45
УВОД Биографија Исак Њутн (енгл. sir Isaac Newton) био је енглески физичар , математичар , астроном , алхемичар и филозоф природе, који је данас за већину људи једна од највећих личности у историји науке. Родио се на Божић 1642. године у месту Вулсторп у Енглеској. Рођен је исте године када је умро Галилеј. Пореклом је из сиромашне, независне сељачке породице. Један је од највећих умова свих времена, био је професор универзитета у Кембриџу, управитељ ковнице новца и члан Парламента. Бесмртан је по томе што је: написао Општу аритметику у којој стоји и : “Да би се решио неки проблем, треба га само превести са обичног језика на језик алгебре. открио закон гравитације(Њутнов закон гравитације); извео Кеплерове законе; пронашао и објаснио три основна закона кретања класичне механике(Њутнова механика); дао основе инфинитезималног рачуна-независно од Лајбница; објаснио многе светлосне појаве и открио њихове законе; објаснио спектар боја сунчеве светлости итд. 1

3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Tags:

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

УВОД

Биографија

Исак Њутн (енгл. sir Isaac Newton) био је енглески физичар, математичар, астроном, алхемичар и филозоф природе, који је данас за већину људи једна од највећих личности у историји науке. Родио се на Божић 1642. године у месту Вулсторп у Енглеској. Рођен је исте године када је умро Галилеј. Пореклом је из сиромашне, независне сељачке породице.

Један је од највећих умова свих времена, био је професор универзитета у Кембриџу, управитељ ковнице новца и члан Парламента. Бесмртан је по томе што је:

написао Општу аритметику у којој стоји и : “Да би се решио неки проблем, треба га само превести са обичног језика на језик алгебре.”

открио закон гравитације(Њутнов закон гравитације); извео Кеплерове законе; пронашао и објаснио три основна закона кретања класичне

механике(Њутнова механика); дао основе инфинитезималног рачуна-независно од Лајбница; објаснио многе светлосне појаве и открио њихове законе; објаснио спектар боја сунчеве светлости итд.

Њутнов утицај на његове савременике је тешко оценити, јер се он стално колебао да ли да објављује своја открића. Први је испитао закон свемирске гравитације 1665-1666., али га је објавио тек 1686. године, када су штампани његови Принципи, где је овоме посвећен већи део. Његова Општа аритметика (Arithmetica universalis), која је штампана 1707. године, састављена је од предавања из алгебре, у периоду између 1673. и 1683. године. Његов рад о редовима из 1669. године, садржан је у писму Олденбургу из 1676. године, а штампан је тек 1711. године. Њутнов рад о квадратури кривих из 1671. године штампан је тек 1704. године и тада се у

1

Page 2: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

јавности први пут појавила његова теорија флуксија. Метода флуксија појавила се у јавности тек после његове смрти 1736. године.

Преминуо је 1727.године у Лондону.

Woolsthorpe,-Grantham,-Birthplace-Of-Isaac-Newton

Рани дани Исака Њутна

Родио се пре времена. По његовом властитом, каснијем сведочењу, нико није очекивао да ће он дуго поживети. Његова мајка Хана Ејскоу (Hannah Ayscough) рекла је да је његово тело у то време било тек толико велико да би могло да стане у криглу пива. Његов отац, који се такође звао Исак Њутн, био је слободан сељак (фармер) и умро је три месеца пре Њутновог рођења, у време када је у Енглеској трајао грађански рат. Када је Њутну било три године, његова мајка се преудала и отишла је да живи са њеним новим мужем, остављајући свог сина на старање његовој баки (њеној мајци), Марџери Ејскоу (Margery Ayscough).

Пошто као дете није био снажан, избегавао је грубе игре својих вршњака и пронашао је своју властиту разоноду где се први пут показује његов геније. Ненадмашна генијалност коју је Њутн показао као проналазач у

2

Page 3: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

мистеријама светла, огледа се у оштроумности његових дечачких забава. Фењери, којима је плашио сељаке по ноћи, одлично израђена механичка лутка која се креће, коју је он сам направио, млин са прождрљивим мишем(донео му највећу зараду) који је истовремено био и млин и погонска снага и пшеницу млео у брашно, цртежи, сунчани сат и дрвени сат који се сам навијао само су неке од ствари којима се Исак као дечак занимао. Као додатак свим доказима талента, Њутн је све тајне и необичне примедбе бележио у нотес.

Отприлике од његове дванаесте године па док није напунио седамнаесту, Њутн се образовао, као што је речено, у Краљвској школи у Грантаму, где се његов потпис још увек може видети на оквиру прозора од библиотеке. Он је повучен из школе и негде у октобру месецу 1659. године, у Вулстропу , где је његова мајка имала намеру да од њега направи фармера. Он је, према каснијим изјавама његових савременика, био због овога дубоко несрећан. Изгледа да је Хенри Стоукс, управник Краљевске школе, убедио његову мајку да га поново пусти назад у школу како би могао да заврши своје образовање. Ово је он и учинио у својој деветнаестој години, а његов школски успех у завршној години био је задивљујући.

Његов ујак, свештеник Вилијам, први је уочио да Њутн није обичан дечак. Успео је да наговори Њутнову мајку да га пошаље у Кембриџ где је у јуну 1661. године, примљен у Тринити колеџ у Кембриџу.

Дани у Кембриџу

У то време предавања на колеџу заснивала су се углавном на Аристотеловом учењу, али Њутн је више волео да чита много напредније идеје модерних филозофа, као што је Рене Декарт, и астронома Галилео Галилеја, Николе Коперника и Јохана Кеплера.

