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1 EL CAMPO ELÉCTRICO Física 2º Bachillerato

2f 03 campoelectrostatico

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1

EL CAMPO ELÉCTRICOEL CAMPO ELÉCTRICO

Física 2º BachilleratoFísica 2º Bachillerato

2

EVOLUCIÓN HISTÓRICA• La raíz originaria de los términos “electricidad”, “electrón”, etc.,

hay que buscarla en Grecia y concretamente en un material llamado ámbar o resina fósil y que allí se conoce con el nombre de “elektron” y cuya característica básica es que era capaz de atraer otros cuerpos al ser frotado.

• WILLIAN GILBERT (1600) WILLIAN GILBERT (1600) Denomina a este tipo de Denomina a este tipo de materiales “materiales “eléctricos”eléctricos”

• STEPHEN GRAY (1700) STEPHEN GRAY (1700) Pone de manifiesto que la Pone de manifiesto que la electricidad pasa de unos cuerpos a otros si están en electricidad pasa de unos cuerpos a otros si están en contacto a través de un metal.contacto a través de un metal.

• CHARLES DU FAY (1730) CHARLES DU FAY (1730) Establece que la interacción Establece que la interacción eléctrica puede ser de dos clases:eléctrica puede ser de dos clases:

– A) repulsivaA) repulsiva– B) atractivaB) atractiva

3

JEAN ANTOINE NOLLET (1750) Hablará de dos tipos de fluidos eléctricos

BENJAMIN FRANKLIN (1770) Considera la existencia de un único tipo de fluidos eléctricos que podía encontrarse en exceso (situación positiva) o en defecto (situación negativa).

Alrededor de 1760 varios científicos Bernouilli, Priestley y Cavendish llegaron a la conclusión de que la interacción la interacción electrostática varía con la inversa del cuadro de la electrostática varía con la inversa del cuadro de la distancia,distancia, del mismo modo que la interacción gravitatoria.

En 1785 Charles August Coulomb midió dicha dependencia estableciendo la ley que lleva su nombre.

Es ya en la primera mitad del siglo XIX con Davy e Michael Faraday cuando se empieza a pensar en que la electricidad se debe a corpúsculos cargados. Más adelante Stoney dio el nombre de “electrones”electrones” a estos corpúsculos que fueron definitivamente descubiertos en 1897 por J.J. Thompon.

4

FENÓMENOS DE ELECTRIZACIÓN. CARGA ELÉCTRICAFENÓMENOS DE ELECTRIZACIÓN. CARGA ELÉCTRICA

Cuando un cuerpo adquiere por frotamiento la propiedad de atraer pequeños objetos, se dice que el cuerpo se ha electrizado

También pueden electrizarse por contacto con otros cuerpos electrizados; al tocar una varilla de ebonita no electrizada con una varilla de vidrio electrizada, la varilla de ebonita adquiere la propiedad de atraer pequeños objetos

Los experimentos ponen de manifiesto que las fuerzas entre cuerpos electrizados pueden ser de atracción o de repulsión

Hay dos tipos de cargas eléctricas: positiva y negativa. Cargas eléctricas del mismo tipo se repelen, y cargas eléctricas de distinto tipo se atraen

5

• ES LA PROPIEDAD DE LA MATERIA QUE SEÑALAMOS COMO LA CAUSA DE LA INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

• LA UNIDAD EN EL S.I. ES EL CULOMBIO (C)

• EN UN SISTEMA AISLADO SIEMPRE SE CONSERVA

• LA CARGA ELECTRICA ESTÁ CUANTIZADA: 1,6 10-19 C

• EXISTEN DOS TIPOS DE CARGAS: POSITIVA Y NEGATIVA.

• LAS FUERZAS PUEDEN SER ATRACTIVAS (CARGAS DISTINTO SIGNO) O REPULSIVA ( CARGAS DEL MISMO SIGNO)

DEFINICIÓN DE CARGA ELECTRICA

6

LA LEY DE COULOMB FRENTE A LA LEY DE NEWTONLA LEY DE COULOMB FRENTE A LA LEY DE NEWTON

F

F

F

F

r

ru

m1

m2

Fuerza gravitatoria entre dos masas

Todos los cuerpos se atraen con una fuerza proporcional a su masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos

Ley de la gravitación universal de Newton

rur

mmGF 2

21 ru

r

mmGF 2

21

La fuerza entre dos cargas eléctricas puntuales q1 y q2 es directamente proporcional al producto de ellas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que las separa

Ley de Coulomb

rur

qqKF 2

21

rur

qqKF 2

21

r

ru

-+

Fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales

7

VALOR DE LA CONSTANTE DIELÉCTRICA O PERMITIVIDAD

VALOR DE LA CONSTANTE DIELÉCTRICA O PERMITIVIDAD

En la fórmula de la ley de Coulomb, K es una constante cuyo valor depende del medio en el que se encuentran las cargas y es el vector unitario ru

rur

qqKF 2

21

ru

r

qq

4

1F 2

21

donde es la constante dieléctrica o permitividad del medio

La ley de Coulomb solo es válida para cargas puntuales o puntiformes, es decir, para aquellas cuyo tamaño es mucho menor que la distancia que las separa

21212 mNC10.85,8K4

1

00

Para el vacío, el valor de es:

Valores de K (N m2 C2)

Vacío 9.10 9

Vidrio 1,29.10 9

Glicerina 1,61.10 8

Agua 1,11.10 8

8

Semejanzas y diferencias entre las leyes de Newton y Coulomb

Semejanzas y diferencias entre las leyes de Newton y Coulomb

SEMEJANZAS D I F E R E N C I A S

La fuerza gravitatoria está asociada a la masa; la fuerza eléctrica a la carga

Su expresión matemática es la misma

Describen fuerzas que son proporcionales a la magnitud física que interacciona: las masas en las fuerzas gravitatorias, las cargas en las eléctricas

En ambas leyes, las fuerzas son in-versamente proporcionales al cua-drado de la distancia

Tanto las fuerzas gravitatorias como las eléctricas son fuerzas centrales, es decir, actúan en la dirección de la recta que une las masas o las cargas, respectiva-mente y ambas son conservativas

La fuerza gravitatoria es de atracción (solo hay un tipo de masa); la fuerza eléctrica puede ser de atracción o de repulsión (hay dos tipos de cargas)

La constante G no depende del medio; el valor de la constante K depende del medio en el que estén las cargas

El valor de G es muy pequeño frente a K: la interacción gravitatoria es mucho más débil que la eléctrica y la constante eléctrica depende del medio mientras que la gravitatoria no

