40
MODELI PONAŠANJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA

3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

MODELI PONAŠANJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA

Page 2: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Ponašanje materijala može biti: a) elastično; b) elasto-plastično; c) s omekšanjemModel: d) elasto-plastični; e) elasto-idealno plastični; f) krut-idealno plastični

dU – energija deformacije; dU* - komplementarna energija deformacije; dD – disipirana(iskorištena, izgubljena) energija [po jedinici volumena]

Ponašanje materijala:

Page 3: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Općenito o betonu:

Beton – složeni materijal koji nastaje očvršćavanjem smjese agregata, cementa i vode.

Ponašanje betona ovisi o: * vrste i količine cementa* vrste i granulometrijskog sastava agregata* obliku i veličini agregata* količini vode* proporcijama mješavine* temperaturi i vlažnosti sredine* uvjetima opterećenja

Kvalitet betona obično je dan u funkciji njegove čvrstoće u uvjetima stanja jednoosnog tlaka ispitanog na uzorku starosti od 28 dana, pri čemu je uzorak betona čuvan u strogo propisanim uvjetima.

Vlačna čvrstoća betona je mala u odnosu na tlačnu, ali ne i beznačajna. Ona se obično kreće unutar područja 8-12 % tlačne čvrstoće.

Page 4: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Načini ispitivanja vlačne čvrstoće betona: a) direktna metoda; b) metoda savijanja uzorka; c) metoda dvostrukog udarca; d) metoda cijepanja valjka

Načini ispitivanja tlačne čvrstoće betona: a) uzorak: valjak; b) uzorak: kocka; c) usporedba veličine i oblika uzorka na dobivene rezultate tlačne čvrstoće

Eksperimentalno ispitivanje jednoosne čvrstoće betona

3 2ckct f3.0f ⋅≈

Page 5: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Jednoosni tlak: a) prikaz odnosa naprezanje-deformacija za razne veličine uzorka; b) i c) načini sloma uzorka – cijepanje i raspucavanje (sliding & splitting); d) uzdužna i poprečna deformacija; e) utjecaj čvrstoće betona na omekšanje betona; f) utjecaj čvrstoće valjka na otpornost na različite vrste sloma

Page 6: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Beton u stanju dvoosnog naprezanja: iznad linije su normalni betoni, a ispod linije betoni visokih čvrstoća.

Eksperimentalna ispitivanja dvoosne čvrstoće betonaEksperimentalna ispitivanja betona u stanju dvoosnog naprezanja prikazana su preko radova Kupfera, Hilsdorfa i Rüscha (1969.), te zatim Nelissena (1972.), van Miera (1986.) i Nimure(1991.). Kupfer, Hilsdorf i Rüsch su izveli niz ispitivanja i publicirali prve rezultate na području ispitivanja betona pod višeosnim stanjem. Testirali su 228 uzoraka opterećena dvosmjernim naprezanjem različitih omjera.

Page 7: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Odnosi naprezanje-deformacija za beton u području tlak-tlak

Page 8: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Odnosi naprezanje-deformacija za beton u području tlak-vlak

Page 9: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Odnosi naprezanje-deformacija za beton u području vlak-vlak

Page 10: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Za stanje dvoosnog naprezanja mogu se izvući sljedeći zaključci:- Veza naprezanje-deformacija u području tlačnog naprezanja je izrazito nelinearna, dok je

u području vlačnog naprezanja gotovo linearna;- Tlačna čvrstoća raste u području dvosmjernog tlaka. Maksimalni prirast čvrstoće, u odnosu

na jednoosnu, iznosi približno 25%, i dobiven je kod omjera poprečno nap./uzdužno nap. = 0.5. Pri omjeru poprečno nap./uzdužno nap. = 1.0, prirast čvrstoće iznosi približno 16%.

- U području stanja tlak-vlak i vlak-tlak, čvrstoća opada skoro linearno kako raste vlačno naprezanje.

- Čvrstoća betona u stanju dvosmjernog vlaka je gotovo ista kao ona u uvjetima jednosmjernog vlačnog naprezanja.

Duktilnost betona u uvjetima stanja dvoosnog naprezanja ima različite vrijednosti- U uvjetima jednoosnog i dvoosnog tlaka, prosječna vrijednost maksimalne tlačne

deformacije iznosi oko 3.5‰, a prosječna vrijednost maksimalne vlačne deformacije varira od 2.0‰ do 4.0‰.