Учио је у Кембриџу код Исака Бароа, теолога и математичара, за кога се тврди, иако је био изванредан и оригиналан математичар, да је имао несрећу да буде јутарња звезда која је наместила Њутново сунце. Баров је признао да је дошао већи од њега и 1669. године је поднео оставку на место

3

Page 4: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

професора математике и предао своју професорску катедру свом ученику(то је веома значајна појава у академском животу). Тако је јавно признао Њутнову предност.

Њутн је остао у Кембриџу до 1696. године када је постао инспектор, а касније и руковдилац ковнице новца.

Прве две године студија утрошио је на савлађивање основа математике. Из његовог студентског живота позната нам је чињеница да је три године постављао темеље читавог свог каснијег рада у науци и математици и да се због напорног рада разболео.

Оптика

Од 1670 до 1672, Њутн је држао предавања из оптике. Током тог периода он је истраживао појаву преламања светлости, показавиши да се уз помоћ тростране призме бела светлост може разложити у спектар различитих боја, а да уз помоћ сочива и помоћу друге призме, овај спектар може поново да се сложи или састави у зрак беле светлости.

спектар боја на којем се виде примарне, секундарне и терцијалне боје

4

Page 5: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Такође је показао да један зрак обојене светлости када се издвоји из овог спектра даље не мења своја својства чак и када се пропушта кроз различита друга провидна тела.

преламање светлости кроз призму

Њутн запажа да без обзира на то да ли је обојени зрак рефлектован (одбијен), расут или пропуштен кроз неки предмет, његова боја остаје неизмењена. Из тога следи закључак, да су боје које ми опажамо резултат интеракције од раније већ обојене светлости са телима, а не резултат тога како тела производе светлост.

5

Page 6: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Из овог рада он је извео закључак да би било који рефракциони телескоп (телескоп са сочивима) требало да пати од проблема дисперзије (расипања) беле светлости у разне боје, и као доказ овог концепта је конструисао рефлексиони телескоп (телескоп са удубљеним огледалом), данас познат као Њутнов телескоп, да би њиме избегао овај проблем.

Он лично, сам је брусио огледало за свој телескоп, користећи тзв. Њутнове прстенове за процену квалитета оптике за свој телескоп, те је тако био у стању да направи један нови астрономски инструмент, супериоран у односу на тадашње рефракционе телескопе, пре свега захваљујући већем пречнику огледала. Године 1671, Краљевско друштво замолило га је за једну демонстрацију његовог рефлексионог телескопа.

Д упликат Њутновог 6-инчног рефлексионог телескопа који је направио 1672 за Краљевско друштво

Њихова заинтересованост охрабрила га је да објави свој чланак „О боји“, који је касније проширио у своје дело „Оптика“.

6

Page 7: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Када је Роберт Хук почео да критикује неке од Њутнових идеја, Њутн је био тиме толико повређен да се удаљио од даљње јавне дебате. Ова два научника остаће непријатељи све до краја Хуковог живота.

Њутн је сматрао да се светлост састоји од честица, али да би објаснио преламање светлости ипак је морао да јој припише и таласна својства. Касније су, међутим, физичари углавном фаворизовали објашњење преламања светлости засновано искључиво на њеној таласној природи. Данашња, квантна механика вратила се Њутновој идеји о дуалној, таласно-честичној, природи светлости, мада данашњи концепт фотона као честица светлости веома мало подсећа на Њутнове честице (Њутн је сматрао да преламање светлости настаје убрзаваљем њених честица кроз гушћи медијум).

Слика насловне стране Њутнове "Оптике"

Закон гравитације и закони кретања

7

Page 8: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Израз за центрифугалну силу који Кристијан Хајгенс, објављује на страницама свога чувеног дела „Часовник са клатном“, заједно са тада већ познатим Кеплеровим законима кретања планета Сунчевог система, омогућио је научницима да дођу до закључка да је гравитациона сила сразмерна призводу њихових маса, а обрнуто сразмерна са квадратом растојања. Међу првима до овог прорачуна су дошли три члана Краљевског друштва, физичар Хук, астроном Едмунд Халеј и архитекта Рен, који су о томе међусобно дискутовали у Лондону.

Векторски приказ дејства гравитације између два тела

Где је јединични вектор правца. Одавде је јасно да је сила обрнутог смера у односу на растојање, зато стоји знак минус, а то истовремено означава да је сила увек привлачна.

8

1. Пример

Привлачна сила гравитације између планете Земље и Сунца:

γ (гравитациона константа)

(маса Сунца)

(маса Земље)

(удаљеност Земље од Сунца)

Page 9: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Међутим, требало је решити још тежи проблем, а то је како доказати да се тело чија је путања елиптичног облика креће под утицајем силе која опада са квадратом удаљености. Или обрнуто, да сила обрнуте квадратне зависности производи кретање тела по елипси, што би требало да послужи као објашњење Првог Кеплеровог закона. Размишљајући коме би могли да се обрате за решење овог проблема, који је надилазио њихове способности, сетили су се Њутна, и договорили да се Халеј у њихово име обрати Њутну за помоћ. Халеј, који је био један од секретара Краљевског друштва, то и чини, у августу месецу 1684., када посећује Њутна у Кембриџу. Интересантно је, да у тренутку када му Халеј саопштава који је главни разлог његове посете, Њутн одмах на то одговара да је тај проблем већ решио. Односно да је доказао да из елиптичних путања кретања планета следи закон обрнуте квадратне сразмерности гравитационе силе са растојањем. Међутим, како није одмах могао и да нађе међу својим папирима овај доказ, он обећава Халеју да ће му га накнадно послати. И заиста, три месеца касније Халеју стиже од Њутна папир са строго математички изведеним доказом и решењем овог проблема. Он тада поново путује код Њутна у Кембриџ са намером да га наговори да овај рад објави, али тада затиче Њутна како ради на једном много општијем делу у које је овај рад укључен. Следеће три године Њутн предано и потпуно посвећен ради на даљем уопштавању и проширивању овог свог дела под привременим називом „О кретању“ да би, коначно, 1687. године, његов труд уродио стварањем капиталног дела „Математички принципи филозофије

9

Page 10: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

природе“,(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)које се данас често популарно назива кратким именом “Принципи”.