9

CAMPO ELÉCTRICO. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICOCAMPO ELÉCTRICO. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO Una carga eléctrica perturba el espacio donde está situada, creando un campo eléctrico a

su alrededor

Para estudiar este campo, puede colocarse en él una carga eléctrica de prueba (q´) y observar como aparece sobre ella una fuerza de interacción expresada por la ley de Coulomb

Se define en cada punto del espacio un vector , denominado intensidad de campo eléctrico, mediante la relación:

E

'qFE

'qFE

La unidad de intensidad del campo eléctrico es N C 1. Si la carga q’ fuera +1 C,

resultaría que la fuerza sobre ella sería igual al campo

La intensidad del campo eléctrico en un punto es igual a la fuerza sobre la unidad de carga eléctrica POSITIVA situada en ese punto

10

Por tanto, la intensidad del campo eléctrico será:

r+q

+P

ru

E

Sea un campo eléctrico creado por una carga puntual q carga fuente

Si en un punto P a una distancia r de la carga q, situamos una carga testigo q’, y el campo ejerce sobre ella una fuerza F, la intensidad del campo eléctrico será:

ru

r

'qqK

'q

1

'qFE

2

ru

r

'qqK

'q

1

'qFE

2

rur

qKE

2

ru

r

qKE

2

En el campo gravitatorio la intensidad coincide con la gravedad mientras que en el electróstático es una magnitud nueva obtenida al dividir la fuerza entre la carga que se introduce para medir el campo

11

+ -

El campo eléctrico se representa mediante líneas de fuerza que indican como se movería una carga positiva introducida en el campo

Con este convenio el campo creado por una carga positiva será siempre repulsivo y el creado por una carga negativa siempre atractivo

Esto influye en los signos tanto de la fuerza como de la intensidad de campo:

rur

qqKF

221 ru

r

qqKF

221

rur

qqKF

221 ru

r

qqKF

221

El campo creado por una carga positiva sale positivo

El campo creado por una carga negativa sale negativo

rur

qKE

2ru

r

qKE

2

rur

qKE

2ru

r

qKE

2

12

z Calcula la intensidad del campo eléctrico creado por una carga de 12 C en un

punto P situado a 2 dm de la carga en el vacío. ¿Qué fuerza actuaría sobre una carga de 2 C situada en el punto P?

+

q = +12 C

+

q’ = +2 C

E

F

2 dm

Intensidad del campo:

E

C/N10.7,210.2

10.1210.9

r

qK 6

1

69

22

Fuerza sobre una carga de 2 C:

F= q’ E = 2.10 6 . 2,7.10 6 = 5,4 N

13

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓNPRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

+P

dq

d

q1 Pq2

q3

qi

iru

iE

S I S T E M A D I S C R E T O S I S T E M A C O N T I N U O

iEE...EEE n21

n

i 1r i2

i

i ur

qKE

rur

dqKEd

2

r2

ur

dqKEdE

La intensidad del campo eléctrico en un punto debido a un sistema discreto de cargas es igual a la suma de las intensidades de los campos debidos a cada una de ellas

En un sistema continuo, la carga se distribuye en un volumen determinado

•r

Ed

ru

14

CAMPO ELÉCTRICO UNIFORMECAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

+_

E

Por ejemplo el campo eléctrico en el interior de un condensador plano es un campo eléctrico uniforme

Un campo eléctrico en el que el vector intensidad de campo es igual en todos los puntos se denomina campo eléctrico uniforme

E

15

EL CAMPO ELECTROSTÁTICOEL CAMPO ELECTROSTÁTICO

C A M P O C O N S E R V A T I V O

1

2

3

321 ABABAB TTT

Un campo de fuerzas se denomina conservativo cuando el trabajo realizado para transportar una partícula con velocidad constante en el campo no depende de la trayectoria seguida, sino de las posiciones inicial y final

El trabajo necesario para desplazar una carga eléctrica entre los puntos A y B de un campo eléctrico es el mismo cualquiera que sea el camino elegido

El campo electrostático es un campo conservativo

En un campo conservativo, la energía potencial de una partícula se puede asociar a la posición. Es decir se puede definir energía potencial y T=-Ep

•A

• B

16

ENERGÍA POTENCIALENERGÍA POTENCIAL

ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA

El trabajo TAB necesario para llevar la carga desde un punto A hasta otro B, con velocidad constante, se emplea en variar la energía potencial del sistema TAB = Ep

Por convenio se toma el infinito como origen de referencia de las energías potenciales electrostáticas, de modo que si A está en el infinito, EpA = 0, el trabajo para traer la carga q’ desde el infinito hasta un punto B puede interpretarse como:

TAB = Ep = EpB EpA = EpB 0 = EpB

La energía potencial de una carga eléctrica en un punto del campo electrostático es igual al trabajo necesario para llevar la carga desde el infinito hasta dicho punto

W = F. dr = K. q1.q2. dr r2

W=K. q1.q2 dr = -K. q1.q2 r2 r

W= -K.q1.q2.1 - 1 r2 r1

EL CAMPO ELECTROSTÁTICO ES UN CAMPO CONSERVATIVO Y POR LO TANTO SE PUEDE DEFINIR UNA ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA QUE VARÍA SEGÚN LA POSICIÓN DEL CAMPO EN QUE NOS COLOQUEMOS, ES LA ENERGÍA NECESARIA PARA MOVER UNA CARGA DESDE EL INFINITO HASTA UN PUNTO DEL CAMPO:

W = - EP EP = K. q1.q2 -negativa si el campo es atractivo. r -positiva si el campo es repulsivo.

EL CAMPO ELECTROSTÁTICO ES UN CAMPO CONSERVATIVO Y POR LO TANTO SE PUEDE DEFINIR UNA ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA QUE VARÍA SEGÚN LA POSICIÓN DEL CAMPO EN QUE NOS COLOQUEMOS, ES LA ENERGÍA NECESARIA PARA MOVER UNA CARGA DESDE EL INFINITO HASTA UN PUNTO DEL CAMPO:

W = - EP EP = K. q1.q2 -negativa si el campo es atractivo. r -positiva si el campo es repulsivo.

