8

1

1

2

2


7

8

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

9

10

11

12

13

Ruta saber. Pág. 72 - 73



1

1

4

4

6

2

2

5

5

3

3

a) N b) I c) R d) Z e) I f) Q

a) 5 b) – 2 c) 3/8, – 8/3 d)1, 7

e) 3__5

, 5,321, –4π, 23

a) 5/2 b) – 5 c) 19/2 d) 2 e) 17/2 f) –25

a) R b) I c) R d) I e) R f) I

a) SI b) SI c) SI d) NO e) SI f) NO

a) 4 b) –4 c) 2 d) 0 e) 6 f) 1


1 a) 3 √

___ 5a _____

5 b)

√___

3d ____

3 c)

4 √__

7 ____

7

d) 8 √

___ 3a _____

3a e)

√__

2 ___

3 f) 6 √

__ 3

Solucionario

67

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2

1

2

5

5

4

3

6

6

7

7

8

8

9

9

10

11

12

13

14

3

4

5

6

7

a) √

__ 5 – √

__ 3 _______

2 b)

2 √___

55 – 15 √__

2 ___________

30 c)

a – 2 √___

ab + b ___________

a – b

d) 4 4 – 4b + a(a – b) + b (a – b)___________________________16 – a + b

e) 3 √

___ 18 + 7 √

__ 7 – 21 – √

____ 126 _____________________

31 f)

6 √__

3 – b – 9 __________

b – 9

g) 13 + 5 √__

7 h) √

___ ab – √

___ ac _________

b – c i)

4 √__

5 + 5 √__

2 _________

25

a) √

___ 15 + 6 + √

___ 10 + √

__ 6 _________________

4

k m 2 __ 2

____ m

39,74 seg

28,1 seg

v = √

____ 2Em ______ m


1

2

3

4

5

6

a) √__

2 b) 13 √__

3 – 4 √__

2 c) – 2 √__

2 – 19 √__

6 d) 90 √__

2

a) 252 √___

30 – 238 √___

10 b) –16 c) 8 √__

5 – 2

d) 2 √__

5 – √__

7 + 5 √__

6 – 3 √__

2

a) 10 b) 5 √

____ 735 + 5 √

____ 126 + 42 + 6 √

___ 21 ________________________

42

a) √___

12 b) 36 √__

2 c) 40 d) 144 (1 + √__

3 – √__

2 – √__

6 )

a) l = 10 √__

2 cm b) P = 40 √__

2 cm c) d = 20 cm

3 √

__ 2 + 7 _______

4 √__

2


1

1

2

2

3

3

4

4

5

6

500___3

– 120___17

11,95

0,005

– 896_____10 935

2 545,2

a) 11,22 π rad. b) 5π/4 c) 0,64 πd) 7π/4 e) 1,73 π f) 10 π

a) 120º b) 157,5º c) 22,5º

d) 30º e) 75º f) 216º

a) 5π/12, 75º b) 40º, 2π/9 c) 105º 47´25´´

d) 72º, 2π/5 e) 88º 44´34´´ f) π/4, 45º

a) – 8 __ 3

, 2 __ 5

b) √___

15 – 2π ___ 5

, √

__ 6 ___

6 c) ) 0,75; 0,3; 1,41

d) 7π/4 e) 1,73 π f) 10 π

a) x b) 31/5bc8/5 c) 25/4a7/2b2

d) 50961/24a2b6

a) 10 √__

5 cm b) 80 √__

3 cm c) (6 √__

5 – √__

3 )cm

d) 4 √__

5 cm

a) 7 __ 3

b) 5 √

__ 2 + 0 _______

– 19 c)

5 √__

2 + 19 ________

2

d) 9 √___

10 – 10 e) 8 √

__ 2 + 2 √

__ 7 _________

25 f)

5

√__

8 4 ____

4

T = 2 seg

T = 1 Seg

a) 36 √___

30 b) 4 √____

270 + 36 √____

180 – 150 – 450 √__

6

c) 90(2 – 3 √___

12 ) d) 432 √__

3 – 72 √__

2 e) 90 √____

120 + 675 √__

5

2EK____K

72º 34´50´´

72º

1,27 rad

a) 9 – 5 √

__ 5 _______

10 ( 2 __

3 )

1 __ 4

– √__

5 ____

5 b) 45 10 + 135 – 360 2 – 95 5_________________________

40 10

c) 48 √

__ 3 – 1 + 6 √

__ 5 _____________

6

24º 27´30``, 0,43rad


Rad 8π/45 5π/6 31π/18

Grados 54º 75º 210º 225º

150 vueltas

25 π rad.

