3 MODELOS FEM - Universidad de Sevillabibing.us.es/proyectos/abreproy/4820/fichero/3+MODELOS+FEM.pdf · 3 MODELOS FEM 3.1 EXPRESIONES TEÓRICAS DE MODOS DE VIBRACIÓN Y SUS CURVATURAS

Análisis de sensibilidad de parámetros de detección de daño. Aplicación al caso de la estructura del Giraldillo

7

3 MODELOS FEM

3.1 EXPRESIONES TEÓRICAS DE MODOS DE VIBRACIÓN Y SUS CURVATURAS

La forma del modo de vibración del modelo teórico es la de una viga en voladizo,

la cual viene dada por la siguiente ecuación, según lo recogido en el capítulo “Analysis

of undamped free vibrations” (Clough, Penzien 1975):

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−⋅⋅

⋅+⋅⋅+⋅

+⋅−⋅⋅= )cos()cosh()cosh()cos()()()()()( 1 xaxa

LaLaLasenhLasenxasenhxasenAxφ

donde 1A es la amplitud del modo (no conocida a priori) y a una constante cuyo valor

varía dependiendo de si es primer, segundo o tercer modo de vibración.

La constante a tiene la siguiente expresión 42

IEma⋅⋅

=ω

, de lo que se deriva que

la frecuencia es m

IEa ⋅⋅=

4

ω . Del ejemplo E18-2 (Clough, Penzien 1975), se

extrae que las expresiones que definen las frecuencias de los tres primeros modos de

vibración son las siguientes:

42

1 )875.1(LmIE

⋅⋅

⋅=ω 4

22 )694.4(

LmIE

⋅⋅

⋅=ω 4

23 )855.7(

LmIE

⋅⋅

⋅=ω

Para transformar la fórmula primera de la frecuencia en esta última se procede

como sigue:

( )4

24

444

LmIELa

LmLIEa

mIEa

⋅⋅

⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅=ω

Por lo tanto, se deduce que el valor de la constante a para los tres primeros

modos de vibración se obtiene de igualar la expresión anterior con cada una de las

expresiones de la frecuencia para cada modo.

Primer modo vibración: La ⋅= 1875.1 → L

a 875.11 =


8

Segundo modo vibración: La ⋅= 2694.4 → L

a 694.42 =

Tercer modo vibración: La ⋅= 3855.7 → L

a 855.73 =

L es la longitud total del vástago, cuyo valor puede ser 5.29m ó 4.54m en función

de la altura a la que se considere el empotramiento, estudio que se desarrollará en

próximos apartados.

A partir del estudio realizado por Romero en su Proyecto Fin de Carrera (pág.63)

(Romero Ordóñez 2007), la expresión anterior que describe la forma del modo se

puede simplificar agrupando constantes, para el posterior ajuste de las amplitudes y de

las pendientes.

( ) ( ))cos()cosh()()()( 21 xaxaCxasenhxasenCx ⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=φ

donde

[I] 11 AC =

)cosh()cos()()(

12 LaLaLasenhLasenAC⋅+⋅⋅+⋅

⋅=

Para la obtención de los valores de 1C y 2C Romero propone (Romero Ordóñez

2007) la resolución de un sistema sobredeterminado donde ix es la coordenada de la

sección i , iClin y iAcel son las amplitudes de los clinómetros y de los acelerómetros

de dicha sección.

Los datos manejados para la obtención de las constantes son las amplitudes de

los tres acelerómetros, instalados en el vástago a diferentes alturas ( 1Acel a

mx 657.12 = , 2Acel a mx 212.23 = y 3Acel a mx 687.24 = ). Por ello el sistema de

ecuaciones no tendrá en cuenta las amplitudes de los clinómetros y el sistema

quedará de la siguiente forma:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅

3

2

1

2

1

4444

3333

2222

)cos()cosh()()()cos()cosh()()()cos()cosh()()(

AcelAcelAcel

CC

xaxaxasenhxasenxaxaxasenhxasenxaxaxasenhxasen


9

Resolviendo este sistema directamente los valores de 1C y 2C no cumplen las

relaciones [I] y por tanto la expresión )(xφ no refleja en ese caso la forma del primer

modo de una viga en voladizo. Para que se cumplan, se propone en este trabajo

introducir ambas en el sistema a resolver, de forma que sólo exista una incógnita

