5 Razred - Matematiskop - Prirucnik 2

Владимир Стојановић

MATEMATISKOP OSNOVNA [KOLA

МАТЕМАТИСКОП

МЕТОДИЧКИ ПРИРУЧНИКЗА НАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ

ПЕТИ РАЗРЕД

5 :Математика уџбеник за пети разред основне школе /

Владимир Стојановић. - 2. изд. Београд : Математископ,

2010 ( ). - 179 стр. : илустр. ; 26Крагујевац : Графостил cm

СТОЈАНОВИЋ Владимир, , 1940-

Тираж 3.000

ISBN - 7076-0978 86- 39-4

COBISS.SR-ID 175695884

МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ Републике Србије донело је Решење бр.

650-02-00222/2008-06, од 20.06.2008. којим се одобрава издавање и употреба

уџбеничког комплета МАТЕМАТИКА за пети разред основне школе, ЗБИРКА

ЗАДАТАКА и ПЛУС за додатну наставу, аутора Владимира Стојановића, као

уџбенички комплет за предмет Математика за пети разред основне школе од

школске 2008/2009. године.

V

Издавач

, Деспота Оливера 6, Београд

тел. тел/факс(011)3087-958, (011)2413-403 (011)380-70-90

www.matematiskop.co.rs

ИП МАТЕМАТИСКОП

За издавача

Нада Стојановић, директор

T 3.000

: " ",

ираж примерака

Штампа Графостил Крагујевац

ЦИП Каталогизација у публикацији

Народна библиотека Србије, Београд

-

Припрема за штампу

Жељко Хрчек

[email protected]

372.851(075 . 3) (076)

Рецензенти

Дана Ђилас, ОШ "Свети Сава", Београд

Величко Илић, наставник основне школе

Владимир Стојановић

МЕТОДИЧКИ ПРИРУЧНИК ЗА НАСТАВНИКЕ МАТЕМАТИКЕ

(ПЕТИ РАЗРЕД)

Педагог консултантСветлана Гмитровић

ЛекторЈованка Цветковић, професор

Уредник

проф. др Предраг Цветковић

37.016:51(075.2)

PREDGOVOR – UPUTSTVO

Ovaj priruqnik je nameǌen kao pomo�, olakxica u planiraǌu,pripremaǌu i izvodeǌu nastave, za one nastavnike koji u redovnojnastavi koriste U�BENIQKI KOMPLET MATEMATISKOP-a. (Ovajkomplet ima licencu Ministarstva prosvete.) Priruqnik nije mo-gu�e koristiti uz u�benike drugih izdavaqa, jer je gradivo plani-rano prema u�benicima MATEMATISKOP-a. I doma�i zadaci su izZbirke zadataka za peti razred istog izdavaqa.

Priruqnik se ne mo�e kupiti. On je dat kao poklon nastavni-cima koji izvode nastavu po u�benicima MATEMATISKOP-a.

Priruqnik sadr�i Godixǌi (globalni) plan rada i detaǉniplan izvo�eǌa nastave za svaki qas u toke xkolske godine. Obaplana naqiǌena su prema zvaniqnom, obavezuju�em UPUTSTVUMinistarstva prosvete (Slu�beni Glasnik, avgust 2007).

Pripremǉen plan i izvo�eǌa nastave nije dovoǉan da bi nas-tavnici mogli raditi opuxteno. Ostaje problem objektivnog oce-ǌivaǌa uqenika. Mi smo se pobrinuli da Vam i tu smaǌimo brige.Nastavnik mora da ima na umu va�nu qiǌenicu: ne oceǌuje se tal-enat, nego rad i radna disciplina uqenika. Zbog toga ne treba nakontrolnim i pismenim zadacima pripremati iznena�eǌa, niti bi-rati samo te�e zadatke. Ne�e se svi uqenici kad zavrxe xkolovaǌebaviti matematikom, ali �e matematika svima trebati. Zbog togatreba dati vixe elementarnih zadataka. Ne treba izbegavati za-datke koji su rexavali na qasu, niti zadatke koje su uqenici do-bijali za doma�i rad. Naprotiv! Preporuqǉivo je da svi zadacibudu iz kǌiga kojim uqenici raspola�u. I, to ne treba kriti, negojavno saopxtiti uqenicima. To �e ih stimulisati da budu aktivnina qasovima i rade doma�e zadatke.

U Priruqniku za svaku Kontrolnu ve�bu i sva qetiri Pis-mena zadatka dat je predlog zadataka u PET GRUPA. Budu�i daje Priruqnik nedostupan uqenicima, mogu se koristiti bax ovizadaci, uz eventualne izmene po potrebama i naho�eǌu nastavnika.Ako je za Kontrolnu ve�bu predvi�eno pet zadataka, onda svakizadatak doprinosi ukupnoj oceni za 1. Ako su planirana qetirizadatka, onda za jedan zadatak uqenik dobija ocenu 2, za dva za-datka ocenu 3 itd. Ne treba zbog sitne grexke ponixtiti ceo za-datak, ve� stavite uz ocenu ”minus”. Treba vixe ceniti ispravanpostupak, nego taqan raqun.

4 Sadr�aj

SADR�AJ

GODIXǋI (GLOBALNI) PLAN RADA 5

OPERATIVNI (ORIJENTACIONI) PLAN RADAPO MESECIMA 6

DETAǈNI PLAN IZVO�EǋA NASTAVE PO QASOVIMA 7

GODIXǋI (GLOBALNI) PLAN RADA

PROGRAM-om je predvi�eno gradivo podeǉeno na nastavneteme i za svaku temu je odre�en orijentacioni fond qasova. Tusu predvi�eni qasovi za obradu, za ponavǉaǌe i uve�bavaǌe. UPROGRAM-u nije precizno navedeno kako predvideti nepredvi�e-ne okolnosti.

Ovde su teme raspore�ene kao xto je u PROGRAM-u predlo�e-no, ali se broj qasova predvi�enih za realizaciju tema razlikujeod predlo�enog. Razloga je vixe.

– Liqno iskustvo i iskustva mnogih nastavnika nala�u flek-sibilnu primenu PROGRAM-a.

– Mogu�e je da se kalendar poremeti praznicima, raspustimai nekim iznenadnim okolnostima.

– Izvestan broj qasova treba izdvojiti za usmenu proveru zna-ǌa, jer ima dosta uqenika koji nisu sposobni da svoje znaǌe iska�uiskǉuqivo preko kontrolnih i pismenih zadataka.

– Nekoliko qasova u oba polugodixta treba ostaviti u re-zervi, za nepredvi�ene okolnosti. Ako takvih okolnosti ne bude,nastavnik �e se lako organizovati i korisno upotrebiti ovaj po-klon.

– Za svaki PISMENI ZADATAK treba planirati bar jedanpripremni qas.

R. Broj qasova Broj qasovabr. NASTAVNA TEMA po temema Obrada Ostalo0 Uvodni qas 1 11 Skupovi 14 7 72 Osnovni geometrijski objekti 10 5 53 Deǉivost brojeva 8 4 4

Prvi pismeni zadatak 3 33 Deǉivost brojeva (nastavak) 5 2 34 Ugao 17 7 105 Razlomci 7 3 4

Drugi pismeni zadatak 3 3Drugo polugodixte

5 Razlomci (nastavak) 32 13 19Tre�i pismeni zadatak 3 3

5 Razlomci (drugi nastavak) 20 8 126 Osna simetrija 12 5 7

Qetvrti pismeni zadatak 3 3UKUPNO 138 54 84

6М

е-сец

Нас

т.те

ма

Р.бр.

нас

т.јед.

Наз

ивнас

тавнејединице

Тип

час

а

Облик

рад

аМ

етодa

Мест

орад

аНас

т.ср

ед.

Ино-

ва-

ције

(Сам

о)eва-

луац

ија

ико

рек

ција

0 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

Уводни

час

Појам

скупа.

Нач

ин

задав

авањ

аск

упова

Појам

скупа.

Нач

ин

задав

авањ

аск

упова

Подск

уп.Је

днак

иск

упови

Подск

уп.Је

днак

иск

упови

Унија

скупова

Унија

скупова

Пресек

скупова

Унија

ипресек

скупова

Раз

ликаск

упова

Опер

ације

саск

уповима

Реч

и:"и

","и

ли",

"не"

,"с

вак

и",

"нек

и"

Раз

-го

вор

Обра-

да

Обра-

да

Обра-

да

Обра-

да

Увеж

ба-

вањ

е

Увеж

ба-

вањ

е

Увеж

ба-

вањ

е

Фрон-

тални

Фрон-

тални

Фрон-

тални

Фрон-

тални

Фрон-

тални

Пар

ови

Фрон.

пар

ови

Фрон.

пар

ови

Моно-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Обра-

да

Фрон-

тални

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Увеж

ба-

вањ

е

Увеж

ба-

вањ

еГрупе

Обра-

да

Пар

ови

Фрон-

тални

Септембар

Скупови

ОПЕРАТИВНИ(ОРИЈЕНТАЦИОНИ)ПЛАНРАДАПОМЕСЕЦИМА

7М

е-сец

Нас

т.те

ма

Р.бр.

нас

т.јед.

Наз

ивнас


Тип

час

а

Облик

рад

аМ

етодa

Мест

орад

аНас

т.ср

ед.

Ино-

ва-

ције

(Сам

о)eва-

луац

ија

ико

рек

ција

2

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Оск

уповима

Прваконтролнавежба

(Скупови)

Скупови

иN

N0

Рав

неге

омет

ријскефигу

ре

Изл

омљен

алинија.Облас

т.

Изл

омљен

алинија.Облас

т

Кружницаи

круг.

Круги

тачка

Круги

прав

а.Тет

тивеи

танге

нте

Круги

прав

а

Округу

Двакруга

Свеокругу

Сист

е-мат

из.

Контр

.зн

ања

Обра-

да

Обра-

да

Обра-

да

Обнав

.и

сист

.

Писм

ени

Фрон-

тални

Фрон-

тални

Фрон-

тални

Дијалош.

дем

онст

.

Хеу

ри-

стичка

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Увеж

ба-

вањ

е

Увеж

ба-

вањ

е

Групе

Групе

пар

ови

Септембар

СкуповиГрупе

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

2Увеж

ба-

вањ

е

Обра-

да

Обра-

да

Сист

е-мат

из.

Групе

Фрон-

тални

Хеу

ри-

стичка

Хеу

ри-

стичка

Октобар

Основнигеометријскиобјекти

Припр.

лист

.

Фрон-

тални

Фрон-

тални

Фрон-

тални

8

9

10

11

12

Ме-

сец

Нас

т.те

ма

Р.бр.

нас

т.јед.

Наз

ивнас


Тип

час

а

Облик

рад

аМ

етодa

Мест

орад

аНас

т.ср

ед.

Ино-

ва-

ције

(Сам

о)ва-

луац

ија

ико

рек

ција

e

71

72

73

74

Дец

имал

ни

раз

ломци.

Дец

имал

ни

записраз

ломка

Дец

имал

ни

записраз

ломка

Дец

имал

ни

записпроизв

ољног

раз

ломка

Дец

имал

ни

записпроизв

ољног

раз

ломка

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Учион.

(каб

ин.)

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Дија-

лошка

Разломци

Обра-

да

Фрон-

тални

Увеж

ба-

вањ

е

Јануар

5

Обра-

да

Фрон-

тални

Увеж

ба-

вањ

еГрупе

Групе

Напоменеореал

иза

цији

план

арад

аза

првополуго

диште

ДРУГОПОЛУГОДИШТЕ

13

14

15

16

17

18

DETAǈAN PLAN IZVO�EǋA NASTAVE POQASOVIMA

Nastavne teme za svaki qas OBRADE novog gradiva, pod is-tim naslovom obra�ene su u U�BENIKU u izdaǌu IP MATEMA-TISKOP. U uvodnom tekstu pripreme svakog qasa uz boksOsnovni tekst navodi se koja kǌiga se koristi (U�benik ili Zbir-ka) sa navedenim brojevima strana.

Na neispisanim delovima strana detaǉnog plana nastavnik up-isuje liqna zapa�aǌa o nivou ostvareǌa i eventualne primedbe okojima �e voditi raquna pri planiraǌu nastave slede�e xkolskegodine.

Ako pri OBRADI novog gradiva neki planirani deo ne buderealizovan, on se prenosi na poqetak prvog slede�eg qasa, predvi-�enog za uve�bavaǌe.

Ako se neki zadaci iz u�benika, predvi�eni za rad na qasuOBRADE novog gradiva, ne urade na tom qasu, oni se pridodajuDoma�em zadatku . Isto treba uqiniti i sa eventualnim vixkomzadataka na qasovima UVEBAVAǋA.

Preporuqǉivo je da nastavnik na qasu rexava i druge, sop-stvene zadatke. Predlo�eni plan rada mo�e i treba da se mes-timiqno meǌa i oboga�uje idejama nastavnika, realizatora nas-tave.

Neke napomene koje su detaǉno navedene u prvom delu Priruq-nika, a kasnije bi trebalo da se ponavǉaju, ovde nisu ponavǉane.Poxto se radi o Planu rada, dovoǉno ih je napisati prvi put. (Tosu najqex�e napomene o naqinu rada u parovima i u grupama, zatimizvo�eǌa qasa sa temom: ”Ispravka pismenog zadatka” i sliqno.)

Priruqnik u formi CD-a omogu�ava nastavniku da odxampapo potrebi bilo koju stranicu. To �e bitno olakxati pripremulisti�a za Kontrolne ve�be i Pismene zadatke.

20

1. QAS

Uvodni qas Dijalog

Ciǉ Upoznavaǌe sa uqenicima. Upoznavaǌe uqenika sa progra-mom, literaturom, obavezama, mogu�nostima.

Tok qasaUqenici su do sada imali jednog nastavnika za sve predmete, a

sada za svaki predmet imaju po jednog nastavnika. To je bitna pro-mena. Zbog toga se nastavnik mora potruditi da ostavi povoǉanutisak i da uqenike ohrabri. Mo�e im proqitati stihove Miro-slava Anti�a, sa 6. strane u�benika. Potrebno je ista�i znaqajmatematike kao nauke. Dobro bi bilo da nastavnik na ovom qasuproqita sa 3. strane Zbirke uvodni tekst pod naslovom ”Pred ka-pijom matematike” (sve osim posledǌeg pasusa).

Zatim, nastavnik upozna uqenike sa programom matematike, na-vode�i qiǌenice koje su uqili i u mla�im razredima. Onda impredoqi kǌige iz kojih �e se uqiti, i preporuqi da stiqu navikuqitaǌa lekcije iz u�benika.

Potrebno je ukazati da je matematika lepa, korisna i da pru-�a velike mogu�nosti. Uqenike treba ohrabriti da idu na qasovedodatne nastave i ponuditi im da nabave priruqnik PLUS VI. Ta-ko�e, treba im predoqiti mogu�nost afirmacije na takmiqeǌima.Za pripreme, pored zbirke PLUS VI mogu im se preporuqiti kǌigeMATHEMATISKOP 1 (Vodiq za xampione), Inostrana juniorskatakmiqeǌa i qasopis MATEMATISKOP.

Skupovi 21

2. QAS

Pojam skupa. Naqini zadavaǌa skupova. Obrada

Frontalni rad Dijalog

Ciǉ Uqenici treba skup da shvate kao osnovni pojam koji se nedefinixe, ali je odre�en svojim elementima. Treba da razume-ju razne naqine zadavaǌa skupova i da mogu sami da navedu takveprimere. Prazan skup, bez elemenata, shvataju kao jedinstven skup.Oznake ∈, /∈, � i �� pravilno koriste.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik od 7. do 10. str.

Nastavnik navodi nekoliko primera skupova iz neposrednogokru�eǌa. Onda tra�i da i uqenici navedu nekoliko primera. Napoqetku ne pomiǌe prazan skup.

Dolazimo do zakǉuqka da je skup odre�en ako znamo (ili mo-�emo da uoqimo) ǌegove elemente.

Uzimamo primere zadavaǌa skupa navo�eǌem svih elemenata. Natim primerima (kao na 8. str. u�benika) uvodimo oznake: ∈, /∈, � i��. Uqenici i sami navode sliqne primere.

Zatim, uvodimo zadavaǌe skupa opisom (opisivaǌem). Pravil-no je, na primer, za skup A = {v, o, d} dati opis: A = {x| x je slovoreqi vodovod}. (Qita se: ”A je skup elemenata x, koji imaju svoj-stvo: x je slovo reqi vodovod.”)

Nepravilno je: A = {slova reqi vodovod}.Prazan skup je bez elemenata i treba naglasiti da je taj skup

jedinstven. (Postoji samo jedan prazan skup, xto sledi iz defini-cije.) Oznaka je ∅ ili {}. Insistirati na qiǌenici da je ovaj skupjedinstven. Na primer, ako neki uqenik pomisli da ima vixe pra-znih skupova (i navodi skup koji nema ”ovoga” ili nema ”onoga”),treba ga navesti da objasni, npr. u qemu je razlika izme�u ”Skupaaviona u naxoj uqinionici.” i ”Skupa kitova u naxoj uqinioni-ci.”

Uvesti prikazivaǌe skupova ”slikom” u vidu Ojler-Venovogdijagrama.

Na odgovaraju�im primerima (navedenim na qasu) povezati svatri naqina zadavaǌa skupova.

Rexavamo primere sa str. 10 u u�beniku.

Doma�i zadatak: Zbirka: 1, 2, 8, 9, 10 i zadaci sa 10. str. U�be-nika (koji nisu rexeni na qasu).

22 Skupovi

3. QAS

Pojam skupa i naqini zadavaǌa skupova Uve�bavaǌe

Frontalni rad kombinovan saradom u parovima (po klupama)

Dijalog

Ciǉ Usvajaǌe pojmova upoznatih na prethodnom qasu.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 7. do 10. str.

Ponovimo redom pojmove: skup je odre�en svojim elementima,sva tri naqina zadavaǌa skupova, oznake pripadnosti skupu (∈, /∈itd.), pojam praznog skupa.

Posebno insistirati na tekstovima koji su u U�beniku istak-nuti crvenom trakom i obojeni deo teksta u Zbirci (7. strana).

Za svaki opisani pojam uqenici navode svoje primere.Tokom qasa rexavamo zadatke 3, 5 i 7, tako xto prvo nastav-

nik uradi zadatak iz uvodnog teksta, a onda uqenici rexavaju natabli ili na mestu (u parovima) preostale sluqajeve (a), b), v),itd.).

Na isti naqin rexavamo zadatak 13.Zatim, uqenici rexavaju na tabli zadatke: 10, 14, 11 i 16 a), b).

Doma�i zadatak: Zbirka: 12, 15, 16 v), 18

Skupovi 23

4. QAS

Podskup. Jednaki skupovi Obrada


Ciǉ Uvo�eǌe pojmova podskupa i nadskupa, kao i relacije jedna-kosti me�u skupovima. Uqenici shvataju da se kod skupova brojesamo razliqiti elementi.


Uzmemo dva skupa, na primer A i C na 10. str. U�benika, is-taknemo ih na xkolskoj tabli. Uz vo�eǌe od strane nastavnika,uqenici utvrde da je svaki element skupa A istovremeno i elementskupa C, i obrnuto ne va�i za sve elemente skupa C. na osnovu ovihzapa�aǌa uvodimo pojmove podskup i nadskup i oznake: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇.

Zatim rexavamo primer 1 i 2 sa 11. str. U�benika.Onda, na naqin kako je navedeno u U�beniku, reximo primer

3, na osnovu qega uvedemo pojam jednakih skupova (kao skupova kojise sastoje od istih elemenata). To potvrdimo na primeru 4.

Zatim, nastavnik objaxǌava rexeǌe primera 5, pa na osno-vu toga uvede pravu definiciju jednakih skupova. (Ako je A ⊆ B iB ⊆ A, onda je A = B). Osim toga ovde se zapa�a da je suvixnovixe puta nabrajati iste elemente, pa se uvede pojam najjednostav-nijeg (redukovanog) oblika skupa. Na taj naqin se dolazi do pojmabroja elemenata skupa.

Uz obnavaǉaǌe uvedenih definicija, rexavamo zadatke od 6.do 12. sa 13. str. Ono xto ne uradimo na qasu ostavǉamo uqenicimakao dodatak za doma�i rad.

Doma�i zadatak: Zbirka: 24, 25, 27, 42, 38.

24 Skupovi

5. QAS

Podskup. Jednaki skupovi. Uve�bavaǌe

Frontalni rad, kombinovan saradom u parovima.

Dijalog

Ciǉ Usvajaǌe pojmova: podskup, nadskup, jednaki skupovi, redu-

kovan (najjednostavniji) oblik skupa, broj elemenata skupa, kao ipojam pravog podskupa.


Ponovimo pojmove: podskup i nadskup. Uqenici navode ”svoje”primere. Zatim rexavamo zadatak 22. (Nastavnik objasni primeriz uvodnog teksta sa skupovima T i B, pa uqenici rexavaju na ta-bli sluqajeve a) i b), a ostale na mestu, u parovima.)

Rexavamo zadatak 26.Onda rexavamo zadatak 28. i uoqavamo prave podskupove.Ponovimo definiciju jednakih skupova.Zatim, rexavamo zadatke 37 i 39, i to na isti naqin kao i

zadatak 22.Reximo na isti naqin i zadatak 21.Na kraju reximo zadatke 40 i 46.

Doma�i zadatak: Zbirka 23, 29, 30, 34, 43.

Skupovi 25

6. QAS

Unija skupova Obrada


Ciǉ Usvajaǌe pojma unije skupova uz odgovaraju�u interpreta-ciju Ojler-Venovim dijagramima.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik 14. i 15. str.

Preporuqǉivo je odmah prilikom uvo�eǌa pojma unije skupo-va koristiti ilustrovaǌe pomo�u Ojler-Venovih dijagrama. Ko-riste�i se primerima sa str. 14, uvodimo uniju kao skupovnu ope-raciju. Zatim, rexavaǌem primera 2. i 3, utvrdimo da je unijakomutativna i asocijativna operacija. Ove primere mogu na xkol-skoj tabli rexavati uqenici.

Posle toga, nastavnik tra�i od uqenika da iska�u pravilnodefiniciju unije dva skupa. Kad dobije zadovoǉavaju�i odgovor,izvede na tablu jednog uqenika koji sam ili uz pomo� nekog od uqe-nika ”smisli” dva skupa, recimo A i B, qiji su elementi brojevi,odredi A ∪ B nabrajaǌem svih elemenata i sve to prika�e pomo�udijagrama.

Daǉe, do kraja qasa, rexavamo zadatke od 4. do 7. Ako nemadovoǉno vremena za sve, preostale zadatke dajemo za doma�i zada-tak.

Doma�i zadatak: Zbirka: 51 i 54.

26 Skupovi

7. QAS

Unija skupova Uve�bavaǌe

Rad u parovima (iz iste klupe) Dijalog

Ciǉ Utvr�ivaǌe pojma unije skupova i osobina ove operacije.


Ponovimo definiciju unije skupova, pa rexavamo zadatke 51b)i 51g). Onda, rexavamo zadatke 52 i ponovimo osobine komutativ-nosti i asocijativnosti unije skupova.

Zatim, rexavamo redom zadatke 59, 60, 58, 57 i 63.

Doma�i zadatak: Zbirka: 53, 55, 56, 61.

Skupovi 27

8. QAS

Presek skupova Obrada


Ciǉ Uvo�eǌe pojma preseka skupova i pojma razdvojenih (dis-

junktnih) skupova.


Primer koji se navodi na poqetku 16. strane treba iskoristi-ti da uqenici uoqe zajedniqki deo skupova A i B. Obavezno trebaprikazati i Ojler-Venove dijagrame. Zatim, zajedniqki deo skupo-va A i B definixeko kao presek skupova A i B, u oznaci A ∩ B.

Zatim, primer 1 iskoristimo da, bez crtaǌa dijagrama, uoqi-mo da presek dva skupa predstavǉa ǌihov zajedniqki podskup, kojisadr�i sve zajedniqke elemente ovih skupova. Pri tome, odre�iva-ǌem preseka M ∩ P i P ∩ M uoqimo osobinu komutativnosti. Naslede�em primeru uverimo se da je presek tako�e asocijativan.

Daǉe uoqavamo, ako je A ⊂ B da je A∩B = A i da je A∪B = B.Koristimo, potom primer 3 radi definisaǌa razdvojenih (dis-

junktnih) skupova: M ∩ R = ∅, xto pokazuje da ovi skupovi nemajuzajedniqkih elemenata.

Do kraja qasa rexavamo zadatke od 4. do 8, sa 18. strane. Uko-liko do kraja qasa ne reximo sve ove zadatke, preostale ostavǉamoza doma�i rad.


28 Skupovi

9. QAS

Unija i presek skupova Uve�bavaǌe

Rad u parovima Dijalog

Ciǉ Utvrditi znaqeǌe operacija unija i presek skupova. Jasnouoqiti razlike me�u ǌima. Pritom, kombinovati i ranija znaǌa(podskup, i sl).


Najpre obnovimo kako se odre�uje presek dva skupa, pa reximozadatke 66 a), b) i v). Uqenici rexavaju zadatke na mestu. Radeu parovima, po klupama. Zatim, po izboru nastavnika izlazi je-dan uqenik na tablu, objaxǌava ceo postupak i rezultat prika�eu obliku Ojler-Venovog dijagrama. Usput smo ponovo potvrdilikomutativnost preseka.

Zatim, na isti naqin rexavamo zadatak 68, pa zadatke 71 a)i 72 b).

Podsetimo se na definiciju unije dva skupa, pa reximo zada-tak 56 b) i zadatak 82.

Na kraju rexavamo zadatak 79.


Skupovi 29

10. QAS

Razlika skupova Obrada


Ciǉ Uvo�eǌe pojmova razlika dva skupa i komplement skupa.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik 19. i 20. str.

Reximo primer 1 sa 19. strane. Koriste�i se i dijagramom,objasnimo da smo na taj naqin izvrxili jednu novu operaciju saskupovima. To je razlika dva skupa koja je u navedenom primeruoznaqena sa A\B (qita se: ”A razlika B”).

Zatim, to potvrdimo rexavaǌem primera 2 i 3. Uoqimo po-sebno sluqajeve: A\∅ = A, ∅\B = ∅, A\A = ∅.

