4.1.Originile mecanicii cuantice

8/2/2019 4.1.Originile mecanicii cuantice

http://slidepdf.com/reader/full/41originile-mecanicii-cuantice 1/25

Fizica cuantică 1.Originile mecanicii cuantice

Putem spune in general ca fizica clasica se ocupa de acele aspecte ale naturiipentru care problema structurii microscopice a materiei nu este mijlocit implicata.

comportarea unui sistem fizic trebuie descrisa în cadrul mecanicii cuantice

daca orice variabila dinamica naturala care are dimensiunea acţiunii, are

valori numerice comparabile cu constanta lui Plack. h=6,626*10-34Js Problemele deschise ale fizicii de la începutul secolului XX.

radiaţia corpului negru, efectul fotoelectric, stabilitatea şi dimensiunile atomilor

efectul Compton radiaţia X



La 14 decembrie 1900, la o şedinţa a Societăţii germane de

Fizică, Max Planck a arătat ca paradoxurile care abunda înteoria clasică a emisiei şi absorbţiei radiaţiei de corpurilemateriale ar putea fi înlăturate daca s-ar presupune ca energiaradianta poate exista numai în forma de porţii discrete, numitecuante. În 1905, Albert Einstein a aplicat cu succes ideea

cuantelor pentru a explica legile empirice ale efectuluifotoelectric.

La sfârşitul perioadei clasice, diferitele ramuri alefizicii se integrau într-un edificiu teoretic general şi coerent,

ale cărui linii mari sunt următoarele: în univers se distingdoua categorii de obiecte, materia şi radiaţia.



Materia este constituita din corpusculi perfect localizabili, supuşi legilormecanicii raţionale ale lui Newton. Radiaţia urmează legile electromagnetismului lui Maxwell; variabilele saledinamice în număr infinit - sunt componentele câmpurilor electric şi magnetic în

fiecare punct al spaţiului. Radiaţia prezintă a comportare ondulatorie, care semanifesta îndeosebi în fenomene bine cunoscute de interferenţa şi difracţie.



Teoria radiaţiei corpului negru Legile experimentale ale radiaţiei de echilibru

Se ştie ca orice corp încălzit emite radiaţii electromagnetice. Pe măsurăce temperatura se modifica variază şi compoziţia spectrală a radiaţiei

precum şi intensitatea ei.- puterea de emisie E

reprezintă energia emisa în intervalul de

frecventă ( ,

+d ) în unitate de timp, de către suprafaţa unitate a

corpului.- puterea de absorbţie, A

, este fracţiunea din energia care cade asupra

corpului în unitatea de timp, pe unitatea de suprafaţă cu frecventa inintervalul ( , +d ), care este absorbită în interiorul corpului. - densitatea spectrala de energie,

care reprezintă densitatea de energie a radiaţiei cu frecventa in intervalul( , +d ).

T ,

0

, d T V

E w



Conform legii stabilite de către Kirchhoff (1859), raportul dintre puterea deemisie şi cea de absorbţie a unui corp reprezintă o funcţie universala de frecventaşi temperatură, adică nu depinde de natura corpului :

T f A E ,

Emisivitatea teoretică a unui corp negru este 1 şi a

unui corp perfect reflectant este 0. În generalemisivitatea=1-reflectivitate.

Corpul capabil sa absoarbă toate radiaţiile care cad asupra lui, ( A

=1), a fost

denumit de Kirchhoff corp absolut negru.



