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NOM : ……………………………………………… ………… Prénom : …………………………………………………….. COLLEGE LE BEAUFORTAIN Le jeudi 26 mai 2011 3 ème - DEVOIR BILAN n°2 - MATHEMATIQUES Durée : 2 heures. Toutes les réponses seront soigneusement justifiées et tous les calculs détaillés. La propreté de la présentation et la rigueur de la rédaction seront notées sur 2 points. Le sujet comporte trois parties indépendantes. L’usage des calculatrices est autorisé. Partie I / 13 Partie II / 13 Problème / 12 Rédaction / 2 Total / 40 Partie I – Activités Numériques – 13 points Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité que cette boule soit noire. (0,5 point) 2. Calculer la probabilité que cette boule soit noire ou jaune. (1 point) 3. On ajoute des boules bleues dans le sac : le sac contient donc 10 boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et des boules bleues. On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est de , calculer le nombre de boules bleues. (1,5 points) Exercice 2 : (4 points) 1. Les nombres 315 et 495 sont-ils premiers entre eux ? Justifier la réponse. (0,5 point) 2. Calculer le PGCD de 315 et 495 par la méthode de votre choix (Ecrire le détail). (1,5 points) 3. La largueur d'un terrain rectangulaire est de 315 m et sa longueur est de 495 m. On souhaite entourer ce terrain d'arbustes régulièrement espacés de telle manière qu'il y ait un arbuste planté à chaque sommet du rectangle. Calculer le nombre d'arbustes nécessaires pour entourer ce terrain sachant que la distance entre deux arbres consécutifs, est un nombre entier de mètres compris entre 10 et 30 mètres. (2 points) Exercice 3 : (3 points) Voyage à Paris ... Voici un récapitulatif des tarifs des "taxis parisiens" : Tarifs des taxis parisiens depuis le 01 février 2011 (Pour 1 à 3 passagers) Prix en euro Horaires d'application des tarifs à Paris (Intramuros, périphérique inclus) Prise en charge …........................................ Tarif kilométrique A ............................. Tarif kilométrique B …............................... Tarif kilométrique C ….............................. Supplément pour le transport d'une 4 ème personne ……………………………. Supplément à partir du 2 ème .............. bagage, colis, objet encombrant. 2,30 0,92 (par km) 1,17 (par km) 1,42 (par km) 3,00 1,00 (par bagage supplémentaire) Du lundi au samedi Tarif A Tarif B De 10h à 17h De 17h à 10h Dimanche Tarif C Tarif B De 0h à 7h De 7h à 24h Jours fériés (hors dimanches Tarif B De 0h à 24h Source : www.taxi-paris.net 1. Alice a réalisé un trajet en taxi de 7,5 km, le lundi 23 mai 2011, en début d'après-midi. Elle avait deux bagages. Expliquer pourquoi elle a payé 10,20 €. (1 point) 2. Le mardi 24 mai 2011, Baptiste a pris un taxi avec une valise, pour un trajet de 12,5 km, entre 16h30 et 17h30. Il a payé 14,8 €. Soit x le nombre de kilomètres parcourus avec le tarif A et y le nombre de kilomètres parcourus avec le tarif B. Justifier que . (0,5 point) 3. Déterminer les nombres de kilomètres parcourus avec le tarif A et avec le tarif B. (1,5 points) Page 1 1 5 0,92 1,17 12,5 x y + =

3ème - DEVOIR BILAN n°2 - MATHEMATIQUES · En Travaux Pratiques de Chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés « erlenmeyers », comme celui schématisé ci-dessous

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NOM : ……………………………………………… ………… Prénom : ……………………………………………………..

COLLEGE LE BEAUFORTAIN Le jeudi 26 mai 2011

3ème - DEVOIR BILAN n°2 - MATHEMATIQUES

Durée : 2 heures.Toutes les réponses seront soigneusement justifiées et tous les calculs détaillés.La propreté de la présentation et la rigueur de la rédaction seront notées sur 2 points.Le sujet comporte trois parties indépendantes. L’usage des calculatrices est autorisé.Partie I / 13 Partie II/ 13 Problème/ 12 Rédaction/ 2 Total / 40

Partie I – Activités Numériques – 13 points

Exercice 1 : (3 points)Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes.Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard.

