6.- MÉTODO DE LA INTEGRAL DE CONTORNO - unican.es

LÓPEZ CASTILLO TÉCNICAS DE INTERPOLACIÓN DE ALTO GRADO EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL

CAPÍTULO 6. MÉTODO DE LA INTEGRAL DE CONTORNO PÁGINA - 253 -

6.- MÉTODO DE LA INTEGRAL DE CONTORNO

6.1.- Introducción

Este capítulo de la tesis constituye un tema sobre el que el Director de la tesis, D.

Julián Díaz del Valle, tiene abiertas varias líneas de investigación al respecto.

En base a dichas líneas de investigación, se hace uso de un programa, por él

desarrollado, donde se pretende demostrar las posibilidades de esta metodología, al

incluir en él elementos de contorno de alto grado.

El campo de aplicación del programa desarrollado se extiende a los medios continuos

elásticos y a la teoría del potencial en dos dimensiones.

El programa dispone de opciones que permiten la generación de geometrías, cargas y

condiciones de apoyo diversas, de manera muy sencilla.

Como método de cálculo, se utiliza el método de los elementos de contorno o

“Boundary Element Method” considerando elementos isoparamétricos de cualquier

grado.

La obtención de resultados es exhaustiva: para problemas elásticos obtiene los

desplazamientos y tensiones en los nudos de los contornos y en los puntos interiores

elegidos. Los resultados anteriores se representan numérica y gráficamente

(deformadas, isotensiones, cortes tensionales, etc). Para problemas de potencial

obtiene una salida numérica y gráfica análoga a la anterior.

6.2.- El método de los elementos de contorno

Como ya se ha indicado con anterioridad, los métodos de cálculo elástico más

utilizados en la práctica de la ingeniería son el Método de los Elementos Finitos (MEF)

en el cual se discretiza el dominio y el Método de los Elementos de Contorno más

conocido por su denominación inglesa “ Boundary Element Method” (BEM), en el cual

se discretiza el contorno.

El método de los elementos finitos, actualmente muy desarrollado, presenta

desventajas en lo que respecta a la generación de datos y reducción de resultados,

que sin embargo, han sido paliados en gran parte con los pre y procesadores. Su


PÁGINA - 254 - CAPÍTULO 6. MÉTODO DE LA INTEGRAL DE CONTORNO

generalidad y rango de aplicación son incomparables, a costa de un importante

esfuerzo de cálculo de computador (memoria, velocidad, etc.) que cada vez representa

un menor costo dado el avance informático actual.

El método de los elementos de contorno requiere una entrada de datos muy sencilla y

permite obtener excelentes resultados con recursos informáticos muy modestos. Las

contrapartidas corresponden a la programación, a pesar de los evidentes progresos

alcanzados, es en cierta medida dependiente del problema específico, y a la dificultad

de tratamiento y resolución de un sistema de ecuaciones denso (con pocos elementos

nulos) y no simétrico.

El principal atractivo del Método de la Integral de Contorno es reducir la dimensión del

problema elástico (de 3D a 2D o bien de 2D a 1D), lo que representa un ahorro

computacional considerable. En efecto, en 2D, con este método se discretiza el

contorno con el elemento lineal en lugar de los elementos triangulares o cuadriláteros

que utiliza el método de los Elementos Finitos (MEF) para discretizar el dominio, lo cual

supone un número mucho menor de nudos (ver figura siguiente).

Ilustración 170.- Discretización MEF y BEM

Ambos métodos MEF y BEM tienen en común que se utilizan elementos y nudos en los

cuales se sitúan los grados de libertad que corresponden a los desplazamientos y

tensiones nodales.

Algunos de dichos desplazamientos o “tracciones” nodales son conocidos – por estar

prescritos – y otros son las incógnitas a determinar. La formulación se organiza



matricialmente llegando a un sistema de ecuaciones lineales, cuya resolución permite

determinar tales incógnitas. Sin embargo, con el MEF la matriz del sistema será de

grandes dimensiones, simétrica y bandeada, justo lo contrario que ocurre al utilizar el

método de los elementos de contorno.

El método de los elementos de contorno (BEM) está basado en el concepto de la

“influencia” que una fuerza concentrada en un punto P del solido elástico tiene en los

desplazamientos y tensiones de cualquier otro punto Q. Estas influencias se pueden

calcular a partir de la solución fundamental obtenida por Lord Kelvin hace más de un

siglo.

