45886173 Odabrana Poglavlja Iz Matematike

MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA

MATEMATIČKA INDUKCIJA, FUNKCIJE, IZVODI

B A H R U D I N H R N J I C A

B I H A Ć 1 9 9 6 , R E P R I N T 2 0 1 0

2 Bahrudin Hrnjica

MATEMATIKA ODABRANA POGLAVLJA www.bhrnjica.wordpress.com

2

3 Predgovor Bahrudin Hrnjica


3

PREDGOVOR

nspirisan jednim skromnim iskustvom u prenošenju znanja mojim prijateljima i kolegama na fakultetu, odlučio sam da pokušam napisati ovaj tekst, u kojem sam obradio na nestandardan način neke teme iz područja matematike, a koje se studiraju

na prvoj godini Mašinskog fakulteta u Bihaću. Gotovo sve knjige iz matematike tako strogo obrađuju teme kao što i sama matematika to zahtijeva. Pokušao sam sebi dati malo slobode da na jedan nestandardan način potenciram i obradim neke detalje koji površno gledajući ne zahtijevaju mnogo paţnje, a temelj su u stvaranju prave slike i rasuđivanja u matematici. Mnogi studenti dobijaju komplekse i razne male „traume“ kada ugledaju te silne teoreme, te matematičke simbole i zadatke. Koristio sam jedan, više simbolički način u rješavanju zadataka, a ne odstupajući od standarda rješavanja. Na taj način ţelio sam pribliţiti i dati više hrabrosti studentima da se upuste u proučavanje te tako neophodne grane nauke i objasniti sve te strogo definisane zakone kroz jednu vrstu humora sa puno simbolike, a koji u biti ostaju tamo gdje su uvijek pripadali – u matematici. Protekli rat je učinio da mnogi studenti koji pohađaju I godinu nisu dolazili u dodir sa mnogim stvarima iz matematike, koje se obrađuju u srednjim školama. Kada jedan takav ratni srednjoškolac počinje da susreće sve te maloprije navedene stvari, pada u jednu vrstu averzije prema matematici bez koje nikako ne moţe da napreduje. Averzija i strah od matematike u studentu ţivi cijelo vrijeme i jednostavno ga koči. U takvom stanju student postaje fobičan na svaku novu informaciju. On tada traţi druge putove spoznaje: drţi se strogih šablona uči napamet određene teoreme i formule, jednostavno vodi jednu ogorčenu bitku s matematikom. Prvo poglavlje koje se obrađuje je matematička indukcija- vrlo jednostavna ali potpuno imaginarna metoda rješavanja problema. Ukoliko se ne razjasni u detalje, njeni opći principi vrlo je teško spoznati. Poglavlje detaljno objašnjava postupke, metode i korake rješavanja. Obrađuje osnovne tipove zadataka koje rješavamo matematičkom indukcijom. Drugo poglavlje govori o funkcijama jednom od osnovnih pojmova u matematici. Daje detaljan pregled osnovnih elementarnih funkcija realne promjenjive u matematici, njene osnovne teoreme, grafove, tokove. Poglavlje, također, daje osnovne teoreme vezane za funkcije. Treće poglavlje obrađuje Izvode funkcija koji su vrlo vaţni za daljnje napredovanje u matematici te su detaljno prikazani izvodu osnovnih funkcija i urađeno nekoliko zanimljivih zadataka iz ovog poglavlja. Prije nego što počnete čitati prve stranice ovog teksta, neka mi ne zamjere svi oni koji smatraju ovo nečim što ne pripada ovoj temi. Moj jedini cilj je u tome da ovaj djelić matematike bude lakše shvatljiv svima onima koji zbog rata to nisu dobili. Bihać, Decembra 1996. Bahrudin Hrnjica

I



4

Sadržaj Predgovor ................................................................................... 3

Matematička indukcija ....................................... 6 11.1 Teorija o matematičkoj indukciji ...................... 7 1.2 Primjer primjene matematičke indukcije....... 10 1.3 Zadaci za praktičnu primjenu matematičke indkucije 13 1.4 Zadaci za samostalan rad uz povremeno gledanje rješenja 27 1.5 Rješenja zadataka za samostalan rad .............. 29

Funkcije .............................................................. 31 2

2.1 Pojam funkcije................................................... 32 2.2 funkcije jedne nezavisno promjenjive ........... 33 2.2.1 Način izražavanja funkcije ................................... 34 2.2.2 Osobine funkcije .................................................... 35 2.2.3 Inverzina funkcija ................................................. 43 2.2.4 Složena Funkcija .................................................. 45 2.2.5 Funkcija zadana u parametarskom obliku ............ 46 2.3 Pregled osnovnih elementarnih funkcija ....... 48 2.3.1 Nešto iz historije ................................................... 48 2.3.2 Linearna funkcija (jednačina pravca) ..................... 52 2.3.3 Kvadratna funkcija ............................................... 53 2.3.4 Kubna funkcija ..................................................... 54 2.3.5 Stepena funkcija .................................................... 54 2.3.6 Eksponencijalne funkcije ....................................... 55 2.3.7 Logaritamska funkcija .......................................... 56 2.3.8 Hiperbolne funkcije ............................................... 57 2.3.9 Trigonometrijske funkcije....................................... 60 2.3.10 Arkus funkcije ...................................................... 60

Izvod funkcije.................................................... 63 3

3.1 Povijest izvoda .................................................. 64 3.1.1 Konstrukcija tangente ............................................ 64 3.1.2 Srednja i trenutna brzina ...................................... 67 3.2 Pojam IzvodA funkcije .................................... 68 3.3 Izvodi Elementarnih Funkcija ........................ 70 3.3.1 Izvod algebarskog zbira dvije funkcije .................... 73 3.3.2 Izvod prooizvoda i količnika dvije funkcije ............ 74 3.3.3 Izvodi trigonometrijskih funkcija ........................... 78 3.3.4 Izvod inverzne funkcije .......................................... 80 3.3.5 Izvod hiperbolnih funkcija ..................................... 84 3.3.6 Tablice pravila i osnovnih izvoda ........................... 86 3.4 Diferencijal funkcije ......................................... 87 3.5 Geometrijska interpretacija direfencijala ....... 90 3.6 Izvod drugog i viših redova ............................ 94 3.6.1 Izvodi funkcija datih u parametarskom obliku ...... 98 3.6.2 Mehanička interpretacija drugog izvoda ................. 99 3.6.3 Diferencijali višeg reda .........................................100



5

6 Matematička indukcija Bahrudin Hrnjica


6

MATEMATIĈKA INDUKCIJA 1



7

1.1 TEORIJA O MATEMATIĈKOJ INDUKCIJI

eki studenti i srednjoškolci pri prvom susretu sa matematičkom indukcijom dobiju nekakav, nazvao bih »induktivni otpor« u moţdanoj zavojnici. Radi smanjivanja i potpunog uklanjanja induktivnog otpora predlaţem vam slijedeće.

» Zaboravite sve što ste znali, do sada, o Principu matematiĉke indukcije!«.

Kada ste obrisali i uklonili sve moţdane vijuge glede matematičke indukcije, uvest ću vas u nju jednim drugim u biti istim putem. Prije nego što krenem u tu čudesnu i nevjerovatnu stvarnost ispričat ću vam priču ko je kriv za to što nemate sna, i za sve noćne more koje dobijate od matematičke indukcije. Sve je počelo ne tako davno, negdje blizu 20-tog stoljeća, kada je L. Peano ljetovao oko Venecije. U to doba dosta se govorilo o brojevima, posebno na gradskim trgovima i pijacama. Ali Peana, kao matematčara, nije zanimalo koliko šta košta, nego nešto sasvim drugo. On je razmišljao o tome kako sve te brojeve, koji su tako često u razgovoru i upotrebi, definiše i zasnuje na matematičkim osnovama, odnosno kako brojeve definisati pomoću jednog zatvorenog neproturječnog i konačnog skupa aksioma. Jednog dana tako je i bilo...

Definicija 1:

Skupom Prirodnih bojeva zovemo svaki skup N za ĉija ma

koja dva elementa i postoji odnos da slijedi poslije , i koji zadovoljavaju slijedeće aksiome.

Aksioma 1: 1 je prirodan broj. ( To je revolucionarno otkriće koje je mali korak za ljude sa trga, a veliki za Peana)

Aksioma 2: Svaki prirodan broj ima svoj slijedeći broj .

Aksioma 3: . (Ili, jedan nije slijedeći broj ni za koji prirodan broj)

Aksioma 4: . Dva prirodna broja su jednaka ako su im jednaki njihovi sljedeći brojevi.

Napomena: Ova aksioma proizašla je nakon napornog rada na njivi gdje je Peano brao tek sazreli limun. »I limun je žut, zar ne«.

N



8

Peta Peanova aksioma - poznata je pod nazivom »Noćna mora«. Aksioma zbog koje vi ne spavate, ne jedete, aksioma koja je frustrirala najviše studenata od svih Peanovih aksioma. Njen treći naziv je u narodu poznat pod imenom AKSIOMA INDUKCIJE.

Aksioma 5:

1.

2. ako postoji prirodan broj , pa također i njegov

. Tada M sadrži sve prirodne brojeve tj. M je identiĉan sa skupom prirodnih brojeva.

Nešto nije jasno? Da to je Aksioma indukcije. Šta, buni vas to što se spominju nekakvi skupovi M i N. Pa lijepo sam vam rekao da zaboravite sve što ste znali o matematičkoj indukciji. Zadnja Peanova aksioma definiše matematićku indukciju. Moţda vam sad ništa nije jasno, ni matematička indukcija ni Peanovi aksiomi. Moţda vam je jedino jasno zašto je limun ţut. Tako sve počelo ( mislim na noćne more i branje limuna). To je bio čovjek koji je za sve kriv tj. definisao je matematičku indukciju. Reći ću vam nešto u povjerenju: Tu priču sam i ja čuo. Meni je bilo lakše, a vama? Peta Peanova aksioma ili Aksioma indukcije modificirana je u teoremu. No prije nego je izloţim pročitajte slijedeći primjer: Zamislite da ste u vinskom podrumu i morate provjeriti kvalitet u 10 000 buradi. Jedino što vlasnik ţeli od vas jeste da ga trijezni izvijestite da li je vino u svim buradima istog kvaliteta u roku od 15 minuta. Sada kada je pred vama jedan gotovo nerješiv problem, ne klonite duhom. S takvim i sličnim situacijama priskače u pomoć 'noćna mora', hoću reći matematička indukcija. Način na koji bi riješili ovakav problem sastoji se u sljedećem. Probajte prvih nekoliko buradi s vinom. Uvjerite se da je vino istog kvaliteta. Sada 'uzmite' nasumice izabrano bure i pretpostavite da je vino zadanog kvaliteta (moţete te ga čak i probati). Tada ispitajte vino u sljedećem buretu. Ako je ocjena ista kao kod pretpostavljenog bureta, moţete otići vlasniku i obavijestiti ga da ste riješili problem odnosno da je vino istog kvaliteta. Vlasnik će vam povjerovati jer poznaje princip matematičke indukcija.

Napomena

Ni u kom slučaju nemojte popiti previše vina.

Ovo ne morate čitati

U matematici postoje dva načina rasuđivanja: Deduktivno Induktivno



9

Deduktivni naĉin rasuđivanja vodi do toga da morate probati vino u svim buradima i onda tako pijani date izvještaj vlasniku o kvalitetu vina u buradima. Drugim riječima dedukcija je način rasuđivanja u matematici koji se bazira na tome da sve pojedine zaključke dobijamo iz jednog općeg zakona.

Induktivni naĉin zakljuĉivanja, koji smo već prezentirali u primjeru, vodi do toga da pojedinačnim zaključivanjema dolazimo do jednog općeg zaključka.

Ako se sada svo to vino i burad zamijeni sa prirodnim brojevima dobijamo: princip matematičke indukcije.

Definicija 2:

Ako neka tvrdnja , koja zavisi od prirodnog broja , vrijedi za prvih nekoliko prirodnih brojeva, te ako iz

pretpostavke, da vrijedi za neki prirodni broj tvrdnja

vrijedi i za , pomenuta tvrdnja vrijedi za sve

prirodne brojeve odnosno za svaki prirodan broj .



10

1.2 PRIMJER PRIMJENE MATEMATIĈKE INDUKCIJE

Za početak riješit ćemo jedan primjer. Sljedeći primjer je najjednostavniji primjer koji se rješava pomoću matematičke indukcije. Doista, jednostavnijeg primjera nema. Primjer je toliko jednostavan da ga ne moţemo zvati zadatak.

Primjer 1:

Potrebno je provjeriti da li:

vrijedi za sve prirodne brojeve.

(1.1)

Dokaz:

Prije samog početka vratite se na definiciju matamatičke indukcije. Nakon što ste još jednom pročitali definiciju, pročitajte je još jednom, i obratite paţnju na prvi dio rečenice. Definicija teoreme kaţe da svaku trvdnju, bilo ona u obliku primjera, ili zadatka, teoreme ili vinskog podruma– potrebno je provijerili validnost tvrdnje za prvih nekoliko prirodnih brojeva. Uzmimo da je n=1.

Sada se dešava sljedeće (pošto je ):

vidimo da, ako izračunamo desnu stranu, dobijamo: . To znači da početna tvrdnja (1.1) vrijedi za prvi prirodan broj, što ne povlači da vrijedi

ako je , u to se moramo uvjeriti.

Ako je , primjer se svodi na:

odnosno,

Vidimo da je tvrdnja (1.1) tačna i za n=2. Sada moţemo preći na drugi korak jer nema smisla provjeravati dalje pojedinačno validnost tvrdnje primjera 1. Međutim, ako se radi o vinskim buradima provjerava se najmanje prvih deset. Pošto ste savladali prvi korak predlaţem da pročitate ponovo definiciju matematičke indukcije i obratite paţnju na drugi dio rečenice tj. 'ako iz pretpostavke da vrijedi na n=k ...'.

Ovo znači da moramo izabrati neki prirodan broj , znači bilo koji. Pošto je bilo koji, to

ne moţemo reći da je primjerice , ili . Samim tim mi se nismo ograničili na određeni.

Pretpostavimo da za bilo koji vrijedi tvrdnja (1.1). Na matematičkom jeziku zadnja rečenica izgleda sljedeće:



11

(1.2)

Sada pročitajte ponovo definiciju i paţnju stavite na zadnji dio rečenice 'tvrdnja vrijedi

za . To znači da moramo dokazati da tvrdnja vrijedi za iz pretpostavke (1.2). U stvari mi sebi nešto pretpostavimo da bismo s tom pretpostavkom nešto dokazali. To je isto kada moramo pretpostaviti da će vino poteći iz bureta prije nego natočimo čašu, inače ne bi ni otvarali bure. Ovo je najbitniji momenat procedure dokazivanja baziranog na matematičkoj indukciji. Treći dio najjednostavnije moţemo riješiti ako se pravimo da ništa ne znamo. Napišimo pretpostavku:

(1.3)

U pretpostavku moramo uključiti sljedeći broj broja tj. jer to definicija zahtjeva od nas. Ako sada, pošto ništa ne znamo, imamo na umu da jednoj ekvivalentnosti (bilo ona pretpostavljena ili ne) moţemo dodati isti broj sa lijeve i desne strane i da ona i tada ostaje nepromijenjena (identična), tada smo primjer dokazali. Kako? Dakle dodajmo lijevoj i desnoj strani sljedeći broj broja k. Broj koji je dodan je boldiran. Dobijamo:

(1.4)

Sada je potrebno lijevu i desnu stranu izmanipulisati tako da, gdje je god stajao broj k,

mora biti sljedeći broj . Jedino u takvom slučaju zadovolji ćemo definiciju (1.1), odnosno onog tipa iz Italije.