- Duktilnost u vlaku je mnogo veća u uvjetima stanja dvoosnog tlaka, nego ona u uvjetima stanja jednoosnog tlaka

- U području naprezanja tlak-vlak, veličine glavne vlačne i tlačne deformacije kod sloma opadaju s prirastom vlačnog naprezanja

- U uvjetima stanja jednoosnog i dvoosnog vlaka prosječna vrijednost maksimalne glavne vlačne deformacije je oko 0.08‰. Uočljivo je da beton podnosi znatno veće indirektne vlačne deformacije nego direktne.

Važan zaključak ovih dijagrama jest taj da su omjeri različitih nivoa naprezanja, u biti nezavisni od omjera dvoosnih naprezanja. Ovim se podrazumijeva da se mogu uzeti isti funkcionalni oblici za definiranje različitih nivoa naprezanja u polju naprezanja (činjenica koja se koristi u modeliranju ponašanja betona).

Page 11: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Promjena volumena također je nelinearna!- Kod približno 95% nosivosti dostiže se minimalni volumen. Nešto prije te granice na

krivulji se pojavljuje točka infleksije, koja ustvari ukazuje na pojavu većeg broja mikropukotina.

- U blizini granice sloma dolazi do povećanja volumena. Ovu pojavu nazivamo dilatancija (dilatancy), i praćena je progresivnim razvojem mikropukotina.

- Poissonov broj ostaje približno konstantan do vrijednosti naprezanja od 50-60% graničnog naprezanja. U području dvosmjernog tlaka on iznosi oko 0.20, u području dvosmjernog vlaka oko 0.18, dok se u području tlak-vlak kreće između 0.18 – 0.20, što uglavnom ovisi o svojstvima agregata i veziva.

- U području dvosmjernog tlaka modul elastičnosti betona je nešto veći nego u području jednosmjernog tlaka.

Page 12: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Eksperimentalna ispitivanja troosne čvrstoće betona

Rezultati ispitivanja betona u stanju troosnog naprezanja preuzeti su iz radova Richarta (1969.).Očito je da postoji značajan prirast čvrstoće i deformacija pod prirastom trosmjernog tlaka. Kod graničnog opterećenja dobivena je uzdužna deformacija od preko 60‰, što je 20 do 30 puta više od one dobivene u uvjetima jednoosnog tlaka (približno 2.0‰ do 3.5‰). Slično tome granična naprezanja narasla su preko 7 puta. Balmer je dobio čak veći prirast.Prikazani dijagram dobiven je pomoću uređaja s tzv. Kontroliranim naprezanjem, pa je na taj način moguće pratiti beton do dostizanja njegove čvrstoće. Ponašanje betona nakon dostizanja maksimalnog naprezanja, u području tzv. Omekšanja (stiffening) moguće je pratiti pomoću uređaja s kontroliranom deformacijom. Ovo ponašanje je još uvijek nedovoljno istraženo

Page 13: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Veza hidrostatskih i devijatorskih veličinaDijagram prikazuje odnos volumenske deformacije εv u odnosu na prvu invarijantu naprezanja I1. Krivulje su “okupljene” i sugeriraju gotovo jednoznačne veze između hidrostatskedeformacije i hidrostatskog naprezanja za najveći dio područja opterećenja.Točke u kojima se krivulje razilaze, zbog nagle promjene volumena, smještene su na veoma uskom graničnom području. Neznatno odstupanje krivulja može nastati zbog realne zavisnosti od devijatorskih naprezanja, što je potpuno vjerojatno u krtim materijalima kao što je beton (osobito kad je izraženije razvijeno mikropucanje), međutim ovo odstupanje nije značajno.

( )3211

321v

I3

σ+σ+σ=

ε+ε+ε=ε

Vidi se da sve do kritičnog opterećenja postoji gotovo jednoznačna veza između volumne deformacije i prve invarijantenaprezanja.

Page 14: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Prosječne krivulje εv u odnosu na prvu invarijantu naprezanja I1, za neke uzorke prikazane su na donjem dijagramu. Upadljivo obilježje tih krivulja je da su gotovo linearne. Nagibi ovih krivulja predstavljaju tangentni zapreminski modul, K, koji je konstantan za linearno elastičan materijal.