6.3.- Ecuación integral de contorno

Existen diversas maneras de obtener la ecuación integral de contorno. Una de las

técnicas más utilizadas es la de la minimización de los residuos ponderados, la cual por

su planteamiento puramente matemático se puede utilizar para cualquier tipo de

problema que se resuelva: potencial, elástico, etc.

Aquí, sin embargo, vamos a recurrir a una técnica más cercana al ingeniero estructural,

como es el teorema de reciprocidad de Betti.

Dicho teorema establece que si tenemos dos casos de carga A y B del mismo sólido

elástico, el trabajo realizado por las fuerzas del caso A multiplicado por los

desplazamientos del caso B es igual al realizado por las fuerzas del caso B multiplicado

por los desplazamientos del caso A.

Consideraremos como caso A el caso real de cargas sobre el contorno S (tracciones

t) y en el dominio V (fuerzas b) y cuyos desplazamientos denotaremos con u.

El caso B tendrá la misma notación, pero señalada con un asterisco * (t*,b*,u*).

Aplicando el teorema de reciprocidad, tendremos :

V VSS

dVbudstudVubdsut **** (6.1)



Ahora bien, si se considera el caso de carga B igual al de una simple carga

concentrada en un punto P del dominio V, es decir, utilizando la definición de delta de

Dirac, se tendrá b* = (P) y por tanto la integral de dominio del primer miembro de

(6.1) será

V

PudVub )(* (6.2)

Además si suponemos que el caso real A es debido a presiones o tracciones actuantes

sólo en el contorno S, siendo nulas las fuerzas de propio peso (b=0), la ecuación (6.1)

queda reducida a

SS

dstudsutPu **)( (6.3)

o bien descomponiéndole en sus componentes

Sjij

Sjijji dstudsutPu **)( (6.4)

Esta ecuación es conocida como identidad de Somigliana y proporciona el valor de

la componente i-sima del desplazamiento en un punto interno P en función de los

desplazamientos uj y tracciones tj del contorno del sólido elástico. Los valores

señalados con asterisco (u*j , t*j) son conocidos a partir de la solución fundamental

dada de lord Kelvin u otras análogas.

La identidad de Somigliana (6.3) da el desplazamiento en un punto P interior una vez

que los desplazamientos u y tracciones t en los bordes han sido calculados y, por

tanto, conocidos.

Pero cuando el punto P está situado en el borde, es necesario introducir unos

coeficientes c(P) producidos por el paso al límite de aplicación de la carga puntual

desde el dominio al contorno.

Dichos coeficientes toman valor de 0.5 para bordes suaves y otros valores para puntos

angulosos, de manera que para los nudos de borde la Ecuación de la Integral de

Contorno toma la forma



SS

dstudsutPuPc **)()( (6.5)

6.4.- Discretización de las ecuaciones de contorno

Para resolver la ecuación (5) se utiliza una técnica numérica cuyos pasos más

importantes se resumen a continuación:

1) El contorno S se divide en una serie de elementos finitos sobre los cuales se

interpolan, mediante las pertinentes funciones de forma, los movimientos y las

presiones o tracciones, cuyos valores en los nudos representan las incógnitas

básicas.

Dependiendo del grado de la interpolación polinómica que se adopte –

constante, lineal, cuadrática, cúbico, cuártico etc. –resultarán elementos de 1,2,

3, 4 ó 5 nudos.

Por ejemplo, si se adoptan elementos cuadráticos de 3 nudos, las funciones de

forma serán:

)1(211)1(

21

32

21 NNN (6.6)

de manera que el desplazamiento u en un punto cualquiera del elemento se

interpolará así:

uNuNuNuNu T332211 (6.7)

donde NT es el vector cuyas componentes son las 3 funciones de forma y u es

el vector que contiene los desplazamientos de los 3 nudos.

La misma interpolación se puede utilizar para la tracción t en cualquier punto:



tNtNtNtNt T332211 (6.8)

Incluso la geometría del contorno puede ser interpolando con las mismas

funciones (elementos isoparamétricos):

rNrNrNrNr T332211 (6.9)

donde r es el vector con las coordenadas de los nudos.