0,41 π rad.

75º

143,24º

Compruebo lo que sé. Pág. 106

Grados 24 18 16 45

Radianes 7π/3 7π/36 5π/6 10π/9


1

5

3

7

6

4

8

a) 182 cm2, 212,33 cm3 b) 84 cm2, 56 cm3

c) 102,1 cm2, 86,67 cm3 d) 78 cm2, 80 cm3

324 cm3

2 255,21 cm3

a) 12,12 cm b) 9,9 cm c) 277,2 cm2 d) 646,8 cm3

107 250 m3

10 208,32 m3

l = 9,52 cm h = 14,28 cm

Solucionario

68

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cción

tota

l o p

arcia

l po

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io sin

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rmiso

escrito

de

la E

dito

rial.

��

a) 9,5 • 10–1 b) 3 • 10–8 c) 3,05

d) 5 • 10–5 e) 3,33 • 10–4 f) 2,5 • 107

a) 6 • 10–2 b) 4 • 102 c) 2,5• 104

d) 1,98 • 10–6 e) 5 • 10 f) 4,762 • 106






1

1

4

5

6

1

1

1

2

3

4

10

5

5

5

5

3

3

3

12

2

2

3

2

11

7

7

7

6

6

6

6

4

4

4

8

8

753,98 cm2

763,41 cm2

678,58 cm2

4,16 cm

r = 3,3 cm ; h = 6,6 cm

1 159,18 cm2; 1 512,15 cm2

33,51 cm2

a) 6 433,98 cm3 b) 1 039,08 cm3

254,15 cm2; 1 047,2 cm3

1 319,47 cm2; 1 590,69 cm3

No

a) SI b) SI c) SI d) SI e) NO f) NO

a) NO b) NO c) SI d) NO

a)

El gráfico es una curva creciente que pasa por los puntosque

aparecen en esta tabla.

b)

Gráfico: curva decreciente.

c)

Gráfico: curva creciente.

d)


e)

Gráfico: curva creciente.

f)


a) f (x) = 2 • 3x

b)

La gráfica es una curva creciente que pasa por los puntos de la tabla.

c) f (4) = 162 d) f (2010)

