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Parte 1 – Variables aleatorias bidimensionales Prof. María B. Pintarelli

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5- VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

5.1 – Generalidades

Hasta ahora hemos considerado el caso de variables aleatorias unidimensionales. Esto es, el resultado

del experimento de interés se registra como un único número real.

En muchos casos, sin embargo, nos puede interesar asociar a cada resultado de un experimento aleatorio,

dos o más características numéricas. Por ejemplo, de los remaches que salen de una línea de producción

nos puede interesar el diámetro X y la longitud Y. Teniendo en cuenta la inevitable variabilidad en las

dimensiones de los remaches debido a las numerosas causas presentes en el proceso de fabricación, los

podemos representar asociándoles dos variables aleatorias X e Y que pueden pensarse como una variable

aleatoria bidimensional: ( )YX , .

Sea ε un experimento aleatorio y S un espacio muestral asociado a él. Sean RSX →: , RSY →: , que

a cada resultado Ss∈ le asignan el par de números reales ( )yx,

Llamaremos a ( )YX , variable aleatoria bidimensional.

Si en lugar de dos variables aleatorias, tenemos n variables aleatorias nXXX ,...,, 21 , llamaremos a

( )nX,...,X,X 21 variable aleatoria n-dimensional

En lo que sigue nos referiremos en particular a variables aleatorias n-dimensionales con n=2, es decir

nos concentraremos en variables aleatorias bidimensionales por cuanto son las más simples de

describir, fundamentalmente en relación a la notación. Pero debemos tener presente que las propiedades

que estudiemos para ellas se pueden extender sin demasiada dificultad al caso general.

Al conjunto de valores que toma la variable aleatoria bidimensional (X,Y) lo llamaremos recorrido de la

v.a. (X,Y) y lo indicaremos XYR . En otras palabras ( ) ( ) ( )

∈=== SsconsYyesXx:y,xRXY , es

decir, es la imagen por ( )Y,X del espacio muestral S.

Notar que el recorrido de (X,Y) es un subconjunto del espacio Euclidiano: 2RRXY ⊆ . Como antes,

puede considerarse al recorrido XYR como un espacio muestral cuyos elementos son ahora pares de

números reales.

Como con cualquier espacio muestral, según el número de elementos que lo constituyen, podemos

clasificar a los recorridos XYR en numerables (finitos o infinitos) y no-numerables.

Los recorridos numerables son, en general, de la forma

( ) ( ) ( ) ( ){ }mnjiXY y,x,...,y,x,y,xm,..,jyn,...,,icony,xR 21112121 =

=== (finito)

( ) ( ) ( ){ },...y,x,y,x,..,jy,...,icony,xR jiXY 21112121 =

=== (infinito numerable)

Los recorridos no numerables son regiones o subconjuntos no numerables del plano Euclidiano. Por

ejemplo:

( )

≤≤≤≤= dyc;bxa:y,xRXY (no numerable)


84

( ){ }1:, 22 ≤+= yxyxRXY (no numerable)

( )

=≤≤= 321 c,c,cy,bxa:y,xR jjXY (no numerable “mixto”)

cuyas gráficas se pueden apreciar en la figura siguiente. Notar en el último recorrido, X es v.a. continua

e Y discreta.

Clasificaremos a las variables aleatorias bidimensionales de la siguiente manera:

( )Y,X es v.a. bidimensional discreta si X e Y son discretas

( )Y,X es v.a. bidimensional continua si X e Y son continuas

El caso X continua, Y discreta (o viceversa) no lo consideramos.

Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional discreta y sea XYR su recorrido (numerable). Sea

RR:p XY → una función que a cada elemento ( )ji y,x le asigna un número real ( )

ji y,xp tal que

( ) ( )XYjijiji Ry,xy,xpyY,xXP ∈∀=

== y que verifica.

a) ( ) ( ) XYjiji Ry,xy,xp ∈∀≥ 0

b) ( ) ( )( )∑ ∑∑

∈

==XYji Ryx

ji

i j

ji yxpyxp,

1,,

A esta función la llamaremos función de probabilidad puntual conjunta de la variable aleatoria

bidimensional ( )Y,X . En forma abreviada la designaremos fdp conjunta.

Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional continua y sea XYR su recorrido (no numerable). Sea

RR:f XY → una función que, a cada punto ( )y,x de XYR le asigna un número real ( )y,xf tal que

( ) ( ) RBdxdyyxfBPB

⊆∀= ∫∫ , y que verifica.

a) ( ) ( ) 2,0, Ryxyxf ∈∀≥

b) ( ) 1,2

=∫∫R

dxdyyxf .

A esta función la llamaremos función de densidad de probabilidad conjunta de la variable aleatoria

bidimensional ( )Y,X . En forma abreviada la designaremos también fdp conjunta.

0

0 0

0 0 a b x

c

d

y y y

1

2

3

1 2 a b x

RXY

c1

c2

c3

-1

-1


85

Ejemplos:

1-Dos líneas de producción, señaladas I y II, manufacturan cierto tipo de artículo a pequeña escala.

Supóngase que la capacidad máxima de producción de la línea I es cinco artículos por día, mientras que

para la línea II es 3 artículos/día. Debido a los innumerables factores presentes en todo proceso de

producción, el número de artículos realmente producido por cada línea puede pensarse como una

variable aleatoria. En conjunto podemos pensar en una variable aleatoria bidimensional ( )Y,X discreta,

donde la primera componente X corresponde a la producción de la línea I y la segunda componente

Y a los artículos que salen de la línea II. La fdp conjunta correspondiente a variables aleatorias

bidimensionales suele presentarse, por comodidad, como una tabla. Supongamos que la para la v.a.

( )Y,X que nos interesa aquí la tabla correspondiente a ( )ji y,xp es

XY 0 1 2 3 4 5

0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09

1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08

2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06

3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05

¿Cuál es la probabilidad de qué salgan más artículos de la línea I que de la línea II?

Antes de calcular la probabilidad que nos pide el problema, hagamos algunas consideraciones sobre la

tabla que representa a ( )ji y,xp .

Se trata de una tabla a doble entrada donde en la primera fila se indican los valores que puede tomar la

v.a. X (en este caso X=0,1,2,3,4,5) y la primera columna indica los valores que puede tomar la variable Y

( 0,1,2,3). Para determinar el valor de la ( )ji y,xp cuando la v.a. ( )Y,X toma el valor ( )

ji y,x

consideramos el número que se encuentra en la columna correspondiente a ixX = y la fila

correspondiente a jyY = . Por ejemplo: ( ) ( ) 0502424 .Y,XP,p ==== .

Podemos verificar fácilmente que la fdp conjunta definida por esta bien definida. En efecto verifica las

condiciones a) ( ) ( ) XYjiji Ry,xy,xp ∈∀≥ 0 y b) ( )( )∑

∈

=XYji Ry,x

ji y,xp 1.

Para contestar la pregunta del enunciado, consideremos el suceso XYRB ⊂ definido

B: “es el suceso que ocurre cuando la línea I produce más artículos que la línea II” o,

{ }YXB >= . Luego:

( ) ( ) ( )∑ ∑= >

==>=3

0j jiy yx

ji y,xpYXPBP 0.01+0.03+0.05+0.07+0.09+0.04+0.05+0.06+0.08+

+0.05+0.05+0.06+0.06+0.05=0.75.

2- Hay tres cajas registradoras a la salida de un supermercado. Dos clientes llegan a las cajas en

diferentes momentos cuando no hay otros clientes ante aquellas. Cada cliente escoge una caja al azar e

independientemente del otro.

Sean las variables aleatorias X: “ nº de clientes que escogen la caja 1” e Y: “nº de clientes que escogen la

caja 2”. Hallar la fdp conjunta de (X,Y)

Podemos suponer que el espacio muestral original S es el conjunto de pares ordenados

{ })3,3();2,3();1,3();3,2();2,2();1,2();3,1();2,1();1,1(=S donde la primera componente del par indica la

caja elegida por el cliente 1 y la segunda componente del par indica la caja elegida por el cliente 2.

Además notar que X como Y pueden tomar los valores 0, 1, 2


86

El punto muestral (3,3) es el único punto muestral que corresponde al evento { }0,0 == YX

Entonces

9

1)0,0( === YXP ; pensando de forma análoga los otros casos:

9

2)0,1( === YXP ;

9

1)0,2( === YXP ;

9

2)1,0( === YXP ,

9

2)1,1( === YXP ,

9

1)2,0( === YXP ; 0)2,2()2,1( ====== YXPYXP

Disponemos estas probabilidades en una tabla de la siguiente forma

3- Supongamos que una partícula radiactiva se localiza aleatoriamente en un cuadrado con lados de

longitud unitaria. Es decir, si se consideran dos regiones de la misma área, la partícula tendrá igual

probabilidad de estar en cualquiera de ellas. Sean X e Y las coordenadas que localizan la partícula. Un

modelo adecuado para la distribución conjunta de X e Y sería considerar a (X, Y) continua con fdp dada

por

≤≤≤≤

=contrario caso 0

10 ;10 si 1),(

yxyxf

Es conveniente hacer un gráfico en el plano del dominio de la fdp

Nos preguntamos cuál es la probabilidad de que la

coordenada en x sea menor que 0.2 y la

coordenada en y menor que 0.4 , es decir, cuál es la

)4.0,2.0( ≤≤ YXP . Para calcularla, graficamos en

el plano xy la región que corresponde al evento

intersección la región que es dominio de la fdp

Por lo tanto

∫ ∫ =×==≤≤4.0

0

2.0

0

08.04.02.01)4.0,2.0( dxdyYXP

Y \ X 0 1 2

0 1/9 2/9 1/9

1 2/9 2/9 0

2 1/9 0 0

{ }4.0,2.0 ≤≤ YX


87

En este ejemplo la fdp es un caso particular de v.a. bidimensional uniformemente distribuida

Diremos que una variable aleatoria bidimensional continua está uniformemente distribuida en la región

XYR del plano Euclidiano R si su función de densidad de probabilidad es

( )( )( )

∉

∈=

XY

XY

Ryxpara

Ryxparac

yxf,0

,

,

Puesto que la condición de normalización exige ( )∫∫ ∫∫ ==2

1,

R RXY

cdxdydxdyyxf debe ser

( )XYRárea

c1

=

A una v.a. ( )Y,X bidimensional continua uniformemente distribuida en su recorrido XYR la indicaremos

X∼ [ ]XYRU .

Por ejemplo, supongamos que la v.a. ( )Y,X está distribuida uniformemente en el recorrido XYR que se

muestra en la figura. ¿Cuál es su fdp conjunta?

