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Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Componentes simétricas Página 1 de 43 – Versión del 13/03/06 Componentes Simétricas 1. Introducción Este método fue desarrollado en 1918 por D. L. Fortescue en “ Método de las coordenadas simétricas”, y se aplica a la resolución de redes polifásicas, para soluciones analíticas o analizadores de redes. Sirve para cualquier sistema polifásico desequilibrado: en el cual n fasores relacionados entre sí pueden descomponerse en n sistemas de vectores equilibrados (componentes simétricos). En un sistema trifásico que esta normalmente balanceado, las condiciones desbalanceadas de una falla ocasionan, por lo general, que haya corrientes y tensiones desbalanceados en cada una de las tres fases. Si las corrientes y tensiones están relacionados por impedancias constantes, se dice que el sistema es lineal y se puede aplicar el principio de superposición . La respuesta en tensión del sistema lineal a las corrientes desbalanceadas se puede determinar al considerar la respuesta separada de los elementos individuales a las componentes simétricas de las corrientes. Los elementos de interés del sistema son las máquinas, transformadores, líneas de transmisión y cargas conectadas tanto en estrella como en triángulo. Básicamente el método consiste en determinar las componentes simétricas de las corrientes en la falla, y luego encontrar las corrientes y tensiones en diversos puntos del sistema. Es sencillo y permite predecir con gran exactitud el comportamiento del sistema. Su aplicación más importante es el cálculo de fallas desbalanceadas en sistemas trifásicos simétricos, en condiciones de régimen permanente, aunque con una sola falla simultánea por vez. En caso de haber varias fallas la solución puede ser muy difícil o imposible. En tales casos son preferibles los métodos generales, con variables de fase, aplicando los métodos de mallas o nodos. Esta transformación puede interpretarse como una aplicación particular de las ecuaciones de redes en formulación impedancia (o admitancia). Se trata de una transformación de variables, de la misma forma que en el método de mallas se trabaja con un juego de variable nuevas i’ (corrientes de malla) para facilitar la resolución de las variables primitivas i (corrientes de las ramas). Si llamamos C a la matriz de transformación, queda: i C i = ' Normalmente los “circuitos de secuencia” son simples, se podrán expresar en formulación impedancia (a veces admitancia) y a lo sumo habrá que aplicar el teorema de Thevenin o el de Norton. 2. Definiciones

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Componentes Simétricas

1. Introducción Este método fue desarrollado en 1918 por D. L. Fortescue en “ Método de las coordenadas simétricas”, y se aplica a la resolución de redes polifásicas, para soluciones analíticas o analizadores de redes. Sirve para cualquier sistema polifásico desequilibrado: en el cual n fasores relacionados entre sí pueden descomponerse en n sistemas de vectores equilibrados (componentes simétricos). En un sistema trifásico que esta normalmente balanceado, las condiciones desbalanceadas de una falla ocasionan, por lo general, que haya corrientes y tensiones desbalanceados en cada una de las tres fases. Si las corrientes y tensiones están relacionados por impedancias constantes, se dice que el sistema es lineal y se puede aplicar el principio de superposición . La respuesta en tensión del sistema lineal a las corrientes desbalanceadas se puede determinar al considerar la respuesta separada de los elementos individuales a las componentes simétricas de las corrientes. Los elementos de interés del sistema son las máquinas, transformadores, líneas de transmisión y cargas conectadas tanto en estrella como en triángulo. Básicamente el método consiste en determinar las componentes simétricas de las corrientes en la falla, y luego encontrar las corrientes y tensiones en diversos puntos del sistema. Es sencillo y permite predecir con gran exactitud el comportamiento del sistema. Su aplicación más importante es el cálculo de fallas desbalanceadas en sistemas trifásicos simétricos, en condiciones de régimen permanente, aunque con una sola falla simultánea por vez. En caso de haber varias fallas la solución puede ser muy difícil o imposible. En tales casos son preferibles los métodos generales, con variables de fase, aplicando los métodos de mallas o nodos. Esta transformación puede interpretarse como una aplicación particular de las ecuaciones de redes en formulación impedancia (o admitancia). Se trata de una transformación de variables, de la misma forma que en el método de mallas se trabaja con un juego de variable nuevas i’ (corrientes de malla) para facilitar la resolución de las variables primitivas i (corrientes de las ramas). Si llamamos C a la matriz de transformación, queda:

iCi ⋅=' Normalmente los “circuitos de secuencia” son simples, se podrán expresar en formulación impedancia (a veces admitancia) y a lo sumo habrá que aplicar el teorema de Thevenin o el de Norton. 2. Definiciones

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De acuerdo con el teorema de Fortescue, tres fasores desbalanceados de un sistema trifásico se pueden descomponer en tres sistemas balanceados de fasores. Los conjuntos balanceados de componente son: 1)Componentes de secuencia positiva que consisten en tres fasores de igual magnitud desfasados uno de otro por una fase de 120º y que tienen la misma secuencia de fase que las fases originales. 2)Componentes de secuencia negativa que consiste en tres fasores iguales en magnitud, desplazados en fase uno de otro en 120º y que tienen una secuencia de fase contraria a las fases originales. 3)Componentes de secuencia cero (homopolares) que consisten en tres fasores iguales en magnitud y con un desplazamiento de fase cero uno de otro. Se acostumbra designar a las tres fases de un sistema con A, B, C de modo que la secuencia directa sea ABC. Trabajando con fasores, la transformación de Fortescue clásica es:

Figura N° 1

( )( )( )

"").(sec

31

).(sec31

).(sec31

.

2

2

0

Afaselaarespecto

negativaInversaUaUaUU

positivaDirectaUaUaUU

ceroHomopolarUUUU

SimétricasComp

CBA

CBA

CBA

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

++⋅=

++⋅=

++⋅=

+

&&&&

&&&&

&&&&

⎪⎩

⎪⎨

++=++=++=++=

++=++=∴

−+−+

−+−+

−+−+

CCCC

BBBB

AAAA

UUUUaUaUUUUUUaUaUU

UUUUUUU

&&&&&&&

&&&&&&&

&&&&&&&

020

020

00

Diagrama fasorial de tensiones a neutro en un sistema trifásico

Operador a= 1 ej 120º

UA

a2

a

1

UA

a2

a UC

UB

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matricialmente:

[ ] [ ] [ ]UsU && 1' −=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+

C

B

A

UUU

aaaa

UUU

&

&

&

&

&

&

2

2

0

11

111

31

ó [ ] [ ] [ ]ABCUsU && 10 −−+ = [1]

esta expresión es la transformación de Fortescue inversa.