Њутнови „Принципи представљају његово капитално дело, зато што је њима обухваћен Њутнов целокупан допринос физичкој механици. Централно место ове књиге припада Њутновом закону гравитације и његовим законима кретања (I, II и III Њутнов закон), што представља тријумф његовог „дедуктивног метода“. Осим тога, он на тај начин доказује да је механичка кретања свих тела у природи могуће свести на свега три проста физичка закона, што само по себи сведочи о универзалности овог његовог дела и иниверзалности физике као науке. Велики допринос Њутнових „Принципа“ састоји се, такође, и у томе што они отварају врата за широку примену математике у физици, односно доприносе заснивању модерне физике, као пре свега математичке науке.

Њутнова лична копија његових „Принципа“, са његовим својеручним исправкама за друго издање ове чувене књиге.

Међутим, приликом писања ове књиге Њутн избегава да користи у доказима своје главно математичко откриће, инфинитезимални рачун, сматрајући да ће тако саму књигу учинити разумљивијом и приступачнијом за читаоце. Ова чињеница касније ће постати један од главних узрока спорења око приоритета открића инфинитезималног рачуна, и постати главни узрок Њутновог сукоба са Готфридом Лајбницом, поред других замерки које је Лајбниц имао на Њутнов закон гравитације и замисао празног простора вакума, које проистиче из овог као и осталих Њутнових закона.

10

Page 11: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

„ Њутнова колевка “, која стоји на једном примерку његових „Принципа“,(ова популарна играчка демонстрира одржање импулса и енергије ) .

Њутнова јабука

Постоји популарна прича о томе како је једна јабука која је пала са дрвета инспирисала Њутна да формулише његову теорију гравитације. Илустратори и цртачи карикатура иду још и даље, сугерушући да је јабука у ствари пала Њутну право на главу и да је тај ударац на неки начин учинио га свесним гравитационе силе. Џон Кондуит, Њутнов помоћник, у време док је он био управник Краљевске ковнице новца, и муж Њутнове нећаке, пишући о Њутновом животу описао је овај догађај на следећи начин:

Године 1666. он је опет напустио Кембриџ и одмарао се код своје мајке у Линколнширу. Док се замишљено шетао по башти, пала му је на памет мисао да сила гравитације (која преноси јабуку са дрвета на земљу) није ограничена на неку одређену удаљеност од Земље, него да та сила допире много даље него што ми обично мислимо. Зашто не толико далеко као што је Месец удаљен и, ако је то тако, она мора утицати на његово кретање,

11

Page 12: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

рецимо задржавати Месец на његовој орбити, после чега се бацио на прорачунавање ефеката ове његове претпоставке.

Питање није било да ли гравитација постоји, него да ли њено деловање допире тако далеко од Земље да би могла да буде такође и сила која задржава Месец на његовој орбити. Њутн је показао да, ако сила гравитације опада (обрнуто је сразмерна) са квадратом растојања, на основу тога може се израчунати период Месечеве орбите, и то у веома доброј сагласности са измереним подацима. Он је даље претпоставио да је иста сила одговорна и за кретања планета по њиховим орбитама, као и друга орбитална кретања и, у складу с тиме, назвао је ову силу “универзална гравитација”.

Њутнов савременик, писац Вилијам Стакли забележио је у својим „Сећањима из живота Сер Исака Њутна“ разговор са Њутном у Кенсингтону, у којем се Њутн подсећа како је: „Недавно је представа о гравитацији дошла у његове мисли. Било је то приликом пада једне јабуке са дрвета“, рекао је Њутн у једном замишљеном расположењу. „Зашто је то тако да јабука увек пада вертикално са дрвета на Земљу?“, питао је Њутн сам себе. „Зашто се не креће на страну или навише, него увек пада преме центру Земље?“.

На сличан начин и Волтер пише у свом „Есеју о Епској поезији“ (1727), „Сер Исак Њутн ходајући по својој башти, помислио је по први пут на свој систем гравитације, гледајући једну јабуку како пада са дрвета“Ова објашњења представљају вероватно преувеличавања Њутнове сопствене приче о томе како је седео поред прозора своје куће у Вулстроп Манору и гледао јабуку како пада са дрвета. За многа стабла тврди се да су дрво јабуке коју је Њутн описао. У Краљевској школи у Грантаму тврде да је школа неку годину касније добавила себи стабло, тако што га је ишчупала са кореном и пребацила у управникову башту. Особље „Националног труста за надзор над местима од историјске важности и природних лепота“, у чијем је власништву данас Њутнова кућа Вулстроп Манор, оспоравају ово и тврде да је дрво које се налази у њиховој башти оно које је Њутн описао.

12

Page 13: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Њутнова јабука, испред колеџа у Кембриџу

Потомак оригиналног дрвета јабуке може се видети како расте испред главне капије Тринити Колеџа, у Кембриџу, нешто ниже од собе у којој је Њутн становао када је ту студирао.

Њутнови закони

Њутонови закони су скуп од три основна закона класичне физике. Они описују везу између кретања тела и сила које делују на тело и први их је представио Исак Њутн. Објављени су у књизи Philosophiae Naturalis Principia matematica. Ови закони чине темеље класичне механике. Њутн их је користио да опише примећене резултате опита у вези кретања тела.

Први закон: Закон инерције

На латинском, у оригиналу, Њутн га је записао:

Lex I:

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

Тело остаје у стању мировања или се креће константном брзином ако на њега не делује ниједна сила, односно је резултантна сума свих сила на тело таква да се силе потиру.

