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Cálculo Aplicado I Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 17 5 de julho de 2013 Parte 17 Cálculo Aplicado I 1

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Cálculo Aplicado I

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 17

5 de julho de 2013

Parte 17 Cálculo Aplicado I 1

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Limites

Parte 17 Cálculo Aplicado I 2

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Limites

limx→4

x + 1x − 2

=52.

Se limx→p

f (x) = 5 e limx→p

g(x) = 2, então limx→p

f (x)g(x)

=52

.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 3

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Limites

limx→4

x + 1x − 2

=52.

Se limx→p

f (x) = 5 e limx→p

g(x) = 2, então limx→p

f (x)g(x)

=52

.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 4

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Limites

limx→4

x + 1x − 2

=52.

Se limx→p

f (x) = 5 e limx→p

g(x) = 2, então limx→p

f (x)g(x)

=52

.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 5

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Limites

limx→2+

x + 1x − 2

= +∞.

Se limx→p+

f (x) = L > 0 e limx→p+

g(x) = 0+, então limx→p+

f (x)g(x)

= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 6

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Limites

limx→2+

x + 1x − 2

= +∞.

Se limx→p+

f (x) = L > 0 e limx→p+

g(x) = 0+, então limx→p+

f (x)g(x)

= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 7

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Limites

limx→2+

x + 1x − 2

= +∞.

Se limx→p+

f (x) = L > 0 e limx→p+

g(x) = 0+, então limx→p+

f (x)g(x)

= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 8

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Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 9

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Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 10

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Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 11

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Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 12

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Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 13

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Limites indeterminados (a priori)

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

(indeterminação a priori)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 14

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 15

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 16

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

x + 1x − 2

= limx→+∞

x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

1 +1x

1− 2x

= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 17

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

7 x + 1x − 2

= limx→+∞

7 x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

7 +1x

1− 2x

= 7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 18

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

7 x + 1x − 2

= limx→+∞

7 x + 1x

x − 2x

= limx→+∞

7 +1x

1− 2x

= 7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 19

Page 20:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

x2 + 1x − 2

= limx→+∞

x2 + 1x

x − 2x

= limx→+∞

x +1x

1− 2x

= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 20

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→+∞

f (x) = +∞ e limx→+∞

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→+∞

x2 + 1x − 2

= limx→+∞

x2 + 1x

x − 2x

= limx→+∞

x +1x

1− 2x

= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 21

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x

= 1. (limite fundamental)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 22

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x

= 1. (limite fundamental)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 23

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x

= 1. (limite fundamental)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 24

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x

= 1. (limite fundamental)

Parte 17 Cálculo Aplicado I 25

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(2 x)x

= limx→0

[2

sen(2 x)2 x

]= 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 26

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(2 x)x

= limx→0

[2

sen(2 x)2 x

]= 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 27

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(2 x)x

= limx→0

[2

sen(2 x)2 x

]= 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 28

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x3 = lim

x→0

[sen(x)

x· 1

x2

]= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 29

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x3 = lim

x→0

[sen(x)

x· 1

x2

]= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 30

Page 31:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x)

= ? .

limx→0

sen(x)x3 = lim

x→0

[sen(x)

x· 1

x2

]= +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 31

Page 32:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→+∞

[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

12 = 12.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 32

Page 33:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→+∞

[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

12 = 12.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 33

Page 34:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→+∞

[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

12 = 12.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 34

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→+∞

[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞

12 = 12.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 35

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x2 − x

]= lim

x→∞x · (x − 1) = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 36

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x2 − x

]= lim

x→∞x · (x − 1) = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 37

Page 38:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x2 − x

]= lim

x→∞x · (x − 1) = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 38

Page 39:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x − x2

]= lim

x→∞x · (1− x) = −∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 39

Page 40:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x − x2

]= lim

x→∞x · (1− x) = −∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 40

Page 41:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x)− g(x)] = ? .

limx→∞

[x − x2

]= lim

x→∞x · (1− x) = −∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 41

Page 42:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x]= lim

x→∞1 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 42

Page 43:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x]= lim

x→∞1 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 43

Page 44:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x]= lim

x→∞1 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 44

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x]= lim

x→∞1 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 45

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[2x· x]= lim

x→∞2 = 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 46

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[2x· x]= lim

x→∞2 = 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 47

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[2x· x]= lim

x→∞2 = 2.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 48

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x2]= lim

x→∞x = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 49

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x2]= lim

x→∞x = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 50

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

[f (x) · g(x)] = ? .