( )3211

321v

I3

σ+σ+σ=

ε+ε+ε=ε

Page 15: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Podesan odnos devijatorskog naprezanja i deformacije je odnos oktaedarskog posmičnog naprezanja i deformacije, budući da su oboje direktno povezani s drugim invarijantama tenzora devijatorskog naprezanja i deformacije (ovaj dio naprezanja i deformacije definira promjenu oblika).

Na dijagramu je prikazan odnos τokt u odnosu na γokt gdje je vidljiva gotovo jednoznačna veza za najveći dio područja. Nagibi ovih krivulja predstavljaju tangentni modul smika: G, koji je konstantan kod modela linearne elastičnosti. Međutim, upotreba oktaedarskih veličina podrazumijeva da je materijal izotropan za vrijeme opterećivanja, pa da je, na taj način i G izotropan.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )213

232

221okt

213

232

221okt

3231

ε−ε+ε−ε+ε−ε=γ

σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ

Page 16: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Stupanj izotropije može se procijeniti izračunavanjem omjera devijatorskih naprezanja i devijatorskih deformacija u ortogonalnim smjerovima, čime se dobivaju vrijednosti sekantnog modula smika:

( ) 3;

3;

2G 321

v321

vvi

vii

ε+ε+ε=ε

σ+σ+σ=σ

ε−εσ−σ

=

Za izotropan materijal vrijednosti sekantnog modula smika su identične. Kako je vidljivo s dijagrama, za beton su dobivene veoma slične krivulje, pa je pretpostavka izotropije zaista opravdana.

Page 17: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

σ

εεvp εvmax

σ

εεvp εvmax

σ

εεvp

fct f ct f ct f ct

α f ct

β f ct

Ec Ec

Ec

Ec

σ

εεvp εvmax

Jednoosni model betona

cdf Jednoosna računska tlačna čvrstoća betona definirana jednoosnim testom

)−

cdc f=σ

( cccd

c 44f εε−=σ

‰2 ‰5.3

cdf

2cε

Model ponašanja betona u tlaku prema EC-2

Neki modeli ponašanja betona u vlaku

7.03.0 ≤α≤ 7.05.0 ≤β≤

c

ckcd

ffγ

=

ckf Jednoosna karakteristična tlačna čvrstoća betona definirana jednoosnim testom

cE Početni modul elastičnosti betona

[ ]GPa8f5.9E 3ckc +⋅=

ctf Računska vlačna čvrstoća betona

3 2ckct f3.0f ⋅≈

maxvε Maksimalna vlačna deformacija betona iza koje čvrstoća pada na 0

vpv 3015max

ε−=ε

cvε Deformacija pojave prve pukotine= fct/Ec

Page 18: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Dvoosni model betonaRazvijeno je i predloženo mnoštvo matematičkih

modela u svrhu simulacije ponašanja betona. Globalno, možemo razlikovati dvije klase modela:

(a) fenomenološki modeli, kojima se nastoji što bolje reprezentirati makroskopsko ponašanje materijala, s naglaskom na jednostavnosti primjene modela;

(b) strukturni modeli, koji polaze od temeljnih svojstava materijala (kemijski sastav materijala), pri čemu bi se makroskopskasvojstva trebala dobiti kao posljedica.

Pokušaji da se fizikalne konstante materijala izraze u funkciji molekularnih parametara još uvijek nisu dali upotrebljive rezultate.

Među najznačajnije fenomenološke modele ubrajaju seDvoparametarski model,Troparametarski model,Četveroparametarski model,Peteroparametarski model,Hipoelastični model.

Od strukturnih modela najpoznatiji su:Mikroravninski model temeljen na endohronoj teoriji,Modeli temeljeni na diskretnim elementima.

cd 1

2

ct

ct

cd

f σ

σ

f

f

f

vlak-vlak

tlak-tlak

Kupfer-ov uvjetpopuštanja

Usvojeni uvjetpopuštanja

Von Mises-ov uvjetpopuštanja

Os sim

etrije

σ1

2

vlak-tlak

tlak-

vlak

pukotine

te enječ

teen

ječ

puk o

tine

Page 19: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Dvoosni model betona

