I TEST DI LOGICA

1

Alberto Zanardo

Dipartimento di Matematica P. A.

Università di Padova

Licei Lioy e Pigafetta, Vicenza, 3 febbraio 2011

2

3

Aldo, Giovanni e Giacomo, indagati per un reato, vengono interrogati. Aldo dichiara: Sono colpevole. Giovanni dichiara: Il colpevole è Aldo Giacomo dichiara: Non sono colpevole. La polizia sa per certo che il colpevole del reato mente, e almeno uno dei non colpevoli dice il vero. Allora, (A) Il colpevole è Aldo (B) Il colpevole è Giovanni (C) Il colpevole è Giacomo (D) non possibile determinare la risposta con certezza.

Commenti Test 1

4

Cos’è un paradosso?

E’ paradossale che Aldo dica: “sono colpevole”?

A colpevole → A mente A mente e si dichiara colpevole → A innocente

Consecuzio Mirabilis: (ϕ → non(ϕ)) → non(ϕ)

Concludiamo che A è innocente

No! Dire il falso non significa essere colpevole

5

Bob dice di adorare i gelati. I gelati sono dolci, e chi adora i gelati adora anche i limoni. Allora: (A) Bob adora tutti i dolci (B) Bob adora tutti i dolci, soprattutto se mangiati

insieme ai limoni (C) Chi adora i gelati, adora i dolci (D) Bob adora i limoni

Commenti Test 2

6

A) Bob adora tutti i dolci ..... NO

Bob dice di adorare i gelati. I gelati sono dolci, e chi adora i gelati adora anche i limoni. Allora:

C) Chi adora i gelati, adora i dolci ..... NO

D) Bob adora i limoni ..... SI

Osservazione: la seconda informazione è superflua A cosa serve?

A dare credibilità alla risposte A e C

7

Vito e Franco dicono sempre rispettivamente il vero e il falso. Mario invece dice a volte il vero e a volte il falso. X e Y – due di questi tre signori – dicono rispettivamente “io sono Franco” e “io sono Mario”. Allora a)  non si può sapere chi sono X e Y b)  X è Mario e Y è Franco c)  X è Franco e Y è Mario d)  X è Mario e Y è Vito

Commenti Test 3

8

Osservazioni:

Risposta data per esclusione: attenzione alla risposta “non si può dire”

Soluzione interessante: Vito non può essere X o Y

Attenzione alla distinzione tra risposta “possibile” e risposta “necessariamente vera”

9

La negazione della frase “can che abbaia non morde” è A) “tutti i cani che abbaiano mordono” B) “c’è almeno un cane che abbaia e morde” C) “c’è almeno un cane che non abbaia e morde” D) “c’è almeno un cane che non abbaia e non morde”

Commenti Test 4

10

Osservazioni:

Tutti si accorgono che “can che ...” è un universale: tutti i cani che abbaiano non mordono

Quindi la negazione sarà un esistenziale

∀ c ( c abbaia → non (c morde) ) se negato diventa

∃ c non ( c abbaia → non (c morde) )

∃ c ( c abbaia e c morde )

11

La negazione della frase “tutti sono ricchi e almeno uno non è felice” è A) “nessuno è ricco e almeno uno è felice” B) “qualcuno è ricco oppure nessuno è felice” C) “qualcuno non è ricco oppure tutti sono felici” D) “esiste almeno uno non ricco e felice”

Commenti Test 5

12

Osservazioni:

Viene osservato che ‘nessuno’ non è la negazione di ‘tutti’ e che la negazione di ‘e’ è ‘o’ L’esercizio si presta bene alla formalizzazione ∀ x ( x è ricco ) e ∃ y ( y non è felice) se negato diventa

∃ x ( x non è ricco ) oppure ∀y non ( y non è felice)

∃ x ( x non è ricco ) oppure ∀y ( y è felice)

13

Mario dice alternativamente il vero e il falso (cioè ogni sua affermazione vera è seguita da una falsa, e viceversa). Quale delle seguenti affermazioni è attribuibile a Mario? A) La mia precedente affermazione è vera B) La mia precedente affermazione è falsa C) Questa mia affermazione è falsa D) La mia prossima affermazione sarà vera

Commenti Test 6

14

Osservazioni:

Molti hanno notato il paradosso nella risposta C

Affermazione ‘attribuibile’: dobbiamo guardare le risposte impossibili

Dobbiamo sempre considerare i due casi: dice il vero, dice il falso

Osservare che le risposte A e D si trattano allo stesso modo

15

Se i bugiardi sono disonesti e i bugiardi sono uomini allora A) tutti gli uomini sono disonesti B) alcuni uomini sono disonesti C) i bugiardi sono disonesti D) alcuni bugiardi sono disonesti

Commenti Test 7

16

Se i bugiardi sono disonesti e i bugiardi sono uomini allora B) alcuni uomini sono disonesti D) alcuni bugiardi sono disonesti E se per magia scomparissero tutti i bugiardi?