De la figura calculamos el área del recorrido:

( ) ( )∫ ∫∫ =−==1

0

1

0

2

6

1

2

dxxxdydxRárea

x

x

XY . Por lo tanto

( )( )

≤≤≤≤=

puntosdemáslospara

xyxxquetalyxpara

yxf0

,10,6

,

2

5.2 - Funciones de distribución marginales de una v.a. (X,Y) discreta

En el ejemplo 1, supongamos que queremos saber cuál es la probabilidad de que el número de artículos

producidos por la línea I sea 2, o sea )2( =XP

Como el evento { }2=X es igual a { } { } { } { } { }( )32102 =∪=∪=∪=∩= YYYYX , y a su vez

0

0

1

2

y

1 2 3 x

y = x

y = x2


88

{ } { } { } { } { }( ){ } { }( ) { } { }( ) { } { }( ) { } { }( )32221202

32102

=∩=∪=∩=∪=∩=∪=∩==

==∪=∪=∪=∩=

YXYXYXYX

YYYYX

Entonces

( ){ } { }( ) { } { }( ) { } { }( ) { } { }( )

∑=

=====+==+==+===

==∩=+=∩=+=∩=+=∩==

==

3

0

),2()3,2()2,2()1,2()0,2(

32221202

2

j

jYXPYXPYXPYXPYXP

YXPYXPYXPYXP

XP

Razonando de la misma forma podemos escribir

( ) 5,...,1,0 ),(3

0

===== ∑=

ijYiXPiXPj

Es decir obtenemos la función de distribución de probabilidad de X

Análogamente obtenemos

( ) 3,2,1,0 ),(5

0

===== ∑=

jjYiXPjYPi

Que es la función de distribución de probabilidad de Y

En general se las denomina distribuciones marginales de X e Y, y su definición sería la siguiente

Sea (X,Y) discreta y sea ( )ji y,xp (i=1,2,…n, j=1,2,…,m) su función de probabilidad conjunta

(Eventualmente n y/o m pueden ser ∞ ).

La función de probabilidad marginal de X es

( ) ( ) ( )∑=

===m

j

jiii yxpxXPxp1

, (i=1,2,…,n)

La función de probabilidad marginal de Y es

( ) ( ) ( )∑=

===n

i

jijj yxpyYPyq1

, (j=1,2,…,m)

Observación: Remarcamos que la función de probabilidad marginal de X, es decir ( )ixp calculada a

partir de ( )ji y,xp en la forma indicada, coincide con la función de probabilidad de la variable aleatoria

unidimensional X considerada en forma aislada. Análogamente la función de probabilidad marginal de

Y, es decir ( )jyq calculada a partir de ( )

ji y,xp en la forma indicada, coincide con la función de

probabilidad de variable aleatoria unidimensional Y considerada en forma aislada.

Ejemplo:

Siguiendo con el ejemplo 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )280

0500600800903525150555

.

....,p,p,p,pXPp

=

+++=+++===


89

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )260

06005004002001015141312111011

.

.....,p,p,p,p,p,pYPq

=

++++=+++++===

Observemos que se verifica la condición de normalización para cada una de las marginales:

( )∑=

=+++++=5

0

1280240210160080030ix

i ......xp

( )∑=

=+++=3

0

1240250260250jy

j ....yq

5.3 - Funciones de distribución marginales de una v.a. (X,Y) continua

En el ejemplo 3 supongamos que queremos hallar la probabilidad de que la coordenada x de la partícula

sea menor o igual a 0.2, es decir )2.0( ≤XP . Podemos escribir

2.01),() ,2.0()2.0(

2.0

0

1

0

2.0

0

===∞<<∞−≤=≤ ∫ ∫∫ ∫∞

∞−

dydxdydxyxfYXPXP

En general si queremos hallar )( xXP ≤ podemos plantear

∫∫ ∫∞−∞−

∞

∞−

==∞<<∞−≤=≤xx

dxxgdydxyxfYxXPxXP )(),() ,()(

donde ∫∞

∞−

= )(),( xgdyyxf

Por definición de fdp debe ser )(xg la fdp de la v.a. X

Análogamente

∫∫ ∫∞−∞−

∞

∞−

==≤∞<<−∞=≤yy

dxxhdxdyyxfyYXPyYP )(),() ,()(

donde ∫∞

∞−

= )(),( xhdyyxf

Por definición de fdp debe ser )(xh la fdp de la v.a. Y

En general:

Sea (X,Y) continua y sea ( )y,xf su función de densidad de probabilidad conjunta.

La función de densidad de probabilidad marginal de X es:

( ) ( )dyy,xfxg ∫∞

∞−

=

La función de densidad de probabilidad marginal de Y es:

( ) ( )dxy,xfyh ∫∞

∞−

=


90

Observación: Remarcamos aquí también que la función de de densidad de probabilidad marginal de X,

es decir ( )xg , calculada a partir de ( )y,xf en la forma indicada, coincide con la función de densidad de

probabilidad de variable aleatoria unidimensional X considerada en forma aislada. Análogamente la

función de densidad de probabilidad marginal de Y, es decir ( )yh calculada a partir de ( )y,xf en la

forma indicada, coincide con la función de densidad de probabilidad de variable aleatoria

unidimensional Y considerada en forma aislada. De manera que podemos calcular probabilidades como,

por ejemplo

( ) ( )

( )∫

∫ ∫

=

==

∞<<∞−≤≤=≤≤

∞

∞−

b

a

b

a

dxxg

dydxy,xfY,bXaPbXaP

Ejemplo: Consideremos nuevamente la v.a. continua (X,Y) uniformemente distribuida cuyo recorrido

XYR dibujamos otra vez

Ya vimos que la fdp está dada por

( )( )

≤≤≤≤=

puntosdemáslospara

xyxxquetalyxpara

yxf0

,10,6

,

2

Entonces las funciones de densidad de probabilidad de X e Y son

( )( ) ( )

≤≤−==

=∫∫

∞

∞−

valoresdemáslospara

xxxdydyy,xfxg

x

x

0

10662

2

( )( ) ( )

≤≤−==

= ∫∫∞

∞−


yyydxdxyxfyh

y

y

0

1066,

0

0

1

2

y

1 2 3 x

y = x

y = x2


91

5.4 - Funciones de probabilidades condicionales

Caso discreto

Consideremos nuevamente el ejemplo de las dos líneas I y II que producen cierto artículo a pequeña

escala. Definimos la v.a. ( )Y,X cuya función de probabilidad conjunta ( )ji y,xp está dada por la tabla

anterior que repetimos

XY 0 1 2 3 4 5 q(yj)

0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.25

1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.26

2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.25

3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 0.24

p(xi) 0.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.28 1

Supongamos que deseamos conocer la probabilidad de que la línea I produzca tres artículos sabiendo

que la línea II ha fabricado dos. Tenemos que calcular una probabilidad condicional. Entonces

( )( )

( )( )

2.025.0

05.0

2

2,3

2

2,3

23 ====

==

===q

p

YP

YXP

YXP

En general definimos la función de probabilidad puntual de X condicional a Y como sigue:

( ) ( ) ( )( )j

ji

jijiyq

y,xpyYxXPyxp ==== , es decir como el cociente de la función de probabilidad

conjunta de ( )Y,X y la función de probabilidad puntual marginal de Y.

Análogamente, definimos la función de probabilidad puntual de Y condicional a X :

( ) ( ) ( )( )i

ji

ijijxp

y,xpxXyYPxyq ==== , es decir como el cociente de la función de probabilidad puntual

conjunta de ( )Y,X y la función de probabilidad puntual marginal de X.

b) Caso continuo

Como ocurre con la variables aleatoria continuas en general, el definir la probabilidad condicional de

ocurrencia de un valor dado de una de las variables aleatorias del par ( )Y,X supuesto que ocurrió la

otra, presenta las dificultades conocidas relacionadas con el hecho de que la probabilidad de un punto es

cero. Entonces probabilidades tales como ( )ji yYxXP == tienen el problema que ( ) 0== jyYP .

Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional continua cuya fdp conjunta es ( )y,xf . Sean ( )xg y

( )yh la fdp marginales de X e Y, respectivamente. Definimos la función de densidad de probabilidad de

X condicional a que Y=y, a la que denotaremos ( )yxg , de la siguiente manera:

( ) ( )( )

( ) 0>= yhconyh

y,xfyxg .


92

Análogamente, la función de densidad de probabilidad de Y condicional a que X=x, a la que

denotaremos ( )xyh , se define:

( ) ( )( )

( ) 0>= xgconxg

y,xfxyh .

De acuerdo con estas definiciones, podemos calcular, por ejemplo,

( ) ( )( )

( )ch

dxc,xf

dxcxgcYbXaP

b

a

b

a

∫∫ ===≤≤

Observemos que si quisiéramos calcular esta probabilidad usando la fdp conjunta, es decir, refiriéndonos

al recorrido completo, llegaríamos a una indeterminación:

( ) ( ) ( )[ ]( )

( )

( ) 0

0==

=

=≤≤==≤≤

∫ ∫

∫ ∫∞+

∞−

c

c

b

a

c

c

y,xdyfdx

y,xdyfdx

cYP

cYbXaPcYbXaP

I.

Notar la diferencia entre la función de densidad de probabilidad condicional ( )yxg y la función de

densidad de probabilidad marginal ( )xg :

( ) ( )bXaPdxxg

b

a

≤≤=∫ , mientras que

( ) ( )∫ =≤≤=b

a

yYbXaPdxyxg .

Ejemplo:

Una máquina vendedora de refrescos se llena al principio de un día dado con una cantidad aleatoria Y, y

se despacha durante el día una cantidad aleatoria X (medida en galones). No se le vuelve a surtir durante

el día y entonces YX ≤

Se ha observado que (X,Y) tienen la densidad conjunta

¿Cuál es la probabilidad de que se venda menos de ½

galón, dado que la máquina contiene 1 galón al inicio del

día?

