27
1 5. Energetik der Elektronen 5.1 Elektrische Leitfähigkeit kondensierter Materie Flüssigkeiten Elektrolyte Isolatoren s 10 -6 10 -9 10 -12 10 -15 10 -18 10 -21 10 +6 10 +3 1 10 -3 W -1 cm -1 PVC Bernstein,Teflon Glimmer, Diamant Luft Glas NaCl Ge Si Graphit Cu Bi Salz- schmelzen Reines Wasser Metalle Feste Halbleiter Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Stoffe bei Raumtemperatur

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1

5. Energetik der Elektronen5.1 Elektrische Leitfähigkeit kondensierter Materie

FlüssigkeitenElektrolyte

Isolatoren

s

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

10-21

10+6

10+3

110-3

W-1cm-1

PVCBernstein,TeflonGlimmer, Diamant

LuftGlas

NaCl

GeSi

Graphit

CuBi

Salz-schmelzen

ReinesWasser

Metalle

FesteHalbleiter

Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Stoffe bei Raumtemperatur

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2

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+++

Ionenrümpfe

Leitungselektronen+++

+++

+++

+++

+++

+++

+++

+++

-

-

-

--

- - -

--

-

-

-

E

Valenzelektronen der Atome werden bei Metallen zu den Leitungselektronen· Bildung eines „Sees“ aus freien Elektronen· Elektronische Bindung, Elektronenleitung

Anteil der Ionenrümpfeam Kristallvolumen:Alkalimetalle: 10-20%Edelmetalle: 80-95%

Kraft F auf Leitungselektronen imElektrischen Feld E:

F = me·dv/dt = - eoE

dv = - eoE·dt/me

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3

5.2 Streuung der Elektronen im Kristall

streuendes Elektron

Kaum Elektron-ElektronStreuung!!!Pauli-PrinzipOber-

fläche

Versetzung Isotopenschwankung

Elektron-Phonon-Streuung

Konzentrations-schwankung

Leerstelle Zwischen-gitteratom

Mittlere freie Weglänge:Stromdichte j im elektrischen Feld: j = s EIn der Zeit ∆t zurückgelegte Wegstrecke: l = vF ∆tDefinition der elektrischen Stromdichte: j = - eo (N/V)∆v ∆v = - eo E l / (mevF)

Elektrische Leitfähigkeit:

s =Neo

2 lV me vF

Cu:l = 4·10-8 m (T=300 K)l = 0,4 cm (T=4 K)

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4

Bestimmung derLadungsträgerkonzentration N

Hall-Effekt in Metallen:

+ + + ++++

jx Ey

Bz

jx

Lorentz-Kraft:F = eo (v x B)

Hallfeld:Ey = Rh jx Bz

Hallkonstante:Rh = - (eo N / V)-1

+ 1,1351 Loch+ 1,136Al

+ 1,7801 Loch+ 1,774In

- 0,821 Elektron- 0,6Cu

- 2,6031 Elektron- 2,619Na

- 1,481 Elektron- 1,89Li

Rh(ber.) [10-24

CGS Einheiten]Ladungsträger/Atom

Rh(exp.) [10-24

CGS Einheiten]Metall

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5

5.3 Fermiverteilung der Elektronen

Freie Energie F des Elektronensystems:

Zahl der Permutationen bei der Besetzung der Zustände durch die Elektronen:

Chemisches Potential µ:

:

Elektronen: halbzahliger SpinPauli-Prinzip: jeder Energiezustand ist einfach besetzt.

System mit Einteilchenenergieniveaus Ei, Entartungsgrad gi für jedes Niveauund Besetzungszahl ni (ni ≤ gi)

Thermisches Gleichgewicht:

dF =∂F∂nii

 dni

Teilchenzahlerhaltung:

dnii

 = 0

F = U - TS; U = nii

 Ei; S = kB ln P

P =gi!

ni!(gi - ni)!i’ ; S = kB lngi!- lnni!- ln(gi- ni)![ ]

m =∂F∂ni

= Ei + kB T ln ni

gi-ni

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6

Gilt nur für Fermiteilchenmit halbzahligem Spin

T = 0K: µ = EF

EF: “Fermi-Energie”

Fermi-Dirac Verteilung

1 2 3 4 5 6 E/kB

f (E

,T) TF = EF/kB = 5·104 K

0 K 300 K5000 K

2 T1

f (E,T) =1

exp E-mkBT

+1

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7

5.4 Fermikante und Fermienergie

1

2

3

fE

de

de

fE

f(E,T

)

EEF

1

T = 0K: Alle Zustände E < EF besetzt.