Pogledajmo lijevu stranu izraza (1.4). Tamo je bio na posljednjem mjestu u jednakosti

(1.2), sada stoji . Znači tu smo odradili posao. Na desnoj strani imamo:

Postupit ćemo kao da se ništa ne dešava i uradit ćemo sve ono što se moţe uraditi na

tako „oskudnoj“ desnoj strani. Sabraćemo razlomak sa . Imamo:

Izvlačenjem zajedničkog člana u brojniku dobijamo sljedeće:

odnosno,

lijeva strana desna strana



12

[ ]

(1.5)

Promatrajući desnu stranu uočavamo da, gdje je god bio broj i sada stoje sljedeći

brojevi: i (odnosno ). A to znači da smo iz pretpostavke

dokazali da tvrdnja vrijedi za prirodan broj. Po posljednji put pročitajte definiciju, a paţnju usmjerite prema zadnjoj odnosno drugoj rečenici: 'Tvrdnja vrijedi za svaki prirodan broj'. Ako definicija kaţe tako onda budite sigurni da ste stvarno dokazali primjer 1. Ako ne vjerujete u to, predlaţem vam da odete na pusto ostrvo sa šleperom papira i hrane, te

polako krenite od . Ostatak ţivota ćete sigurno potrošiti dokazujući tvrdnju deduktivno, a moţda ćete dospjeti i do naslovnica svjetskih časopisa pod naslovom 'Čovjek sa pustog ostrva izmišlja toplu vodu'. Ako ste shvatili prethodni primjer predlaţem, vam da odete u podrum i probate vino u 11-tom buretu.



13

1.3 ZADACI ZA PRAKTIĈNU PRIMJENU MATEMATIĈKE INDKUCIJE

Zadatak 1:

Dokazati primjenom matematiĉke indukcije da:

vrijedi za sve prirodne brojeve.

(1.6)

Dokaz:

Čim pogledamo zadatak primjetit ćemo da je lijeva strana zbir prvih neparnih brojeva (desna strana je njihova vrijednost).

Ako je dobijamo,

, tj.

, tj.

Pretpostavimo da je za tvrdnja (1.6) tačna odnosno da je:

(1.7)

Smatrajući da su prva dva koraka razumljiva problem predstavlja korak 3, odnosno da iz

pretpostavke (1.7), dokaţemo da tvrdnja vrijedi i za , što definicija hoće „reći“, da dokaţemo da tvrdnja vrijedi i tada kada ubacimo u zbir i sljedeći neparni broj od broja

, odnosno .Lijevoj i desnoj strani dodajemo broj .

Moţda se pitate: Zašto baš ? Zašto nije neki drugi, ljepši broj? Pa jednostavno zato što je limu ţut, tj. pošto definicija traţi od nas, da stavimo u glavnu

ulogu broj .

Kod postavljanja u glavnu ulogu broja , morate ići na to da što jeftinije prođete s tim glumcem. Hoću reći da morate biti što ljenji glede rješavanja matematičkih zadataka.

Broj je sljedeći broj od broja . Evo zašto: Kada u broj , umjesto

stavimo sljedeći broj tj. imamo:

Pretpostavimo:

Prije nekoliko godina, vjerojatno kroz neku maglu prisjećate se 8 razreda kada vam je nastavnik govorio da je:



14

Zbog tog razloga desna strana jednakosti (1.8) poprima oblik:

Ponovo ista situacija kao i u primjeru. Gdje je god stajao broj , sada stoji broj . Zaključak se svodi na primjer. Po principu matematičke indukcije naš zadatak 1 je dokazan.

Savjet

Kod bilo kojeg rješavanja ovakvih tipova zadataka uvijek kod trećeg koraka idemo na to da kada dodamo neki broj dodajemo uvijek sljedeći u nizu na lijevoj strani (na strani gdje je suma). Tada više posla sa lijevom stranom nemamo, samo je (lijevu stranu jednakosti) vučemo za sobom i sređujemo desnu stranu.

Vidjeli ste kako se neke sume dokazuju primjenom matematičke indukcije. Međutim, postoji mnogo tipova drugih zadataka koji se rješavaju ovom metodom. Pokušaću vam objasniti kako se djeljivost nekog broja moţe dokazati ovom metodom (matematičkom indukcijom). Također, krenut ćemo od jednog primjera.

Primjer 2:

Dokazati da je

djeljivo sa 2 za sve prirodne brojeve.

(1.8)

Dokaz: Ako ste zaboravili definiciju (postupak) matematičke indukcije pročitajte je. Provjeravamo tvrdnju za prvih nekoliko prirodnih brojeva.

Za , , tj. 4 je djeljivo sa 2, odnosno simbolički zapisano:

| .

Za , , tj. 10 je djeljivo sa 2, odnosno simbolički zapisano:

| .

Vidimo da naš primjer vrijedi za prva dva prirodna broja. Sad ćemo pretpostaviti da naša tvrdnja odnosno prosti primjer vrijedi za bilo koji broj k. Ako smo to učinili tada našu pretpostavku moţemo napisati na matematičkom jeziku kao:

, gdje je (1.9)

Za one kojim nije jasna zadnja jednakost neka ne čitaju sljedeći dio teksta. Ako je neki prirodan boj Ţ djeljiv sa prirodnim brojem 2, tada je:



15

drugim riječima, to znači dakada podjelimo broj sa brojem dobijemo neki prirodni

broj . Ako zadnju jednakost pomnoţimo sa 2 dobijamo:

,

a što je isto kao kad smo napisali:

Pomoću pretpostavke (1.9), trebamo dokazati da je:

|

Ponovo kao i svaki put kada radimo 3 korak pravimo se da ništa ne znamo:

[ ]

Ako niste shvatili zadnje jednakosti tada uzmite teku iz prvog razreda srednje škole i ponovite stepene, ako je niste zapalili. Vidimo da je izraz u zagradi isti kao i naša pretpostavka pa je djeljiva sa 2, tj.

[ ]

Zadnja jednakost nam daje za pravo da zaključimo kako je [ ] djeljivosa 2, a

definicija da je primjer 2 tj. [ ] djeljiv sa 2 za svaki prirodan broj n. Ako niste sigurni u ovaj dokaz postupate kao i u prethodnom primjeru br. 1.

Zadatak 2: Dokazati da za svaki prirodan broj vrijedi:

djeljivo sa 7 za sve prirodne brojeve.

(1.10)

Dokaz: Prvi korak napravimo na brzinu, jer jedino je to ovdje shvatljivo.

Za , djeljivo sa

Za , djeljivo sa .

Pretpostavimo da je Zadatak 2, za neki prirodan broj djeljiv sa 7. To znači slično kao i u primjeru da moţemo pisati:

, gdje je (1.11)

Treći korak provodimo kao u primjeru 2:



16

Vidimo da je izraz u zagradi ona ista pretpostavka sa početka primjera jednačina (1.10), pa je ona djeljiva sa 7, a broj 35 je svakako djeljiv sa 7 pa cijeli izraz je djeljiv sa 7.

Vidimo da iz pretpostavke za , broj djeljiv sa 7, dokazali smo da je za

također djeljivo sa 7 to znači da je izraz djeljiv za 7 za svaki prirodan broj. Vidljivo je da smo dokazali neke primjere i zadatke pomoću matematičke indukcije dosta jednostavno. Međutim, ostali zadaci (koji su dati) nisu ništa zahtjevniji od ovih. Jedino je problem u tome što idući zadaci zahtijevaju malo više poznavanja elementarne matematike. To je ona matematika koju ste radili u osnovnoj i srednjoj školi. Znači bez straha i bilo kakvih averzija okrenite siljedeći list i naići ćete na najljepši zadataka u matematičkoj indukciji. Sljedeći zadatak je bio MISS ljeta 1888 godine, njegove prve i druge pratilje slijede iza njega.

Zadatak 3:

Dokazati da za svaki prirodan broj vrijedi:

(1.12)

Dokaz:

Za ,

tačno.

Za ,

tačno.

Pretpostavimo da zadatak 3 vrijedi za , odnosno:

(1.13)

Poznato vam je da uvijek kod ovakvih zadataka u trećem koraku uvijek dodajemo objema stranama sljedeći broj zadnjeg broja lijeve strane. S toga imamo:



17

[ ]

[ ]

(1.14)

U zadatku 1 smo diskutovali o sljedećem broju nepranih brojeva. Sljedeći broj broja

je , jer je . Zadnja jednakost (1.14) znači da smo

iz pretpostavke (1.13) pretpostavili da tvrdnja vrijedi za , dokazali da vrijedi i za

, pa zaključujemo po matematičkoj indukciji da Zadataka 1 vrijedi za sve prirodne brojeve. Do jednakosti (1.14) iz jednakosti (1.13) lako smo došli iako se nekima čini da nije. Ove

sve k-ove koje vidite u zadnjim jednakostima, to je u stvari samo jedan , ali napisan u drugim oblicima. Ako bolje pogledate sve one transformacije vidjećete da se one sastoje samo u sabiranju razlomaka, izvlačenju zajedničkih mnoţitelja i nekoliko dvica, trica i šestica.

Zadatak 4:


[

]

(1.15)

Dokaz:

Za , *

+

[

]

tačno.

Za , *

+

[

]

tačno.

Pretpostavimo da zadatak 4 vrijedi za neki prirodan broj k, odnosno:

[

]

Korak 3 koji slijedi sličan je kao i u zadatku 3, tj. dodajmo objema stranama pa imamo:



18

[ ]

[

]

Vidimo da uz prepostavku za , izraz vrijedi i za , tako i za svaki prirodan broj.

Zadatak 5:


(1.16)

Dokaz:

Za ,

tačno.

Za ,

tačno.

Pretpostavimo da jednakost vrijedi za neki ,tj.

(1.17)

Sada kada smo napisali pretpostavku po ko zna koji put moramo dodati sljedeći broj

broja , a to je , pa imamo:

Vidimo da smo iz pretpostavke da vrijedi za , dokazali da zadnja jednakost vrijedi i

za , što znači da vrijedi i za svaki prirodan broj .




19

Kada kaţemo“vidimo da smo dokazali i za n=k+1“ to znači u bukvalnom smislu (razmišljanjem jednog prosječnog osnovca) da mi u stvari pretpostavku uzmemo, malo je prevrnemo, odjenemo je u odjeću, počešljamo je, kupimo joj nove cipele i od jedne pepeljuge postane princeza. Znači mi tu u stvari ništa ne dokazujemo u smislu dugotrajnih sudskih procesa, svjedočenja, advokata, porote i slično. Samo dodamo saberemo i izvučemo zajednički član i pretpostavka za čudo postane upravo ono što mi trebamo dobiti, a to je jednakost za n=k+1. Čudno, zar ne?

Vidjeli smo miss, prvu i drugu pratilju ljeta 1888. Poslije te godine više nisu bili u modi zadaci takvog tipa. Više se išlo na neko dijeljenje, a to je i period kada je bilo ratova i nekih podjela. Tako je 1892 tri zadatka o djeljivosti osvojila su 6 oskara. Za glavnu ulogu, za sporednu ulogu, za najbolje statiste, dublere, nosače i kamermane.

Zadatak 6:

Dokazati da za svaki prirodan broj :

djeljivo sa 9.

(1.18)

Dokaz:

Za , djeljivo sa 9.

Za , djeljivo sa 9.

Pretpostavimo da je za , izraz (1.18) djeljiv sa 9. To moţemo pisati kao:

, gdje je (1.19)

Za n=k+1

Ponovo vidimo da koristeći pretpostavku lako dokazujemo da nam izraz (1.18) djeljiv sa 9, za svaki prirodan broj. Sve to nam omogućuje matematička indukcija. Bez nje ne



20

bismo lako dokazali ne samo ovaj zadatak već i mnoge druge. Zato s pravom moramo reći: Hvala ti, hvala draga naša indukcijo.

Zadatak 7:


djeljivo sa 10.

(1.20)

Dokaz:

Za , djeljivo sa 10.

Za ,

djeljivo sa 10.


, gdje je (1.21)

Za n=k+1

[ ]

Vidimo da iz prtpostavke (1.21) za lako dokazujemo da (1.22) vrijedi za , odnosno da vrijedi za svaki prirodan broj.

Zadatak 8:


djeljivo sa 5.

(1.22)

Dokaz:

Za ,

djeljivo sa 5.

Za ,

djeljivo sa 5.


, gdje je (1.23)



21

Za n=k+1

[ ]

Jednostavnim dokazom, uz pomoć pretpostavke, dokazali smo da izraz (1.22) vrijedi za

, pa nam zbog matematičke indukcije vrijedi za svaki prirodan broj. Glavni šablon ovog tipa zadataka (o djeljivosti ) je da kada se radi treći korak u eksponentu ostavi onoliko koliko ima u pretpostavci, a višak se spusti kao mnoţitelj. Taj mnoţitelj izvlačimo ispred zagrade dok u zagradi stavljamo samo ono što je u pretpostavci. Dakle mi sebi „naštimamo“ pretpostavku, a sve ono što moramo oduzeti ili dokazati stavljamo iza zagrade. Nije slučajno da sav višak uvijek bude djeljiv sa onim brojem za kojeg ga mi provjeravamo. Treći česti slučaj tipova zadataka koji se dokazuju matematičkom indukcijom su

nejednakosti. One su još jednostavnije, a sve se bazira na tome da ako je npr. , tada je i , odnosno . Prije nego što pređemo na zadatke uvedimo pojam Leme. Lema je pomoćna teorema. Odnosno to je jedan mali podzadatak nekog zadatka. Ako rješavamo neki zadatak i dođemo do jedne tvrdnje koju moramo posebno dokazivati, mi je definišemo kao lemu.

Zadatak 9: Dokazati da za svaki prirodan broj , gdje je vrijedi nejednakost:

(1.24)

Dokaz:

Pošto ovaj zadatak dokazujemo pomoću matematičke indukcije onda se moramo drţati njenih postavki i redoslijeda. Što znači da prvo moramo provjeriti da li ta nejednakost vrijedi za prvih nekoliko prirodnih brojeva. Uslov zadatka ne kaţe da provjerimo od 5 pa dalje.

Za ,

tačno.

Za ,

tačno.

Sada zastanimo na dokazu ovog zadatka i dokaţimo jednu Lemu.

Lema 1: Za svaki izraz (1.25)



22

Dokaz:

Za ,

tačno.

Za ,

tačno.