Solución: Primero es conveniente hacer un gráfico de la

región del plano donde la densidad conjunta

está definida

≤≤≤≤

=contrario caso 0

20 ;0 si 2/1),(

yyxyxf


93

Hallamos la densidad condicional de X dado Y. Para esto primero encontramos la fdp marginal de Y

≤≤

=

≤≤== ∫∫

∞

∞− contrario caso 0

2y0 si )2/1(

contrario caso 0

20 si )2/1(),()(

0

yydxdxyxfyh

y

Entonces la densidad condicional es

≤≤<

=

≤≤<

==contrario caso 0

20 si 1

contrario caso 0

20 si )2/1(

2/1

)(

),()|(

yxy

yxy

xg

yxfxyh

La probabilidad que interesa es

( )2

11)1|()1|2/1(

2/1

0

2/1

∫∫ =====≤∞−

dxdxyxfYXP

Notar que si la máquina hubiera contenido 2 galones al principio del día, entonces

4

1)1|()2|2/1(

2/1

0

2

12/1

∫∫ =====≤∞−

dxdxyxfYXP

Así la probabilidad condicional que 2/1≤X depende de la elección de Y

5.5 – Variables aleatorias independientes

Ya se discutió el concepto de independencia entre dos eventos A y B. Esas mismas ideas podemos

trasladarlas en relación a dos variables aleatorias X e Y que, eventualmente, podemos considerarlas como

las componentes de una variable aleatoria bidimensional ( )Y,X .

De acuerdo con esto, intuitivamente decimos que dos variables, X e Y, son independientes si el valor que

toma una de ellas no influye de ninguna manera sobre el valor que toma la otra. Esto lo establecemos

más formalmente:

a) Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional discreta. Sea ( )ji y,xp su fdp conjunta y ( )ixp y

( )jyq las correspondientes fdp marginales de X e Y. Decimos que X e Y son variables aleatorias

independientes si y sólo si

( ) ( ) ( ) ( ) XYjijiji Ry,xyqxpy,xp ∈∀=

b) Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional continua. Sea ( )y,xf su fdp conjunta y ( )xg y ( )yh

las correspondientes fdp marginales de X e Y. Decimos que X e Y son variables aleatorias

independientes si y sólo si

( ) ( ) ( ) ( ) 2Ry,xyhxgy,xf ∈∀=


94

Observación: Notar que para poder afirmar la independencia de X e Y debe cumplirse la factorización

de la fdp conjunta como producto de las fdp marginales para todos los pares de valores de la v.a. ( )Y,X .

Por lo tanto, para verificar la independencia es necesario demostrar la validez de la factorización para

todos los pares. En cambio, es suficiente encontrar un solo par que no la verifica, para afirmar, de

acuerdo con la definición, que las variables X e Y son no independientes, es decir, que son dependientes.

Esto es, para demostrar la dependencia es suficiente con encontrar un solo par que no verifique la

factorización señalada.

Vimos que dos sucesos A y B son independientes si y sólo si ( ) ( )APBAP = y ( ) ( )BPABP = (donde

por supuesto debía ser ( ) 0≠AP y ( ) 0≠BP ). En términos de variables aleatorias, esta forma de ver la

independencia se manifiesta en la igualdad entre las fdp condicionales y las correspondientes fdp

marginales, como demostramos en este

Teorema

a) Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional discreta cuyas fdp conjunta, condicionales y

marginales son, respectivamente, ( )ji y,xp ; ( )ji yxp , ( )

ij xyq y ( )ixp , ( )jyq .

Entonces, X e Y son variables aleatorias independientes si y sólo si

a1) ( ) ( ) ( ) XYjiiji Ry,xxpyxp ∈∀= , o

a2) ( ) ( ) ( ) XYjijij Ry,xyqxyq ∈∀= , que es equivalente a lo anterior

b) Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional continua cuyas fdp conjunta, condicionales y

marginales son, respectivamente, ( )y,xf ; ( )yxg , ( )xyh y ( )xg , ( )yh .

Entonces, X e Y son variables aleatorias independientes si y sólo si

b1) ( ) ( ) ( ) 2Ry,xxgyxg ∈∀= , o

b2) ( ) ( ) ( ) 2Ry,xyhxyh ∈∀= , que es equivalente al anterior.

Dem.)

a) Demostraremos solamente a1). La equivalencia entre a1) y a2) la dejamos como ejercicio.

Para demostrar a1) verificaremos la doble equivalencia entre ésta y la definición de v.a. independientes.

⇒ )

Sean X e Y variables aleatorias independientes. Entonces ( )XYji Ry,x ∈∀

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )i

j

ji

j

ji

ji xpyq

yqxp

yq

y,xpyxp ===

Aquí la primera igualdad es la definición de fdp condicional y la segunda sale de la definición de

independencia al suponer que X e Y son independientes.

⇐ )

Supongamos que se verifica a1). Entonces ( )XYji Ry,x ∈∀

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )jijii

j

ji

iji yqxpy,xpxpyq

y,xpxpyxp =→=→= → X e Y independientes


95

Aquí, la primera implicación se debe a la definición de fdp condicional y la tercera a la definición de v.a.

independientes.

b) También demostramos sólo b1) y dejamos como ejercicio demostrar la equivalencia entre b1) y b2).

⇒ )

Sean X e Y variables aleatorias independientes. Entonces ( ) 2Ry,x ∈∀

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )xgyh

yhxg

yh

y,xfyxg ===

Aquí la primera igualdad es la definición de fdp condicional y la segunda sale de la definición de

independencia al suponer que X e Y son independientes.

⇐ )

Supongamos que se verifica b1). Entonces ( ) 2Ry,x ∈∀

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )yhxgy,xfxgyh

y,xgxgyxg =→=→= → X e Y independientes.

Aquí, la primera implicación se debe a la definición de fdp condicional y la tercera a la definición de v.a.

independientes.

Ejemplos:

1- Supongamos que una máquina se usa para un trabajo específico a la mañana y para uno diferente en

la tarde. Representemos por X e Y el número de veces que la máquina falla en la mañana y en la tarde

respectivamente. Supongamos que la tabla siguiente da la función de probabilidad conjunta ( )ji y,xp de

la variable aleatoria bidimensional discreta ( )Y,X .

Y/X 0 1 2 q(yj)

0 0.1 0.2 0.2 0.5

1 0.04 0.08 0.08 0.2

2 0.06 0.12 0.12 0.3

P(xi) 0.2 0.4 0.4 1

Deseamos saber si las variables aleatorias X e Y son independientes o dependientes.

Para demostrar que son independientes debemos probar que se verifica ( )XYji Ry,x ∈∀

( ) ( ) ( )jiji yqxpy,xp = Verificamos directamente que

( ) ( ) ( ) 5020001000 ..qp.,p ×===

( ) ( ) ( ) 20201004010 ..qp.,p ×===

( ) ( ) ( ) 30202006020 ..qp.,p ×===

( ) ( ) ( ) 5040012001 ..qp.,p ×===

( ) ( ) ( ) 20401108011 ..qp.,p ×===

( ) ( ) ( ) 30402112021 ..qp.,p ×===

( ) ( ) ( ) 5040022002 ..qp.,p ×===

( ) ( ) ( ) 20401208012 ..qp.,p ×===

( ) ( ) ( ) 30402212022 ..qp.,p ×===

Luego X e Y son independientes.


96

Podríamos haber usado las condiciones a1) ( ) ( ) ( ) XYjiiji Ry,xxpyxp ∈∀= , o su equivalente

a2) ( ) ( ) ( ) XYjijij Ry,xyqxyq ∈∀= . Veamos, como muestra para un solo valor, que se verifica

( ) ( )( )

( )24020

080

1

1212 p.

.

.

q

,pp ==== . Para demostrar la independencia por este camino habría que

demostrar que se cumple la condición para el resto de los pares de valores. Se deja este cálculo como

ejercicio optativo.

2- Sean X e Y v.a. continuas que representan el tiempo de vida de dos dispositivos electrónicos.

Supongamos que la fdp conjunta de la v.a. continua ( )Y,X es:

( )( )

∞<≤∞<≤=

+−

valoresdemáslospara0

0,0

,

yxe

yxf

yx

Deseamos saber si X e Y son variables aleatorias independientes.

Calculamos las fdp marginales de X e Y :

( ) ( ) ( ) xyx edyedyy,xfxg −+∞

+−+∞

∞−∫∫ ===0

( ) ( ) ( ) yyx edxedxy,xfyh −+∞

+−+∞

∞−∫∫ ===0

Luego las marginales son:

( )

∞<≤=

−


xe

xg

x

0

0

( )

∞<≤=

−


ye

yh

y

0

0

Vemos que efectivamente

( ) ( ) ( )( )

∞<≤∞<≤===

−−+−


0,0

,

yxeee

yhxgyxf

yxyx

Es decir X e Y son v.a. independientes.

También podemos verificar la condición b1):

( ) ( )( )

( )

( )xgxe

e

e

yh

yxfyxg

x

y

yx

=

∞<≤=

==−

−

+−


0, ( ) 2Ry.x ∈∀


97

3- Consideremos un ejemplo donde no se verifica la independencia.

Sea una v.a.b cuya fdp conjunta es

( )

≤≤≤

=valoresdemáslospara0

108

,

yxxy

yxf

En la figura siguiente mostramos el recorrido

Calculamos las fdp marginales de X e Y :

( )( )

≤≤−=

=∫


10148

1

2

x

xxxxydyxg

( )

≤≤=

= ∫valoresdemáslospara0

10480

3

y

yyxydxyh

y podemos apreciar que para 10 ≤≤≤ yx en general es

( ) ( ) ( ) ( )yhxgyxxxyy,xf =−≠= 321168 .

Luego X e Y son variables aleatorias dependientes.

Observaciones

1- De la definición de las fdp marginales, vemos que tanto en el caso discreto como en el continuo, la

fdp conjunta determina unívocamente las fdp marginales. Es decir, si ( )Y,X es discreta del

conocimiento de la función de probabilidad conjunta ( )ji y,xp podemos determinar unívocamente las

funciones de probabilidad ( )ixp y ( )jyq . Análogamente, si ( )Y,X es continua del conocimiento de la

0

0

1

2

y

1 2 3

x

y = x

RXY


98

función de densidad de probabilidad conjunta ( )y,xf podemos determinar unívocamente las funciones

de densidad ( )xg y ( )yh . Sin embargo la inversa no se cumple en general. Es decir del conocimiento de

( )ixp y ( )jyq no se puede, en general, reconstruir ( )

ji y,xp a menos que X e Y sean variables

independientes en cuyo caso es ( ) ( ) ( )jiji yqxpy,xp = y, análogamente, en el caso continuo, del

conocimiento de ( )xg y ( )yh no se puede construir en general ( )y,xf excepto cuando X e Y son

independientes en cuyo caso puedo escribir ( ) ( ) ( )yhxgy,xf =

2- Podemos observar del último ejemplo, que puede ocurrir que aún cuando la función ( )y,xf ya esté

escrita en forma factorizada como una función sólo de x por una función sólo de y, las variables X e Y

no sean independientes puesto que el dominio es tal que hace que las variables sean dependientes. Así,

en el ejemplo anterior, el recorrido ( ){ }10 ≤≤≤= yx:Y,XRXY condiciona los valores que toma x a

los valores que toma y.

