M AT E M AT I K A E K O N O M I

FUNGSI EKSPONENSIAL

DAN FUNGSI LOGARITMIK

TO N I BA K H TI A R

I N S TI TU T P ERTA N I A N BO G O R

2 0 1 2

Pangkat

2

� Jika suatu bilangan a dikalikan dirinya sendiri sebanyak n kali

maka ditulis

� Bilangan n disebut eksponen atau pangkat.

� Beberapa sifat:

kali

n

n

a a a a a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋯�������

� Beberapa sifat:

� Eksponen n dapat diperluas ke bilangan real.

( )

1

n m n m

n m nm

n

n

a a a

a a

aa

+

−

=

=

=

( )

0

1

1

nn m n m n m n

m m

nn n

n

aa a a a a

a a

aa a

a

− + − −

−

= = = =

= = =

Fungsi Pangkat

3

� Fungsi pangkat memiliki bentuk:

� Jika p = 1 maka f fungsi linear, jika p = 2 maka f fungsi kuadratik.

� Untuk x taknegatif, beberapa grafik fungsi f diberikan oleh:

: ( ) py f x kx= =

x x x

y

1p < −

y

1p =

y

1p >

Fungsi Eksponensial

4

� Jika eksponen dipandang sebagai variabel dalam fungsi, maka

diperoleh fungsi eksponensial:

� Bilangan k adalah koefisien dan a disebut basis.

� Untuk k = 1:

( ) , 0.xf x ka a= >

� Untuk k = 1:

x

y

0 1

1

y = ax , a > 1

x

y

0 1

1 y = ax , 0 < a < 1

Fungsi Eksponensial Natural

5

� Di banyak aplikasi, basis a dipilih sama dengan e (bilangan

natural), sehingga diperoleh fungsi eksponensial natural

� e = 2. 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572

4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178

( ) xf x e=

4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178

5251664274 ...

� Rekor: 1012 dijit, Shigeru Kondo & Alexander Yee (5 Juli 2010),

224 jam

Sejarah e

6

� Muncul pertama kali tidak secara eksplisit pada 1618 di sebuah

tabel lampiran oleh John Napier.

� Jacob Bernoulli mencoba menghitung nilai konstanta tersebut

menggunakan rumus:( )1lim 1

x

xx→∞

+

� Gottfried Leibniz dan Christiaan Huygens menggunakan

konstanta tersebut, dilambangkan dengan b, pada 1690-1691.

� Pada 1727 Leonhard Euler menggunakan bilangan tersebut dan

melambangkannya dengan e.

( )xx→∞

Berbagai Rumus e

7

( )1lim 1x

xx

e→∞

= +

( )1

= +

0

1

!n

en

∞

=

=∑

12

1e = +

( )1

0lim 1 x

xe x

→= +

lim!nn

ne

n→∞=

11

12

11

11

14

11

1

+

+

+

+

+

++⋱

1

2

3

4y

1

2

3

4y

Kurva Grafik

8

( ) xf x e= ( ) x

f x e−=

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x

y

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0x

( )1

x

x

ef x

e=

+

Kurva Grafik

9

xy e=

2xy e=xy e=

2 xy e=

0t1

02t 0t

Interpretasi e

10

� Pokok A yang diinvestasikan pada tingkat bunga r per tahun akan

bernilai V setelah t tahun, yaitu:

� Jika dalam satu tahun pokok dan bunga dibayarkan sebanyak m

kali, maka pada periode m pokok A akan bernilai

(1 ) .tV A r= +

kali, maka pada periode m pokok A akan bernilai

� Suku r/m menunjukkan bahwa di setiap periode dalam satu tahun,

hanya 1/m bagian dari sukubunga r yang dibayarkan. Sedangkan

eksponen mt menyatakan bahwa, karena bunga harus dibayarkan

sebanyak m kali setahun maka ada sebanyak mt kali pembayaran

dalam t tahun.

( ) (1 ) .mtrm

V m A= +

Interpretasi e

11

� Jika pokok dan bunga dibayarkan secara kontinu sepanjang

tahun, yaitu m menjadi takhingga, maka diperoleh

lim ( )

lim(1 )

m

mtrm

m

V V m

A

→∞

→∞

=

= +

� Jadi, di ruang kontinu, pokok A yang diinvestasikan dengan

bunga r per tahun akan bernilai V setelah t tahun dengan

.rtV Ae= Jika A = 1, r = 100%,

t = 1, maka V = e.

Diperoleh: A = Ve−rt.

e−rt disebut faktor diskon.