1. Calculer la probabilité que cette boule soit noire. (0,5 point)2. Calculer la probabilité que cette boule soit noire ou jaune. (1 point)3. On ajoute des boules bleues dans le sac : le sac contient donc 10 boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et

des boules bleues. On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est de , calculer le nombre de boules bleues. (1,5 points)

Exercice 2 : (4 points)1. Les nombres 315 et 495 sont-ils premiers entre eux ? Justifier la réponse. (0,5 point)2. Calculer le PGCD de 315 et 495 par la méthode de votre choix (Ecrire le détail). (1,5 points)3. La largueur d'un terrain rectangulaire est de 315 m et sa longueur est de 495 m.

On souhaite entourer ce terrain d'arbustes régulièrement espacés de telle manière qu'il y ait un arbuste planté à chaque sommet du rectangle. Calculer le nombre d'arbustes nécessaires pour entourer ce terrain sachant que la distance entre deux arbres consécutifs, est un nombre entier de mètres compris entre 10 et 30 mètres. (2 points)

Exercice 3 : (3 points) Voyage à Paris ...Voici un récapitulatif des tarifs des "taxis parisiens" :

Tarifs des taxis parisiens depuis le 01 février 2011 (Pour 1 à 3 passagers)

Prixen euro

Horaires d'application des tarifs à Paris(Intramuros, périphérique inclus)

Prise en charge …........................................

Tarif kilométrique A ….............................Tarif kilométrique B …...............................Tarif kilométrique C …..............................

Supplément pour le transport d'une 4ème

personne …………………………….

Supplément à partir du 2ème ….............. bagage, colis, objet encombrant.

2,30

0,92 (par km)1,17 (par km)1,42 (par km)

3,00

1,00(par bagage

supplémentaire)

Du lundiau samedi

Tarif A Tarif B

De 10h à 17h De 17h à 10h

DimancheTarif C Tarif B

De 0h à 7h De 7h à 24h

Jours fériés(hors dimanches

Tarif B

De 0h à 24h

Source : www.taxi-paris.net

1. Alice a réalisé un trajet en taxi de 7,5 km, le lundi 23 mai 2011, en début d'après-midi. Elle avait deux bagages. Expliquer pourquoi elle a payé 10,20 €. (1 point)

2. Le mardi 24 mai 2011, Baptiste a pris un taxi avec une valise, pour un trajet de 12,5 km, entre 16h30 et 17h30. Il a payé 14,8 €.Soit x le nombre de kilomètres parcourus avec le tarif A et y le nombre de kilomètres parcourus avec le tarif B. Justifier que . (0,5 point)

3. Déterminer les nombres de kilomètres parcourus avec le tarif A et avec le tarif B. (1,5 points) Page 1

15

0,92 1,17 12,5x y+ =

DU

R

Exercice 4 : (3 points) 1. On place sur une droite graduée, les points A, B et C d'abscisses respectives : ; et .

Montrer que les points A, B et C sont régulièrement espacés (Détailler les étapes de la réponse et les calculs) . (1,5 points)

2. DUR est un triangle rectangle en U. Les longueurs sont en centimètres.

Montrer que (Détailler toutes les étapes de calcul !!!).

(1,5 points)

Partie II – Activités Géométriques – 13 points

Exercice 5 : (8 points) Voyage à Paris (Suite !!)Baptiste visite le quartier des Invalides à Paris :

Plan du Quartier des Invalides : Représentation schématique du quartier :

Baptiste a mesuré approximativement les distances suivantes :

AD = 300 m ; DB = 240 m ; DE = 64 m ; DF = 80 m ; CH = 320 m ; BC = 260 m et AB = 180 m.

1. Montrer que l'Avenue de Tourville et le Boulevard de la Tour de Maubourg forment un angle droit. (1,5 points)2. Prouver que les droites (EF) et (AC) sont parallèles. (2 points)3. Calculer la distance entre les points E et F. (1,5 points)4. Baptiste fait le tour de l'Hôtel des Invalides : il part à 10h55 du point H, il suit le Boulevard des Invalides jusqu'au

point C, tourne à droite puis marche sur l'Avenue de Tourville. Au point B, il tourne encore à droite, suit le Boulevard de la tour Maubourg et s'arrête au point D à 11h05.La vitesse moyenne d’un marcheur se situe entre 4 km/h et 6 km/h. Comment peut-on qualifier l’allure de Baptiste ? (1,5 points)

5. On peut considérer que la croix (point S) qui surplombe le dôme des invalides est située à égale distance des points B, C et D. Construire le point S sur le schéma en justifiant la position par une phrase. (1,5 points)

