29
(NOTE DE CURS) Evaluarea şi exprimarea incertitudinii de măsurare În toate domeniile legate de certificarea calităţii şi de acreditarea laboratoarelor de încercare şi a celor de etalonare, în metrologia ştiinţifică, în cea industrială şi în cea legală, în standardizare, precum şi în alte sectoare de activitate a fost introdus şi generalizat conceptul de incertitudine de măsurare, ca parametru esenţial al calităţii unei măsurări. Fără specificarea incertitudinii de măsurare, evaluat şi exprimat după reguli convenite, rezultatul comunicat al măsurării nu este credibil şi poate fi complet inutilizabil pentru beneficiarul său. Cele ce urmează constituie o prezentare a stadiului actual al modului de evaluare şi exprimare a incertitudinii de măsurare, bazată în mare parte pe ghidul ISO consacrat acestui subiect, 1 preluat şi ca standard român 2 , ulterior înlocuit cu un standard european 3 Scurt istoric Aşa cum utilizarea aproape universală a Sistemului Internaţional de unităţi (SI) a conferit coerenţă tuturor măsurărilor în ştiinţă şi în tehnologie, un consens mondial asupra evaluării şi exprimării incertitudinii de măsurare poate conduce la compatibilitatea imediată şi la interpretarea adecvată a semnificaţiei unui spectru vast de rezultate ale măsurărilor în cercetare, inginerie, comerţ, industrie şi legislaţie. În epoca actuală a pieţii mondiale, devine imperativ ca metoda de evaluare şi exprimare a incertitudinii să fie uniformă în întreaga lume, astfel ca măsurările executate în ţări diferite să fie uşor de comparat. În 1977, recunoscând lipsa unui consens internaţional în exprimarea incertitudinii de măsurare, autoritatea mondială supremă în metrologie, Comitetul Internaţional de Măsuri şi Greutăţi (CIPM), a cerut Biroului Internaţional de 1 Guide to the expression of uncertainty in measurement. JCGM (ISO, BIPM, IEC, IFCC, ILAC, IUPAP, IUPAC), ISO, Geneva, 1993, 1995, 2008 2 Standard Român SR 13434: Ghid pentru evaluarea şi exprimarea incertitudinii de măsurare. ASRO, Bucureşti, 1999 3 Standard Român SR ENV 13005: Ghid pentru exprimarea incertitudinii de măsurare. ASRO, Bucureşti, 2003

61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

(NOTE DE CURS)

Evaluarea şi exprimarea incertitudinii de măsurare

În toate domeniile legate de certificarea calităţii şi de acreditarea laboratoarelor de încercare şi a celor de etalonare, în metrologia ştiinţifică, în cea industrială şi în cea legală, în standardizare, precum şi în alte sectoare de activitate a fost introdus şi generalizat conceptul de incertitudine de măsurare, ca parametru esenţial al calităţii unei măsurări. Fără specificarea incertitudinii de măsurare, evaluat şi exprimat după reguli convenite, rezultatul comunicat al măsurării nu este credibil şi poate fi complet inutilizabil pentru beneficiarul său.

Cele ce urmează constituie o prezentare a stadiului actual al modului de evaluare şi exprimare a incertitudinii de măsurare, bazată în mare parte pe ghidul ISO consacrat acestui subiect,1 preluat şi ca standard român2, ulterior înlocuit cu un standard european3

Scurt istoric Aşa cum utilizarea aproape universală a Sistemului Internaţional de unităţi

(SI) a conferit coerenţă tuturor măsurărilor în ştiinţă şi în tehnologie, un consens mondial asupra evaluării şi exprimării incertitudinii de măsurare poate conduce la compatibilitatea imediată şi la interpretarea adecvată a semnificaţiei unui spectru vast de rezultate ale măsurărilor în cercetare, inginerie, comerţ, industrie şi legislaţie. În epoca actuală a pieţii mondiale, devine imperativ ca metoda de evaluare şi exprimare a incertitudinii să fie uniformă în întreaga lume, astfel ca măsurările executate în ţări diferite să fie uşor de comparat.

În 1977, recunoscând lipsa unui consens internaţional în exprimarea incertitudinii de măsurare, autoritatea mondială supremă în metrologie, Comitetul Internaţional de Măsuri şi Greutăţi (CIPM), a cerut Biroului Internaţional de 1 Guide to the expression of uncertainty in measurement. JCGM (ISO, BIPM, IEC, IFCC, ILAC, IUPAP, IUPAC), ISO, Geneva, 1993, 1995, 2008 2 Standard Român SR 13434: Ghid pentru evaluarea şi exprimarea incertitudinii de măsurare. ASRO, Bucureşti, 1999 3 Standard Român SR ENV 13005: Ghid pentru exprimarea incertitudinii de măsurare. ASRO, Bucureşti, 2003

Page 2: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Măsuri şi Greutăţi (BIPM) să se ocupe de rezolvarea acestei probleme, împreună cu laboratoarele naţionale de metrologie şi să elaboreze o recomandare.

BIPM a formulat un chestionar detaliat cuprinzând întrebări privitoare la subiect şi l-a distribuit către 32 de laboratoare metrologice naţionale interesate; au fost primite răspunsuri de la 21 de laboratoare. Aproape toţi au fost de părere că este important să se ajungă la o procedură acceptată internaţional pentru exprimarea incertitudinii de măsurare şi pentru combinarea componentelor individuale de incertitudine într-o singură incertitudine totală. Nu s-a desprins însă nici o concluzie cu privire la metoda care va trebui utilizată. Atunci BIPM a convocat un grup de lucru format din experţi de la 11 laboratoare naţionale (Working Group on the Statement of Uncertainties, WGSU), care a elaborat Recomandarea INC-1 (1980): Exprimarea Incertitudinilor Experimentale. Recomandarea a fost adoptată de către CIPM în octombrie 1981 şi reconfirmată în 1986. Textul acestei recomandări fiind de o importanţă deosebită pentru evoluţia ulterioară a chestiunii, el este redat în întregime în această anexă.

Concomitent, s-a hotărât elaborarea unui ghid detaliat, bazat pe recomandarea grupului de lucru (care este o scurtă prezentare şi nu o prescripţie detaliată). CIPM a însărcinat Organizaţia Internaţională de Standardizare (ISO) cu alcătuirea acestui ghid, pentru a ţine seama mai bine şi de interesele industriei şi comerţului. Responsabilitatea elaborării a fost dată Grupului Consultativ Tehnic al ISO pentru Metrologie (ISO Technical Advisory Group on Metrology), care a colaborat cu încă şase organizaţii internaţionale: Comisia Electrotehnică Internaţională (IEC), Comitetul Internaţional de Măsuri şi Greutăţi (CIPM), Organizatia Internaţională de Metrologie Legală (OIML), Uniunea Internaţională de Chimie Pură şi Aplicată (IUPAC), Uniunea Internaţională de Fizică Pură şi Aplicată (IUPAP) şi Federaţia Internaţională de Chimie Clinică (IFCC). Un grup de lucru constituit în acest scop (ISO/TAG4/WG3), compus din experţi desemnaţi de BIPM, IEC, ISO şi OIML, a elaborat lucrarea "Ghid pentru exprimarea incertitudinii de măsurare", care prevede reguli de evaluare şi exprimare a incertitudinii de măsurare pentru a fi utilizate în standardizare, etalonare, încercări, acreditarea de laboratoare şi servicii metrologice.

Ghidul, apărut pe parcursul a peste şase ani în mai multe versiuni preliminare şi în 1993 sub formă definitivă, constituie o lucrare de referinţă în domeniu, de peste 120 de pagini, prezentând detaliat principiile şi procedurile recomandate, însoţite de numeroase explicaţii, note şi exemple care lămuresc cele mai multe situaţii practice posibile. Consensul larg prin care a fost adoptat acest document i-a conferit un gir puternic în faţa unor organisme regionale şi naţionale de standardizare, care nu au întârziat să publice noi îndreptare şi proceduri, în acord aproape deplin cu ghidul ISO.

Dintre acestea, se distinge ghidul publicat de Western European Calibration Cooperation (WECC, în prezent înglobat în EAL), cu caracter strict aplicativ, practic.