Da produbimo znaǌe o razlici, postavimo pitaǌe:”Ako su A i B skupovi koji imaju elemente (nisu prazni), koje

uslove oni moraju zadovoǉiti da bi va�ile jednakosti: A\B = ∅,i A\B = A?”

Zatim, uvedemo pojam komplementa skupa, kao xto je to uqiǌe-no na 20. strani.

Do kraja qasa rexavamo zadatke 4, 5 i 6.

Doma�i zadatak: Zbirka: 91, 97.

30 Skupovi

11. QAS

Operacije sa skupovima Uve�bavaǌe

Rad u nehomogenim grupama(po dve susedne klupe) Dijalog

Ciǉ Utvrditi znaǌe o skupovnim operacijama. Rexavaǌe kom-binovanih zadataka.


Prvi deo qasa (oko 20 minuta). Obnovimo pojmove: unija, pre-sek, razlika skupova, komplement skupa i disjunktni skupovi. Zasvaki pojam izlazi na tablu jedan uqenik i nacrta odgovaraju�idijagram.

Drugi deo qasa. Nastavnik daje iz Zbirke zadatke za uve�bava-ǌe obnovǉenih pojmova. Svaki postavǉeni zadatak rexava se grup-no. (Po dve susedne klupe daju jednu grupu.) Svaka grupa prija-vǉuje nastavniku kad rexi zadatak, a nastavnik ”osmotri” svakorexeǌe. Kad rexeǌe prijavi vixe od polovine uqenika, nastavnikizvodi na tablu jednog uqenika, koji rexeǌe javno izlo�i. Kon-trolixu ga uqenici iz klupa, a nastavnik nadzire.

Rexavamo redom zadatke: 54, 64, 78, 77 a), b) v), 86 a), 92, 94.

Doma�i zadatak: Zbirka. 81 a), b), 87, 93, 100.

Skupovi 31

12. QAS

Reqi: ”i”, ”ili”, ”ne”, ”svaki”, ”neki”. Obrada


Ciǉ Navedene reqi u matematici imaju znaqeǌe kao odre�eneoperacije. Uqenici treba da razlikuju kada ove reqi imaju mate-matiqka znaqeǌa.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik, str. 21-23, Zbirka 24-26.

Za svaku od navedenih reqi ista�i ǌeno ”jeziqko” i ”matema-tiqko” znaqeǌe, kao u U�beniku. Uz pojam i primer iz U�benika,svaki pojam ilustrovati jox i jednim zadatkom iz Zbirke. Zatim,tra�iti od uqenika da i oni navedu neki primer.

Doma�i zadatak: Dati iz Zbirke one zadatke koji nisu rexavanina qasu.

32 Skupovi

13. QAS

O skupovima Sistematizovaǌe

Rad u nehomogenim grupama Dijalog

Ciǉ Uoqiti bitne karakteristike nauqenih pojmova o skupovi-ma. Uoqiti sliqnosti i razlike. Produbiti razumevaǌe pojmova itehniku rada podi�i do potrebnog nivoa.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka 11. do 24. str.

Rexavaju se zadaci iz Zbirke, na naqin opisan u drugom delu11. qasa.

Prilikom demonstracije rexeǌa od strane uqenika, nastav-nik insistira da se svaki korix�eni pojam precizno definixe.Na primer, ako se radi o podskupu, onda se podskup precizno de-finixe, pa se onda rexava zadatak; ako se pomenu jednaki skupovi,onda definisati relaciju jednakosti dva skupa i sliqno.

Izbor zadataka bi trebalo izvrxiti neposredno pre realiza-cije qasa, jer bi izbor trebao biti uslovǉen kvalitetom prethodnousvojenih znaǌa.

Jedan od mogu�ih izbora zadataka za ovu sistematizaciju je:27, 35 a), b), v), 36 a), v), 39, 56, 62, 75, 87, 96, 101, 106.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Prva kontrolna ve�ba (str. 5.

do 8.)

Skupovi 33

14. QAS

Prva kontrolna ve�ba (Skupovi) Kontrola znaǌa

Svaki uqenik dobija list sa odxtampanim zadacima, da se negubi vreme i izbegnu grexke, koje su posledica diktiraǌa zadata-ka.

Grupa A)1. Odredi sve podskupove skupa {a, b, c}.2. Elementi skupa P su dvocifreni brojevi maǌi od 40, koji

imaju cifru jedinica 0 ili 5. Dat je jox skup Q = {q| q = 5n, gdeje n ∈ N i 1 < n ≤ 7}. Nacrtaj Ojler-Venove dijagrame skupova Pi Q. Da li je P = Q?

A

3. Dati su skupovi: A ={a| a ∈ N i a je neparan broj ma-ǌi od 7}, B = {1, 2, 3, 6} i C ={c| c ∈ N i 3 < c < 8}. Odrediskupove: A∪B, A∩C i (A∪C)∩B.

4. Na osnovu Ojler-Venovihdijagrama sa slike, prika�i na-brajaǌem svih elemenata skupo-ve: A ∩ B, B\D, D\A, B\A i CAD.

Grupa B)1. Imamo skup slova M = {m, e, t, a, r}.a) Odredi podskup skupa M , koji ima dva elementa, tako da od

elemenata tog podskupa mo�emo sastaviti bar jednu smislenu reqod dva slova i jednu smislenu req od qetiri slova.

b) Odredi dva podskupa sa po tri elementa, tako da elementisvakog od ǌih odre�uje smislenu req od tri slova.

Da li su neki od ovih skupova jednaki?2. Dat je skup C dijagramom i skupovi

A = {1, 3, 3, 1, 5, 5, 5, 1, 7, 9, 9}, B = {b| b je jed-nocifreni neparan broj}.

Odredi skupove A∩C i B\A. Da li me�udatim skupovima ima jednakih?

3. Da li va�i jednakost {1, 2, 3, 4, 5}∩A ={2, 4}, ako je a) A = ∅; b) A = {2, 3, 4}; v)A = {2, 4}; g) A = {2, 4, 6, 8}?

4. Dati su skupovi A = {x| x − 2 = 0 ili 2x = 6}, B = {b| b ∈ N0

i b ≤ 3} i C = {c| c < 6 i c ∈ N}. Odredi skupovea) A\B; b) B\C; v) (A\C) ∩ B; g) (A ∪ B)\C.

34 Skupovi

Grupa V)1. Rexiti po nepoznatim x i y formule (x �= y):a) {x, 5} = {y, 2}; b) {x, y} ⊂ {1, 2, 3}.2. Da li su neki od skupova jednaki me�u sobom: A = {a| a ∈ N

i 2 ≤ a ≤ 4}; v) B = {b| b ∈ N0 i 1 < b < 5}; C = {c| c ∈ N i 2 < c < 4}?3. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {1, 4, 5, 6}.

Odredi skupove: A ∩ B, A ∪ B, A ∩ (B ∪ C), (A ∪ B) ∩ C.4. Dati su skupovi: M = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, K = {0, 2, 4, 6}, P =

{1, 3, 5} i Q = {4, 6, 8}. Proveri da li su K, P , Q podskupovi skupaM . Ako jesu, odredi im komplement u odnosu na M .

Grupa G)1. Odredi sve prave podskupove skupa S = {�,�,©}. Pazi, ima

ih xest!2. Dati su skupovi: A = {a, n, t, e, n, a}, B = {c, e, n, t, a, r} i C =

{t, e, r, e, t, a, n, a}. Izdvoj taqna tvr�eǌa.a) A = C; b) C ⊇ A; v) B ⊆ C; g) A ⊆ B; d) B = C. Obrazlo�i!3. Dati su skupovi: K = {2, 4, 6, 8} i M = {m| m ∈ N0 i n < 4}.Rexi po nepoznatim x i X formule:a) x ∈ K i x ∈ M ; b) x ∈ (K ∩ M) i x �= 2; v) X ⊂ K i X ⊂ M .4. Dati su skupovi: A = {v, e, s, l, a} i B = {e, c}. Od elemenata

skupa CAB naqini qetiri smislene reqi.

Grupa D)1. Odredi sve prave podskupove skupa M = {3, 5} i skupa P =

{2, 4, 6}.2. Skupove D, E i F , koji su zada-

ti dijagramima, zapixi navo�eǌem ele-menata. Zatim, umesto � postavi odgova-raju�i znak: ⊂, ⊃, = ili ∈.

a) F�D; b) f�D; v) D�E; g) E�{e, g};d) {b, d}�F ; �) E ∩ F�{g}.

3. Odredi podskupove X i Y skupaS = {a, b, c, d}, tako da je X∩{a, b, c} = {a, b}i Y ∪ {b, d} = {b, c, d}.

4. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N0 i a < 4}, B = {b| b ∈ N i0 ≤ b ≤ 3} i C = {c| c ∈ N0 i 0 < c < 5}. Odredi skupove:

a) C\A; b) A\(B ∩ C); v) (A ∪ C)\B.

Skupovi 35

15. QAS

Skupovi N i N0 Obnavǉaǌe i sistematizovaǌe


Ciǉ Podsetiti se na osnovne osobine prirodnih brojeva i ra-qunskih operacija sa ǌima. Upoznati pojmove prethodnik i sled-benik prirodnog broja.

Tok qasa

Osnovni tekst U�benik 24. do 26. str, Zbirka 26. do 29. str.Ponoviti pojmove: prirodni broj, skup N , skup N0, brojevna

poluprava (sve na str. 24. U�benika). Zatim, pojmove prethodnik isledbenik (uz rexavaǌe primera 1).

Podsetimo se na brojevne izraze, rexavaju�i zadatak 131.Reximo i problemske, zanimǉive zadatke 133 i 134.Zatim, rexavamo zadatke 147 i 148.Va�no je pa�ǉivo prezentirati zadatak 150. Prvo nastavnik

na tabli objasni sluqajeve navedene u promotivnom tekstu zadatka.Zatim, uqenici rexavaju sluqajeve od a) do g).

Doma�i zadatak: U�benik: Primeri 2. do 5. na str. 26. i Zbirka:135, 137, 140, 142.

36 Osnovni geometrijski objekti

16. QAS

Ravne geometrijske figure Obrada


Ciǉ Upoznavaǌe strukture, odre�enosti i me�usobnih odnosaosnovnih geometrijskih objekata i delova pravih i ravni.


Osnovni pojmovi u geometriji, taqka, prava i ravan, ne defi-nixu se, ali se ǌihovim osobinama dopuǌuju intuitivne slike oǌima. Taqke uoqavamo najqex�e kao presek dve linije i kao krajodseqka neke linije. Ni liniju ne definixemo. Zadr�avamo se naintuitivnoj predstavi zasnovanoj na crte�u. Nastavnik insistirana obaveznom (i pravilnom) oznaqavaǌu taqaka velikim slovimalatinice. Odnose taqaka, pravih i ravni prikazati kao u u�beni-ku. Ravni ubudu�e ne�emo posebno prouqavati. Zadr�a�emo se na”ravni crte�a” (list sveske ili povrx xkolske table).

Posveti�emo pa�ǌu slede�im geometrijskim objektima (figu-rama): du�, poluprava, poluravan. Sve ove objekte smatramo sku-povima taqaka, koji imaju beskonaqno mnogo elemenata. Me�utim,zbog svojih specifiqnosti, oni su odre�eni sa dva ili tri elemen-ta (dve ili tri taqke).

Rexavaǌem primera 1, 2 i 3 (na 30. i 31. str.) upoznajemo sesa nekim osobinama navedenih objekata.

Na kraju rexavamo zadatke 4-8. sa str. 31. i eventualno nekiodabrani zadatak iz Zbirke (str. 30. do 34.).

Doma�i zadatak: Zbirka: 152, 154, 156, 159, 162, 168, 174.

Osnovni geometrijski objekti 37

17. QAS

Izlomǉena linija. Oblast Obrada

Frontalni radKombinacija dijaloxke idemonstrativne metode

Ciǉ Upoznavaǌe sa pojmom izlomǉene linije, posebno sa mno-gougaonom linijom i oblax�u mnogougla. Razlikovati konveksne inekonveksne figure.


Nastavnik pokazuje modele, a potom i crta sliqne na xkolskojtabli. Definixe izlomǉenu liniju, a uqenici otkrivaju koji odmodela predstavǉaju izlomǉene linije, kao na sl. 10, str. 32. Za-tim se uoqava razlika izme�u izlomǉenih linija sa samopresekomi bez samopreseka. Ove posledǌe su tzv. proste izlomǉene linije.Tako�e razlikujemo otvorene i zatvorene izlomǉene linije.

Na kraju istiqemo zatvorenu prostu izlomǉenu liniju, kojase naziva mnogougaona linija. Uoqavamo trougaone, qetvorougaoneitd. mnogougaone linije. Definixemo temena i stranice, a zatimi unutraxǌu oblast mnogougaone linije. Zatim, definixemo mno-gougao.

Posebno istiqemo konveksne i nekonveksne mnogouglove. Na-stavnik pokazuje modele, kao na sl. 13, str. 34, a uqenici prepo-znaju konveksne i nekonveksne mnogouglove.

Posle rexavaǌa primera 1, 2 i 3, prelazimo na rexavaǌezadataka 4, 5 i 6 sa str. 35.

Doma�i zadatak: Zbirka: 176, 179, 180.


18. QAS

Izlomǉena linija. Oblast Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvr�ivaǌe pojma mnogougaone linije i mnogougla.


Ponovimo pojmove nauqene prethodnog qasa: izlomǉena linija(vrste), mnogougaona linija, mnogougao, unutraxǌa oblast mnogo-ugla. Za svaku definiciju uqenici na mestu (jedan na xkolskojtabli) crtaju modele.

Zatim, rexavamo iz Zbirke redom zadatke: 177, 178, 181, 184,187, 188.



19. QAS

Kru�nica i krug. Krug i taqka Obrada

Frontalni rad Heuristiqka metoda

Ciǉ Produbiti znaǌe o krugu i kru�nici. Uoqiti razliqitepolo�aje taqke prema krugu i prema kru�nici.


Definixemo kru�nicu, polupreqnik, kru�nu povrx (krug). Naxkolskoj tabli nacrta se kru�na linija polupreqnika r i oznaqinekoliko taqka na kru�nici, u krugu i van kruga. Centar kruganastavnik oznaqi sa O i ostale taqke velikim slovima latinicei pokazuju�i jednu po jednu od oznaqenih taqaka, pita uqenike ukakvom su polo�aju u odnosu na kru�nu liniju. Prvo pokazuje partaqaka koje su na kru�nici. Uqenici sami, uz eventualnu neupa-dǉivu sugestiju nastavnika, utvrde da su neke taqke na kru�nici,neke unutra, a neke van kru�nice (van kruga).

Zatim, nastavnik izabere jednu taqku na kru�nici, kao P nasl. 16, spoji je sa O i tra�i od uqenika da utvrde kolika je du-�ina du�i OP . (Oqekuje odgovor: OP = r.) Daǉe, kroz razgovornastavnik navodi uqenike da uoqe sluqajeve OQ < r i ON > r.

Nastavnik definixe centralno rastojaǌe taqke u odnosu nadati krug (kru�nicu) i potvrdi zakǉuqke o centralnom rastojaǌui polo�aju taqke prema krugu (kru�nici), kao na str. 37. U�benika.

Na kraju, rexavaju se zadaci 1, 2, 3, 4 sa str. 37.



20. QAS

Krug i prava. Tetive i tangente Obrada


Ciǉ Uoqiti posebne polo�aje prave u odnosu na krug. Posebnoupoznati tantente i tetive.


Nastavnik nacrta na xkolskoj tabli pravu p i taqku A vanprave, a uqenici to isto uqine u svojim sveskama. Preporuqǉivoje da uqenici pravu nacrtaju po liniji svoje sveske ”u kocke”, ataqka A da bude presek dve linije. Zadatak za uqenike je: nacrtatinajkra�e rastojaǌe od taqke A do prave p. Kad otkriju da je tonormala iz A na p, prelazimo na prouqavaǌe polo�aja prave premakrugu i kru�nici.

Prvo uzmemo taqku N u datom krugu k, sl. 17 na str. 37. U�be-nika i postavimo pravu p kroz N . Utvrdimo da prava p sa kru-�nicom ima dve zajedniqke taqke A i B, a sa krugom du� AB, ko-ju nazivamo tetivom. Definixemo centralno rastojaǌe prave iutvrdimo, ako je d < r, prava p seqe krug itd. Zatim, utvrdimopolo�aje prave u sluqajevima d = r i d > r.

Posebno treba naglasiti pojmove preqnika i tangente i ǌi-hovu va�nu ulogu kod kruga. U vezi sa tangentom ista�i dodirnipolupreqnik i ugao izme�u tangente i dodirnog polupreqnika. Za-tim, izvrximo konstrukciju tangente kroz taqku na kru�nici –Primer 1. dobro je da bar dva uqenika ponove ovu konstrukcijuna xkolskoj tabli.

Na kraju rexavamo zadatke 2. do 4. sa 39. str.



21. QAS

Krug i prava Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvr�ivaǌe znaǌa o me�usobnim polo�ajima prave i kruga,posebno o tangentama i tetivama.


Obnovimo pojam centralnog rastojaǌa prave. Zavisno od cen-tralnog rastojaǌa odrediti presek prave i kruga, odnosno prave ikru�nice.

Rexavaǌem odgovaraju�ih zadataka na naqin predvi�en radomu nehomogenim grupama (po dve susedne klupe), utvr�ujemo i dopu-ǌavamo znaǌa o odnosu kruga i prave.

Radimo zadatke iz Zbirke: 214, 215, 216, 217, 219, 221, 223.



22. QAS

O krugu Uve�bavaǌe

Kombinovani rad u parovimai u nehomogenim grupama

Dijalog

Ciǉ Utvrditi odnose taqke i prave u odnosu na dati krug.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik i Zbirka (druga glava)

Na osnovu liqnih zapa�aǌa o realizaciji teme Osnovni ge-ometrijski objekti, nastavnik, neposredno pre realizacije, utvr-�uje taqan plan za ovaj qas. U svakom sluqaju, korisno je izvrxitikratku rekapitulaciju druge glave. Treba utvrditi ili potvrdi-ti nivo poznavaǌa pojmova (definicije i osobine), kao i primenukroz raqunske i konstruktivne zadatke. Pritom koristimo zadatkeiz U�benika i Zbirke.

Izbor zadataka iz Zbirke, za kratku rekapitulaciju nauqenog,mogao bi biti: 157, 158, 161, 163, 169, 175, 183, 185, 194, 195, 208,209, 224, 225. Naravno, koje od ovih zadataka treba preskoqitii koje eventualno uvrstiti u ovaj spisak, odluquje nastavnik naosnovu procene o nivou usvojenih znaǌa od strane uqenika.

Zadaci se rexavaju na naqin predvi�en grupnim radom.

Doma�i zadatak: Neura�eni od zadataka preporuqenih za ovajqas.


23. QAS

Dva kruga Obrada


Ciǉ Prouqavaǌe me�usobnih polo�aja dva kruga, jer �e to ima-ti izuzetan znaqaj kad se budemo bavili rexavaǌem konstruktiv-nih zadataka.


Razmatramo svih xest mogu�ih sluqajeva, prikazanih na sli-kama 21. do 26. u u�beniku. Nastavnik sve sluqajeve prikazuje naxkolskoj tabli ili prikazuje pripremǉene crte�e iz asortimanaxkolskih uqila.

Uqenici sve to crtaju u svojim sveskama. Nastavnik definixesamo centralno rastojaǌe, tako da svi uqenici izaberu iste di-menzije. Na primer, za prva tri sluqaja nacrtaju du� O1O2 = 5 cm,a za sluqajve 4. i 5. uzmu du� O1O2 = 1 cm. Osim toga, tra�i dabude r2 < r1.

Nastavnik tra�i da uqenici crtaju jedan po jedan sluqaj: pr-vo, da se kru�nice i odgovaraju�i krugovi ne seku, drugo, da sespoǉa dodiruju itd. Uqenici sami izvlaqe zakǉuqke odgovaraju�ina pitaǌa koja postavǉa nastavnik. U svim sluqajevima tra�i seodgovor na pitaǌe: ”Koji uslov moraju zadovoǉiti polupreqnicir1 i r2, da bi kru�nice, odnosno krugovi bili su tra�enom odno-su?” (Odgovor bi mogao biti, na primer, za prvi sluqaj: ”Zbirpolupreqnika r1 i r2 je 4 cm” i sl., pa u takvom sluqaju nastavnikgeneralizuje zakǉuqak: r1 + r2 < O1O2.)

Na kraju rexavamo zadatke 1, 2, 3, 4 sa str. 41.



24. QAS

Sve o krugu Sistematizacija


Ciǉ Povezati i rasqlaniti sve nauqeno o krugu.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik i Zbirka

Pre svega potrebno je ponoviti sve nauqene pojmove, qije sudefinicije istaknute (podvuqene bojom) u U�beniku. Svaki objektse prika�e i crte�om, prvo na mestu - u svesci, a potom i na ta-bli. Zatim se rexavaju zadaci iz Zbirke. Ne ide se redom od Pojmageometrijske figure, nego se prvo obnovi o odnosu dva kruga. Dakle,prvo rexavamo zadatke: 229, 233, 235, 239, 240.

Zatim, rexavamo zadatke za sistematizovaǌe ostalog dela gra-diva iz Druge glave: 155, 166, 170, 173, 190, 191, 197, 210, 220, 222.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Druga kontrolna ve�ba (str. 9.

do 12.)


25. QAS

Druga kontrolna ve�ba (Osnovni geome-trijski objekti. Skupovi N i N0.)

Kontrola znaǌa

Uqenici su podeǉeni u grupe, prema naho�eǌu nastavnika. Sva-ki uqenik dobija list sa ispisanim tekstovima zadataka. Na listuje boǉe unapred napisati ime uqenika, nego oznaqiti grupu. Dajemopredloge pet grupa zadataka.

Grupa A)1. Nacrtaj dva qetvorougla, tako da ǌihov presek bude:a) trougao; b) qetvorougao; v) petougao.2. Nacrtaj kao na prilo�enoj slici pravu a, ta-

qku A na pravoj i taqku O van prave. Konstruixi dvekru�nice polupreqnika 15 mm, koje dodiruju pravu au taqki A. Zatim, konstruixi kru�nicu k sa centromO, koja tako�e dodiruje pravu a.

3. Data je du� AB = 1 dm i kru�nica k1(A, 2 cm) ik2(B, 5 cm). Odredi rastojaǌe izme�u dve me�usobnonajbli�e taqke kru�nica k1 i k2 i rastojaǌe izme�udve najudaǉenije taqke ovih kru�nica.

4. Koliko je du�i i koliko trouglo-va nacrtano na slici. Sve nacrtane du-�i oznaqi krajǌim taqkama (na primerMN) i trouglove temenima (na primerMNQ).

5. Na papiru su napisana dva broja:118 i 216. Da li je neki od ǌih jednakzbiru tri uzastopna parna broja?

Grupa B)1. Nacrtaj taqke A, B, C, D, E i F , kao na

slici. Koriste�i se nacrtanim taqkama ozna-qi izlomǉene linije:

a) (plavu) BCDE; b) (crvenu) ABFDA; v)(crnu) ECDBAE.

Da li je neka od ǌih mnogougaona linija?2. Nacrtaj pravu t i taqku C van prave t.

Zatim, konstruixi kru�nicu k sa centrom C,tako da dodiruje pravu t. Dodirnu taqku obele�i i oznaqi sa T .Nacrtaj i kru�nicu k1 sa centrom C, tako da seqe pravu t.

3. Nacrtaj kru�nicu k polupreqnika 3 cm i jedan ǌen preqnikAB. Zatim nacrtaj kru�nice k1 i k2, obe polupreqnika 2 cm, koje


iznutra dodiruju kru�nicu k. Dodirna taqka kru�nica k i k1 jeA, a B je dodirna taqka kru�nica k i k2. U kakvom su me�usobnompolo�aju k1 i k2?

4. Koliko du�i i koliko trouglo-va odre�uju taqke oznaqene na slici?

5. Uoqi brojeve: 1, 2, 4, 8, 16.Uveri se da sve prirodne brojeve ma-ǌe od 32, osim ovih uoqenih, mo�exdobiti sabiraǌem uoqenih brojeva.(Na primer: 25 = 16 + 8 + 1). Za svakibroj ispixi odgovaraju�i zbir.

Grupa V)1. Nacrtaj kvadrat i trougao, tako da ǌihov presek bude:a) petougao; b) xestougao.2. Nacrtaj paralelne prave p i q, kao

na slici i oznaqi taqku P na pravoj p. Za-tim, konstruixi krug K1 sa centrom P ,koji dodiruje pravu q i krug k2 sa cen-trom na pravoj q, koji dodiruje pravu p utaqki P . Osenqi K1 ∩ K2.

3. Nacrtaj pravu p i na ǌoj oznaqitaqku P . Konstruixi sve kru�nice pre-qnika 4 cm, koje pravu p dodiruju u taqkiP . U kakvom su me�usobnom polo�aju ove kru�nice?

4. Prebroj du�i i trouglove na-crtane na slici. Ispixi sve trouglove(oznaqi ih temenima).

5. Koriste�i se brojevima 1, 1, 5,15 i operacijama sabiraǌa i oduzima-ǌa, mo�emo dobiti svaki prirodni brojizme�u 1 i 22. Za svaki broj napixi od-govaraju�i izraz.

Grupa G)1. Nacrtaj dva trougla, tako da ǌihova

unija bude:a) trougao; b) qetvorougao; v) petougao.2. Nacrtaj pravu a i taqku B, koja je od

a udaǉena 6 cm. Zatim, konstruixi kru�ni-cu k polupreqnika 3 cm, koja sadr�i taqkuB i dodiruje pravu a. Dodirnu taqku ozna-qi sa A.

3. Nacrtaj kru�nicu k, na ǌoj taqku Ti pravu a, kao na slici. Zatim, konstruixi


krug K1 sa centrom na pravoj a, koji dodiruje kru�nicu k u taqkiT . Presek kruga K1 i prave a je du� AB. Xta predstavǉa AB ukrugu K1?

4. Navedi sve trouglove qija su temenataqke oznaqene na slici. Koliko ima takvihtrouglova?

5. Izraqunaj vrednosti izraza:a) 40 : (27 : 3 + 4 · 17 − 200 : 4 − 112 : 16)b) 5 · 7 − (14 : 2 + 3 · (222 : 37 − 2) − 11).