Neka je za neki , vrijedi:

Za imamo:

(1.26)

Zadnja nejednakost koju smo dobili je očigledna. Jer je pa svaki kvadrat je veći od dva. Ako sada tu trivijalnu nejednakost stavimo kao prvu i krenemo unazad, doći ćemo do nekednakosti (1.27), što znači da je nejednakost tačna. Ovo nam daje za pravo da kaţemo da po principu matematičke indukcije Lema 1 je tačna za sve prirodne brojeve veće od 2. Lemu 1 moţemo koristiti kao dokazni materijal za svaki sadašnji i budući zadatak. Nastavimo rješavanje zadatka 9. Ostao nam je treći korak pa sada imamo:

Za n=k+1

Maloprije smo dokazali da je:

Ako sada lijevoj i desnoj strani (Leme 1) dodamo broj imamo:

Pa je:

odnosno

Vidimo da smo i ne znajući dokazali da je iz pretpostavke za nejednakost vrijedi za

, što nam je potrebno i dovoljno da kaţemo da nejednakost vrijedi za svaki prirodan broj.



23

Ako neko čitajući ovo rješenje zadatka 9, nije shvatio posljednje nejednakosti, predlaţem da pročita mali uvod o dokazivanju nejednakosti i obrati paţnju na činjenicu da ako je npr: 150>50 tada je 200>50 odnosno 150 >1.

Zadatak 10:

Dokazati da za svaki prirodan broj veći ili jednak od 5 vrijedi nejednakost:

(1.27)

Dokaz:

Za ,

tačno.

Za ,

tačno.

Pretpostavimo da je za neki n=k , vrijedi:

(1.28)

Koristeći ovu pretpostavku (1.30), te koristeći nejednakost da je , što je očigledno

jer je: , dobijamo treći korak odnosno dokazujemo treći korak, a samim tim i zadatak 11.

Dakle,

Sabiranjem gornjih nejednakosti imamo:

Odnosno sređivanjem:

Zadnjim izrazom da nejednakost vrijedi i za . Zadnje nejednakosti daju nam zaključiti ako imamo na umu matematičku indukciju da izraz (1.28) vrijedi za svaki

prirodan broj

Zadatak 11:

Dokazati da za svaki prirodan broj vrijedi nejednakost:

√

√

√ √

(1.29)

Dokaz:

Za ,

√ √

(1.30)



24

Za prvi prirodan broj za koji treba dokazati da vrijedi nejednakost (1.29) imamo izraz (1.29). Kod deduktivnog načina dokazivanja nejednakosti (kojeg ćemo sada primijeniti) trebamo iz polazne nejednakosti (1.29) nizom matematičkih dozvoljenih operacija doći do trivijalne nejednakosti koju lako primjećujemo čak i kad te brojeve zamijenimo sa kruškama i jabukama. Pokušajmo to sa nejednakosti (1.30):

√ √

Sabiranjem lijeve strane:

√

√ √

Pomnoţimo cijelu nejednakost sa √ .

Imamo √

odnosno: √

Sada smo došli do jedne trivijalno očigledne nejednakosti, gdje u svak doba dana i noći

znamo daje √ , što znači da je izraz (1.32) tačan za .

Za ,

√

√ √

(1.31)

Istim postupkom kao i za imamo:

√

√ √

Sabiranjem lijeve strane imamo:

√ √ √ √

√ √ √

Mnoţenjem sa √ √ imamo:

√ √ √ √ √

√ √ √ √

√ √ √

Kvadriranjem cijele nejednačine:

√

√

√

U svako doba dana i noći mi znamo da nam je √ pozitivno i uvijek veće od bilo kojeg negativnog broja, što znači da je izraz (1.33) tačan.



25

Pretpostavimo da je za neki izraz (1.33) tačan, tj:

√

√

√ √

(1.32)

Na tako pretpostavljenu nejednakost dodajmo -vi član. Imamo:

√

√

√

√ √

√

(1.33)

Dokaţimo sada da je:

√

√ √

Ostavljanjem samo √ na lijevoj strani a ostatak prebacimo na desnu imamo:

√ √

√

√

Pa je: √

√

Mnoţenjem sa √ imamo:

√ √

Kvadriranjem cijele nejednakosti imamo:

Odnosno:

Što vrijedi za svaki prirodan broj pa i polazna nejednakost. Ako sada ovu dokazanu nejednakost primjenimo na (1.35) imamo:

√

√

√

√ √

√ √

Odnosno:

√

√

√

√ √

Pa zaključujemo da smo preko pretpostavke (1.33) došli do zaključka da (1.31) vrijedi za svaki prirodan broj. Vidjeli smo kako se rješavaju nejednačine preko matematičke

indukcije. U biti sve se svodi na pomenutu nejednakost ako je tada je i

tj. .



26


Zaključivanje zovemo izvođenje jednog stava iz jednog ili više drugih stavova. Indukcija je kako smo rekli, zaključivanje kojim se iz konačnog broja posebnih stavova izvodi opći stav koji se odnosi na sve slučajeve. Ili kraće, indukcija je zaključivanje od posebnog ka općem. Ovakav metod zaključivanja zovemo empirijski ili nepotpun metod.

Ovdje se završava naša priča o matematičkoj indukciji, kao i sa iscrpnim i pomalo rekao bih dosadnim ponavljanjem. Ali neki kaţi da je ponavljanje majka znanja. U narednih nekoliko stranica ostavljani su zadaci u kojima se spominje matematička indukcia (to je ono što smo na početku definisali) za samostalan rad uz povremeno gledanje rješenja. Preporučuje se gledanje na kraju urađenog zadatka da se provjeri njegova tačnost.



27

1.4 ZADACI ZA SAMOSTALAN RAD UZ POVREMENO GLEDANJE RJEŠENJA


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Dokazati matematičkom indukcijom djeljivost sljedećih brojeva:

(14) sa

(15) sa

(16) sa

(17) sa



28

(18) sa

(19) sa

(20) sa

(21) sa

(22) sa

(23) sa

Dokazati nejednakosti:

(24) , za

(25) ∏

√

(26)

(27) √

√

(28) Dokazati da je zbir kubova tri uzastopna prirodna broja djeljiv sa 9.

(29)

(30) Dokazati da ni za jedan prirodan broj , broj nije djeljiv sa brojem .



29

1.5 RJEŠENJA ZADATAKA ZA SAMOSTALAN RAD

(1)

Kod 3-ćeg koraka dodavajući lijevoj i desnoj strain , te sabirajući desnu

stranu imamo:

[ ]

, a što

je i trebalo dokazati.

(2)

Kod trećeg koraka imamo: Neka je za zadatak 2 tačan. Dodavajući lijevoj i desnoj

strani desna strana izgleda na sljedeći način: ( )

[ ]

[ ]

, a

što je i trebalo dokazati.

(3)

Dodavajući u trećem korku lijevoj i desnoj strain broj desna strana dobija

oblik:

[ ]

[ ]

, a što je i trebalo dokazati.

(4)

Dodavajući u trećem koraku lijevoj i desnoj strani [ ] , desna strana poslije

kubiranja i mnoţenja poprima oblik: , a što je i trebalo dokazati.

(5)

Dodavanjem lijevoj i desnoj strani u trećem koraku desna strana

poprima oblik: , što je i trebalo dokazati.

(6)

Dodavanjem lijevoj i desnoj strani, te poslije naznačenih operacija

desna strana poprima oblik: , a što je i trebalo dokazati.

(7)

Dodavanjem lijevoj i desnoj strani imamo:

, a što je i

trebalo dokazati.

(8)

Provjerimo tvrdnju za prvih nekoliko brojeva:

Za , imamo .

Za , imamo .

Pretpostavimo da zadatak vrijedi za , tj.

.

Dodajmo pretpostavci broj , pa imamo:

[ ]

.

Lako se dokazuje da je , jer ako je paran tada je

, pa je . A ako je kojim slučajem neparan

, pa je , a što je i trebalo dokazati.



30

(9) Kada u trećem koraku dodamo lijevoj i desnoj strani

, imamo:

*

+

, a što je i trebalo dokazati.

(10) U trećem koraku dodajući lijevoj i desnoj strani

, imamo:

, što je i trebalo dokazati.

31 Funkcije Bahrudin Hrnjica


31

FUNKCIJE 2



32

2.1 POJAM FUNKCIJE

Čim čujemo riječ funkcije odmah pomislimo na razna mjesta koja nas čekaju kad završimo fakultet. Bit ćemo neki inţenjeri bili diplomirani ili ne, ali funkcije nas čekaju, odnosno neko radno mjesto na kome ćemo obavljati neke poslove, gdje ćemo za uzvrat dobijati platu. Bilo kako bilo, funkcija nam je neophodna da bi egzistirali, da bi smo postojali. Samim dobijanjem funkcije postajemo funkcioneri. Čitav ovozemaljski svijet sastoji se iz bezbroj funkcija, nekih procesa razmjenjivanja, uzimanja, oslobađanja, davanja itd. U stvari funkcija je neki proces pri kojem se nešto odvija-događa i pri kome postoji jedan ili više određenih pravila događanja, pa bili oni čak i slučajni (tada govorimoo slučajnim procesima). Sve te ţivotne funkcije dosta su slične pojmu funkcije koju definiše matematika. U stvari nema ni jedne čak i najjednostavnije teoreme u matematici, a da se ne moţe primjeniti u stvarnom ţivotu. Kada posmatramo neki proces zapazićemo da se neke od veličina koje učestvuju u tom procesu mjenjaju – uzimaju različite vrijednosti, dok druge imaju konstantnu vrijednost. Primjera za to ima bezbroj. Npr. Kada stojimo pored štanda voća. Primjetićemo da svaka kila jabuke dobija jednu te istu sumu novaca od 2 DM (demokratske marke što bi rekao jedan moj prijatelj). Odnosno svaka kila krušaka 3 DM ili groţđa 5 DM. Kada se poveća masa jabuka i ostalog voća poveća se i njihova cijena. U ovom slučaju imamo proporcionalno povećanje cijene voća sa njegovom masom. Nadalje posmatrajmo jednu totalno glupu situaciju u kojoj ţelimo da naduvamo staklenu flašu. Duvanjem dovodimo zrak u flašu, ali volumen flaše ostaje isti, samo smo promjenili temparaturu vazduha i pritisak u staklenoj flaši. Ovo je jedan primjer kada se dvije veličine mijenjaju dok je treća konstantna. Primjera ima bezbroj no mi ćemo zaključak dati iz ova dva suštinska primjera. Vidimo da postoje veličine koje se mjenjaju, i koje ostaju konstantne pa ćemo definisati sljedeće:

Definicija 2.1.

Veliĉina koja pod datim uslovima može poprimiti razliĉite brojne vrijednosti zovemo promjenjivom veliĉinom. Veliĉina koja se u datim uslovima ne mjenja već uvijek „stoji“ na istoj brojnoj vrijednosti zovemo stalnom ili konstantnom veliĉinom.

Skup svih brojnih vrijednosti date promjenjive veličine zovemo oblast promjene te promjenjive. Konstante koje nikako ne mjenjaju svoju vrijednost zovemo apsolutne

konstante. Npr. - Ludolfov broj, gravitaciona konstanta itd. Međutim, u cilju općih formulacija i mogućnosti dobijanja zaključaka, dobro je i te kontantne veličine posmatrati kao specijalne slučajeve promjenjivih veličina. To je pogotovo korisno kod dokazivanja raznih teorema koje su povezane sa konstantnim veličinama.



33

2.2 FUNKCIJE JEDNE NEZAVISNO PROMJENJIVE

Definišimo dva skupa i , tako da je element skupa , a element skupa ,

drugim riječima i . Preslikavanje skupa na definisano je

zakonom korespodencije gdje svakom odgovara jedan element . Element koji pripada zvaćemo argument ili nezavisno promjenjiva. Element

koji pripada zvaćemo zavisno promjenjiva ili funkcija.

Definicija 2.2.

Funcija jedne nezavisno promjenjive (jednog argumenta) zovemo preslikavanje skupa (vrijednosti argumenata) na skup

vrijednosti promjenjive po jednom određenom fiksnom zakonu

korespodencije (dodjeljivanja).

Pravilo pridruţivanja označavaćemo sa tako da se funkcija moţe simbolički napisati:

ili (čitaj je jednako ef od )

ili (čitaj je jednako fi od )

Definicija 2.2 je smisao simbolike . Znači svakom elementu , odgovara

jedan element . Definicija 2.2 također nam daje smijernice za definisanje funkcije. Pa tako da bi funkciju definisali potrebno je definisati:

1. Skup vrijednosti elementata .

2. Zakon dodjeljivanja ili korespodencije

3. Skup vrijednosti funkcije .

Skup vrijednosti koji moţe primiti argument zovemo još i oblast definisanosti ili

domena funkcije . Skup zovemo skupom vrijednosti ili kodomena

funkcije. Ako je na primjer tj pripada domeni funkcije , tada pripada kodomeni funkcije odnosno . Još se kaţe da predstavlja sliku

elementa u skupu . Ako postoji tada nema smisla.

Također se moţe desiti sa i imamo istu vrijednost funcije odnosno vrijedi da je:

Ovo znači da dvije različite vrijednosti argumenata iz domene preslikavaju se i jednu te istu tačku kodomene. Ovaj slučaj moţemo pokazati na jednom jednostavnom primjeru.

Primjer 1. Ako imamo funkciju , tada za i imamo istu

vrijednost funkcije .



34

2.2.1 NAČIN IZRAŢAVANJA FUNKCIJE

Matematički izraziti funkciju znači naći određenu uzajamnu korespodenciju između dva skupa. Načini na koji se funkcija zadaje ili izraţava više je praktično pitanje nego suštinsko. Funkciju moţemo zadati grafiĉki, tabliĉno i analitiĉki. Grafiĉki naĉin predstavljanja funkcije sastoji se iz geometrijske prezentacije jedne

funkcije u koordinatnom sistemu, gdje svaki uređeni par brojeva , gdje je –

argument, a - zavisno promjenjiva funkcija, zamišljamo kao par koordinata tačke u

koordinatnom sistemu u ravni . Skup svih takvih tačaka u ravni čije su apcise

vrijednosti argumenata , a ordinate odgovarajuće vrijednosti funkcije zovemo grafik funkcije. Grafik na vidan način prikazuje ponašanje funkcije tj. njenu monotonost, maksimalnu i minimalnu vrijednost, vrijednosti argument, nul tačke funkcije, odnosno sve osobine koje su sastavni dio funkcije. Zato se u drugim naukama Fizici, Biologiji, Psihologiji i dr. izrađuju slični grafici i dijagrami gdje se prati tok nekog procesa (pokusa) i grafički prikazuju osobine tog procesa. Jedan od primjera je dijagram momenta savijanja proste grede. Iz dijagrama moţemo primjetiti kako se mjenja moment savijanja duţ grede od

početne tačke do krajnje tačke .

Sa slike vidimo da je najveći ili maksimalni momenat u tački koja se nalazi na sredini,

odnosno na mjestu gdje djeluje skoncentrisano opterećenje . Na slici također uočavamo

da je izrađen dijagam u funkciji duţine grede odnosno matematički rečeno . Tabelarni naĉin zadavanja funkcije imamo u slučaju kada izvjesnim vrijednostima

argumenata pridruţujemo zavisno promjenjive , a da pri tom neznamo ili nas ne zanima način pridruţivanja . Tablični način predstavljanja često koristimo u prirodnim i tehničkim naukama, u eksperimentalnim istraţivanjim i sl. Na

osnovu eksperimenta dolazimo do uređenih parova . Ovi parovi se tabelarno prikazuju na sljedeći način:

Slika 2. Dijagram momenta savijanja grede



35

Tabela 2. Tabearni prikaz funkcije

...

