PROBABILITAS BERSYARAT

Oke Oktavianty, S.Si., MT

CONTOH KASUS:Pendukung sebuah klub juara bertahan memperkirakan bahwa klub mereka akan menjadi juara tahun ini

Disebut probabilitas awalprior probability”

Setelah kompetisi berlangsung selama 6 bulan, ternyata klub mereka menderita banyak kekalahan. Kini, mereka harus merevisi probabilitas yang sudah ada, dengan membuat probabilitas yang lebih baik menggunakan informasi tambahan yang dimiliki

Disebut probabilitas revisi “posterior probability”

PELUANG BERSYARAT

• Peluang terjadinya kejadian B jika diketahui suatu kejadian lain A telah terjadi

Sebuah penerbangan reguler berangkat tepat pada waktunya adalah P(B) = 0,83. Peluang penerbangan itu mendarat tepat pada waktunya adalah P (A) = 0,92 dan peluang penerbangan itu berangkat dan mendarat tepat pada waktunya adalah P(AB) = 0,78. Hitung peluang suatu pesawat pada penerbangan tersebut :

mendarat pada waktunya jika diketahui bahwa pesawat itu berangkat tepat pada waktunya

berangkat pada waktunya jika diketahui bahwa pesawat tersebut mendarat tepat waktu.

CONTOH:

Jawab:Peluang pesawat mendarat tepat waktu bila diketahui pesawat tersebut berangkat tepat waktu adalah :

P (AB) P(A/B) = P (A) 0.78 P(B/A) = 0.83 = 0.94

(B)

Peluang pesawat berangkat tepat waktu bila diketahui pesawat tersebut mendarat tepat waktu adalah :

P (AB) P(B/A) = P (A)

0.78

P(B/A) = 0.92 = 0,85

7

Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat

SMU di suatu kota tertentu dikelompokan menurut jenis kelamin dan

status bekerja seperti dalam tabel berikut:Bekerja Tdk bekerja Jumlah

Laki-lakiWanita

460140

40260

500400

Jumlah 600 300 900

Populasi Orang Dewasa Telah Tamat SMU

Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak dalam usaha penggalakan kota tersebut sebagai obyek wisata keseluruh negeri. Berapa probabilitas lelaki yang terpilih ternyata berstatus bekerja?

CONTOH:

8

Jawab:Misalkan ;

- E = orang yang terpilih berstatus bekeja

- M = Lelaki yang terpilih

Probabilitas lelaki yang terpilih ternyata berstatus bekerja adalah

Dari tabel diperoleh: &

Jadi:

P(M E)P(M/E)

P(E)

600 2900 3

P(E) 460 23900 45

P(M E)

2330

23 45

2 3

/P(M/E)

/

Jadi:Apabila terdapat suatu kondisi dimana probabilitas P(A/B) menjadi bernilai sama dengan P(A), maka dalam hal ini peristiwa B tidak mempunyai pengaruh terhadap terjadinya peristiwa A, sehingga :

P(B/A)=P(B)Atau P(A/B)=P(A)

dinamakan sebagai peristiwa yang saling bebas (independent)

Dengan demikian, bila terdapat peristiwa A1, A2,.....,Ak yang saling bebas maka:

)().....().()....( 21321 kk APAPAPAAAAP

)()()( BPAPBAp

antara A dan B,Sesuai dengan aturan perkalian maka kondisi saling bebas tersebut :

Kaidah penggandaan

• Bila suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka

P(AB) = P(A)P(BA)• Karena kejadian AB dan BA setara, dapat

ditulis juga:P(AB) = P(BA) = P(B)P(AB)

CONTOH:• Jika A adalah kejadian bahwa sekering

pertama rusak, dan B kejadian sekering kedua rusak, maka P(AB) daat ditafsirkan sebagai A terjadi, dan kemudian B terjadi setelah A terjadi. Peluang mendapatkan sekering rusak pada pengambilan pertama adalah ¼, dan peluang mendapatkan sekering rusak pada pengambilan kedua adalah 4/19, sehingga:

• Jika SEKERING A dimasukkan kembali ke dalam kotak, maka peluang mendapatkan sekering rusak pada pengambilan kedua adalah TETAP sebesar ¼, sehingga P(BA) = P(B) dan kedua kejadian A dan B dikatakan BEBAS.

