3_LEZIONE_Cenni di calcolo delle probabilità e distribuzioni di probabilità_2°anno

8/8/2019 3_LEZIONE_Cenni di calcolo delle probabilità e distribuzioni di probabilità_2°anno

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I Facoltà di Medicina e Chirurgia

CORSO DI STATISTICADott.sa Laura Perrotta

- Lezione 6 - Cenni di calcolo delle probabilità e distribuzioni di probabilità -

A.A. 2006/2007



I f enomeni le cui manifestazioni o eventi nonpossono essere previste con certezza sono detticasuali o aleatori .

³Se non studiate superare l¶esame di statistica è unevento impossibile!´

Lo strumento adatto a studiare e misurare i fenomeni

aleatori (casuali) è la teoria della probabilità.

Il calcolo delle probabilità è alla base dellabiostatistica, consente di stimare e esaminare i dati

del passato e fornire indizi sul futuro.

CENNI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA¶



PROBABILITA¶ DI UN EVENTO SEMPLICEU n evento può risultare:

Certo (se si verifica sempre)Estrazione di una pallina rossa da un¶urna contenentesolo palline rosseLa morte in caso di coma irreversibile

Impossibile (non si verifica mai)Estrazione di una pallina bianca da un¶urnacontenente solo palline nere

Effettuare un¶analisi senza reagenti necessariPossibile o probabile (può verificarsi oppure no)

Estrazione di una pallina bianca da un¶urnacontenente sia palline bianche che rosseL

a sopravvivenza di un individuo fino all¶età di 75 anni



TEORIA E CALCOLO DELLE PROBABILITA¶

L¶insieme di tutti i possibili risultati di un fenomenocostituisce l¶universo o lo spazio campione (o diprobabilità) (omega, lettera greca)P ( ) = 1

Si usa il termine successo per segnalare che si èverificato l¶evento considerato e insuccesso il casocontrario.

Il numero di successi in una serie di osservazioni oprove può essere definita come frequenza relative,cioè come rapporto tra il numero di eventi favorevolirispetto al numero dei casi esaminati.



La probabilità di un evento è il rapporto tra i casi favorevolie i casi possibili rilevati in una lunga serie di prove ripetutesotto condizioni simili.

La probabilità di un evento E si calcola come:

P(E) = numero di successinumero di casi possibili

0 < P(E) < 1 La probabilità è un numero che variatra 0 e 1 ( in percentuali tra o e

100)

P(E) = 0 Se l¶evento è impossibilela probabilità è zero

P(E) = 1 Se l¶evento è certo la probabilitàche si verifichi è 1



Se E indica un dato evento, l¶evento che non siverifica si definisce evento complementareLa probabilità di un evento si indica con

P(E) = p e P( ) = q;

Tra i due eventi esiste la seguente relazione:

P(E) = 1 ± P( ) = 1 ± q = p

con p + q = 1



Classi f icazione degli eventi

U n evento casuale che può essere suddiviso in eventielementari (semplici) è un evento composto;

D ue o più eventi si dicono incompatibili se il verificarsidi uno di essi non esclude il verificarsi dell¶altro (o deglialtri);

D uo o più eventi si dicono necessari se uno di essideve obbligatoriamente verificarsi;



Secondo la teoria f requentista :La probabilità di un evento è la frequenza relativa concui l¶evento si verifica in una lunga serie di prove ripetutesotto condizioni simili.

Secondo la teoria classica :se un evento può presentarsi in K modi su un totale di Nmodi possibili ugualmente verosimili (con la stessaprobabilità di verificarsi), allora la probabilità disuccesso risulta essere P = k / N

La teoria classica ef requentista



Esempio 1:

Il lancio di una moneta ha come possibili risultati: Testa,Croce. Qual è la probabilità che esca testa?

P(E) = P(Testa) = 1 / 2P(E) = P(Testa) = 1 ± P( ) = 1 - P(Croce) = 1 / 2

Esempio 2:Nel lancio del dado la possibilità che esca la faccia 3 èdata dalla probabilità dell¶evento pari a :

P(E) = P(3) = k / N = 1 / 6 = 0,166N = 6 sono tutti i casi possibiliE = evento faccia 3 del datoK = quante volte può presentarsi il 3 = 1 volta



LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA¶Si definisce distribuzione di probabilità l¶insiemedelle probabilità associate a tutti i possibili eventicasuali di uno spazio campione.