11 AC = .

)cosh()cos()()(

LaLaLasenhLasenD⋅+⋅⋅+⋅

=

DCC ⋅= 12

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅

3

2

1

2

1

4444

3333

2222

)cos()cosh()()()cos()cosh()()()cos()cosh()()(

AcelAcelAcel

CC

xaxaxasenhxasenxaxaxasenhxasenxaxaxasenhxasen

1S 2S Acel

AcelCSCS =⋅+⋅ 2211 → AcelDCSCS =⋅⋅+⋅ 1211

Quedando el siguiente sistema de ecuaciones: [ ] [ ] [ ]AcelCDSS =⋅⋅+ 121

Este mismo proceso es el que se seguirá para determinar el primer modo analítico

a partir de los valores numéricos de cualquier modelo de elementos finitos, que más

adelante serán descritos. Para estos casos ix es la coordenada de la sección i y

iAcel el valor del desplazamiento de la misma sección obtenido del análisis modal de

cada modelo.

La expresión de la curvatura analítica no es más que la derivada segunda de la

función del modo analítico.

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅+⋅⋅+⋅

+⋅⋅−⋅⋅−⋅= 22221 )cos()cosh(

)cosh()cos()()()()()(" axaaxa

LaLaLasenhLasenaxasenhaxasenAxφ

[II]

Sabiendo que:

11 AC =

)cosh()cos()()(

LaLaLasenhLasenD⋅+⋅⋅+⋅

=


10

DAC ⋅= 12

La expresión de la curvatura queda:

( ) ( ))cos()cosh()()()(" 22

21 xaxaaCxasenhxasenaCx ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅−=φ [III]

El valor de la curvatura en el extremo del vástago (x=L) tiene que ser nulo. Esto se

deduce al sustituir en la función [II] el valor L en la variable x. Para que esto siga

cumpliéndose al sustituir los valores de 1C y 2C en la expresión [III] habrá que tener

en cuenta al resolver el sistema sobredeterminado la relación entre estas constantes,

expuesta con anterioridad. De otra forma la expresión de la curvatura obtenida no

sería correcta.

3.2 ESCALADO DE LOS MODOS

Se parte de la necesidad de escalar los datos numéricos y experimentales para

poder trabajar con única escala y así poder comparar coherentemente los resultados.

Existen varias alternativas a la hora de realizar el escalado de los modos. Por un

lado está la normalización del vector de datos a norma unidad. Por otro lado se tiene el

escalado del vector desplazamiento de tal forma que el valor de éste en la sección del

acelerómetro 3 sea la unidad. Por último el escalado de los datos tal que la suma de

los desplazamientos en las secciones de los acelerómetros al cuadrado sea la unidad.

En el estudio realizado se ha optado por la última opción de escalado. Esto es

debido a que con esta forma de normalización no se obliga a que ningún punto de la

curva pase por un valor determinado. Si esto ocurriese podría provocar la pérdida de

información a la hora de trabajar con los modos numéricos, y por tanto en la posterior

obtención de los parámetros modales, llegando a falsear las comparaciones con los

distintos resultados.

[ ]numnacelacelacel AAAAA ............ 3211 → ( ) 123

22

21

2 =++⋅ acelacelacel AAAα →α

[ ] [ ] α⋅= numescalado ......


11

3.3 MODELO 1D

3.3.1 SELECCIÓN DE TIPO DE ELEMENTOS

El modelo monodimensional de la estructura portante del Giraldillo se diseña

como una viga en voladizo compuesta por tres tramos de diferente sección y dos

masas puntuales (una en el extremo libre del vástago y otra a 20cm por encima de la

unión superior) que representan el reparto de masa de la escultura entre esos dos

puntos.

Para la selección de los tipos de elementos a usar en la caracterización del

modelo 1D se ha partido de un pequeño ejercicio, el cual consiste en una viga en

voladizo de sección constante con una carga puntual en su extremo libre. A partir de

este diseño sencillo lo que se pretende es comprobar que el elemento viga y el

elemento masa elegidos tengan un correcto comportamiento ante el análisis modal.

Para ello se determinarán, a partir del cálculo matricial, las frecuencias de este sistema

para compararlas con las frecuencias resultantes del modelo de elementos finitos,

haciendo uso de los elementos a examinar.

