3º ESO ACADÉMICAS – UNIDADES 9 y 8.- CUERPOS …iesaricel.org/rafanogal/eso/3acad-19-20/3academ...3º eso acadÉmicas – unidades 9 y 8.- cuerpos geomÉtricos. movimientos en

3º ESO ACADÉMICAS – UNIDADES 9 y 8.- CUERPOS GEOMÉTRICOS. MOVIMIENTOS EN EL PLANO SOLUCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- POLIEDROS

1.- Calcula el área y volumen del siguiente prisma triangular regular

Solución

102 = 52 + x2 x ≈ 8,66 cm

AB = 10 . 8,66

43,32

→ A(prisma) = 2AB + AL = 2 . 43,3 + 3 . (10 . 15) = 86,6 + 450 = 536,6 cm2.

V(prisma) = AB . h = 43,3 . 15 = 649,5 cm3

2.- Halla el área y volumen de un recipiente con tapa con forma de prisma hexagonal regular de 30 cm de altura y 6 cm de lado de la base.

Solución

Base del prisma: 62

= 32

+ a2

→ a ≈ 5,2 . B

(6.6) . 5,2A 93,6

2

A(prisma) = AB + AL = 93,6 + 6 . (6 .30) = 1 173,6 cm2.

V(prisma) = AB . h = 93,6 . 30 = 2 808 cm3

3.- Las dimensiones de un tetrabrik son 9,5 cm x 6,4 cm x 16,5 cm. Una empresa produce 2 000 tetrabrik diarios. a) ¿Cuántos m2 de cartón necesita para fabricarlos? b) ¿Cuántos litros de leche se pueden envasar?

Solución

a) El área o superficie de un tetrabrik es A = 2(ab + ac + bc) = 2(16,5 . 9,5 + 16,5 . 6,4 + 9,5 . 6,4) = 646,3 cm2

Como son 2 000, la superficie es 646,3 . 2 000 = 1 292 600 cm2 : 10000 129,26 m2.

b) El volumen es V = abc = 16,5 . 9,5 . 6,4 = 1 003,2 cm3 .

Como son 2 000, el volumen es 1 003,2 . 2000 = 2 006 400 : 1000 2 006,4 dm3 = 2 006,4 litros

4.- El mosquito Pepito se encuentra en la esquina A de una nave industrial que mide 24 m de largo, 12 m de ancho y 3 m de alto, cuando divisa en el vértice opuesto B a Melinda, su mosquita preferida, ¿qué distancia, en línea recta, habrá de volar Pepito para encontrarse con su amada Melinda?

Solución

Si d = diagonal de la base, d2 = 122 + 242 = 720

Si D = diagonal del cubo = AB, D2 = 32 + d2 = 32 + 720 D = 27 m


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5.- A una gran pecera de cristal con forma de cubo con tapa le caben 27 litros de agua. ¿Cuántos cm2 de cristal se necesitan para construir 5 peceras iguales que la anterior?

Solución

Como V = a3 →a3 = 27 dm3 → 3

a 27 3 . El área de un cubo es A = 6a2 = 6 . 9 = 54 dm2.

Como son 5 peceras, el área es 54 . 5 = 270 dm2 . 100 27 000 cm2.

6.- En un octaedro regular cada arista mide 60 cm. ¿Cuál es el área del octaedro, en dm2?

Solución Cada cara del octaedro es un triángulo equilátero de lado 60 cm. Si x = altura del triángulo,

602 = x2 + 62 x ≈ 69,7 A(octaedro) = 8. A(triángulo) = 260 . 69,78. 1672,8 cm

2

7.- Dada una pirámide hexagonal regular de 4 m de altura y 5 m de apotema, se sabe que el lado de la base mide 3,5 m. Halla:

a) La apotema de la base b) El área de la base c) El área de una cara lateral d) El área de la pirámide e) El volumen de la pirámide

Solución

a)

3,52 = 1,752 + x2 ; x = 3,03 (apotema de la base) b) Base

(3,5.6).3,03A

2 = 31,8

c)

cara lateral

3,5 . 5A

2 = 8,75 d) A(pirám.) = 31,8 + 8,75 . 6 = 84,3 m2 e) B

pirámide

331,8 . 4A .hV 42,4 m

3 3

8.- Halla el área y volumen de una pieza de forma de pirámide hexagonal de 16 cm de apotema, sabiendo que la base tiene un perímetro de 12 cm.

