[3] Transportni Problem

7/27/2019 [3] Transportni Problem

1/29

Operaciona istraìvawa - algoritmi i metode 81

3.0 TRANSPORTNI PROBLEM

3.1 Uvod u transportni zadatak

Transportni zadatak jeste specijalan slu~aj op{teg zadatka linearnogprogramirawa. Danas ova oblast pripada operacionim istraìvawima, sa karakte-ristikom intenzivnog razvoja u periodu od posledwih pet decenija. Pojava teorij-skih razmatrawa zadataka najboqeg transporta vezuje se za tridesete godine ovogaveka (1939.), kada je ruski matemati~ar Kantorovi~ prvi definisao transportniproblem (TP), sa linearnim planom distribucije resursa [36]. Me|utim, ameri~kimatemati~ar Hi~kok (Hitchcock, L.F.) par godina kasnije (1941.) oblikuje model TPi re{ava ga, pa je nau~ni svet prihvatio ovaj model transportnog zadatka kao

model Hi~koka i ozna~ava ga kao zna~ajan datum razvoja nauke o matemati~komprogramirawu. Kod nas, prvi rad iz oblasti transporta i uop{te operacionih ist-raìvawa, objavquje Ivanovi}, V. 1940. god., kojim se u nekoliko pravila formu-li{e model problema prevoza koli~ine materijala sa minimalnim brojem vozila[82]. Kasnije razvijeni modeli TP, proiza{li su iz metodologije linearnogprogramirawa, ali se wihov razvoj bazirao na novootkrivenim, znatno jednos-tavnijim algoritmima nego {to su to algoritmi LP. Tome su doprineli i samiautori izvornih metoda LP, uvi|aju}i potrebu za efikasnijim, specijalnimmetodama, ~ija je brzina konvergencije ka optimalnom re{ewu ve}a nego kod ve}klasi~nih metoda, kakva je npr. simplex. Dancig 1951. god. objavquje re{ewe TP

zasnovano na metodi simplex mnoìteqa. U periodu prve polovine pedesetihgodina objavquju se novi radovi Vogela (Vogel), Takera (Tucker), Barcova (Burcov)u kojima se defini{u razli~ite modifikacije transportnog zadatka. Metodaârlsa i Kupera (Charls & Cooper) nastaje 1953. god., i danas je poznata kaometoda skakawa s kamena na kamen (Stepping Stone Method). Naredne godineHenderson i Stejfer (Handerson & Stajfer) objavquju poboq{anu verziju ovepopularne metode. Metodu optimalnog transporta prezentovanu u ovom poglavquautorizovao je Fer-guson (Ferguson) 1955. god. kao modifikovano-diferencijalnumetodu, ili skra}eno Mo-Di metodu. Ford i Fulkerson (Ford & Fulkerson) su 1956.god. objavili metodu koja je ~esto zastupqena u literaturi o operacionim

istraìvawima kao metoda Forda i Fulkersona. Trendovi razvoja i primenemetoda transporta su nastavqeni i u narednim decenijama, uz sve ve}u aplikacijukompjuterskih programa sa algo-ritmima najefikasnijih metoda koje su upomenutom periodu nastale.

3.2 Op{ti model transportnog problema

U transportnom problemu (zadatku) linearnog programirawa, naj~e{}e se bavimoproblemom minimizacije ukupnih tro{kova transporta: resursa, putnika, energije,informacije i sl., koji u realnim uslovima mogu predstavqati veliki izdatak za

odre|en ekonomski sistem. Osnovnim modelom TP se pretpostavqa da je koli~inaresursa koju treba transportovati odre|ena i da je po svojoj prirodi jednorodna(homogena). Dakle, poznata su: izvori{ta (magacini, skladi{ta) sa odre|enom


2/29


koli~inom resursa koju treba distribuirati do poznatih ponora (odredi{ta,primalac, prodavnice i sl.). Pri tome se postavqa kriterijum minimizacijeukupnih tro{kova, tako da se time postigne najboqe izvr{ewe distribucije sa

strategijom: od kojeg izvori{ta i sa koliko robe treba rasporediti transport potransportnim putevima sve do ponora, pod najpovoqnijim ekonomskim uslovima?Obi~no su, ovim modelom, poznate specifi~ne cene transporta i one predstavqajuekvivalent za duìnu transportnog puta. U tom smislu, obeleìmo izvori{ta sa:I I I Ii m1 2, , , , ,K K , tako da ona sadrè respektivno: a a a a 1 2, , , , ,K Ki m koli~ine

resursa za transport. Pri tome su: b b b b1 2, , , , ,K Kj n kvantumi (kapaciteti) re-

sursa za transport koji priti~u iz mesta izvora u mesto prijema: P P1 2, , ,K P Pj n, ,K

po redu. Ozna~imo (Sl. 27) jedini~ne tro{kove resursa sa cij i koli~ine resursa

sa xij = ? koju treba transportovati od mesta Ii do mesta Pj.

a1

a2

ai

am

b1

b2

bj

bn

cij,x

ijc

i1,x

i1

ci2

,xi2

cij

,xij

cin

,xin

ai bjcij,x

ij

I1

I2

Ii

Im

P1

P2

Pj

Pn

Pj

Ii

I i mi ( , )= 1

P j nj ( , )= 1

Gde su:

Legenda:

Izvori:

Ponori:

Resursna ograni~ewa: a bi j,

Poznate jedini~ne cene:Nepoznati transport:

cij

xij = ?

Izvori Ponori

{ema elementarnog transporta

Sl 27. [ematski prikaz transportnog zadatka

Funkcija ciqa sastoji se u odre|ivawu optimalne koli~ine distribucije xij , pod

uslovom da ukupni tro{kovi budu minimizirani (ili maksimizirani). [ematskiprikaz transporta moè se modelirati tabelarno na slede}i na~in.

(T-28)

P1

P2

..........

I1

I2

Ii

Pj

Pn

Kapaciteti

izvora ai

a1

a2

ai

Im

Potrebe

ponora bj b1 b2..........

bj..........

bn

am

Sjbj =

Siai

.

.

.

.

.

..........

.

.

.

.

.

.....

.....

.....

.....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ponori

Izvori

c11x

11= ?

c12x

12= ?

c1j x

1j= ?

c1n x

1n= ?

c22x

22= ?

c2j x

2j= ?

c21x

21= ?

c2n x

2n= ?

ci2xi2= ?

cij x

ij= ?

ci1xi1= ?

cin x

in= ?

cm2x

m2= ?

cmj x

mj= ?

cm1x

m1= ?

cmn x

mn= ?


3/29


Na osnovu tabelarnog prikaza podataka mo`e se oblikovati funkcija kriterijuma,npr. tipa minimuma, kao zbir funkcija tro{kova na svim relacijama:

(1)

T X c x c x c x c x

c x c x c x c x

c x c x c x c x

c x c x c x c x T X

j j n n

j j n n

i i i i ij ij in in

m m m m mj mj mn mn

( )

min ( )

= + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + +

11 11 12 12 1 1 1 1

21 21 22 22 2 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

K L

K L L

K L L

K L

Prethodni model funkcije tro{kova }e se kra}e formulisati u obliku:

(2) T X c x c x c x c x c xj j j j ij ij mj mj ij ijj

n

i

m

j

n

j

n

j

n

j

n

( ) ( )= + + + + + =

======

1 1 2 2111111

K K

Dakle, transportni tro{kovi su kona~ni i sumarno iznose:

(3) T X c x T X ij ijj

n

i

m

( ) min ( )= ==

11

Ograni~ewa se mogu definisati u odnosu na kumulativne vrednosti transportnihkapaciteta po svakom redu i svakoj koloni, {to se mo`e zapisati u obliku jedna-~ina:

(4)

a

a

a

a

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

1 2

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

m

j n

j n

i i i ij in

m m m mj mn

K L

K L

M M

K L

M M

K L

-ograni~ewa (po redovima)

(5)

bb

b

b

1 11 21 1 1

2 12 22 2 2

1 2

1 2

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

x x x xx x x x

x x x x

x x x x

n

i m

i m

j j j ij mj

n n n in mn

K L

K L

M M

K L

M M

K L

-ograni~ewa (po kolonama)

Po definiciji zatvoreni tip transportnog problema podrazumeva da se ukupnakoli~ina resursa iz svih izvora isporu~uje kompletno ponorima, bez ostatka. U

tom smislu imamo slede}e funkcije ograni~ewa:


4/29


(6) ai ijj

n

x==

1

i bj iji

m

x==

1

. Pri tome je: a bi jj

n

i

m

===

11

, {to sledi iz

prethodnih relacija. Uvaàvaju}i relacije (4) i (5)dobijamo: x xij iji

m

j

n

j

n

i

m

===== 1111

.

