Zadatak 1: Odrediti amplitudu Am, ugaonu učestanost ω, učestanost f, periodu T,

početnu fazu α i trenutnu vrednost u trenutku t = 0,0025 s prostoperiodične veličine

definisane izrazom:

)30314(sin 100a t

Rešenje

100mA , rad/s 314 , Hz 502

f , s 0,02

50

11

fT , 30

5,96)3045(sin 1000,0025 a

Zadatak 2: U kolu naizmenične struje postoji prostoperiodična struja efektivne

vrednosti I = 10 A, učestanosti f = 50 Hz. Ako se uzme u obzir da je početna faza

struje Ψ = 0 odrediti količinu naelektrisanja koja protekne kroz to kolo u toku prve

polovine periode struje.

Rešenje

Pošto je početna faza struje Ψ=0, to je struja u kolu data izrazom:

tItIi m sin2sin

U elementarnom intervalu vremena dt od trenutka početka posmatranja pojave kroz

kolo protekne elementarna količina naelektrisanja dq data izrazom:

dttIidtdq sin2

Količina naelektrisanja q koja kroz kolo protekne u toku prve poluperiode dobija se

sabiranjem elementarnih količina naelektrisanja koje su protekle od t = 0 do t = T/2

0cos

2cos

2sin2

2

0

2

0

tIdttIdqq

TT

Kako je ωT = 2π i ω = 2πf = 314 rad/s to je:

C 0,05422

Iq

Zadatak 3: Na prostoperiodičan naizmenični napon u(t) = Umsin(ωt+θ) [V] priključen

je:

a) otpornik otpornosti R,

b) kalem induktivnosti L,

c) kondenzator kapacitivnosti C.

Odrediti analitički izraz za struju za svaki od navedenih slučajeva i nacrtati grafike

struja i napona i trenutne snage u funkciji vremena..

Rešenje

Dogovorno, fazni stav struje će se označavati sa Ψ , fazni stav napona sa , dok se

razlika faznih stavova napona i struje označava sa Ψ :

a) slučaj kada je priključen otpornik otpornosti R (slika 3.1):

Slika 3.1

Po Omovom zakonu relacija između napona i struje kroz otpornik je:

t

R

U

R

tU

R

tui mm sin

sin)(

Amplituda struje: R

UI m

m , efektivna vrednost: 2

mII ;

Fazni stav struje: Ψ ;

Fazna razlika (pomeraj): 0 Ψ - struja i napon kod čisto otpornog

potrošača su u fazi!!!

Srednja snaga: UIIUdttpP mmsr 2

1 - gde su U i I efektivne vrednosti napona i

struje.

b) slučaj kada je priključen kalem induktivnosti L (slika 3.2):

Slika 3.2

Po Faradejevom zakonu relacija između napona i struje u kalemu je:

90sin

cossin1

)(1

0 za,)(

)( 0

tωL

U

tL

UdttU

Ldttu

LiI

dt

tdiLtu

m

mm

Amplituda struje: L

UI m

m

- definicija reaktanse kalema LX L

Fazni stav struje: 90Ψ

Fazna razlika (pomeraj): 9090 Ψ - struja kasni za naponom kod

čisto induktivnog potrošača!!!

Srednja snaga: 0 dttpPsr - koristan rad je jednak nuli, energija cirkuliše

(osciluje između izvora i magnetnog polja) - potrošnja reaktivne snage.

c) slučaj kada je priključen kondenzator kapacitivnosti C (slika 3.3):

Slika 3.3

Po zakonu održanja električnih opterećenja relacija između napona i struje u

kondenzatoru je:

90sin

1)cos(

sin()()(

t

C

UtCU

dt

tUdC

dt

tduCti m

mm

Amplituda struje: mm CUI - definicija reaktanse kondenzatora C

X C

1

Fazni stav struje: 90Ψ

Fazna razlika (pomeraj): 9090 Ψ - struja prednjači naponu za

90⁰ kod čisto kapacitivnog potrošača!!!

Srednja snaga: 0 dttpPsr - koristan rad je jednak nuli, energija cirkuliše

(osciluje između izvora i elektrostatičkog polja) - proizvodnja reaktivne snage.

_____________________________________________________________________

Zaključak:

Impedansa potrošača se definiše kao količnik efektivne vrednosti napona i struje:

I

UZ [Ω]

Trenutna snaga je jednaka proizvodu trenutnih vrednosti napona i struja:

W2sincos

2sin)(cos(2

1sinsin)(

ψθωtUI

tIUωtItUtp mmmm

Aktivna snaga brojno je jednaka srednoj vrednosti trenutne snage:

cosUIPdttpPsr [W]

Reaktivna snaga predstavlja meru oscilovanja (naizmenične razmene) energije između

izvora i potrošača

sinUIQ [VAr]

Prividna snaga definiše se kao:

22 QPUIS [VA]

Otporni potrošač – R

RI

UZ

0

UIP 0Q

Induktivni potrošač – L

LI

UZ

90

0P UIQ

Kapacitivni potrošač –C

CI

UZ

1

90

0P UIQ

Zadatak 4: Na izvor naizmeničnog napona efektivne vrednosti U = 220 V, učestanosti

f = 50 Hz priključen je kalem induktivnosti L = 0,1 H. Odrediti maksimalnu energiju

koja u jednom trenutku može biti sadržana u magnetnom polju tog kalema.