limx→∞

[1x· x2]= lim

x→∞x = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 51

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

1x

)x

= e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 52

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

1x

)x

= e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 53

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

1x

)x

= e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 54

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

7x

)x(x=7 u)= lim

u→∞

(1 +

77 u

)7 u

= limu→∞

[(1 +

1u

)u]7

= e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 55

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

7x

)x(x=7 u)= lim

u→∞

(1 +

77 u

)7 u

= limu→∞

[(1 +

1u

)u]7

= e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 56

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

7x

)x(x=7 u)= lim

u→∞

(1 +

77 u

)7 u

= limu→∞

[(1 +

1u

)u]7

= e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 57

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 1 e limx→p

g(x) = +∞, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→∞

(1 +

7x

)x(x=7 u)= lim

u→∞

(1 +

77 u

)7 u

= limu→∞

[(1 +

1u

)u]7

= e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 58

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x2

)x2

= limx→0

1

e1

x2 ·x2= lim

x→0

1e=

1e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 59

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x2

)x2

= limx→0

1

e1

x2 ·x2= lim

x→0

1e=

1e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 60

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x2

)x2

= limx→0

1

e1

x2 ·x2= lim

x→0

1e=

1e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 61

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x2

)x2

= limx→0

1

e1

x2 ·x2= lim

x→0

1e=

1e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 62

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x2

)x2

= limx→0

1

e1

x2 ·x2= lim

x→0

1e=

1e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 63

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e7

x2

)x2

= limx→0

1

e7

x2 ·x2= lim

x→0

1e7 =

1e7 .

Parte 17 Cálculo Aplicado I 64

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e7

x2

)x2

= limx→0

1

e7

x2 ·x2= lim

x→0

1e7 =

1e7 .

Parte 17 Cálculo Aplicado I 65

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e7

x2

)x2

= limx→0

1

e7

x2 ·x2= lim

x→0

1e7 =

1e7 .

Parte 17 Cálculo Aplicado I 66

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e7

x2

)x2

= limx→0

1

e7

x2 ·x2= lim

x→0

1e7 =

1e7 .

Parte 17 Cálculo Aplicado I 67

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x4

)−x2

= limx→0

1

e1

x4 ·(−x2)= lim

x→0

1

e−1

x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 68

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x4

)−x2

= limx→0

1

e1

x4 ·(−x2)= lim

x→0

1

e−1

x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 69

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x4

)−x2

= limx→0

1

e1

x4 ·(−x2)= lim

x→0

1

e−1

x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 70

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x4

)−x2

= limx→0

1

e1

x4 ·(−x2)= lim

x→0

1

e−1

x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 71

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(1

e1

x4

)−x2

= limx→0

1

e1

x4 ·(−x2)= lim

x→0

1

e−1

x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 72

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x2)x2

= limx→0

e1

x2 ·x2= lim

x→0e1 = e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 73

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x2)x2

= limx→0

e1

x2 ·x2= lim

x→0e1 = e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 74

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x2)x2

= limx→0

e1

x2 ·x2= lim

x→0e1 = e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 75

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x2)x2

= limx→0

e1

x2 ·x2= lim

x→0e1 = e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 76

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x2)x2

= limx→0

e1

x2 ·x2= lim

x→0e1 = e.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 77

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

7x2)x2

= limx→0

e7

x2 ·x2= lim

x→0e7 = e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 78

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

7x2)x2

= limx→0

e7

x2 ·x2= lim

x→0e7 = e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 79

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

7x2)x2

= limx→0

e7

x2 ·x2= lim

x→0e7 = e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 80

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

7x2)x2

= limx→0

e7

x2 ·x2= lim

x→0e7 = e7.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 81

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x4)x2

= limx→0

e1

x4 ·x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 82

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x4)x2

= limx→0

e1

x4 ·x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 83

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x4)x2

= limx→0

e1

x4 ·x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 84

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Limites indeterminados (a priori)

Se limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = 0, então limx→p

f (x)g(x) = ? .

limx→0

(e

1x4)x2

= limx→0

e1

x4 ·x2= lim

x→0e

1x2 = +∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 85

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A regra de L’Hôpital

Parte 17 Cálculo Aplicado I 86

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A regra de L’Hôpital

Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis (deriváveis)e que g′(x) 6= 0 em uma vizinhança do ponto p. Suponhatambém que

limx→p

f (x) = 0 e limx→p

g(x) = 0

ou que

limx→p

f (x) = +∞ (ou −∞) e limx→p

g(x) = +∞ (ou −∞).