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+

UUU

aaaa

UUU

C

B

A

&

&

&

&

&

& 0

2

2

11

111

ó [ ] [ ] [ ]−+⋅= 0UsU ABC&& ó [ ] [ ] [ ]'UsU = [2]

La última es la transformación de Fortescue directa. Se comprueba que s-1 es inversa de s, en el desarrollo. Lo hecho corresponde a la descomposición de un sistema asimétrico en tres sistemas simétricos, de los cuales sólo es necesario definir las componentes de una sola fase (fase de referencia, fase A), para luego hallar las otras componentes. Como :

0=∑ LINEAU en un sistema trifásico, siempre se cumple Ulinea 0 =0, cualquiera que sea el desequilibrio.

variables nuevas

variables primitivas

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Las corrientes de una determinada secuencia solamente dan lugar a caídas de tensión de la misma secuencia en circuitos conectados ya sea en estrella o triángulo con impedancias simétricas en cada fase. Este resultado (el más importante) permite dibujar tres circuitos de secuencia monofásicos, que considerados de manera simultánea, contienen la misma información que el circuito original. Las tensiones en los circuitos de secuencia positiva y negativa se pueden considerar como medidos respecto a la tierra o al neutro. Puede verse un ejemplo de un sistema completo en la Figura N° 2.

Figura N° 2: Terna de corrientes asimétricas (Ia, Ib, Ic) descompuesta en componentes simétricas

(tres fasores se transforman en nueve)

Ia

Ic

Ib

I+a

I+c

I+b

I-a

I-b

I-c

I0a

I0b

I0c

I+a I-a I0a

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Si se utiliza la transformación clásica de Fortescue, como las variables nuevas sólo corresponden a una fase, la potencia resultará un tercio de la real. Existen otras transformaciones alternativas que permiten obtener la potencia real a partir de las variables nuevas en forma directa. Se desarrolla este tema más adelante. 3. Valores base Las líneas de transmisión de potencia se operan a niveles en los que el kV es la unidad más conveniente para expresar sus tensiones. Debido a que se transmite una gran cantidad de potencia, los términos comunes son los kilowatts o megawatts y los kilovoltamperes o megavoltamperes. Sin embargo, esas cantidades al igual que los amperes y los ohms, se expresan frecuentemente en por ciento o en por unidad de un valor base o de referencia especificado para cada una. Por ejemplo, si se selecciona una base de tensión de 120 KV, las tensiones de 108, 120 y 126 kV equivaldrán a 0,90; 1,00; 1.05 en por unidad o a 90, 100 y 105% respectivamente. El valor en por unidad de cualquier cantidad se define como la relación de la cantidad a su base y se expresa como un decimal. La relación en por ciento es 100 veces el valor en por unidad. La tensión, la corriente, los kilovoltamperes y la impedancia están relacionados de tal manera que la selección de los valores base para cualquiera dos de ellos determina la base de las dos restantes. Si se especifican los valores de la corriente y de la tensión, se pueden determinar las bases de impedancias y de kilovoltamperes. La impedancia base es aquella que tiene una caída de tensión igual a la del tensión base, cuando la corriente que fluye a través de ella es igual a la del valor base de corriente. Si se trata de máquinas eléctricas, normalmente se definen SB y UB, iguales a los [MVA] y [kV] nominales de la máquina. Resultan así los otros valores base:

B

BB U

SI⋅

=3

etcSU

UU

IU

ZB

B

B

B

B

BB ,

3/ 2

=⋅=

Son valores de referencia para magnitudes de igual naturaleza. Por ejemplo, una impedancia Z puede expresarse como:

[ ] [ ] [ ] ]1/[..]1/[ oupZyZZconZZoZ B

B

==Ω===

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Todas las máquinas tienen valores “por unidad” parecidos. Con las cantidades “por unidad” se puede operar como si fueran magnitudes físicas. 4. Influencia de la impedancia de neutro Si se introduce una impedancia Zn entre el neutro y la tierra de una carga trifásica conectada en estrella entonces la suma de las corrientes de línea es igual a la corriente In en la trayectoria de retorno a través del neutro. Esto es, In = IA + IB + IC si se expresan las corrientes de línea desbalanceadas en términos de sus componentes simétricas, se obtiene: In = (IA0 + IA+ + IA-) + (IB0 + IB+ + IB-) + (IC0 + IC+ + IC-) = (IA0 + IB0 + IC0) + (IA+ + IB+ + IC+) + (IA- + IB- + IC-) = 3IA0 + 0 + 0 Como las corrientes de secuencia positiva y negativa suman cero por separado en el punto neutro n, no puede haber ninguna corriente de secuencia positiva o negativa en las conexiones desde el neutro a la tierra, independientemente del valor de Zn . Además la combinación de todas las corrientes de secuencia cero en n da 3IA0, lo que resulta en una caída de tensión de 3IA0Zn entre el neutro y la tierra. Si no hay conexión entre el neutro y la tierra no puede haber flujo de corriente de secuencia cero porque entonces Zn = ∞, lo que se indica a través del circuito abierto entre el neutro y el nodo de referencia en el circuito de secuencia homopolar. 5. Impedancias de Secuencia de distintos elementos La impedancia, transformada por la aplicación simultánea de la transformación de Fortescue a U e I resulta:

⇒⋅= IZU ⇒⋅⋅=⋅ '' IsZUs '' 1 IsZsU ⋅⋅⋅= −

O sea que,

sZsZ ⋅⋅= −1' [3] siendo Z las impedancias reales (propias y mutuas). A continuación se analizan las impedancias transformadas de los elementos del circuito. Las impedancias que van a “ver” las componentes simétricas en general son diferentes de las reales. 5.1. Impedancias-Generador sincrónico

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Figura N° 2

Al generador sincrónico siempre se lo considerará en estrella. Cuando ocurre una falla, en las terminales del generador fluye las corrientes IA, IB e IC en las líneas . Si la falla involucra la tierra, la corriente que fluye en el neutro del generador se designa como In y las corrientes de línea se pueden dividir en sus componentes simétricas independientemente de lo desbalanceadas que estén. Para cada fase si no hubiera acoplamientos: U=E –ZI, y para las tres fases A, B, C, si se considera que hay acoplamiento, y no hay impedancia de neutro:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

C

B

A

mM

Mm

mM

C

B

A

C

B

A

CCCBCA

BCBBBA

ACABAA

C

B

A

C

B

A

III

ZZZZZZZZZ

EEE

III

ZZZZZZZZZ

EEE

UUU

&

&

&

&&&

&&&

&&&

&

&

&

&

&

&

&&&

&&&

&&&

&

&

&

&

&

&

Todos los componentes de las matrices son fasores (tensiones y corrientes) o complejos (Impedancias). El anterior desarrollo matricial es posible pues el generador es simétrico, siendo ZAA=ZBB=ZCC=Z: impedancias propias. Las impedancias mutuas son cíclicamente iguales: ZAB=ZBC=ZCA=ZM, ZBA=ZCB=ZAC=Zm, siendo Zm distinto de ZM debido a la presencia del rotor, pues está girando. Cambiando variables resulta:

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+−−−

+

III

sZZZ

ZZZZZZ

sEEE

sUUU

sUUU

mM

Mm

mM

C

B

A

C

B

A

&

&

&

&&&

&&&

&&&

&

&

&

&

&

&

&

&

& 0

111

0

desarrollando:

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⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