f(x) = 1

a) Creciente b) Creciente c) Decreciente

d) Decreciente e) Creciente f) Creciente

a) 0,006213 h b) 21 100 mm c) 0,00023114 Dm

d) 0, 6096 m e) 42 200 cm f) 0,032 m

a) < b) > c) > d) < e) < f) <

0,0756 m

11,2796 m

112,5 cm2

21 cm

1 250 cm2

a) 6 500 b) 0,008512 c) 0,135 d) 825

a) 750 000 b) 0,000 000 000 275 c) 47 130 000

d) 0,000 000 008 25 e) 213 000 000

f) 0,000 000 004 112 313

a) 325 b) 312,115 c) 25

d) 3,22342 e) 2,1531423 f) 0,0145

a) 812 cm3 b) 30,22 dm3 c) 140,05 m3

d) 145 cm3 e) 1,320 m3 f) 2,105 m3

a) 0.32 l b) 215 160 000 000 kl c) 31 583,12 l

d) 20,00085 ml e) 1 415 220 kl f) 3 110 000 kl

100 mil litros

18 galones

a) 8,015 • 106 b) 3,9421 • 104 c) 1,128 10–5

d) 3,252 • 10– 13 e) 3,41215 • 10– 3 f) 3,96 • 1011

a) 0,00000815 b) 1 020 c) 312 400

d) 121 000 000 000 e) 0,000403 f) 0,000000703

a) 106 b) 10–3 c) 10–15

d) 10–12 e) 103 f) 109

a) 8,8 • 10–1 b) 1,0965 • 10–1 c) 6,56 • 10–5

d) 2,52 • 10–4 e) 9,92 1010 f) 1,0965 • 10–1

x 0 1 2 3

y 1 3 9 27

x 0 1 2 3

y 0,25 0,1875 0,1406 0,1055

x 1 2 3 4 5

y 0,25 1 2 4 16

x 0 1 2 3 4

y 2 1/2 1/8 1/32 1/128

x 0 1 2 3 4

y 2 2,7 7,39 20,08 54,6

x 0 1 2 3 4 5

y 1 1/2 1/4 1/8 1/16 54,6

x 0 1 2 3 4 5

f(x) 2 6 18 54 162 486


64 cm3

942,48 cm3

2 700 cm2, 9 000 cm3

7,85 mm3

El primero

14 m ,7 m

Si

475; 68; 565; 68; 800

3

4

7

8

1

2

10

11

Solucionario

69

Pro

hib

ida

la r

ep

rod

ucc

ión

to

tal o

pa

rcia

l po

r cu

alq

uie

r m

ed

io s

in p

erm

iso

esc

rito

de

la E

dit

ori

al.

��






1

1

1

1

1

60º y 30º

72º y 18º

67,5º y 22,5º

a) 134º33´ b) 164º 31´ c) 143º 14´21´´

d) 66º 50´44´´ e) 92º 15´ f) 68º 45´55´´

a) 78º 15´55´´ b) 37º 24´ c) 71º 9´

d) 48º 19´15´´ e) 37º 11´17´´ f) 46º 41´

126º y 54º

a) 20,53º b) 65º c) 20º

d) 114,59º y 65,41º e) 30º f) 67.5º

a) 1080 b) 1440 c) 1620 d) 1800 e) 3240

a) 15 b) 21 c) 11 d) 17 e) 10 f) 13

a) 120º b) 135º c) 144º

60º

93º 53´53´´

116º; 116º y 48º

a) 93º y 31º b) 78,66 y 157,33

a) No b) Si c) No d) Si e) Si f) No

a) Si, 19 lados b) No c) No

a) 421,3 kg b) 0,44 g c) 21,5 g

d) 0,1249 kg e) 500,8 g f) 40 000 mg

a) 25,505 hg b) 4,55512 kg c) 32,764 kg

d) 3,24947 kg e) 40,58225 kg

a) 35 104,55 hg b) 157 245,45 hg c) 2 877,72 hg

d) 33 961,37 dg e) 134 727,27 hg f) 9 927,71 hg

a) 1 136,36 dg b) 3 140 qm c) 568,18 hg

d) 5 753 lb e) 20,31 lb f) 10 000 Kg

6 432,72 dg

194,7 meses

� 338,36

a) 7,17 b) 11,17 c) Resulta de sumar 4 a cada término.

a) Aproximadamente 9 días b) 70

a) 1 000 años b) 240 meses c) 20 lustros

d) 1 825 días e) 168 horas f) 2 lustros

a) 18 h 58 min 24 seg b) 11 h 34 min 3 seg

c) 29 h 25 min 38 seg d) 27 h 38 min 20 seg

a) 6 h 57 min 57 seg b) 1 h 30 min 35 seg

c) 2 h 53 min 14 seg

d) 24 min 43 seg 6. 2años, 4meses, 29dias

13

15

16

12

17

18

19

x –2 –1 0 1 2

y 49 7 1 1/7 1/49

La “h” del como debe ser 3 veces la “h” del cilindro.