3- El concepto de independencia entre dos variables aleatorias se puede generalizar a n variables

aleatorias nXXX ,...,, 21

5.6 - Función de una variable aleatoria bidimensional

Existen muchas situaciones en las que dado una variable aleatoria bidimensional nos interesa considerar

otra variable aleatoria que es función de aquélla. Por ejemplo, supongamos que las variables aleatorias X

e Y denotan la longitud y el ancho, respectivamente, de una pieza, entonces YXZ 22 += es una v.a. que

representa el perímetro de la pieza, o la v.a. YXW .= representa el área de la pieza. Tanto Z como W

son variables aleatorias.

En general, sea S un espacio muestral asociado a un experimento probabilístico ε , sean RS:X → e

RS:Y → dos variables aleatorias que definen una variable aleatoria bidimensional ( )Y,X cuyo

recorrido es XYR , y sea una función de dos variables reales RR:H XY → que a cada elemento ( )y,x del

recorrido XYR le hace corresponder un número real ( )y,xHz = , entonces la función compuesta

( ) RSYXHZ →= :, es una variable aleatoria, puesto que a cada elemento Ss∈ le hace corresponder

un número real ( ) ( )[ ]sY,sXHz = . Diremos que la variable aleatoria Z es función de la variable

aleatoria bidimensional (X,Y).

Algunas variables aleatorias que son función de variables aleatorias bidimensionales son YXZ += ,

Y.XZ = , Y/XZ = , ( )Y,XmínZ = , ( )Y,XmáxZ = , etc.

Lo anterior se puede generalizar si en lugar de dos variables aleatorias tenemos n variables aleatorias

nXXX ,...,, 21 , y ( )nxxxHz ,..., 21= es una función de n variables a valores reales.

Ejemplos:

1- Sea ),(~ pnBZ

Podemos escribir a Z como suma de variables aleatorias de la siguiente forma.

Recordar que Z cuenta el número de éxitos en n repeticiones o ensayos del experimento ε Si definimos


99

−

=contrariocaso

éxitoocurrederepeticiónésimaílaensi

X i 0

1 ε ni ,...,2,1=

Notar que a cada iX se la puede considerar ),1( pB , y además nXXX ,...,, 21 son independientes

Podemos escribir nXXXZ +++= ...21

2- Sea Z v.a. binomial negativa con parámetros r y p, es decir ),( ~ prBNZ

Si definimos

1X : “número de repeticiones del experimento requeridos hasta el 1º éxito”

2X : “número de repeticiones del experimento adicionales requeridos hasta el 2º éxito”


Y en general

iX : “número de repeticiones del experimento adicionales después del (i-1)–ésimo éxito requeridos hasta

el i-ésimo éxito”

Entonces cada variable tiene distribución geométrica con parámetro p y rXXXZ +++= ...21

Notar además que rXXX ,...,, 21 son independientes

Esperanza de una v.a. que es función de una v.a. bidimensional

Sea una variable aleatoria bidimensional ( )Y,X cuya fdp conjunta es la función de probabilidad

conjunta ( )ji y,xp si es discreta o la función de densidad de probabilidad conjunta ( )y,xf si es continua

y sea una función real de dos variables ( )y,xHz = de manera que podemos definir una variable

aleatoria Z que es función de la variable aleatoria bidimensional ( )Y,X de la forma ( )Y,XHZ = . Si la

fdp de Z es ( )izq , si Z es discreta, o ( )zq si es continua, entonces la esperanza matemática de Z es, de

acuerdo con la definición general,

( ) ( )∑∈

=Xi Rx

ii zq.zZE (para Z discreta)

( ) ( )∫∞

∞−

= dzzzqZE (para Z continua)

Nuevamente lo interesante es considerar la posibilidad de evaluar ( )ZE sin tener que calcular

previamente la fdp de Z. El siguiente teorema nos muestra cómo hacerlo.

Teorema Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional y sea Z=H(X,Y) una variable aleatoria que es

función de (X,Y).

a) Si Z es variable aleatoria discreta que proviene de la variable aleatoria bidimensional discreta (X,Y)

cuyo recorrido es XYR y su fdp conjunta es ( )ji y,xp , entonces:

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )∑

∈

==XYji Ry,x

jiji y,xpy,xHY,XHEZE

b) Si Z es variable aleatoria continua que proviene de la variable aleatoria continua bidimensional (X,Y)

cuya fdp conjunta es ( )y,xf , entonces:


100

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

== dxdyy,xfy,xHY,XHEZE .

Dem.) sin demostración

Ejemplo:

Supongamos que debido a innumerables causas incontrolables la corriente i y la resistencia r de un

circuito varían aleatoriamente de forma tal que pueden considerarse como variables aleatorias I y R

independientes. Supongamos que las correspondientes fdp son:

( )

≤≤

=valoresdemás

ii

ig0

102

( )

≤≤

=valoresdemás

rr

rh0

309

2

Nos interesa considerar el voltaje r.iv = de manera que podemos definir la variable aleatoria R.IV = .

Específicamente deseamos conocer el valor esperado o esperanza matemática del voltaje: ( )VE .

Usando la propiedad establecida en el teorema anterior:

( ) ( ) ( )didrr,if.r,iHVE ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= . Ahora bien, puesto que consideramos que I y R son variables aleatorias

independientes, la fdp conjunta de la v.a. bidimensional (I,R) es simplemete el producto de las

marginales o sea de las fdp de las variables aleatorias I y R tomadas como variables aleatorias

unidimensionales: ( ) ( ) ( )rh.igr,if = , es decir:

( )

≤≤≤≤=

valoresdemás

ryisir.ir,if

0

30109

2 2

Entonces

( ) ( )2

3

9

2

9

21

0

2

3

0

32

1

0

3

0

=== ∫∫∫∫ diidrrr.i.r.ididrVE

Esperanza de una suma de variables aleatorias

Dem.) en el teorema anterior consideramos yxyxH +=),(

Si (X,Y) es discreta

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )

=+=== ∑∑∈∈

),()(,,,),(,

j

Ryx

iji

Ryx

jiji yxpyxyxpyxHYXHEZEXYjiXYji

Aplicando la propiedad distributiva y separando en dos sumas

( ) =+=+= ∑∑∑∈∈∈

),(),(),()(),(),(),(

j

Ryx

ijji

Ryx

ij

Ryx

iji yxpyyxpxyxpyxZEXYjiXYjiXYji

Sean X e Y dos variables aleatorias arbitrarias. Entonces ( ) ( ) ( )YEXEYXE +=+ .


101

∑ ∑∑ ∑∑∑∑∑ =+=+=j i

jij

i j

jiiji

i j

jji

i j

i yxpyyxpxyxpyyxpx ),(),(),(),(

Pero )(),(∑ =j

iji xpyxp y )(),(∑ =i

jji yqyxp , por lo tanto

)()()()( YEXEyqyxpxj

jji

i

i +=+= ∑∑

Para el caso continuo la demostración es análoga, cambiando sumatorias por integrales.

Podemos generalizar la propiedad anterior a un número finito cualquiera de variables aleatorias:

(leeremos: “la esperanza de la suma es la suma de las esperanzas”)

Dem.) Se deduce por inducción completa sobre el número n de variables aleatorias.

Observación: se deduce que la esperanza verifica la propiedad lineal:

( )∑∑==

=

n

i

ii

n

i

ii XEaXaE11

.

Ejemplos:

1- Vamos a aplicar algunas de las propiedades anteriores para calcular de una manera alternativa la

esperanza matemática de una variable aleatoria X distribuida binomialmente.

Sea entonces una v.a. X∼B(n,p). Ya vimos que podemos escribir nXXXX +++= ...21 donde cada iX se la puede considerar ),1( pB ,

y además nXXX ,...,, 21 son independientes

Entonces

pXPXPXPXE iiii ====×+=×= )1()0(0)1(1)( para cualquier i

Por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( ) nppppXEXEXEXXXEXE

vecesn

nn =+++=+++=+++=4434421

.........)( 2121

Observación: muchas veces es conveniente descomponer una variable aleatoria como suma de otras más

simples para facilitar los cálculos

2- Esperanza de una v.a. binomial negativa

Cuando se trató la v.a. binomial negativa se dijo cuál era su esperanza. Ahora damos una demostración

Sea X v.a. binomial negativa con parámetros r y p, es decir ),( ~ prBNX

Si definimos

Sean nX,...,X,X 21 n variables aleatorias arbitrarias. Entonces:

( ) ( ) ( ) ( )nn XE...XEXEX...XXE +++=+++ 2121 o, en notación más concentrada,:

( )∑∑==

=

n

i

i

n

i

XEXE11

1


102

1X : “número de repeticiones del experimento requeridos hasta el 1º éxito”



Y en general

iX : “número de repeticiones del experimento adicionales después del (i-1)–ésimo éxito requeridos hasta

el i-ésimo éxito”

Entonces cada variable tiene distribución geométrica con parámetro p y rXXXX +++= ...21

Por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( )p

r

pr

pppXEXEXEXXXEXE

vecesr

rr ==+++=+++=+++=11

...11

......)( 2121

44 344 21

3- Esperanza de una v.a. hipergeométrica

)( entonces ) ,( ~ SiN

nMXENM,nHX =

Para facilitar la demostración supongamos que tenemos N bolillas en una urna de las cuales M son rojas

y N-M son blancas. Queremos hallar el número esperado de bolillas rojas extraídas

Definimos las variables

−

=contrariocaso

extraídaesrojabolillaésimailasi

X i 0

1

Las variables MXXX ,..., 21 no son independientes

Se puede escribir MXXXX +++= ...21 , además

N

n

n

N

n

N

XPXE ii =

−

−

===1

1

1

1

)1()(

Por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( )N

nM

N

nM

N

n

N

n

N

nXEXEXEXXXEXE

vecesM

MrM ==+++=+++=+++=44 344 21

.........)( 2121

En general la esperanza de un producto de variables aleatorias no es igual al producto de las

esperanzas

(leeremos:” la esperanza del producto es el producto de las esperanzas”).