Nepoznate vrednosti xij treba tako odrediti da kao posledica stoji minimalna

vrednost funkcije T(X). Broj nepoznatih pri tome iznosi ( )n m . U transportnom

zadatku moèmo razviti, dakle, matricu sa ( )n m kolona, {to se vidi u slede}em

modelu, ako ograni~ewa pi{emo tako da u jednoj koloni do|e samo jedan tipnepoz-nate promenqive xij .

(7)a

a

a

a

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

1 2

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

j n

j n

i i i ij in

m m m mj mn

K L

K L

M O

K L

M O

K L

b

b

b

b

1 11 21 1 1

2 12 22 2 2

1 2

1 2

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

= + + + + +

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

i m

i m

j j j ij mj

n n n in mn

K L

K L

M O

K L

M O

K L

Iako prethodni sistem ograni~ewa sadrì ( )n m+ jedna~ina, od ( )n m

nepoznatih, nisu sve jedna~ine nezavisne. Jedna od tih jedna~ina zavisi od ostalih( )n m+ - 1 i to se moè dokazati. Naime, ako se saberu prvih m-jedna~ina i od

wih oduzme zbir slede}ih ( )n - 1 jedna~ina dobijamo:

(8) x x x xn n in mn i m j n1 2 1 2 1 2 1+ + + + + = + + + + + - + + + + + -K K K K K Ka a a a b b b b ( )

S obzirom da je: a b bi j nj

n

i

m

- ==

-

=

1

1

1

, sledi da je posledwa jedna~ina linearna

kombinacija prethodnih ( )n m+ - 1 jedna~ina. Redosled jedna~ina u ovom dokazu pri

tome nije bitan. Dakle sistem je konzistentan i dovoqan za prora~un sa ukupno( )n m+ - 1 nezavisnih jedna~ina. Nebazi~ne su one koordinate tabele (poqa) koje

su jednake nuli. Bazno re{ewe je ono re{ewe transportnog problema preko kojegse vr{i transport ( )xij > 0 . Da bi ono bilo nedegenerisano potrebno je oformiti

ukupno r n m= + - 1 baznih elemenata. Ovaj broj predstavqa i rang matrice. Akoje r n m< + - 1 tada smo postigli degenerisano re{ewe, ~ime se javqa dodatni

problem transporta. Bazi~no re{ewe ima ukupno n m n m - + -( )1 nula. Prematome, u bazi~nom re{ewu broj bazi~nih promenqivih je jednak rangu r. U


5/29


razvijenoj formi jedna~ina ograni~ewa, svakoj jedna~ini sistema odgovara barjedan red ili kolona te tabele. Dakle, svi redovi i kolone sadrè jednu ili vi{ebazi~nih promenqivih. U suprotnom, dolazimo u kontradikciju sa nekom od

jedna~ina. Ovakvi stavovi omogu}avaju da lak{e do|emo do nekog bazi~nog re{ewa,vode}i ra~una o konzistentnosti tog re{ewa sa sistemom ograni~ewa.

3.3 Metode odre|ivawa bazno dopustivog re{ewa

Svaki zadatak odre|ivawa optimalnog transporta zahteva postavku modelaproblema. Taj postupak obi~no prethodi iteracijama. Nizom iteracija poboq{avase re{ewe transporta, sve do najboqe varijante. Me|utim, i po~etno re{ewezahteva primenu postupaka odre|ene metode, bez obzira {to tom metodom nenalazimo najboqe re{ewe. [to je efikasnija metoda odre|ivawa po~etnog bazno

dopustivog re{ewa, utoliko je i kra}i put do optimalnog re{ewa, prouzrokovanmawim brojem potrebnih iteracija. Ove metode su relativno jednostavne izahtevaju par minuta, aplikacije po jednoj iteraciji, kod jednostavnih modelaproblema. Kre}u se od intuitivnih, sa malim brojem pravila za aplikaciju, npr:

p dijagonalna metoda,p metoda minimalnih cena u redovima,p metoda minimalnih cena u kolonama,p metoda minimalnih cena u tabeli, i sl.,

do metoda sa ne{to sloènijom algoritamskom strukturom, kao npr:

p Vogelova aproksimativna metoda i sl.

Sve ove metode se baziraju se na pretraìvawu i nemaju egzaktno razra|enkriterijum optimalnosti u kvantitativnom obliku. Racionalnije re{ewe sepostiè boqim metodama. U tom smislu, celovito izlagawe ovih neoptimizacionihmetoda nije potrebno, s obzirom na jasne principe koje su kod wih algoritamskidefinisane. U literaturi se navodi ve}i broj metoda transporta, tako da }emoovde izneti samo najinteresantnije.

3.4 Dijagonalna metoda - metodaseverozapadnog ugla

Nalaèwe po~etnog re{ewa, {to je uobi~ajena iteracija ka kona~noj zavr{nojiteraciji (tj. ka optimalnoj varijanti), moèmo dobiti izme|u ostalih ipostupcima dijagonalne metode. Bazi~ne promenqive ili poqa koja programiramo,preko kojih se vr{i transport, raspore|ujemo du` dijagonale koja se kre}e odprvog, gorweg levog ugla, tzv. severnog poqa (1,1) tabele, a zavr{ava uzapadnom poqu (m,n). Otuda i popularan naziv metoda severozapadnog ugla(North-West Method). Dakle, odre|ivawe se vr{i tako {to se po~iwe sa dis-

tribuirawem resursa preko gorweg levog ugla matrice, prezentovane tabele vred-nosti (T-29), i to podmirewem prvog odredi{ta do maksimalno mogu}e koli~ine


6/29


koju moè da primi, ili do potpunog ispra`wewa prvog izvori{ta. Ovaj postupakpovla~i za sobom eliminaciju iz daqeg prora~una i/ili prvi red i/ili prvukolonu matrice, u ovom slu~aju zatvorenog tipa transporta.

(T-29)

Ponori

IzvoriP

1P

2P

3

I1

Potrebe ponora

Ograni~ewa

izvori{ta

bj

i

c11

= 3

x11

= ?

c12

= 5

x12

= ?

c13

= 2

x13

= ?

b3 60=b1 90= b2 145=

P4

c14

= 4

x14

= ?

b4 125=

a1 175=

I2

c21

= 6

x21

= ?

c22

= 4

x22

= ?

c23

= 0

x23

= ?

c24

= 3

x24

= ?a2 110=

I3

c31

= 2

x31

= ?

c32

= 1

x32

= ?

c33

= 7

x33

= ?

c34

= 9

x34

= ?a3 135=

420 420

Pj

Ii

Daqi postupak (T-30/33) ponavqamo po istom principu severozapadnog ugla zapreostali deo matrice nepopuwenih elemenata tabele. Na ovaj na~in smo, zaprimer prema podacima inicijalne tabele dobili jedan plan transporta.Konstatujmo da je re{ewe bazno dopustivo i nedegenerisano, zbog toga {to je( )m n r+ - =1 , gde je:

m = 4 - broj kolona matrice,n = 3 - broj redova matrice,r= 6 - dobijen broj bazno dopustivih re{ewa (broj elemenata u

zavr{noj tabeli (T-33) preko kojih se vr{i transport).Funkcija kriterijuma koja prezentuje tro{kove ovoga re{ewa (T-33) iznosi:

T X c x c x c x c x c x c x( ) = + + + + + = + + + + + =11 11 12 12 22 22 23 23 33 33 34 34 270 425 240 0 70 1125 2130 /nj/.

(T-30/33)Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

903 5 2 4

6 4 3

2 1

0

7 9

I2

(110)

I3

(135) 2

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

903

855 2 4

6 4 3

2 1

0

7 9

I2

(110)

I3

(135) 2

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

903

855 2 4

660

4 3

2 1

0

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

903

855 2 4

660

4 3

2 1

500

107

1259

I2

(110)

I3

(135)2

Obi~no se model baznog re{ewa TP zbog brzine aplikacije oblikuje na osnovu

ove metode, iako se wome dobija u sloènijim slu~ajevima slabiji polazniprogram transporta, koji se naknadno moè poboq{ati racionalnijim metodama.


