41

5. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE SISTEMAS

MULTICUERPO

Para definir completamente el sistema multicuerpo del modelo se comienza por

describir los parámetros antropométricos utilizados para la implementación de los datos

experimentales. Seguidamente se define la formulación matemática para la cinemática, tanto

para la resolución del problema cinemático consistente como inconsistente y se describen las

dos formulaciones para la cinética que aplicaremos al modelo. Primero, se define la resolución

del problema dinámico por equilibrio de fuerzas y en segundo lugar la resolución por

multiplicadores de Lagrange, que incluyen los pares cinemáticos en las articulaciones.

5.1. PARÁMETROS ANTROPOMÉTRICOS

La cinética del cuerpo se determina a partir de la cinemática, pero para ello deben

conocerse determinados parámetros. La masa, momentos de inercia y las posiciones de los

centros de masa deben quedar definidos para poder calcular las fuerzas y momentos aplicados

en el modelo. Para definir estos parámetros debemos conocer determinadas medidas físicas,

que dependen de la raza, edad sexo y condición física del sujeto.

En nuestro proyecto se estudian niños de entre 5 y 8 años de ambos sexos. A pesar de

que las medidas antropométricas de los niños no son idénticas a las de los adultos, nos

guiaremos a partir de los datos de adultos al no poseer información exacta para infantes.

Tomaremos pues las medidas aportadas en [21].

Para la resolución del problema dinámico inverso, las fuerzas inerciales de cada

segmento deben ser calculadas. El origen de cada segmento se coloca sobre su centro de

masa, siendo las relaciones entre los segmentos y las posiciones de los centros mostradas en la

Muestra de datos antropométricos masculinos [21]Figura 31 [3].Para la resolución del

problema dinámico inverso se tomaron los parámetros proporcionales de adultos, tanto

masculinos como femeninos, como se muestran en laFigura 31.

Masa

Al separarse el modelo y resolver el problema dinámico inverso en cada segmento por

separado, se debe considerar la masa propia de cada uno. Por ello, se aproxima la masa de

cada segmento independiente como un porcentaje del total de la masa del cuerpo.

42

Figura 31. Centros de masas del modelo, caso de sujeto varón [3]

Momentos de inercia

Los ejes principales en anatomía son la intersección entre los planos frontal,

transversal y frontal del cuerpo. Los ejes principales de inercia en mecánica son aquellos cuyos

productos de inercia son nulos. Los ejes principales de inercia y los anatómicos no tienen

porque coincidir, pero el error cometido al considerarlos coincidentes es muy pequeño. Esto es

posible ya que la pelvis, muslos y piernas son simétricos en dos planos, sagital y frontal [21].

Figura 32. Muestra de datos antropométricos masculinos [21]

43

5.2. CINEMÁTICA DEL MODELO

Para la definición de las ecuaciones se sigue una formulación cartesiana, donde el

vector de posición consta de las coordenadas de translación y rotación de cada segmento:

Los vectores y

representan respectivamente las tres coordenadas de traslación

y cuatro de orientación del segmento , quedando este definido por siete coordenadas

independientes. Estas siete coordenadas se encuentran en el sistema global de referencia del

laboratorio. Las tres coordenadas de traslación son las que representan el movimiento del

sistema de referencia local fijo del segmento.

La orientación del segmento queda definida mediante la matriz de rotación . Esta

matriz de rotación queda definida totalmente por los cuatro parámetros de Euler del

segmento [12]. El uso de los parámetros de Euler puede simplificar enormemente los cálculos

matemáticos ya que permite evitar configuraciones singulares. La orientación del segmento a

partir de los parámetros de Euler resulta:

Siendo las coordenadas de orientación de los 4 parámetros de Eurler. En posición

se utilizan las coordenadas de traslación, pero en velocidad y aceleración se usan los ángulos

de Euler. Tenemos cuatro parámetros de Euler, sin embargo sólo son necesarios tres

parámetros para definir la orientación en el espacio. El cuarto parámetro de Euler queda

definido por la siguiente restricción matemática:

44

Las velocidades y aceleraciones traslacionales se representan en coordenadas globales,

mientras que las velocidades y aceleraciones rotacionales se expresan en las coordenadas

locales de cada segmento (

). Los vectores de velocidad y aceleración quedan definidos

por los vectores de velocidad y aceleración de cada segmento:

Las variables que intervienen en la cinemática del modelo para cada segmento

resultan ser [3]:

Posición global del centro de masa .

