MODELI PONAANJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA
Ponaanje materijala:
Ponaanje materijala moe biti: a) elastino; b) elasto-plastino;
c) s omekanjem Model: d) elasto-plastini; e) elasto-idealno
plastini; f) krut-idealno plastini dU energija deformacije; dU* -
komplementarna energija deformacije; dD disipirana (iskoritena,
izgubljena) energija [po jedinici volumena]
Openito o betonu:Beton sloeni materijal koji nastaje ovravanjem
smjese agregata, cementa i vode. Ponaanje betona ovisi o: * vrste i
koliine cementa * vrste i granulometrijskog sastava agregata *
obliku i veliini agregata * koliini vode * proporcijama mjeavine *
temperaturi i vlanosti sredine * uvjetima optereenja Kvalitet
betona obino je dan u funkciji njegove vrstoe u uvjetima stanja
jednoosnog tlaka ispitanog na uzorku starosti od 28 dana, pri emu
je uzorak betona uvan u strogo propisanim uvjetima. Vlana vrstoa
betona je mala u odnosu na tlanu, ali ne i beznaajna. Ona se obino
kree unutar podruja 8-12 % tlane vrstoe.
Eksperimentalno ispitivanje jednoosne vrstoe betona
Naini ispitivanja tlane vrstoe betona: a) uzorak: valjak; b)
uzorak: kocka; c) usporedba veliine i oblika uzorka na dobivene
rezultate tlane vrstoe
2 fct 0.3 3 fck
Naini ispitivanja vlane vrstoe betona: a) direktna metoda; b)
metoda savijanja uzorka; c) metoda dvostrukog udarca; d) metoda
cijepanja valjka
Jednoosni tlak: a) prikaz odnosa naprezanje-deformacija za razne
veliine uzorka; b) i c) naini sloma uzorka cijepanje i raspucavanje
(sliding & splitting); d) uzduna i poprena deformacija; e)
utjecaj vrstoe betona na omekanje betona; f) utjecaj vrstoe valjka
na otpornost na razliite vrste sloma
Eksperimentalna ispitivanja dvoosne vrstoe betonaEksperimentalna
ispitivanja betona u stanju dvoosnog naprezanja prikazana su preko
radova Kupfera, Hilsdorfa i Rscha (1969.), te zatim Nelissena
(1972.), van Miera (1986.) i Nimure (1991.). Kupfer, Hilsdorf i
Rsch su izveli niz ispitivanja i publicirali prve rezultate na
podruju ispitivanja betona pod vieosnim stanjem. Testirali su 228
uzoraka optereena dvosmjernim naprezanjem razliitih omjera.
Beton u stanju dvoosnog naprezanja: iznad linije su normalni
betoni, a ispod linije betoni visokih vrstoa.
Odnosi naprezanje-deformacija za beton u podruju tlak-tlak
Odnosi naprezanje-deformacija za beton u podruju tlak-vlak
Odnosi naprezanje-deformacija za beton u podruju vlak-vlak
Za stanje dvoosnog naprezanja mogu se izvui sljedei zakljuci: -
Veza naprezanje-deformacija u podruju tlanog naprezanja je izrazito
nelinearna, dok je u podruju vlanog naprezanja gotovo linearna; -
Tlana vrstoa raste u podruju dvosmjernog tlaka. Maksimalni prirast
vrstoe, u odnosu na jednoosnu, iznosi priblino 25%, i dobiven je
kod omjera popreno nap./uzduno nap. = 0.5. Pri omjeru popreno
nap./uzduno nap. = 1.0, prirast vrstoe iznosi priblino 16%. - U
podruju stanja tlak-vlak i vlak-tlak, vrstoa opada skoro linearno
kako raste vlano naprezanje. - vrstoa betona u stanju dvosmjernog
vlaka je gotovo ista kao ona u uvjetima jednosmjernog vlanog
naprezanja. Duktilnost betona u uvjetima stanja dvoosnog naprezanja
ima razliite vrijednosti - U uvjetima jednoosnog i dvoosnog tlaka,
prosjena vrijednost maksimalne tlane deformacije iznosi oko 3.5, a
prosjena vrijednost maksimalne vlane deformacije varira od 2.0 do
4.0. - Duktilnost u vlaku je mnogo vea u uvjetima stanja dvoosnog
tlaka, nego ona u uvjetima stanja jednoosnog tlaka - U podruju
naprezanja tlak-vlak, veliine glavne vlane i tlane deformacije kod
sloma opadaju s prirastom vlanog naprezanja - U uvjetima stanja
jednoosnog i dvoosnog vlaka prosjena vrijednost maksimalne glavne
vlane deformacije je oko 0.08. Uoljivo je da beton podnosi znatno
vee indirektne vlane deformacije nego direktne. Vaan zakljuak ovih
dijagrama jest taj da su omjeri razliitih nivoa naprezanja, u biti
nezavisni od omjera dvoosnih naprezanja. Ovim se podrazumijeva da
se mogu uzeti isti funkcionalni oblici za definiranje razliitih
nivoa naprezanja u polju naprezanja (injenica koja se koristi u
modeliranju ponaanja betona).