U nastavku je prikazan dvoparametarski model betona. Odabrani model uzima u obzir dominantne nelinearne karakteristike betona. U području višeosnog tlaka beton se tretira kao neelastični materijal. Pretpostavlja se linearno ponašanje do granice tečenja, te nelinearno ponašanje od granice tečenja do granice loma. U stanju vlak-vlak i vlak-tlak pretpostavlja se elastično ponašanje do granice definirane vlačnom čvrstoćom, nakon čega se uzima u obzir otvaranje pukotina u betonu. Pri tome se vrši postepena redukcija vlačnih i posmičnih naprezanja (čvrstoća). Za definiranje granice popuštanja koriste se tri različita uvjeta: modificirani VonMises-ov kriterij u dvoosnom tlaku, te kriterij maksimalnih glavnih naprezanja za pukotine u području vlak-tlak i vlak-vlak.

cd 1

2

ct

ct

cd

f σ

σ

f

f

f

vlak-vlak

tlak-tlak

Kupfer-ov uvjetpopuštanja

Usvojeni uvjetpopuštanja

Von Mises-ov uvjetpopuštanja

Os sim

etrije

σ1

2

vlak-tlak

tlak-

vlak

pukotine

te enječ

teen

ječ

puko

tine

Page 20: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Materijalni model betona u tlaku- uvjet popuštanja (tečenja)

Elastično ponašanje je pretpostavljeno dok se ne dosegne granica popuštanja. Nakon granice popuštanja materijal se ponaša plastično. Plastično ponašanje je karakterizirano nepovratnom plastičnom deformacijom. U ovom modelu plastična deformacija nastaje trenutno kada se prekorači granica popuštanja. Ovo stanje naprezanja je definirano uvjetom plastičnosti. Dakle, za opis ponašanja materijala do zadovoljenja uvjeta plastičnosti pretpostavlja se elastično ponašanje, a nakon toga potpuno plastično ponašanje.

( )σ ε2 2

( )σ ε1 1

( )F σ σ χ1 2, ,

d pε1

pdε2d pε

( ) ( )[ ] ( )355.0;355.1

0ff3F cdyxcd2xyyx

2y

2x

=β=α

=−σ+σ⋅β+τ+σσ−σ+σ⋅α=σ

cd 1

2

ct

ct

cd

f σ

σ

f

f

f

vlak-vlak

tlak-tlak

Kupfer-ov uvjetpopuštanja

Usvojeni uvjetpopuštanja

Von Mises-ov uvjetpopuštanja

Os sim

etrije

σ1

2

vlak-tlak

tlak-

vlak

pukotine

te enječ

teen

ječ

puko

tine

σ

εεc

fc

Ec

Page 21: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Materijalni model betona u tlaku- uvjet drobljenja

Drobljenje (slom) betona definirano je u funkciji deformacija. Deformacijski uvjet sloma definira se slično Von Mises-ovom uvjetu popuštanja, s time što su naprezanja zamijenjena deformacijama.

εk predstavlja lomnu deformaciju iz jednoosnog pokusa (obično 3.0‰-5.0‰).

cd 1

2

ct

ct

cd

f σ

σ

f

f

f

vlak-vlak

tlak-tlak

Kupfer-ov uvjetpopuštanja

Usvojeni uvjetpopuštanja

Von Mises-ov uvjetpopuštanja

Os sim

etrije

σ1

2

vlak-tlak

tlak-

vlak

pukotine

te enječ

teen

ječ

puko

tine( )C x y x y xy kε ε ε ε ε γ ε= + − + − =2 2 23

40

σ

εεc

fc

Ec

Page 22: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

σ2

σ2

σ1

σ1σx

σx

σy

σyτ xy

τ xy

τ xy

τ xyαcr

σ1

σ1

σ2

σ2

x*

y*

αcr

αp

E = 0b

(a) predpukotinsko stanje (b) pojava pukotine

x

y

(c) naprezanje nakon pojave pukotine

σx*

τ xy*αcrσn*

σt*

τ xy*σy*

τ xy*

σx*

σy*

τ xy*

σt*

σn*

τ*

τ*

τ*

τ*

Materijalni model betona u vlaku- pojava pukotine

Pojava pukotina u vlačnim zonama od presudnog je utjecaja na nelinearno ponašanje betona. Formiranje pukotina u nekoj točki nastaje nakon prekoračenja vlačne čvrstoće betona. Njihova pojava izaziva gubitak vlačne čvrstoće i vlačne krutosti.

