3-alcatuirea si calculul

8/3/2019 3-alcatuirea si calculul

1/50

1

AALLCCTTUUIIRREEAA IICCAALLCCUULLUULL EELLEEMMEENNTTEELLOORR

SSTTRRAATTIIFFIICCAATTEEDDIINNMMAATTEERRIIAALLEECCOOMMPPOOZZIITTEEPPOOLLIIMMEERRIICCEE

CAPITOLUL 3

3.1. Introducere

Studiul proiectrii elementelor din materiale compozite polimerice cuarmturi din fibre relev complexitatea acestei probleme, precum i faptul c

proiectarea cu materiale omogene i izotrope constituie, de fapt, un cazparticular al primei probleme [9, 57, 77, 80].

Tendina oricrui proiectant este de a folosi metode de proiectare

cunoscute, tratnd materialele compozite ca i materialele tradiionale. Acestmod de abordare n proiectarea elementelor din materiale compozite poateconduce la erori mari, ntruct, practic fenomenele de micro- i macromecanic

sunt necunoscute proiectantului de cele mai multe ori [80].

Figura 3.1 - Schema procesului de proiectare a structurilordin materiale compozite

Pentru a realiza o proiectare simpl din punct de vedere conceptual i

corect din punct de vedere analitic este necesar elaborarea unui cadru raionalde abordare, figura 3.1. Aceasta pornete de la puni de conexiune, inexistente lamaterialele izotrope, pentru a lega materialele de rigiditatea i rezistena final astructurii compozite.

Micromecanica este un ansamblu de concepte, modele, relaii matematice,

Armare

cu fibre

Stratificat

Matrice

Structur

MICROMECANICA MACROMECANICA

Lamela compozit


2/50

2

i studii utilizate pentru a determina proprietile compozitului plecnd de la

caracteristicile materialelor constituente, configuraia geometric i parametriide fabricare. Micromecanica studiaz comportarea materialelor compozite din

punct de vedere al interaciunii materialelor componente [80].

Macromecanica este un ansamblu de concepte, modele i relaiimatematice utilizate pentru a transforma proprietile lamelei de la axele sale principale (ale materialului) la axe oarecare (ale elementului sau structurii).

Macromecanica studiaz materialul compozit sub aspect macroscopic,presupunnd c acesta este omogen, iar influena componenilor este evaluat

numai prin valorile medii aparente ale caracteristicilor mecanice [80].Unitatea de baz pentru materialele compozite cu armturi din fibre este

lamela armat, [3, 57, 77, 80], ea conferind multiple posibiliti de alctuire iintroducere corect a caracteristicilor n calculul stratificatului. Stratificatuleste

un pachet de mai multe lamele armate. Lamelele sunt aezate i orientate astfelnct s conduc la atingerea caracteristicilor dorite n elementul structural

stratificat.Lamela (figura 3.2) este piesa elementar a materialului compozit, fiind

alctuit dintr-un eantion de matrice i fibre, aranjate n modul n care acestecomponente sunt dispuse n ansamblul produsului.

Figura 3.2 - Axele lamelei compozite

Proprietile fizico-mecanice ale materialelor compozite armate cu fibresunt determinate de parametri ca: diametrul fibrelor, lungimea fibrelor,fraciunea volumetric de armare, modul de aezare a fibrelor n raport cu axeleprodusului i procedeul de fabricare.

Pentru stabilirea caracteristicilor fizico-mecanice ale lamelei din materialecompozite cu armturi din fibre se alege iniial un sistem de axe ale lamelei.

n figura 3.2 se prezint schematic o lamel cu armare unidirecional;

3

(2) T

(1) L

Axa transversal

Axa longitudinal


3/50

3

direcia paralel cu fibrele L(1) este denumit longitudinal, iar cea

perpendicular pe fibre T(2) se numete direcie transversal i poate ficorespunztoare oricrei direcii din planul (2,3). Axele 1, 2, 3 sunt denumite

axele principale ale materialului.

Proprietile mecanice principale care intervin n proiectarea structural aelementelor din materiale compozite sunt rezistena i rigiditatea. Aceste proprieti se pot determina experimental, dar testele sunt valabile pentru un

singur sistem fibr-matrice, obinut cu un anumit proces de fabricaie [3]. Deaceea se recomand folosirea unor modele teoretice i semiempirice care permit

evaluarea caracteristicilor mecanice pe baza parametrilor ce afecteaz proprietile sistemului. Modelele teoretice nu sunt aplicabile ntotdeauna, la

proiectarea direct a elementelor fiind necesare unele corecii mai ales ndirecie transversal, totui pentru studierea caracteristicilor mecanice n direcie

longitudinal se consider c modelele existente la compozitele cu armareunidirecional continu sunt suficient de precise.

n funcie de sistemul de axe adoptat, pentru materialele compozite armatecu fibre, se definesc urmtoarele caracteristici mecanice necesare n proiectare:

y EL =E1 - modulul de elasticitate longitudinal al lamelei (n direcieparalel cu fibrele);

y ET = E2 - modulul de elasticitate transversal al lamelei (n direcieperpendicular pe fibre);

y GLT = G12 - modulul de elasticitate la forfecare al lamelei n planul(L,T) sau (1,2);

y RLT= R12 i RTL = R21 - coeficienii Poisson n planul (L,T) sau (1,2);y RtL - rezistena la traciune a lamelei n direcie longitudinal;y RtT- rezistena la traciune a lamelei n direcie trasversal;y RcL - rezistena la compresiune a lamelei n direcie longitudinal;y RcT- rezistena la compresiune a lamelei direcie transversal;y Rf(LT)=Rf(12) - rezistena la forfecare a lamelei n planul (L,T) sau

(1,2);Proporia relativ a componentelor este factorul decisiv n stabilirea

proprietilor materialului compozit. Fraciunile volumetrice se folosesc la

analiza i proiectarea compozitelor, iar cele gravimetrice n timpul fabricrii. Deaceea este necesar stabilirea expresiilor de conversie reciproc a celor dou

tipuri de fraciuni.


4/50

4

S considerm un material compozit cu volumul vc, n care fibrele ocup

volumul vf, iar matricea volumul vm. Acelai material are greutatea wc, fibrele augreutatea wf, iar matricea greutatea wm. Notm cu Vi Wfraciunile volumetrice

i respectiv gravimetrice. Definirea acestora se face cu relaiile:

vc = vf+ vm Vf= vf /vc Vm = vm /vc (3.1)respectiv:wc = wf + wm Wf= wf / wc Wm = wm / wc (3.2)

Exprimnd masele cu ajutorul densitilor corespunztoare:

mmffcc vvv VV!V (3.3)

Se obine astfel:

mmffc VV VV!V (3.4)

Iar prin generalizare la un numrn de componente:

!

V!Vn

1iiic V (3.5)

Prin operaii matematice similare se obine densitatea compozitului n

raport cu fraciunile gravimetrice:

mmff

c WW

1

VV!V (3.6)

Prin generalizare, se obtine:

!

V!V n

1iii

c

W

1(3.7)

unde c, f imsunt densitile compozitului, fibrei i matricei.

Expresiile fraciunilor gravimetrice devin:

m

c

m

mf

c

f

fVWVW

VV

!VV

! (3.8)

sau:

i

c

ii VW V

V! (3.9)

iar a celor volumetrice:


5/50

5

m

m

c

mf

f

c

fWVWV

VV

!VV

! (3.10)

sau

i

i

ci WV

V

V! (3.11)

S-a constatat c densitatea teoretic a compozitului, Vct, calculat cuajutorul fraciunilor gravimetrice difer de cea stabilit experimental Vce datoritgolurilor (porilor) din masa compozitului. Fraciunea volumetric a golurilornotat cu Vgeste obinut cu relaia:

ct

cectgV V

VV! (3.12)

Prezena golurilor n elementul compozit afecteaz sensibil unele dintre

proprietile mecanice ale acestuia. Prin creterea coninutului de goluri suntgenerate efectele de degradare n timp a proprietilor i mprtierea rezultatelor privind caracteristicile mecanice. Un compozit de calitate bun trebuie s aibsub 1% goluri n timp ce unul necorespunztor poate ajunge la un volum relativde goluri Vg = 5% [3].

3.2. Caracteristici mecanice ale lamelei compozite n sistemul de axe

principale

3.2.1. Lamela compozit armat cu fibre lungi

3.2.1.1. Caracteristicile mecanice n direcie longitudinal

Modulul de elasticitate n direcie longitudinal,EL (E1)Elaborarea modelului materialului compozitului cu armare unidirecional

se bazeaz pe ipotezele:

y fibrele au aceleai proprieti i diametre;y armturile sunt continue i paralele;y conlucrarea fibr-matrice este perfect, fr alunecri la interfa

astfel c deformaiile specifice liniare ale fazelor componente i ale

compozitului sunt identice (figura 3.3):

ccLmfc l(!I!I!I (3.13.a)


6/50

6

Cnd compozitul cu armtur continu unidirecional este supus unei

fore axiale Pc, (paralel cu direcia fibrelor), aceasta este preluat att de fibrePfct i de matrice Pm, figura 3.3.

mfc PPP ! (3.13.b)

Figura 3.3 Modelul de calcul a modului de elasticitate n direcielongitudinal

Scriind aria compozitului Ac ca suma ariilor pariale ale fibrelor Af imatricei Ami innd seama de expresiile fraciunilor volumetrice ale fazelor seobine:

mmffLc VV WW!W (3.14)

Difereniind ecuaia (3.14) n raport cu deformaia specific care este

identic pentru compozit, fibre i rin, rezult:

m

m

m

f

f

f

Lc

c Vd

dV

d

d

d

d

IW

IW

!