13

Page 14: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Овај закон описује принцип инерције и може се исказати у другачије-Тело на које не делују силе има тежњу да настави кретање истим смером и брзином.

Други закон: Закон силе

Овај закон је Њутн написао на латинском овако:

Lex II:

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Величина силе на неко тело управо је сразмерна убрзању и маси тог тела. Смер силе има исти смер као и убрзање.

F је сила, m маса, a убрзање.

Овај закон описује чињеницу да је промена кретања, убрзање, неког тела могућа једино дејством силе и повезује силу која делује на тело са масом тела и убрзањем којем је тело изложено.

Трећи закон: Закон акције и реакције

Текст закона записан на латинском је:

Lex III: Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi.

За сваку акцију на неко тело постоји и реакција. Исте је величине али супротног смера.

14

Page 15: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Први и други закон на латинском језику . Њутнови „ Принципи “ , издање 1687. године .

Ови закони су важећи само у класичној механици, где је брзина много мања од брзине светлости а маса тела пуно већа него величина атомских делова (електрон, протон, неутрон).

У случају изузетно великих брзина, упоредивих са брзином светлости, или изузетно малих маса, упоредивих са масом атома, појављују се други ефекти који се прецизно описују законима квантне механике. Из закона квантне механике се добијају Њутнови закони тако што се апроксимира да су брзине бесконачно мале спрам брзине светлости.

Бесмртан у двадесетчетвртој или пре

Када се налазио у свом родном месту, у селу где је побегао од куге која је харала по Кембриџу, 1665-1666. открио је своју општу методу. Из тог времена потичу његове основне идеје о свемирској гравитацији, као и о сложености састава светлости. Све је постигао пре него што је напунио двадесет и пет година.

15

Page 16: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Рукопис из 1665. показује да је Њутн, када је имао двадеасет и три године, довољно развио принципе диференцијалног рачуна, да је могао пронаћи тангенту и накривљеност у свакој тачки непрекидне криве. Назвао је своју методу “флукс” . Томе је претходило његово откриће биниомне теореме, главне степенице према потпуно развијеном диференцијалном рачуну. Биномна Теорема генерализује једноставне резултате као (а+b)2=a2+2ab+b2 , (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 , итд. што добијамо директним рачуном; наиме

n n(n-1) n(n-1)(n-2) (а+b)n=an+— an-1b+---------an-2b2+--------------an-3b3 + ... 1 1 x 2 1 x 2 x 3

Ако је n један од позитивних целих бројева ред се завршава после тачно n+1 разломака. То се лако може доказати математичким закључивањем.

Њутново откриће флуксије у уској је вези са његовим проучавањем бесконачних редова по Валисовој Аритметици . Том приликом Њутн је уопштио биномну теорему и за случајеве када су изложиоци разломци и негативни бројеви,па је тако открио и биномни ред. То му је олакшало проширење његове теорије флуксија на “све” функције, било да су трансцедентне или алгебарске. “Флуксије” су означаване са · , која је стављана изнад слова, и биле су коначне величине, брзине, а слова без тачке означавала су “флуенте”.

Математичка истраживања

Њутн и Готфрид Лајбниц открили су инфинитезимални рачун независно један од другог, користећи сваки своју сопствену, јединствену, нотацију (као што су већина матеметичара то и чинили у то време). Мада је Њутн разрадио свој метод годинама пре Лајбница, он није објавио о томе скоро ништа све до 1693, и потпуни увид у свој инфинитезимални рачун пружио је тек 1704. У

16

Page 17: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

међувремену, Лајбниц почиње да објављује потпуни опис свог метода 1684. Поврх тога, Лајбницова нотација и “инфинитезимални метод” постају опште прихваћени на континенту, а после 1820 или ту негде, и у Британској империји. Њутн је тврдио да је он био нерад да објави његов инфинитезимални рачун бојећи се да би због тога могао бити исмеван. Почев од 1699, други чланови краљевског друштва оптужују Лајбница за плагијат, а овај спор избија пуном снагом у 1711. Тако започиње горка Њутнова расправа са Лајбницом око приоритета открића инфинитезималног рачуна, која ће их пратити скоро целог живота, све до смрти овог другог у 1716 години. Ова расправа створиће поделу између математичара Британије и континенталне Европе, која је можда за читав век успорила напредак математике у Британији.

Њутну је одато признање за откриће генерализоване биномске теореме, важеће за било који експонент. Он је открио Њутнове идентитете, Њутнов метод, дао значајан допринос теорији коначних разлика, и био први који је користио разломачке индексе и употребио координатну геометрију да дође до решења Диофантинових једначина. Њутн је писао о конусним пресецима и о кривим линијама у равни трећег реда. У Пребројавању линија трећег реда (Enumeratio linearum terti ordinius, 1704.) начинио је класификацију равних кривих трећег степена, а садржала је 72 облика. Тада је пошао од своје теореме која казује да се свака кубна крива може добити из “дивергентне параболе” y2=ax3 + bx2 + cx + d при централном пројектовању једне равни на другу. То је био први значајнији нови резултат до којег се дошло применом алгебре на геометрију, јер су сви ранији радови били обичн преводи Аполонија на језик алгебре. Њутну приоада и метода за добијање приближних вредности решења нумеричких једначина. Он је то објаснио на примеру x3-2x-5=0 где је као решење дате једначине добио x=2,09455147.

Извршио је апроксимацију парцијалних сума хармонијских низова помоћу логаритама (претходник Ојлерове сумирајуће формуле) и био први који је користио са сигурношћу математичке редове и обрнуте математичке редове. Он је такође открио и нову формулу за број пи (π).