U vlačnom stanju naprezanja betona razlikujemo elastično i krto područje. Do granice makro pukotina beton tretiramo kao elastični materijal, a nakon pojave makro pukotina kao krti. Pretpostavljamo da se pukotine formiraju u ravninama okomitim na smjer glavnih vlačnih naprezanja čim se dosegne vlačna čvrstoća betona fct.

Pukotine se mogu modelirati diskretno ili raspodijeljeno.

Model raspodijeljenih pukotina pretpostavlja prosječnu pojavu smjera i veličine pukotina na određenom dijelu konačnog elementa. Ovaj model i nakon pojave pukotina pretpostavlja da materijal ostaje kontinuum a pukotina se simulira promjenama u materijalnim karakteristikama materijala.

podrucje koje

predstavljaGauss tocka

izracunatismjer pukotine

Gauss tocka

Page 23: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

1E

σ

εεvp εvmax

ω f z

E=0

ω= 05.

σ

εεi εvmax

fz

αfz

σiεi

05 07. .≤ αεvmax

.=00020

Ei

a) pocetno rastuce opterecenje

b) rasterecenje i ponovno opterecenje

fz

Nakon prekoračenja vlačne čvrstoće u određenoj točki dolazi do formiranja pukotine i na tom mjestu beton više nema vlačne čvrstoće. Međutim, između pukotina beton može preuzimati vlačna naprezanja. Dakle, i u stanju nakon pojave pukotina beton prosječno nosi na vlak. Porastom veličine vlačne deformacije i širenjem pukotina ta nosivost opada prema nuli. Ovu pojavu nazivamo vlačno omekšanje betona.

E fi z

i

v

ivp i v=

−≤ ≤α

εεε

ε ε ε1

maxmax;

Nema pukotina Otvorena drugapukotina

Otvorena prvapukotina

Obje pukotinezatvorene

Prva pukotinazatvorena

Obje pukotineotvorene

Page 24: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

η= ∗G G

ε∗0.0

0.5

1.0

εn∗ ε γ εγmax = vp

η

Podaci iz niza pokusa pokazuju da se određeni iznos posmičnog naprezanja prenosi preko površine raspucalog betona zbog djelovanja armaturnih šipaka i zaglavljivanja zrna agregata. Pri tome se posmična krutost najčešće modelira u ovisnosti od širine pukotine, premda veličina zrna agregata i postotak armature u presjeku te dimenzija šipke također imaju izvjestan utjecaj.

Uobičajeni način modeliranja posmične krutosti betona je redukcija modula posmika, pri kojem je modul posmika raspucalog betona linearno zavisan o normalnoj deformaciji okomito na ravninu pukotine i definiran je izrazom:

vp

*

max

GGεγ=ε

η=

γ

gdje je γ empirijski faktor koji ovisi o tipu sloma i za standardne betone preporuča se u iznosu 10-15. Ukoliko slom nastaje uslijed savijanja koristi se manja vrijednost, a za slom uslijed posmika veća vrijednost. Preporuča se da krajnja deformacija bude u granicama: 0025.0001.0

max−=ε γ

Page 25: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

U svrhu modeliranja armirano betonskih konstrukcija, osim betona potrebno je poznavati i ponašanje armaturnog čelika. Bitno je napomenuti da je, u odnosu na beton, ponašanje čelika daleko bolje poznato.

U armirano betonskim konstrukcijama armaturu najčešće ugrađujemo u obliku šipaka ili kablova. Armatura prenosi uzdužne vlačne i tlačne sile. Njeno ponašanje se može dobro aproksimirati jednodimenzionalnim modelom, tj. jednoosnim stanjem naprezanja.

Tipični dijagram naprezanje-deformacija (σ−ε) za armaturu u uvjetima kratkotrajnog statičkog naprezanja, prikazan je na crtežu. Općenito se pretpostavlja da je ponašanje čelika identično u vlaku i tlaku.

GA 240/360

RA 400/500MA 500/560

BiA 680/800

±σ

ε a

a [MPa]

[%]100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Materijalni model armature

ε

σ [MPa]

a

a+

σy

E

Evp

Page 26: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Korištenjem principa virtualnog rada, jednadžba dinamičke ravnoteže konstrukcije može se napisati u sljedećem obliku:

Provedba numeričke analize

( ) ( ) ( ) ( )δ δ ρ µ δε σT T Td d dt

Ω Ω ΓΩ ΓΩ∫ ∫∫− − − ′ − =u b u u u ts&& & 0

U gornjem izrazu ∂u je vektor virtualnih pomaka, ù - vektor brzina a ü - vektor ubrzanja; ∂ε je vektor pridruženih virtualnih deformacija; b je vektor volumnih, a t vektor povrinskih sila; σje vektor naprezanja; ρs gustoa, µ’ parametar prigušenja, Ω područje konstrukcije, a Γtpodručje konstrukcije izloženo djelovanju površinskih sila. Izraz (2.66) općenito vrijedi za slučaj materijalne i geometrijske nelinearnosti.