Câteva curbe experimentale ale densităţii spectrale de energie pentru diferitetemperaturi. Evident, în locul frecventei se poate lucra cu lungimea de undă, ţinând seama ca

După cum se vede din figură,toate curbele prezintă un maxim pronunţat pentru o anumitalungime de unda m, respectiv

frecventa m . Se constată ca lavariaţia temperaturii maximulcurbei se deplasează în aşa fel încât are loclegea de deplasare a lui Wien

(Wilhelm Wien 1890)

sau

d T d T ,,

.const T m

.const T

m



Menţionăm aşa numita lege a lui Stefan - Boltzmann

unde R este radianţa adică energia radiată de o singură parte a unităţii de suprafaţă

în unitatea de timp, T este temperatura corpului radiant, este constanta de proporţionalitate numită constanta Stefan - Boltzmann. Această dependenţă a foststabilită empiric de către J.Stefan in 1879 şi demonstrata din considerentetermodinamice de către L.Boltzmann in 1889.

Din cele de mai sus, rezulta ca o teorie adecvata a radiaţiei corpului negru trebuiesa fie capabila sa dea o expresie pentru funcţiacare sa se muleze suficient de bine peste curba experimentală a densităţii spectralede energie şi să permită apoi obţinerea legilor lui Stefan - Boltzmann şi Wien.

4T R

T ,



Teoria clasica explică legile radiaţiei bazate pe statistica clasica Maxwell-Boltzmann şi au suferit un eşec. Prima încercare de a explica pe baza teorieistatisticii clasice a făcut-o Lord Rayleigh.• densitatea spectrala de energie va fi dată de produsul dintre energia medie aunui oscilator, , şi numărul de oscilatori din unitatea de volum, ce au frecvenţa,

unde

formula Rayleigh-Jeans.

Ea concordă cu rezultatele experimentale doar la frecvente mici De exemplu, calculând

Neconcordanţa formulei clasice cu curba experimentala pentru funcţia ,a primit la timpul sau denumirea de catastrofa ultravioletă.

V

gT

,

d c

V d g 2

3

8

2

3

8,

c

kT T

0

3

3

03

8, T k

c

d T w

T ,



Trebuie să amintim că Wien a găsit o relaţie experimentală referitoare la expresialui la frecvenţe mari de forma T ,

T c

ecT

23

1,



În anul 1900 Planck a făcut presupunerearevoluţionară, ca la nivel microscopic materia

este descrisă de legi total deosebite de cele

cunoscute in fizica clasica, determinate devariaţia discreta a diverselor mărimi.

Postulând cuantificarea energiei,Planck (Max Karl Ernest Ludwig Planck (1858-1947)) modifică expresia energiei medii a unui

oscilator dată de statistica clasică, ceea ce îlconduce în final la legităţi concordante cu celeexperimentale menţionate mai sus.



Legea de distribuţie a lui Planck Conform ipotezei lui Planck, corpul negru este format din

oscilatori (atomi, molecule, etc.) care emit radiaţie de echilibru şi a căror energie

este un multiplu întreg al unei valori minime numită cuantă de energie.Mărimea h=6,62*10-34J*s este denumită constanta lui Planck, iar reprezintă frecventa proprie a oscilatorului.

Aşadar, variaţia de energie a oscilatorului poate lua valorile:

În ipoteza valorilor discrete ale energiei oscilatorilor, valoarea medie aenergiei unui oscilator nu mai este ci se calculează cu relaţia

Înmulţind numărul de oscilatori din unitatea de volum, care au frecventacuprinsa în intervalul şi +d, cu energia medie a unui oscilator se obţine

densitatea spectrala de energie

Aceasta relaţie este cunoscuta sub denumirea de legea de distribuţie a luiPlanck.

hW 0

nhnW W n

,.....2,1n

kT

1

kT

h

e

h

1

18,

3

3

kT

h

ec

hT



Se considera acum două cazuri limita: (frecvenţe mici, temperaturi mari) Exponenţiala de la numitor poate fi dezvoltata în serieAtunci este relaţia Rayleigh-Jeans dată de statistica clasică. (frecvenţe mari, temperaturi joase). Neglijând unitatea de la numitor, din se obţine formula lui Wien care descrie adecvat domeniul frecventelor mari al curbei dinfigura. Se poate arata ca relaţia lui Planck este in concordanţă cu graficul experimental nu numai in aceste cazuri extreme ale frecvenţe1or

joase şi înalte. Pentru aceasta vor fi deduse legile Stefan- Boltmann şi legea lui Wien. Astfel, înlocuind înSe obţineCare este legea Stefan-BoltzmannPentru deducerea legii lui Wien trebuie impusa condiţia de extremum a funcţiei .