Promjena volumena takoer je nelinearna! - Kod priblino 95%
nosivosti dostie se minimalni volumen. Neto prije te granice na
krivulji se pojavljuje toka infleksije, koja ustvari ukazuje na
pojavu veeg broja mikropukotina. - U blizini granice sloma dolazi
do poveanja volumena. Ovu pojavu nazivamo dilatancija (dilatancy),
i praena je progresivnim razvojem mikropukotina. - Poissonov broj
ostaje priblino konstantan do vrijednosti naprezanja od 50-60%
graninog naprezanja. U podruju dvosmjernog tlaka on iznosi oko
0.20, u podruju dvosmjernog vlaka oko 0.18, dok se u podruju
tlak-vlak kree izmeu 0.18 0.20, to uglavnom ovisi o svojstvima
agregata i veziva. - U podruju dvosmjernog tlaka modul elastinosti
betona je neto vei nego u podruju jednosmjernog tlaka.
Eksperimentalna ispitivanja troosne vrstoe betonaRezultati
ispitivanja betona u stanju troosnog naprezanja preuzeti su iz
radova Richarta (1969.). Oito je da postoji znaajan prirast vrstoe
i deformacija pod prirastom trosmjernog tlaka. Kod graninog
optereenja dobivena je uzduna deformacija od preko 60, to je 20 do
30 puta vie od one dobivene u uvjetima jednoosnog tlaka (priblino
2.0 do 3.5). Slino tome granina naprezanja narasla su preko 7 puta.
Balmer je dobio ak vei prirast. Prikazani dijagram dobiven je pomou
ureaja s tzv. Kontroliranim naprezanjem, pa je na taj nain mogue
pratiti beton do dostizanja njegove vrstoe. Ponaanje betona nakon
dostizanja maksimalnog naprezanja, u podruju tzv. Omekanja
(stiffening) mogue je pratiti pomou ureaja s kontroliranom
deformacijom. Ovo ponaanje je jo uvijek nedovoljno istraeno
Veza hidrostatskih i devijatorskih veliinaDijagram prikazuje
odnos volumenske deformacije v u odnosu na prvu invarijantu
naprezanja I1. Krivulje su okupljene i sugeriraju gotovo jednoznane
veze izmeu hidrostatske deformacije i hidrostatskog naprezanja za
najvei dio podruja optereenja. Toke u kojima se krivulje razilaze,
zbog nagle promjene volumena, smjetene su na veoma uskom graninom
podruju. Neznatno odstupanje krivulja moe nastati zbog realne
zavisnosti od devijatorskih naprezanja, to je potpuno vjerojatno u
krtim materijalima kao to je beton (osobito kad je izraenije
razvijeno mikropucanje), meutim ovo odstupanje nije znaajno. Vidi
se da sve do kritinog optereenja postoji gotovo jednoznana veza
izmeu volumne deformacije i prve invarijante naprezanja.
