Пример 8:За финализирање на еден комплексен производ во едно претпријатие, група работници го потрошиле следново работно време:

Да се пресмета просечното работно време.

Број на работнициПотрошено работно време во часови и

минути

5 3ч и 30мин – 4ч и 29мин

7 4ч и 30мин – 5ч и 29мин

9 5ч и 30мин – 6ч и 29мин

Пример 8 (решение):

Просечното работно време потребно за изработка на овој производ изнесува 5 часа и 3,1 минути.

Број на работници

fi

Потрошено работно време во часови и минути

xi

Во минути

xi

Средина на класов

интервалfi/xi

5 3ч и 30мин – 4ч и 29мин 210 – 269 239,5 0,0208768

7 4ч и 30мин – 5ч и 29мин 270 – 329 299,5 0,0233722

9 5ч и 30мин – 6ч и 29мин 330 – 389 359,5 0,0250348

Σ 21 0,0692839

минути 3,1 и часа 5 минути 303,10

минути 10,3030692839,0

21

1

1

=

===∑

∑

=

=k

i i

i

k

ii

h

xf

fM

МедијанаМедијаната претставува позициона средна вредност која статистичката серија подредена по големина ја дели на два еднакви делови.

2

1)(

+= NчленM e

Групирани податоци(интервални класи)

if

fN

LMeM

i

e ⋅−

+=∑2

1

Пример 9:Успехот на студентите на испитот се оценува со следните оцени: одличен (А), многу добар (Б), добар (В), доволен (Г) и недоволен (Д). Резултатите од успешно положениот испит по предметот Статистика за бизнис и економија за 25 студенти е прикажан во табелата.

Одредете ја медијалната оцена.

Б В А А Б Б Б В В В В А А

Б Б В В В Г Г А Г Б Б А

Пример 9 (решение):

Медијалната оцена по предметот Статистика за бизнис и економија изнесува Б (многу добар).

Г Г Г В В В В В В В В Б Б Б Б Б Б Б Б А А А А А А

132

26

2

1)( ==+= NчленM e

КвартилиМедијаната покрива само 50% од сите вредности на белегот, односно не ги опфаќа неговите крајни вредности.Овој недостаток на медијаната може да се ублажи со делење на серијата на четири еднакви делови, квартили: Q1, Q2 – медијана и Q3.

Вредности на белегот подредени во статистичка серија

25% 50% 25%

Q1 Q2 Q3

Подмедијална

вредностМедијална вредност

Надмедијална вредност

if

fN

LMeM

i

e ⋅−

+=∑2

1if

fN

LQQ

i

⋅−

+=∑

1

411 i

f

fN

LQQ

i

⋅−

+=∑3

43

13

Пример 10:Неактивното население во Р. Македонија според возраста е прикажано во следната табела:

Да се одреди вредноста на медијаната, првиот и третиот квартил. Дадете толкување за добиените големини.

Возраст Број на жители (во илјади)

15 – 24 362

25 – 49 252

50 - 64 504

65 и повеќе 694

Пример 10 (решение):Возраст

Број на жители (во илјади)

Кумуланта

15 – 24 362 362

25 – 49 252 614

50 - 64 504 1118

65 - 89 694 1812

Вкупно 1812

9062

1812

2

1)( ==+= NчленM e

4534

1812

4

1)(1 ==+= NчленQ

13594

18123

4

)1(3)(3 =⋅=+= N

членQ

67,33

24252

3624

1812

25

4

1

11

=

=⋅−

+=

=⋅−

+=∑

if

fN

LQQ

i

11,58

14504

6142

1812

50

21

=

=⋅−

+=

=⋅−

+=∑

if

fN

LMeM

i

e

18,73

24694

11184

18123

65

43

3

13

=

=⋅−⋅

+=

=⋅−

+=∑

if

fN

LQQ

i

25% од неактивното населението има просечна возраст од 33,67 години, 50% има просечна возраст од 58,11 години и 25 % од населението има просечна возраст од 73,18 години.

Пример 11:Врз основа на податоците од табелата:

Определете ги медијаната, првиот и третиот квартил.Определете ја медијаната врз основа на графички приказ.

Број на изработени производи

Број на работници

10 – 20 11

20 – 30 36

30 – 40 27

40 – 50 16

50 - 60 10

Пример 11 (решение):Број на изработени

производиБрој на

работнициКумуланта

10 – 20 11 11

20 – 30 36 47

30 – 40 27 74

40 – 50 16 90

50 - 60 10 100

Вкупно 100

5,504

101

2

1)( ==+= NчленM e

25,254

101

4

1)(1 ==+= NчленQ

75,754

1013

4

)1(3)(3 =⋅=+= N

членQ

89,23

1036

114

100

10

4

1

11

=

=⋅−

+=

=⋅−

+=∑

if

fN

LQQ

i

1,31

1027

472

100

30

21

=

=⋅−

+=

=⋅−

+=∑

if

fN

LMeM

i

e

63,40

1016

7441003

40

43

3

13

=

=⋅−⋅

+=

=⋅−

+=∑

if

fN

LQQ

i

25% од работниците просечно изработува по 23,89 производи, 50% изработува просечно по 31,1 производ и 25 % од работниците просечно изработуваат по 40,63 производи.