...

Analitiĉki naĉin zadavanje funkcije sastoji se u tome da zakon preslikavanja damo matematičkim izrazom ili formulom. Domenu funkcije zadane u analitičkom obliku određujemo iz samog izraza, odnosno pronalazimo skup svih mogućih rješenja za koje je izraz ima slisla.

Primjer 2. Funkcija ima domenu svih realnih brojeva

simboliĉki zapisano , jer je izraz (formula) definisan za sve realne brojeve.

Primjer 3. Funkcija √ ima domenu svih poziotivnih realnih brojeva

manjih ili jednako od 5 simboliĉki zapisano .

Primjer 4.

Funkcija

√ ima domenu koja se izraĉunava na sljedeći

naĉin:

i

| | i Na osnovu gornjih izraza domena je definisana za:

2.2.2 OSOBINE FUNKCIJE

Ako dvije ili više funkcija imaju istu domenu tada se mogu posmatrati zbir, razlika proizvod i količnik funkcija, odnosno mogu se posmatrati određene algebarske operacije među funkcijama. Imamo:



36

2.2.2.1 Jednakost dviju funkcija

Zadane su funkcije , koje se definisane na skupovima , i

. Za dvije funkcije kaţemo da su jednake ako je:

1. – definišu istu domenu,

2. – imaju istu kodomenu,

3. – imaju iste funkcije. Parne i neparne funkcije

Definicija 3.

Funkcija je parna ako za vrijednosti argumenata koji su suprotni brojevi njihove vrijednosti su jednake, odnosno ako je:

Definicija 4.

Funkcija je neparna ako za vrijednosti argumenata koji su suprotni brojevi njihove vrijednosti su također suprotne, odnosno ako je:

2.2.2.2 Geometrijska interpretacija parnosti i neparnosti funkcije

Iz definicije parne funkcije proizilazi da ako je tačka pripada grafiku

fuhnkcije, tada i tačka , također pripada grafu. Pošto su tačke i simetrične u odnosu na to je i graf funkcije simetričan u odnosu na .

Slika 2. Grafička interpretacija parne (lijevo) i neparne (desno) funkcije



37

Analogno (Slika 2.2) iz definicije neparne funkcije uočavamo da ako je tačka pripada grafiku funkcije, tada i tačka , također pripada grafiku funkcije.

Pošto su tačke simtrične i odnosu na ishodište koordinatnog sistema, zaključujemo da je neparna funkcija centralno simetrična u koordinatnom početku. Iz geometrijske interpretacije proizilazi da pri konstrukciji grafa parne i neparne funkcije

dovoljno je da prvu konstruišemo za pozitivne brojeve dok ćemo ostatak konstruisati

simetrično osi , a drugu na pozitivnom dijelu ose, a ostatak centralno simetrično tački ishodišta koordinatnog sistem.

Definicija 5. Funkcija koja nije ni parna ni neparna jednostavno zovemo ni parna ni neparna funkcija.

Primjer 5. Funkcija , gdje je k- cijeli broj, ,| | - su parne funkcije.

Primjer 6. Funkcija , gdje je k- cijeli broj, ,

| |

- su neparne

funkcije.

2.2.2.3 Periodičnost funkcije

Definicija 6.

Funkcija se naziva periodičnom ako postoji jedan realan pozitivan broj

, takav da su vrijednosti funkcije u tačkama jednake, tj. da za

svako vaţi , pri čemu se najmanji pozitivan broj zove

primitivni period ili kraće periodom funkcije f .

Ako , domeni funkcije f tada svaki broj oblika , gdje je također pripada oblasti definisanosti, i pri čemu je .

Ovo se lako dokazje jer ako krenemo od početne definicije imamo:

( ) . Iz gornjeg lako zaključujemo da tačke

iz domene funkcije preslikavaju se u jednu tačku skupa odnosno kodomene funkcije . Također zaključujemo da će se grafik periodične funkcije biti sastavljen od lukova koji se ponavljaju na svakom od segmenata

[ ], gdje je . Prema tome ako je funkcija

peroodična dovoljno je analizirati istu na osnovnom segment [ ], a ostalom dijelu domene se periodičnost ponavlja.

Primjer 7.

Trigonometrijske funkcije , su periodiĉne funkcije sa

periodom , a funkcije , sa periodom , tj.

( ) , pa je



38

Primjer 8.

Funkcija { } [ ] je periodiĉna funkcija s

periodom , jer je:

{ } [ ] [ ] { }

I uopće kada imamo:

{ } { }


Periodičnost funkcije moţe se zadati i samo n anekom segmentu[ ]. Tako da u primjeru 7 funkciju ograničavamo samo na

segment [ ], a ispitivanje funkcije na [

].

Periodičnost je pojava vrlo česta u prirodi odnosno u svakodnevnom ţivotu . Periodičnost pojave Sunca, poslije 24 sata, kao i općenito kretanje planeta itd.

2.2.2.4 Ograničene i neograničene funkcije

Definicija 7.

Funkcija je ograničena u svojoj Domeni (oblasti definisanosti) ako je skup K odnosno skup njenih vrijednosti (Kodomena) ograničena.

Drugim riječima ako postoji takva dva broja i da je za sve

vrijednosti x vrijedi , gdje su i – realni brojevi.

Geometrijska interpretacija Definicije 7 je takva sa se cijeli grafik funkcije nalazi u dijelu

ravni koja je ograničena sa pravcima i .



39

Za ograničene funkcije jednog argumenta vaţi sljedeća teorema.

Teorema 2.1.

Ako je funkcija ograničena na skupu x , tada postoji

pozitivan broj takav da je – odnosno | | .

Dokaz: Ako uzmemo da je broj { } tj. | | ⋀

tada je | | odnosno | | . Važi i obrnuto.

Primjer 9. Funkcija ograničena je za , tada imamo | | ,

kao i to da je | | . Ovo pak znači da grafik funkcije sin i cos leţe unutar trake koju čine pravci y=1 i y=-1. Vidi sliku 2.4.

Napomena: Ograničenost funkcije moţe biti i samo s jedne strane odnosno sa gornje ili

donje strane.Drugim riječima postoji broj takav da je -ograničenost sa

donje strane i takav da je –ograničenost s gornje strane.

Primjer 10. Funkcija ograničena sa donje strane jer je .

Primjer 11. Funkcija ograničena sa gornje strane jer je .

Kaţemo da funkcija nije ograničena u koliko ne postoji realni broj M takav da je .

Slika 2. Funkcija , ograničena je pravim i



40

2.2.2.5 Monotonost funkcije

Definicija 8.

Za funkciju kažemo da je neopadajuća na skupu ako za

dva razliĉita argumenta i iz domene vrijedi

Funkcija se zove streogo rastuća ili rastuća ako je za

Definicija 9. Za funkciju kažemo da je nerastuća na skupu ako zadva

razliĉita argumenta i iz domene vrijedi

Funkcija se zove strogo opadajuća ili opadajuća ako je za

Ako je funkcija neopadajuća tada za neke elemente domene i vrijedi . Uočimo li segment [ ] tada je , odnosno . U ovom slučaju funkciju zovemo konstantnom na segmentu [ ]. Iz izloţenog moţemo zaključiti da svaka rastuća funkcija ujedno je i neopadajuća, a dok svaka neopadajuća funkcija nije uvijek rastuća. Sličnu logiku moţemo primjeniti i za opadajuću i nerastuću funkciju.

Definicija 10. Monotona funkcija na nekom intervalu domene funkcije zove se funkcija koja je ili neopadajuća ili nerastuća.

Funkcija je strogo monotona ako je ili opadajuća ili rastuća.

Slika 2. Ograničenost , funkcija pravim i



41

Primjeri monotonosti funkcije:

Primjer 12. Funkcija za , za i predstavljaju primjere strogo monotono rastućih funkcija

Primjer 13. Funkcija je strogo monotona, a rastuća je u intervalima

,

2.2.2.6 Neprekidnost funkcije

Definicija 11.

Ako je funkcija definisana u nekoj taĉki odnosno ako je

za imamo i ako sa proizvoljno malim brojem

definišemo okolinu taĉke također dobijamo

proizvoljno malu okolinu funkcije takva funkcija

je neprekidna u taĉki .

Funkcija je neprekidna na segmentu [ ] ako je neprekirdna u svakoj tački segmenta

[ ]. Svaki grafik neprekidne funkcije je neprekidna kriva. Primjeri neprekidnih funkcija.

Slika 2. Primjeri neprekidnih funkcija



42

Primjeri prekidnih funkcija.

Funkcija

je prekidna za jer nepostoji

. Funkcija nije

neprekidna jer ima prekid u tački . Često se iz funkcije koja je zadana anaitičkim putem lako nalazi prekid u koliko postoji. To je ona tačka za koju vrijednost argumenta funkcija nema smisla. Primjer funkcije

.

2.2.2.7 Ekstremi funkcije

Neka je funkcija definisana u intervalu i neka je . Ako za sve iz

okoline tačke vrijedni: tada funkcija ima u

tački maksimum (sl.2.7 lijevo) odnosno minimum (sl. 2.7. desno). Drugim riječima

njena ordinata u tački je veća odnosno manja od ordinata tačaka okoline tačke . Maksimum i minimu se zajedno zovu ekstremne vrijednosti funkcije.

U tački funkcija ima maksimum tj. za . I zadnjih

izraza vidimo da je lijevo od tačke funkcija raste, a desno od date tačke funkcija opada.

Slika 2. Primjeri prekidnih funkcija

Definicija 12. Funkcija je prekidna u taĉki ako je .

Slika 2. Primjeri funkcija i njihove ekstremne vrijednosti



43

Analogno zaključujemo i kada je minimum funkcije , samo u suprotnim stranama Vidi sliku 2.7. Iz ovoga vidimo da svaki ekstrem razdvaja intervale monotonosti funkcije.

2.2.2.8 Asimptote funkcije

Definicija 13. Prava ĉija udaljenost od taĉke na grafu funkcije teži nuli kada taĉka funkcije teži u beskonaĉnost.

Kako je rečeno asimptote su prave linije, pa stoga imaju jednačinu pravca . Zavisno od vrijednosti argumenata a i b dijelimo ih na : horizontalne, vertikalne i kose asimptote.

Primjer 14.

Hiperbola

dodiruje koordinatne ose u beskonaĉnim

taĉkama. Kažemo da funkcija

ima jednu horizontalnu i

jednu vertikalnu asimptotu. Slika 2.8.

2.2.3 INVERZINA FUNKCIJA

Posmatrajmo funkciju jedne nezavisno promjenjive kojoj je skup vrijednosti . Skup

neka bude skup vrijednosti funkcije, odnosno skup predstavlja sliku skupa . Na

osnovu definicije funkcije svakom elementu skupa odgovara jedinstven broj . Da bi se mogla definisati inverzna funkcija potrebno je da se posmatra bijektivno preslikavanje u kojem svaki element iz domene propada jedan i samo jedan element iz kodomene i obrnuto. Na osnovu toga moţemo definisati inverznu funkciju.

Definicija 14.

Ako svakoj vrijednosti funkcije iz skupa odgovara

jedan i samo jedan element iz skupa , pri kojoj je definisana

jednoznaĉna korespodencija tada govorimo o

Slika 2. Graf hiperbole na kojoj su prikazane asimptote koje su ujedno ose koordinatnog sistema



44

inverznoj funkciji u odnosu na funkciju .

Za inverznu funkciju oblast definisanosti ili domenu inverzne funkcije čini kodomena

ili skup , a vrijednosti inverzne funkcije skup . Funkcije i

zovemo uzajamno inverzne funkcije. Preslikavanje vrijednosti posredstvom

pravila dolazimo do funkcije , dok preslikavanje vrijednosti

posredstvom pravila . To znači da je:

( ) , a (2.1)

Primjer 15.

Za funkciju inverzna funkcija je

, pa je

, a

. Ove funkcije su uzajamno inverzne, jer je

( )

, ( )

.

Primjer 16. Za funkciju inverzna funkcija je √ .

Primjer 17.

Za funkciju imamo da je domena , a dok je

. To znači da je uspostavljeno jednoznačno preslikavanj sa

. Međutim, ako potraţimo inverznu funkciju uočićemo da za

svako dobijemo dvije različite vrijednosti , što znači da ova funkcija

kao i svaka funkcja nema inverznu funkciju jer je

√ . Inverznu funkciju moramo odvojeno posmatrati na

poluintervalima ] i [ . Vaţna osobina međusobno inverznih funkcija jeste da su im grafici simetrični u odnosu

na pravac . Dokaz ove tvrdnje lako sprovodimo. Ako tačka pripada grafiku

funkcije , odnosno , tada tačka pripada grafiku funkcije

. Dokaţimo još da su tačke i simetrične u odnosu na pravac .

Slika 2. Grafička interpretacija inverzne funkcije



45

Ako je grafik funkcije , tj. grafik siječe I i III kvadrant na dva jednaka dijela imamo da je:

– (katete su im jednake)

Kada oduzmemo prvi i treći izraz imamo:

(2.2)

Zadnji izraz daje na da zaključimo da je - simetrala ugla , a pošto su zaključujemo ujedno da je jednakokraki trougao pa simetrala ugla jednakokrakog

trougla polovi stranicu , tj. je simetrala duţi . Zaključivanjem da su tačke i simetrične u odnosu na pravac . Pošto su i bilo koje tačke zaključujemo da su i

grafici funkcije i njene inverzne funkcije simetrični u odnosu na pravac .

Definicija 14.

Ako svakoj vrijednosti funkcije iz skupa odgovara

jedan i samo jedan element iz skupa , pri kojoj je definisana

jednoznaĉna korespodencija tada govorimo o

inverznoj funkciji u odnosu na funkciju .

2.2.4 SLOŢENA FUNKCIJA

Sloţenu funkciju moţemo posmatrati kao proces više preslikavanja gdje je kodomena prvog domena drugog preslikavanja i td.

Ako pretpostavimo da imamo dvije funkcije i tada funkcija

znači preslikavanje skupa na skup koji je skup vrijednosti odnosno

Slika 2. Poloţaj funkcije i njene inverzne komponente na grafu



46

domena funkcije . Na cijeli skup nemora pripadati oblast definisanosti funkcije

. Vrijednost argumenta , za koji je pripada oblasti definisanosti funkcije

, formira skup koji je dio skupa .

Definicija 15.

Funkcija sa znakom korespodencije ĉiju domenu

ĉini skup onih vrijednosti argumenata za koji je pripada oblasti domeni funkcije , zovemo složenomn

funkcijom od preko međuargumenta .

Zato simbol znači (kao što je rečeno) dva oreslikavanja i ima

smisla ako domena funkcije . Ako ne pripada domeni

funkcije , tada simbol ( ) nema smisla i ne definiše sloţenu funkciju.

Analogno moţemo definisati sloţenu funkciju sa tri ili više konačnih preslikavanja i međuargumenata.

Primjer 18.

Sloţena funkcija sa dva međuargumenta bile bi sljedeće funkcije:

, , .

Ako je ( ) ima smisla ostvareno je preslikavanje

i definisana sloţena funkcija y sa argumentom . Svaka slţena funkcija moţe se razbiti na lanac uzastopnih preslikavanja. Zato se sloţena funkcija zove još i posredna funkcija.