Velocidad lineal global del centro de masa .

Aceleración global lineal del centro de masas .

Orientación angular del segmento .

Velocidad angular local del segmento

.

Aceleración angular local del segmento

.

Transformación de coordenadas

Para pasar las coordenadas de un sistema de referencia a otro se utiliza la matriz de

rotación mencionada anteriormente. Los vectores representados en el sistema local de

referencia se distinguirán mediante el apóstrofe ´. Tenemos entonces el vector de posición

en coordenadas locales pasa a coordenadas globales a través de la matriz [3].

Figura 33. Coordenadas globales y locales de un punto [3]

De forma que considerando el punto :

Siendo el vector de posición del centro de masas en coordenadas globales.

45

Cinemática de las articulaciones

Para analizar y comparar la cinemática de las articulaciones se utilizan los ángulos de

Euler, ya que resultan más fáciles de visualizar. Sin embargo, los ángulos ortopédicos, flexión,

abducción y rotación, permiten reflejar el movimiento de unos segmentos respecto a los otros

y son más utilizados en aplicaciones clínicas [3]. Se utilizan los ángulos ortopédicos, hallados a

partir de los parámetros de Euler para definir los ángulos producidos durante la marcha.

Adaptando la matriz de rotación a este sistema tenemos:

Y los ángulos ortopédicos resultan:

5.3. RESOLUCIÓN PROBLEMA CINEMÁTICO INVERSO

En primer lugar se resuelve en este apartado el problema cinemáticamente

inconsistente para velocidades y aceleraciones, sin aplicar las restricciones cinemáticas en las

articulaciones. En segundo lugar se resuelve el problema cinemáticamente consistente, donde

se aplican las restricciones por los pares esféricos en las articulaciones y se resuelve el

problema para velocidades y aceleraciones.

5.3.1. PROBLEMA CINEMÁTICAMENTE INCONSISTENTE

Como hemos visto anteriormente la posición de un punto P se define por:

De forma que la velocidad de dicho punto resulta [12]:

46

Siendo el vector de velocidad angular del segmento :

La aceleración del punto P resulta entonces [12]:

Siendo la aceleración angular del segmento :

5.3.2. PROBLEMA CINEMÁTICAMENTE CONSISTENTE

Revisando nuestro modelo, se tienen 4x7=28 variables en parámetros de Euler. Se

debe entonces resolver el problema para nuestras 28 incógnitas. Se tienen 3 pares de rotación,

de forma que hay 3x3=9 restricciones cinemáticas. Por otro lado existen 4 restricciones

matemáticas, asociadas a cada segmento, incluidas por los parámetros de Euler. Esto hace un

total de 13 ecuaciones de restricción sobre nuestro modelo.

Por otro lado se puede aplicar el Método de las restricciones direccionales añadidas

[12], bastante utilizado en los sistemas multicuerpo. Este método incluye una serie de

ecuaciones conductoras por cada grado de libertad, introduciendo cada variable direccional en

función del tiempo. Tenemos pues 4x3=12 restricciones angulares y 3 restricciones

traslaciones, que deben aplicarse sobre el sistema. Nuestro sistema se compone entonces de

28 incógnitas, con 28 ecuaciones en total, que hacen que el problema sea determinado.

Siendo el vector de las coordenadas direccionales y su función del tiempo

conocida. El sistema final de ecuaciones resulta:

47

5.3.2.1. Cinemática de las articulaciones. Restricciones

La cinemática de las articulaciones sigue la metodología expuesta en 5.2, aunque ahora

se deben incluir las restricciones añadidas en esta resolución al considerar las restricciones en

las articulaciones. Todas las articulaciones se modelan como pares cinemáticos, cuyos centros,

punto P, se definen como se indica en la Figura 34.