Al ser un ejercicio bidimensional se ha escogido como elemento viga BEAM3 y

como elemento masa MASS21. El elemento elástico BEAM3 es un elemento uniaxial

con tres grados de libertad en cada nodo: desplazamientos en las direcciones x e y y

rotación alrededor del eje z. El elemento MASS21 hace referencia a una masa

estructural puntual con seis grados de libertad: Mx, My, Mz, Ixx, Iyy e Izz.

Para iniciar el ejercicio se caracteriza la estructura con las siguientes propiedades:

1L= m

M=1000kg

21mA = 41mI =

37850mkg

=ρ

2910210

mNE ⋅=

Las frecuencias obtenidas del análisis modal en ANSYS son: 1139, 1212 y

4396.5Hz.


12

Para la resolución matricial de este caso se parte de las matrices de masa y

rigidez siguientes:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⋅=

0000000

422022156000140

420 2

MM

LLLALM ρ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

K

460

6120

00

2

23

02 =⋅− MK ω

De esta forma los valores de la frecuencia son: 1212.5, 2356.5, 22236.17Hz.

Como se observa al comparar los resultados de los dos métodos de cálculo las

frecuencias no coinciden, eso es debido a que la matriz de masa del elemento BEAM3

que emplea ANSYS tiene la siguiente expresión:

( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⋅−⋅⋅+=

0000000

),(),(0),(),(0

0031

1 MM

rErCrCrALmAM in

φφφφερ

donde

m : masa añadida por unidad de longitud ( 0=m )

inε : pretensión ( 0=inε )

( )2

22

156

31

107

3513

),(φ

φφφ

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⋅+⋅+

= Lr

rA

( )2

22

1

21

101

241

12011

21011

),(φ

φφφ

φ+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−+⋅+⋅+

=

LLr

rC

( )2

22

22

1

31

61

152

1201

601

1051

),(φ

φφφφ

φ+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅++⋅+⋅+

=

LLr

rE


13

donde

AIr = : radio de giro

ss LGAEI12

=φ G : módulo a cortante

ss

FAA = : área a cortante; sF : constante de deflexión por cortante

Como SHEARZ=0 entonces 0=sF → ∞=sA → 0=φ . Por lo tanto los términos

de la matriz de masa quedan de la siguiente forma (para L=1m):

2

56

3513)( rrA ⋅+=

2

101

21011)( rrC ⋅+=

2

152

1051)( rrE ⋅+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⋅=

0000000

),(),(0),(),(0

0031

MM

rErCrCrAALMφφφφρ

Resolviendo matricialmente el cálculo de las frecuencias y haciendo uso de la

matriz de masa en función de r, se obtienen las frecuencias: 1139.7, 1212.8 y

4396.5Hz, coincidentes con las resultantes del análisis modal del modelo de

elementos finitos.

En el caso más habitual de barras esbeltas, el valor de r se puede despreciar. Así,

en el caso de un perfil de características 201.0 mA = e 45101 mI −⋅= las frecuencias

obtenidas del modelo en ANSYS son: 12.517, 227.68 y 532.87Hz. Las resultantes a

partir del cálculo matricial, en función de r, son: 12.5166, 227.6779 y 532.8662Hz. Y

por último las obtenidas del cálculo matricial suponiendo r=0, son: 12.5172, 227.6779 y

536.6442Hz.

De este ejercicio se concluye que los elementos seleccionados tendrán un

comportamiento adecuado al tipo de análisis y a la estructura a examinar. Puesto que

la estructura es tridimensional se ha optado por usar un elemento viga BEAM4, el cual

tiene un comportamiento similar al del BEAM3, con la diferencia de ser tridimensional y

por tanto presentar seis grados de libertad en cada nodo.


14

3.3.2 MODELO VÁSTAGO GIRALDILLO

El diseño monodimensional del modelo del vástago está basado en las

características descritas en el apartado 2.

Puesto que a priori se desconoce la cota del empotramiento del modelo del que se

disponen los datos experimentales de referencia, se ha optado por diseñar dos

modelos con las dos posibles alternativas de empotramiento. El primero consta de tres

tramos de longitudes (de abajo hacia arriba) 1840, 750 y 2700mm, y el segundo

modelo de 1090, 750 y 2700mm. Dichos tramos están definidos con elementos

BEAM4.