IW

(3.15)

Expresia modulului de elasticitate longitudinal pentru materialul compozit

este:

mmffL VEVEE ! (3.16)

unde EL, Ef, Em sunt modulii de elasticitate pentru compozit, fibr imatrice, respectiv.

Din ecuaiile (3.14) i (3.16) rezult c valorile proprietilor mecanicesunt proporionale cu fraciunilor volumetrice. Relaiile cunoscute sub numelede regula amestecurilorse pot generaliza pentru n faze:

!

!n

1iiiL

VEE (3.17)

sau:

Pc

Pc3

(2) T

(1) L

Transversal

Longitudinal

(cL

lc


7/50

7

!

W!Wn

1iiiLc

V (3.18)

Relaia (3.16) se mai poate scrie sub forma:

fmffL V1EVEE ! (3.19)

iar reprezentarea grafic a variaiei modulului de elasticitate EL n raport cufraciunea volumetric de fibr Vfeste ilustrat n figura 3.4.

Figura 3.4 - Variaia modulului de elasticitate longitudinaln raport cu fraciunea volumetric de armare

Teoretic Vf poate atinge 78,5% n reeaua ptrat i 90,67% n reeaua

hexagonal de dispunere a fibrelor, dar procentele de armare peste 75%nrutesc proprietile compozitului datorit dificultii de nvelire corect a

fibrelor de ctre matrice. Astfel conlucrarea dintre faze devine discutabil,

crescnd i volumul de goluri din masa compozitului.Trecerea de la ecuaia (3.15) la ecuaia (3.16) prin nlocuirea pantelor cu

modulii de elasticitate este posibil numai cnd ambii constitueni ai

compozitului se comport elastic.Poriunea de deformare elastic ar putea s constituie doar o mic parte a

domeniului de solicitare i este aplicabil doar la compozite din fibre de sticl irini termorigide sau/i din fibre ceramice i rini termorigide.

n general deformarea unui compozit se poate produce n patru stadii [10],dup cum urmeaz:

1 - fibrele i matricea se deformeaz liniar elastic;2 - fibrele se deformeaz elastic iar matricea se deformeaz neliniar sau

plastic;3 - fibrele i matricea se deformeaz neliniar sau plastic;4 - ruperea fibrelor urmat de ruperea compozitului.

EL

Em

Ef

0 0.5

Vf

1.00.9


8/50

8

Stadiul al doilea ocup, de regul, cel mai mare interval, astfel nct

modulul de elasticitate al compozitului trebuie prezis la fiecare nivel dedeformare conform relaiei:

m

m

mffL V

d

dVEE

cI

I

W! (3.20)

n care cmm

ddI

IW este panta curbei W - I pentru matrice la deformaia

specific Ic a compozitului.

Rezistena la traciune n direcie longitudinal,RtLntr-un compozit unidirecional cu armtur continu supus la ntindere n

direcia fibrelor ruperea se produce ntr-unul din urmtoarele moduri:

y ruperea concomitent a fibrelor i a matricei;y ruperea matricei cu smulgerea fibrelor i ruperea lor;y rupere matricei cu dezvelirea fibrelor.

Acceptnd ipoteza c deformaia specific la rupere a fibrelor este maimic dect a matricei, ruperea se produce la cedarea fibrelor. Presupunnd ctoate fibrele cedeaz la aceeai valoare a deformaiei specifice, se poate scrie

valoarea limit (ultim) a rezistenei compozituluiRtL n direcie longitudinal:

fmffutL V1VR f WW! I (3.21)unde:

Wfu - rezistena limit a fibrelor; *

fm IW - tensiunea n matrice la

deformaia specific de rupere a fibrelor *fI.

Dac Vf este mic, adic Vf < Vmin, matricea poate prelua toat sarcina cerevine compozitului cnd cedeaz fibrele, apoi se mai poate ncrca suplimentar.

Se accept, n general, c fibrele nu preiau eforturi (Wf = 0) la deformaii

specifice ale compozitului mai mari dect deformaia specific la ruperea

fibrelor. Compozitul cedeaz cnd tensiunea n matrice atinge rezistena limit aacestui component:

fmutL V1R W! (3.22)

unde Wmueste rezistena limit a matricei.

Wfu

Wmu

*f

)(m I

W

*

fI Imu

W

I


9/50

9

Din relaiile (3.21) i (3.22) se obine fraciunea volumetric minim, Vmin,

de fibr astfel nct armtura s controleze ruperea compozitului:

*

f

*f

mmufu

mmu

minVI

I

WWW

WW! (3.23)

Se observ c relaia (3.22) prezice rezistene ale compozitului mai micidect ale matricei nearmate. Pe de alt parte ecuaia (3.21) evalueaz rezistenacompozitului n raport cu fraciunea volumetric de fibr. Formulnd cerina carezistena compozitului s depeasc rezistena limit a matricei se obine Vcrit,adic fraciunea volumetric critic la care compozitul resimte efectul armrii:

*

f

*f

mfu

mmu

critVI

I

WW

WW! (3.24)

Rezistena la compresiune n direcie longitudinal,RcLCnd un compozit unidirecional este supus la o sarcin axial de

compresiune n direcia fibrelor, fibrele continue se comport ca nite barezvelte comprimate i n acest caz apare micro-flambajul fibrelor. n compozitecu un coninut sczut de fibre, Vf < 40% micro-flambajul fibrelor apare chiar

dac matricea se afl n domeniul elastic de comportare. La o valoare a fraciuniivolumetrice ridicat Vf > 40%, micro-flambajul fibrelor este precedat dedezvelirea lor de matricea care micro-fisureaz. Cedarea la compresiune n

direcie longitudinal a unui compozit unidirecional poate apare i n cazul uneisolicitri n direcie transversal [3, 10, 80]. Cu alte cuvinte, deformaiaspecific la traciune n direcie transversal, datorit efectului Poisson, poate

iniia cedarea compozitului n direcie longitudinal la compresiune prininiierea ruperii la interfaa fibr-matrice. Modurile de cedare la compresiune n

direcie longitudinal, generate n principal de micro-flambajul fibrelor sunturmtoarele:

a. cedare prin depirea rezistenei la traciune n direcie transversal;b. cedare prin depirea rezistenei matricei la forfecare;

Dezvelirea fibrelor este considerat cedare iniial a compozitului, ipermite formularea unei expresii teoretice simple pentru rezistena compozituluila compresiune n direcie longitudinal. n acest caz se accept ipoteza conformcreia ruperea are loc atunci cnd deformaia specific la ntindere n direcie


10/50

10

transversal produs de compresiunea n direcie longitudinal depete

deformaia specific limit la ntindere n direcia transversal a compozitului.Relaia de calcul a valorii RcL este [80]:

f

fmf

f

mffcL

V13

EEV

E

EV1V2R

-

! (3.27)

Dac cedarea are loc din forfecarea matricei, relaia este [80]:

fm

cL V1

GR

! (3.26)

unde Gm este modulul de elasticitate la forfecare al matricei.

3.2.1.2. Caracteristicile mecanice n direcie transversal

Modulul de elasticitate n direcie transversal,ET

Figura 3.5 Modelul de calcul a modulului de elasticitate n direcietransversal

Pentru stabilirea relaiilor ce permit determinarea pe cale analitic a

caracteristicilor mecanice n direcie transversal pentru compozitul cu armareunidirecional continu se adopt modelul tensiunii constante.

Se presupune c modelul alctuit din straturi succesive de matrice i fibreeste perpendicular pe direcia efortului aplicat i are aceeai arie pe careacioneaz fora transversal, figura 3.5.

cmmcffmmffcccccT ttV;ttV;ttt;t !!II!II!( (3.27)

Pc

Pc

3

(2) T

(1) L

Transversal

Longitudinal(cT

tc

tm tf

tc


11/50

11

ntruct pe fiecare strat acioneaz aceeai tensiune normal ((Wc)T = Wf =

Wm) i presupunnd c ambele componente se comport elastic, se poate scrie

deformaia specific din straturi:

m

m

mf

f

f

T

Tc V

E

V

EE

W

W!

W(3.28)

de unde:

mffm

mfT VEVE

EEE

! (3.29)

sau, prin generalizare:

!

!n

1iii

T

EV

1E (3.30)

Figura 3.6 - Graficele comparative ale modulilor de elasticitate,EL i ET

Pe baza ecuaiei (3.29) se poate reprezenta grafic variaia modulului deelasticitate transversal,ET, utiliznd o form adimensional:

mfmfmT

VEEV

1

E

E

! (3.31)

Graficul raportului ET/Em se traseaz innd seama att de Vf ct i deraportulEf/Em, figura 3.6.

Modelul utilizat nu este suficient de riguros deoarece:

y distribuia fibrelor are un caracter aleatoriu;

Vf

ET(EL)Em Ef= 30Em

Ef= 15Em

ET

EL

28

24

20

16

12

8

4

00 0,25 0,50 0,75 1,00


12/50

12

y n orice seciune transversal, perpendicular pe direcia foreiaplicate exist att armtur ct i matrice, deci ipoteza Wm = Wf

este inexact;

y imprecizia modelului deriv din ipotezele referitoare ladeformaiile specifice i la influena coeficienilor lui Poisson.

Halpin i Tsai [50, 170] au dezvoltat relaii simple, cu caracter general,utilizabile n calculele de proiectare pentru a aproxima unele analize

micromecanice laborioase i care se aproprie n limite acceptabile de valorileobinute prin teste. Aceste relaii sunt:

f

f

m

T

V1

V1

E

E

LL\

! (3.32)

unde:

\!L

mf

mf

EE 1EE (3.33)

n care \ este un parametru ce depinde de geometria fibrei, geometria

distribuiei armturii i de condiiile de ncrcare.