v = (1 + 2 + 3 ) 3 I1 = 1 + 2 + 3
Prosjene krivulje v u odnosu na prvu invarijantu naprezanja I1,
za neke uzorke prikazane su na donjem dijagramu. Upadljivo obiljeje
tih krivulja je da su gotovo linearne. Nagibi ovih krivulja
predstavljaju tangentni zapreminski modul, K, koji je konstantan za
linearno elastian materijal.
v = (1 + 2 + 3 ) 3 I1 = 1 + 2 + 3
Podesan odnos devijatorskog naprezanja i deformacije je odnos
oktaedarskog posminog naprezanja i deformacije, budui da su oboje
direktno povezani s drugim invarijantama tenzora devijatorskog
naprezanja i deformacije (ovaj dio naprezanja i deformacije
definira promjenu oblika). Na dijagramu je prikazan odnos okt u
odnosu na okt gdje je vidljiva gotovo jednoznana veza za najvei dio
podruja. Nagibi ovih krivulja predstavljaju tangentni modul smika:
G, koji je konstantan kod modela linearne elastinosti. Meutim,
upotreba oktaedarskih veliina podrazumijeva da je materijal
izotropan za vrijeme optereivanja, pa da je, na taj nain i G
izotropan. okt = okt 1 3 2 = 3
(1 2 )2 + ( 2 3 )2 + ( 3 1 )2 (1 2 )2 + ( 2 3 )2 + ( 3 1 )2
Stupanj izotropije moe se procijeniti izraunavanjem omjera
devijatorskih naprezanja i devijatorskih deformacija u ortogonalnim
smjerovima, ime se dobivaju vrijednosti sekantnog modula smika:Gi =
i v ; 2( i v ) v = 1 + 2 + 3 3 ; v = 1 + 2 + 3 3
Za izotropan materijal vrijednosti sekantnog modula smika su
identine. Kako je vidljivo s dijagrama, za beton su dobivene veoma
sline krivulje, pa je pretpostavka izotropije zaista opravdana.
Jednoosni model betonaModel ponaanja betona u tlaku prema
EC-2
fck fcd
Jednoosna karakteristina tlana vrstoa betona definirana
jednoosnim testom Jednoosna raunska tlana vrstoa betona definirana
jednoosnim testom
cfcd
c = fcd
fcd =
fck c
Ecf c = cd (4 c) c 4
Poetni modul elastinosti betona
E c = 9.5 3 fck + 8
[GPa]
fctc 23.5
Raunska vlana vrstoa betona2 fct 0.3 3 fck
2
cv v maxf ct
Deformacija pojave prve pukotine= fct/Ec Maksimalna vlana
deformacija betona iza koje vrstoa pada na 0
Neki modeli ponaanja betona u vlakuf ct f ct
v max = 15 30 vp
0 . 3 0 .7
f ct
f ct
0 .5 0 .7
f ctEc Ec Ec Ec
vp
vp
v max
vp
v max
vp
v max
Dvoosni model betonaRazvijeno je i predloeno mnotvo matematikih
modela u svrhu simulacije ponaanja betona. Globalno, moemo
razlikovati dvije klase modela: (a) fenomenoloki modeli, kojima se
nastoji to bolje reprezentirati makroskopsko ponaanje materijala, s
naglaskom na jednostavnosti primjene modela; (b) strukturni modeli,
koji polaze od temeljnih svojstava materijala (kemijski sastav
materijala), pri emu bi se makroskopska svojstva trebala dobiti kao
posljedica.
teenje 2
tlak-tlak
f cd tlak-vlak
Usvojeni uvjet poputanja
s s ime 1= trije 2
pukotine
O
Kupfer-ov uvjet poputanja
Von Mises-ov uvjet poputanja
Pokuaji da se fizikalne konstante materijala izraze f ct u
funkciji molekularnih parametara jo uvijek nisu dali upotrebljive
rezultate. vlak-vlak Meu najznaajnije fenomenoloke modele ubrajaju
se Dvoparametarski model, Troparametarski model, etveroparametarski
model, Peteroparametarski model, Hipoelastini model. Od strukturnih
modela najpoznatiji su: Mikroravninski model temeljen na endohronoj
teoriji, Modeli temeljeni na diskretnim elementima.