Grupa D)1. Prave a i b na slici paralelne su

me�u sobom. Odredi skup taqaka S, takoda je:

a) S = c ∩ d; b) S = a ∩ b;v) S = d∩(a∪c); g) S = (a∩c)∪(c∩d).2. Nacrtaj prave p i q u taqku P kao

na slici. Zatim, konstruixi kru�nicu k,koja ima centar na pravoj q, tako da P bu-de dodirna taqka kru�nice i prave p.

3. Centralno rastojaǌe krugova K1 iK2 iznosi 15 cm. Polupreqnik kruga K2

qetiri puta je ve�i od polupreqnika kru-ga K1. Odredi du�ine polupreqnika ovihkrugova, ako se oni dodiruju.

a) spoǉa; b) iznutra.4. Date su qetiri razliqite taqke:

A, B, C, D. Koliko najvixe pravih mo-gu da odrede ove taqke? Ispixi sve du�iqiji su krajevi date taqke. Koliko imatih du�i?

5. Koriste�i se po potrebi operacijama sabiraǌa i oduzima-ǌa, poka�i da se svaki prirodni broj maǌi od 14, mo�e izrazitipreko brojeva 1, 3 i 9. Za svaki broj napixi odgovaraju�i izraz.

48 Deǉivost brojeva

26. QAS

Mno�eǌe i deǉeǌe u skupu N0 Obnavǉaǌe

Frontalni rad i rad u parovima Dijalog

Ciǉ Obnavǉaǌe osobina proizvoda i koliqnika, radi pripremeterena za izuqavaǌe deǉivosti brojeva.


Najpre ponovimo pojmove: proizvod i qinioci (faktori). Po-sebno istiqemo osobine (uqenici raqunaju primere sa datim bro-jevima i sami izvode zakǉuqke): 0 · n = 0, 1 · n = 1, m · n = n · m,(a · b) · c = a · (b · c) i a(b + c) = a · b + a · c.

Pritom reximo zadatke: 1, 2, 3, 4, 5 sa 43. strane.Zatim, obnovimo pojmove: deǉenik, delilac, koliqnik (strana

46). Posebno obratimo pa�ǌu na ulogu nule u deǉeǌu (str. 45).Primetimo da jednakosti: a = b · c, zatim a : b = c i a : c = b,

gde su a, b i c prirodni brojevi, imaju suxtinski isto znaqeǌe. Zailustraciju reximo zadatke 6 i 7 sa strane 45.

Na kraju, obnovimo deǉeǌe sa ostatkom i jednakost a = d ·q +r,gde je r < d (strana 46).

Reximo i zadatke 8, 9 i 10 sa 46. strane.Ukoliko ima vremena, reximo jox neke od zadataka sa 47. stra-

ne.

Doma�i zadatak: Preostali zadaci na 47. strani.

Deǉivost brojeva 49

27. QAS

Deǉivost prirodnih brojeva Obrada


Ciǉ Neophodno je da uqenici razumeju i shvate ekvivalentno

znaqeǌe jednakosti a : d = q i a = d ·q, gde je broj d prirodan (pojamdelioca). Analizirati jednakost a = d · q + r.


Ponovimo znaqeǌe veze a = d · k, gde su a, d i k prirodni bro-jevi. Na primer: Iz 85 = 5 · 17 sledi da je 85 : 17 = 5 i 85 : 5 = 17.

Dakle, brojevi 5 i 17 su delioci broja 85. Tako�e, 85 je sadr-�ilac brojeva 5 i 17.

Istiqemo pojam sadr�alac i ǌegov sinonim umno�ak.Nastavimo izlagaǌe orema tekstu sa 48. strane U�benika.Onda, reximo primere 1, 2, 3, 4 sa 49. strane.Zatim, kao xto je izlo�eno na 49. strani, razmatramo sluqa-

jeve kada deǉeǌe daje ostatak. Posebno naglasiti oznake za parnei neparne brojeve.

Na kraju rexavamo zadatke od 1 do 10 na stranama 50. i 51.U�benika.



28. QAS

Deǉivost prirodnih brojeva Utvr�ivaǌe


Ciǉ Utvrditi pojmove: deǉeǌe bez ostatka (deǉivost) i deǉeǌesa ostatkom u skupovima N i N0.


Ponovimo pojam (definiciju) deǉivosti: Ako su a, k i d pri-rodni brojevi, iz a = d · k sledi da je a : d = k i a : k = d. Tada su di k delioci broja a.

Reximo zadatak 242 iz Zbirke.Proxirimo definiciju deǉivosti na skup N0.Dakle: ako je d prirodni broj i a, k ∈ N0, onda ako je a = d · k,

ka�emo da je a deǉivo sa d i a : d = k. Ako je, na primer, a = 0 id = 7, onda je 0 = 7 · 0. Tada u jednakosti a = d · k je a = 0, d = 7,k = 0, odnosno va�i 0 : 7 = 0.

Rexavamo zadatke: 252 i 245.Ponovimo jednakost: a = d · q + r, r < d, pa rexavamo zadatke:

260, 257, 259.



29. QAS

Svojstva deǉivosti brojeva Sistematizovaǌe


Ciǉ Isticaǌe najbitnijih pojmova i osobina u vezi sa deǉi-vox�u u skupu N0.

Tok qasa

Osnovni tekst U�benik str. 51, 52, 53; Zbirka od 48. do 51.

Ponovimo deǉeǌe sa ostatkom (a = d · q + r) i reximo zadatak261 iz Zbirke.

Onda nastavǉamo prouqavaǌe deǉivosti bez ostatka.Sledimo tekst iz U�benika, strane: 51, 52, 53, istiqu�i oso-

bine kroz primere navedene u ovom tekstu.Rexavamo zadatke 2, 3, 4 i 5 sa 53. strane.Zatim, do kraja qasa rexavamo zadatke iz Zbirke, redom: 266,

267 a), b), 269 a), b), v), g), d), 275.



30. QAS

Pravila deǉivosti sa 10, 5, 2 i 4 Obrada

Rad u nehomogenim grupama Heuristiqka metoda

Ciǉ Na osnovu dosadaxǌih znaǌa i iskustava, uqenici u naj-ve�oj meri samostalno otkrivaju pravila za utvr�ivaǌe deǉivo-sti sa 10, 5, 2 i 4.


(Nehomogene grupe qine uqenici iz dve susedne klupe.)Ponovimo definiciju deǉivosti: ”Broj a je deǉiv sa d ako

postoji ceo broj k, takav da je a = k · d.”Primenimo na sluqaj d = 10: Broj je deǉiv sa 10 ako ima oblik

10 · k, a to znaqi, ako mu je cifra jedinica 0 itd. Pratimo tekstsa strana 54. i 55. Koristimo osobinu deǉivosti: Ako p|a i p|b,onda p|(a+b). Do zakǉuqka nastavnik dolazi postavǉaju�i pitaǌa,a uqenici izvode zakǉuqke. Ukoliko oceni da uqenici texko mogusami do�i do zakǉuqka o brojevima koji nisu deǉivi sa 10 (cifrajedinica nije 0), nastavnik tu preuzima inicijativu.

Onda, rexavamo zadatke od 1 do 5 sa 55. strane.Daǉe, prelazimo na deǉivost sa 5 (strana 55.) i rexavamo

zadatke 6 do 10 sa 56. strane.Koriste�i se navedenom osobinom o deǉivosti zbira, daǉe iz-

vodimo zakǉuqke o deǉivosti najpre sa 2, pa sa 4. Usput rexavamopostavǉene zadatke od 11 do 15.



31. QAS

Pravila deǉivosti sa 9 i 3 Obrada

Rad u nehomogenim grupamaKombinovano: dijaloxka iheuristiqka metoda

Ciǉ Uz minimalnu pomo� nastavnika uqenici dolaze do praviladeǉivosti sa 9 i 3.


Ponovimo zakǉuqak sa prethodnog qasa da se deǉivost sa 10,2 i 5 odre�uje na osnovu samo jedne cifre broja - posledǌe, a de-ǉivost sa 4 na osnovu dvocifrenog zavrxetka.

Razmotrimo onda deǉivost sa 9 (strane 58. i 59.), koriste�isa qiǌenicom da svaka dekadna jedinica (10, 100, 1000, ...) prideǉeǌu sa 9 daje ostatak 1. Pri ispitivaǌu cifara na xkolskojtabli treba koristiti kredu u boji (kao u u�beniku) ili podvla-qeǌe cifara.

Potom rexavamo primere 1 i 2. Posebno istiqemo rexavaǌeprimera 2.

Zatim, koriste�i se qiǌenicom (osobina deǉivosti): ako jebroj deǉiv sa 9, onda je deǉiv i sa 3, izvodimo pravilo deǉivostisa 3.

Rexavamo zadatke 3, 4 i 5 sa 60. strane.



32. QAS

Pravila deǉivosti Uve�bavaǌe

Rad u parovima i ne-homogenim grupama

Heuristiqka metoda

Ciǉ Snala�eǌe uqenika u otkrivaǌu deǉivosti prirodnih bro-jeva korix�eǌem nauqenih pravila.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 51. do 56.strane

Ponovimo pravila deǉivosti sa 10, 5, 2, 4, 9 i 3. Za svakopravilo uqenici sastavǉaju dva do tri primera.

Prvi deo qasa, tokom ponavǉaǌa pravila, radi se u parovima.Parove qine uqenici u svakoj klupi.

Zatim, vra�aju�i se na deǉivost sa 10, nastavnik navodi uqe-nike da sami zakǉuqe uslove deǉivosti i drugim, ve�im dekadnimjedinicama (100, 1000, ...). Rexavamo zadatke 291, 292, 293.

Za nastavak rada uqenici se grupixu tako da svaku grupu qi-ne uqenici iz dve susedne klupe. Zadatke koje nastavnik postavǉaprvo rexavaju grupe, koje prijavǉuju nastavniku da su rexili za-datak. Onda nastavnik izvodi jednog uqenika na xkolsku tablu, gdeon demonstrira prona�eno rexeǌe.

Rexavaju se zadaci: 301, 303, 304, 307, 317, 318.

Doma�i zadatak: Zbirka: 302, 305, 308, 309, 311, 333.


33. QASProsti i slo�eni brojevi.Rastavǉaǌe na proste qinioce Obrada


Ciǉ Uoqiti razliku izme�u prostih i slo�enih brojeva. Uo-qiti da je svaki slo�en broj proizvod prostih brojeva (prostihqinilaca) i utvrditi postupak nala�eǌa svih prostih qinilaca.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik od 60. do 63. strane

Koriste�i se tabelom delilaca sa 60. strane pokazati kako sebrojevi prve desetice razlikuju po broju delilaca. Zatim se de-finixu prosti brojevi. Odmah, na osnovu definicije zapa�a se daje broj 2 najmaǌi prost broj i jedini paran prost broj. Zatim seuoqi da svi prirodni brojevi ve�i od 1, koji nisu prosti, moguda se izraze u vidu proizvoda dva broja ve�a od 1. To su slo�enibrojevi.

Istiqemo neobiqnu qiǌenicu: broj 1 nije ni prost ni slo�enbroj i jedini je prirodni broj sa takvom osobinom. U skup N0 imamoi broj 0, koji je deǉiv svakim prirodnim brojem, ali nije slo�enbroj (ne mo�e se izraziti kao proizvod dva broja ve�a od 1).

Uz eventualnu pomo� nastavnika uqenici sami nalaze sve pro-ste brojeve maǌe od 50.

Zatim reximo primere 1 i 5 sa 61. str.Kao xto je opisano na 62. strani u�benika, na primeru broja

60, treba pokazati kako se slo�eni broj mo�e postepeno dovesti naoblik proizvoda samih prostih qinilaca. Ukoliko oceni da ovajprimer nije dovoǉan za izvo�eǌe potrebnih zakǉuqaka, nastavnik�e prikazati jox neki primer, recimo broj 168. Onda rastavimobroj 144 iz primera 1 sa 62. strane.

Zatim, na brojevima 25740, 180 i 504 prikazujemo uobiqajenipostupak razlagaǌa slo�enih brojeva na proste qinioce sistemat-skim pretra�ivaǌem. Pritom, koristimo nauqena pravila deǉivo-sti sa 2, 3 i 5. Za proste qinioce 7, 11, 13 i ve�e proveru vrximodirektnim deǉeǌem.

Zatim, kao na primeru broja 853, prikazanog na 63. strani,razmatramo kako se dolazi do zakǉuqka da li je dati broj prost.

Doma�i zadatak: 1, 2, 3, 4, 5 sa 61. strane i 2, 3, 4, 5 sa 63.strane u�benika.


34. QAS

Prosti i slo�eni brojevi Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvr�ivaǌe osobina prostih i slo�enih brojeva, uz pri-menu pravila deǉivosti i rastavǉaǌe na qinioce.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka: od 57. do 59. str.

Prvi deo qasa radimo frontalno.Ponovimo definicije prostih i slo�enih brojeva. Reximo za-

datke 341. i 342.Zatim, uve�bavamo nauqene postupke za razlagaǌe slo�enih

brojeva na proste qinioce i nala�eǌe svih delilaca datog broja.Nastavǉamo rad u parovima.Radimo u parovima na uobiqajeni naqin: prvo parovi do�u do

rexeǌa na mestu, pa onda neki uqenik radi na tabli. Ukoliko senastavnik neposrednim nadgledaǌem parova uveri da su svi shva-tili problem i doxli do rexeǌa, taj problem se preskaqe, tj. nerexava se na tabli.

Rexavamo zadatke: 350 v), g), z), l), 351 v) d), 353 a), 370, 355a), 361 a).

Zatim, postavimo zadatke: ”Utvrdi da li je prost ili slo�enbroj: a) 479, b) 667.”

Nastavǉamo sa zadacima: 354. v), 357. a), 364. a).Ukoliko neki od predlo�enih zadataka ne do�e na red do kraja

qasa, taj se zadaje za doma�i rad. Dodajemo i slede�e zadatke.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Tre�a kontrolna ve�ba (str.

13. do 16.)


35. QAS

Tre�a kontrolna ve�ba(Deǉivost. Slo�eni brojevi) Kontrola znaǌa

Grupa A)1. Rastavi na proste qinioce broj 1008, pa odredi sve ǌegove

delioce.2. Odredi sve proste brojeve p, takve da je broj p2 trocifren

i maǌi od 500.3. Umesto zvezdice stavi odgovaraju�u cifru, tako da broj 17∗4

bude deǉiv sa 4. Na�i sva rexeǌa.4. Proizvod tri uzastopna prirodna broja iznosi 9240. Odredi

ta tri broja.

Grupa B)1. Rastavi na proste qinioce broj 39204, pa poka�i da je on

kvadrat nekog prirodnog broja k. Odredi broj k.2. Napixi sve slo�ene brojeve ve�e od 120 i maǌe od 140. Za

svaki od ǌih poka�i da je zaista slo�en broj.3. Umesto slova a i b stavi odgovaraju�e cifre, tako da broj

1a46b bude deǉiv sa 2 i sa 9. Na�i sva rexeǌa.4. Proizvod tri uzastopna parna broja iznosi 17472. Odredi

ta tri parna broja.

Grupa V)1. Rastavǉaǌem na proste qinioce utvrdi da li je broj n =

312 · 78 kvadrat nekog prirodnog broja.2. Odredi sve proste brojeve q, takve da je q3 trocifren broj.3. Umesto zvezdice stavi odgovaraju�u cifru, tako da broj 520∗

bude deǉiv sa 2 i sa 3. Na�i sva rexeǌa.4. Proizvod tri uzastopna prirodna broja iznosi 3360. Odredi

ta tri prirodna broja.


Grupa G)1. Rastavi na proste qinioce broj 600. Zatim, odredi sve ǌe-

gove delioce, koji su tako�e slo�eni brojevi.2. Od svih dvocifrenih i trocifrenih brojeva, koji imaju jed-

nake sve cifre, odredi one koji su prosti brojevi.3. Umesto slova x i y stavi odgovaraju�e cifre, tako da broj

2x33y bude deǉiv sa 2 i sa 3, ali ne i sa 4.4. Proizvod tri uzastopna parna broja iznosi 17472. Odredi

ta tri parna broja.

Grupa D)1. Rastavi na proste qinioce broj 713. Obrazlo�i postupak.2. Koriste�i se ciframa 3, 4 i 5, napixi sve trocifrene bro-

jeve, koji se pixu sa tri razliqite cifre i deǉivi su sa 2. Da lije neki od ǌih deǉiv sa 4?

3. Umesto zvezdice stavi odgovaraju�u cifru, tako da broj 6∗25bude deǉiv sa 3, ali ne i sa 9.

4. Proizvod qetiri uzastopna prirodna broja iznosi 24024.Odredi ta qetiri prirodna broja.


36. QAS

Najve�i zajedniqki delilac Obrada


Ciǉ Ista�i pojam i znaqaj najve�eg zajedniqkog delioca. Utvr-diti naqine odre�ivaǌa. Uvo�eǌe pojma uzajamno prostih brojeva.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik od 64. od 66. strane

Ponovimo pojmove delilac i sadr�alac. Uoqiti da su deliocibrojeva 21 brojevi 3 i 7. Delioci broja 12 su 3 i 4. Prime�ujemoda je broj 3 zajedniqki delilac za 21 i 22.

Nije texko utvrditi da broj 60 ima slede�e delioce: 1, 2, 3, 4,5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60. Delioci broja 45 su: 1, 3, 5, 9, 15 i 45.Porede�i ova dva skupa delilaca uoqavamo da oni imaju zajedniqkedelioce: 1, 3, 5 i 15. Najve�i me�u ǌima je broj 15.

Razmotrimo delioce brojeva 18 i 30, kao xto je opisano na 64.strani u�benika. Uoqavamo da je broj 6 najve�i zajedniqki delilacza 18 i 30.

Definixemo najve�i zajedniqki delilac, skra�ena oznaka je NZD.Uvodimo oznaku D(a, b), pa u datim primerima je D(60, 45) = 15 iD(18, 30) = 6.

Reximo primer sa komadom papira sa 64. strane.Zatim, poka�emo kako se iz razlagaǌa slo�enih brojeva na

proste qinioce odre�uje NZD. U u�beniku detaǉno je obra�en slu-qaj D(180, 144) = 36, zatim je za tri broja, naveden je primer D(24,60, 96) = 12.

Onda uvedemo odre�ivaǌe NZD pomo�u xeme (strana 65). Re-ximo primere 1, 2 i 3.

Uvodimo pojam uzajamno prostih brojeva, kako je opisano na 66.strani i reximo primer 4.

Doma�i zadatak: Zbirka: 376 a), b), v), 377 a), b), v), g), 378 a),

b), 379 a), d), 383 a), b), v), 386 a), b), v).


37. QAS

Najmaǌi zajedniqki sadr�alac Obrada


Ciǉ Uoqavaǌe pojma najmaǌeg zajedniqkog sadr�aoca i otkri-vaǌe naqina ǌegovog odre�ivaǌa.


Obnovimo pojmove: zajedniqki delilac, najve�i zajedniqki deli-lac i uzajamno prosti brojevi. Rexavamo iz Zbirke zadatke: 378�), 383 �) i d), 387 a).

Obnovimo pojam sadr�aoca. Zatim na primeru 12 · 30 = 360,sa 66. strane u�benika, animiramo uqenike da odrede po nekoli-ko (recimo po deset) sadr�alaca brojeva 12 i 30. Onda uoqavajuzajedniqke sadr�aoce i izdvajaju najmaǌeg od ǌih. Navodimo uqe-nike da definixu najmaǌi zajedniqki sadr�alac, skra�eno: NZS.Uvodimo oznaku, na datom primeru je to: S(12, 30) = 60.

Zatim, uqenici analiziraju i izvode zakǉuqak, kako se na osno-vu razlagaǌa na proste uqinioce mo�e odrediti NZS za dva ilivixe od dva zadata broja. Do potrebnih zakǉuqaka najpre razma-traju prethodni primer S(12, 30), a onda na sliqan naqin odre�ujuS(18, 20, 21, 28).

Uz eventualnu pomo� nastavnika uqenici dolaze do zakǉuqkada NZS sadr�i sve proste qinioce brojeva, i to svaki onoliko pu-ta koliko se najvixe nalazi u svakom od brojeva. Na osnovu toganastavnik predla�e i izla�e odre�ivaǌe NZS u dva koraka, kakoje pokazano na str. 67 za S(18, 20, 21, 28).

Onda, tra�imo S(8, 25) i eventualno S(15, 14) i zakǉuqimo: akoje D(a, b) = 1, onda je S(a, b) = a · b.

Reximo primere od 1 do 5 sa 68. strane.

Doma�i zadatak: Zbirka: 401, 405 a), b), v), 406 g), 407 b), j).


38. QAS

NZD i NZS Uve�bavaǌe


Ciǉ Uoqiti znaqeǌe NZD i NZS i ǌihovu primenu.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 60. do 64. strane

Obnovimo pojmove: delilac, zajedniqki delilac, najve�i zajed-niqki delilac (NZD) i uzajamno prosti brojevi. Zatim, rexavamozadatke iz Zbirke: 378 �), 379 g), 381, 380, 383 e), 384 �), 387 b),g), 390 a).

Zadaci se rexavaju na naqin uobiqajen za rad u nehomogenimgrupama, koje qine uqenici iz dve susedne klupe.

Zatim, obnovimo pojmove: sadr�ilac, zajedniqki sadr�alac inajmaǌi zajedniqki sadr�ilac (NZS).

Rexavamo zadatak iz zbirke: 402 a), b), 405 d), 406 b), d), 407a), �), k), 410.

Doma�i zadatak: Zbirka: 384 a), b), v), 385 a), �), 386 g), d), �),

e), 396, 406 v), �), 407 l), 411, 413.

62 Pismeni zadatak

39. QAS

Priprema za pismeni zadatak Obnavǉaǌe


Ciǉ U najkra�im crtama, kroz rexavaǌe karakteristiqnih za-dataka, obnoviti bitne teme i probleme.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka zadataka

Posle svake zavrxene nastavne teme (Skupovi, Osnovni geome-trijski objekti) nastavnik analizira efekte nastave i, uzimaju�iu obzir i rezultate sa dve ura�ene kontrolne ve�be, planira kojedelove gradiva treba obnoviti pre pismenog zadatka. Tako�e, uzi-ma u obzir nivo znaǌa koji su, po ǌegovoj oceni, uqenici postigliiz aktuelne teme (Deǉivost brojeva). Od tih utisaka zavisi izborzadataka za obnavǉaǌe gradiva i pripremu za pismeni zadatak.Ovaj izbor i zadaci predvi�eni za pismeni zadatak treba da buduuskla�eni, jer bi se u protivnom uqenici usmerili ka neodgovara-ju�im pripremama.

Navodimo jedan uopxten izbor zadataka, koji predstavǉa pre-sek kroz pre�eno gradivo. Nexto od toga treba uraditi na ovomqasu, a ostatak kroz doma�i rad. Svi navedeni zadaci su iz Zbir-ke.

31, 36 (izbor), 44, 47, 80, 86, 99, 115, 148, 167, 168, 191, 192,198, 224, 225, 228, 237, 255, 264, 305, 315, 335, 357, 364, 371, 379,388, 389, 391, 406, 408, 409, 410.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Prvi pismeni zadatak (str. 17.

do 19.)

Pismeni zadatak 63

40. QASPrvi pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Uqenici dobijaju odxtampane zadatke. Od pet zadataka svakagrupa ima jedan zadatak koji je ra�en na qasu, jedan koji je dat zadoma�i zadatak i dva zadatka iz Zbirke.

Grupa A)1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N0 i a je jednocifreni broj};

B = {b| b ∈ N0 i b < 3}. Odredi nabrajaǌem elemenata skupove:A ∩ B, B\A i CAB.

2. Odredi skup A ako je A ∪ B ∪ C = {x| x ∈ N0 i x < 9},B\A = {4, 5}, C\A = {2, 7}, a skupovi B i C su disjunktni.

3. Preslikaj u svesku datu sliku. Zatim,konstruixi kru�nice k1 i k2 sa centrom C,koje dodiruju kru�nicu k sa centrom S. Ukakvom su me�usobnom polo�aju k1 i k2?

4. U broju 38 ∗ 2∗ umesto zvezdica stavi od-govaraju�e cifre, tako da dobijeni broj bude deǉiv sa 3 i sa 5,ali ne i sa 9. Na�i sva rexeǌa.

5. Odredi najve�i prirodni broj d, takav da pri deǉeǌu sa dbroj 262 daje ostatak 7, a broj 246 daje ostatak 8.

Grupa B)1. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {b| b ∈ N0 i b2 < 10}.

Odredi nabrajaǌem elemenata skupove: B\A, A ∩ B i A ∪ B.2. Odredi skupove: M , P i M ∩ P , ako je M\P = {0, 1}, P\M =

{4, 5} i M ∪ P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.3. Preslikaj u svesku datu sliku.

(Polupreqnik kru�nice k je 1,5 cm.) Kon-struixi kru�nice k1 i k2, obe polupre-qnika 2 cm, koje dodiruju k u taqki A. Ukakvom su me�usobnom polo�aju k1 i k2?

4. Odredi prirodne brojeve m i n,koji imaju najve�i zajedniqki delilac21, ako je m + n = 84.

5. Na�i najmaǌi prirodni broj n kojim treba pomno�iti 1260da bi dobijeni proizvod bio kvadrat prirodnog broja.

Grupa V)1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N i 3 ≤ a ≤ 6} i B = {b| b ∈ N0 i

3b ≤ 10}. Odredi nabrajaǌem elemenata skupove: A∩B, B\A i A∪B.2. Dati su skupovi: A = {1, 2, 3, 4} i B = {2, 4, 6}. Preko A i B,

koriste�i skupovne operacije, izrazi skupove: M = {1, 3}, P = {2, 4}i Q = {6}.

64 Pismeni zadatak

3. Preslikaj u svesku datu sliku. Za-tim, konstruixi sve kru�nice koje pravu tdodiruju u taqki T , a centar im je na datojkru�nici.

4. Odredi sve qetvorocifrene brojeveqiji je zbir cifara 5 i koji su deǉivi sa 5.

5. Rastavǉaǌem na proste qinioce odredi broj n, ako je n3 =3375.

Grupa G)1. Dati su skupovi A = {a| a ∈ N i a ≤ 5} i B = {0, 1, 2, 3}.