Figura 34. Articulación esférica entre el segmente i y el j [3]

Las ecuaciones algebraicas que definen la articulación son:

De esta forma los tres grado de libertad entre los dos segmentos quedan unidos por un

par esférico. Los vectores indican la posición del centro de gravedad en coordenadas

globales y indican la posición del punto P respecto del centro de gravedad en coordenadas

locales.

5.3.2.2. Velocidad y aceleración

Partiendo de las velocidades y aceleraciones ya calculadas en 5.3.1, se debe ahora

considerar el caso de las restricciones cinemáticas incluidas con las articulaciones. Para ello, se

aplica el Método de las restricciones direccionales añadidas [12] ya mencionado.

Diferenciando las ecuaciones del sistema:

48

En forma matricial:

El término

se corresponde con la matriz jacobiana del sistema y

con la

velocidad del sistema

.

Simplificando la matriz jacobiana anterior:

Siendo una matriz permutada no cuadrada. Finalmente la velocidad del sistema se

determina por:

Volviendo a derivar, se llega a las aceleraciones:

En forma matricial:

Siendo

la diferenciación numérica de

. Se vuelve a tener la matriz jacobiana

multiplicando, además el segundo miembro lo definimos como:

Simplificando:

49

5.4. RESOLUCIÓN PROBLEMA DINÁMICO INVERSO

En este apartado se resuelve el problema dinámico inverso por dos métodos

diferentes, utilizando ecuaciones de equilibrio y multiplicadores de Lagrange. En este proyecto

se usarán pares esféricos en todos los casos como aproximaciones a las articulaciones reales.

Para la resolución del problema dinámico inverso se toman únicamente 4 segmentos,

partiendo del pie hasta la cadera. Esto se debe a que únicamente poseemos datos de la pisada

de uno de los pies, por tanto el otro pie lo ignoraremos a la hora de resolver el problema.

En el primer método se consideran las articulaciones como contactos puntuales, donde

las fuerzas resultantes en la articulación desde un extremo son las fuerzas aplicadas del

siguiente segmento sin considerar las restricciones cinemáticas de las articulaciones. Esta

aproximación supone que las fuerzas absorbidas o ejercidas por los ligamentos o la propia

articulación se concentran en el centro de la misma y se transmiten a través del hueso. Este

método parte del problema cinemáticamente inconsistente.

En el segundo método se modelan las articulaciones como pares esféricos, teniéndose

entonces 12 restricciones angulares y 3 restricciones traslaciones. Este sistema parte del

problema cinemáticamente consistente y se compone por tanto de 28 incógnitas, con 28

ecuaciones en total, que hacen que el problema sea determinado.

5.4.1. FUERZAS EXTERNAS

Las fuerzas externas aplicadas en problema son las fuerzas de reacción en la pisada y

las fuerzas gravitacionales. Estas últimas, las fuerzas gravitacionales, no son más que los pesos

de cada uno de los segmentos, de signo vertical negativo. Las fuerzas de reacción en la pisada

son medidas mediante la plataforma de fuerza durante la captura de la marcha. Estas fuerzas

se suponen aplicadas en el centro de presión del segmento del pie. En la Figura 35. Fuerzas de

reacción en la plataforma de fuerza se aprecia una muestra de las capturas realizadas con la

plataforma.

Una vez conocidas las fuerzas de reacción, es posible hallar los momentos de reacción

mediante:

50

Figura 35. Fuerzas de reacción en la plataforma de fuerza

Siendo el vector de posición del centro de presión del pie:

5.4.2. RESOLUCIÓN POR EQUILIBRIO DE FUERZAS

En este caso, se toma cada segmento como un sólido libre con unas fuerzas y

momentos conocidos en un extremo y desconocidas en el otro, aplicando a cada segmentos el

principio d’Alembert. Se comienza computando desde el pie y subiendo a través de la pierna

hasta llegar a la cadera. Se representan todas las fuerzas y variables traslacionales en

coordenadas locales, mientras que los momentos y variables rotacionales se expresan en

coordenadas locales del segmento [1].