Große mittlere freie Weglänge l und hohe Fermi-Temperatur TF ≈ 50 000 Knur quantenphysikalisch erklärbar.

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8

Zahl der Elektronen, die miteinander wechselwirken:

Fermi-Energie und -Geschwindigkeit des freien Elektronengases bei T = 0K.

WW nur mit jedem200 000 st Elektron!

de/EF ≈ eo|E| l /EF|E| = 1000 V/mEF = 10-18 Jl = 4·10-8 m

de/EF = 5·10-6

Beispiel: Cu

n = 8,5·1022 cm-3

kF = 1,36 ·108 cm-1

vF = 1,57 ·108 cm/sEF = 7,0 eVTF = 81 600 K

Ekin = p2/2 me

p = h k = me v

EF = h2

2 me

(3 #2 n)2/3

vF = h kF/me

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9

5.5 Zustandsdichte freier Elektronen

Schrödinger-Gleichung für ein Elektron im 3-dimensionalen Raum:

Periodische Randbedingungen

Lösung der Schrödinger-Gleichung: laufende ebene Wellen

Hohe Fermi-Energie:1.) Fermiteilchen (Pauli-Prinzip)2.) kleine Elektronenmasse3.) Elektronenzahldichte

-h2

2me

⋅∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ ⋅yk ( r ) = Ekyk ( r )

yk ( r + L, y, z ) =yk ( x, y , z )

yk = exp (i k·r) kx = 0; ±2π/L; ±4π/L

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10

kx

ky

kz

kF

F

Fermi-Fläche beider Energie EF

Zustandsdichte der Elektronen:

Energieeigenwerte:

Zahl der Zustände E ≤ EF

D(E)

E

T=0K

T>0K

EF

Ek =h2

2me

k 2 =h2

2me

( kx2 + k y

2 + kz2 )

N = 2 ⋅4p kF

3

3( 2p / L )3=

V

3p 2⋅ kF

3

D( E ) =dNdE

=V

2p 2⋅

2me

h2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

3 / 2

⋅ E1 / 2

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11

5.6 Elektronenwellen

Periodisches Gitterpotential0

U

r

Vakuum

Austrittsarbeita

LVakuum

x

y-2

x

y+2

y+

xkonstruktiv

destruktivl = 2a

a

x

y- ~ cos(p x/a)

y+

x~ sin(p x/a)

Elektronen-Interferenz

Laufende Welle

Aufenthaltswahrscheinschlichkeit

Verschiedene Energien für |y+|2 und |y-|2

· Energielücke bei k = n#/a (n=0,1,2..) · erlaubte Zonen (Energiebänder)· verbotene Zonen (Bandlücken)

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5.6 Brillouin-Zonen und Elektronenwellen

Brillouinzonen im dreidimensionalen Gitter:Streuung der Elektronenwellen am Rand der Brillouin-ZonenResonanz-Stellen l = 2 a/n oder |k| = n#/a

y+

2pa

pa

pa

2pa0

k1. Brillouin-Zone

2. Brillouin-Zone

3. Brillouin-Zone

E

∆E1 {

∆E2 { y-

y+

y-

a

E(k): Dispersionsrelation:Weit weg von ResonanzstellenE ~ k2 (freie Elektronen)In der Nähe der ResonanzstellenE(k) hängt vom GitterpotentialU(r) ab.Energielücke ∆E an den Resonanzstellen k = n#/a

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13

Anisotropie der Elektronenwellen im dreidimensionalen Gitter

[111]

[110]

[100]

Kubisch raumzentriertes Gittermit drei markierten Richtungen

Bloch-Funktionen in den dreiausgezeichneten Richtungen

Die gestrichelten Kurven entsprechen denZuständen freier Elektronen yk

(f) , die rot

durchgezogenen Kurven den für einbestimmtes Gitterpotential berechnetenZuständen der Elektronen yk = yk

(f) uk.

