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4 Gauss Strahlen 4.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum 4.1.1 Herleitung mit Huygens-Fresnel Integral Es zeigt sich, dass die Intensit¨ atsverteilung eines Laserstrahls in der Grundmode quer zur Ausbreitungsrichtung gaussf¨ ormig ist. Nicht nur in der Laseroptik, sondern auch im Bereich der Millimeter- und Submillimeterwellen begegnet man gauss f¨ ormigen Inten- sit¨ ats- resp. Feldverteilungen. Im Mikrowellenbereich 1 wird eine gaussf¨ ormige Verteilung des elektrischen Feldes mittels einer Hornantenne erzeugt. Besonders geeignet sind hier- zu sog. corrugated“ Hornantennen oder Rillen-Hornantennen. Auf die Theorie solcher Antennen wird in einem sp¨ ateren Kapitel eingegangen. Ein Beispiel eines Rillenhorns ist in Abbildung 4.1 dargestellt. Die zugeh¨ orige Intensit¨ atsverteilung sowie die Verteilung der Phase zeigt Abbildung 4.2. Wir nehmen nun an, dass eine gaussf¨ ormige Feldvertei- Abbildung 4.1: Rillenhorn zur Erzeugung einer gaussf¨ ormigen Feldverteilung lung auf irgend eine Art erzeugt worden sei, also z.B. mit einem Laser oder mit einem Rillenhorn. Wir nehmen zus¨ atzlich an, dass in einer Bezugsebene die Phasenfront eben sei. Eine solche Feld- und Phasenverteilung ist in Abbildung 4.2 illustriert. Wir fra- gen uns, wie die Feldverteilung dann in einem Abstand z aussieht. Ist sie immer noch gaussf¨ ormig, ¨ andert die Phase etc.? 1 Unter Mikrowellen, resp. dem Mikrowellenbereich, verstehen wir im Rahmen dieser Vorlesung sozu- sagen den Oberbegriff von Millimeter- und Submillimeterwellen, dies etwa auch als Gegensatz zum Begriff Optik, wobei sichtbare Optik gemeint ist. 87

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4 Gauss Strahlen

4.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum

4.1.1 Herleitung mit Huygens-Fresnel Integral

Es zeigt sich, dass die Intensitatsverteilung eines Laserstrahls in der Grundmode querzur Ausbreitungsrichtung gaussformig ist. Nicht nur in der Laseroptik, sondern auch imBereich der Millimeter- und Submillimeterwellen begegnet man gauss formigen Inten-sitats- resp. Feldverteilungen. Im Mikrowellenbereich1 wird eine gaussformige Verteilungdes elektrischen Feldes mittels einer Hornantenne erzeugt. Besonders geeignet sind hier-zu sog.

”corrugated“ Hornantennen oder Rillen-Hornantennen. Auf die Theorie solcher

Antennen wird in einem spateren Kapitel eingegangen. Ein Beispiel eines Rillenhorns istin Abbildung 4.1 dargestellt. Die zugehorige Intensitatsverteilung sowie die Verteilungder Phase zeigt Abbildung 4.2. Wir nehmen nun an, dass eine gaussformige Feldvertei-

Abbildung 4.1: Rillenhorn zur Erzeugung einer gaussformigen Feldverteilung

lung auf irgend eine Art erzeugt worden sei, also z.B. mit einem Laser oder mit einemRillenhorn. Wir nehmen zusatzlich an, dass in einer Bezugsebene die Phasenfront ebensei. Eine solche Feld- und Phasenverteilung ist in Abbildung 4.2 illustriert. Wir fra-gen uns, wie die Feldverteilung dann in einem Abstand z aussieht. Ist sie immer nochgaussformig, andert die Phase etc.?

1Unter Mikrowellen, resp. dem Mikrowellenbereich, verstehen wir im Rahmen dieser Vorlesung sozu-sagen den Oberbegriff von Millimeter- und Submillimeterwellen, dies etwa auch als Gegensatz zumBegriff Optik, wobei sichtbare Optik gemeint ist.

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4 Gauss Strahlen

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

SMILES Horn Antenna

Theta [deg]

Am

plitu

de [d

B]

Pha

se [

deg]

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40

0

45

90

135

180

225

270AmplitudePhase Model

Abbildung 4.2: Intensitats- und Phasenverteilung eines Rillenhorns bei 650 GHz.

Uberlagert sind theoretische Werte. Die Messungen wurden mit einemvektoriellen Netzwerk Analysator (ABmillimetrique) von A.Murk durch-gefuhrt.

In der Ebene z = 0 sei die Verteilung des E-Feldes gegeben durch

E(x, y, 0) = Ae−(x2+y2)/w20 . (4.1)

Dabei ist w0 der Abstand von der z-Achse, bei welchem das E-Feld auf 1/e abgefallenist. Um heraus zu finden, wie sich die Feldverteilung bei einer Ausbreitung in z-Richtungandert, setzen wir 4.1 in das Huygens-Fresnel Beugungsintegral ein, und erhalten so dieVerteilung an der Stelle x′, y′, z.

Das Huygens Integral basiert auf einem intuitiven physikalischen Prinzip: Die Feldver-teilung E(x, y, 0) uber eine geschlossene Flache S0 sei gegeben. Das Feld an jedem Punktder Flache S0 kann dann als Quelle einer Kugelwelle, einer Huygens-Welle betrachtetwerden, die von eben diesem Punkt ausgeht. Das totale Feld an irgend einem anderenPunkt kann dann durch Summation aller dieser Teilwellen berechnet werden. Eine ma-thematische Formulierung des Huygens Prinzip erfolgte durch Fresnel und Kirchhoff. Inder Naherung von Fresnel werden die Kugelwellen durch paraxiale spharische, d.h. pa-raboloide Wellen angenahert. Wie wir noch sehen werden, gilt diese paraxiale Naherungfur Ausbreitungsrichtungen, die bis ca. 30° zur Achse geneigt sind.