Valorile lui \ s-au obinut prin compararea ecuaiilor (3.32) i (3.33) cu

soluiile exacte. Autorii menionai recomand valoarea \ = 2 pentru fibre cu

seciunea circular i \ = 2a/b pentru seciunea rectangular, unde a i b sunt

dimensiunile seciunii fibrei. S-a constatat c relaiile (3.32) i (3.33) sunt

suficient de exacte pentru a satisface cerinele practice n cazul mai multor procedee de fabricaie, ce modific valorile modulului de elasticitate acompozitului.

Modulul de elasticitate transversal al unui compozit unidirecional cuarmtur continu este mai mic dect cel longitudinal. O cretere a valoriifraciunii volumetrice de armare determin o cretere a modulului de elasticitatetransversal similar cu creterea modulului de elasticitate longitudinal, n timpce o cretere a modulului de elasticitate transversal al fibrelor nu produce ocretere spectaculoas a aceluiai modul pentru compozit.

Cnd \ = 0, ecuaia (3.32) se reduce la ecuaia (3.29) definit prin regulainvers a amestecurilor, n timp ce atunci cnd g!\ ecuaia (3.32) este dat de

regula amestecurilor [10, 55].Tsai i Hahn [168] au propus o relaie semiempiric pentru calculul

modulului de elasticitate transversal al compozitului unidirecional utilizndcoeficientul tensiunilor fm2 WW!L , i anume:


13/50

13

-

L

L!

m

m2

f

f

m2fTE

V

E

V

VV

1

E

1(3.34)

O alt relaie a fost propus de ctre Brintrup [50, 55]; aceasta ia n

considerare efectul contraciei de tip Poisson, rezultatele sale fiind mult maiapropiate de cele obinute prin testarea unor compozite unidirecionale cudiferite procente de armare. Aceast ecuaie este:

'mffff

'

mT EVV1E

EEE

! (3.35)

unde:

2mm'

m 1

EE

R! (3.36)

Rezistena la traciune n direcie transversal,RtT

La un compozit unidirecional solicitat de o for normal pe fibre,armtura nu poate (datorit geometriei) prelua o fraciune a sarcinii la fel demare ca n cazul ncrcrii longitudinale. Fibrele cu modul de elasticitate ridicatmpiedic deformarea matricei astfel c modulul de elasticitate al compozitului

n direcie transversal este mai ridicat dect al matricei. Restriciile impuse defibre asupra strii de deformaii produc efecte de concentrare a tensiunilor i

deformaiilor specifice n zonele matricei adiacente fibrelor. Aceste situaii audrept rezultat cedarea compozitului la o deformaie specific inferioar valoriilimit obinute pentru matricea nearmat. De aceea rezistena compozitului latraciune n direcie transversal este micorat datorit prezenei fibrelor.

Cedrile structurale sunt iniiate, n general, n punctele cu tensiunile celemai mari, produse de ctre discontinuitile geometrice sau de material. In cazul

materialelor compozite discontinuitile sunt prezente ntotdeauna iinflueneaz strile de tensiuni locale la nivel microscopic; acestea controleaz

formele de manifestare ale cedrii microscopice (fisurarea matricei, cedarea la

interfa, ruperea fibrei) i apoi, ale cedrii macroscopice.Strile de tensiuni interne ntr-un compozit unidirecional, supus la o

sarcin transversal se pot analiza pe baza teoriei clasice a elasticitii. Este bine

cunoscut faptul c n cazul unei incluziuni cilindrice ntr-o matrice, lngincluziune, componentele tensiunilor sunt mai mari dect valorile medii.

Factorul de concentrare al tensiunilor, CtT se definete prin raportul dintre


14/50

14

tensiunea maxim i tensiunea medie aplicat. ntruct starea de tensiuni lng

incluziune este triaxial este necesar selectarea unui criteriu de cedare adecvat.Tensiunea normal care produce cedarea se poate prezice pe baza rezistenei

matricei i a factorului de concentrare. Evident, dou incluziuni distanate la mai

puin de 3a interacioneaz destul de puternic, unele interaciuni persistnd pnla o distan egal cu 6a (a este raza fibrei). De aceea distribuiile iconcentrrile de tensiuni depind de fraciunea volumetric a fibrei precum i de

proprietile elastice ale fibrei i ale matricei. O stare de tensiuni complet nmatrice se poate obine prin folosirea metodelor de calcul numeric .

Rezistena compozitului la traciune n direcie transversal RtT este

controlat de valoarea limit (ultim) a rezistenei matricei Wmu . Se presupune c

rezistena compozitului n aceast direcie este afectat de un coeficient dereducere CtT determinat de proprietile relative ale fazelor i fraciunilevolumetrice ale componentelor. Astfel rezistena la traciune n direcie

transversal se poate scrie sub forma:

tT

mu

tT CR

W! (3.37)

sau

ad

mu

m

TtT CE

ER

W! (3.38)

unde CtT este un coeficient de reducere datorit concentrrii tensiunilor,care se ia egal cu valoarea obinut din relaia (3.39) iarCad este coeficient deamplificare al deformaiilor specifice, care se ia egal cu minimum dintre valorileobinute din relaiile (3.40) sau (3.41) [58].

? A

? Afm

2

1

ff

fmf

tT

EE1V4V1

EE1V1C

!

T

(3.39)

? Afm

2

1

ff

ad

EE1V4V11C

T

! (3.40)

dsE

Ed

sC

f

m

ad

! (3.41)d

s


15/50

15

Unul dintre criteriile utilizate pentru evaluarea rezistenei matricei este

criteriul energiei de deformare. Conform criteriului menionat materialulcedeaz cnd energia de deformare atinge valoarea critic. Pe baza acestui

concept se poate ajunge la o relaie pentru rezistena compozitului la traciune n

direcie transversal dat de formula (3.42) [55]:

W! 31

f

m

TmutT V1E

ER (3.42)

undeETeste modulul de elasticitate transversal al compozitului.

Rezistena la compresiune n direcie transversal,RcT

Cedarea compozitului unidirecional la compresiune n direcietransversal, se produce prin atingerea rezistenei la forfecare a matricei, nsoit

de dezvelirea fibrelor.n general rezistena la compresiune n direcia transversal a compozituluiunidirecional cu armtur continu RcT este mai mare dect rezistena la

traciune n direcie transversal i dect rezistena la compresiune n direcielongitudinal, dar mai mic dect rezistena la traciune n direcie longitudinal.

Multitudinea parametrilor care intervin face dificil elaborarea uneiformule teoretice pentru aceast rezisten care s se apropie suficient derezultatele experimentale. n literatura de specialitate pentru aceast rezisten se

formuleaz doar relaia cunoscut din rezistena materialelor [55], valabil n

domeniul de comportare elastic a materialului:

TuTcT ER I! (3.43)

unde ITu este deformaia specific limit a compozitului la compresiune ndirecie transversal.

3.2.1.3. Caracteristicile mecanice n planul LT

Modulul de elasticitate la forfecare n planul lamelei, GLT(G12)

S considerm elementul tip din figura 3.7, la care tensiunile tangeniale

aplicate asupra fibrelor i matricei au valori identice (XLT= Xf = Xm).Deformaia total din forfecare a compozitului se obine prin nsumarea


16/50

16

deformaiilor pariale din fibre (fi din matrice (m.

Figura 3.7 - a. Modelul compozitului unidirecional pentru determinareamodulului de elasticitate la forfecare;

b. Deformaia specific din forfecare pentru constitueni.

Exprimnd aceste deformaii ca produsul dintre deformaia specific

unghiular K i grosimile cumulate ale componentelor (tf, tm, tc), presupunnd orelaie liniar (X-K) i faptul c Vf= tf/tc, respectiv Vm = tm/tc rezult:

mmmfffTLTLcmmffccmfc

GtGtGt;ttt; XX!XKK!K((!(

m

m

f

f

LT G

V

G

V

G

1! (3.44.a)

sau:

mffm

mf

LT VGVG

GGG

! (3.44.b)

unde GLTeste modulul de elasticitate la forfecare al compozitului n planullamelei, iarGf, Gm sunt modulii similari ai fazelor componente.

Relaia (3.44) sufer de imperfeciunile comentate la ET; de aceea este dedorit un model matematic mai riguros sau s fie elaborat o metod empiricverificat. Ecuaiile Halpin-Tsai [50, 190] pentru modulul de elasticitate la

3

(2) T

(1) L

Transversal

Longitudinal

XTL

XTL

XLT

XLT (f (m

(c=(f+(m

tm

tftc

matrice

fibr

a.

b.

(1)L

(2)T XTL

XLT

XTL

XLT


17/50

17

forfecare au forma:

f

fmLT V1

V1GG

LL\

! (3.45)

n care: \

!L

mf

mf

GG

1GG(3.46)

autorii propunnd (\=1).

Figura 3.8 - Variaia raportului GLT/Gmpentru diverse fraciunivolumetrice de armare

n figura 3.8 este ilustrat variaia modulului de elasticitate la forfecare al

compozitului unidirecional, n planul (LT), n raport cu fraciunea volumetricde fibr, pentru mai multe rapoarte Gf/Gm.