2,19 dm

400

a) 4; 100; b) Creciente

67 200 l

0 1 2 3 4

3 6,44 15,78 41,17 110,2

d b a a) d; b) d; c) a

c d d y = 5 • (1/3)x

c a b b

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12



1

3

4

5

6

2

5

5

5

5

3

3

3

3

7

7

8

9

2

2

2

2

6

6

4

4

4

4

4

a) 7 √

___ 58 _____

58 ,

3 √___

58 _____

58 , 7 __

3 , 3 __

7 ,

√___

58 ____

3 ,

√___

58 ____

3 ,

√___

58 ____

7

b) 1 __ 4

, √

___ 15 ____

4 ,

√___

15 ____

5 , √

___ 15 ,

4 √___

15 _____

15 , 4

c) √

__ 3 ___

2 , 1 __

2 , √

__ 3 ,

√__

3 ___

3,2 ,

2 √__

3 ____

3

d) √

__ 5 ___

5 ,

2 √__

5 ____

5 , 1 __

2 , 2 ,

√__

5 ___

2 , √

__ 5

e) √

__ 5 ___

3 , 2 __

3 ,

√__

5 ___

2 ,

2 √__

5 ____

5 , 3 __

2 ,

3 √__

5 ____

5

f) 7 √

____ 113 ______

113 ,

8 √

____ 113 ______

113,7 ______

8 , 8 __

7 ,

√____

113 _____

8 ,

√____

113 _____

7

a) √

___ 55 ____

8 ,

√___

55 ____

3 ,

3 √___

55 _____

55 , 8 __

3 ,

8 √___

55 _____

55

b) 2 √

__ 5 ____

5 ,

√__

5 ___

5 , 1 __

2 ,

5 √__

5 ____

5 ,

5 √__

5 ____

10

c) 3 __ 5

, 4 __ 5

, 3 __ 4

, 4 __ 3

, 5 __ 3

d) 1 __ 4

, √

___ 15 ____

4 ,

√___

15 ____

15 , √

___ 15 ,

4 √___

15 _____

15

e) 2 √

__ 2 ____

3 ,

√__

2 ___

4 , 2 √

__ 2 ,

3 √__

2 ____

4 , 3

f) √

__ 2 ___

2 ,

√__

2 ___

2 , 1 , √

__ 2 , √

__ 2

Para α : √

__ 3 ___

2 , 1 __

2 , √

__ 3 ,

√__

3 ___

3 , 2 ,

2 √__

3 ____

3 Para β : 1 __

2 ,

√__

3 ___

2 ,

√__

3 ___

3 , √

__ 3 ,

2 √__

3 ____

3 , 2

5 √

___ 34 _____

34 ,

3 √___

34 _____

34 , 5 __

3 , 3 __

5 ,

√___

34 ____

3 ,

√___

34 ____

5

5 √

___ 29 _____

29 , –

2 √___

29 _____

29 , – 5 __

2 , – 2 __

5 ,

√___

29 ____

–2 ,

√___

29 ____

5

a) 67º b) 50 c)1

d) 45º e) 69º f) 44º

Solucionario

70

Pro

hib

ida

la re

pro

du

cción

tota

l o p

arcia

l po

r cua

lqu

ier m

ed

io sin

pe

rmiso

escrito

de

la E

dito

rial.