Das Huygens-Fresnel Integral lasst sich wie folgt schreiben, was im ubrigen der Im-

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4.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum

pulsantwort des freien Raumes entspricht:

E(x′, y′, z) =jA

λze−jkz

+∞x

−∞

E(x, y, 0)e−jk2z

((x−x′)2+(y−y′)2)) dxdy. (4.2)

Damit erhalten wir fur die Verteilung der ursprunglich gaussformigen Verteilung in derEbene z = 0 nun fur eine Ebene im Abstand z:

E(x′, y′, z) =jA

λze−jkz

+∞x

−∞

e−(x2+y2)/w20e−j

k2z

((x−x′)2+(y−y′)2)) dxdy. (4.3)

Dieses Doppel-Integral kann als Produkt eines Integrals in x und eines Integrals in ygeschrieben werden, wobei beide Integrale dieselbe Form haben. Betrachten wir nur dasIntegral uber x, so erhalten wir

Ix =

+∞∫−∞

e−x2/w2

0e−j[k2z

](x−x′)2 dx. (4.4)

Dieses Integral lasst sich relativ leicht, z.B. mit dem Programm Maple, losen. Wird diesauch fur das Integral in y durchgefuhrt und ersetzt man noch

r′2

= x′2

+ y′2, (4.5)

so erhalt man schliesslich fur das elektrische Feld im Abstand z von der Ausgangsebenez = 0:

E(r′, z) =2jπw2

0

λ(2z + jkw20)Ae−jkz · exp

(−j 2kzr′2

4z2 + (kw20)2

)·exp

(− (kw0r

′)2

4z2 + (kw20)2

). (4.6)

Die Gleichung besteht aus drei Exponentialtermen. Der erste beschreibt die Phaseeiner ebenen Welle. Der zweite Term ist verantwortlich fur eine Krummung der Pha-senfront und der letzte Exponentialterm beschreibt die Feldverteilung und damit dieIntensitat transversal zur Ausbreitungsrichtung. Dieser Sachverhalt wird nun im einzel-nen diskutiert.

Wir haben oben gesehen, dass das Feld bei z = 0 fur einen Wert w0 von der z−Achseauf 1/e abfallt. Dies ist ubrigens leicht durch Einsetzen von z = 0 in 4.6 zu sehen:

E(r′, z = 0) = Ae−r′2/w2

0 . (4.7)

Analog fallt E auf 1/e ab an der Stelle z fur einen Abstand von r′ = w(z) von der Achse.Wenn wir den dritten Teil somit gleichsetzen mit e−1, so erhalten wir

(kw0w)2 = 4z2 + (kw20)2, (4.8)

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4 Gauss Strahlen

was nach Auflosung nach w2 zu

w2 = w20 +

(2z

kw0

)2

(4.9)

fuhrt und wir somit fur den Abstand w von der Ausbreitungsachse an der Stelle z, wodas Feld auf e−1 abgefallen ist, erhalten

w(z) = w0

[1 +

(2z

kw20

)2]1/2

. (4.10)

Wenn wir noch k = 2π/λ setzen, so erhalten wir schliesslich

w(z) = w0

[1 +

(λz

πw20

)2]1/2

. (4.11)

An der Stelle z = 0 hat der Strahl eine e-Wertsbreite w0 und eine ebene Phasenfront.Der Krummungsradius ist dort somit unendlich. Von da aus breitet sich der Strahl inzunehmender Richtung von z mit zunehmender Breite w(z) aus. Wir hatten ebenso gutdas Beugungsintegral fur Werte links von z = 0 schreiben konnen, d.h. fur negativez und hatten genau dasselbe herausgefunden. Das heisst aber, dass der Punkt z = 0der Punkt ist, wo der Strahl am schmalsten ist, und dass die Strahlbreite fur grosserez−Werte zunimmt (gemass 4.11) und zwar abhangig von w0. Abbildung 4.3 illustriertdiesen Zusammenhang.

Ein Gauss-Strahl2 wird jedoch nicht allein durch seine Breite an einem bestimmten Ortdefiniert. Fur die komplette Beschreibung braucht es noch einen zusatzlichen Parameter,beispielsweise den Krummungsradius der Phasenfront. Dieser kann aus dem zweitenTerm in Gleichung 4.6 abgeleitet werden.

Als nachstes wollen wir untersuchen, wie sich die Phase verhalt und widmen unsdaher dem zweiten Term. Der Phasenunterschied zwischen einer ebenen Welle und einerspharischen Welle im Abstand r′ von der Achse sei d (Abbildung 4.4), resp. kd

kd =2kzr′2

4z2 + (kw20)2

. (4.12)

In der paraxialen Naherung ist zudem

r′2

+R2 = (R + d)2 (4.13)

und damit

R =r′2

2d. (4.14)

2Mit Gauss-Strahl meinen wir im Folgenden immer eigentlich ein ganzes Paket oder Bundel (engl.beam) von Strahlen, nicht einen einzelnen geometrischen Strahl im wortlichen Sinne.

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4.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Distanz auf der Achse [mm]

Str

ahlra

dius

[mm

]w

0=1mm

1.52.02.53.0

f=300 GHz

Abbildung 4.3: Raumliche Ausdehnung eines Gauss Strahles fur verschiedene Taillen-grossen w0.

d

R

Rphasefront

r

Abbildung 4.4: Phasenunterschied zwischen einer ebenen und einer spharischen Welle

91

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Damit erhalten wir fur den Krummungsradius des Gauss Strahles

R(z) = z

[1 +

(πw2

0

λz

)2]. (4.15)

Das Verhalten des Krummungsradius R als Funktion des Abstandes ist in Abbildung4.5 dargestellt. Wir gehen noch ausfuhrlicher auf diesen Parameter im Abschnitt 4.2.4ein. Mittels des Ausdrucks fur R(z) lasst sich das E-Feld nun einfacher schreiben:3

−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

Distanz auf Achse [mm]

Krü

mm

ungs

radi

us R

[mm

]

w0=1.0mm

1.52.02.53.0

f=300GHz

Abbildung 4.5: Krummungsradius eines Gauss Strahles fur verschiedene Taillengrossenw0.