2) Se aplica la ecuación (6.5) de forma discreta a cada nudo P del contorno y se

obtiene:

NET

NET dJtNudJuNtPuPc

1

1

1

1

**)()( (6.10)

donde J representa el Jacobiano del cambio de variable de integración y NE es

el número de elementos.

En la ecuación anterior los vectores u y t contienen valores de los

desplazamientos y tracciones en los nudos y, por tanto, no varían sobre la

longitud del elemento.

Por ello u y t se pueden extraer de las integrales, con lo que la ecuación

anterior queda así:

NET

NET dJNutdJNtuPuPc

1

1

1

1

**)()( (6.11)

Las integrales anteriores contienen valores conocidos (t*, u*, NT, J) y serán

integradas numéricamente mediante la técnica de Gauss. Además, para los

elementos que contienen al nudo P, la función subintegral es singular, por lo

que se recurrirá a técnicas de integración numérica especiales.



6.5.- Resolución del sistema de ecuaciones

Si extendemos la ecuación (11) a todos los nudos P del contorno, se obtiene, después

de un proceso de ensamblaje, un sistema de N ecuaciones lineales, que incluyen los N

movimientos u y las N tracciones t en el contorno. De forma compacta este sistema se

puede expresar así

tGuH (6.12)

En el sistema anterior existen N valores conocidos prescritos que corresponden a los

desplazamientos y tracciones que son las condiciones de contorno. Los N valores

restantes de u y t serán las incógnitas a determinar.

Las incógnitas x se encuentran por tanto entre los desplazamientos u del primer

miembro y las tracciones t del segundo. Por tanto, es necesario reordenar el sistema

anterior, transformándose en:

bxA (6.13)

que resulta ser un sistema denso y no simétrico, del que se obtendrán en x las N

incógnitas correspondientes a los desplazamientos y tracciones desconocidas.

6.6.- Solución en los puntos internos del dominio V

Una vez resuelto el sistema anterior, serán conocidos los desplazamientos y tracciones

en todos los nudos del contorno.

Para determinar el movimiento en un punto interior P, basta con aplicar la identidad de

Somigliana (6.3). Las tensiones en dicho punto se hallarán derivando la ecuación

anterior.



6.7.- Ejemplo : ANALISIS DE OREJETA DE REACTOR

Ilustración 171.- Disposición de tramos del contorno

El programa dispone de unas opciones de generación de nudos y elementos,

dividiendo los contornos en una serie de tramos.

Se consideran 6 tramos, de ellos son circulares los tramos 3, 5 y 6. El tramo 3

(exterior) se numera contra reloj (centro 7). Los tramos 5 y 6 (interior) se numeran a

favor del reloj (centro 7).

En la figura superior las leyendas de los tramos 5 y 6 se han dibujado superpuestas,

por lo que se muestran a continuación los parámetros de los 6 tramos:



Tramo NET ITI ITJ ITC ITD ITB = BORDE

1 4 1 2 0 1 3 Emp.

2 2 2 3 0 1 0 Libre

3 4 3 4 7 1 0 Libre

4 2 4 1 0 1 0 Libre

5 6 5 6 -7 1 0 Libre

6 2 6 5 -7 1 4 Carga

Cargas: qnI=10.000 qnJ=10.000 qtI= 0.000 qtJ= 0.000

En las figuras siguientes se muestran los apoyos y las cargas actuantes.

Ilustración 172.- Disposición de apoyos y cargas

En este ejemplo se han generado 10 elementos de 5 nudos cada uno (interpolación

cuártica), coincidentes con los contornos rectos y circulares de la orejeta, pues se han

considerado elementos isoparamétricos.



Ilustración 173.- Discretización del contorno

Ilustración 174.- Deformada



Ilustración 175.- Tensiones x en el contorno

Ilustración 176.- Tensiones y en el contorno



Ilustración 177.- Tensiones xy en el contorno

Los resultados obtenidos coinciden con los obtenidos con el programa SAP2000, pero

siendo necesario realizar una discretización de más de 300 elementos simples.














CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES, APORTACIONES Y FUTUROS DESARROLLOS PÁGINA - 271 -

7.- CONCLUSIONES, APORTACIONES Y FUTUROS DESARROLLOS

7.1.- Conclusiones y aportaciones

A la vista del trabajo realizado, se pueden establecer las siguientes conclusiones:

En la resolución de un problema de continuo mediante el MEF, existen

fundamentalmente dos posibilidades de refinamiento: a) Una mayor discretización

de la malla, y b) Incremento del grado del polinomio de interpolación en cada

elemento. Se comprueba que esta segunda posibilidad, todavía no suficientemente

explotada en la literatura técnica y en la práctica, presenta ventajas

computacionales importantes.