• Sehingga diperoleh penggandaan khusus:• P(AB) = P(A)P(B)

2.Dalam sebuah kotak terdapat 10 gulungan film, dan diketahui bahwa 3 diantaranya rusak. Hitung peluang bila 2 buah gulungan film diambil acak satu persatu secara berurutan.

Jawab:Misal A: peristiwa terambil gulungan pertama rusak B: peristiwa terambil gulungan kedua rusakMaka peluang kedua gulungan rusak adalah :

Teorema Bayes

A = (B A) (B’ A)

P(A) = P(BA) + P(B’A) = P(B).P(A│B) + P(B’).P(A│B’)

S

A

B’

B

16

Aturan Bayes Pandang diagram venn berikut:

saling terpisah, jadi

Diperoleh rumus

E A cE A

cE

E

A

cA (E A) (E A)

Diagram Venn untuk kejadian A,E dan cE

c(E A)dan(E A)

c

c

c c

P(A) P (E A) (E A)

P(E A) P(E A)

P(E)P(A E) P(E )P(A E )

17

Contoh

Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah

tamat SMU di suatu kota tertentu dikelompokan menurut jenis kelamin

dan status bekerja seperti pada tabel sbb:

Daerah ini akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan

dipilih secara acak dalam usaha penggalakan kota tersebut sebagai obyek

wisata keseluruh negeri. Dan diketahui bahwa ada 36 orang yang

berstatus bekerja dan 12 orang berstatus menganggur adalah anggota

koperasi. Berapa peluang orang yang terpilih ternyata anggota

koperasi?

Bekerja Tdk bekerja JumlahLaki-lakiWanita

460140

40260

500400

Jumlah 600 300 900

18

Jawab: Misal: E = orang yang terpilih berstatus bekeja

A = orang yang terpilih anggota koperasi

Dari tabel diperoleh:

600 2900 3

P(E)

13

1cP(E ) P(E)

36 3600 50

P(A E)

12 1300 25

cP(A E )

Jadi peluang orang yang terpilih anggota koperasi adalah

32 1 13 50 3 254

75

c cP(A) P(E)P(A E) P(E )P(A E )

( ) ( ) ( ) ( )

19

323 50

P(E)P(A /E) ( )( )

2 13 25

c cP(E )P(A /E ) ( )( )23

cP(E )125

cP(A /E )

23

P(E)

350

P(A /E) AE

cE A

Diagram pohon untuk data

Jika kejadian-kejadian yang tidak kosong maka untuk

sembarang kejadian , berlaku

dengan:

dan saling terpisah

1 2 kB ,B ,......,B

A S

1 1

1 1 2 2

k k

i i ii i

k k

P(A) P(B A) P(B )P(A B )

P(B )P(A B ) P(B )P(A B ) ..... P(B )P(A B )

1 2 kA (B A) (B A) ..... (B A)

1 2 kB A , B A, ......... ,B A

20

Diagram Venn:

Penyekatan ruang sampel S

A

1B2B 3B 4B

5B

6B

7BkB

Jika kejadian-kejadian merupakan sekatan dari ruang sampel S

dengan , maka utk sembarang kejadian A ,

berlaku

untuk r = 1,2, …. , k

1 2 kB ,B ,......,B

( ) 0 ; 1,2,....,iP B i k 0P(A)

1 1

r r rr k k

i i ii i

P(B A) P(B )P(A B )P(B A)

P(B A) P(B )P(A B )

Contoh:

Tiga anggota dari sebuah organisasi dicalonkan sebagai ketua. Telah

diketahui peluang bpk Ali (A) terpilih 0,3 ; peluang bpk Basuki (B) terpilih 0,5 dan

peluang bpk Catur (C) terpilih 0,2. Juga telah diketahui peluang kenaikan iuran

anggota jika A terpilih 0,8 ; jika B terpilih 0,1 dan jika C terpilih 0,4.

a), Berapa peluang iuran anggota akan naik ?

b). Berapa peluang bpk C terpilih sbg ketua jika terjadi kenaikan iuran??