17

El trabajo TAB necesario para llevar la carga q’ desde A hasta B, con velocidad constante, se emplea en variar la energía potencial del sistema, es decir:

+

0TAB

Potencial mayor

Potencial menor

TAB = EpB – EpA = VB q’ – VA q’ = (VB – VA) q’

Si q’ = +1C, resulta: TAB = VB – VA

La ddp (diferencia de potencial) entre 2 puntos A y B es el trabajo realizado para transportar la unidad de carga eléctrica positiva desde A hasta B

Como el potencial eléctrico de un punto situado en el infinito es cero, si en la expresión anterior se hace VA = 0, resulta TAB = VB , luego:

El potencial eléctrico de un punto es el trabajo necesario para llevar una carga de +1C desde el infinito hasta ese punto

Las cargas positivas se mueven de forma espontánea desde los puntos de mayor potencial hasta los de menor. El trabajo es mayor que cero, y lo realiza el campo

Para las cargas negativas, ocurre lo contrario. El trabajo es negativo y se realiza contra las fuerzas del campo

•A

•B

POTENCIAL ELECTROSTÁTICO

El potencial electrostático de un punto del campo eléctrico es la energía potencial de la unidad de carga eléctrica positiva situada en ese punto

Br

qK

'q

EV p

18

Líneas de fuerza: trayectoria que seguiría una carga positiva introducida en el campo

Líneas de fuerza: trayectoria que seguiría una carga positiva introducida en el campo

Líneas de fuerza del campo eléctrico creado por dos cargas de distinto signo

19

Superficies equipotenciales

Superficies equipotenciales

Superficies equipotenciales de un dipoloSuperficies equipotenciales para dos cargas positivas

Superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos del campo que tienen el mismo potencial eléctrico. Tienen la siguientes propiedades:

El trabajo necesario para mover una carga eléctrica por una superficie equipotencial es cero, ya que VA = VB TAB = q (VA VB) = 0

Son perpendiculares a las líneas de fuerza del campo

Las superficies equipotenciales de un campo eléctrico uniforme son planos paralelos

20

Relación campo - potencial en un campo eléctrico uniforme

Relación campo - potencial en un campo eléctrico uniforme

E

V1 V2 V3

d

En un campo eléctrico uniforme, las líneas de fuerza son rectas paralelas, y las superficies equipotenciales, planos perpendiculares a ellas

La diferencia de potencial entre dos superficies equipotenciales separadas por una distancia d será el trabajo realizado para llevar una carga de +1 C de una a otra: V2 – V1 = Ed

d

VVE 12

Al ser la intensidad del campo eléctrico igual a una variación del potencial eléctrico con la distancia, se usa también como unidad de E el voltio por metro (V/m)

21

Movimiento de cargas dentro de campos eléctricos uniformes

Movimiento de cargas dentro de campos eléctricos uniformes

y

x

E

0v+

Si la partícula tiene inicialmente una velocidad en la dirección del campo eléctrico uniforme, se moverá con MRUA en la misma dirección

0v

E

Em

q

mFa

0v

+q

Si la partícula tiene inicialmente una velocidad en dirección perpendicular al campo eléctrico uniforme, se moverá con un movimiento compuesto por:

0v

MRU con velocidad en dirección perpendicular al campo

0v

MRUA con aceleración en la direc-ción del campo.

a

220

xm2

Eqy

vTiro horizontal:

22

Movimientos de los electrones en los tubos de rayos catódicos

Movimientos de los electrones en los tubos de rayos catódicos

Placas de desviaciónÁnodo

Cátodo

Electrones

Una aplicación práctica de lo anterior es el movimiento de los electrones en los tubos de rayos catódicos, que se controla mediante campos eléctricos

De este modo, se hace incidir el electrón en el punto de la pantalla fluorescente donde se desee para formar la imagen

El elemento principal y más voluminoso de los televisores es el tubo de rayos catódicos

23

Flujo del campo eléctrico para una superficie plana

Flujo del campo eléctrico para una superficie plana

s

E

Se denomina flujo del campo eléctrico () a través de una superficie al producto escalar:

cosSES.E

El flujo representa el número de líneas de fuerza del campo que atraviesan la superficie

Para = 0º el número de líneas de fuerza cortadas por la superficie es máximo, y el flujo también es máximo

Para = 90º ninguna línea de fuerza corta la superficie, y el flujo es nulo

siendo el ángulo formado por el vector intensidad del campo con el vector superficie

24

Flujo del campo eléctrico para una superficie cualquiera

Flujo del campo eléctrico para una superficie cualquiera

sd

E

Sd

Sd

E

Dada una superficie cualquiera S, el flujo elemental d a través de un elemento de

superficie es d =

El flujo a través de toda la superficie es = SdEdSS

25

TEOREMA DE GAUSSTEOREMA DE GAUSS

q

S

r

E

sd

cos

4cos.

2 dSr

qdSESdEd

Si el campo eléctrico se debe a una carga puntual q, el flujo elemental d a través de un elemento de superficie a una distancia r de la carga es:

Sd

siendo el ángulo sólido elemental

d con el que se ve el elemento desde la

carga q

2r

cosdS

Sd

Si q está encerrada en el interior de S:

sssd

4

qd

4

qd donde:

equivale al ángulo sólido con el que

se abarca toda la superficie desde la

carga q

sd

El flujo eléctrico , debido a una carga puntual q, a través de una superficie cerrada que rodea a la carga es:

iq

26

++ +

+

+

++

++

+

+

+

++

+

+

+qint = 0

E = 0

Distribución de cargas en un conductor cargado, aislado y en equilibrio

En el interior de un conductor en equilibrio, el campo es nulo, ya que, si no lo fuera, las cargas en su interior se desplazarían y no estaría en equilibrio

Por tanto, en el interior del conductor, el campo es cero

Aplicando el teorema de Gauss, y considerando cualquier superficie cerrada interna en el conductor, se tiene que, al ser nulo el campo, el flujo a través de ella es nulo y, en consecuencia, la carga qint es igual a cero

No hay cargas libres en el interior del conductor

Las cargas se distribuyen en su superficie

27

R

r

E

+++

+

+

+

++

+ + ++

+

+

+

+

R

E = 0

E=0

r

E

2r

q

4

1E

Campo eléctrico debido a un conductor esférico

El campo es nulo para puntos interiores

Para puntos exteriores, en los que r > R, siendo R el radio del conductor esférico, puede elegirse una superficie esférica de radio r concéntrica con el conductor

El campo es radial debido a la simetría de la distribución de cargas. El flujo es:

E

2r4EdSEdSESdEdssss

.