Page 3: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Mai pot fi citate: standardul german DIN 1319, partea a 4-a; ghidul "NIST Technical Note 1297"; documentul NIS 3003 al NAMAS. În prezent există un număr mare de documente similare elaborate sau în curs de elaborare, inspirate din Ghidul ISO citat mai sus, dar în general cu caracter mai aplicativ, destinate utilizării cât mai largi. Ele stabilesc principii şi reguli generale pentru evaluarea şi exprimarea incertitudinii de măsurare, care pot fi urmate la diferite niveluri de exactitate şi în multe domenii – de la platforma industrială pînă la cercetările fundamentale – cu implicaţii în:

• menţinerea controlului calităţii şi asigurării calităţii în producţie; • respectarea şi impunerea legislaţiei şi a reglementărilor; • efectuarea de cercetare fundamentală, cercetare aplicativă şi dezvoltare, în

ştiinţă şi în inginerie; • etalonarea etaloanelor şi a aparatelor şi efectuarea de încercări în cadrul

sistemelor naţionale de măsurări, în vederea asigurării trasabilităţii la etaloanele naţionale;

• dezvoltarea, menţinerea şi compararea etaloanelor de referinţă naţionale şi internaţionale, inclusiv a materialelor de referinţă. Incertitudinea de măsurare

In prezent este larg recunoscut faptul că, după ce toate componentele cunoscute sau asumate au fost evaluate şi corecţiile corespunzătoare au fost aplicate, rămâne totuşi o incertitudine asupra corectitudinii rezultatului declarat, adică o îndoială privitoare la cât de bine reprezintă acest rezultat valoarea mărimii măsurate.

Când se raportează rezultatul măsurării unei mărimi fizice, este obligatoriu să se dea o oarecare indicaţie cantitativă asupra calităţii rezultatului, astfel ca cei care îl utilizează să poată aprecia încrederea în acesta. Fără o asemenea indicaţie, rezultatele măsurărilor nu pot fi comparate, nici între ele şi nici cu valorile de referinţă date într-o specificaţie sau într-un standard. De aceea, este necesar să existe o procedură bine elaborată, uşor de înţeles şi general acceptată pentru caracterizarea calităţii rezultatului unei măsurări, adică pentru a evalua şi a exprima incertitudinea sa.

Conceptul de incertitudine ca un atribut certificabil este relativ nou în istoria măsurărilor, în schimb eroarea şi analiza erorilor fac parte de mult timp din practica ştiinţei măsurărilor sau a metrologiei. Trebuie acordată o mare atenţie deosebirii dintre termenii "eroare" şi "incertitudine". Ei nu sunt nicidecum sinonimi, ci denotă concepte cu desăvârşire diferite; ei nu trebuie confundaţi între ei sau utilizaţi greşit.

Cuvântul "incertitudine" înseamnă "îndoială" şi astfel într-un sens larg "incertitudinea de măsurare" înseamnă dubiu cu privire la validitatea rezultatului unei măsurări. Termenul "incertitudine" este folosit atât pentru acest concept general, cât şi pentru a desemna acele mărimi specifice care dau măsurile cantitative ale conceptului, cum ar fi de exemplu abaterea standard.

Page 4: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Definiţia formală a termenului "incertitudine de măsurare", aşa cum este dată în Ghidul ISO, precum şi în actualul "Vocabular internaţional de termeni fundamentali şi generali în metrologie" (VIM), este următoarea:

Incertitudine (de măsurare): parametru asociat cu rezultatul măsurării, care caracterizează dispersia valorilor ce pot fi atribuite în mod rezonabil măsurandului.

Parametrul la care se face referire poate fi, de exemplu, o abatere standard (sau un multiplu anumit al acesteia), sau semilărgimea unui interval având un nivel de încredere dat.

Aşa cum se arată în Ghidul ISO, această definiţie a incertitudinii de măsurare este o definiţie operaţională, care se referă la rezultatul măsurării şi la incertitudinea sa evaluată; în ea s-a evitat utilizarea conceptului de valoare adevărată. Ea este însă compatibilă cu alte concepte ale incertitudinii de măsurare, ca de exemplu:

- o estimaţie caracterizând intervalul de valori în interiorul căruia se găseşte valoarea adevărată a măsurandului (VIM, editia a 1-a, 1984);

- o măsură a erorii posibile în valoarea estimată a măsurandului, dată de rezultatul măsurării.

În mod obişnuit, incertitudinea de măsurare este definită printr-un interval centrat pe estimaţia x a valorii măsurandului, care reprezintă în acelaşi timp rezultatul raportat al măsurării. Incertitudinea U este astfel definită ca rezultatul măsurării să fie prezentat prin expresia simplă, simetrică, x ± U. În figura 1 sunt ilustrate aceste mărimi.

2U (plaja de incertitudine)

(rezultatulraportat almåsurårii)

(valoareaadevåratå)

U U

x x_

(eroarea)e

Fig. 26. Reprezentare grafică a incertitudinii asociate rezultatului măsurării,

împreună cu valoarea (adevărată) şi eroarea

Metoda ideală pentru evaluarea şi exprimarea incertitudinii rezultatului unei măsurări ar trebui să fie:

Page 5: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

• universală: metoda ar trebui să fie aplicabilă tuturor tipurilor de măsurări şi tuturor tipurilor de date de intrare utilizate în măsurări. Mărimea efectivă utilizată pentru exprimarea incertitudinii ar trebui să fie:

• consistentă intern: ar trebui să fie direct derivabilă din componentele care contribuie la ea, şi, de asemenea, independentă de modul în care aceste componente sunt grupate, precum şi de descompunerea componentelor în subcomponente;

• transferabilă: este necesar ca incertitudinea evaluată pentru un anumit rezultat să poată fi folosită ca o componentă în evaluarea incertitudinii unei alte măsurări în care primul rezultat este utilizat. Evaluarea şi exprimarea incertitudinii de măsurare au un spectru larg de

aplicaţii, astfel: • efectuarea de cercetări fundamentale, cercetări aplicative şi de dezvoltare,

în ştiinţă şi în inginerie; • etalonarea etaloanelor şi a mijloacelor de măsurare şi efectuarea de

încercări în cadrul unui sistem naţional de măsurări, în vederea realizării trasabilităţii la etaloanele naţionale;

• dezvoltarea, menţinerea şi compararea etaloanelor de referinţă naţionale şi internaţionale ale unităţilor mărimilor fizice, inclusiv a materialelor de referinţă;

• menţinerea controlului calităţii şi asigurării calităţii în producţie; • respectarea şi impunerea legislaţiei şi a reglementărilor.

5.3.1 Erori, corecţii, incertitudine

În general, o măsurare este afectată de imperfecţiuni care dau naştere unei erori în rezultatul măsurării. Tradiţional, se consideră că o eroare are două componente şi anume o componentă aleatorie şi una sistematică.

Este de presupus că eroarea aleatorie îşi are originea în variaţia imprevizibilă sau stochastică temporală şi spaţială a mărimilor de influenţă. Efectele unor asemenea variaţii, numite de aici înainte efecte aleatorii, produc variaţii în observaţiile repetate ale măsurandului. Eroarea aleatorie a unui rezultat de măsurare nu poate fi compensată prin vreo corecţie, dar în general poate fi redusă crescând numărul de observaţii: media statistică a sa sau media teoretică a sa este nulă.

Eroarea sistematică, ca şi eroarea aleatorie, nu poate fi eliminată, dar de multe ori poate fi micşorată. Dacă o eroare sistematică provine dintr-un efect identificat al unei mărimi de influenţă asupra rezultatului măsurării, ceea ce se poate numi în general efect sistematic, efectul poate fi cuantificat, şi dacă acesta este semnificativ ca mărime în raport cu exactitatea cerută în măsurare, se poate aplica o corecţie sau un factor de corecţie.

Incertitudinea unei corecţii aplicate unui rezultat al măsurării în vederea compensării unui efect sistematic nu este o eroare sistematică, ci reprezintă măsura

Page 6: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

incertitudinii rezultatului datorată cunoaşterii incomplete a valorii necesare a corecţiei. Eroarea provenită din compensarea imperfectă a efectului sistematic nu poate fi cunoscută exact; termenii “eroare” şi “incertitudine” trebuie utilizaţi corect şi în acest caz, făcându-se distincţia cuvenită între ei.

Se presupune că rezultatul unei măsurări a fost corectat faţă de toate efectele sistematice identificate şi că s-a încercat prin toate mijloacele identificarea acestor efecte.

De exemplu, dacă se aplică o corecţie datorată impedanţei finite a unui voltmetru utilizat pentru determinarea căderii de tensiune (măsurandul) la bornele unui rezistor de impedanţă mare (în vederea reducerii efectului sistematic asupra rezultatului provenit din efectul de sarcină al voltmetrului), valorile impedanţelor voltmetrului şi rezistorului, care sunt utilizate pentru estimarea valorii corecţiei şi care sunt obţinute din alte măsurări, sunt ele înseşi incerte. Aceste incertitudini sunt folosite pentru evaluarea componentei incertitudinii de determinare a căderii de tensiune provenită de la corecţie şi, în acest fel, de la efectul sistematic datorat impedanţei finite a voltmetrului.