Modulul de elasticitate la forfecare interlamelar, GTT(G23)

Figura 3.9 Forfecarea interlamelar

Tensiunea de forfecare interlamelar acioneaz pe grosimea compozitului,

aa cum este prezentat n figura 3.9. Modulul de elasticitate la forfecare

Vf

GLT(G12)Gm

Gf= 100GmGf= 50Gm76543210

0 0,25 0,50 0,80 1,00

Gf= 20GmGf= 10Gm

(2)T

(3)T XTT

XTT

XTT

XTT


18/50

18

interlamelar se poate determina [168] folosind o relaie semi-empiric, bazat

pe utilizarea coeficientului de dirijare a tensiunilor, astfel:

f

mfm

mfm23TT

GGVV

VVGGG

L

L! (3.47)

n care:

mf

mm

14

G

G43

R

R!L

Rezistena la forfecare n planul (LT),Rf(LT)

Rezistena la forfecare a compozitului unidirecional n planul (LT),Rf(LT),se evalueaz [55, 190] pe baza rezistenei la compresiune n direcie

longitudinal cu relaia:

cLLTf R2

1R ! (3.48)

Cedarea la forfecare n planul (LT) are loc prin: cedarea la forfecare a

matricei, dezvelirea fibrelor, sau amndou n acelai timp.

Coeficienii lui Poisson, RLTi RTLn cazul compozitelor armate unidirecional se definesc doi coeficieni ai

lui Poisson. Primul dintre acetia (RLT) este definit prin:

Lc

TcLT I

I!R (3.49)

pentru starea de tensiuni n care (Wc)L{ 0 i toate celelalte componente sunt

nule. Acest coeficient stabilete legtura dintre tensiunea normal n direcia

longitudinal (L) i deformaia specific liniar n direcie transversal (T).Coeficientul vTL stabilete legtura dintre tensiunea normal n direcia (T)

i deformaia specific liniar n direcia (L) pentru (Wc)T { 0 i celelalte

componente egale cu zero. Modelul folosit pentru determinarea lui vTL estesimilar celui utilizat la evaluarea modulului ET, dar eforturile se aplic dup

direcia fibrelor, adic paralel cu straturile modelului, figura 3.10.


19/50

19

Figura 3.10 - Modelul compozitului unidirecionalpentru evaluarea coeficienilor lui Poisson

Deformaia total n direcia transversal se obine prin nsumarea

deformaiilor fibrelor i matricei. innd seama de faptul c deformaiilespecifice liniare n direcie longitudinal sunt egale n cele dou componente:

cTccmTmmfTffmfc t;t;t; I!(I!(I!(((!(

LffTfLmmTmLcLTTc

;; IR!IIR!IIR!I

mLmmfLffcLcLT ttt IRIR!IR

mcmfcfLmLfLc Vtt;Vtt; !!I!I!I

Efectund calculele se obine relaia [55]:

mmffLT VV RR!R (3.50)

Aceast relaie reprezint regula amestecurilor aplicat pentru determinarea

coeficientului lui Poisson, RLT. Variaia acestui coeficient n raport cu fraciuneavolumetric de fibr este ilustrat n figura 3.11.

Figura 3.11 - Variaia coeficienilor lui Poisson,vLTi vTL, n funcie de fraciuneavolumetric de armtur

(f

(m

(c=(f+(m

tm

tf

tc

matrice

fibr

WLWL

Vf

RLTRmRf

0 0.5 1.0

RTL


20/50

20

Coeficientul lui Poisson minor (RLT) se poate obine pe baza valorilor

cunoscute ale luiEL, ETi RLT, i pe baza relaiilor din macromecanic:

L

TLTTL

E

ER!R (3.51)

3.2.2. Lamela compozit armat cu fibre scurte

n aplicaiile structurale n care starea de tensiuni este imprevizibil

utilizarea compozitelor cu armare unidirecional este insuficient fiindavantajoas utilizarea unor straturi cvasiizotrope n plan, obinute prin folosirea

fibrelor scurte cu orientare aleatorie, avantajoase deoarece [45]:

y permit realizarea unor elemente cu forme complicate, fr a existapericolul deteriorrii la scoaterea de pe matri;

y fibrele scurte se pot ngloba cu uurin n matricele fluide, astfelc amestecul se poate turna uor n forme complicate;

y compozitele cu fibre scurte orientate aleatoriu pot fi considerateaproximativ izotrope, n timp ce compozitele cu armtur

unidirecional sunt evident anizotrope;

y au avantajul unui cost relativ sczut care corelat cu comportareacvasiizotrop face ca acest grup de compozite s fie cel mai desutilizat.

Compozitele armate cu fibre scurte, folosite cel mai frecvent:

y compozite cu fibre scurte aliniate, figura 3.12.a;y compozite cu fibre scurte distribuite aleatoriu, figura 3.12.b.

Figura 3.12 - Tipuri de compozite armate cu fibre scurte

a. b.


21/50

21

3.2.2.1. Caracteristicile mecanice ale lamelei compozite armat cu fibre

scurte aliniate

n compozite forele nu sunt aplicate direct fibrelor, ci acestea acioneaz

asupra matricei. Matricea transfer fibrelor ncrcrile prin intermediul capeteloracestora sau la interfaa fibr-matrice de-a lungul lor. De aceea primul pas nanaliza compozitelor armate cu fibre scurte aliniate este studierea mecanismului

de transfer al eforturilor.Elementele reprezentative de volum sunt ilustrate prin fibre cu matrice la

extremiti, figura 3.13.a, sau volumul elementar din figura 3.13.b, fr matricela capetele fibrei. Analiza volumului reprezentativ (figura 3.13.a) nainte i dup

deformare, evideniaz c, datorit diferenei dintre modulii de elasticitate ai

celor dou materiale, Ef "" Em, apar eforturi unitare tangeniale de forfecaremari spre capetele fibrei i nule la mijlocul acesteia.

Figura 3.13 - Volum reprezentativde compozit

a. matricea nvelete capetele fibrei;b. capetele fibrei sunt nenglobate n

matrice.

Eforturile unitare normale cresc de la o valoare minim la capetele fibrei lao valoare maxim spre mijlocul acesteia. Distribuia eforturilor unitare sestabilete pe baza echilibrului unui volum elementar, figura 3.14.

Figura 3.14 - Echilibrul volumuluielementar de fibr

Echilibrul forelor pe lungimea dz a fibrei se exprim prin:

0d4d

dzd4d

ff

2

f

2

!WW

TTXW

T(3.52)

Fibre Matrice

a.

D d

b.

D d

L

z dz

X

X

Wf Wf +dWf


22/50

22

unde Wf este efortul din fibr n direcia axial, X este tensiunea tangenialla interfaa fibr-matrice, iardeste diametrul fibrei.

Tensiunea din fibr la distana z fa de extremitatea acesteia se poateevalua cu:

XW!Wz

00ff dz

d4 (3.53)

unde Wf0 este tensiunea din extremitatea fibrei, neglijabil dac se accept

ipoteza plastifierii matricei sau separarea fazelor datorit concentrrii tensiunilor[45].

O metod aproximativ pentru determinarea lui Wf se bazeaz pe ipoteza c

matricea este un material rigid, perfect plastic la care diagrama (X,K) esteilustrat n figura 3.15. a.

Figura 3.15 - Diagrame ideale pentru curba tensiune-deformaie specific amatricei: a. comportare plastic; b. comportare elastic.

n acest caz tensiunea tangenial este constant n lungul fibrei i egal cu

limita de curgere la forfecare (Xc).De aici:

d

z4c

f

X!W (3.54)

La fibrele scurte tensiunea maxim n armtur apare la jumtate, z = L/2,deci:

d

L2 cmaxf

X!W (3.55)

Valoarea limit a tensiunii din fibr este efortul unitar maxim cu care s-ar

Deformaie unghiular K

TensiunetangenialX

Xc

Deformaie unghiular K

TensiunetangenialX

Gm

a. b.


23/50

23

putea ncrca fibra continu cu lungimea infinit.

Figura 3.16 - Variaia tensiunilor tangeniale

la interfa i a tensiunilornormale n lungul fibrelor

Presupunnd c:

y Ic = If = Imy Wf0 = 0 la z = 0 i z = Ly tensiunile normale n fibr variaz liniar cu distana de la capt,

iar curba de variaie (figura 3.16) este simetric fa de z = L/2,

se obine:

c

c

f

maxf E

EW!W (3.56)

unde Wc este tensiunea din compozit, iarEc este modulul de elasticitate al

compozitului calculat cu relaia (3.19).Lungimea minim a fibrei pentru care se poate obine

maxfW se numete

lungimea de transfer a sarcinii, Lt. Transferul sarcinii de la matrice la fibr este

posibil dup depirea acestei valori.Pe baza acestui raionament se poate scrie:

c

ccf

c

maxft 2

EEd

2

dL

XW

!X

W! (3.57)

Distribuia tensiunilor normale i a celor tangeniale este puternicinfluenat de lungimea fibrei, i valoarea tensiunii din compozit; acest lucru sepoate observa n figura 3.17.

Pentru ca tensiunea din fibr s ating rezistena limit a acestui component

(Wfu), este necesar stabilirea valorii critice a lungimii fibrei, Lc:

z

L/2 L/2

WfmaxWf

L

z

Xc

XcX


24/50

24

c

fu

C 2

dL

X

W! (3.58)

n care deste diametrul fibrei.

Figura 3.17 - Efectul lungimii fibrelor asupra distribuiei tensiunilor

Astfel lungimea critic, Lc, este lungimea minim necesar pentru aintroduce n fibr o tensiune egal cu rezistena materialului de armare.

De notat faptul cLc este lungimea maxim pe care se efectueaz transferultensiunilor ntre componente, fiind o proprietate foarte important a sistemului

compozit.Influena capetelor fibrei la compozitele armate cu fibre scurte se manifest

prin reducerea modulilor de elasticitate i a rezistenelor. Valoarea tensiuniimedii n fibre este important pentru determinarea modulului de elasticitate i arezistenei compozitului armat cu fibre scurte [190].