Odredi skupove: A ∩ B, B\A, A ∪ B.2. Dati su skupovi M = {1, 3, 4}, P = {2, 4, 6} i Q = {4}. Izrazi

preko M , P i Q skupove: A = {1, 3} i B = {1, 2, 3, 6}.3. Preslikaj u svesku dati ugao aOb. Zatim,

konstruixi dve jednake kru�nice k1 i k2, kojedodiruju krak Oa u taqki A i pritom je centarkru�nice k1 na pravoj b. U kakvom su me�usob-nom polo�aju k1 i k2?

4. Od pravougaonog kartona, ivica 84 cm i 54 cm, treba izrezatikvadratne kartice, tako da sve kartice budu jednake veliqine i danema otpatka od datog kartona. Kolika je najve�a mogu�a ivicakartice? Koliko takvih kartica dobijamo?

5. Da li postoji prirodni broj kome proizvod cifara iznosi924? Obrazlo�i rexeǌe.

Grupa D)1. Dati su skupovi: A = {a| a ∈ N i a < 10}, B = {b| b ∈ N0 i b

je neparan jednocifren broj}. Odredi skupove: A ∩ B, B\A, CAB.2. Odredi skup Y koji ima tri elementa, ako je Y ∩ {2, 3, 4} =

{3, 4} i {1, 2, 3, 4, 5} ∪ Y = S, gde je S = {s| s ∈ N i s < 7}.3. Preslikaj u svesku datu sliku. Za-

tim, konstruixi sve kru�nice koje kru-�nicu k2 dodiruju u taqki T , a centar imje na datoj kru�nici k1.

4. Umesto slova x i y stavi odgovara-ju�e cifre, tako da broj 4x28y bude deǉivsa 5 i sa 9. Na�i sva rexeǌa.

5. Obim predǌeg toqka traktora je 2 mi 80 cm, a obim zadǌeg je 4 m i 80 cm. Koliko punih obrtajatreba da napravi predǌi toqak, da bi istovremeno i zadǌi toqaknapravio ceo broj obrtaja i pritom traktor prexao najmaǌi ceobroj metara?

Pismeni zadatak 65

41. QAS

Ispravka prvog pismenog zadatka Uve�bavaǌe


Ciǉ Ukazivaǌe na sistemske i pojedinaqne grexke uz pouku onaqinu otklaǌaǌa tih grexaka.

Tok qasaNastavnik saopxtava i analizira opxte rezultate. Ukoliko je

bilo masovnih grexaka, ukazuje na ǌih i na potrebu i naqin da seone isprave. Zatim, istiqe jox neke karakteristiqne grexke.

Naravno, treba iskoristiti svaku priliku da se neke pozitiv-ne qiǌenice istaknu i uqenici pohvale, jer pohvala daje pozitiv-nije i blagotvornije efekte nego kritika.

Onda se komentari ilustruju rexavaǌem zadataka na xkolskojtabli. Ako je potrebno ukazati na vixe detaǉa, pojedine zadatkeradi sam nastavnik.

Po�eǉno je da se uradi svih pet zadataka, a ako nema vremenaza sve grupe, treba raditi po neki od svake.

66 Ugao

42. QAS

Pojam ugla. Obele�avaǌe uglova Obrada


Ciǉ Uvo�eǌe pojma ugla kao ravne figure odre�ene ugaonom li-nijom. Razlikovati konveksne i nekonveksne uglove. Uoqiti oblastugla, opru�eni i pun ugao.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik: od 69. do 73. strane

Najpre definixemo ugaonu liniju, kao na 69. strani u�benika,i uvedemo odgovaraju�e oznake. Na sl. 1 imamo ugaonu liniju kojuoznaqavamo sa aOb ili bOa. Taqka O je teme, a poluprava Oa i Obsu kraci ugaone linije. Ugaona linija deli ravan na dve disjunktneoblasti (sl.3). Definixemo, zatim, unutraxǌu oblast i ugao, kaouniju ugaone linije i jedne oblasti. Tu izabranu oblast nazivamooblast ugla ili unutraxǌa oblast. Pojmove i ǌihove oznake pre-zentiramo kao na 70. i 71. strani u�benika. Onda reximo primer1. na 71. strani.

Definixemo opru�eni ugao, puni ugao i nula ugao. Zatim, de-finixemo konveksne i nekonveksne uglove (sl. 10 i 11). Uvodimooznake: �aOb za konveksni ugao na sl. 10 i pOq za nekonveksniugao na sl. 11.

Reximo primere 2, 3, 4 i 5 sa strane 73.


Ugao 67

43. QAS

Centralni ugao. Kru�niluk. Upore�ivaǌe uglova. Obrada


Ciǉ Uoqiti korelaciju izme�u centralnog ugla, odgovaraju�egluka i odgovaraju�e tetive. Na osnovu toga definisati konstruk-cije ”prenoxeǌa” i upore�ivaǌa uglova.


Pojam centralnog ugla zasnivamo na qiǌenici da dve polupra-ve koje sadr�e dva polupreqnika kru�nice odre�uju ugaonu liniju(sl. 12 na 74. strani). Zatim, kao xto je opisano u u�beniku, defi-nixemo odgovaraju�i kru�ni luk i odgovaraju�u tetivu. Kru�nomluku odgovara jedan centralni ugao, a tetivi odgovaraju dva cen-tralna ugla.

Zatim, izvedemo zakǉuqak o jednakim centralnim uglovima (stra-na 75).

Preqnicima odgovaraju opru�eni uglovi, pa se mo�e potvrdi-ti da su svi opru�eni uglovi jednaki me�u sobom.

Koriste�i se odgovaraju�im tetivama, uvodimo pojam ”preno-xeǌa” uglova (konstrukcijom, tj. leǌirom i xestarom), sl. 16 nastr. 76.

Tako�e, prenoxeǌem uglova vrximo upore�ivaǌe dva ugla, sl17 i sl. 18 na str. 77. Tako se za dva ugla, na primer, �aOb i �pSqmo�e utvrditi jedna od relacija.

�aOb = �pSq ili �aOb > �pSq ili �aOb < �pSq.Reximo jox i zadatke 3, 4 i 5 na 77. strani.


68 Ugao

44. QAS

Prenoxeǌe uglova. Upore�ivaǌe Uve�bavaǌe


Ciǉ Uve�bavaǌe tehnike ”prenoxeǌa” uglova.


Ponovimo pojam centralnog ugla i uslov jednakosti dva cen-tralna ugla.

Zatim, nastavnik izvodi na tablu jednog po jednog uqenika,koji rexavaju zadatak sa formulacijom.

”Dati ugao (nacrtao ga nastavnik na tabli) prenesi na datupolupravu Op (nacrtao je nastavnik na tabli), tako da dobijex�pOq, koji je jednak datom uglu.”

Istovremeno uqenici konstruixu na mestu.Onda uqenici formiraju grupe spajaǌem po dve susedne klupe

i naredne zadatke rexavaju na naqin koji smo opisali za rad unehomogenim grupama.

Rexavamo zadatke: 432, 433, 436, 437, 438, 439.

Doma�i zadatak: Zbirka: 440.

Ugao 69

45. QAS

Susedni uglovi. Sabiraǌei oduzimaǌe uglova. Obrada


Ciǉ Ispravno shvataǌe pojma susednih uglova. Definisati sa-biraǌe i oduzimaǌe uglova. Uoqiti razlike izme�u zbira i unijedva ugla i razliku izme�u �aOb − �bOc i skupovne razlike dvaugla, kao ravne figure.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik 78. i 79. strana

Definixemo susedne uglove. Uniju dva susedna ugla nazivamozbirom ta dva ugla.

Zatim, definixemo zbir dva ugla α i β koji nisu susedni. Na-stavnik izabere dva konveksna ugla (nacrta ih na xkolskoj tabli)i onda se prenoxeǌem konstruixe ugao α + β.

Sabiraǌe jednog ugla vixe puta zapisuje se kra�e pomo�u pro-izvoda. Na primer α + α + α + α + α = 5α.

Zatim, definixemo razliku dva ugla i konstruixemo (na xkol-skoj tabli) razliku θ −ϕ sa sl. 22 na strani 79 (to je Primer 2).

Onda reximo primer 3 (sl. 23).Reximo jox nekoliko sliqnih primera, gde se sabiraju, oduzi-

maju i mno�e dati uglovi (uglovi koje nastavnik nacrta na xkol-skoj tabli).

Doma�i zadatak: U�benik: 4, 5 (sa strane 79).

70 Ugao

46. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe uglova Uve�bavaǌe


Ciǉ Uve�bati tehniku konstruisaǌa zbira i razlike dva ugla.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka 71. i 72. strana

Ponovimo pojam susednih uglova, pa rexavamo iz Zbirke zada-tke: 441, 442, 443.

Zatim, ponovimo definicije zbira i razlike dva ugla. Reximozadatak 444.

Onda nastavnik bira razliqite uglove (crta ih na xkolskojtabli) i postavǉa zahteve da se konstruixu uglovi, kao: α−β, 3α,2β + α, 2α − 3β i sl.

Dok parovi rexavaju zadatke, nastavnik obilazi uqenike iodobrava ǌihove konstrukcije ili intervenixe.

Ove konstrukcije ve�baju se do kraja qasa.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Qetvrta kontrolna ve�ba (str.

20. do 23.)

Ugao 71

47. QASQetvrta kontrolna ve�ba(Slo�eni brojevi i ugao) Kontrola znaǌa

Grupa A)1. Odredi najmaǌi zajedniqki sadr�alac (NZS) i najve�i za-

jedniqki delilac za brojeve: 24, 30 i 36.2. Odredi najve�i broj k, takav da je 630 deǉivo sa k, a broj

341 pri deǉeǌu sa k daje ostatak 5.3. ”Prenesi” u svoju svesku

uglove α i β sa slike, pa kon-struixi ugao 2β + 3α.

4. Nacrtaj opru�eni ugao θ.Uporedi ugao θ sa uglom 3α, gdeje α ugao sa slike: 3α θ. (Uprazan kvadrat upixi odgovaraju�i znak: >, < ili =.) Koristi se”prenoxeǌem uglova”.

Grupa B)1. Za brojeve 49, 80 i 120 odredi najve�i zajedniqki delilac

(NZD) i najmaǌi zajedniqki sadr�alac (NZS).2. Na�i najve�i qetvorocifreni broj koji pri deǉeǌu sa 4, 5,

6 i 7 uvek ima ostatak 2.3. ”Prenesi” u svoju svesku

uglove β i γ sa slike, pa kon-struixi ugao 3β − γ.

4. Nacrtaj opru�eni ugao jeϕ = �pOq. Zatim, ugao ϕ uporedisa 4γ, gde je γ dati ugao sa slike: 4γ ϕ. (U prazan kvadrat upixiodgovaraju�i znak: >, < ili =.) Koristi se ”prenoxeǌem uglova”.

Grupa V)1. Umesto slova a i b stavi odgovaraju�e cifre, tako da broj

a256b bude deǉiv sa 30. Na�i sva rexeǌa.2. Na�i najve�i pri-

rodni broj d takav da bro-jevi 845 i 275 pri deǉeǌusa d oba imaju ostatak 5.

3. ”Prenesi” u svojusvesku uglove α i ϕ sa slike,pa konstruixi ugao 2ϕ− 4α.

4. Nacrtaj opru�eni ugao je θ = �aOb, pa ga uporedi sa 3ϕ,gde je ϕ ugao dat na slici: θ 3ϕ. (U prazan kvadrat upixiodgovaraju�i znak: >, < ili =.) Koristi ”prenoxeǌe uglova”.

72 Ugao

Grupa G)1. Umesto slova stavi odgovaraju�e cifre, tako da broj

3x71y bude deǉiv sa 36. Na�i sva rexeǌa.2. Danas, u nedeǉu 25. novembra, sa aerodroma su poletela tri

aviona. Jedan pole�e redovno posle tri dana, drugi posle qetirii tre�i posle xest dana.Kog datuma �e sva tri avi-ona prvi put ponovo pole-teti sa ovog aerodroma unedeǉu?

3. ”Prenesi” u svojusvesku uglove ϕ i θ sa sli-ke, pa konstruixi ugao 2ϕ−3θ.

4. Nacrtaj opru�eni ugao je α, pa ga uporedi sa 2 · (ϕ + θ), gdesu ϕ i θ uglovi sa slike: α 2 · (ϕ + θ). (U prazan kvadrat upixiodgovaraju�i znak: >, < ili =.) Koristi se ”prenoxeǌem uglova”.

Grupa D)1. Odredi najmaǌi zajedniqki sadr�alac (NZS) i najve�i za-

jedniqki delilac (NZD) za brojeve: 144, 240 i 360.2. Na�i najve�i prirodni broj n, ta-

kav da brojevi 173 i 2622 pri deǉeǌu san oba daju ostatak 18.

3. ”Prenesi” u svoju svesku uglove βi ϕ sa slike, pa konstruixi ugao 2ϕ+3β.

4. Uporedi uglove α i θ sa slike:α θ. (U prazan kvadrat upixi odgo-varaju�i znak: >, < ili =.) Konstrukci-jom i obrazlo�eǌem potkrepi zakǉuqak.

Ugao 73

48. QAS

Uporedni i unakrsni uglovi Obrada


Ciǉ Uporedni uglovi se razmatraju kao susedni qija unija jeopru�eni ugao. Koriste�i se uporednim uglovima definixemo pravugao i dokazujemo jednakost unakrsnih uglova.


Ponovimo pojam susedni uglovi.Definixemo par uporednih uglova, kao na 80. strani.Zatim, definixemo prav ugao, kao ugao koji je jednak svom upo-

rednom uglu, pa utvrdimo da su svi pravi uglovi jednaki me�u so-bom (jer su jednaki me�usobni svi opru�eni uglovi).

Daǉe, kao xto je opisano na 80. i 81. strani, razmatramo parnormalnih pravih.

Onda, definixemo unakrsne uglove i utvrdimo da su paroviunakrsnih uglova jednaki.

Na kraju rexavamo zadatke: 2, 3 i 4 na 82. strani.


74 Ugao

49. QAS

Uporedni i unakrsni uglovi Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvr�ivaǌe osobina uporednih i unakrsnih uglova.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka: 73. i 74. strana.

Ponovimo pojmove: uporedni i unakrsni uglovi.Rexavamo zadatke 451 a) i d) i 452.Zatim, rexavamo zadatke: 453, 454 i 455. Svaki od ovih za-

dataka rexavaju grupe na mestu, pa jedan uqenik to rexeǌe demon-strira na xkolskoj tabli.

Daǉe, po istom principu, rexavamo zadatke: 456, 457, 458,459.


Ugao 75

50. QAS

Mereǌe uglova. Uglomer. Vrste uglova. Obrada


Ciǉ Upoznati mere uglova i veze izme�u ǌih. Koristiti uglo-mer za grubo mereǌe ugla i za konstruisaǌe ugla zadate mere.Uoqavaǌe oxtrog i tupog ugla.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik od 82. do 85. strane.

Pre uvo�eǌa mere uglova, nastavnik objasni princip mereǌa,kao upore�ivaǌe sa konstantnom veliqinom, koja se deklarixe kaojedinica mere (prva dva pasusa u tekstu na strani 82).

Za jedinicu mere uzimamo 360-ti deo punog ugla i nazivamo jeugaoni stepen, u oznaci 1◦. Uqenicima treba objasniti zbog qega jeovako odre�ena jedinica mere.

Prvo, pun ugao je nepromenǉiva veliqina, jer je ǌegova unu-traxǌa oblast cela ravan. Drugo, broj 360 je pogodan zato xtoima veliki broj delilaca. Budu�i da je mera punog ugla 360◦, mno-gi uglovi koje praktiqno koristimo, a delovi su punog ugla, ima�eza meru cele brojeve. Ovo odmah dolazi do izra�aja kad odredimomere opru�enog i pravog ugla. Naglasimo da je oxtar ugao maǌiod 90◦. Uqenici sami uoqavaju mere tupih uglova.

Uqenici se, zatim, upoznaju sa uglomerom i rexavaju�i pri-mere 1 i 2 (strane 83. i 84.) ve�baju ǌegovo korix�eǌe. Ve� pri-likom rexavaǌa primera 1 uqenici �e shvatiti da je to grubinstrument. (Mereǌem, na primer, ugla α na sl. 32, neki uqenici�e saopxtiti meru od 80◦, a neki �e ”na�i” maǌe ili vixe od 80◦.)Stoga se uvode maǌe jedinice, minuta i sekunda, za preciznija me-reǌa, pri qemu se koriste posebni ure�aji.

Zatim, prelazimo na raqunaǌe sa uglovima qije su mere dateu stepenima, minutama i sekundama. Rexavamo primere 3, 4 i 5(strane 84. i 85.)

Ako ima vremena, rexavamo i zadatak 6, na kraju 85. strane.Preostali deo ostavǉamo za doma�i rad.

Doma�i zadatak: 6. zadatak iz U�benika.

76 Ugao

51. QAS

Mereǌe uglova. Raqunaǌe sa stepenima. Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvrditi qetiri osnovne raqunske operacije sa uglovimaizra�enim u jedinicama mere.


Ponovimo: jedinice mere uglova (stepen, minuta, sekunda) ioznaqavaǌe. Zatim, mere punog, opru�enog i pravog ugla.

Zatim, podsetimo se kako koristimo uglomer. Reximo zadatke:464 i 465 a), b), v).

Nastavǉamo raqunaǌem sa uglovima qije su mere izra�ene ste-penima, minutama i sekundama. Rexavamo redom zadatke: 474 a) i�), 468 a), 473 a), b), �), 471 a) 1), b) 2), v) 1).

Doma�i zadatak: Zbirka: 461, 462, 465 g), d), �), 469a), 479, 480.

Ugao 77

52. QAS

Mereǌe uglova Uve�bavaǌe


Ciǉ Usavrxiti tehniku raqunaǌa sa uglovima, izra�enim u ob-liku tzv. vixeimenovanih brojeva.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka od 74. do 79. strane.

Qas se realizuje u tri dela.1◦ Upotreba uglomera: rexavamo zadatke: 469 b), v), 4762◦ Veze izme�u stepena, minuta i sekundi: rexavamo zadatke:

471 a) (2) i 3)), b) (1) i 4)), v) (2) i 3)).3◦ Raqunaǌe sa uglovima, qije su mere izra�ene u obliku vi-

xeimenovanih brojeva: rexavamo zadatke: 468 b), 472 a), 473 v),d), 474 v).

Napomena: Mogu�e su dijametralno suprotne situacije u raz-redu. Ako su uqenici nedovoǉno shvatili mereǌe i raqunaǌe sauglovima, nastavnik �e smaǌiti broj rexavanih zadataka (redu-kova�e plan). U tom sluqaju preporuqǉivo je da se godixǌi planizmeni i ubaci vanredno qas 53 a) (na raqun rezervnog 69. qa-sa), jer se ne mo�e dozvoliti loxe ili nedovoǉno znaǌe iz oveoblasti. Odluku o eventualnom uvo�eǌu qasa 53 a) doneti posleanalize efekta rada na slede�em qasu.

Ako su uqenici odliqno savladali materiju, nastavnik �e lakoi sa zadovoǉstvom dodati jox neki zadatak iz Zbirke.

Doma�i zadatak: Zbirka: 466, 467, 470, 471 v), 474.

78 Ugao

53. QAS

Raqunaǌe sa uglovima Uve�bavaǌe


Ciǉ Raqunaǌe sa uglovima konstruktivno i raqunski.


Nastavnik daje odabrane zadatke i na xkolsku tablu pozivauqenike za koje nije sasvim siguran da su dovoǉno ovladali gra-divom. Pri tome, aktivno uqestvuje u rexavaǌu zadataka i, poma-�u�i uqeniku koji radi na xkolskoj tabli, koristi da neke va�neqiǌenice prezentira celog odeǉeǌu.

Rexavamo slede�e zadatke: 463, 466, 469 g), 470, 473, 475, 479,482, 483.


Ugao 79

54. QAS

Suplementni i komplementni uglovi Obrada


Ciǉ Pojmove komplementnih i suplementnih uglova uvodimo pre-ko susednih uglova i zbira uglova. Uoqavamo da uporedni ugloviqine par suplementnih uglova.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik 86. i 87. strana.

Ponovimo pojam uporednih uglova. Ako su �pOq i �pOq upored-ni, onda je, po definiciji zbira uglova: �pOq+�qOr = �pOr = 180◦mera opru�enog ugla. Uopxte, ako su α i β uglovi, takvi da jeα + β = 180◦, onda su α i β suplementni.

Kao xto je opisano na 86. strani u�benika, definixemo suple-mentne i komplementne uglove.

Rexavaǌem primera 1 na strani 87. uoqavamo konstruktivniaspekt pojmova: par komplementnih i par suplementnih uglova.

Zatim, razmatramo komplementne i suplementne uglove u ra-qunskom smislu, rexavaǌem zadataka 2, 3, 4 i 5 sa 87. strane.

Doma�i zadatak: Zbirka: 491, 496, 498 a), g), d), 501, 502.

80 Ugao

55. QAS

Suplementni i komplementni uglovi Uve�bavaǌe


Ciǉ Uoqiti primenu suplementnih i komplementnih uglova.


Ponovimo pojam suplementnih uglova (uqenik navodi primer).Ponovimo pojam komplementnih uglova (uqenik navodi pri-

mer).Rexavamo najpre zadatke u kojima nije primaran raqun: 492,

493, 494, 495.Zatim, rexavamo zadatak 497. Slede zadaci 499 i 500.Onda reximo problemske zadatke 508 i 513.

Doma�i zadatak: Zbirka: 498 �), e), �), z), i), 504, 506, 507.

Ugao 81

56. QAS

Paralelne prave i transverzala.Uglovi s paralelnim kracima. Obrada


Ciǉ Razlikovati uglove sa paralelnim kracima koji su jednaki,od uglova koji su suplementni. Ista�i istorijski znaqaj uglovakoje odre�uje transverzala na paru paralelnih pravih.


Na poqetku qasa nastavnik istakne istorijski znaqaj uglovana paralelnim pravim (strana 87.).

Prema sl. 35 nastavnik dokazuje da su uglovi koje transverzalaodre�uje sa paralelnim pravim a i b u parovima jednaki ili su-plementni. Pri tome koristi se oqiglednox�u translacije pravea do poklapaǌa sa b.

Poxto do kraja izlo�i ovu problematiku (88. strana), razma-tra razne sluqajeve u kojima su dva proizvoǉna ugla sa oba paraparalelnih krakova. Sve to izlo�eno je na 89. strani i ilustro-vano na sl. 36.

Na kraju rexavamo primere 1 i 2 i zadatak 3.


82 Ugao

57. QAS

Uglovi sa paralelnim kracima Uve�bavaǌe


Ciǉ Prepoznavaǌe jednakih i suplementnih uglova sa paralel-nim kracima.


Na poqetku istaknemo zakǉuqke sa prethodnog qasa o uglovi-ma sa paralelnim kracima. Zatim, reximo zadatke: 518, 519, 523,529.

Zatim, izvedemo bitan zakǉuqak, da za prave a, b i ǌihovutransverzalu t va�i i obrnuto tvr�eǌe.

Ako su jednaki oxtar ugao izme�u transverzale i prave a ioxtar ugao izme�u transverzale i prave b, onda su a i b paralelneprave. Prave a i b su paralelne ako su jednaka i dva odgovaraju�atupa ugla, ili je oxtar ugao na jednoj pravoj suplementan tupomuglu na drugoj pravoj.

Tako�e, prave a i b su paralelne ako transverzala odre�ujesve prave uglove.

Rexavamo zadatke: 522, 524, 525.Zatim, rexavamo problemski zadatak 533.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Peta kontrolna ve�ba (str. 24.

do 27.)

Ugao 83

58. QAS

Peta kontrolna ve�ba (O uglovima) Kontrola znaǌa

Grupa A)1. Koriste�i se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao α = 32◦.

Zatim, konstruixi ugao 5α. Uglomerom proveri preciznost kon-strukcije.

2. Izraqunaj: a) 17◦13′15′′ · 8; b) 113◦52′14′′ − 75◦18′25′′.3. Dat je ugao α = 32◦24′. Odredi ugao β koji je komplementan

sa α i ugao γ koji je suplementan sa 2α.4. Prave p i q seku se i odre�uju

qetiri ugla maǌa od opru�enog ugla.Odredi sva qetiri ugla, ako zbir dvaunakrsna ugla iznosi 123◦.

5. Odredi mere uglova oznaqenihna slici. Prave a i b su paralelne.

Grupa B)1. Koriste�i se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao β = 42◦30′.

Zatim, konstruixi ugao 4β. Uglomerom proveri preciznost kon-strukcije.

2. Izraqunaj: a) 111◦11′36′′ : 6; b) 54◦45′18′′ + 29◦34′42′′.3. Dat je ugao β = 25◦18′. Odredi ugao ϕ koji je komplementan

sa β i ugao γ koji je suplementan sa 3β.4. Prave a i b seku se i odre�uju

qetiri ugla maǌa od opru�enog ugla.Odredi sva qetiri ugla, ako je raz-lika dva susedna ugla 17◦.

5. Prave m i n na slici paralel-ne su me�u sobom. Odredi mere ozna-qenih uglova.

Grupa V)1. Koriste�i se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao γ = 33◦.

Zatim, konstruixi ugao 3γ. Uglomerom proveri preciznost kon-strukcije.

2. Izraqunaj: a) 5 · 43◦27′24′′; b) 82◦47′38′′ + 57◦51′22′′.3. Dat je ugao γ = 104◦15′. Odredi ugao δ koji je suplementan

sa γ i ugao θ koji je komplementan sa γ : 5.

84 Ugao

4. Prave m i n seku se i odre�ujuqetiri ugla maǌa od opru�enog ugla.Odredi sva qetiri ugla ako zbir triugla iznosi 247◦38′16′′.

5. Odredi mere uglova oznaqenihna slici.

Grupa G)1. Koriste�i se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao δ = 18◦.

Zatim, konstruixi ugao 5 · δ. Uglomerom proveri preciznost kon-strukcije.

2. Izraqunaj: a) 93◦23′45′′ : 5;b) 82◦21′18′′ − 33◦30′48′′.

3. Dat je ugao δ = 63◦40′. Odre-di ugao α koji je komplementan sa δ iugao β koji je suplementan sa 2δ.

4. Prave c i d seku se i odre�ujuqetiri ugla maǌa od opru�enog ugla.Odredi sva qetiri ugla, ako je zbirdva unakrsna ugla 201◦.