Las propiedades de los dos primeros tramos serán las correspondientes a un

material ST52 ( GPaE 210= , 37850mkg

=ρ , 3.0=υ ) y las del tercer tramo las de un

material AISI 316L ( GPaE 193= , 38000mkg

=ρ , 3.0=υ ).

Para poder comparar con los resultados experimentales es necesario que la

frecuencia del primer modo de vibración del modelo sea 1.025Hz, ya que éste es el

valor de la frecuencia natural del experimental. Para ello se distribuyen los 1500kg del

Giraldillo entre los dos puntos de apoyo en el vástago, situación que fue indicada

anteriormente, en cuyos nodos se define un elemento masa MASS21.

Tras varias iteraciones el reparto de masa queda de la siguiente forma:

Masa superior (kg) Masa inferior (kg) Frecuencia (Hz)

Modelo tramo 1840mm 804 696 1.0253

Modelo tramo 1090mm 1300 200 1.0252


15

3.3.3 VALIDACIÓN MODELOS 1D POR COMPARACIÓN CON EXPERIMENTAL. DETERMINACIÓN LONGITUD DE EMPOTRAMIENTO DEL VÁSTAGO

A partir del análisis modal de los dos modelos de elementos finitos anteriormente

definidos, se han obtenido dos vectores de desplazamiento nodal (uno por cada

modelo) correspondientes al primer modo de vibración. Para poder comparar estos

resultados con los datos experimentales se procede a normalizar según la última

alternativa de escalado descrita en el apartado 3.2.

Los datos experimentales de los que se dispone son los correspondientes a los de

los tres acelerómetros distribuidos por el vástago. A partir de estos se ha obtenido una

curva del primer modo haciendo uso de la expresión analítica del modo, es decir, se

obtiene lo que se denominará como “modo experimental aproximado”.

Representando gráficamente las curvas del modo numérico de los dos modelos, el

modo experimental y el modo experimental interpolado se tiene lo siguiente (Fig. 1):

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.91er MODO MODELO 1D

Longitud

Des

plaz

amie

nto

US

UM

modo 1D 1840 escaladomodo 1D 1090 escaladomodo acelmodo exp aprox

Fig. 1. Comparación del primer modo de vibración de los modelos 1D y los resultados

del modelo experimental


16

Para determinar la longitud de empotramiento del vástago se pueden comparar

las dos curvas de los modelos monodimensionales con la experimental aproximada,

observándose que el modelo que sigue un comportamiento similar al del experimental

es el de 1090mm de longitud en el tramo 1. En el análisis experimental se consideró

que la longitud del primer tramo era de 1840mm, por eso se observa que en el origen

exista esa diferencia entre ambas curvas. Pero una vez salvado el origen ambas

curvas tienden prácticamente a una, a medida que se recorre el vástago.

Por lo tanto se concluye que la estructura portante del Giraldillo consta de tres

tramos de longitudes 1090, 750 y 2700mm. A partir de esto se procederá al diseño del

modelo en tres dimensiones de acuerdo con estas longitudes.

3.4 MODELO 3D

3.4.1 SELECCIÓN DE TIPO DE ELEMENTOS

Para la selección de los tipos de elementos a usar en la caracterización del

modelo tridimensional se parte de unos sencillos ejercicios de una viga en voladizo de

2.5m de longitud. Esta barra en un primer caso será un tubo hueco de propiedades:

mmext 3.141=φ

mme 7.12=

mmmed 6.128=φ

( ) 444int

4 1010688.064

mII extzy−⋅=−== φφπ

4510376.2 mI x−⋅=

Y en un segundo caso será un cilindro de características:

mm100=φ

451048986.0 mII zy−⋅==

46107972.9 mI x−⋅=


17

Para cada perfil descrito se diseñan unos modelos de elementos finitos en 1D, 3D

y 1D+3D, y se someten a un análisis modal con el fin de comparar las frecuencias

resultantes entre ellas, tomando como referencia la primera frecuencia de vibración del

modelo monodimensional, cuyo elemento viga es BEAM4. Los elementos a evaluar

son para los modelos con perfil tubular los elementos lámina SHELL63 y SHELL93, y

para los modelos con perfil circular macizo los elementos sólido SOLID45 y SOLID95