Un alt exemplu: deseori mijloacele şi sistemele de măsurare sunt ajustate sau etalonate utilizând etaloane şi materiale de referinţă, în vederea eliminării efectelor sistematice; cu toate acestea, trebuie să se ţină seama de incertitudinile asociate acestor etaloane şi materiale (deci efectele sistematice nu se pot elimina complet, ci doar micşora).

Incertitudinea rezultatului unei măsurări reflectă lipsa cunoaşterii exacte a valorii măsurandului. Rezultatul unei măsurări corectat pentru efecte sistematice identificate este încă numai un estimator al valorii măsurandului datorită incertitudinii cauzate de efecte aleatorii şi corectării imperfecte a efectelor sistematice.

In practică există multe surse posibile de incertitudine într-o măsurare, care includ:

a) definiţia incompletă a măsurandului;

b) realizarea imperfectă a definiţiei măsurandului;

c) eşantionarea nereprezentativă;

d) cunoaşterea neadecvată a efectelor condiţiilor de mediu asupra măsurării sau măsurarea imperfectă a condiţiilor de mediu;

e) eroare de justeţe personală la citirea mijloacelor de măsurare analogice;

f) rezoluţia finită a mijlocului de măsurare sau pragul de discriminare;

g) valori inexacte ale etaloanelor şi materialelor de referinţă;

h) valori inexacte ale constantelor şi altor parametri obţinuţi din surse externe şi folosiţi în algoritmul reducerii datelor;

Page 7: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

i) aproximaţii şi presupuneri incorporate în metoda şi procedura de măsurare;

j) variaţii în observaţiile repetate ale măsurandului în condiţii aparent identice.

Aceste surse nu sunt în mod necesar independente, iar unele din sursele de la a) la i) pot contribui la sursa menţionată la j).

Evaluarea incertitudinii de măsurare Recomandarea INC-1 (1980) a Grupului de Lucru pentru Exprimarea

Incertitudinilor clasifică componentele incertitudinii în două categorii, pe baza metodei lor de evaluare, incertitudini de tip A şi incertitudini de tip B. Aceste categorii se referă la incertitudine şi nu sunt sinonime cu "aleatoriu" respectiv "sistematic". De exemplu, incertitudinea corecţiei unui efect sistematic identificat poate fi obţinută uneori pe baza evaluării de tip A, iar alteori pe baza unei evaluări de tip B, la fel cu incertitudinea ce caracterizează un efect aleatoriu.

Varianţa estimată u2 ce caracterizează o componentă a incertitudinii obţinută printr-o evaluare de tip A este calculată dintr-o serie de observaţii repetate şi nu este altceva decât varianţa obişnuită estimată statistic, s2. Prin urmare abaterea standard estimată u, rădăcina pătrată a lui u2, este u º s şi este numită, pentru comoditate, incertitudine standard de tip A. Pentru o componentă a incertitudinii obţinută printr-o evaluare de tip B, varianţa estimată u2 este calculată folosind informaţii disponibile, altele decât cele rezultate din evaluarea statistică a unor măsurări repetate, iar abaterea standard u astfel evaluată, este denumită incertitudine standard de tip B.

Deci o incertitudine standard de tip A se obţine cu ajutorul unei funcţii de densitate de probabilitate dedusă dintr-o repartiţie de frecvenţe observate, în timp ce o incertitudine standard de tip B se obţine dintr-o funcţie de densitate de probabilitate presupusă teoretic pe baza încrederii acordate apariţiei unui eveniment (numită frecvent şi probabilitate subiectivă). Ambele utilizează interpretări egal valabile ale probabilităţii.

Scopul clasificării în tip A şi tip B este să indice cele două modalităţi de evaluare a componentelor incertitudinii şi se face numai pentru a uşura tratarea problemei; clasificarea nu caută să indice vreo diferenţă în natura componentelor rezultate din cele două tipuri de evaluare. Ambele tipuri de evaluare se bazează pe repartiţii de probabilitate şi componentele de incertitudine provenite din amândouă sunt exprimate cantitativ prin varianţe sau abateri standard.

Pentru a satisface nevoile unor aplicaţii industriale şi comerciale, ca şi unele cerinţe în domeniul sănătăţii şi securităţii, se poate calcula o incertitudine extinsă U obţinută prin multiplicarea incertitudinii standard compuse uc cu un factor de extindere k. Scopul introducerii incertitudinii extinse U este să furnizeze un interval în jurul rezultatului măsurării care este de aşteptat să cuprindă o fracţiune mare a distribuţiei valorilor ce pot fi atribuite rezonabil măsurandului. Alegerea

Page 8: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

factorului k, care este uzual între 2 şi 3, se bazează pe probabilitatea de acoperire sau nivelul de încredere dorit pentru interval. Evaluarea incertitudinii standard Modelarea măsurării

În cele mai multe cazuri măsurandul Y nu este măsurat direct, ci se determină din N alte mărimi X1, X2, ..., XN prin relaţia funcţională

Y = f(X1, X2, ..., XN) (1) O estimaţie a măsurandului Y, notată cu y, se obţine din ecuaţia (1), pe baza

estimaţiilor x1, x2, x3,..., xN ale celor N mărimi de intrare X1, X2, ..., XN. Astfel, estimaţia de ieşire y, care reprezintă rezultatul măsurării, este dată de

y = f(x1, x2, ... , xN) (2)

Abaterea standard estimată asociată cu estimaţia de ieşire sau rezultatul măsurării y, denumită incertitudine standard compusă şi notată cu uc(y), se determină pe baza abaterilor standard estimate ale fiecărei estimaţii de intrare xi, numite incertitudini standard şi notate cu u(xi).

EXEMPLU - Dacă o tensiune V este aplicată la bornele unui rezistor dependent de temperatură, care are rezistenţa Ro la o temperatură dată to şi un coeficient liniar de temperatură a al rezistenţei, puterea P (măsurandul) disipată de rezistor la temperatura t depinde de V, Ro, α şi t după formula:

P = f(V, Ro,α,t) = V2 /Ro [1 + α (t - to)]

Evaluarea de tip A a incertitudinii standard În cele mai multe cazuri estimaţia cea mai bună μq a mediei (teoretice) a unei

mărimi q ce variază aleatoriu (o variabilă aleatorie), pentru care se dispune de n observaţii independente qk obţinute în condiţii identice de măsurare, este media aritmetică sau media q a celor n observaţii:

1

1 n

kk

q qn =

= ∑ (3)

Astfel, pentru o mărime de intrare Xi estimată din n observaţii repetate independente Xi,k, media aritmetică iX obţinută din (3) este cea care se foloseşte

drept estimaţie de intrare în ecuaţia (2), în vederea determinării rezultatului măsurării y. Restul estimaţiilor de intrare, care nu sunt evaluate din observaţii repetate, trebuie obţinute prin alte metode, aşa cum se va arăta mai departe.

Page 9: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Observaţiile individuale qk diferă între ele ca valoare datorită variaţiilor întâmplătoare ale mărimilor de influenţă, sau efectelor aleatorii. Variaţia experimentală a observaţiilor care estimează varianţa σ2 a distribuţiei de probabilitate a lui q este dată de

2 2

1

11 (( ) )

n

k kk

q qns q=

−−= ∑ (4)

Estimaţia varianţei s2 (qk ) şi rădăcina sa pătrată pozitivă s(qk ) numită abatere standard experimentală caracterizează variabilitatea valorilor observate qk sau dispersia lor în jurul mediei q .

Estimaţia cea mai bună a lui ( )2 2q nσ σ= , varianţa mediei, este dată de

2

2 ( )( ) ks qs qn

= (5)

Varianţa experimentală a mediei s2( q ) şi abaterea standard experimentală a mediei, s( q ), egală cu radicalul pozitiv al lui s2( q ) , exprimă cantitativ cât de bine estimează q speranţa matematică a lui μq şi fiecare poate fi folosită drept măsură a incertitudinii lui q .

Astfel, pentru o mărime de intrare Xi determinată pe baza a n observaţii repetate independente Xi,k, incertitudinea standard u(xi) a estimaţiei ei xi = Xi este u(Xi) = s(Xi), cu varianţa s2(Xi) calculată conform ecuaţiei (5). Pentru convenienţă, u2(Xi) = s2(Xi) şi u(Xi) = s(Xi), se numesc varianţa de tip A şi incertitudinea standard de tip A.