E(r, z) =w0

w(z)A exp

−j[kz +

πr2

λR(z)− arctan

(λz

πw20

)]e−r

2/w(z)2 . (4.16)

Dabei haben wir den komplexen Vorfaktor in Gleichung 4.6 noch in die polare Formumgeschrieben, d.h.:

2jπw20

λ(2z + jkw20)

=1

1− j 2zkw2

0

=1 + j λz

πw20

1 +(

λzπw2

0

)2 =w0

w(z)ei arctan( λz

πw20). (4.17)

Damit haben wir einen weiteren Exponentialterm, der eine Phase darstellt. Auf diesenarctan( λz

πw20) Term werden wir weiter unten in Abschnitt 4.2.4 noch genauer eingehen. Wir

3entspricht Formel (2.25b) in Goldsmith, allerdings dort mit A(0) = 1

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4.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum

wollen nun das E-Feld noch so normieren, dass die gesamte Leistung, welche proportionalzu E2 ist, im Strahl eins wird

∞∫0

| E |2 2πr dr = 1. (4.18)

Dieses Integral muss naturlich auch fur z = 0 normiert sein. Damit konnen wir aber Abestimmen:

∞∫0

A2e−2r2/w202πr dr = 2πA2

∞∫0

e−2r2/w20r dr =

1

2πA2w2

0 = 1, (4.19)

d.h.

A =

√2

π

1

w0

. (4.20)

Damit wird das normierte elektrische Feld4

E(r, z) =

√2

π

1

w(z)e−r

2/w2

e−j(kz−πr2

λR(z)+φ0), (4.21)

wobei

φ0 = arctan

(λz

πw20

). (4.22)

Wir fuhren noch den sog. konfokalen Parameter zc ein

zc =πw2

0

λ, (4.23)

und erhalten

φ0 = arctan

(z

zc

). (4.24)

Eine Diskussion der Bedeutung der Phase in einem Gauss Strahl wird in Abschnitt 4.2.4gegeben.

Mit dem Parameter zc lassen sich auch w(z) und R(z) etwaskompakter schreiben:

w(z) = w0

[1 +

(z

zc

)2]0.5

, (4.25)

R(z) = z +z2c

z. (4.26)

4entspricht Formel (2.26a) in Goldsmith

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4 Gauss Strahlen

4.1.2 Herleitung mit Helmholtz-Gleichung

Es gibt verschiedene Moglichkeiten die Ausbreitung eines Gauss-Strahles zu beschreiben.Wir haben in Abschnitt 4.1.1 untersucht, wie sich eine gaussformige Feldverteilung imfreien Raum ausbreitet. Wir haben uns dabei auf die Impulsantwort des freien Raumesabgestutzt. Wir hatten eben so gut die Transferfunktion des Raumes nutzen konnen,d.h. die Ausbreitung als eine Summe von ebenen Wellen unter unterschiedlichen Win-keln betrachten konnen. In der Literatur wird meistens nach paraxialen Losungen derHelmholtz-Gleichung gesucht. Dieser Ansatz fuhrt aber auf komplexe Ortskoordinaten,die physikalisch nicht einfach zu interpretieren sind. Aus dem Grund wurde hier der an-schaulich einfachere Zugang mittels des Beugungsintegrals gewahlt. (Allerdings wurdendie Begriffe Impulsantwort resp. Transferfunktion vorausgesetzt, die in der FourieroptikVerwendung finden.) Der Vollstandigkeit halber, wird aber in diesem Abschnitt die an-dere Herleitung skizziert. Fur Details wird auf die Literatur verwiesen.

Basis ist die Helmholtz Gleichung, welche aus der allgemeinen Wellenfunktion miteinem harmonischen Ansatz, d.h. ejωt, resultiert

(∇2 + k2)E(x, y, z) = 0. (4.27)

Es wird nun fur das elektrische Feld ein paraxialer Ansatz gewahlt. Eine paraxialeWelle ist eine ebene Welle e−jkz, welche mit einem komplexen Amplitudenfaktor u(x, y, z)moduliert wird, der eine langsam andernde Funktion des Ortes ist:

E(x, y, z) = u(x, y, z)e−jkz. (4.28)

Als Naherung wird angenommen, dass u in der Umgebung etwa einer Wellenlange λkonstant ist, so dass die Welle lokal wie eine ebene Welle ist, mit Wellenfront-Normalen,die paraxiale Strahlen sind.5 Mathematisch ausgedruckt:∣∣∣∣∂2u

∂z2

∣∣∣∣ ∣∣∣∣2k∂u∂z∣∣∣∣ . (4.29)

Mit diesem paraxialen Ansatz wird die Helmholtz Gleichung modifiziert

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2− 2jk

∂u

∂z= 0. (4.30)

Es werden nun Losungen der paraxialen Helmholtz Gleichung gesucht. Eine moglicheLosung ist eine parabolische Welle:

u(x, y, z) =A

ze−jk

x2+y2

2z . (4.31)

Die parabolische Welle ist die paraxiale Naherung einer spharischen Welle. Eine andereLosung der paraxialen Helmholtz Gleichung ist die gaussformige Welle (engl. Gaussbeam), wie wir sie in Gleichung 4.21 erhalten haben. Wie wir in Abschnitt 4.3 sehen

5Strahl wird hier ausnahmsweise im Sinne eines geometrischen Strahles verstanden

94

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4.2 Physikalische Parameter von Gauss-Strahlen

werden, sind auch andere kompliziertere Wellen, sog. hohere Moden, ebenfalls Losungen.Sie werden durch Gauss-Laguerre und Gauss-Hermite Polynome beschrieben. Man kannzeigen, dass die Gauss Losung aus der parabolischen Welle durch eine Transformation derOrtskoordinate z hervorgeht. Wenn eine Losung in z vorliegt, muss auch eine Schiebunggemass q(z) = z − ξ eine Losung sein, wobei ξ eine Konstante ist. Falls ξ komplex ist,d.h. ξ = −jzc, resp.

q(z) = z + jzc, (4.32)

so fuhrt das auf die Losung

u(x, y, z) =A

q(z)e−jk

x2+y2

2q(z) . (4.33)

Amplitude und Phase dieser komplexen Amplitude konnen separiert werden, wenn diekomplexe Funktion 1/q(z) = 1/(z+ jzc) in ihren Real- und Imaginarteil zerlegt wird, sodass

1

q(z)=

1

R(z)− j λ

πw2(z). (4.34)

Dabei sind w(z) und R(z) die Strahlweite (engl. beam waist) und der Krummungsradiusder Phasenfront, so wie in Gleichung 4.11 und 4.15 bereits hergeleitet.

4.2 Physikalische Parameter von Gauss-Strahlen

Nachdem wir das mathematische Werkzeug zur Beschreibung von Gauss-Strahlen zu-recht gelegt haben, wollen wir uns den physikalischen Eigenschaften zuwenden. Vorder-hand betrachten wir einen Gauss Strahl in der Grundmode und wir wollen untersuchen,wie er sich praktisch betrachtet ausbreitet. Wir wollen uns also beispielsweise fragen,wie divergiert der Strahl, wie gross muss eine Apertur sein, etc.