++++

++−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=−

+

+

+

+

+

III

ZZ

Z

EEE

III

ZaZaZZaZaZ

ZZZ

EEE

G

G

G

mM

mM

mM

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&&&

&&&

&&&

&

&

& 0000

2

2

0

[4]

Z’ queda diagonal por la condición cíclica anterior. En las nuevas variables sus valores están desacoplados, o sea que: U0=E0-Z0 I0, etc; es decir, se obtienen tres ecuaciones independientes que equivalen a tres circuitos monofásicos separados. Se trata de los “circuitos de secuencia” donde Z0, Z+, Z- son las “impedancias de secuencia”. Si la máquina trabaja en cortocircuito, como solo genera f.e.m de secuencia positiva: E0=E-=0, E+=EA. Además U=0 ∴ U0=U+=U-=0 y de las ecuaciones anteriores [4] sólo queda la segunda: 0=E+-Z+ I+, por lo tanto I+ = (E+/Z+)=(EA/Z+)=IA . Las otras dos dan I0=I-=0 ∴ IB=a2 I+ , Ic=a I+ por lo que se tienen tres corrientes perfectas y simétricas, sólo interviene Z+, así, al hacer el equivalente circuital de la máquina no se tienen en cuenta los acoplamientos entre las fases. Tampoco cuando la carga es equilibrada. Si hay impedancia de neutro, debe restarse su caída por fase: U=E-Z.I-ZN.IN (U es medida respecto de tierra), como IN=IA+IB+IC queda:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+++++++++

−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

C

B

A

NNmNM

NMNNm

NmNMN

C

B

A

C

B

A

NNN

NNN

NNN

C

B

A

mM

Mm

mM

C

B

A

C

B

A

III

ZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

EEE

III

ZZZZZZZZZ

III

ZZZZZZZZZ

EEE

UUU

&

&

&

&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&

&

&

&

&

&

&

&&&

&&&

&&&

&

&

&

&&&

&&&

&&&

&

&

&

&

&

&

...

Y multiplicando ambos lados por [s]-1 y [s] como antes y desarrollando:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡ +−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+

+

+

+

III

ZZ

ZZ

EEE

UUU N

&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&

&

& 0000 3

Por lo tanto se incrementa la impedancia homopolar en 3ZN (sigue siendo simétrico a pesar de la “asimetría”). Se ve que ZN sólo interviene con secuencia “0”. Para la fase de referencia:

( )NNNNAAAA ZZIEIZIZEIZIZEUU 33 000000000000 +⋅−=⋅−⋅−=⋅−⋅−== La ZN suele colocarse para limitar I0 durante fallas.

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Las respectivas impedancias de secuencia se pueden hallar en un ensayo aplicando a la máquina la E de secuencia apropiada, manteniendo el rotor girando sin excitación, es decir pasivado para que la propia máquina no genere E.

Ω

Figura N° 3

El pasivado del rotor significa un corto entre sus bornes, en el caso de rotor bobinado. Las puestas a tierra sólo son necesarias cuando se mide la secuencia cero. La velocidad del rotor será constante. - Con secuencia positiva las u e i inducidas en el rotor son nulas. El campo giratorio marcha sincrónicamente con el rotor. La Z+ queda definida por la R y X “estáticas” (sin movimiento relativo) que son elevadas, en especial la X. Es la ZS de teoría de máquinas eléctricas. - Con secuencia negativa aparecen importantes corrientes en el rotor (en arrollamientos rotóricos, barras amortiguadoras, etc, de 2f pero sincrónicas con el campo giratorio estatórico) que impiden en gran medida la entrada del flujo en el mismo, por lo tanto baja la inductancia. Como esta situación es similar al subtransitorio del generador, su valor es similar a X’’d. -Con secuencia nula no hay flujo neto penetrando en el rotor pues las tres corrientes “entran”, la reactancia es aproximadamente la de dispersión (es menor que X-).

• Reactancias típicas turbogenerador: Xs=1; X-=0,13; X0=0,04 [º/1] 5.2. Impedancias - Transformador La tensión de salida del transformador es igual a la de entrada impuesta por el generador, menos la caída interna: UT=UG-ZI (matricial), pero como no hay partes en movimiento, los acoplamientos entre arrollamientos son recíprocamente iguales: ZM=Zm (pues ZAB=ZBA, etc). Transformando como en el caso de [4], y despreciando el brazo de excitación:

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( )( )

]6[32 0

2

2

00

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

++++

++−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+

+

+

III

aaZZaaZZ

ZZZ

UUU

UUU

m

m

Nm

G

G

G

T

T

T

&

&

&

&&

&&

&&&

&

&

&

&

&

&

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡ +−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+

+

+

+

III

ZZ

ZZ

UUU

UUU N

G

G

G

T

T

T

&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&

&

& 0000 3

Salvo que la impedancia de neutro ZN y la impedancia mutua Zm sean iguales a cero, resulta:

0ZZZ &&& ≠= −+

Si al transformador con la salida en cortocircuito, se le aplica U+

G siendo U0G=U-

G=0:

03

0

0

000

0

00

==∴⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡ +−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

+

++ IIIII

ZZ

ZZU

N

G&&

&

&

&

&

&

&&

&

de aquí que:

+++ −= IZUG&&&0

Siendo ZN=0, si se aplica U-

G:

+++ ⋅−= IZUG&&&0

0000 00 IZUUaplicandoyIZU GGG&&&&&&& ⋅−=∴⋅−= −−−

Si el transformador no tiene neutro accesible, por ejemplo conexión en triángulo, I0=0 pues: IN=IA+IB+IC = 3I0=0. Por lo tanto Z0=U0

G/I0=infinito. Es decir, para cualquier transformador: [7] Siempre en circuitos lineales, simétricos y estáticos, vale Z+=Z-. La determinación de las impedancias de secuencia se facilita “ensayando” el transformador con una fuente de la secuencia correspondiente y salida en cortocircuito.

Z+=Z-=ZCo

Co

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Las secuencias positiva y negativa no ofrecen dificultades. La secuencia homopolar depende de la forma de conexión y conexión a tierra de los neutros, pues el generador se supone conectado a tierra, lo mismo que los bornes de salida del transformador; así:

Figura N° 4

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Figura N° 5

En general las reglas serían: Si la conexión de arrollamientos no provee un camino a tierra para las corrientes homopolares, el circuito de secuencia debe contener una interrupción para el arrollamiento en cuestión. Si las corrientes homopolares están confinadas a circular en un arrollamiento, provéase un cortocircuito a tierra en el circuito de secuencia indicando que las corrientes no emergen por los terminales. Si la ausencia de un camino a tierra significa que el transformador es un circuito abierto para las corrientes homopolares, el circuito de secuencia debe tener la impedancia magnetizante en la rama en cuestión. Si las corrientes homopolares inyectadas en un juego de terminales circulan libremente, sólo debe agregarse la impedancia de dispersión en esa rama. El procedimiento usual se reduce a calcular las U e I sin considerar el desfasaje originado por los distintos “grupos” de transformadores. En ciertos casos es necesario tener en cuenta dicho desfasaje (por ejemplo en aplicación de relés).