Solución

lado base = 12 : 6 = 2. Por otra parte, usando Pitágoras: 22 = x2 + 12 x 1,73


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B

12 . 1,73A 10,38

2

L

2 . 16A 6.A(triángulo) 6. 96

2

2B LA(pirámide) = A +A =10,38+96 =106,38 cm

Por otra parte, aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la altura de la pirámide, h

2 2 216 1,73 h h 15,91 . 3BA .h 10,38 .15,91V = = 55,05 cm

3 3

9.- Calcula el volumen: a) b)

Solución a) El cuerpo está formado por un prisma y un ortoedro. Para el prisma, las bases son triángulos. Sea x = altura del triángulo 52 = x2 + 32 x = 4

V(cuerpo) = V(prisma) + V(ortoedro) = A(base). altura + largo.ancho.alto = 6.42

.2 + 8.6.2 = 120 cm3.

b) (A A´ AA´)h

V(tronco de pirámide)3

; A = área del hexágono mayor =

(34.6).29,42998,8

2

Para hallar A´= área del hexágono menor observamos que las medidas de la pirámide pequeña son la mitad

que las de la grande, pues la altura es la mitad y son semejantes (17.6).14,7

A´ 749,72

h = 20 – 10 = 10 3(2998,8 747,7 2998,8.747,7).10V(tronco de pirámide) 17479,66 cm

3

10.- Halla el área y volumen del cuerpo geométrico formado por un prisma cuadrangular regular de 8 cm de altura en el que está apoyada una pirámide 7 cm de altura, siendo la base un cuadrado de 5 cm de lado.

Solución

2 2 2 2 2p p

22 3

5.7,43Pitágoras : A =7 +2,5 A 7,43 A(cuerpo)=5A(cuadrado)+3A(triángulo)=5.5 +3. 143,6 cm

2

5 .7V(cuerpo)= V(prisma)+V(pirámide)=5 .8+ 258,3 cm

3


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Actividades del libro unidad 9: 41 (pág. 207), 61 (pág. 208), 68 (pág. 209), y autoevaluación 5 (pág. 211)

Solución

32 2 23a 2 12.500

V 500 a 16,189 A a 3 16,189 3 454 cm12 2

Solución

V(caja) = (50 – 10) . (30 – 10) . 5 = 40 . 20 . 5 = 4000 cm3.

Solución

Solución


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2.- CUERPOS REDONDOS

1.- Una empresa de carburantes posee un tanque de almacenamiento cilíndrico de 50 m de diámetro y 40 m de altura. Halla la superficie y el volumen del tanque.

Solución 2 2 2 3A(cilindro) = 2πr(r + h)= 2π.25(25+ 40) 10210,2 m V(cilindro) = πr h = π.25 .40 78539,82 cm

2.- Halla la superficie y los litros de agua que le caben a un recipiente cónico con tapa de 120 cm de diámetro y 100 cm de generatriz.

Solución

1002 = 602 + x2 → x = 80. A(cono) = πr(g + r) = π . 60 . (80 + 60) ≈ 26 389,4 cm2.

2 2

: 10003cono

r h .60 .80V 301 592,9 cm aproximad. 301,6 litros

3 3

3.- Halla el volumen del tronco de cono

Solución

2 2 2 236 3 6 3 15

215 675 43 3

(R r Rr)h ( . ).V(tronco cono) , cm

4.- Halla el volumen, en litros, del siguiente cuerpo geométrico. Las medidas del dibujo están dadas en dm

Solución

3 3

2 2

2 2 2

2 2

4 4 . 3 ( ) 3 6( ) 3 6 ( ) 1 8

3 3 2 2

( ) 1 , 5 . 8 1 8.

: 5 1 , 5 4 , 8

1 , 5 4 , 8( ) 3 , 6

3 3

( ) (

r V e s fe r aV e s fe r a V s e m ie s fe r a

V c i l in d r o r hS o l

E n e l c o n o a p l ic a m o s e l t e o r e m a d e P it á g o r a s h h

r hV c o n o

V c u e r p o V s e m i

3) ( ) V (c o n o ) 3 9 , 6 1 2 4 , 3 d m 1 2 4 , 3 e s fe r a V c i l in d r o l i t r o s


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5.- En una copa con forma cónica llena de agua se introduce una bola.