Dem.) (caso continuo)

Si ( )Y,X es una variable aleatoria bidimensional tal que X e Y son variables aleatorias

independientes, entonces: ( ) ( ) ( )YE.XEY.XE =


103

Sea ( ) Y.XY,XHZ == y sea ( )y,xf la fdp conjunta de la v.a. ( )Y,X . Entonces, usando el teorema

que establece que ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

== dxdyy,xfy,xHY,XHEZE , tenemos:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−

= dxdyy,xfy.xY.XE . Pero siendo X e Y variables aleatorias independientes es

( ) ( ) ( )yhxgy,xf = , donde ( )xg y ( )yh son las fdp marginales de X e Y que sabemos coinciden con las

fdp de X e Y tomadas como variables aleatorias unidimensionales. Luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ,YE.XE

dyyyhdxxxgdxdyyhxgy.xY.XE

=

== ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

donde en la última igualdad tuvimos en cuenta la definición de esperanza de v.a. unidimensionales.

Ejemplo:

Nuevamente consideramos el siguiente ejemplo

Supongamos que debido a innumerables causas incontrolables la corriente i y la resistencia r de un

circuito varían aleatoriamente de forma tal que pueden considerarse como variables aleatorias I y R

independientes. Supongamos que las correspondientes fdp son:

( )

≤≤

=valoresdemás

ii

ig0

102

( )

≤≤

=valoresdemás

rr

rh0

309

2

Nos interesa considerar el voltaje r.iv = de manera que podemos definir la variable aleatoria R.IV = .

Hallar el valor esperado o esperanza matemática del voltaje: ( )VE .

Como I y R son independientes, usando la propiedad anterior

( ) )()( REIEVE =

3

2

32)2()(

1

0

31

0

=== ∫i

diiiIE 19

3

9

1

49

1

9)(

43

0

43

0

2

=×==

= ∫

rdr

rrRE

3

21

3

2)( =×=∴ VE

Varianza de una suma de variables aleatorias

.

Dem.) Escribimos la varianza en su forma alternativa

( ) ( ) ( ) XYYVXVYXV σ2++=+ con ( ) ( ) ( )YE.XEY.XEσXY −=


104

( ) [ ]( ) ( )[ ]22YXEYXEYXV +−+=+ . Desarrollamos los cuadrados y aplicamos la propiedad lineal de

la esperanza:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]{ }2222

222

22

2

YEYEXEXEYEY.XEXE

YEXEYY.X.XEYXV

++−++=

+−++=+

Agrupando convenientemente:

( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }YEXEY.XEYVXV

YEXEY.XEYEYEXEXEYXV

−++=

−+−+−=+

2

22222

, es decir

( ) ( ) ( ) XYσYVXVYXV 2++=+

Observaciones:

1- Teniendo presente la definición de la desviación estándar de una v.a. X: ( )XVσX = , vemos que a la

propiedad anterior la podemos escribir:

( ) XYYX σσσYXV 222 ++=+

2- Análogamente se prueba que ( ) XYYXYXV σσσ 222 −+=−

3- X e Y son independientes, entonces ( ) ( ) ( )YVXVYXVYXV +=−=+ )(

Esto es porque si las variables aleatorias X e Y son independientes, entonces ( ) ( ) ( )YE.XEY.XE = .

Por lo tanto la covarianza vale cero : ( ) ( ) ( ) 0=−= YE.XEY.XEσXY .

4- Podemos generalizar, usando el principio de inducción completa, al caso de n variables aleatorias

independientes:

Si nX,...,X,X 21 son n variables aleatorias independientes entonces:

( ) ( ) ( ) ( )nn XV...XVXVX...XXV +++=+++ 2121 o, en forma más compacta, ( )∑∑==

=

n

i

i

n

i

i XVXV11

.

5- Vemos que la esperanza de la suma de dos variables aleatorias X e Y es igual a la suma de las

esperanzas ( ) ( ) ( )YEXEYXE +=+ cualesquiera sean X e Y . En cambio la varianza de la suma de las

variables aleatorias X e Y es, en general, igual a la suma de las varianzas, ( ) ( ) ( )YVXVYXV +=+ , sólo

si X e Y son variables independientes.

Ejemplos:

1- Podemos ejemplificar la aplicación de las propiedades de la varianza, calculando nuevamente la

varianza de una v.a. X distribuida binomialmente con parámetros n y p.

Sea entonces una v.a. X∼B(n,p). Vimos que se puede escribir:

( ) ( ) ( )YE.XEY.XEσXY −= se la llama la covarianza de X e Y.


105

nXXXX +++= ...21 , donde las n variables aleatorias son independientes entre sí y tienen todas la

misma distribución:

( )pBX i ,1∼ n,...,,i 21=∀

Entonces, tratándose de n variables aleatorias independientes

( ) ( ) ( ) ( )nXVXVXVXV +++= ...21 todas la varianzas son iguales y podemos escribir la suma como n

veces una cualquiera de ellas:

( ) ( )iXnVXV = . Pero

( ) ( ) ( )[ ]22

iii XEXEXV −= .

Ya vimos que ( ) ( ) 010.1 =−+= ppXE i

Además es: ( ) ( ) pppXE i =−+= 10.1 222

Entonces: ( ) ( ) ( )[ ] ( )ppppXEXEXV iii −=−=−= 1222 .

Luego:

( ) ( ) ( )pnpXnVXV i −== 1

que es el resultado que habíamos obtenido a partir de la definición y llevando las sumas involucradas a

la forma del desarrollo de un binomio de Newton.

2- Varianza de una v.a. binomial negativa

Ya vimos que podemos escribir rXXXX +++= ...21 , donde cada variable iX tiene distribución

geométrica con parámetro p Por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( )221

1...

p

prXVXVXVXV r

−=+++=

5.7 - Covarianza

Sean X e Y dos variables aleatorias. La covarianza de X e Y se define:

Notación: la notación usual para la covarianza de X e Y es XYσ o ),( YXCov

La última igualdad surge de desarrollar el producto y aplicar las propiedades de la esperanza:

( )[ ] ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }YEXEY.XEYE.XY.XEYEY.XEXE +−−=−−

Teniendo presente que ( )XE y ( )YE son constantes:

( )[ ] ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YE.XEY.XEYEXEYEXEYE.XEY.XEYEY.XEXE −=+−−=−− .

La esperanza en la definición debe pensarse de la siguiente manera (suponiendo que la v.a. ( )Y,X es

continua):

( ){ } ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

== dxdyyxfyxHYXHEYXCov ,,,),( con ( ) ( )[ ] ( )[ ]YEy.XExy,xH −−=

Ya vimos la siguiente propiedad

( )[ ] ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( )YEXEYXEYEYXEXEYXCov ...),( −=−−=


106

Dem. )

Según vimos, si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces ( ) ( ) ( )YE.XEY.XE = , de donde

se sigue la propiedad.

Propiedades de la covarianza

Las siguientes propiedades son útiles y su verificación se deja como ejercicio

1- ),(),( YXbdCovdYcbXaCov =++

2- ),(),(),( ZYCovZXCovZYXCov +=+

3- ∑∑∑∑= ===

=

n

i

m

j

ji

m

j

j

n

i

i YXCovYXCov1 111

),(,

4- )(),( XVXXCov =

Ejemplo: Varianza de una v.a. hipergeométrica

−−

−=

1)( entonces ) ,( ~ Si

N

nN

N

MN

N

MnXVNM,nHX

Para facilitar la demostración supongamos que tenemos N bolillas en una urna de las cuales M son rojas

y N-M son blancas. Queremos hallar la varianza del número de bolillas blancas extraídas

Como antes definimos las variables

−

=contrariocaso

extraídaesrojabolillaésimailasi

X i 0

1

Las variables MXXX ,..., 21 no son independientes

Se puede escribir MXXXX +++= ...21 , además

N

n

n

N

n

N

XPXE ii =

−

−

===1

1

1

1

)1()( y

( )

−=

−=−=N

n

N

n

N

n

N

nXEXEXV iii 1)()()(

2

22

Por lo tanto ),(2)()...()(1 1

21 j

M

i Mji

iiM XXCovXVXXXVXV ∑ ∑= ≤≤<

+=+++=

Por otro lado )()()();( jijiji YEXEXXEXXCov −=

Y )1(

)1()(

−−

=NN

nnXXE ji , entonces

2

)1(

)1();(

−−−

=N

n

NN

nnXXCov ji

Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces 0),( =YXCov .


107

Aplicando algunos pasos algebraicos se llega a

−

−

−=

−−−

=N

n

NN

n

N

n

NN

nnXXCov ji 1

1

1

)1(

)1();(

2

Reemplazando

−

−

−

+

−=+=∑ ∑= ≤≤< N

n

N

n

N

M

N

n

N

nMXXCovXVXV j

M

i Mji

ii 11

1

221),(2)()(

1 1

Nuevamente, luego de algunos cálculos algebraicos se llega a

−−

−=

1)(

N

nN

N

MN

N

MnXV

5.8 - Coeficiente de correlación lineal.

En realidad más que la covarianza aquí nos interesa considerar una cantidad relacionada con XYσ y que

según veremos nos dará información sobre el grado de asociación que existe entre X e Y . Más

concretamente nos contará si existe algún grado de relación lineal entre X e Y . Esa cantidad es el

coeficiente de correlación lineal.

En el mismo sentido en que podemos tener una idea aproximada sobre la probabilidad de un suceso A si

repetimos el experimento y consideramos las ocurrencias de A en las n repeticiones,

así podemos tener también una primera idea sobre la existencia de una relación funcional,

específicamente una relación lineal, entre X e Y si consideramos un diagrama de dispersión. Consiste en

dibujar pares de valores ( )ji y,x medidos de la variable aleatoria ( )Y,X en un sistema de coordenadas.

En la figura mostramos diversas situaciones posibles.

De la figura a se deduciría que entre X e Y no hay ningún tipo de relación funcional. La figura b sugiere

la posibilidad de que exista una relación funcional que corresponde a una parábola. La figura c, por su

parte, sugiere una relación lineal entre X e Y . Este último es el comportamiento que nos interesa

caracterizar. Con ese fin definimos el coeficiente de correlación lineal como sigue:

0 0 a b c

x x

y y y

(xi yi)

x


108

En consecuencia:

( )[ ] ( )[ ]{ }( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )YV.XV

YE.XEY.XE

YV.XV

YEY.XEXEρXY

−=

−−= .

Daremos una serie de propiedades de XYρ que nos permitirán establecer más concretamente su

significado.