5. Prave p i q na slici paralelnesu me�u sobom. Odredi mere oznaqenih uglova.

Grupa D)1. Koriste�i se leǌirom i uglomerom nacrtaj ugao ϕ = 32◦30′.

Zatim, konstruixi ugao 5 · ϕ. Uglomerom proveri preciznost kon-strukcije.

2. Izraqunaj: a) 6 · 21◦48′25′′; b) 74◦19′55′′ + 47◦48′35′′.3. Dat je ugao ϕ = 143◦24′. Odredi ugao β koji je suplementan

sa ϕ i ugao γ koji je komplementan sa ϕ : 3.4. Prave r i s seku se i odre�uju

qetiri ugla maǌa od opru�enog. Od-redi ova qetiri ugla ako se dva su-sedna ugla razlikuju za 33◦.

5. Prave k i p na slici paralelnesu. Odredi mere oznaqenih uglova.

Razlomci 85

59. QAS

Pojam razlomka Obrada


Ciǉ Produbiti pojam razlomka. Razlikovati prave, neprave iprividne razlomke. Ista�i razvijaǌe pojma razlomka kroz isto-riju.


Podsetimo se na razlomak kao deo celine, kako je to ranije pre-zentovano uqenicima. (Koristiti sliku sa 91. strane i nacrtatijox neke sliqne.)

Na stranama 91. i 92. u u�beniku opisano je kako se mo�e ob-jasniti uqenicima da je razlomak

a

bkoliqnik broja a i prirodnog

broja b.Ranije, vekovima su razlomci tretirani dosta drugaqije nego

danas. Qak su mnogi quveni stari matematiqari smatrali da raz-lomci nisu brojevi. Tu privilegiju su pripisivali samo celimbrojevima. Mnogi nazivi koji su danas prirodno prihva�eni, ra-nije su imali drugaqiji smisao. (U u�beniku na 93. strani navodise i primer iz narodne pesme.)

Precizno definixemo pojmove: pravi razlomak, nepravi razlo-mak i prividni razlomak. Mnogi matematiqari i danas ne prihva-taju pojam prividni razlomak. Me�utim, kasnije �emo se uveritida nam taj pojam poma�e kod uvo�eǌa skupa racionalnih brojeva.

Rexavamo zadatke iz Zbirke: 536, 537, 541, 542, 553.


86 Razlomci

60. QAS

Pojam razlomka Uve�bavaǌe


Ciǉ Utvrditi pojam razlomka kao koliqnika.


Obnovimo: razlomak kao deo (ili delovi) celine. Znaqeǌe bro-jioca i imenioca. Reximo zadatak 545. (Nije potrebno preslikava-ǌe na tabli. Parovi koriste Zbirku i javno saopxtavaju rexeǌa.)

Zatim, rexavamo zadatak 539. (Uqenik koji zadatak rexava naxkolskoj tabli, prilikom crtaǌa du�i, umesto centimetara uzimadecimetre.)

Uoqavamo primene razlomaka u svakodnevnom �ivotu. Rexava-mo zadatak 540.

Obnovimo pojmove: pravi, nepravi i prividni razlomci. Re-ximo zadatak 544 onako kako je formulisan u Zbirci. Zatim, zapreostale razlomke pitamo: ”Kojoj vrsti oni pripadaju?”

Rexavamo zadatke redom: 549, 550, 551, 552, 554.


Razlomci 87

61. QAS

Upore�ivaǌe razlomaka Obrada


Ciǉ Upore�ivati dva razlomka bez odre�ivaǌa koliqnika.


Prilikom upore�ivaǌa razlomaka dobro je posmatrati modelekoji su bliski uqenicima. Na 94. i 95. strani porede se razlom-ci koji predstavǉaju delove qokolade (koja se lomi na ”kockice”)i delove pice (koja se u picerijama i pekarama najqex�e deli naxestine i osmine).

Poredimo najpre razlomke jednakih imenilaca, pa razlomkejednakih brojilaca (strana 94.).

Zakǉuqujemo da je u prvom sluqaju ve�i razlomak koji imave�i brojilac, a u drugom sluqaju ve�i je razlomak koji ima maǌiimenilac.

Zatim, odre�ujemo uslov jednakosti dva razlomka. Dolazimodo jednakosti koju dobijamo tzv. unakrsnim mno�eǌem:

ако је ,

a va�i i obrnuto.Reximo primer 1 na 96. strani.Onda, uoqimo da se unakrsnim mno�eǌem mo�e utvrditi koji

je razlomak ve�i, bez obzira na to da li razlomci imaju jednakeili nejednake brojioce ili imenioce.

Naime, ako je a · d > b · c, onda je >

.Na kraju, rexavamo primere 2, 3 i 4 sa 96. strane.


88 Razlomci

62. QAS

Upore�ivaǌe razlomaka Uve�bavaǌe


Ciǉ Upore�ivaǌe razlomaka na razliqite naqine.


Ponovimo zakǉuqke o upore�ivaǌu dva razlomka jednakih bro-jilaca i dva razlomka jednakih imenilaca.

Reximo zadatke 558, 559 a), b), v) i 560.Ponovimo metodu upore�ivaǌa razlomaka unakrsnim mno�e-

ǌem, pa reximo zadatke 565 i 567.Radi praktiqne primene razlomaka, podseti�emo se na veze iz-

me�u jedinica mere. Radi toga reximo najpre zadatak 572, pa za-datak 575.


Razlomci 89

63. QAS

Proxirivaǌe i skra�ivaǌe razlomaka Obrada


Ciǉ Proxirivaǌe i skra�ivaǌe razlomaka objasniti na osnovuosobina koliqnika.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik od 97. do 100. strane.

Na 97. strani, koriste�i se razlomcima koji predstavǉaju de-love kruga ili delove pravougaonika, uoqavamo da mno�eǌem bro-jioca i imenioca istim prirodnim brojem (proxirivaǌem) dobi-jamo jednake razlomke. To se mo�e koristiti radi upore�ivaǌarazlomaka koji nemaju jednake brojioce, ni jednake imenioce. To je

pokazano na primeru pore�eǌa razlomaka236

i113

.Zatim, reximo primere 1, 2, 3 i 4 sa 98. strane.Na slede�oj strani se razmatra postupak skra�ivaǌa razloma-

ka (brojilac i imenilac se dele istim prirodnim brojem, ve�imod 1).

Uvodimo pojam neskrativog razlomka. To je razlomak kome subrojilac i imenilac uzajamno prosti brojevi (nemaju zajedniqkogdelioca ve�eg od 1).

Na kraju, rexavamo primere 5, 6, 7, 8 i 9 sa 100. strane.


90 Razlomci

64. QAS

Proxirivaǌe i skra�ivaǌe razlomaka Uve�bavaǌe


Ciǉ Uoqiti zbog qega je nekad korisno skratiti, a nekad pro-xiriti razlomak.


Ponovimo pojmove: proxiriti razlomak i skratiti razlomak.Rexavamo zadatke: 581, 583, 585Zatim, rexavamo zadatak 589.Ponovimo pojam nesvodǉiv razlomak. Reximo zadatke redom

591. i 590.Rexavamo i zadatak 607.

Doma�i zadatak: 592, 594, 595, 596, 602, 608.

Pismeni zadatak 91

65. QAS



Ciǉ Napraviti presek kroz oblasti: prosti i slo�eni brojevi,ugao i razlomci.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka zadataka

Postupaju�i sliqno kao xto je opisano u toku 36. qasa, nastav-nik napravi izbor zadataka iz oblasti koje su planirane za drugipismeni zadatak. Ovaj izbor ne sme biti proizvoǉan, jer mo�euputiti uqenike da se za pismeni zadatak spremaju na pogrexnimtemama ili neadekvatnim zadacima. Zbog toga, nastavnik prvo sa-stavi zadatke za drugi pismeni zadatak, a onda odabere iz zbirke10-15 odgovaraju�ih zadataka, qijim rexavaǌem uqenika podsetina potrebna znaǌa i vextine.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Drugi pismeni zadatak (str.

28. do 30.)

92 Pismeni zadatak

66. QAS

Drugi pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Grupa A)1. Prema slici levo odredi meru ugla x.

2. Na slici gore prava p je pralelna sa AB. Odredi mere ozna-qenih uglova.

3. Odredi meru ugla α koji je tri puta ve�i od svog suple-mentnog ugla.

4. Dovedi na najjednostavniji oblik razlomak34 · 30 · 2724 · 51 · 55 .

5. Pore�aj od najmaǌeg do najve�eg brojeve:34,

65,

920

,913

,32,

1310

.

Grupa B)1. Prema levoj slici odredi meru ugla x.

2. Prema datim podacima na desnoj slici, odredi mere ozna-qenih uglova.

3. Odredi meru ugla β koji je qetiri puta ve�i od svog kom-plementnog ugla.

4. Na�i pet razlomaka koji su ve�i od34

i maǌi od45.

5. Pore�aj od najve�eg do najmaǌeg brojeve:25,

34,

23,

12,

310

,730

.

Pismeni zadatak 93

Grupa V)1. Prema slici dole levo odredi meru ugla x. (Lukovima su

oznaqene uglovi datih mera).

2. Na slici gore prave d i AB su paralelne. Izrazi u stepe-nima i minutama oznaqene uglove.

3. Odredi meru ugla ϕ koji je sedam puta ve�i od svog suple-mentnog ugla.

4. Umesto zvezdice stavi odgovaraju�i broj, tako da bude ta-

qna jednakost:∗

117=

1439

.

5. Pore�aj od najve�eg do najmaǌeg brojeve:34,

23,

821

,47,

1528

,37.

Grupa G)1. Prema levoj slici odredi meru ugla x.

2. Na slici gore prave p i q su paralelne. Odredi ugao x.3. Odredi meru ugla θ koji je qetiri puta maǌi od svog kom-

plementnog ugla.

4. Na�i pet razlomaka koji su maǌi od16

i ve�i od17.

5. Pore�aj od najmaǌeg do najve�eg brojeve:512

,37,

34,

815

,920

,25.

94 Pismeni zadatak

Grupa D)1. Prema levoj slici odredi u stepenima meru ugla x.

2. Prema podacima na slici desno odredi mere uglova α, β, γ.(Paralelne su prave AC i EF , a tako�e BC i DE.)

3. Odredi meru ugla γ koji je qetiri puta maǌi od svog suple-mentnog ugla.

4. Dovedi na najjednostavniji oblik razlomak105 · 12 · 5215 · 78 · 48 .

5. Pore�aj od najve�eg do najmaǌeg brojeve:910

,35,

12,

913

,34,

23.

Pismeni zadatak 95

67. QAS

Ispravka pismenog zadatka Uve�bavaǌe


Ciǉ Ukazivaǌe na sistematske i karakteristiqne pojedinaqnegrexke uz uputstva o naqinu otklaǌaǌa tih grexaka.

Tok qasaUobiqajen, standardan naqin analize rezultata.

96 Razlomci

68. QAS

O razlomcima Sistematizovaǌe


Ciǉ Utemeǉiti znaǌe o razlomcima, posebno upore�ivaǌe raz-lomaka.


Upore�ivaǌe razlomaka, skra�ivaǌe i proxirivaǌe razloma-ka treba dobro nauqiti i izve�bati, jer �e u kasnijem izuqavaǌurazlomaka to biti glavno oru�e.

Na naqin uobiqajen za rad u nehomogenim grupama (grupu qineuqenici iz dve susedne klupe), rexavamo niz zadataka: 559 g), d),�), 573, 576, 578, 588, 601, 603, 617, 610, 615.

Doma�i zadatak: Zbirka: 597, 598, 604 b), v), 605 b), v), 606, 618.Qasovi do kraja PRVOG POLUGODIXTA su stavǉeni u

rezervu. Na koji �e naqin biti realizovani odluqi�e nastavnik,prema proceni trenutne situacije. Ovde upisati samo nastavnutemu i tip qasa.

69. qasNastavna tema:

Tip qasa:

70. qasNastavna tema:

Tip qasa:

(Samo)evaluacija nastavnika za polugodixǌe planiraǌe i re-alizaciju nastave:

Razlomci 97

71. QAS DRUGO POLUGODIXTE

Decimalni razlomci.Decimalni zapis razlomka Obrada


Ciǉ Koriste�i se oqiglednox�u decimalnih razlomaka, uvestidecimalni zapis razlomka kao samo novi naqin zapisivaǌa.


Me�u razlomcima posebno mesto imaju oni qiji imenilac pred-stavǉa dekadnu jedinicu, kao:

310

;19100

;3

100;

28071000

i sl.To su tzv. decimalni razlomci. Zbog qeste upotrebe ovakvih

razlomaka doxlo se na ideju da se oni, iz praktiqnih razloga za-pisuju bez razlomaqke crte. Tako se doxlo do decimalnog zapisadecimalnih razlomaka. Cela priqa o tome data je u u�beniku na101. i 102. strani.

Na taj naqin pomenuti decimalni brojevi se zapisuju redom:0,3; 0,19; 0,03; 2,807.

Decimalna zapeta odvaja ceo deo broja (levo od zapete) od de-cimalnog dela. Vidimo da je broj decimalnih mesta (decimala)jednak broju nula dekadne jedinice u imeniocu decimalnog raz-lomka.

Kad sve ovo razjasnimo, rexavamo primer 1 sa 103. strane.

Zatim, kroz odre�ivaǌe decimalnog zapisa broja12, dolazimo

do ideje kako jox nekim razlomcima odrediti decimalni zapis:12

=1 · 52 · 5 =

510

= 0, 5

Onda reximo primere 2, 3 i 4.

Obrnuto, broj 0,7 je razlomak710

, zatim 3, 1 =3110

. Sliqno je

42, 05 =4205100

itd.Reximo i primer 5.


98 Razlomci

72. QAS

Decimalni zapis razlomka Uve�bavaǌe


Ciǉ Formiraǌe decimalnog zapisa samo na osnovu oblika odgo-varaju�eg decimalnog razlomka.


Upoznajemo strukturu decimalnog zapisa rexavaju�i zadatke621 i 622.

Ve�bamo prepoznavaǌe decimalnog razlomka i ǌegovog deci-malnog zapisa, rexavaju�i zadatak 623.

Ulogu decimalne zapete utvr�ujemo rexavaju�i zadatak 624.Pravilno qitaǌe decimalnog zapisa ve�bamo rexavaju�i za-

datak 625.Pogodnim proxirivaǌem neke razlomke lako izra�avamo u de-

cimalnom zapisu. Rexavamo zadatak 632.


Razlomci 99

73. QAS

Decimalni zapis proizvoǉnog razlomka Obrada


Ciǉ Izra�avaǌe razlomka u obliku decimalnog broja kao re-zultat deǉeǌa brojioca imeniocem.


Polaze�i od definicije razlomka kao koliqnikaa

b= a : b,

deǉeǌem brojioca imeniocem dobija se decimalni zapis proizvoǉ-nog razlomka. Do sada samo delili tako da je koliqnik ceo broj idobijali smo ostatak u sluqaju kad deǉenik nije deǉiv deliocem.

Sada delimo i taj ostatak i tako dobijamo decimale. Na 104.strani u�benika ovaj postupak je detaǉno opisan.

Reximo primer 1 na 104. strani.Na strani 105. vidimo da nije uvek mogu�e podeliti do kraja,

tj. broj decimala mo�e biti i beskonaqan. Ali tada se jedna ili

vixe cifara ponavǉa, kao xto je pokazano na primerima13

i311

.Cifre koje se ponavǉaju odre�uju broj koji nazivamo periodom izapisujemo je sa taqkama iznad cifara:

13

= 0, 3333... = 0, 3̇311

= 0, 272777... = 0, 2̇7̇

Nekad i konaqan decimalni zapis ima previxe decimala, kojenam qesto nisu potrebne u tolikom broju. Onda suvixne decimalebrixemo, a preostali deo zaokru�imo da bismo umaǌili grexkukoja time nastaje. O zaokru�ivaǌu priqa se u u�beniku na 105. i106. strani. Ura�en je i primer sa zaokru�ivaǌem broja 6,83257.

Na kraju rexavamo primere 2, 3, 4, 5 i 6.


100 Razlomci

74. QAS

Decimalni zapis proiz-voǉnog razlomka. Uve�bavaǌe


Ciǉ Detaǉnije upoznavaǌe strukture decimalnog zapisa razlo-

maka (decimalnog broja) i primena.


Ve�bamo izra�avaǌe razlomaka oblikaa

bu decimalnom zapi-

su. U tom ciǉu pa�ǉivo rexavamo zadatke 640 i 641.Zatim, rexavamo zadatak 642 a), b), v), d).Zaokru�ivaǌe decimalnog zapisa (decimalnog broja) ve�bamo

rexavaǌem zadataka 643 i 644. Daǉe, rexavamo i zadatak 647.Na kraju, primenimo decimalne zapise kod izra�avaǌa maǌih

jedinica mere u ve�im jedinicama. U tu svrhu rexavamo zadatke651 i 652.


Razlomci 101

75. QAS

Prevo�eǌe decimalnog broja u oblika

b. Obrada


Ciǉ Dopuniti upoznavaǌe razlomaka: ranije smo nauqili darazlomak izrazimo u vidu decimalnog broja, a sada �emo nauqi-ti i obrnuti postupak.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik, 107. i 108. strana

Razmatraju�i naqin izra�avaǌa decimalnih razlomaka u ob-liku decimalnog broja (qas 71.), praktiqno smo definisali i obr-nutu vezu. Svaki decimalni broj sa konaqnim brojem decimala jed-nostavno se izra�ava u obliku

a

b, tako xto mu se izbrixe zapeta

i postavi imenilac – odgovaraju�a dekadna jedinica. Na primer:

0, 3 =310

; 1, 27 =127100

; 0, 039 =39

1000itd.

Dobijeni decimalni razlomak se daǉe eventualno skrati idaǉe uprox�ava, kao xto je navedeno u u�beniku na 107. strani(

7, 5 =7510

=152

).

Na kraju ovog razmatraǌa reximo primer 1.Nexto slo�eniji je pristup kod periodiqnih decimalnih bro-

jeva. O tome se izla�e na kraju 107. strane i daǉe na strani 108.Izra�avaǌe periodiqnih decimalnih brojeva u obliku

a

bje

sliqno obiqnim decimalnim brojevima. Razlika je samo xto je ime-nilac oblika 9, 99, 999 itd. Konkretno:

0, 5̇ =59; 0, 3̇2̇ =

3299

; 0, 6̇3̇ =6399

=711

itd.

Na kraju reximo i primer 2.

Doma�i zadatak: Zbirka: 656 a), v), e), 657 a), v) e), i primer3 sa 108. strane u�benika.

102 Razlomci

76. QAS

Prevo�eǌe decimalnog broja u oblika

b. Uve�bavaǌe


Ciǉ Proxiriti primenu decimalnih brojeva.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 104. i 105. strana

Date decimalne brojeve jednostavno prevodimo u oblika

b, ali

se time ne zavrxava rad: ako je mogu�e, dobijeni razlomak se skra�uje,dok se ne svede na neskrativ oblik.

Rexavamo najpre zadatak 656 (b), g), d), �), �), z), i)).Zatim, prevodimo periodiqne decimalne brojeve: zadatak 657.

b) g), �), z), i).Kako postupiti kada periodiqni razlomak ima ceo deo (ispred

decimalne zapete) ve�i od 0?Neka je dat broj 3, 818181... = 3, 8̇1̇. Odvoji�emo periodiqni deo:

3, 8̇1̇ = 3 + 0, 8̇1̇ = 3 +8199

= 3 +911

=4211

.

Posebno je zanimǉivo izra�avaǌe u oblikua

bdecimalnih bro-

jeva koji iskazuju neke mere. Obratimo pa�ǌu na zadatak 658 a).

2,25 godina u obliku225100

nije nexto xto nam pojednostavǉuje

zapis, jer maǌa jedinica od godine je 1 mesec=112

godine. Dakle,

0, 25 =25100

=14

=312

, pa je 2,25 godina = 2312

godina, a to je 2 godinei 3 meseca.

Sliqno u zadatku 659 b). 40, 7◦ izrazi�emo u oblikua

b, gde je

b = 60, jer stepen ima 60 minuta. Prema tome 40, 7◦ = 40710

= 404260

=

40◦42′.


Razlomci 103

77. QAS

Razlomci na brojevnoj polupravoj Obrada


Ciǉ Povezati cele brojeve, razlomke i decimalne brojeve, da-ju�i im zajedniqku osobinu - korespondenciju sa du�inom du�i.


U odeǉku o skupovima N i N0, na 24. strani U�benika, govori-li smo o brojevnoj polupravoj sa poqetnom taqkom O, na kojoj smoodredili taqke A, B, C, D,... tako da je OA = AB = BC = CD = · · ·Zatim su taqkama O, A, B, C, D,... redom prikǉuqeni brojevi 0, 1,2, 3, 4, ...

Sada razmatramo brojevnu pravu na koju smo naslonili leǌir,kao na 109. strani u�benika.

Postavǉa se pitaǌe: Da li na brojevnoj polupravoj ima mestaza razlomke? Pomenuti leǌir sa 109. strane daje potvrdan odgo-vor.

U posledǌem pasusu 109. strane i daǉe na strani 110. i 111.opisuje se kako se na brojevnoj polupravoj pojavǉuju razlomci uobliku

a

bi u decimalnom zapisu. Budu�i da se i celi brojevi mo-

gu izraziti u obliku prividnog razlomka (na primer: 1 =33, 2 =

42,

3 =155

, ...), mo�emo smatrati da su svi brojevi na brojevnoj polu-

pravoj razlomci oblikaa

b. Dakle, svi brojevi koje smo prikazali

na brojevnoj polupravoj pripadaju skupu razlomaka. Taj skup smonazvali skupom racionalnih brojeva i oznaqavamo ga sa Q. Oqi-gledno je N ⊂ Q i N0 ⊂ Q.

Tokom izlagaǌa o brojevnoj polupravoj, kako je uqiǌeno nastranama 109, 110 i 111 u u�beniku, nastavnik pa�ǉivo tumaqiprimere 1, 2, 3 i 4.


104 Razlomci

78. QAS

Brojevna poluprava Uve�bavaǌe


Ciǉ Odrediti taqku date koordinate i odrediti koordinatu za-datke taqke.


Ponovimo konstrukciju i graduiraǌe brojevne poluprave. U-qenicima treba objasniti da ne postoje utvr�eni standardi za od-re�ivaǌe jediniqne taqke A, takva da se du�ina OA smatra jedi-niqnom: OA = 1, a taqki A pripisuje broj 1. U to su se uverilirexavaju�i doma�i zadatak, a uveri�e se i tokom rexavaǌa sle-de�ih zadataka: 665, 666, 667, 668 i posebno zadatka 669.

Rexavamo jox i zadatke 670 i 675.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Xesta kontrolna ve�ba (str.

31. do 34.)

Razlomci 105

79. QAS

Xesta kontrolna ve�ba (O razlomcima) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. a) Dovedi na NZS imenioce razlomaka:415

,712

,910

.

b) Dovedi na NZS brojioce razlomaka:158

,47,

2411

.2. Uporedi dva data razlomka:

a)1521

i1014

dovo�eǌem imenilaca na NZS;

b)1217

i1825

dovo�eǌem brojilaca na NZS;

v)3

373i

91221

unakrsnim mno�eǌem.

3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 1,325; b) 0, 1̇8̇.4. Nacrtaj brojevnu polupravu, tako da je jediniqna du� OA =

4 cm, pa na ǌoj odredi taqke: A

(114

), B

(158

), C(1, 25).

Grupa B)


,13112

,924

.

b) Dovedi na NZS brojioce razlomaka:127

,43,

154


a)249

i3615


b)89

i56


v)1324

i104192



6 cm, pa na ǌoj odredi taqke: D

(32

); E

(103

); F (2, 3̇).

Grupa V)

1. a) Dovedi na NZS brojioce razlomaka:1511

,67,

109

.

b) Dovedi na NZS imenioce razlomaka:724

,536

,445


106 Razlomci

a)1513

i2018


b)3948

i3540


v)5075

i96144


3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 7,75; b) 0, 1̇1̇7̇.4. Nacrtaj brojevnu polupravu tako da je jediniqna du� OA =

5 cm, pa na ǌoj odredi taqke: K

(75

), L

(910

), M(2, 3).

Grupa G)

1. a) Dovedi na NZS brojioce razlomaka:97,

413

,67.

b) Dovedi na NZS imenioce razlomaka:1748

,715

,920


a)56105

i2445


b)249

i9035


v)48400

i1290



8 cm, pa na ǌoj odredi taqke N

(54

), P

(38

), Q(1, 75).

Grupa D)


,56,

2124

.

b) Dovedi na NZS brojioce razlomaka:67,

1011

,1513


a)1514

i2421


b)3042

i2535


v)4

111i

711988


3. Predstavi u obliku neskrativog razlomka: a) 1,625; b) 0, 2̇3̇4̇.4. Nacrtaj brojevnu pravu, tako da je jediniqna du� OA = 5 cm,

pa na ǌoj odredi taqke: R

(1310

), S

(45

), T (2, 6).

Razlomci 107

80. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomakajednakih imenilaca. Obrada


Ciǉ Ista�i qiǌenicu da se razlomci mogu sabrati i oduzetisamo ako imaju isti imenilac.


Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka vrlo ubedǉivo istiqu ulogui va�nost imenilaca razlomaka. Na primerima, kao na 112. straniu�benika poka�imo da se neki razlomci mogu prirodno sabirati ioduzimati i kako se to opisuje raqunski. Zatim, kao xto je opi-

sano na 112. i 113. strani, na primeru38

+18, objasnimo logiku

tog sabiraǌa (koristimo privremeno termin ”jabuke”, kao zamenuza ”osmine”) i geometrijsku interpretaciju zbira. Geometrijskainterpretacija je znaqajna za onu populaciju uqenika, kojima jebitno da ”vide” taj zbir.

Tako je pripremǉen teren za ”matematiqko” tumaqeǌe zbira irazlike. Kao xto je opisano na 114. strani u�benika, koriste�iosobinu koliqnika (a + b) : c = a : c + b : c, c �= 0, i simetriqnost

jednakosti, dobijamo pravilo za zbir:a

c+

b

c=

a + b

ci sliqno za

razliku:a

c− b

c=

a − b

c.