1lim[(1 ) ] , :

.

mm

k rt mk r

m

rt

A k

Ae

→∞

→∞= + =

=

Fungsi Logaritmik

12

� Didefinisikan:

� Contoh:

log .x

bx y y b= ⇔ =

Fungsi Logaritmik Natural

13

� Jika diambil basis b = e, maka

� Dapat ditulis juga

� Terlihat bahwa fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik saling

log ln .x

ex y y y e= = ⇔ =

lnln .x yx y y e y e= ⇔ = ⇔ =

� Terlihat bahwa fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik saling

invers.

-2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y xy e=

lny x=

Sifat-sifat Fungsi Logaritmik

14

ln 1, ln1 0,

ln( ) ln ln ,

ln ln ln ,

e

ab a b

aa b

b

= =

= +

= −ln ln ln ,

ln ln ,

lnlog ,

ln

log log log .

b

a

a a c

a bb

a b a

bb

a

b c b

= −

=

=

= ⋅

Terapan Logaritma

15

� Penskalaan logaritmik: penyajian data dalam skala logaritma

seringkali bermanfaat apabila data memiliki range yang sangat

besar (atau sangat kecil). Contoh: Skala Richter: log(energy),

pH: −log(aktivitas ion hidronium).

� Pelinearan� Pelinearan

1

1

Fungsi produksi Cobb-Douglas:

log log( )

log log log (1 ) log

(1 ) .

Y K L

Y K L

Y K L

Y K L

α α

α α

β

β

β α α

β α α

−

−

=

⇔ =

⇔ = + + −

⇔ = + + −

Terapan Logaritma

16

� Pelinearan (regresi logistik):

0 1 1 2 2

0 1 1 2 21

n n

n n

b b X b X b X

b b X b X b X

b b X b X b X

eP

e

Pe

+ + + +

+ + + +

+ + + +

=+

⇔ =

⋯

⋯

⋯0 1 1 2 2

0 1 1 2 2

0 1 1 2 2

1

log1

logit( ) .

n nb b X b X b X

n n

n n

Pe

P

Pb b X b X b X

P

P b b X b X b X

+ + + +⇔ =−

⇔ = + + + + −

⇔ = + + + +

⋯

⋯

⋯

Terapan Logaritma

17

� Menyelesaikan persamaan:

0 ( , , 0)x

x

x c

ab c a b c

ab c

b

− = >

⇔ =

⇔ =

ln ln

ln ln ln

ln ln.

ln

x ca

x ca

b

b

x b c a

c ax

b

⇔ =

⇔ =

⇔ = −

−⇔ =

Turunan

18

� Turunan fungsi logaritmik:

� Secara umum dengan aturan rantai:

1ln ' .y x y

x= ⇒ =

1ln ( ) ' '( )

( )y g x y g x

g x= ⇒ = ⋅

� Turunan fungsi eksponensial:

� Secara umum:

( )g x

1ln ' 1 ' .x x

y e y x y y y ey

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =

( ) ( )' '( ).g x g xy e y e g x= ⇒ =

Penurunan Logaritmik

19

� Perhatikan bahwa:

( ) ( )

ln ln ( ) ln ( )

1 1 1' '( ) '( )

( ) ( )

1 1

y f x g x

y f x g x

y f x g xy f x g x

=

⇒ = +

⇒ = +

( )( )

ln ( ) ln ( )

1 1' '( ) ln ( ) ( ) '( )

( )

1

g xy f x

y g x f x

y g x f x g x f xy f x

=

⇒ =

⇒ = +

1 1' '( ) '( ) .

( ) ( )

( )

( )

ln ln ( ) ln ( )

1 1 1' '( ) '( )

( ) ( )

1 1' '( ) '( ) .

( ) ( )

y y f x g xf x g x

f xy

g x

y f x g x

y f x g xy f x g x

y y f x g xf x g x

⇒ = +

=

⇒ = −

⇒ = −

⇒ = −

1' '( ) ln ( ) ( ) '( ) .

( )y y g x f x g x f x

f x

⇒ = +

Penurunan Logaritmik

20

� Contoh: Tentukan dy/dx dari

2 2

2

,

3sin,

( 1)(2 1)

xy x e

xy

x x

=

=+ −

3

2

2 2

2 2

( 1)(2 1)

( ) ,

ln( ).

x x x

y

x x

y x e

x y e x y

−

+ −

= +

− = −

Terapan Ekonomi

21

� Penyimpanan anggur: Nilai penjualan anggur (wine) V setelah

disimpan selama t tahun diberikan oleh

dengan K konstanta dan r tingkat bunga. Tentukan t yang

memaksimumkan V.

( ) ,t rtV t Ke e

−=

memaksimumkan V.

� Pemanenan kayu: Nilai penjualan kayu (timber) V setelah t

tahun diberikan oleh

Tentukan waktu pemanenan kayu yang memaksimumkan V.

( ) 2 .t rtV t e

−=