INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE

PROBABILIDADES

Mg. Wilver Rodríguez López.Mg. Wilver Rodríguez López.

ProbabilidadProbabilidad

El concepto de probabilidad se encuentra con bastante frecuencia en la comunicación en el área de salud.

Ejemplos Un médico afirma que un paciente X tiene una probabilidad del 80% de sobrevivir a una operación.

Una fuente autorizada del Ministerio de Salud; declara a la

prensa de que en este verano hay 10% de probabilidad de que se desate una epidemia de cólera en la Capital.

¿Por qué es necesario aprender a ¿Por qué es necesario aprender a calcular probabilidades ?calcular probabilidades ?

La medicina es una ciencia inexacta por lo que el médico raras veces puede predecir un resultado con absoluta certeza.

Para formular el diagnóstico el médico debe contar con toda la información posible acerca del paciente. Por ejemplo debe :Revisar la historia clínicaRealizar un examen físico del pacienteSolicitar estudios de laboratorioResultados de rayos X, etc.

¿Por qué es necesario aprender a ¿Por qué es necesario aprender a

calcular probabilidades ?calcular probabilidades ?

Para cuantificar la incertidumbre y tomar decisiones, el médico se apoya en la teoría de las probabilidades

¿Por qué es necesario aprender a ¿Por qué es necesario aprender a

calcular probabilidades ?calcular probabilidades ?La teoría de probabilidades también permite al médico extraer conclusiones acerca de una población de pacientes basado en la información acerca de un una muestra extraída de esa población.

Este proceso se denomina inferencia estadística.

Conceptos básicos sobre Probabilidad

Un experimento aleatorio es aquel en que se conocen todos los posibles resultados, pero no se sabe cual va a ocurrir.

Ejemplo :

El nacimiento de un niño es un experimento aleatorio, se sabe que el niño puede ser varón o mujer , pero no se sabe cual será el resultado.

Conceptos básicos sobre Conceptos básicos sobre ProbabilidadProbabilidad

Al conjunto de todos los resultados posibles del experimento aleatorio se le llama ESPACIO MUESTRAL, y lo denotaremos por Ω

Un evento o suceso es uno o más de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se representa por letras mayúsculas: A,B,C,etc

EjemploEjemplo

Sea el siguiente experimento aleatorio «Observar el contagio de Sida en dos recién nacidos de una mujer portadora»

Ω={cc, cnc, ncc, ncnc}

cc: los dos fueron contagiados

cnc: contagiado el 1° , pero no el 2°

ncc: no contagiado el 1°, pero si el 2°

ncnc: los dos no fueron contagiados

Definamos el siguiente evento o suceso:

A: Al menos uno de los niños fue contagiado

A={cc, cnc, ncc }

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADESDE PROBABILIDADES

PROBABILIDADES Una probabilidad es una cuantificación

basada en técnicas matemáticas de la probabilidad de que ocurra un determinado suceso o cuento.

La probabilidad de la ocurrencia de un suceso puede asociarse a un número entre cero y uno e inclusive.

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADESDE PROBABILIDADES

La probabilidad es un concepto de gran importancia en la toma de decisiones.

La probabilidad es una medida de la incertidumbre inherente a todo suceso aleatorio.

CUANTIFICACIÓN DE LA CUANTIFICACIÓN DE LA PROBABILIDADPROBABILIDAD

El cálculo de la probabilidad se realiza siguiendo la clásica formulación de Pascal:

NCF: Número de casos favorables.

NCP: Número de casos Posibles.

NCPNCF

P

AXIOMAS DE LA AXIOMAS DE LA PROBABILIDADPROBABILIDAD

En todo espacio de probabilidad deben

cumplirse los siguientes axiomas: Si Ω es el espacio muestral de un

determinado experimento aleatorio,

P( Ω ) = 1

Ω : Es suceso seguro

AXIOMAS DE LA AXIOMAS DE LA PROBABILIDADPROBABILIDAD

Si A es un suceso perteneciente a un determinado experimento, 0≤P(A)≤1.

Dado un espacio muestral finito y una sucesión de sucesos A1, A2, … ,An

mutuamente excluyente, entonces:

P(A1 U A2 U …. U An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)

REGLA GENERAL DE LA REGLA GENERAL DE LA ADICIÓNADICIÓN

Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces :

P (A∪B) = P (A) + P (B) - P (A∩B)

Ejemplo:Ejemplo:Se estima que el 10% de los habitantes de un país padecen de hipertensión arterial (A), y el 20% padece de hiperlipemia (B), el 7% son hipertensos e hiperlipémicos (A∩B).

¿Cuál es la probabilidad de que un individuo no tenga hipertención arterial?

¿Cuál es la probabilidad de que un individuo no tenga hiperlipemia?

¿Cuál es la probabilidad de que un individuo tenga almenos una de las dos enfermedades?

Solución.Solución.