7/29


8/29


3.7 Metoda minimalnih cena u matrici

Metoda majmawih cena je po jednostavnosti sli~na prethodnom. Postavqaju se

najve}i bazisi xij , tamo gde su cij najmawe. Dakle, uo~avamo minimalnu vrednost u

tabeli, a to je konkretno min{ }ij

ijc c= =23 0 , i na tom mestu lociramo maksimalnu

vrednost transporta x23 60= , koja je konzistentna sa ograni~ewima drugog reda i

tre}e kolone. Slede}a najmawa vrednost cene je c32 1= . Stavqaju}i na tom mestu

bazis od x32 135= , vi{e ne razmatramo tre}i red. Po istom principu popuwavamo

ostala poqa tabele i dobijamo re{ewe u tabeli (T-36), sa ostvarenim ukupnimtro{kovima T X( ) = 905 /nj/. Re{ewa mogu biti vi{evarijantna u slu~aju pojave

skupa istovetnih (minimalnih) cena. Ovde ne postoje posebni prioriteti pri

odabiru cena ako imamo slu~aj vi{e najmawih cena, ve} se to prepu{ta donosiocuodluka. Primenom prethodnih postupaka dobili smo bazno dopustivo nedege-nerisano re{ewe. Me|utim, nije sigurno da je ono i najboqe sa stanovi{takriterijuma minimalnih tro{kova transporta.

(T-36)

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

903

105 2

754

6 4

50

3

2135

1

60

0

7 9

I2 (110)

I3

(135)2

Pj

Ii

3.8 Metoda Vogela

Ovom metodom nalazi se bazi~no re{ewe, naj~e{}e suboptimalno, ili kodjednostavnijih {ema transporta i optimalno. Naziv Vogelova metoda proisti~e odautora metode, a ~esto se u literaturi metoda naziva Vogelova aproksimativna

metoda (VAM - Vogels Approximation Method). Metoda je iterativna u smislusukcesivnog pronalaèwa bazi~nih elemenata, iz iteracije u iteraciju. Osnovniprincip metode je izra~unavawe najve}ih razlika izme|u dva najmawa koeficijentacena u svakom redu i u svakoj koloni analizirane matrice tro{kova. Na osnovutoga proisti~u odluke o postavqawu bazisa. Primer primene Vogelove metode da}ese na osnovu ve} postavqenog modela jedini~nih tro{kova (T-29). Nakon prvogizra~unavawa razlika izme|u dve najmawe cene svakog reda, odnosno svake kolone,vr{imo upisivawe tih razlika (1, 3, 2, 1) u dodatnom dowem redu, odnosno (1, 3, 1)u dodatnoj desnoj koloni iterativne tabele (T-37). U skupu od sedam (n+m)vrednosti bira se najve}a, a to je max{ 1, 3, 2, 1, 1, 3, 1 }= 3. U slu~aju da se

dobije ve}i broj razlika me|usobno jednakih i istovremeno najve}ih, daje seprednost onom poqu koje sadrì najniè jedini~ne tro{kove. Kako drugom redu


9/29


odgovara minimalna vrednost cene c23= 0, na tom mestu (2,3) postavqamo prvibazis sa najve}om logi~nom vredno{}u transporta, a to je x23= 60. Time smo izdaqih prora~una eliminisali tre}u kolonu, {to je u tabeli (T-38) predstavqeno

zatamwenom nijansom. U drugoj iteraciji na isti na~in odre|ujemo razlikenajmawih cena u preostale tri kolone i u prvom i drugom redu. Kako je max{ 1, 3,1, 1, 1, 1 }= 3 i za drugi red min{ 4, 1}= c32= 1, sledi da na mestu (3,2) trebapostaviti maksimalni bazis u iznosu od x32= 135. Time je druga iteracija zavr{enai tre}i red je u potpunosti uravnoteèn, koji smo simboli~ki, tako|e, predsta-vili zatamweno, {to je dato u tabeli (T-39).

(T-37/42)Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

3 5 2 4

6 4 3

2 1

0

7 9

I2

(110)

I3

(135)

2Razlike po

kolonama3-2 = 1

Razlike po

redovima

3-2 = 1

3-0 = 3

2-1 = 1

4-1 = 3 2-0 = 2 4-3 = 1 -

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

3 5 2 4

6 4 3

1

600

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

2Razlike po

kolonama3-2 = 1

Razlike po

redovima

4-3 = 1

4-3 =1

2-1 = 1

4-1 = 3 - 4-3 = 1 -

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

3 5 2 4

6 4 3

1351

600

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

2Razlike po

kolonama6-3 = 3

Razlike po

redovima

4-3 = 1

4-3 = 1

-

5-4 = 1 - 4-3 = 1 -

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

903 5 2 4

6 4 3

1351

600

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

2Razlike po

kolonama-

Razlike po

redovima

5-4 = 1

4-3 = 1

-

5-4 = 1 - 4-3 = 1 -

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

903 5 2 4

6 450

3

1351

600

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

2Razlike po

kolonama-

Razlike po

redovima

5-4 = 1

-

-

- - - -

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

903 5 2

754

6 450

3

1351

600

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

2Razlike po

kolonama-

Razlike po

redovima

-

-

-

- - - -

U slede}im iteracijama treba jo{ da se programira transport preko preostalih{est poqa. Imamo na raspolagawu nepotpune: prvu, drugu i ~etvrtu kolonu i prvii drugi red. Od pet izra~unatih vrednosti razlika cena najve}a je i iznosimax{ 3, 1, 1, 1, 1 }= 3. U prvoj koloni postavqamo bazis na mestu (1,1) u iznosu odx11 90= . Time smo u potpunosti uravnoteìli prvu kolonu (T-40). Preostale

razlike iznose max{ 1, 1, 1, 1 }= 1 i karakteristi~na lokacija je u poqu gde jec24 3= . Na tom mestu postavqa se bazis od x24 50= (T-41). Preostala dva poqa

x14 75= (T-42) i x12 10= (T-43) komplementarno popuwavamo u skladu sa

jedna~inama uravnoteèwa izvora i ponora. Ove jedna~ine ne}e se pisati, zbogjednostavnosti prora~una i mogu}nosti brze provere. Prema tome, posledwa (T-43)donosi nam kona~ne rezultate aplikacije Vogelove metode. Za ostvarewe ovoga

transporta potrebno je utro{iti ukupno T X( ) = 905 /nj/.


10/29


(T-43)Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

903 105 2 754

6 450

3

1351

600

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

2Razlike po

kolonama-

Razlike po

redovima

-

-

-

- - - -

Vogelova metoda, iako zahteva vi{e prora~una, pogodna je za primenu [66] kada se

problem transporta re{ava manuelnim putem i u slu~aju modela transporta save}im broja izvora i ponora, dakle kod kompleksnijih problema distribucije.Koliko po~etna (inicijalna) baza uti~e na kona~no re{ewe TP mo`e se videti naslede}em skupu tabelarnog prora~unavawa (T-44/49). Naime, ako umesto po~etnebaze na poqu (2,3), za isti uzorni model, kao i prethodni (T-37), postavimotransport na susednom poqu (2,4) rezultati prora~una su druga~iji, i u kona~nomishodu sledi re{ewe sa tro{kovima transporta od T X( ) = 945 /nj/.