17

Page 18: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

У време када је био професор математике на Лукасовој катедри, сваки предавач на Кембриџу или Оксфорду требало је да буде рукоположени англикански свештеник. Међутим, термин Лукасовски професор подразумевао је и додатак “не бити активан у цркви” (што се подразумевало да би се добило више времена за науку). То је био Њутнов аргумент, да би га због тога требало изузети од рукоположења, и Чарлс II, чије је одобрење за ово било потребно, прихватио је овај његов аргумент. Тако је избегнут конфликт између Њутнових религијских погледа и англиканске ортодоксије.

Њутнов институт за математичке науке

Диференцијални рачун

Општу методу диференцијације и интеграљења засновану на потпуном схватању инверзности ова два процеса, могли су пронаћи тек они људи који су овладали како геометријским методама Грка и Кавањерија, исто тако и алгебарским методама Декарта и Валиса. Ти људи су се могли појавити тек после 1600. и они су се појавили у личностима Њутна и Лајбница. Доста је написано о приоритету тога открића. Установљено је да су Њутн и Лајбниц до својих метода дошли независно један од другог.

18

Page 19: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Њутн је први открио анализу (1665-1666.), а Лајбниц(1673-1676.), али је Лајбниц први штампао своје радове(штампао их у времену од 1684-1686.), а Њутнови радови су објављени тек после његове смрти, између 1704. и 1736. године.

Диференцијални рачун и диференцирање проучавају промене реалних функција при променама независне варијабле, тј. независне променљиве. Полази се од проблема налажења тангенте на криву, који је први објавио Исак Бароу (Lectiones geometricae, 1670). Исак Њутн је открио метод (1665-1666.) и сугерисао Исаку Бароу да методу укључи у уџбеник. У својој првобитној теорији, Њутн је посматрао функцију као променљиву, флуентну количину, и разлику, или износ промене, назвао флукс. Дефинисао је нагиб криве у тачки као прираштај тангенте на ту криву у малој околини дате тачке. Данас веома познату биномну теорему Њутн је применио да нађе гранични случај, што значи да је диференцијални рачун Њутну био потребан за бесконачне низове. Употребио је ознаке икс, односно ипсилон са тачком изнад ( ) за флукс, и исто са две тачке изнад ( ) за флукс флукса. Тако, ако је x = f(t), где је t време потребно телу да би се прешло пут х, тада је флукс икса тренутна брзина, а флукс флукса је тренутно убрзање.

Навешћемо пример како је Њутн објашњавао своју методу (из Метода флуксија, 1736.). Променљиве су флуенте и означавају се са v, x, y и z, а ”брзине којиима се свака флуента увећава услед изазваног кретања(које могу назвати флуксијама или једноставно брзинама или хитринама)ја ћу представљати тим истим словима и тачкама изнад.“ Бесконачно мале величине Њутн је називао “моментима флуксије” и означавао их је са vo, vx, vy и vz са тачкама изнад, где o означава “бесконачно малу количину”.

Лајбниц је такође открио исту методу 1676. године, објавио је 1684. Њутн је није објавио све до 1687. (у Philosophiae Naturalis Principia Mathematica). Зато се развила горка расправа око приоритета открића. Заправо, данас је познато, обојица су дошли до истог открића независно један од другог. Савремена нотација дугује Лајбицу dy/dx и издужено S (од „сума”) за интеграл.

19

Page 20: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Интегрални рачун

Интегрални рачун и интеграција користе се за израчунавање површина, запремина тела, дужина криве, тежишта, момента инерције. Вуче корене још од Еудокса Книдског, грчког астронома и математичара, и његове методе „исцрпљивања“ из периода око 360. п.н.е. Архимед је у свом делу „Метода“ развио начин налажења површина ограничених кривама, разматрајући их подељене многобројним паралелним линијама и проширио идеју на налажење запремина неких тела. Због тога га неки називају оцем интегралног рачуна.

Почетком 17. века, поново се појавио интерес за мерење запремина интегралном методом. Кеплер је користио процедуре налажења запремина тела узимајући их као композицију бесконачног скупа инфинитезимално (бесконачно) малих елемената (Stereometrija doliorum, 1615.). Ове идеје је поопштио Каваљери у свом делу Geometria indivisibilibus continuorum nova (1635), у којем је употребио идеју да се површина састоји из недељивих линија, а запремина од недељивих површина. То је данас познати Каваљеров принцип, а такође то је био и концепт Архимедове Методе. Џон Валис у свом делу Бесконачна аритметика (Arithmetica ifinitorum, 1655) је аритметизовао Кавалијерове идеје. У том раздобљу су инфинитезималне методе интензивно кориштене за тражење дужина кривих и површина.

Негде у данашње време, интеграција се почела тумачити једноставно као операција инверзна диференцирању. Коши је 1820-их диференцијални и интегрални рачун поставио на сигурније основе заснивајући их на лимесу. Диференцирање је дефинисао као граничну вредност количника, а интегрирање као граничну вредност збира. Дефиницију интеграла помоћу граничне вредности уопштио је Риман .

У двадесетом веку, схватање интеграла је проширено. У почетку, интегрирање се односило на елементарну идеју мерења (мерење дужина, површина, запремина) са непрекидним функцијама. Са појавом теорије

20

Page 21: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

скупова, функције су се почеле третирати као пресликавање, не обавезно непрекидно, и појавило се општије и апстрактније схватање мере.

Теорије математичке анализе се обично проучавају у контексту реалних бројева, комплексних бројева, и реалних и комплексних функција. Међутим, оне се могу дефинисати и проучаватии у било ком другом простору математичких објеката, који има дефинисану близину (тополошки простор) или специфичније раздаљину (метрички простор).

Са две основне основне идеје, dx/dy и ∫ f(x)dx од интегралног рачуна можемо описати основну теорему интегралног рачуна.