Wellenfunktion eines Elektronsim Gitter yk setzt sich zusammenaus freiem Elektronen-Anteil yk

(f)

und dem Gitterpotential uk:yk (r) = yk

(f) (r)· uk(r) =A·exp(ikr)· uk(r)yk (r): „Bloch-Funktionen“

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14

Anisotropie der Elektronenwellen im dreidimensionalen Gitter

[111]

[110]

[100]

Kubisch raumzentriertes Gittermit drei markierten Richtungen

Bloch-Funktionen in den dreiausgezeichneten Richtungen

Die gestrichelten Kurven entsprechen denZuständen freier Elektronen yk

(f) , die rot

durchgezogenen Kurven den für einbestimmtes Gitterpotential berechnetenZuständen der Elektronen yk = yk

(f) uk.

Wellenfunktion eines Elektronsim Gitter yk setzt sich zusammenaus freiem Elektronen-Anteil yk

(f)

und dem Gitterpotential uk:yk (r) = yk

(f) (r)· uk(r) =A·exp(ikr)· uk(r)yk (r): „Bloch-Funktionen“

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15

5.7 Energieniveaus, Zustandsdichte und Fermiverteilung

Emax

EF

E

Grund-zustand

w*, D, fF 0

fF(E,T = 0 K)

w*(Ei)

D(E)

fF = 1

Ei

fF(E,T > 0K)

Fermienergie:EF = h2(3#2n)2/3/me

EF = mevF2/2

Fermiverteilung:fF(E,T) = 1/(exp(E-µ)/kBT + 1)T = 0K: µ = EF

fF << 1 bzw. E >> kBT

BoltzmannverteilungfB (E,T) = 1/exp(E/kBT)

Emax: Bindungsenergie derElektronen im Kristall

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16

5.8 Spezifische Wärme der Elektronen

Analog zum Verfahren zur Bestimmung der spezifischen Wärme des Gitters

T << TF:

Zustandsdichte eines freien Elektronengases:

CVe =

dEe

dT

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

V

ªd

dTE ⋅ fF ( E,T ) ⋅ D( E ) dE

0

Emax

ÚÊ

Ë Á Á

ˆ

¯ ˜ ˜

V

D( E ) =( 2me )3 / 2

p 2 h3⋅ E

CVe ª

p 2

3D( EF )kB

2 T ªp 2

2nkB ⋅

TTF

≡ gT

Aus Messungen der spezifischen Wärme als Funktion der Temperatur beitiefen Temperaturen wird die elektronische Zustandsadichte D(EF) bestimmt.

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17

Beiträge der Elektronen undPhononen zur spezifischen Wärme;Zusätzliche Beiträge in:• amorphen Metallen• magnetischen Metallen

Gesamte spezifische Wärme eines kristallinen Metalls bei tiefen Temperaturen:

CV = gT + bT3; CV/T = g + bT2

g

LiNaKCuAgAlFeCoNi

1.71.72.00,690,661,354,984.987,02

2,31,51,11,371,021,610,010,315,3

Metall g exp g expg fEl(10-3 J mol-1K-2)

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18

5.9 Magnonen

Magnetische Überstruktur, durch elastische Neutronenbeugung nachgewiesen.

Strukturelle und magnetische OrdnungBeispiel: krz Eisen

parallele Ausrichtungen permanenter Spins

FerromagnetismusMagnetische Überstrukturen:

Beispiel: Antiferromagnetisches MnO

(311)

(311)

80 K, T < TN

293 K, T > TN

k' = k + G

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19

Wechselwirkung von N Spins S:

.(Heisenberg-Modell)

Grundzustand:

Uo = - 2 N J S2

Anregung von Spinwellenniederenergetisch

Magnetische Anregungen

Angeregter Zustand

U1 = Uo + 4 J S2

Quantelung der Spinanregungen:

Magnonen

U = - 2J S pp=1

N

 S p+1

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20

Zustandsdichte:

Quantisierung der Spinwellen:

Dispersionsrelation:

ka << 1

Bestimmung der Dispersionsrelation, Zustandsdichte und Energie analog zu Phononen:

hw = 2J S z - cos( k ⋅d )d

ÂÈ

Î Í

˘

˚ ˙ ; hw = ( 2J Sa2 )k 2

Ek = nk +12

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ ⋅ hwk ; nk = 0,1,2.......

g(w ) =1

4p 2⋅

h

2J Sa2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

3 / 2

⋅ w1 / 2

Verteilungsfunktion:

f ( E,T ) =1

exp( hw / kBT )-1

Magnonen sind Bosonen undgehorschen der Bose-Einstein Statistik!