4.2.1 Intensitat, Leistung und Randbelegung Te

Das elektrische Feld in der Grundmode, vgl. Gleichung 4.21 weist ein Maximum aufsowohl fur z = 0 als auch fur r = 0. Sobald z oder r von 0 abweichen, nimmt daselektrische Feld ab, damit aber auch die Leistungsdichte, welche proportional zu E2 ist.Die Leistungsdichte oder Intensitat hat die Dimension [W/m2]. Haufig wird die Intensitatnormiert. Allerdings muss man aufpassen auf was normiert wird. Eine Moglichkeit istauf das Maximum bei z = 0 und r = 0 zu normieren. Eine andere Art ist lediglich aufr = 0 bei der momentan interessierende Distanz z zu normieren.

Wir betrachten zuerst den ersten Fall. Hierzu bestimmen wir E(0, 0) mittels Gleichung4.21 und erhalten

E(0, 0) =

(2

πw20

)1/2

= E0, (4.35)

und fur die normierte Intensitat somit

Inorm =I(r, z)

I(0, 0)=

w20

w(z)2e−2r2/w(z)2 , (4.36)

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4 Gauss Strahlen

resp. fur die Intensitat

I(r, z) = I0

(w2

0

w(z)2e−2r2/w(z)2

). (4.37)

Mittels der konfokalen Lange zc lasst sich die Intensitat auch schreiben

−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

rel. Distanzz/z

c

rel.

Abs

tand

w/w

0

0.1

0.2

0.3

Abbildung 4.6: Konturen der relativen Leistungsdichte in der Grundmode

I(r, z)norm =

(1 +

(z

zc

)2)−1

e−2r2/w2

0

“1+( z

zc)2

”. (4.38)

Man sieht, dass die Intensitat entlang der Achse im Abstand z = zc auf die Halfteabsinkt, und dass fur sehr grosse Werte von |z| zc die Intensitat mit 1/z2 abnimmt.Interessant ist, dass fur Werte von r > w0/

√2 die Intensitat entlang z zuerst zunimmt

und erst nach Erreichen eines Maximums abnimmt6. Dieser Sachverhalt wird in Figur4.6 und in Figur 4.7 veranschaulicht.

Haufig stellt sich die Frage nach der Leistungsdichte in einem bestimmten Abstandr von der Ausbreitungsachse, bezuglich dem Wert auf der Achse fur irgend ein z. Jetztwird also bezuglich E(0, z) normiert:

|E(0, z)| =(

2

πw2

)1/2

. (4.39)

6Als Ubung bestimmen fur welche Werte von z das Maximum auftritt

96

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4.2 Physikalische Parameter von Gauss-Strahlen

−3−2

−10

12

3

−3

−2

−1

0

1

2

3

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

rel. Distanzz/z

c

rel. Abstandw/w

0

rel.

Leis

tung

Abbildung 4.7: Relative Leistungsdichte in der Grundmode

Fur das Intensitatsverhaltnis7 erhalten wir nun

I(r)

I(0)= e−

2r2

w2 . (4.40)

Als Randbelegung, oder engl.”edge taper“ Te bezeichnet man das Verhaltnis des Wertes

an der Stelle r = re zu demjenigen bei r = 0 , d.h.

Te(re) = e−

„2r2ew(z)2

«. (4.41)

Haufig wird die Randbelegung in dB ausgedruckt

Te(dB) = −10 log(Te) = 8.686(rew

)2

. (4.42)

Aus der Randbelegung lasst sich andererseits der entsprechende Radius re bestimmen

rew

= 0.3393[Te(dB)]0.5, (4.43)

7Goldsmith verwendet fur dieses Verhaltnis P (r)/P (0), (Gleichung (2.33b)), was auf ein Leistungs-verhaltnis schliessen lasst. Er unterscheidet in seiner Nomenklatur nicht zwischen Leistungsdichteresp. Intensitat und Leistung

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4 Gauss Strahlen

Dabei ist 0.3393 = (20 log(e))−1/2.Wir konnen nun auch bestimmen, welcher Teil Fe(re) der Leistung eines Gauss-Strahls

durch eine Apertur mit Durchmesser 2a = 2re hindurch geht:

Fe(re) =2

πw2

re∫0

2πre−2r2

w2 dr = 1− e−2r2ew2 = 1− Te(re). (4.44)

Als Faustregel merke man sich, dass eine Apertur mit Durchmesser D = 2w 86% derLeistung im Gauss Strahl durchlasst. Ein Durchmesser der Grosse D = πw lasst immer-hin schon 99% durch. Ist der Durchmesser D = 4w, so passieren 99.97% des Strahlesdas Hindernis. Optische Komponenten sollten also mindestens eine Offnung haben, diedem 4w-Kriterium entsprechen. Das Bestimmen der Leistung welche durch die Aperturgeht ist nur ein Aspekt. Es ist zu beachten, dass Aperturen, insbesondere scharfkantige,zu Beugungseffekten fuhren, auch wenn der abgeschnittene Teil der Leistung noch sogering ist. Das Intensitatsprofil wird dann nicht mehr schon Gauss formig sein, sonderneinen uberlagerten Rippel aufweisen. Damit diese Rippel auf einen Wert von 1% herunterkommen, muss die Apertur mindestens einen Durchmesser von D = 4.6w aufweisen.

4.2.2 Rayleigh Lange zc

Uber welche Distanz breitet sich ein Gauss Strahl aus, bevor er signifikant zu divergierenbeginnt? Die Anderung der Strahlweite w(z) bei Ausbreitung entlang z ist gegeben durchden Ausdruck 4.11. Wir sehen, dass der Strahl umso schneller divergiert, je kleiner dieStrahltaille w0 ist. Die Distanz bis zu der w auf einen Faktor

√2 angewachsen ist und

damit die Flache auf einen Faktor 2 zugenommen hat, ist durch den Parameter

zc =πw2

0

λ(4.45)

gegeben. Der Parameter zc wird haufig auch als Rayleigh-Lange bezeichnet. Die Rayleigh-Lange bezeichnet auch etwa den Ubergangsbereich vom Fresnel- zum Fraunhofer-Bereich,oder vom Nahfeld zum Fernfeld. In der Antennentheorie bezeichnet man den Abstandvon einer Antenne bis zum Bereich, wo das Fernfeld8 beginnt mit zFernfeld = 2D2/λ.