Rešenje

Maksimalna magnetska energija je:

2max

2

1mM LIW

gde je Im amplituda, a I efektivna vrednost struje kalema. Kako je: L

U

X

UI

L i

f 2 to je:

J 4,9

1,0502

220

22

2

2

2

2

2

max

Lf

U

L

UWM

Zadatak 5: Na izvor naizmeničnog napona efektivne vrednosti U = 220 V, učestanosti

f = 50 Hz priključen je kondenzator kapaciteta C = 1 µF. Odrediti maksimalnu energiju

koja u jednom trenutku može biti sadržana u navedenom kondenzatoru.

Rešenje

Maksimalna energija sadržana u kondenzatoru je:

22max

2

1CUCUW mM

gde je Um amplituda, a U efektivna vrednost napona kondenzatora. U datom slučaju je:

J 0484,0220101 26max

MW

Zadatak 6: Otpornik otpornosti R = 400 Ω i kalem induktivnosti L = 1,6 H vezani su

na red i priključeni na naizmenični napon efektivne vrednosti U = 220 V, učestanosti

f = 50 Hz (slika 6.1). Odrediti efektivnu vrednost struje, faktor snage i aktivnu,

reaktivnu i prividnu snagu.

Slika 6.1

Rešenje

Ω 502,656,15022 fLLX L ,

Ω 642,3865,502400 2222 LXRZ

A 0,3438,642

220

Z

UI

0,62338,642

400cos

Z

R

W46,60623,034,0220cos UIP

VAr 58,49782,034,0220sin UIQ

VA 74,8034,0220 UIS

Zadatak 7: Otpornik otpornosti R = 800 Ω i kondenzator kapaciteta C = 1 µF vezani

su na red i priključeni na naizmenični napon efektivne vrednosti U = 220 V,

učestanosti f = 50 Hz (slika 7.1). Odrediti efektivnu vrednost struje, faktor snage i

aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu.

Slika 7.1

Rešenje

Ω 3183,10101502

1

2

116

fCCX C ,

Ω 3282,1010,3183800 2222 LXRZ

A 0,06710,3282

220

Z

UI

0,2410,3282

800cos

Z

R

W3,5424,0067,0220cos UIP

VAr 14,3097,0067,0220sin UIQ

VA 14,74067,0220 UIS

Zadatak 8: Otpornik otpornosti R = 10 Ω, kalem induktivnosti L = 0,1 H i

kondenzator kapaciteta C = 150 µF vezani su na red i priključeni na naizmenični

napon efektivne vrednosti U = 220 V, učestanosti f = 50 Hz i početne faze θ = 30°

(slika 8.1). Odrediti efektivnu vrednost struje, faktor snage, izraz za trenutnu vrednost

struje i efektivne vrednosti napona na svakom od elemenata kola. Nacrtati vektorski

dijagram napona i struja.

Slika 8.1

Rešenje

Ω 31,421,05022 fLLX L

Ω 21,2210150502

1

2

116

fCCX C ,

Ω 14,2822,2142,31102222222 CL XXRXRZ

A 15,4128,14

220

Z

UI

0,7028,14

10cos

Z

R

Analitički izraz za trenutnu vrednost struje je: tItIi m sin2sin

odnosno pošto je 457,0arccos sledi da je 15314sin2 tIi A

Efektivne vrednosti napona na pojedinim elementima kola iznose:

V 1,15441,1510 RIU R

V 18,48441,1542,31 IXU LL

V 32741,1522,21 IXU CC

Odgovarajući vektorski dijagram je prikazan na slici 8.2:

Slika 8.2

Zadatak 9: Kompleksni izrazi napona i struje u kolu naizmenične struje imaju sledeći

oblik: U = (80+j60) V i I = (24-j7) A. Odrediti kompleksnu impedansu, struju i

prividnu snagu.

Rešenje

Ω 2,34,2724

6080j

j

j

I

UZ

Ω 7246080724

6080*jj

j

jUIS

0,6cos22

XR

R

Z

R

Zadatak 10: Kondenzator kapaciteta C = 100 µF redno vezan sa otpornikom R = 1 kΩ

priključuje se na izvor ems E = 120 V preko prekidača P (slika 10.1). Odrediti rad

izvora ems u intervalu od uključivanja kola do trenutka t1 = 0,2 s, kao i napon na

kondenzatoru u tom trenutku. Kondenzator pre priključivanja nije naelektrisan.