f ct
vlak-tlak pukotine
f cd
1
teenje
Dvoosni model betonaU nastavku je prikazan dvoparametarski model
betona. Odabrani model uzima u obzir dominantne nelinearne
karakteristike betona. U podruju vieosnog tlaka beton se tretira
kao neelastini materijal. Pretpostavlja se linearno ponaanje do
granice teenja, te nelinearno ponaanje od granice teenja do granice
loma. U stanju vlak-vlak i vlak-tlak pretpostavlja se elastino
ponaanje do granice definirane vlanom vrstoom, nakon ega se uzima u
obzir otvaranje pukotina u betonu. Pri tome se vri postepena
redukcija vlanih i posminih naprezanja (vrstoa). Za definiranje
granice poputanja koriste se tri razliita uvjeta: modificirani Von
Mises-ov kriterij u dvoosnom tlaku, te kriterij maksimalnih glavnih
naprezanja za pukotine u podruju vlak-tlak i vlak-vlak.
teenje 2
tlak-tlak
f cd tlak-vlak
Usvojeni uvjet poputanja
s s ime 1= trije 2
pukotine
O
Kupfer-ov uvjet poputanja
Von Mises-ov uvjet poputanja f ct vlak-tlak pukotine f cd 1
vlak-vlak
f ct
teenje
Materijalni model betona u tlaku - uvjet poputanja
(teenja)Elastino ponaanje je pretpostavljeno dok se ne dosegne
granica poputanja. Nakon granice poputanja materijal se ponaa
plastino. Plastino ponaanje je karakterizirano nepovratnom
plastinom deformacijom. U ovom modelu plastina deformacija nastaje
trenutno kada se prekorai granica poputanja. Ovo stanje naprezanja
je definirano uvjetom plastinosti. Dakle, za opis ponaanja
materijala do zadovoljenja uvjeta plastinosti pretpostavlja se
elastino ponaanje, a nakon toga potpuno plastino ponaanje.F( ) = +
x y + 32 x 2 y
teenje 2
tlak-tlak
f cd tlak-vlak
Usvojeni uvjet poputanja
s s ime 1= trije 2
pukotine
O
Kupfer-ov uvjet poputanja
Von Mises-ov uvjet poputanja f ct vlak-tlak pukotine f cd 1
[(
)
2 xy
] + f (cd
x
+ y ) fcd = 0
vlak-vlak
f ct
= 1.355 ; = 0.3552 ( 2 )
fc
d pp d1
p d2
F( 1, 2, ) 1 ( 1 )
Ec
c
teenje
Materijalni model betona u tlaku - uvjet drobljenjaDrobljenje
(slom) betona definirano je u funkciji deformacija. Deformacijski
uvjet sloma definira se slino Von Mises-ovom uvjetu poputanja, s
time to su naprezanja zamijenjena deformacijama. k predstavlja
lomnu deformaciju iz jednoosnog pokusa (obino 3.0-5.0).
teenje 2
tlak-tlak
f cd tlak-vlak
Usvojeni uvjet poputanja
s s ime 1= trije 2
pukotine
3 C( ) = 2 + 2 x y + 2 k = 0 x y xy 4
O
Kupfer-ov uvjet poputanja
fc
Von Mises-ov uvjet poputanja f ct vlak-tlak pukotine f cd 1
vlak-vlak
f ct
Ec
c
teenje
Materijalni model betona u vlaku - pojava pukotinePojava
pukotina u vlanim zonama od presudnog je utjecaja na nelinearno
ponaanje betona. Formiranje pukotina u nekoj toki nastaje nakon
prekoraenja vlane vrstoe betona. Njihova pojava izaziva gubitak
vlane vrstoe i vlane krutosti. U vlanom stanju naprezanja betona
razlikujemo elastino i krto podruje. Do granice makro pukotina
beton tretiramo kao elastini materijal, a nakon pojave makro
pukotina kao krti. Pretpostavljamo da se pukotine formiraju u
ravninama okomitim na smjer glavnih vlanih naprezanja im se dosegne
vlana vrstoa betona fct. Pukotine se mogu modelirati diskretno ili
raspodijeljeno. Model raspodijeljenih pukotina pretpostavlja
prosjenu pojavu smjera i veliine pukotina na odreenom dijelu
konanog elementa. Ovaj model i nakon pojave pukotina pretpostavlja
da materijal ostaje kontinuum a pukotina se simulira promjenama u
materijalnim karakteristikama materijala.x
izracunati smjer pukotine
Gauss tocka
podrucje koje Gauss tocka predstavlja
y
xy y
y* p 2 1 x cr 1 2 Eb = 0 x*
2 xy
xy
cr 1 2 xy y
1
x
(a) predpukotinsko stanje* y
(b) pojava pukotine * xy * * * xy* x
t*
* x
* xy
* n
cr * * *xy t*
* n
* y
(c) naprezanje nakon pojave pukotine
Nakon prekoraenja vlane vrstoe u odreenoj toki dolazi do
formiranja pukotine i na tom mjestu beton vie nema vlane vrstoe.