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5.3. Impedancias - Cargas Normalmente serán equilibradas, con o sin acoplamientos mutuos, irán en convención consumidora y siempre en estrella. Pueden contener fuentes, como por ejemplo en el caso de motores sincrónicos, donde: U=E+ZI (matricial)⇒[U]=[E]+[Z][I]

Figura N° 6

E es la f.c.e.m del motor síncrono. Desarrollando con iguales procedimientos:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+

+

+

+

III

ZZ

Z

EEE

UUU

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

& 0000

[8]

con ZN=0; si ZN es distinta de cero, resulta Z0+3ZN. Para hallar, por ejemplo, el circuito de secuencia homopolar de una carga en estrella con neutro, de ZN distinto de cero y E0

fcem=0 (en general no hay fuerza contra-electromotriz de secuencia homopolar).

Figura N° 7

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5.4. Impedancias - Líneas Los sistemas que son esencialmente balanceados y simétricos son los de mayor interés. Estos se harán desbalanceados solo cuando ocurra una falla asimétrica. La simetría total en los sistemas de transmisión es en la práctica más ideal que real. Pero como el efecto de la asimetría es muy pequeño, con frecuencia se supone un balance , especialmente si las líneas se trasponen a lo largo de sus trayectorias. Se llama línea traspuesta o simétrica a la que tiene impedancias propias y mutuas iguales (al menos en promedio) en todas las fases. Esto es lo habitual, si no existen fallas. Dada la Figura N° 8, si se cortocircuita la línea y se alimenta con una secuencia positiva: I0=0, I-=0, I+=IA=E+/Z+ :

Figura N° 8

E+=(R+Lp).IA -Mp(IB+IC)=R+(L-M)pIA; ya que IB + IC=-IA y si p=jω, (corriente alterna): Z+=R+jω(L-M) [9] Si se aplica secuencia negativa, se obtiene: Z-=Z+ [10] si se aplica secuencia homopolar (Figura N° 9): I0=IA=E0/Z0; E0=(R+Lp)I0+Mp(I0+I0). por lo tanto: Z0=R+jω(L+2M). La Z0 es más grande que Z+ ó Z-, aún sin considerar una eventual ZN (que en caso de existir se agrega como 3ZN a Z0). Dato práctico: con ZN=0,Z0=2 a 3,5 Z+.

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Figura N° 9

Nota: El caso del transformador con brazo de excitación, con neutro aislado o en conexión triángulo, puede asimilarse a este caso. Si R≈0 (por comodidad), en el ensayo de secuencia homopolar, el único lugar por donde pueden circular las I0 es por los brazos de excitación (Figura N° 10):

( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

=+=≅−== −+

grande2chico

000

exc

CC

ZMLjZZMLjZZ

ωω

Figura N° 10

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Métodos para hallar M, despejándola:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= L

jZ

jZ

LM excCC

ωω 2100

Inversamente, si se conocen Z0, Z+ ,Z-, de [6]:

( ) ⎩⎨⎧

=−+=++

⇒⎩⎨⎧

−=++==+=

+

+−+

−+MMM

M

ZZZZZZZZ

ZZaaZZZZZZZ

322

0

00

2

0

3,

32 00 ++ −

==+

=ZZMjZZZZo M ω

Estos valores de impedancias de secuencia, también pueden obtenerse a partir de los valores de fase, Figura N° 11:

A

B

C

Zmutua

∆U

Zmutua

Zsimétrica

Zsimétrica

Zsimétrica

Figura N° 11

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∆∆∆

C

B

A

SMM

MSM

MMS

C

B

A

III

ZZZZZZZZZ

UUU

con:

⎩⎨⎧

=+=

MjZLjRZs

M ωω

por lo tanto:

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´´

0

1

0

IZIII

sZZZZZZZZZ

sUUU

SMM

MSM

MMS

⋅=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡⋅=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∆∆∆

+−

+

desarrollando con iguales valores anteriores:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=−

+

ZZ

ZZ

0

´ [12]

o sea, que: Z0=ZS+2ZM, Z+=Z-=ZS-ZM. Este desacoplamiento es la razón primaria para usar las componentes simétricas en vez de las cantidades de fase. Las Z+, Z-, Z0 son las impedancias de “servicio” o de “fase”. Si la línea es no traspuesta, en general se podrá expresar por:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

CCCBCA

BCBBBA

ACABAA

ZZZZZZZZZ

Z [13]

con: Zii=Rii+jXii= impedancias serie propias Zji=Zij=Rij+jXij= impedancias mutuas (Rij se debe a la presencia de tierra). 5.5. Líneas con asimetrías o fallas Una línea con asimetría puede tener una matriz como la [13] si sus elementos no guardan igualdad o simetría. Un caso típico es el que no presenta acoplamientos y es ZA ≠ ZB ≠ ZC:

IZIII

ZZ

Z

UUU

C

B

A

C

B

A

C

B

A

.=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∆∆∆

[14]

y, como antes ∆U´ = Za’ I’ con Za’=s-1 Z s (Za se usa para diferenciar que se trata de la asimetría); desarrollando:

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⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=+−

−+

+−

0

0

0

ZaZaZaZaZaZaZaZaZa

´Za [15]

Za’ es la matriz de impedancias equivalentes o transformadas, no de secuencia. (Al término Z° se le suma 3Zn si hay neutro) Za

0 = 1/3 (ZA + ZB + ZC) Siendo: Za

+ = 1/3(ZA +a ZB +a2 ZC) [16] Za

- = 1/3 (ZA +a2 ZB +a ZC) Aparecen numerosos acoplamientos en las componentes transformadas, por lo tanto se deberán usar procedimientos especiales. Sólo si ZA = ZB = ZC se cumplirá Za

0 = ZA; Za+ = Za

- = 0; en cuyo caso las componentes de secuencia son Z0 = Z- = Z+ = ZA (pasa a ser como una línea simétrica o transpuesta). No es sensato estudiar las líneas no simétricas con componentes simétricas. En cambio debe trabajarse en el dominio de fase o usar transformaciones especiales (“modales”). Lo mismo rige para las admitancias derivación. 6. Sistemas con asimetría o falla Para simplificar el estudio se descompone en 2 partes simétricas, una en convención “fuente” y otra en “consumidora” (aunque ambas pueden contener fuentes), con todos los acoplamientos inductivos (de modo de constituir “circuitos de secuencia”), unidas por una parte asimétrica sin acoplamiento (falla):

S1 S2

A1 ZA IA

B1

C1

O1 ZN O2

IN

A2

UC1 UC2

ZB

ZC

B2

C2

Asimétrica: ZA≠ZB≠ZC

Figura N° 12

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Página 19 de 43 – Versión del 13/03/06

ZN puede asignarse a S1 ó S2. Para la asimetría: ZA≠ZB≠ZC:

]17[

21

21

21

CCCCC

BBBBB

AAAAA

IZUUUIZUUUIZUUU

=−=∆=−=∆=−=∆

6.1. Circuitos equivalentes Como para las partes simétricas (S1 y S2), los circuitos de secuencia están desacoplados se pueden determinar cada uno separadamente y luego aplicarlos sobre la parte asimétrica. Para la secuencia “+” (fase de referencia A), después de la conveniente aplicación del teorema de Thévenin a cada parte:

=U2+

neutro ficticio

+

E1+

Z1+U1+

+

-

+I+U+

1

+ +

+

-

=E2+

Z2+

+- E+

Z+

-

U+

I+-2 I+

(simbología)

+

Figura N° 13

Habrá otros 2 circuitos para las componentes “-“ y “0”, en general sin fuentes pues los generadores sólo generan secuencia “+”. Además en la secuencia “0” se colocará en serie 3 ZN. A su vez, estos 3 circuitos de secuencia podrán resultar interconectados según sea la falla, lo que permitirá resolver el problema, tal como se verá más adelante. 6.2. Métodos Una vez establecidos los circuitos de secuencia de la parte simétrica (Figura N° 12) se tiene:

[ ] [ ] [ ] [ ]´.´´3

´

0000

IZEUoIII

ZZ

ZZ

EEE

UUU

s

N

−=∆⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⋅⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡ +−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∆∆∆

+

++

+ [18]

Siendo [Z´s ] la impedancia de la parte simétrica.

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Página 20 de 43 – Versión del 13/03/06

Estas ∆U’ resultan aplicadas a la parte asimétrica, por lo que:

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∆∆∆

=∆−

+

+−

−+

+−

+

III

UUU

seaoIZU a

0

0

0

00

´ .ZaZaZaZaZaZaZaZaZa

:´.´ [19]

[Za´] es asimétrica. (Como en el caso de líneas no traspuestas, no acopladas) Igualando [18] y [19]: E’- Zs’ I’ = Za’ I’ ó E’ = (Zs’ + Za’ ). I’ por lo tanto: [ ] [ ] [ ] )(´.´ 1´´ complejocálculoEZZI As

−+=

∆U’ sale de [18] ó [19]. Luego: I = s I’ [20] ∆U = s ∆U’ (ó con ∆UA = ZA IA, etc.) Si se desean hallar las tensiones simples habrá que hallar U1

+, U2+, etc, de S1 y S2

(Figura N° 13) y luego aplicar la transformación directa. 6.3. Casos Particulares Existen 3 casos muy importantes que permiten resolver mediante la interconexión de los circuitos equivalentes de secuencia: a) Una fase con impedancia Z y las otras dos con impedancia cero

ZA

B

C Figura N° 14

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Página 21 de 43 – Versión del 13/03/06

⇒++=∆=∆=∆

∴⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

++++++

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∆∆∆

=

=

=

∴⎩⎨⎧

===

+−−+

−+

−+

−+

+

+

+

)(3

3.

111111111

3

313131

0

00

0

0

000

´

´

IIIZUUU

IIIIIIIII

Z

III

Z

UUU

ZZ

ZZ

ZZ

ZZZZ

a

a

a

CB

A

U0+-

Z/3I+

I0

I-

o también U0+-Z Z ZI0 I+ I-

Se llama conexión

Figura N° 15

b) Una fase con impedancia cero y las otras dos con impedancia Z

fi 16

A

B

C

Z

Z

Figura N° 16

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

−==

−==

=++=

∴⎪⎩

⎪⎨⎧

===

+

−+

ZZ

ZZ

ZZZZ

ZZZZ

a

a

a

CB

A

31...................31...................32)0(

31

0

´

´

Para fase A: ∆UA = ∆U0 + ∆U+ + ∆U- = 0 (pues ZA = 0). Además:

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Página 22 de 43 – Versión del 13/03/06

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡+

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∆∆∆

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∴++=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+−−−+−−−

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−−−

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∆∆∆

+

+−+

+

−+

−+

−+

+

+

+−

−+

+−

+

A

A

A

A

A

A

A

aaa

aaa

aaa

III

UUU

ZIII

IIIIqueYa

IIIIII

Z

IIIIII

IIIZ

III

Z

III

ZZZZZZZZZ

UUU

311

333

32

22

3211121112

3

00

0

0

0

0

000

0´´´

´0´´

´´0´0

o sea (ver Figura N° 17)

I+ I- I0

Z Z Z+ - 0IA/3U+

conexión

Figura N° 17 c) Superposición de los casos anteriores Hay otras asimetrías particulares que pueden resolverse por superposición de estas, como ser el de una fase con impedancia Z y dos fases con impedancia Z’.

A

B

C C

A

B

C

A

B

C

B

A

Figura N° 18

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Página 23 de 43 – Versión del 13/03/06

Una forma es suponer tres impedancias simétricas Z’ y una asimetría consistente en una impedancia Z-Z’ en serie en la fase con impedancia Z (caso a) anterior). Otra forma es suponer tres impedancias simétricas Z y una asimetría consistente en una impedancia Z’-Z en serie en cada una de las dos fases con impedancia Z’ (caso b) anterior). 6.4. Clásico (general) Se exploran las posibilidades que ofrecen las transformaciones directas e inversa de la parte asimétrica, juntamente con las relaciones tensión-corriente que impone ésta. De ahí debe surgir la solución y la forma en que se deben conectar los circuitos de secuencia. Aplicaciones (no corresponde a este curso) a) Generador sincrónico , sin neutro, cortocircuito entre 2 fases (Figura N° 19): Responde a la conexión (Figura N° 20):

ZN=:

S1 S2ZA=:

∆UA

Figura N° 19

E+

Z+

I+

Z-:

I-

:

3ZN=:

:Z0

∆ ∆ ∆

Figura N° 20

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Página 24 de 43 – Versión del 13/03/06

En la Figura N° 19, por la rama Z- circulará una corriente I- y por la rama Z0 circulará una corriente I0. También, al ser el Sistema 2 un cortocircuito, si se toma UA=cte. entonces: U+=U-=U0.

0)I (pues 33)(0

00,

0,

A

220

0

0

=−=+

−=

−=−+=++==−+++=

=+

=−=

−+

+

++−+

−+−+

−+

+−+

CB

B

A

IZZEjI

IjIaaaIIaIIIIIIII

IZZ

EII

⎩⎨⎧

==

−−

++

upZaZCCupZaZ

Valores.)(arg30,015,0

)(..)(arg21 típicos

00

y considerando que tengan el mismo ángulo de fase (p.ej. reactancia pura) Z++Z-=1,15 a 2,3 p.u. Luego:

pu 5,012

11

1:

pu 75,050,13,23

15,13:

. 00

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

==

==

aaITrifásico

aaIBifásico

CCB

B

⇒ puede ser más desfavorable un cortocircuito bifásico que uno trifásico. Además: ∆UA = ∆U0+∆U- +∆U+ = 3∆Uº = 3 Z- (-I-)= 3Z- I+ = UAB con lo cual resulta:

B

ABBAB I

jUZjIZIZU

333)(3 =⇒

−== −−+−

(Método para hallar Z-) Nota: Debe medirse PAB para hallar el coseno del ángulo entre UAB y IB como PAB / UAB IB (P=IUcosϕ). b) Generador sincrónico, estrella, con neutro, cortocircuito bifásico con neutro. Por lo anterior con ZN = 0

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Página 25 de 43 – Versión del 13/03/06

E +

Z + Ζ - Z 0I+ I- I0

Figura N° 21

0

0

0

0 ;ZZ

ZII

ZZZZZ

EI+

=

++

= −+−

−+

++

pues:

000 )( ZIIZIZI −+−− −−== análogamente:

0:; 00

0 =++=+

−= −+−

−+ IIIIverificase

ZZZII A

también:

:0, 00

02

020 ≅

+−+

+=++= −

−+−

−+−+ Zsiy

ZZZaIIa

ZZZIaIIaII B

+

++++

−++

−+ ==+−=

+−+

+−

−≅Z

EeIeIaIZ

aIIaZ

ZIIj

jB

21021022 33

00

0

de la misma manera:

+

++ ==

ZEeIeI

jj

C

150150 33

c) Generador sincrónico, estrella, cortocircuito monofásico con neutro:

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Página 26 de 43 – Versión del 13/03/06

ZN

UB UA Z+

E+

Z- 3ZN

Z0

I+ I- I0

UC

Figura N° 22

2,273,0.3

0..73,03

0

00

==++=

=≅+++

===

−+

−+

+−+

IIII

ZsiupZZZZ

EIII

A

NN

da mayor que antes, pero influye mucho ZN (por eso se coloca). Además: UA = U0 + U- + U+ =0 (condición de cortocircuito), y si ZN es importante : UB= U0 +a U- + a² U+ será superior a la tensión de fase (será U0grande), puede aparecer una sobretensión importante (conviene ZN=0, opuesto a lo anterior!) 6.5. Asimetrías longitudinales y transversales Longitudinales: p.ej. asimetrías en conductores de líneas Transversales: p.ej. puesta a tierra, cortocircuitos Las asimetrías longitudinales según procedimiento ya visto. Las fallas transversales deben transformarse para adaptar el circuito resultante al de la Figura N° 12. Ej: asimetría de una fase a tierra:

ZN

U

V

W

Rf=0

Carga

ZN

Rf

ZG+0-A

B

C

R

S1

S221

R

R

R

U

Figura N° 23

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Página 27 de 43 – Versión del 13/03/06

Rf

R

U=E+ ZG+ ZG-

R

Rf

3ZN ZG-

R:

Rf

∆U+

1

2

1

∆U-

2 2

∆U0

1

Figura N° 24

Ej: dos asimetrías simultáneas

ZN

R

R

R

Rf

Figura N° 25

No puede aplicarse componentes simétricas. Son 2 fallas simultáneas (cortocircuito en S1 y asimetría a tierra en S2). No hay forma de armar S1 y S2 con asimetría del tipo visto. Debe resolverse con los métodos generales de electrotecnia. 7. Potencia Dado un sistema, con [ I ] = [ IABC ] ; [ U ] = [ UABC ], se verifica, desarrollando, que la potencia total es: S = [ I*]t [U] con [I*]t traspuesta de las conjugadas [23] Pero [I] =[ s ][I´] y también [ I*] = [s*][ I´*] pues F(Zi*) =F*(Zi), aunque al transponer cambian el orden: [I*]t = [I*´]t [s*]t ∴

3S´ [U´] *´][I 3 [U´] [s][s*]t *´][I [U] [s*] *´][I S t

unidad) (matriz 3.[1]

ttt ==== 321 [24]

siendo S´=[I*´]t [U´] la potencia calculada para las componentes simétricas. [25] Ocurre que éstas se aplican 3 veces para reconstruir el sistema original; o dicho de otro modo la potencia de las componentes simétricas es 3 veces menor debido a que sólo intervienen las componentes de 1 fase. Puede modificarse la transformación para que la potencia se mantenga invariante: Si I=C. I´∴ I*t = I*´t .C*t ∴ [26]

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Página 28 de 43 – Versión del 13/03/06

S= I*t .U = I*´t .C*t .U y S´= I*´t .U´, entonces: Para que S= S´ debe ser U´= C*t .U (en lugar de U’= C-1.U) [27] Valores que suelen asignarse a C: Variante 1: C = s ∴ s*t = 3 s-1 (por desarrollo). Así, por ejemplo resulta: 28]

⎩⎨⎧

++=°++=°

clásico) caso del (triple U U U Uclásico) caso al (igual )I I (I 1/3 I

CBA

CBA

Variante 2: C = s/√3 ∴ C*.t = √3 s-1 (por desarrollo) 29] Resulta:

⎩⎨⎧

++=°++=°

clásico) caso del3( ) U U (U31/ Uclásico) casodel 3( )I I (I 31/ I

CBA

CBA

Las impedancias resultan: U = Z I = Z. C. I´; U´= Z´.I´ ⇒ C*t. U = Z´.I´ ⇒ Z. C = (C*t)-1 . Z´ ⇒Z´= C*t Z C [30] Variante 1: Z´= 3 s-1 Z s (triple de la Z´ clásica) Variante 2: Z´= √3 s-1 Z s/√3 (igual a la Z´ clásica), por lo que se prefiere esta variante. 8. Matrices Admitancia El método general( apartado “sistemas con falla”) fracasa si (Zs´+ Za´) no se puede invertir, por ejemplo, si uno de sus elementos fuera ∞ (el determinante resulta ∆ = ∞), o si todos los elementos resultan iguales (∴∆ = 0, [Zs´+ Za´]-1 = 0/0). En tal caso se puede trabajar con matrices admitancias, que se corresponden con el método de los nodos. Se define:

Page 29: 38332635 Teorema de Fortescue

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Página 29 de 43 – Versión del 13/03/06

[ ] [ ] [ ]31

1

13

1

´´

00

1

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎡+

==−

+

+−

YY

Y

Z

Z

ZZ

ZYN

De [18] se halla: I´= Zs´-¹ (E´- ∆U´) = J´- Y´∆U´ [32] Lo que equivale a aplicar Norton a cada circuito de secuencia, por ejemplo en la Figura N° 26

Y+ ∆U+

I+I+

E+

∆U+J+

Figura N° 26

De [19] : I´= Za’-¹ ∆U´ = Ya´ ∆U´ [33] Igualando [32] y [33]: I´- Y´∆U´ = Ya´∆U´ ∆U´ = (Y´+Ya´)-¹.I´ [34] Luego se calcula ∆U, etc. La dificultad reside en la determinación de Ya´, que en general tiene una expresión complicada, salvo casos especiales. Cuando sea factible modelar una falla como de fase abierta sin neutro (∴YA = 0 , YN= 0) la Y´+Ya´ toma una expresión simple y reduce a 2 el sistema de ecuaciones a resolver. Ej. :

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Página 30 de 43 – Versión del 13/03/06

ABC

Rf=1ohm0.5

ohm

S2

ZN=:

ConocidoS1

Figura N° 27

Supóngase:

[ ]

[ ]

[ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=

===⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=

+−

−+

+−

−+

++

110110

0001´

:)(

´´´´´´´´´

´

0,64131,0370,8,

6,76,7

5,1´

1

0

0

0

´

8080

0

80

80

90

RfY

quedaycomplicadoliteraldesarrolloelhacese

ZZZZZZZZZ

Y

kAeee

ZE

Je

ee

Y

a

a

jj

j

th

th

j

j

j

Al aplicar [34] y como I° = 0 (no hay neutro) resulta ∆U° = 0, por lo que resta hallar:

etcUUe

UU

ee j

j

j

,,0

64.