Evaluarea tensiunii medii, notat cu (Wf)med se face cu relaia:

dzL

1 L

0fmaxf W!W (3.59)

Pentru distribuia de tensiuni aproximativ din figura 3.17 tensiunea medieeste:

tt

maxfmedf

tc

maxfmaxf

LLpentruL2

L1

LLpentrud

L

2

1

"

W!W

eX

!W!W(3.60)

L < Lt L = Lt L > Lt

Lt/2 Lt/2 Lt/2 Lt/2

X XyXc

Ef(Wc)LEL

W


25/50

25

Dac L u 50Lt atunci (Wf)med / (Wf)max} 0,99 i comportarea se apropie decea a compozitului cu fibre continue unidirecionale [3].

3.2.2.1.1. Caracteristicile mecanice n direcie longitudinal

Ecuaiile Halpin-Tsai se utilizeaz cu precizie acceptabil la determinareamodulilor compozitelor cu fibre scurte. Considernd modelul din figura 3.18 cufibre scurte aliniate se pot scrie relaiile [3]:

Figura 3.18 Modelul compozitului

cu fibre scurte aliniate

Modulul de elasticitate n direcie longitudinal,EL

fL

fL

mL V1

V1EE

LL\

! (3.61)

unde:

d

L2

E

E

1E

E

m

f

m

f

L !\

\

!L (3.62)

Rezistena la traciune n direcie longitudinal,RtL

Efortul unitar normal, n direcie longitudinal, ntr-un compozit cu fibrescurte aliniate se poate calcula cu regula amestecurilor:

mmfmedfLc VV WW!W (3.63)

n care (Wf)med, se evalueaz cu relaiile (3.60) n raport cu lungimea fibrei.

T (2)

L (1)


26/50

26

Dac lungimea fibrei este mult mai mare ca Lt(de exempluL > 100 Lt)

factorul (1 Lt/ 2L) p 1 i tensiunea din compozit se calculeaz cu:

mmfmaxfLc VV WW!W (3.64)

Rezistena, limit a compozitului, la traciune n direcie longitudinal, este

evaluat n raport cu lungimea fibrelor.Dac L < Lc, fibrele nu pot fi solicitate pn la rupere, cedarea avnd loc

prin matrice sau la interfa la un efort unitar calculat cu:

mmufc

tL VVd

LR W

X! (3.65)

DacL > Lc cedarea compozitului se produce la atingerea lui Wfun fibre: mmf

cfutL VVL2

L1R *

fIW

W! (3.66)

iar dacL } Lc:

mmffutL

VVR *fI

WW! (3.67)

n care *f

m IW are semnificaia de la paragraful 3.2.1.1.

Utiliznd raionamentele de la compozitele cu armare continu se poateajunge la urmtoarele expresii pentru Vmin i Vcrit:

*

f

*f

mmumedf

mmu

critVI

I

WWWWW! (3.68)

*

f

*f

mmedf

mmu

critVI

I

WW

WW! (3.69)

Din relaiile (3.68) i (3.69) se observ c, n cazul unor proprieti identiceale fazelor componente, armarea cu fibre scurte necesit valori mai mari att

pentru Vmin ct i pentru Vcrit, deoarece armturile au o eficien mai sczut. Pemsur ce lungimea fibrei crete, comportarea compozitului se apropie de a unuisistem multifazic cu fibre lungi.

Dac Vf < Vmin compozitul nu cedeaz la ruperea fibrelor deoareceseciunea transversal rmas a matricei poate suporta toat ncrcarea. Astfelcedarea compozitului se produce la:


27/50

27

fmutL

V1R W! (3.70)

Influene suplimentare apar n acest caz datorit concentrrii tensiunilor din

matrice la capetele fibrelor, care micoreaz rezistenele i rigiditile sistemuluicompozit.

3.2.2.1.2. Caracteristicile mecanice n direcie transversal

Modulul de elasticitate n direcie transversal,ETSe consider modelul compozitului din figura 3.18, pentru care se poate

scrie:

fT

fT

mT V1

V1EE

LL\

! (3.71)

unde:

2

E

E

1E

E

m

f

m

f

T !\

\

!L (3.72)

Ecuaiile (3.71) i (3.72 ) arat c modulul de elasticitate transversal al

compozitelor cu fibre scurte nu difer de cel calculat pentru fibrele lungi.

Halpin i ali autori consacrai n domeniu [3, 45, 190] n urma cercetrilorefectuate concluzioneaz c celelalte caracteristici mecanice (modulul deelasticitate la forfecare, coeficienii lui Poisson, etc.) au aceleai relaii

matematice de evaluare ca i pentru compozitele cu armare continuunidirecional, ele nefiind afectate de lungimea fibrelor.

Pentru valorile rezistenelor mecanice ale compozitului armat cu fibrescurte aliniate, altele dect cele prezentate se pot stabili relaii matematice care

s permit evaluarea lor la valori ct mi apropiate de cele determinateexperimental. n bibliografia studiat se menioneaz doar faptul c acestea ca i

caracteristicile mecanice ale compozitului nu sunt afectate de lungimea fibrelor.Aceste rezistene pot fi determinate pe baza relaiilor din macromecanic i a

criteriilor de cedare sau n intervalul de comportare elastic, pe baza legii luiHooke relaii oarecum aproximative datorit diferenelor ce apar ntre valorile

calculate i rezultatele experimentale [45].


28/50

28

3.2.2.2. Caracteristicile mecanice ale lamelei compozite armat cu fibre

scurte orientate aleatoriu

Compozitele armate cu fibre scurte orientate aleatoriu pot fi considerate

cvasiizotrope n spaiu sau numai n plan.

Figura 3.19 - Compozite armate cu fibre scurte dispuse aleatoriu

Aceste compozite sunt considerate cvasiizotrope n spaiu atunci cnd

lungimea fibrei L este mult mai mic dect grosimea compozitului, tc. n cazulcelor mai multe elemente din compozite lungimea fibrelor este mult mai mare

dect grosimea, figura 3.19.b, realizndu-se cvasiizotropia n plan.

Modulul de elasticitate, E O problem particular n cazul acestui tip de fibre o constituie evaluarea

modulului de elasticitate unic, E. O estimare acceptabil pentru modulul deelasticitate al compozitului cvasiizotrop n plan, la solicitarea axial, E, se obine

pe baza relaiilor stabilite de Nielsen & Chen [45] prin integrarea pe intervalul

[0, T] a relaiei:

T

T

U

UU

!

0

0

d

dE

E (3.73)

unde:

4

T

22

LTL

LT4

L

sE

1sc

G

1

E

2c

E

1

1E

-

Y

!U (3.74)

tc

L > tc

tc

a. Lungimea fibrei este mai micdect grosimea elementului.

Fibrele sunt orientate aleatoriu nspaiu.

b. Lungimea fibrei este mai maredect grosimea elementului.

Fibrele sunt orientate aleatoriu nplan.


29/50

29

c = cos U;

s = sin U;EL - modulul de elasticitate n direcie longitudinal pentru compozitul

unidirecional continuu stabilit cu relaia (3.16);

ET - modulul de elasticitate n direcie transversal pentru compozitulunidirecional continuu, stabilit cu relaia (3.30) sau (3.32);

GLT - modulul de elasticitate la forfecare n planul (LT) stabilit cu relaia(3.44) sau (3.45);

vLT- coeficientul lui Poisson stabilit cu relaia (3.50);

U - unghiul sub care sunt aezate fibrele fat de axele principale, fig. 3.20.

Akasaka [45] a obinut pe baza formulei (3.74) urmtoarea relaie pentru

modulul de elasticitate al compozitului armat cu fibre scurte orientate aleatoriu:

-

RRR

RRR

-

RR

R

! LTTLLTTLTTLLTTLLTTLTTL

TLLT

TLTTL

G14E2EE3

G14E2EE

1

E2EE

E (3.75)

Gibson [45] prezint o serie de relaii simple, elaborate pe baza modelelorlui Cox, care permit evaluarea modulilor de elasticitate, distinct pentru cele doucazuri:

y compozit cvasiizotrop spaial:6

VEE ff! (3.76)

y compozit cvasiizotrop n plan:3

VEE ff! (3.77)

Modulul de elasticitate la solicitarea axial poate fi estimat i pe baza

valorilor corespunztoare de la compozitele cu fibre scurte aliniate folosind

+ U

x

L (1)yT (2)

ozitiv

- U

x

L (1)

yT (2)

U negativ

Figura 3.20 - Convenie desemne privind orientarea fibrelor


30/50

30

relaia (3.78) care este cel mai des utilizat n proiectare:

TL E8

5E

8

3E ! (3.78)

Modulul de elasticitate la forfecare, G O prim relaie pentru evaluarea modulului de elasticitate la forfecare este

dat de Akasaka, i prezentat de Hull [60]:

LTTLLTTLTTL G

2

1

18

E2EEG

RRR

! (3.79)

Relaiile lui Cox [45] pentru evaluarea acestui modul de elasticitate, ncazul compozitului armat cu fibre scurte dispuse aleatoriu sunt:

y compozit cvasiizotrop n spaiu:15

VEG ff! (3.80)


VEG ff! (3.81)

Relaia cea mai des utilizat n proiectare [45] pentru calculul modulului deelasticitate la forfecare este:

TL E4

1E

8

1G ! (3.82)

undeEL iETs-au definit la compozitele cu fibre scurte aliniate.

Coeficientul lui Poisson, R Valorile aproximative stabilite de Cox [45] sunt:

y compozit cvasiizotrop n spaiu:4

1!R (3.83)


31/50

31


1!R (3.84)

Pentru produsele plane din compozite armate cu fibre scurte aleatoare sepoate scrie [45]:

R!