În figura 2 este ilustrată grafic evaluarea incertitudinii standard a unei mărimi de intrare din observaţii repetate, pe un exemplu în care numărul măsurărilor este n = 20. Sunt reprezentaţi parametrii repartiţiei teoretice (media sau expectaţia μx şi abaterea standard s) şi estimările lor [media aritmetică experi-mentală x şi abaterea standard experimentală s(xk)], precum şi incertitudinea de tip A (abaterea standard experimentală a mediei) s( x ).

Page 10: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

(a)

(b)

X_

µxµx - σ µx + σ

X_

+ s(X)_

X_

- s(X)_

X_

+ s(Xk)X_

- s(Xk)

Den

sita

tede

prob

abili

tate

Num

årde

obse

rvaþ

ii

X

X

Fig. 2. Ilustrare grafică a evaluării incertitudinii standard din obsevaţii repetate

(evaluare de tip A): (a) funcţia de repartiţie, presupusă normală; (b) histograma a n = 20 observaţii repetate. Sunt reprezentaţi parametrii repartiţiei teoretice (media sau expectaţia μx şi abaterea standard s) şi estimările lor [media aritmetică experi-

mentală x şi abaterea standard experimentală s(xk)], precum şi incertitudinea de tip A (abaterea standard experimentală a mediei) s( x )

Evaluarea de tip B a incertitudinii standard

Page 11: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Pentru o estimaţie xi a unei mărimi de intrare Xi care nu a fost obţinută pe baza unui şir de observaţii repetate, varianţa u2(xi) sau incertitudinea standard u(xi) estimată asociată poate fi evaluată prin apreciere ştiinţifică bazată pe toate informaţiile de care se dispune asupra posibilei variabilităţi a lui Xi. Ansamblul de informaţii poate include:

- date măsurate anterior; - experienţă sau cunoştinţe generale privitoare la comportarea şi proprietăţile

materialelor şi aparatelor; - specificaţii ale producătorului; - date furnizate în certificate de etalonare sau alte certificate; - incertitudini atribuite datelor de referinţă luate din manuale. Pentru convenienţă, u2(xi) şi u(xi) evaluate pe această cale sunt numite uneori

varianţa de tip B şi respectiv incertitudinea standard de tip B. In alte cazuri este posibil doar să se evalueze limite (superioară şi inferioară)

pentru Xi, în particular afirmând că "probabilitatea ca Xi să se afle în intervalul de la a- la a+ pentru toate cazurile practice este egală cu unitatea, iar probabilitatea ca Xi să se afle în afara intervalului este nulă". Dacă nu există nici o informaţie specifică despre valorile posibile ale lui Xi din interiorul intervalului, se poate presupune numai că fiecare valoare din interval este egal probabilă (distribuţie uniformă sau rectangulară a valorilor posibile). Atunci xi, speranţa matematică a lui Xi, este mijlocul intervalului, xi =(a+ – a-) /2 cu varianţa

u2(xi) = (a+ – a-)/12 (6) Dacă diferenţa dintre cele două limite a+ – a- se notează cu 2a, atunci

ecuaţia (6) devine u2(xi) = a2/3 (7) Utilizarea corespunzătoare a ansamblului de informaţii disponibile pentru o

evaluare de tip B a incertitudinii standard necesită o viziune bazată pe experienţă şi cunoştinţe generale, şi este o deprindere care se învaţă în practică. Trebuie observat că o evaluare de tip B a incertitudinii standard poate fi la fel de demnă de încredere ca şi o evaluare de tip A, mai ales în situaţia unei măsurări în care evaluarea de tip A se bazează pe un număr relativ mic de observaţii statistic independente.

EXEMPLU - Intr-un certificat de etalonare se menţionează că masa unui etalon de masă din oţel inoxidabil ms având valoarea nominală de un kilogram este 1 000,000 325 g şi că "incertitudinea acestei valori este de 240 μg, la nivelul de trei abateri standard". In acest caz, incertitudinea standard a etalonului de masă este simplu u(ms) = (240 μg)/3 = 80 μg. Aceasta corespunde unei incertitudini standard relative u(ms)/ms de 80x10-9. Varianţa estimată este u2(ms) = (80 μg)2 = 6,4×102 g2.

Incertitudinea specificată a lui xi poate fi dată ca un interval de nivel de încredere 90 %, 95 % sau 99 % şi nu ca un multiplu al abaterii standard ca mai sus. Dacă nu se indică altfel, se poate presupune că s-a folosit o distribuţie normală pentru calculul incertitudinii şi incertitudinea standard a lui xi poate fi regăsită prin împărţirea incertitudinii date ca interval cu factorul corespunzător valabil pentru

Page 12: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

distribuţia normală. Factorii ce corespund celor trei niveluri de încredere menţionate mai sus sunt: 1,64; 1,96 şi 2,58 (a se vedea tabelul nr.1).

În tabelul nr.1 este dată valoarea factorului de extindere kp care generează un interval corespunzător nivelului de încredere p în cazul unei distribuţii normale.

Tabelul nr.1 Nivelul de încredere p

% Factorul de extindere kp

68,27 1 90 1,645 95 1,960

95,45 2 99 2,576

99,73 3 EXEMPLU. Într-un certificat de etalonare se afirmă că rezistenţa unui rezistor

etalon Rs având valoarea nominală de zece ohmi este 10,000 742 Ω + 129 μ Ω la 23 oC şi că "incertitudinea specificată de 129 µ Ω defineşte un interval având nivelul de încredere de 99 procente". Incertitudinea standard a rezistorului poate fi luată ca u(Rs) = (129 μ Ω )/2,58 = 50 μ Ω , ceea ce corespunde incertitudinii standard relative u(Rs)/Rs de 5,0×10

-6. Varianţa estimată este u2(Rs) = (50 μ Ω )2 =

2,5×10-9 Ω 2.

ALTE EXEMPLE 1. Într-un manual este dată valoarea coeficientului de dilatare termică

liniară a cuprului pur la 20 oC, α20(Cu), ca fiind egală cu 16,52×10-6 oC

-1 şi se

afirmă simplu că "eroarea acestei valori nu depăşeşte 0,40×10-6 oC

-1". Bazat pe

această informaţie limitată, este rezonabil să se admită că valoarea lui α20(Cu) este cuprinsă, cu probabilitate egală, în intervalul 16,12×10-6 oC-1 şi 16,92×10-6 oC-1, şi că este foarte puţin probabil ca α20(Cu) să se afle în afara acestui interval. Varianţa acestei distribuţii dreptunghiulare simetrice a valorilor posibile ale lui α20 (Cu), cu semilărgimea a = 0,40×10-6 oC

-1, rezultă, din ecuaţia (5.7),

u2(α20 ) = (0,40×10

-6 oC-1

)2 / 3 = 53,3×10

-15 oC-2

,

iar incertitudinea standard este:

u(α20) = (0,40×10-6 oC

-1)/ 3 = 0,23×10-6 oC

-1.

2. Specificaţiile unui fabricant pentru un voltmetru digital precizează că între un an şi doi ani de la etalonarea aparatului incertitudinea acestuia în gama de 1 V este de 14×10-6 din valoarea indicată plus 2×10-6 din valoarea gamei (domeniului). Se consideră că aparatul este utilizat la 20 de luni după etalonare pentru a măsura o diferenţă de potenţial U, în gama de 1 V, iar media aritmetică a unui număr de

Page 13: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

observaţii repetate independente ale lui U este 0,928 571 VU = cu o incertitudine standard de tip A u(U ) = 12 μV. Incertitudinea standard conform cu specificaţiile fabricantului poate fi determinată printr-o evaluare de tip B admiţând că incertitudinea specificată prevede limite simetrice pentru o corecţie aditivă a lui U , adică ∆U , cu media teoretică egală cu zero şi cu o egală probabilitate de a se afla oriunde în interiorul limitelor. Semilărgimea a a distribuţiei dreptunghiulare simetrice a valorilor lui ∆U este a = (14×10-6)×(0,928 571 V) + (2×10-6) ×(1V) = 15 μV, iar din ecuaţia (7.7) rezultă că u2(∆U ) = 75 μV şi u(∆U ) = 8,7 μV. Estimaţia valorii măsurandului U, notată pentru simplificare cu acelaşi simbol U, este U = U + ∆U = 0,928 571 V ± 15 μV. Incertitudinea standard compusă a acestei estimaţii poate fi obţinută prin compunerea incertitudinii standard de tip A a lui U , egală cu 12 μV, cu incertitudinea standard de tip B a lui ∆U , egală cu 8,7 μV.