6,71116,71 80

80

80−+

+

∆∆⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

∆∆

⎥⎦

⎤⎢⎣

+−−+

Obsérvese que también la falla se podría haber modelado como la Figura N° 28, que no ofrece dificultad para la solución:

c/u 0.5 ohm

S2

ZN=:

S1ZA=:

Figura N° 28

Cuando Z’ + Za´ se puede invertir no hay ventaja en el empleo de las matrices admitancia, salvo dichos casos particulares.

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Página 31 de 43 – Versión del 13/03/06

9. Mediciones de corrientes y tensiones de secuencia Si bien los modernos instrumentos microprocesador pueden hacer los cálculos internos para dar directamente las componentes simétricas de las corrientes y tensiones que miden, se dan a continuación métodos con uso de elementos auxiliares. 9.1. Corrientes 9.1.1. Corriente de secuencia Directa e Inversa Caso Trifilar sin Neutro

Σ

Figura N° 29

o& 60. jeRZ =

Se demuestra (ver punto 9.1.2) que:

KII A

+

=1&

y KII A

=2&

Ej. : Si 500/5 A entonces K=100 (=500/5) 9.1.2. Demostración El circuito se puede analizar por superposición, prescindiendo de la constante K:

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Página 32 de 43 – Versión del 13/03/06

Figura N° 30

⎩⎨⎧

+===

RZB

RZAB

IIIRIZIU ..

∴ ⎩⎨⎧

=+−=

RIRZIRIIZI

BZ

ZBZ

.).().(.

Figura N° 31

[ ]303030

60

60

60

1 ..3

1.3

..

. jC

jBj

jCB

j

jCB eIeI

eeII

eRReRIRI

I +=+

=+

+= −

y, por la Figura N° 32:

Figura N° 32

[ ] +

−=⎥⎥

⎢⎢

⎡−−+=−+−= IIaaIIIaIaII CB

I

CBCB

A

221 3

1)1()1(31

321

Se observa que el amperímetro A1 mide –I+ Análogamente para el amperímetro A2:

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Página 33 de 43 – Versión del 13/03/06

−−= II 2

9.1.3. Caso Trifilar con Neutro

Figura N° 33

o& 60. jeRZ =

1501 .3 j

A eIK

I +=& y

1502 .3 −−= j

A eIK

I&

La fase sale de cálculos y esta relacionada con los fasores IA1 e IA2, cuya ubicación es desconocida. 9.1.4. Corriente de secuencia Homopolar: 3 posibles métodos

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Página 34 de 43 – Versión del 13/03/06

Figura N° 34

9.2. Tensiones 9.2.1. Tensiones de secuencia Directa e Inversa

Σ

Figura N° 35

o& 60. jeRZ =

RKUI.

3 +

=&

Invirtiendo la posición de R y Z:

ZKUI.

3 −

=&

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Página 35 de 43 – Versión del 13/03/06

9.2.2. Tensión de secuencia Homopolar

Figura N° 36 a y b

10. Ejemplos 10.1. Ejemplo 1 Dado:

300100 30,100,25 jjj eUeUeU === −+−,

hallar el sistema real y sus relaciones de potencia si:

1602010 78)(,5,10 jBAC

jB

jA eIIIeIeI ≈+−=== −−

Entonces: [ ] [ ][ ] :´ seaoUsU =

=][U&⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+++++

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

+

301200120

30120012010

300100

2

2

30.1100.130.1100.125

3010025

11

111

jjjj

jjjjj

jjj

C

B

A

eeeeeeeee

eee

UUU

aaaa

UUU

Page 36: 38332635 Teorema de Fortescue

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Página 36 de 43 – Versión del 13/03/06

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+−−−+

= −

116

124

05,4

1,587,91

151

26,5238,2594,7536,51

66,106.150

j

j

j

ee

e

jj

j

U +

U -

U 0 Figura N° 37

Figura N° 38

[ ] [ ] [ ]

)()5042285(

)315326()32457()1571502(1,587,91

1518,7510

116

124

05,4

16012010*

capacitivoVAj

jjjeee

eeeUISj

j

j

jjjt

−=

=−+−+−=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

== −−−

falta hallar las componentes simétricas de las corrientes:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡≅

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

+

−−

III

ee

eee

ee

e

aaaaI

j

j

j

j

j

j

j

j 0

11

18

11

18

76

160

120

10

2

2

95,23,70

85,89,21

076,0

31

8,7510

11

111

31´

Potencia desarrollada por las componentes simétricas:

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Página 37 de 43 – Versión del 13/03/06

[ ] [ ] [ ]

Sjj

jjeeee

eeeUIS jj

j

j

j

jjt

&

&&

31)5042283(

31)168761(

)5867()6,2253,694(5,8873003010025

95,23,70´´ 4118

30

0

10

1118*

=−=−=

=++−=++=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

== −

Si se usa para la transformación inversa la expresión: [ ] [ ] [ ]ISI t*´ =

[ ] SSeeI

j

j &&& =⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

´,85,8

9,210

´11

18

10.2. Ejemplo 2 Un generador sincrónico de 3x13,12 kV, 50 Hz, 1MVa, 0,9MW, alimenta una carga óhmica simétrica de 800 kW mediante una línea sin pérdidas. Las impedancias de secuencia del generador valen:

,.10,0..4,0..1 9009080 upeZupeZupeZ jjj === −+y la impedancia del neutro es ZN=50+j0

ohm.

ZN

W

Rf=0

VR

R

U R

Figura N° 39

Aplicando el método de componentes simétricas, se pide: 1)Cuando una de las líneas hace contacto directo con tierra( ver Figura N° 39), establecer los circuitos de secuencia y la vinculación entre ellos para dicha falla. 2)Para la misma falla, hallar la corriente a través de la misma. 3)Indicar cómo se modifican los circuitos de secuencia y el conexionado, si Rf es distinto de cero, dibujando los mismos. Solución:

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Página 38 de 43 – Versión del 13/03/06

AVIkVkVU

VASU

UU

I

U

Z

bb

m

m

m

m

m

b

7,432,174

762062,73

2,13

2,17410.1

1320036

22

=∴==

Ω====

se reducen todas las cantidades a p.u.:

..0287,02,174

50

..25,12,1748,2178,217

8000001320022

upjZ

upRWP

UR

N +=Ω

=

==⇒Ω===

Transformación del sistema: kVU 3/2,13=

ZN

ZG+0-A

B

C

R

S1

S221

R

U=E+ ZG+ ZG-

R

3ZN ZG0

R:

∆U+

1

2

1

∆U-

2 2

∆U0

1

Figura N° 40

(conexión Triángulo con ∞ derivado de cada circuito de secuencia) Reducción de los circuitos de secuencia( Thevenin) en p.u :

7,3400

3,45080

722,0..........)25,1()985,0174,0(

25,11.