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Änderung der Magnetisierung:

Blochsche T3/2 - Gesetz

Anzahl der bei der Temperatur T angeregten Magnonen:

nkk

 =1

4p 2

h

2J Sa2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

3 / 2w1 / 2

exp( hw / kBT )-10

Ú

nk

N Sk

 =DM( T )DM( 0 )

;DM( T )DM( 0 )

=0,0587

SQ⋅

kB T2J S

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

3 / 2

Verteilungsfunktion

Energie einer Mode

Zustandsdichte

U M = E ⋅ f ( E,T ) ⋅ g( E ) dE0

Emax

ÚEnergie der Magnonen UM

U M =N 3

4p 2⋅

( kB T )5 / 2

( 2J S )3 / 2⋅

x1 / 2

exp( x )-10

Ú ⋅ dx

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22

,

,

Inelastische Neutronenstruktur: · Dispersionskurven

Erhaltungssätze für Energie und Wellenvektor

h2 k 2

2 M n

=h2 k'2

2 M n

± hwk

k` = k+G±K

Akustische Phononen:K(w=0)=0Gleichphasige Schwingungenbenachbarter AtomeOptische Phononen:Gegenphasige Schwingungen Longitudinal Transversal

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23

5.10 Spezifische Wärme der Magnonen

experimentelle Bestimmung von a:· Austauschwechselwirkung J

CVM =

dU M

dT= 0,113kB ⋅

kBT

2J sa2

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

3 / 2 Spezifische Wärme isolierenderferromagnetischer Kristalle:

CV = CVM + CV

G

CVT-3/2 = a + bT3/2

0

40

80

120

160

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CVT

3/2

[erg

/cm

3/2 ]

T3/2 [K3/2]

Y3Fe5O12

Ni: J = 2,14·10-2 eV

J etwa um Faktor 2,4höher als in derMolekularfeld-Theorie(lokale Momente)berechnet · Modell desitineranten Magnetismus(Bänder-Modell)

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24

5.11 Niederenergetische Anregungen in amorphen MetallenP

oten

tial

U

verallgemeinerte Koordinate q

Zwei-Niveau-Systeme/Tunnelsysteme

|y|2

∆ V

-d

|1> |2>

+d

Eo

x0

y1 ≈ exp -a2(x+d)2

y1 ≈ exp -a2(x-d)2

Bei Überlappung der Wellenfunktionen:· Tunnelprozesse

y1-•

+•

Ú ⋅y2 dx = exp( -l ) ≠ 0

Eo = hwo ; Vo =1/ 2 mwo d 2

Tunnelparameter:l= (2m Vo d2/h2)1/2

Tunnelaufspaltung:∆ = hwo exp(-l)

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25

Beispiel: m = 100 AME, d = 0,5Å, ∆/kB = 100 mK, ∆/h = 2ns

Asymmetrisches Doppelmuldenpotential

e

Zwei-Niveau-System mit den Energien:E1/2 = ±(e2+∆2)1/2

Dichte der ZNS mit konstanterZustandsdichte P:

n( E,t ) = P( E,t ) =P 2t min

t max

Ú ln4t

t min

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

Jedes ZNS trägt mit einer Schootky-Anomalie zur spezifischen Wärme bei

CZNS ( T ,t ) =kB

rd

EkBT

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

0

Ú2

⋅exp( -E / kBT )

exp( -E / kBT )+1( )2

n( E,t )dE

=p 2

12kB

2 P ln4t

t min

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ ⋅ T ª

p 2

6kB

2 no ⋅ T

Amorphe Metalle: CV = Cvel + CV

ZNS + CVG = gT + aT + bT3

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26

5.12 Amorphe Supraleiter

T << TC: Kondensation der Quasi-Teilchen (Elektronen) in den supraleitendenGrundzustand · Elektronen sind vom Energieaustausch entkoppelt

Spezifische WärmeWärmeleitfähigkeit im Nullfeldund im Magnetfeld B

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27

5.13 Kalorimeter