Замислимо непрекидну, несаломљиву криву чија је једначина y=f(x) у координатном систему.

Треба пронаћи површину између криве, осе x и двеју дужи АА’, BB’ повучених на осу х из тачака А и B на кривој. Удаљености ОА’, ОB’ односе се на a, b тј. координате тачака А и B су, редом, (а,0) и (b,0). Радимо како је учинио и Архимед, делимо одређену површину на правоугаонике , не гледајући на троугаоне остатке, сабирајући површине свих правоугаоника и на крају израчунавајући граничну вредност овог збира, као и број

21

Page 22: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

правоугаоника који се бесконачно повећава. Поставља се питање:”Како можемо да израчунамо граничну вредност?” .

Прво, пронађимо ∫f(x)dx. Нека је резултат F(x). Када заменимо а и b добијамо F(а) и F(b). Заменимо прво другим и добијамо F(b)-F(a). То је тражена површина. Утврдили смо да је тражена површина, која је гранични број врсте описане у вези с Архимедом, дата у F(b)-F(a). Симбол ∫ је старински s, прво слово од речи Suma.

Када спојимо све, добијамо:

b∫ f(x)dx=f(b)-f(a)a

где је а доња гранична вредност, b горња гранична вредност.

Данас је нама ова формула позната као Њутн-Лајбницова формула. Већ смо нагласили да су до ње дошли независно један од другог.

Интерполациони Њутнов полином са подељеним разликама

Задати функцију y=f(x) значи свакој допустивој вредности аргумента х придружити одговарајућу вредност у. Често је одређивање вредности у у вези са многим потешкоћама, па је могуће добити само невелику таблицу вредности функције. Зато је погодно, некада и неопходно, заменити функцију f(x) приближном формулом, тј. функцијом g(x) која је блиска у неком смислу функцији f(x)и пишемо f(x)≈g(x). Блискост функција се постиже одговарајућим избором слободних параметара (c0,…,cn) функције g(x).

При линеарној апроксимацији функција g(x) тражи се у облику генерисаног полинома,

g(x)=c0φ0(x)+…+cnφn(x),

22

Page 23: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

где су φ0(х),...,φп(х) линеарно независне функције које чине основни систем функција.

Када се параметри апроксимације c0,…,cn одређују тако да су вредности функција f(x) и g(x) једнаке на дискретном скупу тачака х0 ,...,хп ,

f(xk)=g(xk), k=0,… ,n

тај облик апроксимације се назива интрполација. Тачке х0 ,...,хп су чворови интерплације. Ако се функција g(x) тражи у облику генерисаног полинома параметри интерполације се добијају решавањем система линеарних једначина

n ∑ сiφi(xk)=f(xk) k=0 ,… ,n . i=0

Када је φ(x) у репрезентацији генерисаног полинома φк(х)≡хк , к=0,...,п интрполациона финкција g(x) се назива интерполациони полином,

n Ln(x)=∑cixi . i=0 Њутнов интерполациони полином са подељеним разликама

Ln(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,…,xn](x-x0) (∙∙∙ x-xn-1) .

Сматра се уопштењем парцијалне суме Тејлоровог реда функције f(x) .

Када су чворови хi равномерно распоређени са кораком h , хi=х0+ih користимо коначне разлике. Разлика fi+1-fi=∆fi је разлика унапред.

Њутнов интерполациони полином за интерполацију унапред:

q(q-1) q(q-1)···(q-n+1)Ln(x0+qh)=f0+q∆f0+————∆2f0+ +∙∙∙ ————————∆nf0

2! n!

23

Page 24: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Њутнов интерполациони полином за интерполацију уназад:

q(q+1) (∙∙∙ q+n)f(x0+qh)-Ln(x0+qh)=—————————hn+1f(n+1)(ξ), x-n<ξ<x0

(n+1)!

Њутнова метода за решавање једначина у R 1

Нека је X≡Y≡R1, тј. оператор F је реална функција једне променљиве ƒ(х).

Алгоритам којим је дефинисана Њутнова метода је

ƒ(хп) хп+1=хп- —— , п=0,1,..., ƒ΄(хп)

уз услов да је ƒ΄(хп)≠0 за свако n.

Како је једначина тангенте на криву ƒ(х) у тачки хn

у=tn(x)≡ƒ΄(xn)(x-xn)+ƒ(xn),

очигледно је да је тачка хп+1 решење једначине tn(x)=0. Другим речима, на сваком кораку функција ƒ(х) се апроксимира својом тангентом у тачки (хп,ƒ(хп)), и нова апроксимација решења хп+1 као пресечна тачка ове праве са осом Ох. Зато се ова метода у једнодимензионом случају још назива и метода тангенте.

У модификацији Њутнове методе

ƒ(хn) хn-1=хn- ——— , n=0,1,... ƒ΄(х0)

24

Page 25: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

у n-тој интерацији ƒ(х) се апроксимира правом која пролази кроз тачку (хп,ƒ(хп)), а паралелна је тангенти на криву у тачки (х0,ƒ(х0)) (сл.1).

Услови конвергенције Њутнове методе у простору R1 су исказани следећом теоремом:

ТЕОРЕМА: Ако функција ƒ:[a,b]→R1 има следеће особине

(а) непрекидно је диференцијабилна,

(b) има различити знак на крајевима интервала [a,b], ƒ(a)ƒ(b)<0,

(c) за свако х из сегмента [a,b] постоји ƒ΄΄(х),

(d) на интервалу [a,b] ƒ΄(x) и ƒ΄΄(x) не мењају знак, и ƒ΄(х)≠0 за свако x из интервала [a,b] ,

(е) тачка х0 из интервала [a,b] је таква да је ƒ(х0)ƒ΄΄(х0)>0,

онда низ {xn}, са првим чланом х0 и одређен формулом, конвергира ка

јединственом решењу х* из интервала [a,b] једначине ƒ(х)=0.