12

EG (3.85)

i

1G2

E!R (3.86)

Rezistena la traciune, tR Folosind raionamentele specifice macromecanicii lamelei compozit cu

armare unidirecional (teoriile de rupere) i relaiile cunoscute din analizamicromecanic a compozitelor armate cu fibre continue unidirecionale s-a ajuns

la urmtoarea expresie pentru rezistena la solicitri axiale a compozitelor cufibre scurte distribuite aleatoriu n plan [45]:

-

W

W

T! I

I

2

)LT(f

mtT

m

tT)LT(f

t R

Rln

R1

R2R

*f

*f

(3.87)

unde Rf(LT), RtT sunt rezistenele compozitului unidirecional cu armturcontinu calculate cu relaiile (3.48) i (3.38.b).

Pentru valorile caracteristicilor i rezistenelor mecanice ale compozituluiarmat cu fibre scurte distribuite aleatoriu, altele dect cele prezentate, nu existn prezent modele matematice acceptabile care s permit evaluarea lor la valoricomparabile cu cele determinate experimental.

3.3. Caracteristici mecanice ale lamelei compozite n sistemul de axe

oarecare

3.3.1. Cazul cnd axele de solicitare ale lamelei coincid cu axele

principale ale materialului

n figura 3.21 se prezint o lamel ortotrop la care axele principale ale


32/50

32

materialu1ui (1, 2, 3) coincid cu axele sistemului de solicitare (x, y, z).

Figura 3.21 - Sistemele de axe ale lamelei ortotrope- (1, 2, 3) sistemul de axe principale ale materialului;

- (x, y, z) sistemul de axe de solicitare.

Lamela compozit ortotrop se gsete n stare plan de tensiuni iar relaiantre tensiuni i deformaii specifice, WI , este:

X

W

W

-

R

R

!

K

I

I

12

2

1

12

21

12

2

21

1

12

2

1

G

100

0E

1

E

0EE

1

(3.88)

2

2

231

1

133 EE

WR

WR

!I

Din teoria general a materialelor anizotrope [45, 190] prin particularizri,

se ajunge la (3.89):

X

W

W

-

!

K

I

I

12

2

1

662616

262212

161211

12

2

1

SSS

SSS

SSS

(3.89)

2231133 SS WW!I

unde Sij sunt termenii matricei complianelor.

3

(2) T

(1) L

y

x

z


33/50

33

n relaia (3.89) matricea de legtur poart denumirea de matricea redus a

complianelor i funcie de constantele inginereti din relaia (3.88) rezultrelaia (3.90) ce permite evaluarea termenilor acestei matrice.

1

11 E1S ! 222 E1S ! 12

66 G1S !

1

12

2

21

12 EES

R!

R! (3.90)

3

3113 E

SR

! 3

3223 E

SR

!

Pentru aceast stare se evideniaz 4 constante elastice independenteE1,E2,

12R , G12 i o relaie reciproc:

1

12

2

21

EE

R!

R(3.91)

Relaiile ntre tensiuni i deformaii specifice, conform legii lui Hookegeneralizat, se obin n acelai mod, astfel:

K

I

I

-

!

X

W

W

12

2

1

66

2212

1211

12

2

1

Q00

0QQ

0QQ

(3.92)

Matricea de legtur se numete matricea redus a constantelor elastice ielementele ei pot fi identificate prin inversarea matricei de legtur din relaia

(3.89) i transformarea realizat de relaiile (3.90), obinndu-se:

1221

111 1

EQ

RR!

1221

212

1221

12112 1

E

1

EQ

RRR

!RR

R! (3.93)

1221

222 1

EQ

RR!

1266 GQ !


34/50

34

3.3.2. Cazul cnd axele de solicitare ale lamelei nu coincid cu axele

principale ale materialului

Relaiile (3.88)....(3.93) sunt valabile numai pentru cazul n care solicitarea

lamelei se face dup direciile principale (figura 3.21). Pentru cazul n caresolicitarea face un unghi U cu direcia principal (1) relaiile au o alt form.Pornind de la elementele prezentate n figurile 3.22 i 3.23, se ajunge la

relaia (3.94).

Figura 3.22 Lamela compozitcu cele dou sisteme de axe:

- (1, 2, 3) axe principale de material;- (x, y, z) axe ale solicitrii;

Figura 3.23 - Element diferenial dearie n echilibru static cu forele n

cele dou sisteme de coordonate

X

W

W

-

UUUUUU

UUUU

UUUU

!

X

W

W

12

2

1

22

22

22

xy

y

x

sincoscossincossin

cossin2cossin

cossin2sincos

(3.94)

Utiliznd matricea [T] a funciilor trigonometrice relaia (3.94) se scrieprescurtat sub forma:

? A 2,1

1

y,xT W!W (3.95)

3(2) T

(1) L

y

x

z

U

U

U

dA

W2dAsin U

W1dAcos U

X12dAcos U

X12dAsin UXxydA

WxdA

x

y

(1) L

(2) T

U

U


35/50

35

La nivelul deformaiilor specifice se obine:

KI

I

-

UUUUUU UUUU

UUUU

!

KI

I

2sincossincos2sincos2 sincoscossin

sincossincos

2y,x

y

x

22

22

22

2,1

2

1

(3.96)

Relaia (3.96) se poate scrie prescurtat astfel:

? A ' y,x'

2,1 T I!I (3.97)

Prin y,x

I i 2,1I notm vectorii n care deformaiile unghiulare y,xK i 2,1K

nu apar mprite la 2. Se observ c exist relaiile: ? A ' 2,12,1 R I!I

? A 'y,xy,x

R I!I (3.98)

unde ? A

-

!

200

010

001

R este matricea Reuter [80].

Pornind de la relaia (3.92) scris sub forma ? A 2,12,1 Q I!W prin

transformrile (3.99):

? A ? A ? A 2,1

1

2,1

1

y,xQTT I!W!W

? A ? A? A ' 2,11

y,x RQT I!W (3.99)

? A ? A? A? A ' y,x1

y,x TRQT I!W

? A ? A? A? A? A y,x

11

y,xRTRQT I!W

se obine:

? A y,xy,x Q I!W (3.100)

n care ? A ? A ? A? A? A? A 11 RTRQTQ ! se numete matrice redus a constantelorelastice transformate i, dup efectuarea calculelor, elementele ei sunt:


36/50

36

UUUU! 422

22

6612

4

1111sinQcossin)Q2Q(2cosQQ

UUUU! 4412

22

66221112sincosQcossinQ4QQQ

UUUU! 422

22

6612

4

1122cosQcossinQ2Q2sinQQ (3.101)

UUUU! cossinQ2QQsincosQ2QQQ3

662212

3

66121116 UUUU! 3

662212

3

66121126cossinQ2QQsincosQ2QQQ

66

4422

6622121166QsincoscossinQ2QQ2QQ UUUU!

Analiza relaiilor (3.101) relev urmtoarele:

y matricea [Q] are ijQ nenuli pentru orice (i,j), spre deosebire de[Q] care are patru termeni nuli;

y numrul constantelor de material independente (constanteelastice) se pstreaz egal cu patru deoarece lamela este ortotrop;

y n sistemul (x,y) diferit de sistemul (1,2) exist influene reciprocentre deformaiile specifice unghiulare i tensiunile normale

precum i ntre tensiuni1e tangeniale i deformaiile specificeliniare;

y termenii definii conform relaiei (3.101) caracterizeaz lamelageneral ortotrop.

Pentru determinare relaiilor ntre deformaii specifice i tensiuni se pornete de la relaia (3.89) scris sub forma ? A 2,12,1 S W!I . n urma

transformrilor (3.102)

? A ? A ? A 2,1

1

2,1

1 SRR W!I

? A ? A ? A ? A 2,111'

2,1

1SRTT W!I (3.102)

? A ? A? A ? A ? A 2,111'

y,x SRTRR W!I

? A? A ? A ? A? A y,x

11

y,xTSRTR W!I

se obine:

? A y,xy,x

S WI ! (3.103)

unde ? A ? A? A ? A ? A? ATSRTRS 11 ! este matricea redus a complianelortransformate.


37/50

37

Dup efectuarea calculelor elementele termenii matricei sunt:

UUUU! 422

22

6612

4

1111sinScossinSS2cosSS

UUUU! 22662211

44

1212cossinSSScossinSS

UUUU! 422

22

6612

4

1122cosScossinSS2sinSS (3.104)

UUUU! cossinSS2S2cossinSS2S2S 3661222

3

66121116

UUUU! 3661222

3

66121126cossinSS2S2cossinSS2S2S

66

4422

6612221166SsincoscossinSS4S2S22S UUUU!

Pornind de la identitatea soluiilor pentru lamela cu ortotropie genera1 i

lamela anizotrop, flexibilitile ijS se pot exprima, funcie de constantele

inginereti dup direciile (x, y), astfel:

x

11

E

1S !

y

22

E

1S !

y

yx

x

xy12

EES

R!

R!

xy

66

G

1S ! (3.105)

xy

xy,x

x

x,xy16

GES

L!

L!

xy

xy,y

y

x,xy26

GES

L!

L!

n care:

ij

iij,i K

I!L este coeficientul de influen reciproc de primul tip,

caracteriznd ntinderea n direcia i datorit forfecrii n planul ij pentru

X!Xij

i toate celelalte tensiuni egale cu zero;

i

ij

i,ij I

K!L este coeficientul de influen reciproc de tipul al doilea,

caracteriznd forfecarea n planul ij produs de un efort unitar normalaplicat n direcia i pentru W!W

ii celelalte tensiuni egale cu zero.