Der Parameter zc wird zudem auch als konfokale Lange bezeichnet. Die Fokustiefeentspricht dann 2zc. Mit anderen Worten, uber einen Bereich von rund zwei Rayleigh-Langen divergiert der Strahl unwesentlich. Das bedeutet aber auch, dass je kleiner w0,resp. der Brennfleck, desto genauer muss seine Lage bekannt sein.

4.2.3 Strahldivergenz θ0

Fur sehr grosse Abstande z zc von der Strahltaille wird der Strahlradius

w(z) ≈ w0z

zc. (4.46)

8Als Ubung zeigen, wie die beiden Grossen korrespondieren

98

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4.2 Physikalische Parameter von Gauss-Strahlen

Wir definieren den Strahldivergenz Winkel9 θ0 durch

θ0 = limzzc

tan−1(wz

)= tan−1

πw0

)' λ

πw0

. (4.47)

Abbildung 4.8 illustriert, wie sich mit zunehmender Distanz auf der Ausbreitungsachseder Strahl asymptotisch dem Grenzwinkel θ0 annahert. Aus Gleichung 4.47 sieht man

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

rel. Distanz z/zc

rel.

Abs

tand

w/w

0

θ0

Abbildung 4.8: Grenzwinkel θ0 eines Gauss Strahles

deutlich, dass der Strahl um so mehr divergiert, je enger er in der Taille ist. Zudem seiin Erinnerung gerufen, dass sich θ0 auf das elektrische Feld und nicht auf die Intensitatbezieht, und dass es sich jeweils um den halben Winkel handelt. Haufig ist aber vonInteresse bei welchem Winkel die Leistung auf die Halfte abgefallen ist. Wir bezeichnendiesen Winkel mit θ1/2 und bestimmen ihn aus

P (θ1/2)

P (θ = 0)= e

−2

„θ1/2θ0

«2

=1

2(4.48)

und anschliessendem Auflosen nach θ1/2. Die gesamte Breite des Strahls auf halber Leis-tung entspricht dann zwei mal diesem Wert:

θHPBW = θfwhm = 2θ1/2 = 2

√ln(2)

2θ0 = 1.18θ0. (4.49)

9Es versteht sich von selbst, dass θ0 in radian ist.

99

Page 14: 4 Gauss Strahlen - IAP > Microwave Physics Gauss Strahlen 4.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum 4.1.1 Herleitung mit Huygens-Fresnel Integral Es zeigt sich, dass die

4 Gauss Strahlen

Wir wollen noch einen Bezug zur Antennentheorie herstellen, und zwar aufzeigen,welcher Zusammenhang zwischen Raumwinkel und Antennenflache besteht. Zum Winkelθ0 gehort der Raumwinkel

Ω = πθ20 =

λ2

πw20

. (4.50)

Innerhalb des Kegels, der durch den Raumwinkel Ω beschrieben wird, kommen im Fern-feld rund 86% der Leistung zu liegen. Dieselbe Leistung bei der Strahltaille, also so zusagen bei der Quelle, geht durch eine Flache A = πw2

0. Wir bilden nun das Produkt

A · Ω = πw20 × πθ2

0 = λ2 (4.51)x

A(Ω) · dΩ = λ2 (4.52)

Dieser Zusammenhang gilt fur jegliche Art von Antenne, ob das nun eine optischer Artist, oder ob es sich um eine Mikrowellenantenne handelt.

4.2.4 Phase und Wellenfronten

In Gleichung 4.16 haben wir gesehen, dass die Phase des E−Feldes in der Grundmodegegeben ist durch

φ(r, z) = kz − arctan

(λz

πw20

)+

πr2

λR(z). (4.53)

Auf der Ausbreitungsachse ist die Phase

φ(0, z) = kz − arctan

(λz

πw20

)= kz − φ0. (4.54)

Der erste Term, kz, ist die Phase einer ebenen Welle. Der zweite Term, der von −π/2bei z = −∞ bis π/2 bei z = ∞ geht, stellt eine Phasenverzogerung von insgesamt πgegenuber einer ebenen Welle dar. Dieses Phanomen bezeichnet man als Guoy-Effekt.Dieser Effekt, der 1890 von Guoy zum ersten Mal experimentell nachgewiesen wurde,gilt naturlich sowohl fur optische wie auch fur Mikrowellen. Was ist die physikalischeBedeutung dieser Phasenshift beim Durchgang eines Gauss-Strahls durch seine Taille?Es bedeutet, dass die Phasengeschwindigkeit, resp. der Abstand der Wellenfronten, etwasgrosser ist als bei einer ebenen Welle. Der graphische Zusammenhang ist in Figur 4.9gegeben.

Der letzte Term in Gleichung 4.54 ist verantwortlich fur die Krummung der Wellen-fronten. Er gibt an, wie die Phase bei einem Punkt, der nicht auf der Achse liegt, voneinem Punkt in einer transversalen Ebene abweicht.

Wie andert der Krummungsradius der Wellenfront als Funktion des Abstandes z vonder Taille? Den analytischen Ausdruck haben wir in Gleichung 4.15 bereits hergeleitet,schreiben ihn aber in etwas modifizierter Form nun als

R(z) = z +z2c

z≈

∞ fur z zc2zc fur z = zcz fur z zc.