U slučaju kada se vremenski utjecaji mogu zanemariti, prethodna jednadžba se svodi na statičku jednadžbu:

( ) ( )δ δε σT Td dt

Ω ΓΩ Γ∫ ∫− =u t 0

Ako se područje konstrukcije diskretizira mrežom konačnih elemenata, dobiva se sljedeća linearna diferencijalna jednadžba dinamičke ravnoteže sustava

( )M u C u R u fs s s&& &+ + =

( )

( )

( )

( )

C N N

M N N

R u B

f N b N t

s ij siT

sj

s ij siT

s sj

i iT

i

i siT

i siT

i

s

s

s

s t

= ′

=

=

= +

∫ ∫

d

d

d

d d

µ

ρ

Ω

Ω

Ω

Ω Γ

Ω

Ω

Ω

Ω Γ

σ

s

Matrica prigušenja

Matrica masa

Vektor unutrašnjih otpornih sila

Vektor čvornih sila

Page 27: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Vektor unutrašnjih sila R(u) se može napisati i u obliku:

( )R u K u ; K R u= = ∂ ∂

gdje je K matrica krutosti konstrukcije.Za realne konstrukcije, veza deformacija-pomak je općenito nelinearna, tj.

( )ε = =B u ; B B u

Što predstavlja tzv. Geometrijsku nelinearnost.Veza naprezanje-deformacija (σ−ε) je tako|er općenito nelinearna, što predstavlja tzv.

materijalnu nelinearnost. Veza σ−ε se može napisati i u obliku:

gdje je D matrica veze naprezanje-deformacija i u slučaju elastičnog materijala predstavlja dobro poznatu matricu elastičnih konstanti. Veza σ−ε poznata je pod nazivom konstitutivni zakon ili model materijala.

( )σ ε= =D ; D D u

( ) Ω= ∫Ω

d B D BuRs

Tii

Linearni oblik matrice D za ljuske: D =

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

D DD D

DD DD D

DD

D

11 12

21 22

33

44 45

54 55

66

77

88

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

( )( )

( )

( )( )

( )

D h E E E h d

D h E E E h d

D h E E E h dD h G h d

D h E E E h d

D h E E E h d

D h E E E h d

D h G h d

D h K G h d

D

11 1 122

2 1 11

22 2 122

2 1 22

12 12 2 122

2 1 12

33 12 33

443

1 122

2 13

11

553

2 122

2 13

22

453

12 2 122

2 13

12

663

123

33

77 1 13 44

88

1

1

1

1 12 1 1 12

1 12 1 1 12

1 12 1 1 12

1 12 1 12

= − =

= − =

= − =

= =

= − =

= − =

= − =

= =

= =

=

υ

υ

υ υ

υ

υ

υ υ

h K G h d2 23 55∗ =

Page 28: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

MODEL MATERIJALA ZA DINAMIČKO OPTEREĆENJE:BETON

• Brzina deformacije u klasičnim jednoosnim testovima je reda veličine 10-5 /s, dok u slučaju oštrih potresa beton u kritičnim zonama može imati brzinu deformacije reda veličine 10-2

/s. Veće brzine deformacije mogu se pojaviti kod udarnih opterećenja.

put proporcionalnosti

naprezanja

σσ

1

2

=

σ2σ

σ1 ε

plohe popuštanja

a) Dvo-dimenzionalnaprezentacija

b) Jedno-dimenzionalnaprezentacija

krivulje popuštanjastatičko opterećenjedinamičko opterećenje

plastično

elastično

elas

tičnoTL

AK

-TLA

K

VLAK-VLAKVLAK-TLAK

fcd

f ( )cd ε f ( )cd ε

E ( )cd ε

ε1

ε >ε2 1

Ecs

fcs

fcs

ftd

fts

εcu εcr εtu

fcs

. .

.

.

. .