Оцена којом је потврђена квадратна брзина конвергенције Њутнове методе:

25

Page 26: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

| х*-хn| |хn-хn-1| ,

т1= min |ƒ΄(x)|, M2=max |ƒ΄΄(x)| x из интервала [a,b].

Њутн ненадмашив у чистој математици

У периоду између 1701-1702. Њутн је поново био представник у Парламенту,а 1703. године изабран је за председника Краљевског друштва. “Је ли Њутнов математички геније био мртав?”- свакако да не. Још увек је био једнак Архимеду. Али због случајног спречавања болести и сиромаштва, математичари су раса која интелектуално дуго живи. Њутн је и даље био интелектуално свеж. Њутн је лако могао створити рачун варијација, инструмент физичког и математичког открића који је одмах иза диференцијалног рачуна, уместо што је то оставио Бернулију и Лагранжу.

Он је то напоменуо у делу Принципа када је одређивао облик површине окретања које се лепи кроз течност с најмањим отпором. Он је у главним цртама целу методу.

Бернулије и Лајбниц заједно су задали два изазова европским математичарима.

Први:”Замислимо две тачке случајно фиксиране у вертикалној равни.Који је облик криве доле коју мора честица начинити (без трња) под утицајем тежине када у најкраћем времену прелази од горње до доње тачке?’’

То је проблем “најкраћег времена”. Када је за њега чуо1696. године, Њутн је решио проблем (као и други) и дан пошто је чуо за њега,анонимно је саопштио решење Краљевском друштву. Није успео да сакрије свој идентитет. Када је видео решење Бернули је изјавио:”Ах! Препознао сам лава по његовим шапама.”. То није тачни превод са латинског.

26

Page 27: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Друга потврда Њутнове виталности догодила се 1716. године у његовој седамдесетчетвртој години. Лајбниц је пренагљено изнео оно што му се чинило као тежак проблем, изазивајући европске математичаре, наводећи посебно Њутна. Проблем је био да се пронађу ортогоналне путање било које врсте једнопараметарских криви. Њутн је проблем решио за једно вече. Лајбниц се надао да је овај пут нашао проблем нерешив за Њутна.

У читавој историји Њутн није имао супериорнијег (и можда ни једнаког) противника што се тиче способности концетрације свих снага свога интелекта за решавање проблема у једном тренутку.

Каснијиживот

Током 1690-их година Њутн је написао већи број религиозних расправа бавећи се буквалним тумачењима Библије. Манускрипт који је послао Џону Локу, у којем он оспорава постојање светог Тројства није никада објављено. Каснији радови :

„Допуна хронологије краљевства старог века“ (1728) и „Примедбе на рачун пророчанстава Данилових и апокалипсе светог Јована“ (1733) – били су објављени после његове смрти.

Он је такође посветио велики део свога времена алхемији. Tакође je био и члан енглеског парламента од 1689. до 1690, као и у 1701. Њутн је прешао у Лондон да би преузео дужност управника Краљевске ковнице новца, 1696. Њутн је постао вероватно најпознатији управник Краљевске ковнице, након Лукасове смрти у 1699, и на том положају остао је све до своје смрти. Због његовог рада у ковници новца, више него због његових пређашњих доприноса науци, он је стекао титулу витеза у служби Краљице Ане, 1705. године. Њутн је 1703. године постао председник Краљевског друштва и члан француске Академије наука.

27

Могуће је да би без Исака Њутна свет био драматично успоренији у развоју, а наука схваћена као другоразредна духовна дисциплина која се не би бавила питањем основних узорака.

Page 28: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Портрет Исака Њутна из 1702 (аутор Годфри Нелер (Годфреy Кнеллер), Национална галерија портрета, Лондон )

Остала интересовања

Научна открића Исака Њутна су добро позната, међутим, његови интереси су се, осим математике, физике, механике, астрономије, такође простирали и на друге области сазнања. Данас нас упознају са овим истраживањима обично у оваквој интерпретацији: „Последњих година свог живота Њутн је потпуно запоставио истраживања у области математике, физике и астрономије, а почео поклањати много пажње теологији и написао велики број дела о том предмету“. [Орленко, 1927.]. „Сва Њутнова теолошка дела представљају нерационално трошење времена...“ [Орленко, 1927].

Према томе се обично указује на следећа дела И. Њутна:

„Примедбе о пророчанствима Светог Писма, посебно о пророчанствима Апокалипсе св. Јована“. ("Observations upon the Prophecies of Holy. Writ.; particularly the Prophecies of the Apocalypse of S. John").

28

Page 29: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

„Историјски запис о двема значајним изменама текста Светог писма“. ("An Historical account of two notable corruptions of Scripture").

Њутн се такође бавио хронологијом, која је у то време спадалау математичке науке (данас је та традиција изгубњена), и резултат тог његовог рада у тој области представњају следећа два штампана дела:

„Кратка хроника историјских догађаја, почев од првих у Европи до покоравања Персије од стране Александра Македонског“ ("Brevis chronica, a prima rerum in Europa gestarum memoria ad Persidem ab Alexandro Magno in potestatem redactam"),

„Исправна хронологија древних царстава“ ("Chronologia veterum regnorum emendata").

»у основним Њутновим историјско-теолошким радовима сабрани су историјски материјали фантастични по свом обиму. То је плод четрдесетогодишњег рада, напрегнутог истраживања, огромне ерудиције. У суштини, Њутн је прегледао сву основну литературу о древној историји и све основне изворе, почев од античке и источне митологије...« [Кузњецов, 1982]. »Циљ Њутнових историјско-теолошких радова је да скрати хронолошке оквире древних времена... « [Кузњецов, 1982].