Пример 11 (решение):

25,25)(1 =членQ

5,50)( =членM e

10 20 30 40 50 60 70X – горна граница накласовиот интервал

0

10

30

50

90

70

110

Y – кумулирани фреквенции

75,75)(3 =членQ

Q1 Me Q3

Кумуланта - огива

Модус (фреквенциона, доминантна, мода, модална или типична вредност на белегот)

Модусот е позициона средна вредност. Тој претставува вредност или модалитет на белегот кој најчесто се појавува во статистичката серија или има најголема фреквенција.

Групирани податоци(интервални класи)

iffff

ffLM ⋅

−+−−+=

)()( 3212

1210

Пример 12:Бројот на живородени деца спрема возраста на мајката во Р. Македонија е прикажан во следната табела:

Најдете ја вредноста на модусот и објаснете го неговото значење.

Возраст на мајката Број на живородени деца

15 – 19 2436

20 -24 12613

25 – 29 15183

30 – 34 10046

35 – 39 4001

40 – (54) 815

Пример 12 (решение):

Најчеста возраст на мајката при раѓање на дете е 26,67 години.

Возраст на мајката Број на живородени деца

15 – 19 2436

20 -24 12613

25 – 29 15183

30 – 34 10046

35 – 39 4001

40 – (54) 815

0M

67,26

5)1004615183()1261315183(

126131518325

)()(

1

3212

1210

=

=⋅−+−

−+=

=⋅−+−

−+= iffff

ffLM

2f

1f

3f

Мерки на дисперзијаСредната вредност не е доволен показател. Помеѓу единиците постојат разлики и во нивото на белегот. Тие разлики претставуваат варијабилитет.

Мерките на дисперзија го утврдуваат варијабилитетот во набљудуваната појава.

Вредности на белегот

Централна вредност на белегот

Отстапување од централната вредност на белегот

Мерки на дисперзијаСредната вредност на белегот ја изразува законитата тенденција на групирање на вредностите на белегот окулу една типична вредност на белегот.

Но помеѓу единиците на некоја маса постојат разлики во нивото на белегот кои се нарекуваат варијабилитет.

Серија X 5 20 36 64 105 130 185 255 M=100

Серија Y70

83 85 89 108 109 126 130 M=100

Сериите имаат иста аритметичка средина, но серијата X има поголем варијабилитет (вредностите на серијата варират од 5 – 255).

Апсолутни мерки на дисперзијаАпсолутните мерки на дисперзија го изразуваат варијабилитетот во апсолутни износи, во оние единици мерки во кои се дадени модалитетите на белегот.

minmax xxiv −=

Разлика помеѓу најмалата и најголемата вредност на белегот во серијата.

Недостаток: Се пресметува врз основа на само две вредности (екстремните вредности).

13 QQiq −=

За да се отстрани влијанието на екстремните вредности врз износот на интервалот на варијација. Разлика помеѓу третиот и првиот квартил.

НедостатокНе се пресметува од сите податоци на серијата.Ги исклучува 25% од податоците со највисоки и 25% од податоците со најниски вредности.

ИНТЕРВАЛ НА ВАРИЈАЦИЈА

ИНТЕРКВАРТИЛНА РАЗЛИКА

Апсолутни мерки на дисперзијаАпсолутните мерки на дисперзија го изразуваат варијабилитетот во апсолутни износи, во оние единици мерки во кои се дадени модалитетите на белегот.

N

MxSO

N

ii∑

=

−= 1

податоци иНегрупиран

Се изразува апсолутното отстапување на вредностите на белегот од нивната аритметичка средина.

Недостаток: Не е прилагодено за понатамошна математичка обработка.

СРЕДНО АПСОЛУТНО ОТСТАПУВАЊЕ

∑

∑

=

=−

= k

ii

k

iii

f

MxfSO

1

1

податоци Групирани

Апсолутни мерки на дисперзијаАпсолутните мерки на дисперзија го изразуваат варијабилитетот во апсолутни износи, во оние единици мерки во кои се дадени модалитетите на белегот.

Збир на квадратните отстапувања на вредностите на белегот од аритметичката средина поделен со бројот на единиците.

Недостаток: Се изразува во квадратни отстапувања (квадрати на единиците на мерките на соодветниот белег).

СРЕДНО КВАДРАТНО ОТСТАПУВАЊЕ (ВАРИЈАНСА)

( )N

MxN

ii∑

=

−= 1

2

2

податоци иНегрупиран

σ

( )

∑

∑

=

=

−= k

ii

k

iii

f

Mxf

1

1

2

2

податоци Групирани

σ

Апсолутни мерки на дисперзијаАпсолутните мерки на дисперзија го изразуваат варијабилитетот во апсолутни износи, во оние единици мерки во кои се дадени модалитетите на белегот.

Квадратен корен од варијансата. Се добива просечниот варијабилитет.