Rezolvând aceasta ecuaţie transcendenta, de exemplu prin aproximaţii succesive, sau numeric, se găseşte

Adică tocmai legea de deplasare a lui Wien.

kT h

........1

kT

he kT

h

2

3

3

3

88,

kT

ch

kT

c

hT

kT h

kT

h

ec

hT

3

3

8,

d

ec

hd T

kT

h

1

8,

3

3

0

, d T V

E w

0 0

44

3

34

3

3

3 15

8

1

8

1

8 h

kT

c

h

e

dx x

h

kT

c

h

e

d

c

hw

x

kT

h

44

33

45

15

8aT T

hc

k w

T ,

01 3

0 3 2

0

1

1 3

max

3

xx

kT

h

xee

kT

h

kT

h

e

d ekT

he

.

85,2

ma x

ma xmax

const T

kT

h x



Efectul fotoelectric Legile empirice ale efectului fotoelectric potenţialul de blocare (energia cinetică a fotoelectronilor) nu se modifică dacă semodifică intensitatea radiaţiei incidente, dar se modifică intensitatea curentului încircuit. creşterea frecvenţei se observă o creştere a potenţialului de blocare (energiacinetică a fotoelectronilor), pentru acelaşi material la catod, i. lucrul de extracţie constantă de material frecvenţă prag de la care se manifestă efectul fotoelectric. dată emisia de electroni încă de la începutul iradierii (efectul fotoelectric seproduce instantaneu).



Primul pas în această direcţie i se datoreşte lui Einstein, princelebrul său memoriu din l905 asupra efectului fotoelectric. În aceltimp, atitudinea generala consta în a accepta să se spună că "totul se

petrece ca şi cum" schimburile de energie între radiaţie şi corpulnegru s-ar face prin cuante, încercându-se un compromis intreaceastă ipoteză ad hoc şi teoria ondulatorie. Mergând mai departedecât Planck, care se mărgineşte să introducă discontinuitatea în

mecanismul de absorbţie sau de emisie, Einstein a afirmat că însăşi radiaţia luminoasă constă dintr-un jet de corpusculi,

fotoni, de energie h şi de viteză c.Atunci când unul din aceşti fotoni întâlneşte un electron al

metalului, el este absorbit în întregime şi electronul primeşte

energia h ; părăsind metalul, acesta trebuie să efectueze un lucrumecanic egal cu energia sa de legătură în metal, W, astfel caelectronii observaţi să aibă o energie cinetică precisă

W hmv 2

2

1



e-

e-

foton

incident

hc

'

hc

foton

difuzat

electron

difuzat

Fig.7

Efectul

Compton

Efectul Comptonconstituie o altă confirmare a teoriei fotonului în detrimentul teoriei ondulatorii şi a fost observat (Cotnpton 1924) în împrăştierea razelor X pe electronii liberi (sau

slab legaţi). Lungimea de undă a radiaţiei împrăştiate este superioară celei aradiaţiei incidente; diferenţa variază în funcţie de unghiul dintre direcţia depropagare a radiaţiei incidente şi cea din care se observă lumina împrăştiată, conform formulei date de Compton:

2sin4 2

mc

Se observa ca

nu depinde de lungimeade unda incidentă.Mărimea ,

poarta numele de

lungime de unda Comptona electronului.

mc



e-

e-

foton

incident

hc

'

hc

foton

difuzat

electron

difuzat

Efectul Compton

• deplasarea Compton

• lungimea de unda Compton =2h/moc

2sin

2' 2

0

cm

h

Problemeleneelucidatein fizica clasica:

• • …….. Explicatia pebaza teoriei

cuantelor• •



p

Interpretarea cuantică Compton şi Debye au arătat că efectul Compton este o simplă

ciocnire elastică între un foton al luminii incidente şi unul dintre electroniiţintei iradiate.