Page 2

Croix du Dôme (Point S)

AC

B

E F

D

Avenue de Tourville

Avenue de La Motte Picquet

Hotel des Invalides

Bd de la Tour Maubourg

H

Bd des Invalides

4 18 2 50 128

15

3ˆsin( )4

UDR =

20

5

Exercice 6 : (5 points) En Travaux Pratiques de Chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés « erlenmeyers », comme celui schématisé ci-dessous à droite :

Photo d'un « erlenmeyer » : Représentation schématique :

Le récipient est rempli d'eau jusqu'au niveau maximum indiqué sur le schéma par la flèche.On note C1 le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB.On note C2 le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O' et de rayon O'B'.

On donne : SO = 12 cm et OB = 4 cm.

1. Calculer la valeur exacte du volume du cône C1. (1 point)

2. Le cône C2 est une réduction du cône C1. On donne O'B' = 1 cm.a) Quel est le coefficient de cette réduction ? (0,5 point)b) Prouver que la valeur exacte du volume du cône C2 est égale à cm3. (1 point)

3. a) Déduire des questions précédentes que la valeur exacte du volume d'eau est de (en cm3). (0,5 point)b) Ce volume est-il supérieur à 0,2 L ? Justifier la réponse. (1 point)

4. Le volume total de cet "erlenmeyer" est de (en cm3). Quel pourcentage le volume d'eau (calculé précédemment) représente-t-il par rapport au volume total du

récipient ? (1 point)

Partie III – Problème – 12 pointsFélix et Gustave ont chacun une calculatrice. Ils affichent le même nombre sur la calculatrice. Ils réalisent chacun un programme de calcul différent.

Programme de Félix Programme de Gustave

• Afficher le nombre • Ajouter 2• Multiplier le résultat obtenu par lui même.

• Afficher le nombre • Multiplier par 1,5• Ajouter 10 au résultat obtenu.

Félix et Gustave souhaitent déterminer tous les nombres initiaux (nombres affichés au départ) pour obtenir le même résultat avec les deux programmes. Voici deux méthodes pour répondre à ce problème.

1ère Partie : Méthode Algébrique (6 points)

1. a) Avec le programme de Gustave, quel résultat obtient-on si le nombre initial est 3,2 ? (0,5 point)b) Vérifier que le résultat obtenu avec le programme de Félix est 49, si le nombre initial est 5. (0,5 point)

2. On appelle x le nombre initial, écrire une formule (en fonction de x) permettant de calculer le résultat pour chaque programme de calcul. (1 point)

3. a) Montrer que l'équation : (x + 2)² = 1,5x + 10 peut s'écrire aussi : x² + 2,5x – 6 = 0. (1 point) b) Développer l'expression (x + 4)(x – 1,5). (1 point) Page 3

66π

63π

π

c) Résoudre l'équation : (x + 4)(x – 1,5) = 0. (1 point) d) Déduire des questions précédentes, les nombres x pour lesquels le programme de calcul de Félix donne le même résultat que le programme de Gustave. (1 point)

2ème Partie : Méthode graphique (6 points)

On considère la fonction f définie par f(x) = (x + 2)² et la fonction g définie par g(x) = 1,5x + 10

1. Compléter les phrases suivantes et justifier par des calculs : a) L'image de – 5 par la fonction f est …........ (0,5 point)b) g(.........) = 0 (1 point)

2. Pour représenter graphiquement la fonction f, on utilise un tableur (copie d'écran ci-dessous) :

a) Indiquer (sur votre copie) la formule à taper dans la cellule B2 pour calculer f(x) pour une valeur de x donnée (Cellule A2). (1 point)

b) La fonction f est représentée sur le graphique ci dessous :

Par lecture graphique , indiquer : ◦ L'image de 0 par la fonction f. ◦ Le ou les antécédents de 1 par la fonction f.

Attention : on laissera les « traits de lecture » apparents en vert sur le graphique et on indiquera clairement les réponses sur sa copie. (1,5 points)

3. Indiquer la nature de la fonction g. Que sait-on de sa représentation graphique ? Sur le graphique précédent, construire la représentation graphique de la fonction g. (Expliquer la construction).

(1,5 points)

4. Indiquer les abscisses des points d'intersection des deux représentations ci-dessus. Que représentent ces abscisses par rapport au problème posé ?

(0,5 point) Page 4