E sempio: il lancio di sei monete può casualmente portare ad ottenere da 0 a 6 teste; la probabilità dell¶evento testa per ogni moneta è sempre uguale a 0,5; la soma delle singole

probabilità deve dare come risultato 1.

Le distribuzioni di probabilità sono suddivise in duegruppi:Per variabili discrete

( per esempio la distribuzione Binomiale)Per variabili continue( per esempio la distribuzione Normale, Normale

standardizzata e T-Student)



Variabili casuali discrete:

DISTRIBUZIONE BINOMIALEU n evento si verifica con probabilità

P(E) = p

oppure non si verifica con probabilità complementareP( ) = 1- p = q

Sotto il vincolo p + q = 1

Considerando N ripetizioni (³prove´ o ³tentativi´)indipendenti tra loro di uno stesso evento, per conoscere laprobabilità dei singoli risultati si utilizza la distribuzionebinomiale



DISTRIBUZIONE BINOMIALEL

a probabilità di un evento che si verifica k volte (esattamente ksuccessi) su N prove, indipendenti tra loro, si calcola utilizzando ladistribuzione binomiale:

k nk q pk

nkvolte E p ¹¹

º

¸©©

ª

¨!! )(

)!(!!

k nk n

k

n!¹¹

º

¸©©ª

¨

))1((.......)2()1(! yyyy! nnnnnn

è il coe ff iciente binomiale: indica ilnumero di volte con cui si puòverificare l¶evento

n! si legge ³ n f attoriale´

1).(00

!¹¹ º

¸©©ª

¨!

!! §§k nk

n

k

n

k

q pk

neventik P



Esempio 3Si lancino due monete separatamente. Qual è laprobabilità che esca testa alla seconda monetalanciata?

CASIPOSS

IBILI: TT; CT; TC; CC n=4CASI FAVOREVOLI : TT; CT k=2

p = 0,5 q =0,5

6*(0,5)²*(0,5)² =6*0,25*0,25= 6*0,0625 = 0,37

Abbiamo il 37% delle possibilità

!!¹¹ º

¸©©ª

¨!r 2222 )5,0()5,0(

)!24(!2!4

)5,0()5,0(2

42 esta")lancio "T P(

!! 2222 )5,0()5,0()12()12(

1234)5,0()5,0(!2!2

!4



Esempio 4

Sapendo che la probabilità che un neonato nasca disesso maschile è 0,52. Qual è la probabilità che unafamiglia con tre figli abbia 1, 2, 3 o nessuna femmina?

P(F) = p = 0,48 P(M) = 1 ± p = q = 0,52

P(Nessuna F) = 0,14P(1 F) = 0,38P(2 F) = 0,35P(3 F) = 0,11

La somma delle quattro probabilità deve risultare uguale a 1

!¹¹ º

¸©©ª

¨!

!! §§k k

k k q pk eventik P

33

0

3

0

3).(

!¹¹ º

¸©©ª

¨¹¹ º

¸©©ª

¨¹¹ º

¸©©ª

¨¹¹ º

¸©©ª

¨! 343232131030 )52.0()48.0(

3

3)52.0()48.0(

2

3)52.0()48.0(

1

3)52.0()48.0(

0

3

111,036,039,014,0 !!



Rappresentazione gra f ica della binomiale

La forma della distribuzione binomiale a parità di N,dipende dalla probabilità dell¶evento p.

Nel caso particolare di p = q = 0,5 la curva dellabinomiale si distribuisce simmetricamente rispetto allamedia.

In particolare in una distribuzione binomiale ha

La media (o valore atteso)

La deviazione standard

N p x !

N pq s !



_

= x = 1,92; = s = 0,99 N p x ! N pq s !

NOTA: La curva non è simmetrica rispetto alla media perché p=0,48 e q=0,58 sono diversi da 0,5

G ra f ico dell¶esempio 4

_ X=1,92

Distri

uzione di pro

a

ilit¡

0,14

0,¢

80,

¢

5

0,11

0 1 2¢

Numero di fi£ lie

0,0

0,1

0,2

0,¢

0,4

0,5

¤

r o¥

a¥

i l i t ¦

_ x-s

_ x+s



Variabili casuali continue:

DISTRIBUZIONE NORMALE o gaussianaLa distribuzione normale può essere immaginata comeuna distribuzione binomiale, che per un numero infinito

di prove diventa continua.Graficamente la curva di probabilità assume la forma di una³campana´ simmetrica rispetto alla media ( con media moda emediana coincidenti).

E¶ ritenuta la distribuzione più importante nell¶analisistatistica perché permette di stabilire la probabilità diriscontrare valori entro un determinato intervallo.