Propiedad 1

Dem.) inmediata a partir del hecho que si X e Y son independientes entonces )()()( YEXEXYE =

Observación: La inversa no es necesariamente cierta. Puede ser que 0=XYρ y sin embargo X e Y no

sean variables aleatorias independientes. En efecto si tenemos una v.a. bidimensional ( )Y,X que da

lugar a un diagrama de dispersión como el que se muestra en la figura, veremos que correspondería a un

coeficiente de correlación lineal 0=XYρ y sin embargo la figura sugiere que entre X e Y existe la

relación funcional 122 =+YX , es decir X e Y son v.a. dependientes. En realidad, como veremos, XYρ es

una medida de la existencia de una relación lineal entre X e Y y una circunferencia se aleja mucho de

una línea recta.

Propiedad 2 :

Dem.)

y

x 0 1 2 3 -1 -2

-1

1

Sea ( )Y,X una variable aleatoria bidimensional. Definimos el coeficiente de correlación lineal entre

X e Y como YX

XY

YXCov

σσρ

),(=

Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces 0=XYρ .

11 ≤≤− XYρ


109

Si consideramos la v.a. YX

YX

σσ+ entonces

( )XY

YXYXYX

YXCovYVXVYXV ρ

σσσσσσ+=++=

+≤ 12

),(2)()(0

22

Implicando que XYρ≤−1

Por otro lado: ( )XY

YXYXYX

YXCovYVXVYXV ρ

σσσσσσ−=−+=

−≤ 12

),(2)()(0

22

Implicando que 1≤XYρ

11 ≤≤−∴ XYρ

Propiedad 3 :

Dem.) Si 12 =XYρ entonces 1=XYρ o 1−=XYρ

Si 1−=XYρ entonces de la demostración anterior se deduce que

( ) 012 =+=

+ XY

YX

YXV ρ

σσ, lo que implica que la v.a.

YX

YXZ

σσ+= tiene varianza cero. Según la

interpretación de varianza podemos deducir (en forma intuitiva) que la v.a. no tiene dispersión con

respecto a su esperanza, es decir la v.a. Z es una constante con probabilidad 1

Por lo tanto esto implica que BX.AY += con 0<−=X

YAσσ

Análogamente 1=XYρ implica que BX.AY += con 0>=X

YAσσ

Propiedad 4 :

Dem.) se deja como ejercicio

Observación: Claramente las propiedades anteriores establecen que el coeficiente de correlación lineal

es una medida del grado de linealidad entre X e Y.

Si 12 =XYρ , entonces con probabilidad 1 es BX.AY += donde A y B son constantes.

Si X e Y son dos variables aleatorias tales que BX.AY += , donde A y B son constantes,

entonces 12 =XYρ . Si 0>A es 1=XYρ y si 0<A es 1−=XYρ .


110

6- SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS Y TEOREMA

CENTRAL DEL LÍMITE

6.1 – Suma de variables aleatorias independientes

Cuando se estudiaron las variables aleatorias bidimensionales se habló de una función de variable

aleatoria bidimensional. En particular se nombró la suma de n variables aleatorias, pero no se dijo nada

sobre la distribución de esa v.a. suma.

Es a menudo importante saber cuál es la distribución de una suma de variables aleatorias independientes.

Consideramos algunos ejemplos en el caso discreto

1- Suma de variables aleatorias independientes con distribución Poisson

)(~ ntesindependie Yy ; )(~ ; )(~ 2121 λλλλ ++⇒ PYXXPYPX

Dem.)

Consideramos el evento { }nYX =+ como unión de eventos excluyentes { } nkknYkX ≤≤−== 0 ,

, entonces

( )=

−=−===−====+

−−

=

−

==∑∑∑

!!)()(),()( 2

0

1

00

21

kne

keknYPkXPknYkXPnYXP

knn

k

kn

k

n

k

λλ λλ

X e Y independientes

( ) ( )( )nkn

n

k

kn

k

knk

n

e

knk

n

n

e

knke 21

)(

2

0

1

)(

0

21)(

!!!

!

!!!

2121

21 λλλλλλ λλλλ

λλ +=−

=−

=+−

−

=

+−

=

−+− ∑∑

Binomio de Newton

O sea X+Y tiene distribución Poisson con parámetro 21 λλ +

2- Suma de variables aleatorias binomiales independientes

),(~ ntesindependie Yy ; ),(~ ; ),(~ 2121 pnnBYXXpnBYpnBX ++⇒

Dem.)

Nuevamente consideramos el evento { }kYX =+ como unión de eventos excluyentes

{ } 10 , niikYiX ≤≤−== , entonces

=−

−

−

=−===−====+ +−−−

===∑∑∑ iknikinin

k

n

i

n

i

ppik

npp

i

nikYPiXPikYiXPkYXP 21

111

)1()1()()(),()(2

0

1

00

X e Y independientes

−

−= ∑

=

−+

ik

n

i

npp

n

i

knnk 2

0

11

21)1(

En la expresión anterior si rj > entonces 0=

j

r


111

Por último usamos la siguiente identidad combinatoria ∑=

+=

−

1

0

2121n

i k

nn

ik

n

i

n

Y entonces

knnk ppk

nnkYXP

−+−

+==+ 21)1()(

21

O sea X+Y tiene distribución binomial con parámetros 21 nn + y p

Observación: en los dos casos anteriores se puede generalizar el resultado a n variables aleatorias

independientes, usando el principio de inducción completa, es decir

1- Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde )(~ ii PX λ para todo

ni ,...,2,1= entonces )(~00

∑∑==

n

i

i

n

i

i PX λ

2- Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~ pnBX ii para todo

ni ,...,2,1= entonces ),(~00

pnBXn

i

i

n

i

i ∑∑==

Suma de variables aleatorias normales independientes

Si X e Y son dos variables aleatorias continuas independientes con densidades g(x) y h(y)

respectivamente se puede probar (no lo demostraremos aquí) que la v.a. YXZ += tiene densidad dada

por ∫∞

∞−+ −= dyyhyzgzf YX )()()(

Usando esto se puede demostrar el siguiente importante resultado:

Por inducción completa se puede generalizar este resultado a n variables:

De lo anterior y del hecho que ( ) ),~ ,~ 222 σµσµ abN(abaXNX ++⇒ tenemos:

Se dice

que

∑=

n

i

ii Xa0

Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~ 2

iii NX σµ para todo

ni ,...,2,1= entonces ),(~1

2

00

∑∑∑===

n

i

i

n

i

i

n

i

i NX σµ

Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~ 2

iii NX σµ para todo

ni ,...,2,1= entonces ),(~1

22

00

∑∑∑===

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii aaNXa σµ donde naaa ,...,, 21 son números reales

Si X e Y son variables aleatorias independientes donde ( ) ,~2

11 σµNX y ( ) ,~2

22 σµNY entonces

( ) ,~2

2

2

121 σσµµ +++ NYX


112

es una combinación lineal de variables aleatorias.

Ejemplos:

1- La envoltura de plástico para un disco magnético está formada por dos hojas. El espesor de cada

una tiene una distribución normal con media 1.5 milímetros y desviación estándar de 0.1 milí-

metros. Las hojas son independientes.

a) Determine la media y la desviación estándar del espesor total de las dos hojas.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el espesor total sea mayor que 3.3 milímetros?

Solución: Sean las variables aleatorias

X: “espesor de la hoja 1” e Y: “espesor de la hoja 2”

Entonces )1.0,5.1~ 2N(X ; )1.0,5.1~ 2N(Y y X e Y independientes

a) Si definimos la v.a. Z: “espesor total de las dos hojas” , entonces YXZ +=

Por lo tanto )1.01.0 ,5.15.1~ 22 ++N(Z es decir )02.0 ,3~ N(Z

En consecuencia 3)( =ZE , 02.0)( == ZVZσ

b) Se pide calcular )3.3( >ZP

( ) 017.0983.0112132.2102.0

33.31

02.0

33.3

02.0

3)3.3( =−=Φ−=

−Φ−=

−>

−=>

ZPZP

2-Tengo tres mensajes que atender en el edificio administrativo. Sea Xi : “ el tiempo que toma el i-

ésimo mensaje” (i = 1, 2 ,3), y sea X4 : “ el tiempo total que utilizo para caminar hacia y desde el

edificio y entre cada mensaje”. Suponga que las Xi son independientes, normalmente distribui-

das, con las siguientes medias y desviaciones estándar:

3 ,12 ,2 ,8 ,1 ,5 ,4 min,15 44332211 ======== σµσµσµσµ

Pienso salir de mi oficina precisamente a las 10.00 a.m. y deseo pegar una nota en mi puerta que

dice “regreso a las t a.m.” ¿A qué hora t debo escribir si deseo que la probabilidad de mi llegada

después de t sea 0.01?

Solución: Definimos la v.a. Z: “tiempo transcurrido desde que salgo de mi oficina hasta que re-

greso”, entonces 4321 XXXXT +++=

Por lo tanto

∑∑==

4

1

24

1

,~i

i

i

iNT σµ , y se pide hallar t tal que 01.0)( => tTP

501285154

1

=+++=∑=i

iµ y 303214 2224

1

22 =+++=∑=i

iσ

Entonces 01.030

501)( =

−Φ−=>

ttTP , es decir 99.0

30

50=

−Φ

t

Buscando en la tabla de la normal 7619.62503033.2 33.230

50=+×=⇒=

−t

t

3- El ancho del marco de una puerta tiene una distribución normal con media 24 pulgadas y des-

viación estándar de 1/8 de pulgada. El ancho de la puerta tiene una distribución normal con me-

dia 23.875 de pulgadas y desviación estándar de 1/16 de pulgadas. Suponer independencia.

a) Determine la distribución, la media y la desviación estándar de la diferencia entre el ancho

del marco y de la puerta.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre el ancho del marco y de la puerta sea ma-

yor que ¼ de pulgada?.


113

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la puerta no quepa en el marco?.

Solución: Sean las variables aleatorias

X: “ancho del marco de la puerta en pulgadas”

Y: “ancho de la puerta en pulgadas”

Entonces )1/8)( ,24~ 2N(X , )1/16)( ,875.23~ 2N(Y , X e Y independientes

a) Se pide la distribución de X-Y , )( YXE − , )( YXVYX −=−σ

125.0875.2324)()()( =−=−=− YEXEYXE

16

5

256

5

16

1

8

1)()()(

22

=∴=

+

=+=− −YXYVXVYXV σ

Por lo tanto

−

2

16

5 ,125.0~ NYX

b) Se pide la probabilidad )4/1( >−YXP

1867.08133.01)8944.0(15

521

16

5

125.025.01)4/1( =−=Φ−=

Φ−=

−

Φ−=>−YXP

c) Si la puerta no entra en el marco entonces se da el evento { }YX < o equivalentemente

{ }0<−YX , por lo tanto

1867.05

521

5

52

16

5

125.00)0( =

Φ−=

−Φ=

−

Φ=<−YXP

4- Supongamos que las variables aleatorias X e Y denotan la longitud y el ancho en cm, respecti-

vamente, de una pieza.