Notnd ccos !U i ssin !U , din relaiile (3.105), (3.104) i (3.90) se pot

defini constantele elastice n sistemul de coordonate (x ,y), astfel:

1

4

2

22

1

12

12

4

1

xs

E

1cs

E2

G

1c

E

1E

-

R!

1

4

2

22

1

12

12

4

1

y cE

1cs

E2

G

1s

E

1E

-

R!


38/50

38

1

44

12

22

121

12

21

114222

-

! cs

Gcs

GEEEGxy

R

-

-

R!R 22

1221

x

44

1

12

xxycs

G

1

E

1

E

1Ecs

E

E (3.106)

-

R

-

R!L cs

G

1

E

2

E

2Esc

G

1

E

2

E

2E 3

121

12

2

x

3

121

12

1

xx,xy

-

R

-

R!L 3

121

12

2

y

3

121

12

1

yy,xysc

G

1

E

2

E

2Ecs

G

1

E

2

E

2E

3.4. Elemente stratificate din lamele compozite

3.4.1. Introducere

n subcapitolele 3.2, 3.3 s-a analizat comportarea unei lamele ortotropeevideniind caracteristicile mecanice unidirecionale. A rezultat c acestecaracteristici sunt determinate preponderent de fibre n direcia armturilor imai ales de matrice n direcie normal pe direcia fibrelor.

In cazul elementelor solicitate multiaxial (n majoritatea cazurilorsolicitarea este biaxial), datorit faptului c valorile proprietilor mecanice ale

unei lamele n direcie transversal nu sunt suficient de mari, a aprutnecesitatea alctuirii unor produse stratificate, din lamele unidirecionaleorientate astfel nct capacitatea portant a elementului stratificat s fie asiguratdup direciile de solicitare, proporional cu nivelul de solicitare. n figura 3.24sunt prezentate cteva tipuri de stratificate, care, n funcie de orientarealamelelor n raport cu planul median al stratificatului pot fi simetrice (figura

3.24.a) sau antisimetrice (figura 3.24.b).Din necesitatea descrierii corespunztoare a alctuirii stratificatelor s-a

introdus un cod de prezentare frecvent ntlnit n literatura de specialitate [55,190].Numerele din cod sunt unghiurile de orientare ale straturilor n raport cu un

sistem de axe impus, citite de la partea superioar spre partea inferioar, separate prin bare nclinate, toate datele fiind incluse ntre paranteze ptrate. Dac

stratificatul este simetric se face citirea unghiurilor straturilor numai pe jumtatea superioar a stratificatului i se adaugs ca indice inferior la


39/50

39

paranteza ptrat. De asemenea atunci cnd sunt dou sau mai multe straturi

consecutive cu aceeai orientare, acestea se pot cuprinde ntre paranteze avndca indice inferior numrul ce indic repetarea. Atunci cnd planul median trece

printr-un strat cifrele sale care i indic orientarea se supraliniaz. n figura 3.25

sunt ilustrate cteva tipuri de stratificate i codurile de prezentare aferente.

Figura 3.24 - Tipuri de stratificate

Figura 3.25 - Exemple de stratificate i codurile de prezentare

y

x

z

x

y

z

a.

b.

0o

45o

45o

90o

0o

90

o

[0/90/45]s

0o

-30o

0o

+30o

-30o

+30o

[(0/s30)2]

90o

30o

0o

90o

45o

45o

[90/45/30/0/90/45]

0o

0o

90o

90o

[(0/90)2/45]s

90o

0o

90o

0o

45o


40/50

40

3.4.2. Evaluarea caracteristicilor mecanice ale elementelor stratificate

din materiale compozite polimerice

3.4.2.1. Relaii deplasri-deformaii specifice

Stabilirea acestor relaii se bazeaz pe urmtoarele ipoteze:y Stratificatul se presupune c acioneaz unitar, ca un produsmonostrat; conlucrarea dintre lamele este perfect, iar stratuladerent este foarte subire i nedeformabil la forfecare. n acest fel

lamelele nu alunec unele fa de altele, asigurndu-secontinuitatea deplasrilor peste pelicula de aderen.

y Se presupune c o linie normal pe suprafaa median astratificatului n stare nedeformat rmne perpendicular pesuprafaa median i dup deformare, figura 3.26, i deci se pot

neglija deformaiile specifice unghiularexzK i yzK .

Figura 3.26 - Notaii pentru stabilirea relaiilor deplasri-deformaii

specifice la stratificatul compozit

Pe baza acestor ipoteze, analiznd o poriune a produsului stratificat (figura3.26) nainte i dup deformarea ansamblului, se poate exprima deplasarea u a

punctului Cde pe normala ABCD, punct situat la distanaz fa de axa median:u = u0-zE (3.107)n care :u0 - deplasarea punctului situat n planul median pe aceeai normal cu

punctul C (punctulB) n direciax;

E - unghiul ce-l face normala iniial (ABCD) cu normala dup deformare

A

B

C

D

A

BC

D

u0

u

z

x

z

w0

Ex

Ex

zEx


41/50

41

(A'B'C'D') sau panta suprafeei mediane n raport cu axax:

x

w0

x xx

!E y

w 0y x

x!E (3.108)

w0 - deplasarea n direcia z a punctului situat n planul median pe aceeai

normal cu C(punctulB).

Rezult c:

x

wzuu 00 x

x! (3.109)

Aplicnd acelai raionament, deplasarea v a punctului C n direcia y sepoate exprima cu relaia:

y

wz 00 xx

R!R (3.110)

unde:v0- deplasarea n direciay a punctuluiB.

Deplasarea w n direciaz a unui punct oarecare Ceste compus din w0 s alungirea sau scurtarea normalei. Presupunnd c neglijm alungirea sauscurtarea normalei rezult:

w = w0 (3.111)

Relaia (3.111) implic zI = 0.Starea de deformaii a stratificatului se caracterizeaz prin:

zI ,

yI ,

xyK { 0 i

zI ,

yzR ,

zxR = 0 (3.112)

Pornind de la faptul c:

x

ux x

x!I ,

yv

y xx

!I ,xv

yu

xy xx

xx

!K (3.113)

rezult urmtoarele expresii pentru deformaiile specifice diferite de zero:

2

0

2

0x

x

wz

x

u

x

x

x

x!I ,

2

0

2

0y y

wz

y

v

x

x

x

x!I

yx

wz2

x

v

y

u 02

00xy xx

x

x

x

x

x!K (3.114)


42/50

42

Identificnd ca deformaii specifice ale suprafeei mediane:

x

u 00x x

x!I ,

y

v00y x

x!I ,

x

v

y

u 000xy x

x

x

x!K (3.115)

i curburile plcii:

2

0

2

x xwk

xx! ,

2

0

2

y ywk

xx! ,

yxw2k 02

xy xxx! (3.116)

se ajunge la relaia:

K

I

I

!

K

I

I

xy

y

x

0

xy

0

y

0

x

xy

x

k

k

k

z (3.117)

Relaia (3.117) scris sub form condensat devine:

kz0 I!I (3.118)

Relaiile (3.117) sau (3.118) arat c deformaiile specifice variaz liniar pegrosimea stratificatului.

3.4.2.2. Relaii tensiuni-deformaii specifice

n macromecanica lamelei compozite se prezint relaia ( W -I ) pentru olamel ortotrop. Relaia rmne valabil i pentru o lamel ortotrop ce provinedintr-un stratificat. Astfel pentru un strat elementar "k" se poate scrie:

? A kk

Q I!W (3.119)

Utiliznd relaia (3.117) i dezvoltnd matricea ? AkQ se obine:

-

K

II

-

!

X

W

W

xy

y

x

662616

262212

161211

0

xy

0

y

0x

662616

262212

161211

kxy

y

x

k

kk

QQQ

QQQQQQ

z

QQQ

QQQQQQ

(3.120)

Din relaia (3.120) rezult c tensiunile variaz liniar pe grosimea stratuluielementar.


43/50

43

Figura 3.27 - Distribuia deformaiilor specifice liniare,

a modulilor de elasticitate i a tensiunilor normale pe seciunea transversala unui stratificat

ntruct rigiditile lamelelor difer, iar distribuia deformaiilor specifice

pe grosimea stratificatului este liniar, (relaia (3.118)), este evident cdistribuia tensiunilor este liniar pe grosimea fiecrei lamele, cu salturi la

interfaa dintre straturile elementare. Aceast caracteristic este exemplificat nfigura 3.27 pentru un stratificat alctuit din patru lamele cu caracteristici

mecanice i geometrice diferite.

3.4.2.3. Relaii tensiuni-eforturi pentru ansamblul stratificat

Din punctul de vedere al comportrii globale, al rspunsului la aciuni, pe

seciunile unei plci stratificate apar eforturi de tip Nx, Ny, Nxy, Mx, My, Mxyaferente unei limi unitare.

Aceste eforturi genereaz. la rndul lor tensiuni normale i tangeniale detipul: Wx, Wyi Xxy.

Relaiile dintre cele dou tipuri de eforturi se stabilesc pe baza teorieiplcilor (figura 3.28) i sunt cele date de relaiile (3.121) i (3.122).

dzN x2

h

2

hx W!

, dzN y2

h

2

hy W!

, dzN xy2

h

2

hxy X!

(3.121)

i:

dzzM x2

h

2

hx W!

, dzzM y2

h

2

hy W!

, dzzM xy2

h

2

hxy X!

(3.122)

1

2

3

4

I E W


44/50

44

Figura 3.28 - Eforturi caracteristice pe seciunile transversaleale unui stratificat tip plac

Sau, sub form vectorial:

dz

N

N

N

xy

y

x

2

h

2

h

xy

y

x

X

W

W

!

(3.123)

dzz

M

M

M

xy

y

x

2

h

2

h

xy

y

x

X

W

W

!