(T-44/49)

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

360

5 215

4

6 4110

3

1

0

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

2Razlike po

kolonama

3-2 = 1

Razlike po

redovima

5-3 = 2

-

2-1 = 1

5-1 = 3 - - -

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

903

10 605 2

154

6 4110

3

2135

1

0

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

2Razlike po

kolonama-

Razlike po

redovima

-

-

-

- - - -

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1 (175)

P4

(125)

3 5 2 4

6 4 3

2 1

0

7 9

I2

(110)

I3

(135)

2Razlike po

kolonama3-2 = 1

Razlike po

redovima

3-2 = 1

3-0 = 3

2-1 = 1

4-1 = 3 2-0 = 2 4-3 = 1 -

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1 (175)

P4

(125)

3 5 2 4

6 4110

3

1

0

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

2Razlike po

kolonama3-2 = 1

Razlike po

redovima

3-2 = 1

2-1 = 1

5-1 = 4 7-2 = 5 9-4 = 5 -

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

360

5 2 4

6 4110

3

1

0

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

2Razlike po

kolonama3-2 = 1

Razlike po

redovima

4-3 = 1

-

2-1 = 1

5-1 = 4 - 9-4 = 5 -

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

360

5 215

4

6 4110

3

1351

0

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

2Razlike po

kolonama-

Razlike po

redovima

-

-

-

- - - -

Ranije dobijeno re{ewe (T-43) u odnosu na ovo re{ewe (T-49) je povoqnije, sastanovi{ta ostvarewa sumarnih tro{kova, te ga u tom smislu i usvajamo kaokona~no.


11/29


3.9 Odre|ivawe optimalnog re{ewa transportnog zadatka

Osnovna odlika ovih metoda je definisan kriterijum optimalnog re{ewa. Na

osnovu ovog kriterijuma u kvantitativnom obliku se verifikuje po~etno bazi~nore{ewe, da li je najboqe ili se jo{ moè poboq{ati do optimalnog. Pored toga,ovim metodama se dolazi do boqeg bazi~nog re{ewa i podatka za koliko se pritome smawuje funkcija kriterijuma-tro{kova. Me|utim, iako su ove metode visokoelaborirane pri wihovoj primeni moè se ponekad javiti dilema u procesuodabira bazi~nog transportnog poqa. Tada je potrebno doneti odluku na bazikona~nog pretraìvawa, odnosno heuristi~ki. U svakom slu~aju gre{ka se ne}epojaviti ako svaka nova iteracija, u odnosu na prethodnu, npr. kod problema tipamin., donese mawe tro{kove transporta, uz o~uvawe konzistentnosti jedna~inaograni~ewa. Od poznatijih metoda transportnog zadatka istaknimo ~etiri, i to:

p Mo-Di (modifikovana diferencijalna) metoda.p Metoda s kamena na kamen.p Metoda Forda i Fulkersona ip Metoda uslovno optimalnih planova.

Kao izabrana metoda optimizacije plana transporta, u narednom poglavqu, prezen-tova}e se metoda Mo-Di.

3.10 Mo-Di metoda

Metoda Mo-Di predstavqa modifikovanu metodu diferencijala i pripada grupimetoda raspodele (modification distribution). Razvio je Dancig na osnovu metode

simplex LP i otuda joj jo{ i naziv metoda simplex mnoìteqa, ili koeficijenatau-v. Naziv modifikovana proisti~e iz modifikovanog oblika funkcijekriterijuma u koju su uvr{teni simplex mnoìteqi. Taj oblik modifikovanefunkcije, bez detaqnog izvo|ewa, je:

(9) T X a u b v c u v x xi i j jj

n

i

m

ij i j ij ij i j

j

n

i

m

j

n

i

m

( ) ( )- - = - - = == ====

11 1111

D

gde je uveden diferencijal: D ij ij i jc u v= - - . Za baznu promenqivu vrednost

funkcije kriterijuma je uvek: T X a u b vi i j jj

n

i

m

( ) = + ==

11

, pri ~emu mora biti zado-

voqen uslov da je D ij = 0 , ili se koeficijenti ui i vj formiraju tako da wihov

zbir bude jednak vrednosti cene poqa preko kojeg se vr{i transport tj.c u vij i j= + . U op{tem slu~aju potencijali mogu biti pozitivni, negativni ili

jednaki nuli. Kod nedegenerisanog bazno dopustivog re{ewa broj ovih bazi~nih

elemenata jednak je rangu matrice transporta r m n= + - 1 , dok je broj koefi-cijenata ui i vj za jedan ve}i od ranga tj. jednak je m n+ . Iz razloga potpune


12/29


re{ivosti sistema jedna~ina, za jedan od tih potencijala se pretpostavqa da jejednak nuli, mada se moè usvojiti i neka druga proizvoqna vrednost. Obi~no seuzima onaj potencijal koji se najve}i broj puta pojavquje u formiranim

jedna~inama bazi~nih cena. U op{tem slu~aju verifikacija optimalnog re{ewatransporta pomo}u potencijala zasniva se na slede}im stavovima:

Stav 1: ako je za sve bazno dopustive elemente ( , )i j , tj. za xij > 0 , ispuwen uslov:

(10) D ij ij i jc u v= - - = 0 , a za nebazi~na poqa, tj. za xij = 0 i

Stav 2: za diferencijal D ij kada je ispuwen uslov nenegativnosti

(11) D ij ij i jc u v= - - 0

sledi da je bazi~ni program najboqi, u oznaci X xij m n* *[ ]= . Time se garantuje mi-

nimalna cena transporta T X T X ( ) min ( )* = , od izvori{ta do ponora (odredi{ta).

Dokaz:Za formirani program transporta X xij m n= [ ] i skup potencijala reda i

kolona, koji zadovoqavaju uslove Stava 1. i 2., ukupni tro{kovi transporta izno-si}e:

(12) T X c x u v xij ijj

n

i

m

i j ij

j

n

i

m

( ) ( )= = + == ==

11 11

Preformulacijom programa transporta, u smislu nove {eme, koju }emo ozna~iti sa

[ ]xij , neke od promenqivih se poklapaju sa prethodnim, a u nekim, gde su xij bile

jednake nuli sada su formirane pozitivne vrednosti $xij . Za poqa gde se xij i $xij

poklapaju vaè}a je i daqe relacija D ij ij i jc u v= - - = 0 , tj. c u vij i j= + , a u

poqima gde su promenqive xij = 0 , a $xij > 0 , sledi nova relacija c u vij i j> + , {to

se direktno odraàva na ukupan transportni tro{ak, koji sada iznosi:

(13) T X u v x T X u v xi j ijj

n

i

m

i j ij

j

n

i

m

( $ ) ( ) $ ( ) ( )= + > = + == ==

11 11

Dakle, izmenom programa u odnosu na optimalni program uvek se pove}avaju tro{-kovi, ili inverzno, posmatraju}i lo{iji plan uvek se moè poboq{ati dovo|ewemdiferencijala u slede}u relaciju:

(14) D ij ij i jc u v= - - 0

Dokaz ove teoreme moè se na}i u literaturi [14].


13/29


Primer 17. Kako se verifikuje optimalno re{ewe pokaza}e se na primeru za ve}postavqeno bazno dopustivo nedegenerisano re{ewe dobijeno metodom Vogela.Po~etni bazi~ni plan dat je u tabeli (T-50).

(T-50)

Ponori

IzvoriP

1(90) P

2(145) P

3(60)

I1

(175)

P4

(125)

903

105 2

754

6 450

3

2135

1

600

7 9

I2

(110)

I3

(135)2

Pj

Ii

Potencijali

kolona3 5 1 4

Potencijali

redova

0

- 1

- 4

-vj

ui

Re{ewe:

Bazna poqa predstavqena su u tabeli (T-50) zaokruènim vrednostima transportai wihov broj je r m n= + - =1 6 . ~ime je predstavqeno bazno dopustivo i nedege-nerisano re{ewe.

p Jedna~ine baznih cena za {est poqa formiraju se na osnovu formule:c u vij i j= + . U tom smislu imamo slede}e jedna~ine baznih cena:

c u v11 1 1 3= + = v1 3= c u v23 2 3 0= + = v u3 20 0 1 1= - = - - =( ) c u v12 1 2 5= + = v2 5= c u v24 2 4 3= + = u v2 43 3 4 1= - = - = -

c u v14 1 4 4= + = v4 4= c u v32 3 2 1= + = u v3 21 1 5 4= - = - = -

Usvajaju}i da je npr. potencijal u1 0= , kao koeficijent koji je najfrekventniji u

jedna~inama i s tog stanovi{ta olak{ava prora~un. Broj nepoznatih je izjedna~ensa brojem jedna~ina, pa je u tom slu~aju prethodni sistem jedna~ina re{iv.

p Formirawe diferencijala D ij ij i jc u v= - - za nebazna poqa transporta.