��

1

1

a) 43,18 kg b) 44,32 kg c) 1,14 kg

a) 317,18 lb b) 617,14 kg c) 7 405,68 kg

14 años, 6 meses, 25 días

19 h 7 min 3 seg

a = 3, b = 4, c = 5 a) 3/5 b)4/5 c) 35/12

3/4

a) 540º b) 36º

a) 23º b) 164,35º

1 505

a) � 344,02 b) 8/155

162º y 18º

a) 15º b) 27º y 63º

2 592 000 seg

262 800 min

a) 8 784 h b) 20

a) 84º y 96º b) Ni una porque es 7/8 c) β = 96º y α = 84º

a) Si, 3ero b) 216º c) 36º

a/16, 1/16, a, 1/a, 1,6/a

c) 141,47 lb


3

13

4

14

5

15

7

6

16

8

19

2

12

18

17

10

11


1

5

3

2

4

a) 0,68 b) 1,04 c) 0,70 d) 1,28 e) – 0,36 f) 1,00

a) 73º b) 23º c) 11º d) 78º e) 80º f) 87º

a) b= 5 3 cm, α = 30°, = = 60°

b) a= 55cm, α = 67,98°, β = 22,2°

c) b= 5 cm, α = 67,38°, β = 22,62°

d) b= 6 2 dm, α = 50,48°, β = 39,52°

e) b= 4 13 km, α = 31,97°, β = 58,03°

f) a= 20 cm, α = 53,13°, β = 36,87°

a) �B = 51º, b = 9,88 cm, c = 12,71 cm

b) �B = 28º, a = 17,66 cm, b = 9,39 cm

c) �A = 62º, c = 25,16 m, a= 22,57 m

d) �A = 20º, a=14,11 hm, b=5,12 hm

e) b= 4,8 cm, c=11,09 cm, α=25,64º, β=64,36º

f) �A = 38º, c=22,7 mm, b = 17,9mm

a) c= 5,83, �A = 30,96º, �B= 51,04º

b) b = 4 7 , �A = 15,83º, �B = 74,17º c) b = 8, �A = 27º


1

1

1

5

2

2

6

3

3

7

4

4

3

4

2

a) + b) + c) + d) – e) –

a) 3 + √

__ 3 – √

__ 2 __________

2 b)

√__

2 – 3 ______

2 c) –

3 √__

2 ____

2 d) 1/2 e) 1 f) 1

P = 20 ( √__

3 ___

3 + √

__ 2 + 1 ) , A = 200 ( √

__ 3 ___

3 + 1 )

a) 4/3 b) 1/2 c) 3/4 d) √

__ 2 + √

__ 6 _______

4 e)

√__

2 – √__

6 _______

4 f)

√__

2 ___

2

a) Em

= {diamante, trébol, corazón rojo, pica negra}

b) Em

= {amarillo, azul, rojo} c) Em

= {g, a, l, p, o, s}

d) Em

= {1, 2, 3,4, 5, 6}

a) Em

= {1,2, 3, 4, 5, 6}, Ef = {1, 3, 5}

b) Em

= {1,2, 3, 4, 5, 6} Ef = {1, 2, 3}

c) Em

= {1,2, 3, 4, 5, 6} Ef = ø

d) Em

= {e, e, u, a, d, o, r} Ef = {e, u, a, o}

a) 8/21 b) 1/3 c) 2/7 d) 0 e) 1

a) 23/79 b) 29/79 c) 27/79 d) 23/79 e) 21/79 5. 13/22

Zona de aplicación Pág. 210

b) 4/25 c) 9/25 d) 16/25

a) 6/25 b) 3/10

2 amarillas 25/121; 2 blancas 36/121

14/15

2/3

1/121

6 9. 5 040


130 m

7,55 m

4,79 m

62,93 m

h = 30,5 m

3,65 m y 36,10º

6

5

7

9

8

10


1

3

2

4

4 289,01 m

54,95 m

98,23 m

186,60 m

Solucionario

71

Pro

hib

ida

la r

ep

rod

ucc

ión

to

tal o

pa

rcia

l po

r cu

alq

uie

r m

ed

io s

in p

erm

iso

esc

rito

de

la E

dit

ori

al.

��

12

14

13

15

5/33

10/153

362 880

67 600 000

Compruebo lo que sé Pág. 121

a) 29,51º b) 74,68º c) 41,24º d) 38,54º

654,35 m

85,35 m

150,12 m

+, –, +, +, –, –

30 6 m

1/2 + 3 – 2

a) 1/6 b) 5/12 c) 0 d) 1/12 e) 1/3 f) 0

a) 1/2 b) 1/2 c) 1/2

a a sen b, cosd c c

c c lado b –– d, lado c ––a, β –– b

b �A –– c, �B –– B, lado a –– d d

a d d c c

1

11

2

12

3

13

4

5 6 7

8

14

9 10

15


5

9

6

10

3

7

11

4

8

Pro

hib

ida

la re

pro

du

cción

tota

l o p

arcia

l po

r cua

lqu

ier m

ed

io sin

pe

rmiso

escrito

de

la E

dito

rial.

72

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