PUKOTINE

DR

OB

LJEN

JE

Suariz i ost. [S.14]Mahin i ost. [M.1]Cowell [C.16]Scott i ost. [S.3]Watstein [W.2]Shah i ost. [S.5]Dilger i ost. [D.3]Kaplan [K.1]

Soroushian i ost. [S.10]Dilger i ost. [D.3]Seabold [S.4]Radnić [R.6]

10-4 10-3 10-2 10-1 1 10Brzina deformacije ( /sec)ε

Odn

os d

inam

ičke

i st

atič

ke č

vrst

oće

(f/f

)cd

cs1.

01.

52.

0

.10-5

( )[ ]cscd

510cscd

ff101log 08.01ff

′≥′ε++′=′ &

Page 29: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Cowell [C.16]Watstein [W.2]Shah i ost. [S.5]

Soroushian i ost. [S.10]Radnić [R.6]

10-410-5 10-3 10-2 10-1 1 10Brzina deformacije ( /sec)ε

Odn

os d

inam

ičko

g i s

tatič

kog

mod

ula

elas

tično

sti

(E/E

)cd

cs1.

01.

5

.

( )[ ] cscd52

10cscd EE;101log 05.01EE ≥ε++= &

MODEL MATERIJALA ZA DINAMIČKO OPTEREĆENJE:ČELIK

• Može se reći da je ponašanje čelika pod jednoosnim dinamičkim opterećenjem dobro poznato, iako se eksperimentalni rezultati ponešto razlikuju. Kod toga je ponašanje čelika u tlaku i vlaku praktički jednako. S porastom brzine deformacije:

− povećava se gornja i donja granica tečenja, čvrstoća i modul elastičnosti, te

− smanjuje duktilnost čelika. krivuljepopuštanja

statičko opterećenje

dinamičko opterećenje

f ( )ad εe

-f ( )ad εe

fas

-fas

Ea

Ea

Ea

ε1

ε >ε2 1

ε < 10 /sec-4

ε > 10 /sec-4

−εal εal

.

..

.

.. .

lom

lom

Page 30: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

( )[ ] asade43

10asad ff;101log 006.01ff ≥ε++= &

1 - Aspden i ost. [A.6]2 - Chiang [C.8]3 - Campdbell [C.1]4 - Harding [H.4]5 - Kraft i ost. [K.6]6 - Leblois i ost. [L.1]7 - Wright i ost. [W.5]8 - Radnić [R.6]

f [MPa]100 - 200200 - 300300 - 400 > 400

as

10-4

1

5 6

2

22

4

7

3

8

1

10-3 10-2 10210-1 1 10Brzina elastične deformacije ( /sec)εa

Odn

os d

inam

ičke

i st

atič

ke g

ornj

e gr

anic

e po

pušt

anja

(f

/f)

adas

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

.

Page 31: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Primjer: toranj za hlađenje Port Gibson

6.36 m

25.20 m

25.20 m

25.20 m

61.58 m

6.98 m38.6 m

38.33 m ždrijelo

dno

kruna

58.12 m

120.

0 m

30.5

m

104.7 cm20.3 cm

20.3 cm

24.0 cm

28.7 cm

34.2 cm76.2 cm

Geometrijske karakteristike

Beton ArmaturaModul elastičnostiPoisson-ov koeficijentGustoćaTlačna čvrstoćaVlačna čvrstoća

EB (GN/m2)νb

ρb (kN/m3)fB (MN/m2)fz (MN/m2)

28.30.1824.334.5

3.2

Modul elastičnostiPoisson-ov koeficijentGustoćaModul očvršćavanjaGranica tečenjaGranica popuštanja

Ea (GN/m2)νa

ρa (kN/m3)H’ (GN/m2)σY (MN/m2)σu (MN/m2)

205.90.3

78.510.3

413.7620.5

Materijalne karakteristike

• Geometrija tornja opisana je s dvije hiperbole.

• Izrađen je od armiranog betona, s karakteristikama materijala prikazanim u tablici.

• Faktor armiranja tornja za hlađenje Port Gibson varira između 0.3% do 1.1% po visini. Armaturne šipke su postavljene u dvostrukom sloju uz unutrašnju i vanjsku stranu tornja u smjeru paralela (horizontalna armatura) i meridijana (vertikalna armatura).

