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SEGUNDA PRA CTICA CALIFICADA DOMICILIARIA

SISTEMA 01 El diagrama de bloques corresponde a un sistema de control.

Figura 1 Sistema de control en tiempo discreto

() () ()() () ()

Donde ()es la F.T. del procesoDonde ()es la F.T. del actuadorDonde ()es la F.T. del sensorDonde ()es la F.T. del controlador digitalDonde ()es la F.T. del retenedor de orden 0.

() ()

()

Objetivo: alcanzar una respuesta ante entradas tipo escaln en r(Tk) , con CI=nulas, con errorestacionario No = 10 (Nmero de matrcula)

T = 0.050 (Periodo de muestreo)

() (Tiempo de establecimiento) (Sobre impulso mximo)

Se pide:

a)

Disear un controlador digital apropiado () de tal manera que el sistema en lazocerrado resulte ser de mnimo orden y que la respuesta y(kT) a entradas escaln en r(kT)alcance los requerimientos deseados y determinar la funcin de transferencia pulso entrminos de z incluyendo el controlador diseado.

Obtenemos el valor de:

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Las races en el plano z son:

Obtenemos la ecuacin caracterstica en funcin de Z:

() La funcin de transferencia pulso del sistema de acuerdo a los bloques del sistema:

E(s) = R(s)Y(s) Gm(s) (a)

M(s) = E*(s) Gd(s)

U(s) = M*(s) Gh0(s)

V(s) = M*(s) Gh0(s) Ga(s)

Y(s) = M(s) Gh0(s) Ga(s) Gp(s) (b)

Reemplazando (b) en (a) obtenemos:

E(s) = R(s)M*(s) Gh0(s) Ga(s) Gp(s) Gm(s) (c)

Aplicando la operacin asterisco a cada una de las expresiones obtenemos la funcin de

transferencia para cada una de las variables:

E*(s) = R(s)M*(s) [Gh0(s) Ga(s) Gp(s) Gm(s)]* (d)

M(s) = E(s) Gd(s) (e)

U(s) = M(s) Gh0(s) (f)

V(s) = M(s) *Gh0(s) Ga(s)+ (g)

Y(s) = M(s) *Gh0(s) Ga(s) Gp(s)+ (h)

Resolviendo el sistema obtenemos el valor de M:

()()

() ()()

Reemplazando en cada una de las variables obtenemos el valor de cada una en funcin de Z:

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()()

()() ()() ()

()

()

()

()

()

()()

()() ()() ()

()()

()() ()() ()

Para desarrollar el controlador utilizaremos la funcin de transferencia de (1), para esto

calculamos: G(z) =Gh0 Ga Gp(z)utilizando matlab:

() ()

()()

G(z) es de tipo 1 orden 2

Realizamos la misma operacin para GH(z) = Gh0 Ga Gp Gm(z), en matlab:

()

()()()()()

De acuerdo a estos resultados vemos la funcin de transferencia:

()()

() () () ()

Gd(z) tendr que ser de tipo 1 para obtener un ess=0 ante una entrada tipo escaln, y orden 2, de

la siguiente forma:

() ( ) ( ) ( )()()() Asignamos valores promedio a los ceros del controlador para que se eliminen con los ceros o polos

del proceso:

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Se reemplazan los valores y se obtiene la F.T.:

()()

() () () ()

()()

()()( )( )( ) ()()

() ( ) ( ) (). (a)

La ecuacin caracterstica obtenida es de 3er grado, sin embargo nos piden una de segundo grado,

entonces a las races en el plano Z dadas se le agrega un polo que est cerca al origen de

coordenadas.

() ()( )

()

() () . (b)

Igualamos las ecuaciones caractersticas (a) y (b)

Resolvemos en funcin del polo P:

(() ())( () ())Entonces debemos procurar que el discriminante tome valores positivos

() ()

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Para que la ganancia del controlador sea positiva, debemos considerar que .Entonces:

El controlador quedar:

() ()()()()()() La funcin de transferencia quedar:

()()

( )

()() Respuesta a un escaln unitario:

Observamos que cumple con las especificaciones pedidas:

() (Tiempo de establecimiento) (Sobre impulso mximo)

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b)

Mostrar la simulacin en el tiempo de las variables y(kT) , e(kT) , u(kT) , v(kT) con el

controlador diseado en (a) e ilustrar que el sistema cumple con las specificaciones

pedidas cuando la entrada r(kT) = 5 (k=0, 1, 2, ) . C.I.= 0.

()()

)

Respuesta de la Variable y(kT):

En funcin de k:

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Respuesta de la Variable e(kT):

()()

()()()()()()()()

()()

En funcin de k:

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Respuesta de la Variable u(kT):

()()

()()()()()() ()()

()()

Respuesta de la variable v(kT):()()

()()()()(( )( )() ()())

()()

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c)

Mostrar las grficas de: y(kT), e(kT), u(kT), v(kT) con el controlador diseado en (a) cuando

la entrada r(kT) = 10 (k=0, 1, 2, ), y(0)=2, y(0)=-5. Determine Mp, ts, tp. Para y(kT)

()()

( )

()

()

Por dato:

()

() ( )

Se observa una salida oscilante, por tanto no posee Mp, ts y tp.

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SISTEMA 02. Las figuras siguientes muestran tres variantes del controlador PID digital de un

determinado sistema de control.