Meutim, izmeu pukotina beton moe preuzimati vlana naprezanja.
Dakle, i u stanju nakon pojave pukotina beton prosjeno nosi na
vlak. Porastom veliine vlane deformacije i irenjem pukotina ta
nosivost opada prema nuli. Ovu pojavu nazivamo vlano omekanje
betona.
= 0.5fzE=0
fz1 E
vpa) pocetno rastuce opterecenje
v max
fz05 0.7 . . v max = 00020
Nema pukotina
Otvorena druga pukotina
fz i
i
Ei
iOtvorena prva pukotina Obje pukotine zatvorene
v max
b) rasterecenje i ponovno opterecenje
1 Ei = fzPrva pukotina zatvorena Obje pukotine otvorene
v max ; i
i
vp i v max
Podaci iz niza pokusa pokazuju da se odreeni iznos posminog
naprezanja prenosi preko povrine raspucalog betona zbog djelovanja
armaturnih ipaka i zaglavljivanja zrna agregata. Pri tome se
posmina krutost najee modelira u ovisnosti od irine pukotine,
premda veliina zrna agregata i postotak armature u presjeku te
dimenzija ipke takoer imaju izvjestan utjecaj. Uobiajeni nain
modeliranja posmine krutosti betona je redukcija modula posmika,
pri kojem je modul posmika raspucalog betona linearno zavisan o
normalnoj deformaciji okomito na ravninu pukotine i definiran je
izrazom:
= G G1.0
0.5
0.0
n
max = vp
G * = G max = vpgdje je empirijski faktor koji ovisi o tipu
sloma i za standardne betone preporua se u iznosu 10-15. Ukoliko
slom nastaje uslijed savijanja koristi se manja vrijednost, a za
slom uslijed posmika vea vrijednost. Preporua se da krajnja
deformacija bude u granicama:
max = 0.001 0.0025
Materijalni model armatureU svrhu modeliranja armirano betonskih
konstrukcija, osim betona potrebno je poznavati i ponaanje
armaturnog elika. Bitno je napomenuti da je, u odnosu na beton,
ponaanje elika daleko bolje poznato. U armirano betonskim
konstrukcijama armaturu najee ugraujemo u obliku ipaka ili kablova.