Primjer 19. Zadan je lanac preslikavanja definisan sljedećim zakonom

korespodencije: , .

Funkcija definisana sa definisana je za sve realne brojeve Ovaj interval obrazuje domenu funkcije . Međutim sve vrijednosti ove frunkcije funkcije tj. svi elementi kodomene ne pripadaju domeni funkcije

sljedeće u lancu odnosno funkciji . Domeni funkcije pripadaće

samo vrijednosti iz intervala [ , jer samo za te vrijednosti definisana je funkcija

. Zbog toga područje definisanosti sloţene funkcije biće samo vrijednosti za

koje ova funkcija ima smisla odnosno poluinterval [ .

2.2.5 FUNKCIJA ZADANA U PARAMETARSKOM OBLIKU

Ako imamo skup funkcija i , koje su definisane na skupu . Neka je

za funkciju definisana inverzna funkcija , tada je:

( ) . Ovo znači da gornji skup funkcija , , definiše kao

funkciju od sa zakonom korespodencije: ( ) .

Neka je sada i . U ovom slučaju ćemo kazati da je funkcija data u parametarskom obliku . Argument zovemo parametrom a postupak prelaska sa



47

parametarskog oblika na klasični oblik ( ) zovemo eliminacijom

parametra. Iz zadnjeg zaključujemo da je za svako vrijedi: ( ) .

Kada prelazimo sa funkcije na parametarski oblik i

kaţemo da smo parametrizirali funkciju .

Primjer 20.

Ako su nam zadani parametarski oblici funkcije i , eliminacijom parametara imamo:

Primjer 20.

Imamo jednačine i gdje je . Eliminacijom parametara imamo:

√

√

Kvadriranjem i sabiranjem jednačina imamo:

Zadnja jednačina koju smo dobili predstavlja jednačinu astroide.



48

2.3 PREGLED OSNOVNIH ELEMENTARNIH FUNKCIJA

2.3.1 NEŠTO IZ HISTORIJE

Poznavanje osnovnh elementarnih funkcija je neophodno u daljnjem studiranju Matematike. Cijela Matermatika uvijek je povezana sa funkcijama zadanim kako u analitičkom tako i grafičkom (zadana preko grafa funkcije) obliku. Već smo vidjeli kako se funkcija moţe zadati i svaki od načina njenog zadavanja je jednako vaţav. Kada funkciju ţelimo da spoznamo mi je sebi nacrtamo, jer lakše je nešto shvatiti kada nam je prikazano u obliku crteţa. Prije nego se upoznamo sa elementarnim funkcijama objasnimo pojmove preko kojih se zadaju funkcije, posebno kada je u pitanju grafički prikaz funkcija. Saku funkciju koju ţelimo da grafički prikaţemo postavljamo jdan bilo pravougli ili polarni koordinatni sistem. Ovi sistemi na omogućavaju da analitički zadanu funkciju pretvorimo u grafički oblik. Međutim nije sve bilo tako jednostavno kao što izgleda. Da li griješimo kada postavimo koordinatni sistem i svakom paru realnih brojeva pridruţujemo odgovarajuće tačke na brojevnom pravcu apcise ili ordinate? Moţda ima više tačaka na pravcu nego brojeva i obrnuto?. Za takva i druga slična pitanja pobrinuli su se Deskart, Dedekind i Kantor, tri matematičara. Kantor je prvi dokazao da je skup realnihp brojeva neprebrojiv. To znači da skup realnih brojeva broji više elemenata nego što ima skup prirodnih brojeva. To se moţe shvatiti da su realni brojevi neprekidni te da ih ima koliko i tačaka na pravcu. Međutim iako se na prvi pogled ne moţe vidjeti skup raconalnih brojeva je isti kao i skup cijeli odnosno ova dva skupa su jednaka, odnosno ima ih onliko koliko i prirodnih brojeva. Bez obzira na to

da između svaka dva racionalne broja i moţemo naći broj koji se nalazi između njih

odnosno ipak racionalni brojevi se ne poklapaju sa tačkama na jednom pravcu. Jednstavan dokaz ove teze je da dijagonala kvadrata stranice 1. Znamo da je tada

duţina dijagonela po Pitagorinoj teoremu √ . Vidimo da ovaj broj ne pripada skupu racionalnih brojeva, ali se ipak moţe nacrtati na pravoj. Donja slika prkazuje kako

odrediti tačku √ . U koliko brojevnom pravcu definišemo duz duţine 1, te nad krajnjom

tački konstruišemo pod uglom od također drugu duţ duţine 1, tada duţ koja spaja

početnu tačku prve duţi i krajnju tačku druge duţi ima duţinu √ , koju onda lako prenosimo na brojevni pravac. Dedekind je zasluţan po tome što je definisao realne brojeve preko racionalnih brojeva. Poznata je njegova definicija realnih brojeva preko rezova skupa racionalnih brojeva.

Slika 2. Konstrukcija broja √ ,



49

Dekart je zasluţan zbog toga što je formulirao principe analitičke geometrije. Ono se sastoji u određivanju poloţaja jedne tačke u ravni ili prostoru pomoću sistema brojeva koji su nazvani koordinate tačaka- Time je proučavanje geometrijskoh likova svedeno na proučavanje brojeva. Dekartov koordinatni sistem u ravni upravo se definiše na jednoj funkciji (korespodenciji) skupa tačaka u ravni i realnih brojeva. Kantorovom

formulacijom neprebrojivosti realnih brojeva, te identičnosti skupa realnih brojeva sa

skupom R uređenih parova realnih brojeva a samim tim i skupom uređenih parova sa jednom i samo jednom tačkom u ravni, na potpun način je formulisana čitava analitička geometrija i svi koordinatni sistemi.

2.3.1.1 Pravougli Dekartov koordinatni sistem

Još ćemo reći da je Dekartov pravougli koordinatni sistem tvore dvije okomite usmjerene

prave i koje se sjeku u tački . Svakoj tački u ravni pripada uređen par

realnih brojeva na brojevnim pravcima i i to i obrnuto svkom paru

uređenih brojeva odgovara jedna i samo jedna tačka M u ravni . Uređen par

zovemo još i koordinata tačke .

2.3.1.2 Polarni koordinatni sistema

Vidjeli smo da se Dekartov pravougli koordinatni sistem dozvoljava određivanje poloţaja tačke pomoću sistema od dvije koordinate. Mogu se pronaći i drugi sistemi pomoću kojih se uspostavlja korespodencija između tačke i para koordinata (brojeva). To je slučaj polarnih

koordinata u ravni. Ako u pravouglom koordinatnom sistemu posmatramo tačku koja ima

koordinate , lako moţemo vidjeti da će ona jednoznačno biti određena i ako duţ

iz koordinatnog početka zarotiramo za ugao . Vrijednost i jednoznačno određuju

poloţaj tačke , tj. ima polarne koordinate . Vrijednost zove se polarni ugao tačke

, a radijus vektor. Znači jednom uređenom paru brojeva odgovara jedna i samo jedna

Slika 2. Pravougli koordinatni sistem



50

tačka u ravni . Međutim jednoj tački u ravni moţe odgovarati beskonačno mnogo parova

.

Iz tog razloga pretpostavicemo da imamo odnosno da nam je poznato jedno partikularno

rješenje .

Zbog periodičnosti uglova pored početnog rješenja imamo i ostala rješenje u obliku

, gdje je . Konverzija polarnih koordinata u pravougle moţemo izvršiti na sljedeći način:

√ , odnosno

ili

tj.

√

,

Iz zadnjih relacija lako moţemo iz jednog sist ema preći u gdrugi. Ovo su dva najčešće korištena koordinatna sistema, mada postoje i drugi sistemi u prostoru preko kojih se prikazuju grafici funkcija dvije promjenjive, a zovemo ih pravougli prostorni, cilindrični te sferni koordinatni sistem.

Slika 2. Polarni koordinatni sistem



51

2.3.1.3 Klasifikacija funkcija

Klasifikacija funkcija se vrši prema operacijama koje se pojavljuju u funkciji. Racionalne operacije su računske operacije: oduzimanje, sabiranje, djeljenje, mnoţenje i stepenovanje cijelim brojevima. Iracionelne operacije su operacije korjenovanja i stepenovanja razlomaka. Algebarske operacije zovemo zajedno racionalnim i iracionalnim operacijama. Sve operacije koje nisu algebarske zovemo transcedentnim. Racionalni izrazi su izrazi u kojima se pojavljuju

racionalne operacije nrp.

,

, . Racionalni izrazi

mogu biti: cijeli i razlomljeni. Racionalni izrazi koji ne sadrţe djeljenje općim brojevima

zovemo cijeli. Npr.

.

Racionalni izraz koji sadrţi djeljenje općim brojevima zovemo razlomljenim. Npr.

,

.

Racionalne izraze oblika

, gdje je

zovemo polinom n-tog stepena, sa jednom promjenjivom . Koeficijenti ne zavise od

, a je prirodan broj. Racionalne funkcije su one funkcije u kojima se zavisno promjenjiva varijabla dobija kada se argument podvrgne konačnom broju racionalnih operacija i realnih konstanti. Opći

oblik racionalne funkcije:

, gdje je .

Zavisno od broja dobijamo:

Za linearna funkcija

Za kvadratna funkcija (parabola)

Za kubna funkcija (kubna parabola) Itd. Sve racionalne funkcije su najjednostavnije funkcije matematičke analize. Algebarske funkcije su one funkcije u kojima su zastupljeni algearski izrazi. U ove funkcije spadaju sve racionalne i iracionalne funkcije kao najčešći oblik inverznih racionalnih funkcija.

Primjer 21. Primjeri algebarskih funkcija: √

, ( √ )

( √ )

Sve funkcije koje nisu algebarske zovemo transcedentne funkcije. Osnovne transcedentne funkcije su: trigonometrijske, eksponencijalne, hiperbolne, i njihove inverzne funkcije odnosno arkus funkcije. Naziv transcedentne dobile su po tome što defenisanje ovih funkcija „prevazilazi snage algebre“ ili lat. Algebrae vires transcendit, odnosno nisu algebarske operacije primjenjene u konačno mnogo puta.



52

2.3.2 LINEARNA FUNKCIJA (JEDNAČINA PRAVCA)

Opći oblik linearne funkcije dobija se za n=1, odnosno: .

Pretpostavimo da imamo jedan pravac u koordinatnom sistemu te dvije tačke A i B, koje

imaju koordinate i respektivno i koje pripadaju pravoj . Sa slike 2.14 jasno se vidi da je:

(2.3)

Također lako se uočava da je pa je . Iz

slijedi da je

.

Pretpostavimo da je tačka pripada pravoj tada je:

tj.

(2.4)

Zadnja jednakosto izraza (2.4) zovemo jednaĉina prave, a zbog početne formulacije

jednačinu prave moţemo pisati i kao gdje je

. Broj

zovemo koeficijent smjera prave. On je jednak tangensu ugla štp ga prava zaklapa sa

pozitivnim dijelom ose . Broj l je odsječak na osi što ga pravi prava . Iz jednakosti 2.4 zaključujemo da nam je za prikaz linearne funkcije u grafičkom obliku potrebno bar dvije tačke, a Aksioma 1 Euklidove geometrije jedinstvenost te prave.

Slika 2. Grafik linearne funkcije



53

2.3.3 KVADRATNA FUNKCIJA

Graf kvadratne funkcije zove se i parabola. Kvadratna kao i linearna funkcija definisana je na cijelom intervalu realnih brojeva. Kvadratna funkcija uvijek posjeduje jednu ekstremnu vrijednost koja razdvaja dva intervala u kome je funkcija rastuća odnosno opadajuća.

Kada je i dobijamo čisto kvadratnu funkciju. Ta funkcija je parna pa je

simetrična u odnosu na osu. Za funkcija posjeduje maksimum u tački , a

za posjeduje minimum u istoj tački (sl. 2.15). Funkcija čija kvadratna jednačina ima konjugovano kompleksne korijene ne siječe x-osu (sl. 2.15), pa je na čitavom intervalu pozitivna ili negativna, zavisno od kvadratnog slobodnog koeficijenta.

Slika 2. Različiti grafici kvadratne funkcije



54

2.3.4 KUBNA FUNKCIJA

Graf kubne funkcije zovem još i kubna parabola. Definisana je na cijelom intervalu

realnih brojeva. Čista kubna parabola dobije se za . Ta funkcija je naparna pa je centralno-simetrična u odnosu na koordinatni početak.

Na čitavom intervalu je strogo rastuća u odnosno opadajuća zavisno od kubnog

koeficijenta polinoma .Nema ekstremnih vrijednosti. Postoji samo tačka infleksije iz koje funkcija prelazi iz konkavnosti u konveksnost.

2.3.5 STEPENA FUNKCIJA

Stepena funkcija je funkcija oblika , gdje je .

Ako je racionalan broj, tada je ovo algebarska funkcija inače je transcedentna, kao što smo pokazali ranije. Čisto kvadratna i kubna funkcija spadaju također u stepene funkcije. Ako se upustimo u opće razmatranje stepene funkcije zaključujemo da moţemo definisanti razne oblike stepene funkcije pri određenim uslovima. Drugim riječima za

različite vrijednosti stepena dobijamo i različite vrste stepene funkcije. Domena

stepena funkcije zavisi od vrijednosti stepena pa tako imamo:

Za funkcija je definisana za

Za funkcija moţe ali i nemora biti definisana za neke vrijednosti stepena .

Kada je

, tj. kada je pozitivan racionalni broj tada je funkcija definisana za

, a ako je i za , graf funkcije je simetričan u odnosu na y osu tj. funkcija je parna.

Slika 2. Različiti grafici kvadratne funkcije



55

A ako je graf funkcije je osnosimetričan u odnosu na koordinatni početak pa je funkcija neparna.

Ako pak je , tada za neparno funkcija je definisana samo za .

Ako je pri čemu je iracionalan broj funkcija je definisana samo za

Sve posljednje rečeno vaţi i za , s tim što stepena funkcija nije definisana za

, jer tada funkciju ne moţemo napisati u obliku

što za nije definsan izraz.

Ako stepena funkcija ima inverznu funkciju zada ona također stepena inverzna funkcija

odnosno ,

,

.

Objasnimo nakratko ponašanje stepene funkcije za različite vrijednosti .

1. Kada je funkcija je rastuća u intervalu , grafik krive prolazi

kroz tačke i . Grafici ovih funkcija podjeljeni su u dvije klase u

odnosu na pravac .

2. Kada je , te kada je , krivu zovemo kao što smo već spomenuli parabola.

3. Kada je , tada moţemo uzeti smjenu , pa je

.

Ove krive opadaju u intervalu . Kada raste tada i obrnuto. i

ose su u ovom slučaju asymptote krivih. Krive prolaze kroz tačku . Glavni

predstavnik ovih krivih je hiperbola

, gdje se krive grupišu u dvije familije

za i , dok u tački (1,1) funkcija nije definisana.

Grafici stepene funkcije zovemo još i politropnim krivim linijama.

2.3.6 EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE

Svaki oblik funkcije , gdje je zovemo eksponencijalna funkcija. Ako je

tada vrijednosti argumenata mogu biti samo oblika

, gdje je - neparan broj.

Kada je za istu vrijednost broja , iracionalan broj i oblika

, gdje je – paran

broj, tada funkcija nije definisana.