Determinarea incertitudinii standard compuse (a) Mărimi de intrare necorelate

Aici este tratat mai întâi cazul în care toate mărimile de intrare sunt independente.

Incertitudinea standard a lui y, unde y este estimaţia măsurandului Y şi astfel rezultatul măsurării, se obţine combinând în mod adecvat incertitudinile standard ale estimaţiilor de intrare, x1, x2, ... , xN . Această incertitudine standard compusă a estimaţiei y se notează cu uc(y).

Incertitudinea standard compusă uc(y) este rădăcina pătrată pozitivă a varianţei compuse uc

2(y), care este dată de

( )2

2 2

1( )

N

c ii i

f u xx

u y=

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

= ∑ (8)

unde f este funcţia din ecuaţia (1). Fiecare u(xi) este o incertitudine standard evaluată după cum s-a arătat mai sus, printr-o evaluare de tip A sau printr-o evaluare de tip B. Incertitudinea standard combinată uc(y) este o abatere standard estimată şi caracterizează dispersia valorilor care pot fi rezonabil atribuite măsurandului Y.

Ecuaţia (8) şi corespondenta ei pentru mărimi de intrare corelate, (11), ambele bazate pe o aproximare printr-o serie Taylor de ordinul întâi a lui Y = f (X1, X2,... XN), exprimă ceea ce se numeşte în general legea de propagare a incertitudinii.

Derivatele parţiale / if x∂ ∂ din ecuaţia (5.10) caracterizează “sensibilitatea” lui y faţă de variaţia fiecărui xi şi se numesc coeficienţi de sensibilitate. Cu notaţia:

Page 14: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

ii

fcx

∂∂

= (5.11)

ecuaţia (5.10) se mai scrie:

( ) ( )2 2 2

1

N

C i ii

u y c u x=

= ∑

Dacă Y este de forma 1 21 2 ... Npp p

NY cX X X= şi exponenţii pi sunt numere pozitive sau negative cunoscute ce au incertitudini neglijabile, varianţa compusă exprimată de ecuaţia (8) poate fi dată sub forma

(a)

(b)

µx

µx

Den

sita

tede

prob

abili

tate

Den

sita

tede

prob

abili

tate

X

X

a+

a+

a-

a-

µx - a/ 3

µx - a/ 6

µx + a/ 3

µx + a/ 6

a

a

1/2a

1/a

a

a

Fig. 3. Ilustrare grafică a evaluării incertitudinii standard pe baza unei repartiţii apriorice

(evaluare de tip B): (a) repartiţie dreptunghiulară (echiprobabilă); (b) repartiţie triunghiulară. Sunt reprezentate

media μx şi abaterea standard a3½ (pentru repartiţia dreptunghiulară) şi respectiv a6½ (pentru repartiţia triunghiulară)

Page 15: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

( ) ( ) 22

1

Ni ic

i i

p u xu yy x=

⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ (9)

Aceasta este o formă mai simplă decât (8), foarte frecvent folosită în practică, în care varianţa compusă uc

2(y) este înlocuită prin varianţa compusă relativă [uc(y)/y]2 şi varianţa estimată u2(xi) a fiecărei estimaţii de intrare prin varianţa relativă estimată [u(xi)/xi]2.

Dacă fiecare pi este +1 sau -1, ecuaţia (9) devine

( ) ( ) 22

1

Nic

i i

u xu yy x=

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ∑ (10)

care arată că în acest caz special varianţa compusă relativă asociată cu estimaţia y este simplu egală cu suma varianţelor relative estimate asociate cu estimaţiile de intrare xi.

(b) Mărimi corelate Ecuaţia (8) şi cele deduse din ea, ca (9) şi (10), sunt valabile numai dacă

mărimile de intrare Xi sunt independente şi necorelate. Dacă vreunele dintre mărimile Xi sunt corelate semnificativ, corelaţiile trebuie luate în considerare.

Când mărimile de intrare sunt corelate, expresia potrivită pentru varianţa combinată uc

2(y) a rezultatului măsurării este

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

2 2 2

1 1 12

N N N

C i i i j i j i ji i j

u y c u x c c u x u x r x x−

= = =

= +∑ ∑∑ (11)

unde xi şi xj sunt estimaţiile lui Xi şi Xj iar u(xi, xj) = u(xj, xi) este covarianţa estimată asociată cu xi şi xj. Gradul de corelaţie între xi şi xj este caracterizat de coeficientul de corelaţie:

( )cov ,i ji j

i ji j

i j

x xu(x ,x )r(x ,x )

u(x )u(x ) x xσ σ= = (12)

unde r(xi, xj) = r(xj, xi) şi -1 £ r(xi, xj) £ +1. Dacă estimaţiile xi şi xj sunt independente, r(xi, xj) = 0 şi o variaţie a unuia nu implică o variaţie a celuilalt.

În funcţie de coeficienţii de corelaţie, care se interpretează mai direct decât covarianţele, termenul de covarianţă al ecuaţiei (11) poate fi scris astfel:

1

1 1

2 ( ) ( ) ( , )N N

i j i

f f u x u x r x xi j i jx xi j

∂ ∂∂ ∂

= = +∑ ∑ (13)

Prin urmare, ecuaţia (11) poate fi pusă şi sub forma

Page 16: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

1

2 22

1 1 1

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( , )N N N

c i i i j i j i ji i j i

u y c u x c c u x u x r x x−

= = = +

= +∑ ∑ ∑

(14) In cazul special în care toate estimaţiile de intrare sunt corelate, cu coeficienţii

de corelaţie r(xi,xj) = + 1, ecuaţia (16) se reduce la

( ) ( ) ( )22

2

1 1

N N

C i i ii i i

fu y c u x u xx

∂∂= =

⎡ ⎤⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ (15)

Incertitudinea standard combinată uc(y) este în acest caz chiar suma liniară a termenilor reprezentând variaţia estimaţiei de iesire y generată de incertitudinea standard a fiecarei estimaţii de intrare xi .

Intre două mărimi de intrare poate exista totdeauna o corelaţie semnificativă dacă se foloseşte acelaşi aparat de măsurat, acelaşi etalon sau aceeaşi mărime de referinţă în determinarea lor. De pildă, dacă pentru aplicarea corecţiei de temperatură la estimarea a două mărimi de intrare Xi şi Xi se foloseşte acelaşi termometru, cele două mărimi de intrare pot fi corelate semnificativ. În schimb, dacă Xi şi Xj din acest exemplu sunt redefinite ca mărimi necorectate, iar mărimile care definesc curba de etalonare a termometrului sunt adăugate ca mărimi de intrare suplimentare cu incertitudini standard independente, corelaţia dintre Xi şi Xj va fi eliminată.

Corelaţiile între mărimile de intrare nu pot fi ignorate dacă există şi sunt semnificative. Covarianţele asociate trebuie evaluate experimental dacă e posibil, prin varierea mărimilor de intrare sau folosind toată informaţia de care se dispune despre variabilitatea corelată a mărimilor în chestiune. Evaluarea de tip B a covarianţei necesită abilitate bazată pe experienţă şi cunoştinţe generale, în special atunci când se estimează gradul de corelaţie între mărimi de intrare ce apare ca rezultat al efectelor mărimilor de influenţă comune, cum ar fi temperatura mediului ambiant, presiunea atmosferică şi umiditatea. Din fericire însă, în multe cazuri efectele unor asemenea influenţe au o interdependenţă neglijabilă şi mărimile de intrare afectate pot fi presupuse necorelate. Totuşi, dacă ele nu pot fi considerate necorelate, corelaţiile în sine pot fi evitate dacă influenţele comune sunt introduse ca mărimi de intrare independente suplimentare (aşa cum s-a exemplificat mai sus).

EXEMPLU. Zece rezistoare, fiecare având rezistenţa nominală Ri = 1000 Ω, sunt etalonate, cu o incertitudine de comparare neglijabilă, în funcţie de acelaşi rezistor etalon Rs de 1000 Ω, caracterizat, conform certificatului său de etalonare, printr-o incertitudine standard u(Rs) = 100 mΩ. Rezistoarele sunt legate în serie cu conductoare de rezistenţă neglijabilă, pentru a se obţine o rezistenţă de referinţă Rref

cu valoarea nominală de 10 kΩ. Astfel Rref = f(Ri) =10

1i

i

R=∑ . Întrucât r(xi, xj) = r(Ri,

Rj) = + 1 pentru fiecare pereche de rezistoare, este aplicabilă ecuaţia (5.16).