Armatura prenosi uzdune vlane i tlane sile. Njeno ponaanje se moe
dobro aproksimirati jednodimenzionalnim modelom, tj. jednoosnim
stanjem naprezanja. Tipini dijagram naprezanjedeformacija () za
armaturu u uvjetima kratkotrajnog statikog naprezanja, prikazan je
na crteu. Openito se pretpostavlja da je ponaanje elika identino u
vlaku i tlaku.900 800 700 600 500 400 300 200 100 0
a [MPa]
BiA 680/800
MA 500/560 RA 400/500 GA 240/360
a [%] 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
+ a [MPa] y E vp
E
a
Provedba numerike analizeKoritenjem principa virtualnog rada,
jednadba dinamike ravnotee konstrukcije moe se napisati u sljedeem
obliku:
&& & ()T d (u )T ( b su u )d (u )T t d = 0 t
U gornjem izrazu u je vektor virtualnih pomaka, - vektor brzina
a - vektor ubrzanja; je vektor pridruenih virtualnih deformacija; b
je vektor volumnih, a t vektor povr{inskih sila; je vektor
naprezanja; s gusto}a, parametar priguenja, podruje konstrukcije, a
t podruje konstrukcije izloeno djelovanju povrinskih sila. Izraz
(2.66) openito vrijedi za sluaj materijalne i geometrijske
nelinearnosti. U sluaju kada se vremenski utjecaji mogu zanemariti,
prethodna jednadba se svodi na statiku jednadbu:
()T d (u )T t d = 0 t
Ako se podruje konstrukcije diskretizira mreom konanih
elemenata, dobiva se sljedea linearna diferencijalna jednadba
dinamike ravnotee sustava
(C s)ij = N T N sj d sis s
Matrica priguenja
&& & M su + C su + R( u ) = f s
( M s)ij = N T s N sj d siR i ( u ) = B T i d is
Matrica masa
Vektor unutranjih otpornih sila Vektor vornih sila
( f s ) i = N T b i d + N T t i d si sis t
Vektor unutranjih sila R(u) se moe napisati i u obliku:
R( u ) = K u
;
K = R u
gdje je K matrica krutosti konstrukcije. Za realne konstrukcije,
veza deformacija-pomak je openito nelinearna, tj.
=Bu
;
B = B( u )
to predstavlja tzv. Geometrijsku nelinearnost. Veza
naprezanje-deformacija () je tako|er openito nelinearna, to
predstavlja tzv. materijalnu nelinearnost. Veza se moe napisati i u
obliku:
=D
;
D = D( u )
gdje je D matrica veze naprezanje-deformacija i u sluaju
elastinog materijala predstavlja dobro poznatu matricu elastinih
konstanti. Veza poznata je pod nazivom konstitutivni zakon ili
model materijala. D = h E ( 1 2 E E ) = h d
R i (u) = B D B dT i s
D 22 = h E 2 ( 1 E 2 E1 ) = h d 222 12
11
1
12
2
1
11
Linearni oblik matrice D za ljuske:
D11 D12 0 0 0 0 0 0 D D 0 0 0 0 0 0 21 22 0 0 D 33 0 0 0 0 0 0 0
0 D D 0 0 0 44 45 D= 0 0 0 0 0 D 54 D 55 0 0 0 0 0 0 D 66 0 0 0 0 0
0 0 0 D 77 0 0 0 0 0 0 0 0 D88
2 D12 = h 12 E 2 ( 1 12 E 2 E1 ) = h d 12
D 33 = h G 12 = h d 33
2 D 44 = 1 12 h 3 E1 ( 1 12 E 2 E1 ) = 1 12 h 3 d 11
2 D 55 = 1 12 h 3 E 2 ( 1 12 E 2 E1 ) = 1 12 h 3 d 22
2 D 45 = 1 12 h 3 12 E 2 ( 1 12 E 2 E1 ) = 1 12 h 3 d 12
D 66 = 1 12 h 3 G 12 = 1 12 h 3d 33 D 77 = h K1 G 13 = h d
44
D88 = h K G 23 = h d 55 2
TLAK-TLAK
MODEL MATERIJALA ZA DINAMIKO OPTEREENJE: BETON Brzina
deformacije u klasinim jednoosnim testovima je reda veliine 10-5
/s, dok u sluaju otrih potresa beton u kritinim zonama moe imati
brzinu deformacije reda veliine 10-2 /s. Vee brzine deformacije
mogu se pojaviti kod udarnih optereenja.Odnos dinamike i statike
vrstoe (fcd/fcs) 1.0 1.5 2.0 Suariz i ost. [S.14] Mahin i ost.
[M.1] Cowell [C.16] Scott i ost. [S.3] Watstein [W.2] Shah i ost.