(4.55)

100

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4.2 Physikalische Parameter von Gauss-Strahlen

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−pi/2

−pi/4

0

pi/4

pi/2

relative Distanz z/zc

Pha

senv

erzö

geru

ng

Abbildung 4.9: Phasenverzogerung eines Gauss Strahles gegenuber einer ebenen Welleentlang der Ausbreitungsachse

Die Wellenfront ist fur z = 0, d.h. in der Taille, flach, was einer ebenen Wellen entspricht.Mit zunehmendem Abstand nimmt der Krummungsradius rapide ab und erreicht im Ab-stand z = zc einen minimalen Wert, um dann wieder an zuwachsen und zwar proportionalzu z fur z zc, was einer Kugelwelle entspricht. Dieser Sachverhalt ist in Figur 4.10dargestellt10. Der minimale Krummungsradius wird also im Abstand z = zc erreicht,

−30 −20 −10 0 10 20 30−5

0

5

Ausbreitungsrichtung

Abs

tand

von

der

Ach

se

Abbildung 4.10: Krummungsradius der Wellenfronten eines Gauss Strahles mituberlagerter Kontur fur die Strahlbreite w(z).

wo der Radius den Wert R = 2zc hat. Das bedeutet, dass das Krummungszentrum derWelle bei z = −zc liegt und umgekehrt. Diese Beziehung hat eine spezielle Bedeutungfur Resonatoren, wie wir spater noch sehen werden.11

10Die Uberlagerung der Wellenfronten ausserhalb des eingezeichneten Strahles ist physikalisch nichtsinnvoll; Verletzung der paraxialen Naeherung

11Wir haben die Konvention ubernommen, dass der Krummungsradius fur eine divergierende Wellen-front positiv und fur eine konvergierende Wellenfront negativ ist.

101

Page 16: 4 Gauss Strahlen - IAP > Microwave Physics Gauss Strahlen 4.1 Ausbreitung eines Gauss-Strahles im freien Raum 4.1.1 Herleitung mit Huygens-Fresnel Integral Es zeigt sich, dass die

4 Gauss Strahlen

4.2.5 q-Parameter

Wir wollen uns fragen, wie viele Parameter es eigentlich braucht, um eine ebene Welle,eine spharische Welle oder einen Gauss-Strahl zu beschreiben, vorausgesetzt, dass wirdie Wellenlange λ kennen. Die ebene Welle ist vollstandig beschrieben durch die Ausbrei-tungsrichtung plus die komplexe Amplitude, die spharische Welle durch die Amplitudeund den Ort der Quelle. Zur Beschreibung des Gauss-Strahles allerdings braucht es mehrParameter: die maximale Amplitude, die Ausbreitungsrichtung, die Lage der Taille pluseinen weiteren Parameter, wie die Taillenweite w0 oder den konfokalen Parameter zc.Falls der komplexe Parameter q(z) = z + jzc bekannt ist, dann ist der Abstand zurTaille z und der konfokale Parameter zc bekannt und damit ist der Gauss-Strahl auchbeschrieben. Als Beispiel sei q = 5 + j6 irgendwo auf der Achse. Damit wissen wir, dassdie engste Stelle 5cm links liegt und der konfokale Parameter 6cm ist. Wir finden dannden Radius w0 =

√λzc/π. Der lineare Zusammenhang von q(z) mit Abstand z erlaubt

uns auf einfache Weise, die Gauss Strahl Parameter an irgend einer Stelle zu finden,wenn sie fur einen bestimmten Wert z bekannt sind.

Sind w und R an einer Stelle bekannt, so kann der Strahl an irgend einer Stelle zbeschrieben werden.

Zum Schluss ist eine Zusammenstellung gegeben, wie aus einem unterschiedlichenParameterpaar eines Gauss-Strahles auf die relevanten Grossen geschlossen werden kann:

gegebeneGrossen

w0 z w = w0

[1 +

(λzπw2

0

)2]0.5

R = z

[1 +

(πw2

0

λz

)2]

R z w20 = λ

π[z(R− z)]0.5 w aus w0 und z

w z w20 = w2

2

[1−

(2λzπw2

)2]0.5R aus w0 und z

w0 w z = πw0

λ[w2 − w2

0]0.5

R aus w0 und z

w0 R z = R2

[1−

(2πw2

0

λR

)2]0.5

w aus w0 und z

w R w0 = w»1+

“πw2

λR

”2–0.5 z = R

1+( λRπw2 )

2

102

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4.3 Hohere Moden

4.3 Hohere Moden

Wir haben uns bisher mit der Grundmode eines Gauss-Strahles beschaftigt. Das istgleichzeitig auch die einfachste Losung der paraxialen Helmholtz-Gleichung. Es zeigtsich aber in der Praxis, dass beispielsweise Rillenhorn Antennen nicht ideale Gauss-Strahlen generieren, sondern auch Moden hoherer Ordnung. In diesem Fall der Zylindersymmetrischen Anordnung fuhrt dies auf die sog. Gauss-Laguerre Moden. Ein anderesBeispiel, wo hohere Moden erzeugt werden, ist etwa die Reflexion an einem Spiegel, dernicht axial beleuchtet wird (engl. offaxis). In kartesischen Koordinaten erhalt man dannsog. Gauss-Hermite Moden. Wie beim Grundmode ist auch bei den hoheren Modendie Taille gegeben durch w(z), der Krummungsradius durch R(z) und die Phase φ(z).Der einzige Unterschied zum Grundmode liegt darin, dass die gesamte Phasenschiebunggrosser ist.

4.3.1 Gauss-Laguerre Moden

Im Falle von Zylinder Koordinaten mussen hohere Moden eine Abhangigkeit vom Azi-muth Winkel ϕ wiedergeben. Eine Variation in radialer Richtung wird nicht ausgeschlos-sen. Es zeigt sich, dass Losungen der Helmholtz-Gleichung sog. generalisierte LaguerrePolynome Lpm beinhalten:

Lpm(u) =

l=p∑l=0

(p+m)!(−u)l

(m+ l)!(p− l)!l!. (4.56)

Dabei bezeichnet man p als den radialen und m als den azimuthal Index.Diese Laguerre Polynome lassen sich z.B. einfach mit Maple oder Matlab berechnen.

Einige der Laguerre Polynome mit tiefer Modenzahl sind:

L0m(u) = 1 (4.57)

L1m(u) = 1 +m− u

L2m(u) =1

2[(2 +m)(1 +m)− 2(2 +m)u+ u2]

L3m(u) =1

6[(3 +m)(2 +m)(1 +m)− 3(3 +m)(2 +m)u+ 3(3 +m)u2 − u3].

Fur das normierte12 elektrische Feld erhalt man dann13:

Epm(r, ϕ, z) =

[2p!

π(p+m)!

]0.51

w(z)

[√2r

w(z)

]mLpm

(2r2

w2(z)

)·exp

[−r2

w2(z)− jkz − jπr2

λR(z)+ j(2p+m+ 1)φ0(z)

]·exp (jmϕ) . (4.58)

12normiert heisst, dass die Leistung 1 ist13die entsprechende Formel (2.51) in Goldsmith hat Druckfehler!