Reximo primere 1, 2, 3 i 4 i uoqimo osobinu:a

b− a

b= 0.

Koriste�i se qiǌenicom da ceo broj mo�emo izraziti kao raz-lomak sa bilo kojim prirodnim brojem u imeniocu, uvodimo pojammexovitog broja. To je opisano na 115. strani. Treba naglasitizbog qega je praktiqno da neprave razlomke izra�avamo u oblikumexovitog broja (posledǌi pasus na 115. strani). Onda uqeniciprihvataju mexoviti broj kao pojam koji nam poma�e u raqunu.

Reximo i preostale primere, od 5 do 11, sa 116. i 117. strane.

Doma�i zadatak: Zbirka: 676 a), b), v), g), d), �), 678 a), b), v),

681 a), b), v), g).

108 Razlomci

81. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomakajednakih imenilaca. Uve�bavaǌe


Ciǉ Uve�bati sabiraǌe i oduzimaǌe i uvesti mexoviti brojkao zbir celog broja i pravog razlomka.


Napomena. Ukoliko okolnosti pri realizaciji nastavne temena prethodnom qasu prisile nastavnika da uspori izlagaǌe; mo-�e se desiti da ne ostane dovoǉno vremena za pa�ǉivo tumaqeǌemexovitog broja. U tom sluqaju, ne treba forsirati i ubrzavatipredavaǌe. Jednostavno, mexoviti broj mo�e biti nova tema naovom qasu.

Ponovimo pravila za sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka jedna-kih imenilaca, pa rexavamo zadatke iz Zbirke: 676 e), �), z), i),677, 679.

Zatim, ponovimo pojam mexovitog broja i rexavamo zadatke681 d), �), e), �), 682 (delimiqno) i 683 (delimiqno).

Doma�i zadatak: 680, ostaci zadataka 682 i 683, zatim 684, 685.

Razlomci 109

82. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomakarazliqitih imenilaca Obrada


Ciǉ Definisati postupak sabiraǌa i oduzimaǌa bilo kojih raz-

lomaka oblikaa

b.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 117. do 119. strane

Postavimo problem sa 117. strane u�benika. Ispostavǉa se da

ne mo�emo izraqunati23− 1

2.

Razmotrimo onda slede�i problem:U piceriji pice iste veliqine seku na osam ili na xest jed-

nakih delova. Anka je od osam kupila tri dela, a Sima je od xest

delova kupio dva. Dakle, Anka i Sima su zajedno kupili38

+26

pice.Pitamo se: koliki deo pice su oni kupili?

Crte� pokazuje da je sabiraǌe mogu�e, zbir smo nacrtali, vi-dimo ga, ali ne mo�emo da ga napixemo u obliku

a

b.

Анка Сима Анка+Сима

Opet problem predstavǉaju razliqiti imenioci razlomaka.Da su jednaki imenioci znali bismo zbir.

Nastavǉamo izlagaǌe kao xto je opisano u U�beniku, poqev odposledǌeg pasusa na 117. strani.

Tako uqenici shvate: prvo, da razlomke treba dovesti na zajed-niqki imenilac; drugo, da je najboǉe ako se dovedu na NZS.

Onda prvo reximo probleme stolara i pice, pa reximo i pri-mere od 1 do 5 sa 119. strane.


110 Razlomci

83. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka Uve�bavaǌe


Ciǉ Tehniku sabiraǌa i oduzimaǌa podi�i na visok nivo. Re-zultat dovesti na najjednostavniji oblik.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 111. do 113. strane

Sabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka spadaju u fundamentalneoperacije, pa je potrebno dobro ih uve�bati. Ne treba zaposta-viti ni jednog uqenika, jer ko ovo ne nauqi ima�e ”matematiqkemore” do kraja �ivota.

Dok uqenici rade na mestu, nastavnik ih obilazi, prati ǌi-hov rad i po potrebi intervenixe. Na xkolsku tablu izvodi oneuqenike kojima je potrebna pomo�.

Rexavamo redom zadatke iz Zbirke: 691 g), d), 692 e), �), 693a), g).

Zatim, malo komplikujemo raqun. Rexavamo zadatak 693 e), �).Tu se pojavǉuju i decimalni brojevi, koje treba odmah izrazitiu obliku razlomka, a onda se raquna. Naravno, prvo se raquna uzagradama.

Onda raqunamo sa mexovitim brojevima. Prvo se mexovitibrojevi izraze u obliku nepravog razlomka, pa se posle sabira ioduzima. Rexavamo zadatke 694 g), �), 695 a).

Na kraju, rexavamo tekstualne probleme, zadatke 697, 701,706.


Razlomci 111

84. QAS

Upore�ivaǌe decimalnih brojeva Obrada


Ciǉ Utvrditi ulogu decimalne zapete. Ista�i pojmove va�e�ihi neva�e�ih nula u decimalnom broju.


Upore�ivaǌe decimalnih brojeva zahteva od uqenika punu kon-centraciju, jer se u protivnom lako pogrexi. Ako su celi delovidecimalnih brojeva jednaki, onda je ve�i onaj broj kome je ve�i de-cimalni deo. Tu onda nastaje problem, zbog specifiqne uloge tzv.neva�e�ih nula. Zbog toga prvi deo izlagaǌa posve�ujemo ovimneva�e�im ciframa. U U�beniku to je tekst na 119. i deo 118.strane.

Upore�ivaǌe decimalnih brojeva poqiǌemo provokativnim pi-taǌem iz primera 4. Pitaǌe postavimo celom odeǉeǌu i dobi�emoi taqne i netaqne odgovore.

Naqin upore�ivaǌa decimalnih brojeva upore�ivaǌem jednepo jedne decimale od zapete pa nadesno, opisan je na 120. strani.

Da se ipak ne dese brzoplete grexke tipa: ”12, 726 > 12, 81, zatoxto je 726 > 81”, po�eǉno je da nastavnik objasni jox jedan naqinupore�ivaǌa.

Postupak je slede�i: Ako decimalni brojevi nemaju isti brojdecimala, onda se onom koji ima maǌe decimala, dopixe potre-ban broj nula. Dobijene brojeve posmatramo kao da su celi i lakoodredimo koji je ve�i.

Na primer, uporedimo brojeve 103,5 i 103,286. Dopixemo pr-vom broju dve nule da bi ”imao” tri decimale: 103,500. Sada vi-dimo da je 103500 > 103286, pa je 103, 5 > 103, 286.

Na kraju rexavamo primere od 5 do 10 sa 121. strane.

Doma�i zadatak: Zbirka: 717, 719, 726, 734 a).

112 Razlomci

85. QAS

Upore�ivaǌe decimalnih brojeva Uve�bavaǌe


Ciǉ Produbiti upoznavaǌe strukture decimalnog broja.


Preporuqǉivo je da qas poqne sa nekoliko provokativnih pi-taǌa, sliqno primeru 4 sa 120. strane u�benika.

Zatim, rexavamo zadatke koji se bave neva�e�im nulama. Tosu zadaci: 718 i 720.

Prelazimo na zadatke problemskog tipa: 725, 727 a), b).Na kraju, primenimo steqeno znaǌe na brojeve koji izra�avaju

mere. Rexavamo zadatke 732 b), 733 a).Zadatak 735 rexavamo ako imamo vremena, a ako smo ve� po-

troxili qas, dajemo ga za doma�i rad.

Doma�i zadatak: 727, 728, 729, 732, 733.

Razlomci 113

86. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe decimalnih brojeva Obrada


Ciǉ Koristiti analogiju sa raqunaǌem u skupu celih brojeva.Insistirati na potpisivaǌu brojeva.


Uradimo nekoliko primera sabiraǌa i oduzimaǌa vixecifre-nih celih brojeva, kao xto je navedeno na 122. strani u�benika.

Zatim se pre�e na sabiraǌe i oduzimaǌe decimalnih brojeva.Insistirati na obavezno potpisivaǌe sabiraka, kao xto je napi-sano i u u�beniku.

Da bi se uqenici br�e i lakxe snalazili u potpisivaǌu, do-bro je da u poqetku obavezno koriste svesku sa kvadrati�ima. (Vi-deti kako je to preporuqeno u zadatku 736 iz Zbirke).

Najboǉe je da uqenici olovkom u boji povuku jednu vertikalnuliniju du� celog lista i da ta linija u svim budu�im sabiraǌimai oduzimaǌima oznaqava mesto decimalne zapete.

Rexavamo najpre primere date pri kraju 122. strane, pa pre-lazimo na zadatke od 1 do 7 na 123. strani.

Ukoliko neki od ovih zadataka ne uradimo tokom qasa, dajemoga uqenicima za doma�i zadatak.


114 Razlomci

87. QAS

Sabiraǌe i oduzimaǌe decimalnih brojeva. Uve�bavaǌe


Ciǉ Insistirati na pravilnom potpisivaǌu. Rezultat dovestina najjednostavniji oblik.


Nastavnik insistira na strogo pravilnom potpisivaǌu. U re-zultatu, ako se uka�e prilika, brixu se suvixne nule.

Rexavamo zadatke: 737 a), 738, 739, 741, 749, 752.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Sedma kontrolna ve�ba (str.

35. do 38.)

Razlomci 115

88. QASSedma kontrolna ve�ba.(Razlomci i decimalni brojevi) Kontrola znaǌa

Grupa A)Izraqunaj:

1. a)712

+12− 3

4; b) 11, 59 − 7, 462 − 0, 8.

2. 2112

− 112

+ 1, 75.3. Umesto taqkica upixi odgovaraju�e decimalne brojeve (qe-

tiri broja), tako da va�e nejednakosti1 > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > 0, 9.

4. Vozaq je tokom prepodneva prexao petinu planiranog puta,

a popodne je prevezao jox38

puta. Tako je prexao za 12 kilometaravixe od pola puta. Koliko mu je kilometara ostalo do ciǉa?

Grupa B)Izraqunaj:

1. a)25

+715

− 710

. b) 0, 0372 + 12, 73 − 3, 4952.

2.124

+ 3, 375 −(

4512

− 256

).

3. U prazne pravougaonike upixi odgovaraju�e decimalne bro-jeve (qetiri broja), tako da su taqne nejednakosti

0, 1 < < < < < 0, 2.

4. Jedna stranica trougla ima du�inu 334

cm, a druga je za

0,2 dm kra�a od prve. Obim trougla (zbir du�ina sve tri strani-ce) je 1 dm. Koliko u decimetrima iznosi du�ina tre�e stranice?

Grupa V)Izraqunaj:

1. a)1112

− 54

+32

+13. b) 22, 937 + 11, 43 − 23, 037.

2. 2, 5 + 1712

− 356.

3. Iznad svake crte napixi odgovaraju�i decimalni broj (petbrojeva), tako da su taqne nejednakosti

0, 9 > > > > > > 0, 85.4. Od �eparca Duca plati qetvrtinu za taksi, za u�inu plati

tre�inu i za sok xestinu. Koliko mu je ostalo za ostale potrebe?

116 Razlomci

Grupa G)Izraqunaj:

1. a)45− 3

10+

14. b) 18, 025 − 0, 877 + 3, 552.

2. 312

+ 0, 4 − 2710

.

3. Umesto taqkica upixi odgovaraju�e decimalne brojeve (petbrojeva), tako da va�e slede�e nejednakosti

1, 5 > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > . . . . . . . . . > 1.

4. Suzana je kupila tri kǌige. Za prvu je potroxila tre�inunovca koji je imala. Za drugu kǌigu dala je polovinu, a za tre�uxestinu novca. Koliko je novca ostalo Suzani?

Grupa D)Izraqunaj:

1. a)34− 2

3+

76. b) 7, 234 + 90, 306 − 88, 0562.

2. 4, 2 + 156− 4

13.

3. U prazne pravougaonike upixi odgovaraju�e decimalne bro-jeve (qetiri broja), tako da su ispravne slede�e nejednakosti

2, 42 < < < < < 2, 43

4. U loncu zapremine 5 litara ima 1712

litara vode i 114

litarasirupa. Koliko vode treba doliti da lonac bude do vrha pun?

Razlomci 117

89. QAS

Svojstva sabiraǌa. Brojevni izrazi. Obrada

Frontalni rad Heuristiqka i dijaloxka metoda

Ciǉ Svojstva sabiraǌa koristiti radi jednostavnijeg izraqu-navaǌa vrednosti izraza.


Kao xto je opisano na 124. i 125. strani, na konkretnim prime-rima poka�emo da va�e zakoni komutativnosti i asocijativnostisabiraǌa. U posledǌem pasusu na 124. strani naveden je primerkako se ponekad raqun mo�e uprostiti korix�eǌem ovih zakona.

Tako�e va�e osobine:a

b+ 0 =

a

b− 0 =

a

bi

a

b− a

b= 0.

Zatim, definixemo brojevni izraz u kome figurixu samo ope-racije sabiraǌa i oduzimaǌa. Naglasimo, ako u izrazu ima zagra-da, onda se prvo raquna ono xto je u zagradi.

U izrazu mogu biti istovremeno razlomci oblikaa

b, celi, me-

xoviti i decimalni brojevi. Tada je potrebno prvo razlomke iz-raziti kao decimalne brojeve ili decimalne brojeve izraziti uobliku razlomaka. Za koju varijantu �emo se odluqiti zavisi oddatih brojeva. Mexoviti brojevi se tako�e izraze u obliku nepra-vog razlomka ili u obliku decimalnog broja.

Rexavamo primere 1, 2 i 3 sa 125. strane.


118 Razlomci

90. QAS

Brojevni izrazi Uve�bavaǌe


Ciǉ Obratiti pa�ǌu na pravilno korix�eǌe zagrada. Rad sapromenǉivom veliqinom.


Sre�ivaǌem brojevnih izraza poboǉxava se raqunska tehnika.Zbog toga prvo sre�ujemo nekoliko izraza bez promenǉivih veli-qina. Rexavamo zadatke: 765 i 766 u kojima se do re�ltata dolaziako se primene zakoni komutativnosti i asocijativnosti.

Zatim, rexavamo vrednosti brojevnih izraza sa promenǉivimveliqinama. Rexavamo zadatke: 775 a), v), g), 777 a), b), v), g).

Na kraju rexavamo zadatak sa periodiqnim decimalnim broje-vima: 779 a), b).

Doma�i zadatak: Zbirka: 767 a), g), �), 772 a), v), 775 b), d).

Razlomci 119

91. QAS

Brojevni izrazi Uve�bavaǌe


Ciǉ Sre�ivaǌe izraza u kojima su razlomci oblikaa

bi deci-

malni brojevi. Rexavaǌe tekstualnih zadataka.


Nastavǉamo sa usavrxavaǌem tehnike sabiraǌa i oduzimaǌarazlomaka i decimalnih brojeva. Rexavamo redom zadatke: 767 b),d), 772 b), g).

Zatim, sre�ujemo izraze sa promenǉivim veliqinama. Rexava-mo zadatke: 775 �), e), 777 d), �), 776 a).

Na kraju, rexavamo tekstualne zadatke: 768, 769, 771, i za-datak 780 b), sa periodiqnim decimalnim brojevima.

Doma�i zadatak: Zbirka: 770, 773, 776 b), 778.

120 Razlomci

92. QAS

Jednaqine oblika x ± a = b i a − x = b Obrada


Ciǉ Rexavaǌe jednaqina na osnovu osobina zbira ili razlike.Insistirati na proveri dobijenog rexeǌa.


Podsetimo se na pojmove: jednaqina, rexeǌe jednaqine, proverarexeǌa.

Najpre rexavamo jednaqinu u kojoj je nepoznat jedan sabirak(jednaqinu tipa x + a = b). Reximo primer 1 sa 126. strane. Do-bijeno rexeǌe odmah proveravamo. Uqenici moraju da shvate da jeprovera neophodna, jer mo�e da nam uka�e na mogu�u grexku tokomrexavaǌa.

Reximo i primer 2 sa 127. strane.U sluqaju b) pokazuje se da ne mo�emo rexiti postavǉenu jed-

naqinu, jer ne znamo ni jedan broj koji zadovoǉava uslov x =133

−173

. Izvlaqimo pouku:Jednaqina x + a = b ima rexeǌa ako je a ≤ b.Zatim, rexavamo jednaqinu tipa x−a = b, koja uvek ima rexeǌe

(reximo primer 3).Na kraju, jednaqina tipa a − x = b ima rexeǌe pod uslovom da

je a ≥ b. Rexeǌe je x = a−b. Reximo primer 4 i, naravno, obaveznoproverimo rexeǌe.

Reximo jox i zadatke 4 i 5 sa 128. strane.

Doma�i zadatak: Zbirka: 781 a), b), v), e), �), z), 782 a), b), v).

Razlomci 121

93. QAS

Jednaqine Uve�bavaǌe


Ciǉ Poboǉxaǌe tehnike rexavaǌa jednaqina. Rexavaǌe tekstu-alnih zadataka.


Ve�bamo jednaqine tipova x+a = b (odnosno a+x = b), x−a = bi a− x = b. Rexavamo zadatke: 781 g), d), �), i), j), 782 g), d), 783a), b), v), 784 a), b).

Zatim, rexavamo tekstualne zadatke: 787, 788.Budu�i da se zadaci rexavaju ”pod budnim okom” nastavnika i

celog odeǉeǌa, mo�emo preskoqiti redovnu proveru rexeǌa. Na-stavnik to obrazla�e, a uqenike upozorava da samostalna rexeǌa(za doma�i zadatak) i daǉe obavezno proveravaju.

Doma�i zadatak: Zbirka: 784 v), g), 785, 786 a), b), v), 790.

122 Razlomci

94. QAS

Nejednaqine oblika x±a ≷ b i a−x ≶ b Obrada


Ciǉ Koristiti iskustva steqena rexavaǌem jednaqina.


Ponovimo pojmove: nejednaqina i rexeǌe nejednaqine.Rexavaǌe nejednaqina zahteva ve�u pa�ǌu nego rexavaǌe jed-

naqina. Nejednaqina obiqno ima beskonaqno mnogo rexeǌa, koja nabrojevnoj pravoj odre�uju du� (interval). Inaqe, tehnika rexava-ǌa se ne razlikuje od rexavaǌa jednaqina.

Preporuquje se obavezno grafiqka interpretacija rexeǌa nabrojevnoj polupravoj.

Reximo primer 1 sa 129. strane, kao xto je prikazano u u�be-niku, sa grafiqkom interpretacijom.

Napomena (nastavniku). Nije potrebno naglaxavati da je re-

xeǌe 0 ≤ x <52, jer u ovom momentu uqenici jox ne znaju za brojeve

maǌe od nule. Dakle, konstatujemo bez ograniqeǌa, x <52.

Sliqno reximo i primer 2 (130. strana).Sa posebnom pa�ǌom rexavamo primer 3 uz naglaxeno ogra-

niqeǌe x ≥ 1, 25, jer ne bi bila jasna razlika x − 1, 25 za x < 1, 25.Reximo primer 4 na 131. strani, u kojem je nepoznat prirod-

ni broj. Zbog toga, rexeǌe x < 4, 45 oznaqava da je skup rexeǌa{1, 2, 3, 4}.

Konaqno, rexavamo nejednaqinu tipa a − x ≷ b, koja u startuima ograniqeǌe x ≤ a. Reximo primer 5.

Do kraja qasa rexavamo zadatak 6, na kraju 132. strane.

Doma�i zadatak: Zbirka: 791 a), b), v), 792 v) g), 794 a), g), 795

g), 796 a).

Razlomci 123

95. QAS

Nejednaqine Uve�bavaǌe


Ciǉ Shvatiti prirodu rexeǌa crtaǌem intervala na brojevnojpolupravoj. Voditi raquna o oblasti definisanosti nejednaqine.


Rexavamo nejednaqine obra�enih tipova, uz obaveznu grafiqkuinterpretaciju. Uqenici se upozoravaju na oprez pri rexavaǌu ne-jednaqina tipova: x − a < b i a − x < b.

Rexavamo zadatke: 791 g), d), �), 793, 795 a), b), 794 b), v),796 b).

Zatim, rexavamo tekstualne zadatke: 799 i 800.

Doma�i zadatak: 792 a), b), 796 v), g), 797 a), b), v), 798 a), b),

v).

124 Razlomci

96. QAS

Mno�eǌe razlomaka oblikaa

bObrada


Ciǉ Uvesti pravilo za mno�eǌe razlomaka, uz ilustrovaǌe o-qiglednim, praktiqnim primerima.


Izraqunavaǌa povrxina pravougaonika (”du�ina” puta ”xi-rina”), kao xto je opisano u primerima 1 i 2 na 133. strani,navode nas na formulisaǌe pravila za mno�eǌe razlomaka.

Iz primera 3 na 134. strani izvlaqimo zakǉuqak o mno�eǌurazlomka celim brojem. Tako formulixemo pravilo:

a

b· c

d=

a · cb · d ; k · a

b=

k · ab

Pri rexavaǌu primera 4 upozoravamo uqenike da je boǉe prvoskratiti, pa mno�iti, nego prvo mno�iti, pa skratiti.

Ako u mno�eǌu uqestvuje mexoviti broj, treba ga prvo zame-niti odgovaraju�im nepravim razlomkom, pa onda mno�iti.

Reximo zadatke 5, 6, 7 i 8 sa 135. strane.

Doma�i zadatak: Zbirka: 801 d), �), 802 v), d), 803 g), d)

Razlomci 125

97. QAS

Mno�eǌe razlomaka Uve�bavaǌe


Ciǉ Radi jednostavnijeg raqunaǌa poxtovati redosled: prvoskra�ivaǌe, pa mno�eǌe.


Ponovimo pravila za mno�eǌe razlomaka:

a

b· c

d=

a · cb · d, k · a

b=

k · ab

,a

b· k =

a · kb

Nastavnik insistira na principu: prvo skrati, pa mno�i.Rexavamo zadatke: 801, a), b) v), g), 802, a), b), g), 803 a), b),

v), �), 805, 806.


126 Razlomci

98. QAS

Svojstva mno�eǌa razlomaka Obrada


Ciǉ Primena osobina mno�eǌa kod izraqunavaǌa vrednosti bro-jevnih izraza.


Kao xto je opisano na 136. strani, primerima ilustrujemo ko-mutativnost mno�eǌa.

Zatim, koriste�i se pravilom za mno�eǌe razlomka celim bro-jem, poka�emo da va�e osobine:

a

b· 1 = 1 · a

b=

a

bi

a

b· 0 = 0 · a

b= 0

Onda, primerom poka�emo osobinu asocijativnosti mno�eǌa:(a

b· c

d

)· e

f=

a

b·(

c

d· e

f

)

Na osnovu toga izvodimo zakǉuqak da se pri mno�eǌu vixe

brojeva ne moraju stavǉati zagrade. Na primer, pixemo:23· 79·5·11

5.

Zatim reximo primere 1 i 2 sa 137. strane.Na kraju, istaknemo osobinu distributivnosti mno�eǌa u od-

nosu na zbir i razliku.Reximo primer 3, radi ilustrovaǌa posledǌe osobine.Ukoliko ima vremena za jox neki zadatak, rexi�emo iz Zbirke

zadatak 820 a), b), v).


Razlomci 127

99. QAS

Razlomci i decimalni brojevi Sistematizovaǌe


Ciǉ Zaokru�iti do sada obra�ene osobine racionalnih brojeva.


Rexavaǌem zadataka iz Zbirke, ukratko �emo se podsetiti nasabiraǌe i oduzimaǌe razlomaka oblika

a

bi u obliku decimalnih

brojeva. Tako�e �emo se podsetiti na upore�ivaǌe racionalnihbrojeva i rexava�emo jednaqine i nejednaqine upoznatih oblika.

Precizan sadr�aj ovog qasa nastavnik odre�uje na osnovu uti-ska koji je stekao prate�i dosadaxǌi rad uqenika. Ti utisci mogubiti razliqiti u raznim odeǉeǌima.

Zadaci za sistematizovaǌe ovog gradiva mogu se izabrati iz-me�u slede�ih, 698, 704, 705, 707, 712, 714, 715, 727, 730, 734, 750,753, 760, 774, 783 g), d), �), 786 g), d), �), 787, 788, 796, 797, 807,809, 810.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Osma kontrolna ve�ba (str. 39.

do 42.)

128 Razlomci

100. QAS

Osma kontrolna ve�ba.(Izrazi, jednaqine, nejednaqine) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Rexi jednaqine: a) 213− x = 1

56; b) 5

16

= x + 3512

.

2. Rexi nejednaqinu 212

≥ 4, 25 − x, pa rexeǌe predstavi nabrojevnoj polupravoj.

3. Ako je m = 212, n = 1

13, p = 2

16, q = 1

14, izraqunaj

m + p − n − q − 0, 75.

4. Izraqunaj: 7, 5 · 513· 11

5· 0, 125 · 11

6.

Grupa B)

1. Rexi jednaqine: a) 5, 6 − x = 212; b) x − 2

518

= 213.

2. Rexi nejednaqinu x + 3, 15 < 514, pa rexeǌe predstavi na

brojevnoj polupravoj.3. Ako je k = 23, 037, m = 9, 43 i n = 22, 937 izraqunajm + n − k − 4, 13.

4. Izraqunaj: 614· 130

· 2, 4 · 3 · 423.

Grupa V)

1. Rexi jednaqine: a) 538−x = 2, 25; b) 18, 24− 7, 03 = x+ 6, 3.

2. Rexi nejednaqinu 4, 375 − x ≥ 118, pa rexeǌe predstavi na

brojevnoj polupravoj.

3. Ako je a = 1712

+ 2, 25 − 156, b = 2

12− 1

16, c = 1

38, d = 2, 5 − 1

13

izraqunaj a − b − c + d.

4. Izraqunaj:722

· 8 · 11921

· 2, 75.

Razlomci 129

Grupa G)

1. Rexi jednaqine: a) 214− x = 0, 35; b) x − 2

518

= 213.

2. Rexi nejednaqinu: 214− x > 0, 625 pa rexeǌe predstavi na

brojevnoj polupravoj.3. Ako je x = 32, 03 − 9, 75, y = 2, 043 − 14, 557, z = 73, 42 − 64, 02

izraqunaj x − y + z.

4. Izraqunaj: 514· 2, 4 · 5

7· 17

9· 0, 25.

Grupa D)

1. Rexi jednaqine: a) x + 314

= 4, 5; b) 2, 05− x = 2, 31− 1, 81.

2. Rexi nejednaqinu x− 234≤ 5, 5 pa rexeǌe predstavi na bro-

jevnoj polupravoj.