Es posible, en el cálculo de un problema de continuo, conservando una

configuración inicial de la malla en elementos finitos, la sucesiva utilización de

polinomios de interpolación de grados crecientes, que contengan cada uno de ellos

las características de deformación de los anteriores. A este respecto, hay que

señalar que el grado de los elementos de la familia jerárquica que aquí se

desarrolla, se puede elegir de forma arbitraria e introducirle como dato al

programa.

La exigencia de la convergencia monotónica, mediante refinamiento de una malla

(jerarquía de malla), conservando el tipo de elemento, representa importantes

incrementos en el número de grados de libertad.

Por el contrario, los elementos jerárquicos en el grado, permiten obtener resultados

convergentes mediante un suave incremento de los grados de libertad del cálculo.

La ventaja anterior, se manifiesta sobre todo en el caso de geometrías sencillas y

en problemas que involucran fuertes gradientes de las funciones de campo.

Las funciones de interpolación adoptadas para aproximar las funciones de campo y

sus derivadas, son de tipo lagrangiano. Se han desarrollado una serie de algoritmos

que generan tanto las funciones de la base, como la posición y conexión de los

nudos del soporte de la interpolación. Dicha generación se apoya únicamente en la

posición de los 3 vértices del elemento y en el grado adoptado para la

aproximación, debido a lo cual, la entrada de datos es muy sencilla. Aunque los

nudos del soporte se sitúan de manera regular en el interior de cada elemento,

existe la posibilidad de disponerlos en otras posiciones, lo cual puede ser ventajoso

en el caso de concentración de tensiones, fronteras indeterminadas, etc.

El cálculo de las matrices de rigidez, masa y fuerzas del elemento, se realiza por

integración directa. A este respecto hay que indicar que se ha preparado un

algoritmo que permite generar desde el programa la tabla de integrales necesaria

en el cálculo.


PÁGINA - 272 - CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES, APORTACIONES Y FUTUROS DESARROLLOS

Son precisamente estas características de autogeneración las que permiten utilizar

formas de interpolación de alto grado, que son prácticamente imposibles de

desarrollar por vía analítica dada su gran complejidad.

Se ha realizado una extensiva experimentación numérica, que confirma la bondad y

eficacia de los elementos de alto grado en el estudio de problemas de clase C0

bidimensionales. Dicha experimentación se ha extendido a distintos problemas de

continuo, cuya resolución es de interés en diversas ramas de la ingeniería.

Utilizando un número mínimo de elementos, se han obtenido resultados con gran

precisión tanto en las funciones de campo como en sus derivadas. Los recursos

informáticos utilizados se han limitado al entorno de los ordenadores personales.

Se han superado con éxito diversas pruebas de condicionamiento numérico, como

factores de forma, rigideces diferenciales acusadas, problemas de equilibrio crítico,

etc.

Bajo cargas puntuales y repartidas, el orden de aproximación obtenido con los

elementos de alto grado aquí desarrollados, ha sido análogo.

Sin embargo, los elementos analizados, son especialmente sensibles al reparto de

cargas en los nudos. En general, resulta imprescindible introducir de forma

consistente tanto las fuerzas de superficie como las de volumen. A este respecto

hay que señalar, que en este trabajo se ha desarrollado la formulación necesaria

para la distribución nodal equivalente a diversas distribuciones de carga. Asimismo,

el elevado grado de deformabilidad que pueden aproximar estos elementos, exige

un respeto especial a las condiciones de contorno.

Una característica a destacar de todos los ejemplos analizados, es el gran ancho de

banda de los sistemas en que se discretiza el continuo. Ello es debido al reducido

número de elementos utilizado, lo cual conduce a que prácticamente todos estén

interconectados entre así. El ancho de banda relativo, disminuye sensiblemente al

utilizar mallas más tupidas de elementos.