Pentru a discuta această explicaţie corpusculara a efectului este cazulsă se prezinte câteva proprietăţi ale fotonilor, care decurg în mod directdin ipoteza lui Einstein. Deoarece au viteza c, fotonii sunt corpusculi cu

masa nulă. Impulsul şi energia ale unui foton sunt aşadar legate prinrelaţia . Acestea fiind stabilite, teoria corpusculară a efectului

Compton constă în a scrie că energia totală şi. impulsul total

se conservă în cursul ciocnirii elastice dintre fotonul incidentşi electron.

pc



Electroni

+

Raze X

e e

Filament

Catod

Anod

Tub vidat

Fig.9

Func ţionarea unui tub de raze X



Într-un tub de raze X, electronii emişi de un catod incandescent (încălzit deun filament) sunt acceleraţi de o cădere de potenţial între filament şi anod. Cândelectronii lovesc anodul sau anticatodul, ei sunt frânaţi şi apare o radiaţie

electromagnetică. Adevărata natură a acestei radiaţii a fost pus în evidenţă de cătreC. G. Barkla, printr-un experiment de dublă împrăştiere.Liniile de emisie care se suprapun peste spectrul continuu au evident altă

origine. spectrul continuu are ca origine emisia produsă la frânare electronilor peanticatod. Pentru o anumită tensiune de accelerare Vo, nu există radiaţie delungime de undă mai mică decât o anumită lungime de undă minimă

mincare

depinde de tensiunea Vo dar nu şi de substanţa anticatodului.

Spectrul de linii sunt specifice materialului ţintei şi provine din dezexcitareaatomilor ţintei, excitaţi de electronii acceleraţi care bombardează ţinta.

0

min

2

eV

chc



1.4. Descoperirea razelor catodice Se ştie că plasarea în vid a doi electrozi şi aplicarea unei diferenţe de

potenţial între electrozi duce la apariţia unei luminozităţi între catod şi anod. S-a

presupus că aceasta este o undă electromagnetică şi a primit numele deraze

catodice.

J.J. Thompson (1856-1940) a fost cel ce a studiat acest fenomen şi a pus înevidenţă comportarea razelor catodice la trecerea lor prin câmp magnetic şi electric.S-a arătat că la trecerea prin câmp magnetic traseul razelor catodice este deformat.J.J.Thompson a tras concluzia că razele catodice transportă sarcină electrică şi a

măsurat sarcina electrică elementară (sarcina electronului), ca o cantitateindivizibilă de sarcină.

Fig.8

Radia ţia

catodic ă



1.5. Cuantificarea sistemelor materiale Spectroscopia atomică

S-a văzut ca răsturnările aduse în teoria clasică a luminii de către existenţa

discontinuităţilor în mecanismul de interacţie dintre materie şi radiaţie. Dar aceastărevoluţie nu s-a limitat numai la lumină, ci a zdruncinat în egală măsură şi teoriacorpusculară clasică a materiei. Acest lucru apare în mod clar atunci când seîncearcă să se împace datele spectroscopiei atomice cu rezultatele privindstructura atomului, obţinute de Rutherford.

existenţa liniilor spectrale înguste

Frecvenţele observate satisfac, toate formula empirică a lui Balmer

Unde n şi m sunt numere întregi şi pozitive,

iar R este o constantă numerică caracteristică hidrogenului (constanta Rydberg), este frecvenţa.

Aceste fapte experimentale erau în dezacord cu teoria atomică a luiRutherford.