Page 17: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Deoarece pentru fiecare rezistor i ref i f/ x R / R 1∂ ∂ ∂ ∂= = , iar u(xi) = u(Ri) = u(Rs), ecuaţia respectivă dă pentru incertitudinea standard compusă a lui Rref,

( )10

110 (100 m ) 1sc ref i

)(u R u R=∑= = × Ω = Ω .

Rezultatul ( ) ( )1

10 22

1

0,32C ref Si

u R u R=

⎡ ⎤= = Ω⎢ ⎥⎣ ⎦∑ care s-ar obţine din

ecuaţia (5.10) este incorect, deoarece el nu ţine seama de faptul că toate valorile etalonate ale celor zece rezistoare sunt corelate.

Determinarea incertitudinii extinse Recomandarea INC-1 (1980) a Grupului de lucru pentru exprimarea

incertitudinilor prevede folosirea incertitudinii standard combinate uc(y) ca un parametru ce exprimă cantitativ incertitudinea rezultatului unei măsurări. Cu toate că uc(y) poate fi folosit universal pentru exprimarea incertitudinii unui rezultat de măsurare, în anumite aplicaţii comerciale, industriale şi normative, precum şi în domeniul sănătăţii şi securităţii este, deseori, nevoie să se dispună de un indicator al incertitudinii care oferă un interval în jurul rezultatului măsurării care este de aşteptat să cuprindă o mare parte a repartiţiei valorilor ce pot fi rezonabil atribuite măsurandului. Incertitudinea extinsă

Această măsură adiţională de incertitudine, care satisface cerinţa de a oferi un "interval de încredere" relativ mare, este denumită incertitudine extinsă (numită anterior şi incertitudine globală) şi se notează cu U. Incertitudinea extinsă U se obţine înmulţind incertitudinea standard combinată uc(y) cu un factor de extindere k: U = k uc(y) (16)

Astfel, rezultatul unei măsurări se exprimă convenabil ca Y = y ± U, ceea ce se interpretează astfel: cea mai bună estimaţie a măsurandului Y este y iar intervalul definit de y – U şi y + U este un interval care este de aşteptat să cuprindă o mare parte a repartiţiei valorilor ce pot fi rezonabil atribuite lui Y. Un asemenea interval este, de asemenea, exprimat ca y – U < Y < y + U .

Intervalul U poate fi interpretat ca definind un interval în jurul rezultatului măsurării care cuprinde o fracţiune mare p a repartiţiei de probabilitate caracterizată de rezultatul măsurării şi de incertitudinea standard compusă a sa, unde p este probabilitatea de acoperire sau nivelul de încredere al intervalului.

Page 18: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

De câte ori este posibil, nivelul de încredere p asociat cu intervalul definit de U trebuie estimat şi raportat. Trebuie însă recunoscut că multiplicarea lui uc(y) cu o constantă nu oferă vreo informaţie nouă, el prezintă doar aceeaşi informaţie disponibilă sub o altă formă. Pe de altă parte, trebuie de asemenea recunoscut că în multe cazuri nivelul de încredere p (în special pentru valori ale lui p apropiate de 1) este destul de incert, nu numai din cauza cunoaşterii limitate a repartiţiei de probabilitate caracterizate prin y şi uc(y) (mai ales în porţiunile extreme), dar şi din cauza incertitudinii lui uc(y) în sine.

Alegerea factorului de extindere

Valoarea factorului de extindere k este aleasă pe baza nivelului de încredere dorit pentru intervalul de la y – U la y + U. În general, k este cuprins între 2 şi 3. Pentru aplicaţii speciale însă factorul de extindere poate fi în afara acestui interval. O oarecare experienţă şi cunoaşterea bună a utilizărilor posibile ale rezultatului măsurării pot facilita alegerea unei valori potrivite a lui k.

Recomandarea INC-1 (1980) nu specifică cum trebuie stabilită relaţia dintre k şi p. O metodă mai simplă este deseori adecvată în situaţii în care repartiţia de probabilitate caracterizată prin y şi uc(y) este apropiată de cea normală şi numărul de grade de libertate efectiv al lui uc(y) este destul de mare. In acest caz, care survine deseori în practică, se poate admite că luând k = 2 intervalul va avea nivelul de încredere de aproximativ 95%, iar luând k = 3 intervalul va avea nivelul de încredere de aproximativ 99%.

Multe lucrări normative, ghiduri şi proceduri adoptate în ultimul timp pe plan naţional şi internaţional recomandă – pentru simplificare – valoarea k = 2 fără condiţionări sau limitări.

Exprimarea incertitudinii

In general, pe măsură ce se urcă în ierarhia măsurărilor, sunt necesare din ce în ce mai multe detalii despre modul în care s-a obţinut un rezultat al măsurării şi s-a determinat incertitudinea lui. Cu toate acestea, la orice nivel al acestei ierarhii, incluzând comerţul, ingineria în industrie, etalonări la niveluri inferioare, cercetare şi dezvoltare industrială, cercetare academică, laboratoare industriale de etalonare, laboratoare naţionale de etaloane şi BIPM, toate informaţiile necesare pentru reevaluarea măsurării trebuie să fie disponibile pentru cei care pot avea nevoie de ele. La niveluri inferioare ale lanţului ierarhic al măsurărilor, cea mai mare parte a informaţiei necesare este de obicei furnizată prin rapoarte de etalonare şi de încercare publicate, specificaţii de încercare, certificate de etalonare şi de încercare, manuale de pregătire, standarde internaţionale, standarde naţionale şi reglementări locale.

In comerţ şi în industrie se fac zilnic un număr mare de măsurări fără vreo raportare explicită a incertitudinii. Totuşi, multe din aceste măsurări sunt efectuate

Page 19: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

cu aparate etalonate periodic sau care sunt sub incidenţa metrologiei legale. Dacă aparatele satisfac cerinţele prescripţiilor şi ale normelor existente, incertitudinile indicaţiilor lor pot fi preluate din aceste specificaţii sau documente normative.

În general, cantitatea de informaţie necesară pentru documentarea temeinică a unui rezultat de măsurare depinde de destinaţia acestuia. În acest scop, în cazul măsurărilor de importanţă mare (în cercetare, determinări de constante fizice, etaloane naţionale, etc.) este necesar:

a) să se descrie clar metodele folosite pentru estimarea rezultatului măsurării şi a incertitudinii sale, din observaţiile experimentale şi din datele de intrare;

b) să se enumere toate componentele incertitudinii şi să se documenteze complet cum a fost evaluată fiecare;

c) să se prezinte analiza datelor în aşa fel încât fiecare pas important să poată fi urmărit uşor şi calculul rezultatului raportat să se poată reface în caz de nevoie, în mod independent;

d) să se dea toate corecţiile semnificative şi constantele utilizate, precum şi sursele acestora.

În practică, se întâlnesc două moduri distincte de consemnare a incertitudinii de măsurare: prin incertitudinea standard combinată uc(y), sau prin incertitudinea extinsă U.

(i) Dacă măsura incertitudinii este incertitudinea standard combinată, uc(y), este necesar:

a) să se dea o descriere completă a definirii măsurandului Y; b) să se dea estimatia y a măsurandului şi incertitudinea standard compusă a

sa uc(y); unităţile lui y şi ale lui uc(y); c) să se includă şi incertitudinea standard combinată relativă uc(y)/|y|, y ≠ 0,

atunci când este cazul. Când măsura incertitudinii este uc(y), este de preferat ca rezultatul numeric al

măsurării să fie formulat într-unul din următoarele patru feluri posibile, pentru a evita confuziile (în exemplul care urmează, mărimea a cărei valoare este raportată se consideră a fi masa unui etalon de valoare 100 g; cuvintele dintre paranteze pot fi omise, pentru simplificare, dacă uc este definit în altă parte a documentului de raportare a rezultatului):

1) "ms = 100,021 47 g cu (incertitudinea standard) uc = 0,35 mg."

2) "ms = 100,021 47(35) g, unde numărul între paranteze este valoarea numerică a (incertitudinii standard combinate) uc, exprimată în cifre de acelaşi rang cu ultimele cifre ale rezultatului dat."

3) "ms = 100,021 47(0,00 35) g, unde numărul între paranteze este valoarea numerică a (incertitudinii standard combinate) uc exprimată în aceleaşi unităţi ca şi rezultatul dat."

4) "ms = (100,002 47 ± 0 000 35) g, unde numărul după semnul ± este valoarea numerică a (incertitudinii standard combinate) uc şi nu un interval de încredere."