Si consideri una grandezza X, rilevata infinite volte, siotterrà un insieme di misure più o meno scostate dalvalore vero della media (per effetto dell¶errore o della

variabilità).Si osserva che gli scarti dal valore vero (x-m), uguali madi segno opposto, hanno la stessa probabilità diverificarsi.

Secondo le leggi probabilistiche è più probabile trovare ununità con valore vicino alla media. Pertanto maggiore èl¶ampiezza dello scarto e minore sarà la probabilità diriscontrare un valore molto distante dalla media.

DISTRIBUZIONE NORMALE



Supponendo che la maggior parte dei soggetti presenti unvalore intorno al valore medio e la frequenza dei soggettidecresca nelle code della distribuzione, quanto più siallontana dalla media.

Graficamente un fenomenoX~

Norm( ; )che si distribuisce comeuna normale con media e deviazione standard si rappresenta come infigura.

La f unzione di ripartizionedi una distribuzionenormale è

2

21

2

1)( e

x

X f ¹ º ¸©

ª¨

! W Q

T W



La funzione gaussiana può essere applicata se si conosconoi parametri della popolazione: il valore vero della media delcarattere e la deviazione standard

La distribuzione normale ha una f orma a campana ed èsimmetrica rispetto al valore della media ed unimodale conmedia, moda e mediana coincidenti

Per valori di + e - la curva tende asintoticamente a 0 ,cioè la curva si avvicina sempre più all¶asse delle ascissesenza mai raggiungerlo

PROPRIETA¶DELLA FUNZIONEG AUSSIANA



Al variare della media la distribuzione si sposta lungol¶asse delle ascisse; in base alla deviazione standard siallarga e si stringe l¶ampiezza della ³campana´ creandodue punti di flesso

Il valore della deviazione standard assume il ruolo diunità di misura lungo l¶asse delle ascisse da[ (m ± K ); «(m ± ); m; (m + ); «(m + K ) ]

L¶area compresa tra la f unzione e l¶asse delleascisse ( per tutto il dominio della variabile x (+ ; - ) èuguale a 1, cioè indica la probabilità del 100% cheuna qualsiasi misura sia inclusa nell¶intervalloP ( x-m < x < x +m )



Al f ine di sempli f icare i calcoli di una f unzione gaussianasi applica una tras f ormazione di variabile

Sia Z la nuova variabile

La distribuzione normale standardizzata diventa

è simmetrica intorno all¶asse delle ordinate (z = 0 per x =) con i punti di f lesso in z = -1 e z = +1

e z

Z f 2

2

21)( ! T

W Q! x

DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARDIZZATA



Utilizzazione della standardizzataQualsiasi distribuzione normale può essere standardizzata conuna curva che abbia media = 0 e deviazione standard = 1

Per questa distribuzione esistono tabelle predisposte chepermettono, con semplici calcoli, di stabilire la probabilità diosservare casualmente valori entro un intervallo prescelto

La tabella maggiormente adottata segnala l¶area delle due codesimmetriche rispetto al valore z



Tabella della distribuzione Z: Area al di la di z nelle due code della distribuzione ( V = valore di tabella)



Generalmente, in statistica, si utilizza l¶intervallo che comprende il 95%dei casi che corrisponde a (± 1,96 < z < + 1,96 ).

VALORI NOTEVOLI DELLA DISTRIBUZIONE ZZ Area compresa

nell¶intervallo (-z; +z)Area esterna all¶intervallo (-z;+z)(code della distribuzione)

1 0,68 § 68% 0,32 § 32%1,96 0,95 § 95% 0,05 § 5%

2,58 0,99 § 99% 0,01 § 1%

Z=±1,96 Z=+1,96

2,5%

95%

2,5%



Qual è la probabilità che un individuo, estratto a caso da unapopolazione con peso medio 72 kg e deviazione standard 25 kg,pesi tra i 60 e 80 kg?

La variabile è quantitativa continua quindi è possibile utilizzare ladistribuzione normale standardizzata

Facendo riferimento alla tabella della distribuzione z si rivela che la probabilità esterna a z=0,48 nelle due code è 0,631 e la probabilitàesterna a z=0,32 nelle due code è 0,749, quindi la probabilitàrichiesta è data da

48,025)7260(

60 !! kg kg

z

Esercizio

32,025)7280(

80 !! kg kg

z

%31310,02749,0

5,02631,0

5,0

)32,00()048,0(

)()8060( 8060

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