D13 13 1 3 2 0 1 1= - - = - - =c u v D 31 31 3 1 2 4 3 3= - - = - - - =c u v ( )

D21 21 2 1 6 1 3 4= - - = - - - =c u v ( ) D 33 33 3 3 7 4 1 10= - - = - - - =c u v ( )

D22 22 2 2 4 1 5 0= - - = - - - =c u v ( ) D 34 34 3 4 9 4 4 9= - - = - - - =c u v ( ) .

Kako su sve vrednosti diferencijala D ij 0 nenegativne, moèmo zakqu~iti da je

predloèno re{ewe ujedno i optimalno, jer se Mo-Di kriterijumom optimalnostiono i verifikovalo na kvantitativnoj osnovi. Pri tome je ostvaren najmawitro{ak transporta u vrednosti od:

min ( )T X c x c x c x c x c x c x= + + + + + = + + + + + =11 11 12 12 14 14 23 23 24 24 32 32 270 50 300 0 150 135 905 /nj/.


14/29


Primer 18.Odrediti optimalnu raspodelu materijala xij tako da ukupni tro{-

kovi transporta budu minimalni. Materijal se transportuje iz ~etiri izvori{ta

Ii u tri odredi{ta Oj . Postoje}a koli~ina materijala ai u izvori{tima, potreb-na koli~ina bj u odredi{tima, kao i specifi~ne cene transporta cij date su u

tabeli (T-51).(T-51)

Odredi{ta

Izvori{taO

1O

2O

3

I1

I2

I3

I4

Potrebe odredi{ta

/kom/

Kapaciteti

izvori{ta /kom/

c41

= 3x

41= ?

c42

= 1x

42= ?

c43

= 7x

43= ?

bj

ai

c31

= 5

x31

= ?

c32

= 0

x32

= ?

c21

= 2

x21

= ?

c22

= 10

x22

= ?

c11

= 6

x11

= ?

c12

= 8

x12

= ?

c23

= 5

x23

= ?

c13

= 3

x13

= ?

c33

= 4

x33

= ?

70 70

a1 30=

a2 10=

a3 20=

a4

10=

b3 10=b1 20= b2 40=

Re{ewe:

3.11 Primena metode severozapadnog ugla u nala`ewu po~etnog bazi~nog re{ewa

Primenom metode severozapadnog ugla smo dobili po~etni, bazno dopustivi plantransporta (minTP-0) uz konstataciju da je re{ewe degenerisno, zbog toga {to jem n r+ - = + - = > =1 4 3 1 6 5 , gde je:

m = 3 - broj redova matrice,n = 4 - broj kolona matrice,r= 5 - broj bazno dopustivih promenqivih (broj elemenata tabele preko

kojih se vr{i transport).

min TP-0 (T-52)

Odredi{ta

Izvori{taO

1O

2O

3

I1

I2

I3

I4

Potrebe odredi{ta

/kom/

Kapaciteti

izvori{ta /kom/

10

bj

20

10

206

10

70 70

a1 30=

a2 10=

a3 20=

a4 10=

b3 10=b1 20= b2 40=

8 3

2 10 5

5 0 4

3 1 7

ai


15/29


dok je funkcija kriterijuma, pri ovome, prezentovala po~etne (neminimalne)tro{kove u iznosu od:

T X c x c x c x c x c x( )( )0 11 11 12 12 22 22 32 32 43 43 6 20 8 10 10 10 0 20 7 10 370= + + + + = + + + + = /nj/.

3.12 Primena Mo-Di metode u nalaèwu optimalnog re{ewa

Za odre|ivawe optimalnog re{ewa potrebne su nam savr{enije metode od kojih jejedna, ve} pomenuta, iterativna, modifikovano-diferencijalna ili Mo-Di metoda.U literaturi je nalazimo i pod nazivom metoda potencijala. Mo-Di metoda sadrìslede}e algoritme:

Iiteracija:Vrednosti potencijala ui i vj odre|uju se tako da koeficijenti uz

bazi~ne promenqive ( )xij 0 budu jednaki nuli, tj. Dij ij i jc u v= - - = 0 . Na osnovu

~ega sledi da je: c u vij i j= + ( ,i = 1 4 ; j = 1 3, ) , pa je za ovaj primer karakteristi~no:

c u v11 1 1 6= + =

c u v12 1 2 8= + =

c u v22 2 2 10= + =

c u v32 3 2 0= + =

c u v43 4 3 7= + =

.

Jednoj promenqivoj moèmo dodeliti proizvoqnu vrednost, a mogu}nost je da tobude i nula, s tim da se moè odabrati promenqiva koja se pojavquje u najvi{e

jedna~ina. Usvajamo da je potencijal u1 0= (mada se u ovom slu~aju moè alter-

nativno usvojiti i da je v2 0= ). Na osnovu toga slede re{ewa nekih potencijala:

v c u1 11 1 6 0 6= - = - = v c u2 12 1 8 0 8= - = - =

u c v2 22 2 10 8 2= - = - =

u c v3 32 2 0 8 8= - = - = - v c u3 43 4 7 7 14= - = - - =( )

Kao posledica degenerisanog bazi~nog re{ewa (minTP-0) javqa se slu~aj da dveposledwe jedna~ine ( c c32 43, ) ne mogu da se iskoriste za odre|ivawe promenqivih

zbog postojawa ve}eg broja nepoznatih od dve. Iz tih razloga jedna od nebaznihpromenqivih xij treba da postane pozitivna, tj. bazna, s tim da woj odgovaraju

najniì jedini~ni tro{ak, pod uslovom da jedan od indeksa (i ili j) stvaralogi~ku vezu sa ostalim poznatim indeksima bazi~nih potencijala, tj:

{ } { }min min , , , , , ,ij ij

c c c c c c c c cij nebazno= = = = = = = = = =13 21 23 31 33 41 42 423 2 5 5 4 3 1 1


16/29


Kako je: c u v42 4 2 1= + = sledi da je u c v4 42 2 1 8 7= - = - = - .

Prema tome, promenqivoj: x42

0= >d , dodequjemo proizvoqno malu pozitivnu

vrednost ( ) 0 i progla{avamo je ve{ta~kom bazom, a za nebazi~no promenqive

odre|uje se najni`a vrednost potencijala D ij ,

D13 13 1 3 3 0 14 11= - - = - - = -c u v

D21 21 2 1 2 2 6 6= - - = - - = -c u v

D23 23 2 3 5 2 14 11= - - = - - = -c u v

D31 31 3 1 5 8 6 7= - - = - - - =c u v ( )

D33 33 3 3 4 8 14 2= - - = - - - = -c u v ( )

D41 41 4 1 3 7 6 4= - - = - - - =c u v ( ) .

Kako smo dobili dve najmawe vrednosti, biramo jednu od wih proizvoqno. Neka tobude D23 11= - i na tom mestu }emo postaviti novu bazi~no promenqivu x23 = l

(minTP-1), kojoj se sada dodequje maksimalna logi~ka vrednost l= 10 /kom/.

minTP-1/2 (T-53/54)

10

20

206

10

10

8 3

2 10 5

5 0 4

3 1 7

Odredi{ta

Izvori{taO

1(20) O

2(40) O

3(10)

I1

(30)

I2

(10)

I3

(20)

I4

(10)

Potencijal

Potencijal

6

10

8 14vj

ui

0

2

-8

-7

20

10

206

10

-

8 3

2 10 5

5 0 4

3 1 7

+l-l

-l

+ld

Odredi{ta

Izvori{taO

1(20) O

2(40) O

3(10)

I1

(30)

I2

(10)

I3

(20)

I4

(10)

Potencijal

Potencijal

6 8 9vj

ui

0

- 4

- 8

- 7

-

Zbog transformacionih uslova bazi~nih promenqivih iz (minTP-1) u (minTP-2)

poligon (linije sa strelicama) formiramo preko izabranog poqa (2,3), pa prekopoqa (4,3), zatim preko lokacije ve{ta~ke baze (4,2) i poqa (2,2), zatvaraju}i ga


17/29


poqem (2,3). Time smo zatvorili transformacioni lanac u oblikupravougaonika. Napomenimo da poligon ne mora uvek biti u obliku pravougaonika,kao {to je npr. prikazano tabelom (T-59).