Шта су други говорили о Њутну

29

Page 30: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Њутну се преписује изрека:”Ако сам видео мало даље од других, то је због тога што сам стајао на раменима оријаша.” Међу највећим су били Декарт, Кеплер и Галилеј. Од Декарта је наследио аналитичку геометрију, коју је на почетку сматрао тешком, од Кеплера три основна закона о кретању планета, од Галилеја је узео прва два, од три закона кретања, који су постали основа његове властите динамике.

Многи научници су цитирали Њутна као Библију, док је он о себи писао: ”Не знам како ме свет види,али себи самоме изгледам као дечак који се игра на морској плажи и, ту и тамо радује се када нађе по који гладак каменчић, или шкољку лепшу од осталих, а велики океан истине лежи сав неоткривен испред мене.”

Лајбниц је говорио да, ако узмемо математику од почетка света до времена Њутна, да је оно што је он урадио, боља половина.

Професор Мур(на Њутнов рад у периоду 1664-1665. године):

“У историји науке нема примера који се може упоредити са Њутновим успесима, до којих је дошао током те две златне године.”

Француски математичар Жозе-Луј Лагранж често је изјављивао да је Њутн највећи геније који је икада живео, додајући једном да је он, такође„најсрећнији, јер се систем света не може открити и установити више него једнога пута“.

Енглески песник Александар Поуп, дирнут Њутновим постигнућима, написао је чувени епитаф:

Природа и природни закони у ноћној тами налазе скривеност;

Бог рече “Нека буде Њутн” и све постаде светлост.

(Nature and nature's laws lay hid in night;

God said "Let Newton be" and all was light).

Њутнова Смрт

30

Page 31: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Њутн је умро у Лондону, 20. марта 1727. године, и сахрањен је у Вестминстерској опатији.

Мада Њутн није имао деце, он је у задњим годинама живота завештао својим рођацима већину свога наследства, тако да је умро практично без тестамента. Његова знатна покретна имовина подељена је равноправно између његових осам полу-нећака и полу-нећакиња (три Пилкингтона, три Смитса и два Бартона, укључујући и Катрину Бартон Кондуит). Његово имање у Вулстроп Манору прешло је у руке његовог законитог нследника, Џона Њутна (Само Бог зна зашто је тако велики човек имао тако лошег репрезента), који је, после шест година „борби петлова, коњских трка, банчења, и лудовања“ био принуђен да стави хипотеку над имањем Вулстроп Манор и да га тако прода пре своје смрти услед једне несреће у пијаном стању.

Након смрти, у Њутновом телу откривена је значајна количина живе, што је вероватно последица његових алхемијских трагања. Ово тровање живом можда би могло објаснити Њутново ексцентрично понашање у каснијим годинама живота.

31

Page 32: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Њутнова гробница у Вестминстерској опатији

Умро је као једна од најславнијих личности Енглеске и света. Дело му је надживело време у ком је живео.

32

Page 33: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

Закључак:

ЖИВОТ ЈЕ ЈЕДАН И ВЕОМА ЈЕ ВАЖНО ДА ГА ИСКОРИСТИМО НА ПРАВИ НАЧИН. ТРЕБА КРЕНУТИ НА ПРАВИ ПУТ А ТАЈ ПУТ (БАР ЈЕДАН ОД ЊИХ) ПРЕДСТАВЉА НАУКА. НЕ МОРАМО ГЛУМИТИ ДРУГЕ ДА БИ УШЛИ У ИСТОРИЈУ, АЛИ МОЖЕМО БИТИ ЈЕДАН ОД ЊИХ, ОДНОСНО НА ОСНОВУ ЊИХОВИХ ИСТРАЖИВАЊА И ВЕЋ ДОСТА ДОСАДАШЊИХ ДОСТИГНУЋА ПРОНАЋИ НЕШТО САМО СВОЈЕ, И ТИМЕ ОБЕЗБЕДИТИ ПОШТОВАЊЕ И ДИВЉЕЊЕ ДРУГИХ. ПОРЕД ИСАКА ЊУТНА У ИСТОРИЈУ ФИЗИКЕ УШЛИ СУ И ДРУГИ ФИЗИЧАРИ И ОТВОРИЛИ НОВО РАЗДОБЉЕ У НАУЦИ А ТО СУ:

Архимед Aлберт Ајнштајн (Albert Einstein) Феликс Блох (Felix Bloch) Лудвиг Болцман (Ludwig Bolzman) Нилс Бор (Niels Bohr) Руђер Бошковић Карл Фрајдрих Гаус (Karl Fridrih Gaus) Густав Кирхоф Михаил Ломонсов Исак Њутн (Isac Newton) Блез Паскал (Blaise Pasquale) Макс Планк (Max Planck) Ернест Радефорд Павле Савић Никола Тесла Ричард Фајман Мајкл Фарадеј (Michael Faradey) Вернер Хајзенберг (Werner Heizneberg) Хајнрих Рудолф Херц (Heinrich Rudolf Herz) Стивен Хокинг (Steven Hawking)

ЛИТЕРАТУР A

33

Page 34: 3936 Fizika Isak Njutn Srb 38str Za Stampanje

[1] Д. Ј. Стројк, Кратак преглед историје математике,Завод за уџбенике и наставна средства, Београд, 1991.

[2] Е. Т. Bell, Велики математичари, Знање, Загреб, 1972.

[3] C. B. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, New York, Chichester, Brisbane,Toronto, 1968.

[4] Б. Симић, И ТО ЈЕ МАТЕМАТИКА,Завод за уџбенике и наставна средства, Београд, 1992.

[5] Д. Радуновић, Нумеричке методе, УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ, Београд, 1998.

[6] http://sr.wikipedia.org/wiki

[ 7 ] http://viva-fizika.org/

34