103

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4 Gauss Strahlen

Die tiefste Mode ist die bereits bekannte Grundmode. Es sei noch einmal daraufhingewiesen, dass der Strahlradius w, der Krummungsradius der Wellenfront R und diePhasenshift φ0 genau gleich sind wie bei der Grundmode und dass einzig die totalePhasenshift grosser ist als in der Grundmode.

Fur axial symmetrische Moden ist der Index m = 0 und das zugehorige E−Feld wirdsomit

Ep0(r, z) =

[2

πw2

]1/2

Lp0

(2r2

w2

)exp−r2

w2e−jφ, (4.59)

wobei wir lediglich die Schreibweise fur die Phase mit φ abgekurzt haben. Die axialsymmetrische Gauss-Laguerre Mode der Ordnung p hat fur das elektrische Feld genau pNull Durchgange, wobei das Vorzeichen des Feldes nach jedem Null Durchgang wechselt(Abbildung 4.11, Abbildung 4.12). Fur die Intensitat erhalten wir dann analog p + 1helle Ringe. Falls die Mode nicht symmetrisch ist, wird das Bild komplexer. Die Inten-sitatsverteilung hat dann insgesamt (2m+ δ0m)(p+ 1) helle Zonen (Abbildung 4.13 undAbbildung 4.14).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

rel. Abstand r/w

e

l. F

eld

tran

sver

sal

zur

Aus

brei

tung

sric

htun

g

E0(r)

E1(r)

E2(r)

E3(r)

E4(r)

Abbildung 4.11: Elektrisches Feld fur verschiedene Gauss-Laguerre Moden. Parameterist der radiale Index p. Das Feld ist normiert auf E(p = 0, z = 0).Generiert mit Matlab-file glmode2d.m

104

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4.3 Hohere Moden

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

rel. Abstand r/w

Le

situ

ng tr

ansv

ersa

l zu

r A

usbr

eitu

ngsr

icht

ung

p=0p=1p=2p=3p=4

Abbildung 4.12: Intensitatsverteilung fur verschiedene Gauss-Laguerre Moden. Parame-ter ist der radiale Index p. Die Leistung ist normiert auf E(p = 0, z =0)2. Generiert mit Matlab-file glmode2d.m

4.3.2 Gauss-Hermite Moden

In rechtwinkligen Koordinaten erhalten wir fur die hoheren Moden Kombinationen ausHermite Polynomen Hm. Diese Hermite Polynome lassen sich rekursiv erhalten aus:

Hn+1(u) = 2(uHn(u)− nHn−1(u)) (4.60)

H0(u) = 1

H1(u) = 2u.

Nehmen wir fur die Abhangigkeit von w und R und φ0 an, dass sie in x− und y−Richtunggleich sei, und wir dem gemass schreiben konnen wx = wy = w und analog fur R undφ0, so erhalten wir schliesslich fur das normierte elektrische Feld:

Emn(x, y, z) =

(1

πw22m+n−1m!n!

)0.5

Hm

(√2x

w

)Hn

(√2y

w

)

·exp[−(x2 + y2)

w2− jkz − jπ(x2 + y2)

λR+ j(m+ n+ 1)φ0

]. (4.61)

Die zugehorige Intensitatsverteilung hat (m+ 1)(n+ 1) helle Zonen.Abbildungen 4.15, 4.16, 4.17 und 4.18 visualisieren verschiedene Darstellungen von

Gauss-Hermite Moden. Es sei noch darauf hingewiesen, dass die Gauss-Hermite Funk-

105

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4 Gauss Strahlen

Abbildung 4.13: Elektrisches Feld fur eine Gauss-Laguerre Mode mit radialem Index p =3 und azimuthalem Index m = 4. Generiert mit Matlab-file glmode3d.m

tionen auch die quantenmechanischen Eigenfunktionen des linearen harmonischen Os-zillators darstellen.

4.3.3 Geometrische Dimension hoherer Moden

Wir haben gesehen, dass bei einem Gauss-Strahl einer hoheren Mode, zusatzliche Inten-sitatsmaxima auftreten. Zudem braucht nicht einmal das Maximum auf der Achse dasgrosste zu sein. Dem entsprechend wird es auch schwieriger von der geometrischen Aus-dehnung eines Strahles zu sprechen. In Abschnitt 4.2.1 haben wir diskutiert innerhalbwelchem Abstand von der Achse wie viel Leistung konzentriert ist. Daraus resultiertedas 4w-Kriterium fur die Wahl des Durchmessers von optischen Komponenten. Es istnun ganz klar, dass bei einer hoheren Mode dieses Kriterium sicher nicht mehr richtigist.

Es wurde vorgeschlagen fur die Grosse ρr,pm =√σ2r,pm(z) des Strahls bei Gauss-

Laguerre Moden folgenden Wert zu nehmen:

σ2r,pm(z) =

22π∫0

∞∫0

r2I(r, ϕ, z)r drdϕ

2π∫0

∞∫0

I(r, ϕ, z)r drdϕ

. (4.62)

106

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4.3 Hohere Moden

Abbildung 4.14: Intensitatsverteilung fur eine Gauss-Laguerre Mode mit radialem In-dex p = 3 und azimuthalem Index m = 4. Generiert mit Matlab-fileglmode3d.m

Da in unserem Fall das Feld schon so normiert ist, dass die Leistung gleich eins ist, soist der Nenner gleich eins. Der Ausdruck lasst sich z.B. mit Maple losen und man erhaltfur die Strahlgrosse ρ

ρr,pm = w(z)(2p+m+ 1)1/2 = w0(2p+m+ 1)1/2

[1 +

(λz

πw20

)2]1/2

. (4.63)

Die Strahl Moden nehmen also mit der Quadratwurzel der Modenzahl zu. Gauss-LaguerreModen sind symmetrisch um die z-Achse. Fur p = 0 = m reduziert sich die Grosse aufw(z) der Grundmode, wie das auch sein muss. Fur Gauss-Hermite Moden gilt

ρxy,mn = w(z)(m+ n+ 1)1/2. (4.64)

Es ist also bei der Wahl der minimalen Apertur einer Komponente darauf zu achten,dass sie genugend gross ist auch fur hohere Moden.