II iteracija:Daqe, iterativni postupak ponavqamo kao i u prethodnim slu~aje-vima. Za bazi~nu promenqivu veli~ine usvajamo u1 0= , pa sledi da je:

c u v11 1 1 6= + = v c u1 11 1 6 0 6= - = - =

c u v12 1 2 8= + = v c u2 12 1 8 0 8= - = - = c u v23 2 3 5= + = v c u3 23 2 5 4 9= - = - - =( )

c u v32 3 2 0= + = u c v3 32 2 0 8 8= - = - = -

c u v42 4 2 1= + = u c v4 42 2 1 8 7= - = - = -

Na osnovu kriterijuma najni`ih jedini~nih tro{kova (nebazi~nih promenqivih) ilogi~kom vezom cena i potencijala, putem indeksa (ij) usvajamo (T-54):

{ } { }min min , , , , , ,ij

ijij

c c c c c c c c cnebazno

= = = = = = = = = =13 21 22 31 33 41 43 213 2 10 5 4 3 7 2

Kako je: c u v21 2 1 2= + = sledi da je: u c v2 21 1 2 6 4= - = - = - .

Promenqivoj x21 0 0= > d ( ) dodequjemo novu ve{ta~ku vrednost, a nebaznim po-

tencijalima odre|ujemo najni`u vrednost:

D D13 13 1 3 3 0 9 6= - - = - - = - =c u v ijmin{ } D 33 33 3 3 4 8 9 3= - - = - - - =c u v ( )

D 22 22 2 2 10 4 8 6= - - = - - - =c u v ( ) D 41 41 4 1 3 7 6 4= - - = - - - =c u v ( )

D 31 31 3 1 5 8 6 7= - - = - - - =c u v ( ) D 43 43 4 3 7 7 9 5= - - = - - - =c u v ( ) ,

a to je D13 6= - . Na toj lokaciji postavqamo novu promenqivu x13 10= =l .

minTP-3 (T-55)

10

20

206 10

10

8 3

2 10 5

5 0 4

3 1 7

+l -l

-l +l

d

Odredi{ta

Izvori{taO

1(20) O

2(40) O

3(10)

I1

(30)

I2

(10)

I3

(20)

I4

(10)

Potencijal

Potencijal

6 8 9vj

ui

0

- 4

- 8

- 7

-


18/29


minTP-4 (T-56)

10

20

10

106

10 108 3

2 10 5

5 0 4

3 1 7

Odredi{ta

Izvori{taO

1(20) O

2(40) O

3(10)

I1

(30)

I2

(10)

I3

(20)

I4

(10)

Potencijal

Potencijal

6 8 3vj

ui

0

- 4

- 8

- 7

-

O~igledno je da smo novim planom, zatvaraju}i poligon preko ve{ta~ke baze d inove realne l, tako|e, dobili bazno dopustivo degenerisano re{ewe transporta,ali sa smawenom vredno{}u funkcije kriterijuma u odnosu na prethodno re{ewe.

III iteracija: Projektovawem novog plana transporta (T-56), ~ija je glavnakarakteristika nedegenerisanost bazi~no dopustivih re{ewa, jer je m n+ - =1 r= 6 . Mo`e se proveriti da li je ovo re{ewe optimalno ili ne, na osnovu sle-de}ih postupaka:

p Za bazi~ne promenqive, pri usvojenoj vrednosti u1 0= , sledi da je:

c u v11 1 1 6= + = v c u1 11 1 6 0 6= - = - =

c u v12 1 2 8= + = v c u2 12 1 8 0 8= - = - =

c u v13 1 3 3= + = v c u3 13 1 3 0 3= - = - =

c u v21 2 1 2= + = u c v2 21 1 2 6 4= - = - = -

c u v32 3 2 0= + = u c v3 32 2 0 8 8= - = - = -

c u v42 4 2 1= + = u c v4 42 2 1 8 7= - = - = -

p Za nebazi~ne promenqive diferencijali iznose:

D 22 22 2 2 10 4 8 6= - - = - - - =c u v ( ) D 33 33 3 3 4 8 3 9= - - = - - - =c u v ( )

D 23 23 2 3 5 4 3 6= - - = - - - =c u v ( ) D 41 41 4 1 3 7 6 4= - - = - - - =c u v ( )

D 31 31 3 1 5 8 6 7= - - = - - - =c u v ( ) D 43 43 4 3 7 7 3 11= - - = - - - =c u v ( ) .

Kako su sve vrednosti D ij 0 nenegativne time je prona|en optimalan plan trans-

porta, pri ~emu su transportni tro{kovi minimalni i iznose:

T X c x c x c x c x c x c x( )( )3 11 11 12 12 13 13 21 21 32 32 42 42 60 80 30 20 0 10 200= + + + + + = + + + + + = /nj/.


19/29


Primer 19. Preduze}e se snabdeva resursima R jj ( , )= 1 4 za potrebe proizvodwe,

iz skladi{ta materijala S ii ( , )= 1 4 . Kapaciteti skladi{ta /kg/, dnevne potrebe

proizvodwe /kg/ i jedini~ni tro{kovi transportovawa cij /nj/kg/ dati su u narednojtabeli.

(T-57)

Preduze}e Rj

Skladi{teSi

R1

(140)

S1

(260)

R2

(220) R3

(310) R4

(90)

S2

(170)

S3

(130)

S4

(200)

c11

=15 c12

=3 c13

=12 c14

=4

c21

=8 c22

=2 c23

=6 c24

=7

c31

=5 c32

=4 c33

=3 c34

=5

c41

=1 c42

=10 c43

=4 c44

=6

a) Odrediti najboqu distribuciju resursa za proizvodwu da bi se ukupni tro{kovitransportovawa minimizirali?

b) Izra~unati dnevne u{tede koje se postiù transportom resursa u odnosu natro{kove dobijene na osnovu {eme transporta metodom severozapadnog ugla.

Re{ewe:

Po~etno bazno dopustivo re{ewe moèmo dobiti primenom metode severozapadnogugla. Tom raspodelom transporta smo istovremeno dobili nedegenerisano baznodopustivo re{ewe (minTP-0), jer je broj potrebnih nezavisnih linearnih jedna~inam n+ - = + - =1 4 4 1 7 jednak broju formiranih baznih elemenata r= 7 , te nema

minTP-0 (T-58)

R4(90)

S4 (200)

14015

1203 12 4

8100

270

6 7

5 4130

3 5

1 10110

490

6

Preduze}e Rj

Skladi{teSi

R1(140)

S1

(260)

R2(220) R

3(310)

S2(170)

S3(130)

potrebe za formirawem ve{ta~ke baze. Za nalaèwe optimalnog re{ewa

primewiva}e se Mo-Di metoda. U tom smislu formirajmo slede}e jedna~ine:


20/29


I iteracija: Iz relacije za bazne elemente c u vij i j= + , i za usvojenu vrednost

potencijala npr. v3 0= izra~unavaju se nepoznati potencijali: u vi j,

c u v11 1 1 15= + = = - = - =v u1 115 15 7 8

c u v12 1 2 3= + = = - = - - =u v1 23 3 4 7( )

c u v22 2 2 2= + = = - = - = -v u2 22 2 6 4

c u v23 2 3 6= + = =u2 6

c u v33 3 3 3= + = =u3 3

c u v43 4 3 4= + = =u4 4

c u v44 4 4 6= + = = - = - =v u4 46 6 4 2

Iz jedna~ina diferencijalaD

ij ij i jc u v= - +

( ) , za nebazne elemente, sledi najmawidiferencijal, kao osnova za formirawe novog transportnog puta.