Figura 36. Esquema de fuerzas en el pie [1]

El caso del pie necesita una atención especial al resto de los segmentos, ya que se

debe considerar las fuerzas de reacción de la plataforma. Sin embargo, todos los segmentos se

0 20 40 60 80 100 120-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350Force Fg z

time [s]

Forc

e [N

]

Fx

Fy

Fz

51

resuelven mediante las mismas ecuaciones, aplicando la segunda ley de Newton para fuerzas y

momentos en cada segmento [1].

Figura 37. Esquema de fuerzas en el segmento i [1]

52

5.4.3. RESOLUCIÓN POR MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En esta resolución se aplican multiplicadores de Lagrange para resolver el problema

cinético consistente. En este caso se aplican las fuerzas externas vistas en el apartado 5.4.1

junto a las fuerzas de restricción añadidas por los pares cinemáticos en las articulaciones.

5.4.3.1. Fuerzas de restricción

En este modelo también se encuentran aplicadas las fuerzas de reacción en la

plataforma, así como las fuerzas gravitacionales. Además, se debe considerar también las

fuerzas de restricción aplicadas en las articulaciones dentro de las fuerzas externas ejercidas

sobre el segmento. Denominado a las fuerzas de restricción por el vector de 6

componentes aplicado sobre el segmento , el vector de las fuerzas de restricción aplicadas es:

Suponiendo que el movimiento de las articulaciones es sin fricción, el trabajo realizado

por las fuerzas de restricción en un desplazamiento virtual es nulo.

Y considerando este desplazamiento para las restricciones cinemáticas:

Diferenciando las ecuaciones dependientes de las independientes :

O de otra forma:

Incluyendo la combinación lineal existente entre las fuerzas y las restricciones

cinemáticas:

53

Siendo un vector independiente. Resolver el problema para es igual a resolverlo

para , siendo cualquier vector.

Se tiene entonces el vector de fuerzas en función de las restricciones cinemáticas y de

un multiplicador de Lagrange . Este multiplicador se divide entre las fuerzas de reacción en

las articulaciones y los momentos conductores, incluyendo también los momentos residuales.

5.4.3.2. Ecuaciones de la dinámica del movimiento

Un grupo de cuerpos formando un sistema mecánico puede plantearse como una serie

de cuerpos individuales conectados por articulaciones cinemáticas. Las fuerzas aplicadas por

cada articulación se denomina y el vector que reúne estas fuerzas junto con las fuerzas

gravitacionales y de reacción en la pisada la denominaremos . Las ecuaciones Newton-Euler

determinan el movimiento combinado de traslación-rotación de nuestro sistema de

segmentos. Las ecuaciones de Newton-Euler son:

Siendo la matriz inercial del segmento y su matriz de masa. Además y

son los momentos externos y momentos de reacción externa respectivamente. La aceleración

traslacional y la aceleración orientacional , junto con la velocidad orientacional

y las

fuerzas externas y de restricción

, completan los vectores integrantes del sistema.

Reuniendo términos, se puede simplificar el sistema:

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Igualmente se puede expresar las fuerzas externa y de restricción de la forma:

Pr otro lado, se tiene que se debe mantener la consistencia en velocidades y

aceleraciones para que todo el sistema se mantenga. Esto se consigue añadiendo la ecuación

vista anteriormente, de forma que todo nuestro sistema sea consistente.

Ahora ya sólo quedaría resolver el problema dinámico inverso, donde las fuerzas y

momentos de las articulaciones son nuestras incógnitas.

Las fuerzas en las articulaciones son calculadas directamente desde la ecuación

anterior, teniendo en cuenta que se comienza resolviendo por el pie y ascendiendo por la

pierna. Sin embargo, para hallar los momentos en cierta articulación se debe considerar los

momentos en la articulación anterior.

Siendo lo momentos en la articulación y

los momentos en la articulación

anterior. Por otro lado representa los momentos directores obtenido en el segmento

definido entre las articulaciones y .