[S.5] Dilger i ost. [D.3] Kaplan [K.1]
2 VLAK-VLAK VLAK-TLAK f cd fcsn na l rcio nja po p r o r ez a p
u t n ap ost i
f td f ts cu crPUKOTINE
1
tu
DROBLJENJE
elastino fcs fcd ( )
E cs
Ecd ( ) 1 . . 2> 1
.
.
elastino
1
=
2
fcs fcd ( )
.
.
plastino plohe poputanja
statiko optereenje dinamiko optereenje
krivulje poputanja
a) Dvo-dimenzionalna prezentacija
b) Jedno-dimenzionalna prezentacija
Soroushian i ost. [S.10] Dilger i ost. [D.3] Seabold [S.4] Radni
[R.6]
& f cd = f cs 1 + 0.08 log10 1 + 105 f cd f cs10-4 10-3 10-2
10-1 1 . Brzina deformacije (/sec) 10
[
(
)]
10-5
Odnos dinamikog i statikog modula elastinosti (Ecd/E cs) 1.0
1.5
2 & E cd = E cs 1 + 0.05 log10 1 + 105 ;
[
(
)]
E cd E cs
Cowell [C.16] Watstein [W.2] Shah i ost. [S.5]
Soroushian i ost. [S.10] Radni [R.6]
10
-5
10
-4
10
-3
10 10 . Brzina deformacije (/sec)
-2
-1
1
10
al lom
al statiko optereenje . < 10-4/sec -fas -fad ( e) krivulje
poputanja
Ea
.
dinamiko optereenje . -4 > 10 /sec
lom
MODEL MATERIJALA ZA DINAMIKO OPTEREENJE: ELIK Moe se rei da je
ponaanje elika pod jednoosnim dinamikim optereenjem dobro poznato,
iako se eksperimentalni rezultati poneto razlikuju. Kod toga je
ponaanje elika u tlaku i vlaku praktiki jednako. S porastom brzine
deformacije: poveava se gornja i donja granica teenja, vrstoa i
modul elastinosti, te smanjuje duktilnost elika.
fad
. ( )e
> .2 1 1 Ea Ea
. .
fas
3 & f ad = f as 1 + 0.006 log10 1 + 10 4 e ;
[
(
)]
f ad f as
Odnos dinamike i statike gornje granice poputanja (fad/fas)
1 - Aspden i ost. [A.6] 2 - Chiang [C.8] 3 - Campdbell [C.1] 4 -
Harding [H.4] 5 - Kraft i ost. [K.6] 6 - Leblois i ost. [L.1] 7 -
Wright i ost. [W.5] 8 - Radni [R.6]
2.2
7 3
2.0
1.8
8 2 4 2 2
1.4
f as [MPa] 100 - 200 200 - 300 300 - 400 > 400
1.6
1
1.2
5
6
1.0
1 10-4 10-3 10-2 10-1 1 . Brzina elastine deformacije (a/sec) 10
102
Primjer: toranj za hlaenje Port GibsonGeometrijske
karakteristike104.7 cm 20.3 cm 30.5 m 6.98 m 38.6 m kruna
15
38.33 m 61.58 m 20.3 cm
drijelo
120.0 m 25.20 m
24.0 cm 25.20 m 28.7 cm 25.20 m 34.2 cm 76.2 cm 6.36 m 58.12 m
dno
Materijalne karakteristikeBetonModul elastinosti Poisson-ov
koeficijent Gustoa Tlana vrstoa Vlana vrstoa EB (GN/m ) b b (kN/m3)
fB (MN/m2) fz (MN/m2)2
Geometrija tornja opisana je s dvije hiperbole. Izraen je od
armiranog betona, s karakteristikama materijala prikazanim u
tablici. Faktor armiranja tornja za hlaenje Port Gibson varira
izmeu 0.3% do 1.1% po visini. Armaturne ipke su postavljene u
dvostrukom sloju uz unutranju i vanjsku stranu tornja u smjeru
paralela (horizontalna armatura) i meridijana (vertikalna
armatura).