D13 13 1 3 12 7 0 5= - - = - - =c u v

D14 14 1 4 4 7 2 5= - - = - - = -c u v

D 21 21 2 1 8 6 8 6= - - = - - = -c u v

D 24 24 2 4 7 6 2 1= - - = - - = -c u v

D 31 31 3 1 5 3 8 6= - - = - - = -c u v

D 32 32 3 2 4 3 4 5= - - = - - - =c u v ( )

D 34 34 3 4 5 3 2 0= - - = - - =c u v

D 41 41 4 1 1 4 8 11= - - = - - = -c u v = =l x41 100 /kg/

D 42 42 4 2 10 4 4 10= - - = - - - =c u v ( )

Pri tome funkcija tro{kova po~etne {eme transporta iznosi:

T X c x c x c x c x c x c x c x( )( )1 11 11 12 12 22 22 23 23 33 33 43 43 44 44 4450= + + + + + + = /nj/.

minTP-1 (T-59)

R4 (90)

S4

(200)

14015

1203 12 4

8100

270

6 7

5 4130

3 5

1 10110

490

6

-l +l

-l +l

-l+l

Preduze}e Rj

Skladi{teSi R1 (140)S

1(260)

R2 (220) R3 (310)

S2

(170)

S3

(130)


21/29


IIiteracija:Realokacija baznih elemenata (minTP-2).Izjedna~ina za bazne ele-mente c u vij i j= + i za usvojenu vrednost potecijala ( )u4 0= , izra~unavaju se

ostali potencijali u vi j, :

c u v11 1 1 15= + = = - = - =u v1 115 15 1 14

c u v12 1 2 3= + = = - = - = -v u2 13 3 14 11

c u v23 2 3 6= + = = - = - =u v2 36 6 4 2

c u v33 3 3 3= + = = - = - = -u v3 33 3 4 1

c u v41 4 1 1= + = =v1 1

c u v43 4 3 4= + = =v3 4

c u v44 4 4 6= + = =v4 6

Iz jedna~ina diferencijala D ij ij i jc u v= - +( ) za nebazne elemente i formirawa

novog transportnog puta na osnovu kriterijuma { }minij

ijD nebazno sledi:

D13 13 1 3 12 14 4 6= - - = - - = -c u v

D14 14 1 4 4 14 6 16= - - = - - = -c u v = =l x14 40 /kom/

D 21 21 2 1 8 2 1 5= - - = - - =c u v

D 22 22 2 2 2 2 11 11= - - = - - - =c u v ( )

D 24 24 2 4 7 2 6 1= - - = - - = -c u v

D31 31 3 1 5 1 1 5= - - = - - - =c u v ( ) D 32 32 3 2 4 1 11 16= - - = - - - - =c u v ( ) ( )

D 34 34 3 4 5 1 6 0= - - = - - - =c u v ( )

D42 42 4 2 10 0 11 21= - - = - - - =c u v ( ) .

Pri tome je funkcija tro{kova:

T X c x c x c x c x c x c x c x( )( )2 11 11 12 12 23 23 33 33 41 41 43 43 44 44 3350= + + + + + + = /nj/

minTP-2 (T-60)

R4

(90)

S4 (200)

4015

2203 12 4

8 2170

6 7

5 4130

3 5

1001 10

104

906

-l

+l

+l

-l

Preduze}e Rj

Skladi{teSi

R1

(140)

S1

(260)

R2

(220) R3

(310)

S2

(170)

S3

(130)


22/29


III iteracija: Realokacija baznih elemenata (minTP-3). Izjedna~ina za bazneelemente c u vij i j= + i za usvojenu vrednost potencijala ( )u4 0= , slede ostali

poten-cijali u vi j, :c u v12 1 2 3= + = = - = - - =v u2 13 3 2 5( )

c u v14 1 4 4= + = = - = - = -u v1 44 4 6 2

c u v23 2 3 6= + = = - = - =u v2 36 6 4 2

c u v33 3 3 3= + = = - = - = -u v3 33 3 4 1

c u v41 4 1 1= + = =v1 1

c u v43 4 3 4= + = =v3 4

c u v44 4 4 6= + = =v4 6

Iz jedna~ina diferencijala D ij ij i jc u v= - +( ) za nebazne elemente i formirawa

novog transportnog puta na osnovu kriterijuma { }minij

ijD nebazno sledi:

D11 11 1 1 15 2 1 16= - - = - - - =c u v ( )

D13 13 1 3 12 2 4 10= - - = - - - =c u v ( )

D 21 21 2 1 8 2 1 5= - - = - - =c u v

D 22 22 2 2 2 2 5 5= - - = - - = -c u v = =x22 50l /kom/

D 24 24 2 4 7 2 6 1= - - = - - = -c u v

D 31 31 3 1 5 1 1 5= - - = - - - =c u v ( )

D32 32 3 2 4 1 5 0= - - = - - - =c u v ( ) D 34 34 3 4 5 1 6 0= - - = - - - =c u v ( )

D 42 42 4 2 10 0 5 5= - - = - - =c u v

Pri tome je funkcija tro{kova:

T X c x c x c x c x c x c x c x( )( )3 12 12 14 14 23 23 33 33 41 41 43 43 44 44 2710= + + + + + + = /nj/.

minTP-3 (T-61)

R4 (90)

S4

(200)

15220

3 12

8 2170

6

5 4130

3

1401 10

104 +l

-l

-l

404 +l

+l

Preduze}e RjSkladi{teSi

R1 (140)

S1

(260)

R2 (220) R3 (310)

S2

(170)

S3

(130)

7

5

506 -l


23/29


24/29


X* =

0 170 0 90

0 50 120 0

0 0 130 0140 0 60 0

.

Pri tome je funkcija tro{kova minimizirana na vrednost:

min ( ) ( )*T X T X c x c x c x c x c x c x c x= = + + + + + + =12 12 14 14 22 22 23 23 33 33 41 41 43 43 2460 /nj/

Tro{kovi su umaweni u odnosu na po~etno re{ewe u iznosu od:

DT T X T X = - = - =( ) min ( )( )1 4450 2460 1990 /nj/.

Primer 20.Gra|evinsko preduze}e se snabdeva materijalom G jj ( , )= 1 5 za potrebe

visokogradwe iz skladi{ta polufabrikata S ii ( , )= 1 4 . Kapaciteti skladi{ta,

dnevne potrebe gradili{ta i jedini~ni tro{kovi transportovawa dati su u nared-noj tabeli.

minTP-0 (T-63)

Gradili{ta

Skladi{taG

1(95)

S1(100)

G2(165) G

3(110) G

4(85)

S2

(75)

S3(125)

S4(200)

12 1005 3 13

865

310

4

6 10110

2 7

G5(45)

15

126

9511

155

7 975

1030

6

a) Odrediti najboqu distribuciju gra|evinskog materijala na gradili{tu da bi

ukupni tro{kovi transportovawa bili najmawi?b) Kolike se ukupne u{tede posti`u u transportu materijala u odnosu na po~etni

program transporta, ~iji tro{kovi iznose T X( )( )0 /nj/?

Re{ewe:

Po~etno bazno dopustivo re{ewe je nedegenerisano, jer je broj potrebnih linearnonezavisnih jedna~ina m n+ - = + - =1 5 4 1 8 jednak broju formiranih baznihelemenata, tj. r= 8 . Za nala`ewe optimalnog re{ewa, aplicira}e semodifikovana diferencijalna metoda.

Pri tome vrednost funkcije tro{kova po~etnog re{ewa iznosi:


25/29


T X c x c x c x c x c x c x c x c x( )( )0 12 12 22 22 24 24 33 33 35 35 41 41 44 44 45 45 3005= + + + + + + + = /nj/.

I Iteracija: Iz jedna~ina baznih elemenata c u vij i j= + usvajamo u4 0= , kao naj-frekventniji nepoznati potencijal. Ostale potencijale re{avamo komplementar-nim putem i zamenom dobijamo:

c u v12 1 2 5= + = u v1 25 5 9 4= - = - = -

c u v22 2 2 3= + = v u2 23 3 6 9= - = - - =( )

c u v24 2 4 4= + = u v2 44 4 10 6= - = - = -

c u v33 3 3 2= + = v u3 32 2 1 3= - = - - =( )

c u v35 3 5 5= + = u v3 55 5 6 1= - = - = -

c u v41 4 1 11= + = v1 11= c u v44 4 4 10= + = v4 10=

c u v45 4 5 6= + = v5 6=

Za nebazne elemente izra~unavamo diferencijal tipa: D ij ij i jc u v= - - , i biramo

najmawi { }minij

ijD nebazno. Na tom mestu se postavqa nova baza xij .