(3.124)

3.4.2.4. Relaii eforturi deformaii specifice pentru ansamblul stratificat

Straturile (lamelele) n stratificat se numeroteaz pornind de la parteasuperioar spre baz. Se consider originea sistemului de axe (x0z) n planulmedian. n acest caz, distana de la planul median la limita stratului, hk, este

pozitiv sub planul median, fiind negativ deasupra acestuia.Aplicnd relaia (3.123) la un produs stratificat cu "n" straturi elementare

(figura 3.29) rezult:

dz

N

N

N

xy

y

xn

1k

h

h

xy

y

x

k

1k

X

W

W

!

!

(3.125)

b

z

yx

Mx Mxy

Nx

Nxy

NyxNyMy

Myx

h/2

h/2


45/50

45

Figura 3.29 - Notaii pentru stabilirea relaiilor

eforturi-deformaii specifice

Combinnd relaiile (3.125) i (3.120) rezult :

!

!

-

-

-

K

I

I

-

!

n

1k

xy

y

x

662616

262212

161211

h

h

n

1k0

xy

0

y

0

x

662616

262212

161211

h

h

xy

y

x

dzz

k

k

k

QQQ

QQQ

QQQ

dz

QQQ

QQQ

QQQ

N

N

N

k

1k

k

1k

(3.126)

innd seama de faptul c 0I i (k) nu sunt funcii de z i n interiorulfiecrui strat elementar coeficienii matricei reduse a constantelor elastice

transformate ? AQ nu sunt funcie de z iar 0I i (k) nu depind de numrul lameleicurente "k", ecuaia (3.126) devine:

-

-

-

-

!

!

!

xy

y

xn

1k

h

h

662616

262212

161211

0

xy

0

y

0

xn

1k

h

h

662616

262212

161211

xy

y

x

k

k

k

dzz

QQQ

QQQ

QQQ

dz

QQQ

QQQ

QQQ

N

N

N

k

1k

k

1k

K

I

I

(3.127)

1

2

n

k

h0h1

hk-1hk

hn-1

hn

h

xplan median

0

z


46/50

46

Aplicnd relaia (3.124) la un produs stratificat cu "n" straturi elementare

(figura 3.29) rezult:

dzzMM

M

xy

y

xn

1k2

h

2

h

xy

y

x

XW

W

!

! (3.128)

Combinnd relaiile (3.128) i (3.120) i innd cont de observaiile de mai

sus cu privire la 0I , (k) i ? AQ rezult:

-

-

K

I

I

-

-

!

!

!

xy

y

x

2h

h

n

1k

662616

262212

161211

0

xy

0

y

0

x

h

h

n

1k

662616

262212

161211

xy

y

x

k

k

k

dzz

QQQ

QQQ

QQQ

dzz

QQQ

QQQ

QQQ

M

M

M

k

1k

k

1k

(3.129)

Pe baza expresiilor (3.127) i (3.129) se definesc matricele [A],[B],[D]:

? A

1kkn

1kijij

662616

262212

161211

h

h

n

1k

662616

262212

161211

hhQA

AAA

AAA

AAA

dz

QQQ

QQQ

QQQ

A k1k

!

!

!

-

!

-

-

!

(3.130)

? A

2 1k2kk

n

1kijij

662616

262212

161211

h

h

n

1k

662616

262212

161211

hhQ2

1B

BBB

BBBBBB

dzz

QQQ

QQQQQQ

B k1k

!

!

!

-

!

-

-

!

(3.131)


47/50

47

? A

3 1k3kn

1kijij

662616

262212

161211

2h

h

n

1k

662616

262212

161211

hhQ3

1D

DDD

DDD

DDD

dzz

QQQ

QQQ

QQQ

D k1k

!

!

!

-

!

-

-

!

(3.132)

Cu aceste notaii expresiile eforturilor pe seciunile stratificatului devin:

? A ? A kBAN

k

k

k

BBB

BBB

BBB

AAA

AAA

AAA

N

N

N

0

xy

y

x

662616

262212

161211

0

xy

0

y

0

x

662616

262212

161211

xy

y

x

I!

-

K

I

I

-

!

(3.133)

i

? A ? A kDBM

k

k

k

DDD

DDD

DDD

BBB

BBB

BBB

M

M

M

0

xy

y

x

662616

262212

161211

0

xy

0

y

0

x

662616

262212

161211

xy

y

x

I!

-

K

I

I

-

!

(3.134)

Din expresiile (3.133) i (3.134) se obine relaia eforturi-deformaiispecifice pentru placa stratificat sub forma:

I

-

!

kDB

BA

M

N 0

.

/

...

/

. (3.135)

Denumirile matricelor[A], [B] i [D] sunt:[A] - matricea rigiditilor axiale;[B] - matricea de cuplare;[D] - matricea rigiditilor la ncovoiere.

Se observ c eforturile pe seciunile stratificatului sunt funcie dedeformaiile specifice liniare, deformaiile specifice unghiulare i curburile dencovoiere i de rsucire.


48/50

48

n relaia (3.135) matricele [A], [B] i [D] formeaz matricea [E] denumit

matricea rigiditilor de ansamblu ale stratificatului.

3.4.2.5. Relaii deformaii specifice - eforturi pentru ansamblul stratificat

Se obin prin inversarea relaiei (3.135) i sunt date de relaia (3.136):

-

!

I

M

N

dh

ba

k

0

.

/

...

/

. (3.136)

unde:1

DB

BA

dh

ba

-

!

-

/

...

/

/

...

/

(3.137)

n relaia (3.137) matricele [a], [b], [h] i [d] formeaz matricea [E]-1

denumit ca matricea flexibilitilor de ansamblu ale stratificatului iar termeniimatricei [E]-1se determin conform procedurii prezentate n continuare.

Din relaia (3.133) prin inversare se obin deformaiile specifice dinaciunea unor eforturi axiale conform relaiei (3.138):

? A ? A ? A kBANA 110 !I (3.138)

Substituind vectorul deformaiilor specifice dat de relaia (3.138) n relaia(3.134) se obine:

? A ? A ? A ? A kDkBNABM 1 ! (3.139)

Se noteaz:

? A ? A

? A ? A ? A? A ? A ? A? A ? A ? A ? A ? ABABDD

ABC

BAB

AA

1*

1*

1*

1*

!

!

!

!

(3.140)

Combinnd relaiile (3.139) cu ultima relaie inversat din setul de relaii(3.140), se obine:


49/50

49

? A ? A ? A NCDMDk *1*1* ! (3.141)

Din relaiile (3.137) i (3.141) prin substituire, se obine:

? A ? A ? A ? A ? A ? A MDBNCDBA 1***1***0 !I (3.142)

Combinnd relaiile (3.141) i (3.142) se obin relaiile care permit calcululmatricei de flexibilitate a stratificatului:

? A ? A ? A ? A ? A? A ? A ? A? A ? A ? A ? A? A ? A1*

T*1*

1**

*1***

Dd

bCDh

DBb

CDBAa

!

!!

!

!

(3.143)

Dac se cunoate vectorul deformaiilor specifice i a curburilor se pot

determina tensiunile normale i tangeniale n fiecare strat cu relaia (3.120), iardac se utilizeaz relaia (3.117) se pot calcula deformaiile specifice liniare i

unghiulare corespunztoare fiecrui strat (n relaie, z este distana de la planulmedian la stratul analizat). n urma efecturii calculelor pentru stabilirea

caracteristicilor mecanice ale lamelelor in coordonate generale, precum si alestratificatului transversal simetric (armarea este realizat n cruce), se impun

menionate urmtoarele observaii referitoare la calculul deformaiilor specificei a eforturilor n cazul unui stratificat tip plac:

y la stratificatele simetrice (simetrie realizat geometric i subaspectul proprietilor mecanice ale straturilor), matricea [B] aretoi termenii nuli;

y la stratificatele alctuite din lamele izotrope termenii:A16=A26=D16=D26=0

y pentru lamelele armate unidireciona1, n coordonate genera1e,termenii de tipul 6iQ 6i { ai matricei reduse a constantelorelastice transformate sunt nuli datorit produsului cosUsinU ;

y datorit simetriei stratificatului se poate scrie:? A ? A ? A ? A ? A ? A ? A 11 Dd;0bh;Aa !!!!


50/50

3.4.2.6. Caracteristicile mecanice ale ansamblului stratificat

De multe ori este mai uor s se utilizeze n calculele de proiectare

caracteristicile mecanice pentru ntreg ansamblul stratificat, elementul fiind

proiectat dup metodele tradiionale. Pentru aceste cazuri se pot calcula moduliide elasticitate, coeficienii lui Poisson, etc., cu relaiile (3.144).Aceste relaii permit calculul caracteristicilor mecanice ale ansamblului

stratificat la solicitri pure dup o direcie, toate celelalte eforturi fiind nule.

11x11

x

0

x

xx ha

1

Nah

N

E !!IW

!

22y22

y

0y

y

y ha

1

Nah

N

E !!I

W

!

66xy66

xy

0

xy

xy

xy ha

1

Nah

N

G !!K

X!

66

26

y,xy

11

16

xy,x

11

12

xy a

a;

a

a;

a

a!L!L!R

Utiliznd calcule matematice asemntoare, pentru stratificatele simetricese poate scrie relaia moment ncovoietor-curbur astfel:

x

11x11x

1

b

MdMdk

V!!! (3.145)

Relaia (3.145) permite calculul aproximativ al modulului de elasticitate lancovoiere pentru elementul stratificat cu relaiile (3.146) i (3.147):

11

3i,x dh

12E ! (3.146)

i analog:

22

3i,y dh

12E ! (3.147)

Documents

3-alcatuirea si calculul