Zbog ovih uslova eksponencijalna funkcija posmatra se samo kada je . Ako je taj

uslov ispunjen tada funkcija ima uvijek pozitivnu vrijednost, što znači da se

nalazi iznad -ose. Da li eksponencijalna finkcija srtrogo rastuća ili opadajuća zavisi od

broja .



56

Kada je tada je funkcija strogo rastuća na cijelom intervalu .

Kada je tada je funkcija na cijelom interval opadajuća. Eksponencijalna

funkcija za obe vrijednosti broja ima za horizontalnu asimptotu osu x.

Kada je tada je funkcija konstantna . Grafički prikaz eksponencijlne funkcije drugčije zovemo eksponencijlne krive.

2.3.7 LOGARITAMSKA FUNKCIJA

Iz samog naziva zaključujemo da bi logaritamska funkcija bila svaka funkcija oblika

. Iz definicije logaritamske operacije moţemo zaključiti da je logaritamska

funkcija inverzna funkcija eeksponencijalne funkcije . Da bi egzistirala

logaritamska funkcija mora postojati njena inverzna funkcija odnosno mora biti: . Za prikaz grafa logaritamske funkcije posluţićemo se osobinom inverzne funkcije.

Slika 2. Grafik eksponencijalnih funkcija



57

Kada grafik eksponencijalne funkcije okrenemo oko prave za dobijamo grafik logaritamske funkcije. Iz grafika funkcije zapaţamo da je logaritamska funkcija

definisana samo za pozitivne vrijednosti argumenta . Svaka logaritamska funkcija siječe

– osu u tački . Za logaritamska funkcija je strogo rastuca, inače je

opadajuća u intervalu ( ). Za logaritamska funkcija prelazi u konstantu

. Za oba slučaja logaritamske funkcije postoji jedna zajednička asimptota , odnosno za logaritamsku funkciju y – osa predstavlja ujedno i asimptotu.

2.3.8 HIPERBOLNE FUNKCIJE

Posmatrajmo polu zbir i polu razliku dviju eksponencijalnih funkcija:

i

. Njihove grafike lako moţemo dobiti ako saberemo odnosno oduzmemo

grafike eksponencijalnih funkcije

i

.

Ispitajmo parnost ovih funkcija:

(2.5)

Vidimo da je –parna funkcija dok je - neparna funkcija.

Slika 2. Grafik eksponencijalne funkcije i njene inverzne logaritmaske

funkcije , za različitu vrijednost . Strelica pokazuje eksponencijalnu i njenu inverznu logaritmamsku krivu



58

Ako umjesto prouzvoljnog broja stavimo Eulerov broj tada smo dobili tzv. Hiperbolne funkcije.

– sinus hiperbolni

– cosinus hiperbolni

(2.6)

Analogno trigonometrijskim funkcijama imamo korespodentne tangens i kotangens hiperbolne funkcije:

– tangens hiperbolni

– kotangens hiperbolni

(2.7)

Grafici ovih funkcija vidimo na gornjoj slici. Iz samog grafika moţe se uočiti da je

strogo rastuća, a rastuća u intervalu , a opadajuća u . Već smo

pokazali da je neparna, a parna funkcija, pa iz tog zaključujemo po

osobinama zbira i razlike funkcija da je i neparne funkcije, odnosno rastuća odnosno opadajuća funkcija respektivno. Moţemo također kazati da se hiperbolne funkcije slično ponašaju kao i trigonometrijske, bar kad govorimo oko same definicije funkcija. Za hiperbolnu funkcijuslično kao i za trigonometrijsku moţemo dokazati sljedeću teoremu.

Slika 2. Grafik hiperbolnih funkcija



59

Teorema 2.2.

Dokaz

Zbog jednostavnosti dokaza, čitalac moţe ali i ne mora dokazati nedokazane dijelove teoreme.

.

Što je i trebalo dokazati.

Napomena Iz zadnja tri svojstva lako dolazimo do relacija za dvostruke

vrijednosti argumenata kada se stavi da je .



60

2.3.9 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Još iz srednje škole poznate su nam trigonometrijske funkcije. Značajna osobina ovih funkcija je njihova periodičnost. Iz adicionih teorema se moţe vidjeti da je periodičnost

sinusne i kosinusne funkcije , a tangens i arkustangens . Također, lako se moţe dokazati da je kosinusna funkcija parna a sinusna neparna, odnosno tangens i kotangens su neparne funkcija. Sve ove osobine su vidljive iz grafa funckije.

Sa grafika se vidi da su trigonometrijske funkcije ograničene funkcije. Sinusna funkcija je

monotono rastuća na intervalu od

, a monotono opadajuća na

intervalu

. Kosinus funkcija je strogo opadajuća na intervalu

. A monotona rastuća na intervalu . Tangens funkcija je strogo rastuća na cijelom intervalu, a kotangens opadajuća. Tangens i

kotangesn funkcije imaju asimptote u tačkama

, odnosno respektivno.

2.3.10 ARKUS FUNKCIJE

Funkcije inverzna trigonometrijskim i hiperbolnim jednim imenom zovem arkus funkcije.

2.3.10.1 Inverzne hiperbolne funkcije

Funkcije zovemo inverznim hiperbolnim

funkcijama funkcija respektivno. POsmatrajmo

inverznu funkciju funkcije , dobijamo , Ova funkcija je rastuća na cijelom interval realnih brojeva. Iz sam edefinicije imamo:

Slika 2. Grafik trigonometrijskih funkcija



61

Rješavanjem jednčine po imamo:

√ U rješenju smo uzeli samo pozitivnu vrijednost, jer drugo rješenje otpada.

(2.8)

Iz zadnjih izraza vidimo da je:

√ (2.9)

Ova funkcija raste na poluintervalu [ . Sa grafa se vidi da za ove vrijednosti

argumenta funkcija dobija vrijednosti na [ .

Analogno moţemo doći do izraza za :

√ (2.10)

Iz zadnjeg izraza jasno se vidi da domena funkcije mora biti , što smo već rekli.

Funkcija je monotono opadajuća na intervalu , a monotono rastuća na

intervalu . Zbog inverznosti funkcije zaključujemo da će ova funkcija

biti monotono opadajuća na dijelu ,kada je u izrazu znak -, a rastuća kada je u izrazu znak +, na istom intrevalu argumenta. ....



62

63 Izvod funkcije Bahrudin Hrnjica


63

IZVOD FUNKCIJE 3



64

3.1 POVIJEST IZVODA

Kad ne bi bilo izvoda (derivacije) svi naši snovi vezani za uspjeh u polju matematike bili bi lako ostvarivi. Matematika bi se bavila samo elementarnim stvarima. Doista, matematika bi se svela na elementarnu matematiku. Kaţu da padom jabuke na Newtonovu glavu sve je krenulo drugačije. Ta nesretna jabuka okrenula je Newtona tada ka spoznaji osnovnih zakona dinamike i gravitacije. Newton je za dokaz svojih zakona, povrh siromašnih eksperimenata koje je izvodio, za svoje zakone morao naći matematički aparat da ih dokaţe. Otkrićem diferencijalnog i integralnog računa Newton je dokazao svoje zakone, a nama običnim smrtnicima – studentima ostavio jabuke i diferencijalni račun za posvetu. Mnogi filozofi se spore o tome koliko je jabuka palo na Newtonovu glavu. Veliki dio njih zagovara tezu da je nemoguće da padom samo jedne jabuke opravdava činjenicu Newtonovog djela. Po njihovom mišljenju smatra se da je na Newtonovu glavu palo bar desetak jabuka i to krupnijih koje rastu na vrhu drveta, u

malom vremenskom intervalu . Kad ne bi bilo izvoda, čitav ovozemaljski razvoj tehnike i tehnologije sigurno bi bio na stepenu razvoja u Newtonovo doba. Moţemo s pravom reći da smo imali sreće. Da nema izvoda sigurno ne bi bilo ni kompjutera, ni video igrica ni flipera. Povrh svih mučnina koje nam zadaje izvod, ipak neka samo postoje kompjuteri i ostalo uz njih, a za izvode ćemo lako – rekao je neko iz mase. POJMOVI PREKO KOJIH SE DEFINIŠE IZVOD Da bismo definisali izvod neke funkcije moramo objasniti neke sporedne stvari koje okruţuju izvod, a to su: • Tangenta i konstrukcija tangente • Srednja i trenutna brzina

3.1.1 KONSTRUKCIJA TANGENTE

Definicija tangente u elementarnoj geometriji, koja se radi u osnovnoj školi, definiše tangentu kao jednu pravu koja ima samo jednu zajedničku tačku sa kruţnicom. Međutim, ima tu nešto. Tačno je da se radi o jednoj tački i tačno je da se radi o pravoj. Međutim,

kada pogledamo iz drugog ugla stvari odnosno sliku 3.1, vidimo kako jedna prava siječe



65

parabolu samo u jednoj tački, ali ova prava nije tangenta date parabole u toj tački. Prava

tangenta u toj tački je prava koja je normalna na pravu i prolazi tačkom . Da bi smo došli do valjane definicije tangente uočimo sliku i sve što je na njoj nacrtano.

Slika 3.2 sadrţi jednu krivu , dvije tačke te pravu koja spaja ove tačke. Vidimo da

prava siječe krivu u obliku kriške lubenice te ćemo je nazvati sječica . Kada hoćemo da odsjećemo što manji komad lubenice odnosno krive, mi ćemo postupiti tako

da tačku pomjeramo prema tački preko ruba lubenice odnosno krive. Ako se tačka

, krijući se, pribliţava tački kriška lubenice će se sve više smanjivati.

Sječica će se mijenjati u odnosu na početni poloţaj, i kad tačka teţi tački , teţi

jednom graničnom poloţaju. Granični poloţaj sječice upravo će biti tangenta, tj. lubenica će ostati čitava.

Slika 3. Poloţaj krive, sječice i tangente

Slika 3. Sječica



66

Definicija 3.1. Tangenta krive u datoj taĉki zove se graniĉni položaj sjeĉice

kada taĉka ove krive teži po krivoj ka taĉki .

Ako se napravimo Englezi i ţelimo da ne odsječemo lubenicu tj. da nam tačka teţi

tački koeficijent smjera krive u tački jednak je koeficijentu smjera tangente krive u toj tački. Sve prethodno rečeno kaţimo na jednom drugom (matematičkom) jeziku.

Posmatrajmo sliku, tamo ćemo vidjeti krivu sličnu prošloj krivoj i koordinatni sistem

. Ova kriva koju vidimo je grafik neprekidne funkcije . U gornjem dijelu

smo kazali da je kojeficijent smjera sječice koja prolazi tačkama koje imaju

koordinate , a . Koordinate tačke lako se prepoznaju ako

znamo da je odnosno , što se sa slike moţe vidjeti. Nadalje, znamo da je koeficijent smjera dat izrazom:

(4.1)

Dakle koeficijent smjera tangente krive u tački jednak je graničnoj

vrijednosti količnika

priraštaja funkcije i priraštaja argumenta (nezavisno

promjenjive ) kad on teţi nuli. Kao i u Poglavlju I (Matematička indukcija) mi definišemo neke sporedne pojmove, nesvjesno dolazimo do onoga čemu ovdje teţimo da definišemo – to je prvi izvod

funkcije. Zadnja tvrdnja koju smo napisali izraz 2.1 zovemo prvi izvod funkcije ili

Slika 3. Sječica



67

kraće izvod funkcije , a kojeg obiljeţavamo sa (čitaj prim jednako

prim od ). Dakle prvim izvodom funkcije zovemo:

(4.2)

Na ovaj način smo definisali šta je koeficijent smjera krive u tački, odnosno koeficijent smjera tangente u tački, a istovremeno smo se upoznali sa osnovnom metodom određivanja koeficijenta smjera tangente u datoj tački krive, odnosno vidjeli smo jednostavni postupak konstruisanja tangente.

3.1.2 SREDNJA I TRENUTNA BRZINA

Iz fizike nam je dosta stvari jasno kada spomenemo srednju i trenutnu brzin. Kada smo slušali predavanja iz fizike profesori su nam objašnjavali da je srednja brzina količnik

priraštaja puta i vremenskog intervala tj. priraštaja vremena za koje je

tijelo prešlo put , odnosno:

(4.3)

Znamo da je zakon puta skoro uvijek povezan sa vremenom , pa je . Ako

posmatramo priraštaj puta koji je tijelo prešlo za moţemo napisati kao , pa nam je srednja brzina jednaka:

(4.4)

S gornjim izrazom uvijek se moţe izračunati neka srednja brzina koje se u toku nekog

vremenskog intervala promijenila više puta. Međutim, ako posmatramo vremenski

interval što manji promjene brzine za dati vremenski interval će biti sve manje. Kada

pustimo da srednja brzina će postati trenutna:

(4.5)

Trenutna brzina (brzina u trenutku t odnosno je granična vrijednost

srednje brzine u vremenskom intervalu kad . Drugim riječima:

(4.6)

I ovdje vidimo da je trenutna brzina kretnja izvod duţine puta po vremenu. Na ovaj način (preko srednje i trenutne brzine) je Newton definisao izvod funkcije pa se čak moţe reći da je orginalna definicija izvoda upravo definisana preko srednje odnosno



68

trenutne brzine. Moţemo s pravom kazati: Izvod je brzina promjene duţine puta po vremenu.

3.2 POJAM IZVODA FUNKCIJE

Namjernim raspravljanjem o tangenti i srednjoj i trenutnoj brzini odnosno koeficijentu smjera tangente došli smo do pojma izvoda:

(4.7)

Kao i kod definisanja trenutne brzine, u koliko je poznat zakon puta , do pojma izvoda moţemo doći bilo kakvim izračunavanjem brzine promjene neke veličine u toku vremena ako je poznat zakon ovisnosti te veličine od vremena.

Definicija 3.2.

Izvod funkcije po argumentu je graniĉna vrijednost koliĉnika priraštaja funkcije i priraštaja argumenta kad priraštaj teži nuli, tj.

Kada govorimo o izvodima često se spominje riječ od 3 slova - diferenciranje.

Diferenciranje nije ništa drugo do granični proces kojim se dolazi do izvoda y' funkcije .

Za funkciju koja ima izvod u tački kaţemo da je diferencijabilna u toj tački.

Kada kaţemo da je funkcija direfencijabilna na nekom intervalu to znači da je ista diferencijabilna u svakoj tački intervala. Vidjeli smo i prije nego smo definisali izvod da ona (kako je na početku rečeno) ima veliku primjenu. Kada krenemo od geometrijske interpretacije izvoda do mehanike, preko fizike i td, sve do kompjutera video-igrica i flipera. Razmotrimo jednu vaţnu osobinu izvoda funkcije, a to je diferencijabilnost i neprekidnost. Prije nego smo interpretirali izvod, pretpostavljali smo da nam funkcija mora biti neprekidna. Neprekidnost i diferencijabilnost tvore sljedeću teoremu:

Teorema 3.1.

Ako funkcija definisana na intervalu ima izvod u

taĉki koja pripada tom intervalu odnosno , (odnosno diferencijabilna je u datoj taĉki), tada je ona i neprekidna.