En la superficie, donde r = R, el campo es:

Como

q

r4E 22r

q

4

1E

2R

q

4

1E

28

Una carga de 6 C se encuentra en el punto (0, 0). Calcula: a) La intensidad del campo eléctrico en el punto P(4, 3)b) La fuerza electrostática sobre una carga de 1 C situada en P. Las distancias

están expresadas en metros

b) La fuerza eléctrica sobre la carga de 1 C situada en P es:

a) La intensidad del campo eléctrico en el punto P(4,3):

C/N10.2,225

10.610.9

r

qKE 3

69

2

F = q’ E = 106 . 2,2.103 N/C = 2,2.103 NF

q = 6 C

q’ = 1 C

P(4, 3)

q = 6 C

P(4, 3)

E

29

b) Cálculo de la diferencia de potencial entre los puntos extremos:

a) Cálculo del espacio recorrido por la partícula:

La fuerza eléctrica sobre la partícula es: F = q E = 3,2.10-19 . 2.104 = 6,4.10-15 N

La aceleración es: a = 21127

15

s/m10.8,910.5,6

10.4,6

m

F

La distancia recorrida es:m10.3,1dd.10.8,9.2010.5da2vv 51123)(2

02

Una partícula (q = 3,2.1019 C; m = 6,5.1027 kg), inicialmente en reposo, es acelerada por un campo eléctrico uniforme de 2.10 N/C hasta una velocidad de 5000 m/s. Halla:a) El espacio recorrido por la partícula

b) La diferencia de potencial entre los puntos extremos del recorrido

V26,010.3,1.10.2VdEVd

VE 54

30

Campo ,Potencial y teorema de Gauss para

el campo eléctrico

Ejercicios de aplicación y repaso

31

- Campo y potencial eléctrico de una carga puntual - Campo y potencial eléctrico de dos cargas, dipolo eléctrico. - Flujo de campo eléctrico.- Ley de Gauss.- Diferencia de potencial electrostático.- Relación entre campo y potencial eléctrico.- Superficies equipotenciales.- Conductores- Carga inducida y transferencia de carga- Generador de Van der Graaff

Contenidos

32

Campo eléctrico y potencial de una carga puntual

El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga viene re-presentado por un vector de

• Módulo

• dirección radial• sentido hacia afuera si la carga es positiva, y hacia la carga si es negativa

El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale

Fig. 1 Campo eléctrico y potencial de una carga puntual (positiva y negativa)

33

Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos.

En la figura, se representan las* Líneas de fuerza de una carga puntual, que son líneas rectas que pasan por la carga.* Líneas equipotenciales son superficies esféricas concéntricas.

Fig. 2 Líneas de campo y superficies equipotenciales

34

Campo eléctrico de un sistema de dos cargas eléctricas

Cuando varias cargas están presentes el campo eléctrico resultante es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas ( Principio de Superposición). Consideremos el sistema de dos cargas eléctricas de la fig.3

El módulo del campo eléctrico producido por cada una de las cargas es

Y las componentes del campo total son

Fig. 3 Suma vectorial de los campos eléctricos

35

Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es

El potencial en el punto P debido a las dos cargas es la suma de los potenciales debidos a cada una de las cargas en dicho punto.

Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representa-remos en el applet la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

Fig. 4 Líneas de campo

La ecuación de las líneas equipoten-ciales es

Ecuación de las líneas de campo eléctrico y equipotenciales

Fig. 5 Líneas de campo y equipotenciales

36

El dipolo eléctrico

El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta frecuentemente como vere-mos en el tema dedicado a los dieléctricos.

Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa -Q del mismo va-lor, separadas una distancia d.

El potencial en el punto P distante r1 de la carga –Q y r2 de la carga +Q es

Expresamos r1 y r2 en función de r y q , que es la posición del punto P expresada en coordenadas polares.

Fig.6 Dipolo eléctrico

Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, podemos obtener una buena aproximación em-pleando el desarrollo en serie

37

Para expresar de forma aproximada los cocientes r / r1 y r / r2.

Despreciando los términos de orden superior a d2 / r2

El potencial se expresa en función de r y θ

Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r.

38

Componentes del campo eléctrico del Dipolo

Las componentes de E en coordenadas polares se pueden calcular a partir del gradiente de V expresado en coordenadas polares

Las componentes del campo eléctrico E son

Fig. 7 Componentes de E del dipolo eléctrico

La intensidad del campo eléctrico disminuye como el cubo de la distancia r.

Definimos momento dipolar al vector p, cuyo módulo es p=Qd, el producto de la carga Q por la separación d, y que se dirige desde la carga negativa a la positiva.

39

Línea de cargas

Campo producido por un conjunto de cargas iguales e igualmente espaciadas

Vamos estudiar un sistema un sistema de n cargas puntuales iguales y equidistan-tes n > 2, como paso previo a la obtención del campo producido por una distribución continua de carga.

El campo eléctrico E producido por n cargas en el punto P, es la suma vectorial de los campos producidos por cada una de las car-gas individuales en el punto P.

donde ri es el vector unitario cuya dirección es la recta que pasa por la carga ¨i¨ y el pun-to P.

El potencial en el punto P, es la suma de los potenciales producidos por cada una de las cargas individuales en el punto P.

Fig. 8 Línea de cargas

40

Campo producido por un hilo rectilíneo cargado

Vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de λ C/m.

Fig.9 Línea cargada

El campo producido por el elemento de car-ga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es :

Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y

La otra a lo largo del eje horizontal X , y no es necesario calcularla ya que por simetría se anulan de dos en dos. El campo total es la suma de las componentes verticales Y

Componente

vertical

41

Concepto de flujo del campo eléctrico

Cuando el vector campo eléctrico E es constante en todos los puntos de una superficie S, se de-nomina flujo al producto escalar del vector campo por el vector superficie Φ = E·S

El vector superficie es un vector que tiene:

a) por módulo el área de dicha superficieb) la dirección es perpendicular al plano que la

contiene

• el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero• E es variable en S se puede escribir:

Fig. 10 Esquema para el cálculo de Φ

SdE

.

Cuando

42

Ley de Gauss

El teorema de Gauss afirma que :

• El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada :

es igual

• al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha superficie dividido en ε0, es decir : q / ε0 .

SE

SdE

.

0

.q

SdES

Fig.11 Esquema para el uso del teorema de Gauss

43

1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, deter- minar la dirección del campo eléctrico.

La dirección del campo es radial y perpendicular a la línea cargada

2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

Pasos a seguir para el cálculo de E

Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de radio r y longitud L.

• Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el flujo es cero

• Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es paralelo al vector superficie dS y es constante en todos los puntos de la superficie lateral,

El flujo total es: E 2π r L

44

3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

La carga que hay en el interior de la superficie cerrada vale q = λ L, donde λ es la carga por unidad de longitud.

4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

Conclusión

El mismo resultado que hemos obtenido previamente, pero de una forma mucho más simple.

45

Actualmente, los libros de texto no suelen mencionar el átomo de Kelvin-Thomson. Sin embargo, durante el periodo que va de 1902 a 1906 tuvo bastante éxito, hasta que Rutherford demostró que este modelo no podía explicar la dispersión de partículas alfa por los átomos de una lámina de oro.

Modelo del átomo de Kelvin-Thomson

Este modelo simple de átomo explicaba bastante bien la valencia química, la emisión de partículas β por los núcleos de elementos radioactivos, etc.

El aspecto didáctico más importante es la aplicación de la Ley de Gauss a una distribución es-férica y uniforme de carga, describir el movimiento oscilatorio de los electrones en dicho átomo.