El cono tiene 12 cm de altura y 15 cm de generatriz y la bola 4 cm de diámetro. Calcula qué volumen de agua queda en la copa

Solución

152 = 122 + r2 → r = 9.

2 2

3cono

r h .9 .12V 1017,88 cm

3 3

3 33

esfera

4 r 4 .2V 33,51 cm

3 3

. El volumen de agua que queda es Vcono – Vesfera = 984,37 cm3.

6.- Un cartucho de tinta para impresora tiene la forma de la figura, calcula su capacidad:

Solución

Los dos semicilindros forman un cilindro de diámetro 4 cm y altura 8 cm. Capacidad del cartucho = V(cartucho) = V(cilindro) + V(ortoedro) = π224 + 8 . 4 . 4 ≈ 178,3 cm3. 7.- Se colocan en una caja 10 bolas iguales y encajan perfectamente. Véase la figura ¿Qué volumen queda libre en la caja?

Solución

334 .3,4

El diámetro de cada bola es 34 : 5 6,8 V(libre) V(caja) 10V(esfera) 34.13,6.6,8 10. 2620,3 cm3

8.- En una esfera de 10 cm de diámetro se inscribe un cilindro de 6 cm de altura.

a) Halla el radio del cilindro b) Halla el área de la esfera y del cilindro c) Calcula cuántos cm3 le caben más a la esfera que al cilindro.

Solución

a) Si llamamos x al radio del cilindro, 52 = x2 + 32 x = 4 cm

b) A(esfera) = 4πr2 = 4π.52 ≈ 314 cm2. A(cilindro) = 2πx(x + h) = 2π.4.(4 + 6) ≈ 251,3 cm2.

c) 3

2 34 .5 500V(esfera) V(cilindro) .4 .6 96 222 cm

3 3


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- Página 7 -

Actividades del libro unidad 9: 18 (pág. 200), 55, 60, 62, 63 (pág. 208) y 67 (pág. 209)

Solución


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- Página 8 -

Solución

Solución


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- Página 9 -

Solución

Solución

Solución

3.- COORDENADAS GEOGRÁFICAS

1.- Calcula cuántos grados de longitud y latitud separan a los puntos A y B en los siguientes casos: a) A : 90ºO 40ºS B: 140ºE 80ºN b) A: 70ºE 45ºS B: 30ºE 25ºS

Solución a) Diferencia de longitud: 140º + 90º = 230º Diferencia de latitud: 40º + 80º = 120º b) Diferencia de longitud: 70º – 30º = 40º Diferencia de latitud: 45º – 25º = 20º 2.- Halla la distancia entre dos puntos A y B en los siguientes casos: a) A : 60ºE 40ºN B: 60ºE 54ºN b) A: 135ºO 70ºN B: 135ºO 12ºS c) A : 10ºE 45ºS B: 10ºE 24ºS

Solución π.6370.14ºa) dist AB = 1556,5 km

180º

π.6370.82ºb) dist AB = 9116,6 km180º

π.6370.21ºc) dist AB = 2334,7 km180º

3.- Dos puntos de la Tierra situados en el mismo meridiano distan 800 km. ¿Cuál es la diferencia, en grados, entre sus latitudes?

Solución πR º πR º 800.180 800.180dist AB = 800 = º= = 7,2º180º 180º πR π6370

⇒ ⇒ ≅


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Actividades del libro unidad 9: 25, 26 (pág. 203) y 48 (pág. 207)

Solución

Solución

Solución

TRABAJO DEL TEMA 8.- MOVIMIENTOS EN EL PLANO Estudia la teoría, ejemplos y ejercicios resueltos del libro. Después realiza las 10 actividades que se proponen.

El plazo límite para entregar el trabajo a tu profesor es el miércoles 10 de Junio de 2020

2.- Traslaciones: Actividades del libro: 6 (pág. 175) y 32 (pág. 184)

Solución


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- Página 11 -

Solución

3.- Giros: Actividades del libro: 9, 11 (pág. 177) y 45 (pág. 185)


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- Página 12 -

Solución

Solución


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- Página 13 -

Solución

4.- Simetrías axial y central: Actividades del libro: 18 (pág. 179), 50 (pág. 185) y 62 (pág. 186)

Solución


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- Página 14 -

Solución


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- Página 15 -

Solución

5.- Ejes y centro de simetría en figuras planas: Actividades del libro: 22 (pág. 180) y 63 (pág. 187)


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- Página 16 -

Solución

Solución

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