15’

Page 32: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Numerički model• Toranj je analiziran za opterećenje vlastitom

težinom i opterećenje vjetrom. • Opterećenje je nanošeno postupno, u

inkrementima, tako da se izbjegnu nestabilnosti koje mogu nastati zbog loma ili drobljenja betona pod naglim nanošenjem opterećenja.

• U numeričkoj analizi pomak je mjeren u kruni na meridijanu najopterećenijem vjetrom.

• Hiperboloidna ljuska tornja za hlađenje PortGibson modelirana je 9-čvornimdegeneriranim elementima ljuske. Ljuska je podijeljena u 16 elemenata u smjeru paralela i 12 elemenata u smjeru meridijana.

• Svaki element ljuske se sastoji od 6 slojeva (layera) betona i četiri sloja armature, uz svaki rub po dva.

• U numeričkoj analizi usvojen je konstantni faktor armiranja da bi se dobio jasniji uvid utjecaja faktora armiranja na graničnu čvrstoću tornja.

ζ=−1

ζ=+1Dva sloja armature

Dva sloja armature

Page 33: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 50 100 150 200 250 300

0.8%

0.6%

0.4%

0.2%

pomak krune (cm)

faktor opterećenja

Rezultati statičke analize

Prikaz pomaka konstrukcijeza faktor opterećenja χ=1.50 i faktor armiranja 0.8%; (pomaci uvećani 10 puta)

Page 34: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Prikaz propagacije pukotina u vanjskom sloju (layeru) tornja za faktorarmiranja 0.8%

faktor opterećenja =1.50χ

faktor opterećenja =1.25χ

faktor opterećenja =1.40χ

faktor opterećenja =1.20χ

faktor opterećenja =1.30χ

faktor opterećenja =1.10χ

Page 35: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Prikaz pokaka krune tornja za faktor armiranja 0.8%

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.61.71.81.92.0

0 50 100 150 200 250 300

0.8%

pomak krune (cm)

faktor opterećenja

Page 36: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Horizontalna (σxx) naprezanja tornju; faktor opterećenja χ=1.5; faktorarmiranja 0.8%

Unutrašnji sloj (layer) Vanjski sloj (layer)

σyy

Smje

r vje

tra

σyy

σxx

τxy

τxy

σxx

Page 37: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Vertikalna (σyy) naprezanja tornju; faktor opterećenja χ=1.5; faktor armiranja0.8%

Unutrašnji sloj (layer) Vanjski sloj (layer)

σyy

Smje

r vje

tra

σyy

σxx

τxy

τxy

σxx

Page 38: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Posmična (τxy) naprezanja tornju; faktor opterećenja χ=1.5; faktor armiranja0.8%

Unutrašnji sloj (layer) Vanjski sloj (layer)

σyy

Smje

r vje

tra

σyy

σxx

τxy

τxy

σxx

Page 39: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

Rezultati modalne analize

1. svojstveni oblikT =1.092 s1

3. svojstveni oblikT =0.864 s3

4. svojstveni oblikT =0.780 s4

2. svojstveni oblikT =0.925 s2

Page 40: 3_4_Model Ponasanja Betonskih Konstrukcija

• Toranj je opterećenharmonijskim ubrzanjempodloge čije su karakteristikeprikazane na crtežu, jer se zausvojeno harmonijsko ubrzanjemogu definirati graniceočekivanog rješenja.

• Usvojena je amplituda ubrzanjapodloge od 0.2g. Frekvencijapobude ωp odabrana je daodgovara veličini frekvencijeprvog svojstvenog vektora (ωp=ω1=5.75 rad/s). Korištena jeimplicitna vremenska integracija(∆t=0.01 s) i dijagonalna matricamasa. Korišteno je 5% Rayleigh-ovog konstrukcijskog prigušenja.

)tsin(g2.0d pω⋅=&&

d&& pT

t=7.64 s

t

0.2 g

0.2 g

)tsin(g2.0d pω⋅=&&

d&& pT

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

12.0

13.0

14.0

15.0

16.0

17.0

18.0

19.0

20.0

21.0

22.0

23.0

24.0

25.0

Elastični model

Nelinearni model

vrijeme (s)

pomak (m)

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

12.0

13.0

14.0

15.0

16.0

17.0

18.0

19.0

20.0

21.0

22.0

23.0

24.0

25.0

Elastični model

Nelinearni model

vrijeme (s)

ubrzanje (m/s2)