Supongamos además que X e Y son independientes y que X ~ N(2 , 0.12 ) , Y ~ N(5 , 0.2

2 ).

Entonces Z = 2X + 2Y es una v.a. que representa el perímetro de la pieza.

Calcular la probabilidad de que el perímetro sea mayor que 14.5 cm.

Solución: tenemos que ( )2222 2.021.02 ,5222 ~ ×+××+×NZ , o sea ( )0.2 ,14 ~ NZ

La probabilidad pedida es )5.14( >ZP , entonces

( ) 119.08810.011180.112

51

2.0

145.141)5.14( =−=Φ−=

Φ−=

−Φ−=>ZP

5- Si se aplican dos cargas aleatorias 21 y XX a una viga voladiza como se muestra en la figura si-

guiente, el momento de flexión en 0 debido a las cargas es 2211 XaXa + .

a) Suponga que 21 y XX son v.a. independientes con medias 2

y 4 KLbs respectivamente, y desviaciones estándar 0.5 y

1.0 KLbs, respectivamente.

Si 51 =a pies y 102 =a pies, ¿cuál es el momento de flexión

esperado y cuál es la desviación

estándar del momento de flexión?

b) Si 21 y XX están normalmente distribuidas, ¿cuál es la


114

probabilidad de que el momento de

flexión supere 75 KLbs?

Solución: Sea la v.a. Z: “momento de flexión en 0”, entonces 21 105 XXZ +=

Por lo tanto

a) 5041025)(10)(5)( 21 =×+×=+= XEXEZE

4

65

4

6511025.0251105.05)( 2222 =∴=×+×=×+×= ZZV σ

b) Si 21 y XX están normalmente distribuidas, entonces

4

65 ,50 ~ NZ

Por lo tanto

( ) 01120.6113

65101

4

65

50751)75( =−≈Φ−=

Φ−=

−

Φ−=>ZP

Promedio de variables aleatorias normales independientes

Dem.) Notar que n

X

X

n

i

i∑== 1 es un caso particular de combinación lineal de variables aleatorias donde

nai

1= para todo ni ,...,2,1=

Además en este caso µµ =i y 22 σσ =i para todo ni ,...,2,1=

Por lo tanto, X tiene distribución normal con esperanza µµµµ ===∑∑==

n

i

n

i

i nnnn 11

111 y varianza

nn

nnn

n

i

i

n

i

22

2

2

2

1

2

2

1

111 σσσσ =

=

=

∑∑==

Es decir,

nNX

2

,~σ

µ

Observación: a X se lo llama promedio muestral o media muestral

Si nXXX ,...,, 21 son n variables aleatorias independientes donde ),(~ 2σµNX i para todo

ni ,...,2,1= entonces la v.a. n

X

X

n

i

i∑== 1 tiene distribución normal con

media µ y varianza n

2σ


115

Ejemplo:

Una máquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de µ onzas por

botella. Se ha observado que la cantidad de contenido que suministra la máquina presenta una

distribución normal con 1=σ onza. De la producción de la máquina un cierto día, se obtiene una

muestra de 9 botellas llenas (todas fueron llenadas con las mismas posiciones del control operativo) y se

miden las onzas del contenido de cada una.

a) Determinar la probabilidad de que la media muestral se encuentre a lo más a 0.3 onzas de la

media real µ para tales posiciones de control

b) ¿Cuántas observaciones deben incluirse en la muestra si se desea que la media muestral esté a

lo más a 0.3 onzas de µ con una probabilidad de 0.95?

Solución:

a) Sean las variables aleatorias :iX “contenido en onzas de la botella i” 9,...,2,1=i

Entonces ( )1,~ µNX i para cada i.

Por lo tanto

9

1,~ µNX . Se desea calcular

6318.01)9.0(2

)9.0()9.0(9.09.03.03.0

3.03.0)3.03.0()3.0(

=−Φ=

=−Φ−Φ=

≤

−≤−=

≤

−≤−=

=

≤

−≤−=≤−≤−=≤−

n

XP

nn

X

n

P

nn

X

n

PXPXP

σµ

σσµ

σ

σσµ

σµµ

b) Ahora se pretende que

95.0)3.03.0()3.0( =≤−≤−=≤− µµ XPXP

Entonces

95.03.01

3.03.03.0

)3.0( =

≤

−≤−=

≤−

≤−

=≤− n

n

XnP

nn

X

n

PXPµ

σσµ

σµ

Mediante la tabla de la acumulada de la normal estándar se tiene que

( ) ( ) ( ) 96.13.0 0.9753.0 95.013.023.01

3.0 =⇒=Φ⇒=−Φ=

≤

−≤− nnnn

n

XnP

µ

O sea 68.423.0

96.12

=

≈n

Si tomamos 43=n , entonces )3.0( ≤− µXP será un poco mayor que 0.95


116

6.2 - Teorema central del límite

Acabamos de ver que la suma de un número finito n de variables aleatorias independientes que están

normalmente distribuidas es una variable aleatoria también normalmente distribuida. Esta propiedad

reproductiva no es exclusiva de la distribución normal. En efecto, por ejemplo, ya vimos que existen

variables aleatorias discretas que la cumplen, es el caso de la Poisson y la Binomial.

En realidad, la propiedad que le da a la distribución normal el lugar privilegiado que ocupa entre todas

las distribuciones es el hecho de que la suma de un número muy grande, rigurosamente un número

infinito numerable, de variables aleatorias independientes con distribuciones arbitrarias (no

necesariamente normales) es una variable aleatoria que tiene, aproximadamente, una distribución

normal. Este es, esencialmente, el contenido del

Dem.) sin demostración

Observaciones:

1- Notar que ( ) ( ) µnXEXESEn

i

i

n

i

in ==

= ∑∑

== 11

y ( ) ( ) 2

11

σnXVXVSVn

i

i

n

i

in ==

= ∑∑

==

Por lo tanto 2σ

µ

n

nSZ n

n

−= es la v.a. nS estandarizada

2- Notar que

−

=

≤

−

=

≤

−

n

XPz

n

n

n

nS

Pzn

nSP

n

n

σµ

σ

µ

σ

µ22

, por lo tanto también se puede enunciar

el Teorema central del límite de la siguiente forma

Donde

n

XZ n σ

µ−= es el promedio muestral estandarizado

Teorema central del límite (T.C.L.):

Sean nX,...,X,X 21 variables aleatorias independientes con ( ) µ=iXE y ( ) 2σ=iXV para todo

n,...,,i 21= , es decir independientes idénticamente distribuidas

Sea la v.a. ∑=

=n

i

in XS1

y sea 2σ

µ

n

nSZ n

n

−= .

Entonces ( ) ( )zzZPlim nn

Φ=≤∞→

, esto es ∫∞−

−

∞→=

≤

− zx

n

ndxez

n

nSP 2

2

2

2

1lim

πσ

µ

Sean nX,...,X,X 21 variables aleatorias independientes con ( ) µ=iXE y ( ) 2σ=iXV para todo

n,...,,i 21= , es decir independientes idénticamente distribuidas

Sea la v.a. promedio muestral ∑=

=n

i

iXn

X1

1 y sea

n

XZ n σ

µ−= .

Entonces ( ) ( )zzZPlim nn

Φ=≤∞→

, esto es ∫∞−

−

∞→=

≤

− zx

ndxez

n

XP 2

2

2

1lim

πσµ


117

3- Aunque en muchos casos el T.C.L. funciona bien para valores de n pequeños , en particular donde la

población es continua y simétrica, en otras situaciones se requieren valores de n mas grandes,

dependiendo de la forma de la distribución de las iX . En muchos casos de interés práctico, si 30≥n , la

aproximación normal será satisfactoria sin importar cómo sea la forma de la distribución de las iX . Si

30<n , el T.C.L. funciona si la distribución de las iX no está muy alejada de una distribución normal

4- Para interpretar el significado del T.C.L., se generan (por computadora) n valores de una v.a.

exponencial con parámetro 5.0=λ , y se calcula el promedio de esos n valores. Esto se repite 1000

veces, por lo tanto tenemos 1000 valores de la v.a. X .

Hacemos un histograma de frecuencias de X , esto es, tomamos un intervalo ),( ba donde “caen”

todos los valores de X , y lo subdividimos en intervalos mas chicos de igual longitud. La frecuencia de

cada subintervalo es la cantidad de valores de X que caen en dicho subintervalo. Se grafican estas

frecuencias obteniéndose los gráficos siguientes que se pueden considerar una aproximación a la

verdadera distribución de X .

Se observa que a medida que aumenta el valor de n los gráficos se van haciendo más simétricos,

pareciéndose a la gráfica de una distribución normal.

Ejemplos:

1- Supóngase que 30 instrumentos electrónicos D1, D2, ......,D30, se usan de la manera siguiente: tan

pronto como D1 falla empieza a actuar D2. Cuando D2 falla empieza a actuar D3, etc. Supóngase que el

tiempo de falla de Di es una v.a. distribuida exponencialmente con parámetro λ = 0.1 por hora. Sea T el tiempo total de operación de los 30 instrumentos. ¿Cuál es la probabilidad de que T exceda 350 horas?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

50

100

150

12 34 567 891011121314151617181920212223242526272829303132

20

40

60

80

1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122

10

20

30

40

n=2 n = 5

n = 15 n = 30


118

Solución:

Si iX : “tiempo de falla del instrumento iD ” 30,...,2,1=i

Entonces )1.0(~ ExpX i para 30,...,2,1=i

El tiempo total de operación de los 30 instrumentos es ∑=

=30

1i

iXT , donde

3001.0

130)(30)(

30

1

=×=×=

= ∑

=i

i

i XEXETE

30001.0

130)(30)(

2

30

1

=×=×=

= ∑

=i

i

i XVXVTV

Entonces por T.C.L. N(0,1)~3000

300−T aproximadamente pues 30=n

La probabilidad pedida es

( ) 18141.081859.019128.013000

3003501

3000

300350

3000

300)350( =−=Φ−=

−Φ−≈

−>

−=>

TPTP

T.C.L.

2- Suponga que el consumo de calorías por día de una determinada persona es una v.a. con media

3000 calorías y desviación estándar de 230 calorías. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de

consumo de calorías diario de dicha persona en el siguiente año (365 días) sea entre 2959 y 3050?