Page 20: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Trebuie observat că formatul ± poate da naştere la confuzii, deoarece el a fost utilizat tradiţional pentru a indica un interval corespunzător unui nivel de încredere înalt şi astfel ar putea fi interpretat ca semnificând o incertitudine extinsă. De aceea, menţiunea de la 4) este necesară, pentru a preveni o asemenea confuzie sau, mai bine, formularea 4) trebuie evitată.

(ii) Când măsura incertitudinii este incertitudinea extinsă U = k uc, trebuie date:

a) definiţia completă a măsurandului Y; b) rezultatul sub forma y = Y ± U , cu indicarea unităţilor lui y şi U; c) incertitudinea extinsă relativă U/|y|, y ≠ 0, când este cazul; d) valoarea lui k utilizată la obţinerea lui U [sau, pentru comoditatea

utilizatorului rezultatului, incluse atît k cât şi uc(y)]; e) nivelul de încredere aproximativ asociat cu intervalul y ± U , menţionând

cum a fost determinat.

Sumar al procedurii de evaluare şi exprimare a incertitudinii

Paşii de urmat pentru evaluarea şi exprimarea incertitudinii rezultatului unei măsurări, conform ghidului ISO, pot fi rezumaţi după cum urmează.

1 Se exprimă matematic relaţia dintre măsurandul Y şi mărimile de intrare Xi de care depinde acesta: Y = f (X1, X2, ... , XN). Funcţia f trebuie să conţină toate mărimile, inclusiv corecţiile şi factorii de corecţie, care pot contribui semnificativ la incertitudinea rezultatului măsurării.

2 Se determină xi, valoarea estimată a mărimii de intrare Xi , fie pe baza analizei statistice a unei serii de observaţii, fie prin alte mijloace.

3 Se evalueaza incertitudinea standard u(xi) a fiecărei estimaţii de intrare xi. Pentru aceasta, se face o analiză statistică a unor serii de observaţii (evaluare de tip A a incertitudinii standard), şi respectiv se estimează abaterile standard ale mărimilor xi prin alte mijloace, pe baza altor informaţii disponibile (evaluare de tip B a incertitudinii standard).

4 Se evaluează covarianţele asociate cu acele estimaţii între care există corelaţii semnificative.

5 Se calculează rezultatul măsurării, adică estimaţia y a măsurandului Y, pe baza relaţiei funcţionale f, utilizând pentru mărimile de intrare Xi estimaţiile xi obţinute la pasul 2 de mai sus.

6 Se determină incertitudinea standard compusă uc(y) a rezultatului măsurării y, din incertitudinile standard asociate şi eventualele covarianţe asociate estimaţiilor de intrare.

7 Dacă este necesar să se dea o incertitudine extinsă U, al cărei scop este să ofere un interval între y–U şi y+U care este de aşteptat să cuprindă o fracţiune mare a repartiţiei valorilor ce pot fi rezonabil atribuite măsurandului Y, se multiplică incertitudinea standard compusă uc(y) cu un factor de extindere k, având

Page 21: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

valori tipice între 2 şi 3, pentru a se obţine U = k uc(y). Valoarea lui k se alege pe baza nivelului de încredere dorit al intervalului.

8 Se raportează rezultatul măsurării y împreună cu incertitudinea standard combinată a sa uc(y) sau cu incertitudinea extinsă U, utilizând unul din formatele recomandate.

Exemplu recapitulativ Un aparat etalon de referinţă este etalonat la valoarea nominală 20 diviziuni

(div), folosindu-se un etalon secundar. Pentru etalonare se efectuează 10 măsurări, în condiţii practic identice, obţinându-se următoarele indicaţii ale etalonului secundar (în div): Tabelul 1

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi 20,07 20,08 20,08 20,03 20,04 20,01 20,01 20,08 20,07 20,03

Distribuţia valorilor măsurandului este omogenă şi nu există valori aberante. Cunoscute: 1. valorile indicate de etalon sunt date cu o incertitudine de 0,03 div; 2. influenţa temperaturii introduce o incertitudine de 0,04 div; 3. incertitudinea de măsurare a două din caracteristicile comune ale

etaloanelor, care se găsesc în corelaţie, coeficientul de corelaţie fiind +1, este (pentru fiecare din caracteristici) egală cu 0,02 div (toate incertitudinile sunt date la nivel de 1σ).

Se vor determina: a) corecţia etalonului în punctul etalonat; b) eroarea de repetabilitate pentru un nivel de încredere P = 95 %;, c) incertitudinea compusă de etalonare; d) rezultatul etalonării etalonului de referinţă.

Determinarea parametrilor x şi sx:

Tabelul 2

i xi (div) xi – x (xi – x )2

1

2

3

20,07

20,08

20,08

0,02

0,03

0,03

0,0004

0,0009

0,0009

Page 22: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

4

5

6

7

8

9

10

20,03

20,04

20,01

20,01

20,08

20,07

20,03

-0,02

-0,01

-0,04

-0,04

0,03

0,02

-0,02

0,0004

0,0001

0,0016

0,0016

0,0009

0,0004

0,0004

Σ xi =200,5 Σ(xi – x ) = 0 Σ(xi – x )2 = 0,0076

x = 200,5/10 = 20,05 div sx = 0,029 » 0,03 div

( )

2

1 0,0076 0,03 div9 9

n

ii

x

x xs =

−= = =

a) Eroarea sistematică de indicaţie a etalonului de referinţă este: ∆xet.sec = 20 - 20,05 = - 0,05 div Corecţia etalonului de referinţă este: cet.sec = - ∆xet.sec = 0,05 div b) Eroarea de repetabilitate este: ±2sx = ±2 ×0,03 = ±0,06 div. c) Incertitudinea compusă uc este dată de relaţia:

uc2 = uA

2 + uB2

unde: uA este incertitudinea standard de tip A uB, incertitudinea standard de tip B. Incertitudinea standard de tip A este:

A0,03 0,01 div

10xunss= = = =

Incertitudinea standard de tip B este:

6

2B

1( ) 2i i ij i j

iu f rσ σ σ σ

=

= = +∑

unde σi sunt abateri standard la nivel de 1σ σ = σdin certificatul etalonului secundar = 0,03 div σ

2 = 0,0009

Page 23: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

σ2 = σinfluenţa temperaturii = 0,04 div σ2

2 = 0,0016 σ3 = σprima variabilă corelată = 0,02 div σ3

2= 0,0004 σ4 = σa doua variabilă corelată = 0,02 div σ4

2= 0,0004

4

2B 3,4 3 4

1

2ii

u rσ σ σ=

= +∑

( )4

B1

0,0009 0,0016 0,0004 0,0004 2 0,02 0,02 0,06 divi

u=

= + + + + × × =∑

Incertitudinea compusă de etalonare este:

2 2 2 2A B 0,01 0,06 0,06 divcu u u= + = + =

Rezultatul etalonării este:

x = 20,00 + 0,05 ± 0,06 = (20,05 ± 0,06) div

Page 24: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Bibliografie

[1] Guide to the expression of uncertainty in measurement, ISO / BIPM / IEC / IFCC / ISO / IUPAC / IUPAP / OIML, ediţia a I-a, 1993

[2] CIPM (1980), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 48, C1-C30; BIPM (1980), Rapport BIPM-80/3, Report on the BIPM enquiry on error statements, Bur. Intl. Poids et Mesures (Sèvres, France)

[3] Kaarls, R. (1981), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49. Metrologia 17, 73-74

[4] CIPM (1981), BIPM Proc.-Verb. Com. Int. Poids et Mesures 49, 8-9, 26 ; Giacomo, P. (1982), Metrologia 18, 43-44

[5] CIPM (1986), BIPM Proc.-Verb. Com.Int. Poids et Mesures 54, 14, 35; Giacomo, P. (1982), Metrologia 24, 49-50

[6] Guidelines for the expression of the uncertainty of measurement in calibrations, WECC Document 19-1990

[7] Grundbegriffe der Messtechnik. Behandlung von Unsicherheiten bei der Auswertung von Messungen. Deutsche Norm DIN 1319, Teil 4, Berlin, 1985

[8] Taylor, B. N., Kuyatt, C. E., Guidelines for evaluating and expressing the uncertainty of NIST measurement results, NIST Technical Note 1297, 1994 Edition

[9] The expression of uncertainty and confidence in measurements, NIS 3003, Edition 7, NAMAS, 1991

[10] International vocabulary of basic and general terms în metrology, ediţia a II-a, ISO, 1993 (versiunea în limba română: SR 13 251, Vocabular internaţional de termeni fundamentali şi generali în metrologie, ediţia a I-a, 1995)

Page 25: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Recomandarea INC - 1 (1980) Exprimarea incertitudinilor experimentale

1. Incertitudinea rezultatului unei măsurări cuprinde, în general, mai multe componente care pot fi grupate în două categorii, în funcţie de metoda utilizată pentru a estima valoarea lor numerică:

A. cele care sunt evaluate cu ajutorul metodelor statistice,

B. cele care sunt evaluate prin alte mijloace.

Nu există întotdeauna o corespondenţă simplă între clasificarea în categoriile A sau B şi caracterul "aleatoriu" sau "sistematic" utilizat anterior pentru a clasifica incertitudinile. Termenul "incertitudine sistematică" poate duce la confuzii şi trebuie evitat.