Si bien en teoría el grado del polinomio interpolante puede ser tan alto como se

desee, en la práctica está limitado por la capacidad del sistema informático

utilizado. En el caso de utilizar ordenadores personales se recomienda como

máximo llegar a un grado igual a siete. Además la doble precisión con que se

tratan las variables -en estos ordenadores- no puede soportar variaciones

polinómicas de grado superior a diez, sin que se produzcan importantes ruidos

numéricos. Dado que las posibilidades de los ordenadores personales mejoran y

evolucionan, no solamente en capacidad de memoria real y periférica, sino y sobre

todo, en longitud de palabra, esto permitirá el análisis de extensas mallas de muy

alto grado. Es por esto por lo que nos atrevemos a afirmar que los elementos


CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES, APORTACIONES Y FUTUROS DESARROLLOS PÁGINA - 273 -

finitos de alto grado aquí desarrollados, son unos elementos con una perspectiva

interesante.

7.2.- Futuros desarrollos

De las conclusiones y aportaciones obtenidas de la realización de este trabajo, se

deducen las siguientes direcciones abiertas a la investigación, que confirman las

amplias posibilidades de los elementos finitos de grado arbitrario:

Extender la familia de elementos jerarquizados, al caso tridimensional. Dicha

extensión, supone un sencillo ajuste de dimensiones en la formulación y

programación desarrollada.

Extender la aplicación de los elementos aquí analizados a otros problemas de clase

C0, como el de la flexión de placas según la teoría de Reissner-Mindlin. En este

último caso, será necesario -probablemente-, sustituir la integración directa que

aquí se presenta, por otra de tipo numérico. De esta manera, y utilizando la técnica

de integración reducida se podrá evitar el mal condicionamiento numérico que se

produciría en el caso de placas muy delgadas.

Formulación de una familia de elementos de transición, entre los correspondientes

a los distintos grados de interpolación. Dichos elementos se confeccionarán de

manera que aseguren la continuidad de la función de campo a lo largo de sus

fronteras con los elementos vecinos. Esta familia junto a la aquí desarrollada,

permitirá adoptar zonas con distinto grado de aproximación en función de los

gradientes tensionales que en ellas se esperen. Hay que indicar no obstante que

estos elementos de transición solo tendrán sentido en el caso de importantes

aplicaciones industriales que exijan un elevado número de elementos de alto grado.

Las cuestiones típicas del MEF, como son la condensación de los grados de libertad

interiores, elección de los puntos de salida, desarrollo de elementos

isoparamétricos y otras muchas, merecen ser reconsideradas para el caso de los

elementos de alto grado.

Finalmente, indicar que se ha comprobado con un ejemplo la eficacia de los

elementos de contorno lagrangianos de alto grado, por lo que se considera que

merece la pena su desarrollo exhaustivo, con un esquema similar al que se ha

desarrollado en esta tesis.


PÁGINA - 274 - CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES, APORTACIONES Y FUTUROS DESARROLLOS


CAPÍTULO 8. REFERENCIAS PÁGINA - 275 -

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APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC PÁGINA - 279 -

APENDICE 1.- LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC


PÁGINA - 280 - APÉNDICE 1. LISTADO PROGRAMA H_ELASTIC






































APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS PÁGINA - 299 -

APENDICE 2. LISTADO DEL PROGAMA H_CAMPOS


PÁGINA - 300 - APÉNDICE 2. LISTADO PROGRAMA H_CAMPOS






































APÉNDICE 3. INTEGRACIÓN Y SOPORTE PÁGINA - 319 -

APENDICE 3. INTEGRACION Y SOPORTE

Cálculo de la integral extendida a un dominio triangular

Ilustración 178.- Dominio Triangular

El dominio A resulta de la suma de los tres dominios limitados por los lados del

triángulo y el eje OX. Utilizando las reglas de la permutación circular (i=1 a 3; j=i+ 1;

K=j+ 1 ), se tiene:

3

1

111

0

3

1)(

11yx

11

i

x

x

nxmy

i

k

x

dxnxmxdyydxxdydxk

j

x

j

Según la fórmula del binomio:

1

0

111

111 )()(

r

ri

rr nxmCnxm


PÁGINA - 320 - APÉNDICE 3. INTEGRACIÓN Y SOPORTE

resulta

3

1

1

0

1111

1yxi r

x

x

rri

ri

r dxxnmCdydxk

j

y en definitiva:

1

0

3

11 )(

11yx

r ijk

rii

r xxnmCdydx

con

)!1(!)!1(

12

1 rrC

rr

r

Coordenadas de los nudos del elemento

Partiendo de las coordenadas (x1,y1), (x2,Y2), (x3,y3) de los vértices del triángulo, las

coordenadas de un nudo K del soporte, se obtienen mediante el siguiente algoritmo.

i = 1, nG+1

l1 = (nG+i-1)/nG, l3=0, K = S(i-1)

j = 1,i

l3 = (j-1)/ nG, l2 = 1- l1-l3

x(K) = x1l1+x2l2+x3l3

y(K) = y1l1+y2l2+y3l3

Los nudos resultan regularmente espaciados dentro del elemento.

Existe, no obstante, la posibilidad de disponer los nudos del soporte según otras

configuraciones.


APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL PÁGINA - 321 -

APENDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL

Para verificar las grandes posibilidades de los elementos triangulares de alto grado que

se desarrollan en esta tesis, incluimos este apartado con elementos lineales (1D), con

interpolación lagrangiana y con grados de interpolación creciente.

La solución teórica exacta de una barra con las características indicadas en la figura

siguiente y sometida a una carga axial lineal se presenta a continuación.

Ilustración 179.- Ejemplo elasticidad monodimensional

Del equilibrio del elemento diferencial

0)( dxxqAdxd

(A4.1)

donde q(x) es la carga axial por unidad de longitud.

Por tanto, la ecuación diferencial en tensiones será

L


PÁGINA - 322 - APÉNDICE 4. ELEMENTOS FINITOS EN ELASTICIDAD MONODIMENSIONAL

Axq

dxd )(

(A4.2)

Teniendo en cuenta la relación cinemática y la condición constitutiva siguientes

)()(

)(

xExdxdux

(A4.3)

resulta la ecuación diferencial de equilibrio en término de desplazamientos

02

2

Axq

dxudE (A4.4)

cuya integración es inmediata teniendo en cuenta las condiciones de contorno

siguientes

naturalcondiciónLuELELesencialcondiciónu

0)(')()(0)0(

(A4.5)

resultando la solución en desplazamientos

)3(6

)( 32 xxLAE

qxu (A4.6)

y por derivación se obtiene el campo de tensiones

)(2

)( 22 xLA

qx (A4.7)

Los valores resultantes en el extremo libre y en el apoyo serán



33333.03

)(3

AELqLu

5.02

)0(2

ALq

Una vez obtenido el resultado exacto, se realiza un análisis, discretizando la barra en

diversas configuraciones de elementos sencillos de 2 nudos y utilizando elementos de

grados de interpolación crecientes, con objeto de establecer una comparativa entre los

mismos.

Los casos estudiados, tal y como se muestra en la siguiente figura, son:

Caso 1: 1 elemento de 2 nudos

Caso 2: 2 elementos de 2 nudos













Ilustración 180.- Discretización de los distintos casos

Los casos 1 a 7 se resuelven con elementos finitos sencillos y los casos 8 a 11 con

elementos finitos de alto grado.

En base a los resultados recogidos en este apéndice, se elabora una tabla resumen de

los mismos.

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12

Desplazamiento umax 0.250 0.312 0.324 0.328 0.33 0.331 0.332 0.333 0.333 0.33 0.33 0.33

Tensión máxima max 0.250 0.437 0.472 0.484 0.49 0.493 0.495 0.521 0.501 0.50 0.50 0.50

Tabla 7.- Desplazamientos y tensiones según distinta discretización

Como se puede verificar en la tabla anterior, para llegar al desplazamiento teórico

(umax=0.33), es necesario disponer de al menos 5 elementos simples de dos nudos, sin

embargo el estado tensional no llega con precisión suficiente (respecto al teórico de

max=0.50) hasta que se disponen 9 elementos de 2 nudos.

En el caso de los elementos de alto grado, tenemos que aproximamos el

desplazamiento en el caso 8 (1 elemento de tres nudos) y la tensión máxima la

aproximamos en el caso 9 (2 elementos de 3 nudos).



Con este sencillo planteamiento nos podemos hacer una idea de la ventaja de emplear

elementos de alto grado.

A continuación se incluyen los listados de resultados correspondientes a cada uno de

los casos contemplados.





























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6.- MÉTODO DE LA INTEGRAL DE CONTORNO - unican.es