Então

limx→p

f (x)g(x)

= limx→p

f ′(x)g′(x)

se o limite do lado direito existir (ou se ele é −∞ ou +∞).

Teorema

Parte 17 Cálculo Aplicado I 87

Page 88:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 88

Page 89:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 89

Page 90:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 90

Page 91:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 91

Page 92:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 92

Page 93:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 93

Page 94:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 94

Page 95:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 95

Page 96:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→1

ln(x)x − 1

.

Solução. Uma vez que

limx→1

ln(x) = 0 e limx→1

(x − 1) = 0,

podemos aplicar a regra de L’Hôpital:

limx→1

ln(x)x − 1

= limx→1

ddx

[ln(x)]

ddx

[x − 1]= lim

x→1

1/x1

= limx→1

1x= 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 96

Page 97:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

A regra de L’Hôpital

A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igualao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,desde que as condições dadas estejam satisfeitas. É importanteverificar que as condições com respeito aos limites de f e g antes deusar a regra de L’Hôpital.

A regra de L’Hôpital também é válida para limites laterais ou para limitesno infinito, isto é, “x → p” pode ser trocado por qualquer dos símbolos aseguir: x → p+, x → p−, x → +∞, x → −∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 97

Page 98:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 98

Page 99:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 99

Page 100:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 100

Page 101:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 101

Page 102:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 102

Page 103:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 103

Page 104:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 104

Page 105:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 105

Page 106:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 106

Page 107:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ex

x2 .

Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x.

Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:

limx→∞

ex

x2 = limx→∞

ex

2 x= lim

x→∞

ex

2=∞.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 107

Page 108:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 108

Page 109:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 109

Page 110:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 110

Page 111:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 111

Page 112:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 112

Page 113:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 113

Page 114:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 114

Page 115:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 115

Page 116:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 116

Page 117:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→∞

ln(x)3√

x.

Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√

x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3.

Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:

limx→∞

ln(x)3√

x= lim

x→∞

1x

13

x−2/3= lim

x→∞

33√

x= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 117

Page 118:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 118

Page 119:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 119

Page 120:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 120

Page 121:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 121

Page 122:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 122

Page 123:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 123

Page 124:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 124

Page 125:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 125

Page 126:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 126

Page 127:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 127

Page 128:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 128

Page 129:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 129

Page 130:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 130

Page 131:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 131

Page 132:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 132

Page 133:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 133

Page 134:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Encontre limx→0

tg(x)− xx3 .

Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:

limx→0

tg(x)− xx3 = lim

x→0

sec2(x)− 13 x2 .

Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

.

Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:

limx→0

sec2(x)− 13 x2 = lim

x→0

2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x

= limx→0

2 sec2(x) tg(x)6 x

= limx→0

4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6

=26

=13.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 134

Page 135:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 135

Page 136:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 136

Page 137:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 137

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Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 138

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Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 139

Page 140:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 140

Page 141:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 141

Page 142:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 142

Page 143:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 143

Page 144:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 144

Page 145:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Cuidado!

Encontre limx→π−

sen(x)1− cos(x)

.

Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

= limx→π−

cos(x)sen(x)

= −∞.

O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−

quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:

limx→π−

sen(x)1− cos(x)

=sen(π)

1− cos(π)=

01− (−1)

= 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 145

Page 146:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Produtos indeterminados

Parte 17 Cálculo Aplicado I 146

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Produtos indeterminados

Para usar a regra de L’Hôpital para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x) · g(x)]

com limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = +∞ (ou −∞), basta reescrevê-lo em

limx→p

[f (x) · g(x)] = limx→p

f (x)1/g(x)

ou limx→p

[f (x) · g(x)] = limx→p

g(x)1/f (x)

.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 147

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Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 148

Page 149:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 149

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Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 150

Page 151:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 151

Page 152:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 152

Page 153:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 153

Page 154:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 154

Page 155:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 155

Page 156:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 156

Page 157:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 157

Page 158:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(x ln(x)).

Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

.

Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

ln(x)1x

= limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 158

Page 159:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Observação

No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

.

Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

= limx→0+

1

− 1x (ln(x))2

= limx→0+

(−x (ln(x))2).

Parte 17 Cálculo Aplicado I 159

Page 160:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Observação

No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

.

Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

= limx→0+

1

− 1x (ln(x))2

= limx→0+

(−x (ln(x))2).

Parte 17 Cálculo Aplicado I 160

Page 161:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Observação

No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

.

Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

= limx→0+

1

− 1x (ln(x))2

= limx→0+

(−x (ln(x))2).

Parte 17 Cálculo Aplicado I 161

Page 162:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Observação

No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

.

Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

= limx→0+

1

− 1x (ln(x))2

= limx→0+

(−x (ln(x))2).

Parte 17 Cálculo Aplicado I 162

Page 163:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Observação

No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

.

Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:

limx→0+

(x ln(x)) = limx→0+

x1

ln(x)

= limx→0+

1

− 1x (ln(x))2

= limx→0+

(−x (ln(x))2).

Parte 17 Cálculo Aplicado I 163

Page 164:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Diferenças indeterminadas

Parte 17 Cálculo Aplicado I 164

Page 165:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Diferenças indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)− g(x)]

com

limx→p

f (x) = +∞ e limx→p

g(x) = +∞,

é necessário converter a diferença em um quociente(usando um denominador comum ou racionalização)

oucolocar algum fator comum em evidência.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 165

Page 166:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 166

Page 167:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 167

Page 168:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 168

Page 169:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 169

Page 170:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 170

Page 171:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 171

Page 172:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 172

Page 173:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 173

Page 174:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 174

Page 175:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 175

Page 176:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 176

Page 177:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)].

Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:

limx→(π/2)−

[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−

[1

cos(x)− sen(x)

cos(x)

]= lim

x→(π/2)−

1− sen(x)cos(x)

(∗)= lim

x→(π/2)−

− cos(x)− sen(x)

=−0−1

= 0.

Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 177

Page 178:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Potências indeterminadas

Parte 17 Cálculo Aplicado I 178

Page 179:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 179

Page 180:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 180

Page 181:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 181

Page 182:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 182

Page 183:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 183

Page 184:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 184

Page 185:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 185

Page 186:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 186

Page 187:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Potências indeterminadas

Para estudar um limite na forma

limx→p

[f (x)]g(x)

com

1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,

2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou

3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),

basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:

limx→p

[f (x)]g(x) = limx→p

eln[[f (x)]g(x)] = limx→p

eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].

Parte 17 Cálculo Aplicado I 187

Page 188:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 188

Page 189:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 189

Page 190:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 190

Page 191:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 191

Page 192:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 192

Page 193:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 193

Page 194:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 194

Page 195:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 195

Page 196:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 196

Page 197:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 197

Page 198:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 198

Page 199:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 199

Page 200:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 200

Page 201:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

xx .

Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:

limx→0+

xx = limx→0+

eln[xx ] = limx→0+

ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].

Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[x · ln(x)] = limx→0+

ln(x)1/x

= limx→0+

1/x−1/x2 = lim

x→0+(−x) = 0.

Assim,lim

x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 201

Page 202:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 202

Page 203:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 203

Page 204:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 204

Page 205:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 205

Page 206:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 206

Page 207:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 207

Page 208:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 208

Page 209:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 209

Page 210:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 210

Page 211:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 211

Page 212:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 212

Page 213:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 213

Page 214:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 214

Page 215:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 215

Page 216:  · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,

Exemplo

Calcule limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x).

Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:

limx→0+

(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+

eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]

= limx→0+

ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))

= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].

Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:

limx→0+

[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+

ln(1 + sen(4 x))tg(x)

= limx→0+

4 cos(4 x)1 + sen(4 x)

sec2(x)= 4.

Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.

Parte 17 Cálculo Aplicado I 216