Dokaz:

Pretpostavka teoreme je da je funkcija diferencijabilna u tački tj.

postoji

. Ako nam je , tada moţemo pisati:

Sada imamo, ako primijenimo granični proces na zadnji izraz:

Dakle, kada , tada . To znači da diferencijabilna funkcija



69

je istovremeno i neprekidna u datoj tački. Ovo je jedan od najvaţnijih teorema koji se tiče Izvoda funkcije. Jednostavno bez ovog teorema ne bi smo mogli tako jednostavno “šetati” područjem izvoda. Gotovo kod svakog zadatka koji se tiče izvoda neke funkcije koristi se ovaj teorem. Ako bi se pitali da li vaţi obrnut teorem, tj. da li je funkcija diferencijabilna ako je neprekidna, odgovor na ovo pitanje bio bi “NE”. Prije nego dokaţemo ovaj teorem pročitajte sljedeću napomenu.

Napomena 3.1.

U matematici postoje dokazi za neke teoreme koje sprovodimo na taj način da nađemo bar jedan primjer koji opovrgava datu teoremu. Jednostavno pokazujući na jednom primjeru kontradiktornost teoreme mi je samim tim i dokazujemo.

Teorema 3.2. Da li važi obrnut teorem prethodne Teoreme 2.1.

Dokaz:

Ovaj teorem ćemo dokazati navođenjem samo jednog primjera koji

govori o tome da obrat ne vaţi. Posmatrajmo funkciju | |. Ta funkcija je neprekidna na čitavom intervalu realnih brojeva. Graf

funkcije daje je na slici 2.3. Sa slike se moţe vidjeti da je

a

. Iz zadnjih izraza vidimo da je granična vrijednost

količnika

za lijevu i desnu graničnu vrijednost po argumentu

različita, što znači da derivacija funkcije | | u tački nema

jedinstven izvod. Drugim riječima funkcija u tački nije diferencijabilna. Dokaz teoreme je završen.

Slika 3. Grafik funkcije | |.



70

Na osnovu prethodne dvije teoreme zaključujemo: svaka diferencijabilna funkcija ujedno je i neprekidna, dok svaka neprekidna funkcija nije uvijek i diferencijabilna. Pojam diferencijabilnosti je uţi pojam od pojma neprekidnosti.

3.3 IZVODI ELEMENTARNIH FUNKCIJA

Sada ćemo u obliku teorema izračunati izvode nekih elementarnih funkcija, koje se, pri rješavanju sloţenih zadataka koriste kao konačni izrazi. Za rješavanje izvoda elementarnih funkcija pretpostavljamo da su funkcije neprekidne i diferencijabilne tj. samo diferencijabilne. Pri dokazivanju ovih teorema naučićemo neke fore i fazone dirferenciranja koje ćemo kasnije u rješavanju zadataka koristiti.

Teorema 3.3. Izvod konstante je jednak nuli.

Dokaz:

Pretpostavimo da nam je zadana funkcija , gdje za svaki

argument odnosno nezavisnu promjenjivu vrijednost funkcije je

. Izračunajmo priraštaje:

Izračunajmo količnik i graničnu vrijednost priraštaja shodno definiciji izvoda:

Napomena 3.2.

Ako pri rješavanju zadataka glede izvoda dobijete da je izvod u nekoj tački jednak nuli, tada nuţno neimplicira da je funkcija konstantna. Kasnije će se pokazati da je to ekstremna vrijednost funkcije ili neka druga specijalna tačka.

Teorema 3.4. Izvod funkcije gdje je prirodan broj, tada je :

.

Dokaz:

Izračunajmo priraštaje:



71

Po binomnoj formuli razdvajamo izraz pa imamo:

( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

Ako zadnji izraz podjelimo sa imamo:

(

) (

) ( )

Kad imamo izvod:

( )

(

)

( )

Izračunavanjem graničnih vrijednosti pojedinih sabiraka imamo, da će prvi član ostati isti dok će ostali biti jednaki nuli. Pa na kraju imamo:

Ako sad teoremu generaliziramo, tj. ako je neki realni broj imamo analogno:

Generalizirana teorema se neće dokazivati.

Teorema 3.5. Izvod , jednak je

Dokaz:


Zadnje dvije jednakosti dobijaju se iz trigonometrijskih jednakosti zbira



72

i razlike uglova odnosno:

Sada imamo:

Potraţimo li graničnu vrijednost gornjeg izraza imamo:

Kad samo razmotrili graničnu vrijednost, uočili som da je

. Ovo nam je poznato iz poglavlja o graničnim vrijednostima funkcija. S toga imamo:

Teorema 3.6. Izvod , jednak je

Dokaz:


Sada imamo, po trigonometrijskim teoremama (vidi prethodnu teoremu):

Potraţimo li graničnu vrijednost gornjeg izraza imamo:



73

Kad samo razmotrili graničnu vrijednost, uočili smo da je

. Ovo nam je poznato iz poglavlja o graničnim vrijednostima funkcija. S toga imamo:

Sada ćemo upoznati jedan fazon (teoremu), koji se često koristi kod izračunavanja izvoda.

3.3.1 IZVOD ALGEBARSKOG ZBIRA DVIJE FUNKCIJE

Teorema 3.7.

Izvod algebarskog zbira dviju ili više funkcija koje su diferencijabilne jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Drugaĉije reĉeno ako je , gdje je , i , tada je:

Dokaz:

Odredimo priraštaje . Kada nezavisno promjenjiva varijabla

dobije priraštaj , tada će automatski i funkcije dobiti

priraštaje respektivno, jer svaka od tih funkcija je zavisna

od argumenta i oni će teţiti nuli , zato što

priraštaj argumenta teţi nuli ( ), pa je priraštaj ukupne funkcije:

Odnosno dijeljenjem sa imamo:

Izračunavanjem granične vrijednosti količnika, te znajući da je zbir limesa jednak limesu zbira imamo:



74

a to nije ništa drugo do:

što je i trebalo dokazati.

Grafičku interpretaciju ovog dokaza moţemo vidjeti na slici 3.5.

Neka je . Na slici 2.5 vidimo da je koeficijent smjera tangente krive y

jednak zbiru koeficijenata smjerova i u tački . Fazon zbira je dosta pogodan kad rješavamo zadatke. Međutim, mnogo bolji fazon od kazanog je fazon proizvoda dviju funkcija.

3.3.2 IZVOD PROOIZVODA I KOLIČNIKA DVIJE FUNKCIJE

Teorema 3.8. Izvod proizvoda dviju diferencijabilnih funkcija , gdje su

i jednak je: .

Dokaz:

Odredimo prvo priraštaj tj. priraštaj i preko priraštaja , jer

funkcije i direktno zavise od . Kada tada će i . Zbog toga imamo:

Odnosno djeljenjem sa imamo:

Slika 3. Grafički prikaz zbira izvoda



75

Izračunavanjem granične vrijednosti količnika, te znajući da je proizvod limesa jednak limesu proizvoda imamo:

Proof. a to nije ništa drugo do:

Zadnjim izrazom smo dokazali teoremu.

I ova teorema moţe biti generalizirana na sljedeći način:

Teorema 3.9.

Generalizacija prethodne teoreme. Neka je

∏

tada je:

(∏

)

∏

∏

∏

∑

(

∏

)

Dokaz ove teoreme uradićemo matematičkom indukcijom. Dokaz:

Neka je tada se naša teorema svodi na jednu funkciju. Međutim, mi uvijek

moţemo to smatrati kao dvije funkcije gdje je druga funkcija konstanta i to . Sada imamo:

. Po Teoremi 2.5 imamo:



76

Pošto je , to je , pa je . Što je i trebalo dokazati.

Neka je . Za ovu vrijednost broja naša teorema je već dokazana, odnosno svodi se na prethodnu.

Pretpostavimo da je teorema 3.5 tačna za , tj. da je:

(∏

)

∑

(

∏

)

(2.1)

Potraţimo derivaciju za . Primjenjujući prethodnu teoremu oko proizvoda dvije funkcije imamo:

[ ] (∏

)

(∏

)

(∏

)

(∏

)

[

∑

(

∏

)

]

(∏

)

(∏

)

∏

∏

∏

∏

(∏

)

∑

(

∏

)

Zadnji izraz nam pokazuje da teorema vrijedi za , pa nam po principu matematičke indukcije vrijedi za sve prirodne brojeve.

Teorema 3.10.

Ako je zadan koliĉnik dviju funkcija koje su diferencijabilne

odnosno:

, gdje je i gdje je .

Izvod koliĉnika definisan je izrazom:



77

(

)

Dokaz:

Uzmimo priraštaje , i koji dobijaju funkcije i

, , argument dobije priraštaj . Zbog toga imamo:

Odnosno sređivanjem imamo:

Djeljenjem sa imamo:

Izračunavanjem granične vrijednosti količnika, te znajući da je količnika limesa jednak limesu količnika imamo:


Savaladali smo nekoliko krucijalnih pravila za izračunavanje izvoda. Sada smo u stanju kompleksnije izvode računati.



78

3.3.3 IZVODI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Teorema 3.11.

Izvod funkcije jednak je

. Tj.

Dokaz:

Po definiciji tangensa znamo da je:

. Ako ovako

definisanu trigonometrijsku funkciju podvrgnemo sa prethodnom teoremom količnika imamo:

(

)

Pa je naša teorema dokazana.

Teorema 3.12.

Izvod funkcije jednak je

. tj.

Dokaz:

Po definiciji tangensa znamo da je:

. Ako ovako

definisanu trigonometrijsku funkciju podvrgnemo sa prethodnom teoremom količnika imamo:

(

)

Ovim je naša teorema dokazana..

Teorema 3.13.

Izvod logaritamske funkcije jednak je

tj.

Dokaz:

Na samom početku dokaza potrebno je kazati da ovo vrijedi ukoliko

su zadovoljena sljedeća ograničenja: . Izračunajmo

priraštaj funkcije .

Dijeljenjem sa imamo:



79

Kada izraz

napišemo u obliku

imamo:

(

)

(

)

Stavimo li da nam je

, tada imamo da ako

.

Kada moţemo pisati:

(

)

Ove transformacije i graničnu vrijednost odradili smo u poglavlju o graničnim vrijednostima funkcije. Moţemo pisati:

Kako je

moţemo pisati:

Za specijalni slučaj kada je imamo:



80

3.3.4 IZVOD INVERZNE FUNKCIJE

Umjesto dokaza daćemo grafičku interpretaciju, odnosno geometrijsko objašnjenje

teoreme. Pretpostavimo da imamo (Slika 2.6) grafik funkcije i tačku koja ima

koordinate , u kojoj je povučena tangenta .

Tangenta ima koeficijent smjera odnosno gradi sa pozitivnim dijelom ose ugao

, dok sa osom gradi ugao . Poznato je po definiciji izvoda funkcije da je:

Grafik funkcije je istovremeno grafik inverzne pomenute funkcije

gdje je sada nezavisno promjenjiva, i diferenciranje izvršeno po . Ako tako

posmatramo funkciju , zaključujemo da je:

Ako se bolje zagledamo u sliku 3.6, zaključićemo da su uglovi i suplementni uglovi,

tj. zbir dotičnih uglova iznosi . Na osnovu toga i trigonometrijskih transformacija zaključujemo da moţemo pisati:

Teorema 3.14.

Ako funkcija ima izvod i ako je inverzna funkcija date funkcije tada je:

Slika 3. Inverzna funkcija



81

odnosno

ili

Na ovaj jednostavan način dobijamo vrlo vaţnu vezu između dviju inverznih funkcija. Ova veza omogućuje nam jedan cijeli spektar fazona koje ćemo koristiti u narednim teoremama i zadacima. Znači kad god znamo izvod neke funkcije lako nalazimo izvod njene inverzne funkcije (svakako, ako ono postoji). Inverzna funkcija obrađena je u poglavlju o funkcijama, tako da su prethodni koraci u grafičkom dokazu teoreme poznati.

Ako se grafik inverzne funkcije preslikava simetrično u odnosu na pravu (vidi sliku

3.7,) dobija se kriva čija tangenta u tački gradi sa osom također ugao koji se moţe jednostavno provjeriti kada se primijeni osobine simetričnosti krivih.

Teorema 3.15.

Izvod eksponencijalne funkcije za iznosi

tj.

Dokaz:

Zadatak ćemo riješiti pomoću prethodne teoreme. Ako namjerno

stavimo , mi smo tada dobili funkciju gdje je, nezavisno

promjenjiva a zavisno promjenjiva. Potraţimo inverznu funkciju te funkcije. Imamo:

Slika 3. Inverzna funkcija



82

Ako se napravimo Englezi i riješimo ovu logaritamsku jednačinu po

imamo:

Ako pogledamo izraz vidimo da smo dobili inverznu funkciju od funkcije

Pošto znamo iz prethodne teoreme da je:

Primijenivši to na našu teoremu imamo:

( )

Rješavajući dvojni razlomak, te znajući da je:

imamo:

Pošto je: imamo:

Specijalno za imamo .

Teorema 3.16.

Izvod funkcija , , i

iznose respektivno:

√ ,

√ ,

,

,

odnosno:

1.

√



83

2.

√

3.

4.

Dokaz:

Za dokaz ove teoreme sluţimo se inverznom funkcijom. Poznavajući izvode inverznih funkcija lako dolazimo do izvoda njihovih inverznih varijanti.

1.)

√

Kako je , jer je sada imamo:

√ [ ]

√

Na kraju:

√


2.)

√

Kako je , jer je sada imamo:

√ [ ]

√

Na kraju:

√


3.)

Kada uvrstimo smjenu tj. imamo:



84


4.)

Kada uvrstimo smjenu tj. imamo:


3.3.5 IZVOD HIPERBOLNIH FUNKCIJA

Teorema 3.17.

Izvodi hiperbolnih funkcija glase:

1.

2.

3.

4.

Dokaz:

Obzirom da je po definiciji hiperbolna funkcija:

Izvode funkcija dobijalmo neposrednim deriviranjem već poznate

funkcije .

1.)



85

(

)

(

)

(

)

(

)

Ovdje je korištena derivacija sloţene funkcije koju još nismo upoznali. Sloţena funkcija detaljno je opisana u nekoj od narednih stranica.

2.)

(

)

(

)

(

)

(

)

3.)

(

)

(

)

4.)

(

)

(

)

U dokazu zadnje dvije funkcije koristili smo jednakost hiperbolnih

funkcija:

To su bili izvodi u obliku teorema za određene elementarne funkcije. U narednom rješavanju, bilo teorema bilo zadataka, smatraće se da su prethodne teoreme poznate i neće se dodatno dokazivati. Pregled izvoda elementarnih funkcija:



86

3.3.6 TABLICE PRAVILA I OSNOVNIH IZVODA

Tabela: 3. Tablica osnovnih postupaka računanja izvoda

IZRAZ IZVOD NAPOMENA

Izvod konstante i funkcije.

Zbir izvoda.

Proizvod izvoda.

(

)

Količnik izvoda, gdje je

Tabela: 3.: Pregled izvoda elementarnih funkcija

FUNKCIJA IZVOD NAPOMENA

(

)

(√ )

√

√

√



87

3.4 DIFERENCIJAL FUNKCIJE

Koliko god je riječ diferenciranje slična riječi diferencijal toliko je i sam proces diferenciranja sličan računanju diferencijala funkcije. U stvari drugi naziv za izvod (diferenciranje) dobilo je naziv upravo od diferencijala. Neposredna posljedica diferencijala je diferenciranje. Povrh svega što je rečeno treba strogo razlikovati ta dva pojma.