Slika 10.1

Rešenje

Kada se kolo priključi na izvor zatvaranjem prekidača P počinje punjenje

kondenzatora C, koji je pre toga bio neopterećen. Struja kroz kolo je i =dq/dt, a napon

na krajevima kondenzatora je C

quC . Jednačina naponske ravnoteže za ovo kolo je:

0 CuiRE

a posle zamene:

0C

q

dt

dqRE

Rešenje ove diferencijalne jednačine je pri q = 0 za t = 0:

t

eCEtq 1)(

a napon na krajevima kondenzatora se menja prema zakonu:

RC

t

C eEC

qu 1

Za t = 0,2 s i RC = 1000‧100‧10-6 = 0,1 s vrednost napona na kondenzatoru je:

V 105,7611202,0 11,0

2,0

UetuC

Struja kroz kolo se menja prema:

t

eR

E

dt

dqi

, gde je sRC 1,0

Ako se jednačina naponske ravnoteže za kolo:

C

qiRuiRE C

pomnoži sa dq = idt dobije se:

dqC

qdtiRdtiE 2

a posle integraljenja leve i desne strane u intervalu 0 do t dobija se energetski bilans u

kolu u tom intervalu.

cr

Qtt

WAdqC

qdtiRidtE

00

2

0

11

Član na levoj strani je ukupan rad izvora ems E od trenutka zatvaranja prekidača P do

trenutka t1.

Toplotna energija koja se u tom intervalu oslobodi na otporniku R određuje se prvim

članom sa desne strane jednačine:

J 0,7202

042

122

0

22

0

211

eeCEt

eRC

R

Edte

R

ERdtiRA

tt tt

r

Energija kondenzatora u trenutku t posle zatvaranja prekidača se izračunava drugim

članom jednačine:

J 0,5676,105101005,02

1

2

2621

2

0

CUC

Qdq

C

qW

Q

c

a rad izvora elektromotorne sile na osnovu gornje jednačine je:

J 1,2656,07,0 crE WAA

Rad izvora ems se može naći i neposredno integraljenjem leve strane jednačine posle

zamene izraza za struju kroz kolo u intervalu t = 0 do t = t1:

J 1,2510

1 111

212

00

RC

t

RC

tt

RC

tt

E eCEt

eRCR

EdteR

EEidtEA

što je približno kao i u prvom slučaju, a razlika se javlja pri izračunavanju.

Zadatak 11: Otpornost R = 20 Ω i induktivnost L = 0,1 H priključuju se na izvor ems

E = 24 V preko prekidača (slika 11.1). Odrediti rad izvora u intervalu od zatvaranja

prekidača do trenutka t = 15 ms kao i jačinu struje u tom trenutku.

Slika 11.1

Rešenje

Posle zatvaranja prekidača P u kolu se uspostavlja struja i(t). Jednačina naponske

ravnoteže za kolo pri vrednosti struje i(t) = i je:

LR uudt

diLiRE

Rešavanjem ove diferencijalne jednačine za početne uslove t = 0, i(t) = i(0) = 0 je:

tL

R

eR

Eti 1

Vremenska konstanta kola je ms 5s 10520

1,0 3

R

L .

U trenutku t = 25 ms posle zatvaranja prekidača P jačina struje kroz kolo je:

A 1,1405,012,1120

2415

1

eti

Kada se prva jednačina pomnoži sa idt dobija se:

idtLdtiRidtE 2

Ova jednačina iskazuje zakon o održanju energije u kolu u vremenskom intervalu dt.

Ako se integrali leva i desna strana ove jednačine u intervalu od t = 0 do t = t1,

odnosno u granicama za jačinu struje od i = 0 do i = i(t1), dobija se energetski bilans u

u kolu u tom intervalu:

mr

Itt

WAidtLdtiRidtEt

111

00

2

0

Član sa leve strane predstavlja rad izvora ems u tom intervalu:

J0,2950

12

0

1

t

eR

Lt

R

EidtE

tt

Drugi član sa desne strane predstavlja energiju magnetnog polja:

J 0,06514,11,05,02

1 22

)(

01

1

t

ti

m iLLidtW

Prvi član sa desne strane predstavlja energiju koja se u vidu toplote oslobodi na

otporniku R. Prema zakonu o održanju energije iznosi:

J 0,23065,0295,0 mEr WAA

Zadatak 12: Odrediti napon, struju i snagu trofaznih potrošača vezanih u zvezdu

(slika 12.1) i trougao (slika 12.2).

Rešenje

fl UU 3

fl II

cos3cos3 ffll IUIUP

sin3sin3 ffll IUIUQ

ffll IUIUS 33

Slika 12.1

Slika 12.2

fl UU

fl II 3

cos3cos3 ffll IUIUP

sin3sin3 ffll IUIUQ

ffll IUIUS 33