6.2 Analisi complessa - Sapienza Universit  di Roma .6.2 Analisi complessa Jeremy Gray, Open University,

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6.2 Analisi complessa Jeremy Gray, Open University, England

6.2.1 Introduzione Una delle caratteristiche salienti del progresso della matematica nel 19 secolo lo sviluppo dellanalisi complessa. Lo studio delle funzioni complesse di una variabile complessa venne affrontato sporadicamente nel corso del 18 secolo; i numeri complessi furono introdotti nello studio delle funzioni trigonometriche, nellintegrazione delle funzioni razionali, nella teoria dei numeri (con riferimento allultimo teorema di Fermat) e nello studio delle applicazioni conformi (e nella cartografia teorica). Molto spesso per, luso dei numeri complessi aveva un carattere pi formale che sostanziale, in accordo con la tendenza predominante del 18 secolo verso lalgebra. Nel 19 secolo venne creata una ricca teoria delle funzioni complesse, e lanalisi complessa raggiunse uno stato di parit con lanalisi reale. Ci dovuto in parte al fatto che possibile passare dal dominio reale a quello complesso in modo facile e matematicamente naturale, e in parte al fatto che transizioni di questo tipo si dimostrarono proficue (per esempio nello studio delle equazioni polinomiali dal punto di vista geometrico e in quello strettamente collegato delle funzioni armoniche).

Il percorso tortuoso che port alla delucidazione della teoria dei numeri complessi si estende attraverso un arco di tempo che va dal 16 secolo alla met del 19 secolo (v. Algebra dei polinomi).i Lo studio delle funzioni complesse procedette a lungo in maniera indipendente perch, per la maggior parte dei matematici i problemi con i numeri complessi emergevano con il loro utilizzo, non in algebra, ma nella teoria delle funzioni. DAlambert ed Eulero, per esempio, discussero a lungo sul significato da assegnare al logaritmo di un numero complesso. DAlembert insisteva che ogni numero complesso dovesse avere un unico logaritmo; Eulero assunse la posizione, che alla fine prevalse, secondo cui il logaritmo di un numero complesso doveva avere infiniti valori.

Ancora nel 1843, Gauss insisteva sulla differenza che esiste tra definire i numeri complessi e rappresentarli come punti del piano. Questa distinzione sottile non imped a Gauss di creare una teoria delle funzioni di variabile complessa fondata su considerazioni geometriche. Infatti, annullare questa distinzione senza preoccuparsi eccessivamente delle sue implicazioni filosofiche fu la strada seguita da molti matematici attratti dallo studio delle funzioni complesse. Tornando a Gauss, come risulta dalla corrispondenza con lastronomo Bessel nel 1811 (Werke, X.1, 366), egli chiedeva a chiunque intendesse introdurre una nuova funzione in analisi, di spiegare:

se intende calcolarla solo per quantit reali, e i valori immaginari dellargomento si presentano, per cos dire, come un effetto secondario, o se daccordo con il mio principio che gli immaginari devono godere degli stessi diritti dei reali nel dominio delle quantit. Non una questione di utilit pratica, secondo me lanalisi una scienza indipendente. Trascurando le quantit immaginarie perde molto in bellezza e semplicit; verit che altrimenti varrebbero in generale, devono essere necessariamente condizionate a pesanti restrizioni.

Il fatto che Gauss passi nella stessa frase da quantit immaginarie a verit generali una indicazione evidente della tensione che esisteva tra la matematica ed una qualsiasi filosofia della matematica.

Come possono oggetti immaginari condurre a verit? Innanzitutto, come indicazione delle verit che aveva in mente, Gauss continuava nella sua lettera a Bessel con una discussione degli integrali complessi. Dopo aver osservato che il valore di un integrale complesso dipende dal cammino che congiunge i suoi estremi, scriveva:

Lintegrale (x)dx lungo due diversi cammini di integrazione avr sempre lo stesso valore se non accade mai che (x)= nello spazio compreso tra le curve che rappresentano i cammini. Questo un bel teorema di cui intendo dare la dimostrazione, non troppo difficile, al momento opportuno. In ogni caso questo fatto chiarisce immediatamente perch una funzione definita a partire da un integrale (x)dx possa avere pi valori in corrispondenza di un singolo valore di x, perch possibile girare attorno ad un punto in cui (x)= , una, nessuna, o pi volte. Per esempio, definendo log x come dx/x, partendo da x=1 si pu arrivare a log x senza girare intorno al punto x=0, girandoci intorno una sola volta, o girandoci intorno pi volte; ogni volta bisogna sommare la costante 2 o -2. In questo modo chiaro perch un numero complesso ha molti logaritmi.

In questo caso la verit non riguarda tanto il fatto che il logaritmo una funzione a pi valori di una variabile complessa, quanto il fatto che la ragione di ci si debba ricercare negli aspetti geometrici del problema. La rappresentazione delle quantit immaginarie allorigine della verit, e Gauss era sempre stato attento a porre in rilievo limportanza di trovare le giuste ragioni profonde.