Jawab:

Misal: I : iuran anggota dinaikan

A : pak Ali terpilih

B : pak Basuki terpilih

C : pak Catur terpilih

0 3P(A) ,

0 5P(B) ,

0 2P(C) ,

Iuran naik!!! Hikkkssss!!!

22

Diketahui dari soal: ; ;

a). Peluang iuran anggota akan naik adalah

b). Peluang bapak C terpilih sebagai ketua adalah

0 8P(I A) . 0 1P(I B) . 0 4P(I C) .

0 3 0 8 0 5 0 1 0 2 0 4

0 24 0 05 0 08

0 37

P(I) P(A)P(I A) P(B)P(I B) P(C)P(I C)

( . )( . ) ( . )( . ) ( . )( . )

. . .

.

0 2 0 4

0 3 0 8 0 5 0 1 0 2 0 8

0 08 8

0 37 37

P(C)P(I C)P(C I)

P(A)P(I A) P(B)P(I B) P(C)P(I C)

( . )( . )

( . )( . ) ( . )( . ) ( . )( . )

.

.

Teorema Bayes dan Kasus Salah deteksi (false positive)

• Pada suatu daerah, terdapat penyakit langka yang menyerang 1 dari 1000 orang di dalam populasi tsb. Terdapat suatu tes yang bagus untuk suatu jenis penyakit, tapi tes tersebut belum sempurna. Jika seseorang terjangkit penyakit itu, tes menunjukkan hasil positif 99% benar. Di sisi lain, tes ini juga salah deteksi. Sekitar 2% pasien yang tidak terinfeksi juga positif.

• Kamu baru saja dites dan hasilnya positif. Berapa peluangmu sungguh2 terinfeksi??

Jawab:• Terdapat 2 keadaan untuk dianalisa:A: pasien mengidap penyakitB: hasil tes pasien positif

Informasi keefektifan tes dapat ditulis:P(A) = 0,001 (1 dari 1000 orang terinfeksi)P (BA) = 0,99 (probabilitas tes positif, dengan infeksi sebesar

0,99)P((Btidak A) = 0,02 (probabilitas tes positif, dengan infeksi

sebesar 0,99)Masalahya adalah: P (AB)= berapa?? (probabilitas terinfeksi, hasil positif)

Hwaaaaa......terinfeksi cacar air!!!!

Jawab (lanjutan)

• Buat tabel 2 x 2 yang membagi ruang sampel menjadi 4 peristiwa yang saling meniadakan.

• Tabel ini menyajikan semua kombinasi yang mungkin dari kondisi penyakit dan hasil tes.

A TIDAK AB A DAN B TIDAK A DAN B

TIDAK B A DAN TIDAK B TIDAK A DAN TIDAK B

Jawab (lanjutan)• Probabilitas masing-masing peristiwa:

A TIDAK A jumlahB P(A DAN B) P(TIDAK A DAN B) P(B)

TIDAK B A DAN TIDAK B P(TIDAK A DAN TIDAK B) P(TIDAK B)

P(A) P(TIDAK A) 1

Sekarang kita hitung:• P(A dan B) = P(BA)P(A) = (0,99)(0,001) = 0,00099• P(Tidak A dan B) = P(B tidak A)P(tidak A)

= (0,02)(0,999) = 0,01998

Jawab (lanjutan)• Sehingga diperoleh:

A TIDAK A jumlahB 0,00099 0,01998 0,02097

TIDAK B A DAN TIDAK B P(TIDAK A DAN TIDAK B) P(TIDAK B)

0,001 0,999 1

A TIDAK A jumlahB 0,00099 0,01998 0,02097

TIDAK B 0,00001 0,97902 0,979030,001 0,999 1

P(AB) = P(A)P(BA) P(A)P(BA)+ P(TIDAK A)P(B TIDAK A)

• Diperoleh:• P(AB) = P(A dan B) = 0,00099 = 0,0472 P(B) 0,02097

Teorema Bayes

• Distribusi peluang diskret

1. Binomial2. Multinomial3. Geometrik4. Hypergeometrik5. Poisson6. Bernoulli

• Distribusi peluang kontinyu

1. Normal, 2. Uniform, 3. Eksponensial, 4. Gamma5. Beta6. Weibull

TUGAS PRESENTASI