Armatura28.3 0.18 24.3 34.5 3.2 Modul elastinosti Poisson-ov
koeficijent Gustoa Modul ovravanja Granica teenja Granica poputanja
Ea (GN/m2) a a (kN/m3) H (GN/m2) Y (MN/m2) u (MN/m2) 205.9 0.3 78.5
10.3 413.7 620.5
Numeriki model
=+1 Dva sloja armature =1
Dva sloja armature
Toranj je analiziran za optereenje vlastitom teinom i optereenje
vjetrom. Optereenje je nanoeno postupno, u inkrementima, tako da se
izbjegnu nestabilnosti koje mogu nastati zbog loma ili drobljenja
betona pod naglim nanoenjem optereenja. U numerikoj analizi pomak
je mjeren u kruni na meridijanu najoptereenijem vjetrom.
Hiperboloidna ljuska tornja za hlaenje Port Gibson modelirana je
9-vornim degeneriranim elementima ljuske. Ljuska je podijeljena u
16 elemenata u smjeru paralela i 12 elemenata u smjeru meridijana.
Svaki element ljuske se sastoji od 6 slojeva (layera) betona i
etiri sloja armature, uz svaki rub po dva. U numerikoj analizi
usvojen je konstantni faktor armiranja da bi se dobio jasniji uvid
utjecaja faktora armiranja na graninu vrstou tornja.
Rezultati statike analize2.0 faktor optereenja 0.8% 0.6% 1.0
0.2% 0.5 pomak krune (cm) 0.0 0 50 100 150 200 250 300 0.4%
1.5
Prikaz pomaka konstrukcije za faktor optereenja =1.50 i faktor
armiranja 0.8%; (pomaci uveani 10 puta)
Prikaz propagacije pukotina u vanjskom sloju (layeru) tornja za
faktor armiranja 0.8%faktor optereenja =1.10 faktor optereenja
=1.20 faktor optereenja =1.25
faktor optereenja =1.30
faktor optereenja =1.40
faktor optereenja =1.50
Prikaz pokaka krune tornja za faktor armiranja 0.8%
2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0
faktor optereenja 0.8%
pomak krune (cm) 50 100 150 200 250 300
Horizontalna (xx) naprezanja tornju; faktor optereenja =1.5;
faktor armiranja 0.8%
yySmjer vjetra
xx
xy yy
xx xy
Unutranji sloj (layer)
Vanjski sloj (layer)
Vertikalna (yy) naprezanja tornju; faktor optereenja =1.5;
faktor armiranja 0.8%
yySmjer vjetra
xx
xy yy
xx xy
Unutranji sloj (layer)
Vanjski sloj (layer)
Posmina (xy) naprezanja tornju; faktor optereenja =1.5; faktor
armiranja 0.8%
yySmjer vjetra
xx
xy yy
xx xy
Unutranji sloj (layer)
Vanjski sloj (layer)
Rezultati modalne analize
1. svojstveni oblik T1=1.092 s
2. svojstveni oblik T2=0.925 s
3. svojstveni oblik T3=0.864 s
4. svojstveni oblik T4=0.780 s
Toranj je optereen harmonijskim ubrzanjem podloge ije su
karakteristike prikazane na crteu, jer se za usvojeno harmonijsko
ubrzanje mogu definirati granice oekivanog rjeenja. Usvojena je
amplituda ubrzanja podloge od 0.2g. Frekvencija pobude p odabrana
je da odgovara veliini frekvencije prvog svojstvenog vektora (p=
1=5.75 rad/s). Koritena je implicitna vremenska integracija (t=0.01
s) i dijagonalna matrica masa. Koriteno je 5% Rayleighovog
konstrukcijskog priguenja.
0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.10
0.0
pomak (m)Elastini model Nelinearni model
vrijeme (s)1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0
13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 20.0 21.0 22.0 23.0 24.0
25.0
20.0 15.0 10.0
ubrzanje (m/s )Elastini model Nelinearni model
2
&& d 0.2 g
Tp&& = 0.2 g sin( t ) d p
5.0 0.0 -5.0 -10.0 -15.0
t
vrijeme (s)0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0
12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 20.0 21.0 22.0 23.0 24.0
25.0
0.2 g
-20.0
t=7.64 s