(Fig. 2). El elemento SHELL63, usado para modelar superficies planas, está definido

por cuatro nodos con seis grados de libertad en cada nodo: desplazamientos en las

direcciones x, y y z y rotaciones alrededor de los ejes x, y y z. El SHELL93,

especialmente adecuado para modelar superficies curvas, está definido por ocho

nodos con tres grados de libertad en cada nodo: desplazamientos en las direcciones x,

y y z. Los elementos SOLID45 Y SOLID95 están definidos por ocho y veinte nodos,

respectivamente, con tres grados de libertad por nodo: desplazamientos en las

direcciones x, y y z. El SOLID45 es usado en el modelado de estructuras sólidas

tridimensionales con contornos lineales, y para los casos con contornos cuadráticos se

emplea el SOLID95.

PERFIL TUBULAR

BEAM 4SHELL 63 óSHELL 93

SHELL 63 óSHELL 93

BEAM 4

PERFIL CIRCULAR MACIZO

BEAM 4SOLID 45 óSOLID 95

SOLID 45 óSOLID 95

BEAM 4

Fig. 2. Ejercicios para la selección de los tipos de elementos del modelo tridimensional


18

La primera frecuencia del modelo 1D, para el caso del perfil tubular, es de

21.128Hz. Las diferentes alternativas de caracterización del modelo 3D, el cual será

diseñado con el diámetro medio del perfil, son usar el elemento SHELL63 o el

SHELL93.

Con el SHELL63, partiendo de un tamaño de elemento de 0.8, la frecuencia es de

17.404Hz, la cual dista mucho del valor de referencia. Para llegar a dicha frecuencia

hay que disponer de un mallado muy fino con tamaños de elementos inferiores a

0.007, por lo que complica la resolución de un modelo tan sencillo, por el hecho de

manejar un elevado número de elementos.

Al emplear el SHELL93, partiendo de un tamaño de elemento de 0.8, la frecuencia

es de 21.155Hz. La diferencia con la frecuencia de referencia es muy pequeña. De

esta forma se puede usar una malla más tosca, facilitando la resolución del modelo.

La primera frecuencia del modelo 1D, para el perfil circular macizo, es de

10.983Hz. Con el SOLID45, partiendo de un tamaño de elemento de 0.1, la frecuencia

es de 14.194Hz, cuyo valor dista con el de referencia. Para alcanzar esta frecuencia

hay que reducir el tamaño de los elementos por debajo de 0.001, lo que complica el

cálculo del modelo al definir un número tan elevado de elementos.

Haciendo lo mismo con el SOLID95, para un tamaño de elemento de 0.1, la

frecuencia es de 11.265Hz. Este valor es más próximo al de referencia por lo que la

malla a usar puede presentar un menor número de elementos que si se usase el

SOLID45.

Después de haberse ejecutado estos cuatro ejercicios se concluye que el

elemento lámina SHELL93 y el elemento sólido SOLID95 son los que presentan un

comportamiento más adecuado y práctico para el análisis del modelo en tres

dimensiones.

Por último se crean unos modelos combinando 1D y 3D con el objeto de

comprobar que la unión rígida entre los tramos 1D y 3D, la cual se describe en el

siguiente subapartado, responde correctamente a cualquier tipo de análisis. En el caso

del perfil hueco se definen los tramos 1D con elementos BEAM4 y los tramos 3D con

elementos SHELL93, y en el caso del perfil macizo los tramos 1D se caracterizan igual

que el anterior y los tramos 3D con elementos SOLID95.


19

Para el primer caso y un tamaño de elemento de 0.05 se obtiene una frecuencia

de 20.960Hz y para el segundo caso, y el mismo tamaño de elemento, la frecuencia es

de 10.763Hz. Ambas frecuencias son próximas a sus valores de referencia, por lo que

la selección de estos elementos para el diseño del vástago en tres dimensiones es la

más adecuada.

3.4.2 MODELO VÁSTAGO GIRALDILLO

Una vez decidida la cota de empotramiento del modelo, analizado en el

subapartado 3.3.3, y el tipo de elementos a utilizar, se procede al diseño en tres

dimensiones del modelo de elementos finitos del vástago del Giraldillo junto con los

elementos de unión descritos, en dimensiones y propiedades, en el capítulo 2.