Orice raportare detaliată a incertitudinii trebuie să conţină o listă completă a componentelor şi să indice la fiecare dintre ele metoda utilizată pentru obţinerea valorii ei numerice.

2. Componentele din categoria A sunt caracterizate prin varianţele estimate si2 (sau "abaterile standard" estimate si) şi numărul de grade de libertate νi. După caz, trebuie date şi covarianţele.

3. Componentele din categoria B trebuie să fie caracterizate prin mărimile uj2 care pot fi considerate ca aproximaţii ale varianţelor corespunzătoare, a căror existenţă este admisă. Mărimile uj2 pot fi tratate ca varianţe, iar mărimile uj ca abateri standard. După caz, covarianţele trebuie tratate similar.

4. Incertitudinea combinată trebuie caracterizată prin valoarea numerică obţinută aplicînd metoda uzuală de combinare a varianţelor. Incertitudinea combinată şi componentele sale trebuie exprimate sub formă de "abateri standard".

5. Dacă, pentru utilizări particulare, este necesar ca incertitudinea combinată să fie multiplicată cu un factor, în scopul obţinerii unei incertitudini globale (extinse, n.n.), valoarea numerică a acestui factor trebuie întotdeauna dată.

Page 26: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Cu privire la măsurand, valoare (adevărată), eroare, incertitudine

Procesul de măsurare

Măsurarea poate fi privită ca un proces în care intervin, ca elemente esenţiale (figura 4):

• obiectul supus măsurării (pe scurt, obiect), şi • aparatul de măsurat, instalaţia sau sistemul de măsurare (pe scurt, aparat).

Mărimi de influenţă

O b iec t s u p u s măs u ră r i i

Aparatde măsurat

Interacţiune

Metodă de măsurareProcedură de măsurareMăs u r a n d Rezultat a l

măsurării

Fig. 4. Elementele esenţiale care intervin în procesul de măsurare

Aparatul şi obiectul se află într-o interacţiune, în urma căreia se produce un

transfer de energie şi un transfer de informaţie, numită informaţie de măsurare. Procesul de măsurare este caracterizat prin metoda de măsurare şi prin

procedura de măsurare. Obiectul are mai multe proprietăţi fizice (sau chimice), descrise prin mărimi

fizice (chimice). Una din acestea constituie măsurandul (mărimea de măsurat). Aparatul furnizează (direct sau indirect) rezultatul măsurării, care reprezintă o

estimare (aproximare) a valorii (adevărate a) măsurandului. Întregul proces de măsurare se desfăşoară în prezenţa influenţei unor factori

exteriori (proveniţi de la mediul ambiant, de la obiect sau chiar de la aparat), care generează mărimi de influenţă.

Page 27: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

Acest tablou prezintă importanţă deoarece el sugerează cel mai bine principalele surse ale incertitudinii de măsurare: obiectul, aparatul, interacţiunea obiect-aparat, metoda (procedeul) de măsurare şi mărimile de influenţă.

Măsurandul Primul pas în efectuarea unei măsurări este specificarea măsurandului,

împreună cu toate condiţiile de măsurare şi cu mărimile de influenţă. De exemplu, la măsurarea diametrului unei piese cilindrice trebuie precizată, pe lângă condiţiile de mediu care pot avea o influenţă (în primul rând, tremperatura), şi orientarea diametrului măsurat (deoarece secţiunea nu este perfect circulară), sau eventual trebuie menţionat că se cere diametrul mediu. Desigur, o definire completă a măsurandului este, riguros vorbind, imposibilă. Cu cât măsurandul este mai incomplet definit, cu atât incertitudinea rezultatului va putea fi afectată mai mult de componentele provenite de aici.

În mod ideal, mărimea măsurată corespunde integral definiţiei măsurandului. Deseori, însă, ceea ce se măsoară nu coincide cu mărimea ideală, ci este doar o aproximare a acesteia.

Rezultatul măsurării Un rezultat brut al măsurării trebuie să fie corectat, ţinând seama de toate

influenţele cunoscute şi determinate. În felul acesta se ajunge la cea mai bună estimare a valorii măsurandului. Ea este însă în continuare imperfectă, în principal din următoarele motive: (a) corecţiile aplicate au ele însele anumite incertitudini, datorite necunoaşterii exacte a valorii mărimilor de influenţă şi a coeficienţilor de sensibilitate respectivi; (b) pot exista şi alte efecte sistematice neevaluate şi deci necorectate; (c) rezultatul este influenţat şi de efecte aleatoii, care nu pot fi corectate. La acestea se adaugă şi incertitudinea datorită definirii incomplete a măsurandului, aşa cum s-a arătat mai sus.

Valoare "adevărată", eroare În ghidul ISO se accentuează că valoarea "adevărată" a unui măsurand este un

concept idealizat şi se recomandă ca el să nu fie folosit. Nu pot fi cunoscute decât estimaţii ale acestei valori.

Prin urmare, nici eroarea (de măsurare) nu poate fi cunoscută, ci doar evaluată. În general, trebuie făcută distincţie clară între "eroare" şi "incertitudine". Utilizarea în practică a conceptului de "eroare" este justificată numai în anumite situaţii bine precizate. Astfel, se întâmplă frecvent, în special în metrologia legală, ca un mijloc de măsurare să fie comparat cu un etalon, în aşa fel încât incertitudinile asociate etalonului şi procedurii de comparaţie să fie neglijabile faţă de exactitatea cerută pentru caracterizarea obiectului testat (de exemplu, la verificarea unei balanţe comerciale cu ajutorul unei greutăti etalon). În asemenea cazuri, întrucât incertitudinile componente care intervin sunt destul de mici pentru

Page 28: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

a putea fi ignorate, se poate considera că prin această măsurare se determină eroarea aparatului testat.

Incertitudine Aşa cum s-a mai subliniat, valorile exacte ale contribuţiilor erorilor la

rezultatul unei măsurări sunt necunoscute şi incognoscibile. În schimb, incertitudinile asociate efectelor aleatorii şi celor sistematice, care dau naştere erorilor, pot fi evaluate.

Incertitudinea unei măsurări poate fi privită ca expresie a faptului că, pentru un măsurand dat şi un rezultat al măsurării obţinut, există nu una ci o infinitate de valori dispersate în jurul rezultatului – compatibile cu toate observaţiile şi datele de intrare ale măsurării – care pot fi atribuite cu diferite grade de credibilitate măsurandului.

Ilustrare grafică În figura 5 sunt reprezentate câteva din ideile discutate aici. Prima coloană

conţine mărimile mai importante care intervin în cursul evaluării şi exprimării incertitudinii de măsurare. În a doua coloană sunt reprezentate grafic (dar nu la scară) valorile observate şi respectiv atribuite în diferite etape ale evaluării, precum şi unele valori idealizate (incognoscibile). În a treia coloană sunt figurate (tot fără a respecta o scară), prin segmente, varianţele (pătratele incertitudinilor standard) rezultate în aceleaşi etape; se observă că varianţele corespunzătoare unor efecte cumulative se însumează (în ipoteza că efectele sunt necorelate).

Page 29: 61631940 Evaluarea Incertitudinii de Masurare

M ă r i m e a V a l o a r e a Va r i a n ţ a

g ) V a l o r i a l e m ă s u r a n d u l u i d a t o r i t e d e f i n i r i i s a l e i n c o m p l e t e ( n e c u n o s c u t e )

h ) R e z u l t a t u l f i n a l a l m ă s u r ă r i i

(obse r v a ţ i e i n d i v i d u a l ă )

(me d i a a r i t m e t i c ă )

(nu i n c l u d e v a r i a n ţ a datorit ă d e f i n i r i i i n c o m p l e t e

a mă s u r a n d u l u i )

Fig. 5. Ilustrare grafică a valorilor măsurate, valorii (adevărate), erorii şi

incertitudinii