•S.Weinberg, Physica 96A, 327 (1979).•J.Gasser and H.Leutwyler, Ann. of Phys. 158, 142 (1984).•J.Gasser and H.Leutwyler, Nucl. Phys. B 250, 465, (1985).•A.Pich, lecture note for Les Houches Summer School (hep-ph/9806303).•A.Manohar and H.Georgi, Nucl. Phys. B 234, 189 (1984).•“ ゲージ場の量子論” 九後汰一郎著 （培風館） .•C.Rosenzweig, J.Schechter and C.G.Trahern, Phys. Rev. D 21, (1980).•P.Di Vecchia and G.Veneziano, Nucl. Phys. B 171, 253 (1980).•E.Witten, Ann. of Phys. 128, 363 (1980).

☆ QCD のパラメータの極限・対称性の情報

摂動的 QCD ( 漸近的自由性 )

（ミクロな領域 ； 高エネルギー領域）

ヘビークォーク対称性

カイラル対称性

ハドロンによる量子補正が小さくなる

☆ ＱＣＤラグランジアン

カレント・クォーク質量

☆ カレントと保存電荷

； ベクトル・カレント； 軸性ベクトル・カレント

(vector charge) (axial-vector charge)

☆ カイラル対称性の自発的破れ・オーダー・パラメータ

☆ 現実世界・カレント・クォーク質量 ； mu, md ・・・ 5 - 10 MeV ⇒ カイラル対称性は explicit に破れている・構成子 (constituent) クォーク質量 陽子 (uud), 中性子 (udd) の質量 ・・・ 1 GeV → ハドロンの中では、Mu, Md ・・・ 300 MeV Mu, Md ; QCD の強い相互作用により生成された有効質量

◎ ＱＣＤラグランジアンでの近似的カイラル対称性

◎・ π 中間子 ・・・ 近似的 南部 - ゴールドストーン粒子

◎ 南部 - ゴールドストーン定理の低エネルギー定理

NG boson の低エネルギー極限における散乱振幅は対称性の要求から、力学系の詳細によらずに決定される。

◎ Chiral Perturbation Theory

低エネルギー定理の系統的記述高いエネルギー領域への組織的拡張

☆ Generating Functional of QCD

・ current quark masses ・・・ VEV of S

☆ Basic Concept of the ChPT

☆ Derivative expansion

☆ M ・・・ matrix element with Ne external π lines

(Ni internal π lines and NL loops)

・ general form of an interaction

・・・ dimension carried by the coupling constants

☆ General expression of the matrix element

μ : a common renormalization scaleE : a common energy scale

☆ Chiral order

☆ Examples of chiral order

☆ Building blocks

π kinetic term π mass term

π Interaction terms

◎ pseudoscalar mesons

☆ masses at leading order (Nf = 3 の場合 )

☆ ラグランジアン ・・・ 低エネルギー極限では D = 2 のみ寄与

◎ ファインマンルール

ππ 散乱振幅

・ Eq. of motion

・ trivial relation = O(p4)

= 0

=0

・ Eq. of motion

・ trivial relation = O(p4)

= 0

☆ SU(N) 局所対称性に基づく YM Lagrangian

background field

quantum field

◎ background field と quantum field に分離

変換性 : ;

・変換性

◎ Gauge fixing term (Feynman gauge)

◎ Fadeev-Popov ghost term

;

;

GF + FP terms は SU(N) 対称性を keep ⇔ 普通の量子化では、 GF + FP がゲージ対称性を破る

tree contribution

quantum correction at one loop

◎ Lagrangian

equations of motion for background fields

・ 具体的計算

tree contribution

quantum correction at one loop

equations of motion for background fields

☆ Feynman rules

・２次発散はキャンセルし、 log 発散のみ存在

◎ くりこみ

◎ くりこみ群方程式

asymptotic free

ChPT での loop 計算のための準備

☆ Background fields の導入 (1)

☆ Background fields の導入 (2)quantum field

background fields

☆ Background fields including external gauge fields

☆ ラグランジアン

tree contribution

quantum correction at one loop

equations of motion for background fields

第１項と第２項への２次発散の補正が異なる ⇒ くりこみを行った後、 Fχ=Fπ とおく

⇒

・ generator Ta は質量が対角化されるようにとっておく

例 ：

☆ Feynman Rules

・ propagator

・ vertices の例

◎ tree contribution

◎ 1-loop correction

・積分の正則化 ・・・ dimensional regularization

log 発散２次発散

◎ くりこみ

◎ Pion decay constant

chiral 極限 (Mπ=0) での decay constant

chiral 極限からのズレ

◎ tree contribution

(g part のみ )

◎ 1-loop correction

◎ くりこみ

◎ Decay constants

・・・

注： ＱＣＤのテストというよりは、カイラル対称性のテスト

・ ＱＣＤ（カイラル対称性以外）のテスト・ もしくは、計算手法のテスト

☆ Renormalization in the dimensional regularization

3.14. Vector Form Factors

and L9

◎ Charge radii from ChPT

☆ Vector form factors

・・・ independent of L9

π, K

π, K

π

W

K

e

ν

◎ predictions & experiments

PDG (2006) 0.452±0.011 ; 0.314±0.035 ; - 0.077±0.010

3.15. π→ e νγ and L10

☆ π → e νγγ

W

π

e

ν ⇔

independent of μ

◎ Axial-vector form factor

3.16. Values of low energy constants

☆ Chiral anomaly

SU(3)L × SU(3)R infinitesimal transformation

Lagrangian is invariant (classical level).

◎ Axial part, αR = － αL = β, is broken at quantum level.

+

change of effective action

☆ Wess-Zumino-Witten Lagrangian

◎ Wess-Zumino anomaly equation for effective Lagrangian of NG bosons

☆ Solution for Wess-Zumino anomaly equation

☆ π0 → γγ

；photon field charge matrix

3.18. U(1)A Anomaly and η’

+

☆ U(1)A Anomaly

change of effective action

☆ Effective Action with η’

・・・

◎ Anomaly

◎ η’ の質量