Consideramos el caso más simple, un átomo o ion hidrogenoide con un solo electrón. Suponemos que el átomo tiene forma esférica de radio R, y que la carga positiva Q está uniformemente distribuida en dicha esfera.

46

Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga

El teorema de Gauss afirma :

0

.q

SdES

Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación del teorema de Gauss requiere los siguientes pasos:

1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, deter- minar la dirección del campo eléctrico.

La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial.

2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada, una esfera de radio r.

Fig. 12 Geometría para usar Gauss

El campo eléctrico E es paralelo al vector superficie dS , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica como se ve en la figura, por lo que:

El flujo total es : E 4π r2

47

3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

Para r < R. (figura de la izquierda)

Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera unifor-memente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es una parte de la carga total ( en color rosa-do), que se calcula multiplicando la densidad de carga por el vo-umen de la esfera de radio r.

Fig.13 Superficies de Gauss usadas.

Para r > R ( figura de la derecha)

Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera unifor-memente cargada, la carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total

q = Q

48

4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

se obtiene

El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expre-sión que el campo producido por una carga puntual Q situada en su centro.

Concluímos

Potencial a una distancia ¨ r ¨ del centro de la esfera cargada

Se denomina potencial en un punto P a una distancia r del centro de la esfera cargada V ( r ) a:

• por convenio, se establece que en el infinito el potencial es cero, es decir V (∞ ).

• la diferencia de potencial existente entre el punto P y el infinito V ( r ) – V (∞ ).

49

Representamos el módulo del campo eléctrico E, en función de la distancia r al centro de la esfera cargada, en los intervalos 0 < r < R y r > R

Fig.14 Grafico del cam-

po E = E ( r )

r > R

• Para hallar el potencial en un punto P que está fuera de la esfera cargada basta hallar el área sombreada (figura de la derecha)

r < R.

• Para calcular el potencial en un punto P, en el interior de la esfera cargada, es necesario sumar dos áreas, por ser la función que describe la dependencia del campo E con r, dis- continua en el punto r = R. (figura de la izquierda)

50

Energía de ionización

La energía de ionización, es la energía mínima necesaria para sacar al electrón situado en el ori-gen de la esfera cargada hasta el infinito.

Para un átomo con un electrón q = Q = e = 1.6 10-19 C, R~ 10-10 m, WI =3.456 10-18 J=21.6 eV.

Es algo mayor que la energía de ionización del electrón en un átomo de hidrógeno en el estado fundamental, 13.6 eV.

Energía de la esfera cargada

Recordemos que la energía del sistema de partículas era:

* el potencial Vi se sustituye por el potencial en la posición r, V(r) que hemos calculado previamente.

* la carga qi se sustituye por la carga que hay en la capa esférica comprendida entre r y r+dr.

51

El volumen de dicha capa esférica es 4π r2 dr , y la carga que hay en este volumen vale (densidad de carga por volumen)

La energía vale entonces

Energía total del átomo de Kelvin-Thomson

La energía total de nuestro modelo de átomo de hidrógeno Q = q = e, es la diferencia entre dos energías:

• la energía necesaria para formar la distribución uniforme de carga positiva W2

* la energía necesaria para sacar el electrón de la atracción de dicha carga WI

(energía de ionización).

52

Conductores

En este tema se aplicará el teorema de Gauss para describir las propiedades electrostáticas de un conductor.

Localización del exceso de carga en un conductor

Un conductor se caracteriza por que los portadores de carga se pueden mover libremente por el interior del mismo.

Si las cargas en un conductor en equilibrio están en reposo, la intensidad del campo eléctrico en todos los puntos inte-riores del mismo deberá ser cero, de otro modo, las cargas se moverían originado una corriente eléctrica.

Dentro de un conductor de forma arbitraria se traza una superfi-cie cerrada S:

Fig. 15 Conductor * El campo eléctrico E=0 en todos los puntos de dicha superficie. * El flujo a través de la superficie cerrada S es cero. * La carga neta q en el interior de dicha superficie es nula.

Como la superficie cerrada S la podemos hacer tan pequeña como queramos, concluímos que en todo punto P del interior de un conductor no hay exceso de carga, por lo que esta deberá si-tuarse en la superficie del conductor.

53

Conductor con un hueco dentro

Supongamos un conductor con un hueco dentro. Rodeamos el hueco con una superficie cerrada S.

• El campo E = 0 en el interior del conductor es cero.• El flujo a través de la superficie cerrada S será cero. • La carga q en el interior de dicha superficie será tam- bién cero.

Por tanto, el exceso de carga se sitúa en la superficie exte-rior del conductor.

Fig. 16 Conductor hueco

Conductor hueco con una carga dentro

Supongamos que se coloca una carga q en el inte-rior de una cavidad. Rodeamos la cavidad con una superficie cerrada S

Fig. 17 Conductor hueco con carga

• El campo en el interior del conductor es cero. • El flujo a través de la superficie cerrada S será cero.• La carga en el interior de dicha superficie será también cero.

54

De modo que en la pared de la cavidad tiene que haber una carga igual y de signo opuesto al de la carga q introducida.

Conclusiones

Si el conductor estaba inicialmente descargado, sobre su superficie exterior tendrá que haber una carga igual y de signo opuesto a la existente so-bre la pared de la cavidad y por tanto, igual y del mismo signo que la carga q introducida en la ca-vidad.

Si el conductor poseía inicialmente una carga Q, la carga en su superficie exterior será Q+q.

En la fig.17, el conductor tenía una carga de 11+, al introducir en su cavidad una carga de 4+, en la superficie interior de la cavidad aparece una carga inducida de 4-, y en la superficie ex-terior de 15+.

Fig. 17

La carga total del conductor hueco no se ha modificado 15-4=11.

55

Transferencia de carga

Supongamos que la carga q dentro de la cavidad se pone en contacto con la pared de la cavidad.

• El exceso de carga en la pared de la cavidad neutraliza la carga q.

• El resultado es una carga de valor q que se transfiere a la superficie exterior del conductor hueco.

Vamos a estudiar la transferencia de carga con más detalle:

Fig. 18 Transferencia de carga

Supongamos un cascarón metálico A de forma de capa esférica de radio interior rA, inicialmente cargada con qA.

El campo eléctrico en la cavidad solamente depende de la carga de la esfera qB, y vale a una distancia r del centro

56

* El potencial de la esfera VB es mayor que el potencial del cascarón VA.

• La diferencia de potencial solamente depende de qB y es independiente de la carga inicial del cascarón qA.

• Si se ponen en contacto la esfera con la superficie interior del cascarón, o se unen me- diante un hilo conductor fluirá la carga de la esfera hacia el cascarón hasta que la diferencia de potencial VB - VA se anule, o sea hasta que qB se haga cero.