3. Ako je m = 0, 6 +35; n = 1

12− 0, 125; p = 1, 4 − 9

10, q = 2, 25 − 3

2,

izraqunaj m + q − (n + p).

4. Izraqunaj: 513· 7, 5 · 11

6· 0, 125 · 11

5.

130 Razlomci

101. QAS

Deǉeǌe razlomaka oblikaa

bObrada


Ciǉ Definisati deǉeǌe razlomkom kao mno�eǌe reciproqnomvrednox�u tog razlomka.


Polaze�i od primera proizvoda34· 11

3, kao xto je opisano na

138. strani u�benika, uvodimo pojam reciproqne vrednosti broja,razliqitog od nule. Zatim, reximo primer 1 na dnu 138. strane.

Podsetimo se da koliqnik definixemo preko proizvoda, pa

prema toj definiciji izraqunamo koliqnik94

:158

. Postupamo kao utekstu na 139. strani u�benika. Zatim primenimo isti postupak nakoliqnik

a

b:

c

d, za c �= 0. Dobijamo pravilo za mno�eǌe razlomaka.

za c �= 0 jea

b:

c

d=

a

b· d

c,

gde jed

creciproqna vrednost delioca

c

d.

Izraqunajmo, potom, koliqnik 178

: 614.

Zatim, delimo razlomak celim brojem. Mo�emo primeniti na-vedeno pravilo, jer je reciproqna vrednost prirodnog broja n raz-

lomak1n. Poka�emo to na primeru

85

: 6, prikazanom u u�beniku.U sluqaju da je brojilac razlomka deǉiv prirodnim brojem,

onda se skra�ivaǌem brojilac ustvari deli prirodnim brojem. On-da mo�emo deliti direktno kao u primeru:

247

: 6 =24 : 6

7=

47.

Reximo primere 2, 3, 4 i 5 sa 140. strane.

Doma�i zadatak: Zbirka: 821, 822 a), b), v), 823 a), b), v), 824.

Razlomci 131

102. QAS

Deǉeǌe razlomaka Uve�bavaǌe


Ciǉ Deǉeǌe u raznim kombinacijama izme�u razlomaka i celihbrojeva.


Obnavǉamo pojmove i pravila nauqena prethodnog qasa.1◦ Reciproqna vrednost (uqenici odre�uju reciproqne vredno-

sti brojeva:49, 1

38, 1, 2

12, 0 i 2,75).

2◦ Pravilo za deǉeǌe razlomaka (rexavamo zadatke: 824 �), e),�) i 825).

3◦ Deǉeǌe razlomka celim brojem (rexavamo zadatke: 822 g), d),�) i 823 g), d), �)).

Na kraju, rexavamo zadatke 828 i 830.

Doma�i zadatak: Zbirka: 822 e), �), z), i), 823 e), �), z), i), 826,827, 829.

132 Razlomci

103. QAS

Izrazi. Dvojni razlomci Obrada

Frontalni rad Heuretiqka i dijaloxka metoda

Ciǉ Sre�ivaǌe izraza u kojim figurixu sve qetiri osnovneraqunske operacije. Definisati dvojni razlomak kao koliqnik dvarazlomka.


Na poqetku definixemo brojevni izraz i definiciju ilustru-jemo sa vixe primera. Uqenici tako�e zadaju primere brojevnihizraza, kao na poqetku 141. strane u�benika.

Pri sre�ivaǌu izraza bitno je poxtovati redosled operaci-ja: ako nema zagrada, prednost imaju operacije mno�eǌa i deǉeǌa(”starije” su od sabiraǌa i oduzimaǌa); ako ima zagrada, onda seprvo raquna u zagradi, a ako postoji zagrada u zagradi, prednostima unutraxǌa.

Vrednost izraza je broj, najqex�e razlomak, koji se dobija po-sle izvrxenih operacija.

Izraqunavamo vrednosti izraza navedenih na 141. strani, arexavamo i primere koje su zadali uqenici.

Zatim, definixemo izraz koji predstavǉa koliqnik dva raz-lomka, koji nazivamo dvojnim razlomkom (strana 142.). U u�benikusu data dva pravila za izraqunavaǌe vrednosti dvojnog razlomka(svo�eǌe na obiqan razlomak), opisano je na 142. strani. Tu su na-vedena tri dvojna razlomka (primer 5), koje rexavamo na slede�ojstrani. Zatim, izraqunamo vrednost izraza u primeru 6, ili ihdamo za doma�i rad.

Doma�i zadatak: Zbirka: 831 a), b), v), 832 a), b), v), 833 a), b),

834 a), b).

Razlomci 133

104. QAS

Izrazi. Dvojni razlomci Uve�bavaǌe


Ciǉ Usavrxiti tehniku sre�ivaǌa izraza sa razlomcima.


Obnovimo pojmove brojevni izraz i dvojni razlomak i dve vari-jante sre�ivaǌa dvojih razlomaka.

Rexavamo redom zadatke: 831 g), d), 832 g), �), 833 e), 834 d),835 a), b), d).

Zatim, rexavamo zadatak 836 a), b) i 837 a).Na kraju reximo i zadatak 837 v), koji svodimo na koliqnik:(

212− 1

6

):(

212

+56

).

Doma�i zadatak: Zbirka 831 b), v), �), 832 d), e), 833 v), 836 d),

e), �).

134 Razlomci

105. QAS


Rad u homogenim grupama Dijalog

Ciǉ Kratak pregled o razlomcima.


Nastavnik postupa kao xto je opisano u ”Pripremi za (prvi)pismeni zadatak” (tok 36. qasa). O izboru zadataka za ve�baǌeodluquje se kad se pripreme zadaci za tre�i pismeni zadatak. Tomogu biti i zadaci koji su rexavani na nekom od prethodnih qaso-va (ako su nam mnogo va�ni), kao i oni koji su zadavani za doma�irad. Ponoviti i potrebne pojmove, kao decimalni razlomak i ǌegovzapis u obliku decimalnog broja.

Obnavǉaǌe pojmova, ilustrovano jednostavnim primerima, ra-dimo u prvoj polovini qasa.

Za drugi deo qasa, nastavnik podeli odeǉeǌe na homogene gru-pe od 4-6 uqenika, u tri nivoa znaǌa. Svaka grupa radi zadatke(4-5 zadataka) izabrane u tri nivoa. Prva grupa (elementarni ni-vo) rexava zadatke oznaqene u Zbirci sa �. Druga grupa (sredǌinivo) rexava dva zadatka oznaqena sa � i 2-3 zadatka oznaqenasa �. Tre�a grupa (vixi nivo) radi jedan zadatak oznaqena sa �,dva zadatka oznaqena sa � i dva zadatka oznaqena sa ©. Konkret-ne zadatke, prema proceni nivoa znaǌa uqenika, bira nastavnikiz Zbirke i pripremi listi�e sa tekstovima ili koristi na qasuZbirku zadataka.

Dok uqenici rade zadatke, nastavnik ih obiliza i kontrolixe,po potrebi intervenixe. Posledǌnih petnaest minuta qasa kori-sti da se na xkolskoj tabli demonstriraju rexeǌa pojedinih ka-rakteristiqnih zadataka, bar po jedan iz svake od tri grupe.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Tre�i pismeni zadatak (str.

43. do 45.)

Pismeni zadatak 135

106. QAS

Tre�i pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Uprosti dvojni razlomak9

225

.

2. Koliko iznose qetiri tre�ine od 135

: 513?

3. Odredi nepoznati broj x ako je 318

= 5, 375 − x.4. Za koliko treba umaǌiti zbir brojeva 4,026 i 13,74 da bi

se dobio broj jednak razlici brojeva 24,7 i 14,904?5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve a i b, tako da jea

b=

(6, 75 − 3

18

)· 11

3− 3

13.

Grupa B)


3, 75.

2. Koliko iznose tri polovine od 213

: 514?


= x − 2718

.4. Koliko se mo�e oduzeti broju 16,3425, pa da dobijena re-

zlika ne bude maǌa od zbira brojeva85

i 11,1025?5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve m i n, tako da jem

n= 3

13·(

1, 8 + 712− 9

10

).

Grupa V)

1. Uprosti dvojni razlomak3, 6

225

.

2. Koliko iznosi pet tre�ina od 119

: 279?


− x = 1, 5.

4. Koji broj treba uve�ati za 334

da bi dobijeni zbir bio jed-

nak razlici brojeva 6,125 i 114?

136 Pismeni zadatak

5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve x i y, tako da jex

y= 1

13

:(

334

+ 223

+ 4, 25).

Grupa G)


310

5, 2.

2. Koliko iznose qetiri tre�ine od 416

: 229?


= x − 116.

4. U kanti ima 1423

litara vode. Koliko litara mo�emo da

prospemo, pa da u kanti ne bude vixe od 101112

litara vode?.5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve p i q, tako da jep

q= 3

13

:(

225

: 1, 8 + 119· 0, 6

).

Grupa D)


514

.

2. Koliko iznosi pet qetvrtina od 214

: 558?


+ x = 2, 125.4. Za koliko treba pove�ati razliku brojeva 8,206 i 1,53, da

bi ona bila za 2,106 maǌa od zbira brojeva 3,09 i 7,603?5. Odredi uzajamne proste prirodne brojeve k i n, tako da jen

k=

(412− 2

23

):(

823

+ 4, 5 · 113

).

Pismeni zadatak 137

107. QAS



Ciǉ Ukazivaǌe na sistematske i karakteristiqne pojedinaqnegrexke, uz uputstva o naqinu otklaǌaǌa tih grexaka.

Tok qasaUobiqajen, standardan naqin analize rezultata.

138 Razlomci

108. QAS

Mno�eǌe decimalnih brojeva. Obrada


Ciǉ Mno�eǌe decimalnih brojeva svesti na proizvod celih bro-jeva.


Kao xto je prikazano na 143. strani u�benika, rexavaǌem pri-mera 1 uoqavamo kako se mno�i ceo broj sa decimalnim (15 · 27, 36).Zatim, u primeru 2, na slede�oj strani, vidimo kako se mno�e dvadecimalna broja. Posle razmatraǌa i primera 3, izvlaqimo za-kǉuqak – definixemo jednostavno pravilo za mno�eǌe decimalnihbrojeva.

Mno�eǌe decimalnih brojeva sa konaqnim brojem decimalasvodi se na mno�eǌe celih brojeva.

Izraqunajmo proizvode zadate u primeru 2 na 145. strani.Zatim, navodimo jednostavno pravilo za mno�eǌe decimalnih

brojeva dekadnim jedinicama, pa izraqunajmo proizvode iz prime-ra 6.

Doma�i zadatak: Zbirka: 841, 843 a), b), v), g), 847 a), b), v), g).

Razlomci 139

109. QAS

Mno�eǌe decimalnih brojeva Uve�bavaǌe


Ciǉ Ista�i praktiqnu primenu mno�eǌa decimalnih brojeva.


Ponovimo pravilo za mno�eǌe decimalnih brojeva, posebno,ako je jedan mno�ilac dekadna jedinica. Onda rexavamo zadatke:844, 845, 842.

Zatim, rexavamo zadatak 843 d), �), e), �).Na kraju, rexavamo zadatak 846 a), g), d).


140 Razlomci

110. QAS

Deǉeǌe decimalnog broja celim brojem. Obrada


Ciǉ Priprema ”terena” za decimalni delilac.


Prilikom odre�ivaǌa decimalnog zapisa proizvoǉnog razlom-ka (videti 73. qas), poxto podelimo brojilac (ceo broj) imeni-ocem, ne zadr�avamo ostatak deǉeǌa, nego ”spuxtamo” nule (jerdrugih cifara nema) i daǉim deǉeǌem dobijamo decimale u novomzapisu.

Sliqno, decimalni broj delimo celim, tako xto kad zavrxi-mo deǉeǌe celog dela, u koliqniku stavimo decimalnu zapetu inastavimo deǉeǌe. Ovog puta, za razliku od deǉeǌa na 73. qasu,spuxtamo decimale - cifre iza zapete decimalnog deǉenika.

Na 146. strani u�benika naveden je primer 1 koji uradimo ina xkolskoj tabli, a onda sledi primer 2, koji rexavaju uqenicina qasu.

Na slede�oj strani navedeno je jednostavno deǉeǌe decimalnogbroja dekadnom jedinicom, koje se svodi na jednostavno pomeraǌedecimalne zapete ulevo. To ilustrujemo primerom 3, a onda zajed-no rexavamo primer 4.


Razlomci 141

111. QAS

Deǉeǌe decimalnog broja decimalnim brojem. Obrada

Frontalni rad Dijaloxka i heuristiqka metoda

Ciǉ Usvajaǌe tehnike deǉeǌe decimalnim deliocem (decimalni

delilac transformisati u ceo broj).


Koristi�emo osobinu koliqnika: proxirivaǌem, tj. mno�e-ǌem deǉenika i delioca istim brojem razliqitim od nule, koli-qnik se ne meǌa (147. strana u�benika). Ovaj postupak je znatnoolakxan kad su u pitaǌu decimalni brojevi sa konaqnim brojemdecimala. Tada proxirivaǌe vrximo odgovaraju�om dekadnom je-dinicom, jer, kao xto smo ve� uqili, time se samo pomere ude-sno decimalne zapete. Reximo na tabli primer 1 sa 148. strane:

Daǉe se deli celim brojem, a to znamoda radimo.

Slede�i, primer 2, uz eventualnu podrxku nastavnika, rexa-va neki uqenik na xkolskoj tabli.

Zanimǉivo je deǉeǌe (i rezultat deǉeǌa) kada je delilac ne-ki od brojeva: 0,1 ili 0,001 itd. Reximo primer 3 sa 149. strane,uz izvo�eǌe odgovaraju�eg zakǉuqka.

Posle toga, reximo primer 4.Ne treba zaobilaziti ni periodiqne decimalne brojeve, jer

se oni lako svode na oblika

bi dobijamo deǉeǌe sa razlomcima.

Dakle, rexi�emo jox i primere 5 i 6.


142 Razlomci

112. QAS

Deǉeǌe decimalnih brojeva Uve�bavaǌe


Ciǉ Izraqunavaǌe koliqnika a : b, u raznim kombinacijama sacelim brojevima, razlomcima i decimalnim brojevima.


Ponovimo pravilo o deǉeǌu sa decimalnim deliocem.Rexavamo zadatak 857.Zatim, ve�bamo sluqajeve sa deliocem 0,1, odnosno 0,01 itd.

Radimo zadatak 859.Onda, kombinujemo razlomke i decimalne brojeve. Rexavamo

zadatke 861 b), 867 a) i 868 a).Na kraju reximo i zadatke 864 a), �).

Doma�i zadatak: Zbirka: 858, 860 a), b), 861 v), 867 b), 868 b),

864 b), v).

Razlomci 143

113. QAS

Mno�eǌe i deǉeǌe deci-malnih brojeva. Sistematizacija


Ciǉ Kombinovati operacije mno�eǌa i deǉeǌa decimalnih bro-jeva.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, od 135. do 139. strane.

Rexavamo jednostavnije izraze, uz podse�aǌe da su mno�eǌe ideǉeǌe operacije ”starije” od sabiraǌa i oduzimaǌa.

Rexavamo zadatke: 861 a), 862 b), 867 v), 866, 868 b).

Doma�i zadatak: Zbirka: 860, 864 d), e), 865, 869.

144 Razlomci

114. QAS

Jednaqine oblika: ax = b, x : a = b, a : x = b,ax ± b = c

Obrada


Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 150. do 152.

Kao xto je opisano u u�beniku, koriste�i se osobinama mno-�eǌa i deǉeǌa i koriste�i iskustva sa jednaqinama obra�enim na92. qasu, rexavamo jednaqine zadatih oblika.

Nastavnik postavi problem iz primera 1 i navodi uqenike daodrede nepoznatu veliqinu i postave odgovaraju�u jednaqinu. Sa-da, a tako je bilo i ranije i treba poxtovati i ubudu�e, svakorexeǌe jednaqine se proverava.

Rexavaju�i jox i primere 2 i 3, dolazimo do postupka za re-xavaǌe jednaqina oblika: ax = b i x : a = b. Nastavnik naglaxavazbog qega je u oba sluqaja a �= 0 (jer deǉeǌe nulom nije definisa-no).

Zatim, rexavamo jednaqinu oblika a : x = b, koriste�i se de-finicijom deǉeǌa. Onda, nastavnik izvede na tablu jednog uqenikada rexi navedeni primer na 151. strani.

Na kraju, rexavamo i jednaqine kod kojih se uz nepoznatu poja-vǉuje i sabirak, tj. rexavamo jednaqinu oblika ax±b = c. Koristi-mo se iskustvima koje smo stekli pri rexavaǌu ranije prouqenihjednaqina (na primer: x − a = b).

Primer 4 rexavaju uqenici na tabli. Tako�e reximo i pri-mer 5 sa 152. strane.

Doma�i zadatak: Zbirka: 871 a), b), 872 a), b), 873 a), b), 874 a),

b), 875 a), 876 b).

Razlomci 145

115. QAS

Jednaqine Uve�bavaǌe


Ciǉ Rexavaǌe jednaqina navedenih tipova i primena jednaqina.


Za svaki od oblika jednaqina obra�enih prethodnog qasa, po-novimo postupak rexavaǌa i rexavamo zadatke iz Zbirke.

ax = b: zadatak 871 v), g), d).

x : a = b(odnosno

x

a= b

): zadatak 872 v), e).

a : x = b(odnosno

a

x= b

): zadatak 874 v), g).

ax ± b = c: zadaci 875 b) i 876 a).Zatim, rexavamo zadatke 873 v), e), �), 879, 881.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Deveta kontrolna ve�ba (str.

46. do 49.)

146 Razlomci

116. QAS

Deveta kontrolna ve�ba. (Mno�eǌei deǉeǌe. Jednaqine.) Kontrola znaǌa

Grupa A)1. Izraqunaj: 0, 21 : (0, 75 − 0, 012 : 0, 02) − 1, 73 · 0, 16.2. Izraqunaj:

(412· 17, 04

): 21, 6 + 4, 49 : 2

23.


523− 3

16

.

4. Rexi jednaqinu: 4, 5 = 214· x − 3

8.

Grupa B)1. Izraqunaj: (1, 53 : 1, 5 + 17, 4 : 29) · 0, 25 − 0, 005.

2. Izraqunaj:(

334

+ 2, 625)

: 114− 2, 55 : 1, 25.

3. Uprosti dvojni razlomak:112

+ 156

56

.

4. Rexi jednaqinu: 1, 2 · x − 314

= 1, 25.

Grupa V)1. Izraqunaj: (21, 85 : 43, 7 + 2, 5 − 7, 2 · 0, 25) · 2, 25.2. Izraqunaj: 2, 7 :

(3, 5 − 1

14

)+

34

: 0, 375.


216

+ 113

.

4. Rexi jednaqinu: 214− 1

14· x = 1, 5.

Razlomci 147

Grupa G)1. Izraqunaj: 460, 08 : 129, 6 + (21, 018 − 7, 548) : 8.

2. Izraqunaj:(

2, 75 + 312

): 1

14− 17

12

:(

634

+ 5, 5)

.

3. Uprosti dvojni razlomak416− 2

12

223

+ 112

.

4. Rexi jednaqinu:14

= 2, 75 − 212· x.

Grupa D)1. Izraqunaj: ((7, 803 + 8, 547) · 2, 5 − 3, 2) : 4, 5.

2. Izraqunaj: 56314

: 15, 02(

334− 1, 5

):(

225− 1, 9

).

3. Uprosti dvojni razlomak212− 1, 2

515

.

4. Rexi jednaqinu: 314

= 417− 0, 625x.

148 Razlomci

117. QAS

Nejednaqine oblika: ax ≷ b, x : a ≷ b, a : x ≷ b Obrada


Ciǉ Rexavaǌe nejednaqina navedenih tipova, analogno rexava-ǌu odgovaraju�ih jednaqina.


Nejednaqine navedenih oblika rexavamo sliqno odgovaraju�imjednaqinama, koriste�i se osobinama mno�eǌa i deǉeǌa. U to seuverimo rexavaju�i primere 1 i 2.

U primeru 1 ograniqili smo rexavaǌe zahtevom da se tra�e

rexeǌa u skupu prirodnih brojeva. Zbog toga iz n ≤ 234, zakǉuqu-

jemo da je n = 1 ili n = 2.Na kraju reximo i primere 3, 4 i 5 sa 154. strane. U prime-

ru 5 ponovo ograniqavamo rexeǌa na prirodne brojeve, a rexeǌesu�avamo jox vixe nego u primeru 1, jer tra�imo samo prostebrojeve.

Doma�i zadatak: Zbirka: 891 a), b), v), 892 a), b), v), 895 a), v).

Razlomci 149

118. QAS

Nejednaqine Uve�bavaǌe


Ciǉ Rexavaǌe nejednaqina navedenih tipova i ǌihova primena.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka: 142. i 143. strana

Ponovimo postupak rexavaǌa za svaki od upoznatih oblika ne-jednaqine.

ax ≷ b: zadatak 891 g), d), �).x : a ≷ b: zadatak 892 g), d), �).a : x ≷ b: zadatak 895 b), e).Reximo jox i nejednaqine iz zadataka 893 a), v), 894 b) i g).Zatim, reximo tekstualni zadatak 896 i na kraju zadatak 898

a), v).

Doma�i zadatak: 897, 898 b), g), 900 a).

150 Razlomci

119. QAS

Izrazi. Jednaqine. Nejednaqine. Uve�bavaǌe


Ciǉ Uve�bavaǌe tehnike.


Kao kod qasova pripreme za pismeni zadatak, nastavnik ne pla-nira precizno sadr�aj ovog qasa unapred, ve� neposredno pred re-alizaciju. Kad sagleda efekte dosadaxǌe nastave i rada uqenikai odredi zadatke za kontrolnu ve�bu, nastavnik izabere zadatke zaobradu na danaxǌem qasu.

Mogu� izbor zadataka iz Zbirke: 808, 809, 810, 830, 833 g), d),834 v), g), 835 v), g), 837 e), �), 840, 847, 850, 855, 863, 870, 885,886, 890, 899.

Doma�i zadatak: Zadaci sa posledǌeg spiska, koji nisu rexava-ni na qasu.

Razlomci 151

120. QAS

Razlomci, jednaqine, nejednaqine Uve�bavaǌe


Ciǉ Priprema za kontrolnu ve�bu.


Nesporan je znaqaj dobre tehnike rada sa razlomcima i primenekroz jednaqine i nejednaqine.

Qas se organizuje u dva dela.Prva polovina qasa koristi se za obnavǉaǌe na elementarnom

nivou. Oblik rada je frontalni. (Mogu�i izbor zadataka za ovunamenu je iz Zbirke, i to: 809 g), d), 810 d), 104 g), 834 v), 839,875 g), 893 g)).

Onda, nastavnik razvrsta uqenike u tri grupe, po nivou znaǌa:A) elementarni nivo, B) sredǌi nivo i V) vixi nivo. Po�eǉno jeda se sami uqenici opredeǉuju o izboru grupe. Onda se ove grupe”usitne” na maǌe homogene grupe od 4 do 6 uqenika. Maǌe grupe serasporede u susedne klupe.

Naqin izbora zadataka i organizovaǌe rada do kraja qasa opi-san je u planu rada za 103. qas.

152 Razlomci

121. QASAritmetiqka sredina Obrada


Ciǉ Povezati pojmove: proseqna vrednost, koliqnik i razlomak.


Pojam proseka, odnosno proseqne vrednosti qesto se pomiǌe. Sobzirom na naqin izraqunavaǌa, u matematici se to naziva arit-metiqka sredina.

Navo�eǌem primera, kao xto je dato na 154. strani u�benika,uqenici se navode da problematiku shvate svakodnevnom pojavom itime se zainteresuju.

Najpre izvedemo pravilo za aritmetiqku sredinu dva broja:

s =a + b

2.

Prikazivaǌem taqaka A(a), B(b) i S(s) na brojevnoj polupra-voj za konkretno izabrane brojeve a i b, nalazimo jedan od razlogazaxto se to zove sredina. (Po�eǉno je koristiti se leǌirom.)

Izraqunajmo jox nekoliko sluqajeva aritmetiqke sredine (pro-seqne vrednosti), na primer, za brojeve:

a) 7 i 25; b) 6 i 19; v) 1,8 i 8,1; g) 356

i 523; d) 3, 2 i

1515

.Zatim, nastavnik na xkolskoj tabli dokazuje va�nu osobinu

aritmetiqke sredine. Ako je a < b, onda je:

a <a + b

2< b

Ova osobina pokazuje da se izme�u svaka dva razliqita brojanalazi jedan broj. Sledi da je skup razlomaka (na brojevnoj polu-pravoj) svuda gust, jer se za bilo koja dva, ma koliko bliska broja(taqke na brojevnoj polupravoj), uvek izme�u ǌih mo�e smestitiǌihova aritmetiqka sredina.

Zatim, poka�emo xta predstavǉa (kako se raquna) aritmeti-qka sredina za vixe od dva broja (156. i 157. strana u u�beniku).Navedene formule ilustrujemo primerima 1 i 2.

Na kraju, reximo zadatke od 1 do 5 na 156. i 157. strani.

Doma�i zadatak: Zbirka: 901 a), g), �), z), 902 a), 904.

Razlomci 153

122. QAS

Aritmetiqka sredina Uve�bavaǌe


Ciǉ Primene aritmetiqke sredine (proseqne vrednosti).


Ponovimo pojam: aritmetiqka sredina (proseqna vrednost) zadva broja. Reximo zadatke 901 b), d), e), �), 902 g) i 905.

Ponovimo pojmove: aritmetiqka sredina za tri, qetiri, petbrojeva. Reximo zadatak 902 b), v).

Zatim, rexavamo tekstualne zadatke (primene aritmetiqke sre-dine): 903, 906, 907, 909, 910 a).

Doma�i zadatak: Zbirka: 908, 910 b).

154 Razlomci

123. QAS

Razmera Obrada


Ciǉ Praktiqno znaqeǌe razmere povezati sa pojmovima razlo-mka i koliqnika.


Navode�i primere kao u u�beniku (strana 157) nastavnik dajematematiqko znaqeǌe pojma razmere, koji se quje svakodnevno.