D11 11 1 1 12 4 11 5= - - = - - - =c u v ( )

D13 13 1 3 3 4 3 4= - - = - - - =c u v ( ) D14 14 1 4 13 4 10 7= - - = - - - =c u v ( )

D15 15 1 5 15 4 6 13= - - = - - - =c u v ( )

D 21 21 2 1 8 6 11 3= - - = - - - =c u v ( )

D23 23 2 3 6 6 3 9= - - = - - - =c u v ( )

D 25 25 2 5 12 6 6 12= - - = - - - =c u v ( )

D 31 31 3 1 6 1 11 4= - - = - - - = -c u v ( ) l= =x31 15

D 32 32 3 2 10 1 9 2= - - = - - - =c u v ( )

minTP-1 (T-64)Gradili{ta

Skladi{taG

1(95)

S1(100)

G2(165) G

3(110) G

4(85)

S2

(75)

S3(125)

S4(200)

12100

5 3 13

865

310

4

6 10110

2 7

G5(45)

15

126

9511

155

7 975

1030

6

+l-l

+l-l


26/29


D 34 34 3 4 7 1 10 2= - - = - - - = -c u v ( )

D 42 42 4 2 7 0 9 2= - - = - - = -c u v

D43 43 4 3

9 0 3 6= - - = - - =c u v

minTP-2 (T-65)

Gradili{ta

Skladi{taG

1(95)

S1

(100)

G2

(165) G3

(110) G4

(85)

S2

(75)

S3

(125)

S4 (200)

12100

5 3 13

865

310

4

156 10

1102 7

G5

(45)

15

126

80

11

5

7 9

75

10

45

6

Vrednost funkcije tro{kova posle prve iteracije (minTP-2) iznosi:


IIIteracija:Iz jedna~ina baznih elemenata c u vij i j= + , usvajamou4 0= .c u v12 1 2 5= + = u v1 25 5 9 4= - = - = - c u v22 2 2 3= + = v u2 23 3 6 9= - = - - =( )

c u v24 2 4 4= + = u v2 44 4 10 6= - = - = -

c u v31 3 1 6= + = u v3 16 6 11 5= - = - = -

c u v33 3 3 2= + = v u3 32 2 5 7= - = - - =( )

c u v41 4 1 11= + = v1 11=

c u v44 4 4 10= + = v4 10=

c u v45 4 5 6= + = v5 6=

Za nebazne elemente izra~unavamo diferencijal D ij ij i jc u v= - -

D11 11 1 1 12 4 11 5= - - = - - - =c u v ( )

D13 13 1 3 3 4 7 0= - - = - - - =c u v ( )

D14 14 1 4 13 4 10 7= - - = - - - =c u v ( )

D15 15 1 5 15 4 6 13= - - = - - - =c u v ( )

D 21 21 2 1 8 6 11 3= - - = - - - =c u v ( )

D 23 23 2 3 6 6 7 5= - - = - - - =c u v ( )

D25 25 2 5 12 6 6 12= - - = - - - =c u v ( )


27/29


D 32 32 3 2 10 5 9 6= - - = - - - =c u v ( )

D 34 34 3 4 7 5 10 2= - - = - - - =c u v ( )

D35 35 3 5

5 5 6 4= - - = - - - =c u v ( )

D 42 42 4 2 7 0 9 2= - - = - - = -c u v l= =x42 65

D 43 43 4 3 9 0 7 2= - - = - - =c u v

Vrednost funkcije tro{kova posle druge iteracije (minTP-4) iznosi:


minTP-3/4 (T-66/67)

Gradili{taSkladi{ta

G1

(95)

S1

(100)

G2

(165) G3

(110) G4

(85)

S2

(75)

S3

(125)

S4

(200)

12100

5 3 13

865

310

4

156 10

1102 7

G5

(45)

15

126

8011

5

7 975

1045

6+l

-l +l

-l

Gradili{ta

Skladi{taG

1(95)

S1

(100)

G2

(165) G3

(110) G4

(85)

S2

(75)

S3

(125)

S4

(200)

12100

5 3 13

8 375

4

156 10

1102 7

G5

(45)

15

126

8011

5

657 9

1010

456

IIIIteracija:Iz jedna~ina baznih elemenata c u vij i j= + , usvajamo, tako|e u4 0= .

c u v12 1 2 5= + = u v1 25 5 7 2= - = - = -

c u v24 2 4 4= + = u v2 44 4 10 6= - = - = -

c u v31 3 1 6= + = u v3 16 6 11 5= - = - = -

c u v33 3 3 2= + = v u3 32 2 5 7= - = - - =( )

c u v41 4 1 11= + = v1 11=

c u v42 4 2 7= + = v2 7=

c u v44 4 4 10= + = v4 10=


28/29


c u v45 4 5 6= + = v5 6=

Za nebazne elemente izra~unavamo diferencijal D ij ij i jc u v= - -

D11 11 1 1 12 2 11 3= - - = - - - =c u v ( )

D13 13 1 3 3 2 7 2= - - = - - - = -c u v ( ) l= =x13 80

D14 14 1 4 13 2 10 5= - - = - - - =c u v ( )

D15 15 1 5 15 2 6 11= - - = - - - =c u v ( )

D 21 21 2 1 8 6 11 3= - - = - - - =c u v ( )

D22 22 2 2 3 6 7 2= - - = - - - =c u v ( )

D 23 23 2 3 6 6 7 5= - - = - - - =c u v ( )

D 25 25 2 5 12 6 6 12= - - = - - - =c u v ( )

D 32 32 3 2 10 5 7 8= - - = - - - =c u v ( ) D 34 34 3 4 7 5 10 2= - - = - - - =c u v ( )

D 35 35 3 5 5 5 6 4= - - = - - - =c u v ( )

D 43 43 4 3 9 0 7 2= - - = - - =c u v

Vrednost funkcije tro{kova posle tre}e iteracije (minTP-6) iznosi:


minTP-5/6 (T-68/69)

Gradili{ta

Skladi{taG

1(95)

S1

(100)

G2

(165) G3

(110) G4

(85)

S2

(75)

S3

(125)

S4

(200)

12100

5 3 13

8 375

4

156 10

1102 7

G5

(45)

15

126

8011

5

657 9

1010

456

+l-l

+l

-l+l

-l

Gradili{ta

Skladi{taG

1(95)

S1

(100)

G2

(165) G3

(110) G4

(85)

S2

(75)

S3

(125)

S4

(200)

1220

580

3 13

8 375

4

956 10

302 7

G5

(45)

15

126

11

5

1457 9

1010

456


29/29


IVIteracija: Iz jedna~ina baznih elemenata c u vij i j= + ,usvajamo: u4 0= .c u v

12 1 25= + = u v

1 25 5 7 2= - = - = -

c u v13 1 3 3= + = v u3 13 3 2 5= - = - - =( )

c u v24 2 4 4= + = u v2 44 4 10 6= - = - = -

c u v31 3 1 6= + = v u1 36 6 3 9= - = - - =( )

c u v33 3 3 2= + = u v3 32 2 5 3= - = - = -

c u v42 4 2 7= + = v2 7=

c u v44 4 4 10= + = v4 10=

c u v45 4 5 6= + = v5 6=

Za nebazne elemente izra~unavamo diferencijal: D ij ij i jc u v= - -

D11 11 1 1 12 2 9 5= - - = - - - =c u v ( )

D14 14 1 4 13 2 10 5= - - = - - - =c u v ( )

D15 15 1 5 15 2 6 11= - - = - - - =c u v ( )

D 21 21 2 1 8 6 9 5= - - = - - - =c u v ( )

D22 22 2 2 3 6 7 2= - - = - - - =c u v ( )

D 23 23 2 3 6 6 5 7= - - = - - - =c u v ( )

D 25 25 2 5 12 6 6 12= - - = - - - =c u v ( )

D 32 32 3 2 10 3 7 6= - - = - - - =c u v ( )

D 34 34 3 4 7 3 10 0= - - = - - - =c u v ( ) D 35 35 3 5 5 3 6 2= - - = - - - =c u v ( )

D 41 41 4 1 11 0 9 2= - - = - - =c u v

D 43 43 4 3 9 0 5 4= - - = - - =c u v

Mo`emo konstatovati da su svi diferencijali i za bazne i za nebazne elementeD ij 0 , ~ime je zadovoqen kriterijum optimalnosti (minTP-6) i postignut

najjeftiniji transport sa tro{kovima:

min ( ) ( ) ( )

* ( )

T X T X T X = = =3

2655 /nj/.

b) Ukupne u{tede postignute za odre|en period transportovawa gra|evinskogmaterijala u odnosu na po~etno-neoptimalno re{ewe transporta, iznose:

DT X T X T X ( ) ( ) ( )( ) *= - = - =0 3005 2655 350 /nj/.

Documents

[3] Transportni Problem