22

11

mn R



Modele atomice Modele vechi model atomic se datoreşte lui J.J. Thomson (1896). Conform ipotezei sale,

atomul trebuie considerat ca o sferă omogenă constituită din substanţă încărcată pozitiv în care sunt distribuiţi electronii. La acest model s-a renunţat destul de repede deoarece el nu putea explica

difuzia particulelor (particule grele, atomi de heliu dublu ionizaţi) sub unghiurimari, la trecerea prin substanţă. Astfel de experienţe au fost efectuate de Geiger şi Marsden (1909) la ideea lui E. Rutherford. S-a obsevat că la difuzia particulelor prin o foiţă din aur se obţin particule deviate sub un unghi foarte mare şi particulenedeviate faţă de direcţia incidentă.

Fig.10

Difuzia particulelor printr-

o foiţă din aur.



Rutherford a propus un model atomic, ce concepe atomul compus dintr-un nucleu(de ordin de mărime 10-15m), cu sarcina +Ze şi în care este concentrată aproapetoată masa atomului. În jurul nucleului se află Z electroni care compensează

sarcina pozitivă a nucleului.În modelul lui Rutherford electronii se află în mişcare pe o orbită circulară, astfel că forţa centrifugă să compenseze forţa de atracţie coulombiană.

Totuşi conform teoriei clasice a câmpului electromagnetic acest atom nu poate fistabil deoarece el emite în continuu energie sub forma undelor electromagnetice,electronii pierzând continuu energie îşi micşorează viteza, raza orbitei şi sfârşesc prin a cădea în nucleu. Stabilitatea atomilor era totuşi confirmată de realitate. Cu

toate că nu poate da o explicaţie suficient de bună pentru modelul atomic, ipotezalui Rutherford rămâne importantă şi prin aceea că stabileşte dimensiunile relativenucleu - electon corect.

r

mv

r

Ze2

2

0

2

4



Cuantificarea nivelelor de energie ale atomului Creerea unui nou model al atomului a fost realizată de către Bohr (1913).Teoria lui Bohr se bazează pe două postuale. într-un atom, electronul se poate mişca numai pe anumite orbite bine

determinate, caracterizate de condiţia

electronul emite sau absoarbe energie la trecerea de pe o orbită pe alta. Potrivit lui Bohr, atomul nu se comportă ca un sistem clasic susceptibil laschimbări continue de energie. Nu pot exista decât un anumit număr de stări

staţionare sau stări cuantice, având fiecare o energie bine definită. Se spune că energia atomului este cuantificată. Ea nu poate varia decât prin salturi succesive,iar la fiecare salt corespunde o tranziţie de la o stare la alta.

Dacă se calculează numeric raza primei orbite Bohr se găseşte, folosind relaţia pentru r valoarea r

o=a=0,53A° .

nmvr ....3,2,1n



.Coulcf F F

2

0

22

4 r

Ze

r

mv

şi nmvr

2

222

0

2

21

81

21

mr n

r Zemv E cin

m Zenr

2

22

04 r

ZeU 0

2

4

r

ZeU E W cin

0

2

8 = 222

0

2

421

16 n

me Z

222

0

2

421

32 n

me Z W

Acest postulat permite să se precizeze mecanismul de absorbţie sau de emisie aluminii prin cuante. Un atom cu energia poate efectua o tranziţie la o stare de energiesuperioară > , absorbind un foton , cu. condiţia ca energia totală să seconserve, adică

Analog, se poate efectua o tranziţie la o stare de energie inferioară < ,

prin emiterea unui foton , a cărui frecvenţă satisface relaţia

Dacă se află în starea cea mai joasă de energie (starea fundamentală) atomul nupoate să radieze şi să rămână stabil. Astfel se explică existenţa spectrelor de linii,caracteristice fiecărui atom, care îndeplinesc regula de combinaţie Rydberg-Ritz.

i E j E i E

h

i j E E h

k E

i E

hk i E E h

Documents

4.1.Originile mecanicii cuantice