Come quando abbiamo parlato della natura fittizia dei numeri complessi, dobbiamo di nuovo osservare linadeguatezza della filosofia, o meglio dobbiamo notare che il contrasto tra la nuova teoria delle funzioni complesse e la vecchia filosofia della matematica, adeguata per la geometria classica e per laritmetica, non era pi conciliabile. Come in molti altri dibattiti filosofici, non ci fu mai un confronto decisivo; lo stile di questi dibattiti non quello della pubblica abiura. Ci fu invece uno spostamento, segnato nella maniera pi evidente dai lavori di Riemann e del suo precursore filosofo Herbart, verso la semplice accettazione delle grandezze bidimensionali, e pi in generale n-dimensionali, come grandezze fondamentali. Non furono solo i numeri complessi che portarono a questo cambiamento. Contribu anche, nella prima met del 19 secolo, la preistoria del calcolo vettoriale.

Restano da fare due osservazioni conclusive. La filosofia algebrica formale della matematica non scompar completamente, infatti resta viva in varie forme ancor oggi. Per quanto riguarda la storia delle della teoria delle funzioni complesse, la distinzione pratica che bisogna fare quella tra teorie algebriche e teorie geometriche. Infine, ci possiamo domandare perch la natura di (1) fosse diventato un problema cos urgente negli anni immediatamente successivi il 1800.

Lassenza dei matematici principali dal dibattito suggerisce che a focalizzare lattenzione sui fondamenti non furono i problemi originati dalle ricerche avanzate sullargomento. pi verosimile che la lenta crescita di interesse nei numeri complessi durante il 18 secolo avesse semplicemente reso dattualit il problema. Ma la singolare preponderanza di nomi francesi suggerisce un altro punto di vista. Nello scompiglio generale seguito alla rivoluzione francese, pu darsi che molti vecchi luoghi comuni venissero finalmente ritenuti criticabili. Questa possibilit viene meno salvo che si permetta ai matematici rivoluzionari di mantenere una visione politica reazionaria cosa che Cauchy dimostr per tutta la vita. Anche se non si vuole ascrivere tale nobile causa a un dibattito cos oscuro, si pu ancora notare che a partire dal 1795 il regime francese assegn alla matematica un rango elevato e produsse un gran numero di matematici con un elevato livello di istruzione. Ad essi furono riservati impieghi nel campo dellistruzione superiore e tra il personale pi qualificato del genio (civile e militare), e furono fondate nuove riviste per pubblicare le loro idee. Non ci si pu sorprendere del fatto che alcuni di loro, realizzando che dopo tutto la filosofia dei numeri complessi non era stata ancora adeguatamente capita, volessero suggerire le loro spiegazioni.

6.2.2 Origini della teoria delle funzioni complesse:

Il primo lavoro di Cauchy nellambito dellanalisi complessa fu una memoria presentata allInstitut de France nel 1814 sulla valutazione degli integrali reali impropri quando uno o entrambi gli estremi di integrazioni sono infiniti. Tali integrali erano stati considerati da Eulero, Laplace e Poisson e negli Exercise de calcul intgral (1811) di Legendre, e Cauchy osserv che in molti casi gli integrali venivano calcolati per mezzo di una sorta di induzione basata sul passaggio dal reale allimmaginario. Cauchy condivideva il punto di vista di Laplace secondo cui a questo metodo mancava una dimostrazione rigorosa e si impegn nel tentativo di fornirne una. Bas il suo tentativo sullanalisi formale delle funzioni di due variabili reali, e in particolare delle funzioni che soddisfano quelle che oggi chiamiamo le equazioni di Cauchy Riemann (proposte da Cauchy in una oscura forma generalizzata). In quel periodo era piuttosto comune veder apparire le equazioni di Cauchy - Riemann in questo contesto; ma n Cauchy nel suo lavoro, n altri in quel periodo si resero conto della loro importanza fondamentale. Il modo in cui una funzione reale poteva essere estesa ad una funzione complessa emerse pi per caso che per un disegno preciso, e questa pu essere la ragione per cui Legendre e Poisson, nella loro relazione sulla memoria, ritennero che la spiegazione di Cauchy e le illustrazioni del suo metodo non contenessero nulla di nuovo.

Legendre ritenne invece pi originale la seconda parte della memoria. In essa Cauchy discuteva la possibilit di invertire lordine di integrazione per valutare un integrale doppio. Cauchy focalizz lattenzione sui punti singolari della funzione integranda, dove la funzione da integrare diventa infinita, e mostr che in certi casi si ottengono due valori distinti e ben determinati, a seconda dellordine di integrazione. Queste scoperte furono alla base di due delle teorie importanti di Cauchy: quella degli integrali singolari (integrali reali per i quali la funzione integranda diventa infinita) e quella dei poli e dei residui delle funzioni analitiche.

Cauchy cominci ad i