La conclusión es que toda la carga qB de la esfera se transfiere a la cubeta indepen-dientemente del valor inicial de la carga de la cubeta qA.

La diferencia de potencial entre la esfera y la cubeta suponiendo ambas concéntricas es

57

Problemas de W y Conservaciónde la Energía para el

campo eléctrico

58

+q

A E

La partícula de carga +q se coloca en reposo en el punto A. Es correcto afirmar que la partícula:

a. Ganará energía cinética b. Se moverá en linea recta c. Se moverá con aceleración constante d. Todas las anteriores

59

+q

A E

La partícula de carga +q se coloca en reposo en el punto A. Es correcto afirmar que la partícula:

a. Ganará energía cinética b. Se moverá en linea recta c. Se moverá con aceleración constante d. Todas las anteriores

60

E

B+y

+xq

A

B

A

y

y

y

y

y

y

y

y

qyqdyjdlWB

A

B

A

B

A

)y-E(yE)(Eq)ˆ(FldF AB

EcyyFWAB

)(

ticaelectrostá fuerza lapor realizado Trabajo WEc

Si la carga +q se coloca en reposo en el punto A, al salir del campo habrá ganado una energía cinética Ec

61

Si la carga +q se coloca en reposo en el punto A, al salir del campo habrá ganado una energía cinética Ec

La figura muestra la misma carga +q en el punto A, moviéndose con velocidad v, cuando se establece el campo eléctrico E.Cuando la carga salga del campo, su energía cinética será igual a la que tiene en A:

a. Más Ec b. Más una cantidad diferente a Ec c. Menos Ec d. Menos una cantidad diferente a Ec

A v

E

62

'

ldF B

A

W

'

x )ˆˆdl(F B

A

y jdliW

B

A

ABy yyFdlW )(F

EcyyFWAB

)(

Ec= W = Trabajo realizado por la fuerza electrostática

+xE

A v

BF

+yB’F

ldld

q

63

El trabajo realizado por fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria.

El trabajo realizado por fuerzas conservativas sólo depende de las coordenadas de las posiciones inicial y final

Las fuerzas electrostáticas son fuerzas conservativas

En los sistemas donde actúan fuerzas conservativas se puede definir una ENERGÍA POTENCIAL

64

TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DE COULOMB PARA MOVER UNA CARGA ENTRE DOS PUNTOS

B

A

r

r

rdFW

B

A

r

r

o rdrr

kqqW

ˆ

2

B

A

r

r

o drr

kqqW

2

011

0

BA rrkqqW

La fuerza de Coulomb realiza trabajo

A

B

Q

q

65

CAMBIO DE ENERGÍA POTENCIAL DEBIDOAL MOVIMIENTO DE UNA CARGA PUNTUAL

BAJO LA FUERZA DE COULOMB

consWU

AB rrkqqU

110

0UEn el punto B, la carga q0 tiene menor potencialidad para moverse que la que tenía en el punto A

A

B

Q

q

66

Cuando q0 se mueve desde A hasta B el cambio de energía potencial eléctrica del sistema es

U=Kqq0[(1/rB)-(1/rA)]

Si se reemplaza la carga q0 por otra con carga igual a 5q0 y se mueve desde A hasta B, el cambio de energía potencial eléctrica del sistema es:

a. 5 U

b. U /5

c. No puede calcularse conociendo únicamente

U

B

q

qo

A5qo

67

DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICA ENTREDOS PUNTOS CERCANOS A UNA CARGA PUNTUAL

Cuando una carga q0 se mueve desde A hasta B bajo la fuerza de Coulomb, la energía potencial del sistema cambia en:

Cuando una carga q’0 se mueve desde A hasta B bajo la fuerza de Coulomb, la energía potencial del sistema cambia

VqU 0

ABo rrqkqU

11

B

q

qo

A

B

q

q´o

A

AB rrqkqU

11´0

VqU 0

68

0q

UVVV AB

V = Diferencia de potencial entre los puntos A y B

ABAB rr

kqVVV11

C

JVoltioV

DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICA ENTREDIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICA ENTREDOS PUNTOS CERCANOS A UNA CARGA PUNTUALDOS PUNTOS CERCANOS A UNA CARGA PUNTUAL

q

qo

A

69

ENERGIA POTENCIAL ELÉCTRICA ENTRE DOS ENERGIA POTENCIAL ELÉCTRICA ENTRE DOS PUNTOS DONDE EXISTE UN CAMPO ELÉCTRICO PUNTOS DONDE EXISTE UN CAMPO ELÉCTRICO

UNIFORMEUNIFORME

Si q0 se mueve desde A hasta B, el cambio de energía potencial del sistema es:

Si q’0 se mueve desde A hasta B, el cambio de energía potencial del sistema es:

)(0 BA yyEqU

voconservatiWU

VqU 0

qo

A

BE

q´oA

BE

)(0 BA yyEqU

70

AB VVV

0q

UV

DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO ENTRE DOS DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO ENTRE DOS PUNTOS DONDE EXISTE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORMEPUNTOS DONDE EXISTE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

BA yyEV

BE

A

71

AB VVV

0q

UUV AB

B

A

B

A

cons rdEq

qrdF

qV

..

1

0

0

0

A

)( BAAB VVVV

DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO ENTRE DOSPUNTOS DONDE EXISTE UN CAMPO ELÉCTRICO

B

A

AB rdEVVV

.)(A

B

BA rdEVVV

.

B

E

72

A

BE

La diferencia de potencial V = VA- VB es:

a. Mayor que cero b. Menor que cero c. Cero

73

A

BE

La diferencia de potencial V = VA- VB es:

a. Mayor que cero b. Menor que cero c. Cero

74

Cuando una carga negativa se mueve desde A hasta B su energía potencial :

a. Aumentab. Disminuyec. No cambia

A

BE

75

Cuando una carga negativa se mueve desde A hasta B su energía potencial :

a. Aumentab. Disminuyec. No cambia

A

BE

76

DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO ENTRE UN DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO ENTRE UN PUNTO CERCANO A UNA CARGA PUNTUAL Y EL PUNTO CERCANO A UNA CARGA PUNTUAL Y EL INFINITOINFINITO

ABAB rr

kqVVV11

Sea rA un punto muy alejado de q (en el infinito). Sea rB un punto a la distancia r de la carga q

11)( r

kqVVV rr

kqVVV r )(

r

kqVr)( Potencial de una carga puntual

B

q

A

77

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNAPOTENCIAL ELÉCTRICO DE UNACARGA PUNTUAL POSITIVACARGA PUNTUAL POSITIVA

r

kqV r )(

q r

0

V(r)