Vrlo je bitno da uqenici shvate da razmera (u matematiqkomsmislu koliqnik a : b, a to je i razlomak

a

b) ima stvarnog smisla

samo ako brojevi a i b oznaqavaju iste jedinice iste mere. Trebanavesti primere pravilno i nepravilno postavǉene razmere (kaona 158. strani u�benika).

Zatim se navode primeri praktiqne primene razmera u karto-grafiji i crtaǌu planova (primeri 3 i 6 na 159. i 160. strani).

Daǉe, uvodi se pojam produ�ene razmere (primer 4) i ǌenaprimena u odre�ivaǌu sastava smexe ili rastvora (primer 5).

Na kraju, objaxǌavamo pojam razmere u geometriji (linijskarazmera i razmernik), kao xto je opisano na 161. strani u�benika.

Onda, izlagaǌe o razmeri ilustrujemo rexavaju�i zadatke od5 do 8 na kraju 161. strane.

Doma�i zadatak: Zbirka: 911, 912 a), 914 i slede�i zadatak:

Uprosti produ�enu razmeru815

: 113

: 2215

:23.

Razlomci 155

124. QAS

Razmera – primene Uve�bavaǌe


Ciǉ Primena razmera.


Ponovimo znaqeǌe pojma razmere dva broja (koliqnik dva uza-jamno prosta broja ili neskrativ razlomak) i navedemo nekolikoprimera kao:

504 : 112, 517

: 445, 3, 75 : 4

16

i sliqno.Nastavnik insistira na zakǉuqku: razmera imenovanih brojeva

ima smisla samo ako brojeve a i b izra�avaju iste jedinice mere.Onda, reximo zadatak 912.

Onda, ponovimo primenu razmere u odre�ivaǌu mexaǌa, naprimer: ”Ako je a : b = 7 : 2, onda je a = 7k i b = 2k.” Za ilu-straciju reximo zadatke 913 a), 914 i 916.

Ponovimo pojam produ�ene razmere i ǌeno znaqeǌe (na primer:ako je a : b : c = 5 : 1 : 9, onda je a = 5k, b = k i c = 9k). Reximozadatke 913 b) i 915.

Zatim, rexavamo zadatke primene razmere u kartografiji icrtaǌu planova: 917, 918, 920, 921.

Reximo i problemski zadatak 922.


156 Razlomci

125. QAS

Aritmetiqka sredina i razmere Uve�bavaǌe


Ciǉ Sistematizovaǌe ove primene operacija sa racionalnimbrojevima, sa te�ixtem na ”praktiqne” primere.


Obnovim pojam aritmetiqke sredine (i formule) za dva, tri,qetiri broja. Za svaki sluqaj uqenici sami sastave ”zadatak” irexavaju ga na tabli.

Zatim, rexavamo zadatke: 901 v), 902 b), v), d), d).Onda rexavamo problem iz odeǉeǌa. Nastavnik proqita ocene

sa posledǌe pismene ve�be, a uqenici raqunaju proseqnu ocenu.

Podsetimo se na osobinu: ako je a < b, onda je a <a + b

2< b, pa

rexavamo zadatak.1◦ Koriste�i se osobinama aritmetiqke sredine odredi tri

broja a, b, c, tako da je m < a < b < c < n, gde su brojevi m i n

dati: a) m = 0, 7 i n = 0, 8; b) m =37

i n =47.

Ponovimo pojam razmere a : b i produ�ene razmere a : b : c, parexavamo zadatke.

2◦ Uglovi α i β su komplementni. Ako je α : β = 889

: 1113,

odredi α i β.3◦ ”Naqiǌena je legura mexaǌem antimona, bakra i kalaja u

razmeri 1 : 7 : 3. Koliko je potrebno svakog od ovih metala za 5,5 kglegure?

Doma�i zadatak: Na autokarti, koja je nacrtana u razmeri1 : 400 000, vexataqko jezero na Drini, uzvodno od Zvornika, dugoje 47,5 mm. Kolika je stvarna du�ina Zvorniqkog jezera?

Osna simetrija 157

126. QAS

Osna simetrija u ravni Obrada

Frontalni rad Demonstrativna i heuristiqka metoda

Ciǉ Povezati simetriju iz prirode sa preslikavaǌem taqaka ifigura.


Nastavnik objaxǌava znaqeǌe pojma simetrije i ǌen velikiznaqaj u nauci i prirodi (162. strana). Zatim, pokazuje pripre-mǉene modele iz prirode, na kojim se istiqe lepota i sklad sime-trije (kao na slikama 1, 2 i 3). Navesti primer preslikavaǌa likau ogledalu kao simetriju u prostoru.

Nastavnik naglaxava: bavi�emo se simetriqnim preslikava-ǌem likova i osobinama simetriqkih likova. Ponovo pokazuje sl.1, 2 i 3 (i eventualno jox neke pripremǉene crte�e) i pokazujepravu s, koja ima ulogu ogledala - likovi se preslikavaju preko”ogledala” s. Zato ovo preslikavaǌe nazivamo simetrija u odno-su na pravu ili osna simetrija. Prava s je osa te simetrije.

Sada poka�emo kako se lik nacrtan na papiru preslikava usimetriqan, savijaǌem papira (slika 4).

Zatim, definixemo osnu simetriju preko simetriqnih taqaka(strana 163).

Daǉe, na primerima, ve�bamo preslikavaǌe simetrijom u od-nosu na datu pravu. Preslikavamo prvo taqke (primeri 1 i 2),zatim du�i i prave (primeri 3 i 4) i trouglove (primer 5).

U poqetku po�eǉno je forsirati crtaǌe u sveskama sa kvadra-ti�ima, dok se uqenici ne nauqe da je osa normalna na du�i kojespajaju simetriqne taqke.

Veoma je va�no stalno isticati da su osno simetriqne figurepodudarne (mogu se poklopiti, na primer, savijaǌem papira).

Na kraju konstruixemo simetriqne likove u zadatku 6.


158 Osna simetrija

127. QAS

Osna simetrija Uve�bavaǌe


Ciǉ Konstruktivni aspekt osne simetrije.


Prvu polovinu qasa iskoristimo za boǉe upoznavaǌe simetri-je tako xto odre�ujemo simetriqne likove i vrximo preslikavaǌesimetrijom na karo papiru.

Rexavamo redom zadatke 929, 930, 928.Zatim, nastavnik postavi zadatak: ”Svaki uqenik neka nacrta

jedan trougao u svesku (na karo papiru) i izabere za osu simetrijejednu liniju koja postoji na karo papiru. Tu liniju pojaqa olovkomu boji. Zatim, nacrta simetriqan trougao.”

Nastavnik obilazi uqenike, kontrolixe, ispravǉa, ohrabri,pohvali.

Onda rexavamo zadatke 932 i 933.Na kraju, uqenici preslikaju ”pristanixte” iz zadatka 934 u

odnosu na horizontalnu liniju (u sredini slike, pojaqana), kao osusimetrije, crtaju refleks (simetriqnu sliku). Nastavnik ponovokontrolixe rad uqenika na mestu.

Doma�i zadatak: Zbirka: 935 i specijalni zadatak: ”Svaki uqe-nik da nacrta neki jednostavan pejza�, po ugledu na zadatak 934, paodredi simetriqan lik u odnosu na neku horizontalnu i u odnosuna neku vertikalnu pravu (kao elektriqni stub).”

Najinteresantnijim zadacima sleduje nagrada u xkolskom dnev-niku.

Osna simetrija 159

128. QAS

Osno simetriqne figure Obrada


Ciǉ Uoqiti figure koje imaju ose simetrije.


Nastavnik nacrta na xkolskoj tabli jedan krug (uqenici gaslede crtaju�i u svojim sveskama). Zatim nacrta jednu pravu krozcentar kruga. Postavǉa pitaǌe:

”Vidite li ovde neku simetriqnost?”Uqenici otkrivaju da je nacrtana prava osa simetrije, a po-

lukrugovi koje ona odre�uje, simetriqni likovi. To isto uoqavajui na svojim crte�ima.

Zatim, uqenici crtaju taqke simetriqne taqkama A, B, C, kojenastavnik uzima na nacrtanoj kru�nici (Uqenici izlaze jedan pojedan na tablu, ali crtaju i u svojim sveskama).

Pitaǌima nastavnik navodi uqenike da zakǉuqe: taqkama A, B,C na kru�nici odgovaraju simetriqke taqke A1, B1, C1, koje su naistoj kru�nici.

Ovakve figure, koje se preslikavaju u sebe, su osno simetriqne(tekst na 166. strani).

Daǉe, prouqavamo osno simetriqne figure, koje smo ranijeupoznali. (Uqenici sami otkrivaju ili utvrde posle pitaǌa na-stavnika: ”Da li je figura ”ta i ta” osno simetriqna?”.) Tako�e,uoqavaju koliko osa simetrije ima svaka od ǌih i identifikuju teose. (Pratimo tekst na 167. i 168. strani.) Usput reximo primere1, 2 i 3.

Na kraju reximo zadatke od 4 do 8 na 168. strani.


160 Osna simetrija

129. QAS

Osno simetriqne figure Uve�bavaǌe


Ciǉ Ispitivaǌe osno simetriqnih figura.


Prouqavaǌe simetriqnosti figura poqiǌemo rexavaǌem za-datka 939.

Zatim, rexavamo zadatke 940, 941, 942.Onda, rexavamo enigmatski zadatak 943.Upoznajemo simetriqnost ravnih geometrijskih figura. Rexa-

vamo zadatke 945, 946, 947, 948.Na kraju reximo i zadatak 949.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Deseta kontrolna ve�ba (str.

50. do 53.)

Osna simetrija 161

130. QAS

Deseta kontrolna ve�ba (razmere,aritmetiqka sredina, simetrija) Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: 5,2; 135; 10; 2

34.

2. Razmeru 4, 2 : 312

dovedi na najjednostavniji oblik.


: 0, 5 < 334. Rexeǌe prika�i na bro-

jevnoj pravoj.4. Nacrtaj trougao ABC i pravu s, kao xto je ovde na slici.

Zatim, trougao ABC preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Figuru na slici qine dva jednaka kruga. Olovkom u bojinacrtaj sve ose simetrije ove figure.

Grupa B)

1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva:34;

45;

58;

1340

.2. Odredi brojeve a, b i c, ako je a : b : c = 2 : 7 : 6 i a+b+c = 18.

3. Rexi nejednaqinu 2, 5x − 323≤ 2

16. Rexeǌe prika�i na bro-

jevnoj pravoj.

162 Osna simetrija

4. Nacrtaj qetvorougao KLMN i pravu s, kao ovde na slici.Zatim, qetvorougao KLMN preslikaj simetrijom u odnosu na pravus.

5. Na slici je kvadrat sa jednom dijagonalom. Olovkom u bojinacrtaj sve ose simetrije ove figure.

Grupa V)

1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: 5,1; 335; 8; 4,7; 2

15; 6.

2. Razmeru 813

: 449


3. Rexi nejednaqinu 9, 5 − 34x ≥ 1

34. Rexeǌe prika�i na bro-

jevnoj pravoj.4. Nacrtaj trougao PQR i pravu s, kao ovde na slici. Zatim,

trougao PQR preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Figuru na slici predstavǉaju dva jednaka kvadrata. Olovkomu boji nacrtaj sve ose simetrije ove figure.

Grupa G)

1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: 3,2; 212; 4; 6

34; 7,8.

2. Odredi brojeve x, y i z, ako je x : y : z = 5 : 8 : 7 i x+y−z = 24.

3. Rexi nejednaqinu 3, 5x : 415

< 178. Rexeǌe prika�i na bro-

jevnoj pravoj.

Osna simetrija 163

4. Nacrtaj qetvorougao ABCD i pravu s, kao ovde na slici. Za-tim, qetvorougao ABCD preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Na slici je krug sa jednim svojim preqnikom. Olovkom u bojioznaqi sve ose simetrije ove figure.

Grupa D)

1. Odredi aritmetiqku sredinu brojeva: 435; 2

710

; 5,2.

2. Razmeru 7, 2 : 2525



: x + 2, 4 ≤ 415. Rexeǌe prika�i na

brojevnoj pravoj.4. Nacrtaj trougao XY Z i pravu s, kao xto je ovde na slici.

Zatim, trougao XY Z preslikaj simetrijom u odnosu na pravu s.

5. Figuru na slici obrazuju dva jednaka kvadrata. Olovkom uboji oznaqi sve ose simetrije ove figure.

164 Osna simetrija

131. QAS

Simetrala du�i Obrada


Ciǉ Uoqiti osobine i konstrukciju simetrale du�i.


Nacrtamo neku kosu pravu s. (Svi crtaju – jedan uqenik naxkolskoj tabli, a ostali u svojim sveskama.) Nastavnik izaberetaqku A van prave s (i uqenici na svojim crte�ima) i zahteva dase konstruixe taqka B, koja je simetriqna sa A u odnosu na s.Oznaqimo preseqnu taqku S prave s i du�i AB.

Definixemo simetralu date du�i (koristimo nacrtanu du�AB i pravu s).

Odmah uoqavamo osnovne osobine:1◦ Simetrala je normalna na du� (s normalna na AB).2◦ Simetrala polovi du� (AS = SB).3◦ Svaka taqka M simetrale jednako je udaǉena od krajeva du-

�i (AM = MB, gde je M ∈ s).Zatim, rexavamo zadatak: konstruisati simetralu date du�i

(slika 19).Razmatramo neke osnovne konstrukcije u kojima se koriste oso-

bine simetrale du�i. Treba ista�i da simetrale omogu�avaju po-dele du�i na polovine, qetvrtine itd. To posti�emo rexavaǌemprimera 1 (konstrukcija normale iz date taqke na datu pravu),primera 2 i primera 3. Radi uve�bavaǌa konstrukcije normaleiz primera 1, preporuqǉivo je rexiti i po jedan sluqaj kad jeprava p vertikalna ili kosa, a ne kao na slikama 20. i 21.

Tako�e, rexavamo interesantan problem: Konstruisati taqkuM simetriqnu datoj taqki N u odnosu na datu pravu p, koriste�ise samo xestarom (slika 21).

Na kraju reximo i zadatke 4 i 5 na 171. strani.

Doma�i zadatak: Zbirka: 961, 967, 965 a), i poseban zadatak:Nacrtaj kosu pravu p i oznaqi taqku A na pravoj i taqku B vanprave. Zatim, koriste�i se simetralom du�i konstruixi pravu akroz A i pravu b kroz B, normalne na p.

Osna simetrija 165

132. QAS

Simetrala du�i Uve�bavaǌe


Ciǉ Uoqiti primenu simetrale du�i.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 155. i 156. strana.

Ponovimo definiciju simetrale du�i i ǌene osobine.Rexavamo elementarne konstrukcije, koje nastavnik postavǉa

na xkolskoj tabli, a uqenici crtaju u svojim sveskama.1. Datoj du�i AB (nastavnik nacrta du�) konstruixi sime-

tralu.2. Iz date take N konstruixi normalu na datu pravu p (na-

stavnik nacrta pravu p i taqku N). Po�eǉno je izabrati nekolikorazliqitih polo�aja prave i taqke.

Zatim, rexavamo zadatke iz Zbirke: 961, 962, 963, 964, 966,967.

Doma�i zadatak: Zbirka: 965 b), 968, 969, 970, 971, 973.

166 Osna simetrija

133. QAS

Simetrala ugla Obrada


Ciǉ Uoqiti osobine simetrale ugla.


Nacrtamo pravu s i taqke P i Q koje su simetriqne u odnosuna s. Izaberemo taqku O prave s, tako da O nije na du�i AB (sli-ka 1 na 171. strani). Konstruixemo poluprave Op i Oq. Pravu snazivamo simetralom ugla �POQ.

Uqenici lako, na osnovu osobina simetrije zakǉuqke da sime-trala polovi ugao.

Nastavnik, koriste�i se oqiglednox�u simetrije i do sadasteqenim znaǌima dokazuje tvr�eǌe da simetrala polovi ugao. (Ko-ristiti tekst oznaqen crvenom zvezdicom na 172. strani). Dobrobi bilo da se uqenicima naglasi da je to dokaz tvr�eǌa i da �emoslede�e xkolske godine qesto biti u prilici da dokazujemo va�natvr�eǌa.

Zatim, nauqimo kako se konstruixe simetrala ugla (primer1, slika 25).

Koriste�i se simetralom mo�emo konstruisati polovinu ugla,zatim qetvrtinu (polovina polovine), osminu itd. Rexavaǌem pri-mera 2 pokazujemo kako mo�emo bez uglomera konstruisati ugloveod 45◦ (polovina pravog ugla) i od 22◦30′ (polovina ugla od 45◦).

Zatim, poka�emo (doka�emo) da je svaka taqka simetrale uglajednako udaǉena od krakova (slika 27).

Reximo jox i primere 3 i 4 (173. i 174. strana).


Osna simetrija 167

134. QAS

Simetrala ugla Uve�bavaǌe


Ciǉ Uoqiti primenu osobina simetrale ugla.


Ponovimo pojam simetrala ugla.Ponovimo osobine simetrale ugla:1) Simetrala polovi ugao.2) Svaka taqka simetrale jednako je udaǉena od krakova.Ponovimo konstrukciju simetrale ugla.Nastavnik postavi zadatak: Nacrta jedan oxtar ugao i tra�i

da mu se konstruixe simetrala s. Zatim, na simetrali izaberetaqku S, koja je razliqita od temena i tra�e da se konstruixurastojaǌa taqke S od krakova ugla. Xestarom proveriti da li jeSM = SN . Uqenici moraju shvatiti da se rastojaǌa taqke S odkrakova konstruixu kao du�i SM i SN koje su normalne na kra-kove ugla.

Zatim, rexavamo zadatke iz Zbirke: 981, 979, 980.Onda rexavamo zadatke 982 i 983.Na kraju, reximo i zadatak 987.


168 Osna simetrija

135. QAS

Osna simetrija Sistematizovaǌe


Ciǉ Povezati nauqene osobine osne simetrije.


Osnovni je zadatak da se obnove i utvrde slede�i pojmovi.1. Pojam osne simetrije. Konstrukcija taqke koja je simetri-

qna datoj taqki.2. Datu figuru preslikati simetriqno u odnosu na datu pravu.3. Odrediti da li je figura osno simetriqna i ako jeste, koje

su joj ose simetrije.4. Simetrala du�i: konstruisaǌe i osobine.5. Simetrala ugla: konstruisaǌe i osobine.Za svaki obnovǉeni pojam postavǉa se elementarni problem

(po potrebi i vixe primera, kao kod deǉeǌa du�i i uglova na po-lovine, qetvrtine itd). Primeri za ovu svrhu mogu se uzeti i izZbirke.

Naqin izbora zadataka i rexavaǌa opisan je u okviru planarada 103. qasa.

Pismeni zadatak 169

136. QAS



Ciǉ Priprema uqenika za pismeni zadatak.


Na osnovu planirane provere znaǌa na pismenom zadatku, nas-tavnik izabere desetak zadataka i rexava ih na ovom qasu. Izborzadatka je takav da uqenike direktno upu�uje na ponavǉaǌe potreb-nih znaǌa.

Zadaci se mogu uzeti prete�no (ili svi) iz Zbirke.Prvih pet zadataka su lakxi i slu�e da se svi uqenici podsete

na neophodne pojmove.Zatim, nastavnik formira homogene grupe i daǉe radi na naqin

predvi�en za ovakve grupe.Uputstvo je dato u okviru plana za 103. qas.

Doma�i zadatak: Radna sveska: Qetrti pismeni zadatak (str.

54. do 56.)

170 Pismeni zadatak

137. QAS

Qetvrti pismeni zadatak Kontrola znaǌa

Grupa A)

1. Uprosti izraz 1712

:(

634

+ 512

).

2. Rexi jednaqinu: 2, 1 + x : 313

= 412.

3. U xkoli ima nastavnika i uqenika ukupno 1444. Broj devo-jqica prema broju deqaka je 5 : 4. Deqaka ima osam puta vixe negonastavnika. Koliko je u toj xkoli nastavnika?

4. Preslikaj poluprave Oa, Ob i Ocsa slike. Zatim, konstruixi simetralu pugla aOb i simetralu q ugla bOc. Ako je�aOb = 27◦ i �bOc = 48◦, koliki je �pOq?

5. Nacrtaj du� MN = 7 cm. Zatim,koriste�i xestar i leǌir (bez mereǌadu�ine), odredi taqku P na du�i MN ,

tako da je MP =38MN .

Grupa B)

1. Uprosti izraz1

715

+ 256

4, 3.

2. Rexi nejednaqinu: 414− 1, 4x ≤ 2

12.

3. Za 6 kg jabuka i 9 kg kruxaka pla�eno je 630 dinara. Cenejabuka i kruxaka obrazuju razmeru 3 : 5. Kolike su cene jabuka ikruxaka?

4. Izaberi proizvoǉnu taqku S. Zatim,nacrtaj jedan ugao, tako da taqka S bude u tomuglu i to na ǌegovoj simetrali.

5. Nacrtaj ugao β kao na slici. Zatim, bez

upotrebe uglomera, konstruixi ugao α, tako da je α =14β. Osenqi

unutraxnost ugla α.

Grupa V)

1. Uprosti izraz(

256− 1

2

):(

1, 5 + 156

).

2. Rexi jednaqinu: 214− 1

12x = 0, 35.

Pismeni zadatak 171

3. Na karti, qija je razmera 1 : 80 000, rastojaǌe izme�u dvamesta predstavǉa du� od 12,5 cm Za koje �e vreme biciklistapre�i ovo rastojaǌe, ako vozi brzinom od 15 km na sat?

4. Nacrtaj prav ugao aOb i ǌegovu simetralu s. Koliki je ugaoaOs? Bez uglomera nacrtaj ugao od 22◦30′.

5. Nacrtaj du� CD = 7, 5 cm. Zatim, koriste�i xestar i leǌir(bez mereǌa du�ine), odredi taqku P na du�i CD, tako da je

DP =38CD.

Grupa G)

1. Uprosti izraz135

: 115

113· 0, 5

.

2. Rexi nejednaqinu: 1325− 3, 5x ≥ 1

45.

3. Mexaǌem bakra i kalaja u razmeri 3 : 2 dobili smo 105 kgbronze. Koliko je upotrebǉeno bakra?

4. Nacrtaj par uporednih uglova xOy i yOz. Za-tim, nacrtaj simetralu p ugla xOy i simetralu q uglayOz. Kojoj vrsti uglova pripada �pOq. Obrazlo�iodgovor.

5. Nacrtaj kru�nicu k sa centrom O i izaberi uǌoj taqku S, kao xto je prikazano na slici. Zatim,konstruixi tetivu AB kru�nice k, tako da je S sre-dixte tetive.

Grupa D)

1. Uprosti izraz(

427· 33

8

):(

1, 8 · 3 314

).

2. Rexi jednaqinu: 4, 5 = 214

: x − 118.

3. Lana, Milica i Stefan uplatili su tiket za LOTO. Lanaje dala 120 dinara, Milica 150 dinara i Stefan 90 dinara. Do-bili su 30 000 dinara. Kako �e poxteno podeliti dobitak?

4. Nacrtaj pravu p, taqku S na pravoj i taqkuM van prave, kao na slici. Zatim, odredi taqkuN , tako da prava p bude simetrala ugla MSN .

5. Na slici je prav ugao β. Koriste�i samoleǌir i xestar bez korix�eǌa uglomera, kon-struixi ugao od 77◦30′.

172 Pismeni zadatak

138. QAS



Ciǉ Ukazivaǌe na sistematske i karakteristiqne grexke uz uput-stva o naqinu otklaǌaǌa tih grexaka.

Tok qasaUobiqajen, standardan naqin analize postignutih rezultata.Preostali qasovi do zavrxetka nastave ostavǉeni su u rezer-

vi. O naqinu realizacije ovih qasova odluqi�e nastavnik, premaproceni trenutne situacije.

Osna simetrija 173

139. QAS

Konstrukcije na osnovu simetrije Obrada


Ciǉ Primene osobina osne simetrije u rexavaǌu konstruktiv-nih zadataka.

Tok qasa Osnovni tekst U�benik, od 174. do 176. strane.

Na poqetku qasa istiqemo va�ne osobine simetrije koje �ebiti korisne za rexavaǌe konstruktivnih zadataka.

1◦ Ako su A i B taqke simetriqne u odnosu na pravu s onda jeAB normalno na s i prava s polovi du� AB. Ako je M taqka praves, onda je AM = MB, jer je taqka M simetriqna samoj sebi. (Ovosu ujedno i osobine simetrale s du�i AB.

2◦ Ako su a i b prave simetriqne u odnosu na pravu s, onda seone seku u taqki na pravoj s, ili su a, b i s tri paralelne prave.

3◦ Sve taqke koje su jednako udaǉene od dve date taqke A i Bjesu taqke simetrale s du�i AB.

4◦ Sve taqke koje su jednako udaǉene od dve date prave a i bjesu taqke koje pripadaju simetralama dva para unakrsnih uglova,odre�enih presekom pravih a i b.

U u�beniku na stranama od 174. do 176. detaǉno su rexeniprimeri od 1 do 6. Ove primere treba rexavati na qasu. Sve xtotreba komentarisati napisano je u u�beniku.

Ako ima vremena treba rexavati na qasu i zadatke 7, 8 i 9(na kraju 176. strane). Ako nema vremena za rad, ostavǉamo ih zadoma�i rad.


174 Osna simetrije

140. QAS

Konstrukcije Uve�bavaǌe

Rad u parovima Heuristiqka metoda

Ciǉ Primena osobina simetrale du�i i simetrale ugla.

Tok qasa Osnovni tekst Zbirka, 159. strana.

Ponovimo osobine simetrale du�i i izvrximo dve elemenatarnekonstrukcije.

1◦ Simetralu date du�i AB (du� odredi nastavnik).2◦ Normalu iz date taqker N na datu pravu p, bez korix�eǌa

pravouglog trougla. (Nastavnik na tabli nacrta pravu p i izaberetaqku N .)

Ponovimo osobine i konstrukciju simetrale ugla.Zatim, rexavamo zadatke iz Zbirke: 993, 994, 995, 996, 997.

Doma�i zadatak: 998, 999, 1000.

141. qas

Nastavna tema:

Tip qasa:

142. qas

Nastavna tema:

Tip qasa:

143. qas

Nastavna tema:

Tip qasa:

144. qas

Nastavna tema:

Tip qasa:

Documents

5 Razred - Matematiskop - Prirucnik 2