4.3.4 Superposition von Moden

Die elektrische Feldverteilung eines sich ausbreitenden paraxialen Strahls, in einer Ebe-ne senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, kann als Superposition verschiedener Gauss-Laguerre oder Gauss-Hermite Moden dargestellt werden. Damit kann dann die Ausbrei-tung des Strahls als Ausbreitung der einzelnen Moden untersucht werden.

107

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4 Gauss Strahlen

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

rel. Abstand x/w

e

l. F

eld

tran

sver

sal

zur

Aus

brei

tung

sric

htun

g

E0(x)

E1(x)

E2(x)

E3(x)

Abbildung 4.15: Elektrisches Feld fur verschiedene Gauss-Hermite Moden. Parameter istder Index m. Das Feld ist normiert auf E(m = 0, z = 0). Generiert mitMatlab-file ghmode2d.m

Die Feldverteilung an der Stelle z, wie sie z.B. durch Feed-Hornantennen produziertwird, lasst sich haufig als Summe einiger weniger Moden darstellen. Manchmal reichtsogar der Grundmode aus. Es stellt sich dann die Frage, welcher Grundmode, charakte-risiert durch die Strahltaille w0 und den Krummungsradius R, kommt am besten an dieaktuelle Feldverteilung heran, und wie gross die Leistung in dieser Mode ist, gegenuberder Gesamtleistung.Em sei ein komplettes Set von Feldverteilungen in der Mode mit Ordnung m, das

durch orthogonale Polynome gebildet wird. Eine beliebige Funktion f(u), oder ebeneine beliebige Feldverteilung, lasst sich dann als Uberlagerung schreiben

f(u) =∞∑m=0

amEm(u), (4.65)

mit den Expansionskoeffizienten am

am =

∫E∗m(u)f(u) du. (4.66)

Der Index m kann hier zwei Dimensionen bedeuten. Die Expansionskoeffizienten sind imallgemeinen komplex. Es ist zu beachten, dass der Expansionskoeffizient am eigentlicheinem Kopplungskoeffizienten zwischen dem Feld f(u) und dem m-ten Mode Em(u)entspricht.

108

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4.3 Hohere Moden

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

rel. Abstand x/w

Le

istu

ng tr

ansv

ersa

l zu

r A

usbr

eitu

ngsr

icht

ung

m=0m=1m=2m=3

Abbildung 4.16: Intensitatsverteilung fur verschiedene Gauss-Hermite Moden. Parame-ter ist der Index m. Die Leistung ist normiert auf E(m = 0, z = 0)2.Generiert mit Matlab-file ghmode2d.m

Es gilt nun ∫E∗m(u)En(u) du = δmn, (4.67)

wobei δmn die Dirac’sche Deltafunktion ist und E∗(u) das konjugiert komplexe Polynomdarstellt. Es gilt dann ∫

f ∗(u)f(u) du =∞∑m=0

|am|2. (4.68)

Normalerweise sind die Feldverteilungen zweidimensional und entweder in zylindrischenoder in rechteckigen Koordinaten gegeben. Die Entwicklung des beliebigen E-Feldesist dann in Gauss-Laguerre (vgl. Gleichung 4.58) resp. in Gauss-Hermite Moden (vgl.Gleichung 4.61) durchzufuhren, d.h.

Epm(r, ϕ, z) =

(2p!

π(p+m)!

)1/21

w(z)

(√2r

w(z)

)m

Lpm

(2r2

w2(z)

)·exp

(−r2

w2(z)− jkz − jπr2

λR(z)+ j(2p+m+ 1)φ0(z))

)ejmϕ

109

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4 Gauss Strahlen

Abbildung 4.17: Elektrisches Feld fur eine Gauss-Hermite Mode mit Index m = 3 undIndex n = 2. Generiert mit Matlab-file ghmode3d.m

resp.

Emn(x, y, z) =

(1

πwxwy2m+n−1m!n!

)1/2

Hm

(√2x

wx

)Hn

(√2y

wy

)

·exp(− x

2

w2x

− y2

w2y

− jkz − jπx2

λRx

− jπy2

λRy

+j(2m+ 1)

2φ0x +

j(2n+ 1)

2φ0y

).

Fur axial-symmetrische Gauss-Laguerre Moden ist m = 0 und damit lasst sich derBetrag des Feldes senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schreiben:

Ep0(r, z) =

(2

πw2

)1/2

Lp0

(2r2

w2

)e−r

2/w2

, (4.69)

wobei naturlich w = w(z).

Wir definieren einen normierten Kopplungskoeffizienten cm zwischen der Mode m undder zu entwickelnden Feldkonfiguration

cm =< Em|f >

(< f |f >)1/2=

∫E∗m(u)f(u) du(∫f ∗(u)f(u) du

)1/2 . (4.70)

110

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4.3 Hohere Moden

Abbildung 4.18: Intensitatsverteilung fur eine Gauss-Hermite Mode mit Index m = 3und Index n = 2. Generiert mit Matlab-file ghmode3d.m

Dabei bezeichnet u das ein - oder zweidimensionale Koordinatensystem, das Verwendungfindet. Es ist zu beachten, dass die verwendeten Formeln fur Gauss-Laguerre resp. Gauss-Hermite Moden bereits normiert sind, nicht aber die zu entwickelnde Feldverteilungf(u). Das elektrische Feld in einem einfallenden Strahl muss aber nicht notwendigerweisenormiert sein. Die gesamte Leistung in diesem Strahl P ist dann

P =

∫f ∗(u)f(u) du, (4.71)

und damit wirdcm =

am√P, (4.72)

resp.

|cm|2 =|am|2

P(4.73)

Das bedeutet, dass |cm|2 den Bruchteil der Leistung im Mode m darstellt. Zweidimen-sional analog fur cmn.

Die Entwicklung einer beliebigen Feldverteilung in hohere Moden ist nicht eindeutig.Es kann namlich der Krummungsradius R beliebig gewahlt werden. Andere Werte von Rfuhren einfach auf andere Expansionskoeffizienten. Das gleiche gilt fur den Strahlradiusw. Auch da ist es moglich einen Wert anzunehmen. Wichtig ist einzig, dass w fur allehoheren Moden der gleiche Wert hat. Wir werden im Kapitel ?? darauf zuruckkommen.

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4 Gauss Strahlen

Eine sinnvolle Wahl von w ist so, dass die Leistung in der Grundmode maximal wird.Mit anderen Worten, es geht darum c0 zu maximieren.

112