Solución:

Definimos las variables aleatorias

iX : “cantidad de calorías que una persona consume en el día i” 365,...,2,1=i

Se sabe que 3000)( =iXE y 2230)( =iXV

Si ∑=

=365

1365

1

i

iXX entonces 3000)( =XE y 365

230)(

22

==n

XVσ


( )

( ) ( ) 10140.315.4

365230

30002959

365230

30003050

365230

30003050

365230

3000

365230

3000295930502959

=−≈−Φ−Φ=

−

Φ−

−

Φ≈

≈

−

≤−

≤−

=≤≤X

PXP

T.C.L.

Aplicaciones del Teorema central del límite

Aproximación normal a la distribución binomial

El Teorema central del límite se puede utilizar para aproximar las probabilidades de algunas variables

aleatorias discretas cuando es difícil calcular las probabilidades exactas para valores grandes de los

parámetros.


119

Supongamos que X tiene una distribución binomial con parámetros n y p. Para calcular )( kXP ≤

debemos hacer la suma ∑=

==≤k

i

iXPkXP0

)()( o recurrir a las tablas de la F.d.a. , pero para valores de

n grandes no existen tablas, por lo tanto habría que hacer el cálculo en forma directa y muchas veces es

laborioso.

Como una opción podemos considerar a X como suma de variables aleatorias más simples,

específicamente, si definimos

−

=contrariocaso

éxitoocurrederepeticiónésimaílaensi

X i 0

1 ε ni ,...,2,1=

entonces cada iX se la puede considerar ),1( pB , y además nXXX ,...,, 21 son independientes

Podemos escribir ∑=

=+++=n

i

in XXXXX1

21 ... y si n es grande entonces X tendrá aproximadamente

una distribución normal con parámetros np y )1( pnp − , es decir

( )( )1,0

1.

.

2N

ppn

pnX

n

nXZ n ≈

−

−=

−=

σ

µ si n es lo suficientemente grande

Observaciones:

1- La aproximación normal a la distribución binomial funciona bien aun cuando n no sea muy grande si

p no está demasiado cerca de cero o de uno. En particular la aproximación normal a la binomial es buena

si n es grande , 5>np y 5)1( >− pn , pero es más efectivo aplicar esta aproximación cuando 10>np

y 10)1( >− pn

2- Corrección por continuidad.

Acabamos de ver que si X∼B(n,p) entonces, para n suficientemente grande, podemos considerar que

aproximadamente es X∼ ( )[ ]pp.n,p.nN −1 . El problema que surge de inmediato si deseo calcular, por

ejemplo, la probabilidad de que kX = (con k alguno de los valores posibles 0,1,2,…,n) es que la

binomial es una distribución discreta y tiene sentido calcular probabilidades como ( )kXP = mientras

que la normal es una distribución continua y, en consecuencia, ( ) 0== kXP puesto que para una

variable aleatoria continua la probabilidad de que ésta tome un valor aislado es cero. Esto se resuelve si

se considera ( )

+≤≤−≈=2

1

2

1kXkPkXP

También se puede usar esta corrección para mejorar la aproximación en otros casos, específicamente en

lugar de )( kXP ≤ calculamos

+≤≈≤2

1)( kXPkXP

Y en lugar de

−≥≈≥2

1)( kXPkXP

En los gráficos siguientes se muestra para diferentes valores de n y p cómo aproxima la distribución

))1( ,( pnpnpN − a la distribución ) ,( pnB


120

5 10 15 20 25

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

0.15

0.175

2 4 6 8 10 12 14

0.05

0.1

0.15

0.2

5 10 15 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

50 60 70 80 90 100

0.02

0.04

0.06

0.08

20 40 60 80 100 120 140

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

Ejemplos:

1- Sea X∼ B(25,0.4). Hallar las probabilidades exactas de que 8≤X y 8=X y comparar estos

resultados con los valores correspondientes encontrados por la aproximación normal.

Solución:

De la tabla de la F.d.a. de la binomial encontramos 274.0)8( =≤XP

Y 120.0154.0274.0)7()8()8( =−=≤−≤== XPXPXP

Ahora usamos la aproximación normal

( ) 2709.061.06.04.025

105.8

)1()5.8()8( =−Φ≈

××

−≤

−

−=≤≈≤

pnp

npXPXPXP

corrección por continuidad

n = 25

p = 0.7 n = 15

p = 0.5

n =15

p = 0.9

n = 100

p = 0.7

n = 150

p = 0.1

n = 10

p = 0.1


121

Observar que el valor aproximado está muy cercano al valor exacto para 274.0)8( =≤XP

( )

1170.01593.02709.0

61.06

1002.1

6

105.8

6

10

6

105.75.85.7)8(

=−=

=

−≤

−≤−=

−≤

−≤

−=≤≤≈=

XP

XPXPXP

Nuevamente este valor aproximado está muy cerca del valor real de 120.0)8( ==XP

2- Suponga que el 10% de todos los ejes de acero producidos por cierto proceso están fuera de

especificaciones, pero se pueden volver a trabajar (en lugar de tener que enviarlos a la chatarra).

Considere una muestra aleatoria de 200 ejes y denote por X el número entre ellos que estén fuera de

especificaciones y se puedan volver a trabajar. ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que X sea

a) a lo sumo 30?

b) menos de 30?

c) entre 15 y 25 (inclusive)?

Solución:

Sea la v.a. X: “número de ejes fuera de especificaciones”

Entonces )1.0,200(~ BX , además 5201.0200 >=×=np y 5180)1.01(200)1( >=−×=− pn

Por lo tanto podemos aplicar la aproximación normal a la binomial

a) la probabilidad pedida es )30( ≤XP

( ) 993244.0474.218

205.30

18

205.30

)1()5.30()30( =Φ=

−Φ≈

−≤

−

−=≤≈≤

pnp

npXPXPXP

b) La probabilidad pedida es )30( <XP

Al ser X una v.a. discreta con distribución binomial )29()30( ≤=< XPXP

( ) 98745.02391.218

205.29)5.29()29( =Φ=

−Φ≈≤≈≤ XPXP

c)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 80294.0190147.0212963.122963.12963.1

18

205.14

18

205.255.255.142515

=−×=−Φ=−Φ−Φ=

=

−Φ−

−Φ≈≤≤≈≤≤ XPXP

3- El gerente de un supermercado desea recabar información sobre la proporción de clientes a los que no

les agrada una nueva política respecto de la aceptación de cheques. ¿Cuántos clientes tendría que incluir

en una muestra si desea que la fracción de la muestra se desvíe a lo mas en 0.15 de la verdadera

fracción, con probabilidad de 0.98?.

Solución:

Sea X: “número de clientes a los que no les agrada la nueva política de aceptación de cheques”

Entonces ),(~ pnBX donde p es desconocido y es la verdadera proporción de clientes a los que no

les agrada la nueva política de aceptación de cheques. El gerente tomará una muestra de n clientes para

“estimar” p con n

XX = ya que

n

XX = es la proporción de clientes a los que no les agrada la nueva


122

política de aceptación de cheques en la muestra de n clientes. Si no se toman a todos los clientes,

entonces n

XX = no será igual a p.

La pregunta es cuál debe ser n para que n

XX = se aleje del verdadero p en menos de 0.15 con

probabilidad 0.98 por lo menos, o sea para que ( ) 98.015.0 ≥≤− pXP

Entonces planteamos

( ) ( ) ≈

−≤

−

−≤

−

−=≤−≤−=≤−

)1(

15.0

)1()1(

15.015.015.015.0

pnp

n

pnp

npX

pnp

nPpXPpXP

T.C.L.

98.01)1(

15.02

)1(

15.0

)1(

15.0≥−

−Φ=

−

−Φ−

−Φ≈

pnp

n

pnp

n

pnp

n

Por lo tanto 99.02

198.0

)1(

15.0=

+≥

−Φ

pnp

n

Además nn

pp

n

pnp

n3.0

)5.01(5.0

15.0

)1(

15.0

)1(

15.0=

−≥

−=

−

Entonces debe cumplirse que 33.23.0 ≥n o sea 3211.603.0

33.22

=

≥n

O sea se debe tomar una muestra de al menos 61 clientes

Aproximación normal a la distribución Poisson

Se puede probar aplicando Teorema central del límite que

Es decir para λ suficientemente grande )1,0(NX

≈−

λ

λ

En la práctica si 30≥λ la aproximación es buena.

Observación: la demostración es sencilla si λ es igual a un número natural n pues, si consideramos las

variables aleatorias )1(~ PX i con ni ,...,2,1= independientes, entonces ya sabemos que

∑∑==

n

i

n

i

i PX11

1~ , es decir )(~1

nPXn

i

i∑=

Si )(~ λPX entonces para λ suficientemente grande λ

λ−X tiene aproximadamente distribución

)1,0(N


123

Pero además por T.C.L. si n es grande ∑=

n

i

iX1

tiene aproximadamente distribución normal con

parámetros nnn =×= 1µ y nnn =×= 12σ

O sea la distribución de ∑=

n

i

iX1

que es exactamente Poisson con parámetro n, se puede aproximar con

una ),( nnN , por lo tanto )1,0(Nn

nX≈

− aproximadamente para valores de n suficientemente grandes

En los gráficos siguientes se muestra para diferentes valores de λ cómo aproxima la distribución

) ,( λλN a la distribución )(λP

20 40 60 80 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

5 10 15 20 25 30

0.05

0.1

0.15

0.2

Ejemplo:

El número de infracciones por estacionamiento en cierta ciudad en cualquier día hábil tiene una

distribución de Poisson con parámetro λ = 50. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que:

a) entre 35 y 70 infracciones se expidan en un día en particular?

b) el número total de infracciones expedidas durante una semana de 5 días sea entre 225 y 275?

Solución:

Sea X: “número de infracciones por estacionamiento en cierta ciudad en cualquier día hábil”

Entonces )(~ λPX donde 50=λ

Como 50=λ entonces )1,0(50

50N

X≈

− (aproximadamente)

a) la probabilidad pedida es

( ) ( ) ( )

9805.0017.0997599.0

12132.28284.250

5035

50

50707035

=−=

=−Φ−Φ=

−Φ−

−Φ≈≤≤ XP

b) Sea Y: “número total de infracciones expedidas durante una semana de 5 días”

Entonces )(~ λPY donde 250550 =×=λ


( ) ( ) ( )

( ) 8859.0194295.0215811.12

5811.15811.1250

250225

250

250275275225

=−×=−Φ=

=−Φ−Φ=

−Φ−

−Φ≈≤≤ YP

50=λ 3=λ

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5- VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES - · PDF fileParte 1 – Variables aleatorias bidimensionales Prof. María B