Ma da quella affermazione non possiamo dedurre che “alcuni uomini con tre teste mangiano chiodi”

“tutti gli uomini con tre teste mangiano chiodi” è vera? Sì, provate a falsificarla!

Commenti Test 7

17

Se i bugiardi sono disonesti e i bugiardi sono uomini allora B) alcuni uomini sono disonesti D) alcuni bugiardi sono disonesti

Quale ulteriore ipotesi servirebbe per rendere vere B e D? l’ipotesi che “esistono dei bugiardi”

e in tal caso B e D sarebbero entrambe vere

Commenti Test 7

18

Se i bugiardi sono disonesti e i bugiardi sono uomini allora A) tutti gli uomini sono disonesti C) i bugiardi sono disonesti

A è ovviamente falsa

C deriva da una deduzione vuota. Ciò non impedisce che sia la risposta corretta.

19

Se alcune biciclette hanno il cambio allora A) ci sono biciclette senza cambio B) non ci sono biciclette senza cambio C) tutte le biciclette hanno il cambio D) non tutte le biciclette sono senza cambio

Commenti Test 8

20

Se alcune biciclette hanno il cambio allora A) ci sono biciclette senza cambio Solito conflitto

B) non ci sono biciclette senza cambio C) tutte le biciclette hanno il cambio Sono equivalenti e ovviamente sbagliate

D) non tutte le biciclette sono senza cambio OK

Qualcuno ha osservato che ripete la prima affermazione. E’ grave? NO

21

Giovanna ha deciso che domani indosserà una maglietta e, se sarà bel tempo, questa sarà di colore verde. Se l'indomani il tempo sarà brutto, dalla decisione di Giovanna si può dedurre che (a) la maglietta potrà avere un colore qualsiasi; (b) la maglietta sarà rossa; (c) la maglietta non sarà verde; (d) nessuna delle precedenti possibilità è corretta.

Commenti Test 9

22

(a) la maglietta potrà avere un colore qualsiasi; (b) la maglietta sarà rossa; (c) la maglietta non sarà verde;

sono tutte situazioni possibili

ma dalle premesse possiamo dedurre solo la (a)

23

Si consideri l’equazione 022 =++ axx e la condizione 0≤a

a)  la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché l’equazione abbia due soluzioni distinte;

b)  la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l’equazione abbia due soluzioni distinte;

c)  la condizione è necessaria e sufficiente affinché l’equazione abbia due soluzioni distinte;

d)  la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché l’equazione abbia due soluzioni distinte.

Commenti Test 10

24

la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l’equazione abbia due soluzioni distinte (si intende reali)

022 =++ axx 0≤a

Test generalmente capito

con 10 << a abbiamo ancora due sol. distinte

25

Si consideri l’equazione

e la condizione

a)  la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché l’equazione abbia un’unica soluzione;

b)  la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l’equazione abbia un’unica soluzione;

c)  la condizione è necessaria e sufficiente affinché l’equazione abbia un’unica soluzione;

d)  la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché l’equazione abbia un’unica soluzione.

032 =++ axx

32=a

Commenti Test 11

26

la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché l’equazione abbia un’unica soluzione

Test generalmente capito

con abbiamo ancora un’unica soluzione

032 =++ axx 32=a

32−=a

27

Si consideri il triangolo ABC, la sua altezza AH, e la condizione che i triangoli ABH e ACH siano simili.

a)  la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché ABC sia rettangolo;

b)  la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché ABC sia rettangolo;

c)  la condizione è necessaria e sufficiente affinché ABC sia rettangolo;

d)  la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché ABC sia rettangolo.

Commenti Test 12

28

A

H B C

La condizione che ABH sia simile a AHC non è sufficiente affinché ABC sia rettangolo

A

C ≡ H

B La condizione che ABH sia simile a AHC non è necessaria affinché ABC sia rettangolo

Il triangolo ACH è un solo segmento

29

Si consideri il triangolo ABC, la sua altezza AH, e la condizione che i triangoli ABH e ACH siano simili.

a)  la condizione è necessaria, ma non sufficiente, affinché ABC sia rettangolo in A;

b)  la condizione è sufficiente, ma non necessaria, affinché ABC sia rettangolo in A;

c)  la condizione è necessaria e sufficiente affinché ABC sia rettangolo in A;

d)  la condizione non è né necessaria né sufficiente affinché ABC sia rettangolo in A.

Commenti Test 12

30

A

C B

La condizione che ABH sia simile a AHC è necessaria affinché ABC sia rettangolo in A

H