513,0508,0722,0........)25,1()985,0174,0(

25,1.1

jjj

TH

jjj

TH

ej

eeRZ

RUU

jej

eeRZ

RZZ

−+

+

++

==++

=+

=

+===++

=+

=

Page 39: 38332635 Teorema de Fortescue

Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Componentes simétricas

Página 39 de 43 – Versión del 13/03/06

363,0116,0381,0........)25,1()4,0(

25,14,0 3,72090

jej

eeRZ

RZZ jjj

TH +===+

=+

= −

−−

6,600 867,01,0861,01,0287,0.3.3 j

NTH ejjZZZ =+=+=+= Queda:

Z T H

+-

Z T H Z T H+ - 0+U T H

∆U+- +-∆U- + - ∆U0

+

I+=I0=I-

Figura N° 41

680 406,0............. j

THTHTH

TH eZZZ

UI −−+

++ ==

++=∴

Corrientes en la falla:

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡ ++=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡ −−−+

+

00

218,1

00

406,03

00

11

111 686800

2

2

jj

C

B

A eeIII

III

aaaa

III

Si Rf es distinta de cero, el sistema puede transformarse así:

Page 40: 38332635 Teorema de Fortescue

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Página 40 de 43 – Versión del 13/03/06

ZN

Z+0-A

B

C

R

S1

S221

R

U=E+ Z+ Z-

R

3ZN Z0

R:

∆U+

1

2

1

∆U-

2 2

∆U0

1Rf Rf Rf

Figura N° 42

Figura N° 43

10.3. Ejemplo 3 Para el problema anterior, con Rf=0, calcular las tensiones y las corrientes en el generador y la carga. Solución: Con referencia a la Figura N° 43 y trabajando en p.u.:

⎪⎩

⎪⎨

+−==−=−=∆−−==−=−=∆−=−=−=∆

−−−−

−−++++

313.0170,0356,0876,0406,0012,0155,0155,0381,0406,0

298,0324,0722,0.406,0722,0

6,1186,668000

3,1843,7268

3,45687,34

jeeeZIUjeeeZIU

jeeeZIUU

jjjTH

jjjTH

jjjTHTH

Entre puntos 1 y 2 de la parte asimétrica (Figura N° 42), resulta:

Page 41: 38332635 Teorema de Fortescue

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Página 41 de 43 – Versión del 13/03/06

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡≅

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+−+−+−

==⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∆∆∆

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∆∆∆

+

5,90

174

0

2

2

882,0506,0

0

882,0007,0053,0503,0003,0001,0

....11

111

j

j

C

B

A

ee

jjj

UUU

aaaa

UUU

Corrientes por el generador:

R

U+ Z+

∆U+

Ιg+

Ιg-

R

Z-

∆U-

Z0

Ιg0

R

∆U0

Figura N° 44

2,5680

0

739,01

)298,0324,0(1 jj

j

G ee

jeZ

UUI −+

+++ =

−−=

∆−=

7,26590

3,184

388,0.................4,0

155,0 jj

j

G eee

ZUI ==

−=

∆−= −

−−

6,29890

6,118

0

00 411,0

)0287,0.3(10,0356,0

3j

j

j

NG e

jee

ZZUI =

++−

=+∆−

=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

==⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡∴ −

+

68

4,128

670

2

2

558,0309,0478,1

..................11

111

j

j

j

G

G

G

GC

GB

GA

eee

III

aaaa

III

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Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Componentes simétricas

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5,118232,1...........)( jGCGBGAN eIIII ==++−=∴

que puede compararse con la corriente de falla IA, verificándose que, aproximadamente, son iguales y opuestas. 11. Bibliografía -“Symetrical components”, Wagner y Evans -“Power system control and stability”, PM Anderson, AA Fouad, Ames, Iowa, 1977 -“Análisis de sistemas eléctricos de potencia”, W.D. Stevenson. -“Electrical Energy Systems Theory”. Olle I. Elgerd

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12. Indice 1. INTRODUCCIÓN................................................................................................................................................... 1

2. DEFINICIONES ..................................................................................................................................................... 1

3. VALORES BASE.................................................................................................................................................... 5

4. INFLUENCIA DE LA IMPEDANCIA DE NEUTRO......................................................................................... 6

5. IMPEDANCIAS DE SECUENCIA DE DISTINTOS ELEMENTOS................................................................ 6

5.1. IMPEDANCIAS-GENERADOR SINCRÓNICO .............................................................................................................. 6 5.2. IMPEDANCIAS - TRANSFORMADOR ........................................................................................................................ 9 5.3. IMPEDANCIAS - CARGAS ..................................................................................................................................... 13 5.4. IMPEDANCIAS - LÍNEAS ....................................................................................................................................... 14 5.5. LÍNEAS CON ASIMETRÍAS O FALLAS..................................................................................................................... 17

6. SISTEMAS CON ASIMETRÍA O FALLA ........................................................................................................ 18

6.1. CIRCUITOS EQUIVALENTES.................................................................................................................................. 19 6.2. MÉTODOS............................................................................................................................................................ 19 6.3. CASOS PARTICULARES ........................................................................................................................................ 20 6.4. CLÁSICO (GENERAL) ........................................................................................................................................... 23 6.5. ASIMETRÍAS LONGITUDINALES Y TRANSVERSALES ............................................................................................. 26

7. POTENCIA............................................................................................................................................................ 27

8. MATRICES ADMITANCIA ............................................................................................................................... 28

9. MEDICIONES DE CORRIENTES Y TENSIONES DE SECUENCIA .......................................................... 31

9.1. CORRIENTES........................................................................................................................................................ 31 9.1.1. Corriente de secuencia Directa e Inversa................................................................................................. 31 9.1.2. Demostración............................................................................................................................................ 31 9.1.3. Caso Trifilar con Neutro........................................................................................................................... 33 9.1.4. Corriente de secuencia Homopolar: 3 posibles métodos.......................................................................... 33

9.2. TENSIONES .......................................................................................................................................................... 34 9.2.1. Tensiones de secuencia Directa e Inversa ................................................................................................ 34 9.2.2. Tensión de secuencia Homopolar ............................................................................................................. 35

10. EJEMPLOS ........................................................................................................................................................... 35

10.1. EJEMPLO 1...................................................................................................................................................... 35 10.2. EJEMPLO 2...................................................................................................................................................... 37 10.3. EJEMPLO 3...................................................................................................................................................... 40

11. BIBLIOGRAFÍA................................................................................................................................................... 42

12. INDICE .................................................................................................................................................................. 43