Datos del problema:

P(A) = 0.1 P(B) = 0.2 P(A ∩B) = 0.07

_

a) P(A) = 1- P(A) = 1- 0.1= 0.9

_

b) P(B) = 1- P(B) = 1- 0.2= 0.8

c) P(AUB)=P(A) +P(B) -P(A ∩B) = 0.1+0.2-0.07

= 0.23

PROBABILIDAD CONDICIONALPROBABILIDAD CONDICIONAL

Si A y B son dos sucesos con P (A) > 0, la probabilidad de que ocurra otro suceso B sabiendo que ha ocurrido A, es decir, la probabilidad condicionada de B dado A que se denota por P( B /A ), es igual a:

APBAP

ABP

Ejemplo:Ejemplo: En una población el 2% de sus habitantes son

mayores de 55 años y el 1% padecen diabetes y tiene más de 55 años. Si un individuo tiene más de 55 años ¿Cuál es la probabilidad de que tenga diabetes?

A: La persona tiene más de 55 años.

B: La persona tiene diabetes.

5.0

02.001.0

APBAP

ABP

TEOREMA DE LA TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓNMULTIPLICACIÓN

Teniendo en cuenta la definición de la probabilidad condicionada:

ABPAPBAP .

APBAP

ABP

Ejemplo:Ejemplo:

En un servicio de medicina interna el 40% de los pacientes ingresados es a causa de enfermedades infecciosas (A). La probabilidad de que un paciente sea diabético (B), sabiendo que tiene una infección, es del 25%.

Calcular la probabilidad de que un paciente ingresado en un servicio de medicina interna sea diabético y tenga una infección (A∩B)

Solución:Solución:

Datos:P(A) = 0.4 P(B/A) = 0.25Por la regla de la multiplicación tenemos:

= ( 0.4 ) ( 0.25 )

= 0.1

ABPAPBAP .

INDEPENDENCIA DE SUCESOSINDEPENDENCIA DE SUCESOS

Desde un punto de vista formal, se puede decir Desde un punto de vista formal, se puede decir que A y B son sucesos independientes si la que A y B son sucesos independientes si la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B, probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B, no sufre modificaciones desde el punto de no sufre modificaciones desde el punto de vista matemático esto se expresa de la vista matemático esto se expresa de la siguiente manera:siguiente manera:

P(A/B) = P(A)P(A/B) = P(A)

INDEPENDENCIA DE SUCESOSINDEPENDENCIA DE SUCESOS

BPBAP

BAP

)(APBP

BAP

)().( BPAP

BAP

Ejemplo:Ejemplo:

En un centro sanitario de los pacientes intervenidos quirúrgicamente el 25% tiene alguna complicación postquirúrgica (A), el 50% tiene mas de 60 años (B), y el 60% tiene mas de 60 años o ha padecido alguna complicación postquirúrgica (B∪A).

¿Los sucesos, tiene mas de 60 años y padece alguna complicación postquirúrgica, son independientes?

SoluciónSoluciónDatos:P(A) = 0.25 P(B) = 0.5 P(B∪A) = 0.6Sabemos que: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 0.6 = 0.25 + 0.5 - P(A∩B) P(A∩B) = 0.25 + 0.5 – 0.6 = 0.15Se debe cumplir que: P(A∩B) = P(A) . P(B) 0.15 ≠ 0.25 x 0.5Por lo tanto los sucesos son dependientes.

TEOREMA DE BAYESTEOREMA DE BAYES

Supongamos que se dispone de una colección de conjuntos A, B, C que forman una participación de un espacio muestral Ω. Esto significa que Ω = AUBUC y además

BA CBBA

Una vez establecida la participación del Una vez establecida la participación del espacio muestral espacio muestral ΩΩ, dado un conjunto W, , dado un conjunto W, sub conjunto de sub conjunto de ΩΩ, se cumple que:, se cumple que:

Esto se puede generalizar para más Esto se puede generalizar para más subconjuntos de subconjuntos de ΩΩ, para que cumplan las , para que cumplan las condiciones inherentes a la participación.condiciones inherentes a la participación.

CWPCPB

WPBPAWPAP

AWPAP

WAP

...

Ejemplo:Ejemplo:

En una ciudad hay tres servicios hospitalarios que realizan trasplantes de riñón A, B y C. el servicio A realiza el 40% de los trasplantes, el servicio B al 25% y el servicio C el 35%. El servicio A tiene un 3% de fracasos, el servicio B un 4% y el servicio C un 5% se selecciona al azar un paciente en el que el trasplante ha fracasado ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido operado en el servicio A?

35.0)(25.0)(4.0)( CPBPAP

05.004.003.0 CWPB

WPAWP

WAPpideSe

304.0

)05.0(35.0)04.0(25.0)03.0(4.0)03.0(4.0

).().().(

).(

WAP

WAP

CWPCPB

WPBPAWPAP

AWPAP

WAP