Caso 1:

() {

( )} {

()}

Por el teorema de muestreo: Escogemos Entonces:

()

Hallamos ()usando la herramienta Matlab:()

Segn corresponda se pide:

d) Determinar las ganancias , , de los controladores para que los polos en lazocerrado se ubiquen en el plano Z en .Evaluar las funciones de transferencia pulso y dar conclusiones()().La F.T en lazo cerrado es:

()()

()() ()()

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Donde:

()

Simplificando:

()()

( )()( ) ( )()

Donde:

Escribiendo la F.T. de lazo cerrado con la funcin ()desarrollada se obtiene:()()

( )()( )( )( )()

()() ( )()( )( )()

Desarrollando y cambiando nuevamente de variables:

()()

Donde:

Con los polos deseados formamos el polinomio caracterstico de 4to grado:

() ()()()()() () () ()Igualando los coeficientes:

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Ordenando:

Resolviendo el sistema de ecuaciones con ayuda de Matlab:

Por tanto:

La expresin del controlador PID resulta:

()

La FT. Pulso quedara:

()()

e)

Mostrar las grficas de: y(kT), e(kT), u(kT) para una entrada de un escaln unitario en r(kT)y evalue Mp, td, tp, tr, ts. Dar sus conclusiones.

GRFICA DE y(kT):

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De la grfica se obtiene:

Sobre impulso porcentual Mp=9.3%

Tiempo de pico tp=0.17seg.

Tiempo de subida tr=0.14025 seg.

Tiempo de establecimiento ts=0.869seg.

GRFICA DE e(kT):

()()

()()

( )

GRFICA DE u(kT):

()()

()

()()

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f)

Mostrar las grficas de: y(kT), e(kT), u(kT) para una entrada de una onda senoidal de

magnitud 5 en r(kT) y periodo P=1.2seg. Dar sus conclusiones.

La onda senoidal de magnitud se ve en lnea gris y la respuesta

Respuesta de la salida Y(kT) para una entrada senoidal

Respuesta del error e(kT) para una entrada senoidal

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Respuesta de la energa u(kT) para una entrada senoidal

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SISTEMA 03 Sea el sistema de control de tiempo discreto representado mediante el diagrama de

bloques:

Donde:

()

()

( ) Se pide:

a) Disear un control digital()usando el mtodo analtico de tal manera que el sistema decontrol en lazo cerrado exhiba el tiempo de asentamiento mnimo con un error de estado

permanente

en estado permanente para un a entrada r(KT) de una rampa

unitaria. El sistema no podr tener componentes oscilatorias entre muestras en estado

permanente. (dar la expresin de ()).El sistema de la figura es equivalente a:

GD

GP

E

U

R

Y

-

G0H

Gm

T=0.5

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Definimos la funcin de transformada pulso en lazo cerrado como F(z):

() ()()

()() ()()

La expresin para el controlador ser el siguiente:

() ()()( ())

() *()+()

( )

Definimos la funcin de transformada pulso en lazo cerrado como F(z):

() ()() ()() ()()

Si G(z) se expande a una serie en z-1

el primer trmino ser 0.1106z-1

.

Por lo tanto, F(z) deber empezar con un trmino en z-1.

() Donde N n y n es el orden del sistema (en este caso n=3).

Se elegir N=4, quedando: () (Si no se obtiene un resultado satisfactorio, debemos suponer que N>4). Si se observa que la

entrada es una rampa unitaria entonces tenemos:

() ( )()Se observa que la presencia de un doble polo crticamente estable en z=1 en la funcin de

transferencia pulso de Gz(z) requiere que 1-F(z) tenga dos ceros en z=1. Sin embargo, la funcin 1-

F(z) ya tiene un trmino

1

1

z, por lo tanto satisface el requisito de estabilidad.

El requisito de que la constante de error de velocidad esttica sea de 1/0.1 se puede escribir en la

siguiente forma:

1.0

1

5.0)1(

)1(

5.0)()1(

)(1lim)()(

1lim

1

1

1

1

1

E

F

zEz

zFzzGzG

T

zKv

zZDz

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De la ecuacin () ( )() tenemos que F(1)=1. De ah Kv se puede escribircomo sigue:

()

()

Dado que la salida del sistema no debe mostrar componentes oscilatoriasentre muestras unavez alcanzado el tiempo de asentamiento, requerimos que U(z) sea de la siguiente forma

Debido a que la funcin de transferencia de planta Gp(s) incluye un integrador, U ser de 3er

grado

Tenemos:

() Tambin puede estar dado por

() ()() ()()

()() ()

()()

() () ( )( )

() ( ) ( )()Por lo tanto, U(z) puede ser escrito como sigue:

() ( )()De las ecuaciones anteriores tenemos

() ( )()Se despeja N(z):() ( ) ( ) ( )

Con un residuo que debe ser igual a 0.

() ( )Observamos que de la ecuacin (1) E(1)=0.2. Por lo tanto obtenemos en las ecuaciones anteriores

tenemos:

()Tambin se puede volver a escribir la ecuacin

() ( ) ( )()Se despeja (): ( )Con residuo ( ) ( )

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Observamos que el residuo debe ser 0.

() ()Se resuelven (I , II , III y IV):

Por lo tanto F(z) : () Y tbn N(z): () La funcin de transferencia pulso del controlador digital ()sera:

() ()( )

()()()

b) Con el controlador diseado evaluar y graficar y(KT), e(KT),u(KT), para () , () () Determinando grficamente de y(KT) en donde corresponda.

PARA UNA ENTRADA ESCALN UNITARIO

Y(kT)

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Ek(T)

PARA UNA ENTRADA RAMPA UNITARIA

Y(kT)

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e(kT)

c) Determinar()Resolviendo utilizando Matlab

() ()( )()()()

()