Con la idea de simplificar el modelo, de tal manera que el número de elementos

no sea muy elevado, se ha optado por diseñar tramos del vástago

monodimensionales. Para que esta simplificación no afecte al comportamiento de la

estructura en el análisis a realizar, se establece una unión rígida consistente en

acoplar todos los desplazamientos y giros del nodo extremo del tramo

monodimensional con los nodos de la superficie en contacto del tramo tridimensional.

A continuación (Fig. 3) se muestra un ejemplo gráfico:

Node masterNode slave

SHELL93

BEAM4

Fig. 3. Esquema acoplamiento tramos 1D y 3D

Puesto que las dos uniones que presenta la estructura portante son diseñadas en

tres dimensiones, los tramos del vástago próximos a ellas también serán

tridimensionales, quedando el resto monodimensional. En el esquema de la figura (Fig.

4) se muestran las longitudes de los diferentes tramos:


20

300300

150200

2700

750

1090

Fig. 4. Esquema estructura portante del Giraldillo usada en el diseño 3D

Los tramos de vástago con perfil tubular, es decir, los tramos 1 y 2, son diseñados

a partir del diámetro medio. Esto hace que entre la superficie del vástago y el hueco de

la brida y las cartelas no exista contacto. Para solucionar esto se rellena ese espacio

mediante una unión rígida haciendo uso de un material con un elevado módulo

elástico y una baja densidad ( aceroEE ⋅= 100 y 1001=ρ ). Dicha unión presenta el

siguiente aspecto (Fig. 5):

Diámetro medio

Láminaunión rígida

Anillo sólidounión rígida

Fig. 5. Unión rígida entre vástago tubular y el hueco de la brida y las cartelas

En la caracterización del modelo de elementos finitos se han usado los siguientes

tipos de elementos para las distintas partes del mismo: elementos BEAM4 para los


21

tramos del vástago monodimensionales; SHELL93 para los tramos del vástago de

perfil tubular y las cartelas; SOLID95 para los tramos de vástago de perfil macizo y las

bridas, y MASS21 para las cargas puntuales de la masa del Giraldillo. En la siguiente

figura (Fig. 6) se muestra un esquema con los tipos de elementos y materiales

asociados a cada parte del modelo:

SHELL93 / ST52

SOLID95 / ST52

SHELL93 / ST52

SOLID95 / AISI 316L

SOLID95 / AISI 316L

SHELL93 / ST52

DETALLE A

SHELL93 / ST52

SHELL93 / ST52

SOLID95 / ST52

SHELL93 / ST52

SHELL93 / ST52

BEAM4 / AISI 316L

BEAM4 / ST52 A

B

MASS21

MASS21

DETALLE B

Fig. 6. Esquema con tipos de elementos y materiales asociados a cada parte del modelo 3D

Para hacer un mallado coherente entre las distintas partes tridimensionales de la

estructura se procede a dividir las áreas de los perfiles tubulares y los volúmenes de

las bridas y del perfil macizo. De esta manera los nodos generados tras el mallado, en

las líneas y superficies comunes entre elementos estructurales resultantes de la


22

división, coincidirán. Esto permitirá además realizar una unión nodo a nodo entre cada

pareja de bridas, dando lugar a lo que se denominará modelo “sin tornillos”. A

continuación se exponen una serie de imágenes ilustrativas de las divisiones

practicadas en el modelo y el mallado resultante según esta división (de Fig. 7a Fig.

12):

Fig. 7. Imagen 3D de la unión inferior


23

Fig. 8. Imagen 3D de la unión superior

Fig. 9. Imagen 3D mallado de la unión inferior


24

Fig. 10. Detalle mallado de la unión inferior

Fig. 11. Imagen 3D mallado unión superior


25

Fig. 12. Detalle mallado de la unión superior

Una vez terminado el diseño del modelo, y considerando el mismo reparto de

masa que en el caso monodimensional, tras el análisis modal la primera frecuencia de

vibración resultante es 1.0364Hz. Para comparar con los datos experimentales se

reparte la masa de tal manera que la frecuencia sea 1.025Hz. Tras varias iteraciones

el reparto queda de la siguiente forma:

Masa superior (kg) Masa inferior (kg) Frecuencia (Hz)

1300 200 1.0364 Modelo 3D tramo 1090mm 1331 169 1.0253


26

3.4.3 SIMULACIÓN DE TORNILLOS

Continuando con el diseño del modelo de elementos finitos, y con el fin de que

éste se aproxime a la estructura real, se procede a la simulación de los tornillos. En el

caso anterior, había una unión nodo a nodo de los nodos coincidentes entre cada par

de bridas, y ahora se procede a desconectar dichos nodos y simular la unión entre las

bridas mediante tornillos.