1/rr

78

V

r

V

r

V

r

V

r

El gráfico que representa mejor el potencial de una carga puntual negativa en función de la distancia a la carga es:

a. b. c. d.

a b

c d

79

V

r

V

r

V

r

V

r

El gráfico que representa mejor el potencial de una carga puntual negativa en función de la distancia a la carga es:

a. b. c. d.

a b

c d

80

El potencial en el punto P de la figura está dado por la expresión:

a. (kq1/4) + (kq2/5)

b. (kq1/4) - (kq2/5)

c. (kq1/4) + (kq2/3)

d. (kq1/4) - (kq2/3)

81

POTENCIAL DE DISTRIBUCIONES DISCRETASDE CARGAS PUNTUALES

n

iiP VV

1

n

i i

iP r

kqV

1

q2

r2

qn

r1

rn

q3

P

q1

qi

r3

ri

82

POTENCIAL DE UN DIPOLO ELÉCTRICOPOTENCIAL DE UN DIPOLO ELÉCTRICO

21 r

kq

r

kqVP

Z

Pr1 r2

X

Y

+q -q

83

POTENCIAL ELÉCTRICO DEUN DIPOLO ELÉCTRICO

84

+q

+q

(b,0)(0,0)O

P

(0,a)

(0,a)

X

Y

La diferencia de potencial V0 - VP está dada por la expresión:

a. b.

c. d.

bkq2

2122 ba

kq2

)(

bkq2

akq2

2122 ba

kq2akq2

)(

85

El centro de una esfera A conductora, de radio RA y carga total Q, está a una distancia d (d > 2RA ) de un punto P. La esfera A se reemplaza por otra esfera conductora de radio = 2 RA, con carga total Q. Es correcto afirmar que al realizar el cambio de esferas cambia:

a. El campo eléctrico en el punto P.b. El potencial eléctrico en el punto P.c. El potencial en la superficie del conductor.d. La fuerza sobre una carga que se coloque en P.

PA

RA

2RA

Q

86

87

POTENCIAL ELÉCTRICO-GRADIENTEPOTENCIAL ELÉCTRICO-GRADIENTERELACIÓN ENTRE EL CAMPO Y EL POTENCIAL

88

REPASO FUERZAS CENTRALESREPASO FUERZAS CENTRALES

Campo de fuerzas centrales: Caracterizados porque la dirección de los vectores fuerza pasan por un punto fijo llamado Centro o Polo del Campo y cuyo módulo sólo es función de la distancia r al centro.

El campo eléctrico cumple estas condiciones, ya que

ru)r(EE

Como además es un campo conservativo, se dice que deriva de una función potencial escalar, de forma que se cumple

)A(U)B(UrdFWB

A

extAB

89

Se puede demostrar que todos los campo de fuerzas centrales son conservativos y podemos definir una Ep:

Suponemos un desplazamiento infinitesimal . El trabajo desarrollado por esta fuerza cuando se desplaza del punto A al punto B será

rd

dr )r(Frdu )r(FdW crccAB

El trabajo total será

)B(U)A(Udr )r(FW ccAB

A

B

ru F

rd

90

Energía potencial: Es la función potencial asociada con el campo eléctrico.

Para comprender su significado, vamos a suponer una partícula en un campo de fuerzas conservativo al que es sensible.

Para que se encuentre en equilibrio es necesario aplicar una fuerza externa que compense la ejercida por el campo

cext FF

En cualquier desplazamiento infinitesimal, se realiza un trabajo en contra del campo.

A

B

F

extF

rd

91

rdFrdFdW cextext

AB

El trabajo total realizado por la fuerza externa será

UWrdFW cBA c

extAB

Como el trabajo realizado sobre una partícula libre se invierte en aumentar su Energía cinética, en un campo conservativo debe disminuir su energía potencial. Por esta razón se identifica la función potencial con la Energía potencial.

La energía cinética se vincula al movimiento, mientras que la Energía potencial se asocia con la posición.

92

22 POTENCIAL ELÉCTRICO. GRADIENTEPOTENCIAL ELÉCTRICO. GRADIENTE

 

B

A

qo

dF

E

Como la fuerza eléctrica está dirigida hacia abajo, debemos ejercer sobre la carga una fuerza externa F hacia arriba si queremos que la partícula se mueva con velocidad constante

El trabajo desarrollado por esta fuerza será

d Eqd FW oextextAB

93

Potencial eléctrico: Es el trabajo desarrollado por la fuerza externa por unidad de carga puntual

o

extAB

AB q

WVV

Caso particular de un campo uniforme

d EVV AB

Unidades del potencial: Voltio (V)

Unidades del campo eléctrico: V/m o N/C

94

Caso general: Campo eléctrico no uniforme y trayectoria no rectilínea

Debemos dividir la trayectoria en pequeños desplazamientos infinitesimales, de forma que

B

Ao

B

Aext

extAB rdEqrdFW

B

Ao

extAB

AB rdEq

WVV

El potencial en este caso será

B

AE

F

rd

Eqo

qo

95

Para un desplazamiento curvilíneo k dzj dyi dxsd

la variación de potencial es dzEdyEdxEsd EdV zyx

Con esta expresión, podemos, conocido el potencial eléctrico, calcular el campo eléctrico asociado

Si dzzVdy

yVdx

xVdV

zVE ;

yVE ;

xVE zyx

De esta forma

kzVj

yVi

xVkEjEiEE zyx

VE

96

Relación entre las líneas de campo y el potencial eléctrico

Si dejamos en libertad una carga de prueba en el seno de un campo eléctrico, se acelerará en el sentido de dicho campo a lo largo de las líneas de fuerza. El hecho de que se acelere hace que aumente su energía cinética, con lo cual, su energía potencial debe disminuir. Esto quiere decir que las líneas de campo señalan en la dirección en la que disminuye el potencial eléctrico.

Visto en términos del gradiente, ya que su significado físico es la dirección de máxima variación de la función, el signo menos indica sentido decreciente del potencial.

qoV bajos

V altos

97

33 POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUALPOTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL

Se puede calcular el potencial de una carga puntual a partir del campo eléctrico que produce.

I.- Calculemos el trabajo realizado por el campo para desplazar la carga desde el punto A al punto B

B

ArdE)A(V)B(V

Tomando como origen de potenciales el infinito, podemos identificar el punto B= y A= r

rkqdr

r

qk)r(V

r

12

rq

krV )(

q

qo

A

B

0

98

II.- Un método alternativo es calcular el trabajo que debe realizar una fuerza exterior para traer una carga desde el infinito hasta un punto r. En este caso el punto A coincide con el infinito.