Pretpostavimo da nam je data funkcija i da ona ima izvod u tački . Moţemo pisati:

.

Uzimajući u obzir pojam beskonačno male veličine vidimo da nam je razlika između i

beskonačno mala, kad . Tu beskonačno malu veličinu označimo sa .

Moţemo pisati da je:

(4.1)

Mnoţeći jednakost gornji izraz sa imamo:

(4.2)

Poznato je da zavisi od , a se ne mijenja kad pa imamo:

(4.3)

Zadnji izraz izraţava priraštaj funkcije . Vidimo da je taj priraštaj jednak zbiru

. Kad tada teţi nuli brţe nego jer je

,

dok se sabirak zove glavni dio priraštaja funkcije. Druga vaţna osobina

izraza je da je linearan po . Preko zadnjih relacija došli smo da pojma diferencijala.

Definicija 3.2:

Diferencijal funkcije zove se proizvod izvoda

funkcije i priraštaja nezavisno promjenjive:

ili

Prethodnu definiciju moţemo kazati i tako da je diferencijal funkcije glavni dio priraštaja

te funkcije. Označavamo ga sa ili . Ako namjerno uzmemo funkciju i potraţimo diferencijal dobićemo

odnosno . Kada stavimo umjesto varijablu imamo da je . Sada



88

dolazimo do zaključka da je diferencijal nezavisno promjenjive jednak njegovom

priraštaju. Zato diferencijal ili pa je:

ili

ili

Zadnje jednakosti dokazuju nam neposrednu posljedicu izračunavanja diferencijala funkcije sa diferenciranjem. Moţemo zaključiti:

Definicija 3.3:

Izvod funkcije predstavlja koliĉnik diferencijala funkcije i diferencijala nezavisno promjenjive odnosno izvod funkcije predstavlja diferencijalni koliĉnik funkcije.

Zbog zadnje definicije u mnogim literaturama ne samo matematičkim nego i drugim tehničkim nalazimo upravo ovako definisani izvod funkcije, odnosno nalazimo upotrebu

simbola

za izvod funkcije, tj.

Razmotrimo još jednom jednakost 4.3:

kako je: , moţemo pisati:

Kad tada . Kada usporedimo beskonačno male vrijednosti i

, te uz raniju pretpostavku imamo:

Pošto je d tada će

, pa ostaje samo

kad .

Iz zadnjih izraza zaključujemo da je priraštaj funkcije jednak diferencijalu funkcije za

dovoljno malo . Relacija

vrlo je značajna u praksi kada se umjesto priraštaja

uzima diferencijal koji je ponekad jednostavnije izračunati od priraštaja. Diferencijal uvijek moţemo učiniti dovoljno tačnim da nam bude jednak priraštaju. Uradimo jedan primjer i uvjerimo se u gornje kazano.

Primjer 3.1: Izraĉunati bez digitrona koliko iznosi √



89

Dokaz:

Poćićemo od funkcije √ . Od ranije znamo da je

√ √ , a dok je diferencijal

√ . Na osnovu

prethodni izraza moţemo pisati:

√ √

√

odnosno

√

√ √

Ako stavimo da je , pa je onda logično , vrlo jednosavno dobijamo da je:

√

Greška koja je napravljena oviom radnjom reda je . Međutim mi nju (grešku) moţemo smanjiti po volji.



90

3.5 GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA DIREFENCIJALA

Grafička interpretacija diferencijala fnkcije nam omogućuje, kao prvo da slikovito shvatimo diferencijal, a drugo da shvatimo posljediće geometrijkog diferencijala.U tom pogledu uočimo na slici 2.8 dio grafa funkcije koja jediferencijabilna i na kome se nalaze

tačke , , i .

Ako konstruišemo duţ , tako da je || , tada je , a . Ako

povučemo tangentu u tački i njen presijek sa ordinatom tačke označimo sa .

Nadalje, pošto je || tada je , a ugao . Iz tog razloga

zaključujemo da je pravougli. Ako se sjetimo definicijala trigonometrijskih funkcija imamo:

A to nije ništa drugo do izvod u tački . Jednačina tangente koja

sadrţi tačke i a čije koordinate su , imamo:

(4.4)

Izraz 4.4 predstavlja jednačinu prave kroz dvije tačke, pa transformaciju dalje moţemo pisati:

pa ako je , moţemo pisati:

Slika 3. Geometrijska interpretacija diferencijala



91

Pa moţemo zaključiti na osnovu prethodnog: Diferencijal funkcije predstavlja priraštaj

ordinate tangente u tački u tački na grafu funkcije koji odgovara priraštaju

argumenta , tj. .

Grešku koju na ovaj način činimo tj. kada kaţemo da je data je na slici, a to je

duţ . Duţ uvijek moţemo učiniti malom koliko god ţelimo, jer ona zavisi

samo od toga koliko je blizu “prišao“ nuli.

Preko diferencijala došli smo do druge oznake izvoda funkcije, a to je

ili

Do obje relacije prvi je došao Leibnitz, pa je i po njemu dobila naziv Leibnitzova oznaka izvoda. Razmotrimo još jednom kako je došlo do toga. Krenuo je od definicije

diferencijala tj. , dijeljenjem sa imamo:

. Izvod funkcije

predstavlja količnik diferencijala funkcije i diferencijala argumenta. Sada moţemo lako da dokaţemo teoremu o izvodu inverzne funkcije date prethodno.

Dokaz: Teoreme 3.14

Neka imamo dvije funkcije i koje su međusobno inverzne. Neka je još funkcija strogo monotona. Diferencijal izračunavamo na sljedeći način:

dijeljenjem sa imamo:

Desnu stranu moţemo shvatiti kao Leibnitzovu formu izvoda funkcije

po argumentu , odnosno:

Dokaz teoreme završen.

Teorema 3.18.

Izvod složene funkcije. Ako imamo složenu funkciju , gje je sa argumentom , unutrašnja funkcije

sa argumentom , tada imamo da je:



92

Dokaz:

Priraštaj funkcije moţemo pisati: tj. , pa imamo:

[ ]

Iz prethodnih izlaganja priraštaj funkcije moţemo pisati kao:

[ ]

gdje , kad . Djeljenjem sa imamo:

[ ]

Ako pustimo da imamo:

[ ]

[ ] A što je i trebalo dokazati.

Zadnjom teoremom smo dobili postupak a izračunavanje izvoda sloţene funkcije. Iz

izloţenog vidimo da se postupak sastoji od toga da prvo deriviramo funkciju F po

argumentu , pa zatim dati argument , po njegovom argumentu . Ovo pravilo (Teorema 2.18) moţe se generalizirati na sljedeći način.

Teorema 3.19.

Ako imamo složenu funkciju , gdje svaka funkcija ima izvod po

argumentu , tada je:

( ( )) ( )

Direktni dokaz nećemo provoditi, a on se najlakše može sprovesti matematiĉkom indukcijom.

Primjer 3.2: Naći izvod funkcije

√



93

Rješenje:

Ovu funkciju moţemo shvatiti kao sloţenu, te se funkcija moţe rastaviti na nekoliko elementarnih funkcija čije smo izvode izračunali

prethodno. Funkcija se sastoji od funkcije

, gdje je √ ,

, tj ( ) . Primjenimo li teoremu na ovako

definisanu funkciju imamo:

(

)

(√ ) (

)

√

Na osnovu gornjih izraza imamo:

√

(√ )

√

√

Kada racionaliziramo nazivnik imamo:

√

Na osnovu teoreme 3.18 i primjera 3.1 moţemo razumjeti kako smo došli do dokaza izvoda hiperbolnih funkcija.



94

3.6 IZVOD DRUGOG I VIŠIH REDOVA

Ako diferenciranjem funkcije , dobijemo ponovo funkciju te

ako je ona diferencijabilna i nekoj tački prvi izvod funkcije odnosno zovemo drugi izvod funkcije , a obiljeţavamo ga sa . Kraće, drugi izvod je prvi izvod prvog izvoda tj. izvod od izvoda funkcije.

[ ]

Ako funkcija ima izvod za vrijednost argumenta koji pripada nekom skupu, tada se ovaj izvod zove izvod trećeg reda ili treći izvod i označava sa:

[ ] Kraće treći izvod je izvod od drugog izvoda funkcije. Pošto je drugi izvod izvod od prvog izvoda, tada je treći izvod od izvoda prvog reda.

Na osnovu izloţenog induktivno moţemo definisati izvod.

Definicija 3.4: Izvodom -tog reda ( -ti izvod) funkcije je izvod od

izvoda funkcije . Za označavanje izvoda koriste se simboli. Za izvod prvog, drugog, trećeg oznaka je:

. Za izvode četvrtog i viših izvoda: .. Leibnitzova forma

izvoda označavamo sa:

,

, ...,

.

Primjer 3.3 Naći 4-ti izvod funkcije .

Rješenje:

Kako znamo da je 4-ti izvod jednak izvodu trećeg izvoda, a treći izvodu drugog izvoda, a drugi izvod prvog izvoda, sukcesivno računamo izvod izvoda na sljedeći način.

Dakle 4-ti izvod funkcije iznosi .

Razmotrimo sada postupak izvoda viših redova sloţenih funkcija, te definišimo opće pravilo izvoda višeg reda sloţene funkcije.

Teorema 3.20

Ako definišemo složenu funkciju i ako funkcija F(f(x)) i f(x) imaju konaĉne izvode

drugogo reda tada složena funkcija ima izvod drugog reda jednak:



95

(

)

Dokaz:

Kao i u primjeru pronaći čemo prvo prvi izvod sloţene funkcije:

( )

Ako sada primijenimo teoremu o produktu izvoda te teoremu o izvodu sloţene funkcije imamo:

( )

(

)

Ako su funkcije tri puta diferencijabilne, tada je sloţena funkcija

također tri puta diferencijabilna pa je treći izvod funkcije:

(

)

(

)

Ako generaliziramo teoremu, dolazimo do općeg zakona po kojem računamo n-ti izvod sloţene funkcije pod pretpostavkom da parcijalne funkcije imaju n-ti izvod. Do tog zakona došao je Leibnitz pa se po njemu zove Leibnitzova formula.

Posmatrajmo proizvod dviju funkcija: . Prvi izvod funkcije . Ponovnim diferenciranjem drugi izvod iznosi: Ponovnim diferenciranjem imamo treći izvod: Moţda vas desna strana izvoda funkcije podsjeća na Newtonow binomni obrazac. Zaključujemo sljedeće:

( ) (

) (

)

(4.5)



96

gdje su ( ) binomni koeficijenti Newtonovog obrazca. Zadnju formulu

moţemo dokazati matematičkom indukcijom. Iz prvog, drugog i trećeg izvoda vidimo da je formula tačna za prvih nekoliko prvih

brojeva. Pretpostavimo da vrijedi za tj. da vrijedi:

( ) (

) (

)

(4.6)

Nađimo k+1 izvod funkcije imamo:

(( ) (

) (

) )

Po teoremi o proizvodi izvoda funkcije imamo:

( ) (

) (

) (

)

( ) (

)

Pošto je ( ) (

) te ( ) (

), te ako zajedničke članove izvučemo ispred

zagrade imamo:

( ) ((

) (

)) ((

) (

))

((

) (

)) (

)

Iz jednakosti binomnih koeficijenata ( ) (

) (

) imamo:

(

) (

) (

)

Kako smo dokazali da formula vrijedi za prvih nekoliko prirodnih brojeva, te iz

pretpostavke 3.6 da vrijedi za neki , dokazali da vrijedi i za , to na osnovu matematičke indukcije zaključujemo da tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve.

Primjer 3.3. Naći n-ti izvod funkcije

Rješenje: Ako uvedemo smjenu , , prema Leibnitzovoj formuli imamo:



97

Vidimo da poslije trećeg člana binomnog obrazca boivamo nule pa zaključujemo da je:

jer je:

Primjer 3.4.

Pomoću Leibnizove formule naĉi treći izvod funkcije

Rješenje:

Ako uvedemo smjenu , , prema Leibnitzovoj formuli imamo:

,

,

,

, , , Po Leibnitzovoj formuli imamo:



98

3.6.1 IZVODI FUNKCIJA DATIH U PARAMETARSKOM OBLIKU

Teorema 3.21

Ako je funkcija , imaju izvode

drugog reda, tada funkcija definisana preko skupa datih funkcija ima drugi izvod koji je jednak:

Rješenje:

Kako smo rekli u prethodnoj teoremi izvod funkcije date u

parametarskom obliku iznosi:

Iz zadnje relacije dolazimo do drugogo izvoda:

(

)

Do zadnje relacije došli smo korištenjem teoreme za derivaciju količnika funkcija. Zaista, vidimo da je:

Primjer 3.5. Naći drugi izvod funkcije date u parametarskom obliku

, .



99

Rješenje:

Primjenjujući teoremu o prvom izvodu imamo:

.

Drugi izvod izračunavamo prema zadnjoj teoremi:

Napomena: Često se derivacije parametarskih funkcija, odnosno funkcija koje zavise od vremena, označavaju sa tačkom notacijom. Pa

kada se hoće da napiše prvi izvod funkcije , piše se . Analogno drugi izvod: . Zbog ove notacije teoremu 3.21 moţemo pisati i kao:

(

)

3.6.2 MEHANIČKA INTERPRETACIJA DRUGOG IZVODA

Kazali smo da nam mehanička interpretacija prvog izvoda označava brzinu kretanja neke

tačke tj. , gdje je – zakon puta. Uočavamo da nam je brzina ,

također funkcija vremena . Ako izračunamo drugi izvod puta po vremenu dobićemo brzinu promjene brzine tačke ili kraće ubrzanje. Dakle ako mjerimo promjenu brzine

imamo:

.

Ubrzanje tačke je drugi izvod puta po vremenu. Sve ovo naravno vrijedi za pravolinijsko kretanje tačke, dok, uopće za bilo koje kretanje, krivolinijsko ili drugo ono označava smo jednu koponenu kretanja-tangencijalnu komponentu.

Primjer 3.6. Ako je zakon puta dat izrazom , potrebno je naći brzinu i ubrzanje.

Rješenje: Brzina tačke

.

Ubrzanje tačke

.



100

3.6.3 DIFERENCIJALI VIŠEG REDA

Kako smo prije definisali diferencijal funkcije iznosi . Kada

definišemo diferencijal višeg reda, smatramo da je konstantna veličina. Takva osobina

za govori nam da je diferencijal drugogo reda . Općenito diferencijal n-tog reda definiše se preko diferencijala n-1 reda odnosno:

Pošto je tada je: , pa imamo diferencijal drugogo reda:

Ako generaliziramo defirencijal n-tog reda, imamo:

Definicija 3.5 Diferencijal n-tog reda jednak je proizvodu n-tog izvoda

funkcije i n-tog stepena diferencijala argumenta.

Posljedica 3.1

Definicija 2.3 definiše Leibnitzovu oznaku n-tog izvoda:

Poznavanjem izvoda sloţene funkcije i generalizacije teoreme o izvodu sloţene funkcije (Leibnitzove formule) dolazimo do diferencijala drugog i viših redova sloţene funkcije.

Documents

45886173 Odabrana Poglavlja Iz Matematike