En cada unión entre tramos de vástago hay ocho tornillos, que serán diseñados

como unas barras que atraviesan las bridas por los huecos destinados a ello. Por lo

tanto los tornillos de la unión inferior tendrán una longitud de 60mm y los de la unión

superior 40mm. Para que dichos tornillos queden fijos en sus extremos a las

superficies de las bridas se establece una unión rígida, consistente en acoplar todos

los desplazamientos y giros de cada nodo extremo del tornillo con los nodos del borde

del orificio de la superficie de la brida. A continuación (Fig. 13) se muestra un

esquema:

Node master

Node slave

Fig. 13. Esquema acoplamiento entre el extremo del tornillo y el borde del orificio

Los tornillos serán caracterizados con elementos tipo BEAM4. Para las dos

uniones que presenta la estructura los tornillos poseen propiedades y medidas

diferentes. En la tabla siguiente se listan las características de los tornillos en función

de la unión:


27

Métrica Diámetro (mm) Iy=Iz (m4) Ix (m4) Material

Unión Inferior

M20 17.662 0.47669·10-8 0.95337·10-8

A4-80 (Inox):

2910300

mNE ⋅=

38000mkg

=ρ

Unión Superior

M14 12.1005 0.10503·10-8 0.21005·10-8

A4-70 (Inox):

2910225

mNE ⋅=

37960mkg

=ρ

Para comprobar el efecto que provoca en la estructura la presencia de tornillos

pretensados se ha hecho inicialmente un modelo con tornillos sin pretensar y otro

considerando una pretensión en ellos. Los tornillos de la unión inferior poseen un

apriete de 450Nm y los de la unión superior de 150Nm. Este apriete se introduce en el

modelaje como una deformación inicial:

Apriete 450Nm →

KNN 1200 ≈ 2245mmA =

2310300

mmNE ⋅=

→ 30 1063265.1 −⋅=⋅

=AE

Ninicialε

Apriete 150Nm →

KNN 570 ≈ 2115mmA =

2310225

mmNE ⋅=

→ 30 102029.2 −⋅=⋅

=AE

Ninicialε

Una vez terminado el diseño de los modelos, y considerando el mismo reparto de

masa que en el caso tridimensional descrito en el subapartado anterior (Masa

superior=1331kg y Masa inferior=169kg), se obtiene una primera frecuencia de

vibración de 1.0018Hz para ambos modelos, con tornillos sin pretensar y con tornillos

pretensados. La frecuencia disminuye en un 2.26% respecto a la del modelo “sin

tornillos” (1.025Hz), lo que significa que en el modelo “con tornillos” las uniones entre

bridas es más flexible, siéndolo incluso más que en la estructura real.

El efecto de la pretensión en los tornillos o de cualquier tipo de carga externa no

se refleja en los resultados del análisis en el dominio de la frecuencia, de ahí que la


28

frecuencia sea la misma en ambos casos. Para analizar dicho efecto habría que

someter los modelos a un análisis transitorio en el dominio del tiempo.

3.4.4 VALIDACIÓN DE MODELOS 3D: COMPARACIÓN CON MODELO 1D Y EXPERIMENTAL

A partir del análisis modal de los modelos de elementos finitos diseñados en el

subapartado anterior, se obtiene un vector de desplazamiento nodal para cada uno de

ellos, correspondiente al primer modo de vibración. El tamaño de estos vectores es de

12423 nodos para el modelo tridimensional “sin tornillos” (acoplamiento entre bridas

nodo a nodo) y de 13233 nodos para el modelo “con tornillos”.