B

A

extAB rdFW

dr

rq

krdEAVBVB

A

r

2

)()(

rq

krV )(

La energía potencial de una carga qo, situada a una distancia r de q, será r

qqkVqU oo

La energía potencial de un sistema de cargas puntuales será el trabajo necesario para llevar cada una de ellas desde el infinito hasta su posición final.

0

99

44 POTENCIAL DE UN SISTEMA DE POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALESCARGAS PUNTUALES

Para una distribución discreta de cargas

n n n

nn

rqVV

041

Para una distribución continua de cargas

r

dqdVV

o41

100

55 CÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICOCÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO

Existen dos métodos para calcular el potencial eléctrico asociado a una distribución continua de cargas:

I Conocido el campo eléctrico creado por la distribución

B

ArdE)A(V)B(V

En este caso debemos tomar como origen de potenciales un punto de referencia arbitrario.

II Para el caso de distribuciones finitas de carga, para las cuales podemos suponer que V( )=0. En este caso

rdq

dVVo4

1

101

66 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALESSUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. El trabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo, una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneas será

rdFdW

En términos de incrementos

rEV

E a larperpendicu r

0V V constante

E a paralelo r

Variación máxima de potencial

102

Superficies equipotenciales

Es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición de encontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico

El trabajo desarrollado para mover una partícula de un punto A a otro punto B a lo largo de una superficie equipotencial es nulo, ya que

o

ABAB

qWVV

A lo largo de una superficie

equipotencialBA VV 0ABW

103

Ejemplos de superficies equipotencialesEjemplos de superficies equipotenciales

104

77 POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO POTENCIAL CREADO POR UN DIPOLO ELÉCTRICOELÉCTRICO

Vamos a calcular el potencial eléctrico que produce un dipolo eléctrico en un punto del espacio.

+q

-q

2a

1r

2rr

12 rr

P

2121

41

rq

rq

VVVo

Para puntos muy alejados del dipolo, tales que r>>2a, se pueden hacer las siguientes aproximaciones

221

12 2

rrrCos a rr

105

Teniendo en cuenta estas dos aproximaciones, podemos escribir

2

24 r

Cos a qV

o

Recordando la definición de momento dipolar eléctrico

q a P 2

241

r Cos PV

o

V = 0 para = 90º

No se requiere trabajo para llevar una carga de prueba desde el infinito hasta el dipolo a lo largo de la línea perpendicular al punto medio entre las dos cargas.

106

88 MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA EN MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA EN UN CAMPO ELÉCTRICOUN CAMPO ELÉCTRICO

Cuando una carga eléctrica se coloca en el seno de un campo eléctrico, experimenta una fuerza que viene dada por

E qF

Si queremos calcular la aceleración que experimenta dicha carga, bastará con aplicar la Segunda Ley de Newton

i

i a mF

Por ejemplo, en el caso de un campo eléctrico uniforme, la trayectoria de una partícula es una parábola. Sería el mismo caso del movimiento de un proyectil en el seno del campo gravitatorio uniforme. La medida de la desviación de los electrones en un campo eléctrico uniforme fue utilizada por Thompson en 1897 para demostrar la existencia de dichas partículas y calcular su relación carga/masa.

107

99 CONDUCTOR EN EQULIBRIO CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTÁTICOELECTROSTÁTICO

Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas libres que pueden moverse en su interior.

Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su carga libre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En

estas condiciones se dice que el conductor está en Equilibrio Electrostático (E’ = Eo).

+++++++++++++ oE

'E

Cualquier exceso de carga se colocará en la superficie del conductor, ya que el campo eléctrico externo no es lo suficientemente intenso como para vencer las fuerzas de ligadura.

108

Condiciones que se deben cumplir en todo conductor

I Toda la carga libre de un conductor se coloca en su superficie.

Dado un conductor, supongamos una superficie gaussiana justo en el interior de la superficie del conductor. Como E =0 dentro del conductor, también será nulo en todos los puntos de la superficie gaussiana. Por lo tanto el flujo a través de la superficie del conductor es cero.

Por el Teorema de Gausso

q

int

Como 0 0int q

Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor

109

II El campo eléctrico en la superficie del conductor es perpendicular a dicha superficie y vale

o

Para hallar el campo eléctrico en la superficie del conductor consideremos un elemento infinitesimal plano, con densidad superficial de carga . Como superficie gaussiana tomamos un cilindro con una cara en el exterior y otra en el interior del conductor

Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficie debe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través de la cara superior.

o

intqs EsdE

s q into

E

E

110

Conductores en contacto

Cuando se ponen en contacto dos conductores, la carga de ambos se redistribuye hasta que el campo eléctrico en el interior de ambos conductores se anula y se restituye el equilibrio electrostático. En estas condiciones, el potencial de ambos conductores debe ser el mismo.

Supongamos un conductor con carga +q al cual se aproxima un conductor descargado. En éste último aparecerán cargas inducidas.

++

++

++++++++++

Como el potencial disminuye a lo largo de las líneas de campo, en principio, el conductor cargado está a un potencial más alto que el neutro. Cuando se ponen en contacto ambos conductores, la carga positiva fluye hacia el neutro hasta que ambos quedan al mismo potencial.

111

EJEMPLOS DEL TEOREMA DE GAUSS

112

Flujo de campo eléctrico a través de una superficie

AdE

AdE

El flujo eléctrico Φ de una superficie es proporcional al total de líneas del campo eléctrico que pasa a través de esa superficie.

113

Ejemplo¿Cuál es el flujo del campo eléctrico a traves de esta superficie cerrada?

cba

AdEAdEAdEAE

EAdAEdAEAdEa

0180cos

EAdAEAdEc

0cos

Paso Uno:Paso Uno:

Paso Dos:Paso Dos:

114

00 EAEA 00 EAEA

090cos 0 dAEAdEb

090cos 0 dAEAdE

b

Paso Tres:Paso Tres:

115

Por consiguiente:

Se obtiene ese resultado ya que no existen cargas dentro de la superficie cerrada . Las líneas de E entran por la izquierda y salen por la derecha.

116

Ejemplo

¿Cuál es el flujo de campo eléctrico a través de la cara derecha, izquierda y superior?Cara Derecha:

idAAd ˆ

idAAd ˆ

117

Cara Izquierda:

CmNl /12 2 CmNl /12 2

Cara superior:

CmN

jdAjixt

/16

ˆˆ0.4ˆ0.3

2

CmN

jdAjixt

/16

ˆˆ0.4ˆ0.3

2

CmN

dAdAxdA

idAjixAdEr

/36

0.90.30.30.3

ˆˆ0.4ˆ0.3

2

CmN

dAdAxdA

idAjixAdEr

/36

0.90.30.30.3

ˆˆ0.4ˆ0.3

2