СТАНДАРДНА ДЕВИЈАЦИЈА 2σσ =

Релативни мерки на дисперзијаБидејќи апсолутните мерки се искажуваат во различни единици, истите не можат да се компарираат.За споредување на варијабилитетот на фреквенции чии белези се искажуваат во различни единици мерки или ист белег во повеќе распореди на фреквенции се користат релативните мерки на дисперзија.

100⋅=M

Cvσ

Процентуален однос на стандардната девијација и аритметичката средина.

КОЕФИЦИЕНТ НА ВАРИЈАЦИЈА

КОЕФИЦИЕНТ НА ИНТЕРКВАРТИЛНА ВАРИЈАЦИЈА за споредување на диспрезијата на повеќе маси или

примероци

10013

13 ⋅+−

=QQ

QQCQ

НОРМАЛИЗИРАНО СТАНДАРДИЗИРАНО ОТСТАПУВАЊЕ σ

MxZ i −

=

Мерка на одалеченост на поодделните вредности на белегот од аритметичката средина на серијата искажана преку бројот на стандардните девијации.

Пример 13:Во примерок од 50 телефонски повикувања времетраењето го има следниот распоред:

Пресметајте го:a) Средното апсолутно отстапување;б) Варијансата;в) Стандардната девијација;г) Коефициентот на варијација.

Должина на разговорите во минути

Број на разговори

0 – 2 20

2 – 4 15

4 – 6 10

6 – 8 5

Пример 13 (решение):

( )4

50

200 )

1

1

2

2 ==−

=∑

∑

=

=k

ii

k

iii

f

Mxfб σ

Должина на разговорите во

минути (xi)

Број на разговори

(fi)

Средина на групен

интервал (xi)xifi xi-M fixi-M (xi-M)2fi

0 – 2 20 1 20 2 40 80

2 – 4 15 3 45 0 0 0

4 – 6 10 5 50 2 20 40

6 – 8 5 7 35 4 20 80

Вкупно 50 150 80 200

6,150

80

350

150

f

xM )

1

1

1i

k

1ii

==−

=

===

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

k

ii

k

iii

k

i

i

f

MxfSO

fa

24) 2 === σσв

%67,661003

2

100 )

=⋅=

=⋅=M

Cг v

σ

Должината на разговорите во просек отстапува за 66,67% во однос на аритметичката средина.

Пример 14:Врз основа на податоцитe за распоредот на 100 работници според бројот на изработени производи да се определи:a) Интервал на варијација;б) Интерквартилната разлика;в) Средно апсолутно отстапување;г) Варијанса;д) Стандардна девијација;ѓ) Коефициент на варијација;е) Коефициент на интерквартилна варијација.

Број на производи Број на работници

10 – 20 11

20 – 30 36

30 – 40 27

40 – 50 16

50 - 60 10

Пример 14 (решение):

Број на производи

xi

Број на работници

fi

Кумуланта

10 – 20 11 11

20 – 30 36 47

30 – 40 27 74

40 – 50 16 90

50 - 60 10 100

Вкупно 100

501060 ) minmax =−=−= xxiа v

735,16

89,23625,40

) 13

==−=

=−= QQiб q

89,23

1036

114

100

20

4

1

11

=

=⋅−

+=

=⋅−

+=∑

if

fN

LQQ

i

625,40

1016

7441003

40

43

3

13

=

=⋅−⋅

+=

=⋅−

+=∑

if

fN

LQQ

i

25,254

101

4

1)(1 ==+= NчленQ

75,754

1013

4

)1(3)(3 =⋅=+= N

членQ

Q1

Q3

Пример 14 (решение):Број на

производи

xi

Број на работници

fi

Средина на кл. инт.

xi

xififixi-M

(xi-M)2fi

10 – 20 11 15 165 196 3485,24

20 – 30 36 25 900 281 2190,24

30 – 40 27 35 945 59 130,68

40 – 50 16 45 720 195 2381,44

50 - 60 10 55 550 222 4928,4

Вкупно 100 3280 953 13116

( )

16,131100

13116

)

1

1

2

2

==

=−

=∑

∑

=

=k

ii

k

iii

f

Mxfг σ

53,9100

953

в)

1

1

==

=−

=∑

∑

=

=k

ii

k

iii

f

MxfSO8,32

100

3280

f

xM

1i

k

1ii

===∑

∑

=

=k

i

if

Пример 14 (решение):Број на

производи

xi

Број на работници

fi

Средина на кл. инт.

xi

xififixi-M

(xi-M)2fi

10 – 20 11 15 165 196 3485,24

20 – 30 36 25 900 281 2190,24

30 – 40 27 35 945 59 130,68

40 – 50 16 45 720 195 2381,44

50 - 60 10 55 550 222 4928,4

Вкупно 100 3280 953 13116

259,0

89,23625,40

89,23625,40

C )13

13Q

=

=+−=

=+−=QQ

QQе

%92,341008,32

45,11

100C ) v

=⋅=

=⋅=M

ѓσ45,1116,131 ) 2 === σσд