Con el fin de comparar estos resultados con los del modelo monodimensional y

con los datos experimentales, se programa una función en Matlab la cual selecciona

de entre todos los nodos aquellos que representan la forma del modo de los modelos

tridimensionales como si el diseño fuese monodimensional. Los nodos seleccionados

son aquellos que en su posición indeformada se encuentran sobre el eje Z o, en su

defecto, los más próximos a dicho eje, es decir, los nodos situados en la generatriz

más cercana al eje Z. Según esto el tamaño del vector de desplazamiento de los

modelos sin tornillos y con tornillos es de 116 nodos, en ambos casos, un número de

datos considerablemente más manejable que el inicial. Las coordenadas de posición

de dichos nodos son iguales para todos los diseños tridimensionales.

En las siguientes imágenes se muestra el modelo tridimensional (Fig. 14) y el

conjunto de nodos que representarán la forma del modo a comparar con los demás

modelos (Fig. 15).


29

Fig. 14. Imagen modelo de elementos finitos 3D del vástago

Fig. 15. Conjunto de nodos usados para representar la forma del modo del modelo 3D


30

Para comparar los resultados numéricos de los modelos tridimensionales con los

demás casos se procede a normalizar los vectores de desplazamiento de igual manera

que se hizo en el modelo monodimensional. Puesto que los datos experimentales de

los que se dispone son hasta la posición del acelerómetro 3, en las gráficas se

analizará la forma del modo de los modelos hasta dicha posición.

En un primer análisis comparativo, se representan gráficamente la curva del modo

numérico del modelo tridimensional sin tornillos y la del monodimensional, el modo

experimental y el modo experimental aproximado por la expresión teórica del modo

(Fig. 16).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.91er MODO (vastago 1090 y modonum escalado)

Longitud

Des

plaz

amie

nto

modo 3D 1090 escaladomodo 1D 1090 escaladomodo acelmodo exp aprox

Fig. 16. Comparación del primer modo de vibración de los modelos 1D y 3D con los

resultados del modelo experimental

A la vista de esta gráfica se observa que el modo del modelo tridimensional sin

tornillos tiene un comportamiento similar al del modelo monodimensional. La diferencia

entre ambas curvas está en la definición y caracterización de las uniones en el diseño

tridimensional, pero a efectos prácticos dicha desviación puede considerarse

despreciable. Esto permite que ante estudios de la estructura portante en los que la

definición de las uniones no se vea alterada se puede hacer uso del modelo

monodimensional, facilitando la obtención de resultados y el posterior manejo de los

mismos.


31

Por último, en la siguiente gráfica (Fig. 17) son representadas las curvas de los

modos numéricos de los modelos tridimensionales sin tornillos, con tornillos sin

pretensado y con tornillos pretensados, el modo experimental y el modo experimental

aproximado por la expresión teórica del modo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.91er MODO vastago 1090 (modonum escalado con tornillos pretensados y sin pretensado)

Longitud

Des

plaz

amie

nto

modo 3D 1090 escalado sin tornillosmodo 3D 1090 escalado con tornillos sin pretensadomodo 3D 1090 escalado con tornillos pretensadomodo acelmodo exp aprox

Fig. 17. Comparación del primer modo de vibración de los modelos 3D “sin tornillos” y

“con tornillos” con los resultados del modelo experimental

Como se muestra en la gráfica las curvas de los modos de los modelos con

tornillos (sin pretensado y con pretensado) son iguales, esto se debe a que la

pretensión en los tornillos no afecta a los resultados del análisis en el dominio de la

frecuencia. Comparando estas dos curvas con la del modelo sin tornillos ésta última

presenta un comportamiento prácticamente idéntico a las anteriores. Las diferencias

existentes versan en torno a lo descrito en la gráfica anterior, pero en este caso son

menores ya que en los tres modelos están definidas las uniones y lo que diferencia a

un caso de otro es la presencia o no de tornillos.

Las formas de los modos de estos modelos tridimensionales y del

monodimensional, junto con la del modo experimental serán tomadas como referencia

en posteriores cálculos comparativos y análisis de sensibilidad.

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3 MODELOS FEM - Universidad de Sevillabibing.us.es/proyectos/abreproy/4820/fichero/3+MODELOS+FEM.pdf · 3 MODELOS FEM 3.1 EXPRESIONES TEÓRICAS DE MODOS DE VIBRACIÓN Y SUS CURVATURAS